换底公式练习题

ok， 今天我们来讲几道换底公式的例题。这个是换底公式的内容，大家稍微看一下。 好，我们来看第一题。这个第一题比较简单哈， 咱们直接讲了。大家看这个。第一个 logo 根号二，根号三可以怎么处理呀？我们可以全部把它转换成以十为底，那也就说上面变成 logo 根号三，下面变成 logo 根号二。 第二个呢，第二个就可以变成 logo 根号四，除以 logo 根号三，依次类推 对吧？然后呢？然后通过观察，大家看到没有根号三，根根号在约掉 logo 根号是约掉，这边约掉，这边约掉， logo 根号其实也约掉了。 所以最终只剩下了什么？只剩下了这个 logo 根号八除以 logo 根号二。 呃， logo 根号八，很显然可以看成什么。三倍的 logo 根号二除以 logo 根号二的，所以剩下点三， 这个根号八变成三倍的 logo 根号二。这个有疑问吗？这个其实最简单的解释就是根号八可以看成根号二的三次方。 ok， 那么第一题咱们搞定了。第二题 立体。我们看下这个思路是什么啊？首先它是两个括号相乘，然后再看括号里面。括号里面第一个是六个三二，第二个是六个九二。看到这个六个九二，咱们是不是就想到那个推论二啊， 这个推论二是啥来着？推动二是上下如果都有这个 m 次方跟 n 次方，是不是都可以往外面提呀，对吧？这个推论哈。所以这个六个九二咱们可以怎么 处理啊？那个九二是可以把它变成六个三二。所以这思路不就来了吗？这个东西全部可以变成六个三二，然后后面也是六个三二。第二个括号呢，第二个括号，这个六个十六三，六个十六三，后面那个是六个二三。所以第二个括号是全部可以转换成六个二三啊。 然后前面是六个三啊，后面是六个二三。哎，一层他就等于一了对吧？思路来了，那我们做一下。 第一个是露个三二，那露个九二怎么办？ 九只可以看成三的平方，那个十六三呢？这个十六可以看成二的四只方哈。 然后呢，这个二可以往外面提， 这个二在下面，所以提取出来，他应该变成二分之一。这二的四字方呢，二的四字方也可以往外面提，提出来是四分之一哈。然后接着大家看到了吧，这是六个三二，这也是六个三二，所以把它们加起来。 那么第一个是指加起来就是二分之三倍的 logo 三二。第二个是指是四分之一加一对吧，四分之五倍的 logo 二三二号。 这个 logo 三二乘三， logo 二三等于一。所以最后打应该是八分之十五。

老铁们，这个视频咱们一起来看一下关于换底公式的推导，以及换底公式的三个主要推论的应用。好，我们来看一下。首先 先来看换底公式，我们都知道换底公式就是这个式子， log a b 等于 log c b。 比上 log c a。 比如说原来的这个底数，现在可以把它换掉，你看原来底数是 a， 现在我都换成 c 了。然后原来的对数的帧数是分子的帧数，原来的对数的底数是分母的帧数。 好。这个时候我们来看推倒过程。首先呢，我们先拿到一个对数，是 log ab， 我们假设它等于 x， 这个时候呢，只对互换，我就可以得到 a 的 x 四方等于 b， 所以 a 就等于什么呢？ a 就等于这个 b 开 x 次方，也就是 b 啊，开 x 次方。好，那这个我们可以写成 b 的 x 分之一次密。好。这个时候进行一个操作，那就是等号两边 同时处理这个对数，那就是两边同时变成以这个 c 为底的。然后呢，以这个 a 为帧数的一个对数。右边呢，是以 c 为底，以这个 b 的 x 分之一啊为帧数的一个对数。好，这个等式是成立的。来我们来看右边右边这个式子。 首先呢，帧数的指数密可以直接拿到前面，所以说我就可以得到 x 分之一，再乘以，这里是 log c b。 好。最终我们得到是这样的一个式子。好，那也就是说 log c 等于 x 分之一倍的，这里是 log c b。 好，这样来，我们两边同乘个 x。 然后呢，再把 log c a 除过去，所以你就得到 x 等于什么呀？ x 就等于 log c b 比上，这里是 log c a。 好，那这是谁呢？ x 等于谁？就等于 log a b。 好。到这大功告成了，这是我们的一个证明过程。好，紧跟着我们来看一下换底公式的三个应用。这里是主要的三个应用。首先来看第一个。第一个应用说的是， 如果两个对数，他们的底数和真数位置刚好是相反的，那么这样的两个对数一定是互为倒数的。我们来看一下为什么？首先，我们知道 log ab， 我可以把它换底，换成谁的，换成以 c 为底的。好，那我就换成以 c 为底的。然后 log c b 比上 log c a。 而同理呢，大家来想 log b a 呢 啊，这个就很好解释， log b a 我也换底，也是换成以 c 为底的，那就是 log c a 比上 log c b 好。观察一下这两个式子，你会发现，哎，刚好是互为倒数的。所以说哦，原来 log a b 就等于这里是 log b a 分之一。好。第 第一个推倒过程不多说了啊。再来看第二个。第二个的话，他说的是两个这种对数去相乘，然后的结果。大家来看这两个对数的特点。首先，这两个对数，前面这个对数，他的真数就等于后面这个对数的底数。而我们发现这样的两个对数去相乘，结果呢，这个币就消失了， 对不对？一样的这个数就消失了。最终得到的是以 a 为底。然后 c 的一个对数。好。我们来看这个过程，它的原理呢？肯定还是换底公式。比如说 log a b 乘以，这里是 log b c。 好，这里呢，我们对后面这个 log b c 换底吧，换成以 a 为底的。那这样一来呢，就是 log a b， 前面这个不变，后面换成以 a 为底，那就是 log a c 比上 log a b 好。这样来约掉约掉，最终结果是谁呢？哎，最终结果就是这个分子啊。 logac 好，原理很简单。 然后我们再来看第三个。第三个式子，哎，我们发现有点眼熟啊。这个式子有点像我们这个对数的运算。里面。第三个运算对不对？就是说真数的指数密可以直接拿到整个对数的前面来。 但是大家注意看，有一点不一样的地方。那这里这个 n 的确是直接拿到前面来了。但是大家看底数也有一个指数密，你看不一样的地方就在这里。好，底数的这个指数密 m 要怎么拿到前面来呢？要取一个倒数，拿到前面来哦。那这是为什么呢？来给大家写一下。 首先你拿到一个对数，它是以 a 的 m 次方为底，然后以 b 的 n 次方为帧数的。好，这里呢，我们对它进行一个换底操作。怎么换底呢啊？我就把它换成以 c 为底的吧。那我们知道它就换成了 log c。 然后这里是 b 的 n 次方比上，这里是 log c， 然后 是 a 的 m 四方。好了，这个时候大家看分子和分母，我都可以用一下这个运算的性质。第三条，那也就是说帧数的指数密可以直接拿到前面来，所以就是 n 倍的，这里是 log c b 比上，这里是 m 倍的，这里是 log c a。 那也就是说得到的 m 分之 n 倍的 log c b 比上 log c a， 而 log c b 比上 log c a， 我们知道它其实就是 log a b。 好到这大功告成，推导过程就结束了。所以我们来看第三个应用啊，也是我们以后用的非常广的一个应用，他的原理呢也是换底公式。然后呢，他所体现出来的就是说如果底数这里也有一个指数密，那么这个指数密也可以拿到前面，只不过要先变成倒数才可以直接拿到前面。 好，这是我们关于换句公式及其最主要的三个应用。那么下一个视频啊，我们就实战一下，去做一些相关的习题。我们下个视频再见了。

来各位小伙伴，咱们通过今天这道题呢，来讲解一下机器差的速算方法，其实呢就结合我们之前也学过的混和增长率的方式，如果说有些小伙伴没学过，那也可以私信我，关注我，后续呢也会陆续更新。 那好，那我们混合增长率我们都知道啊，就是一定是出现整体，还有部分，对不对？那这个呢，其实我们就可以把它看成这整体，这个呢看成是部分，这个呢等号要求的我们也可以看到是部分， 那是不是就是 a 除以一加二，那这个 a 呢，我们是可以算出来的， a 其实就是他俩的叉吗？那就是五十八点九， 然后呢这个在球数二其实就可以了，在球二的过程中呢，我们可以通过线段方法，线段法也就是量聚成反比的方式呢来进行 求解，那其实呢通我们计算到这一步呢，其实就已经有答案了，为什么呢？二是负数的可能性非常小，如果二是正数的话，答案很显然就是 a 了，对不对？那所以其实这个时候已经出答案了，那我们呢为了学习方式法呢，给大家继续往下讲啊， 那我们去求这个二，那好，那我们混合增长率呢，是不是混合增长率，混合在中间，对吧？ 那混合是三十七点一百分号，是不是？然后呢紧接着写两端，那比他大的，我们写在右边吧，四十点二百分之， 然后这个量的关系呢是五十八点九，这个是二七六点五，是不是就求这个二啊？ 那好，这个量的比是多少？大概是五倍左右，是不是也就是这是一倍，这是五倍，这是量的比， 那我们要得把它转换什么？距的比，那距的比应该就是五比一，对吧？那这个地方是多少？这个是百分之三左右，对不对？那这块呢，应该这个距离应该是百分之十五左右，那百分之三十七减要百分之十五就应该是他了吧？那应该就是百分之二十二左右， 一加上百分之二十二，那这一算最终呢？很显然就是答案 a。 如果说利用我们之前所学的速算方法也可以算，那这里就不细讲了，如果有些不清楚的可以关注我。然后呢学习更多的方法。第二题呢，给大家留作作业。

大家好，我是李老师，今天给大家讲解一道利用屏风擦公式进行计算的问题。好，我们来看这样一个题目， 计算一减二方分之一乘以一减三方分之一乘一减四分之一等，等到一减两千方分之一。我们看这个题目，如果我们硬着头皮去算的话，我们肯定也算不出结果来。 我们观察这个题目，我们一看这个题目，就知道他不是让我们进行计算的题目，而是让我们通过找规律来进行简便计算的题目。 所以这个时候我们看好我们来分析一减二分之一的平方，我们发现呢，他们每一个因式里边都是两数的平方差，一减二方分之一，他就可以写成一 一的平方，减去二分之一的平方。那么我们根据平方差公式， a 加 b 乘以 a 减 b 等于 a 方，减密 b 方。 我们根据平方差公式的逆运算，我们就可以得到一减二分之一乘以一加二分之一。 我们不妨把每一个因式都进行平方差公司的逆运算，这样会得到什么结果呢？好，我们就得到这样一个式子，然后呢，我们再进行下一个运算，他就会等于二分之一乘以二分之三，再乘以三分之二乘以三分之四， 四分之三乘以四分之五，这就会变成两千分之一 九九九乘以两千分之二零零一。好，我们就会得到这样一个结果，这个时候同学们千万不要把它承在一起。我们观察每一个因式， 后一项都会和前一项似乎为倒数，他们都可以约掉后一项，前一项约掉后一项，前一项约掉后一项，前一项约掉后一项前一项约掉，这样我们就会得到 二分之一乘以二零零零分之二零零一，然后我们就会得到四千分之二零零一。好，这就是最后的答案，同学们，你们学会了吗？关注李老师，每天一道数学题。