正余切公式

同学们大家好，今天开始啊，我们来学习两角合一插的正弦、余弦与正切公式。首先呢，我们从本单元的研究主题三角横等变换开始。 什么是三角横等变换呢？我们来看我们的熟悉的诱导方式。一，他反映了中边相同角，其三角函数值相同。那么 利用之奥的约导公式啊，我们可以对三角函数式进行变形，从而达到化简、求职乃至证明的目的。 这种利用公式对三角函数式进行的横等变形就是三角横等变换。好，我们首先啊，利用诱导公式进行化减，扣三二分之派减贝特就等于三贝特，扣三派减 bat 就等于负 chosen bit chosen 父 bat， 它就等于 kosan bat chosen r 法减去二分之四派，它就等于 foo syne r 法。 cossen r 法减二 k 派自然等于 抠散耳法。那么我们来关注这组题的共同的结构特征，我们来看 他们时尚都是两脚叉的余弦结构。可能有同学对扣三付贝特有所质疑，那这个付贝特我可以看成扣三零减贝特，那自然也满足我们的结构特征。我们在关注他脚的特征，二分之派减贝特 派减贝特零减贝特，阿尔法减二分之三派，阿尔法减二 k 派， 那实际上他都是一个特殊角二分之 k 派与一个任意角耳法或贝特之间的差的关系。 我们在关注化解的结果，其结果都与任意角尔法或贝特的正弦或余弦直有着关系。 现在啊，我们把本组习题之中的特殊角二分之派派零，二分之三派于二 k 派，用任意角 r 法或 bet 来进行转化，那这样这五个问题就 统一为扣三而法减贝特的问题，我们把它简称为叉角的鱼形，那请大家来思考吧。那扣三而法减贝特的展开公式可能与哪些值有关系呢？ 那么通过对比之前的五个式子，那我们发现了这个口散阿尔法捡贝塔展开是可能与阿尔法或贝塔的正弦值或余弦值有关。 好了，那我们想一想了，我们能用到哪些知识去探究蔻赛阿尔法捡贝塔与阿尔法贝塔的正弦之与弦之的关系呢？ 这就要我们看以往的经验，我们回忆我们的诱导公式，在推导诱导公式的时候，我们用到了三角函数的定义和 单位员。当然了，对于我们的诱导公式一而言，中间与单位员交于一点 p p 绕欧点旋转。二 k 派由圆的特殊对选性，该点扔在圆上且位置不变，所以说我们得到了中边相同的角，三角函数值相同内笔诱导公式的推倒，那么请大家 利用三角函数的定义动手作图。一 s 轴非负半轴为始编，任取两角耳法 bet 两脚中边分别交单位源于 a 一 p 一。当我们排除阿尔法贝特 中边相同的特殊情况，实际上同学们做图呢，可以分为以下三种情况，我们一一说明。 第一种，任意角尔法贝特切零到二排内与 r 法中边相同的角。大于零到二排内与贝特中边相同的角。 第二类，任意角，尔法 bet 在零到二排内与 bet 中边相同的角。大于零到二排内与耳法中边相同的角。 当然了，还有我们同学画的最多的这一类阿尔法贝特就都在第一乡县切零到二排内与阿尔法中边相同的角，大于零到二排内与贝特中边相同的角，那么情况比较 复杂，我们从简单的入手，并令角，而法贝特为锐角，且而法大于贝特。那么如图， a 点为贝特的中边与单位人的焦点，所以说 a 点坐标为 cosan 贝特赛贝特。 p 一点为 r 法的中边与单位人的焦点，所以说他的坐标为 co 散 r 法赛 r 法。 大家记住了，我们是要推倒扣三阿尔法减贝特的展开式，所以说我们也要找到与扣三阿尔法减贝特相关的点， 怎么去寻找呢？当然了，我们还是用到三角函数的定义，一 s 轴非负半轴为始编坐角， 而法减 bat 交单位元于一点 p， 此时 p 点坐标自然为扣散而法减 bat 散而法减 bat。 好了，那么我们现在要发现蔻赛阿尔法捡贝特与阿尔法贝特的正弦值与弦值存在的等量关系， 那我们要注意了，我们发现的是角的三角函数值的关系，我们自然还是要关注角，所以说我们在单位员中去找到与阿尔法减杯他相关的等量关系的角， 那我们知道角 aop 是我们做的角阿尔法捡贝特，在阿尔法大于贝特的情况下，那么角 aop 这个角 依然为阿尔法减贝塔，所以说我们找到了角 aop 就等于角 aop 一，它都是阿尔法减贝塔角由这两个圆心角相等，我们可以得到很多的结论，比如说我们可以得到胡 ap， 等于胡 a 皮，当然了，我们还可以得到 三角形 a o p 与三角形 a、 o、 p、 e 间的全等，无论是胡等还是三角形间的全等，我们都可以得到两条线段， a p 与 a e、 p、 e 相等， 那么这个就是我们推导公式最主要的依据。为了推导严谨性，我们现在要严格的证明线段 a e、 p、 e 和 a p 的相等，我们怎么证明呢？ 我们还是要关注这个图，我们关注 op 是阿尔法捡贝特的中边， op 一为 r 法的中边，那么 op 绕着 o 旋转贝特角之后，自然就与 op 一重合， o a 为我们的屎边， oa 为贝特的中边，那么 oa 绕着 o 旋转贝特后，自然也就与 o a 一重合。所以说这里涉及到了扇形的旋转自然扇形 aop 绕着点 o 旋转贝特角， 那么由圆的旋转对称性，圆上的点 a、 b 绕 o 旋转任意角 batt， 那么它扔在圆上，而且点 a、 p 分别与 a 一 p 一重合，所以 我们得到了胡， a p 等于胡 a e p， 所以对应的弦 a p 就等于 a e p。 当然了，有人说，老师在这个特殊图里边啊，我们还有其他的方法。 由我们之前推倒的角 aop 等于角 aop 为 r 法减贝特，那我们就可以知道三角形 aop 全等于三角形 aop 一。自然也可以得出线段 ap 与 a 一 pe 的相等。 我们现在严格证明了线段的等，那么线段的等，其本质是什么呀？自然是等距问题，所以说接下来我们介绍两点间距离公式。 平民内任意两点， a x 一外一， b x 二外二。那么以 a b 为斜边构建直角三 表情 acb， 则 ac 的长度自然为 y 一减 y 二的绝对值， bc 的长度自然为 x 一减去 x 二的绝对值。 所以说 a b 的平方就等于 b c 方加上 a c 方就等于 x 一减 s 二的平方加 y 一减 y 二的平方。所以说我们就得到了两点间距离公式记， a b 等于个号下 x 一减 s 二的平方，加 y 一减 y 二的平方。 那么下面呀，我们就用两点间的距离公式来表示线段 a p 与 a p e， 进而推倒 co 赛阿尔法减菲特的公式。那么根据我们之前的作图，我们已经知道了 p 点 a 点 p 一点以及 a 的坐标， 那么 a p 的平方即为扣三阿尔法减贝特减一的平方，加上散方阿尔法减贝特。 a p 一的平方自然为蔻赛尔法减蔻赛贝特的平方，加上赛尔法减赛贝特的平方。由于两条线段的等，我们就得到了他们的平方，也相等。 在这样一个左右等式之中，我们发现了三个完全平方式。我们对完全平方式进行展开整理， 我们关注左侧的式子，这里出现了同角的平方和关系后，赛方二发减倍特与赛方二发减倍特加和 为一。右侧的式子出现了扣散方二法，赛方二法加和为一，扣散方 bet 加，赛方 bet 加和也为一。说式子就整理为 负二倍的扣散阿尔法减贝特加二等于二，减去二倍的扣散阿尔法扣散 bat 减去二倍的散儿法散贝特。稍作整理，我们得到 当阿尔法贝特为锐角，且阿尔法大于 bat 这个特定条件下，扣散阿尔法减贝特就等于扣散阿尔法扣散贝特加上塞阿尔法塞， 那么二发贝特在其他的情况下是否能够满足我的要求呢？最特殊的情况， 阿尔法贝特中边相同，此时等式的左侧转化成 q 三二 k 派，它的值为一，右侧即为扣三方 bat 加上三方 bat 其实也为一，左式和右式相等，所以说我们上市自然成立。 那我们再来看我们的情况。一、阿尔法贝特为任意的角，且零到二排内与阿尔法中边相同的角大于与贝特中边相同的角。在这里边，因为 零到二倍内与阿尔法中边相同的角大于与贝特中边相同的角，那自然阿尔法剪 bat 会形成一个逆时针的旋转角记角 aop。 所以说我们发现角 aop 和 aop 一是相等， 自然就有了他们对应的弦 a p 和 a e p e 相等情况二， 而法 bat 仍然为任意角，且零到二排内与 bat 中边相同的角大于零到二排内与耳法中边相同的角。 这个时候我们还是要用到圆的旋转对称型，那么扇形 aop 绕 o 旋转贝特角此时 a p 就会分别与 a p、 e 重合，自然仍然有对应的壶， a p 等于壶， a e p e 也可以得到 a p 等于 a p， 那么自然也能用两点间距离公式推倒我们的这 这样的插脚鱼线公式综合一下，那么对于任意角阿法贝特， 时尚我们都有线段 a p 等于 a e p e， 那我们自然都可以利用两点间的距离公式推倒出抠散阿尔法减贝特就等于抠散阿尔法抠散贝特加上散尔法散贝特。 所以对于任意角阿尔法贝特有扣散阿尔法减贝特等于扣散阿尔法扣散贝特加散尔法塞贝特，我们称为叉角的余弦公式，简介为这样一个符号。那么首先我们要强调 尔法贝特为任意角，切左边的角为尔法，减贝特右侧的角为尔法。 我们关注展开式的右侧，他的形式即为同名相乘符号相加。 好，我们现在利用插脚的余弦公式证明，一、扣散二分之派减耳法等于散耳法。二、扣散派减耳法等于负扣散耳法。 那题目中要求我们用插脚的鱼线公式，那么第一题我们自然按要求展开，注意 同名相乘符号相加，那么即为 q 散二分之派，扣散 r 法加上散二分之派散而法大有数值，证明出其实为散而法。同样道理， co 散派奖而法展开即为蔻散派扣散而法加散派散而 带有数值，算得为负扩散而发。我们顺利的证明了这两道题目。那请大家发现一下上面的这两个诱导公式与插角的鱼弦公式之间有什么关系呢？ 实际上这两个公式啊，我们都可以用叉脚的鱼香公式进行展开整理，从而证明说明我们叉脚的鱼香公式是这样两个诱导公式的一般化的推广， 而我们这两个用到公式时尚，我们看做我们插脚鱼形公式的特例，这是我们所说的特殊与一般的关系。 我们再来看例二，已知赛尔法等于五分之四，尔法属于二分之派，到派口算贝特等于负的十三分之 十五，贝特是第三下线角去求抠赛阿尔法，见 bat 由插角的鱼弦公式。要想求 蔻赛阿尔法捡贝特，我们就需要知道阿尔法贝特的正弦直与弦直，题目中已经给了散阿尔法和扣散贝特，少了扣散阿尔法和散贝特，那这里我们就需要用到同角的平方和关系。 用之前我们一定要关注角所在象限，从而确定三角函数值的正负。所以说我们可以 这样来解决，三二法等于五分之四，二法属于二分之派到派，自然我们可以的扣散 r 法，它是一个负值，负的多少呢？负的根号下一减散方二法，其之为 富的五分之三。又因为 q 散贝特等于负的十三分之五，贝特在第三象限，那么我们可以知道三贝特是一个负角，那记为负的根号下一减扣散方 bat 其实为负的十三分之十二。 那么自然我们带入我们的公式之中，同名相乘，符号相加，其之为负的六十五分之三十三。这个题还是要强调应用同角的平方和关系，一定要关注该角所在的详细。好，我们回忆一下本节课我们所讲的内容。 本节课呀，我们共同掌握了插脚的鱼弦公式，理解了其推导过程，那么我们在推导的过程中，为了说明阿尔法贝塔的任意性，我们用到了分类讨论。那么为了证明 公式的形式，我们引入了三角函数的定义，记竖行结合，为了说明叉角鱼弦公式与我们诱导公式间的关系，我们体会了特殊鱼一般。 好，那么这是我们今天的作业。好，本节课呢，我们就上到这里，同学们再见！

三角函数正切鱼切正弦鱼弦怎么运用和计算？三角函数在机械加工图纸里面经常会遇到和一些特殊的角角的度数，需要用三角函数把它算出来，当然用 cad 上 或者是其他的软件也可以把它算出来，但是就是有点浪费时间，如果用三角函数算就非常快。三角函数一般就是分为两种，第一种就是正切，也包括于切，这个是相互可以互换的，还有这个正弦包括这个余弦。先说这个正切，举个例子，比如这个三角形， 他的这个角是三十度的，这个三十度所对应的有三条边，这个是他的对边，这个是他的零边相邻的一条边，这个是斜边。那么三角函数里边的这个正切，我们就可以把它换算出来，用摊经特 三十度就等于对边比零边就等于 a 比 b， 在计算器上算完后等于零点五七七，这个零点五七七就是三十度角的正切值。再来看一下这个鱼切就是烤塞音，三十度它等于零边比对边， 刚好反过来就是 bba， 就是这么简单。再给大家讲一下这个正弦和余弦，比如这个三角形也是三十度的，这个是对边 a， 零边是 b， 斜边是 c， 那么它的正弦 正弦它是 sign， 反过来就是 sign。 三十度就等于对边比斜边等于二分之一零点五，正弦就是对边比斜边，大家都知道三十度所对的直角边等于斜边的一半，所以等于零点五，然后是余弦 cosign， 三十度就等于零点比斜边就等于 bb 上 c， 你学会了吗？如果你还没有学会，那么可以点击左下方视频学习最简单无文化的三角函数方法。

两角和差的正弦与弦正切公式是怎样的呢？这是两角和差的正弦公式，我们可以把这两个公式合到一起来记忆， 慎，二法加减贝塔等于乘二法，口算贝塔，加减口算二法，慎贝塔。注意这里的符号是对应的，也就是说这里是加，这里就是加，这里是减，这里也是减 那两角和差的余弦公式我们也可以合到一起来记忆，口乘二法加减贝塔等于口算二法，口算贝塔，减加乘二法乘贝塔。这里要注意这里是加的时候，那这里就应该是减， 这里是减的时候，这里就应该是加，他们是相反的关系。好，除记这两个公式之后，我们就可以去推倒 碳二法加贝塔，也就是两角和和两角差的正切公式。 首先我们要知道这样一个公式，那就是一个角的正切是等于这个角的正弦比上这个角的余弦，也就是探 x， 等于三 x 比上口算 x， 那同理，探二法加贝塔，就可以写成 他们两个的正弦和余弦的笔直，就是算二法加贝塔，比上口算二法加贝塔。我们把这两个公式啊给他带入进来，就得到这样一个式子。 接着呢，我们给这个式子的分子和分母同时除以一个口算二法乘口算贝塔， 就可以得到一个这样 的式子。然后分子分母可以展开来写，写成这样，我们发现分子分母有可以约分的部分， 经过约分之后，我们得到了一个这样的式子。我们知道三二法除以口算二法其实就是碳二法，那三贝塔除以口算贝塔，其实就是碳贝塔。我们 继续可以给这个式子进行整理和变形，得到这样，那就是两角和的正确公式，探二法加贝塔，等于探二法加探贝塔除以一，减去探二法成探贝塔， 注意这里是加，这里就是减。那用同样的方法，我们可以推导出碳二法减杯塔，也就是两 两角差的正确公式，等于碳二发减碳杯塔除以一加上碳二发乘碳杯塔，注意这里是减，那么分母这个部分的符号应该是加。

好，各位同学，大家好，我是数学张老师。上一周我们学习了三角函数中正斜余斜正切函数的降密公式的推倒。这一周我们继续上一周的内容，学习正斜余斜正切函数绊角公式的推倒。 那么在推倒绊脚公式之前，我们首先回顾一下上一周我们所讲的降密公式。上一周我们讲了正斜与斜正切的降密公式， 正确的降密公式是三应 f 方等于二分之一节考三应二儿法，考三应 f 方就等于二分之 一加考上有二法二法摊这套 f 方，它就等于一加 考三应二 f 分之一减考三应二 f， ok， 这是我们上一周所讲的降密公式。那么我们把上一周所讲降密公式进行一个简单的变形， 怎么变形呢？左右两边同时开平方，那么第一个公式就可以变成散引。耳法就等于正负根号下二分之一节考散引。阿尔法 考上应儿法就等于正负根号下二分之一加考上应儿法。 三节套 f 就等于正负根号下一加考上应二 f 分之一节考上应二 f， ok， 好，这是我们所把上一节的降密公式进行的开平方运算。当然这里面注意 根号前面有正符号，为什么？因为耳法处在不同的向线，他的正斜与斜正切符号是不同的。那么接下来我们来观察一下实际上这个公式，同学们注意了啊，刚才张老师给大家做典型的这个变形公式，就是 绊脚公式，为什么？因为在这公式里面就已经出现被角和绊脚，你比如说 f 是二 f 的绊脚， f 是二 f 的绊脚，以及下面 f 是二 f 的绊脚，所以这个公式就可以把它看作是啥了。绊脚公式。所以我们在讲绊脚公式之前，我们首先理解理解一下绊脚和被角的一个关系， 和绊脚关系，那么所谓的绊脚和绊脚实际上它是一个相对的概念，相对概念， 你比如说如果我把 f 看作是绊脚的话，那二 f 就是他的二倍角，二 f 看作绊脚，那四 f 就是他的二倍角。二分之二 f 看作绊脚，那 f f 就是他的二倍角。 四分之二法看作绊脚，那二分之二法就是他二倍角。所以所谓的绊脚和被角之间就是一个相对的概念。但是我们在高中数学里面标准的绊脚公式是这样的，标准的绊脚公式他所表现的就是 二分之耳法和耳法直接的一个关系，所以如果按照这样的思路的话，这个地方张老师用红色红颜色的笔画住这个方框里面这个公式完全可以把它表达成二分之耳法和耳法之间的关系，我们只需要把这个耳法，这个耳法 换乘二分之耳法，我们把这里面的二耳法换成啥了？耳法，这就我们这就是我们所讲的标准的绊脚公式。那么所以按照这样的套路的话，赛饮二分之耳法就等于正负根号下二分之一节考赛饮耳法， 考赛赢二分之而法就等于正负根号下二分之一加考赛赢而法 看见他二分之而罚就等于正负根号下一减烤散养一加烤散养儿法。放置一减烤散养儿法， ok， 这就是我们所讲的标准的绊脚公式，也就是思路很简单，我们只需要把原来刚才变形的这个耳法换成二分之二法，把这里面的二法换成这是啥了？耳法， ok， 这就是我们所讲的绊脚公式。那么接下来我们来再看一下在这个绊脚公式其中，这个正切函数的绊脚公式还有两个，快声公式，快声公式一 看这套二分之二儿法，还可以从另一个角度来证明一下他的绊脚公式，他等于散养儿法比上考散养儿法。接下来我们需要做一个技巧性的工作，疯子和疯母同时乘以二倍的考散养二分之儿法。 分子和分母同时乘以二倍的散引二分之而法，二倍的散引二分之而法，再乘以二分之而法，他就分子变成了二分之二法的平方， 而分母就变成三阴二分之二法考三营二分之二法。那我们接下来看一下分子这个东西，分子这一个二次方的角 际上就可以利用到我们上一周所讲的降密公式，它可以写成二乘以二分之 一节靠散养儿法。 ok， 这是分子分母，实际上横解呢，他就是个二倍交二倍的散引二分之二法考三二分之二法实际上就是散养儿法， 他就正确函数的二倍角公式。那接下来我们把分子进行处理，他就可以写成赛饮 f 分之一节考赛饮 fok， 这是派生公式一，派生公式二 三级考尔法。二分之二法还可以，仍然可以用三样二分之二法比上一个考三二分之二法。 但是这个时候我们处理的就是分子和分母上下同时乘的是二倍的靠 上有二分之二法，二倍的三有二分之二法再乘以考三养二分之二法再比上一个分子分母也得乘以二倍的考三养二分之二法的啥了？平方 这个时候你会发现分子变成二倍角了，他就是散养儿法。而分母又涉及到一个降密公式，是靠雨写的降密公式。那么按照我们上周所所讲的，我可以把它写成二乘，以二分之一加靠散养儿法 处理分母。然后接下来他就可以写成散养儿法，比上一个一加考散养儿法， ok， 这就是正切函数的两个派乘公式。张老师把它写到这，第一个派乘公式是摊计，他二分之二法仍然可以写成一节考散养儿法，比上一个 散音儿法。第二个公式是摊吉他二分之儿法，他可以写成一加考散音儿分之散音儿法， ok， 这就是我们所讲的正确函数的判计派乘公式。那降密公式的派乘公式，那么接下来张老师用 啊，用绿颜色的方框所框起来的就是我们这节课所讲的像绊脚公式啊，同学们听懂了吗？ ok， 这节课咱们就到这里，下节课咱们继续三角函数公式的推倒。

余且口摊认得，根据定义的话是口 san， x 比上 sanx， 这个时候要想有意义的话， sanx 不能取零， cx 去零的话，对边尝试零啊，所以这个要么是零角，要么就是一百八十度的角，对吧？所以 x 不能等于看派，不能等于平角， 或者说是就是那个斜边落在 x 轴上的角都不行啊。所以你看零函数没有，这个口摊真的没有定义，派，也没有定义，二派没有定义，副派处也没有定义，所以他也是一段一段的， 但是这个时候我们同样也是截取一段，截哪一段呢？零啊，派啊，就看这一段就行了， 其他部分的图像跟这一段的图像都是完全相同的，就是一个平移的问题，是吧？只要把零到派上这一段能够画出来就够了。在这一段上函数图像和正确相反， 他是减的，这个零到派是一个基本的，选择了一个区间，在这个区间上去画鱼切函数图像就行了，剩下的都是他的平移，对吧？

前面的视频你已经学过，两脚合与差的余弦正弦。这个视频我要讲讲两脚合与差的正确。先来看和把它变形看看，看见就等于下一笔扣塞，根据两脚合的正弦公式，上面就可以写成，三一阿尔法扩散贝塔加扩散尔法，塞一杯塔， 根据两脚合的于弦攻势，下面就可以写成扩散耳法，扣散贝塔，减散耳法下一贝塔。为了让这个式子只有正确上下，同时除以扩散耳法扩散贝塔， 越掉相同的部分整理一下，这就是探景阿尔法，这就是探景贝塔。下面就是一剪探景而法成探景贝塔，所以探景而法加贝塔就等于探景。尔法加探景贝塔，除以一剪探景而法成探景贝塔。这个就是两角河的正切工。 至于两脚的差，只要把减背他写成加负背带就行，根据刚才的公式，他就等于探紧阿尔法加潘记负背塔 除以一减太极而法成太极富贝塔。其中太极富贝塔就等于富的太极贝塔，所以这个世子就等于太极，而法减太近贝塔，除以一加太极而法成太极贝塔。这个就是两脚差的正切公式。 这一共两个公式，非常重要，你可得记仔细了。左边是加时，右边上加下减，左边是减时，右边上减下加。总之左边的符号一定和分子的符号相同， 有了它，很多貌似不能求的正切值就可以求出来了。比如踏进十五度，就可以拆成踏进六十度减四十五度。根据两脚叉的正切工式，你就可以 血橙探近六十度，减探近四十五度，除以一加探近六十度，成探近四十五度，接下来花钱计算就行了，正常应用你学会了。那如果反过来呢？比如让你球探近十度，加探近二十度，除以一减探近十度，乘太近二十度，根据两小盒的正确公式， 你就可以把它写成看见十度加二十度，也就是看见三十度得三分之根号三。好了，总结一下，这个视频我就给你讲的两脚合与差的正切，你可千万得记住了，前面的符号和分子的符号一定相同， 不管是正着求职还是反着化解，都可以用它来搞定。怎么样，明白了吗？明白的话就赶紧去刷题吧！