什么是罗尔定理

恋爱脑带你学高数之罗尔定理，一个连续区间可导且两端的直相等时，区间内至少有一点的导数等于零。我的意思是，一段爱情中，只要两个人的初心不变， 不管中间有多大波折，都会坚定不移的走下去，有一个好的结果。听懂了吗？

好了，咱们继续吧，这个数二的还剩下最后一道题了，是吧？数二这道卷子还剩最后一道题啊，还是最后一个证明题？咱们看一下这个证明题的辅助函数怎么构造， 还记得刚才的思路吧，复苏函数的构造从哪开始呢？当然这个过程啊，我刚刚写，我下面写这个过程，你都可以作为超高纸上的过程啊，分析怎么来的呢？我先把这个函数里边所有的可以都换成 x， 是吧？换成两倍的 f x 加上 x， f 一撇 x 等于零，然后呢，这个形式呢？这里面有什么？有导函数是吧？有导函数，那么就要想着把它还原回来， 还原回去啊，那还原成两倍的这地方应该怎么是？是多少呢？你看你还原成谁，就哪个函数的倒数得到这种形式呢？ 我说哪个函数的倒数等于他，那这个形式呢？就是很像是什么两个函数乘积的倒数，是吧？两个函数乘积的倒数，那你就想哪个函数的乘积的倒数能得到这样一个结果。 咱们就想啊，那你就想，如果说我令这个 f x 这样写啊，等于还得除以二呀，还得除以二，那就是我就这样写了哈， x 平方乘以 f x， 你看是不是啊？你试一下 x 平方乘以 fx， 它的倒数，试一下 fepx， 看一下它是不是等到等于二 xx， 再加上 x 平方乘以 fxe 撇 他求导是吧？然后呢，这里呢，他等于零，是不是我就可以把 x 约掉一个？约掉一个 x， 是不是刚好这个类型， 你让他等于零，这不就相当于把 x 给约了一个吗？约一个 x 就这个形式了，是吧？所以呢，咱们假设这就比较合适了哈，这是咱的分析过程啊，分析过程分析完之后呢，就是证明过程，咱们从这里开始，那就直接从零大 fx 等于 x 平方乘以 f x 开始，是吧？这地方又到了导函数真的等于零的操作，那你就想到我要使用罗尔 定理了，对吧？要使用罗尔定理，那使用罗尔定理之前，你得验证一下这个函数是不是满足罗尔定理的三个条件，对吧？咱看一下啊，这里呢，这个大函数大 fx 在零在一到二上是不是连续大函数啊？在一到二上 连续很容易满足呀，因为 f x 在一到二上连续 x 方在一到二上也连续，两个函数相乘，一定连续，是吧？然后呢，在开局间一到二内可倒 没有问题啊。那就这时候，那你说一下 f x 大 f x 在这个函数在这个区间上是连续的，在这里是可倒的，是吧？然后呢，下面我要使用罗尔定理，我还得找一下两个端点的函数值，是吧？咱看一下 f 一等于多少啊？ f 一， f 一就是小 f 一，是吧？ f 一是不是小 f 一？一乘以 f 一吧，小 f 一。然后呢，再往下看一下，看这个 f 一 和 f 二的关系是吧？咱看一下 f 一和 f 二的关系啊，他是 f 一，是四倍的 f 二，不是吗？是四倍的 f 二，四倍的 f 二刚好是谁啊？刚好就是啊， 是不是刚好就是这是二的平方是吧？是不是二的平方刚好就是大 f 二，是这样吗？刚好就是大 f 二。他刚才问你那个给你那个等式，就让你构造这个两个端子函数字相等呢， 咱勾搭完之后呢，下面我就可以说大 f x 这个函数在一到二上满足罗尔丁里的三个条件了，是吧？三个条件要逐一去验证啊， 连续很清晰，但是也得说，可倒也得去说两个端点的函数值相等，单独的把它写出来，下面我就直接由罗尔定理出结论了啊。咱们下面你就说由罗尔定理， 大家知道这个罗尔单英文单字怎么写吗？如果你不知道，你就写汉字，哎，你就写汉字，对啊， 就写汉字，那如果你想写英文的话，就这个 r o l l e， 他就叫罗尔，这就是罗尔定理啊， r o l l e 啊，由罗尔定理得什么结论？ 说存在的一点可 c 在一到二之间使得什么成立？记得罗尔定律的结论是不是这个两个端点的函数值相等，他是这样的，中间一定有一点的导数为 零呀？是不是这形式所以一定存在一点可 c 使得大 f 一撇，可 c 等于零，这意思吧，使得大 f 一撇可以等于零，然后呢，你再把大 f 一撇可 c 求出来就可以了。大 f 大 f 一撇可 c 是谁？就是就是这个啊， 两倍的 c c f c c 加上 c c 的平方 f 一撇， c c 等于零四个八， 这不就是 f e p 等于零的原样吗？相当于把这个函数的导数求出来。然后呢？把 ct 带进去，不是吗？是不是？然后呢？这里 ct 我是不是可以约掉一个？因为 ct 在一到二之间， ct 一定不等于零，是吧？约掉一个 ct， 咱们就得到原来这个式子啊。约掉一个 ct 之后呢，就得到了两倍的 f 可 c 加上可 c b 的 f 一撇，可 c 等于零，是这个吧，这不就是要证明的这个圆这个等式吗？ 是不是很清晰啊？你看一下我为什么这样这样去写啊？到这里咱们这个题目就算结束了啊。证明过程，嗯，我把我刚才证明证明过程当中的这一步啊，我这个分析过程， 这个分析，然后右边这一堆是不都是啊？ 可以放超高纸上来完成的？咱们具体的出现在卷面上的就是下面这一部分。证明列有辅助函数，开始验证函数，满足罗尔定理的三个条件，由罗尔定理出的结 说一般不给分，嗯，一般不给分，你没定理他不会给你分的。 哈哈哈，你莫定理，你相当于说没有得分点啊。那你你知道你改卷的时候怎么改？改卷的时候先从辅助函数开始，由辅助函数，然后呢条件定结论， 他扣扣不上呀。改卷子老师如果是仁慈一些，可能会给你一份不仁慈，一分没有，就这种啊，因为他没有，他没有得分点，他是严格的按照上面到这一步几分到那一步几分严格往下扣的， 特别这种这种大考国考啊，他一般情况下他这个分他都非常严格，不会随便给你分了，他怕就怕改错卷子，有人查卷子，这种情况啊，绝对不会给自己留下留下隐患。

f x 在 a 到 b 的 b 区域上， b 区间上连续开区间内可倒，我们又知道了，端点它得相等啊。 b 区间连续开区间内可倒，我们还得端点相等。那我们就说在我们的开区间内，一定存在一个 指可赛，让我们可赛的倒数等于零。 ok， 这就是我们的罗尔定理。那罗尔定理它的证明是由谁争？ 飞马怎么不是刚刚讲了飞马吗？他就是由飞马来做证明。来吧，同学们证明。你想想，我只要看到 b 去街上连续， 只要看到函数在壁纸经上连续，怎么一定要立马反应到函数在壁纸经上连续， 立马有三个最值戒指和零点，所以说以后再看到 b 去加上连续这几个字，我们就立马想到六个字，最值戒指零点。具体能用哪个？在具体题目看吗？是不是？嗯，好，所以肯定存在最值定里 写。因为 f x 在 a 到 b 的 b 区间上连续，所以由我们的最值定理我们可以知道啊，由我们的最值定理得一定存在我们的最大值大 m 和最小值小 m， 一定存在最大值大 m 和最小值小 m。 你去想，如果最大值跟最小值相等，那很明显我里边的导数是不完全等于零，那如果不相等 讨论。所以第一种情况，当我们的大 m 等于小 m 时， 当大 m 等于小 m， 那很明显函数值是不是横等于一个 c 就横等于小 m 吧，对不对？横等于一个长竖，那横等于长竖，我在开区间内和可倒。所以很明显对于任意的可赛，属于 a 到 b 的开区间，我们都能够使到数等于零， 是不是？对于任意的 casai 属于 a 到 b， 我都能是倒数等于零，很明显满足体意，能够得到定力的证明，是吧？可以的 啊。第二种情况，当大 m 大于小 m 时， 当代 大于小 m 是，那大 m 比小 m 大，最大值比最小值要大，对不对？你去想连续，连续的话说明没有这种间断点问题，而且咱还得保证什么端点相等啊？同学们，端点相等， 端点相等，那你想，如果我端点取得最大值， 那很明显最小值是不是肯定在我内部取得，对不对？那如果断点取得最小值，那么最大值是不是肯定在我断点内部取得？ 如果端点既不取得最大值和最小值，那么最大值和最小值是不是都在我的内部取得？所以我不管什么样的情况，我内部肯定是不是有一个最值，有一 最值在我内部啊，肯定是这样的，我不管你怎么样，是不是肯定有一个最值在我内部取得？想想我刚才画图是不是也表示了，哎，所以一定有一个最值在我内部取得。嗯，原因就是因为断点相等，这吗？ 哎，所以我们就知道至少有一个最值在 a 到 b 的开启键内部取得。 哎，至少有一个最值在 a 到 b 的区间内部取得。 在 a 到 b 的区间内部取得。阿静去想我区间内部的最直，我最直是不一定在我淋雨内也是一个最大的或者最小的，所以在我淋雨内是最大最小。所以区 区间内部的最值一定为即止，且区间内部的最值必为即止 啊。区间内部的最最值必为极值。那你想想我们的非马定理，非马定理是不是如果该点是我们的极值，并且导数存在，所以导数等于零，你看是不开区间内都可到，所以每一个点的导数是不是都存在？ 哎，所以又因为，哎， f x 在 a 到 b 的开区间内可倒，你看区间内部有机制，而且我们还可倒，所以由飞马英里德， 哎，由菲玛利尼德一定存在一个 casai， 属于 a 到 b 的开区间，我们就能够使该点的倒数等于个零。 ok， 这就是我们的飞马引力的使用方法。那你看，如果大 m 跟小 m 相等的时候，我内部所有的导数都是零，如果不相等的时候，很明显我一定存在一个导数是个零。所以我不管你最大值跟最小值怎么样，什么情况，我是不是至少有一个可赛在 a 到 b 的开局间内使我们的导数等于零？ 因此最后一句综上，一定存在可赛属于 a 到 b 的开区间，我们就能够使我们的导数怎么样等于零。 ok， 这就是我们罗尔地里的证明。罗尔地里的证明 用了一个最值，用了一个飞马啊，用了一个最值，用了一个飞马去做的证明，没问题了吧？可以了。

同学们好，我是蓝兔兔老师，我们来看这个第三章政治定理中罗尔定理的副传说构造。 那今天我给这个题呢，算是一个通向公式的题，所以，所以我在下面说了啊，通向公式啊，我们看一下说函数 f x 和 g x 在区间 b 区间 a 到 b 上是连续的， a 到 b 内呢，可打 fa 等于 fb 等于零，现在让我证明可存在，可惜属于 a 到 b 是在 f 撇，可惜加上 g 撇，可惜加 f， 可惜等于零。 罗尔定理的题型啊，一般来说都是比较简单的，如果非要说难，那就难在这个辅助函数的构造，那今天我们就根据这个题来教会大家一种方法，叫做烙印法构造复传数。好，同学们，我们来看一下。 首先做一个简单的分析啊，呃，我们知道， 如果给你一个复合函数 long f x 让我们去求导的话，我们会知道它的导数应该等于 f x 分之 f 一撇 x， 这是一个，这是一个在第二张 导数章节就应该掌握的基本内容。那么接下来我们就利用这样一个公式，利用这样一个呃求导后的这样一个形式来推导这个复转数，好他们。呃，接下来的过程啊，接下来的分析过程是在草稿纸上书写，如果是解大题的话，不要在答题去写来分析。 那这道题怎么做呢？怎么去使用乱法呢？记住啊，第一步，我们将这个可惜给它用 x 去表达，换成 x， 那么这个题正啊，就变成了 f e 撇 x 加上 g 一撇 x， f x 等于零，它就变成这个了。好，这是第一步。那么到这里之后呢？到这里之后呢，我们就开始构造刚刚那个形式，哎，就第二步 叫构造 long f x， 来看看怎么构造啊，我们两边同时除以 f x 有多少老师？ f x 如果等于零，怎么管？怎么办？是不是？哎，不用理会， 这是一个分析过程，他也不是解答过程，我们只要得到一个结果就好了。来， f x 分成 f 一撇， 加上 g 撇 x， 嗯，好，那么从而呢，我们就推 出了。看好了啊，我们就推出了，这个是 low， 这个是 low f x， 它的档是不是，哎，它的档加上 g x， 求导。 哎，这就好了。第三步，第三步，其实，呃，这个地方呢？第二步里面呢，我们还需要，还需要加一步啊，这步呢？可以，我可以加到第三步。好吧，我补上一步，比如说合并， 合并在 england 怎么用合并呢？这个是很显然嘛，这个式子很显然，你比如说它的倒数，是吧？你看，先看 g x， 呃，这个 g x 嘛，它可以写成是 in 的， 那不是老用 e 的 g x， 这这个整体不就等于这个 g x 吗？所以这样一换掉的话，我们两个 e 和一求和就变成了 e 的 g x， 这个整体的导数在这里。好，上面就变成下面这个式子了。最后一个第四步， 构造辅助函数， 构造辅助函数大 f x， 我们就另这个大 f x， 等于这里边这部分啊，就等于 相 f 乘以 e 的 g x 行驶就可以了。好，这只是一个正文的过程啊，就是 不是是一个分析的过程，中间肯定是存在一些不严谨和欠考虑的地方，但是这不重要，不重要，重要的是我们把这个辅助函数构造出来，而这个辅助函数是满足满足题目中的信息的，你不管题目中呃，他小 f g， 小 f x 和 g x 什么，必须这样连续开圈内课导是吧？以及有定义的问题。 不管是吧，我大 f x 只要构造出来这个形式之后这个形式满足必须这样连续开区内课导，满足题目中的零点情况，那就不用管了，那你就勾到对了。而至于中间这个地方出现什么小矛盾小问题说不用管。好吧，同学们，那么这个服装中构造出来之后啊，可以说如何对你这个 题就算结束了，来我们一块看一下这个题该如何证明啊？啊，详细的过程呢？应该要说清楚罗尔顿的条件，然后再说有罗尔顿的可得来证明。 现在我们上来就构造你们做的资料书，是不是这样的？上来就构造辅助函数，直接给你一个， 好，给一个，这是大 f x， 是一个新的函数嘛？你构造的等于小 f x 乘以 e 的， 呃，乘以 e 的，我们 g x 形式可以了吧？等于 e 的构造辅传数，哎，等于这样一个形式，那么接下来我们就需要摆清大幅条件了，哎，写 e 值就好了。 那如果说细推的话，老师为什么说将来这个信息，为什么为什么就一直呢？因为他的前面第一张第二张也可以得到的信息啊，对不对？你要详细去说的话说很多很多文字的啊，一直我们 大 f x 在区间 a 到 b 上连续， 好在上面连续在 a 到 b 内刻到。我要的不就这个信息吗？ 且你看啊，且这个大负 a 等于大负 b， 你看好啊，大负 a 等于大负 b 等于小 f a 乘以它等于小 f b 乘它，那不都是零吗？对不对？好了，满足罗定条件是不是？ 满足在并区上连续开区间内刻导端点函数是相同，对不对？一句话，由偶尔定点，可能 有罗尔顿里的，我们自然就存在，可惜在开区内， 使得使得大幅一撇，可惜，等于零。进 好了，求不到吧，那就变成了相。 f 一撇可惜，我们乘以 e 的 g， 可惜，然后加上后面求到前面不变是吧？那个 e 的 g 的可惜，保持不动，还要乘以什么？还要乘多少？朋友们，还要乘以 g 一撇可惜， 然后再乘以 f， 可惜等于零，那么很显然吗？对不对？很显然吗？你看这个式子和这个式子是公共的部分，而且他肯定是大龄的，所以说你就直接说就行了。哎，这也就是 f 一篇，可惜 两边把一的形式给干掉啊。乘以这一撇可惜，乘以 f 可惜，当然零了，证明完毕。好，证明完毕， 你看，就这么简单啊，朋友们。那么对于罗尔顿的题型，关键就是勾到辅传数了，你只要把辅传数勾得出来，那接下来无非就是摆条件硬。罗尔顿里是不是摆条件就是必须让连续开区内，可倒是吧，然后断点函数被相同，然后由罗尔顿里可得就结束了，有什么难的吗？好，我们回顾这个题，看一下， 或者你看一下，那么再看下这个题，你觉得还难吗？就是一个劳动法的构造过程，对不对？那么具体如何构造的？我们在第二个，这个这个方块啊，第二个小黑板已经给大家讲到了，学习这个方法，变为自己的。好吧，那么同学老师，你出了这一道题，我会了，那么以后我变个题可能又不会了呀。 那你就不会举一反三了，对不对？你就不会举一反三了。你有没有发现我这个题给的呀，是一个抽象的 g x， 之所以抽象的给你，就是想让你知道这个 g x 可以根据出题的需求随 的换函数换成任何一个满足，哎，满足必须让连续开去，那可老的函数都行。那这样的话，这就不是一个题，他是一个通向公式，听到没有？因为 gx 抽象性，他可以变成一个通向公式。好，我带你体验一下啊，所以说下面这个分析的过程就带你是哎，发散思维，打开格局了， 哎。啊，来，咱们看一下。那随手写了五个题啊，我们同学看就行了，你把这样题，哎，这个题跟那个题有关系吗？谁说没关系是吧？我们说考研数学啊，他关键的是什么？化解和变形，你把这个式子变一下嘛， f 一撇可惜，然后加上 可惜分之一， f 可惜等于零，各位同学，看到没有？那请问各位同学，你说这个东西是什么？这个东西不就相当于记忆撇可惜， 你只要把 g x 对应的写出来不就好了吗？谁劝导等等于这个 x 分之一吗？那不是 love 吗？对不对？ 是不是？当然了，我们说他这个视频只是介绍乱用法，在我的考研培训课程当中，我不是介绍乱用法，我介绍的是导数公式的逆向运用。啊，那个更狠啊，那个用法比这狠，但是呢，接受他不好接受 你，就像这个东西，我直接就可以写成是 x fx 整体的倒等于零，是不是啊？他说倒他不倒，加上他说倒他不倒，那不折出来了吗？但是这种灵活度太大，所以有些同学他不好接受，那我们今天的 low 法反而可能更容易接受啊。 来，接下来看一下。那么像这个式子，哎，也是一样的。同学们哎，我们把它写成刚刚那个题的模板形式来，加上多少两边同时乘以可同时除以可惜，哎，可惜 分支。嗯，你看又来了，哎，没有没有这一撇啊。所以说数学啊，你就自己啊，先学会这样一个东西，然后呢，把它思维打开就好办了。这谁啊，他们这就是第一撇，可惜 你按照不，你按照不定积分是吧，或者说你按照原函数的概念就是谁全倒等于这个式子，那么这个 g 不就出来了吗？是不是你包括下面，下面这些？哎呀，没什么好讲的呢，是不是你看减去可惜分之分之 f， 可惜等于 当这个点呢？你需要注意，他是把负号合在一起的啊，应该把负号合在一起，明白吗？把负号合在一起比较合适一点啊，因为我们刚刚讲的模型呢，是加法，你这个地方负号要合在一起来。继续看这几个这个式子，这个式子，这个式子。如果 你要使用导数导数公式的逆向运用那种凑的思想可能不太好凑啊，需要因子是吧，但是我们使用乱法反而变得简单了，你知道吗？反而变得简单了，一。 知道吧，那这样的话我我们这个一其实就是一个记一撇，可惜 那谁圈的等于一啊，那不就 x 吗，对不对？是不是 xx 圈的等于一吗？那从而构造函数是两，是 fx 乘一的 x， 哎，想想构造哎，从根据前面的模型走一遍，好吧，走一遍之后，这些题都是你的。 好，下面这个老师，这个男的啊，从来没有见过说说像这种的啊，你说你刚刚讲的模型，无非就是 f 一撇和 f 的关系，对不对？那现在我给你 f 两撇了，哎，不一样了是吧？你看，你看，你看，你都不会举一反三，你都不会思考，你 怎么，怎么能把这些变形题做好呢，对不对？我不仅可以说是一直导，呃，也，这个一直导和元函数，我还可以一直导和二直导，还可以是二直导和三直导，还可以是元函数和变现积分，对不对？只要这两个相差一直导就够了， 明白吧？哎，只要相差一点就够了啊，要思考来，那么接下来我们就可以一个项目变成 f， 偏偏，可惜， 然后加上啊，这边是 b 减，可惜分之 a f， e 撇，可惜 锻炼，那么我们就可以直接的把这个地方给他圈出来了，这就是谁，这就是所谓的记忆撇，可惜， 明白了吗？哎，同学们，思考思考啊，把这个内容变为自己的，好吧，啊，回头我们再做一些资料书，你会发现啊，这很顺畅了啊，绝大部分呢，一般题型都可以搞定了，那么对于特别难的综合题型，我们还需要继续接点好。同学们，这是我们今天的每日一题，你学会了吗？

大家好，今天我们来讲一下高等数学中的微分中指定理，实际上微分中指定理一共有三个啊，罗尔中指定理、拉格朗瑞中指定理，还有科西中指定理，今天我们来讲第一个，之后都会讲到。 嗯，那么在讲这个罗尔政治定理之前的话，必须先讲一下这个费马定理，有些参考书上啊，他说的是叫费马引领，其实都是一回事。那什么叫费马定理呢？ 其实高中的时候高考数学导函数大题，你一直在用这个结论，只不过现在我们得证明一下这个结论。这个结论简单理解，就是极致点出的导函数为零嘛，比如说连续可导的这样一个函数，那 那么比如说这个 x 等于 a， 就这个地方啊， x 等于 a 这个数字呢，它是极致点，那么所对应的 a f a 这样一个切点处，这样一个切点处，它这个切线呢，肯定是水平的，它的斜率等于零，这样都可以都是 为是，那么具体他这个操作是这样写的啊，这样来说，假设函数在 x 零，那么我淋浴内有定义啊，这个淋浴没有去腥啊，没有淋浴内有定义。 然后且呢，对于这个淋浴内的任何一个 x， 都必须满足这个 fx 是小于等于 fx 零的，就这个含义，那实际上我画红线的这一行就表明了这个 x 零，它是这个淋浴淋浴内的什么值啊？极大值呗，就这个意思啊，你可以这么来记， 注意，这是什么号啊？这是小一等于号，那么或者是什么呢？或者这个 f， 那括号里头这个红线表示什么？那就表明这个 x 就极小值了，你只要会挣极大值，那极小值肯定也会挣，咱挣其中一个， 那么他就告诉你这几只点数导航数肯定为零嘛，你简单就这么理解就可以了啊。好，怎么证？咱们先说几何定义几 和 e 呢？人家也说了，如果 x 零，他是函数的一个机制点，那么在这样一个切点处，他的切线一定是水平的，或者切线的斜率肯定是零，这样一个含义。怎么证呢？来说一下。 首先要了解一点啊。嗯，咱们证明什么？证明画红线的这样一个这个 fx 零，极大的情况。嗯，这样来写，有已知这个 fx， 他肯定是小于等于 fx 零， 那我们写另外一个式子吧。嗯，写成什么样子呢？写成这个写成 f x 零，再加上打扰他 x。 注意啊，这个打扰他 x 是基于 x 领这样一个非常小的改变量， 然后小于等于 fx 零，这个是没有问题的啊。当然了，我们让这个打扰他 x 不等于零，因为打扰他 x 等于零的话，这俩就相等了啊，不等于零。那既然有了这样一点，你 看嘛，极大值的情况，你不管说你家的这个打扰他是个负数在这个位置，还是说是个正数在右边这样一个点币位置都是比这个嗯，最高点要稍微低一点的，所以是小于等于号码。那接下来什么叫可以求导啊？ 求导的，可以求导的创造条件是某一个点处左导右导相等，都没这个意思吧。那现在我们就求一下左导，求一下右导。先求什么？那就先求这个右导吧。嗯， x 零这个右导 诱导的话，根据诱导术这样一个公式嘛，打扰他，就这样一个资本上的改变量，取经于领证的时候啊。那咱们这个狮子的话非常好写，我就直接写出来了。显然这个分母领证，那肯定是个证书呗。分母是证的啊。 哎，那这个分子是正的还是负的，直接告诉我。哎呦，这个分子他肯定是一个负的呀，或者说非正的， 你这样稍微处理一下，不就他检查小于等于零吗？那既然分子为负，分母为正，那最后肯定是小于等于零，因为这个位置还有等于号，那同理可得这个 f 片，也就是说 x 零，他这个位置的左倒，这个分子他其实正方没有改变，还是小于等于零，然后分母又变成了零，负又是负的。负负得正，那不就大于等于零吗？ 那接着来写啊。所以说什么意思啊？所以说零小于等于左倒没问题吧。嗯，然后你既然可倒的话，左倒右倒其实都等于那个倒函数，因为左倒右倒都存在了嘛。然后等于什么？等于这个右倒， 然后又小于等于零，中间夹这样一个性质。所以你说我这个 x 零，除了导航是等不等于零啊？直接下结论。所以这个 f 片 x 零，你只要导航数存在，肯定是等于零的。简单记啊，记着点出导航数为零，就这么来记就行了。 继续往后说谁第二条，这个才是这节课真正的重点。罗二终止定理。第一个违反终止定理。那什么叫罗二定理呢？人家是这么说的，三个条件啊， 如果说某个函数在 b 区间连续在开区间可导，并且在区间端点处，他的两个函数的值是相当的， fa 必须等于 fb， 那只要满足了一二三这三个条件的结论就出来了。结论是什么？ 那么在这样一个开局键， ab 的内部至少存在某一个值，哪一个值啊？这个怎么读科赛？至少存在某一个字，科赛使得 f 片儿科赛等于零，就说导航数是等于零的， 也就是说中间某一个点处，他这个导函数，他这个切线肯定是水平的。那么怎样去证呢？咱们先来说一下啊，你要想证明的话，首先要利用某一个定理， 函数在 b 区间上连续的一个定理，如果函数在 b 区间上连续，那么这个函数一定有最大值，最小值。那么具体还是要分两种情况，哪两种情况？ 如果说最大只和最小只相等的，那就意味着再加上什么？再加上已知条件里头这个左右锻炼性的，那意味着实际上此时这个 fx， 你就看红色的这条水平线就行了。 因为你实际上在 ab 这样一个区间内，这个函数就是一个长数函数吧，你长数函数到函数怎么样啊？你比如说 f 撇 f 片怎么样？ f 等于 c 的话，那 f 片的话处处都等于零啊，那他肯定是成立的，这就没有什么问题了，我们主要研究这个大 m 和小 m 不相等，就是最大值和最小值不相等的情况，那怎么来证？需要用到费码定理？看了啊，现在研究这样一个最大 最小值不相等的情况，那既然你不相等的话，怎么样啊？看好了啊，因为你这个左右端点是相等的吧， 所以你这个大 m 和小 m 最大车最小值肯定有至少有一个，他是不等于什么的，不等于这个左右端点那个值的，那么可以画成什么情况？我们不妨就利用这个大 m， 也就是最大值，他不等于左右端点。实际上这个图草图可以这么来画，左边可能是水平的，哎，上来了， 哎，右边又变成碎屏了。左边是 a 所对应的函数，右边呢是 b 所通用函数。你可以这么理解啊，那这个极大值，这个点不就是 y 等于 m 那个最大值吗？好，实际上你应该看出来了吧， 那么实际上就是什么呢？在 a 到 b 这样一个开军内，至少存在一个可赛是得 f 可赛等于零。这个是哪个定理来着？这个就是飞马定理啊。飞马定理怎么说？极大值或者极小值， 极致点出导航数，它本来就等于零，你想想是不是其实也就是说明什么？其实也就是说明你这样的 f 科赛，你这个科赛是个什么值啊？你这个科赛它就是一个极大值啊。极致点出导航数等于零，由分码定理就得出来了，懂了吧？用分码定理可以证明罗尔终止定理， 那么现在你应该会证明罗尔终止定律了吧。学会证明的话，还得了解一下他的几何意。几何意实际上非常简单。几何意指的就是什么？ 满足条件就一二三啊，在 b 区间连续开天可倒，并且左右端点的函数值相等，那么此时呢，就满足这样一个条件了， 如果满足这样的条件，满足这样的前提，这样的函数在 ab 之间。就是在这样一段图像上，至少存在一个点 p， 使得什么？使得曲线在点 p 处，它是个水平界限逆，图中点子也可以作为点 p， 实际上点地也可以作为点 p。 应该理解我的含义了。光学会这个几何亿和证明还不行，我们多做几道题，做三道。看第一道题吧。 第一道题怎么说？这个是关于 x 的一元三次这样一个函数啊。这个三次函数怎么研究？不知道。那 直接利用罗尔中之定理就行了啊。我想说的是，肯定你这个 f 撇等于零，肯定有一个根在一二之间，另外一个根呢，是在二三之间，所以他有两个不详的数根。那具体来说怎么写这个证明过程呢？首先看好了， 先研究哪个呀？首先先研究慢，这个 fx 在整个实处范围内都是连续的，那在一到二上肯定也连续呗，没问题。嗯， 那么在一到二这样一个，你看 b 区间连续开区间壳岛，他其实处处都是壳岛的啊。 b 区间连续开区间，壳岛左右端点就是这个 f 一，你待入以后和这个 f 二左右端点还相等。 所以罗二政治定理，他的前提三个前提都满足了吧。那既然满足了，所以我们就直接写结论。罗二中指定理他的结论是什么呀？他的结论就是在一到二这样一个开局圈内存在一个可赛，这个可赛的话，我们写为可赛一啊。存在一个可赛， 使得什么？使得科赛出的这样一个导函数的值怎么样？等于零呗？科赛一，那同理呗。 哎，什么叫同例？你想啊，他这个函数在一到二连续，那你看这个二到三是不是也连续的？ 然后这个二到三这样一个开卷是不是也可倒的？这就是同理，那肯定也是在二到三之间存在什么，而且 f 二等于 f 三，我就不写了啊。这就是同理，就完全真的是同理，那肯定也存在一个什么，肯定也存在一个，存在什么呢？存在，咱此时就要写成三二了，区别一下啊。 在二到三这样一个开卷内部，存在一个可赛二，使得 f 撇可赛二等于零，现在的话，我们可以确定的是，所以啊，这个 f 撇 x 等于零，有可赛一 和科三二两个十根了，两个十根，那么有这两个十根，人家还要说有和仅有是一回事，不是仅有的话，你还证明最多只有两个，哎，确实有两个，但是怎么证明最多只有两个呢？ 哎呦，一定要写后边这句话，你不写可不行啊，再由代数基本定理。那么什么叫代数基本定理啊？你这个 f 片的话，肯定是降次了吧，就变成了 f 片等于零。是这样，相当于关于 x 的一元二次方程，它有且进行为一元二次正式方程。那这 样的一元二次方程至多有几个根？至多就是有两个根，而且就是两个不同的十根，不可能有更多的根了，懂了吧？所以你最后下结论，这个 f 片 x 等于零，有且仅有两个不等十根。 那么如果你不是数学系的同学，最容易落掉哪一句呢？其实最容易落掉的就是这样一句，你如果不写代数基本定律的话，只能够说明他有两个不祥的时候跟那有没有第三个，有没有第四个，你没有说明。 所以呢，这个井字你还得多写一行，由代数基本定理可以得这个 f 片 x 零一万二次方程最多呢。只有两个，确实是有科技一和科技二这两个根的。继续往后第二题。 第二题的话啊，看了啊，这个函数在 b 居家连续非常好，再开一圈可倒太好了。但是人家又没有 说这个 f 零等于 f 一，所以呢，这个第三个条件不满足，他并不是直接 f x， 你要单独拎出来并不直接满足。可惜充值定理这样一个前提条件。那怎么办啊？那只能从问题入手了吧。就这样一个问题怎么办呀？改形式呗。改成什么形式？他的话很容易改啊，直接改成这个 f 科赛再加上啊，科赛成 f 片儿科赛。就你看出这样一个形式来，以后的话，其实我们很容易联想到构造一个辅助函数，懂了吧？这个辅助函数的话就是 x 乘小 f x 呗。 显然这个 f 片啊 x 他不就等于你看两个函数相乘，他求到以后，先撇左边再撇右边吧，左边撇一下不就是一吗？ fx 再加上 x 乘 f 片，果然跟他长的形式一模一样的，说明我们已经构造成功了这样一个辅助 函数。勾导出来这个服装函数以后，接着怎么处理啊？接着我们研究大 f 这个函数吗？显然这个大 f 这个函数， 他在零到一这样一个 b 军舰上，他就是连续的，这个没有什么问题。嗯，然后呢？在这个零到一这样一个开军舰上可倒的，哎，也没有什么问题。 而且这个 f 零等于几啊？同学们， f 零，你一看 x 等于零，肯定等于零吧。然后这个 f 一好说吧，因为你这个小 f 一等于零，你待会以后肯定也是零。 那最后的话，你看 b 线连续开机键可倒且左右端点的支相等，所以在零到一这样一个开机键内部，肯定至少存在一个什么，至少存在这样一个可惜。使得什么呢？使得 fpr 这可惜等于零，那这 可惜的话，你带入这样一个解决室，求到以后的解决室里头，不就是 f 可惜，再加上可惜 f 片可惜 等于零吗？那实际上他就等价于问题中的这个 f 片可惜等于负的可惜分之 f 可惜，这个不就正完了呀，对吧，那继续好好说第三题。 第三题的话，他验证的是罗尔终止定理啊。对于这样一个函数在区间六分之派到六分之五派上的正确性，那验证的话，肯定是比前头两道证明题要简单一些的。我们来看一下这个验证过程。这么来啊，首先写了啊， 这个 fx 怎么样？他，首先呀，你在六分之拍到六分之五拍这样一个并圈上，你首先是连续的，这是第一个条件吧。 而且呢，他在六分之派到六分之五派这样一个开局难上，你肯定也是可倒的满足了。 满足这个要求以后，还得严整一下。什么？还得严整一下这个左右短点六分之拍三按六分之拍等于二分之一八， 嗯，然后这个三六分之五派也等于二分之一吧。在六分之派，在六分之五派上，你这个三 x 都是怎么样都是满足是一个证书的，这就不用多研究了，这是初中，是高中的知识啊。那么它等于多少呢？等于捞 n 等于捞 n， 二分之一把会写上，好在 b 添加连续 开去年可倒。然后呢？左右端点的枝还相当，那是不是满足罗二种植定理的前提条件了？满足了啊，满足前提，但是你光满足这个前提行吗？咱接下来满足前提以后，是不是还得验证一下结论对不对？验证结论，你得求助 那样的科赛的直来啊，在六分之派到六分之五派之间存在那个科赛，我们求助的科赛具体等于几？怎么求呢？那你必须撇一下，看一下这个形式了。 复合函数先撇外层吧，撇外层的话呢，就是三 x 分离这撇内层吧，内层的话，三撇的话，那就是扣三。 这个的话，得什么得鱼切口瘫着呢啊？不是正切，是鱼切，那么口瘫着呢？你想一下，我们让他等于几？让他等于零，这就是罗二中定了这样一个结论吗？ 因为你这个口袋里的 x 等于零，所以我这个 x 作为中边的话，实际上只能在哪？他这个中边只能是在外轴上，所以说 x 只能是等于 n 派，再加上二分之派，中边不就是在外轴上的意思啊。而且这个 n 呢，只能取整数，正整数，负整数，零都可以，但是为了保证 x 必须在六分之拍到，六分之五拍能不能取到呢？合理的这样一个中间在外轴上的情况，可以的。 当什么？显然当 n 等于零的时候，此时我们这个 x 等于多少？ x 等于二分之派，我们就不妨令这个科赛等于多少？等于这个二分之派。你说这个科赛在不在这样一个开局键，六分之派到六分之五派上在？ 哎呀，那这个是不是罗二中指定理的结论呢？是啊，是得什么？是得 f 撇可塞他等于多少？等于零？这个不就是证明了罗二中指定理的结论吗？正完了吧。所以你说罗二中指定理对不对呢？那人家这个定理肯定是对的啊。分享课堂知识，感受数学之美。我是安分老师，下节课再见。

什么叫做罗尔定理推论？那是说如果在一个区间爱上这个 n 结，倒数不等于零，则 f x 等于零这个方程，所以最多也就至多 n 个根， 没有说他一定有 n 个，那他可能一个都没有，但是呢，他跟的个数一定不超过 n 个， 作为这个区间，按是 b 的开的，有线还是无线都可以。我们把这个阶段呢叫做罗尔定理的推论啊， 那这个结呢，我们以后要用，所以我们在这证明一下，因为这个结呢，不仅仅在方程根里边用，在有些中指电力正面体里边也在用，如何来证明他呢？我们知道要正面一个结呢， 通常是有两种方法，一个就是从条件出发直接正，如果不好正就用，反正大家看他的，在这个句上 n 结不等于零，要证明他最多 n 个根 直接正，还是不大方便，所以呢，我们要用谁啊？反正法啊，如果这个节能不对，那大家想他说最多的根，这个时候呢，就应该怎么样？至少 n 加一个根， 那么至少有 n 加一个根，那么把这个 n 加一个根呢？在这个区间，比如说这是我们区间谁啊？ a b， 那么在这个区间 a b 上把这个 n 加一个根，分别从小到大把它记做谁啊？ x 一，这个呢？ x 第二个 x 二，第三个呢？ x 三，一直到 x n， 呃，写 x n 加一，那你不是至少 n 加一个根吗？把这些根呢？从小到大这样排序， 那排序以后，大家注意，这个小 f 呢，就在这 n 加一个点上，函数值都等于谁啊？零，换句话说，这 n 加一个点上函数值相等， 大家知道在这两点之间，由于两个端点之相等，所以可以用一次罗尔定理，这样呢，应该有个克 c 一，能够使得谁啊？一阶倒数带零， 这两点之间应该有个 c c 二也应该有一点一节导入等于零，这两点之间也有一个 c c n， 那么这样子 f e p 撇就至少有多少个零点。 n 个零点，好，继续再看，在两个一阶倒数等于零的点之间，再用罗尔定点对 f e 撇用， 那这两点之间有一点二阶等于零， cc 二和 cc 三之间也有一点二阶等于零，那这样子可以知道二阶导数至少有多少个零点。 n 减一个，好，一直用，一直用到谁啊？一直用到 n 阶导数， 那么来看，一阶倒数至少有 n 个零点，那 n 阶倒数至少有谁啊？一个零点， 大家看矛盾了呀，啊，矛盾就从这出来了，因为人家提示里边给的是 n 结倒数不等于零，那么现在呢，感觉至少有 n 加一个根，我就推出这个区间上至少有一点 n 结倒数等于零，这个提升就矛盾了，所以就证明完了。为什么把它叫做罗尔定理推论呢？因为他的证明是要反正法反复用罗尔定理。 当然这个节呢，也可以作为我们一个考研界的一个考研题来让你证明，所以这个证明一个会。

我们就牢牢的记住罗尔定理需要满足的条件和得到的结论就可以了。三个条件，第一个条件呢是这个 fx 在 b 区间上是连续的，这是第一个条件，第二个条件在开区间是可倒的。第三个条件呢是这个端点处啊，他不是在 ab 这个区间吗？对不对？这个端点处的函数值也是相等的，哎，这个样子的。 所以满足了这三个条件之后就可以出结果了，结果就是一定存在这么一个可 c 属于开区间， a 照 b 使得 f 一撇，可 c 等于零。而且这个罗尔定理的结论呢，咱们在基础班能够知道他，能够背过他，能够理解他的几何意义就可以了，因为后面马上就要讲几何。一来在基础班的时候， 咱们不用掌握这个罗尔定律的证明，但是在强化班的时候，我会给出罗尔定律的证明，哎，强化班咱们就要讲这个罗尔定律，他是怎么正出来的，他为什么就能得出来这个结果，哎，这个是必须要掌握的，尤其是目标一百二的同学。等到了强化班， 咱们有很多的题目啊，或者说几乎所有的这些例题都被同学们标上段位了，比如说这个题是九十分段位的，这个题是一百零五分段位的，那个题是一百二十分，哎，有一个题是一百三十五段位的， 来给同学们标上段位呢，就根据自己的目标你去选择就可以了。但是咱们在基础班先不标注，因为基础班打基础里边没什么难题，注意，咱们这阶段啊，不涉及 过多的难题，如果看到了难题，那一定是极其个别的难题，咱们这个阶段难题的比率非常的低，到了强化阶段，难题比率咱慢慢上来，咱们打基础，不要好高骛远，慢慢来，别着急啊。好，这是罗尔丁离。那么罗尔丁离这三个条件，一个结论，看起来冷冰冰的，什么意思？咱们用几何意义去理解就可以了。如果有这么一条曲线 长这个样子，哎，他 b 区间连续开，区间磕倒，那么端点处的函数值呢？又相等，这不就是 fa 吗？对不对？当然他也等于 fb， 对吧？那么这个时候就一定会有这么一个点，他的倒数等于零，这点处的倒数值等于零，这个不难理解，你想 他的端点处函数值相等，相当于就是从这，我不管我拐了多少道弯，最终我要回到这，那么回到这了之后，那么一定会有一个倒数为零的那么一点，你往上走了，你就得往下回来，你往上走了，又回来了，那你回来的这个位置，那么一定倒数就为零了，对吧？那这相对就是我的，我就这么拐了一下，那么这个呢？是拐两下，我还可以自己画，我拐三下，对不对？拐三下的话，那这种可思议呢？那就更多 对不对？这个你可以自己规定，你拐多少下都行。哎，同学们一定要注意啊，就是不管拐多少下，那么你一定会至少拐一下。当然有同学说说，老师，我一下没拐，我就直线而过来的 支架过来的话，他的每一点处的倒数都是零，但也满足这个存在一个可思议时的 f 一撇可思等于零，对不对？哎，所以说，这是罗尔定理，他的几何意义，哎，所以说这个要能够理解 这个几何意义，理解了之后呢，接下来咱们要了解一下罗尔定理他的一些细节，那这个呢，就比几何意义呢，难度稍微大一点，但是呢也不是很难，我们也可以通过几何意义理解下面这些细节，哎，就是这个的说明就是罗尔定理啊，他要求的这三个题 条件，他为什么要求这三个条件？他要这三个条件才能得出来结论，那意思就是说我缺一个条件就不可以呗，正确就是这个意思，但为什么缺一个条件就不可以呢？咱们必须得能够明白。同学们有没有感觉，或者说，嗯， 有没有在学习当中有一些困惑，就说老师这些定理或者这些概念怎么学，有没有这个概念，有没有这个困惑？就一个计算题，拿给你，你可能会计算的极限呢？我求不到啊，我记个分都写差不多，但是有一些概念我不知道怎么学，我感觉念了一遍能理解啊，有，但是一做题啥也不行，啥也不是的感觉啊，有没有这种困惑呢？那么这种困惑呢，其实就是导致，呃，这其实他的原因是就是 你的这个基础班没有人，或者是说你不知道怎么去学这些概念，那就导致你这后边的做这些概念题也做不明白。所以做概念题啊，或者说做这种细节题，他其实是有难度的，这种题呢，他也是有步骤的，他是有，也是有逻辑的。第一个阶段呢，我们要先要把这些细节弄明白。第二一个阶段到强化阶段，我们才深入的系统的去学，用这些细节怎么出 题，那出的那个题怎么去破解，这才可以？这种概念题、细节题是有很大的难度的，你千万不要说我学了这个概念，我立马这个概念所涉及到的所有的题，我不管多难，我全都能一下解决。那倒不是，慢慢来，越难的类型题呢，我们越要把它分割成几部分，一块一块给他解决，千万不要一口吃个胖子。那么好了，这个定理或者说这些概念怎么学呢？我们就研究这些概念，他的条件、 条件和结论，尤其是研究条件，研究每一个条件，破坏一个条件就得不出结论来。要能理解为什么，尤其是举例子说明为什么，或者是通过几何意义来说明为什么，这个过程很重要，就比方说咱们第一个条件，如果不满足，必区间连续， 哎，如果不满足 b 区间连续，那就满足后面这俩呗，那么这个不满足对不对？对吧？不满足第一条呢，肯定得不出来， f e 撇克 c 等于零，对不对呢？怎么去找例子呢？这个时候呢，我就给同学们举这样一个例子，这个例子实际上不太好想，哎，是有一定难度的，我可以这样的举一个例子， 这个例子呢，它的图像不难画，分段函数在一到四左开右闭的时候， f x 就是 x， 所以我们看到了一段四十五度的这条直线，对不对？但是呢，在 x 等于一的时候呢，它的函数值居然蹦到了四，哦，在这呢， 哎，那你看看这个，他就不满足第一个条件，但是满足第二个和第三个能看到吧？开区间刻到，你仔细看这个开区间，如果不考虑端点开区间，开区间就是 xx， 他当然刻到没毛病，对不对？那么端点处的函数值是不是相等的？你看这 f 一和 f 四是不是都是等于四？都是相等的，所以他满足后面这两个条件，但是不满足这个条件， 对不对？哎，所以就是说他不满足第一个 b 区间连续就不连续，这不跳跃间断点吗？对不对？那么他能得出来 f 一撇可思议，等于零吗？你在这里边找哪一点他的倒数等于零，没有倒数等于零的，所以就推不出来他，对不对？所以看到了吧，不满足第一个就推不出来，哎，对，这样子去学，这样子去理解才可以好，这是第一个了啊， 哎，所以接下来咱们来看看这个，哎，那么如果不满足开区间可倒呢？那也就是说，如果这个不满足呢？但是这个和这个满足呢？ 哎，你琢磨琢磨，这个时候你能不能理解？有时候不满足他，但是满足第一个和第三个条件，当然也推不出来他，那这时候你能不能想一个例子呢？哎，你，你举出来一个例，一个例子就是不满足他，对不对？但是满足前面第一个和第三个同时推不出来这个的一个函数的例子，你琢磨琢磨，你自己能不能想出来？ 哎，如果你想到了，可以发到咱们的聊天记录当中，还得积极跟着思考啊。并不是说同学们千万不要把咱们这个课程当成是我在上面表演，你在下面抄版书， 哎，你琢磨琢磨，是不是你自己之前看的所有的视频课全是老师自己在表演，而你就是抄板书的那个人，而你抄的那个板书，甚至都不知道你自己抄的是啥。哎，你就自己骗自己，掩耳盗铃。哎，我也不管他，我抄去是啥意思？哎，我也不知道，哎，没事，先抄下来再说。就这句，先 抄下来再说，你信不信有很多人，甚至百分之五十的人都想过，哎，我不，我不管，我先抄下来再说。我回头再看，一回头就第二年考研了啊，或者说我就考一年，我一，我一回头，我这辈子都不会再碰了，哎，这叫什么？这叫懒惰， 你尽快的要理解他，当然你可以说我暂时不理解，我可以先暂时先抄下来，这是可以的，但是你一定要事后把他弄明白，如果你事后没弄明白，那你这句以后再说，那其实就是一句敷衍， 对不对？所以一定要把这些都能够弄明白，但一定要利用好课堂，一定要思考，千万不能把自己变成一个死板的抄版书的这样一个学生，这是不好的。所以同学们，我看有些同学举出来例子了啊，哎，哎，说的非常好，就是绝对值，所以就是说这个简单的 f x 等于 x 的绝对值，但是这个 x 的范围咱们这么选，负一到正一， 这就可以了。这个图像都会画吧，甚至不用画在脑子里就完成了，因为这个特别简单，我手勾一个啊，负一到正一，再注意，这个函数在开区间是不可倒的，对不对？但这不可 可倒啊。这个咱们在寒假集训研究讲过了，哎，这第二章就讲过了。这，这这点他有接二，他扎手，他不可倒，那么他不可倒，那怎么办？哎，不可倒，那就不满足这条件，但是满足第一个和第三个条件的端点处的函数值相等嘛，对不对？对吧，他必须先连续，这连续也没毛病啊， 对吧？哎，但是这个函数你研究研究，他就不存在倒数等于零的点，哎，所以就是说这个就是这第二个的一个例子，对不对？我就把第二个条件给他砍掉，哎，然后我推不出结论来了，一个这样的一个例子，就他好，那第二个会了，那第三一个呢？啊，那第三一个就是不满足第三个条件，但是满足前两个条件， 端点处不相等，哦，也就是说前两个条件满足了，但是这个条件不满，这时候能不能举出来例子呀？这个例子其实就好举了，你就可以直接这么写， f x， 它就等于 x， x 就属于零到一，哎，你看这个函数 b 区间连续 k 区间可倒，对不对？但是呢，它 不满足端点出的函数之相等， f 零和 f 一不相等的。因为呢，这个函数有一点导数等于零，没有任何一点导数都不会等于零，因为这个函数他每一点出的导数都是一。咱们背过求导法则，是不是？他的导数是不是就是一对不对？所以呢，就这三个例子就能从细节上说明鲁尔定理，这三个条件缺一不可，哎，所以就这样子就可以了，也就是说单调函数，哎，就可以这么去理解单调函数，这就可以。 但是这个单调啊，你得说你不能。这个思路是对的，但是不严密。比方说有个洞给你写 f x 等于 x 立方，他是严格单调的，但是呢，如果你选择的区域啊，是负一到一，对吧？他满足这个也满足这个，哎，也不满足这个，但是呢，他有一点处，倒数等于零， 对不对？你，你要举这样一个例子来去否定这个，那你否定不了。哎，理解，能不能理解这什么意思？你不能光说单调，哎，你必须得让倒数，不能有零，哎，他的任何一点处的倒数都不能为零，这才可以。所以就说你光举你这个例子就不行，对不对？哎，所以就是不能光举单调的啊，要注意细节， 这都是我们这个举例子啊，就是一个，嗯，是可以，或者说是细节问题，或者说是个技术问题。哎，像咱们一百二十分学员到后期的时候大概有一百多个举例子的练习，那些举例子的练习都是我亲自一一给同学们答疑批改的。那个就是每一百二十个题目，想来就是都锻炼同学们举例子，让你举出来满足这些条件的例子。 哎，比方说，我现在给你出一个题，千万别，别认为这个举例子很简单，找我一看答案，哦，会了不就举例子吗？简单，对，举例子得学，你得练。哎，并不是说你看了一个答案的一个例子，你这就立马就会，比方说，我给你举个例子，我让同学们现场咱们作为练习啊，我让同学们举出来满足这些条件的例子， 这个 f x 来举，举例子，举穿一个就行了。哎，如果想开拓思维呢，可以多举一些例子，满足下面这个条件来。第一个条件， f x 在 a 到 b 区间之内有定义。 第二个条件， f x 在 a 到 b 上 无忌。哎，那么你举出来一个 f x， 这就可以了，大家有没有同学想到啊？哎，你想到了，可以把你的答案发到聊天记录当中，注意同学们啊，举例子，一般来说，这个 a 到 b 这个区间也可以举， 比方说把一到 b 里去掉，写成零到一负一的，连了负一的正一，哎，这都可以举例子呢，这个 a 和 b 也可以具体化。举例子，举例子就是你把一些抽象的东西，不知道等于什么的东西，你给他具体化，这就叫举例。你把把 fx 给他写成里克赛与口赛，应该什么形式，对不对 low 呢？ e 的 x 形指指出对手形式对不对？变成 a 到 b 的，你也可以写成他，哎， 现场同学们有没有能想到满足这次这两个条件啊，这两个条件的函数啊，能不能想到啊，你想到了，你可以发到咱们的聊天记录当中啊，我看看有多少同学， 哎，通过互动能够得到正确答案，小注意我前面一再的强调啊，千万千万不要小看这个举例子，你举的那个例子，他未必对给同学们说一句非常打击人的话。到目前来看，看的这么多同学，他回复的这这这些答案，我没发现哪个是正确的，全错，到现在没出现一个正确的， 哎，你看，我首先说明啊，有一些同学他说的这个内容，首先说你说有个同学说跳跃间断点，还有同学说三亚克四分之一啊，那么这两个是显然不满足这个，人家说是无界了，你那个跳跃间断点，他怎么能无界呢？你就是从这蹦到这，就好比这个是他怎么能无界，对吧？还有一个同学举的是震荡函数，震荡函数他又分为有界震荡和无界震荡， 对不对？哎，那你这无界，那你这，你这震荡到底是哪一类的？这你也没说清楚，对不对？而且呢，同学们还只是这么用口述了这么一下，那么现在我问你，你选择的区间是什么，对吧？就比方说啊，有同学说说 tandent x， 哎，这个 tandent x， 这么一想，哎，他确实是无界了。那么现在我要具体问你，这个 a b 你怎么选？你琢磨琢磨， a b 你怎么选？ 哎，有的人说单眼 x 三 x 乘以三眼 x 分之一，这是有界的呀。 x 区区零的时候，他是零， x 区区无数，都说他是一，他有界呀。哎，你琢磨琢磨，能不能先找到一个无界的，所以你看，这都是细节，到目前为止，还没有哪个同学能说出来正确答案， 哎，有点像正确答案，那就是这个 thanden， 最起码他满足第一个条件了啊，他满足第二个条件了，无界了。那么现在我追问你，那你无界了之后，那你这 a 和 b 怎么选？你不能随便说一个函数，对吧？你这个函数你得给他定，他定义域，你给他规定的是啥？对不对？哎，你这第一个条件不是在这当摆设的，你琢磨琢磨。同学们，如果你就拿出来一个 thandent x， 那我把第一个条件去掉，我直接说这个不就行了吗？ 对吧？那我为什么还有第一个条件呢？第一个条件摆在这是有用的，说 tentant 的字相当于就是对对了一半了。那么你也需要把 a 和 b 你给他规定一下，你看看你怎么去规定。有的人说阿克特镇在一个周期，阿克特 它是一个有界函数，阿格探证它的永远都在负的二分之派和正道二分之派之间，它就根本就不是无界的。这些同学们呢？哎，这些图像啊，或者说这些函数啊，你们是不是这个图像不会画呀？阿格探证的图像绘画吗？三 x 分之一的图像绘画吗？对吧？这些图像你得绘画。哎，这个呢，告诉同学们一个细节，哎，实际上呢，你可以直接选 x 分之一， x 分之一无界就可以了，对不对？只要无界就可以了，是无穷也可以啊。无穷属于无界的一种吧。哎，没有必要举什么 tangent， 呃口 tangent 什么之类的，当然举 tangent 呢也是可以的，把 tangent 改造成满足条件也是可以的，用这个就可以了，但是用这个还没完。哎，你认为用这个这题就结束了？没有？我前面说过了，你把你选定一域吗？定一域怎么选？就说简单， x 属于零到一不就行了吗？ 明档一的时候他不就那不就无间不就完了吗？那这个时候你选了你就会发现这个 x 分之一他能取零吗？对不对？你要选的话你也得是这么选 对不对？你这能取到零吗？对不对？你这取不到零。所以就说你这你只能选，选成这选成这。有的时候就困惑了，同学们怎么怎么？这很多人就困惑了，说那你要求 b 区间有定义，那他这是零，这他就取不着，那怎么办呢？有没有同学发现这有困惑对不对？所以就是说这个举例子不是想象的那么简单， 对吧？你有这个困惑，这属于正常，谁都是从这个困惑这过来的。那你要破除这个困惑。哎，那你就要仔细想想，我怎么能让他这有定力。有的人说的非常好，分段函数，哎，这块不用擦吧，我写成这位，写成这位就行了，我这么写不就行了吗？ 这么写不就行了吗？对不对？我这么写的话，在不等于零的时候查着区称 x 分之一，在等于零的时候，我单独给他一个定义，这不就是说明这个函数在 b 区间零到一是有定义的了吗？那么由于 x 趋近于零，正的时候他又会趋近于无穷，就会导致他无解。 哎，你看，这不就满足这两个条件了吗？所以就说给同学们用蓝色笔呢，写了一个举例子的这么一个例子，哎，用这个例子来说明举例子还是有一定难度的。哎，那你看看，你看这种举例子就必须得会，尤其是目标一百二的同学，但是如果目标一百二以下的话，呃，可以不用特别专业的会，你会几个大概子就可以。

啊，叫罗二啊，这罗一六五二年出生啊，大家看一六五二年那个飞马哪一年呢？一六零一年啊，他俩差了五十一岁啊，半个世纪哈，在罗二的年代，哎，牛顿已经很了不起了，牛顿比他大。牛顿是一六四二年出生的啊，牛顿比他大十岁啊， 就在他这个年代呢，已经微积分盛行了。但是呢，牛顿那个年代的微积分啊，很多错误啊，所以罗儿这个人啊，是微积分的重要的反对者之一，只要在科学院开会，他跟牛顿吵架。为什么吵架呢？你知道数学家啊，他有直觉，他不懂微积分啊，根本不懂。可是呢，他一看牛顿论文就出错了， 你要揪错容易，你不懂的，没关系，揪错容易的。为什么呢？牛顿写 dot y 比上 dot x 零， dot x 带零，你也看出来了吧，这是不可以的坟墓，不可以得令的，这是牛顿的致命的错， 来问你自己犯这个错误了，他们没有明白，当时我们是不是叫屈灵啊，曲线灵，是无穷小亮屈灵，我们无穷小亮里唯一一个最高界的是零，对不对？但是我们讲屈灵的时候是讲他不得灵的啊， 但是牛顿当年刚开始创立微积分的时候，这个到处都写错了，罗尔呢，就拿了这一条，就说牛顿，你的为积分是谬论，他的名言啊，为积分是一个一个小的谬论基础上一个大的谬论啊，牛顿怎么解释呢？牛顿解释不了啊。

来看这道二零一三年数学三的第十九，三个人相等，那是不是这个等号他得有意义，是吧？他应该是能做题的吗？那么来看第一问，他说想让你证明存在一点，可 c 属于零到二之间，使得这个人和这个人相等，这块面积叫做积分 零到二的 f x， 那么二倍的 f 零又是什么意思呢？哦，是，是指的这个地方是 f 零以底边长为二，高为 f 零的一个矩形，哎，也就是求的是这块的面积。 他的意思是告诉你啊，我的这块面积呢，是等于这块面积，也就说这块的面积呢，是等于这块面积。 这是题目给你的信息啊，所以他想让你证明一定存在一点，属于零到二之间，使得 我的 f 零中间还有一个人跟他等，比方说这个这个点啊，这个点叫 e， 他，哎，对，跟他相等。所以这个地方呢，我们就考虑两种思路。从图像上来讲呢，我们可以考虑一个反正法， 就是你假设不存在这么一个点，你正出矛盾，那么这件事情也成立。好，我们先来看第一种我们刚才说的反正法， 如果说他不是让你正存在这么个点吗？哎，我们怎么样假设不存在，那是不是说明既然没有人能够让他俩人相等，那是否就意味着在零到二这个区间上，我的函数值横大于零或者横小于零， 认给的 x 属于这个零到二这个区域间内，是吧，都有 f x 是比 f 零大的，那这样的话会产生什么样的矛盾？那就是一定不会有这个人像的，对吧？你想， 如果我是恒大于零的，那么我这段面积是永远不可能等于这个矩形面积，如果我是小于零的，那也永远不可能说这两个面积相等。好吧，那我们怎么去描述他呢？那描述的方法，你想这两个人为啥相等？ 是不是因为我们可以把这个二是不可以写成在零到二上的一个积分 d x， 所以呢，就一定有什么？我们把这个积分写一下，就是是有零到二上，你想我让我的 x 去减去 f 零，是不是一定是大于零或者小于零，是不是矛盾？题目，这个，这个，你这么一带是不是一定是等于零？ f x 减去 f， 零是不是一定等于零？所以矛盾，所以一定存在，这是第一种方法，反正法啊，正出矛盾就 ok 了。那么我们再来看第二种， 你们大家说的就是积分终止定理。呃，积分终止定理呢？这里确实是可以用的啊，但是你要注意的是，我们一定要明白积分终止定理他的表述是什么？他的表述是存在一点，一，他是属于 a 到 b 的 b 区间， 使得 a 到 b f x d x 等于 b 减 a 乘以 f e， 它就是区间，你要搞清楚，它是 b 区间，但是这里我们需要给一个开区间 啊。所以你这个地方你不能直接说由积分终止定理啊，你除非你说由推广的积分终止定理，或者说你把积分终止一定推广定理给他正一遍，然后呢，我们再写就可以了。那么我们就来正一下也 不难啊。第一题的法二用啥？用？拉格朗日，来啊，我们来构造个辅助函数，记不记得我们曾经讲过，我说，哎，这个是有两个常数对吧？我想把它变成一个函数，怎么办？是不变上线为函数。所以呢，你想啊，我们构造一个辅助函数，你看令大 f 是零到 x 上的 f t d t， 我如果对大 f 用拉格朗日，你想我要找的那个零到二的这个人， 它是谁？它是不是 f 二，对吧？那 f 二跟 f 零 f 零是几？我们可以知道 f 零是零，这没问题吧？所以由拉格朗日，你看看啊，由拉格朗日 存在一点，比如说一塔属于零到二，我们为什么要用零到二？我们要在零到二上这个区间上用拉格朗日就有 f 二 减 f 零是不等于二减零乘以大 f 一撇一， 你告诉我二减零是不二？大 f 一撇 e， 它是谁？是不是把这个人给我带成谁？把它带成 e， 它就行了。所以呢，是不是叫 f e 它， 你看这不就写完了吗？也就是说这个 f 二减 f 零，你要知道是谁啊？ f 零是零，我说过了， f 二是谁，而 f 二左边，请问 f 二是不是把 x 代成二，叫零 到二的 f x d x。 哎，有同学老可能说，老师，你看这个地方不是 t 吗？ 你怎么改成了 x 啊？我这边是 t 也好啊，改成 u 也行，你这个地方只是个符号而已，无所谓的，不影响结果。好吧，那么这个人是谁？这个人题目不给了你消息吗？他是二 f 零，好吧，所以呢？他是二 f 零 a 啊，所以积存在 e， 它属于零杠二，你看这是开区间吧。哎，使得 f 零等于 f 逼他，这样的话就可以了。这叫推广的终止定理，推广的积分终止定理的证明过程。呃，这里还用写连续有变上限积分函数吗？ 你不用写，你不用写，但是你想写也没事啊你，你要怕写错，你就不用写，这个地方没关系的，对吧？理论上你要用拉格朗日，那肯定得先证明一下 f， 他得是啥？ b 区间内连续开间内可导，这是描述一下 对令的，这个就是牛顿莱文妮子。对，但是我们就相当于啥，在等号这边，牛顿莱文妮子等号这边是拉格老师，好啊，这个第一问证完了，我们来看第二问，我们刚才说第一问用了这个等号，那你猜第二问是不是得用一下这个等号，这个等号得用了吧？ 而我们再来看第二位，让我们正的是可 c 属于零到三啊，这个范围变大了，使得两撇得零， ok， 你告诉我这个是不是要考虑一下罗尔？你想啊，让一个函导函数值等于零，那还不罗尔，你是不是给我找到一个 f 一撇 a 等于 f 一撇 b， 是不是存在一点可 c 属于 a 到 b 时的 f 两撇可 c 得零，是这意思了吧？但是你想他是不是套娃？如果我能找到 f 一撇 a 等于 f 一撇 b， 是不是希望能上面能够找到一个 f 一撇，什么 a 一等于 f 一撇 a 二等于 f 一撇 a 三， 就这样，所以他俩之间有一个，他俩相等，然后他俩之间用一下罗尔，哎，让他等于，然后他俩之间用一下罗尔，让他等于两次的罗尔定理是吧？ 那怎么办呢？首先第一问，他给了你一个等号了吧，叫 f e， 它等于 f 零，我们是不是通过这个等号再找到一个等号，让它等于 f a， 让这三个人相等，然后使用两次轮， 是这个思路吧，而你看到 f 二加 f 三，这在二零二三年也考考过啊，让 f 二加 f 三， 我想想有点忘了，好像不是二零二三年啊，有一年也考过。这什么呀？叫介质定律， 是不是叫戒指定律？来，你看啊，我们用一下戒指，什么意思？戒指你们有印象吗？戒指第二问， 你告诉我题目是不是告诉我们有 f 零等于 f 一，他这是题目告诉我们的是吧？我们现在在思考能不能等于一个 fa。 这个 a 我们还没找到啊，这个待定。那现在由于题目告诉我的是 f 二加上 f 三等于啥来着，看看是不等于最左边是不是等于两倍的 f 零啊， 对吧？他等于两倍的 f 零，我们用一下，在二到三这个区间上，我们使用一下连续函数的借式定理。请问你告诉我是不是有 fx 在二到三上？请问 f 二在二到三上是不是一定小于他在二到三上的最小值 啊？一，哎，一定大于它的最小值，一定小于它的最大值。 f 三一样它一定怎么样也小于，哎，也大于最小值，小于等于最大值。所以呢，如果我把它俩加一块， 是不是相当于大于等于两倍的小 m， 小于等于两倍的大 m， 如果除个二呢？请问除个二是不是这个 脚两倍就没了？两倍就没了，哎，就是这个意思，好了，可以了。而这个人又是谁？ 这个人不是 f 零，那你说是不是由连续函数的界质定理来？由界制定理是不是存在一个 a， 它是属于二到三的 b 区间上，使得我们的 f a 是谁啊？是这个二分之 f 二加 f 三，而它也刚好等于 f 零，而 f 零也等于 f 一，它好了，是不是找到三个人相等， ok 吧，那我们就来了嘛，这个人，哎，我们先把这个竖轴画一下啊，来这个竖轴，首先呢，零在这儿啊， e， 它是属于哪里的？ 题目是不告诉我们。一，他第一位属于零到二的，所以呢，这个地方来个二，那零到二之间有一个一，他，然后呢，二到三之间有可能是选择到啊这里，这里中间有个 a 啊，都可以取，所以呢， 我们即便就是 a 取到了二也没问题，这是三个点啊，即便 a 取到三，也是三个点，所以呢，不会重合的，对不对？一，他是在零跟二之间，是取不到零，也取不到二的，所以这三个点是不重合的，单独独立的三个点，所以对这三个点来，由于 f 零，真的 f 零等于 f e， 它等于 f a， 那就存在可 c 一属于零到一，它可 c 二属于一，它到 a， 使得什么呀？ f e 撇可 c 一等于 f 一撇可 c 二是不等于零？是不是一定也存在一点可 c 属于可 c 一到可 c 二。含在题目，告诉你要什么 题目的要求，这个是在零到三， ok 的，那就是函在零到三里，那么就使得 f 撇撇和 c 等于零。那这个地方你肯定要描述一下，我这懒得写了，你就是由罗二定理啊，这个地方写个罗二，对吧？然后呢，在这个地方之前再写个罗二就 ok 了。