对数函数比大小邪修

大家好，今天咱们就继续来讲一下这个对数比大小啊。昨天讲完了这个对数函数，但是比大小这一块呢，有些同学还不明白，咱来说一下。就这两道题，封面上也写了， 第一道题的话是 abc， 分别等于一个是 log 三六，一个是 log 五十，一个是 log 七十四，然后比较 abc 的大小，怎么比呢？咱们观察一下啊，你要直接画图的话，这个确实不太容易比出来，对吧？不太容易算出来， 然后怎么办呢？咱这样来，你三和六的话是什么关系？二倍的五和十又是二倍的关系，七和十四也是二倍的关系。 那索性我这个 a 的话，是不是可以把这个六写成什么形式？写成这个三乘二的形式，对吧？三乘二，这是没问题的。那看了啊，根据对数的预算法则，真数部分的乘法可以转换成对数的加法吧，相当于 log 三三， 再加上 log 三二，现在问题呢，就有了，他这个 log 三三是几啊？ log 三三当然就是一了，再加上 log 三几， log 三二啊，这个没问题。 那同样的道理，既然 a 已经算出来这个结果的话， b 和 c 是不是都算出来了？那我再重新写一遍吧，扔到一块，你比较一下大小就行了。 a 是 log 三二没问题，然后 b 的话是等于一加上 log， 这个很容易啊，把十写成五乘二， 那就是 logo 二，然后 c 的话是一再加上 low 个几啊，一再加上 log 七二十四，写成七乘二就可以了，对吧？ 那他比的是 abc 的大小，实际上我们分别比较的是谁的大小？只需要比较这个 a 片，然后 b 片还有 c 片， c 片的话，实际上就等于绕个圈，只需要比较这三个画圈部分 a 片 b 片 c 片的大小吧。怎么比较呢？这个咱们画图不就可以了吗？因为 a 片 b 片 c 片它三个帧数都是二，但是底数不一样， 那分别画出来啊？蓝色应该是 log 三 x 还是 log 七 x， 这个一定要注意啊，在第一线的线越远离这个外轴，它这个底数越大，所以这个蓝色的线呢？蓝色的出现实际上是 log glog 七 x， 那上面红色的话就是 log 三 x， 中间肯定是黑色的啊，是这个 log 五 x。 那画完直接以后，你看 a 片 b 片 c 片，人家自变量是 x 等于二吧，你都过一多少零画一个 x 等于二，这不就是 x 等于二，这不就画完了吗？ x 等于二的话，来看了， a 片在什么位置啊？ a 片他是正好等于 logo。 三二，这个不就是 a 片的高度重坐标啊，这个是 b 片，然后这就是 这片。所以说嘛，我们应该写什么？我们直接就写 a 片大于 b 片大于 c 片，实际上不就相当于你都加上一 a 大于 b 大于 c， 就整完了，对吧？这个是三个比较大小，然后拆成了这种一加上 log 三二， log 五二，然后 log 七二的形式。 但是下一个题下一个题就难了，别看起来简单啊，二三啊，行，然后 log 三四，还有 log 四五， 你说这个三十他不是大二倍啊，他绝对的差距呢，确实是三比二大了一，四比三大了一，然后五比四大了一， 参数比这样的底数呢，都大了一，但是啊，让你真正比较大，小时候直接画图，这个确实没办法，咱们还是画图啊。同样的道理，你如果画图的话，最下边就 变成了 log glog 四 x 吧，那中间这条黑线呢？就是变成 log 三 x， 最上面的话就是 log glog 二 x。 直接比较。真没办法呀，你 a 的话，咱们标一下它的高度啊，自变量是 x 等于三三的话，比如说啊，三大概在这，那这个呢？就是 a， 然后这个烙个三四的话，这个四大概。哎，四大概距离有多远？这个真不太清楚啊。不太清楚对吧？因为我们画的是草图，究竟这个四，这个位置，这个 b 和 a 究竟哪个高哪个低？肉眼看不出来，那怎么办？那没办法了，只能老老实实改一下形式了。 方法一，怎么办？跟刚才一个套路。什么套路呢？嗯，虽然哈，他的绝对差值是一，我们改成什么结果？我们能够把一个一提出来是最好的。啥意思？ 这个 a 他本来是 log 二三吧，我强行在这个其中给他提出个一来。什么意思？我强行把这个三改成二乘二分之三的形式，这个是没有问题，为什么要出现二， 你知道为什么吗？好说呀，我们就是为了出现这个，你看帧数部分的乘法转换成了根据对数预算法则， low 个二，再加上 low 个二，二分之三吧，然后 low 个二实际上不就等于一？所以说同样的道理，我们还是写一遍啊， a 的话 就是一，再加上 log 二二分之三，注意二分之三是真数，那同理可得。这个 b 的话，同样的方法，我们把这个四拆成三乘三分之四，那就改成了 log 三三分之四。哦，原来是这么这么个意思哈，那继续 c 的话， 那统一可得嘛，一加上烙个四四分之五就行了。现在的话，我画圈部分，你看，我们其实只需要比较这个 a 片啊， b 片，还有 c 片的大小，就其实代表了 abc 的大小，因为他们都分别加了一，现在我们标一下 a 片， a 片的话， 二分之三，二分之三，先比较一下二分之三，三分之四和四分之五哪个大？显然二分之三大吗？人家是一点五啊，三分之四的话是一点三，三三三三循环是吧？然后呢，这个四分之五的话，那不就一点二五吗？所以这是大小关系出来了，我们先标二分之三嘛，知道这个大家的关系就行。 好，红色的二分之三最大了啊，好，这个高度呢，他就是 a 片了，那这个 b 片应该怎么标啊？ b 片的话，他是跟黑线的焦点是 log 三几， log 三 x 啊， log 三三分之四，所以呢， 跟黑线的交点，这是 b 片，那继续来标吗？接下来改表什么？ low 个四四分之五，那不就是最小的这个四分之五和蓝线的交点吗？ low 个四四分之五，所以说这是 c 片， 现在应该懂了吧，肉眼可见的 a 片最高， b 片呢？次之啊，跟黑线焦点是 b 片，然后 c 片呢？跟蓝线焦点最低，所以就得出来什么结果。 a 片 大于谁？大于 b 片，大于 c 片，那分别加上一同样的道理，不就是 a 大于 b 大于 c 的这样一个结果吗？这个肯定是没有问题的呀。好了，我们就比完这个大小了，懂？ 好吧，再说这个在告的里头就是小题的，这是方法一，画图，但是画图之前必须强行把这个一给拎出来，如果你没有做第一题的话，你觉得很容易想到这种方法吗？很不容易的，其实来看方法二。 有人说，老师我知道，我呢，可以引入一个，你看 log 二三， log 三四，然后 log 四五。那我索性索性就引入这样一个函数啊， y 等于 log x， 然后这个帧数比底数大了一个单位嘛。我引入这样一个函数， 这个函数的话，直接处理不好处理，因为帧数含有变量，底数含有变量，我们换句公式嘛，这样的话就会稍微简单一些了，换成 log x 加一，以示为底啊，底上 log x， 现在写成这个结果以后，有人说，老师，我接下来求导。别别别，因为咱现在是给高一学生讲的，咱不要讲求导的方法，咱看有没有别的方法来求。 怎么呢？其实有的看了啊，别着急，咱们慢慢来。你现在的话实际上就想比较什么。我现在其实就想证明什么呢？我就想证明这样一个很 数， y 等于 log n， n 加一，因为最小是 log 二三，其次是 log 三四，所以这个正能数 n 的话，一定记住是大于等于二的。 那写成这样一个结果的话，我想证明他这样一个函数是怎么样的？他是单调递减的这样一个函数。注意啊， y 是因变量， n 呢？是自变量，如何证明他是一个单调递减的函数呢？ 好说，为了证明他是单调递减的函数，我们不就是想证明这个 log n， n 加一，减去后一项，对吧？ log n 加一，然后 n 加二，怎么样啊？大于零，这不就是前头减，后边儿大于零，那不就是单调递减的意思吗？ 但是变成这个结果呢？还不满意，因为你底数还有帧数都含有变量。 n， 现在的话，我们要 换底公式了啊，注意，下一步我们利用了一下什么？利用了一下换底公式，一定要回顾一下上节课的换底公式啊， 那换完底以后，索性就以十为底。刚才其实也说过了，你现在证明的是大于零嘛，实际上相当于我们把这个负的移到不能和右边去变成正的啦，相当于证明他大于他。这个其实是好说的，然后继续往后写。那继续嘛，右边的话就是 log n 加二换地公式嘛，比上烙个 n 加一， 想一想，因为你这个 n 已经大于等于二了，所以这四个画圈部分，不管分子还是分母都是正数，正数部分的话，我们直接相乘或者相处 不同的方向不变的。那接下来既然都是正数的话，我们就直接相当于证明什么？相当于证明 log n 加一改一下形式就行了，它的平方是大于 log n， 再乘烙 个 n 加二的。那如何证明这一点的？这一点的话就要需要用到什么？需要用到 y 等于 log x。 注意啊，这条图像 y 等于 log x， 它肯定是向上凸的，这个不用多解释吧啊，图像性质就是这样， 那既然如此的话，我们现在需要观察一下什么东西啊，大家现在观察这样一个不等式里头啊，最后这个不等式里头有 n， 有 n 加一，有 n 加二。首先我们就让 a 点它的横坐标等于 n 啊，注意， n 是大于等于二的，那 b 点横坐标，那就 n 加二呗。那中点的话，横坐标肯定就是 n 加一。 如果说我们先看直线啊，先不要着急，看上面这个点，先看这个直线， m 点是直线，是线段 ab 的终点啊，是 ab 的终点，那接下来怎么办呀？接下来我们根据均值不等式，均值不等式的话， a 点的 纵坐标实际上他就是什么，就是多少，就是烙个嗯，然后这个必点，这个纵坐标的话，你把这个横坐标带入，就是 n 加二吧。然后均值不等式的话，是不是大于什么东西？大于等于烙个 n， 然后再成一个 log n 加二。但是啊，我们要证明的，人家是怎么左边平方了，那就平方呗，左右两边分别平方，这样一个君子不能试改成这样一个结果，改成这个结果以后的话，我们还不满意，我们其实只需要比较一下什么，比较一下这一部分就行了。 还有一个，这个等于号什么时候取得到？等于号，只有当 x 等于外，只有当画圈部分这两项相等的时候，画圈部分这两项能相等吗？不可能，所以这个等于号其实是永远取不到等于号，只能取这样一个大于号。别着急，别着急，你着什么急？ 我们其实已经可以说几乎已经出来这个答案了，看了啊，同学们，我们来看这个恩典坐标是什么东西啊？显然这个恩典坐标我们可以写成 log n 加一，这是恩典的纵坐标吧， n 点纵坐标，它是大于什么的？ n 点纵坐标，它是大于这个 m 点的纵坐标的，这个 m 点纵坐标我们根据终点公式其实已经写出来了，它就是二分之 y a 加 y b， y a 就是烙个 n， y b 就是烙个 n 加二，懂了吧？所以说接下来 log n 加一的平方是不是大于这样一个二分之？ log n 加上 log n 加二，这是终点公式，对吧？这样一个整体的平方呢？大于这个整体的平方，那就大于 后边这一项。那我们圈一这个不等式不就证明完了吗？圈一证明完了，因为我们每一步都是等价变化过来的，所以说最终就证明了原来他是一个减函数。现在呢？你可以截图了，因为我要擦掉这一部分了啊。 也就是说最终我们证明了原来 y 等于 log n， n 加一，它是一个减函数。那既然是减函数的话，你看这个二三四，虽然越来越大了这个 n， 但是整体却越来越小了。因为是减函数，所以就是 log 二三反而大于 log 三四。 唠个三四反而大于唠个四五，这不就写完了吗？这是方法二。那如果让你选择的话，你会用哪种方法比较大小呢？分享课堂知识，感受数学之美。我是杨范老师，下期课再见！