不吃不喝函数奇偶性

抽象函数基友性的四则运算那一大堆的公式和口诀对于新手来说是极其不友好，背的时候费劲，用的时候呢也发蒙。今天我们用一招来解决所有做题过程中可能会遇到的基友性问题的判断。什么是基友性？基友性就是判断 f 负 x 与 f x 的 关系。当 f 负 x 等于负的 f x 是 奇函数， f 负 x 等于 f x 偶函数。例如我们来判断这样一个函数， f x 等于 a 的 x 次减一，比上 a 的 x 次加一，它的奇偶性。那就先看 f 负 x 等于 a 的 负 x 减一，比上 a 的 负 x 加一， 上下同乘 a 的 x 次化简一下，就是 a 的 x 乘以 a 的 负 x 减去 a 的 x 次 b 上 a 的 x 乘 a 的 负 x 加上 a 的 x 好， 那上面就是 a 的 x 加 x 减去 a 的 x， 下面是 a 的 x 加 x 加上 a 的 零次方等于一。那我们看它与 f x 两边同时负一等于负的 符号给上面就是负 a 的 x 加一啊。所以 f 负 x 等于负的 f x。 在判断定域关于原点对称，所以为奇函数。接下来判断抽象函数两个函数 f x 与 g x， 它们俩的奇偶性有这么几种情况，第一种， f x 与 g x 同为奇函数。第二种， f x 与 g x 同为偶函数。 第三种， f x 与 g x b g e o 可能是 f x 积 g x o 或者 f x o g x g 好， 那我们接下来就看 f x 与 g x 同为奇函数的时候， f x 加 g x， 而奇函数我们好 f x 减 g x g x 奇函数还有 f x 乘 g x f x 除以 g x 好 这么几种情况，那分别来判断一下。先看 f x g x 同积的时候， f x 加 g x， 然后 f x 加 g x 等于 h x， 此时 f 负 x 是 等于负的 f x， g 负 x 是 等于负的 g x 好判断 h 负 x 等于 f 负 x 加上 g 负 x， f 负 x 等于负的 f x， g 负 x 等于负的 g x。 提出括号，也就是负的 f x 加 g x， 也就是负的 h x， 所以此时 h x 为 g 函数， g 加 g 等于 g。 再看 f x 减 g x， 此时又是什么函数呢？依然 h x 等于 f x 减 g x g 负 x 等于负的 f x h 就 等于负的 g x， 那 h 负 x 就 等于 f 负 x 减去 g， f x 就 等于负的 f x 减去负的 g x， 也就是负的 f x 加上 g x， 也等于负的 f x 减 g x 好， 也就是负的 h x。 所以 此时 h x 仍然为 g 函数，也就是 g 减 g 等于 g。 再继续积乘积又等于什么呢？依然 h x 等于 f x 乘以 g x h 负 x， 我 就直接写了，等于 f x 乘以 g 负 x 好， f x 换成负的 f x， g 负 x 换成负的 g x， 负负得正，所以就等于 f x 乘以 g x 好， 它就等于 h x 好， 所以 h x 为偶函数。 哦，那这不一样了，积乘积等于 o 哦，是这么来的。那看积加积、积减积都是积，那积乘积是等于 o 的 好。最后我们再来看一下积除积，那其实积除积呢？和积乘积是一样的啊。那为了方便同学们的理解，就再推演一下 f x 除以减 x 好，那你就记下， h 等于 f x b 乘 g x， h 负 x 就 等于 f x b g x 等于负的 f x， 负的 g x， 此时负负为正，那就是 f x b 乘 g x 就 等于 h x f x， 所以 h x 此时为偶函数啊，得到积除积， 偶函数和积乘积的规律是一样的。继续第二种情况， f x 与 g x 同为偶函数，咱们看 f x 加 g x， 它是什么函数？依旧， h x 等于 f x 加 g x， 由于 f 负 x 此时是等于 f x， g 负 x 是 等于 g x 的， 所以 h 负 x 等于 f 负 x 加上 g 负 x 好， 就等于 f x 加上 g x 好， 与 h x 一 样的，所以 h x 此时为偶函数好，那又得到 o 加 o 等于 o。 继续看 f x 减 g x， 此时又是什么呢？好，那我就直接写了， h x 等于 f x 减 g x， h 负 x 等于 f 负 x 减去 g 负 x， f x 等于 f x， g 负 x 等于 g x 好， 它与 h x 相等，所以 h x 则是仍然为 o 函数，那就是 o o 减 o 等于 o。 再看 o 乘 o， h x 等于 f x 乘 g x， h 负 x 等于 f x 乘以 g x 就 等于 f x 乘以 g x 等于 h x， 所以 h x 为偶函数啊，那得到规律， o 乘 o 依然等于 o， f x 除以 g x 就 不推了。这个六位同学们自己来进行推。推理一下，刚刚两种情况啊，都已经推完了，得到的结论就是， g 加减 g 等于 g， o 加减 o 等于 o， 积乘积等于 o 乘 o 乘 o 等于 o。 咱们就总结出一个小口诀，叫同积偶相加，减，积偶不变，同积偶相乘，除是偶函数。继续看第三种情况， f x 与 g x 以及 e。 那 我们就假设 f x 为 g， g x 为 o 好，那先看 f x 加 g x 哦， h x 呢，等于 f x 加 g x， f 负 x 等于负的 f x， g 负 x 等于 g x， h 负 x 就 等于 f 负 x 加上 g 负 x， f x 等于负的 f x， g 负 x 等于 g x， 好， 那就等于，那我可以提出一个符号 哦。那最后这一步，你发现，负的 f x 减 g x 与 f x 加 g x 是 没有数量关系的，所以 h x 与 h f x 无数量关系，那么 h x 就 为非极非偶函数。 可能有同学说，那我让 f x 是 偶函数， g x 是 奇函数，结果呢？结果是一样的啊，因为这是加法，加法具有交换率。下来再看 f x 减 g x， h x 等于 f x 减 g x。 好，直接 h 负 x 就 等于 f 负 x 减去 g 负 x， 因为 f 负 x 等于负 f x， g 负 x 等于 g x， 好， 那我们可以观察到，负 f x 减 g x 与 f x 减 g x 也是没有数量关系的，所以 h x 与 h x 无数量关系，那么此时 h x 依然为非极非偶。 总结一下， g 加 o 双非， g 减 o 依然是双非。 那最后再挣扎着来看一下 g 乘偶有没有规律。 h x 等于 f x 乘以 g x， h 负 x 就 等于 f x 乘以 g x 等于负的 f x 乘以 g x， 哦，这次不一样了，它是等于负的 h x， 所以 此时 h x 为奇函数哦， g 乘偶等于 g 乘法又规律了。那最后除法呢？好，这个交给同学们自己推断。 g 除偶 依然等于 g 乘除是相同，最后 g 除以 o 呢？相信聪明的同学已经能领悟到了。 g 除以 o 依然为 g 函数。最后一种情况， f x 为偶， g x 为 g。 那 我们分别看 f x 加 g x， 那 和前面推论是一样的，双非。 再看 f x 减 g x， 那 结论依然是双非。这个就交给聪明的你去推论一下了。那最后 f x 乘以 g x 与 f x 除以 g x。

同学们都睡醒了吧，距离二零二六年广东高高考仅剩二十八天了哦，大家打出金榜题名，祝大家都能上岸。 我们今天给大家讲一个函数的奇偶性，常见函数的奇偶性记一记，这是一个高频考点，首先 a 选项是一个什么函数，你要知道它是一个对数函数，是一个非基非偶的，背一背。 还有这个 c 选项是一个指数函数，他也是非基非偶的啊，所以说把这 a 和 c 排除， 然后 b 选项这种，如果说你知道二次函数也行，或者看这里 x 的 头上有一个什么次方的，这个叫密函数，如果说这个是个偶数，看到没，二二维偶数，他就一定是偶函数。 然后第一选项这个头上是一啊，一为基数，它就一定为基函数，其实它就正比例嘛，正比例一定为基嘛，所以这个题选多个，比如说还有常见的我们学过的啊，三角函数，三个 y 等于 cosine x， 还有 y 等于 cosine x， 还有 y 等于 cosine x 这三个的基偶性三为基啊， cosine 为偶啊， cosine 是 啥呢？你自己说一说啊，记没记看看啊？ ok。

第四章第二小题，函数的基有性啊，那今天这个视频我们开始讲函数基有性的有关题型。首先我们来看一下啊这个知识点，一、函数基有性的一个定义， 首先基函数的定义是，如果函数 f x 的 定义域关于原点对称，且定义域内任何一个 x 都有 f 负 x 等于负的 f x， 那 么这个函数 f x， 我 们就把它称之为 g 函数， 那么它的一个图像特征是关于零零对称啊，那这里面这个解析方法点拨，那这里面第一个， 如果函数定义域是包括圆点，那么我们一般利用 f 零等于零解除它的参数就可以了，那如果定义域不包括圆点，那么我们要运用它的定义 f 负 x 等于负的 f x 去解相关参数就可以了 啊。当然这后面的话，第三个啊，就是我们求解函数的表达式的常见的方法。 第二个，偶函数，那如果函数 f x 定义域关于啊 y 轴对称，那如果且定义域内任何一个 x 都有 f 负 x 等于 f x， 那这里面我们啊给得到函数 f x 就 叫做偶函数，那偶函数的一个特点是图像关于 y 轴对称，当然它的定义域和 g 函数是一样啊，定义域它是关于这个圆点对称，当然也是关于这个 y 轴对称的， 那么这个解析的一个方法点拨，那就是第一个，我们运用 f 负 x 等于 f x 可以 求它相关的一个参数，比如说 y 等于 a x 三次加 b， x， 方加 c， x 加 d， 那 么啊，我们可以求出 a 加 c 的 一个值 啊。第二个，那么结合这个函数图像关于 y 轴啊对称，求函数与 x 的 交点个数或者某个特定的一个值啊，比如说偶函数 f 负二等于零 啊，再加一个周期等于二，那么问这个区间负二到八类，这个函数与 x 轴有多少个交点？那这里面实际上我们就是去利用它的一个图像特征去解就可以了。 那后面知识点三，这就是初步的一个运用啊，就是 g 函数偶函数它的图像的一些性质大家可以看一下， 那这里面我们来看一下第一种题型啊，函数既有性的一个判断。那首先第一题 判断下列函数的一个既有性。那首先我们一般解这种题，我们通常怎么去解呢？首先是这样子的，我们先第一步判断定义于 判断定义域，然后如果定义域关于圆点对称，我们再进一步去判断 f 负 x， 看它到底是等于 f x 还是等于负 f x， 对 吧？那如果第一步定义域不关于圆点对称，那么它一定是积分 flow 啊，然后在后面这个式子啊，我们就需要带进去算就可以了。所以那首先这个 d 题我们来看一下，那第一个因为定义域 为，它的定义域为多少呢？ x 不 等于零，也就是负无穷到零，并上零到正无穷。哎，那这里面我们发现它的定义域是关于圆的对称，并且 f 负 x 带进去，它是等于负二 x 减去 x 分 之一，那刚好它也就等于多少了负的 f x， 所以 那我们得到 f x 为奇函数， 所以第一题这里面啊，这个函数一看它就是一个奇函数，我们用这个来带就可以了。 好，那么这是第一题，那第二题，那这里面我们发现他的一个定义域先写出来是多少呢？ r 任意取， 然后这里面我们得到，因为 f 负 x 带进去，它是等于二减去负 x 绝对值，它也等于二减去 x 绝对值，那这里面它也就等于 f x， 所以 我们得到 f x 为偶函数啊，这里面我们接出来它就是一个偶函数。 第三个小题啊，第三个小题呢？这里面我们来算一下，定义于一样的， 当然这里面这个定域我们要注意，一个是 x 方减一大于等于零，另外一个是一减 x 方大于等于零， 所以解出来了， x 方大于等于一，且 x 方小于等于一。哎，那这里面我们带进去我们可以得到一个什么呢？就是 x 方刚好等于，也就是 x 方，它是等于一的， 那明显它 x 方等于，也就是 x 等于正负一，它的定域是关于圆点对称啊，定域它就是负一或者一，那么这里面我们发现 f x， 这个时候它也就等于多少呢？零，那 f x 等于零，因为 x 方等于一，我们带进去 f x 等于零，它是一个常数啊，常数函数，常值函数，那这个时候我们发现它图像既关于圆点对称，也关于外轴对称，所以 f x 它是既是啊，既是 g 函数啊，也是 o 函数， 也就是这个 f x， 它是 g g o 的， 当然这个 g g o 的 话，对应的最常见的啊，就是 f x 等于这个常函数。那么在这里面要注意一点，常函数，并不是所有的常函数都是 g g o， 一定要小心。 好，这是这个第三道小题，那我们看一下第四道小题，那第四道小题，这里面我们发现直接去判断它的一个定义域，那定义域是多少呢？是 x 直接不等于一，很明显 x 不 等于一，它不关于， 不关于零零对称，所以我们得到 f x 是 为非机几何， f x 是 非机几何函数， 那直接定义它已经不关于圆点对称了，那么它一定是一个非机几何函数。 同样的，然后这里面啊，这个第五道小题，一样的，它的定域是多少呢？还是 x 不 等于一，那明显不也是一样，不关于啊，不关于零零对称， 故为啊，还是非极 fill 啊， 我们运用它的一个性质就可以了啊。 第六道小题，那第六小题呢，这里面我们发现先写一下啊，定义域一样的，那么它的定义域是 x 啊，因为分母里面只有一个 x， 那 这个 x 是 不等于零 啊，当然我们写成集合的形式。哎，那这个时候 x 不 等于零，它本身就是关于圆点对称， 我们再进一步去判断，因为 f 负 x 带进去负 x， 再加 x 三次分之一，那我们算出来，它是等于负的 f x， 所以 那这个时候我们得到 f x 是 奇函数。 第六个小题啊，然后第七大小题，第七大小题呢，这里面我们算一下，第一个定义域一样的，这个时候它的定义域是 r， 也就是满足这个提议的啊，那定义域是 r， 满足基数性的一个特征。 但是这里面我们再去算一下，因为 f 负 x， 它是等于负 x 整个的一个平方，减去负 x 的 一个三次， 那我们算出来，它是等于 x 的 平方加上 x 的 三次，也就是它不等于多少呢？不等于 f x， 且 f 负 x 不 等于负的 f x， 所以 我们得到 f x 为飞机 flow 啊，飞机 flow 函数， 这是第七的小题，然后第八的小题，那第八的小题，这里面我们先看一下定义域， 定义域是多少来呢？定义域肯定还是 r， 这个 x 随便取，然后这里面我们发现，因为 f 负 x， 我 们带进去，它是负 x 加二的绝对值，加上负 x 减二的绝对值， 它也就等于。我们讲啊，绝对值里面负 x 加二，它也就等于绝对值 x 减二，加上负 x 减二，它整个的相反数是 x 加，也就是绝对值 x 加二。哎，刚好呢，这里面我们发现它也就等于这个 f x， 所以我们得到 f x 为偶函数啊，这个时候它是偶函数满足这个条件，偶函数的这个条件 啊，这是这个对应的第一种题型。就是什么呢？就是函数既有性的判断啊，我们利用既有性的一个性质以及特征，包括它的一个定义，然后去判断下面函数的一个既有性，这是我们常见的啊，一个方法啊，大家可以看一下。