2022全国乙卷数学11题出错题回应

高考中的单选题是否可以多选？这个问题真的不好回答，因为高考太权威了，即使算出两个选项，也只能怀疑自己算错了。截止目前全国已卷的第十一题，我算出两个选项，但是心里面一直没有底，等待官方的回复吧。

大家好，我是刘老师。今天呢，特别巧的是，数学场上我刚好监考到我认识的一个同学。当然呢，全程那是我交流的，他之前跟我说数学大概能考九十分左右，我让他好好努力复习， 考试下来呢，他很失落，看他情况最多也就是能考五六十分，在我们那考场里边，有些艺术生基本上卷面都是白的。看来今年的数学是非常难的。 那么数学难就意味着什么呢？就意味着我们今年的分数线可能会下降。 所以说，天下乌鸦一般黑，我们不要把这个精力再投到数学上，要把时间和精力放在接下来的考试上啊，不要太焦虑，调整好心态，迎接下一场考试，好好准备吧，加油！

二零二二年全国已卷理科第十一题双曲线 c 的两个焦点为 f 一 f 二，以 c 的实轴为直径的圆，即为 d。 过 f 一做 d 的切线，与双曲线两只交于 m 两点，且口在角。 f 一 n f 二等于五分之三，求双曲线的离心率。 那么这里边咱们要求离心率，实际上就是建立 abc 之间的一个关系，是不是啊？那这里边呢？我们根据所给条件，首先画出图形， 这是以这个圆呢，是以十周为直径的圆，那就说明这个圆的半径就是 a。 过 f 一做这个圆的切线，交两只于 mn 两点，那这里边咱们是 实际上需要判断一下 mn 谁在左边，谁在右边，怎么去判断呢？我们根据后边的一个口塞值，他是正，就说明这个角是锐角， 那角是锐角，显然这个 n 点应该在右侧，才能保证这个角是锐角。如果点 n 在左侧的话，那么这个时候 fenf 二十个钝角，他的预选值就应该是负的，是不是？所以我们确定 m 在左边， n 在右边， 那这个时候呢，接下来咱们看这里边有相切条件，我们设切点，假设为 p， 那么连接 op， 这是垂直的 op， 这个边就是 a， 然后 feo 是 c， 那显然根据个股定理，这个 p f 一，这个边长就是 b， 那么我们再过 f 二，做这个期限的垂线，适合垂出时 q， 由于 o 是 f e f 二的终点，那么这里边显然 o p 是这个中卫线，是吧？ o p 是这个三分的中卫线，那么这个 q f 二就应该是二 a， 然后这个 p q 呢，就等于什么 p f 一，所以这个 p q 的边长是 b。 好， 那接着我们再看这个三角形 nqf 二，正好现在也是直角三角形，我们根据这个口算值等于五分之三，我们不妨设这个鞋边是五 x， 那么这个 nq 就是三 x， 是吧？ nq 是三 x， 那么这个 q f 二是不是就 是四 x， 对吧？好，那因为这个 q f 二是不是现在应该等于谁？等于二 a？ 二 a 等于四 x， 所以我们就得到 x， 是不是就应该等于二分之一 a， 那么 x 等于二分之一 a。 知道之后，那么 q n 是不就是三 x 就是二分之三 a， 然后 nf 二， nf 二呢？就是五个 x 就是二分之五 a。 接下来我们根据双曲线的定义，因为 n 点在双曲线上，根据双线定义， nf 一减去 nf 二，是不应该等于二 a 啊？ nf 一是谁啊？ nf 一，他是个 b， 加 b 再加上 qnqn 是二分之四 qn 是二分之三 a， 那就是二 b 加上二分之三 a， 减去 nf 二， nf 二是二分之五 a， 他应该等于二 a， 那这里边呢？我们看整理一下，二 b 就等于这是三 a， 也就得到 a 分之 b 等于谁啊？二分之三，那么我们知道双曲线的离心率，他应该等于根号下一加上 a 方分之 b 方， 是不是就等于刚好下一加上四分之九，也就是刚好下四分之十三？记二分之刚好十三。正确答案选择 c。

大家好，我们一起来看一下全国已卷的选择题的第十一题，那么这道题网上也有很多的争议，就说这个题出错了，这是一道单选题，但是最后会有两个答案，我们一起来看一下这道题。双曲线 c 的两个交点， f 一 f 二，以 c 的十轴为直径的圆即为 d， 过 f 一做 d 的切线，交双曲线，以 m n 两个点，口三印 f 一 n f r 等于五分之三，我们设了个角为 c， 那么让求双曲线的离心力。 我们看看这个题，还是用拆题法的思路来给大家分享。这个图是我们根据题目的意思画出来的，第一个就是拆概念，同学们要了解的这道题当中的一个概念就是双曲线的十轴，那么双曲线的十轴是参照椭圆的顶点的那个思路，你像另 y 等于零， 那么求得 x 等于正负 a， 也是得到这两个点， a 一 a 二这两个点，那么这个就是双曲线的时轴，那么另 x 等于零的话，这里有个 b e、 b、 r 这两个点是它的虚轴， 这是同学们第一个要了解的概念。第二个过 f 一，就是过左焦点做这个圆的切线，交双曲线于两点 m n， 那么口三也 f 一 n f 二等于五分之三，让球这个椭圆的离心力。我们再看看拆完概念之后拆什么，拆目标，看看这个题到底要干什么。 我们知道椭圆的方程， a 方分之 x 方减去 b 方分之 y 方等于一，那么这里的 a 方加上 b 方就等于 c 方，这是双曲线的性质， a 方就是它的实半轴， b 方是它的虚半轴，那么 c 是它的交半径，那么 现在要求离心力 e 等于 a 分之 c， 也就是让求出 a， b， c 这三个数的关系。我们根据题目给出的已知条件，画出这样一个简图，那么过圆地的圆心，我们做 od， 垂直于这条线。 拆图像，我们第一个做 o d， 垂直于 f e n， o d 就等于 a， 那么再过 f r 做 f r e 垂直于 f e n f r e 等于多少？看这个三角形 f e， f r e 和三角形 f e o d， 这个 o 是 f 一和 f 二的终点，那么 o d 就是三角形 f 一 f 二 e 的中位线，那么很容易就得到 f 二一等于两倍的 o d， 那么 f 二 一的就等于 ra。 我们再看在三角形 odf 当中， od 是 afed， 是不是就等于 ba 方加 b 方等于 c 方， ofe 是等于 c 的 fed 其实就等于 b， 那么 fee 这条线就等于两倍的 b。 再看看第二个条件， 口三 inset 就是这个角等于五分之三，那么很容易得到。三 inset 等于五分之四，三 inset 又等于 f r 一比上 f r n， 那么是不是就可以推出 f r n 等于四分之五倍的 f r e f r e， 我们求出是等于 r a 代入的话就等于二分之五 a， 那么 f r n 求出来了 e n， 我们是不是就可以求出来？ e n 就等 等于 frn 乘以口三 ec， 它乘以五分之三嘛，就等于二分之三 a abc 之间的关系就出来了。 en 要是等于二分之三 a， 那么 fe 是等于二 bfrn 要是等于二分之五 a， 那么我们就可以得到 n f 一的长度 n f 一就等于 n 一加上 e， f 一就等于 a e 加上 e 的 fe， en 是等于二分之三 aefe 等于二 b 就加上二 b， 现在 nfr 也知道 nfr， 我们这里求的是二分之五 a， 那么再根据双曲线的定义，双曲线的一点到两个交点的距离差是等于十轴， 那么既有 n f 一减去 n f 二等于二 a， 我们将那个式子代入，也就是二分之三 a， 加上二 b， 减去二分之五 a 等于二 a， 从而求得 a 和 b 的关系， b 就等于二分之三 a， 那么求出 b 等于二分之三 a， 又由这个关系式，我们就得到 c 方等于 a 方加 b 方 就等于四分之十三。 a 方。题目让我们求的离心力， e 是等于 a， 分之 c 就等于二分之根号十三，那么得到的答案就是 c。 那么同学们看一下，为什么说这道题有争议，我们只是求出了一种情况，过 f 一与这个圆相切的 直线与这个双曲线的两边分别相交。那么还有另外一种情况，在这里给大家画个图，同学们自己做一下就行了。就是这样一种情况，这是 f 一， 那么过 f 一做它的切线值与这个双曲线的一边相交，不是与两边都相交，这里是 n， 这里是 m， 这是 f， 那么这个角同学们可以按照这个思路去做一下，那么得到的答案其实是 a。 这个题目如果想严谨的话，那么就是过 f 一做 d 的切线交 c 的那个双曲线的左右曲线分别与 m、 n， 那就只有一个答案了。如果根据题目的表示，我们其实有两种做法得到两个答案，二分之根号五和二分之根号十三都是符合题目要求的，那么这是说这个题确实是有争议的一道题，应该是选 a 选 c 都算对， 就是我们这个题按照拆题法的思路给同学们拆完，那么我们对照解题王给大家总结出的命题点，那么这道题考察的命题点相对比较简单，第一个是双曲线的性质，那么第二个其实相似三角形的概念， 这个是反复给大家强调，就初中当中的相似三角形，经常会跟圆锥曲线的结合，包括跟立体几何当中的图形结合来考察，同学们一定要引起注意。好，这个题就给大家分享到这里，让我们一起做更少的题，提更多的分。

我们来看一下第二零二二年全国引卷第二十一题。已知函数 f x 等于 low in x 加上一，加上 a 乘以 x， 再乘一的负 x， 当于等于一的时候，求 f x 在零 f 零处的切线，求切线的话就是第一个找切点， 第二个是找斜率，第三个点斜。好的，咱们来看一下这个解题过程。第一问， a 等于一的时候，首先我们看一下它变成了什么样子， f x 它就变成了 low in x 加上一， 再加上 x 乘以一的负 x， 然后 f 零，它就等于零，是缺点就知道了，缺点就是零零。 f 撇 x 等于 x 加上一分之一，再加上前倒后不倒，那就是一的负 x， 再加上 x 乘以一的负 x 再乘以负一， f 撇零等于什么呢？就等于一加一等于二，所以 k 就等于二， 所以这个切线就知道了。切线，那就是 y 等于二 x， 这就是第一问。接下来我们来看一下第二问。第二问， fx 在区间负一到零和零到正无穷，各有一个零点，求 a 的取值范围，怎么先求导啊？ f 撇 x 等于 x 加上一分之一，加上一的 x， 上面是 a 倍的一减 x， 整理一下，那就是一的 x 乘以 x 加上一，上面是一的 x， 再加上 a 倍的一减 x 平方。 咱们来分析一下啊，分析一下，这个呢，是正的，这个是正的啊正的。然后是分子啊，子分一分子就可以了， 这个一的 x 是正的，一的 x 是正的，这 x 属于负，一到零的时候负，一到零的时候一减 x 平方也是正的， 所以 a 的正负就可以，就可以那个影响他的分子的正负啊。正负情况。所以我们分 a 大一点零和 a 小一点两种情况。那第一种情况，当 这个 a 是大于等于零的时候，大于零的时候，就是 x 属于负一到零的时候， f 撇 x， 它必然是大于零的。因分子是正的嘛，所以 f x 在 负一到零上为单调递增，那这时候 f x 它就小于这个 f 零，这个 f 零呢？是刚好等于零，刚好等于零。 其实这个地方刚刚开始都要知道哈，这个 f 零等于零嘛，在这里，所以此时此时 f x 在负一到零上无解 不满足，提议咱们来接着看 第二种情况，这个当这个 a 小于零的时候，小于零的时候，因为 x 它趋近于负一的时候，这个 f x 它趋近于负。无穷大， 就又有 f 零等于零。若 若 f x 等于零，在 x 属于负一到零上， 有为一解，则必有 f 撇零是小于等于零呢？如果换成图形去理解啊，就是这样这样的，这个是负一，这个是零，负一就在这样的， 也就是说在这个地方的斜率是小于等于零的啊，小于等于零，那我们看一下它 f p x 哈， f p x， 它的 f p x 在这里，在这里。 那我们知道这个分母啊，是不是正的啊？我们只需要分分析分子就可以了啊，分子，我们可以令， 令什么呢？令 h x h x 它 它就等于一的 x 加上 a 乘以一减去 x 平方等于这么多，那 g g h e 啊 h 零，它就等于什么呢？等于一加上 a 是小于等于零的， 因为 h h x 就是 l p x 一部分呢，小一点零记 这个 a 小于等于负一。然后呢，我们分两种情况进行分析。第一种情况，当这个 a 它等于负一的时候，我们来看一下这个 h x 变成了什么，这时候 h x 他就变成了一的 x， 加上 x 平方，再减个一。我们知道这个东西呢，在领导周围学校是正的哈，领导周围学校是正的。 所以说我们看一下零到五角字母的人，然后就 f x 在零到中午向递增啊，我们研究就零到五九上的这个，这个这个区间里面的。 当 x 属于零到正无穷的时候， h 撇 x 等于一的 x 加上二 x， 这是大于零，所以 h x 在 零到正无穷上为单调递增，那么 h x 它就大于 h 零等于零等于零。所以计 啊，即 f 撇 x 大于零 f x， 因为 h x 就是 f 撇 x 的一部分，那其他部分是正的，所以 f 撇 x 大于零， f x 在零到正无穷上为增， 此时 f x 就大于 f 零等于零。所以当 x 属于零到正无穷的时候， f x 等于零。无解 五减，不符合提议哈，不符合提议。然后接下来我们来看一下第二种情况，当 这个 a 小于负一的时候，小于负一的时候， 我们分两个区间去考虑啊。这个，当 x 属于负一到零，我们先说明这个区间啊，负一到零的时候， 这个因为 h x， 我们先把 h x 给圈出来，就这样，这，哎， h x 不是这样的，就这个把它圈出来。 h 撇 x， 咱们来看一下等于什么哈，等于一的 x 减去二 a x r a x， 呃，为了方便它，我直接记得请二级档不再过多函数了。 h 二撇 x 就等于一的 x 减去 二 a， 这时候大于零哈，说明 h 撇 x 是递增的，知道一个增减趋势再说，再求一下那个两边的临界值啊， h 撇负一，它等于什么呢？等于一分之一 加上二 a， 这是小于零的。 h 平零，它就等于正一，这是大于零的。所以说我们可以把 h 平 x 这个草图呢画出来，但是这个草图非常重要啊，重要，这个呢， 利用画的图像，他就不会迷路了。画出来这个呢，是 h p r x 的图像就长这样，那么这个时候我们就可以写一个存在 x 零属于属于负一， a 到零，使得 h 撇 x 零等于零。接下来你就写下单调性就可以了。这边有一个 x 零啊，这边有个 x 零，写下单调性。当 x 属于负一到 x 零的时候， 它的导函数是小于零，原函数是递减。 x 属于 x 零到零，它的导函数是大于零，原函数是递增。 咱们再把那个零戒指写一下哈，这个 h 负一等于什么呢？等于一分之一，这个是大于零的，这个 h h 零呢？等于一加上 a 是小于零的，小于零呢？然后呢，咱们把图形接着画到右边去哈，这个你可以在这个卷子上不画，但是呢，你在草稿纸上要把它画出来， 这个画 h x 的图像， h x 图像，这个负负一呢，我们写在这里啊，然后 h 负一是正的哈，是正的，然后先减啊，先减。 剪到哪里呢？剪到 x 零这个地方，然后这个地方 h 零这个地方是负的啊，负的在这里， 这图像就是这样的，那这个地方的一个点哈，这个点呢，我们称它为叫 s x 一，哈 x 一。 所以这个时候我们就可以写一下存在 x 一属于负一到 x 零，使得 h x 一等于零，然后接下来就写单调性啊，写下单调性，当 x 属于 属于负一到 x 一的时候， h x 是大于零呢？ g f 撇 x 是大于零的， f x 是递增的，当 x 属于这个 x 一到零， h h x 是小于零的， g f 撇 x 小于零， f x 是递减的，递减的。然后再写一下哈，因为这个 x 它趋近于负一的时候， x 区间于负一的时候， f x 它趋近于负无穷， f 零呢，又等于零，所以它的图像就大致是这个的， 这是 h x 哈，然后这就是 f x 它的图像，这个负一呢？画出来，负一在这里，负一到 x 一， x 一在这里啊，一在这里，先递增啊，先递增，然后呢，增到这个地方之后又减到这个零，减到这个零。所以， 所以啊，此时存占 x 二属于负一到 x 一，使得 f x 二等于零，所以， 所以当 x 属于负一到零的时候，由 f x 等于零，由唯一的结 x 二，也就是这个点啊，这个地方，这是 x 二，就这 啊，这是就是 x 属于负一到零。那接下来咱们来看一下， x 属于零到正无穷的时候，零到正无穷的时候， 因为 h 二撇 x， 它就等于一的 x 减二， a 是大于零呢， h 撇 x 为帧啊，为帧， 所以 h 撇 x， 它就大于。 h 撇零等于什么呢？ h 比零等于多少？这个 h p x 我要画出来哈，在这里， h p x 日比零呢，就等于一啊，这个是等于一，是大于零的，所以 h x 在零到正无穷上 为单调递增啊，单调递增，那 h x 呢，它就大于 h 零啊，这个我们来看一下啊，这个 h 零是 增，是正 f h 零，它等于啥呢？ h 零等于一，加上 a 是小于零的，然后呢，这个 h 一，我们来看一下，等于 e 加 a 减， a 是大于零的啊，就是说，也就是说我们知道啊，在零的正骨球上，它是什么样的呢？是这样的一个东西啊，这样的一个东西啊，划出来 h x 应该是这样的， 这个地方是一，所以咱们就可以写一下哈，那就存在 x 三属于什么呢？属于零到一，使得 h x 三是等于零的，然后完了之后，就立马说一下它的单调性啊，单调性，当 当 x 属于 零到 x 三的时候， h x 小于零， g f 撇 x 小于零，因为 h x 是 f x 一部分啊，那另外几部分都是正的，这小于零 f x 就是递减，这个当 x 属于 x 三到正无穷的时候， h x 大于零， g f 撇 x 大于零， f x 递增啊，递增， 这个地方是 x 三 x 三，那我们就画一下啊，假如 x 三的这里就是先减后撑，我们先写下断断电值哈， f 零 u f 零等于零啊， f 零等于零，那它必然是什么样的呢？必然是这样的，在这个地方等于零哈， 往下面减，减到 x 三这个地方，这个争就是，然后证明 x 三倒车无穷，有一个 x 四这个点啊，是这样的，所以这样，所以此时啊，此时 f x 三，它就小于 f 零等于零，就 f x 三是小一点的。那接下来我要找一个大于零的点，等于找一个大于零的点，这个大于零的点是这样的哈，就是 x 等于一的负 a， 再减个一， 这个 f 一得负 a 减去一，它就等于什么呢？等于 lowing， 一得负 a 减去一，再加个一，再加上这个 f x。 来给你们看一下啊， 这是 e 的负 a， 再减个一，除以 e 的 e 的负 a， 再减个一，就这样。好，这边还有个 a。 接下来我说一下这个点是怎么找到的啊？这个点是怎么找到的？等一会我出一个视频啊，专门详详细细的介绍一下。现在我们就大致的说一下啊，大致的说一下这个是怎么找到的呢？是这样的， 首先啊，首先我们在这个地方已经有一个小一点的点了，小一点的点就来个三，然后我们找一个，再找一个点，就是说我们要把这个函数图像啊，给他放小一点，放小一点，我们找到这个 x 五，找到这个 x 五放小一点，也就是说那原来的函数 是什么样的呢？原来的函数是 f x， 它就等于这个呃， low in x 加上一，再加上 x， 就是 a， a 乘以 x 再乘以一的， 嗯，负 x 就这样的，那实际上就是这样的哈。 lowing x 加上一，再加上 a 乘以 x 除以一的 x， 这样呢，那我们的目的是干嘛呢？我们的目的把那个蓝色这个函数啊放小一点啊，放小一点，所以就是大于 大于这个楼引 x 加上一，再加上这个 a， 你看 x 除以除以一的 x， 我如果把这个东西放小了，那整体就放大了，这个整体就放大了，前面填个符号就变小了， 所以说就可以把它放成这个 x， 所以呢，那这时候就变成了个 loin x 加上一，再加上 a， 他就是让他等于零啊，让等于零，我们就可以得到这个 x 呢，实际上就等于一的辅 a 脂肪再减个一，那这个时候呢，如果 x 取这个他他他这个原来原来的值啊，必然是正的啊，原来必是因为原来的值，原来的图像在这，我们放小这个图像的上方， 上方，所以说我们就可以找到了这个点了啊，找到这个点，找到这个点之后呢，就得到这样的一个东西，这样东西得进行放缩呀，要大于 low in 一的负 a。 算了，这个是写着红色的啊，解析写着红色的，这边是分析啊，分析不要体现在卷子上这个东西。 这这这个等于什么呢？这个就等于负 a 啊，这个是负 a 加上 a 乘以啊，看 a 乘以什么？这个是一的负 a， 再减个一啊，这应该就是大于了哈，大于了，然后咱们就把分母给放小了，一的负 a 再减个一， 分母放小了，整体实际上对前面填个缝嘛，实际上也就是放小了，然后这边是一嘛，所以他就等于负 a， 加上 a 刚好等于零啊，所以，所以这个 x 五实际上就是一的负 a， 脂肪减一， 所以存在 x 四，它属于什么呢？属于 x 三到什么呢？到一的负 a 减去一，这个地方死得 f x 四等于零啊， f x 等于零，所以当 x 属于零到正无穷的时候，存在唯一的四手减， 唯一的是缩减， 然后就中上所述哈，中上所述， a 小于负一的时候，他们两个区间各存在 v 的速度线就可以了。好，这就是第二十一题吧，二十一。