数学二反函数真题2026

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各位同学大家好，欢迎来参加咱们今天的专题解析课程，我是定位老师好，那今天的课程呢，我们主要分为三个部分，第一部分关于考研数学整体命题趋势的总结，第二，考研数学整体的权威的解析。第三 关于的咱们二六届，二七届后面如何来进行复习，来给大家做一个介绍。那么首先呢，总体的趋势，咱们今天考完了之后呢， 很多同学在这个给老师说啊，今天的这个考试的难度的不如去年啊，今天这个难度的略微的要低一点，甚至有同学很自信的说，我今天有可能考了满分啊， 这个说明大家这个复习的还是不错，甚至呢，还有咱们这个呃，出的八道题里面有原题啊，那个信心单说的大题是原题。 那么总的来说，数一数三的特征呢？是差不多啊，就是注重基础，注重计算啊，所以呢，大部分的题目呢，还是一些比较常规的，什么求极限了是吧，求导数啊，但是题目的计算量还是有点大啊，部分题目有点计，计算量有点 大，而呢，重点还是比较突出的，因为今年的冷门相对来说还是少一点啊。当然呢，数学一的比数二数三的略微的要难一点，因为咱们数学一的考了一个罗尔定律的证明题，而数二数三的同学其实是 没有考啊，所以呢，数一的略微的比数二数三的难度要大一点啊，因为今天是咱们考研的四十周年，为了让大家心情呢愉悦一点，所以呢，他不像三十周年的时候他出的那么难啊，四十周年出的还是 比较基础一点啊，所以呢，这就代表了咱们目前这个考研的一个趋势，主要就是初试的时候把一些重点的内容考察，那么你具备的一定的能力，那么最后呢，主要就是看复试，所以呢， 咱们通过今年的这个考试来看的话，大家进入初试的还是比较简单，但是呢，你能不能过进入复试，这个就看大家后面的复试的准备情况怎么样。所以呢，不要掉以轻心啊，不要得意忘形。好，那么接下来呢， 这个具体的一些高频考点，大家可以的简单的看一眼，好吧，简单的看一眼， 那我就不给大家一个个的去列了，说明我们考研试卷它的重点还是非常非常突出的，那么接下来大家比较关注的就是我们考完了之后想对答案啊，所以呢，我们接下来呢给大家把这个答案呢一个个的对一下，当着我们说整个考试题呢， 他其实出的门的是比较少，但是有两个可能略微有点创新啊，第一个就是 有一个现行代数的选择题，考到了一个置换矩阵啊，这个实际上考试大概是没有，但是呢，他在这个四题里面把这个置换矩阵的定义啊，给大家这个列了一下，这个就是比较新颖啊，但这个概念其实你读完题目给你的语言的描述应该还是能理解的，而那概率的大体 啊，该题的那个岁数上的那个大题呢，略微有点新颖，但如果你能够把这句话读清楚，这个题呢，其实可以转换成那个最值的分布啊，然后呢，那个估计那部分其实也不难，因为他已经给你把四项函数都写出来了。 好，那接下来我们就一个个来看啊，首先第一个就是考引函数求导啊，这个去年数二数三的考过，并且比这个难啊，因为数二数三的去年那个题是带有变现积分，而我们这个题实际上是没有啊，当在详细的解答过程，大家可以啊去关注咱们这个公众账号啊 啊，回复的一张陈述，最后呢，大家可以在里面的去领取咱们这个啊数一数三的这个完整的解析过程。好吧，好，这是第一个第二题， 数二的第一题呢，他是考察的是关于这个等价无穷小啊，实际上呢，这个大家只要把他的泰勒公式写出来啊，用这个的等价无穷小，这个是很好找的啊，实际上你只要把他的泰勒公式写出来，那么整个等价无穷小应该不会特别难。 好，这是这个数二的第一题啊，数三的第一题的渐近线啊，就是给了一个极其简单的表达式，让大家去找有没有水平渐近线，有没有这个牵直线线。 那么数二的这个题呢，可能啊，数一的这个第二题可能略微有点灵活啊，因为它这里面出现负一的 n 次方，是吧，那么你在做的时候呢，你可以的考虑 啊，可以考虑的，比如说你把这个 n 等于基数啊， n 等于偶数，你把它的瘦脸半径啊，你给他求出来，最后呢，找他的公共部分啊，找公共部分，这个也可以啊，好，这是这个题。 然后呢，接下来的数二的第二题啊，这个题目呢，实际上是零九年的考试题的改编啊， 这个是零九年考试题的改变，这个我记得应该是在考前密训课程里面，咱们那个讲一下，有一个类似的题啊，零九年数学二的选啊，这个选择还是填空题啊？应该是选择题吗？考了一个怪的歧视非歧视解的性质。 那接下来的这个数一的第四题啊，三乘积分，你看人家多好啊，都不需要你算，对吧？他不让你算，他让你把这个三乘积分啊， a b 选项是写成这个注坐标对吧？ c d 选项就是你把它写成啊，求坐标，都没让你把这个三乘积分算出来，你看多好啊。 好，接下来的这个说的第四题啊，这个是去年考过吗？是不是去年考过，今年又考了？就是这个啊，引力的大小啊，引力的大小，去年考的，好像是做工吧，是不是做工啊啊，今年的考了，只是考了一个引力啊，万有引力啊，实际上比去年这个题略微还要简单一点。 好，这是数学三的第四题，考了一个平均购入价格啊，考了个平均值啊，这个积分的平均值啊，这个最后结果是选 d 啊， 然后呢？这个数一的第三题啊，数三数二的第五题啊，这个呢？实际上从这个长相来看啊，这个经常给大家说嘛，从长相来看啊，这个大概率不会选 ab 的， 肯定不会选 ab 的 啊，是关于这个图形啊，你就画它的图形，考察这个啊，单调性，还有这个凹凸性，他的这么一个关系啊， 好，有这个可以有这个凹凸性，你就画图啊，可以去得到这个。这个实际上是什么？实际上就是这个割线的斜率嘛，对不对？你看割线的斜率是单则是单减嘛。 好，接下来这个选择题啊，这个选择题啊，这个就是关于这个方程组解的关系啊。好的，这个题目的条件是列向量由 b 的 列向量现性表示啊，这个两个 矩阵它的向量能够现性表示，你只要把它写成矩阵的形式嘛。好，那来判别这个非奇式向量方程组它是否有解 好，然后呢？反函数求导是吧？反函数求一阶导啊，求函数值啊，反函数求函数值，还只是让你求反函数的一阶导，还没让你求二阶导。这个是不是暑假集训讲过？是不是暑假集训的讲义上的？差不多啊，这个题目呢？差不多 好，接下来的新奇代数的啊，新奇代数的这个数学一的，它是考察这个二次啊，这个化二次行为标准型啊，化二次行为标准型，然后呢和二次曲面这个结合起来啊，你只要把它化次行为标准型，然后呢根据正负惯性指数， 然后呢和这个圆柱面啊，圆柱面是什么？代表的是这个，有这个化成标准型之后，他有一个特征值是零，对吧？啊？两个大于零，一个等于零，相当于就是正惯性指数为二，负惯性指数为零啊，然后那你可以用特征值 啊，可以用特征值通过证券信息变化啊。好，那么接下来的这个应该是咱们在应该是密押三套卷里面啊，应该是在密押三套卷里面，这个找过一个类似的 啊，就是在之前应该是二零一零年是吧？就是把这个二冲积分呢，写成了两个 c 个码。求和啊，之前呢是在二一年嘛？在二一年呢，也是数一数二的，是把定积分写成一个求和，我们这个是写成两个求和。 好，这个数一的第五题，数二的第八题啊，这个呢是就是所谓的创新，是吧，出现了一个所谓的 置换矩阵啊，所谓的置换矩阵其实它定义写的很清楚啊，就是单位进驻单位矩阵经过若干次互换两行若干次啊， 互换两行出道行变化，是吧？互换两行得到了矩阵啊，好呢，根据这样一个定定义呢，大家去这个考虑，下面这个相当于就是由它是否能变成下面中间的哪一个 好，然后呢，这个矩阵方程有几啊？ a b 等于 c 有 几，就是系数矩阵的值等于真管矩阵的值，根据两至相等，最后呢出等变换，把这个参数给它求出来。 好，然后这个题呢，略微可能略微的复杂点啊，主要是把这个移过来之后，你可以把它配成一个 a 减 b 的 平方等于零 啊， a 减 b 的 平方等于零，然后呢平方等于零，这个时候呢，可以考虑和这个字呢啊，结合起来就是这个应该是，好像是二四还是二三年考过啊，你 a 的 平方等于零，那你 a 的 字加 a 的 字小等于 n， 根据这个字 啊，这个根据平方等于零，根据这个字的来去推导啊，最后呢不正确的是谁啊？应该是这个 d 选项 啊。好，接下来呢就是算概率啊，这个很简单，独立了吗？是吧，独立同分布，把这个二维的概率密度写出来，然后呢用二重积分来去算这个概率 啊，这都是技术题啊，技术阶段你学完了就应该能做出来啊，这个应该是我们冲刺班讲过吧，还记得吧？冲刺班讲过啊，使得他的最小啊，使得他最小啊，然后呢，这个做法有很多啊。 好，这是这个第八题啊，你可以用高等数学的四题来做啊，但是它实际上是个结论啊。 好，第九啊，这个第九题啊，第九题呢，就是给了一个分布函数，然后呢，这个是分布函数，然后呢，你去算，根据这个七万方差啊，你去算这个 a 和 b 的 值。 好，接下来数三的第九题啊，数三第九题呢，这个就是根据啊。呃，这是正态分布啊，这个二项分布，然后呢独立，然后呢？要你算这个相关系数啊，你就按照相关系数的定义啊，把五个参数啊，把五个 这个有关的数的给它算出来啊，最后呢，带入这个相关系数公式就可以了啊，计算量可能略微有点大啊，这个题稍微算起来会多一点。 好，第十题的是关于的这个条件概率吗？对吧？这个条件概率转换成无条件概率啊，从这个长相来看，这个肯定不选 a b 吗？对不对？估计的。因为 a b 差不多， cd 差不多吗？大概率就有 cd 啊，所以呢，你把这个 这个左边算一算啊，把左边算一算，算一算之后呢，其实这个就是这个作为条件这个事件的概率啊，稍微的划一下减，但这里面呢，会用到这个极数的知识啊，因为它是个离散型，算概率。 好，接下来呢就是填空题啊，填空题呢，它这里面考了一个项链机，是吧？两个项链项链机，项链机算完之后呢，再算一个项度啊， 所以呢，这就是所谓的冷门啊，今年这个冷门考的不是很多了啊。今年冷门考的不多，就这个算是一个冷门好，然后呢，这个啊，这个 啊，这个以前的数学三的同学很少考，但今年是考到了这个反差积分的比较派表法是吧，你把这个零到众无穷分成零到一，一到众无穷啊呢？分别利用比较派表法 啊，也就是找背接函数的什么等价无穷小啊是吧，非零因子极限先求啊，用比尔判别法来做。这个应该比我们在冲刺班讲的那个题要简单很多啊。这个好像是暑期讲义上有一个暑期讲义啊，那个集训讲义上面应该是有一个选择题，和这个是差不多的 好。然后呢，这个计算，定积分的计算啊，定积分的计算，零一区间，你看这个地方是不是有个 x 减二分之一啊啊，所以呢，你应该要记住啊，应该是零 t 等于 x 减二分之一，做一个换元，然后呢，搞出个这个对称区间是吧？搞出个对称区间，然后利用记忆我背心字来算，这个会比较简单 啊。极限的计算是吧，这个无穷减无穷啊。然后呢，这个啊，数学三的这个历史二题啊，这个也是一个无穷减无穷啊，不知道他为什么要搞一个不一样的啊，其实做法差不多啊，这个呢，可能略微看起来复杂一点，但这题实际上就松分的啊。 好数一的参数求二阶导是吧，常规题吧，技术阶导是不是都做过啊？参数求导 啊。然后呢，取的半径啊，取的半径把取的算出来啊，这个算取的实际上是不就是这个？我记得是点题班讲过吗？是不是点题班讲过啊？引函数啊，引函数，求取律，求取律，然后有了取的之后求取的半径，实际上就是考引函数，求一阶导，求二阶导嘛。 二十四题啊，反差积分，这也没啥说的，分布积分，是不是分布积分法啊？然后呢，说的第十四题啊，这个应该是，我记得是咱们那个 密钥三套卷啊，在密钥他三套卷的好像是卷一吧，好像是卷一里面啊，他给这个条件就是对 x 的 偏导在零零是派对 y 的 偏导的。是等于三吗？ 然后呢？再考一个什么？是不是考一个符合函数是吧？这个记在一的导数就是符合函数求导这个密奥三套卷里面的差不多的一个题啊，就是数可能略微改了一下。好，这个第十四啊，微分方程的，求解啊，二阶长细数非奇是线线微分方程的求解啊，五分。 好数一的第十五题啊，线形代数的，这个就把特征值求出来嘛，把特征值求出来，然后呢，把最大的特征值算出来之后，他小于他，然后呢，把这个的范围的给他求出来。 好，第十五啊，第十五的平均值嘛，就是积分除以积分区间的长度嘛，这个好像是一三年，一四年当时的数三的， 初二的啊，初三的，初二的，初二的好像是一四年考的，初三好像是一三年考的，然后今年的就都考了啊，这个是初二的积分除以积分区间的长度啊，其实就是考定积分的计算。那么数学三的也有一个啊，数学三的也有一个。 好，这个概率的这个题啊，概率的这个题啊，这个就是薄松分布嘛，薄松分布啊，这个的独立啊，根据这个独立呢，大家去化解啊呢？最后去算这个期望啊，离散型的，离散型的算期望 好，这个先行代数的啊，这个先行代数的，这个这个是规范型，规范型告诉大家什么呢？就是特征值里面一个正两个零嘛，说明他的字啊，他的字是一，他的字是一，他的字也是一嘛，因为这两个句子的字是一样， 那他的字是一，说明任意两行对应成比例嘛，你不就可以把 a b 解出来嘛。好，然后呢？这个时期啊，这个时期， 这个十七题的，这就交换积分次序嘛，是吧？给你的直角坐标估计算不出来，这个呢，估计要变成一个极坐标啊，是吧？估计要变成个极坐标来算啊，这肯定是要交换积分次序啊，但他应该是直角坐标变极坐标 啊。然后呢？接下来第十七啊，这个十七，这个十七的是这个这一问啊，我记得吧，给你这么一个等式啊， 你要求 f 怎么求啊？是不是令他为 a 啊？令他为 a 啊，那把这个 a 解出来， a 解出来，这个 f 有 了啊，只说这个题呢，再加了一问啊，再加了一问，你求出 f 之后，你把 f 的 展开嘛，对吧？把它套公式给它展开就行了嘛。 啊？这个卷展开是考大题啊，这个比较大家比较头疼的是求和没考，他考的是展开，但是是两个题变成一个的啊。 好，接下来这个第十八啊，这个第十八，第十八的数一的这个第十八题呢？呃，其实就是这个 f 的 对 x 偏导是这么多吗？ f 对 外的偏导是这么多 啊，实际上这种题大家从技术阶段到强化阶段到充实阶段其实都做过啊，对 x 偏导等于它，对外的偏导等于它啊，然后呢，我们接下来呢，是不是就根据二阶混合偏导相等，然后呢，就可以算出这个第一问 啊？算出这个第一问之后，对任意 u 它都是个常数嘛，对吧？这个是常数，所以得把这个条件带进去嘛，把这个条件带进去啊，带进去之后你可以把这个 c 来解出来 啊，把 c 解出来之后，最后得到一个微分方程，因为一般只要是求函数表达式的题，基本上能确定它都是用这个微分方程来做啊。 好，接下来的这个数二数三的十八题啊，这个第十八题呢？这个应该是数学二的吧。数学二的二零年考过啊，数学二的二零年考过 啊，实际上这个地方就换元嘛，应该得到一个分段函数，对吧？啊，那求导数判判并判别这个导函数在零这点是否连续啊，暑期还记得吧，暑期集训营的奖励上一样的题啊。 好，接下来的这个集时啊，数一数二数三的都考了这个二元函数无条件集时啊，已经连续考了若干年啊，从二一年开始是吧？二零年嘛，还是从二零年开始？这几年几乎每年都有啊，无条件集时啊，这个基础阶段，强化阶段，冲刺阶段啊， 基本上呢，都是讲过这种啊，并且讲的还比这个难是吧，我们还讲过啊，通过这个别的知识来求函数表达式，这个呢，是直接给你表达式啊，然后呢，数一的这个十九啊，为什么说数一的这个也不难呢？因为去年啊，那个 曲面积分是吧？去年考的那个曲面积分啊，那个曲面积分这个比较难，得分率比较低啊，但今年这个考的是曲线积分，实际上我们在考前大家其实都已经知道今年要考曲线积分啊，只是不确定他到底是考斯托克斯还是考平面曲线啊。这个就补线吧， 对不对？补线，这是个椭圆嘛，椭圆的一部分啊，你就用补线法补线的时候，我们其实这个在我记得好像是点题班给大家讲过，你补线最好补直线，是不是你就补一个直线啊，用高用格林公式就可以了。 好，这个数学一的啊，比较长啊，证明题啊，数学一的同学考了一个证明题啊，数二数三的其实没有考啊。 啊，这个这个等于零啊，那 a 的是半个区间上的积分，然后你证明 a 大 于零啊，所以说你就把这个啊，可以考虑用积分区间在线，可以把它写成两倍的零到一上这个 f 加 f 负 x 的 积分啊， 通过这个单调性啊，通过 f x 严格单调递增啊，或者你再来看这个 a 啊，是大于零的啊，这个的一看就罗尔定律嘛， 对不对啊，这个肯定就是对导函数，用罗尔定律，找三个点的函数之相等，找三个点的函数之相等，然后呢？用三次是吧，是不是用三次罗尔定律啊，这个点很好找是吧？一啊，负一啊，零啊，应该是这么去找 好接下来的这个数二的第二是题啊，这个的就是旋转体的体积吗？但这个题可能有点计算量啊，因为你从这个结果来看不太友好，是吧？所以我们这里题型还是常规的题型，当然，这题呢，他有一个拐点，是吧？有一个拐点，你要把这个拐点求出来啊要把拐点求出来 啊，拐点求出来之后你就可以求出 x 零嘛。好，那这是第一项线嘛，是吧？呃，这个第一项线无界区域嘛？无界区域他应该就是个反差积分嘛，这个也讲过这题的第二问，这个应该是讲过第一问的常规题嘛，找拐点。 好，接下来数三的第二次题的。这个常规的啊，这就是一个极坐标嘛。啊，然后呢？这个，呃，这个不是极坐标，这个直角坐标吧。 啊？这个可以出微分嘛，是吧？这个外，先对外积分嘛？先对外积分啊，然后再对 x 积分， 这个应该也属于比较常规的啊，这个比较常规的一个二乘积分的计算。好，这是第二次啊， 然后呢？这个数学二的第二次一题考了一个二阶微分方程。这个二阶微分方程的啊，微分方程的，求解嘛， 画圆是吧？啊？零 p 零 y 的 导数。好，接下来的这个线形代数的啊，这个线形代数这个题实际上是不和去年那个大题差不多啊， 和去年那个大题差不多。这也是我们钻石卡学员在考前发的密押三啊，这个考前必做八套题里面好像是第五套吗？讲过一个 啊，这个基本差不多啊，然后呢？也都是十次方，是吧？我们这个题也是十次方。他这个第一问看起来是正面题，其实是计算题啊。就是你找极大信息无关注嘛，是不是找极大信息无关注，而把其余的项呢，用极大信息无关注来表示出来 啊？所以这题呢，咱们这个状式来讲呢，应该做的比较好啊，因为基本上就是原题了。好，然后呢，概率呢？这个比较难的就这个大题了啊，概率呢？大体稍微难度要大一点 啊，主要就是你要把这个画的要想清楚，他现在有 n 个原件吗？然后每个的都是这个指数分布啊，所以呢，我们就假设他们的寿命是 x 一 x x n， 有 n 个原件，有 n 个寿命，每个寿命服从这个均值啊，你没有发现他有点像二零二二年那个题啊？ 有点像二零二二年是吧？均值就是七万，等于这么多，那么参数呢啊，指数分布的参数就是那 c 塔分之一嘛，对不对？好，那么现在呢？说啊， k 等于一 啊， k 等于一是什么？就是我现在有 x x x n， 有 n 个原件，寿命是 x x x n， 而那 k 等于一呢？说失效的原件的寿命啊，就是有一个原件嘛， 他说试验直到出现 k 个原件失效，是停止， k 等于一是吧？ k 等于就是出现一个原件，出现一个原件，它失效这个时候的停止， 然后呢，这个寿命是 t 啊，失效原件的寿命你知道是哪一个失效吗？其实你不知道，但是我们知道他一定是什么，一定是这 x e x x n 中间最小的那个， 对不对？所以呢，他这个 t 呢，应该就是 x x x n 最小的那个，也就是迷你，是吧？就是迷你啊。 好，这是二四年吧，应该还记得吧。二四年考过啊，二四年在大题考过，我们在那个点题班吧，我记得点题班最后一个题啊，这个给大家看过啊，给大家看过，然后没有讲，因为和二四年那个题差不多，二四年的是什么？是均匀分布，再给他换成一个指数分布， 所以它就是 x x x n 中间最小啊，就是迷你也就是最值的分布嘛，然后呢，你就利用最值的分布是不可以把它的密度求出来，密度求出来之后，你看这个是一样 的，是吧？所以关键就是把这个 k 等于一 t， 这个 t 到底是什么意思，你要翻译清楚 啊， t 等于就是有一个原件失效，对不对？这个时候就停止， 然后呢，这个寿命是 t， 这个 t 是 什么呢？肯定是这 n 个中间这个时间最短，寿命最短的那个，对不对？因为你肯定是寿命最短的那个出现了 啊，原件的失效了吗？啊，所以这个 t 的 应该是 x 到 x n 中间最小的那个，然后呢，这个第二问呢，他把四项函数都给你了吗？对不对？四项函数给你了，你这个找最大四项，估计不就是取对数求倒，倒数等于零就行了吗？ 对吧？倒数等于零就可以了啊，所以到最后就可以把这个结果就可以算出来啊，这个有点新颖啊，以后可能有同学没法把这个文字性描述的条件翻译成数学式啊，所以这个题呢，估计得分率呢，要稍微的低一点。好，这就是关于咱们这个 啊，今年这个考试题呢，就给大家解析到这啊，总的来说，根据大家的反馈，考的都还是不错的，所以呢，不管怎么样，大家都要准备复试啊，因为估计绝大部分同学应该都是能过初试的啊。 绝大部分同学过初试应该问题不大，主要就是看你的复试就非常非常关键。好，那我要讲的内容就非常非常关键。好，那我要讲的内容就非常非常关键。好，那我要讲的内容就非常非常关键。好，那我要讲的内容就这么多啊。最后祝二六届的同学啊，一战成硕。

各位同学大家好，欢迎来参加咱们今天的专题解析课程，我是丁勇老师好，那今天的课程呢，我们主要分为三个部分，第一部分关于考研数学整体命题趋势的总结，第二，考研数学整体的权威的解析。第三关于的咱们二六届，二七届后面如何来进行复习，来给大家做一个介绍。 那么首先呢，总体的趋势，咱们今天考完了之后呢，很多同学在这个给老师说啊，今天的这个考试的难度的不如去年啊，今天这个难度的略微的要低一点，甚至有同学很自信的说，我今天有可能考了满分啊， 这个说明大家这个复习的还是不错，甚至呢，还有咱们这个呃，出的八套题里面有原题啊，那个先前大家说的大题是原题，那么总的来说，数一数三的特征呢？是差不多啊，就是注重基础，注重计算啊，所以呢， 大部分的题目呢，还是一些比较常规的，什么求极限了是吧，求导数啊，但是题目的计算量还是有点大啊，部分题目有点记，计算量有点 大，而重点还是比较突出的，因为今年的冷门相对来说还是少一点啊。当然呢，数学一的 比数二数三的略微的要难一点，因为咱们数学一的考了一个罗尔定律的证明题，而数二数三的同学其实是没有考啊，所以呢，数一的略微的比数二数三的难度要大一点啊。因为今年是咱们考研的四十周年， 为了让大家心情呢愉悦点，所以呢，他不像三十周年的时候他出的那么难啊，四十周年出的还是比较基础一点啊，所以呢，这就代表了咱们目前这个考研的一个趋势，主要就是出事的时候把一些重点的内容考察，那么你具备的一定的能力，那么最后呢，主要就是看复试，所以呢， 咱们通过今年的这考试来看的话，大家进入初试的还是比较简单，但是呢，你能不能过进入复试，这个就看大家后面的复试的准备情况怎么样。所以呢，不要掉以轻心啊，不要得意忘形。好，那么接下来呢， 这个具体的一些高频考点，大家可以的简单的看一眼，好吧，简单的看一眼， 那我就不给大家一个个的去列了，所以呢，我们考研试卷他的重点还是非常非常突出的，那么接下来大家比较关注的就是我们考完了之后想对答案啊，所以呢，我们接下来的给大家把这个答案呢一个个的对一下，当着我们说整个考试题呢， 他其实出的门的是比较少，但是有两个可能略微有点创新啊，第一个就是 有一个现行代数的选择题，考到了一个置换矩阵啊，这个实际上考试大纲是没有，但是呢，他在这个四题里面把这个置换矩阵的定义啊，给大家这个列了一下，这个就是比较新颖啊，但这个概念其实你读完题目给你的语言的描述应该还是能理解的，而那概率的大体 啊，概括的那个术语上的那个大体略微有点新颖，但如果你能够把这句话读清楚，这个题呢，其实可以转换成那个最值的分布啊，然后呢，那个估计那部分其实也不难，因为他已经给你把四项函数都写出来了。 好，那接下来我们就一个个来看啊，首先第一个就是考引函数求导啊，这个去年数二数三的考过，并且比这个难啊，因为数二数三的去年那个题是带有变现积分，而我们这个题实际上是没有啊，当然详细的解答过程，大家可以啊，去关注咱们这个公众账号啊 啊，回复的一张出数。最后呢，大家可以在里面的去领取咱们这个啊数一数三的这个完整的解析过程。好吧，好，这是第一个第二题， 数二的第一题呢，他是考察的是关于这个等价无穷小啊，实际上呢，这个大家只要把他的泰勒公式写出来啊，因为这个的等价无穷小，这个是很好找的啊，实际上你只要把他的泰勒公式写出来，那么整个等价无穷小应该不会特别难。 好，这是这个数二的第一题啊，数三的第一题的渐近线啊，就是给了一个极其简单的表达式，让大家去找有没有水平渐近线，有没有这个铅直渐近线。 那么数二的这个题呢，可能啊，数一的这个第二题可能略微有点灵活啊，因为它这里面出现负一的 n 次方，是吧，那么你在做的时候呢，你可以的考虑啊，可以考虑的，比如说你把这个 n 等于基数啊， n 等于偶数，你把它的收敛半径啊，你给它求出来，最后呢，找它的公共部分， 找公共部分，这个也可以啊，好，这是这个题。然后呢，接下来的数二的第二题啊，这个题目呢，实际上是零九年的考试题的改编啊，这个是零九年考试题的改编，这个我记得应该是在 考前密训课程里面，咱们给讲一下，有一个类似的题啊，零九年数学二的选啊，是填空题啊，应该是选择题吗？考了一个怪的歧视非歧视解的性质。 那接下来的这个数一的第四题啊，三乘积分，你看人家多好啊，都不需要你算对吧？他不让你算，他让你把这个三乘积分啊， a b 选项是写成这个注坐标对吧？ c d 选项就是你把它写成啊，求坐标，都没让你把这个三乘积分算出来，你看多好啊。 好，接下来的这个数的第四题啊，这个是去年考过吗？是不是去年考过，今年又考了？就是这个啊，引力的大小啊，引力的大小，去年考的好像是做工吧，是不是做工啊啊，今年的考了，只是考了一个引力啊，万有引力啊，实际上比去年这个题略微还要简单一点。 好，这是数学三的第四题，考了一个平均购入价格啊，考了个平均值啊，这个积分的平均值啊，这个最后结果是选 d 啊， 然后呢？这个数一的第三题啊，数三数二的第五题啊，这个呢，实际上从这个长相来看啊，这个经常给大家说嘛，从长相来看啊，这个大概率不会选 ab 的， 肯定不会选 ab 的 啊，是关于这个图形啊，你就画他的图形，考察这个啊，单调性，还有这个凹凸性，他的这么一个关系啊， 好，有这个可以有这个凹凸性，你就画图啊，可以去得到这个。这个实际上是什么？实际上就是这个割线的斜率嘛，对不对？你看割线的斜率是单则是单减嘛。 好，接下来这个选择题啊，这个选择题啊，这个就是怪这个方程组解的关系啊。好的，这个题目的条件是列向量由 b 的 列向量现形表示啊，这个两个 矩阵它的向量能够现形表示，你只要把它写成矩阵的形式嘛。好，那来判别这个非奇式现形方程组它是否有解 好，然后呢？反函数求导是吧？反函数求一阶导啊，求函数值啊，反函数求函数值，还只是让你求反函数的一阶导，还没让你求二阶导。这个是不是暑假集训讲过？是不是暑假集训的讲义上的？差不多啊，这个题目呢？差不多 好，接下来的新奇代数的啊，新奇代数的，这个数学一的，它是考察这个二次啊，这个化二次行为标准型啊，化二次行为标准型，然后呢和二次曲面这个结合起来啊，你只要把它化次行为标准型，然后呢根据正负惯性指数， 然后呢和这个圆柱面啊，圆柱面是什么？代表的是这个，有这个化成标准型之后，他有一个特征值是零，对吧？啊，两个大于零，一个等于零，相当于就是正惯性指数为二，负惯性指数为零啊，然后那你可以用特征值 啊，可以用特征值啊，通过正交信息变化啊。好，那么接下来的这个应该是咱们在应该是密押三套卷里面啊，应该是在密押三套卷里面，这个找过一个类似的 啊，就是在之前应该是二零一零年是吧，就是把这个二冲积分呢，写成了两个 c 个码。求和啊，之前呢是在二一年嘛？在二一年呢，也是数一数二的，是把定积分写成一个求和，我们这个是写成两个求和。 好，这个数一的第五题，数二的第八题啊，这个呢是就是所谓的创新，是吧，出现了一个所谓的 置换矩阵啊，所谓的置换矩阵其实他定义起来很清楚啊，就是单位进驻单位矩阵经过若干次互换两行，若干次啊， 互换两行出道行变化，是吧？互换两行得到了矩阵啊，好呢，根据这样一个定定义呢，大家去这个考虑下面这个啊，相当于就是由他是否能变成下面中间的哪一个 好，然后呢，这个矩阵方程有几啊？ a， b 等于 c 有 几？就是系数矩阵的值等于真管矩阵的值，根据两质相等最后的初等变换，把这个参数给它求出来。 好，然后这个题呢，六位，可能六位的复杂点啊，主要是把这个移过来之后，你可以把它配成一个 a 减 b 的 平方等于零 啊， a 减 b 的 平方等于零，然后呢平方等于零，这个时候呢可以考虑和这个字呢啊，结合起来就是这个应该是，好像是二四还是二三年考过啊？有 a 的 平方等于零，那你 a 的 字加 a 的 字小等于 n 啊，根据这个字 啊，这个根据平方等于零，根据这个字的来去推导啊，最后呢不正确的是谁啊？应该是这个 d 选项 啊。好，接下来呢就是算概率啊，这个很简单，独立了吗？是吧，独立同分布，把这个二维的概率密度写出来，然后呢用二重积分来去算这个概率 啊，这都是技术题啊，技术题的，你学完呢就应该能做出来啊，这个应该是我们冲刺班讲过吧，还记得吧？冲刺班讲过啊，使得他的最小啊，使得他最小啊，然后呢，这个做法有很多啊。 好，这是这个第八题啊，你可以用高等数学的四题来做啊，当然它实际上是个结论啊。 好，第九啊，这个第九题啊，第九题呢，就是给了一个分布函数，然后呢，这个是分布函数，然后呢，你去算，根据这个七万方差啊，你去算这个 a 和 b 的 值。 好，接下来数三的第九题啊，数三第九题呢，这个就是根据啊，呃，这是正态分布啊，这个二项分布，然后呢独立，然后呢？要你算这个相关系数啊，你就按照相关系数的定义啊，把五个参数啊，把五个 这个有关的数的给他算出来啊，最后呢，带入这个相关系数公式就可以了啊，计算量可能略微有点大啊，这个题稍微算起来会多一点。 好，第十题的是关于的这个条件概率嘛，对吧？这个条件概率转换成无条件概率啊，从这个长相来看，这个肯定不选 a b 嘛，对不对？估计的，因为 a b 差不多， c d 差不多嘛，大概率就有 c d 啊，所以呢，你把这个 这个左边算一算啊，把左边算一算，算一算之后呢，其实这个就是这个作为条件这个事件的概率啊，稍微的划一下减，但这里面呢，会用到这个极数的知识啊，因为它是个离散型，算概率。 好，接下来呢就是填空题啊，填空题呢，它这里面考了一个项链机，是吧？两个项链项链机，项链机算完之后呢，再算一个项度啊， 所以呢，这就是所谓的冷门啊，今年这个冷门考的不是很多了啊。今年冷门考的不多，就这个算是一个冷门好。然后呢，这个啊，这个 啊，这个以前的数学三的同学呢，很少考，但今年是考到了这个反差积分的比较判别法是吧，你把这个零到正无穷分成零到一，一到正无穷啊呢？分别利用比较判别法， 也就是找背接函数的什么等价无穷小啊，是吧，非零因子极限先求啊，用比尔判别法来做这个应该比我们在冲刺班讲的那个题要简单很多啊。这个好像是暑期讲义上有一个暑期讲义啊，那个极刑讲义上面应该是有一个选择题，和这个是差不多的 好。然后呢，这个计算，定积分的计算啊，定积分的计算，零一区间，你看这个地方是不是有个 x 减二分之一啊啊，所以呢，你应该要记住啊，应该是零 t 等于 x 减二分之一，做一个换元，然后呢，搞出个这个对称区间是吧？搞出个对称区间，然后利用记忆我背心字来算，这个会比较简单 啊。极限的计算是吧，这个无穷减无穷啊。然后呢，这个啊，数学三的这个历史二题啊，这个也是一个无穷减无穷啊，不知道他为什么要搞一个不一样的啊，其实做法差不多啊，这个呢，可能略微看起来复杂一点，但这题实际上就松分的啊。 好数一的参数方程求二解导是不是都做过啊？参数方程求导 啊。然后呢，取的半径啊，取的半径把取的算出来啊，这个算取的实际上是不就是这个，我记得是点题班讲过吗？是不是点题班讲过啊？引函数啊，引函数，求取律，求取律，然后有了取的之后求取的半径，实际上就是考引函数，求一阶导，求二阶导嘛。 二十四题啊，反差积分，这也没啥说的，分不积分是不是分不积分法啊？然后呢？说的第十四题啊，这个应该是，我记得是咱们那个 密钥三套卷啊，在密钥他三套卷的好像是卷一吧，好像是卷一里面啊，他给这个条件就是对 x 的 偏导在零零是派对 y 的 偏导呢，是等于三吗？ 好呢，再考一个。什么？是不是考一个符合函数是吧？这个记载一的导数就是符合函数求导。这个密押三套卷里面的差不多的一个题啊，就是数可能略微改了一下。好，这个第十四啊，微分方程的求解啊，二阶长细数非其次线线微分方程的求解啊，五分。 好，数一的第十五题啊，现现在数的这个就把特征值求出来嘛，把特征值求出来，然后呢？把最大的特征值算出来之后，他小于他，然后呢把这个的范围呢给他求出来。 好，第十五啊，第十五的平均值嘛。啊，就是积分除以积分区间的长度嘛，这个好像是一三年，一四年，当时的数三的， 初二的啊，初三的，初二的，初二的好像是一四年考的，初三好像是一三年考的，然后今年的就都考了啊，这个是初二的积分除以积分区间的长度啊，其实就是考定积分的计算。那么数学三的也有一个啊，数学三的也有一个。 好，这个概率的这个题啊，概率的这个题啊，这个就是博松分布嘛，博松分布啊，这个的独立啊，根据这个独立呢，大家去化解，然后呢，最后去算这个期望啊，离散型的，离散型的算期望 好，这个先行代数的啊，这个先行代数的，这个这个是规范型，规范型告诉他叫什么呢？就是特征值里面一个正两个零吧，说明他的字啊，他的字是一，他的字是一，他的字也是一嘛，因为这两个矩阵的字是一样， 那它的知识一说明，任意两行对应成比例嘛，你不就可以把 a b 解出来嘛。好，然后呢？这个十七啊，这个十七，这个十七题的，这就交换积分次序嘛，是吧？给你的直角坐标估计算不出来，这个呢，估计要变成一个极坐标嘛，是吧？估计要变成个极坐标来算 啊，这肯定是要交换积分次序啊，但他应该是只要坐标变极坐标啊。然后呢？接下来第十七啊，这个十七，这个十七的是 这个这一问啊，我记得是给那个钻石卡选基础圈呢，就讲过啊，还记得吧，给你这么一个等式啊，你要求 f 怎么求啊？是不是令他为 a 啊？令他为 a 啊，那把这个 a 解出来， a 解出来，这个 f 有 了啊，只说这个题呢，再加了一问 啊，再加了一位，你求出 f 之后，你把 f 的 展开嘛，对吧？把它套公式给它展开就行了嘛。啊，这个卷展开是考大题啊，这个比较大家比较头疼的是求和，是不是他求和没考，他考的是展开，但是是两个题变成一个的啊？ 好，就像这个第十八啊，这个第十八，第十八的数一的这个第十八题呢？呃，其实就是这个 f 的 对 x 的 偏导是这么多吗？ f 对 y 的 偏导是这么多 啊，所以说这种题大家从技术阶段到强化阶段到充实阶段其实都做过啊，对 s 偏导等于它，对外的偏导等于它啊，然后呢，我们接下来呢，是不是就根据二阶混合偏导相等，然后呢就可以算出这个第一问 啊？算出这个第一问之后啊，对，任意 u 它都是个常数嘛，对吧？这个常数，所以得把这个条件带进去嘛，把这个条件带进去啊，带进去之后，你可以把这个 c 的 解出来啊， 把 c 解出来之后，最后呢得到一个微分方程啊，因为一般只要是求函数表达式的题啊，基本上能确定它都是用这个微分方程来做啊。 好，接下来的这个数二数三的十八题啊，这个的十八题呢？这个应该是数学二的吧，数学二的二零年考过啊，数学二的二零年考过 啊，实际上这个地方就换元嘛，应该得到一个分段函数，对吧啊，求导数判判并判别这个导函数在零 z 点是否连续啊，暑期还记得吧，暑期急需人的讲义上一样的题啊。 好，接下来的这个积值啊，数一数数三的都考了，这个二元函数无条件积值啊，已经连续考了若干年啊，从二一年开始是吧？ 二零年嘛，还是从二零年开始？这几年几乎每年都有啊，无条件及时啊，这个基础阶段，强化阶段，冲刺阶段啊， 基本上的都是讲过这种啊，并且讲的还比这个难是吧，我们还讲过啊，通过这个别的知识来求函数表达式，这个呢，是直接给你表达式啊，而呢数一的这个十九啊，为什么说数一的这个也不难呢？因为去年啊，那个 曲面积分是吧？去年考的那个曲面积分啊，那个曲面积分这个比较难得，分率比较低啊，但今年这个考的是曲线积分，实际上我们在考前大家其实都已经知道今年要考曲线积分啊，只是不确定他到底是考斯托克斯还是考平面曲线啊。这个就补线吧， 对不对？补线，这是个椭圆嘛，椭圆的一部分啊，你就用补线法补线的时候，我们其实这个在我记得好像是点题班给大家讲过啊，你补线最好补直线，是不是你就补一个直线啊，用高用格林公式就可以了。 好，这个数学一的比较长啊，证明题啊，数学一的同学考了一个证明题啊，数二数三的其实没有考啊 啊，这个这个等于零啊，好的， a 的是半个区间上的积分，然后你证明 a 大 于零啊，所以说你就把这个啊，可以考虑用积分区间在线，可以把它写成两倍的零到一上这个 f 加 f 负 x 的 积分啊， 通过这个单调性啊，通过 f x 严格单调递增。然后呢，你再来看这个 a 啊，是大于零的啊，这个的一看就罗尔定律嘛，对不对啊，这个肯定就是对导函数，用罗尔定律，找三个点的函数之相等，找三个点的函数之相等，然后呢，用三次是吧，是不是用三次罗尔定律 啊，这个点很好找是吧？一啊，负一啊，零啊，应该是这么去找好 接下来的这个数二的第二次题啊，这个呢，就是旋转体的体积吗？但这个题可能有点计算量啊，因为你从这个结果来看不太友好，是吧？所以我们说你题型那是常规的题型，当然这题呢，他有一个拐点，是吧？有一个拐点，你要把这个拐点求出来啊，要把拐点求出来 啊，拐点求出来之后，你就可以求出 x 零嘛。好，那这是第一项线嘛，是吧？呃，这个第一项线无界区嘛，无界区他应该就是个反差积分嘛，这个也讲过这题的第二问，这个应该是讲过第一问的常规题嘛，找拐点。 好，接下来数三的第二次题的这个常规的啊，这就是一个极坐标嘛，是不是应该是一个直角坐标嘛？ 啊，这个可以出微分嘛，是吧？这个外，先对外积分嘛，先对外积分啊，然后再对 s 积分， 这个应该也属于比较常规的啊，这个比较常规的一个二乘积分的计算。好，这是第二次啊， 然后呢，这个数学二的第二次一题，考了一个二阶微分方程啊，这个二阶微分方程的，求解嘛？ 画圆是吧？啊？零 p 零 y 的 导数。好，接下来的这个线形代数的啊，这个线形代数这个题实际上是不和去年那个大题差不多啊， 和去年那个大题差不多，这也是我们钻石卡学员在考前发的第二三啊，这个考前必做八套题里面好像是第五套吗？讲过一个 啊，这个基本差不多啊，然后呢？也都是十次方，是吧？我们这个题也是十次方，他这个第一问看起来是正面题，其实是计算题啊，就是你找极大的信息无关注嘛，是不是找极大的信息无关注，而把其余的下面用极大的信息无关注来表示出来 啊？所以这题呢，咱们这个状元选的应该做的比较好啊，因为基本上就是原题了。好，然后呢，概率呢？这个比较难的就这个大题了啊，概率呢？大体稍微难度要大一点 啊，主要就是你要把这个画的要想清楚，他现在有 n 个原件嘛，然后每个的都是这个指数分布啊，所以呢，我们就假设他们的寿命是 x e x x n， 有 n 个原件，有 n 个寿命，每个寿命服从这个均值啊，你没有发现他有点像二零二二年那个题啊？ 有点像二零二二年是吧？均值就是七万，等于这么多，那么参数呢啊，指数分布的参数就是那 c 乘分之一嘛，对不对？好，那么现在的说 k 等于一， k 等于一是什么？就是我现在有 x x x n， 有 n 个原件，寿命是 x x x n， 而那 k 等于一呢？说失效的原件的寿命啊，就是有一个原件嘛， 他说试验直到出现 k 个原件失效时停止， k 等于一是吧？ k 等于，就是出现一个原件，出现一个原件，它失效这个时候的停止， 然后呢，这个寿命是 t 啊，失效原件的寿命你知道是哪一个失效吗？其实你不知道，但是我们知道他一定是什么，一定是这 x e x x n 中间最小的那个， 对不对？所以呢，他这个 t 呢，应该就是 x x n 最小的那个，也就是 mini， 是 吧？就是 mini 啊。 好，这是二四年吧，应该还记得吧。二四年考过啊，二四年在大题考过，我们在那个点题班吧，我记得点题班最后一个题啊，这个给大家看过啊，给大家看过，然后没有讲，因为和二四年那个题差不多，二四年的是什么？是均匀分布，再给他换成一个指数分布， 所以呢，它就是 x x x n 中间最小啊，就是迷你也就是最值的分布嘛，然后呢，你就利用最值的分布是不可以把它的密度求出来，密度求出来之后，你看这个是不一样 的，是吧，所以关键就是把这个 k 等于 t， 这个 t 到底是什么意思，你要翻译清楚 啊， t 等于就是有一个原件失效，对不对？这个时候就停止 啊，然后呢，这个寿命是 t， 这个 t 是 什么呢？肯定是这 n 个中间这个时间最短，寿命最短的那个，对不对？因为你肯定是寿命最短的那个出现了 啊，原件的失效了吗？啊，所以这个 t 的 应该是 x 到 x n 中间最小的那一个，然后呢，这个第二个呢？他把四项函数都给你了吗？对不对？四项函数给你了，你这个找对数，求倒倒数等于零就行了吗？ 对吧？导数等于零就可以了啊，所以呢，最后就可以把这个结果就可以算出来啊，这个有点新颖啊，以后可能有同学没法把这个文字性描述的条件翻译成数学式啊，所以这个题呢，估计得分率呢，要稍微的低一点。好，这就是关于咱们这个 啊，今年这个考试题呢，就给大家解析到这啊，总的来说，根据大家的反馈，考的都还是不错的，所以呢，不管怎么样，大家都要准备复试啊，因为估计绝大部分同学应该都是能过初试的啊， 绝大部分同学过初试应该问题不大，主要就是看你的复试就非常非常关键。好，那我要讲的内容就非常非常关键。好，那我要讲的内容就非常非常关键。好，那我要讲的内容就这么多啊，最后祝阿六届的同学啊，一战成硕。

我们再来看七十八题啊，这也是回忆版的一道题目。甲打球时将脚崴伤，同学已打车送甲到医院治疗，已支付了打车费。 到达医院以后呀，以排队自己的零花钱来替假缴纳医疗费啊，那这个同学的感情还挺深厚的，是吧，主动帮忙的说，那缴费单被他人铡落再定以俯身减值缴费单时勿将另一病人沉没的缴费单捡起。也没有注意到 只该缴费呢，交到了医疗费。对此呀，下来表示错误的。是啊，这个案件的设计到后面缴费那个环节有点复杂啊。前面比较简单啊，甲打球是晚上缴了， 同学也能把他送到医院里面去。那你告诉啊，乙把甲送到医院里面，这个整个的流程，咱们在生活里要帮忙，在法律上叫什么？ 在法律上应当是怎么样？应当是已对家构成了无因管理，是不是啊？这是个无因管理现象是吧？同学之间在法律上没有互相救助的义务啊，所以没有任何义务去帮助别人管理他人事物，这本身构成了无因管理。 医院这个事情怎么认定？乙排队要替甲交医疗费，不是乙还继续在搞无因管理吗？是吧？结果他最终替谁交了呀？等于是替陈某交了医疗费。那你告诉我啊，乙本身对甲来是是无因管理啊，现在却冒出个陈某，你怎么认定呀？ 乙误将陈某的缴费单当成是甲的交费单了，乙这个行为怎么认定？ 这在民法上叫什么呀？叫做对于被管理人认识错误吧。你还知道这个，这个表出吗？一想起来，这个表出吗？啊， 对于被管理人认识错误是吧？他等于是误将沉没的缴费单当成是假的缴费单给他缴费了。那你告诉我啊，对于被管理人认识错误，结果是对谁构成无形管理？ 是对那个兽女人沉默构成无因管理，还是对假构成无因管理？就后面缴费这个事情啊，缴费这个事情应当是对沉默构成无因管理，所以这个地方需要大家注意啊，因为咱们说了，对于被管理人认识错误，最终对谁构成无因管，要看那个真正的兽女人是谁。 就缴缴费来说，陈某是真的受益人啊，因为这个地方他就等于是替陈某缴费，但他没有意识到这个问题。可是我们说这个也不妨碍你的行为构成无因管理，但他是对陈某构成无因管理啊。 前面已带假到医院去，然后呢？这个替大家假支付了打折费，这个都是对假构成无形管理啊。后面缴医疗费这个行为要是对陈某构成无形管理啊，因为缴医疗费他只跟陈某有关系，但已把他弄错了，他误以为说假的缴费单啊。所以这个地方呢，要对陈某构成无形管理。 我们看说法错误的啊， a， 已为陈某交了医疗费的行为成立无因管理。 a， 这个说法是正确的是吧？希望大家一定要特别注意，这个考点叫做对被管理人是错误， 不妨碍对真实的受益人构成无因管理。那么真实的受益人是陈某啊，他的医疗费呢？被已经给交了啊，但是呢，这个交医疗费本身目前没有替甲交，这个对甲谈不上无因管理，这属于已认识错误了啊，但前面那个啊，就是无因管理现象啊。 b 已为陈某交大医药费群成立表见代理啊，注意，不是个表见的这个无因管理，这个定性错误啊。表见代理的前提那是无无权代理是吧？你回忆回忆表见的有哪些构成条件？ 一要是无权代理，二呢，要有这个所谓的第三人或者相对人善意。第三个要有外表授权或者表见试用， 一替陈某来缴纳物。缴纳医疗费的时候，你想一想，他是个无权代理现象吗？什么叫代理啊？ 代理是代理人以被代理人名义跟第三人实施法律行为是吧？假如是无权代理的话，他怎么运作的呀？ 已跟医院说啊，我叫已，陈某派过来交医疗费的，就陈某没派他去，那样才能成立无无无权代理，进一步才有可能引发表现代理。已在百安中自己直接拿着缴费单去交费了呀， 他没有说是以陈某的名义来交呀，他根本就没有注意到嘛，是吧，他不知道这个单子是陈某的单子嘛，是吧，他属于对被管理人是错误，所以根本就不是代理，也当然也不是无权代理，也就进一步不可能是表现代理。所以这个地方需要大家特别注意啊，信 以是假缴纳医疗费的代理人啊，这个也不正确啊，以对假本身是无因管理，但最终对假没有成立无因管理啊，又缴纳医疗费 啊，对假没有成立无因管理，因为呢，他最终剃剃柴磨脚了。前面啊，送假到医院找那个打车费，那是无因管理，但是后面那个环节发生变化了啊，那么他对被管人是错误了啊。第，如果假金治疗留下了后遗症，已无权请求假支付及打车复印。我们说了 以替假支付打车费用，这个本身是无因管理，没问题，是吧？但是咱们说既然是无因管理了，那后来以找假要医疗费，要这个打车费可不可以啊？当然可以啊，地处无权，这个说法不正确啊，不正确。假精治疗留下后遗症跟你有关系吗？ 没有关系啊，咱们说以带甲去医院治疗，本身就构成无因管理。无因管理我要在这问你啊，他重在评价的是管理行为本身，还是重在评价管理后果呀？ 他重在评价管理行为本身是吧？后果本身不是必要的啊，不是说一一定要把甲送到医院里面去，这个这个行为本身就成立无因管理， 所以这个需要大家特别注意啊，这个不能弄错了啊。所以这个地方呢，说以无权召驾要医疗，这打车费，这个不正确啊。但医疗费已跟谁要啊？医疗费是已替陈某交了，现在已跟陈某去要啊。所以这个题目出的还是非常好的啊，前面是无因管理，后面冒出个陈某来了啊。

一杯茶，一包烟，一道积分算一天。今天来做一下二十六年考研数学二真题，答案会在明天更新，欢迎大家在评论区讨论。

二零二六的这道考研数学的现代选填题，出的是不是很基础，但是又不失水准？来一起看一下。由单位矩阵经过有限次交换两行得到的矩阵叫做置换矩阵。 假设 a 就是 个置换阵， a 选项问我们 a 的 伴随还是置换阵吗？ b 选项问 a 的 逆还是置换阵吗？ c 和 d 选项问我们的是 a 的 逆和 a 的 伴随是相等还是相差一个负号的关系呢？这种题目我们就有两种做法了， 第一种你的理论比较扎实，我们强势的去推正确的选项，那第二种你推不出来，我们只能去反例排除掉错误的选项。好，分别来看一下。先看直接法，那我们知道啊，一个 n 接单位阵，交换两行，比如说我交换了 i 接行， 我们就会得到一个出等证了，而这个出等证他有一系列的性质，其中这个出等证的转制是不是还是出等证呀？而出等证的逆呢？还是出等证？出等证的行列式呢？是不是就等一个负一出等证的伴随？ 伴随是不是就等于行列式乘以它的逆矩阵行列式是负一哦，逆矩阵是 e、 i、 j， 哦，那是不就是负的 e、 i、 j？ 如果能很清楚地写出来这四个结论的话，那么我们就可以强势地推倒了。 a 是 不是由我们的单位阵经过有限次交换两行得到的矩阵呀？比如说它先交换了一下 m 行和 n 行，那我就用 e、 m、 n 来表示，然后呢，再交换 交换，比如说 d i 行和 d j 行，再交换交换。比如最后一次我们交换的是 s 行和 t 行。哎，此时我们得到的矩阵是不就叫置换矩阵呀？我们假定这里一共进行了 k 次 有限次，我们写成了 k 次交换两行，那我们 a 矩阵表示出来了。接下来我们看一下 a、 b， c、 d 选项里，是不是想让我把 a 的 伴随和 a 的 逆表示出来。 来，我先写一下 a 的 伴随着， a 的 伴随着是不是就上面的 e s t 点点点 e i j e m n 这个单位决证，我是不是可以省略不写是不是它的伴随着？ 那我们知道啊， a 乘 b 两个矩阵相乘的伴随，是不是等于右边的伴随，再乘左边的伴随呀？所以说呢，这里就是从最右侧的它先写伴随，然后再乘一个 e i j 的 伴随，乘乘乘乘到 e s t 的 伴随。好，根据我们上面的这条性质， 交换两行得到出等证的伴随，是不是就是负的原来的出等证呀？所以说，这里就可以写成负的 e m n， 然后负的 e i j， 负的 e s t 多少个符号？是不是有 k 次，有 k 个符号呀？那这里就是负一的 k 次方， 是不是剩下的刚好是 e m n， 再乘一个 e i j， 再一直乘乘乘到 e s t。 那 你现在看一下我们此时 a 的 伴随矩阵，它是一个置换矩阵吗？这里是不是都是交换两行得到的矩阵呀？ 但是呢，前面却有一个负一的 k 次方，如果这里的 k 是 个基数的话，是不是会有一个负号呀？那它就不是置换矩阵了哟。所以说 a 是 不对的。 那我们再看一下 a 的 逆矩阵，而 a 的 逆矩阵呢？它是 e s t 点点点 e i j 乘以个 emn， 它的逆矩阵 是不是根据我们 a 乘 b 的 逆，等一个 b 的 逆乘以 a 的 逆，从而我们就可以把它写成了 emn 的 逆乘一个 e i j 的 逆， 再乘乘乘一直乘到 e s t 的 逆。根据我们出等矩阵逆的性质，是不是它的逆式本身呀？逆式本身的话，这里就是 emn 乘以 e i j 乘乘乘到 e s t 五，你看到了吗？这里的每一项是不是都是交换两行得到的等值？这是不是就交换了 k 次得到的等值？这不一定就是一个置换矩阵吗？所以说我们的答案选 b， 这就是用强势思维，我们直接把 b 选项推导出来了。 那你可以再顺便想一下， a 的 逆和 a 的 伴随会相等吗？喏，这不是 a 的 逆吗？上面是不是 a 的 伴随？是不是它们相差一个符号？是不是？ 是不是 k？ 如果是一个偶数的话，那它俩就会相等，如果 k 为奇数的话，是不是它俩就相差一个负号呀？所以说 c 和 d 都不一定是正确的，那我们的答案就是选 b 了。哎，这就是我们比较强势的思想，直接找到了 b 选项，而且还顺便知道了 a 和 c、 d 是 不正确的。 那如果说你的理论没有那么全面，也不能在考场上这么严谨的推出来。那接下来我们讲一下怎么去举例，然后进行排除。我们排除法呢，就是要举出来这样的例子对不对？那我拿 n 等于三为例， 这时候呢，我先找一个 a 矩阵， a 矩阵是我们的单位阵，经过有限次交换两行得到的置换阵，那我就把有限次先取成个一次，比如说呢，我就交换一二行，哎， 这里不就可以得到一个置换矩阵了吗？那我们可以把置换矩阵具体的给写出来，写出来呢就是一零零零，一零零一。 那么我们举出来了这样一个置换矩阵以后呢，开始逐一看 a、 b、 c、 d 哪些选项能够被排除。看一下 a 选项，让我们写出 a 的 伴随，如果 a 的 伴随，你能够很快速地知道，刚好就是行列式乘以负一 e 是 不是它本身，那你就快速地把伴随阵写出来， 如果你不行的话，你就按照伴随证的定义，在考场上把伴随证慢慢写出来，你会发现哦，伴随证长这个似的，它是我们的置换证吗？是不是它不是置换证了？所以说我们就可以把 a 选项给排除掉了，你再看一下 b 选项， b 选项 a 的 逆是不是就是 a 本身呀？ 哦，那它还是个置换证哟，那我们的 b 是 排除不了的。再看一下 c 选项， c 选项的话，我们上面是不是已经算出来了， a 的 逆就是 a， 而 a 的 伴随呢，就是负 a， 是 不是他俩是不相等的关系啊？从而我们就可以把 c 选项给排除掉了。那上面这个例子呢，只能帮我们把 a 和 c 排除掉，那 b 和 d 是 排除不了的，那这时候你得换一个置换矩阵了， 比如说我的 n 还是一个三啊？就这个指的是三阶的三，那我们的 a。 此时我可以举一个这样的例子，比如说我经过两次交换，两行得到的出等站， 两次的话，我分别都是一、一、二，哎，这时候我得到了一个置换阵，那这个置换阵我是不是可以把它写出来？如果你的基础比较好的话，是不是直接看出来了此时 a 就是 单位阵， a 如果是单位阵的话，那这时候我们再看一下这个例子，能把我们的 b 选项和 d 选项给排除吗？ b 选项里此时 a 的 逆是不是还是个置换矩阵？ b 是 排除不了的？那这时候我们看一下 d 选项 d 选项，我们 a 的 逆是单位阵， 而我们 a 的 伴随呢？是不是单位阵的伴随阵是不是还是一个单位阵？那这时候不就可以看出来，此时伴随阵是等于 a 的 逆矩阵的，那我们的 d 是 不是就排除掉了？ 那我们通过两个例子把 a、 c、 d 给排除掉了。所以说本题的答案选 b 这道题整体上难度还是比较低的，它其实就考察了一个基本概念和基本性质。

这个视频我来讲讲怎么求反函数。前面讲过，对于 y 等于 a 的 x 次方，如果用 y 表示 x， 那 x 就 等于 log a y。 接着美观一下，把自变量换成 x， 因变量换成 y， 就 得到 y 等于 a 的 x 次方的反函数了。 通过这个例子，咱可以总结一下求反函数的方法。第一步，先把原函数反减 x， 用 y 表示 x。 第二步，美观一下，把自变量换成 x， 因变量换成 y。 总结完毕，来试个题吧。比如 y 等于 log 二， x 加二再减二，它的反函数是啥呢？ 用刚才的方法，第一步，先反减 x， 漏个二， x 加二就等于 y 加二，那 x 加二就等于二的 y 加二次方，所以 x 等于二的 y 加二次方，再减二。接着第二步，美观一下，把自变量换成 x， 因变量换成 y， 这样就求出反函数了。 刚才都是两步搞定反函数，有时候还得考虑定域的问题，比如我给元函数加个定域， x 大 于等于零，小于等于二，那反函数是啥呢？这回元函数有定域，那它的反函数也得写出定域，它的定域其实就是元函数的值域。 来看看元函数弦求真数的范围， x 大 于等于零，小于等于二，所以真数 x 加二就大于等于二，小于等于四。 对于 log 二， x 加二，底数大于一，那在二到四上是单调递增的，所以在二处取到最小值 log 二，二等于一，在四处取到最大值 log 二四等于二， 所以 log 二， x 加二大于等于一，小于等于二。再看函数 log， 后头还得减去二，那 log 的 范围也得减去二，所以值域就是负一到零， 对应到反函数中，就是定义域为负一到零，这样就搞定了。像这样，如果原函数有定义域，那求反函数就得变成三步，前两步是不变的。第三步还得把原函数的值域求出来，作为反函数的定义。 用这种方法，咱还能求出分段函数的反函数，比如在原来的基础上增加，当 x 大 于等于负二小于零时， f x 等于 x 方，你能求出它的反函数吗？ 函数是分段的，那反函数也分段求就行。 x 大 于等于零小于等于二时，它的反函数刚才算过了，是二的， x 加二次方再减二，并且定义域为负一到零， 还得算算 x 方的反函数。第一步，先反解 x， 那 x 就 等于正负根号 f x。 注意， x 大 于等于负二小于零是负的，那 x 显然等于负根号 f x。 接着第二步，把自变量写成 x， 因变量写成 y， 最后要写上定义域，也就是求原函数的值域。 x 方显然在负二到零上是单调递减的，所以最大值是负二的平方等于四，最小值接近零的平方，也就是零。 所以 x 方大于零，小于等于四，那反函数的定义域就是大于零，小于等于四，把求得的这段反函数和刚才的写到一起，这样就搞定了。 好了，以上就是反函数的求法，用三步就能搞定。第一步，反写 x， 用 y 表示 x。 第二步，美观一下，把字变量写成 x， 因变量写成 y。 第三步，写上反函数的定义，也就是原函数的值域。怎么样，学会了吗？如果会了，就速度去刷题吧！

二零二六考研真题大盘点，一起来看看我们曾经预测的题。

我不明白一道小小的向量差乘与常论三度的题目有什么难的？给你们五秒钟的时间思考思考一下这道题。 好了，时间到了，黄埔课堂开课。这道题先算两个向量的差乘，得到向量 x、 f， 再算 f 的 三度。第一步计算向量一和向量二的差。向量一分量是零 x z， 向量二是 y 零。一代入差乘方法计算，第一个分量是 x 乘一减 z 乘零，得 x。 第二个分量是 z 乘 y 减零乘一，得 y 乘 z。 第三个分量是零乘零减 x 乘 y， 得负的 x 乘 y， 由此得到向量场 f。 第二步，算散度。按定义对 f 的 三个分量，分别求对应偏导，再相加对 x 求 x 的 偏导得一对 y 乘 z 求 y 的 偏导得 z 对 负的 x 乘 y 求 z 的 偏导，得零，三者相加，最终散度结果是一加上 z。 不 管你们怎么做，三个小时做二十多道题，优势在我。

老师，反函数学不会，快去写如何成像。退一下，用我的直接相等秒看题。让求的是反函数直接相等跟谁相等？他让求六，所以跟六相等。直接根号下 x 减去二就等于 六，同时平方 x 减二就等于三十六， x 就是 三十八秒了。第二题看到图像关于 y 的 x 对 称，这也是反函数，所以直接连立就是 log， 以二位的 x 这个数等于四， x 怎么求 二的？四次方就等于 x， 所以 x 有 十六秒了。来上道真题，当我们看到负一次方也是反函数直接连立，所以 x 平方减一就等于三， x 平方等于四， x 等于正负二。注意定域，所以只能取二秒了。单招小诸葛上岸就看我。

这个视频我来讲讲反函数存在性的判断。说成人话，就是判断一个函数有没有反函数。比如告诉你函数 f x 的 图像是这样的，那它有没有反函数呢？来吧，观察一下。这个图像左右对称，所以一个 y 值对应了两个 x 值， 这有啥问题呢？ f x 中一个 y 对 应两个 x 是 没啥问题的。不过上回说反函数中 x 和 y 会交换一下，所以一个 y 就 变成了一个 x， 两个 x 就 变成了两个 y， 也就是一个 x 就 会对应两个 y。 以前讲过，函数必须满足一个 x 对 应一个 y 才行，所以这样的就压根不是函数了，这说明 f x 没有反函数。 通过这个例子不难看出，要判断一个函数有没有反函数，可以看原函数的一个 y 对 应几个 x， 如果对应一个以上，肯定没戏。反过来，如果只对应一个，那反函数就是一个 x， 对 应一个 y 没有问题，所以反函数存在。 知道了这一点，咱接着来试试。比如这个函数图像它有没有反函数呢？跟刚才一样，得看它是不是一个 y 对 应了一个 x。 不过这要咋看呢？方法很简单，画几条横线就搞定，看到没？和图像都只有一个焦点，这说明一个 y 只对应一个 x， 所以 这个函数有反函数。 那这个函数呢？方法一样，还是画画横线。你看和图像有两个焦点，这就说明这个 y 只对应了这两个 x， 所以 这个函数没有反函数。 像这样，你只要画完横线，如果和图像都只有一个交点，那反函数就是存在的。但如果和图像有一个以上的交点，那就没戏。 刚才的题目都是直接给你函数图像让你判断。有时候题目给的是函数，比如 y 等于 x 方，你会判断它有没有反函数吗？ 没有图像，那咱们可以自己画一个，大致是这样的，接着就可以画画横线，看看焦点，你看有两个焦点，所以没有反函数。如果我给刚才这个函数加个范围， x 大 于等于一，那它有没有反函数呢？ 还是画出图像来？这回只要取大于等于一的这一段就行，画画横线都只有一个焦点，所以这个函数就是有反函数的。像这样，如果题目中给你的是函数解析式，你只要把它画成图像，然后用前面的方法判断就行。 刚才的例子都是通过一个 y 对 应一个 x 来判断有反函数。反过来，如果告诉你一个函数有反函数，那这个函数就应该是一个 y 对 应一个 x 的。 比如函数 y 等于 x 方减 a， x 加一， x 大 于等于一，小于等于三。如果它有反函数，那 a 的 取值范围是啥呢？ 看到函数在一到三上有反函数，那就说明它在一到三上时，一个 y 只对应一个 x， 这要怎么做到呢？不妨来看看它的图像。这是个开口向上的二次函数，图像对称轴是负二 a 分 之 b， 也就是二分之 a， 咱们要看的是一到三之间的图像，这时咱得冷静分析一下，如果对称轴在一到三之间，那一到三之间的图像就会有减有增，画条横线就会有两个焦点的情况，显然不行。 为了避免图像有减有增，那对称轴不能在一到三之间，可以把它往左移到一这儿，这样一到三之间，图像就只有增一个 y， 就 只对应了一个 x， 这样就行了。当然，再往左移也是可以的，也就是对称轴二分之 a 小 于等于一就行 列出不等式，解得 a 小 于等于二，图像只有增可以。别忘了，还可以只有减，只要把图像往右移，直到对称轴到三这儿，这样一到三之间，图像就只有减了一个 y， 也只对应了一个 x。 同样的，再往右移也可以，也就是对称轴二分之 a 大 于等于三就行，列出不等式。解得 a 大 于等于六，所以 a 的 取值范围有两个。 这道题告诉我们，如果函数在某个范围内有反函数，那他在这个范围内一个 y 就 只能对应一个 x。 好 了，以上就是这个视频的全部内容，关键掌握一点，要判断一个函数有没有反函数，关键看这个函数是否一个 y 对 应一个 x， 只有对应一个 x 才有反函数。 从图像上看，就是画出的横线和图像的焦点都只有一个。怎么样，听明白了吗？如果明白了，就速速刷题去吧！

哈喽，各位考生大家好，我是金城考研的刘老师，我们一起来分一下，对于今天上午刚刚考过的三九六京宗这门科目啊，刘老师也是第一时间从三九六京宗的一个 考场上下来啊，那么也是深刻体会到了大家的一个不容易。那我们在整体考试的时候啊，虽然我 教授我们三九六数学这门科目啊，但是对于逻辑和写作也尝试去做了啊，深刻体会到了啊大家的一个做题状态啊，这个时间是非常非常紧凑的啊，所以只要是做完了啊，我都为大家点一个大大的一个赞 啊。那对于数学部分来说的话呢，个人觉得它整体的一个考点还算是比较常规的啊，像不像去年呃出现了一个反常积分，需要利用到呃数学分析的一个知识才能作答的啊？今年相对来说是比较常规的，像微积分部分的话呢，我们二十一个选择题， 呃，四个涉及到函数极限连续这一章的内容，那还有五个选择题的话呢，是一元函数微分学，当然几何应用啊是无一例外的也考到了， 那还有六个选择题呢，出现在了一元函数积分学部分，那积分这一块来说的话呢，它出现了两个题目，最终划到了背记函数是三角函数的类型啊。那其实对于这一块的话呢，对大家公式的一个要求相对来说比较高一些， 如果公式记得的话，其实做起来还算是比较得心应手的啊，如果公式不记得，可能会比较卡一下 啊。那对于剩下的六个选择题的话呢，是在多元函数微分学这一块，那多元函数本身比一元函数的计算量要大一些啊，当然他在整体考察的时候呢，考点相对来说也是围绕着之前常考的一块知识来进行展开的。 那对于限行代数部分的话呢，是七个选择题，那对于行列式矩阵的一个基本运算向量这一块的话呢，限行相关性以及限行表示问题，还有对于限行方程组的一个求解问题啊，这些都是比较常规的。 那对于概论部分来说的话呢，还是围绕着大纲给出来的那三块知识？当然对于，呃，这个一维随机变量来说的话呢，都考到了啊，包括像均匀分布，指数分布、正态分布 在整体里边都出现了那二维随机变量，今年出现了二维均匀分布的这一块的一个知识。那二维均匀分布来说的话呢？呃，可能有些同学会觉得他相对来说稍微偏了一点点啊，但是对于均匀分布来说，我们是可以借助于面积之比来求解概率的， 相对来说啊，这个难度也不算大啊。不管怎么样啊，大家考完了啊，这个都是需要值得庆祝的啊，所以最后呢，也预祝大家啊，能都能考上自己理想的一个院校。