小学数学图形与几何领域的课后反思

本节课落实了核心素养中的三会，会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界。 比如让孩子们观察拼一组图形有几块拼两组图形呢？观察后思考，拼一组图形是几个七，拼两组图形是几个七， 拼三组、四组、五组、六组呢？让孩子们通过观察思考，然后在小组内讨论，得出结果后， 然后再分享，用数学的语言再来表达现实世界。比如让孩子们说说一个七用成 法怎么表示，两个七用乘法怎么表示？比如两个七用乘法是二乘七，或者说七乘二，那结果呢？再让孩子们来观察两个七， 刚才拼组的结果是十四，那么二乘七也表示两个七也是十四。让孩子们用自己的语言去表达，哪怕表达的不太准确，让也让孩子们去说。 然后呢，让孩子们再去观察他们之间有什么规律。比如有的孩子很快会发现，四个七，他就是三个七，多一个七，那按二十一加七等于二十八就可以了。哪怕之前每 没有这种呃，就是没有想到的同学，他也会根据别人分享的结果来修改一下自己的这种方法。 其实呀，这也是新课程标准所倡导的，把课堂真正的还给学生，课堂是课堂上，学生是主体，教师只是组织者、引导者、合作者。

今天我们来讲一下长方形中的一半模型。我们先来看第一个，它应用部分三角形的面积就是长方形的面积的一半，为什么呢？因为 因为部分三角形的高是长方形的宽，它的底是长方形的长，三角形的面积等于底乘高除以二，那么它的面积就是长方形的一半。我们再来看第二个，它也是一样的，它的底是长方形的 长，它的高等于长方形的宽，所以说它也是长方形的一半。 接着我们来看第三个，这三个三角形的底加起来是长方形的长，这三个三角形的高都是长方形的宽，那么这三个三角形加起来也是长方形的一半。 我们再来看这个，他的底是长方形的宽，他的高是长方形的长，所以说他也是长方形的一半。 我们再来看这个，这两个三角形的高加起来等于长方形的长，它们的底都是长方形的宽， 那么它就这两个三角形加起来就等于长方形的一半。我们再来看这个这四个三角形，这两个三角形的底加起来等于长方形的长，这两个也是 这两个三角形的高加起来等于三角形的宽，这两个的高加起来也是长方形的宽，那么这四个三角形加起来就是长方形的一半， 这就是长方形中的一半模型。下一节我们来讲平行四边形和梯形的一半模型。

复习图形于几何？好，我们一起来看一下啊。首先我们接着来复习一下数与代数板块当中的三位数加减三位数。在对于三位数加减三位数的话呢，主要就是有口算加减法，三位数加减三位数以及加减法计算验算了。 那在这里边的话呢，口算加减法，也就是个位和个位相加减，十位和十位相加减，但这里边呢，一定要注意进位退位的一个情况哈。 好，以及三位数加减三位数，那在这里边的话呢，主要就是列数式计算，在列数式计算的时候呢，我们一定要注意，相同数位要对齐计算，先从个位算起，相加满时要进一，不够减时要退一。 而这一个加减法计算验算的时候呢，不管是加法的还是减法的，他都有两种，那我们选其中的一种就可以了。好的，我们一起来看一下这个题，这一个题呢，说的是计算下面个题并验算。哎，这里边的话呢，是有验算的，那我们首先来些 列数式计算一下，这里边四百五十八加上五百四十二，我们来写一写，相同数位要对齐计算，先从个位算起，那我们来计算的时候，你看个位八加二呢，它是等于十的，满十进一写零， 然后呢，十位五加四等于九，九加上进的这个一呢，等于十，满十进一写零。 好，那这一个百位四加五等于九，九加上进的这一个一等于十。哎，又向前进一，对吧？好，那这里边呢，就写成是一千了， 那这里边等于一千，那我们还要验算呀，那验算在对于加法的这个验算的话呢，我们可以怎么样来验算呢？就是让我们的这个和减去其中的一个加数，看得数是否等于另外的一个加数了。那我们来看看， 一千减去五百四十二。好，我们来看看等于多少？首先这里边的话呢，个位上零减二不够减，那怎么办呢？向十位借，借的话呢，你发现十位不够没有，那借不了怎么办呢？哎，再向前借，对吧？ 前面这里边的话呢，百位也是零没有，那怎么办呢？再向这个纤维上借，那纤维上借了一个十给他过后的话呢，他就变成十了，对吧？好，那他变成十过后，借走一个给他，那他就变成了九。哎，这个我们要知道的，做一个小标记哈。 那这里边借一个给他之后，他就变成十，十的话呢，这里边也是变成九了的。好，那这里边呢，就变成十了， 那这时候来计算的时候，十减二等于八，好，那这里边是九减四等于五， 而百位上九减五等于四，好，那这里边千位本来是有一的，借一个给他就没有了，所以算出是四百五十八，你看一下是一样的，对吧？那么看看这一个题，这个题九百减去八百零七，我们一样的 来算算，九百减去八百零七。首先计算，先从个位算起，零减七不够减，向十位借十位零不够，那再向百位借百位借一个给他，他就变成十了。 十的话呢，因为借一个给个位，他就变成九了，而这里边就变成十，对吧？所以呢，十减七等于三。 好，十位上的话呢，是九，九减零等于九，而这里边的话呢，本来是九的，借一个给他就变成八，八减八等于零，零不在首位，所以呢，他是等于九十三的。 好，那在对于减法的一个计算当中，我们如何来验算呢？就是让他的差和我们的这个减数相加，看是否等于他的一个被减数。 那我们写上一个厌，那就是九十三，去加上八百零七，那也就是八百零七加上九十三都可以的。那么在计算的时候，计算先从个位算起，七加三等于十，满十进一 好，零加九，九加上进的一等于十，哎，写零进一，八加上进的一等于九，哎，是等于九百，说明是正确的。 好，那么继续来看一下这个题，在对于这类计算的时候，我们说了，在没有括号的时候，是从左到右计算，对吧？但有括号的时候呢，要先算括号里边的，再算括号外面的。 那我们来看看，在这一边的话呢，从左到右计算，先算一百八十七，加上一百三十六，他会等于多少呢？哎，我们来写一写，等于，在计算的时候，七加六等于十三进一，而这个八加三等于 十一，十一加上一等于十二，好写二进一，这里边一加一等于二，二加上进了一等于三，所以呢，是三百二十三加上四百六十三， 那么一样的来计算，三加三等于六，二加六等于八，三加四等于七，所以呢，最终算出是等于七百八十六的，而这里边的话呢，需要先算括号里边的，所以这个 括号外面的不变，我们写上。那在这里边的话呢，你看一下，八加二等于十，写零进一， 一加八等于九，九加上进的一等于十，写零进一好，二加一等于三，三加上进的一，那就等于四，所以呢，算出来是等于四百的， 那五百六十八减去四百会等于多少呢？哎，你看八减零等于八，六减零等于六，五减四等于一算出来是等于一百六十八的哈， 那么继续再来回顾一下数与大数板块当中的十分秒，那对于十分秒的话呢，主要就是认识纵面，认识秒以及认识经过时间， 那其中的话呢，我们一定要知道的就是一个小时呢，它是等于六十分钟，一分呢，是等于六十秒的，小朋友们，这个一定要知道哦，那么一起来看一下，这个题说的是选一选画勾， 在这里边的话呢，说的是做眼保健操，哎，大约需要的是五分钟呢还是五个小时呢？那我们知道五分钟和五小时的话呢，五分钟要比较短，五小时要非常的长，对吧？所以呢，做眼保健操不需要五小时那么长，哎，我们选择的是为五分 穿衣服，大约需要三分钟还是三秒呢？三秒钟太短了，我眨几下眼睛就没有了，所以我们穿衣服的话呢，不可能那么的短，所以呢，选的是三分钟 系鞋带大约需要三十五分钟还是三十五秒呢？我们知道三十五分钟的话呢，已经是半小时以上了，对吧？所以的话呢，太长了，我们系一个鞋带不需要那么久，选三十五秒。 那我们继续来看一下这一个参观展览，在这里边，首先第一个他的时钟是七点五十分， 那七点五十分出发，出发走了二十分钟就到达这里边了，对吧？那到达了这个时间是为多少呢？我们来看看时针经过了八分针的话呢，是指着二，那也就是为多少呀？哎，八 八点十分，这个是比较好看的，那经过多少分钟。哎，到达这个时间了呢？这个时间是为多少呢？我们来看一看，这里面的话呢，时针的话呢，是经过了九，说明是为九十。 九十多少分呢？分针指着四，那所以是二十分，那你看看啊，从八点十分到九点二十分，那这个经过了多长时间呢？哎，我们可以 把结束时间减去开始时间，对吧？那等于多少呢？在对于小时来说的话呢，九十减八十等于 一十，也就是一个小时二十分减十分钟，那等于十分，所以呢，已经经过了一个小时十分钟，一个小时等于六十分钟。好，那再有十分钟合在一起，那就是七十分，我们是可以这样来计算，对吧？ 好，那么再来看看走了多少分会变成这个时间呢？这个时间是这个时针经过了九，但是还没有到达十这一边哈，说明是为九点多，那九点多少呢？分针指着十一，那说明是为五十五分。 好，那经过了多少时间呢？结束时间减去这个开始的时间，也就是 九点五十五分，减去九点二十分。好，对于时针来说的话呢，九十减九十，那就是等于零五十五分，减二十分等于三十五分。 好，那在这里边的话呢，我们就能够知道它是为三十五分的。那么接着再来看一下数与代数板块当中的探索乐园， 在探索乐园当中的话呢，主要学习了简单的排列组合，以及简单的等量代换啊，那我们一起来看一下， 他说的是用一零五三个数字写出四个不同的三位数，那并且从小到大的顺序把它给排列起来。我们首先来看一看是有哪四个不同的三位数，那既然是三位数，那就是有个位、 十位，百位。好，那我们说了，可以先确定其中的一位，对吧？比如说我先确定百位，百位可以是谁呢？ 可以视为一，也可以视为五，我们说能不能视为零呢？不可以，因为零不在首位。所以如果说百位视为一的话呢，那我的十位和个位可以填零或者是五，对吧？那，那这一个从小到大， 那十位填零的时候，个位就为五了，那十位和个位当中的零和五可以互相调换一下位置，变成一百五 十，好，那这个是百位为一的情况。好，考虑完了，那么说了，百位除了可以视为一以外，还可以视为谁啊？还可以视为五，那如果说是为五的时候的话呢，十位和个位可以是零或者是一，对吧？那我们来从小到大 这里边十位是零的时候，个位就是为一，那零和一还可以调换一下位置，那变成五百一十。好，那这里边四个就写出来了， 这四个当中的话呢，从小到大的顺序也就是这一个了吧。先是百位，百位当中的话呢，一百零五和一百五十，谁要更加的大，谁要更加的小啊？一百零五要 更加的小，所以呢，最小，最小是一百零五。好，小于一百五十。而对于以百位为五开头的是五百零一更大，还是五百一十更大呢？哎，对比过后，我们知道啊，是五百一十要更加的大，五百零五要小，所以呢是小于 五百零一，再小于五百一十就算出来了。那我们继续来复习一下图形于几何板块当中的厘米，分米和米， 那在这里面的话呢，主要就是认识厘米，分米和米，以及单位换算以及测量哈，那么且来看一下，在对于单位换算的时候的话呢，一米它是等于一百厘米的，一米等于十分米，一分米等于十厘米，这个一定要知道呦， 那么一起来看一下，说的是搭一搭，算一算，在这里边的话呢，他是一个长方体，那他这里边的高是十二厘米，而这个呢长是二十厘米，高是八厘米 啊，这个呢长二十五厘米，然后呢这里面的高是四厘米。现在问的是小明、小强和小丽分别搭出下面三种形状，那就一、二、三，那他要问的是什么呢？他们的高 个是多少？首先来看一下第一个图形，在这里边的话呢，你看下面的这一块是这个图形来的，对吧？那他的这个高是为 四厘米，而上面的这个图形是他高是十二厘米，所以总共的高是多少呢？四厘米加上十二厘米，那就是为十六厘米了， 而这个图形的话呢，是由这个图形和这个图形组成的，这里边下面的高是为八厘米，而上面这里边的高是十二厘米，所以合在一起高是为多少呢？二十厘米， 而这里边是三个叠在一起，最下面是高四厘米，中间这一个是高八厘米，最上面那一个是高十二厘米，那合在一起是为多少呢？而我们知道十二加上八是等于二十二十加四，那就是二十四厘米了。好，那这一个就做完了呦， 那么继续来看一下图形于几何板块当中的四边形的认识，那主要就是认识长方形，正方形以及平行四边形，还有图形的分类以及认识七巧板。那么一起来看一下， 就是说说说下面四边形的名称和特征。那在这个图形的时候呢，它是长方形， 这个图形是正方形，这个图形是平行四边形。那他们分别有什么样的一些特征呢？我们来看看。对于长方形而言呢，它是对边相等，而且四个角都是直角来的，对吧？好，那正方形的话呢，它是四条边相等，四个角都是直角。 好，平行四边形他是对边相等，那你说他是有四个角，那四个角是不是直角呢？不是，对吧？好，那这个呢就是对于长方形、正方形以及平行四边形他们的一个特征了。好的，我们今天的课程呢就学习到这了，小朋友们，我们再见。

哈喽，大家好，我是郭老师。今天我们给大家带来的是一道关于组合图形面积大题，在小学阶段一般呢数形结合的能力的培养是比较的艰难的，大多数的小朋友一旦遇到几何这一块，就会丢分非常的严重，所以在今天呢，我们来教给小朋友如何提高你的几何能力，我们来读题吧。 如图，小正方形的边长是十厘米，阴影三角形的面积是二十平方厘米，那么大正方形的边长是多少厘米？ 那遇到这样的题，首先我们要教给小朋友一定要读一句，你在图上进行标注下这个条件，那这款能力是我们需要培养的，那我们先来开始吧，小正方形的边长是十厘米，那这个是屎，它也是屎， 十十正方形四条边都是一样的，是你要标上放进你后面做题去用阴影图形的面积也就是这个钝角三角形，我们给他标上二十平方厘米，那他现在让你求的是大正方形的边长，哪里是大正方形的边长，你去指一指。哎，这里还有吗？ 哎，这里还有，这里还有，这里，这四条边是不是都是？那我无论用哪一个，只要你把它求了是不是即可。那想一想，那大正方形的边长怎么去求呢？我们拿其中的这一条来说，这个大正方形的边长分成两段，一个是左边，这个是，一个是右边，这个不知道是不是啊？ 那这个到底怎么求呢？他跟我们给的条件有什么联系？我们来去想一想啊，那这一个其实是对应的给的 钝角三角形，他的高你能看出来吗？什么叫做高？你看他这里给了你一条边，而且这个边是十厘米，那你要去想，他就是对应的是底呀，那他当底的话，谁当高？ 那过这个点往他的对面做垂线段，那这个是不是就是高？那所以说你把这个钝角三角形这条底再延长即可啊，在这种做高的规范，大家要有先延长，再过点往他对面做垂线段， 那这个就是高。 h， 那 同样的，那你这个是高，那这个是不是也是高？那现在我的任务就转化成了，我求出三角形的高是不即可，那怎样求三角形的高呢？你看，根据三角形面积公式叫底乘以高除以二是不等于面积，那反过来呢？ 怎么求高？那应该是啊，面积先乘以二，我再除以底等于高， 那这里面积是二十乘以二，它的高是十，那你能够求出这个高就是四厘米。好啦，那这里我们来写上这个高就是四厘米。那现在你能告诉郭老师大正方形的边长是多少了吗？啊？脱口而出，十加四得十四。 好答题，大正方形的边长就应该是十四厘米。那做完这道题之后呢，我们要学会总结 啊，第一，我们小朋友要学会竖形结合，把给的条件和给的图结合在一起。第二，我们要会逆向思维。什么意思？我们从问题出发，倒推条件，让你求大正方形的边长。你要知道，我要先求出对应阴影三角形的高， 那怎么求阴影三角形的高呢？看给的对应的面积和底，我是不是就可以求出来？这叫做逆向思维。我们今天给大家重点讲的是，第一，竖形结合的能力。 第二个呢，要有逆向思考的思维能力。关于这道题，我们就说到这里吧，如果你对于数学非常感兴趣，欢迎大家联系郭老师、学霸老师，学霸娃关注我，变学霸，拜拜喽！

小智帮我总结一下几何图形有关的数学公式。好的，我来总结几何图形公式。平面图形，长方形周长等于长加宽乘以二面积等于长乘宽。正方形周长等于边长乘四面积等于边长平方。 三角形周长等于二层派乘半径面积等于派乘半径平方。立体图形，长方体表面积等于 二层。长乘宽加长乘高加宽乘高体积等于长乘宽乘高正方体表面积等于六乘边长平方体积等于边长立方。圆柱体表面积等于二乘派乘半径平 方。加二乘派乘半径乘高体积等于派乘半径平方。乘球体表面积等于四乘派乘半径平方。需要我重复哪个公式吗？

我上小学的时候，怎么没人告诉我小学几何就这三十六个模型学会了，这些孩子的数学成绩不用愁，也为初中几何打下扎实的基础。都在小学几何三十六模型这本书里包含了小学常考的三十六个几何模型，而且总结归为九大类，每一个几何模型怎么证明的， 推导过程都梳理的很清楚。还有公式总结可以直接使用，再用母题进行拆解巩固，还有变式题，举一反三练习。 有了这本书，做几何题就像查字典一样简单，关键是还有动画演示，孩子一看就懂了。不会的题还可以扫码看名师讲解，吃透几何模型，无论题目怎么变，都能应对。家里有小学生的，早点准备一套吧！

立体解析几何是数学中一个分支，他将几何图形的直观性与代数方法的精确性完美结合，为研究空间中的点、线、面以及更复杂的几何对象提供了强有力的工具。通过坐标系和方程，我们可以将几何问题转化为代数问题， 从而利用代数的方法来解决几何问题，或者反过来通过几何直观来理解代数方程的意义。这一方法不仅极大的拓展了几何学的研究范围，也为物理学、工程学、计算机图形学等领域提供了重要的理论基础。 立体解析几何的核心在于建立空间直角坐标系，将几何对象与代数方程对应起来。在三维空间中，我们通常使用三个互相垂直的坐标轴来定义一个点的位置， 一个点 p 的 坐标可以表示为，其中 x、 y、 z 分 别是点 p 在 三个坐标轴上的投影长度。例如，空间中的平面可以用一个三元一次方程表示，其中啊 b、 c、 d、 e 是 常数，且 b、 c 不 全为零，这个方程称为平面的一般式方程。通过调整系数，我们可以描述不同位置的平面，比如平行于坐标轴的平面，通过圆点的平面等。空间中的直线可以用两个平面的交线来表示，即通过连立两个平面方程来定义一条直线。 此外，直线还可以用参数方程或对称式方程来描述。例如，直线的参数方程可以写成，其中是直线上的一点，是直线的方向向量。 t 式参数。 球面是空间中与一个固定点距离相等的所有点的集合。射球星为，半径为二，则球面的方程为。这个方程与平面解析几何中的圆的方程非常相似，只是多了一个 z 坐标。 圆柱面是空间中与一条固定直线距离相等的所有点的集合。如果轴线与 z 轴重合，半径为二，则圆柱面的方程为。这个方程中不包含 z， 说明圆柱面沿 z 轴无限延伸。圆锥面是空间中与一条固定直线成固定角度的所有直线的集合。 如果轴线与 z 轴重合，顶点在圆点半顶角为凹，法则圆锥面的方程为。这个方程描述了以圆点为顶点， z 轴为对称轴的圆锥面。二次曲面是由三元二次方程描述的曲面包括椭球面、双曲面、抛物面等。 例如，椭球面的标准方程为，通过调整啊 bc 的 值可以得到不同形状的椭球面。随着数学和其他学科的发展，立体解析几何也在不断拓展和升化。 例如，在微分几何中，曲面的局部性质可以通过参数方程和偏导数来研究。在代数几何中，高维空间中的几何对象可以通过多项式方程来描述。此外，计算机技术的发展为解析几何的应用开辟了新的可能性，比如通过数值模拟来研究复杂几何形状的性质。

五年级期末数学必考阴影面积！把小学常考的九大几何模型掌握了，孩子考试碰到相当于抄答案就是这本新版几何模型大全，把它们都总结好了，有等高模型、一半模型、鸟头模型、蝴蝶模型等，每个模型的推导过程都有详细的图解分析， 没看懂的还有视频教程，一步步教会孩子解析，让复杂的几何问题可知化，孩子一看就懂。还有精选例题，帮助孩子吃透几何模型，再配上这本练习册， 及时巩固所学内容。每天花十分钟攻克一个几何模型，孩子的几何思维也得到了提升，家长快给孩子安排上！