北师大版九年级下三角函数练习题

嗨，同学，大家好，这节课呢，我们继续往后延伸，上节课呢，我们学习了函数的这个三角函数的一个应用，对吧？那么我们看看他所对应的练习题。 首先呢，我们还是老规矩，对知识点进行一个复习，也就是说用直角三节直角三角形的知识啊，去解决实际问题的一般过程， 一般过程，那么这个习题呢，也就都是来解决实际问题的，首先呢，我们要将实际问题啊，转化成， 哎，转化成数学问题，找见直角三角形，找见角，找见边，把其他的角度或者是说边长解出来，那么 我们再考虑实际意义，然后呢，得出来实际问题所需要的答案，那么这道题就完成了。好，我们首先看第一个内容，如图，由一根斜 坡啊，有一个斜坡 a， b 是四十米， a， b 是四十米，然后呢，坡顶离地面的高度，坡顶离地面的高度 b， c 是二十米，然后呢，求斜坡的倾斜角，倾斜角什么什么意思啊？是不是在这里就是坡角的意思啊， 对不对啊？那么就是坡面啊，坡面 a b 这个坡面和水平地面的这个夹角 就是坡角，对不对？你看我们前面呢，都大部分都是求这个线段的长度了，我们在这里是不是也要求角度了，对不对？那么你看，知道他的对边啊，知道他的斜边啊，因为他本身就是一个直角三角形吗？对吧？那么对比斜，对比斜，是不是三音 a 的话，那它它等于多少呢？等于二十，比上四十等于二分之一，那么求角 a 正好是我们 最大三十度的这样一个特殊角，是不是同学们很简单啊？第一题很简单。好，第二题，第二题没有图，这个图是补充的啊，有一座建筑物在地面上，点 a， 点 a 侧的起顶，点 c 的迎仰角是三十度 啊，点 a 观察阳角是三十度，然后呢，走一段距离啊，走一段距离，前进五十米，然后呢，得到了角，呃， b 点，到了角， b 点， b 点呢？再看 c 点的阳角呢？是四十五度。哎呀，这个题熟悉吗？是不是和我们前面讲上课的这个有一个内容是 几乎是一样的，对不对？修建筑高度 a， 呃，那么去求他的 cd， 是不是同学们是一样的啊？那么我们的办法是什么呢？我们的办法是什么呢？把它放在三角形 abc 里面，你用三十度角也可以算出来一个 ad， 对不对啊？ 然后呢，再利用四十五度角，我可以把把这个假设成 x 的话，那么用 x 能够表示出来 b d， 对吧？那么用 a d 啊，减去 b d 就等于这个五十，然后呢，解出来 x 就是这个高度了。注意最后的结果，要求精确到小数点后一位。 明确了。哎，明确了，那我在这里呢，就不再多多说这个了哈，多说这个了，因为比较简单啊，比较简单，同学们呢，都没什么问题哈，没什么问题的。 ok， 看清楚了哈，看清楚呢，我们继续往下，继续往下。好，第三题的时候呢，是一个燕尾槽的横截面呢，是一个梯形， a， b， c， d。 梯形，我们在本呃在这一章里面也见了很多次了，对不对啊？梯形见了很多次了， a， b， c、 d， 我们再来看一下。那如果我连接 a、 d 的话呢，它是不是这 a， b， c、 d 就是一个梯形啊，就是一个标，呃，这个我们数学生研究的梯形呢？那么 a、 d 啊，上底平行于下底 b c， 那么这里呢，告诉我们， a、 b 和 c、 d 是相等的，也就是它是一个等腰梯形， 对不对？那么燕尾角角 b， 燕尾角角 b， 人家告诉我了是五十五度，那么同同样的啊，那这里角 c 是不是也等于五十五度等腰，提醒吧， 对吧？ a、 d 这个外口呢，等于一百八十呃，毫米，然后呢？烟尾槽的深度是七十毫米，那么怎么做啊？ 怎么做？同学们，我们肯定是沿着他做一条垂线吗？沿着他做一条垂线对不对？因为他求离口的宽度，求 b、 c 了吗？对不对？那么中间就是一百八，关键要看这一段和这一段，把它加起来就行了，对不对？因为他俩的角度相等，他俩是全等的，其实你只要解出来这一段，其中或者是 说这一段，然后呢，乘以二就行，对不对？然后呢，既然这个呢，等于七十七十呃，毫米，那么用 tinit tint 五十五度，那么你就能求出来下面这条边对不对？乘以二，再加上中间的一百八就完成了啊，注意，结果精确到一，结果精确到一， 过 a 点做 a e 啊，过 a 点做 a， e 啊，在这里呢，没有做出来。这个图上我们在这里画一下哈， a e 垂直于 b c 于点 e， 对不对？二倍的 b e 的话，那就就是这个意思。如果你说老师我要做 a， e 垂直于 b c， 然后呢？再做 d， f 垂直于他，然后呢，算出来 b e， 再算出来 c， f 加起来可以吗？完全没有问问题，完全没有问题哈，同学们都可以的。 好，第四题也是最后一题，你看，又是货轮方位角的问题哈，如图， 一艘货轮以三十六节，这个单位是节的意思，是我们航海的一个，呃，一个那个单位，那么节的意思呢？是，呃，每小时多少海里啊？每小时多少海里啊？每小时多少海里？ 三十六海里哈，每小时的速度呢？在这个海面上航行，当他行驶到点 a 处的时候，在点 a 处的时候，他发现东北方向有一个点臂，东北方向有一个点臂，一般说出来东北方向的话，他就指的是正的，正，正的东北啊，也就是说，呃，这个方向呢，是正好平分了， 平分了，你看，平分了这个直角的，他这里是四十五度的内容，明白了吗？是这样一个哈，在这呢，要解释一下，呃，然后呢？点有点闭，然后呢，货轮继续向北航行，四十分钟，向北航行四十分钟到达 c 处，我们一个一看你航行 四十分钟到达 c 处，你的速度呢？知道时间，知道你是不是就能求出来这个路程 ac 对不对？四十分钟的话，四十分钟，那么他除以一个小时是六十分钟，那么他相当于三十二，呃，三分之二小时，三分之二小时，你乘以三十六， 对吧？这就单位化成一致了，相乘它是不是等于二十四海里，也就 a c 等于二十四海里，我就知道了啊。此时呢，到达 c 处的时候，从 c 处再观察 b， b， 再观察这个灯塔 b， 那么它就成了北偏东北，是吧？东是这边啊，北偏东七十五度，七十五度的方向， 然后呢，也是知道了两个角度是吧？知道了一段长度，然后呢？问你此时此时是什么？你就在你 c 处的时候，你货轮和灯塔 b 的距离，也就是求 b c 的长，对不对？把这个实际问题转化到我们的数学问题上，画出来图形， 是不是？求就是求 b c 的长了，没毛病吧？你知道老师，这个我也理解啊，我过点 b 啊，我过点 b 做他的垂线，然后呢？表示出来这个，呃，呃，这个，你比如说这一些是点 d， 然后表示出来 a d， 然后呢？再放在 呃这个小三角形里面，表示出来 cd， 那么 ad 减去 cd 就等于二十四，然后呢？解出来这个高度 x， 然后呢？呃，再用呃勾股定理的内容呢？或者是用呃三角函数的内容，我再解出来 bc 可以的，但是这样呢？绕远了，绕远了，你看， 既然我知道 b， 呃，我要求 bc， 对吧？啊？我要求 bc， 然后呢？嗯，那我就不要这个了哈，我要求 bc， 然后呢？我也呃这个 ac 呢，我也知道，是吧？ ac， 我也知道，你看他本身就在一个三角形里面，然后呢？四十五度角，七十七十度角。知道啊， 你看四十五度角也知道我是不是可以把这个高就坐在里面，对吧？坐在这个三角形里面，你看这是一个直角，那么这是不是一个直角三角形，对吧？他是二十四啊，他是二十四， 那么根据这个你看，这样的话呢，我要求出来 c e， 求出来 c e 是不是有有转化到这个三角形里面去了，对吧？我求出来，我在现在这个里面求出来 c c e 的话，你看用 say 是吧？用 saying 四十五度二分之根号二，对吧？它呢就等于十二倍的根号二， c e 就等于十二倍的根号二 啊，你要是先求出来 a e 的话也行嘛，因为 a e 等于 c e 是吧，但是等到直角三角形是不是啊？那么然后呢，你看你等于四十五度的时候，这个角是不是四十五度，对吧？这个角四十五度，那么这个角等于多少？七十五加是四十五，是不是一百二？ 一百二，那么这个角呢，等于六十啊，那么这个角就等于三十度了，三十度角，它所对应边 c e 十二倍的根号二，然后呢，求它的这条边是不是也是用 say e 对不对？ 三一三十度，它就等于 c e 比上 b c， 那么我解出来 b c 是不是就可以知道这个灯塔的距离了，对不对？同学们，哎，你看这样的话，我辅助线如果坐在这个三角形里面的话，是不是这个就更直接简单一些，不用绕那么远 对不对啊？所以说呢，我们要在做题的时候呢，注意观察啊，注意观察哈，想，呃，想好了啊，注意观察，想好了，然后呢去解答，解出来的结果之后呢，和这个题呢，做一个相应的这个比较啊，做一个相应的比较，看看人家这个详细的地方，哎，还有自己的这个步骤上，步骤上，步骤上，关键的 步骤一定要有，一定要完善好。同学们，这个习题呢，比较简单，比较简单，也比较容易哈。同学们辛苦了，这节课呢，我们就上到这里，更多精彩课程请关注冯老师爱数学，谢谢，大家再见。

同学你好，这节课呢，我们继续往下研究啊，上节课，根据上节课的内容呢，我们再来看一部分的习题啊，九下教材习题，一点一九下的内容啊， 好，首先呢，我们对上节课的知识点呢进行一个复习，上节课我们主要学习了三角锐角，三角函数里面的正切函数，对吧？啊？正切这一部分。 然后呢，首先看到的他，其实我们讲了，呃，内容呢，不少啊，但是总结起来的关键点呢，就这么三个，就这么三个啊， 有的同学在听课的时候呢，他自己感觉有点晕，不要不要晕。好，我们只是举的例子呢，多了一些，但是总结到这个点上的时候呢，你看这些点能够理解透彻就可以了。那么第一，泰尼的 a 角 a 的对边比上 角 a 的零边是吧？知道这个意思，在直角三角形里面啊，对边比上零边就是正切了啊，就是正切 角 a 的正切值。那么呃，正切研究完了之后呢，他其实是研究了一个与梯子倾斜程度的关系是吧？角 a 越大的话，碳筋和 a 的这个值呢就会越大，那么梯子呢，就会越抖， 坡度也端对不对？完了之后呢，正切研究完了之后，正切和坡度也有关系，坡角的正切直是吧，坡度对不对啊？也叫坡比， 是不是啊啊，把这些关键的这些小概念理解清楚啊，知道是哪个角，知道他做笔直的时候呢，是哪条边比上哪条边， ok， 没有问题了就好，我们看一下具体的内容。 那么在 rt 三角形 abc 当中，哎，做函数题还是做这个几何题，我们都要经常画图，对吧？画一个图，哎，别着急画成一个图啊，像我这样一个画一个草图哈，画的歪歪扭扭的，他也不影响你做题啊。还是擦了吧，重画一下啊，重画一下。 你说老师你画的还不如刚才的了啊，别担心啊，都能做 a， 哈哈，我已经是很努力了啊，角 c 啊，角 c 等于九十度是吧？ a， c 等于五，我也不知道，来随便写一个吧哈， a， c 呢？等于五？ a b 啊， a b 之类只能是 b 啦，这里是十三， 那么根据我们对勾股定理的研究，勾股数的记忆，那么是不是这里就是十二？那么求泰尼特 a 的话，泰尼特 a 它是对边比上零边，是不是 bc 比 ac， 也就 是说十二比五，对吧？那么贪你的币的话，贪你的币，他是不是对边比邻边五比十二，这是不是在同一个直角三角形里面，两个互余的？这个角的正切值他是互为倒数的 对不对啊？我们上节课是不是讲过啊？在这里呢，也得到了一个进一步的验证，是不是最好是在同一个直角三角形 研究起来了更方便一些。你说老师，在不同的直角三角形里面，角 a 和角 b 一定，呃，那个互语吗？不一定是吧，你三十度六十度，四十五度四十五度，是不是不一定啊？你除非你能够先确定啊，先确定他们的角度是一样的啊，角度是一样的， 很简单吧。同学们啊，那么在二题三角形 a， b， c 当中，我们再画一个 角 c 等于九十度， b， c 呢？是三， 然后没有了 tiny 的 a， tiny 的 a 等于五比十二，这里面就没有五啊，别关系别没没关系嘛， tiny 的 a， 首先它应该首先是对比零是吧？对边 b c 比上零边 a c 对不对？ 然后呢，他应该等于什么呢？他应该等于 b c 的长度，三比上 a c 是吧？他等于什么？具体的后面最后中的值呢？是五比十二，对吧？那么根据这个比值关系啊，根据咱们的那个等比的性质是吧？啊， 我们线段的比相似的时候学习的，那么 a c 是吧？三乘以十二除以五是吧？五分之三十六，对不对？同学们， 哎，很简单啊，很简单。第三题，观察你们学校你家伙附近的楼梯哪个更陡？那你观察一下就行了啊，无所谓啊，你观察完之后，或者你测量好之后，那么你看看啊，他哪个更陡，你回答哪个就行了哈，这个问题没什么， 那么第四题呢？在直角三角形 abc 灯中角 c 零九十度。来，我们继续看直角三角形角 c 零九十度，那么 ab 无所谓。 然后他念的 a 和他念的 b 有什么关系？哎，其实我们刚才已经总结过了，对不对？第一题的时候就总结过了，看他念的 a， 他等于什么呢？他等于 b， c 比上 a c 是吧？对比零，他念的 b 呢？ 它形的 b 呢？ a c 比上 b c， 什么关系啊？互为倒数的关系嘛？互为倒数怎么啦？两个数形成为一嘛，对不对啊？ 他念的 a 和他念的 b， 他都是一个比值，那么他们的比值互为倒数，乘积为一，乘积为一，理由就是刚才所说的， ok， 好， 你看，其实正确的难吗？一点也不难，对不对？一点也不难。好，同学们，这个习题课呢，比较简单，数量呢也比较少，我们就上到这里，同学们辛苦了，再见！更多精彩课程呢，别忘记关注冯老师来数学，谢谢大家！

嗨，同学，大家好，这节课呢，我们继续看习题的内容，习题一点五，有的同学呢，告诉我说习题一点四没有，我刚给大家解释过了，习题一点四呢，他就是没有啊， 就是没有，就是那个用计算器来算一些角度，算一些函数值的这个问题呢，他没有啊，大家拿计算器算一算就行了。 呃，他没有什么太多的可讲的，本身一点三的内容我也给大家说明过，是吧？说明过好，那么在这个呃，这节课里面呢，我们来看 ct 一点五的内容。 首先呢，我们还是先对知识点进行一个复习解，直角三角形是我们上节课的内容，那么它的依据呢？就是勾股定理，两个锐角互鱼和锐角三角函数啊，锐角三角函数它的解法呢，就是说在一个直角三角形当中，我们除了 除了直角之外啊，还有五个元素，那么五个元素我之中我必须知道两个啊，我必须知道这两个，两个里面呢，必须有一条是边，那么另一个呢，是边是角都可以， 对不对？如果说给你的三角形里面，给了你角度，给了你边长，但是他不是直角三角形，我们就要设法构造直角三角形，对不对？做高，做其他的，做垂线啊，等等啊，反正是要构造出来对应的直角三角形，然后呢去解出来其他的边长和角度。 好，那么我看一下今天的具体内容，在直角三角形当中，角 c 等于九十度，哎，它也是一个没有图的，那么我们我们稍微画一个图，对吧？我们稍微画一个啊，画一个，然后呢在这个算下，角 c 等于九十度，哎， 角 c 等于九十度 ab， 那就这样标一下， a 的呢？是这样啊， b 的对边呢是小 b， 然后呢？ c 的对边呢是小 c， 是不是啊？然后呢？只只有这些，然后呢，我看看具体的。 a 等于十九， a 等于十九，然后呢， c 等于十九倍的根号二， 这样的话呢，因为没有角度，只有两条边长，根据我们前面所学习的内容，我们知道这个直角三角形是完全可以解答的，对吧？ 然后呢，我们根据购物经理就能算出来 b 其实等于十九的，是吧？你看他的斜边是直角边的根号二倍啊，斜边是直角边的根号二倍，然后他等于十九，是吧？然后呢，你再用随便的。呃，这个，呃， 三角函数啊，随便选一种你就能得到他一个角等于四十五度啊，一个角等于四十五度，对不对？这样的话呢，这个三角形就算 解答完毕，明白了吗？ 是不是啊？很简单哈，很简单的一个，很简单的一个内容啊，很简单的一个内容 哎，这个把第二第二个也展示出来，那我们一起看一下哈。第二个呢，它也是，它也是它的，这个 a 呢等于六倍的根号二， b 呢等于六倍的根号六，那么我是不是该求 c 了，对不对啊？ a 方加上 b 方，然后呢，我解出来 c， 写出来 c， 然后呢，你就再选，呃，那么这样的话，三边就都知道了，三边就都知道了，那么你在三角函数里面选择一种，选择一种得到一个值，然后呢，就能得到一个角度，对吧？他在这里呢，选择摊进他三分之根号三，那么角 a 等于三十度 啊，角 b 就等于六十度，解答完毕，是不是啊？你看这都是我对我们上课的时候所学知识点的一个直接应用啊。直接应用 好第二题，你看第二题他给的这个已知条件呢？一样一在这个，嗯，呃，给的这个 具体的这个条件上，我们来看具体的条大条件上都一样，是吧？呃，具体的这个条件上，你看他是不是一条边长一个角，一条边长一个锐角，对不对？那么这样的话呢，他也是满足解直角三角形的要求的，条件是够的，对吧？条件是够的。好 啊，那么我在这里呢就不多说了，大家可以画一个图，然后呢啊找见这个角，找见这个边呢去解答一下，然后呢和咱们材料上的这个结果做一个对照，做一个对照啊。呃，没有什么问题，尤其 是解角度上，尤其是解角度上是吧？呃，两个锐角是互余的，那么这个等于四十五，另一个等于四十五，这个等于三十，那么另一个一定等于六十，对不对？这样的话呢，你再根据选择一种啊，选择，呃，这个， 呃算相应的三角函数，解出来其他的边长就没有问题了，明白了吗？同学们？我在这里呢就不多说这些。呃，就是已知的这些问题，我就不过多的说了哈，占用大家过多的时间。 那么第三题呢是一个工业啊，工工件是吧？是一个工业零件。呃，他就上面呢有个微槽，你看 acb 啊，微槽 ac 等于 bcaac 等于 bc， 然后连接 ab 的话，这是不是一个等腰三角形 对吧？等幺三也行。上口呢是二十厘米，二十毫米，二十毫米，这是一个二十毫米，然后呢深呢？是十九点二，这是十九点二 啊，求微型角角 a， c， b， a， c b， a， c， b 的这个度数是吧？这里面没有直角三角形，那么等腰三角形，我们也 啊，很明显的想到三线合一，是吧？在这里呢，他已经给到我们了，那么我直接做垂直，做 cd， 垂直 ab， 做一个角，对不对？这样的话呢，这条线既是底边的高，也是底边的中线，也是顶角的角，平分线，对不对？那么我就知道这一部分呢，等于十， 对吧，那么他等于十，他等于十九点二，那么你这个角的胎尼特值是不是就能够解出来了， 对不对啊？我都不用再用勾股定理算 b c 了。呃，算多了，错的越多，是不是啊？我们直接一点，那么是不是用对边比成零边，能得到一个数值，得到一个数值，如果说他是这个， 我们那个三十度，四十五度，六十度的特殊特殊角，那么你直接写就行了，如果不是，那你再用计算器啊，你再用计算器，呃，算一下，算一下这个角度，注意，人家最后呢，要求精确到一度，精确到一度就可以了， 你看它这里呢，有用用的也是正确值 thigne 的啊，它呢的 d， c， b， d， c， b， 求出来呢，正好是 a， c， b 的一半，最后呢，再乘以二，乘以二，就得到了这个，呃呃，这个微型角 a， a， c， b 的度数， 明白了吗？啊，也是对我们所学知识点的一个正。呃，这个直接应用啊，那么看一下第四题，第四题呢，总共有两位， 那么要使啊，使人安全的攀升，斜靠在墙面上，梯子的顶端，那么梯子与地面所成的这个角倾斜角，角阿尔法，他在这里，我 这是我这我画的哈，这是我补充的一个图，课本上没有，大家在做题的时候呢，注意补充一个 几何题嘛，多画图。那么梯子与地面所呈的角阿尔法一般要满足，哎，这个角度呢？一般啊，经过实验呢，我们发现他要在五十度和七十五度之间， 这样的话呢，比较安全。为什么呢？因为你要是角度再大，你什么时候角度再大？如果梯子的程度不变，那么你角度要的，呃，这个，呃大的话，你是不是越靠近这个墙面，越靠近墙面，你是不是越抖， 是吧？越抖，你直立的话是不是太危险了？上不去人就对不对？所以说他要有，他是一个斜面放在这里啊，斜面放在这里，那么你需要有一个安全的角度啊，那么你在这个范围之内就是安全的。现在呢，有一个六米长的梯子在这里呢， ab 就表示梯子，哈，这个是六米啊，是六米，那 也就是说梯子的长度已经有了。然后呢，他问我要使这个梯子最高可以攀，最高可以安全攀上多高的墙，最高可以安全攀上多高的墙，安全攀上呀，这是墙，对不对啊？也就是说你看我如我，怎么什么时候才能攀得住越高 梯子越陡越高吧。啊？我是不是越越往这边搭，他是不是就是这个，呃，就这样对不对？ 就会越高，对不对？就要越靠近墙面啊，这个叫阿尔法呢，就要越越往这边走，叫阿尔法呢，要越来越大，那么最大的时候 他是不是就是攀登的最高？那么最大的时候呢？是不是应该等于七十五，也就阿尔法等于七十五度，叫阿尔法等于七十五度的时候，然后呢，算出来这个相对应的 b、 c、 b、 c， 再这样的话呢，你看肯定用三 a 值比较合适，对吧？三 a 值比较合适，因为它就等于 b c 比上 a b， 对不对？他就等于这个 bc 比上六，对吧？呃，那么三引，呃，阿尔法呢？就是三引七十五度，那么七十五度是多少的值？我们是不是可以通过啊计算器来算一下，然后呢，把 bc 的值算出来，最保证结果呢是零点一米就可以了，明白了吗？同学们， 是不是啊？对坡度啊，对坡度啊，对三角函数啊，都有一个考察，都有一个考察， ok， 好，那我们看第二题，当梯子底端距离墙面二点四米的时候，也就说规定了这里这样就是二点四米 啊，梯子变吗？梯子不变，这是大条件对不对？大条件梯子呢？还是六啊？梯子还是六，没问题。 然后呢，他问我们此时梯子和地面所乘的锐角阿尔法等于多少？锐角阿尔法，他求这个角度， 求这个角度，结果呢，精确到一度，那么他又问这是人是否能够安全的使用这个梯子呢？那么就要看这个角度算出来之后，这个角度在不在这个安全的角度范围之内，对不对？如果他在这个之内，那么他就是安全的， 对不对啊？你看这样的话呢，这个知道他的零边，知道他的斜边，那么 cosine 是不是最方便， 对不对啊？它等于 a c 比上 a b， 我们算出来一个值，算出来一个值啊，然后它也不是我们常见的再用计算器啊，算出来角度，算出来角度， 然后比较一下就 ok 了，明白了吗？是不是也很简单啊？很简单，不要被他这么多的文字呢吓到了，吓到了他的，他的这个逻辑上呢，很简单啊，你看约等于六十六度，那么六十六度呢，正好在五十度和七十五度之间，那么这时人能够安全的使用这个梯子，没有问题， 没有问题， ok， 好。呃，这个呢，就是我们这节课的这个习题的内容，他也非常简单，非常简单，考察的知识点呢，考察的比较基础，比较直接啊，这一类型的问题呢，我们一定要牢牢的掌握。好啊。 好，同学们辛苦了，这节课呢，我们就上到这里，更多精彩课程呢，请关注冯老师爱数学，谢谢大家！再见！