2022全国乙卷数学11题出错题回应

大家好，我是高中数学罗老师。在今年的高考数学真题中，出现了一个严重的命题失误，那就是一道选择题出现了两个正确答案。 那么这道题目出自哪里？为什么会有两个正确答案呢？今天我们就来看一下。 这是二零二二年全国已卷理科选择题的第十一题。已知双曲线 c 的两个焦点为 f 一 f 二，以 c 的十轴为直径的圆，即为 d。 过 f 一做 d 的切线与双曲线 c 交于 mn 两点，且扣三叫 f 一 nf 二等于五分之三。问双曲线 c 的离心率为多少？第一种情况 如图所示，过 f 一的直线交双曲线 c， 左右两支分别于 mn 两点，此时我们设切点为 p， 如图所示，连接 o p， 则 o p 垂直于 m n， 过点 f 二做 m n 的垂线交 m n 与点 q。 在直角三角形 f 一 o p 中， 线段 o p 的长度等于 a， 线段 o f 一的长度等于 c。 根据勾股定理，我们可以解得，线段 f 一 p 的长度就等于 b。 因为点 o 为线段 f 一 f 二的终点， o p 平行于 f 二 q， 所以 o p 是三角形 f 一 f 二 q 的中位线。由此我们可以得到， 线段 f 二 q 的长度就等于二 a， 线段 f 一 q 的长度就等于二 b。 在 r t 三角形 f r q n 中 后三角 f 二 nq 就等于五分之三，线段 f 二 q 的长度等于二 a。 由此我们可以解得，线段 qn 的长度就等于二分之三 a， 线段 nf 二的长度就等于二分之五 a， 所以线段 nf 一的长度就等于线段 nq 的长度。加上线， 线段 feq 的长度就等于二分之三 a 再加二 b， 因为点 n 是双曲线右直上一个点。根据双曲线的定义可知， 线段 nf 一的长度减去线段 nf 二的长度应该等于二 a， 也就意味着二分之三 a 加二 b 减去二分之五 a 等于二 a， 我们可以解得二 b 就等于三 a。 此时我们可以令 a 等于二 b 等于三，我们可以解得 c 就等于根号十三。这种情况下，离心率 e 就等于 cba 等于二分之根号十三。 刚才罗老师提到这道题有两个正确选项，那为什么还会有另外一种情况呢？我们来看一下图，如图所示，若过点 fe 的直线与双曲线的左支相交于 mn 两点，此时我们设 该直线与原地相切，点为点 p 连接 op， 则 op 垂直于直线 mn。 同时过点 f 二 做直线 mn 的垂线交直线 mn 与点 q 公里。在直角三角形 f 一 op 中，线段 op 的长度就等于 a， 线段 of 一的长度就等于 c。 我们可以解得线段 f ep 的长度就等于 b。 因为点 o 为线段 f 一 f 二的终点 o p 平行于 f 二 q， 所以线段 o p 为三角形 f 一 f 二 q 的中位线。由此我们可以解得 线段 f 一 q 的长度就等于二 b， 线段 f 二 q 的长度就等于二 a。 直角三角形 nf 二 q 中 houssini 叫 f 二 n q 就等于五分之三，线段 f 二 q 的长度就等于二 a。 由此我们可以解得线段 qn 的长度就等于二分之三 a。 线段 nf 二的长度就等于二分之五 a， 所以线段 nf 一的长度就等于线段 nq 的长度减去线段 feq 的长度就等于二分之三 a 再减去二 b。 因为点 n 为双曲线左支上一个点由双曲线图向上点的性质，可支 线段 nf 二的长度减去线段 nf 一的长度应该等于定制二 a， 也就意味着二分之五 a 减去小括号二分之三 a 减去二 b， 整体应该等于二 a 化减以后，我们可以得到 a 就等于二 b， 此时我们令 b 等于一， a 就等于二， c 就等于根号五。这种情况下，双曲线 c 的离心率为 e 就等于 cba 等于二分之根号五。所以这道题目的答案有 a 和 c 两个选项。

大家好，我们一起来看一下全国已卷的选择题的第十一题，那么这道题网上也有很多的争议，就说这个题出错了，这是一道单选题，但是最后会有两个答案，我们一起来看一下这道题。双曲线 c 的两个交点， f 一 f 二，以 c 的十轴为直径的圆即为 d， 过 f 一做 d 的切线，交双曲线，以 m n 两个点，口三印 f 一 n f r 等于五分之三，我们设了个角为 c， 那么让求双曲线的离心力。 我们看看这个题，还是用拆题法的思路来给大家分享。这个图是我们根据题目的意思画出来的，第一个就是拆概念，同学们要了解的这道题当中的一个概念就是双曲线的十轴，那么双曲线的十轴是参照椭圆的顶点的那个思路，你像另 y 等于零， 那么求得 x 等于正负 a， 也是得到这两个点， a 一 a 二这两个点，那么这个就是双曲线的时轴，那么另 x 等于零的话，这里有个 b e、 b、 r 这两个点是它的虚轴， 这是同学们第一个要了解的概念。第二个过 f 一，就是过左焦点做这个圆的切线，交双曲线于两点 m n， 那么口三也 f 一 n f 二等于五分之三，让球这个椭圆的离心力。我们再看看拆完概念之后拆什么，拆目标，看看这个题到底要干什么。 我们知道椭圆的方程， a 方分之 x 方减去 b 方分之 y 方等于一，那么这里的 a 方加上 b 方就等于 c 方，这是双曲线的性质， a 方就是它的实半轴， b 方是它的虚半轴，那么 c 是它的交半径，那么 现在要求离心力 e 等于 a 分之 c， 也就是让求出 a， b， c 这三个数的关系。我们根据题目给出的已知条件，画出这样一个简图，那么过圆地的圆心，我们做 od， 垂直于这条线。 拆图像，我们第一个做 o d， 垂直于 f e n， o d 就等于 a， 那么再过 f r 做 f r e 垂直于 f e n f r e 等于多少？看这个三角形 f e， f r e 和三角形 f e o d， 这个 o 是 f 一和 f 二的终点，那么 o d 就是三角形 f 一 f 二 e 的中位线，那么很容易就得到 f 二一等于两倍的 o d， 那么 f 二 一的就等于 ra。 我们再看在三角形 odf 当中， od 是 afed， 是不是就等于 ba 方加 b 方等于 c 方， ofe 是等于 c 的 fed 其实就等于 b， 那么 fee 这条线就等于两倍的 b。 再看看第二个条件， 口三 inset 就是这个角等于五分之三，那么很容易得到。三 inset 等于五分之四，三 inset 又等于 f r 一比上 f r n， 那么是不是就可以推出 f r n 等于四分之五倍的 f r e f r e， 我们求出是等于 r a 代入的话就等于二分之五 a， 那么 f r n 求出来了 e n， 我们是不是就可以求出来？ e n 就等 等于 frn 乘以口三 ec， 它乘以五分之三嘛，就等于二分之三 a abc 之间的关系就出来了。 en 要是等于二分之三 a， 那么 fe 是等于二 bfrn 要是等于二分之五 a， 那么我们就可以得到 n f 一的长度 n f 一就等于 n 一加上 e， f 一就等于 a e 加上 e 的 fe， en 是等于二分之三 aefe 等于二 b 就加上二 b， 现在 nfr 也知道 nfr， 我们这里求的是二分之五 a， 那么再根据双曲线的定义，双曲线的一点到两个交点的距离差是等于十轴， 那么既有 n f 一减去 n f 二等于二 a， 我们将那个式子代入，也就是二分之三 a， 加上二 b， 减去二分之五 a 等于二 a， 从而求得 a 和 b 的关系， b 就等于二分之三 a， 那么求出 b 等于二分之三 a， 又由这个关系式，我们就得到 c 方等于 a 方加 b 方 就等于四分之十三。 a 方。题目让我们求的离心力， e 是等于 a， 分之 c 就等于二分之根号十三，那么得到的答案就是 c。 那么同学们看一下，为什么说这道题有争议，我们只是求出了一种情况，过 f 一与这个圆相切的 直线与这个双曲线的两边分别相交。那么还有另外一种情况，在这里给大家画个图，同学们自己做一下就行了。就是这样一种情况，这是 f 一， 那么过 f 一做它的切线值与这个双曲线的一边相交，不是与两边都相交，这里是 n， 这里是 m， 这是 f， 那么这个角同学们可以按照这个思路去做一下，那么得到的答案其实是 a。 这个题目如果想严谨的话，那么就是过 f 一做 d 的切线交 c 的那个双曲线的左右曲线分别与 m、 n， 那就只有一个答案了。如果根据题目的表示，我们其实有两种做法得到两个答案，二分之根号五和二分之根号十三都是符合题目要求的，那么这是说这个题确实是有争议的一道题，应该是选 a 选 c 都算对， 就是我们这个题按照拆题法的思路给同学们拆完，那么我们对照解题王给大家总结出的命题点，那么这道题考察的命题点相对比较简单，第一个是双曲线的性质，那么第二个其实相似三角形的概念， 这个是反复给大家强调，就初中当中的相似三角形，经常会跟圆锥曲线的结合，包括跟立体几何当中的图形结合来考察，同学们一定要引起注意。好，这个题就给大家分享到这里，让我们一起做更少的题，提更多的分。

我们来看一下二二年一卷的第十八题，说明你 abcd 中 ad 垂直于 cd， a、 d 等于 c、 d， 嗯，这两个相等，这又垂直，所以他俩合起来是什么意思呢？合起来就是 a、 d、 c 为等腰直角三角形， 然后 a、 d、 b 等于 b， d， c， a， d， b 等于 b， d、 c， 然后一为 a、 c 的终点，证明 b、 d 垂直于平面 a、 c、 d。 让我们证明两个平面，我们先把这两个平面给特殊化，把它给专门给它拎出来，用不同的颜色的笔把它拎出来。 这个 a、 c、 d 在哪里呢？ a、 c、 d 就在这里，然后 b、 e、 d 在这里，然后在其中一个平面中找一条可移的线去垂直另外一个平面。我经过观察就是 ac 哈，比较可以，是不是 ac 比较可以， 为什么呢？因为已经有个三线合一了， ac 垂立 b 一也是很明显的，我们只要再证明 ac 垂立 b 一就可以了。我们要证明 ac 垂立 b 一，就要说明什么呢？就要说明 bc 等于 ab， 所以我们接下来证明 bc 等于 ab 即可啊。那接下来我们看一下怎么证明啊？ 因为 a、 d 他等于 dc 啊，等于 dc， 这个 e 呢，为 ac 的终点，三线合一， 所以我们就可以得到 ac 垂直于 d、 e 这边垂直一根线呢？我们再 找一根线啊，再找根线，又因为啊，又因为 db 呢，它等于 db 等于 db， 角 adb， 它等于角 bdc， 所以三角形 a、 d、 b 他全等于三角形 b、 d、 c 啊， b， d、 c， 所以这个 a、 b 呢，实际上就等于 b、 c。 又因为以为 ac 的终点啊，终点说三线合一就可以用了， 所以这个 ae 呢，他就是垂直于 be， ae 垂直 be， 又因为 啊，这个 a、 e 写上 a、 c 更好一点， a c 垂直 b e， 又因为 b e 消 d e， 它等于一点，所以这个 a c， 它就垂直于这个平面 bde， 然后这是线面垂直的判定定理，是垂直两个线条线就垂直这个平面，那面面垂直的判定定理，就是说只要有一根线去垂另外一个平面，这个线在在在 这线一垂直于面二线一在面一里面，两个面就垂直啊。 ac， 它包含与这个平面 adc 中，所以平面 adc 就垂直于平面 b、 d、 e 这第一问就证明出来了，接下来我们来看一下第二问。好，我们来看一下第二问。第二问是 a、 b 等于 b、 d 等于二这个条件我们先把它给标出来， a b 等于 b、 d， 这等于二， 然后这个 abc 也是二，叫 acb 等于六十度，这个是六十度，那么这个 ac 也是二，这是一，这是一啊，是一， 然后这这又是个等腰直角三角形，那这边这边就是根号二，这是根号二， 那这个呢？是一啊，第一也是一，这全部都可以写出来了。 f 在 bd 上， f 在 bd 上 三角形。 a、 f、 c 面积最小的时候， a、 f、 c 的面积是什么时候最小？因为这个 a、 c 是垂直于这个平面 ac 垂直平面 bde， 所以 ac 它就垂直于这个 ef， 所以 ef 叫叫 fec 是直角三角形 fac 直角三角形要求 cf 的最小值，实际上就是求 ef 的最小值， 这是从 ef 的最小的，那 ef 的最小的是什么呢？就是一点到这个到这个 bd 的距离是最小的，就是 ef 垂直于 bd 的时候是最小。 此时我们可以采用等面计划，求出这个 c 点到这个 adb 的高就可以了。 好的，那接下来我们看一下这个解析的过程啊。解析的过程，首先第一步我们交代所有的边长啊，所有的边长，因为 a、 b， 他等于 b， d 是等于二，由一可知， 这个 bc 他也是等于二。又因为角 acb 等于六十度，所以三角形 abc 为正三角形， 所以这个 a、 c， 他也等于二，也等于二。又一又有一只， 这个 a、 d、 c 为等腰直角三角形， 直角三角形，这个一致就知道了哈，直角三角形，所以这个 a、 d， 他就等于这个 d、 c 等于根号二，这个 d、 e 呢？等于 一啊，等于一。算了之后呢，我们接下来分析啊，因为因为什么呢？ ac 是垂直于这个平面 bde， 这个 ef 呢，是包含于这个平面 b、 d， e， 所以这个 a、 c， 他就垂直于 e、 f， 把这个 e、 f 画一下画出来， 所以 s 三角形 三角形 a、 f、 c， 他就等于两倍的 s， 三角形 f， e、 c， 因为什么呢？因为这个就是这样的哈，他实际上是这样的一个东西， 这是 e， 这是 f 啊，这是 a， 这是 c， 这个是终点吗？所以这个三角形的面积是等于这个面积的两倍啊，这个意思，那他就等于什么呢？他就等于两倍的，两倍的什么呢？这个 ef 乘以这个 e、 c， e、 c 就是一，这除以二，就是等于 e、 f， 这是三角形 affc 的面积的 ef， 所以说我们只要求助 ef 的最小值就可以了。 ef 的最小值在三角形 形三角形 b、 e、 d 中，因为这个 d、 e 呢，它是等于一，这个一 b 呢，是等于根号三， d、 b 呢？等于二，所以这个 d、 e 的平方加上 e、 b 的平方，它就等于 d、 b 的平方， 所以这个 d、 e， 他就垂直于 b， e 啊。由等面你可知，二分之一的 d， e 乘以 e、 b， 他就等于二分之一的 b， d 乘以 e、 f 的最小值。所以这个 e、 f 的最小值就是高吗？就是高，最小。你看 e、 f 是这样的话，就是更大一点啊。 这个 e、 f 的最小值等于什么？可以算出来，这个 d， e 是一，这个 e、 b 是更好。三、 一乘一，根号三，比例是二，二分之根号三，所以 ef 就等于二分之根号三。四十 cf， 他就等于根号下 ef 的平方加上 c 一的平方，等于二分之根号七。然后接下来我们再用一个等体积转化就可以了， 因为这个 d、 e 呢，它是垂直于 eb， d， e 呢，它又垂直于 a、 c， 所以 d， e 呢？就垂直于这个平面。 a， b， c， v， d， a， b， c， 它就等于 v， c， a， d， b 记三分之一 s， 三角形 a， b， c 再乘以 d， e 等于三分之一 s， 三角形 a， d， b 乘以这个勾 h， 那这个要说一下啊，说一下， 我们设 c 到 a， d， b 的 高为 h， 就这样，然后这个 abc 这个面积是可以求出来啊，然后 adb 也可以求出来，然后第一眼就知道了，这高就算出来了。那我们求一下啊，求一下 s， 三角形 a， b， c， 他就等于二分之一，乘以二，乘以二，再乘以 c， 引三分之拍等于多少呢？等于根号三 跟老三。然后再看一下这个 adb， 哈， adb 可以把它拿出来，这个是放在超过纸上写哈，这个是 b， 这个是 a， 这个是 d， 这个是二，这个是二，这是根号二。做一个垂线下来，这是二分之根号二 四，减去二分之一，那就二分之七就是二分之可好？十四啊，你告十四。所以 s 三角形 a、 d、 b， 那时间就等于二分之一 乘以根号二，再乘以二分之根号十四等于多少呢？ 等于二分之根号七。所以，所以这个 h 他就等于时间就等于二分之根号七。上面是个根号三，等于七分之二倍的根号二十一。 所以，所以这个 cf 与与 a、 d、 b 数乘加 see， 他的正弦直 c 塔等于什么呢？等于 h b 上 c、 f 等于七分之二倍的根号二十一。比上 c、 f， c、 f 等于多少呢？ 在这里，二分之根号七，二分之根号七 等于七分之四倍的根号三，九分之四倍的根号三就可以了啊，这就是这个，用等体积来求到一个是正贴。呃，正闲值啊，正闲值。当然这个题目也可以采用空间项链间隙法，比较简单啊。这个我就不说了。

好，我们再看一下二零二二年全国高考已卷啊，二十一期，据说这道题也很难啊，这个考生反应啊，全国已卷出的也挺难啊，还有全国新高考遗卷啊，全国新高考遗卷我已经给同学们呃，讲了很多了啊，呃，基本就算讲完了啊， 那么今天呢，我们再看一下全国已卷啊，最后一道压轴听啊，呃，以致函数 fx 等于异味的 e 加 l 对出，加上 a s e 的负 s b e， 求 a 的意识，求取现 wif 在点名 f 零处的切线方式。疑问呢， 我们得到的结果是 y 等于二 x 啊，这个我就不给同学们说了啊，第二个，横着看，第二个，若函数 fx 在区间负一零， 开局间零到正不凶，开局间各下有一个零点七五 a 的取之范围。我们看这道题，我们应该怎么去思考这个问题啊？ 那么你想一想，这韩束 f 在什么样的情况下，他在这两个开区间内各有一个零点的？我们首先对着函数图像的我们来，我们有一个大致的分析啊，首先呢，我们注意到 f 零点零，对吧？把零带去之后啊，是 f 零点零， 那么 f 零点零的话呢，那么图像他是经过原点对吧？经过原点以后呢？那么在什么样的情况下，他在这个区间和这个区间各有一个零点呢？ 我们可以通过图像我们给他分析一下啊，我们看一下。那么而且 我们还看到当 x 趋向于正无穷的时候，这个函数 fx 应该是趋向于正无穷，这能看出来对吧？呃，这个是趋向于零了对吧？ x 除以 e 的 x 是 m， 当 x 趋向正无穷的时候，我们用罗格达法则，我们发现这个趋向于零，这个趋向于正无穷。 而且当 x 的趋向负一的时候啊，因为他的有一条间接线呢，是 x 应该很低啊，那个 x 必须得会大，对吧？定义是大于规尿。那么当 x 趋向又负一的时候，这个是趋向某一个长数， 那么这个是趋向于富不穷。你看这个图像呢，经过原点，当孩子去向正不穷的时候呢，他趋向正不穷，当孩子去向富一的时候，他趋向于富不穷。而且我们还想让这个函数图像 在这两个区间上啊，各有一个啊？焦点，那你想一想，这个图像你说应该怎么画？那么这个图像我们是不是只能是应该是这个样子，那对吧？啊？错，应该是这个样子， 趋向正无穷啊，对吧？虚向正无穷，咱们这个图像应该什么样？应该是大概应该是这个样， 然后呢，我们看，对吧？他的图像啊，大致的走向啊，应该这样，那么只有这样的时候呢，我们才得到什么呢？得到这个函数 fx 啊，在这两个开局界内啊，各有一个零点， 那么如果是这样的话，那么我们很容易看到。那么就说这个函数啊，在负一段 上应该有一个机制点啊，在零到征求上也应该有一个机制点，对吧？ 所以说呢，我们又猜想到什么问题呢？那就说这个函数的导函数，在负一人上应该有一个零点，在零到正无穷上也应该有一个零点啊，而且这是个电话零点。 因此呢，我们就围绕着这个函数的导函数啊，在什么样的情况下，在这两个区间上各有一个零点啊，从这个角度啊，我们来分析，然后我们对 a 进行讨论， 所以说呢，我们首先呢对函数 fx 呢，我们应该进行求导，对吧？那么求导以后呢，我们发现他是一加 x 分之一啊，再加上 a 在秤上啊 e 的负 x， 再解决 a 秤上 e 的负 x 密，然后呢，我们把它通下分啊，通下分之后呢，是 e 加上 f， 再秤上 e 的 x 密， 上面一个是啥？应该是 e 的 x 是 b， 再加上 a， 再乘上 a 减去 x 的胸框，对吧？由于呢分母是正的，是吧？ x 大于灰机嘛， 所以说呢，我们要想考察这个导函数，在这两个区间上各有一个零点，我们只要看分子啊，这个函数就可以了，我们在令啊， u x 等于 e 的 x， b 再加上 a， 秤上一减去 x 平方，那么在这个函数啊，这个函数，我们定的这个函数呢，就是说 你能不能观察得到这个函数啊，在这两个区间上各有一个零点，如果这个函数在这两个区间上，在这个区间上，或者是在这个圈如果没有零点的话，那么 所确定的这个 a 肯定是不适合 t 啊，我们可以得到这样的猜一下， 那么在力所能及的观察的范围内，你能不能看出啊， a 在什么样的范围内，这个函数在这个区间上，或者是在这个区间上他没有零点呢？你能不能观察出来呢？ 那么很显然你看，很显然，如果当 a 要是大于等于零的时候， x 在这个区间， s 在这个范围内的时候，那么他显然没有零点，这能不能看出来是吧？ 那么 x 在负一到零这个范围的时候，那么他呢显然是大于零，恒成力， 如果他要是没有零点的话，那也就是说呢，导航数是吧？应该是大于防避，所以说导航数大于， 那就说 f x 呢，那就说在负一到零这个区域上应该得到，对的，所以说呢， f x 啊，那就横小于 f 零，而 f 零恰好对联， 这说明啊， f s 在负一到零这个区间上不可能有零点，当有大电影的时候，所以说呢，那么 a 大电影呢？应该是 这是啊，第一种情况呢，我们观察得到啊这么一个结论，那么首先我们再看第二种情况， 那么第二种情况呢，肯定就得 a 就得小于零了，对吧？当 a 小于零的时候，我们能不能看出这个函数在这个区间上或者是这个区间上没有零点呢？ 如果大一小而零的话，大 s 在负一到零的范围内的时候，那么这个是个负的，这是个正点，一正一负相加，是吧？一正一负相加，这是有可能有了点，对吧？啊？有可能有了点，也可能没有点， 那么当然是在这个区间内的时候，那么这个呢，是有证有数，对吧？有证有数呢，那么现在也无法判断这个函数到底是有零点还是没有零点， 那么这个时候我们应该怎么办呢？我们应该呀，对于这个函数的增点性进行分析，这对吧？然后我们判断 s 在这两个区间当中的某类区间里，他有没有零点的问题，那么这个时候我们应该需要对这个函数求导，我们利用导数去分析一下， 那么取完枣之后呢，他是得这个，对吧？得这个呢？现在我们观察一下，观察一下，说这个函数啊， 呃，是导航，是不是他，那么当 a 小于零的时候，咱们这个导航是显然是单调递增，这能看出来，是吧？那么他要是单调递增的话，那么我们现在看，我们看哪个区间呢？我们可以看这个或者是这个，那么如果看这个区间的话，那么导航是单调， 那么这个导航数的职业应该小，把零带上之后，他应该小一，对吧？那么在在这个区域上导航数小一，那么小一呢，也可能小于零，所以说呢，这个导航数呢，在这个区域上可能是有证有负啊，那这样一来的话呢，那么呃，这个 这个函数呢，那时候在负一到零呢，可能有根点，对吧？那么我们再看看这个函这个区间，当 x 在零到正不穷这个范围内的时候，那就说 他不单到地灯了吗？我们就得到啥呢？我们就得到了，把零带下去之后呢，他正好得一，所以说把零带下去正好得一的话呢，那么当 s 大于零的时候，是吧？ 当 s 大于的时候，这是在 s 大于的情况下啊，那么 大龄情况下，那么这个倒函数是正的，这说明啥呢？说明啊，这是 us 啊，在零到真无形这个区间上，应该是改造金增啊， 所以说呢，那么 ux 啊，就应该是大于啊，幽灵，那么把幽灵带上之后，我发现他正好等于一加上 a 啊，一加上 a， 那么做到这一步呢，我们很明显看到，如果当这个 us 的最小值要是大的那个人的话，那么 这个和数是吧？在零到真无雄这个区间上也是没有零点，对，对吧？所以说啊，当一加上 a 大于等于零，是吧？记， 当 a 大于等于负一小于零的时候，因为在 a 小的情况下，这十号这个时候呢，他的宝函数应该是大于零等于零，对吧？ 所以说呢， f x， 嗯，在这个区间上，他应该看到底子，所以说呢， f x 那就大于 f 零， f 零的账号对人衡成立，所以说呀，当 a 啊，在这个范围内的时候， 那么也不满足条件，对吧？所以说呢，负一小于代理 a 小于这种情况，也应该把它舍掉。所以说呢，我们 经过分析讨论，我们发现啊，这个 a 有可能比负一小，那么这是第二种情况，我们再看一下第三种情况啊，第三种情况啊，当 a 小与负一的时候， 那么根据我们刚才的分析看，那么我们就考虑他的导函数，在负一人和领导政务权上各有一个零点啊，也就是说这个函数啊，各有一个零点， 我们是不是就可以得到这样一个结论呢？我们需要说明一下，当 a 小于负一的时候，那么这个倒函数显然是当 x 啊， 当 x 大于零的时候，那么这个导函数啊，显然是正，对吧？这个导函数正，那，所以说呢， 这个函数在零到正无穷这个区间上是单调递增的啊，又因为我们把它把零带去，把零带去之后呢，发现他等于是一加上 a， 当一小于负一的时候呢，那么这是比零小， 那么我们再带一个纸巾，我们带一个一进去啊，带了一进去之后，他正好等于一一呢，是比零大，你看，所以呃，存在 x 零在零到一，也就是零到正无形这个范围内的时候， 呃， us 零正好等于零啊，那么 us 零等于零呢，我们就得到啥呢？得到这个 x， 在 啊，零到 x 零这个范围内的时候，这个 ux 是小育人啊，也就是近 f 导数应该是小人啊。然后呢， x 在 x 零到正无穷这个范围内的时候，那么 ux 呢，应该是大一点啊，也就是记 他的导函数应该是大一点，所以 fx 在 零到 x 零这个范围内的时候，应该是单调递减，在 x 零到正中求这个区间的时候，是单调低温，对吧？呃，所以啊，这个 x f x， 那么根据这个图像看，又 fx 就说这个待到地点，那就说 f 零，对吧？应该是这个大于啊， f s 零，对吧？跟到地点吗？是吧？那么 f 零呢？正好可以零，是吧？记 f x 零是小于零，哎， 那么小于零的话呢？我们看，那就说明 fx 啊在零到 x 零这个范围内啊， 在零到 x 零这个范围内啊，是不可能有零点的，对吧？实际上这个 x 就是，呃，这个零，对吧？不可能有零点，那么我们再看，我们再验证一个问题，验证个啥呢？就说又因为 s 零没有变，那我们还验证谁呢？我们再找一下，就说是比 s 零大的，只是看看能不能找到这样一个点，对吧？找到这样一个点，那么我们看怎么去找这个点呢？我们可以通过极限的思想，实际上可以看出来，当 s 曲项正不行，是 s 曲项正不行， 但是呢，我们可以把这个点找到，这个怎么找？又因为用放错法，又因为 fx 等于 e 加上 x 啊，再加上 a 乘上 xe 到负 xb， 他显然应该是大于， 这个是不是比一小啊，对吧？这个比一小啊， x 除以一的 x 肯定是比一小了，他比一小呢？我称上一个 a， a 是个负的，对吧？所以说他， 他应该是大鱼，是不是应该大一盘这把放色，因为他比例小， 两边乘上 a， 他就应该是大于，然后呢，我利用他大于等于零，所以说我们可以得到 这个 x， 一加上 x 应该是大等于一的负 a 四 m， 所以说 x 应该是大等于一的负 a 四 m 再减去一，这个显然是比零小，他，对吧？他是不是比零小啊？ 啊？比零大，比零大，因为 a 是负的，他显然是比零大，这个是比零大，那么他比零大呢？我们实际上就是找不到什么的，所以说就有 i e 的负 s 密，再减去一，他肯定是大一点，所以说呀， f x 在，嗯，零到正无穷上有归一的零点， 对吧？所以说当一小学负一的时候，我们已经正处 fs 在零到正中学上有唯一的零点。现在我们在证明，当一小的负一的时候，在负一到零这个区域上， f 也只有唯一的零点啊，就可以了。 呃，刚才的证明说，当 x 大于负一小于零的时候，我们在证明是 fx 在这个区域上有为零点啊。当 x 大于负一小于零的时候呢？那么这个导还是 数还是单调第三，对吧？我们可以把它看看导人数，把这个负一代去啊。导完数负一代去之后呢？他应该是等于什么呢？等于一的负一四方，是吧？然后再加上二 a 是吧？ 再加上二位，那么一的负一的方加上二一啊，这个数显然是比零小啊，这个不用补数，因为 a 小就会移动，对吧？显然是比零小，那么我们再看， 再把这零带去啊，把零带去之后呢，他得一的零私密啊，可以一啊，这个是比较大，所以说啊，啊，存在微一，存在 s 一，在负一到零这个范围内，实则 这个导函数啊，因为导函数可以，所以说呢，这个导函数啊， 啊，这个档是吧？在，呃，在负一到 x 一这个范围内的成绩，他应该是为负，是吧？ 然后呢，在 x 一到零这个范围，应该是为正，所以说呢， ux 在 负一到 x 一这个范围内，应该是单的递减，在 x 一到零这个期间上，应该是单的递增啊，所以说呢，这个 ux 应该是小 玉幽灵，看，对吧？而幽灵呢，我们看，应该等于什么呢？把幽灵带下去，应该是等于是一加 a， 是吧，一加 a 呢，应该是比零小，哎， 所以说啊，那么当 us 小于幽灵哈，那么 use 啊，是 us 一小幽灵啊， us 一小幽灵，那就说明啥嘛，说明是 us 在这个区间上啊，不可能有零点，对吧？ 那我们再看这个啊，又因为又负一，把负一带去啊，把负一带去之后，他应该是等于一的，负一次命，他显然是比较大。 说一说，一定是存在 x 二啊，属于谁呢？属， 属于是负一到 x 一这个范围内，对吧？呃，负一到 x 一这个范围内，嗯，因为是负一大人嘛， s 一小人嘛，嗯，实得。 呃，十得啥呢？呃，十得 us 二半截这地方， 呃，所以啊， ux 啊，在负一到 x 一这个范围内，他应该是 啊，在 s 二反应不到 x 二的范围内，应该是为为证啊，为证。然后呢，是在 x 二啊，到零的 这块地应该是为酷啊，他图像啊，大概就是这样啊，你看啊是什么意思？就是这么个意思，哎，这是 uf 啊， 啊，这点呢，是 s 二啊，这个是 s 一啊，这个是零啊，出墙大卫这么个意思啊， 呃，那么我们再看，我们再看，呃，所以说呢，也就是说呀，导函数啊，在负一到 s 二的范围内，他应该是为证，对吧？ 然后呢倒函数在这个区间上是破解， 所以说 fx 呢，在数一啊，一直到哪，从从数一一直到 呃， s 二，他应该是单到第三，对吧？然后呢是 s 二到零，他应该是单到第三， 呃，所以说呢， f x 二应该是大于一个 f 零，对吧？ f m 四二 大于 f 零 f 零，这说明啊，说明啊， fl 在这个区间上不可能有零点，那么我们再验证一下，哎，就是这个 s 二是吧，这个就是 s 二， 那么 f x 二大于零呢？我们需要看大 s 趋向于负一的时候啊，这个函数 f 显然虚向于负重，但是我们找一点，这点怎么去找呢？我们就放作法，又因为 f x 啊，等于 加上 a 乘 f c e 的负 s d， 他应该是小于谁呢？他是小于，这个 他为什么小于？他在给我说明啥话呢？这个 x 乘上 e 的负 x 是密啊，我们在当 x 大于负一小二零的时候啊，他的最小值是负一，这个我们可以，嗯，驱动出来，他的最小值是负一的话呢， 那么 a 是负的，那说明他应该喜欢这个狮子啊，喜欢这个狮子，你可以求一下 s 乘以的负 s b 啊，他最小值负 e 啊，当 s 再负一个零这个范围内的时候，这样一来的话呢，那么我只要让他小月港里人就可以了， 小点名的话呢，我们起不来，那么这个 x， 那就是一加上 x 呢，应该是小于等于 e 呢？ ea 四 m 啊，然后呢，我们把一移过来，那就是那叫啥，那就是 x 小于一趟啊， 这是 f 小点它，那么这个时候啊， fe 的 ea 次密再减去一，它正好是小一点，而且呢，这个数呢，显然是比零要小 九，对吧，因为 ea 是负的，对吧，显而比例小，所以说呢，这样哈，我们就找到啥呢？找到啊，就说是另外一个点，嗯，他比零小，所以说 fs 呢，在负一到零这个区间上也有 v 的顶点啊。 哎，这就是刚才啊，我把这个题啊啊进行了这个解析和讲解。呃，我的整体思路是这样，就说，首先呢，我们先对这个韩式的图像进行分析， 主要是抓住他过远点的特点，然后呢，我们再考察这个图像啊，当孩子去向正无穷，说去向正无穷，当孩子去向复习说他去向富无穷， 而且又经过原点，而且呢，这个行业图像，而且在这两个区间上各有一个焦点，那么这个时候呢，我复习成啥呢？这个行是导函数，在复习和联合和领导政府群众应该各有 一个变号零点，所以说呢，我们对他进行求导，然后呢，我围绕这个导栏数，在负一道联合零道正无穷这个圈上有无零点这个问题啊，对 a 进行分离讨论 啊，这就是我对这道题的解析啊，当然这个题是不是还有其他题的办法，你比如说能不能令他本野人分离常数啊？分离常数看可不可以，或者是 呃构造这个双函数啊，然后做叉再进行考虑。你得说的六大白眼睛是吧？六大白眼睛之后呢？然后两边称上一点 s 四 b， 这样的话呢？构造双人处，因为这是 as 嘛，他是表示一条直线。嗯，通过这个角度看看看能不能呃把这个问题解决啊。嗯，这个我也没有进行探讨，希望听众和同学们。嗯，有时间的时候呢，自己再研究一下啊。我的讲解仅供同学们参考。好。

真的是太离谱了，这就是想让大山里的孩子走不出大山。这是今天语文作文题目公布之后的很多的热门评论。我们来看一下今天的作文题目啊， 什么红楼梦啊，围棋啊，奥运啊。猛的一看，我也有点懵。你说这些题目难不难呢？我觉得他确实不简单，但是大山里的孩子真的就无从下手吗？咱们就拿讨论最广泛的红楼梦这个题目来说，这其实就是一个常见的材料作文而已。 很多人只是被红楼梦的影子所唬住了，认为我连红楼梦都没读过，我怎么会写这篇作文呢？实际上，并不是所有城里的孩子他都读过红楼梦，也不是说所有大山里的孩子都没有读过红楼梦。 红楼梦他作为中国古典的四大名著之一，其实对于城市和农村来说，他的接受度并没有那么大的一个差距。这其实就是高考出题公平性的一个 体现。你要说是什么飞机呀，轮船呀，你说农村的孩子没有见过，这个咱还能接受，但你要说四大名著，他在城市和农村的可驻达性是一样的。所以请不要怀疑高考本身的公平性。但是呢，也不得不说，现在的高考题目是一年比一年的难， 题材呢，也是一年比一年丰富，要求孩子的思变能力也一年比一年的高。这就需要我们不仅仅是做一个课内知识的积累，还需要我们去了解历史，了解实事，了解社会。 但是这不正是一个进步的体现吗？国家在进步，文化在进步，这难道不是好事吗？所以最后我想说，高考对我们的要求的确是越来越高了，是对所有人，而不是对某一部分人。

二二年全国医院的第七题是被吐槽了无数次的一道题啊啊，放在这个位置本来是应该让大家这个体面而又有尊严的做出来是吧，但实际上来讲却让广大考生颜面尽失啊。我觉得这是这张卷子最大的一个败笔啊，还是非常难搞的哈，你来看一看啊，比较大巧啊，也是常见类型的题，但是他会非常难啊。 这个题的话呢，你去比较的时候，你发现怎么都不好弄，你构造函数可能也要想一会啊，常见的放缩也不太好弄啊，唯一的就是可能闭合息好弄一点点哈， 比如说你看到这个 c 的话呢， c 是等于这个负的，把这个负号弄进去啊，零点九分之一吗？那这个结果就是一个九分之十啊，乱九分之十。好吧， 那我们利用到什么呢？利用到这个常见不等式的话，让 xr 是小于这个 s 减一的啊，小于等于二减一，但是取等的条件的话呢，是二等于一的时候，对吧？所以这个地方的话呢，你看他肯定会小 一个九分之十，再减去一个一啊，这个结尾是九分之一啊，那这个的话是等于这个 b 的，所以的话先小于 b 啊，这个是可以令到我们常见，这个就平常就讲过这种是吧，但接下来就异常变态了哈，你去比较他们的时候啊，就跟 a 牵扯到一起，就是非常的难搞啊，如果你想到构造函数，我们先想这个哈， 你看怎么去构造呢啊，我们可以这样子哈，你看，哎，构造的时候我们根据这个结构哈，你看这些我们都可以让什么呢？让你的这个构造，那个韩商的 x 都取零点一的时候，这这样一种方式去构造，所以 a 的话呢，我们应该享受的构造是这个 s 乘以一的 s 次方，对吧？ 像这个 b 的话， b 怎么想的呢啊？ b 的话跟零点一长关系，零点一除零点九吗？啊？那这个的话呢，零点一啊，这个零点九可以写成一减零点一吧，所以它的构造方式可以是 x 除以一减 x 啊，像 c 的话呢， c 的话是这个零点九，零点九的话，我们可以写成负的这个 lone 的一减零点一哈，这样话， 他这个结果其实可以写的是这个一减零点一分之一哈，所以他构造的时候你可以构造成什么乱一，这个意见 你减个三分之一啊，这构造你要想一会啊，当想出来之后的话，你可能在比较他们这些关系的时候啊，然后比如说我们比较这个 a 和 c 的关系的时候，你可能这两个还是要做差，然后求倒等等的，你看才是第七天位置都要这样去搞了，对吧？而且这还没完呢，你还要比较 a 和 b 啊，是吧？相当之变态啊，我们这个就不说了哈，正常你去比较比较啊，就 比较难，对吧？那有没有简单方法呢？有，但是超高，因为什么呢？用太大展开，太大展开的话，如果你知道说哈一打四次方，其实我们平常的当中的话呢，是他大概就是一一加 x， 平常是说他大一点一加 x， 但这个还不够啊，这道行用这个是不够的， 你要再往后多一个，你只要会多写一个就够了，就是 s 平方吹这个二的阶层啊，再加上一个，你看 s 三次方，再吹三的阶层 一直加，加到这个 s 的什么呢？中间省略哈 n 次方，然后再出于这个 n 的阶层啊，再加他还有一些鱼像哈，这个鱼像我们就不带写了啊，这大学里面你会学哈，你通过这个式子的话，你可以去估算一下这些纸，好吧，当然的话，其实我们看了这么多，我们用不了那么多，我们只用到这就可以了啊， 比如说大家可以看一下这个零零点一乘以一的这个零点一次方啊，大概的话，就约等于选约等于零点一啊，乘以这个一的零点一次方。按照这个式子带前三项哈，就是一加零点一哈，再加上一个这个零点一的平方处于这个 二的阶层，二的阶层就是二吗？对吧？大概是约等于这个数，后面我们就不写了，好吧，然后我们可以把这个数算出来的话呢，是零点幺幺零五，大概是这样一个数啊，这样一个数的话，他肯定是小于这个九分之一的啊，九分之一是零点一来循环哈，那这个你看 a 小一比，所以这样的话就可以选出来是 c 了，对吧？但是的话，你会发现他用到什么，用到特点展开啊， 这个考法有点过分。好吧，这个题告诉我们什么呢啊？告诉我们这个出题型脑子有病是吧？再就是我们在做的时候啊，你遇到遇到这种位置的题，这么恶心，这么复杂，你不要这个方寸大乱是吧？ 平常你看做题的节奏非常重要啊，你不要因为这道题啊，音小师大耽误了很多很多时间，该跳就要跳，好吧，这个平时训练的时候一定要有这种原则啊。

二二年全国乙卷数学第十一题单选精线两个答案。宁愿相信自己错了，也不承认是题目的问题。

大家好，我们一起来看一下全国以卷的选择题的压轴题，非常好的一道题。以之函数 fxgx 的地域均为二， 且 fx 和 gx 之间有这样的一个关系，若 y 等于 gx 的图像。关于直线 x 等于二对称，且 g 二等于四。让求伊布希拉姆， i 等于一到二十四， fk 等于多少。那么这个题我们用拆题法的思路来给大家分享。 首先我们就需要拆目标，那目标是让我们求这样一个求和一不起来吗？ a 等于一到二十四， fk， 那么将它展开，其实就是让求 f 一加上 f 二， 一直加到 f 二十四。那么我们前面就说过像抽象函数求值的问题，逢是大数值的，或者是多个函数值求和， 很容易会将抽象函数往周期函数上面去考虑，不然我们要一个一个的算出来，这显然不是出题人的意图。那么第二个，既然要求 fx 是一个周期函数，我们就看他是如何求助他的周期。 那么根据题目给出的已知条件，我们要求 y 等于 gx 的周期可能更容易一些，因为题目给到的条件当中的信息更多的是有关于 gx。 那我们看看如何来求出 gx 的一些相关信息。首先通过 fx 和 gx 这两个函数关系是 fx 加上 g 的二减 x 等于五， 那么 gx 减去 fx 等于七。将这个式子整理一下，就得到有关于 gx 的一个函数关系事业，就是 gx 加上 g 的二减 x 等于十二。那么由这个我们就可以推出 gx 的图像。关于点一六对称，这个其实很容易理解， x 一加上 x， 二比上二 等于一，那么 y 一加上 y， 二比上二等于二分之十，二等于六。所以它的图像关于一六点对乘。那么再看第三个信息，题目又说 y 等于 gx 的图像。关于 x 等于二这条直线乘轴对乘， 且 g 二等于四， g 二既然等于四，我们带的这个关键是从将 x 用零带入 g 零加上 g 二等于十二，我们就得到 g 零等于八， y 等于 gx。 关于点对称，关于直线 对称，那么他一定是个周期函数。我们就可以将 y 等于 gx 的函数大致图像给他画出来。这个点是一六点，这个是 x 等于二这条直线。很多同学不知道这个图应该怎么画，我们根据题目给出的意思，你看看 g 二这个点等于四，那么这个图像有关于一六点对称， 我们就可以就画出他一到二这一段的图像，就是一到八，这里得到既零点为八，那么这一段又关于 x 等于二这条直线成轴对成，就画出这一段。 这一段整个的又关于点对称，又往右画，就是点对称，轴对称。这样来回的画可以画成这样的一个连续曲线。像这道题也可以画成这样的折线。 通过图像我们很容易看出 gx 的周期为四，这一段到这一段他的周期为四。又因为 gx 减 fx 等于七，那么我们就推出 fx 等于 gx 减去七。 既然 gx 是周期为四的一个图像，那么 fx 的周期应该也是四，就是在 gx 图像上向下平移七个单位。那么现在要求 fx 一到二十四，你们就求他一个周期的就好了。首先看 f 一，那么 f 一就是等于 g 一减去七。 我们对照这个点记一是等于六，六减七等于负一。再看 f 二等于记二减七，那么记二是等于四，四减七等于负三。 再看 f 三， f 三等于 g 三减七， f 三又是等于六，六减七，等于 负一。再看 f 四， f 四等于记四减七，也就是八减七等于一。 那么我们再看看 f 一加 f 二加 f 三，加上 f 四，将这四个数值带入等于负四，那么它以四为周期。二十四个函数制的和 fk 就等于六，乘以负四等于负的二十四。 那么对照选项，这个题就选 d。 这个题道理就解完了，回头我们看一下。通过拆目标，拆条件，最后结合函数的图像，我们得到要求的 fx 的二十四个函数值的和为负二十四。 那么对到解题王当中给大家总结出来的命题点，我们看看这个题到底考了什么。那么这个题之所以说他出的非常好，就是将抽象函数的信 考察的淋漓尽致。一个抽象函数的周期，第二个对称中心，第三个对称轴。同学们如果是对教材当中有关函数，那一张抽象函数的性质足够了解的话， 借助函授头像很容易的。像这类题不是特别难。好，这个题就给大家分享，在这里让我们一起做更少的题，提更多的分。

大家好，这是今年全国已卷的第十一题，这道题的争议比较大，那么争议的点在哪呢？ 双曲线 c 的两个交点分别是 f 一 f r， 以 c 的十轴为直径的圆，记做原地过点 f 一做 d 的切线交双曲线 c 圆 m n 两点， 且考三应九 f 一 n f 二等于五分之三九。双曲线 c 的离心率 有 abcd 四个选项，那么我们要求离心率。首先过点 f 一且和原地相切的直线与双曲线有两个交， 那么这时候我们就要考虑两种情况，第一种情况，那就是这条直线他和双曲线的两只各有一个交点， 那么另外一种情况就是这条直线他只和双曲线的其中一支有两个焦点，那么这两种情况他能不能都成立呢？我们先看这条直线他和双曲线的两支各有一个焦点的时候， 那么过 f 一且和原地相切的直线与双曲线的两只各有一个交点，分别记做点 n 和点 m， 那么这条直线他和原地相切。 这个缺点我们去做 a 点连接 da， 那么 da 他和 mn 就是垂直的， 而这个 da 的长就是 a， 因为原地他的直径是双曲线的十轴，也就是二 a， 那么他的半径就是 a， 所以说 da 他就等于 a， 而 d f 一他等于 c， 是双据线的交距， d f 一等于 c， 而在双曲线中， a 方加 b 方 是等于 c 方的，所以说 a f 一，它就等于 b。 现在我们知道这三个线段，那么表达出这三个线段以后，我们怎么才能求出离心率，也就是 a 分之四的值， 要求离心率，现在还知道角 f 一 nf 二，也就是这个角，他的余弦值是五分之三， 那么既然知道一个脚的余弦直，我们就要把它放到直角三角形中来看， 那我们就过点 f 二做 f 二 b 垂直 mn 与 b， 那么在直角三角形 f 二 bn 中， bn 比上 n f 二，他就是三比五，那么 b f 二比上 n f 二就是四比五。 现在我们怎么表示出这三个线段呢？ da 和 f 二 b 它是平行的关系， 而点地是 f 一 f 二的终点，所以说 da 比上 f 二 b 就是一比二，而 da 是 a， 所以 f 二 b 就等于二 a， 那么 f 一 a 比上 f 一 b， 他也是一比二的关系，而 f 一 a 等于 b， 所以 f 一 b 就等于二 b。 而在这个直角三角形 b f 二 n 中， b f 二比上 n f 二是四比五， bf 二以上 nf 二等于四比五， 而 bf 二，他又等于二 a， 所以说 nf 二，他就等于二分之五 a， nf 二十二分之五 a， 而 bn 比上 nf 二，又是三比五 bn 比上 nf 二等于三比五，那么 bn 就等于二分之三 a， bn 等于二分之三 a f 一 b 等于二 b， 那么 nf 一就等于 二 b 加上二分之三 anf 一等于二 b 加二分之三 a。 而在双曲线中，双曲线上的点到两个定点的距离之差的绝对值是个定值，而这个定值就是二 a， 所以说 n f 一减去 n f 二就等于二 a， n f 一减 n f 二就等于二 a rnf 一是二分之三 a 加上二 b， 再减去二分 至五 a 等于二 a， 那么这个式子我们就得到，二 b 等于三 a， 二 b 等于三 a 四 b 方就等于九 a 方， 四 b 方等于九 a 方，那么 b 方就等于四分之九 a 方， b 方等于四分之九 a 方，而 a 方加 b 方等于 c 方， 那也就是 a 方加上四分之九 a 方就等于 c 方， 那么四分之十三 a 方等于 c 方， a 方分之 c 方就等于四分之十三。 a 方分之 c 方等于四分之十三，那么 a 分之 c 就等于二分之根号十三， a 分之 c 是二分之根号十三。离心率一就是二分之根号十三。那么这道题就应该选 c， 下面我们再看第二种情况，他能不能成立。

二零二二年全国已卷理科第十一题双曲线 c 的两个焦点为 f 一 f 二，以 c 的实轴为直径的圆，即为 d。 过 f 一做 d 的切线，与双曲线两只交于 m 两点，且口在角。 f 一 n f 二等于五分之三，求双曲线的离心率。 那么这里边咱们要求离心率，实际上就是建立 abc 之间的一个关系，是不是啊？那这里边呢？我们根据所给条件，首先画出图形， 这是以这个圆呢，是以十周为直径的圆，那就说明这个圆的半径就是 a。 过 f 一做这个圆的切线，交两只于 mn 两点，那这里边咱们是 实际上需要判断一下 mn 谁在左边，谁在右边，怎么去判断呢？我们根据后边的一个口塞值，他是正，就说明这个角是锐角， 那角是锐角，显然这个 n 点应该在右侧，才能保证这个角是锐角。如果点 n 在左侧的话，那么这个时候 fenf 二十个钝角，他的预选值就应该是负的，是不是？所以我们确定 m 在左边， n 在右边， 那这个时候呢，接下来咱们看这里边有相切条件，我们设切点，假设为 p， 那么连接 op， 这是垂直的 op， 这个边就是 a， 然后 feo 是 c， 那显然根据个股定理，这个 p f 一，这个边长就是 b， 那么我们再过 f 二，做这个期限的垂线，适合垂出时 q， 由于 o 是 f e f 二的终点，那么这里边显然 o p 是这个中卫线，是吧？ o p 是这个三分的中卫线，那么这个 q f 二就应该是二 a， 然后这个 p q 呢，就等于什么 p f 一，所以这个 p q 的边长是 b。 好， 那接着我们再看这个三角形 nqf 二，正好现在也是直角三角形，我们根据这个口算值等于五分之三，我们不妨设这个鞋边是五 x， 那么这个 nq 就是三 x， 是吧？ nq 是三 x， 那么这个 q f 二是不是就 是四 x， 对吧？好，那因为这个 q f 二是不是现在应该等于谁？等于二 a？ 二 a 等于四 x， 所以我们就得到 x， 是不是就应该等于二分之一 a， 那么 x 等于二分之一 a。 知道之后，那么 q n 是不就是三 x 就是二分之三 a， 然后 nf 二， nf 二呢？就是五个 x 就是二分之五 a。 接下来我们根据双曲线的定义，因为 n 点在双曲线上，根据双线定义， nf 一减去 nf 二，是不应该等于二 a 啊？ nf 一是谁啊？ nf 一，他是个 b， 加 b 再加上 qnqn 是二分之四 qn 是二分之三 a， 那就是二 b 加上二分之三 a， 减去 nf 二， nf 二是二分之五 a， 他应该等于二 a， 那这里边呢？我们看整理一下，二 b 就等于这是三 a， 也就得到 a 分之 b 等于谁啊？二分之三，那么我们知道双曲线的离心率，他应该等于根号下一加上 a 方分之 b 方， 是不是就等于刚好下一加上四分之九，也就是刚好下四分之十三？记二分之刚好十三。正确答案选择 c。