二次函数导入趣味故事洋葱数学

话说二次函数的江湖中有两个风云人物，万能通用的一般式和能直接得出顶点坐标的顶点式。实际上在这两位大哥身后，还有个尚未抛头露面的神秘小弟，就是二次函数第三种形式， 现在就为你直播他的首秀。不的小弟一出现，立刻就被许多二次函数众星捧月，这就是二次函数的第三种形式，神秘小弟终于摘下了面具。

这个视频的主角是最大值问题中的王牌，最大利润问题。解最大利润问题的方法，关键就是把利润用一个函数解析式表示出来。 如果商场卖给你一件衣服，收你一百块，收入的一百元刨去了进货的成本才是利润。买一件衣服收一百，卖五件就收五百。所以总收入就是商品的销售单价乘以它的销量，总成本就是进货的单价乘以销量， 总利润等于销售单价乘以销量减去进货单价乘以销量，得到总利润等于销售单价减去进货单价的差乘以 销量。这个基本数量关系，就是解决最大利润问题的核心。这有一道典型的调价问题，边读题边看，有什么数量可以对号入座。某商品售价每件六十块， 每月可卖出两百件，如果每件商品售价每下调一元，每月可多卖二十件。哎，这就像个薄利多销问题吗？售价降了，销量会按一定的比例上升，好设的是降 x 元，所以售价应该是六十减 x 元 外呢？还是表示总利润最后进价是四十块，因为是薄利多销，原来销量是两百件，调价以后呢，销量会相应增加，每降价一元，多卖二十件，那每降价 x 元，就得多卖二十 x 件。 这样，在基本数量关系的基础上，把调价后的售价和销量都用 x 表示出来，总利润外的解析式就有了， 售价六十减 x， 不能低于进价四十，因此举止范围就是 x 大于等于零，小于等于二十，化成顶点式就能求出。当 x 等于五的时候，外值最大，最大值是四千五百。

二次函数的应用题里最重要的，而且你肯定会遇到的题型就是最大值问题。之所以这么叫，是因为这类题通常在问，扔出一个物体最高能飞多高？维持一块面积最大能为多大？或销售一件商品最多能赚多少？

提到函数的机器是我们知道等号左边肯定是一个系数次数都唯一的孤零零的 y 等号右边是一个含有自变量 x 的多相式。那二次函数的解析时是 y 等于什么呢？二次二次肯定要有个二次相，某个数乘以 x 的平方。 那后面能不能再加点别的相呢？当然可以，但不能高过二次。所以还可以有一次相和长竖相。那二次函数的通用长相，也就是一般事该怎样写呢？ 其实在这个二次三项式的基础上，把三个系数都换成参数就行了。比如换成 abc， 那就变成了 y 等于 ax 方加 bx 加 c。 注意二次项系数绝对不能为零。因此还要有个质 关重要的条件 a 不等于零。然而有些二次函数并没有三个小，那这是怎么回事呢？ 二次函数 y 等于 a， x 方加 b， x 加 c， a 不等于零。这个里面 b、 c 如果等于零了，那他就会缺点什么， c 等于零，会变成这样， b 等于零时。是这样。 第一个式子就是 b、 c 都为零时的样子啦。虽然残缺，但这些式子只要让 a 不等于零，留好自己的二次相，谁敢说他们不是二次函数啊。那你来看看下面哪个不是二次函数？

y 等于 a， 括号 x 减 h 的平方加 k， 就是二次函数。第二种表示解析式的通用方法， 他不仅和一般式一样通用，还直接指出了顶点的坐标。这条重要信息啊，通常从一般式是看不出来的。 这种形式的解析式就叫做顶点式。顶点式表示的函数图像有什么性质？首先，函数 y 等于 a， 括号 x 减 h 的平方加 k， 可以通过平移 y 等于 x 方得到。 y 等于 x 方呢，也可以看作是顶点式。当 h 和 k 都等于零时的特殊情况，参数 a 照样控制着开口的方向和大小。顶点坐标呢，就是顶点势力的 hk。 顶点的横坐标决定了对称轴的位置，所以是直线。 x 等于 h， 顶点的纵坐标决定了函数的最直。 a 是正数时， k 是函数的最小值， a 是复数时， k 是最大值。 当 hk 都等于零时，我们就有了 y 等于 ax 方这些奇葩的性质。什么时候 y 随 x 的增大而增大呢？ a 大于零时，是对称轴的右侧而在左侧呢？ y、 c， x 的增大而减小。 a 小于零时，两侧反过来，左侧是 y， c， x 的增大而增大，右侧是减小。以上就是顶点式和他图像的性质， 那一般式的图像性质呢？对比着看。首先，小 a 在两种解析式中不仅作用一样，而且就是同一个数。接下来是顶点的位置， hk 换成了顶点坐标公式，自然这会对图像的其他性质产生多米诺骨牌效应，行坐标变成了负二 a 分之 b， 对称轴跟着变成了直线。 x 等于负 r， a 分之 b。 最值发生的条件和函数增减的分水岭也跟着变动，作标变成了四 a 分之四 a c 减 b 方，函数的最值也会更新成四 a 分之四 a c 减 b 方。以上就是任意二次函数的图像性质。

话说离狗蛋最近心情特别好，为什么呀？因为他心中的女神琳达要拉一群朋友一起去游乐场玩，也邀请了他，所以狗蛋喜出望外，心里一直在倒计时。 可到了这天出事了，大家约的九点从学校出发，结果狗蛋头天晚上忘得设闹钟，醒来一看表傻眼了，八点五十，妈呀，还剩不到十分钟，迟到的话让大家等女神也会觉得我不靠谱啊！ 可家离学校三公里远，怎么办呀？走路要花三十分钟，一路小跑也得二十分钟，肯定不行，公交车不算，等的时间也得十分钟也来不及。骑自行车的话，最快速度是七分半， 哎，可车子爆胎了，骑不了老爸的摩托车最快四分钟就能到，可老爸还在睡觉，哎呀，怎么办？怎么办呀？狗蛋正要绝望的时候，救星在脑海里浮现了。 对了，三角军有个喷气式背包，飞起来超快，这点路两分钟就能到哈，不仅不迟到，还能在女神面前从天而降，酷炫一把，我真是太有才了！于是狗蛋就溜进了三角军的屋子里，把背包偷了出来，得意洋洋的上路了。 为了赶这三公里路，狗蛋想了各种行动方式。他们的平均速度有快有慢，所以花的时间都不一样，走路最慢要花三十分钟，平均下来每分钟才一百米，但最快的喷 起背包呢，平均每分钟能飞一千五百米，所以只用两分钟就够了。咱们学过，当速度和时间的成绩是一个固定的距离时，他们就成反比例。同样的路，速度越快，走的时间越短，速度越慢，时间越长。 那除了速度、时间，咱们熟悉的数量关系里，还有不少乘反比例的例子。比如你看下面两对量，哪一对乘反比例呢？ 如果两个量的乘积是个定值，他们就成反比例。长方形的面积是长宽的积，所以答案是 a。 那为什么咱们要重讲反比例关系呢？因为你现在已经掌握了一个新的概念，函数。在变量 x 和 y 的 变化过程中，若每个 x 的值都有唯一的外值与值对应， y 就是 x 的函数。那问题就来了，两个乘反比例的量是不是也构成函数关系呢？ 是的，比如狗蛋赶路，一个速度只对应一个时间，每分钟一百米对应的时间是，而且只能是三十分钟，所以速度与时间就有函数关系。 长方形也是，如果面积保持不变，其长和宽也会构成一一对应的函数关系。 本章的主角呢，就是这种两个成反比例的变量之间的函数关系。反比例函数， 那一个凡比利函数要如何表示呢？他的解析是长啥样呢？ 咱们就从反比例关系出发，假设两个变量 xy 乘反比例， xy 的机固定是一个不为零的常数，咱们设这个常数为 k， xy 等于 k， 就表示了反比例关系。 但函数的解析式，通常左边只有 y， 咱们就两边同除 x， 把式子变形成 y 等于 x， 分之 k， 他就是反比例函数的标准解析式了。 看这个解析式等号，右边是个分式， x 作为分母，不能等于零，但为什么 k 也不能等于零呢？ 想想看，如果 k 等于零，那不管 x 是多少， y 都等于零吧， xy 就不成反比例了，函数也自然不是反比例函数了。于是 我们就有了反比例函数的严格定义。一般的形如 y 等于 x， 分之 k， k 为常数， k 不等于零的函数叫做反比例函数。其中 x 是自变量， y 是 x 的函数，自变量 x 的取值范围是不等于零的一切实数。 哎，有一点要注意，反比例函数表达的只是两个变量之间的反比例关系，不是任意成反比例的数或式子都构成反比例函数。那根据这个定义，你来判断一下下列函数中哪个是外关于 x 的反比例函数呢？ 答案是 b。 这个解析式的格式完全符合定义 k 只要不是零，正负都可以取，选项 a 和 c 呢？错就错在画蛇添足， 把他们写成反比例关系的形式，就会发现成反比例的不是变量 x 和 y， 而是一个变量和一个代数式，所以他们不符合定义，不是反比例函数。 那你再看下列函数中，哪个不是外观于 x 的反比例函数呢？答案是 a， 因为他缺了至关重要的一点， k 的取值范围 选项 b 和 c。 别看表面上不像定义中的格式，但他们骨子里面是 b 的分子，可以整体堪称一个参数，而且因为 k 方加一，肯定不等于零， k 的取值范围没有限制 卷像 c 长成这样，是因为参数 k 是个分数。把柿子这么分解一下，就能看出 k 是五分之三。 解析室完全符合定义。虽然定义明确了解析室的格式，但与 y 等于 x 分之 k 等价的还有两种解析式的表达方法。 第一种就是 x， y 等于 k， k 不等于零，它不仅表达了反比例关系，而且也算解析式的一种。所以像 x， y 等于五三， x， y 等于负，二二分之 x， y 等于七这样的式子也是实打实的反比例函数解析式，不过通常我们还是会写成定义中的格式哈。 第二种方法更奇葩一点，看到例题 愣住了吧。等号右边不应该是分式吗？跟 x 的几次方有什么关系啊？哎， 关键就是负指数密。就像十分之一是十的负一次方一样， x 分之一可以写成 x 的负一次方，所以解析式还可以写为 y 等于 k， x 的负一次方 k 不等于零。 好，反比例函数解析式的三种表示方法都在这里啦，其中还是 y 等于 x 分之 k 当老大是标准格式，其他两种会在特定的情况下用，尽管长得大象径庭，他们表达的都是 x 与 y 之间的反比例关系。 那视频最后咱们回到赶时间的狗蛋，如果你对照反比里函数的定义，把它的速度 y 和时间 x 表达成一个函数解析式，会是下面哪个呢？选项 a 一看就不靠谱，距离三千 是 xy 的，成绩是参数， k 应该在分子上。选项 b 和 c 就差在 x 的举止范围上，哪个更符合实际意义呢？ c 吧， x 表示的是时间，所以不能小于零。函数举至范围历来是实际问题自带的。 com， 在反比例函数这张也不能放松警惕哦。 所以说了这么多，狗蛋最后成功的赶到学校了吗？呃，赶是赶到了，但他也没能和女神一起去玩， 咋回事呢？哎，别提了，喷气式背包跟所有飞行器一样，是起飞容易降落难， 狗蛋落地的时候光顾着耍酷了，没控制好速度，结果当着女神的面摔了个狗啃泥，直接被送去小医院缝针去了。哎，真是个倒霉蛋啊，等下次吧。

用配方法配出来的呗。我去，又要给一坨这么配方吗？非要把推倒求婚公式那一大套再整一遍吗？ 啊，过程类似，但没有球跟公式那么麻烦。三个步骤吧。所以这个就是顶点式了呗。是滴。