2025九年级上册数学作业本反比例

嗨，同学，大家好，今天呢，我们又要学习新的内容了，聪明的你和老师一起来研究吧。我们今天学习的是六点二，反比例函数的图性与性质的。第二个课时，反比例函数的性质。 首先呢，我们看一下内容大纲，理解并掌握反比例函数的图像的性质啊，能利用反比例函数的图像和性质呢，去解决实际的问题。 我们一般学习的时候都是这个东西是新的知识点是什么？然后新的知识点如何在实际当中呢，进行一个运用，对吧？都是这样，我们呢对上一节课的知识点呢进行一个复习。上节课我们学习了梵比利函数的图像啊，形状是吧，双曲线啊，无限接近坐标轴，但不相交。 有的同学呢问，无限接近坐标轴但不相交，这属于什么呢？这属于呀，有一个词呢，叫渐进性渐进。呃，这个近啊，远近的近渐进趋势啊，或者渐进性啊，渐进趋势， 这个呢，就属于这个意思，它其实呢，它也是性质的一部分啊，它是我们性质的这个一部分啊。再一个呢是这个图像呢的位置是由 k 决定的， k 大于零一三象限， k 小于零二四象限。 再一个呢是对称性，对称性呢，其实也属于性质的一部分哈，也属于性质的一部分，只不过是我们在前面呢，就给他研究过了。再一个呢是画图，画图的时候呢，注意自变量的互为相反数，然后呢，数量要稍微多一些，这样的话呢，我们画出来更标准一些。如果你平时呢，只简单的画一个草图，那么你至少也需要两点，对， 至少也需要两点，画一个草图。好，这是我们对上节课的知识点呢，进行一个复习，反比例函数的图像的特点， 那么这节课呢，我们继续去研究一下啊，继续去研究一下反比例函数图形的性质，它还有哪些？除了我们刚才所说的渐进趋势啊，还有这个对称性，那么我们在图像里面，其函数图像里面其实研究的更为 多的一个，使用的更多的一个就是他的增减性，对不对？依次函数我们也讨论的增减性，那么我们再补充一下，在第二个课时里面，我们在完整的啊看一下， 补充一下反比例函数图性的增减性质，好观察反比例函数 x 分之二啊， x 分之四， x 四分之六的图像，你能发现他们的什么共同特征在下面呢，你看，首先呢，我们能够知道这 k 呢，都是大于零的是吧？他说给的这几个函数 k 都是大于零的，那么他都在一三象限是吧？都与呃坐标轴不相交，但是无限的去接近，都是对称的 对不对？轴对称，中心对称啊，这是我们根据上一课时的学习的内容呢，就能就能总回答出来这些， 那么我们再进一步的去观察，进一步的去观察，来回答这些问题。每个函数图像分别在哪个？呃，分别在哪个象限都一样，都在一三象限对不对？都在一三象限，那么在每一个象限内，随着 x 的增大外如何变化？既然是一三象象，我们先看第一象限， 看随着 x 的增大是不是往右走，随着 x 的增大，你看 y 越来越接近 x 轴， y 是不是越来越小 小，也就 x 在增大的时候呢？ y 其实是减小的，我们看看这个，虽然 x 增大， y 是不是也是减小？ x 的增大， y 减小啊，这个也一样， x 的增大， y 减小，对不对？越来越靠近 x 轴啊， x 会越来越大，但是 y 会越来越小， 那么在第一象限都是这样，那么在第三象限是不是满足这样的要求呢？你看 x 越来越大的话，是不是就是往这边走了？ x 往右走是不是越来越大，但是 y 呢？你看 y 的值是不是越往下走，那么在 y 轴上越往下走，他是不是值越小？ 也就随着 x 增大， y 也是减小的，那这个也满足这样的规律，这个也满足这样的规律，那么也就是说在第一项线，在第三项线呢，同时满足 x 增大， y 减小， x 增大， y 减小，如果有表达式来说明的话， 因为它本身就是这样的吗？对不对？自变量在分母上，那么随着，呃，分母越大，分数越小，对不对啊？分母越大，分数越小，是不是啊？ 好，那么我们再来看看，对于反比例函数 k 大于零的时候，考虑问题一和二，你能得出同样的结论吗？什么结论？就是我们的 x 增大外减小是不是都是一样的？我们把 第一个问题和第二个问题一整理，是不是在 k 大于零的时候，他都满足这样的一个结论，也就 k 大于零的时候，函数图像就在一三象限，并且随着 x 的增大外在减小， 明白了吗？这就是我们得到的第一部分的结论啊。第一部分的结论，也就是说 k 大于零的时候啊，在这里呢，我们能够得出来， k 大于零的时候呢，其实这个 k 啊，在我们上节课学习的时候， k 它绝 决定了位置对不对？决定了图像的位置，在这里呢，我们也能够决定啊，也能决定他的增减性， 是不是？同学们啊，既决定位置，又能决定增减性啊，这就是我们这节课啊，研究内容的其中的一部分。这是 k 大于零的时候，那么 k 小于零的时候，也满足这样的条件吗？那么一起来看看哈，一起来看一看， 那 k 小于零的时候看，如果我把 k 换成负二负四负六，那么就是 x 分之负二， x 分之负四， x 分之负六，那么他们还有刚才的共同特征吗？ 是吧？那 k 小于零的时候，他都在二十四上线啊，与 x 与坐标都都不相交，但是无限接近，对吧？呃，对称性啊，满足周对称和中心对称的要求，对不对？还是这些？那么在他们个子的上限之内啊，随着 x 的增大， y 是怎么样的？你看，随着 x 的增大哎， y 是不是也在增大，也在往上走啊？ x 的增大， y 也在增大，是不是？这个也满足？这个也满足？我们看看第四象限，虽然 x 的增大往这边走，那你看 y， y 是不是也无限无限往上走了啊？往正半轴上走了，那是不是他也是越大，随着 x 增大， y 也在增大， 对不对啊？ y 也在增大，随着 x 的增大， y 也在增大啊，你说老师那 x， 呃，那用表达式来关系的话，你看 x 越来越大，那么这个分母增大，呃，这个数值就应该变小了嘛，但是别忘了，人家是相反数负的 负的，如果你的绝对值小，那么你这，呃，如果你的这个，呃绝对值小啊，你再加上一个负号，那么是不是他算负数的话，他是不是就越来越大了啊， 明白了吧？啊，很好，好，明白了，这个也比较容易理解哈，比较容易理解。这样的话呢，我们也可以得出结论啊，在 k 小于零的时候，分别位于二、四象限，他们与 x 轴、外轴呢，都不相交，并且在每个象限内外随 x 增大而增大 啊，这样的话， k 大于零的情况有啦， k 小于零的情况也有啦，因为反比例函数只讨论两种嘛， k 不等于零是吧？ k 大于零的时候， k 小于零的时候，我们现在都有了结论了，那么我们对它呢？对今天的这个性质呢，做一个总结。一般的反比例函数 y， d， x 是双曲线，它具有以下的性质 啊， k 大于零的时候，一三象限 y， x 的增大而减小。 k 小于零的时候，位于二、四象限，在每一象限内， y， x， x 的增大而增大。理解啊，呃，它具有以下性质，这个性质呢， 是我们今天所学习的哈。随后呢，我们还会进一步总结，把它的性质总结到一起哈。那么在这个方面呢，我们还能够延伸出来一个什么呢？就是 k 的正负也是 k 的大小，决定了反比例函数图像的位置和增减性。 位置和增减性，对吧，这个容易理解对不对？ k 大于零呢，在第一课的时候呢，我们学习了 k 的正负，他决定了函数的位置啊。这个课呢，我们学习的 k 的大小，他决定了这个 k 的正负，它决定了函数的增减性，对不对啊？ k 大于零的时候，一三象限啊，跟着我一起一起去记一下哈。 k 大于零的时候，一三象限， y x， x 增大而减小， k 小于零的时候为二四象限啊， y x， x 的增大而增大， ok， 好，那么这就是我们这节课的新内容了啊，新内容了，然后呢，我们看一看，练一练，已知反比例 函数， y 等于 a 减，一括起来 x a 方加上 a 减七次，是吧？再去向前内， y x x 的增大而增大， y x x 的增大而增大，那就说明 k 是啊，小于零的，他位于二四上线，对不对？ k 小于零的话，那么你看我们在这个反比例函数里面，是不是他就应该小于零？而同时呢，这个 x 的次数他是不是应该等于负一， 是不是啊？那么把这两个式子放在一起，你就能够解出来 a 的值啊，解出来 a 的值，好，第二题， 已知反比例函数，它也是反比例函数，你看它都没有写成分数的形式，那就说明 x 的次数必须保持啊，是负一，对不对？在这，现在的 y x 的增大而减小减小，那就说明 k 要大于零，也就是它大于零，对不对？把它和第一题一样，把它列成一个 式子，然后呢，同时满足这两个条件，解出来 m 就 ok 了，解出来 m 就 ok 了。在这里呢，我就不带着大家去解了哈，学习到现在，我们必须也一定啊，应该去解决了大家的计算问题 啊，不要出错，不要出错，尤其如果要是解一些方程问题的话，你就要代入求职一下啊，代入求职一下，如果是一个不等式，那么你取一个特殊的值去验证一下 啊，都很简单，大家呢，老师比较着急，比较着急，解出来就赶紧跑啊，别着急，别着急啊，磨刀不误砍柴工啊。我们的问题呢，不是做的有多快，我们的目标是要把题做对 好。第二题，已知反比例函数的图像经过这个点，那么这个函数呢，位于哪几个象限？ y、 c， x 增大如何变化？这个呢，就是说了，你看 a 点在哪里了， 是不是在第一象限，那么也就说这个函数图像经过第一象限，只要是经过第一象限，那么他就一定经过第三象限，对不对啊？因为我们对 x 的呃，自变令的范围并没有什么限制，对吧？并没有什么限制，根据他本身的性质去走就可以了啊，他在第一象限，那么另一只肯定就在第三象限了，对吧？ 那么啊，你在一三上线的话啊，那么你的 k 就应该是大于零的，对吧？ ycx 增大而减小，这是不是我们刚才所学习的性质啊？ 第二题呢，他问的点 b、 c、 d 是否在这个函数的图像上？我们第一课程的时候就学习过怎么判断一个点在不在这个函数的图像上，那么你要带入他的解析式，是吧？看看这个左右相等不相等，相等的话，满足这个点的坐标，那么他就在，而不满足这个点的横坐坐标，那么他就不会 在，是不是？那么就这这个点呢，就成了求解析式了。求解析式是待定系数法对不对？先假设它是 y 等于 x 分之 k， 是不是？然后你带入这一点的坐标，已知点的坐标，那你就能解出来 k 在这里呢， k 等于十二，对吧？一眼就能看出来 啊，一眼都能看出来。然后呢，你把这个 b、 c、 d 都带进去，看看满足不满足， 是不是啊，这都很简单哈。呃，我们的这个训练题呢，都是直接紧紧地扣题啊，扣住今天所学习的知识点，对大家呢有一个强化和认识 和了解啊。第三题，已知反比例函数 y 等于 x， 分就是 k 经过点 a， 二都三，那么这就更简单了，求这个表达是直接代进去是吧？ k 就等于六啊， k 等于六，那么判断 b、 c 是 不是在这个图像上，那是不是和刚才一样？和刚才的题一样哈，那么我们看一下第三题，求 x 的范围，给了你之后求外的范围，你看这个，我们做这个函数题啊，就是，呃，一定要尽可能的去画上一个草图哈啊，如果人家要求你画图的话，那肯定很标准，如果人家不要求你画图的话，你画一个草图便于你去理解。 k 既然是等于六， k 大于零的是吧，它也经过第一行线嘛。啊， k 大于零的，你看它就是这样的， 我们能够知道随着 x 的增大，外在减小，你看，而且这这个正好呢，你看人家没有跨这个零是吧，人家就就在低。呃，这个，呃， 按说图像呢，应该对应的是在第三象限内，对吧？第三象限内是负三到负一，是不是 x 在增大啊，是吧？负三到负一是不是 x 在增大，那么 y 就在减小，那也就是说我在负三的时候呢，去 到最大值，在负一的时候呢，取到最小值，对不对？这就是外的范围啊，根据定。呃，这个自变量的范围，求一个音变量的这个范围啊，这个题呢，在依次函数里面也多次见过， 所以说呢，他不难理解，不难理解哈，根据增减项确定他的最大值和最小值，并且他中间也没有断的，他都是连续的，那么你就让 y 就这个大于他的 最小值，小于他的最大值就 ok 了，对不对啊？对应起来，对应起来去解决就行了啊，对应起来去解决就行了。好， 我们看一下这个材料的结果啊，我主要是呢，担心有的同学在第三问上出问题，在第三问上出问题啊，要考虑他的增减性，要考虑自变量的范围，自变量的范围。 好，同学们，那我们对这节课呢进行一个总结，就是反比例函数的性质呢，包括这个渐进趋势啊，无限接近坐标轴，但与坐标轴不相交，对称性中心对称图形也是轴，对称图形增减性就是我们今天所学的， k 大于零的时候怎么样， k 小于零的时候怎么样 啊，都不难理解，大家一定呢牢牢的把这些东西呢，记住，记住，你比如说你考虑渐进性的时候，你就在你的脑海里快速的画一个，呃，这个，呃，草图就行了啊，对称性也画一个，增减性也画一个啊，这样的话呢，就是把你的图形和文字对起来啊，对起来啊，这样的话呢，因为他们的图形，你比如说他依次函数， 它是一条直线，而这个反比例函数呢，它是两条曲线。其实呢，呃，都不复杂，都不复杂啊，你再说说一些知识点的时候呢，就把这个图呢画在自己的脑子里，画在自己的脑子里，这样的话呢，呃，更印象 更加深刻，也不容易出错啊，也不容易出错，不要死记这些文字啊，死死的记住啊。然后呢，给你个图像吧。然后呢？又对应不起来啊，只是学的呃，零散了啊，只是没有串联起来。 好，同学们辛苦了，这节课呢，我们就上到这里，更多精彩课程请关注冯老师爱数学，谢谢，大家再见。

嗨，同学，大家好，这节课呢，我们也是继续学习新的内容，聪明的你和老师一起来研究吧。 我们这节课呢，一起来看九年级上册教材习题六点一的内容。 还是老规矩，我们先对上节课的知识点进行一个复习。上节课呢，是第一节的内容，我们先是对反比例函数进行一个认识，了解了反比例函数的概念，定义，域特点，表达方式。 然后呢，又了解了反比例函数的作图方式，是吧？作图步骤，这个呢，和我们，呃依次函数的是一样的。函数上呢，都 一样啊，他的作，呃，作图的步骤呢，都是一样的，只不过你取点啊，和最后形成的这个图像上呢，会发生改变。第三个呢，就是对反比例函数进行一个简单的应用。 好，我们看一个具体的题目。第一题，计划修建铁路一千两百公里，那么铺轨天数所，也就是所用的时间是每日铺轨量，每日工作量 x 的反比例函数吗？ 也就是说，我每天的工作量乘以我的工作天数，就应该等于工作量一千两百公里，对不对？ 而这样的话呢，如果我的啊，每日的这个铺轨量越多，那么是不是天数就会越短？如果每日的工作量越少，那么铺轨的天数啊， 啊，就是工作时长是不是就会越多，对不对？是不是这样成反比的这样一个关系，对吧？再加上，如果我对给 x 一个具体的值，那么 y 都有一个唯一的值与它对应，那么这就是一个函数的，是吧？那么我们把它写出来的形式呢，是 y 等于一千二除以 x， 对不对？他又满足反比例函数的这样一个特点，所以说啊， y 是 x 的函数，也是他的反比例函数。 ok， 好， 第二题，三角形的面积 s 是乘数，是乘数啊，乘数也就是固定了哈，在这里是个乘数， 它的一条边长为 y， 一条边长为 y， 这条边上的高为 x， 那么 y 是 x 的函数吗？其实根据前面的这个式子，我们首意思，我们首先能够列出来这个 个，嗯，三角形函数的面积公式就可以列出来一个狮子，对吧？他是这样的，二分之一底乘高就是三角形的面积吗？对不对？那么 y 是 x 的函数吗？ 但你边长不一样，那么你高就不一样，对吧？啊？呃，高不一样的时候呢，边长也会也就不一样，因为 s 已经固定了吗？对不对？然后呢，我们再看，所以说他肯定是一个函数的啊，那么 y 呢？就是在这里呢，就等于 s 啊，除以二分之 x， 就乘以 x 分之二，对吧？乘以 x 分之二，它等于 x 分之二 s， 对不对？因为它是三角形里面，所以说 x 呢，不可能为零，是吧？分母不能为零，然后呢， s 它作为一个面积来说，它也不能为零，是不是啊？那么它是不是有满 除了我们今天所所学习的反比例函数的内容，对吧？哎咕，它是它的函数，也是反比例函数啊，同时呢，我们就加强了我们对函数的认识啊，对，反比例函数的认识。 好，第三题，那这个比较简单，是吧？我们只需要判断一下 y 是 x 的反比例函数吗？为什么？对不对？那么就看看它满足不满足。我们所上课的时候所说的三种形式，第一题， 满足，第二题不满足，这是依次函数一看，对吧？第三题满足，第四题满足。是不是因为人家告诉你了， a 为乘数， a 不等于零，对不对？可以写成这样的一个形式啊，剩下的所有的他都满足 我们定义的要求，定义的要求好， e 三四是表示 y 是 x 的反比例函数，理由如下，它对每一个呢都进行了一个分析。 好，第四题也是最后一题，用电器的电流 i 电阻 r 电功率， p 之间的。呃， p 之间满足关系是 p 等于 i 的平方乘以 r， 已知 p 等于五 w 是吧？五瓦是不是应该读瓦是吧？呃，那么填写下表并回答问题。填写下表是啥意思啊？就说你把这个电阻给我算出来吗？ 那么根据这个公式，电阻的话，他应该等于 p 除以啊， i 的平方对不对？既然 p 等于五是已经固定了， 那么只要是挨的平方算出来，那么尔就有了，对吧？一一得一，是不是第一个等于五？二二得四，四分之五，三三得九，九分之五，四四十六十六分之五，五五二十五二十五分之五，五分之一，对不对？六六三十六，三十六分之五啊，这个呢，计算起来比较简单， 同学们在书写的时候呢，注意书写准确了啊，别你口算的准确的，担心书写的时候呢，出现了偏差。那么变量 r 是变量 i 的函数吗？ 从这个上面的表格我们能够看出来，只要给定一个 ii 是字变量吗？对吧？啊， r 是音变量，对一个给定一个字变量，那么有就是这个音变量呢，就有唯一确定的值，和他对应是不是没有重复的？是不是唯一确定的值和上面的这个对应 对不对？那么它是不是就满足了我们函数的这个要求？所以说这个呢，是函数。那么 r 是变令 i 的反比例函数吗？根据我们刚才所写出来的内容，你看写出来内容 r 等于 i 方分之 p， 是吧？ p 是一个乘数，它可以写成五，那么下面就看下面了。下面这个符合我们反比例反比例函数的要求吗？当然不符合， 当然不符合，因为它在分母上，就单从分母上来看，它是一个二次的是吧？它是一个二次的，而我们本身要求 x。 呃，本身要求分母上呢？它直接是一次的是吧？啊， 如果你要是从呃分数上来考虑的话， x 是负一次的，而这里的 i 呢？它是负二次的，是不是？这也不满足要求，也不满足要求，明白了吗？同学们啊，所以说呢，第一节的内容呢， 比较简单，只是要求我们深刻的理解一下反比例函数就可以了。啊，可以了，对他呢有一个充分的认识。好同学们，这节课呢，我们就上到这里， 同学们辛苦了，更多精彩的课程呢，请关注冯老师来数学也可以啊，联系老师解决一些你们所遇到的具体的问题。好同学们，再见！