榆树吕老师几何课程

同学大家好，我们今天讲一下椭圆或者是双曲线与直线连力如何快速得到我们所需要的各个值，也就是应节定理。 我们先看一下椭圆与直线连力。 x 一加上 x 二，等于分母式。与 x 有关的有 a 方，有 k， 所以说是 a 方 k 方，再加上与 y 有关的有 b 方，有 t 就是 b 方 t 方， 那与 x 有关呢？有 a 方和 k， 所以说这就是 a 方。 k 再乘以 m 乘以负二， x 一乘以 x 二，就等于分母是一样的， a 方 k 方加上 b 方 t 方，这是 x 相乘，所以说也就是 x 的二次。我们找与二次有关的，也就是 a 方及 a 方 就是 m 方。减，减什么呢？是不是已经有个 a 方呀？所以说我们就减去 b 方 t 方 有尾。答，点点，我们可以得到它等于 a 分之负 b， 这个呢，等于 a 分之 c， 所以说我们可以得到点立这个方程式， a 方 k 方加上 b 方 t 方 乘以 x 方加上二 a 方 km 乘以 x， 再加上 a 方乘以 m 方，减 b 方 t 方等于零。 其实同理我们也可以得到关于 y 的这个方程， y 加上 y 二，就等于分母是一样的， a 方 k 方加上 b 方 t 方 y 加 y， 和 y 有关的有 b 方，有 t， 所以说这个是 b 方。 t 在 乘以 m 乘以负二， y 乘以 y 二，分母一样， a 方 k 方加上 b 方 t 方， y 乘以 y 二，所以说它是二次就找二次的，这是 b 方，也就是 b 方乘以 m 方，减去是不是有 b 了，所以说我们就减去剩下的减 a 方 k 方，那这个它是新的， a 分之负 b， 这个就是 a 分之 c， 所以说关于这个 y 的方程，我们就可以得到是 a 方 k 方加上 b 方 t 方 y 方，再加上二 b 方 tmy 加上 b 方乘以 m 方减 a 方 k 方等于零。我们得到的这个式字， 那他是不是有两个根？我们是不是需要算第二塔呀？那什么时候需要算第二塔，什么时候不用算第二塔呢？只有一种情况，不用算第二塔，那就是直线过定点，而且这个定点在椭圆的内部。 其他的情况我们都需要算第二套，那我们算一下这个第二套等于多少？第二套等于 b 方减四 ac 等于四的 a 的四次方 k 方 m 方减四 aa 方 k 方加上 b 方 t 方， 乘以 a 方 m 方减 a 方 b 方 t 方，就等于四倍的 a。 我们提取出来 a 的四次方 k 方 m 方减 a 的四次方 k 方 m 方，再加上 a 的四次方 b 方 k 方 t 方，再减去 a 方 b 方 m 方 t 方， 再加上 a 方 b 的四次方 t 的四次方。那在这里是不是这个是约了，其他的是剩了这三个式子？我们提取出来一个 a 方 b 方和 t 方，那剩了 a 方和 k 方， 这个剩了 b 方 t 方，再减去 m 方。 three， 这就是这个第二塔。我们再看一下关于 y 的第二塔，第二塔等于 b 方四倍的 b 的四次方 t 方 m 方减四 a a 方 k 方加上 b 方 t 方 c 是 b 方 m 方，再减去 a 方 b 方 k 方，就等于把四提取出来 b 的四次方 t 方 m 方减 a 方 b 方 k 方 m 方， 再加上 a 的四次方 b 方 k 的四次方，减去 b 的四次方 t 方 m 方，再加上 a 方 b 的四次方 t 方 k 方， 我们将 b 的四次方 t 方、 m 方约掉，就剩下的是这个式子。然后我们将四倍的 a 方、 b 方、 k 方这个提取出来， a 方、 b 方和 k 方提出来，这还剩了 b 方、 t 方。这个上呢，是 a 方 b 方 k 方是 a 方 k 方，然后这个上 m 方，所以它就是 a 方 k 方加上 b 方 t 方减 m 方。 我们可以看一下这两个第二条相同的部分都有四， a 方 b 方，然后有 a 方 k 方加 b 方， t 方减 m 方 a 方 k 方加 b 方 t 方减 m 方。 然后这里是消掉了 y， 所以说他这个是 y 的系数，这个是消掉了 x， 他就是 x 的系数。所以我们可以统一写成第二特，等于四 a 方， b 方乘以一个数，这个是分母减 m 的平方。 在这里如果是关于 x 的式子，然后这里就是 y 的系数。如果化解成关于 y 的式子，这就是 x 的系数。我们再求一下 x c， y 二加上 x 二 y 一，因为我们有 k， x 加上 t， y 加上 m 等于零。我们先去 y， y 就等于 k， x 加上 m 比上复 t， 所以就有 x 一 y 二加上 x 二， y 一就等于 x 一乘以 k 倍的 x 二加上 m 比上复 t， 再加上 x 二乘以 k 倍的 x 一加上 m 比上负 t， 我们提取来负的一比 t， 这就是 k x 一 x 二加上 m， x 一加上 k， x 一 x 二加上 m， x 二 就等于负的体分之一。二 k x 一乘以 x 二加上 m 倍的 x， c 加上 x 二。前面已经知道了， x 一乘以 x 二和 x 一加上 x 二，所以说就是负的 t 分之一，这是二。 k 乘以 a 方， k 方加上 b 方 t 方，这是 a 方 m 方减 b 方， t 方加上 m 乘以 a 方， k 方加上 b 方 t 方负二 a 方 km 等于负的 t 分之一。分母就是 a 方 k 方加上 b 方 t 方， 就是 a 方乘以二， k 乘以 m 方减二 a 方 b 方 k t 方再减去二倍的 a 方 k， m 方 i， 这两个一约，它就等于二倍的 a 方 b 方 kt 比上 a 方 k 方加上 b 方 t 方。再试一下消 x 可不可以？ x 就等于 ty 加上 m 比上复 k， 所以说 x 一 y 二加上 x 二， y 一，就等于 t y 一加上 i， m 比上负 k 乘以 y 二， 再加上 t y 二加上 m 比上负 k 乘以 y 一，就等于负的 k 分之一。里面是 t y 一 y 二加上 m y 一， 再加上 t y 一 y 二加上 m y 二就等于负的 k 分之一。二 t y 一 y 二加 加上 m 倍的 y 一加上 y 二，就等于负的 k 分之一。二 t 它是乘以 y 一乘以 y 二是 a 方 k 方加上 b 方 t 方，这是 b 方乘以 m 方减 a 方 k 方 加上 m 乘以 a 方 k 方加上 b 方 t 方负二 b 方 tm， 他就等于负的 k 分之一。分母是 a 方 k 方加上 b 方 t 方 二 tb 方 m 方减二 tb 方 a 方 k 方，再减去二 b 方 tm 方。这又可以约，就等于 a 方 k 方加上 b 方 t 方，负负得正，然后约一个 k 就等于二倍的 a 方 b 方 kt。 所以说我们可以得到 x 一 y 二加上 x 二， y 一，就等于分母不变呀。还是 a 方 k 方加上 b 方 t 方。分子就是所有的系数都乘以 a 方 b 方 kt 都乘过来，然后再乘以二。我们再来求一下弦长。 假设 a 等于的坐标是 x 一 y 一 b 点的坐标是 x 二 y 二，所以说 ab 的平方，它就等于 x 二减 x 一的平方，加上 y 二减 y 一的平方。我们先消去 y， 就等于 x 二减 x 一的平方。加上负的 k b t， x 二减 m b， t 加上 k b t， x 一加上 m b， t 的平方，就等于 x 二减 x 一的平方。加上 负的 k 比 t， x 二加上 k 比 t， x 一的平方等于 x 二减 x 一的平方。加上 k 方比 t 方乘以 x 二减 x 一的平方。等于 e 加上 k 方比 t 方乘以 x 二减 x 一的平方。又因为 x 一减 x 二的平方等于 x 一加上 x 二的平方。减四倍的 x 一乘以 x 二等于 a 方分之 b 方减四倍的 a 分之 c 等于 a 方分之， b 方减四 ac 就等于 a 方分之。第二趟，所以它就等于一加上 k 方比 t 方乘以分母是 a 方及 a 方 k 方 加上 b 方 t 方的平方。第二，它是四 a 方， b 方它消去了 y， 所以说应该是 y 的系数。 t 方再乘以 a 方 k 方加上 b 方 t 方减 m 的平方， 就等于 t 方分之 k 方加上 t 方，再乘以这个是平方。然后是四 a 方 b 方 t 方 a 方 k 方加上 b 方 t 方减 m 的平方。这里将 t 方消掉，所以它就等于四 a 方 b 方 k 方加上 t 方，这是分母的平方。 a 方 k 方加上 b 方 t 方的平方，这是 a 方 k 方加上 b 方 t 方减 m 方。 同理，我们再试着用 y 来表示出来 a b 的平方，它就等于也是 x 一减 x 二方加上 y 一减 y 二的平方。因为 a 点和 b 点都在直线上，所以说 x 可以用外表示出来及负。 t 比上 k， y 一减 m， b， k 加上 t 比上 k 乘以 y 二加上 m， b， k 再加上他的平方，万一减万二的平方，就等于这个是 t 方比 k 方乘以万一减万二的平方，再加上万一减万二的平方，就等于 一加上 t 方比 k 方乘以 y 一减 y 二的平方。其实 x c 减 s 二方和 y 一减 y 二方都一样，都是 a 方分之。第二，它 就等于 k 方分支 k 方加上 t 方，再乘以 a 方，都是分母。 ra 方 k 方加上 b 方 t 方， 它的平方第二，它就是四倍的 a 方。 b 方销掉了 x， 把 x 的系数拿过来， k 方是不是里面就是 a 方 k 方加上 b 方， t 方减 m 的平 方，我们将 k 方消取，就等于四倍的 a 方 b 方，然后是 k 方加上 t 方就乘以 a 方 k 方加上 b 方 t 方的平方分子是 a 方 k 方加上 b 方， t 方减 m 的平方。所以我们可以看出来他们两个是一样的。可以得到 ab 的嫌长等于四。 a 方 b 方，这是 k 方加 t 方。 其实你看起来很麻烦，你把它这个当成 a 就很简单了，这是 a 方，这是 a 减 m 方。这次对于任意的 k 和题都是使用的。 现在我们来总结一下椭圆与直线连立，如何快速得到各个值。椭圆的方程为 a 方，分成 s 方加 y 方，比上 b 方等于一直线的方程 为 k， x 加 t， y 加 m 等于零。这样的话，这条直线可以表示所有的直线。我们先写年立得，但是我们并不写方程先得 x 一加 x 二，分母是与 x、 y 所有有关的系数 x 有关呢？是不是 a 方和 k 啊？就是 a 方， k 方 和 y 有关的是 b 方， t 就是 b 方乘以 t 方，这就是分母 x 一加 x 二，和 x 有关的，是不是 a 方 k 啊？我们 a 方 k 再乘以这个 m 乘以负二，这就是 x 一加 x 二，它就等于 a 分之负 b， 那 x 一乘以 x 二，分母都是一样的， a 方 k 方加 b 方 t 方 x 一乘以 x 二，它是二次，所以就找和 x 方有关的是 a 方，所以这是 a 方，里面就是 m 方减，减谁呀？ 这有个 a 方呀，减剩下的就减 b 方 t 方，这就等于 a 分之 c， 这样子的话，我们就可以把这个方程写出来了。这首 cm 就是 a， 即 a 方 k 方加 b 方 t 方 x 方加上二 a 方 k m 乘以 x 加上 a 方乘以 m 方减 b 方 t 方等于零。 那什么时候算第二趟？只要不是说他过定点，而且定点在椭圆内部，我们一定都要算第二趟，第二趟就等于四倍的 a 方 b 方，这是一样的，这个是分母，减 m 方也是一样的。因为我们这是换成 x， 即消掉了 y， 把 y 的一次系数拿过来及 t 方。 同理，我们也可以把它化成关于 y 的函数。我们先写 y， e 加 y 二，分母都是一样的， y e 加 y 二，和 y 有关呢？是不是 b 方 t 啊？再乘以 m 乘以负二，那 y 一乘以 y 二，它是二次的，所以说找这个二次的及 b 方 b 方乘以 m 方减，减谁呀？有个 b 方了，我们就减 a 方 k 方。 通过这样子，我们可以写到关于 y 的一个函数，然后求第二它第二，它就等于四 a 方 b 方，然后是 a 方 k 方加 b 方 t 方减 m 方，在这里消了 x， 所以就把 x 的隐私系数拿过来就是 k 方。 我们又求了 x 一 y 二加 x l y 一 fam 是一样的， a 方 k 方加 b 方 t 方。 分子呢？所有和 x、 y 有关的都拿过来及 a 方有关， b 方有关和 k、 t 都拿过来，然后再乘以二。好，我们又算了，这个 a、 b 的弦长，弦长是四 a 方 b 方，这是 k 方 加替方，然后这是分母的平方，这是分母减 m 的平方。我们多用几次就可以熟练了。 我们用相同的办法看一下双曲线，以直线连列，为了看呢，比较方便，我们把这个双曲线方程换一下。 x 方比 a 方，加上 y 方，比上负 b 方等于一 是 k， x 加上 t， y 加上 m 等于零，然后连立得 x 一加上 x 二，有关的就是 a 方 k 方，这是减 b 方 t 方和 x 有关的是不是 a 方 k 啊？再乘以 m 乘以负二，那 x 一乘以 x， 二等于 a 方 k 方减 b 方 t 方， 这是 x 方呀，方有关的是不是 a 方呀？然后 m 方减，不能减这个，只能减这个呀。所以就是加上 b 方 t 方，这样子我们就可以得到年龄的这个方程了。就是 a 方 k 方减 b 方 t 方 x 方 加上二 a 方 km， x 加上 a 方乘以 m 方，加上 b 方 t 方，应该等于零。 第二，它呢等于四倍的 a 方，是不是负 b 的平方呀？再乘以 x x， 它应该把 y 的放过来及 t 方，然后就是分母， a 方 k 方减 b 方 t 方 再见 m 方，我们再试着削一下 x， y 一加 y 二分母都是一样的哈， a 方开 配方减 b 方 t 方和外有关的是不就是负 b 方和 t 啊？及负 b 方， t 乘以 m， 再乘以负二，结果就是正的二，再乘以二 万一乘以万二，就等于 a 方 k 方减 b 方 t 方。方方方和方有关的是不就是负 b 方呀？然后 m 方减，有负 b 方呀，减前面的，减 a 方 k 方， 所以说我们就可以得到这个方程了呀。就是 a 方 k 方减 b 方 t 方 y 方 减二 b 方 t m 乘以 y 减去个 b 方乘以 m 方减 a 方 k 方等于零，那第二它就等于四倍的 a 方乘以负 b 方 去了 x 是不？我们把 x 的一次序数拿过来，乘以 k 方，然后就是分母， a 方 k 方减 b 方 t 方，然后再减 m 方 x 一 y 二，加上 x 二 y 一，就等于分母一样哈， a 方 k 方减 b 方 t 方。 分子就是所有和 x y 有关的，它是不有 a 方有副， b 方有 k 有 t， 所以就是 a 方 负 b 方 kt 乘以二就等于负二 a 方 b 方 kt， 所以 a 方 k 方减 b 方 t 方，我们也可以得到嫌长的平方，他就等于四倍的 a 方 负 b 方，是不是？然后是 k 方加上 t 方，这是分母的平方， a 方 k 方减 b 方 t 方的平方，这个是 a 方 k 方减 b 方 t 方，再减 m 方，这就是线长。大家可以看一下这个电子版的，然后做个笔记，我们下次再讲一下如何用这个应节定理快速解题。

同学们好，这节课我们来讲一下二次函数的几何变换。二次函数的几何变换分为平移、对称和旋转。我们先来看一下平移， 平移的时候分两种情况，我们分别记住一句话，第一，左右平移， 有 x 的地方用括号扩起来左加右减。第二，上下平移，直接在紧是后面上加下减。我们来解释一下这两句话。 这是一个二次函数的，一般是向左平移 m 个大位，有 x 的地方，我们扩起来左加右减，别的地方不用动，直接落下来，那么就是 a 乘以有 x， 括号 x 加 加 m 的平方加上 b， 这又有 x 了，扩起来 加加 c。 如果是向右平移呢？这块变成减，这块变成减， 上下平移，直接在解释后面上加下减，向上平移 n， 我直接在后面加上 n， 向下平移呢？变成简学。我们来看一道具体的例题。 将抛线的图像先向右平移两个单位，那么有 s 的地方扩起来 左加右减，那这里应该是向右平移，应该是减减二， 别的地方落下来加上 b， 乘以又有 s 了，扩起来减二，别的地方都不要动，它等于呢啊，再向下拼三个单位，那直接在解释的后面减三等于呢？这个还是在解释，就是 x 减一， 括号的平方减四。这个里面考察的就是对应像系数相等，我们把这两个解释都画成一般式，然后让对应像系数相等，求出 bc 的值，把它换成一般是括号展开 x， 平方减四， x 加四， 再加上 bx 减去二， b 加 c 减三，等于这块也给他展开 s 平方减二， x 加一，减四。然后呢，把它画成，一般是合并同类，像二次向就是 s 方，一次向呢，是负四， x 加 bx， 那么就是 b 减四， 括号 s， 剩下的是不是都是长竖线了？四减三是一， 然后呢，减二， b 加 c 等于 x， 平方减二 x 一减四呢，是负三。对应项系数相等，二次项系数都是一，已经相等了，依次项系数呢，它是 b 减四，这个一次项系数呢，是负二等于负二， 他的长数项呢，是一减二， b 加 c 等于他的长数项呢，是负三。接 解这个二元一次方声组，我们得出 b 等于二， c 等于零，那么就选 b。 我们再看一道例题，已知有两个二次函数， 其中呢， ab 是整数。判断将二次函数后面的这个二次函数经过哪一种平移方式后，会使得两图形的对应轴重叠。 那么我们首先要求出对称轴，求出他俩对称轴以后呢，再判断是向左平移，向右 平移几个单位。那么我们要想求出对线轴呢，我们首先要把它画成一般式，这就是 a 乘以把这个括号给它展开， 也就是 x 的平方加 x 减七， x 就变成减六， x 减七。 这个里面我为啥不把 a 再给他展开了，这个括号再展开，因为没有意义了。我们说对称轴 x 等于负的二， a 分之 b， 这个 a 是二， b 呢是负六，应该等于三，如果把这 a 展开呢， 对吧？就是 ax 方了，那这块乘一个 a 上面呢，变成负六， aa 和 a 约掉啊，所以对称 轴呢，是没有影响的。同理，这个呢，是 b 乘以个 s 的平方加一乘 s 加 x 减十五， s 减十四， x 减十五，他的对称轴呢，负的二， a 分之 b 等于七。 现在要想把这个对称轴给他平移，让他得到前面这个，那么我们看这怎么平移呢？我们要给他写成顶点式，后面这个就是 b 乘以个对称轴，是不是 x 减七的平方啊？ 前面这个呢，是 a 啊，系数是 a 乘以 x 减三的平方，我们说这个式子怎么样才能变成减三呢？那得让他加四，加四那就出来了，左加 右减啊，括号里面左加右减，那就向左平移四个单位了，选 a， 我们下面来看第二种情况，二次函数啊，关于坐标周对称，那么就分为关于 x 数对称和关于外周对称。这里面呢，每一种又分为两种情况，一个是一般式，一个是顶点式， 他们对称有什么规律呢？我们来画图， 假设这是一个二次函数，那么他关于 x 弱对称， 是不是就这样的？我们先来看，一般是假设给我们的函数是一个，一般是， 我们怎么去找这个对称的图像呢？首先第一步看开口， 根据开口的方向啊，我们判断这 a 的正负，因为 原图像开口向上，现在图像呢，开口向下了，那么 a 是不是就变成他的相法数了？所以新图像呢，应该是负 a。 第二步呢，看对称轴， 我们知道对称轴呢，是等于负的二 a 分之 b， 现在这个 a 相反了，对称轴呢，还不变，所以呢，这个 b 必须也要相反，才能保持对称轴不变，我们知道是复辟。第三呢，看与歪轴焦点 与 y 轴焦点是不就是 c 啊？原图像与 y 轴焦点是这个点，对称，以后呢，是这个点，他俩也是关于 x 手对称， 那么他就是负 c， 所以我们得到现在这个函数是 y 等于负 as， 平方减 bx 减 c。 所以说呢， 我们不要死记硬背，考试这个题以后，我们在脑海中画一下，画一个这个图， 先看开口，看对称轴，看与外轴焦点，是不是直接就能写出来了？那第二种，比如说他给我们的直接是个顶点式， 那么我们要不要把它画成一般式呢？不要，顶点式反而更容易一些。我们说他这么写的时候，这是顶点式的一般形式，是吧？他的顶点的坐标是什么呢？是 h 和 k。 那么如果给我们顶点式，我们要分两步，第一步呢，写出顶点坐标， 因为这个点 两个新，这个新顶点和圆顶点也是官员所有对称，官员所对称呢。我们知道这个坐标有什么特点，横坐标不变，重坐标会相反，所以新图像顶点坐标就是 h f k， 这款呢就是 h f k。 第二步呢，看开口，开口与原图像相反，那么变成负 a， 然后呢，直接写出解决式 y 等于原因是 a， 现在是负 a 啊，现在的顶点坐标是这个，那么根据顶点式的形式，就 x 减去 h 括号的平方加 k， 现在这个 k 呢？顶点重度标直接落到后面，是多少就是多少，是不是更简单一些？ 同理啊，关于歪轴对称，我们来看一下 这个原图像，还是这个关于歪轴对称呢？ 是不是就这种形式的假设，他给我们的现在还是个一般式，那么我们也是按照这三步，第一步看开口，开口怎么样不变，那么他也是 a 呗。 第二步看对称轴，对称轴怎么了？相反了， a 还不变，整体还相反了， a 还不变，那么 b 只能变， 所以 b 就变成副 b。 第三步，看与外交点没变，还是这个，那还是 c 直接写出答案， y 等于 ax 方减 bx 加 c， 如果给我们一个顶点式，那更好了，还是第一步写出顶点坐标。我们说这个两个图像，关于外周对称是不顶点，也关于外周对称，那么他的坐标就是负 hk 横动作标相等，横坐标互为相反数。 第二步，开口呢，一样也是 a， 然后直接写出 y 等于 a， 乘以 x 减去 横坐标，减去负 h， 是不是就加 h 了的平方纵坐标呢？直接落下来， 我们来看一道， 看一下这个第七题。在统一坐标平面内，不可能有函数， y 等于二， s 方加一的图像通过平移变换 轴对称变化得了函数。那么我们这里有个规律，大家要记住，无论这个函数是平移还是轴对称啊，包括我们下面讲的旋转，这个 a 的绝对值一定是不变的， 因为 a 的绝对值反应的是开口的大小，无论我们怎么变，我们开口的大小，或者说叫图像的形状是不变。 所以说呢，这里我们有个技巧，直接就可以判断出 d 是不对的，因为他的 a 变成二分之一了，剩下的他的 a 呢？绝对值都是二啊，正负是可以变，但是绝对值不能变 对，这个题选 d， 那我们分别来看一下这几个图像都是怎么平易得到的 a 啊，出现括号了，加一，那就左加右减，左向左平移一个，后边减一了，减一后面的 整个解释，后面那直接是上下减一，怎么得到呢？减二是不是后面就变成减一了？所以呢，向左平移一个，向下平移两个， b 呢？直接在后边加二就可以了，向上拼一两， c 呢？通过 s 轴对称，是不是 ac b 还有 b 都互为相关数了， b 是零了？ 好，下面我们来看第三种情况，旋转，旋转呢，也就是关于一点中心对称， 他分为三种情况，关于原点对称，关于顶点对称，关于任意一点对称。我们先来看原点对称，关于原点对称呢，我们和关于做标准对称的方法一模一样啊， 不用记出来以后我们可以画一张图，如果你记呢，你也会记混是吧？比如说，随便现在给你一个图像。关于远点对称呢，绕远点旋转一百八十度， 现在这个 dna 跑这来了，不开口向下了啊。第一步，看开口，开口怎么样，相反了变成腹围啊，这是给一般式的情况。第二步呢， 看对称轴，对称轴相反了，那么 a 也相反了， b 就不能变，对不对？注的二 a 分之 b 啊，对称轴整体他得是相反的，现在呢， a 已经 相反了，那 b 再相反是不是又不变了？所以 b 只能不变。第三步呢，看与外周焦点，现在这个焦点呢，在上方，在这先 新图像呢，是不是叫到下方了？这两个点是不是也是关于原点重心对称的，所以是负 c， 那么新图像啊，那就是负 as 方加 bx 减四一倍，如果给我们一个顶点是， 那更好了。关于原理对称，先找顶点，对吧？跟刚才的方法一样，现在的顶点是 hk， 我们先找这个点。关于原点的对称点是什么呢？一个点，关于原点对称，是不是横纵坐标都互为相反数， 然后看开口，开口向下变成负 a， 然后呢写出那就是负 a， x 减去 四 h， 是不是加 h 的平方，后边直接录下来减 k， 这是关于原点对称，下面我们来看一下关于顶点对称，关于顶点对称和关于任意一点对称呢，我们这里记住我们直接就用顶点式比较方便， 当然了他可以直接用一般事去做，比较麻烦，我们这里这个不用掌握， 那么给我们一个一般式以后呢，我们要先把它画成顶点式，这个我们是会的，告诉我们顶点式以后啊，我们再再去做就好。做，我们看一下这个， 给我们一个顶点式，现在呢说他关于顶点对称 啊，我们任意画一个图像，关于顶点的对称，是不是这样的呀？ 他不是关于对称轴对称，关于这个点旋转一百八十度，那么我们的方法和刚才这个顶点是一样的。 第一步看顶点，顶点变没变呀？没变还是负 h， 呃，还如果这个以前这个顶点是这么写是 h 和 k 的话，那现在还是 h 和 k。 第二步呢，看开口，开口怎么样了，相反那就是负 a 呗，那么我们根据顶点式的形式去洗，那 y 等于 a， 现在是负 a 了，对吧？括号 x 减 a， h 的平方加 k， 对吧？所以呢这个更简单，给我们一个顶点是告诉他关于点点直接在前面加个符号就行，直接就是 a 在边。 第三个我们看一下关于任意一点对称这种我们也首先给他画成顶点式，然后呢还是按照顶点式的做法，第一步呢，先找到顶点，关于任意一点对称点，比如说这个点 mn 在这， 那么这个点关于他的，把他俩连起来，然后呢？延长 举他俩相等，这是不是这个点的对称点啊？那这个点的坐标我们怎么求呢？现在已知他 告诉你顶点式了吧，也就告诉他的顶点是 hk。 这里我们记住两点， 以这两点坐标求终点坐标的关系的公式。这两个点的横坐标加起来除以二，是它的横坐标，对吧？那也就是那它的横，这个点的横坐标就是二 m 终点乘以二，再减去 h 呗。 这两点的重度标他是 k， 他的重度标相加一除以二呢，是 n， 那么这个新点的重度标呢？就是二乘以 n 减去 k， 那我们得到这个新顶点的坐标啊，第一步呗， 是二 m 减 h， 做那边是二人减 k 啊，不写了。第二步呢，看开口，开口呢，他关于这个点宣这半一百八十度开口肯定是向下， 所以我们看关于一点对称，无论哪个点是不是开口 a 都是相反了，所以呢， a 变成负 a 了，那我们根据 零点式的写法，负 a 括号 x 减横坐标啊，负 a 乘以括号 x 减去 横的标是啥呀？二 m 减 h， 这个变成纵括号，后边的纵斗标呢？直接落下来，二 n 减 k， 把这个括号一展开，是不是就是这种形式的？ 我们要记这其中的规律和方法，不要死记硬背啊，这么多我们容易记混也记不住。 好，下面我们来看几道例题。是一体若抛线，向左向上平移四个，再绕远点旋转啊，这里又有平移又有旋转，那么我们按步骤一步步来呗， 向左把 x 扩起来，左加加四，别的地方不要动，减四。这又有 x 同样扩起来， 左加右减做加四，减别的地方不要动，然后呢，再向上拼色，那直接在后面加四 啊，然后呢再要远点旋转一百八十度，这个时候我们知道了，可以是一般是，也可以顶点是这个里边我们怎么画呢？ 因为圆点和对称轴对称呢，我们可以用一般式，对吧？我们直接给他换成一般式，也就是把括号展开呗。啊， 这个里面大家可以自己算 看一下啊，他应该等于二 x 的平方加上十二， x 加上十五， 直到这个以后。关于原点旋转啊，我刚才讲的对吧，你不用记，你可以现他旋转了以后，第一步 a 变成负的了，对吧？沃尔 s 方。第二步呢，对称轴变成负的了，变成相反的了， a 已经相反了，那 b 就不动。 第三步呢，看与歪轴焦点刚开始在上边一旋转也八十度，在下边当然要相反， 所以是减十五。 再来看十二题，抛线，他给我们一个顶点，是啊，最好了，我们就希望他给我们顶点是旋转一百八十度，绕顶点旋转一百八十度，那我们刚才记住了，是不是就在前面加个符号就行，这就是他的节气势啊。 下面的题大家可以自己练习，那么我们总结一下，这一课讲的，我们讲了二次函数的几何变换，包括平移对称和旋转。平移呢，我们记住两句话，左右平移， 有 s 的地方用括号扩起来，左加右减，上下平移，直接在解释的后面上加下减。第二，关于对称轴对称又分为关于 s 对称，关于 y 轴对称， 然后旋转，包括原点啊，顶点和任意一点去选准。我们说关于 so 对称，歪轴对称和关于原点中心对称，我们可以既可以用，一般是也可以用 顶点时啊。但是关于顶点对称和关于任意一点对称，我们一定要把它画成顶点时会比较方便一些。好了，这节课内容就到这里。

榆树小肚虫是俏之木小肚科的一种昆虫，对外植物简易对象之一。它主要危害树干和粗枝的韧皮部破坏形成层，对树木的生理机能和木材的价值都有较大影响。小肚虫成虫红褐色，有光泽，前胸背板黑色， 上面刻点较小。以幼虫越冬。越冬后第一代成虫在健康的树干和枝条上取食，构筑坑道， 幼虫取食形成的子坑道，从母坑道出发成辐射状在树皮中化蛹，幼虫老熟后便在坑道末端。注意，陨石化蛹通常在七月中旬后羽化，成虫羽化高峰在八月中旬。防治方法， 幼虫危害期使用修建套餐，加一他两瓶兑水六十斤，进行树干重孔部位喷雾，保证树干喷湿喷透。