六下数学正比例和反比例沈凤飞

小朋友们好，今天我们学习第四单元比例，正比例和反比例这节课我们学习正比例。已知路程和时间怎样求速度？ 速度等于路程除以时间。已知总价和数量怎样求单价？ 单价等于总价除以数量。已知工作总量和工作时间，怎样求工作效率，工作效率等于工作总量除以工作时间。 文具店有一种彩带销售的数量与总价的关系如下表， 根据上表回答下面问题，一、表中有哪两种量？二、总价是怎样随着数量的变化而变化的？三、相应的总价与数量的比分别是多少？比值是多少？ 从上表可以看出，总价与数量是两种相关联的量， 数量增加，总价增加，数量减少，总价也减少。 我们还得出相应的总价和数量比分别为，三点五比一等于七比二等于 十点五比三等于十四比四等于十七点五比五等于二十一比六等于二十四点五比七等于二十八比八。他们的比值都是三点五， 比值是三点五，实际就是彩带的单价，用柿子表示，他们的关系就是总价比，数量等于单价。 归总结，归纳两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数的比值已定，这两种量就叫做成正比例的量，他们的 关系叫做正比例关系。例如，一辆汽车在公路上行驶，行驶的时间和路程如下表，同学们观察 汽车的时间和路程。再来看一辆自行车在公路上行驶，行驶的时间和路程如下表，自行车的时间和路程。 我们发现一个量变大，另一个量也变大，一个量变小，另一个量也变小，而且这两种量的笔直一定。 总结归纳参赠比例的量的三要素，第一， 两种相关联的量。第二，两个量的比值一定。如果用字母 y 和 x 表示两种相关联的量，用 k 表示他们的比值，比值一定 正。比例关系，可以用下面的式字表示， y 比 x 等于 k。 学堂练习第一题，下表示小林家去年上半年每月用电量的情况。 第一问，分别写出个月电费与用电量的比比较，笔直的大小。 二、说明这个比值表示的意义。三、电费与相应的用电量成正比关系吗？为什么？我们先来看他们的比值。 我们先来看第一问，求他们的比值。六十比一百二等于六十五比一百三等于五十五比一百一等于六十比一百二等于六十五比一百三等于七十五比一百五十等于零点五， 比值是相等的。在这里比值表示每千瓦时的电费。 第三问，由此可以得出成正比例关系，因为电费比用电量等于每千瓦时的电费， 这里的电费是一定的，笔直也是一定的。第二题，椅子 y 与 i、 x 成正比例关系。在下表中的空格中填写合适的数。由于提议告诉我们 y 与 x 成正比例关系， x 比 y 等于一比二点五等于二比五等于几比七点五，三比七点五 等于五比几，五比十二点五等于八比二十等于十比二十五等于十五比三十七点五等于二十比五十。你学会了吗？ 第三题，判断下面每题中两种量是否成正比例关系，并说明理由？第一、第一问，某杂志的单价已定，订阅的费用与订阅的数量 订阅的费用与订阅的数量是两种相关联的量。 订阅的费用比上，订阅的数量等于某杂志的单价。在这里，杂志的单价是一定的，所以订阅的费用与订阅的数量成正比例关系。 第二题，正方体的表面积与它的棱长 正方体的表面积与他的棱长是两种相关联的量。正方体的表面积 比人长等于人长乘六人长，这里是一个变量，所以他们的比值不一定， 所以正方体的表面积与他的冷场不曾增比例关系。第三题，一个人的身高与他的年龄 一个人的身高与他的年龄是两种相关联的量，但是他们的比值不一定，所以一个人的身高与他的年龄不成正比例关系。同学们在这里一定要注意， 身高随着年龄的增长而增长，但是我们知道 某一个年龄段会长得很快，而且我们知道到一定年龄的时候身高趋于稳定。 第四小题，小麦每公顷产量一定小麦的总产量与小麦的公顷数 小麦的总产量与公顷数是两种相关联的量。小麦的总产量比公顷数等于小麦每公顷的产量，在这里，每公顷的产量是一定的，所以小麦的总产量与公顷成正比例关系。 第五小题，一本书的总页数已定，未读的页数与已读的页数 在这里，未读的页数与已读的页数是两种相关联的量，但是未读的页数加已读的页数等于总页数， 这两种量的是合一定，而不是比值一定，所以未读的页数与已读的页数不成正比例关系。 课堂小结，同学们，今天的数学课，你们有哪些收获呢？本节课我们学习了赠比例 成正比例的量的三要素，第一是两种相关联的量，第二两个量的笔直一定。这节课我们就上到这里，小朋友们下节课见！

同学们，在前面的两节课，我们已经认识了正比例和反比例，那这节课呢？我们就围绕着这一部分内容来展开练习。 同学们已经认识了正比例关系和反比例关系，我们来一起回顾一下。 其实无论是正比例关系还是反比例关系，研究的都是两种相关联的量之间的一种变化关系。 那当两种相关联的量相对应的两个数比值一定时，这两种量就成正比例关系。我们可以用关系是 xby 等于 k， k 一定的情况下， x 和 y 是成正比例关系。用这样的关系式来表示， 当两种相关联的量相对应的两个数乘积一定时，这两种量就成反比例关系。我们可以用 x 乘 y 等于 k， k 一并这样的关系式来表示。 我们先来看第一个问题，同一时间、同一地点测得三棵树的树高及其隐藏，如下表。 同学们一定都有这样的生活经验，在阳光下，一棵树，一个房屋，包括我们自己都会有影子。那以现在这幅示意图为例，这里的树的高度叫做树高， 而他所对应的影子的长度呢，是影长。在这呢，老师要提示同学们，你们在生活中可能都发现了，其实影子的长度啊，除了跟 物体本身的高度有关，还和时间地点有关系。比如说早晨和中午，同一个物体，他的影子长度是不一样的。 再比如说，在不同纬度的时候，同样高度的物体，他们的影子长度也不同。 因此在这里特别强调是在同一时间同一地点的情况下，所测得的三棵树的树高及其隐藏。那在这样的前提下，树高和隐藏之间有什么特殊的关 信吗？我们不妨以下面的几个问题来引导我们深入思考。一、竖高与隐藏是不是相关联的量。二、在右图中描出表示竖高与对应隐藏的点，然后把它们连起来观察图像的特点。 三、树高与影长成正比例关系吗？你是依据什么做出判断的？请同学们按下暂停键，自己来试着想一想，算一算，也可以画一画。 好，同学们，我们一起来交流一下这三个问题吧。首先看树高与影长是不是相关联的量，很 很显然是的，因为随着树高的变化，影长也随之发生了变化，因此树高与影长是呈相关联的两个变量。二、在右图中描出表示树高与对应影长的点，再把它们连起来看看图像， 那从这幅图我们能够发现，横轴表示的是树高，纵轴表示的是影长，那我们就可以对应着找到每一组数据所对应的点，比如第一个点二，一点六就在这里， 第二组数据三二点四，第三组数据六，四点八，怎么样？同学们，这三个点你都找准确了吗？那从零零点出发，将这些点相连， 我们就得到了一条射线。你们还记得这样的图像是哪一种关系的图像特征吗？的确，图像是一条射线，它符合正比例图像的特征。 其实除了借助图像来进行判断，我们还可以从关系事的角度来进行分析。 虽然三棵树的高度都不同，影子的长度也不同，但通过计算我们就会发现，树高比影长的笔直始终是一个定值，是不变的，也就是一点二五， 那根据两个量的商一定，也就是笔直一定，那它符合的就是正比例关系的特征了。 因此我们从两个角度都可以得到共同的这样一个结论，也就是在同一时间，同一地点的前提下，树高与隐藏是成正比例关系的。 好，我们来继续思考两个问题，根据图像判断，四米高的数影长是几米，几米高的数影长是四米呢？ 你是否能够借助图像来找到答案呢？首先我们来看第一问 四米高的数，那我们就需要先从横轴上找到四米，他所对应的点是这个点，那这个点所对应的影 长就是三点二米，所以我们根据图像就能够判断结论了， 那几米高的数影长才是四米呢？我们需要先确定四米的影长，那在图像上对应的就是这个点，而这个点所对应的数高就应该是五米。 我们根据一些已知的数据可以绘制出图像，一旦确定它是正比例图像，我们就可以根据图像当中点的位置来解决一些简单的问题了。 第五个问题，任选两组对应的数据，能写出哪些不同的比例？请同学们按下暂停键，自己先试着写， 写的时候边写边想一想有没有什么规律。 好，同学们，我们一起来交流一下吧。这里呢有三棵树的树高和隐藏的数据，那我们在组比例的时候，可以从中愿意选择两棵树的数据来用，例如我们以这两颗为例， 那我们就可以写出像，二比一点六等于三比二点四，当然还可以一点六比二等于二点四比三， 一个是用竖高比影长，一个是用影长比竖高，都可以组成比例。 除此之外，还可以将两棵树的树高之间的比与隐藏之间的比建立起比例。 类似的还可以是三比二等于二点四，比三点二。 其实在正比例关系当中，相对应的两组数都可以组成比例，而这种组成比例的过程也都是顺向的，这是正比例关系的特点所在。 好，下面我们再走进一个新的例子当中，一个手机组装车间要完成一批任务，每天组装的手机的数量与需要的天数如下表， 请同学们自己看懂这个表格，我们再来看具体的问题一，每天组装的数量与时间是不是相关联的量？ 二，每天组装的数量用 p 来表示，需要的天数用 p 表示。你能用个式子表示出 p 和 p 和组装的手机总数之间的关系吗？ 在此基础上，请你试着判断 t 与 t 成什么比例关系。请同学们按下暂停键，自己先试着想一想，算一算，一会儿我们来交流 怎么样。同学们，你们有心中的答案了吗？我们来看看这三个问题。从表格当中我们不难看出，随着每天组装的数量的变化，所对应的工作时间也在发生变化，因此这两个量是相关联的量。 那根据问题情境，我们不难发现，每天组装的数量成时间，也就是成天数，就等于这个车间要组装的手机的总数量。 那根据问题二当中所描述的这些信息，我们可以得到， p 乘 t 就等于手机的总数， 而这里手机总数是一定的，也就是工作量一定，那手机总数一定，也就是 p 和 t 的机是一定的。 因此我们就可以根据这个关系式的特点做出明确的判断，也就是 p 和 t 是成反比例关系的。怎么样，你刚才想对 我们来继续解决两个问题。四、如果这批组装任务需要八天完成，每天组装多少部手机呢？ 根据每天组装的数量和时间是成反比的关系的，也就是这两个变量的基是一定的。那同学们一定会想到，先要求出这个不变的成绩。 现在我们已知的数据有五组，选择其中任意一组就可以求出手机的总量，那我们不妨选择第一组，也就是五百乘二十四， 知道了手机的总量，再来求八天完成这些工作量每天完成多少，用除法就可以了，因此列式是五百乘二十四，再除以八等于一 一千五百步。 我们再来看看最后一个问题，任选两组对应的数据，组成比例 和咱们前面研究的正比例关系类似，我们也可以从已知的这五组数据当中任意选择两组来组成比例。我们不妨还选择最前面的两组数据， 请你在心里算一算，你能把这四个数组成比例吗？可能你想到了五百比六百， 这是两两个数据当中每天组装的数量之笔，而所对应的时间笔呢，则是反过来的二十比二十四。当然你还可以找到这样的比例， 五百比二十等于六百比二十四， 你可能还会找到其他的不同的比例，我们就以这两个为例。 如果像刚才那样，我们用字母 p 来表示每天组装的数量，那这几组不同的数据当中， 每天组装的数量我们就可以用 p 一、 p 二、 p 三等等来进行区分，与之相对应的时间呢，就可以用 p 一、 p 二、 p 三等等来表示。 那刚刚我们所组成的这两个比例所对应的就是 p 一比 p 二等于 t 二比 t 一以及 p 一比 t 二等于 p 二 bt 一。 怎么样？同学们，你读懂这样的比例了吗？ 下面就请同学们应用所掌握的这些知识来试着进行判断和分析。分析下面三个表格当中，两个量是否成比例关系，成什么比例？为什么？ 请大家按下暂停键，三分钟之后我们来进行交流和分享。 好，我们来一组一组的进行分析。首先来看第一组，下面是小林家去年上半年每月用电量的情况，那从表格中就会发现，随着用电量的变化， 电费也在随之发生变化。计算当中你是否发现了相对应的每一组数的笔值是一定的，也就是说电费与用电量的笔值是一定的， 因此我们就可以得出电量与用电量成正比例关系。我们再来看看第二组，给一边长九米，宽六米的教室铺地砖，每块地砖的面积与所需地砖数量如下表， 那随着每块地砖的面积不断的变化，所需要的块数也在发生变化， 而每块地砖的面积与所需地砖的这个数量的乘积却从此 之中保持不变，也就是说两个变量的基是一定的，因此在这个问题中，每块地砖的面积与所需地砖块数是成反比例关系的。 我们再来看看第三组，食品加工厂准备把一批新酿的醋装瓶运往商店，那表格中我们可以看到每瓶的容量在发生变化，所装的瓶数也在发生变化。 通过计算我们不难发现，每瓶的容量和所装的平数的乘积从始至终是保持不变的，是一定量，也就是 x 乘 y 这两个变量的 gk 是一定的。因此每瓶容量和锁装的平数成反比例关系。 同学们，通过今天的练习，你是否对正比例和反比例关系各自的特点有了更进一步的清晰的认识了呢？ 认得更清晰了，那么在解决问题的时候也就可以用的更准确。我们在后面的课上再继续交流吧，再见！

嗨，同学们大家好，欢迎来到卡老师的数学小课堂，我是最懂你们的卡老师，今天啊，我们要一起学习的是同步小学数学六年级下册第三单元的第四课时，叫做正比例反比例的字母表达式。 哎，那这个字母表达是是什么呢？别着急，我们先来回顾一下之前我们所学的正比例和反比例的一些相关的基础知识， 观察下面两个关于购买方便面的统计表，回答问题。好，这个统计表里面呢，第一行说的是购买方便面的数量， 第二行呢，是总价，好上秒钟呢，购买方便面的数量和总价是怎样变化的？他们成什么比例好？首先我们先来看一下数量呢，依次是五包、十包和十五包。总价呢，从七块五到十五元，再到二十二点五， 很明显是随着数量的增多而增多的，那他们之间是什么关系呢？那还要再添上一个数量，就是单价，我们说总价等于数量乘以单价。好，那反过来呢，也可以说总价除以数量等于单价， 那在这其中呢，单价是不变的。我们可以算一下，七点五元除以五包好，一包呢，折合是一块五，十五元除以十包呢，一包还是一块五，最后的二十二点五除以十五依然是一点五元。好，所以呢，既然 总价除以数量对应的笔直，也就是单价不变，那我们说他们就是成正比例的关系。 好，紧接着呢，我们再来看一下第二位，好， 第二问呢，现在给我们的是单价和数量。好，现在问上面这个表格当中，购买方便面的单价和数量之间是怎么变化的？他们之间又成什么样的比例？好，我们来看一下单价呢？哎，从每包一块二，一直上涨到了每包两块四。 好，接下来呢，数量三十二十十五。好，那还是一样的，我们还要把总价这个样怎么样拿出来，好，来比较一下这三者之间的关系。 好，那我们说总价等于单价乘以数量，那正好我们就带入表格当中的数据来算一算，这个单价乘以数量分别能得到什么？好，我们快速的算一下，一点二元乘以三十等于三十六元，一点八元乘以二十也等于三十六，最后的二点四乘以十五，结果还是 三十九元。所以我们可以看到啊，在这个表格当中，随着单价的增加，首先数量是递减的，然后呢，接下来二者的成绩是不变的，那对应的就是我们前面说的既定成什么呀？反比例了。 好，那这道题呢，我们就讲完了，其实呢，就是考察我们之前正比例和反比例的一些基本概念，而且啊，从这道题当中我们还能看出来一点。看出来什么呢？就是总价、单价、数样，这三个样之间啊， 当条件发生变化的时候，哎，这两个样可以成正比例，另外两个样呢，哎，反过来他就变成反比例了。好，这是一点。那接下来呢，我们再来看一下。第二，在一次自行车越野赛当中，小明骑车的时间与路程 如下表所示。好，第一行给的是时间，第二行给的是路程。现在问了路程和时间之间成什么样的比例？好，那既然提到路程和时间了，必不可少的，我们还要考虑到一个速度，对吧？好，那么就不妨先来求一下他的速度分别是多少？好，以第一页数据为例， 两千米用时八分钟，那我们用两千除以八好，求出来呢，结果应该等于零点二五千米，这个是他的速度。好，那接下来呢，第二组数据，二点五除以十，那也是零点二五，五除以二十呢，还是零点二五？ 后面两个同学们也可以快速算一下，你会发现啊，他的速度都是每分钟零点二五千米，所以啊，这个路程比时间的笔直是一定的，二者就是成正比例的关系了。 好，那接下来第二位，现在说啊，时间、路程和速度这三种样，在什么情况下成正比一，什么情况下又成反比一的关系。好，说明有，这个就是我们刚刚在第一里面说过的 三个相关联的样，当条件发生变化的时候，哎，有可能得到正比例，也有可能得到反比例。现在就是让我们来判断一下，具体是什么情况能够得到正比例，什么情况得到的又是反比例。 好，那既然提到这三个样了，我们不妨啊，就先把他们对应的关系式拿出来看一看。好，我们说路程问题的基本关系是，这个我们已经说了很多次了，好，老师直接把它写出来。首先第一条呢，是路程等于 速度乘以十， 那这个呢，我们是不是就得到了一个乘法的关系？好，那么结合前面我们所讲的正反比例的一些基本概念，我们说了，如果是乘法的话，那我们能够联想到记忆定这样一个关系，而记忆定呢，得到的是反比例的样。好， 那这里面我们现在是不是只需要让他俩的成绩不变，就可以确定速度和时间是反比例的呢？好，那成绩怎么不变呢？我们把路程取一个定制， 哎，是不是就可以了，对吧？好，这样的话呢，速度和时间二者就成反比例的关系了。 那同样的道理，这个关系。是啊，我们还有两个依次也把它 写出来。好，同样的关系。是呢，我们还有速度等于 路程除以时间。 好，那就得到一个除法的算式，我们能联想到什么呀？哎，能联想到正比例关系当中商一定的这样一个关系。好，那接下来呢，我只需要让速度去定制 他不变。好，那接下来呢，路程和时间之间就成正比尼关系了。 那最后还有一条同学们自己应该能够想到的吧。好，最后这一条就是时间等于路程除以速度。 那仿照上面这个关系，是我们只需要取时间为一个定制好，那么这两者之间就是一个正不移的关系了。 好，那这个第二位我们就讲完了，同学们看明白了吗？那接下来呢，我们来看一下例三。好，例三，终于进入正题了，就来说一说我们今天要讲的这个用字母表示正比例和反比例的关系。 其实啊，我们把刚才那三个关系式总结一下，就能够看出来这个字母的关系式应该如何来表达了。首先呢，我们用 x 和 y 这两个字母表示 是这两种相关联的量。好，接下来呢，我们直接看下面的式子，正比一呢，我们说了，他是比值一定，所以呢，我让他呀相处得到的是 y bx 好，等于一个 k， 这个 k 是什么呢？ k 是一个系数，在这里面呢，是固定不变的，那就相当于是二者的笔直一定了，得到的就是正比例的关系。 同样的道理，我让这两个样怎么样相乘，得到一个固定不变的 k， 那么我们就可以得到二者是反比的关系了，因为他们的成绩是一定的好，那么这两个表达是，同学们了解一下。那么接下来呢，我们来看看今天的课后练习题。 首先第一题，汽车每次运货的吨数，运货的次数和运货的总吨数。这三种样在省 什么情况下成正比一，什么情况下成反比一？那这个猛一看，是不是就和我们刚刚讲的第二道例题类似呀，对吧？那上来还是一样的，我们先明确这三者之间的关系是什么 好，这个关系呢，不难，我们直接写出来。总吨数呢，其实就等于每次运货的吨数乘以运货的次数。好，我把它写出来。 好，我简单写写作，每次蹲数 乘以次数。 好，那这是一个乘法算式，那我们自然能联想到既定乘反比例的关系，所以呢，我只需要让这个总 总敦数不变好，那么这两者之间就成反比异关系了。 那同样的道理，我把这个柿子怎么样再颠倒一下。怎么颠倒呢？比如说呢，我可以算一下每次运货的吨数。好，那它等于什么呢？ 他是不是就应该等于运货的总吨数除以运货的次数呀？对吧？好，我们简单写总吨数 除以次数。 好，这是一个除法算式。那我们能够联想到什么呀？商议一定的时候成正比例关系， 那同样的，我只需要让这个每次运送的吨数固定不变，是不是就可以了？那么这二者就是一个正比例的关系了。 最后还有一个，我们还可以求一求运货的次数， 胎又等于什么呢？它其实就等于运货的总吨数除以每一次运货的吨数， 那这个关系应该和他是一样的，对吗？好，依然是一个相处的关系，所以呢， 我只需要让这个绳一定好，那接下来呢，这两者就是一个正比例的关系了。 好，这道题同学们看明白了吗？那接下来呢，我们再来看一下第二道练习题。 一个榨油厂用四台同样的榨油机，每天榨油三十六吨，好，第一问题中哪两种量是相关联的量？哪种量是一定的？ 哎，这个相关联的样不难找。首先呢，是四台同样的榨油机，也就是榨油机的数量。第二个呢，是这些榨油机每天能够榨油多少吨？好， 那接下来哪种量是一定的呢？哎，我们好好想一下，这四台同样的榨油机，其实是在告诉我们什么样一个信息啊，就是他们的榨油 油的效率应该是一样的，对吧？也就是说四台一共炸三十六吨，那每一台呢，应该一样多，那算出来，每一台应该是三十六除以四等于九吨，每台每天能炸九吨油。好， 这个样应该是一定的，对吗？所以我们简单记做，榨油机的榨油效率。 好，这个样一定，那既然这个样一定了，那接下来他们之间成什么比例啊？哎，很明显，他除以他等于固定不变的榨油机效率，所以呢，相当于是商一定，商一定，自然就是正比例的关系了。好，所以前两问我们就一块解决了。 接下来呢，第三位，照这样计算，六台这样的榨油机，每天一共能够榨油多少吨？好，那前面呢，我们已经说了，这一台我们能求出来，三十六除以四等于九吨， 那一台一天炸九吨，那六台呢？那不就是六个九吨吗？对吗？九乘以右就可以了呀，等于五十四吨。 好，这一问呢，我们用算数法就解出来了。当然啊，这一问还可以用结笔一页方程的方式去计算。哎，有兴趣的同学可以自己动动手，动动笔，在烟草纸上自己算一算。好，到这我们答一下。 好，那最后呢，我们还有一个第四问，那第四问呢，就考察我们正比例的图像了， 那依然是和以前一样，分两步，第一步先秒点，第二步直接沿线就可以了。好，所以这个图像对于大家来说，现在应该是特别的简单了，对吗？ 好，那整个这道题呢，我们就讲完了，那今天的题目呢？到这就全部讲完了，简单总结一下今天学习的内容呢，有两个重点，第一个呢，是要知道正比例和反比例的字母表达是好，一个是 y， b， x 等于 k， 一个是 x 乘以 y 等于 k， 一个是商议定，一个是记忆定。 好，那接下来呢，还有一点很重要，就是我们要知道相关言的几个样啊，他们随着条件的不同，条件的变化，那么既可以得到正比例的关系，也可以得到反比例的关系。好，这一点很重要，同学们一定要记住了。好，那今天的课程呢，到这就全部结束了，同学们，我们下一节课再见。

大家好，今天呢，来和大家说说苏教版六年级下册正比例与反比例单元的大数有多高这一张结的内容，这一张结呢，是一节嗯，十届活动课， 主要是通过嗯，学生的实践活动，弄清呢，在同一时间，同一地点，物体的高度和影子的长度之间的正比例关系。 通过活动啊，我们知道，同样高度的物体，在不同时间不同地点测出的隐藏是会变化的，而在同一时间、同一地点，物体的高度和隐藏 是成正比例的。我们大家都有生活实践，在同一时间同一地点下，那么，嗯，物体的高度长，他的影子呢就长，物体的高度呢？嗯，矮，则 他的影子呢也就短。所以说啊，在同一时间，同一地点，物体的高度和影子的长度呢，是有一定的关系的。 通过我们的实践活动啊，我们在呃活动中就发现啊，在同一时间，同一地点，物体的高度和影子的长度的笔直呢，是非常的接近的 啊。嗯，如果没有误差的话，那应该是笔直，应该是一定的。那所以呢，也就 得出了结论，在同一时间，同一地点，物体的高度和隐藏呢，是成正比例的。根据这个结论，嗯，我们就可以来解决生活中的相关问题，下面就让我们一起来解决问题吧。 第一题，认真想仔细填第一个，在同一时间，同一地点，物体的高度和隐藏成什么比例啊？ 当然是成正比例了。二、同样高度的物体，在不同时间不同地点测出的隐藏会发生变化。第三题，比较物体的高度和隐藏时，要在同一时间同一地点进 第二大题，走进生活，一根竹竿高六米，隐藏八米。同一时间，侧的旁边一座房子的隐藏为二十米，这个房子的高是多少米呢？ 本题中物体的高度和影子的长度呢，有两组，第一组分别是六米对应着八米，第二组我们视他为 x 米，对应着是二十米， 则根据呢成正比例关系。那么我们就可以列出呢比例。是啊，首先写上解解，设这个房子的高是 x， 那么呢，得出的比例是，就是六比八等于 x 比二十解得 x 等于十五。 再进行答案，下面呢，还有 b、 c、 d 三种方法，嗯，是用的是一般应用题的解题办法来的，大家也可以试着去理解一下。 第二题，小华的身高是一点六米，他的隐藏是零点八米。 同一时间同一地点，测得一根旗杆的隐藏是六米，这根旗杆高多少米？一根竹竿的高度是四点八米，这时他的隐藏是多少米？ 这一题中啊，我们来看一下有两个问题，那么两个问题呢，出现的时候，我们可以将未知数一个设为 x， 一个设为呢 y。 这样呢，我们将表中的物体高度和影子长度呢分别列出来 物体高度和影子长度，第一组数字一点六米，对应着零点八米， 第二组数据 x 米对应六米，第三组数据四点八米对应 y 米。 注意，这里有两个未知数，一个用 x 米，一个用 y 米。姐设这根旗杆高 x 米，立竿足竿的隐藏 y 米，写的比例是一点六比零点八等于 x 比六。第二个比例是是一点六比零点八等于四点八比外。 嗯，这样呢，我们再把这个两个比例是啊，解一下比例就得出答案了。第三题， 乐乐的身高是一点四米。中秋节那天，他和爸爸在南山河畔站立合影， 照片中，梁德的爸爸的身高是九厘米，乐乐的身高是七厘米，你知道乐乐的爸爸的身高是多少米呢？这一题中啊，乐乐的身高和爸爸 身高的比例关系是不会变的，所以呢，笔直一定。所以说乐乐的身高和爸爸的身高 应该成正比例。首先先列出爸爸身高和乐乐身高， 爸爸身高实际 x 米，乐乐身高实际一点四米。第二组数据，照片中呢，爸爸身高九厘米，乐乐身高七厘米，这两组数据呢，成正比例。 姐设，乐乐的爸爸的身高是 x 米，得到比例是 x， 比一点四等于九比七，姐得 x 等于一 点八。答，乐乐的爸爸身高是一点八米。这一道题目你也可以呢这样去想列出呢，实际身高和照片中的身高， 我们知道是把实际身高缩小若干背，变成照片中的身高的，类似于 物体高度和他的影子长度。然后呢，列出相关数字，列出比例解答也是可以的。同学们今天的讲解就到这里，再见。

今天来讲一下六年级的正比例反比例的规律总结，我们来看一下啊。像路程、速度、时间这样三个量，我们通常会固定其中的一个量来讨论另外两个量之间的关系，那么我们就会写成两个除法和一个乘法，那么这两个除法 对应就应该是两个正比例，一个乘法对应一个反比例，这是一个固定的规律。那么除了路程、速度、时间这样的，还有其他的也可以啊。再举个例子，例如圆锥的体积比面积和高也是这样的规律，那么还有很多，例如单价数量，总价，还有平行四边形的面积 和高这类等等等等很多很多都是这样固定的规律。总之我们要教会孩子啊，学会总结这类的规律，这样他们学起来才更加的轻松。

正比例，反比例解题应用口诀，正反比例理清关系更容易。处法关系用正比例，乘法关系用反比例。我们来看第一题。一列火车从甲站开往乙站二小时，行了二百八十千米，从 从乙站开往丙站用十五小时，求乙站距离丙站有多少千米？这是一道路程问题的题路， 路程等于速度乘以时间，这里给出的已知条件是时间和路程，他们之间的关系就是除法关系，除法关系用正比例，那我们这里 假设已占距离丙占 x 千米，那我们把这个等式写出来，路程之笔二百八十，笔上 x， 这是正比例。二百八十对应的时间是二小时，所以二就是写在对应的前向的位置。 x 对应的是五小时，所以五就写在后向的这个位置。 二、一个修路，对，修路，原计划每天修四百米，十五天可以修完，结果提前三天完成了任务，实际每天修多少米？这是一个工程问题。工作量等于工作效率乘以工作时间，这里给出的已知条件是工作效率和工作时间，他 之间的关系是乘法关系，乘法关系用反比例，这里设，实际每天修 x 米，那我们这里把等式写出来，四百比上 x， 这就是工作效率之比。那我们等号又 该怎么写呢？这是一道反比例的题，四百，他对应的是十五天，那这里反比例，十五就写在后项。 x 对应的就是十五减三，十五减三就写在前项。

苏教版小学数学六年级下册正比例与反比例的复习 同学们，我们首先进行整理与反思，此处请按暂停。请同学们按照下面这四个问题进行简要的整理。 这是第一种比较简单的整理， 这是第二种比较详细的整理。 同学们，你是怎样整理的呢？快点和其他的同学分享一下吧！同学们，接下来 我们来回答刚刚提出的这四个问题。第一个问题，四除以八等于四比八，像这样两个数相处，就叫做两个数的比，意思就是说四加八、四乘八、 八减四等等，他们就不可以写成四比八的形式。那么除法分数和比，他们之间具有这样的一些联系 和你的想法一样吗？我们继续看。第三问，这是笔的基本性质，分数的基本性质，商不变规律，他们之间的联系 和你的整理一样吗？第四问，这是正比例和反比例的相同点， 不同点和你的整理一样吗？这是买铅笔的钱和支数的相关数据。观察这些数据，我们会发现他们的笔值是一定的，都是零点六。 如果我们把这些数据画在这幅图上， 我们会发现成正比例关系的两个量所形成的图像是一条斜直线， 这是单价和数量的相关数据。观察这些数据，我们会发现他们之间成反比例关系。如果把他们描在这幅图上， 我们会发现称反比例关系的两个量所形成的图像是一条曲线。第二部分经典习题精讲 一、判断下面两种量成不成比例，如果成比例是成什么比例？一、圆的周长和直径， 圆的周长除以直径等于圆周率太是一定的，因此圆的周长和直径成正比例关系。二、步侧一段距离，每步的平均长度和走的步数， 门部的平均长度成步数等于步侧距离，这是一定的，所以门步的平均长度和走的步数成 难比例。 三、三角形的高一定他的面积和底。 我们知道，用三角形的面积除以底就等于高的二倍，高是一定的，那么高的二倍也是一定的，他们的笔直一定，因此三角形的面积和底在这里呈正比例。 四、圆的半径和面积， 人的半径和面积。他们之间相处伤是不一定的， 相乘成绩是不一定的，因此这两种量之间不成比例关系。 第二题，这辆汽车在高速上行驶的路程与耗油量成正比的关系吗？为什么？请以根据前面的复习做出自己的判断。 第二，根据图像判断行驶七十五千米拥有多少升呢？ 首先，我们要在横轴上找出七十五千米，这一每格代表的是二十五千米，因此七十五千米并在此处 他和这条斜直线相交，然后在纵竹上找到六声。在市区行驶。那么路程和耗油量 成什么关系呢？ 我们会发现他仍然也是成正比的关系。 同学们，这个雕塑认识吗？是的，他叫维纳斯。维纳斯雕塑被公认为是迄今为止希腊女性雕像中最美的一尊雕像。为什么呢？是因为他符合黄金笔。 什么是黄金笔呢？我们知道至尊雕像，他的肚脐处被称为黄金分割点。 他的下半身是约一百二十六点一厘米，全身的身高是二百零四厘米， 下半身比上全身的身高约等于零点六一八，这就是黄金笔的笔直，这个人认识吗？对了，他被称为国民闺女关晓彤， 关晓彤的身高是一百七十三厘米，下半身是一百零二厘米，那么我们来算一算， 还小童的身高符合黄金笔吗？一百零二笔上一百七十三约等于零点五八九， 零点五八九小于零点六一八，看来是不符合黄金比的， 那么怎样让自己的身材看上去更加的美丽呢？我们一般都会穿上高跟鞋，哎，现在问题就来了，那么到底穿上多高的高跟鞋， 看上去符合黄金笔呢？我们就可以采用解决问题策略当中的方程，这种策略 设鞋跟的高为 x， 那同学们鞋跟的高是 x 的话， 那么现在他的下半身就应该是一百零二加上 x， 那么全身的身高是多 多少呢？全身的身高是一百七十三加 x， 那么根据黄金笔的笔直的定义，我们就可以列出这样方程， 然后解答这个方程就可以了，比上一百七十三加 x 的和，如果一到右边就是乘零点六， 然后再把零点六分别的乘进去，利用乘法的分配率， 这样我们就会得到 x 的值是四点五。 关晓彤他要穿上鞋跟约为四点五厘米的高跟鞋，就会让自己的身材符合黄金底，看上去更加的美。 这里面为了便于计算，我们把零点六一八约等于零点六 第三部分进行练习实践，此处请同学们按暂停 做出相应的判断之后再看后面的解答， 同学们，你的解答正确吗？课本八十五页第十题， 请同学们仔细阅读题目，在图中聊点连线，找出那一杯与其他几杯不一样。 第一杯，第二杯，第三杯、第四杯。连线，我们马上会发现第四杯与其他三杯不一样。 那么这一杯他的纯酒精与蒸馏水体积的比是多少呢？是五比二。他与酒精溶液的比呢？是五比七， 其他三杯分别是三比四，第四杯是五比七。 三、研究表明，当人的下半身与身高的比越接近于黄金比，大约为三比五，就越给人一种美感。王老师被穿鞋时，亮德的身高是一百六十厘米，下半身长九十四厘米，微的尽可能达到好的效果。他穿高跟鞋的最佳高度。你的解答正确吗？ 如果解答正确，恭喜你！如果解答不正确，请同学们对照答案，思考一下自己究竟错在什么地方。

同学们，这节课我们继续围绕着相关联的量来展开研究，认识一种新的比例关系，下面我们就一起走进正比例和反比例二这节课吧。 首先呢，我们来看一个问题瓶颈，这位同学啊，在用不同的圆柱容器做注水的实验， 他像一组底面积不同的圆柱容器中注入了相同体积的水， 那出现了怎样的现象呢？他将杯子的 底面积与水的高度的变化情况记录在了一个表格当中，我们来一起看一看， 你能看懂这个表格的意思吗？请你仔细观察表格中的这些数据，借助下面的问题来帮助我们展开深入的分析和思考。 请同学们观察上表，试着回答下面的问题。一、表中有哪两种量？ 二、水的高度是怎样随着杯子底面积的大小变化而变化的呢？ 三、相对应的杯子的底面积与手 给的高度的成绩分别是多少？下面请同学们自己先试着对比一下，算一算，思考这三个问题 怎么样？同学们是不是有一些初步的想法了呢？那下面啊，我们一起来交流一下，再来看看第一个问题， 表中有哪两种量呢？我想这个问题很显然，同学们从表格的表头当中就能够看出，表格中记录了 杯子的底面积和水的高度这两种量，而且这两种量都是变化的量。那根据同学们对这个问 问题的理解，既然往不同的杯子里倒了体积相同的水，那么杯子的底面积如果发生变化的话，水的高度一定也会随之发生变化。 那具体是怎样变的呢？我们借助数据来看一看，例如当比面积扩大一点五倍的时候，水的高度就缩小到原来的一点五分之一。 也就是说，当比面积乘一点五时，相对应的水的高度就除以一点五， 其他的数据也这样吗？我们来看看。当比面积乘六时，水的高度相对应的就除以六。当比面积乘二时， 水的高度就除以二。你自己再试着选择其他的数据也这样算一算，看看是不是有相同的发现呢？ 好同学们就是这样。从上表我们就可以看出，水的高度啊和杯子的底面积是两种相关联的量。 水的高度是随着杯子的底面积的变大而不断变小的，而水的高度与杯子的底面积的乘积却总是一定的。 你发现这个规律了吗？我们不妨验证一下。根据表格中的这些数据，我们可以分别算一算每一组相 对应的数所对应的水的体积，比如三十乘十、 二十乘十五十五乘二十等等。通过计算我们可以发现， 每一组相对应的杯子的底面积与水的高度的乘积都等于三百，都等于三百，就意味着乘积是不变的，是一定的。 看来在这一组有规律的变化的背后，也藏着一个不变的量。 我们为了概括的表示表格当中多组数据之间的这种关系，我们可以借助关系式来表示。比面积 成高就等于水的体积，那在刚才这位同学的实验过程当中，水的体积是不变的，也就是一定的。那在这种情况下，底面积和高是呈反比例的量， 也可以说底面积和高成反比例关系。 就像这样两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定， 这两种量就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系。你是不是已经初步的感受到了，成反比例的 的量与成正比例的量有什么样的区别呢？那像正比例那样，反比例关系也可以用字母来表示， 如果用字母 y 和 x 表示两种相关联的量，用 k 表示他们的基一定量，那反比例关系可以用下面的式子来表示， x， y 等于 k， 怎么样？同学们，你们是不是对成反比例的量，或者说对反比例关系有了初步的理解和认识了呢？那下面我们来继续研究。 与正比例关系相似，反比例关系也可以用图像来表示，那我们不 房用这样的一幅图来看，在这幅图的横轴用来表示底面积，纵轴呢，则表示的是水的高度。 那我们可以像正比例图像绘图那样，将这一组数据当中的每一组数据也对应着，在图中找到相对应的点， 比如这组数据笔面积是十，水的高度是三十，那就对应着图中的这个点。 而这一组数据呢？同学们，你在图中找到他所对应点的位置了吗？的确就是这个点，那这一组数据呢， 对应的是这个点。像这样，我们将每一组数据所对应的点在图中找到， 就可以渐渐的绘制出成反比例关系的图像了。那通过将这些点连起来，我们会发现反比例图像是光滑的曲线， 那有左面的图像，你能看出杯子的底面积分别是四十平方厘米、五十平方厘米、 五十五平方厘米的时候，水的高度分别是多少吗？要想解决这个问题，就需要同学们读懂反比例图像 上这幅图。下面给同学们一点时间，你可以按下暂停键，自己试着找一找，一会我们来交流 好同学们怎么样，你找到这三个不同的底面积所对应的水的高度了吗？我们来一起看一看。 当杯子的底面积是四十平方厘米的时候，我们就要在这里找到四十，那这个点就是图像上的对应点，那这个点所对应的水面高度是多少呢？ 从现在这幅图我们不难发现，他对应的是五和十的正中间，那也就是说水的高 高度是七点五厘米， 当底面积是五十平方厘米的时候呢，我们再来看一看。 很显然水面的高度要比七点五厘米少了，同时又比五厘米高一些，大约是六厘米的位置。 那当比面积变成五十五平方厘米的时候，我们会发现所对应的这个点更加接近五厘米了， 大约是五点五厘米。那我们还可以根据鸡一定的关系，通过具体的计算，发现这时水面的准确高度应该是十一分之六十厘米。 同学们，与正比例图像类似，在反比例图像当中，我们也可以根据数据与图像的之间对应的关系，来帮助我们解决一些简单的问题。 所以看懂图像，也就看懂了图像当中的这些数据，也能够更加丰富和深刻的理解两种相关联的量是如何变化的。 那同学们认识了成反比例关系的量，你能举出生活中反比例关系的例子吗？ 这两位同学的对话也许会对你有所启发，请你按下暂停键，自己试着想一想，说一说，在怎样 样的情况下，哪两种量是成反比例关系的？ 好同学们，在我们熟悉的数量关系当中，你可能也找到了成反比例关系的量，那下面呢，我们来试着解决一个问题。 这里有一个表格，表格中记录了每天运的质量和运货的天数这两种变化的量所对应的一些数据。 那我们先来看一看问题，一，表中有哪两种量，他们是不是相关联的量呢？二、写 出几组这两种量中相对应的两个数的基，并比较基的大小，说一说这个基表示什么？ 三、运货的天数与每天运的吨数成反比例吗？为什么？ 其实啊，同学们，你依次的回答这三个问题的过程，就是在判断两种量有没有关系，有怎样的关系，是否成反比例关系的这样一个思维过程。 那下面就请同学们按下暂停键，以这三个问题为引领，试着层层深入的想一想，说一说吧。 好同学们，怎么样，你有结论了吗？可不要只追求得到最后一个结论， 成反比例或不成反比例，不仅要知道结果，还要能够说清为什么，这才能说明大家对这种关系有了清晰而深入的理解。那下面我们就一起交流一下吧。 首先来看第一个问题，表格当中有哪两种量呢？有每天运的质量和运货的天数， 这两种量是不是相关联的呢？很显然，在表格中，随着每天运的质量的变化，所对应的运货的天数也在发生变化，那这两种量是 相关联的量， 不仅如此，我们还能够发现，每天运的质量和运货的天数是两种相关联的量。运货的天数是随着每天运货量的变小而不断变大的， 而且每天运的质量与运货的天数的成绩总是一定的，你发现了吗？ 不信我们来算算。你看三百乘一就等于一百五十乘二等于，一百乘三等于七十五乘四 等等等等。后面的数据我们还可以像这样继续算，那我们以这几组为例，就不难发现，每一组相对应的数的 乘积都等于三百。我们就可以概括的说，每天运的质量乘运货的天数等于运货总量，那运货总量是不变的，也可以说是一定的。 因此我们说运货的天数与每天运的吨数是成反比例关系的。怎么样？同学们，你们刚才自己思考的时候判断的正确吗？你说理由的时候说的是否清晰完整呢？ 好，同学们，那下面啊，我们就在对比当中进一步的深入理解。 现在同学们看到的呢，是亮亮记录的一些有关丝带的数据，一共有两组，那么 每组中两种量是否成反比例关系呢？又为什么？下面请同学们按下暂停键，自己仔细的读一读，读懂表格当中的数据再来进行判断。 怎么样？同学们有想法了吗？我们来分别看一看。首先看第一组，第一组表格当中所记录的是购买丝带时单价和米数之间的关系， 那从数据变化我们不难发现，随着单价的不断变化，数量对应着也在不断的变化，如果从表格中从左向右来看的话，单 单价扩大了，数量就对应着缩小了，那是不是成反比例关系呢？我们需要通过选择相对应的数，算一算他们的成绩，看看成绩是否不变， 因为单价乘数量等于总价。那通过计算，我们发现表格中每一组相对应的数乘积都是一定的，都等于一百二十， 那么在总价一定的情况下，我们可以说单价和米数是成反比例关系的。 我们再来看看第二组，第二组记录的是四代使用过程当中，以 用的米数和未用的米数之间的关系也从左向右来看，随着已用的数量不断的增加，未用的数量相对应的就逐渐的减少。 哎，这两种量也的确是相关联的量，而且他们的变化趋势也是相反的，相逆的。那这两种量是不是成反比例关系的量呢？ 那关键就要看他们背后藏着的不变的量是什么。在这个问题情境中， 丝带除了以用的部分，就是未用的部分，也就是说，以用的和未用的两部分之和是总的丝带数量，而 丝带的总量是一定的。也就是说，以用和未用这两种变化的量的核是一定的，并不是机是一定的。 虽然两个量的变化也是一个增加，另一个随之减少，但由于这两种变化的量并不是乘积一定，因此已用的和未用的这两种量是不成比例关系的。 好同学们，通过刚才的对比，你是不是对成反比例关系的量的本质有了更清晰的认识了呢？ 那下面啊，我们就来进一步的抽象的认识，这一次也有两个表格， 而在这两个表格当中，我们已经看不出是什么具体的问题，请进了用字母 x 和 y 分别来表示两组变化的数，那请你根据表格当中已知的信息来试着填写这个表格。 首先来看上面的第一组，在第一组表格中，已知 x 和 y 两个量是成正比例关系的，那请同学们想一想，成正比例关系的两个量什么是一定的呢？ 是否能够根据已知的信息填写剩下的表格呢？我们再来看第二组，在第二组表格中，已知 x 和 y 两个量是成反比例关系的，请你根据 反比例关系来把表格填写完整。请同学们按下暂停键，自己试着写一写，算一算，要想清楚正比例关系和反比例关系的含义哦， 好，同学们，怎么样，你有想法了吗？在填写的时候啊，我想大家一定都是先明确在每一组变化当中什么是一定的， 那第一组 x 和 y 因为成正比例关系，因此两个量的比值是一定的， 那在表格当中，只有这一组数据是已知且完整的，那我们不妨借助这一组数据来算出两个量的笔直。 我们既可以求 x 比外，也可以求外比 x， 那借助这两个不同的笔值都可以，但保持 笔直是一定的，以及量与量的对应关系是不变的，我们就可以依次的填出表格当中其他的数据信息了。 那在第二个表格当中，根据 x 和 y 是成反比例关系的，我们就可以确定 x 和 y 的成绩是一定的， 那在第二个表格中，只有这组数据是完整的，我们就可以知道 x 和 y 的成绩是等于十的，因此其他的相对应的两个数的成绩也应该是十。我想呢， 分析到这里，大家就已经成功了一半了，接下来我们就是按照发现的规律和关系来进行计算就可以了。我们依次的来看一看，在第一个表格当中，当 x 是二的时候， y 就应该等于五。 当 y 是七点五十， x 应该等于三， x 等于五的时候， y 应该等于十二点五。而当 y 等于二十的时候， x 等于八， 当 x 等于十的时候， y 等于二十五， y 等于三十七点五十， x 是十五，当 x 等于二十的时候， y 是五十。 怎么样，你刚才都填对了吗？我们在填的时候，除了可以根据每一组相对应的笔的笔直是一定的， 还可以根据相对应的两组数之间的变化规律，也就是正比例关系中相关联的量的变化规律来填写。这样呢，同学们的方法就会更灵活。 例如，当我们知道 x 是一的时候， y 是二点五，那当 x 是二的时候，说明 x 扩大了两倍，那 y 也应该随之扩大两倍，也就是五。 其实同学们如果综合应用所学过的知识，在填写的时候，方法是非常灵活和多样的，但无论选择什么样的方法，正 比例关系的意义是不会变的，那相对应的两个量背后藏着的不变的量，也就是笔直一定这个本质是不会变的。 那我们再来看看第二组吧。第二组就比较简单了，当 y 是一的时候， x 是十， x 是二十时， y 就等于零点五， x 是五分之一，十， y 等于五十， x 是零点四十， y 应该是二十五。当 y 等于零点一，十， x 等于一百， x 等于四十，十， y 等于零点二五。最后一个 y 等于六分之五，十， x 等于十二。怎么样，同学们是不是非常灵活的能 够解决这样的问题了呢？同学们，在刚才填写表格的过程当中，我想大家越来越深刻的理解了两种变化的量是否成正比例或反比例的本质特征，我们要能够透过变化抓住不变来进行分析。 那在这节课的最后啊，请同学们再来通过一组判断巩固和提升大家的理解，请你判断下面个题中的两个量是否成反比例关系，并说明理由。 这里有五个问题，一个具体的数都没有，还能判断吗？又该怎么判断呢？ 请同学们按下暂停键，先想一想方法和思路，再来进行判断。一会我们交流 好，同学们，你们有自己的想法了吗？那我们来分别看一看吧。首先来看第一个，煤的数量，一定使用的天数与每天的平均用煤量。 通过读这一组信息我们就能够发现，在煤的使用过程当中，使用的天数与每天的平均用煤量的乘积就等于煤的总量。 那根据已知信息，酶的总数量是一定的，也就是说使用的天数和每天平均用量这两个量相互影响相关联，这两个量的乘积是一定的，既然机一定， 那么这两个量就是成反比例关系的。 我们再来看看第二个全班人数一定各组人数相等的要求，按这样的标准来分组的话，那组数与每组的人数又是怎样的关系呢？ 同学们肯定在日常的学习当中，活动当中都有这种分组的经验，那我们分组的时候，小组的数量乘每组的人数就等于全班人数， 而全班人数是一定的，也就是基一定，那么组数和每组的人数一定是成反比例关系的。 第三个，圆柱体 基一定援助的底面积和高是怎样的关系呢？你是不是很快就想到了底面积乘高等于体积这样一个关系。是呢， 那在体积一定的情况下，也就是积一定，那比面积和高这一组相关联的量是成反比例关系的。 第四个，在一块菜地上种黄瓜与西红柿这两种蔬菜种植的面积有怎样的关系呢？ 由于西红柿的面积加上种黄瓜的面积等于总面积，总面积是一定的，因此这两个变化的量相关联的量合一定并不符合反比例 关系的特征，所以他们不成反比例关系。最后一组书的总册数一定按各包册数相等的规定来包装书，那包数与每包的册数有怎样的关系呢？ 这很类似于同学们熟悉的每份数分数和总数，也就是说在包书的时候，每包的册数和包的包数 这两个变化的量，他们的乘积就等于总册数。那当总册数一定的情况下，这两个量是乘反比例关系的 怎么样？同学们，刚才你自己分析的时候都分析对了吗？看来透过问题 情境找到数量关系，确定数量关系当中不变的量，也就是一定的量，是帮助我们分析相关联的两个变量之间是否成反比例关系？成怎样的关系？一个重要的判断依据。 那这节课我们先学到这里吧！

同学们好，我们今天继续整理和复习正比例和反比例的相关知识，有请今天的数学小讲师 非常棒，感谢你！请回！同学们，我们课前都整理了本节课的思维导图，现在请拿出你的思维导图， 我们这几颗将令思域导图进行整理和复习。你看一看你在整理的时候有没有遗漏， 或者有没有做的不全面的地方。请你根据其他同学的汇报，我们及时做补充 和完善。我们来看一下第一个问题，成正比例关系和成反比例关系的两种量有什么相同点和不同点？ 自己思考一下，在思考的时候要注意以下要求，说一说自己的收获，记一记，用红笔进行补充，想一想，在有疑问的地方做上记号。那我们来看一下 同学们的想法。是的，他们有三点相同点，一、都有两种相关联的量。二、一种量随着另人量变化。三、都必须有一个量一定 满足以上三点，他们是正反比例的相同点。那不同点呢？第一，正比例两个量变化方向相同，反比例两个量变化方向相反。 第二，正比例相对应两个数的笔直，也就是上一定反比里相对应两个数的记一定。同学们，你回答对了吗？ 这就是我们本节课的知识梳理。下面我们进入练习环节，请看第七题， 判断每张表中的两个量是成正比例、反比例还是不成比例，并说明理由。我们来观察一下这四幅表格， 大家按一下暂停键，自己思考一下。是的， 第一个，我们发现前向处于后向的比值一定，那么也就是都是二十分之一，所以第一个成正比例，同理可得。第二个也是成正比例。 第三个底和高，他们的成绩一定都是等于四十八，所以是乘反比例。最后一个是不乘比例，云面积除以半径等于 太暗，他是一个，不是一个定值，所以他是不成比例的。同学们，你回答对了吗？我们再来看一下第八题，判断下个题的两种量是否成比例，成比 是成正比例还是反比例？我们看一下第一题，目测一段距离，每步的平均长度和走的步数，按下暂停键思考一下。是的，每步的平均长度和走的步数成反比例，因为他们的成绩一定。 二、一台压路机滚筒滚动的转数和压路的面积，按下暂停键思考一下。 是的，一台压路机的滚滚滚筒滚动的转数和压路面积成正比例啊，因为它的面积除以它转数等于每圈的命，每圈的 面积是一定的。第三题，一台收割机每小时收割麦子的面积，一定麦积的面积和 收割的时间，按下暂停键思考一下，是的，麦迪的面积和收割的时间成正比例，因为他们的伤一定。 再来看一下第四题，图中税的藏书数量，一定每天借出的还还款的本数， 按下暂停键思考一下，是的，它不成比例，因为它这里面是合一定。我们看下第五题，已知 x y 的成绩等于十 x y， 是的，他们是成反比例关系，因为他们的成绩一定。同学们，以上的题目你都做对了吗？我们来看一下第九题， 右图表示一辆汽车在高速公路上行驶的路程和耗油的关系，横逐表示路程纵阻表示的是耗油量升。 好。第一个问题，这辆汽车在高速公路上行驶的路程和后有一辆成正比例吗？为什么？按下暂停键思考一下。 是的，是成正比的关系，因为行驶的路程去除以耗油量等于每升油行驶的路程一定，所以他这两个量是成正比的量。 第二个，根据图像判断行驶七十五千米耗油多少升？我们在横轴上找到七十五千米哦，再往沿着往上找找，找到与这个直线交警地方， 往往前瞄是六声的时候，所以我们可以直接作答， 行驶七六千米，耗油六升。我们看一下第三个问题， 汽车在市区行驶，每行五十，每行五十千米，耗油六升。照这样的耗油量在上途中描出行驶五十千米，一百千米耗路程和耗油量对应的点暂时已连接起来。 好，同学们动起手来，先描点，再连线，我们来看一下。哦，原来是这样的，同学们，判断一下，这时候他是成什么比例呢？ 对的，还依然是成正比例的关系。我们再来看一下 第十题，纯酒精和正经水可以配置配成酒精溶液。沈老师按表中的数据配置了四杯酒精溶液，我们来看一下这个表格 是纯酒精，试试，蒸馏水都是毫升一，你能通过在图中秒点连线，找出哪一杯纯酒精与蒸馏水的体积比与其他几倍不一样吗？好，我们可以先连一连线。 哎，同学们，你的判断，你的判断对吗？是的，像第四杯， 像第四杯，他不在这条直线上，所以他和其他的杯是不？嗯，这个体积的 是不同的。第二个，这一杯酒精溶液中纯酒精与救命的体积比是， 好，我们来看一下。是五百和二百，所以我们可以算出来的比是五百，比二百也就等于五比二。那么纯酒精与酒精溶液呢？同学们，按下暂停键考虑一下。 是的，同理可得，他的体积比是五比七，你算对了吗？ 好，我们来看一下最后一个拓展提升，下面 s、 y， x 和 y 均不为零，不成 重比例的是，按下暂停键考虑一下。 是的，我们本体的答案是 d 哦，我们来看一下，为什么选择 d 呢？因为 d 啊，它是我们对角乘， xy 的乘积等于四乘五，所以呢，它的乘积是 乘积等于二十，也就是记忆定，所以它是成反比例的。其他 abc 通过变形都可以得到，是 x 和 y 的。呃，商已定，所以这题选的是 d。 同学们，你做的对吗？通过这节课的学习活动，你有什么 收获？嗯，快和同桌说一说。好同学们，今天的课我们就上到这，好同学们，再见！

好，同学们好，今天这节课，老师要和大家一起来复习和整理我们刚刚学完的第六单元正比例和反比例。 课前，老师已经通过自主学习任务单给同学们布置了自主复习和整理的任务，让同学们围绕这样的四个问题，对本单元的知识进行回顾和整理。 同学们，围绕这四个问题，你是怎样进行整理和复习的呢？下面我们就一起来交流一下。先看第一个问题， 在正比例和反比例单元中，我们主要学习了哪些知识？ 我们一起来看。在这个单元中，我们主要学习了正比例的意义和反比例的意义，认识了乘正比例的量，乘反比例的量， 还认识了正比例关系的图像和反比例关系的图像。我们继续看第二个问题， 什么样的两种量陈正比例关系？什么样的两种量陈反比例关系，我们是怎么认识的？请同学们先回顾一下。 好，我们一起看。首先，我们通过利益 研究生活中的路程和时间之间的变化规律，认识了正比例的意义，知道了两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。 在变化的过程当中，如果这两种相关联的量的比的比值是一定的，那么我们就说这两种量呈正比例关系。 接着通过立案，我们认识了城正比例关系的图像是城上升趋势的直线。 通过立二的学习，又进一步深化了我们对正比利益的理解和认识。 接着，我们又通过立三的学习，研究购买商品的过程中单价和数量的变化规律， 初步的理解了反比例的含义，知道了两种相关联的量，一种量变大，另一种量也随着变化， 但是在变化的过程当中，这两种量的沉积始终是一定的。这时候我们就说这两种量沉反比例关系， 我们还通过你知道吗？了解了反比例关系的图像是呈下降趋势的曲线， 我们继续往下看第三个问题，正比例的意义和反比例的意义有什么区别和联系？你是怎样理解的？ 也请同学们根据自己的整理和复习先自己说一说。 好，我们一起来看。首先从意义上看， 正比例和反比例都是表示两种相关联的量的变化规律，一种量变化，另一种量也随着变化。但是这两种量在变化规 的过程当中，他们的变化的规律是不同的。成正比例关系的两种量，他们在变化的过程当中，两种量相对应的比的比值是一定的， 即 y、 b， x 等于 k， k 一定乘。反比例关系的两种量，在变化的过程中，这两种量的成绩是一定的，即 x 乘 y 等于 k， k 一定。 我们再从图像上看，呈正比例关系的图像是呈上升趋势的直线，而 反比例关系的图像是呈下降趋势的曲线，这也是由于这两种量在变化过程的规律的不同所造成的。 好同学们，我们要从意义和图像这两个方面很好的把握正比例和反比例之间的区别和联系，来帮助我们进一步理解正比例的意义和反比例的意义。 好，我们继续看第四个问题，根据正比例和反比例的意义，如何判断两种量是成正比例还是成反比例？ 这个问题，同学们是怎么想的呢？ 我们看根据正比例和反比例的意义，要判断两种量是成正比例还是成反比例， 他们需要满足这样的两个条件。我们先看第一个，首先这两种量要是两种相关联的量，一种量变化，另一种量必须要随着发生变化。 再来看第二个条件，也就是说两种相关联的量，在变化的过程当中，他们的变化规律是不同的。如果这两 种量在变化的过程中所对应的笔的笔直是一定的，我们就说这两种量成正比例。 如果在变化的过程中，两种量的成绩是一定的，我们就说这两种量成反比例关系 好。同学们，刚才我们抓住这四个问题，对正比例和反比例单元的知识和运用进行了回顾和整理。 通过复习和整理，相信同学们对正比例和反比例的认知更加清晰明了。下面呢，我们就来完成一些练习。 请同学们看第一题。在同一幅地图上，图上距离和实际距离如下表。 根据表中的数据，你能说出这幅图的比例尺吗？图上距离和实际距离成什么比例？为什么？先请同学们按下暂停键，自己说一说，算一算。 好，我们一起来看。根据表中的数据，我们很容易算出制服图的比例尺是一比一万五千。图上距离和实际距离成正比 关系，涂上距离越长，实际距离也越长。涂上距离和实际距离是两种相关联的量。 并且在同一幅地图上，图上距离与实际距离的比值，也就是比例尺始终是一定的，所以我们说图上距离和实际距离成正比例。 同学们，你们也是这样想的吗？好，请你继续看第二题。 王阿姨编织一批手套，每天编织的套数和需要的天数如下表。那么根据表中的数据， 请你判断每天编织的套数和需要的天数成什么比例。为什么？也？请同学们按下暂停键，自己先说一说，想一想。 好，我们看。根据表中的数据，我们发现每天编织的套数越多，需要的天数就越少。 所以我们说每天编制的套数和需要的天数是两种相关联的量。并且每天编制的套数乘以需要的天数等于总套数，总套数一定。因此，每 每天编织的套书和需要的天数就成反比例。同学们，你们也是这样想的吗？下面我们接着看第三题。 小学生数学报全年定价六十元，订阅人数和总价如下表。这里一共有三个问题，请同学们自己看题，想一想，说一说，聊一聊。 好，我们一起来看。第一个问题订阅报纸的总价和人数成什么比例？为什么呢？ 我们一起来看表中的数据。订阅的人数越多，订阅的总价就越高。订阅的人数和订阅的总价是两种相关联的量。 并且总价除以人数等于单价，而单价始终是一定的。所以我们说订阅报纸的总价和人数就成正比例关系。 好，我们继续看第二个问题。根据表中的数据，在下图中描出总价和人数相对应的点，再把它们按顺序连接起来。我们先来看横轴 表示什么？正轴表示什么？横轴表示人数，正轴表示总价。 那么根据表中相对应的数值，我们就可以描出这样的一些点，然后把这些点按顺序连接起来， 那么这条直线就表就是表示订阅总价和订阅人数成正比例关系的图像。 我们来看一下，四十人订阅总价为二百四十元，五十人订阅总价为三千元， 六十人订阅总价为三千六百元，七十人订阅总价为四千二百元。根据图像来判断，如果订阅总价为两千七百元，有多少人订阅呢？ 我们先在重轴上找到两千七百元，我们看他在两千六百到两千八百之间。我们来看， 我们发现横轴上正好落在四十人到五十人的正中间，这说明有四十五人订阅了小学生数学吧。通过计算， 用两千七百除以六十，答案也是四十五人订阅。同学们，你们明白了吗？好，我们继续看第四题思考与挑战。请同学们自己看题并且思考。 我们一起来看一下，如果二分之 x 等于 y 分之三，那么 x 和 y 成什么比例？ 我们看由二分之 x 等于 y 分之三，我们可以推出 x 和 y 是两种相关联的量，并且 x 乘 y 等于六是一定的，所以 x 和 y 乘反比例。再看第二题，如果十四 x 等于 y， 那么 x 和 y 成什么比例？ 同样由十四 x 等于 y， 我们也可以推出 x 和 y 是两种相关联的量，并且 y 比 x 等于十四， 所以 x 和 y 成正比例。好了，同学们通过以上的练习与运用， 相信大家对正比例和反比例的理解和运用又深入了一层。我们说复习和整理是 一种非常有效的学习方法，相信大家通过今天的复习和整理，一定收获良多。下面就请你带着你的收获和思考去完成文件包里的自主检测，看看你的学习活动效果如何吧。 今天的课就上到这里，感谢同学们的聆听，同学们再见！