八年级上册第二次月考几何图形压轴题

各位同学大家好，我们来看一下本次月考的最后一道压轴题啊。嗯，这两天问的人比较多啊，因为我这两天感冒嗓子不舒服，所以讲的稍微晚了一点，那么接下来我们来看这个题。首先原题当中告诉我们，第一问说这个角它等于六十度， 这个大的角 c 等于九十度，那么这个时候我们能够推出角 b， 它是不等于三十度，对吧？接下来的时候 这个 c d 它平分这个角 a c e， 也就说我们能够得出这两个角它各自等于多少？等于四十五度，对吧？角一和角二相等啊，这个图画的已经比较看不清，接下来 他问大家这三个线段之间的数量关系是什么？那我们上课的时候给大家讲过了，但凡出现三个啊，这个线段之间的数量关系，在初二上册的话，就是最长的这个边等于另外两个边，两个边的和，对吧？所以第一问的结论他就是 bc， 他 等于谁？等于 ac 加上 ad 啊？那这个时候如何来进行证明？他第一问当中也给大家了，他说在啊，小明的解析思路是 怎么样在这上面截取啊？截取这两个边的长度线是相等，我们拿蓝颜色进行替换一下啊。首先 a c 他 和 a e 的 长度线是相等，对吧？那么接下来下一步 他说可以证明这两个三角形全等，那全等的理由也非常简单，那这两个边相等，角一它是不是等于角二，加上中间还有一个共边啊？所以这两个角它对应的是不是等于角 a 相等，是不是等于六十度？ 那角 b 有， 刚才我们第一问的过程当中说了它等于三十度，那所以根据三角形的外角能够推出角 e、 d、 b， 它是不也等于三十度？那么这个时候我们能够推出什么东西啊？ 这个小的三角形，它是一个等腰三角形啊，也就说这两个边的长度，它现在是相等，那整个 d、 e 它是不还和 a、 d 相等，对吧？那这个时候你自己来看一下整个的 bc， 它是由蓝线和红线共同构成的， 那这个时候蓝线和蓝线相等，红线和红线相等啊，当然这个里面的蓝线不包括中间这个公边 c、 d 啊，这是我们刚才 所画的，所以第一个我们非常轻松的能够证明 bc 它是不是等于谁？ c， e 加上 b e， 对 吧？那这个时候它是不是可以被转化成 a、 c 加上 a、 d， 所以 第一个我们就证明结束。 那总结起来，第一步就四个字，什么呀？截长补短，对吧？啊？这我们上课讲过的典型例子，截长补短。 那么接下来我们来看第二步。第二步他说在图三的过程当中，点 e 是 整个 b、 c 边的中点啊，这里面点 e 是 个非常特殊的点，是个中点，接下来又有平分产生啊，这里面又有 啊，这个角一它和角二相等，然后这边多了个九十度啊，然后问你解决一下他们三者之间的数量关系，那你大胆猜测一下，这里面的数量关系仍然是最长的 a、 d， 它是不等于 ab 加上 c、 d 吧，对吧？如果我们基础差一点的同学啊，三班或者四班的同学，就你平时考啊七十多甚至七分以下的人，你只要记住我们当时所讲的截长不短的结论，这个 这一步你是能够拿到分数啊，因为可多同学也就证明不了你。像第三题可能学习非常好的一百零几的人，他可能做起来也比较困难，所以我们在这一步就可以和其他人把分数进一步的差距缩小。那接下来我们来看如何来证明？我们先讲 这个截长不短吧，老师当时讲了，截长的话，你尽可能去截长，对吧？那怎么去截呀？我们在最长的边 a d 上来进行截取，比方说现在他是 b 片了，那这个时候我们把谁啊？ b e 连接一下，那这个时候这两个三角形它很明显会出现全等，对吧？全等的理由是什么？我刚才说了，我的 ab 它是不等于 ab 片，角一它是不等于角二，再加这块有个共边，所以这两个三角形它会全等。那么全等结束之后， 我们只需要再一次换一下思路，证明这两个三角形全等，它是不就可以了？那么刚才说了， b e 它是什么东西啊？ 啊？它和 c e 它是相等，因为点 e 是 终点，对吧？ bc 的 终点，所以 b e 的 长度它会和 b 撇 e 的 长度相等，那这个时候它是不是也等于 e c 了？那再加上这个公边啊？ d e， 所以 我们只需要凑一个条件，凑哪个条件？凑这个角三，它等于这块的角四，它是不就可以？ 那角三为什么等于角四呀？我们来看一下，我们刚才说了，这两个三角形全等的话，这块的角五会和这个角六什么关系？他俩是不会对应相等，对吧？而原来的题当中告诉我们，这个角 a e、 d 它等于九十度，也就是说角三加上角六它等于九十度， 那这个时候还能得出来角五加上角四，它是不也等于九十度，对吧？那这个时候 角五和谁是相等？他和角六是相等，那么角三自然而然就对应的和角四他是不是相等了，这叫什么呀？这叫等角的与角相等。那么这个时候我们来看一下边角边五是不是就可以证明这两个三角形它是不是全等，对吧？啊？那两个三角形我拿荧光笔画一下啊，是不这个三角形它和这个三角形全等， 那么这个时候我们来看一下最长的 a、 d 他 是不是等于这段，对吧？那这段和谁相等？是不和他相等？ 那这一段是不和它相等，那这个时候我们就可以证明刚才所猜的结论， a、 d 它就等于这两个边的和，对吧？这是一种办法。那么这个讲完之后我们再来说一下啊，我们当时上课还讲过什么东西，还讲过被长中线啊？因为点 e 它是个终点，这里面就有可能会牵扯到被长中线，那这个时候怎么办？我们来看一下 倍长中线，我们当时说的结论很简单，我只需要把 a e 怎么样延长出来，对吧？到哪里到？比方说我们现在所说的 a e 撇这个位置上，然后连接一下这个 c a e 撇就可以。 那这个时候你自己来看一下这两个边它怎么样？是不是相等？那点 e 作为中点，这两个边它是不是也相等？再加这个对顶角，这两个三角形它是不是就全等？所以整个 这个 ab 的 长啊？我们换个颜色， ab 的 长，它是不是就会等于 c a 撇的长，对吧？那这个时候我们来再来看一下。原题当中还告诉我们，这刚才我们所说的角一等于角二，我说没用到。那刚才三角形全等的时候，角一和这个角三它是不是相等？那这个时候角二就和角三相等， 对吧？那角二和角三相等之后，这一块不是还有个九十度吗？刚才我们是延长 a e 至 a e 撇，那所以这边是不是也有个九十度？那再加上中间这个公共边的话，所以这两个大的三角形它也会产生全等啊，哪个三角形是不？这个蓝颜色的三角形， 对吧？它是不会和背靠背的这个绿颜色的三角形它是不会产生全等。能看明白，那这个时候产生全等之后，我们你看一下 a d 它的长度 他等于谁？他是不等于 d a 撇，那是不等于 c d 加上 c a 撇， c a 撇的长度和 b a 的 长度相等啊。这个时候第二位也可以用这种思路去做啊，这是整个调。 那么接下来我们来看一下难易程度最大的第三位啊，第三位你就记住，这就典型的数学考试题，你前面两份用了接长不短，那这这一份仍然用的是接长不短，那接下来我们来看一下，他告诉大家说 角 a 等于六十啊，各位同学你要好好听啊，这个你就记住，绝大多数人他是做不了的，那你想一想，我做不了的情况下，我怎么能够多拿分，这是最关键。然后这个边的长度他等于一百三啊，这个同学在旁边已经写出来，接下来又告诉你说 这是个角平分，这也是个角平分，对吧？它俩分别是大小 b 和大小 c 的 角平分。那这个时候各位这是不是有我们上课所讲过非常典型的双角平分线模型，也就是说我就不会做，我也能够推出这个角 c p b， 它等于多少？是不是等于一百二十度，对吧？你自己简单的把过程整理一下， 它就能够拿到分数啊，因为其他人都写不了了，你但凡写了，它都会给你分数。那么接下来 他说整个 b m 的 长度等于八十啊，这个边的长度等于八十， c n 的 长度等于十五。接着告诉你说啊，需要，呃弄一个什么步道啊？ m n， 并且满足点， p 是 m n 的 重点，那就这两段的长度，它俩是相等，对吧？那这个时候问你说 求 m 的 长度，那求 m 的 长度，我只需要求出其中任意一个不倒的长度，它是不就可以了？那这个时候和刚才一样啊，我们看一下新得出来这个一百二十度怎么用啊？以及刚才我们所说的这些什么一百三呀，十五呀，八十呀，这些东西到底怎么样？ 那方法和刚才一样，我们前面用了截长不短，那这块是不是同样用截长不短，那这个时候怎么办？我们在你看 这一块呢，我们把它标作角一吧。啊，这个标作角二，角一和角二它是相等，那中间又有个公边，那和上面一样，我在这上面可以截取个什么东西 啊？这个笔不太好画了啊，因为比较比较小，图比较小，我在整个 bc 上截取一个 c n 撇的长度，它和 c n 的 长度相等，那这个时候我连接一下这个 p n， 那 各位同学，我先问一下你 这个蓝颜色的三角形啊，和这个绿颜色的三角形，他俩会不会出现全等？明显会。为什么这两个边的长度相等是我自己截出来，角一等于角，二是题当中有的，以及这个我们边线有，那么这个时候 这个边和这个边长度是不就相等，对吧？也就说那个十五可以转移到这来啊？那各位同学，这个时候这段的长度它是不就等于十五？那同样道理，底下照猫画虎。再来一遍，我在这个 b c 上再截一个，谁啊？再截一段， 再截一段，这个 b m 撇的长度它和 b m 的 长度相等，再把它连接起来。那各位同学一样的道理， 底下这个绿颜色的三角形，他是不是同样和这个蓝颜色的三角形，他也会产生全等？全等？理由继续啊？这两个边是我们截截出来 这两个角相等是题当中告诉的，这是不是还有个共边，所以这两个三角形也全等，那么这个时候 这段的长度他是不就等于八十了？能看明白，那一百三减，八十减十五，我是不能够得出这段长度，对吧？相当于一百三减个多少啊？九十五，对吧？那么这个时候我们能够得出中间的长度，它等于多少？是不等于三十五？ 能听明白，那有的人可能会说，那老师你刚所得到的这个一百二十度咋用？你刚不是说这个大的角它等于一百二十度，那各位，这个时候关键点就来了，你看下，既然证明三角形的全等，那这个时候这个角和谁是相等？是不和这个角它是相等，对吧？或者看这 更厉害一点的办法，这一块的角五它是不会产生相等，那同样道理， 角六它是不等于这块的角七吧，对吧？这个角七指的哪个角啊？可能看不清了，指的是这个角和这个角七它是不相等，那这个数角六加角七，角四加角六，在这个三角形当中，它是不等于一百二十度。那同样道理， 角五加上角七，这两个角是不等于一百二十度，所以这块他会有六十度产生，对吧？那刚才说了这两个边相等，那这两个边他是不是也相等？那再加这个六十度之后，我们现在所新构造的这个三角形，荧光色的三角形，他是不就会是一个等边三角形？ 各位同学能听明白，那它既然是个等边函数，这两个变量是不各自等于三十五，那三十五加三十五等于七十，也就是说 m n 的 长度它等于七十。这题就结束了啊，其实非常简单的，截长不等我们就可以解决，这也就是升学考试题当中属于 比较常见的所谓的亚洲题吧。啊，只不过这个时候放在初二，对大家来说难度稍微大一点。 好了，各位同学，这个题我就讲到这啊，总体来说还是稍微带一些难度，但是如果你把我们上课所讲的接长不短啊，背长、中线这些常见的辅助线，有时候听明白，做这些题对你来说也不会特别难。 好了，各位同学，因为嗓子原因啊，你看今天的视频当中，可能听的大家没有那么仔细啊，你结合视频自己多听一听，多看一看。好了，这个题我就讲解到这，各位同学再见。

好，我们来看一下，这是中山市一中八年级上册最近周考的一道压轴题， 这是非常常见的一类题目，就是解几何 几何图形的一一类长线的常见的一类题目。 好，我们读一下题。 在三角形 a、 b、 c 中， ad 是 平分角 b、 a、 c 的， 所以这个角是等于这个角， 角 a、 b、 c 是 等于两个角 c， 角 b 是 等于两个角 c， 然后求证 a、 c 是 等于 a、 b 加 b、 d。 方法一，如图在 a、 c 上截取一段 a、 e， 这一段 a 一， 使得 a 一 是等于 ab 的， 然后呢，连接 d 一， 就可以得到这两个三角形是全等的。 这两个三角形全等。为什么？因为这边等于这边，这边是公共边，然后因为角平分线，这个角等于这个角。根据 边角边，这两个三角形自然就全等了。这两个三角形一全等，就得出 b、 d 是 等于 e、 d 的， 然后呢，还有这个角等于这个角， 这个角等于这个角。然后因为提议又给出角 b 是 角 c 的 两倍关系，所以这个角自然也是角 c 的 两倍关系， 这个角又是三角形 e、 c、 d 的 外角，所以这个角加这个角等于这个角，所以就可以得出角 c 等于这个角 e、 d、 c， 那就可以得出 e、 d 是 等于 e、 c 的。 最后就可以推出 a、 c 是 等于 a， e 加上 e、 c， 也自然就是 a、 c 是 等于 ab 加上 b、 d 的 好看。方法二， 方法二采取的是补短 a、 b 作为较短的一条线，所以首先把延伸 a、 b 到一，使得 b、 e 的 长度是等于 b、 d 的， 然后 也可以证明出这两个三角形是全等的。为什么？因为这里有一条公共边，然后呢， 这个角等于这个角，还有哪个条件？还有 这个角等于这个角和这个角是两倍角的关系，是不是因为这里等于这里，所以这个角一是等于角 e、 d 等于角 e、 d、 b 的 这两个角是相等， 又因为角 b 又等于这个两倍的关系，所以这个角 e 和角 c 又是相等的，所以根据什么 aas 是 不是 aas 就 可以证明这两个三角形是全等的，是不是？好， 那我们看一下这道题，下面这个第二小问的这个解析思路。 在下面四边形 a、 b、 c、 d 中， e 是 b、 c 上的一点，然后 e， a 是 等于 a、 d 的， 然后角 d， c、 b 是 等于两倍的角 b 的， 然后角 d、 a、 e 加上角 b 是 等于九十度的 探求 dc， 还有 c、 e 还有 b、 e 之间的关系， 那我们通过这个图，这通过这个图我们可以大胆的去预测，怎么样呢？我们先说解析思路，预测出 b、 e， 它是有可能是怎么样的？等于 c、 e 加上 d、 c 的 是不是？好，那我们怎么样去证明这它们之间的关系呢？ 通过我们刚才的这个上面的这些例子的解析思路，我们怎么样在 b 一 上弦起一段 等于 cd？ 好， 假设我们在这里 取一点 f， 使得 ef 是 等于 c、 d 的， 这里等于这里。因为 a、 e 之前给我们的条件有 a， e 是 等于 d、 e 的， 那我们接下来的重任就是什么？证明这个等于这个 就可以证明这两个三角形全等，是不是这两个三角形全等，最后证明这两个三角形全等，就可以推出 a、 f 等于 e c， a， f 等于 e、 c， 然后 b、 f 等于 a、 f 不 就可以完美的证明出 b， e 等于 e、 c 加上 c、 d 了吗？ 那怎么样去证明这两个三角形全等呢？这里就是解的关键了。好，我们来说一下这个过程， 因为呢， e、 a 是 等于 d、 e 的， 所以这两个角是相等，对不对？这两个角相等， 那这三个角怎么样呢？这三个角加起来就一百八十度嘛，那就可以证明得出两个角 e、 a、 d 加上角 a、 e、 d 是 等于一百八十度， 又因为什么？又因为角 d、 a、 e 加角 b 等于九十度，所以 两倍的角 d、 a、 e 加上两倍的角 b 等于一百八十度。好，根据等量带货就可以得到什么 角 a、 e、 d 就 等于两倍的角 b 又等于。刚才什么又等于角 c， 是 不是这是提议给的？得到这里以后， 又因为什么？ 这个三角形 d、 e、 c 的 外角角 d、 e、 b 等于什么？角 a、 e、 d 加上角 a、 e、 f 角 d、 e、 b 同时也是等于什么？角 c 加上角 e、 d、 c。 因为所以我们就可以得到什么就可以得到角 a、 e、 f 等于角 e、 d、 c 是 不是因为刚才我们证明出 a、 e、 d 是 等于角 c 吗？这两个不就这两个相等不就消掉了吗？是不是就可以证明出来 a、 e、 f 等于角 e、 d、 c 了吗？所以这两个角一等， 所以三角形 e、 d、 c 全等于三角形什么 a、 e、 f 然后我们就可以证明说什么所以 a、 f 等于 e、 c 这两个角这两个边相等，还有呢， 角 a、 f、 a、 f、 e 等于角 a、 f、 e 就 等于角 c 嘛， 脚 a、 f、 e 同时又等于什么？等于等于脚 b 加上脚 f、 a、 b， 这是因为他们外角的外角的关系是不是外角和的关系，所以又因为角 c 又等于两倍的角 b 嘛， 所以就可以得到什么，就可以得到角 b 等于角 f a b 了。所以 a f 等于 f b， 所以 就可以得到 b e 等于 b 等于 f b 加上 f f e 同时等于 c， d 加上 c e 嘛。好，这道题 很有意思哈，如果说其他同学他还有其他的方法的话，可以挑战一下，在评论区写出你们的答案。好，这道题就这样子。