初一数学第六章几何图形点线面体

hello， 同学们，上一周我们一起学习了几何图形的相关内容，那本节我们一起来学习直线、射线和线段它们三者之间的相关内容。 首先我们要知道什么叫直线，那直线的基本事实指的是什么呢？直线指的是经过两点，有一条直线，并且有且只有一条直线， 减数为两点，确定一条直线，这就是直线的技术概念。其次，我们要知道直线的表示方法和它的特征。 表示方法的话有两种，一种是直线上表示任意两点的大写字母来表示。第二种呢，用一个小写字母来表示。我们来看这个图，你看我们既可以用直线 ab， 也可以用直线 b a， 它是没有先后顺序的。 接着我们来看特征，特征的话一共有三点特征，首先直线他是没有端点的，所以可以向两端无限延伸，那第二个特征的话就是向两个方向无限延伸。第三点，没有长短，所以两条直线是没有办法比长短的。 接着我们来看点与直线的位置关系，其实只有两种，比如说点在直线上，就看这个点 a 在 直线 l 上，当然也可以说直线 l 经过点 a。 第二种呢，点不在直线上，比如说点 a 在 直线外， 也可以说成直线 l 不 经过点 a 或点 a 不 在直线 l 上。 第四，直线相交，当两条不同的直线有一个公共点时，呈这两条直线相交，这个公共点呢，叫做他们的交点。比如我们看到 m、 n 两条直线相交于点 o， 那 么点 o 的 话就是这两条直线的交点。 接着我们再来学习射线，射线的定义指的是什么呢？射线指的是直线上的点和它一旁的部分叫做射线，这一点叫做射线的端点。 那表示方法跟直线其实差不多，也是有两种，一种是用射线的端点与射线上另外一点的大写字母表示。第二种用一个小写字母来表示，那他的图示的话，就像这个图，你看 o 是 他的端点，而 a 呢，是射线上的一点， 所以这个射线可以用射线 o a 表示啊，或者可以用射线 l 表示。那能不能用射线 a o 表示呢？不能的，为什么？因为 o 是 射线的端点 啊，这个射线的端点一定要写在前面。第二，射线也具有三个特征，第一个特征有一个端点，就像我们看到这个图示点 o 就是 射线的端点。第二呢，它是有方向的，为什么？因为射线是沿着 o a 的 方向然后移动。 第三点无法度量，因为射线的另外一端可以无限延伸。接着我们来看线段，那线段的含义指的是什么呢？直线上两点及两点之间的部分就叫做线段，那这两点的话叫做线段的端点。 其次，表示方法也是有两种，一种的话是用表示端点的两个大写字母来表示。第二种用一个小写字母来表示。 第三，我们来看这个图，你看 o 和 a 就是 线段上的两个端点，所以这个既可以叫做线段 o a 或者线段 a o， 这里的话 a 和 o 是 没有先后之分的， 或者是用小写字母 l 表示，也就是线段 l， 那 他也有三个特征，一，有两个端点，比如说端点 o 和端点 a。 第二呢，不可以延伸，因为端点是固定的，这个是线段的相关内容。 接着我们来学习线段的画法及长短的比较。首先我们在数学当中经常会听到一个词叫做尺规作图，那么尺规作图到底指的是什么呢？在数学中我们经常限定用无刻度的尺尺和圆规作图，这个就叫做尺规作图。 二、线段的画法。首先可以用测量法，特别简单，就是我们先度量出已知的线段，比如线段 a 的 长度，再画一条等于这个长度的线段。第二可以用尺规作图法，假如说我们现在没有带有刻度的尺子怎么办呢？可以用圆规和没有刻度的尺尺。 首先我们先用直尺画一条射线 a 系，再用圆规在这个射线 a 系上截取 a， b 等于 a 就 可以画出，就像这个图一样， 这就是尺规作图。接着我们来学习第三线段的比较。线段比较的话，有两个方法，一种叫做度量法，其实就是拿度量尺分别测量出两条线段的长度，当然单位一定要相同， 再根据长度的大小呢来判断这两条线段的长短关系。第二种叫做叠合法，叠合法指的是把其中一条线段移动到另外一条线段上面，做一个比较。 叠合法也有一个速记口诀，叫做共端点同方向叠一起比长短。当然我们发现这两个方法其实就是竖的比较和形的比较，哪个是竖的比较呢？就是度量法。哪个是形的比较呢？就是叠合法，放在一块进行比较。 那叠合法呢？我们来看一下这个表格，你看假如 ab 和 cd 呢，他用不同的长短来表示，那放在一块我们是不是可以很清晰的得到对应的结论？ 这里边列出了三个不同的情形，然后后边有三个对应的结论，大家可以看一下。接着我们来看第五个知识点，线段的基本知识点及两点间的距离。 首先，线段的基本事实指的是两点的所有连线中线段最短及两点之间线段最短，这个大家一定要记住，这是它的性质。 第二，两点间的距离。首先，两点之间的距离，它的定义指的是什么呢？连接两点的线段的长度叫做这两点间的距离，那性质具有存在性、最短性和唯一性，这是两点间距离的性质。第六，我们要学习线段的和差。 同样给大家列出的一个表格比较直观，你看在这个表格里边，我们已知条件是 a 是 大于 b 的， 所以我们用图形来表示，你发现 a 和 b 相加，是不是就是 a 系的长度呀？ 那画法的话就是用圆规先在射线 a、 e 上截取线段 ab 等于 a， 再在射线 b、 e 上截取线段 b， c 等于 b， 然后可以得到一个结论，就是 a， c 是 等于 a 加 b 的， 下边这个的话是作差，它的原理是一样的，大家可以看一下。 接着我们要学习本节课的最后一点，就是第七点，线段的终点及等分点。首先，线段的终点指的是什么呢？你需要了解它的定义，它的定义指的是把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的终点。 其实现段的终点的话，我们需要知道一条线段的终点只有一个。第二，看这个图示，你看在这个线段 ab 当中， m 点就是线段 ab 的 终点， 所以说我们可以得到 am 是 等于 mb， 然后等于二分之一 ab 的， 即 ab 等于二倍的 am 等于二倍的 mb。 那 学习了终点之后呢，我们需要知道什么叫等分点，等分点指的是线段除了有终点外，还有三等分点，四等分点等等，如图所示。你看下面这两个图，就是三等分点和四等分点的图示。 假如 m n 将线段 a b 平均分成了三份，那么 m n 就是 线段 a b 的 三等分点，那我们由此可以得到 a m 等于 m， n 等于 n b， 是 不是哎？这些小的线段，然后等于三分之一， a b 等于总体线段的三分之一。 另外再看这个，这个是四等分点。四等分点呢，我们也可以发现，下边小的线段是相等的，也就是 am 等于 mn 等于 np 等于 pb。 每个小的线段相等之后呢，每一个小的线段等于总体线段的四分之一，也就是等于四分之一 a b。 好， 以上是有关第六章节第二小节直线射线和线段的相关内容，如果对你有帮助，可以点个关注，期末记得来报分。

同学大家好，我是旭老师，今天继续为大家讲解几何图形的初步线段的比较与运算， 我们一起来看一下。本节课的学习目标，首先要学会比较两条线段的长短，理解线段等分点的意义，能够运用线段的和差辈分关系，求线段的长度， 体会文字语言、符号语言和图形语言之间的相互转化， 了解并理解两点之间线段最短的基本事实。 来看一下新课导入部分。观察三组图形，你能比较出每组图形中线段 a、 b 的 长度吗？首先， a 的 长度我们好比较吗？是不是不太好比较呀？包括 b、 c 第一个，第二个、第三个，他们三者之间都不是很好比较长度的长短，对吧？我们要么需要精确的测量仪器， 要么我们就得怎么样，然后把它放到一起来进行比较。 那你看三组图片中的 a、 b 怎么样都是相等的，那我们在观察的时候未必能观察得到，对吧？ 那么我们就需要一个新的知识点，什么呢？尺规作图 不同于直线和射线，线段是有固定的长度的，进而可以比较线段的长短呢？进行一些最简单的运算， 画一条线段以等于已知的线段 a， 那 么我们是不可以用刻度尺来解决呀？用刻度尺量取第一个线段的长度是多少，然后来用 刻度尺直接画出第二个线段的长度即可。 那同样我们还有方法二，方法二是什么呢？首先你用直尺画一个 比已知直线长的直线，然后呢，我们用圆规呢，截取和 截取已知直线的长度，从而在另外一个较长的直线中再进行截取即可。 然后看用直尺画射线 a f， 用圆规在射线 a f 上截取 ab 等于 a， 线段 ab 即可求出来它的一个长度。 来看一下。归那在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这做法呢，就叫做尺规作图 来已知线段 a b， 用尺规做一条线段，使它的长度等于谁呢？等于 a 加 b。 那我们怎么去做呢？你看同样我们可以画一条较长的线段，对吧？

本视频耗时一个月精心制作而成，总时长四十二分十六秒，带你一口气复习完七上最后一张， 期末考试又要来了吧，今天我们进行七上最后一张几何图形初步所有知识点总结以及重点题型梳理，我们一起来学习。关于我们几何图形初步，这里呢给大家分两个大板块，一个是我们的立体图形，一个是我们的平面图形。 关于立体图形，这里呢重点要讲什么呢？重点我们来学正方形的这个展开图啊，展开图这里呢是我们一种题型，而且还是有一些难度的，我们一起来学习正方体的展开图呢，请记住，一共有十一种， 那么这十一种呢，我们来分门别类的进行总结啊。我们这十一种展开图可以分为一四一型、二二二型、三三型以及一三二型， 什么意思啊？我们第一行有一个，第二行有四个，第三行有一个，这叫一四一行， 那么一四一行呢，一共有这样的六种，你怎么去记这六种呀？我们首先呢，这里啊站一号位，然后我们这四个呢排列好，接下来下面这一个呢，你可以在一号位，二号位，三号位和四号位都可以依次来一遍，这样不就出现了四个了吗？ 对吧？那么剩下的我们就可以来动一动第一行的，第一行的你可以把一号位动成二号位， 然后我们第二行的呢，你不能从一号位直接开始了，为什么？因为会有重复啊，所以直接从二号位和三号位开始，那一共就这样的六种，剩下的全部都是重复的了，这是我们的一四一型啊，这个也是最多的一种形式， 那我们剩下的就可以把这四个呢，让他哎减少一个，变成一三二型。那关于一三二型，这里的三和二啊，是固定的 啊，我们只需要让这个上面有一个的再占一号位，二号位和三号位，所以一共是这样的三种， 记住了吗？那剩下的我们的二二二型和三三型呢，各自只有一个，只有二二二三三这种排列的啊，这我们特殊来记就可以了，一共是十一种的展开图，大家按照规律去记，就不会记错了，那这里呢就会有题型总结了，请听老师的大招啊。 我们现在在判断展开图的时候呢，有两句话啊，可以快速帮我们判断出来，叫做一线不过四填凹七弃之。什么意思？ 我们一条线上这个展开图，你看无论是哪种形式，都没有超过四个的吧，对吧？最多就是四个小正方形了啊，所以说一旦出现了比四多的，那一定不是你的展开图，然后还有一些特殊的形状，比如说出现了我们的填字格， 如果有这种形式的，那一定不是我们的展开图啊。同理，如果出现了我们的这种凹字形，出现了我们这种七字形，这都是我们非展开图，而且比较常考的啊，看到这些特征之后呢，直接判断他不对就可以了。 好吧，那关于我们的展开图这里呢有一个非常非常重要的题型，叫做什么呢？我们判断啊，对立面 告诉你展开图了，来问你们啊，这个小正方形，它的一个对立面应该对着哪个啊？那么这会就特别考验孩子的什么呀，一个空间想象能力， 如果你但是有的小孩呢，刚开始就是他想象不到我怎么去找那个对立面，不可能考试的时候现场折一个，那是不可能的，对吧？其实也是有技巧有大招的啊，叫做两句话，同行隔一个，一行 z 两端来，记住老师，这个大招非常好用， 比如说举个例子，比如说我们同行隔一个，举一个例子，那这个小圈圈和这个小圈圈，那么这两个正方形在折回去之后，他就是一个对立面， 这就满足我们的同行隔一个，所以如果这两个面在同一行上，只要他中间隔着一个，这就叫做两个对立面，同理这里也是啊， 这个圈圈和这个圈圈，那就是同行隔了一个啊，所以这就叫我们的对立面，这是判断同行的那一行呢？如果不在同一行，叫做一行 z 两端，你去找这个 z 去啊，什么意思？比如说我们来看 这里呢，画一个 z 字形，那么 z 的 头跟 z 的 尾，这就是我们的一个对立面，这两个面呢，它没有在同一行上，对不对？所以你就不用套 同行隔一个了，咱们套的就是一行 z 两段，他是我 z 的 头和 z 的 尾，这就是我们的对立面，这个大招在解决问题用起来还是非常好用的，大家一定要记住这两句话啊。那么剩下的呢？还有一种类型，就是我们的三式图， 这个也是也很考验咱们孩子的一个空间想象能力啊。这个你就主要是你从你的这个主视图以及你的俯视图，你看到了什么样子，你就按照什么去画 好吧，尤其是涉及到一些什么，一些这个测试图，或者叫左视图和俯视图的时候，你就要去想象，你站在了这个物体的左面，你站在了这个物体的上面，还是有一些空间想象能力的。那这里老师提醒一点，如果你在你的视线当中，你能看得见的这些线呢？你就画成实线， 如果说有一些线，你是看不到，他也真正存在的啊，你从你的这个仕图里面并没有看到，那这种呢，一定要画成虚线，他也是存在的，只是你当下没有看到而已。好吧，画成虚线啊， ok， 那 关于三仕图这里呢，有一种比较难点的题型，就是已知告诉了你某些仕图，比如说告诉了你的主仕图和俯视图，举个例子 告诉了你这些仕途，让你给我判断这一堆小正方体，它到底有多少个，甚至让你判断最多多少个，最少多少个。这种题型应该已经见过了吧，还是有些难度的啊，今天老师教你一个大招去解决问题， 后面我们也会有这个这种题的，给大家重点讲解啊，叫做什么呀？叫做我们的地基法。哎，什么叫地基法？你可以想象一下，就类似于你搭房子，先铺好一个地基，然后一层一层一层往上去盖，怎么去盖？一会遇到题目，老师带着大家重点的来学习， 好，这是我们的立体图形部分，接下来呢，来到我们的平面图形部分，平面图形我们初一上学期啊，两个重要的线跟角， 这里首先上来呢，就会有特别多的概念变息类的啊，非常非常易错，一会我也会给大家去分享一些题目啊，大家好好去听。那关于我们线的概念之这个我们里面的易错点呢，会涉及到三种， 一个叫做我们的直线，一个叫做我们的射线，一个叫做我们的线段。这三种线之间啊，他的端点情况，延长线情况和表示情况，以及还有一个点再给大家总结，还有他的一个长度能否背肚梁的一个情况， 这是我们在考试当中比较啊，容易能够遇到的。来给大家画画这三种线啊，什么叫直线？你这样直直的划过来，没有任何的端点去限制，这叫我们的直线，所以直线是零个端点啊，并没有端点， 射线呢？射线你想象一下是从一个点发射，对吧？发射的感觉啊，所以射线呢，还是有一个端点的从这发射出去的，好吧，这里有一个端点， 线段呢，哎，线段呢，就是我们可以能够量出来它到底是多长，是两个端点在限制你啊，所以线段的左右两边都是有各有一个端点，所以线段是有两个端点情况。 然后接下来我们来看延长线，因为线段呀，是两头都堵住你了，所以你想要想做他的延长线是能够做出来的，对吧？比如说我们这样直接延长，哎，就能做出来延长线， 那或者说我这样来反向延长也能做出来延长线，所以说我们的线段呀，哎，既有延长线，又有反向延长线， 那射线呢，就是这样的，因为射线本身我在这一点发射出去之后，就已经是无限延伸了，我还需要借助外界的力量来帮我去延长吗？不需要了，所以说射线这里是没有延长线的，但是 因为这一头啊，有端点在堵着他啊，所以我们这一头还是能够画出来什么反向延长线的，所以说射线是有反向延长线，没有延长线，然后最后来到了直线，直线自由的很呀，没有任何的端点去限制他， 对不对？我想往右延伸就往右延伸，我想往左延长就往左延长，不需要借助外界力量。所以说啊，他没有延长线，也没有反向延长线。记得了， ok， 那 么剩下的我们来讲一讲表示啊，我们这三种线呢，都有两种表示方法， 你就可以理解为咱们一个人，他有可能有多个名字，对吧？他有个正名，还有个小名。那比如说我们的这个直线在表示的时候呢，可以用两个大写字母来表示，也可以用一个小写字母来表示。 那如果我们用两个大写字母来表示的时候，比如说我可以叫做什么呀？叫做它的直线 a b， 在这啊，直线上任意取两个点，注意这两个点你别堵住它了，因为我们的直线是没有端点的，那可以叫做直线 a b， 也可以叫做直线 b a， 这里是没有顺序的差异的 啊，都表示的是这条直线，但射线呢，射线你再给他起名字的时候就有限制了，因为射线本身是从一个点发射出去的，那你再给他起名字的时候啊，第一个字母呢，表示的一定是它的端点，这个你不要反了， 也就是说射线 a b 和射线 b a， 它俩不一样，代表的不是同一条射线。 ok， 那 么剩下就是我们线段，哎，线段呢，是有两个端点是限制的， 你可以叫做它的线段 a b， 你 也可以叫做线段 b a 啊，就没有顺序的差异了，都是表示这同一条线段。 最后我们来讲一讲这个长度的问题，也是我们考试高频的考题。来，我想问问大家，我说孙悟空在天上画了一条十万八千里的直线，你觉得这句话对不对 啊？有人上来可能觉得对了，在我们数学角度这句话是不对的，因为我们说直线是无限延长的，哪怕你足够长有十万八千米，但是呢，我们的直线在十万八千米的基础上还可以无限延长啊，也就是你在描述直线的时候，你不能说它的长度 到底有多长，他的长度呀，是不可以被度量的。好吧，你不能告诉我这条直线到底有多长，限制住他，这个考试特别特别易错，一定注意了。 然后接下来射线，同理，虽然有一个点在限制了我的发展，但是我另外一头很自由呀，我可以无限延长，对吧？所以射线这里也不需要啊，去给他讲长度，他的长度也是不能被度量的。 好，那么剩下就是我们的线段了，线段呢，它就有所限制了，两个端点卡住了我，对吧？它的长度呀，还是可以被度量出来的，所以你可以告诉我说这条线段有多长，比如说刚才那句话 啊，说孙悟空在天上画了一条十万八千米的线段，哎，这个就对了，好吧， ok， 这是我们的一个基本概念啊，关于它的一个区别，也是咱们考试比较爱考的 概念，变式类的一个题目。好，那么剩下的两个基本事实很简单，我们要考这两个基本事实就是考两点，确定跳直线，两点之间线呢，最短 你给他取一个啊，这种题做的时候小孩没有做错的好吧，亲啊，要记住啊，那么我们还有关于线和角这里呢，咱们学了一些尺规作图，做一条线段等于已知线段，做一个角等于已知角，这两个尺规作图非常简单， 当然我们尺规作图呢，也是在我们的新课标当中啊，我们要这个在新中考当中也是要重点去考的啊，所以后面呢也会给大家出专题啊，将我们的尺规作图。好，接下来关于我们的线段的中点， 线段的中点呢，类比于角，就是我们角的什么角平分线啊，这些在做的时候呢，概念类的也不难啊，就是有小小的易错点。比较难的就是什么呀，这里就题型，什么题型啊，我们就涉及到双中点题型， 还有我们角这里呢就是双角平分线题型，这两种题型呢是有什么是有大招可以帮着大家去解决的， 考试的时候非常快的，能够做出来题目，很节省时间，一会老师给大家进行分享。好，那我们角度的基本的定义，这啊啊，这个比较简单，没什么难度啊，我们在这个表示角的时候呢，是有四种方法，注意这四种方法呢，有的会有限制， 那如果我们表示用三个字母啊，三个大写字母去表示这里呢，叫什么呀？这叫我们的万能方法，你所有的角都可以这样去表示， 什么方法呢？就是我以这个角的啊，这个顶点 o 放在中间的位置，然后在角的啊，这两条射线上任意取一个字母，一个取 b， 那 你可以称为角 a o b， 也可以称为角 b o a 描述的都是这个角， 这是我们的万能方法，所有的角都可以用三个大写字母去表示。还有一些比较简洁的方法，比如说呀，我这个这个点 o 这里呢？我不在边上取点了，我直接叫做角 o， 可以 吗？这个图里面是可以的 好吧，但是它有一些小小的限制。什么限制？如果说呀，我从这个 o 这发射的不止一个角了，因为你现在叫角 o 就 描述不清楚了，角 o 到底是代表的这个角 还是这个角还是这个角嘞？咱说不清了，对吧？所以这种情况下，你必须用三个字母来表示了啊。 好，那我们还有两种呢，用我们的阿拉伯数字，或者用我们的希腊字母来表示啊，我们可以标一个一角一标个阿尔法，叫做角阿尔法，这个也很简洁，后续我们到了初二初三，几何学的比较难，角比较多的时候，可以用这种方法去表示。 它也有一个小小的限制啊，就是我们尽量不要跨角去标注，比如说还是这样的图， 你可以说这个叫角一可以的，但是呢，哎，你这个如果叫做角一的话，就不太啊， 不太对了，你跨角标注就不规范好不好，注意这个小小的限制啊。 ok， 这是我们一些关于线和角的基本知识。 那题型这里重点会给大家讲什么呀？像涉及到我们的双中点和双角平行线，以及我们线段的计算和角度的计算，是咱们期末考当中的占分大项，接下来呢，我们一种一种题型给大家进行梳理，一定要认真听。 好，我们先分享一道啊，期末必考题，叫做我们的展开图的问题，我们来看啊，这里告诉你，展开图呢，我们像要剪掉一个小正方形，那么剪掉之后呀，就能够拼成正方题了， 对吧？问，剪掉的这个小正方形不可以是谁？这里就可以很快用老师的大招我们来看啊，什么大招？因为你打眼一瞧就发现了什么，立刻发现了一个填字格。 老师刚才给大家讲了，你如果要判断是否为展开图，当出现填， 出现凹，出现七这种图案的呢，那都不是我们的展开图。 所以你要想减掉啊，变成我们的展开图，一定要在这个田字格里面去选出来一个，减掉一个，让他不不能变成我们的田字格，所以你可以选一，可以选二，可以选三啊，我们的前三个都正确， 好吧，一定要把它分开，所以这个题啊，我们不可以的，就是我们的四 d 了，你如果把这个四减掉了，那你就把田字格留下了，留下田字格还能变成展开图吗？ 一定不能了好吗？记住老师的解决方法啊，看到田，看到凹，看到七字形的都要给他叉掉，这种都不是我们的展开图，你学会了吗？ 好，接下来我们来分享一道找对立面问题。这种问题呢，一属于咱们期末必考。二、很考验咱们家娃的什么空间想象能力，有的小孩就跟老师说，老师，我真的想象不到他是怎么去折的啊，你考试的时候也没办法，我立刻给你拼起来呀， 怎么办也是有解决方法的，好吧，学会今天老师这个大招啊，让大家立刻啊了解我们的对面问题，叫做同行隔一个 哎，一行 z 两端 什么意思？如果大家在找我们对立面的时候，处于同行的呢，你可以来中间隔一个，它旁边这俩就是对立面， 如果在同行找不到了，找什么呀？找不同行的啊，在不同行的呢，我们就来画 z 字形， z 的 这两端啊，就是我们的一个对立面，比如说这， 比如说这道题呢，就考察的咱们跟学的一个对立面学在这。首先你同行隔一个能找到吗？显然找不到， 对吧？同行最多留两个，你怎么去隔呢？找不到，那找不到了怎么办？我们来画 z 在 一啊，一行画 z 字形，注意，我们这个 z 呢啊，就能找两端， 这个 z， 你 可以横着画，竖着画都可以啊，反正画这种正规的。我们的 z 型画完之后呀，这就是我们的两头啊，我们现在这个学跟我们的广啊，它就是一个对立面啊，选我们的 c 选项啊，老师的这个大招还是非常好用的啊，同学们一定要记住，你学会了吗？ 接下来呢，我们来学习一道难题，突破啊，这种问题呢，是带图案的，这种题啊，小孩碰到了就更头大了，我不带图案的都想不明白，你现在还给我带图形了，哎呦，这可怎么去整啊， 别急别慌，也是有方法的。我们来看问图中的立方体展开之后，应该是下图当中的哪一个，我们来观察一下这个立方体。这个立方体呢，给我带了啊，这三个点，而且这三个点的面呢，分别都是什么呀？这叫离面， 相邻的面并没有相对啊，看似是在考你邻面的问题，实则仍然是考对立面的问题，你只需要让他们不是对立面是不是就可以了，因为不是对立面的话，那不就是邻面了吗？ 对不对啊？所以我们来看一下 a、 b、 c、 d 当中有没有两个小点点是对立面的呀？如果有，赶紧给我叉掉啊！又回到老师，今天啊，教你那个大招叫什么呀？你如果在同一行里面去判断，叫同行隔一个， 如果是在不同行里面去判断，叫做一行 z 两端。 好的，我们来观察一下现在这三个圈圈啊，是在这，那我立刻就扫到了，什么，这是在同一行，哎，同行隔一个，所以它们两个变成对立面了，那怎么办？就不对了， 因为你需要点点是同啊，是里面。接着我们来看 b 同里呀，哎，同行隔一个，这两个又是隔了一个，哎，又变成什么对立面了，所以不对。 好，我们来看 c 选项， c 选项呢，仍就是我们这两个点点是在同一行啊，同行隔一个，又变成我们的对立面了，所以他也不对啊，那只剩下四 d 了。四 d， 我 们来观察一下这里，现在呢，发现，哎，无论是同行 不是隔一个的这种关系，无论是一行，他也没有最两端，对吧？所以这个呢，他们都不是对立面，那就是我们的平面了啊。所以这道题应该选我们的四 d 选项，你学会了吗？ 好，今天我们来分享一道什么呢？用地基法来解决我们的最多最少啊这种小正方体的问题，这个问题对于孩子们来说是一个难点啊，一起来学习一下老师这个方法啊。 说若一个几何体由若干个大小相同的小立方体搭成的，如图，分别是它的左式图和俯式图。问该几何体用的小立方体的个数是 m， 问 m 的 一个最小值， 当然有的题也会问你最大值，其实同理的啊，这种问题怎么去做呢？一个大招叫做递级法，就是你无论给了你什么仕途，你先帮我把俯视图判断出来， 那么这个题比较简单的是俯视图直接给你了，有的题也是告诉你左视图，告诉你主视图，让你自己呀，先把俯视图啊确定了， 一旦确定了俯视图，开始干什么？打地基，盖高楼啊，因为你的俯视图如果长成这样子，说明呢，你至少底上，哎，每一块上都得有一个啊，小正方体 b g 搭好了，接下来根据我们的左式图在一一去匹配。左式图呢，第一列你看到了两个，哎，哪里代表他第一列啊？你想象一下你这个人啊，站到了左边去看，这里是代表他的第一列，对吧？第一列，如果你看到了两个，说明这呢？哎，要给我改成二了，一个就不够了。好， 第二列呢，你是看到了三个，第二列是这里看到的，你在这如果想看到三个的话，说明什么呀？说明至少啊，这上边要么是这个，要么是这个，得是有三个小立方体， 对不对？所以这里二选一就可以了，因为咱们本身问的就是最小，好吧，你随便选一个，比如选它 是三个，好吧，然后接下来呢，我们的这个第三列你看到了一个，那么第三列呢，就是我人站到了这，刚刚好有一个，哎，这一个就能够帮我把左视图的这个确定好了，所以我们最小的情况就是他了啊，二加三，再加上一二三四， 答案就是九，这是我们最小值，是九个。如果老师给你变形一下，你能不能告诉我 m 的 最大值，好，最大值是多少？大家可以在弹幕里面啊，去把你的答案写出来。 怎么去求它的最大值啊？最大值呢？就是我现在，哎，不选择其中一个摆三个了，我让啊，这两列啊，都摆上三个，并不影响我的左视图吧，也没有影响你的俯视图吧，对吧？啊，所以我们现在在九的基础之上呢，又增加了两个，所以它最大值呢？是十一， 你学会了吗？好的，同学们，谁又在这种关于概念变式类的题上面给我做错了， 说的是不是你啊？今天老师呢，把这里线与角这常考到的啊，概念辨析类都给大家总结到这里了，我们一起来学习一下，期末拿掉啊，学会这三分，我们来看啊。现在呢，给了大家十种说法，关于线和角的一一去分析， 圈一过两点，有且只有一条直线没问题，对吧？两点就是确定一条直线，所以圈一是对的。 好，第二个，第二个非常非常高频考啊，你今天一定一定要记住，它说连接两点的线段叫做两点之间的距离，比如说，老师，看着没毛病呀，你来分析一下啊，这什么意思呀？说你连的这条线段叫什么呀？叫距离， 是线段叫距离吗？你距离应该说咱俩离多远，对不对？所以你应该说线段的长度啊，一定注意啊，这个，这原话说的是这个线段的长度 叫做距离啊，你说这条线段有五厘米长，代表这两个点呢？距离是五厘米，明白了吧？啊，这个一定要记住了，那么圈三两点之间线段最短没问题，这也是刚才给大家讲过的基本的原理啊。圈四在线段射线直线当中直线最长， 这是不是我说的刚才你总结的那个长度问题啊？注意，直线跟射线，你能用长度去度量我吗？ 啊？换句话，你能用多长多长就能限制住我吗？你并不能，我的长度是可以无限延长的 好不好？所以你进行长度比较的时候不能去比啊，因为它长度就是无限延长，你没法度量出来，你怎么去比较呢？所以圈字不对啊，因为射线跟直线啊，他你都不要去谈长度的概念了，他们都无限延长， 记住这一点好，那么五跟六是一样的啊，说画直线 ab 等于三厘米，你能给我画出一条直线是多长吗？你画不出来啊？好吧，一定注意，这是错的啊，我们 直线的长度是无限延长的，那它不可以被度量的，你能说画一条线段是三厘米啊？好，圈六延长直线 o a 来这条直线，还记得老师刚才讲过的吗？ 它有没有延长线？它有没有反向延长线？它木有啊，因为本身人家就是无限延长的，所以圈六也不对，圈七两条射线组成的图形是角。哎呦，我说老师没毛病啊，这不是两条射线 o a 和 o b 吗？ 你这个画的是对的，我们的定义是什么呀？我们定义是指的有公共端点的两条射线，对吧？你看，我随便给你画一条射线，这叫 o a， 这画一条射线叫做 b c， 他能组成角吗？显然不能啊，所以指的是有公共端点的两条射线组成图形，叫做角啊，加上公共端点来。第八个，说，角的大小呀，与边的长短是有关系的，有吗？ 换句话讲，这个还怎么去考？还去考你？我拿着一个放大镜，我去观察这个角，哎，这个角就被我放大了，对吗？一定注意。不对，它跟角的长短没有关系 啊，我脚的大脚跟我脚的扩张有关系。我很快给大家举一个反例，比如说呢？来，我们第八个的反例举到这。我说呀，我这里两条射线，你看现在呢，这个脚呢，大概扩张的是这个样子，对吧？我再把这个边啊给你写长一点。 这里还有个角叫做角，也是 a o b， 明显哪个角大呀？是不是我上面画的这个角一比下面这个角二更大一些，对吧？跟长短并没有关系。而且呀，我们说这个角的啊，角的一边是什么呀？是一条射线，它本身就是无限延长的呀， 对吧？跟长短并没有关系啊。来第九个，因为平角的两边组成了一条直线，所以一条直线就可以看成一个平角，有人又觉得没毛病了，这不就是吗？ 对吗？一定注意。不对，你怎么能把两个概念给我混为一谈呢？啊？这个概念叫做线，这个概念叫做角，线能变成角呀，啊？角能变成线呀，不对的啊，你只是你的眼睛看着像啊，为什么像呢？因为我说呢， 比如说老师画的这是一条直线，而角是什么呀？角是有公共端点的两条射线啊，所以我这里点个点叫做 o 啊，这里呢，有一条射线，叫做 o a， 这里有一条射线啊，叫做 o b， 只不过这两条射线呢，哎，互为反向延长线了。所以啊，我们刚好构成了一个什么平角，明白了吗？二者概念啊，是不是同一个什么平角，明白了吗？二者概念啊，说周角是一条射线，同理， 角跟线就不是一回事好不好啊，不能做一些对比啊。所以我们现在正确的只有圈一和圈三啊，只有两个，这道题选我们的 a 选项，好吧，你学会了吗？ 好，关于我们线与角这里的一种难点问题啊，就是我们的一个技术问题啊，小朋友们就记不明白了，没有方法。今天老师教给大家一个招，叫做什么呀？打枪法， 哎，我们就可以很快把这种技术问题呢搞懂。我们来看啊，铁路上的火车票啊，是根据两站距离的远近而设定的， 距离越远票价越高啊，符合我们的常识。那如图呢，这就是一条这个火车线路图， a、 b、 c、 d、 e 呢？是五个火车站。而且告诉我呢，每两站间的距离呀，都不一样 啊。问，这段铁路上一共有多少种不同的票价，票价是怎么规定的呀？人家说了，票价是根据我们这个两站之间的距离，那你就要看一看啊，每两站之间有多少种不同的距离，是不是就有多少种不同的票价， 那每两点之间的距离都不一样。所以这个题最终就被我转化成问啊，有多少条线段，就有多少种不同的距离，也就是多少种不同的票价了，对吧？其实这就是数线段问题啊。那么数线段问题呢？你看一看，我们现在是一二三四五， 有这样的五个点，怎么样去打枪呢？你想象一下，你站在这里啊，这每个点上的都有只小鸟，你去打他啊，你可以怎么打到你？首先二，这你是不是能打到一只小鸟，这里又打到一只，这里打到一只，这里打到一只，也就剩下的这四个点，你都会被打到一只小鸟，那一共是不是四只 啊？所以从 a 出发的 a、 b， a， c， a， d， a， e 啊，就是咱的四条线段啊。同理啊，你把枪放在这儿继续打小鸟啊，剩下的三个点都能被我打到， 然后呢？把枪放到这里是两条，然后把枪放到这，只能打到一这里一只小鸟了，加到一起呢，就是我们的十啊，所以我们数线段问题呢，十种不同的线段就对应十种不同的距离，也就是十种不同的票价。好，那么这题还没完啊，老师快速给大家来一个辨识。 现在呢，还有一种问法，不是问你票价了，而是问你车票， 我问你现在有多少种不同的车票？什么叫车票呀？大家都坐过车吧啊？车票上会写什么呀？会写你的这个出发地是哪里？你的目的地是哪里，对吧？比如说你从 a 出发，你要去 b， 那 你的车票呢？可能写的是 a 杠 b， 那反过来讲，你如果说，哎，从 b 出发，再回到 a 呢？那你的车票上写的是什么？是 b 杠 a？ 你 思考一下，这两种车票长得一样吗？ 长得一样吗？比如说我们从北京到上海，车票长的是啊，应该写的北京杠上海， 对吧？你从上海回北京呢？那应该是上海 to 北京两种不同的车票啊。所以我们如果给你改成车票问题了，你把这个线段数完呀，还没有完还得干什么？还得给他 double 一下，给他乘以二啊。因为 线段 a b 和线段 b a 你 在数线段的时候认为是同一条，但是我现在在这个描述票价的时候，它就不是一条了。 a 杠 b 和 b 杠 a 票价啊，这个，这个车票是两个。好吧，所以我们现在车票问题呢，就改成有二十张不同的车票了啊，这种问题你彻底学会了吗？ 好，今天给大家分享一道期末必考题，关于我们线段的计算问题啊，这种问题呢，一旦看到我们的题干之后，立刻想到我教你的题眼方法啊，怎么去做？说，点 c 是 线段 a c 的 什么中点？ e 是 线段 ab 的 中点，那我们来看一看啊，条件，在图上标一标 d， 如果是中点，说明这两条线段啊是相等的，然后我们的 e 呢，是 ab 的 中点 啊， e 是 ab 的 中点，说明我们的 ae 和我们的 b e 也是相等的。如果告诉咱， a c 比上 bc 等于什么呀？等于二比三啊，我这里写成二份，这里是三份。 好，一旦在看到这种问题，就是我教你的啊，解决的体验叫做什么呢？记住我们的大招啊，看到这种笔直赶紧给我干嘛？射出来 见比射参，射出来参数怎么去？射两份你就射成二 x， 三份就射成三 x。 好 吧，记住咱们的大招叫做见比射参，然后已知 c e 长的是十二。接下来让我们去求 d e 的 长度啊，求 d e 是 多长，这种问题怎么办啊？我们来教教大家解， 看到比值呢，我们来进行射啊，射 a c 长为二 x， 那 么所以我们的 bc 长就是什么呀，就是我们的三 x， 那 现在整个线段 ab 长，你是不是会表示了，对吧？所以我们的 ab 长就是等于 ac 加 bc， 二 x 加上我们的三 x 就是 五 x。 好 了，有了总长，你的终点啊，它分的一半的线段就都可以表示了，对吧？来，因为啊， d 是 线段 ac 的 终点，我就不抄了。 然后呢，又告诉咱们， e 是 线段 a b 的 中点。好吧，大家把这句话抄下来，有了中点之后呢，我们就可以来表示一半了啊， a d 就 会等于我们的 c d 等于啥？等于二分之一的 a c， 因为 a c 是 两个 x 啊，它的一半呢啊，就是一个 x， 同样的 a e 就 会等于 b e 的 一半，因为 ab 是 五个 x 呀，它的一半就是二分之五 x。 好吧，你看看啊，这里是 x x， 然后呢啊，这里是二分之五 x， 那 你已知的这个十二是不是可以用含 x 代数式来表示了？这样不就列出来方程了吗？对吧？因为 c e 啊， c e 啊，咱们知道是等于 a e 减 ac 的， 看图啊， 那等于什么？ a e 是 我们的二分之二 x， 那 减完是二分之一 x g 是不是得到我们的二分之一 x， 就是 这个十二，所以 x 求出来是二十四 x 求完还没完，人家让你求的线段 d e 的 长，那我们来看一下 d e 呢，是不是我们的 a e 减去 a d， 对 吧？所以最后我们要求的这个 d e 长呀， 就是 a e 减去我们的 a d， a e 呢，是咱的二分之五 x， 不 用着急算出来啊。 a d 呢，是我们的 x， 所以 是二分之三 x， 那 也就等于二分之三乘以我们的二十四， 约分十二乘以三三十六，所以我们的最后答案的定义呢，就是三十六啊。今天教你比较好的方法就是见笔设参，一旦在线段计算或者后面我们要的角度计算问题， 看到笔直之后，把我们这个分数给我设出来，就很快能解决了。好，这个题大家学会了，接下来先不要走，再来教你个更厉害的大招。这还是我们的什么问题啊，这个问题也有特征，什么呀？终点，终点，这叫什么呀？这是咱们的 双中点问题，双中点还有双角平行线，一定是我们线与角这一张期末必考的题，有非常好的大招让大家去学习啊！请记住老师四个大字叫做去重留半， 什么意思啊？后面再看到我们双中点问题，你就看一看 d 是 不是 ac 的 中点，把 ac 给我写在这， e 是 不是 ab 的 中点，你把 ab 给我写在这儿，接下来干什么？去重留半，你把重复的字母给我去掉。 哎，剩下留下了谁？留下了 b 和 c， 所以 留下的呢？取一半啊，就是二分之一的 bc， 这就代表我们双中点组成的线段长，因为 d e 是 这俩双中点，说明 d e 长呢，就会等于去重留半。哎， d e 就 等于二分之一的 b c， 超级好用这个大招，那接下来我们来验证一下。我们来看 bc 呢，是咱们设的三 x， 你 看二分之一乘以三 x， 不 就是二分之三 x 吗？在这呢对不对？所以这个结论一定成立啊！后面再看到两个啊，终点问题，如果这两条线段有公共的字母， 直接把公共字母去掉，留下的这两个字母取一半，就是两个终点之间的一个距离啊，你学会这个大招了吗？ 来分享一道我们的期末易错题，叫做我们的双中点问题。什么叫双中点问题啊？当我们后面看到啊，给你描述两个点，比如说 e、 f 是 按某两条线段的什么中点，这不就出现两个中点了吗？顾名思义，双中点问题。 还记得刚刚给大家分享的双终点问题的解析大招吗？请给我打四个字，叫什么？去重留伴，这个大招非常好用，一定要学会了。什么叫去重留伴啊？我们现在呢，因为 e 呀，是 a c 的 终点，你把 a c 给我写在这， f 呢，是 bc 的 中点，你把 bc 给我写在这，然后把重复的字母呢去掉，只留下谁了，只留下我们的 a b 了。所以现在啊，就能得到我们双中点之间的距离，就等于留下的一半，就是二分之一的 a b。 这题就已经做对一半啊，双中点问题很快啊，节省我们的时间，叫做两个中点之间的距离，就等于去重留半。好，既然等于二分之一 a b 了，那我们只需要算算 a b 是 多少， e f 是 几，就可以做出来了。 我们来看啊，现在告诉我的是点 c 啊，在直线 a b 上来，大家读题一定要会读关键词，把直线请给我赶紧勾出来， 在直线 a b 上，如果 a、 c 是 四厘米， b， c 是 六厘米啊，那我们就通过这两条线段长，你是不是得帮我确定一下 a b 长呀，一旦有了 a b 长， e f 不 就搞定了吗？那我们啊，画一下图试一试 这个问题呢，他是没给你画图的，对吧？所以接下来还记住老师教大家的一句话，在你的这个初中几何问题里面，给你的几何题没有画图，那百分之九十五以上都是要干嘛？分类讨论的，所以记住四个字，叫做无图有坑 就等着你往坑里跳呢啊，一定注意，没给大家图的大概率都是要进行分类讨论的，而且呢，也跟我们是一样，跟我们直线，这印证了，对吧？他并没有在线段上去限制你，而是在直线上限制这个让你自由的啊，去发挥，找那些点去让我们画一下图啊。说 a c 等于四， 先随便画吧，反正在这 a b 上呢， a c 是 个四厘米，对吧？ b c 呢是个六厘米。哎，你在找 b 的 时候，我现在好像就找到了不止一种 b 了， 为什么呢？因为我现在啊，可以在哎右边找一个 b， 让这是四厘米，这一边这是那个 b， c 是 六厘米，是不是也是可以的，对吧？所以用这样的两种情况，在这两种情况下，咱们要求的谁啊？先求 ab， 那 这个 ab 呢，就是四加六啊，是十厘米， 那么这个 ab 呢，是六减四啊，就是我们的二厘米，好吧，一个十，一个二，然后接下来我们去重留，什么留半呀，所以结果就是十二的啊，一半十的，一半是五，二的一半是一，所以这题选我们的四 d 选项 做出来啊，就会非常快了，请记住四个字，再来一遍，去重留伴，你学会了吗？好，继续啊，给大家分享一道我们的双角平行线问题，跟我们的双中点问题的解决方法是同理的，记住我的四个大字，大招叫什么啊？去重留伴啊，我们一起来看。 现在又告诉我，这个 o、 d、 o e 分 别是什么呀？分别是两个角的角平分线，对吧？所以你直接把这个角 a、 o c 写下来，把这个角 b、 o c 写下来，把重复的射线 o c 给我勾掉，就是剩下的这个角的一半，剩下了 a 跟 b。 那 你看你的 o a 跟 o b 组成谁啊？这是不是就组成我的角 a o b 了？好吧，用老师的结论啊，那现在两条角平分线组成的这个角 d、 o e 就是等于去重留半啊，就是等于二分之一的角 a、 o b。 有 了这个结论，简直不要太爽了啊，因为结论可以直接秒了，因为人家告诉你角 d、 o e 呢，是六十四度， 求谁啊？求这个角 a o b， 那 么 a o b 不 就是它的二倍吗？对吧？二倍一百二十八度，太简单了 好吧，啊，通过这个视频呢，老师给大家快速的证一下，为什么啊？会去重留半？我们来看啊，因为 o、 d、 o e 分 别是角平分线，如果是角平分线的话啊，那么这两个角相等，比如说我们都标为阿尔法，那如果 o d 是 我们的这个角平分线的话，这两个角相等，我们都标为贝塔。 好的，你看整个大的 a、 o b 是 不是两个阿尔法加上两个 beta 呀，对吧？哎，小的角 d、 o e 呢， 是不是一个阿尔法加上一个 beta 呀？所以它们之间一定会有一个角 d o e 等于角 a、 o b 的 一半啊，这是我们去重留半就是这样来的， 所以后面但凡在看到了双中点问题，还是双角平行线问题，直接把这两个线段或这两个角拿出来重复的勾掉啊，然后剩下的留一半，简称去重留半，你学会了吗？