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![对数比大小,这道题妙极了![高中数学] #高中数学 #高考数学 #对数 #对数函数 #数学](https://p3-pc-sign.douyinpic.com/image-cut-tos-priv/8ecc52ce5591bc1bf973681516d01975~tplv-dy-resize-origshort-autoq-75:330.jpeg?lk3s=138a59ce&x-expires=2080720800&x-signature=0ORWq31Ys8O%2FIUY1SzKDaLCgUUU%3D&from=327834062&s=PackSourceEnum_AWEME_DETAIL&se=false&sc=cover&biz_tag=pcweb_cover&l=20251210181140A56D645BBDC890FA22D7)
大家好,今天咱们就继续来讲一下这个对数比大小啊。昨天讲完了这个对数函数,但是比大小这一块呢,有些同学还不明白,咱来说一下。就这两道题,封面上也写了, 第一道题的话是 abc, 分别等于一个是 log 三六,一个是 log 五十,一个是 log 七十四,然后比较 abc 的大小,怎么比呢?咱们观察一下啊,你要直接画图的话,这个确实不太容易比出来,对吧?不太容易算出来, 然后怎么办呢?咱这样来,你三和六的话是什么关系?二倍的五和十又是二倍的关系,七和十四也是二倍的关系。 那索性我这个 a 的话,是不是可以把这个六写成什么形式?写成这个三乘二的形式,对吧?三乘二,这是没问题的。那看了啊,根据对数的预算法则,真数部分的乘法可以转换成对数的加法吧,相当于 log 三三, 再加上 log 三二,现在问题呢,就有了,他这个 log 三三是几啊? log 三三当然就是一了,再加上 log 三几, log 三二啊,这个没问题。 那同样的道理,既然 a 已经算出来这个结果的话, b 和 c 是不是都算出来了?那我再重新写一遍吧,扔到一块,你比较一下大小就行了。 a 是 log 三二没问题,然后 b 的话是等于一加上 log, 这个很容易啊,把十写成五乘二, 那就是 logo 二,然后 c 的话是一再加上 low 个几啊,一再加上 log 七二十四,写成七乘二就可以了,对吧? 那他比的是 abc 的大小,实际上我们分别比较的是谁的大小?只需要比较这个 a 片,然后 b 片还有 c 片, c 片的话,实际上就等于绕个圈,只需要比较这三个画圈部分 a 片 b 片 c 片的大小吧。怎么比较呢?这个咱们画图不就可以了吗?因为 a 片 b 片 c 片它三个帧数都是二,但是底数不一样, 那分别画出来啊?蓝色应该是 log 三 x 还是 log 七 x, 这个一定要注意啊,在第一线的线越远离这个外轴,它这个底数越大,所以这个蓝色的线呢?蓝色的出现实际上是 log glog 七 x, 那上面红色的话就是 log 三 x, 中间肯定是黑色的啊,是这个 log 五 x。 那画完直接以后,你看 a 片 b 片 c 片,人家自变量是 x 等于二吧,你都过一多少零画一个 x 等于二,这不就是 x 等于二,这不就画完了吗? x 等于二的话,来看了, a 片在什么位置啊? a 片他是正好等于 logo。 三二,这个不就是 a 片的高度重坐标啊,这个是 b 片,然后这就是 这片。所以说嘛,我们应该写什么?我们直接就写 a 片大于 b 片大于 c 片,实际上不就相当于你都加上一 a 大于 b 大于 c, 就整完了,对吧?这个是三个比较大小,然后拆成了这种一加上 log 三二, log 五二,然后 log 七二的形式。 但是下一个题下一个题就难了,别看起来简单啊,二三啊,行,然后 log 三四,还有 log 四五, 你说这个三十他不是大二倍啊,他绝对的差距呢,确实是三比二大了一,四比三大了一,然后五比四大了一, 参数比这样的底数呢,都大了一,但是啊,让你真正比较大,小时候直接画图,这个确实没办法,咱们还是画图啊。同样的道理,你如果画图的话,最下边就 变成了 log glog 四 x 吧,那中间这条黑线呢?就是变成 log 三 x, 最上面的话就是 log glog 二 x。 直接比较。真没办法呀,你 a 的话,咱们标一下它的高度啊,自变量是 x 等于三三的话,比如说啊,三大概在这,那这个呢?就是 a, 然后这个烙个三四的话,这个四大概。哎,四大概距离有多远?这个真不太清楚啊。不太清楚对吧?因为我们画的是草图,究竟这个四,这个位置,这个 b 和 a 究竟哪个高哪个低?肉眼看不出来,那怎么办?那没办法了,只能老老实实改一下形式了。 方法一,怎么办?跟刚才一个套路。什么套路呢?嗯,虽然哈,他的绝对差值是一,我们改成什么结果?我们能够把一个一提出来是最好的。啥意思? 这个 a 他本来是 log 二三吧,我强行在这个其中给他提出个一来。什么意思?我强行把这个三改成二乘二分之三的形式,这个是没有问题,为什么要出现二, 你知道为什么吗?好说呀,我们就是为了出现这个,你看帧数部分的乘法转换成了根据对数预算法则, low 个二,再加上 low 个二,二分之三吧,然后 low 个二实际上不就等于一?所以说同样的道理,我们还是写一遍啊, a 的话 就是一,再加上 log 二二分之三,注意二分之三是真数,那同理可得。这个 b 的话,同样的方法,我们把这个四拆成三乘三分之四,那就改成了 log 三三分之四。哦,原来是这么这么个意思哈,那继续 c 的话, 那统一可得嘛,一加上烙个四四分之五就行了。现在的话,我画圈部分,你看,我们其实只需要比较这个 a 片啊, b 片,还有 c 片的大小,就其实代表了 abc 的大小,因为他们都分别加了一,现在我们标一下 a 片, a 片的话, 二分之三,二分之三,先比较一下二分之三,三分之四和四分之五哪个大?显然二分之三大吗?人家是一点五啊,三分之四的话是一点三,三三三三循环是吧?然后呢,这个四分之五的话,那不就一点二五吗?所以这是大小关系出来了,我们先标二分之三嘛,知道这个大家的关系就行。 好,红色的二分之三最大了啊,好,这个高度呢,他就是 a 片了,那这个 b 片应该怎么标啊? b 片的话,他是跟黑线的焦点是 log 三几, log 三 x 啊, log 三三分之四,所以呢, 跟黑线的交点,这是 b 片,那继续来标吗?接下来改表什么? low 个四四分之五,那不就是最小的这个四分之五和蓝线的交点吗? low 个四四分之五,所以说这是 c 片, 现在应该懂了吧,肉眼可见的 a 片最高, b 片呢?次之啊,跟黑线焦点是 b 片,然后 c 片呢?跟蓝线焦点最低,所以就得出来什么结果。 a 片 大于谁?大于 b 片,大于 c 片,那分别加上一同样的道理,不就是 a 大于 b 大于 c 的这样一个结果吗?这个肯定是没有问题的呀。好了,我们就比完这个大小了,懂? 好吧,再说这个在告的里头就是小题的,这是方法一,画图,但是画图之前必须强行把这个一给拎出来,如果你没有做第一题的话,你觉得很容易想到这种方法吗?很不容易的,其实来看方法二。 有人说,老师我知道,我呢,可以引入一个,你看 log 二三, log 三四,然后 log 四五。那我索性索性就引入这样一个函数啊, y 等于 log x, 然后这个帧数比底数大了一个单位嘛。我引入这样一个函数, 这个函数的话,直接处理不好处理,因为帧数含有变量,底数含有变量,我们换句公式嘛,这样的话就会稍微简单一些了,换成 log x 加一,以示为底啊,底上 log x, 现在写成这个结果以后,有人说,老师,我接下来求导。别别别,因为咱现在是给高一学生讲的,咱不要讲求导的方法,咱看有没有别的方法来求。 怎么呢?其实有的看了啊,别着急,咱们慢慢来。你现在的话实际上就想比较什么。我现在其实就想证明什么呢?我就想证明这样一个很 数, y 等于 log n, n 加一,因为最小是 log 二三,其次是 log 三四,所以这个正能数 n 的话,一定记住是大于等于二的。 那写成这样一个结果的话,我想证明他这样一个函数是怎么样的?他是单调递减的这样一个函数。注意啊, y 是因变量, n 呢?是自变量,如何证明他是一个单调递减的函数呢? 好说,为了证明他是单调递减的函数,我们不就是想证明这个 log n, n 加一,减去后一项,对吧? log n 加一,然后 n 加二,怎么样啊?大于零,这不就是前头减,后边儿大于零,那不就是单调递减的意思吗? 但是变成这个结果呢?还不满意,因为你底数还有帧数都含有变量。 n, 现在的话,我们要 换底公式了啊,注意,下一步我们利用了一下什么?利用了一下换底公式,一定要回顾一下上节课的换底公式啊, 那换完底以后,索性就以十为底。刚才其实也说过了,你现在证明的是大于零嘛,实际上相当于我们把这个负的移到不能和右边去变成正的啦,相当于证明他大于他。这个其实是好说的,然后继续往后写。那继续嘛,右边的话就是 log n 加二换地公式嘛,比上烙个 n 加一, 想一想,因为你这个 n 已经大于等于二了,所以这四个画圈部分,不管分子还是分母都是正数,正数部分的话,我们直接相乘或者相处 不同的方向不变的。那接下来既然都是正数的话,我们就直接相当于证明什么?相当于证明 log n 加一改一下形式就行了,它的平方是大于 log n, 再乘烙 个 n 加二的。那如何证明这一点的?这一点的话就要需要用到什么?需要用到 y 等于 log x。 注意啊,这条图像 y 等于 log x, 它肯定是向上凸的,这个不用多解释吧啊,图像性质就是这样, 那既然如此的话,我们现在需要观察一下什么东西啊,大家现在观察这样一个不等式里头啊,最后这个不等式里头有 n, 有 n 加一,有 n 加二。首先我们就让 a 点它的横坐标等于 n 啊,注意, n 是大于等于二的,那 b 点横坐标,那就 n 加二呗。那中点的话,横坐标肯定就是 n 加一。 如果说我们先看直线啊,先不要着急,看上面这个点,先看这个直线, m 点是直线,是线段 ab 的终点啊,是 ab 的终点,那接下来怎么办呀?接下来我们根据均值不等式,均值不等式的话, a 点的 纵坐标实际上他就是什么,就是多少,就是烙个嗯,然后这个必点,这个纵坐标的话,你把这个横坐标带入,就是 n 加二吧。然后均值不等式的话,是不是大于什么东西?大于等于烙个 n, 然后再成一个 log n 加二。但是啊,我们要证明的,人家是怎么左边平方了,那就平方呗,左右两边分别平方,这样一个君子不能试改成这样一个结果,改成这个结果以后的话,我们还不满意,我们其实只需要比较一下什么,比较一下这一部分就行了。 还有一个,这个等于号什么时候取得到?等于号,只有当 x 等于外,只有当画圈部分这两项相等的时候,画圈部分这两项能相等吗?不可能,所以这个等于号其实是永远取不到等于号,只能取这样一个大于号。别着急,别着急,你着什么急? 我们其实已经可以说几乎已经出来这个答案了,看了啊,同学们,我们来看这个恩典坐标是什么东西啊?显然这个恩典坐标我们可以写成 log n 加一,这是恩典的纵坐标吧, n 点纵坐标,它是大于什么的? n 点纵坐标,它是大于这个 m 点的纵坐标的,这个 m 点纵坐标我们根据终点公式其实已经写出来了,它就是二分之 y a 加 y b, y a 就是烙个 n, y b 就是烙个 n 加二,懂了吧?所以说接下来 log n 加一的平方是不是大于这样一个二分之? log n 加上 log n 加二,这是终点公式,对吧?这样一个整体的平方呢?大于这个整体的平方,那就大于 后边这一项。那我们圈一这个不等式不就证明完了吗?圈一证明完了,因为我们每一步都是等价变化过来的,所以说最终就证明了原来他是一个减函数。现在呢?你可以截图了,因为我要擦掉这一部分了啊。 也就是说最终我们证明了原来 y 等于 log n, n 加一,它是一个减函数。那既然是减函数的话,你看这个二三四,虽然越来越大了这个 n, 但是整体却越来越小了。因为是减函数,所以就是 log 二三反而大于 log 三四。 唠个三四反而大于唠个四五,这不就写完了吗?这是方法二。那如果让你选择的话,你会用哪种方法比较大小呢?分享课堂知识,感受数学之美。我是杨范老师,下期课再见!