正弦函数定义域

哈喽，同学们大家好，来到了必修一第五章三角函数五点四点二，正弦函数、余弦函数的性质，那我们这节课非常的重要哈，因为本身呢，正弦函数，余弦函数的这个图像性质就是一个难点啊，它的这个难度要比我们的这个纸对密啊要难一点。 另外一个呢，就是我们借着讲这个正弦函数和余弦函数，因为我们说三角函数是整一个函数的极大成者，所以呢，它会借着它会讲到很多，包括新的一些性质，以及我们对过往一些，比如说复合函数啊等等的一些重新的一些认识。 ok， 我们首先第一个呢，就是函数的定义域和值域啊，对吧？那这个东西，当然其实我们在啊定义三角函数的时候，也就是说我们的那个五点二点一定义三角函数就已经讲过了，对吧？单位圆我们也知道，所以呢，它定义域呢，是 x 能取到这个实数级 r， 然后这个值域呢，最小是负一，最大是一啊，对不对？我们的单位圆里面也知道啊，是吧？因为我们是干嘛？我们的这个 sin x 是 是由中边的这个点的，这个是吧， 对应的这个纵坐标来决定的，然后余弦函数呢，是横坐标，然后它是个单位元啊，对吧？这个是我们的基本定义，永远都不要忘记我们的基本定义啊，很重要。 第二个点呢，就是周期性啊，这个就是三角函数特有的一个性质啊，我们过往的指对幂，它都不存在一个周期性，就是根据三角函数的定义啊，以及我们根据这个单位元的定义推导出来的这个什么诱导公式一啊，对不对？ sin x 等于 sin x 加二 kpi， 这个呢，他就是说他不断的会干嘛呢？不断的重复，周而复始，对吧？对吧？我们的函数图像，我们上节课这个函数图像是不是也是这么刻画的？就是我们首先刻画这一段， 然后接着呢，就是周而复始，不断的循环，对不对？我们上节课也是这么刻画的，那么这种性质呢？在数学上我们称这种规律为 周期性，对吧？这个就是顾名思义周期性吗？周而复始，好吧，那么我们来正式的定义一下这个周期性， 一般的设函数 f x 的 定义域为 d， 如果存在一个非零常数 t， 使得对每一个 x 属于 d， 都会有这个东西，然后呢，写满足这个东西，这个东西在我们过往做题做 抽象函数题的时候，就已经应该有大量出现了，就是我们讲完第三张函数的这个基本的理解啊，那个函数的概念的时候，就已经会有很多抽象函数的题目了，对不对？就已经会出现有这样的式子了。 然后呢，这个时候我们就称之为这个函数呢，叫做周期函数，而这个非零的常数 t 呢，叫做函数的周期。我们这个地方哈，首先我们要关注到第一个重点啊，就是什么东西呢？当然我们首先通俗的理解啊，周而复始，不断的重复，对不对？比如说这样一段 接着一段，或者说这样一段，这样一段，这样一段周而复始，对吧？所以呢，这个表达式是体现它的意思的，你打个比方说，呃，假设一个函数的周期为四，那么 f x 加四就会等于 f x， 对 不对？但是这个地方呢，很多同学要搞清楚哈，周期性是要满足什么？首先使得对每一个，这个是它的第一个要求，所以这个地方是一个非常大的重点。我们来看哈， 就是说上述的这句话，这句话告诉我们打个比方说有一个定义域一到三，比如说，嗯，我们举个例子吧，这里是一，这里是三啊，对吧？这里是二，那么函数图像是这样子的，这样子的，那么它是不是周期函数呢？它不是啊，就说你对于 任意每一个，每一个就是所有的 x 在 一到三之间，你比如说我们打个比方说二点五，那在都有它加多少啊？它，它加一等于三点五， 它属于它的定义域低吗？不属于它超出了，所以我们要知道一个什么东西呢？哎，这个时候呢，同学们可能想到一个东西，那既然这样子，它会不断的重叠，比如说我在边边的话，它如果这个是周期，它一定会跳到下一个， 如果每一个都满足，那么是不是说明只要是周期函数，那么它的周期就是它的定义域一定是 r 呢？ 同学们可以思考一下这个问题，那是不是按照这么讲，只要他是周期函数，他的定义域就必然是 r， 可不可以举一些反例啊？是不一定的哈，你比如说我们，比如说一到二之间， 这样子，对吧？然后二到三之间呢？哎，没有定义的，然后三到四之间又有，然后四到五之间又没定义，五到六之间也有，可不可以呢？ 这行不行呢？也是可以的，对吧？这个函数可不可以？可以的，比如说我就是一个个点，比如说，呃，像这个竖列， 或者说我的定义域，它只能取一二三整数，行不行？也可以吗？是不是对于任意的一个，这个 x 属于它的定义域低，它都有下一个， 对吧？也都可以。所以这个条件很多同学会误以为，那么就是说周期函数必然定义为啊，那不一定的哈，不一定，说那些，我们刚才举的这些反例都可以，但是他必然是无界的 啊，这个概念在我们的人教 b 版没有提到，但是如果不是人教 b 版的同学也不用担心说啊，这个我们没学过，不是因为高考都是统一，只不过他有命名而已。什么叫无界？就是说一到三啊，那就一定在一到三之间 啊，对吧？或者加一个并一个，呃，十到十五之类的，反正他一定会框在某一个里面啊。但是无论我们刚才举的那第一个例子还是第二个例子，他都是会无穷无尽啊，就是一定是无界的两边，所以这个是肯定的，所以这个呢，是我们要特别去理解的一个知识点。 ok， 然后呢，接着呢，我们会发现周期函数的周期呢？一定不一定不啊？看着这个词啊，他不是不一定啊， 它不是不一定，它是一定不一定。不，只有一个。就说如果 t 是 函数的周期，那么显然二 t、 三 t、 四 t 等等，它都是它的周期，对吧？你比如说我们的三角函数当中， sine x 等于 sine 的 x 加二 k 派，对吧？二二派， 那么加二派加四派，满不满足也满足，六派满不满足也满足。所以呢，如果 t 是 它的所有的这个整数倍都是它的周期， 所以呢，它是一定步的关系哈，所以我们要知道这个点，所以呢，一定步只有一个。然后这个时候呢， 如果一个周期函数的所有周期当中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做 f x 的 最小正周期啊，有点类似于什么呢？比如说我们以前所学的那个，呃，啥 最小公倍数啊？对不对？比如说六和八啊，六八四十八，四十八是他们的公倍数，九十六也是他们的公倍数。但是比如说我们要做通分的时候，二十四就够用了，其实他们都行，但是我们肯定希望他更小嘛，所以二十四他是他们第一个，就是最小的公倍数。 所以呢，如果存在一个最小的正周期，就好像刚才说的，我们的三眼 x， 它等于三眼 x 加二派加四派加六派，对不对？那二派就足够了，那这个地方我圈出来叫存在，也就说它有可能不存在这个地方。同学们又停下来好好想一想， 会不会你们能不能举到反例，什么情况下不存在最小正周期呢？可以好好想一下这个问题在什么情况？就是你比如说哈，我们的常数 常数函数，对吧？比如说 y 等于 c， y 等于二，对吧？ y 等于二，它是不是周期函数啊？ 是的呀，函数常数函数当然是周期函数，对不对？它满足，但是这个 t 它是不是可以取任何的值啊？它 t 可以 取实数及 r 都可以，它取二满足，取三满足，反正我取什么值它都等于二，对吧？它是一个常数，那这个时候它没有，就不存在一个最小的一个数， 对吧？零点一也满足，零点零一也满足，所以是有可能不存在的哈，同学们要搞清楚，有可能不存在的，所以这些都是我们的基础的知识的掌握。 ok， 周期性我们讲完了，这个就是我们正弦函数和余弦函数引出来的最后一个啊，性质就是我们说的三三大性质，我们在嗯，最开始第三章啊，三点二点一，我们讲单调性，我们说单调性是最重要的， 百分之七八十都围绕着单调性去展开啊，所有的最值什么各方面的东西都是围绕着它。 ok， 然后第二个呢，就是对称性 啊，这个可能占百分之二十多吧，然后剩下一点点呢，就是周期性，对吧？ 这三个就是我们赖以生存去研究我们的函数的一个脉络，前面有这两个，现在出现了第三个，对吧？所以从三角函数引出了我们的第三个性质，也是最后的一个性质啊。然后呢，根据周期性的定义，我们会知道啊，正弦函数是这个周期函数， 那么二 k 派都是他的周期啊，最小正周期二派对吧，我们刚才已经去整理一下就可以了，他们的最小正周期都是二派，对吧？两个图像都是一样的，刚才已经讲过这个问题了。 ok， 我 们来例一来看一下，求下列函数的最小正周期，这个是课本的一道例题啊，我们来看一下， 当然这个呢，我们一定要记得他的那个周期性的定义啊，永远要记得他的定义啊，所以很多东西都是从定义来的，这个是他的定义，所以我们会知道， 呃，三倍的 sine x 是 会等于，根据诱导公式等于三倍的 sine x 加二 pi， 所以 本身二 pi 就是 这个函数成了一个三，并不会影响，并不会影响它的这个最小正周期啊。那这里同学们觉得，哎，这里没有什么特别的对不对？所以这里看一下。但关键是在于我们的第二道题啊，我们的第二道题如果变成什么样呢？变成这里出现了一个二会干嘛呢？ 出现了一个二呢？我们来看一下哈。如果我们认为，比如说啊， cosine 二 x 等于 cosine 二 x 加二派，对吧？无论它取什么值，反正我的最小正周期就是二派嘛。那这个时候，哎，不还是那个周期是二派？那这个时候我们就想清楚了， 我们这个时候呢，你看 f x 的 表达的那个方便性就出来了。 f x 等于谁啊？现在这个函数是多少？ cosine 二 x， 如果你认为是二派，请代入这个式子。周期性是什么？如果你认为是二派，那么就是 f x 等于 f x 加二派， 那这个时候呢？带入这边是什么？这边是 cosine 二 x 这一边呢？ cosine 两，这是什么东西啊？两倍的整体哈，把这个这个整体变成 x 加二派，所以看清楚 x 加二派， 所以这个时候呢，它是变成了什么东西啊？二 x 加多少派？四派？ 同学们通过这个东西有没有看懂？如果我们认为它的最小正周期是二派，因为它带入是这个 x 作为整体进行带入，这个时候变成四派，它是不是它的那个周期？当然是，但是是不是最小正周期呢？ 不是的，这个东西和什么东西有异，异曲同工之妙呢？就是关于函数的平移， 你比如说从 f x 到 f x 加一，左加右减嘛？向左移动一个单位， ok， 那 么我这个时候呢，你比如说啊，我打个比方说啊，两二的二 x 次方啊，然后变成二的二 x 方加二吧。打个比方说， 那打个比方说，这个情况下，它是不是向左移动了两个单位呢？不是，这个就是 f x， 那 么这个就是 f x 加一， 把 s x 加一替代掉这个 x 就是 变成了两倍的 x 加一，把它弄进去就变成这个，所以一定以这个作为整体去看 好不好？所以呢，这个时候呢，我们那怎么解决呢？我们要知道 cosine 二 x 等于 cosine 二 x 加二 pi， 然后呢，这个东西要融入进里面，所以会等于 cosine 两倍的 x 加 pi， 所以这个才是什么来看，这个才是 f x， 这个是 f x 加 t， t 是 多少 t 是 加 pi， 所以 这个时候我们会知道 pi 才是它的最小正周期。这个东西啊，跟同学们讲一个非常重要的点，这个知识它不是， 就是我们刚才所讲的就对这种函数的理解，它不是三角函数的知识，它不是三角函数的特有知识。 这个东西我说了，就是在我刚才最开始讲的时候，就是我们的五点六，我们会大总结大整理，这个地方会讲到 我们只是说干嘛三角函数它很好体现。所以同学们为什么我非常推崇课本的例题，而很多同学就压根不想看课本的例题，课本的例题有告诉很多的信息，有告诉你它需要你掌握什么样的能力， 好吧？所以像这个东西，同学们觉得它是三角函数的，不要觉得它是三角函数特有的知识，它不是啊，只不过在用三角函数来体现而已。那这个东西是一样的啊，这个地方我们来看一下，所以有这个东西，对，这个，把这个给弄进去，对吧？然后呢？所以这个时候呢，我们把 f x 看这个整体，然后套回到定义当中啊，这个 周期函数的定义啊，所以有这个东西，所以最小值周期 t 等于 pi。 ok， 第三题，那这个时候呢，同样的对于三眼 x， 所以呢，没有任何的改变，所以呢？两倍的三眼的二分之一 x 减去六分之 pi， 然后等于两倍的三眼的二分之一 x 减六分之 pi 加上二派，对吧？那同样的，我们要把这个二派融入到里面去，那怎么融入？就是等于两倍的三眼的二分之一，那它乘，乘以个什么东西啊？乘以一个四派，呃， x 加上四派， 对不对？因为二分之一乘以四派才会等于二派嘛？就这个东西怎么来的？就二派，就除以二分之一得来，这是四派嘛？那这个时候再再减去一个啊，没错，再减去一个六分之派， 所以这个时候我们要对比这个到这个就这个函数，如果是 f x， 那 这个函数究竟就从这个，我们要识别到从这里发生了什么样的变化呢？就是从 f x 变成了什么东西？ f x， 哎，那个加四排， 所以它发生的改变其实是从 f x 变成了 f x 加四排，所以搞清楚，所以这个时候呢，它的最小正序是四排，对吧？ ok， 这个 加二派这里永远都不会变，然后呢，这个二派要融入在这个里面，我们才能理解到是这样子的，如果还不能理解，你们就按照我刚才的方法把它反过来， 好不好？就先别管这个，然后呢， f x， 你 先写出 f 二 x 加二派，他会就这个作为整体，这个作为整体，比如说 t 来替代掉这个 x 会发生什么事情？去感受一下，如果还不能理解的同学， ok， 那 这个时候呢，对于函数 f x 就 会有这个东西，对吧？所以呢，它的最小正周期是四派， 好吧，然后第三个东西呢？哎，也是这个难点，然后呢，我们会观察它图图像会发现呢，首先，哎，这是我们唯一个什么东西呢？它既是 轴对称，也是点对称，并且还有一个东西就是无论是对称轴还是对称点，我们发现会有无数个啊，你比如说对称轴每一个取的最值啊，无论是最大值还最小值，这个地方是不是对称轴，这是不对称轴，这是不对称轴。 所以呢，所有每一个取得最值的这个横坐标 a m 所对应的这个垂直于 x 轴的直线 x m 都是它的对称轴，而对称点呢，每个和 x 轴的交点都是，这个是，这个是，这个是，所以它有无数个对称轴，也有无数个对称点， 并且它同时是轴对称和同时是点对称，唯一的一个这样的规律啊，我们来看一下好不好？对称点和对称轴， 好吧，所以呢，我们要搞清楚这个东西，然后这个东西呢，是我们干嘛观察这个图像得出来的，但是，所以呢，这个他并不是一个严谨的 啊推论，所以呢，我们来验证一下，首先我们写出正弦函数所有的轴对称啊，对称轴和对称点的集合，并进行证明。首先我们是对称轴，我们说所有最值的这个什么所有最值的这个横坐标吗？那是多少啊？最值这个地方是二分之派 啊，加一个 k 派都是啊，对吧？ k 属于整数， x 等于它，所以这个呢，就是它的什么？就是它对称轴。然后这个地方怎么去理解呢？ 两个理解，首先第一个，当然回归定义，回归定义我们的单位元当中啊，在这个角度什么意思啊？什么叫 k 派加二分之派啊， 对吧？ k 派加二分之派， k 派加二分之派，就这个 y 的 非负半轴或者非正半轴，那这个地方我们加一个和减一个对称的时候，它的那个会干嘛？相等，所以它是相等的， 这个东西呢，它也不是一个严谨的代数证明，那么从我们代数来看啊，从代数代数的层面，我们要证明直线这个是对称轴，那么等价证明这个是什么来的呀？ 这个就是我们在三点二点二的对称性里面讲过，是吧？函数如果关于这个 x 等于 a 对 称的话，会有什么呀？ f x 等于 f 二， a 减 x， 如果不知道这个东西，那么就请回到三点二点二去看，或者我说到，呃，也可以到选 b 一 的那个， 讲椭圆的那个，选 b 一 的三点二点二，哎，刚好都是三点二点，哦，不是三点一点二啊，选 b 一 的三点一点二，或者我们的 b 修一的三点二点二都可以看啊，好不好，就是为什么是这样子的？还有另外一个解解析式就是 f a 加 x， 然后呢？等于 f a 减 x 啊，都可以，这个就是关于 x 等于 a 这条直线对称的，在这个地方就不讲了，为什么是这样子？我有非常详细的证明在那个地方，而且我说这个是很重要的一个理解哈，所以这个时候呢，就相当于等价于证明这个东西对不对？那么就等价证明什么东西啊？就是把它给乘进去，就等于这个呗。 那么二 k pi 去掉啊，等下我们直接看吧。那这个时候呢，我们要证明这个东西，那证明这个东西就很简单了，对吧？因为我们这个时候啊，三 x 等于这个，我们诱导公式嘛， 这个是诱导公式啊，即便不变符号，看相线，然后加一个二 k pi， 对 不对？我们把它证明给反过来，所以很容易我们就能证明到啊。三 x 就是 f x 会等于这个，这个东西啊，两倍的这个东西减去，很容易能够证明，通过诱导的公式就很关键是在于我们要搞清楚我们要证明的是什么东西， 对吧？所以很多同学呢，看到这两个字啊，证明就害怕，原因是因为你们把一些他知识从哪来的？比如说我们会知道，哎，比如说我们的那个知识的网络会永远单位员是很重要的， 包括我在网上我看到另外一位老师，就很多人也是喷他单位员，单位员我不讲，我这个做题不重要，重要从单位员到诱导公式，就是你要知道每个知识他的脉络怎么来的，我们才能知道他回到哪个地方才能证明他对称，不然我们根本不知道， 好吧，所以最关键我们要知道我们要证明的是啥，那么这两个我相信同学们，就算是很低分的同学都能够证明，对吧？诱导公式啊，对不对？那这个时候我们就会知道，所以呢，它根据这个对称，那么对称点，我们来看一下，对称点呢，就是 kpi 零，对不对？所有跟 a x 轴的交点也很容易去写， 这个时候呢，同样的，从单位元理解， k 派， k 派就是这一条嘛， k 派 k 派这 x 的 非负非正半轴或者非负半轴，那这个时候呢，它对称的角，它的中坐标会干嘛？相反数，那同样的从代数的层面去理解，哎，这个时候就变成了什么？当一个函数关于 a b 点对称的时候，会有 f x 加上 f， 二 a 减啊，那个 x 等于 f 等于二 b， 好 吧，这个式子， 所以这个时候 b 等于零，所以这个是零，然后呢，这个是两倍的啊，这个，这个就更简单了，对不对？二 k 派减去它啊，一样的，所以呢，这个地方呢，我们就还是诱导公式就能解决了，满足，所以它关于这个那个点对称，对不对？同理，我们刚才讲了正弦函数余弦函数往左二分之派个单位， 所以呢，我们来做一个整理啊，总结，它均为点对称和轴对称，其中正弦函数它的对称轴是这个，对称点是这个。哎，因为它的对称点是这个 kpi 嘛，所以呢，零零是它其中一个对称点，所以它是 g 函数嘛，对不对？它是 g 函数，这个圆点是它其中的一个对称点。 然后呢，余弦函数，我们来看一下，余弦函数往左边挪二分之派个单位，那这个时候呢，这个它的对称轴轴是 x 等于 k 派，那刚好什么东西？这个 y 轴刚好是它其中一条对称轴，所以它是偶函数嘛？那对称点是这个， 好吧，所以呢，这个也是做一个总结，然后接着呢，我们来看单调性，同样的，由于我们的余弦函数是由这个正弦函数向左移动二分之派个单位得到。我们先研究正弦函数啊，我们还是研究一个 由于它的周期性，还是那个我们因为由它的周期性，所以呢，我们只需要研究其中一个那个区间就可以了，我们研究哪里呢？ 我们研究负二分之派到二分之三派。那这个地方说，哎，我为什么要研究这个区域？我不是一直都研究那个整数不挺好吗？那个零到二派不挺好吗？ 因为零到二派这个区域，他一个在他的一个周期二派里面，他把一段里面切成了三段，就这一段是递增，这一段递减，这一段递增三段呢？但是我们在这个位置，我们看到这个地方开始这是递增，这是递减，他切成了两段，所以我们选择这一段来做研究啊，对吧？所以我们 遮住这个地方，前面这里这个位置负二分之派到二分之派函数单调递增，对吧？从负一增到一，然后接着呢二分之派到二分之三派的时候呢？单调递减，从一负减到负一啊，对吧？哎，我们就得到这个东西， 接着我们根据周期性加个二 k 派，所以我们两边不断的绵啊蔓延，对吧？我们就会知道在任何的一个刚才区间全部加二 k 派，那这个时候呢，都递增，都是从一负一到一，这个从一减到负一， 对吧？所以根据周期性研究一小段，这个基本上是我们研究所有三角函数的脉路啊，包括我们后续研究这个天数啊，都是一样的。 然后呢类似对于余弦函数啊，它就做了一个改变，那这个地方呢啊，看一下，这个时候呢就变成了派加二分之派，这一段是递增的，好吧，或者我们这个地方是负派零，就是说负负派加也可以啊，都没问题。然后呢这个是二 k 派到加派是递减， 好吧？然后接着呢就是最大值和最小值，那么我们研究完单调性之后，最大值最小值也比较简单，对吧？最大值的点，最小值的点。 那么对于余弦函数来说啊，这个图像我们就会看到这个地方加二 k 派都是取得这个最大值，然后呢这个地方都取得这个最小值，把它表达出来，这里会讲到一个点啊， 就是你们就是同学们呐，你们要表达这种，我知道有一部分同学对于什么东西有困难的，就是包括我的评论区有说 k 是 什么啊，这个这个问题还有很多人附和， k 是 什么， 好吧，就是这个应该是属于什么东西呢？我觉得这个应该是在我们的这个集合的那一张，就是我们在必修，那就是我们的必修一第一张的时候就应该就是会有这个东西，我们要习惯那个啊，偶数就变成了 x， 等于二 k 就 变成了字母的表达， 所以当时我就跟很多同学说要习惯这种表达，就在后面才不会不习惯啊，这种东西。我知道这个点啊，我知道这个点我怎么表达他对不对？这个地方是零，然后他周而复始，他的那个周期是二 k 派，所以他直接就是零加二 k 派， 对不对？我们要表达这个点，那最小值的点呢？是派派加二 k 派，所以是很简单的一个点。然后呢，同样的那个正弦函数对不对？这个和这个， 好吧，那这个呢，就是给同学们整理的这个资料，同样的不要背，对不对？你们越背多，越背的越多，错的越多，因为这里太杂乱了，一定很容易出错的，所以不要背任何的一个东西， 所以还是那一句，帮同学们整理出来，但是极度极度不建议你们去背。那么怎么去理解，怎么去做呢？我首先分享一个，我个人， 从十几年前我高中的时候，一直到现在我都这么做的，并且，嗯，在这借此这个机会也跟同学们去讲一讲一个数理啊方面好的人，他是怎么样的？就是大家一直说的是数学思维是个什么东西吗？他有很多点，我们写，首先说一个点，因为这个东西很好解释， 就是在我的世界里面这些我都是没有的。然后呢，图像我也是没有的，然后我上一节课我提了一点，我只有零到二分之派的图像，对的，到现在为止我也是，我高中我也是， 好不好。然后呢，有了这个怎么办呢？当然，嗯，定域不用讲直域不用讲，周期不用讲对称写这里的四个。好，我们来看一下啊，这里的四个，如果我只有这个图像怎么办？比如说我对称性咋办啊？ 首先有了这一个，那我顺着画就行了，对不对？ ok， 对 称性，对称中心，我记得这个对称中心，或者不一定记得我脑海当中有这个图，我就知道对称中心是所有的，它跟 x 的 交点，对不对？这里是零，然后呢？每格派一个零，加 k 派就是 k 派 零，对吧？就可以了，我们就后面的，我全部省略这个东西哈，全部省略这个，对吧？是不是出来了对称轴呢？对称轴我知道是所有的这个东西，那怎么写啊？这个东西是不是二分之派？ x 等于二分之派，又是相隔多少相隔 k 派加 k 派搞定 啊，就这样子的现场推啊，不会花你他们太多时间呢。所以我不断的提醒一个东西，就是你们学不好数学，就是太勤奋了，太勤奋就是一个数学好的人，他一定是极度懒惰的， 他很喜欢解析，解析是很好玩的，我们做很多的题目，但是，但是知识的归纳，我不愿意多去记一个东西，所以这就造就了什么东西呢？就是很多数学差的同学会脑海当中很多解析法 啊，所以，但是我们我们的脑海当中，我们尽可能能够不要的知识，全部砍砍砍砍，对吧？那记函数一看啊，记函数单调性，那单调性咋办呢？单调性这个地方是负二分之派二分之派了，那不就负二分之派到二分之派喽。 然后呢？加二 k 派，加二 k 派，对不对？二 k 派减二分之派，加二分之派，递减二分之派到二分之三派， 同样的，加二 k 派加二 k 派，对不对？直接写出来，非常的快，压根不需要什么时间，并且我们这样子他才能最大程度的减少大家的错误 啊，这样子推导才能减少最多的错，错误，你的精准度才是最高最高的，并且你最终所得到的答案跟你们的那个理论知识是有对应的，所以它是个链条这样去记，而不是一条一条的 最值。一样的，我不讲了，那 cosine 那 方法是一模一样的。 cosine， 当我有了这一段，其他就是，对吧？其他都知道，这个负二分之派，这个多少？这个负派，对吧？那这个东西我们都知道，这个分之派，这个派二分之三派，所以所有的点我们都清楚，所以我只有这一段啊，这是真实的啊， 所以呢，这个是介绍给很多同学，也希望啊，就算是之前没有按照这样的方式，一定要用一条线路和一条脉络来串联起所有的知识点，所以为什么我这么喜欢给思维导图给大家啊，就是这个原因， ok， 然后我们来看一下第三啊，也是课本的一道立体啊。向量函数有最大最小值吗？有的话请写出取这个等那个最最值点的那个自变量 s 集合。 ok， 这个就跟 x 我 们就不多说了，刚才已经讲了一遍了，对不对？不变，这个跟本身 assign 的 能取得最大最最小值点啊，不变，我们来看一下他取得最值点就是，嗯，这个点，对不对？我直接说一下吧，就就跟你看这一段，我只记这一段，这个是最大值，那这个的是多少？零嘛？ 零，然后呢？加二 k 派，每过一个周期他就能取得一次最大值，所以他就取当他， 呃，那个 x 等于二 k pi 的 时候，它会有什么呀？它有最大值，最大值是多少呢？最大值是一，加上一等于二，最大值是二，对吧？那这个时候呢？ pi 的 时候取得最小值，那就 pi 咯，加二 k pi， 这个时候呢，取得这个最小值，最小值是负一加一，所以是零，对吧？我们会知道哈，就是本身它没有做任何的改变，然后呢，当它是这个 这里的二 k 加一派啊，就是我们刚才讲的二 k 派加派啊，这个时候呢，取的最小值负一加一等于零，对吧？ ok， 然后看第二道题，我们来看到就是这一题呢，就有点不一样，我们要看到，因为前面他成了一个负数， 所以当这一个，当然这个乘了一个二，在这里乘了一个系数，因为这个是一个整体啊，他不会影响他的最大值和最小值是负一到一的哈，所以呢，当他取得最小值负一的时候，他就会乘一个负三，他会颠倒过来整一个函数，就会取得最大值三，他最大值的时候就负三，那我们来看，当他取得最小值的时候，同样的， 对吧？画出来，哎，最小值是多少？负二十分之派，对吧？负二分之派加二 k 派等于多少？等于这个整体二 x， 所以 这个时候 x 等于 k 派减四分之派， 这个时候干嘛来着啊？最小值最小值负一，那这个时候呢，整个函数取的最大值是三，那这另外一个呢？就是二 x 等于多少？这个二派二分之派加二 k 派 啊，那也就说 x 等于 kpi 加四分之 pi， 那 这个时候呢，它取的最大值一，整个函数取最小是负三啊，一个是 kpi 减四分之 pi， 一个是加四分之 pi， 对 吧？ ok， 正规的写，先写个复合函数，然后那个这个作为一个整体啊，是这个取得我们的最大值，所以这个呢，我们会取得最大值，而整个函数呢，乘以负三就变成最小值啊，这个是沙眼的最小值，整个函数的最大值，好吧， 然后呢，我们看例式课本的第三道例题，不通过求值比较下列各组数的大小，然后等等，单调性嘛， 对吧？单调性我们知道撒，眼又来了，又画图啊，也在这一个呢，就是在负二分之派到二分之派之间的，一看就知道啊，对吧？所以呢，我们比较他们两个自变量的大小，这个地方呢，也很容易会出错啊，首先看看清楚啊，负十分之派会小于负十八分之派啊，对吧？ 这些东西很容易出错的哈，很容易出错的哈，所以同学们要看清楚，所以它的那个自变量，它是这个小于它，然后呢，这个时候呢，就 sign 的 小，也也是小于它，对吧？所以这种呢，同学们一定要放慢脚步，因为这种呢，就是分母把它反弹过来，然后呢，又加了一个负啊，所以要看清楚啊， 然后呢，这道题，因为它的数字比较大，我们就先把它掰过来吧，对不对啊？先把它翻到偶函数嘛，先把它翻过来，然后呢，减一个五分之二十，就四派，五分之三派，对吧？这个等于五分之三派， 这个等多少？这个等于也翻过来四分之十七派，然后减一个四分之六四分之派，对吧？那这个时候他处于哪个区间呢？这里啊，一直递减，递减到派，对吧？哎，一直零到派都是递减的，所以呢，这个比这个要大，所以呢，这个的函数值比这个要小，所以呢是这个小于这个啊，对吧？ ok， 我们来看好这个小于这个，然后呢，把它先回到比较小的数字， 然后在零到派上递减，所以前面这个呢会小于这个哈，然后第五题啊，同样还是课本上的一道例题，还是这个复合函数的问题，对吧？求这个函数它的单调递增区间。复合函数这里看清楚，我们用一个去代替它， 那这里我们首先要看清楚，因为这个复合函数它本身是递增的，所以当他问我整个函数单调递增区间的时候，我要寻找这个复合函数的 单调递增。如果这个地方没听懂的话，请回到我们本书的三点二点一，我给他那个模型理解复合函数的单调型哈， 如果这里加个负，本来它是递减的，那么寻找它的就要找它的递减去减，那所以此时我们要找它的递增去减。但是还有一个点，我们知道了 x 的 取值，也就说自变量的范围，但是我们要搞清楚这个 set 的 这个范围，所以我们要知道这个作为一个整体， 这个 x 是 最小值呢，负分子派乘负派加三分之派，就负三分之二派，然后呢派加三分之四派， 那么这个时候呢，作为一个函数，我们会知道这个区间里面是什么，这个是啊，大概啊，这里不超过负三分之二派，大概这个位置，三分之四派超过了派，大概在这个位置， 对吧？哎，那么这个时候呢，在这一段区域内啊，在这一段区域内，那么这个是递增的，就是在负二分之派到二分之派是他的递增的 好，然后这个时候呢，我们又又要返回回来理解吧，这个已知在属于这个区间，那么所以我们要干嘛？二分之一 x 加上三分之派，这个也得属于这个区间， 这多少来着？负二分之派到二分之派，对吧？比如说我们全部啊，我们先乘一个二，那么就是负派小于等于 x， 加上三分之二派小于等于派， 然后呢减过去负三分之五，派小于等于 x 小 于等于三分之派，对吧？三分之五派到三分之派，所以这个呢，就是复合函数，然后也要搞清楚 它的复合的单调性的问题。然后呢也考了我们什么东西啊？考了我们简单的这个不等式的运算，所以这个他三角函数就是非常的好出题啊，出题老师非常好出题，好吧，所以他递增区间是这个， ok， 然后呢我们做一个总结啊，我们说我们会发现课本给出的三道例题当中，有两道例题都是和复合函数相关，就是因为三角函数不仅其本身是个很大的知识点，我们说它的附加性是要比我们的纸对密度麻烦很多，对不对？我们的指数就这样子，没有任何东西啦，关键点就那么一个， 是不是？那关键点三角函数有多少个？非常多个，对不对？我们还得去表达出来，又能考到我们的数学语言第一章的知识， 然后呢又能考到对称性，又能考到对称那个轴对称点，对称全都能考到了，啥都有，所以呢，他会复杂很多，单调性也复杂很多啊，对不对？拦破了所有的数属性，然后还增加了一个周期性，所以他本身是个很大的知识点，但是还有一个什么东西呢？就是他把所有的其他的东西都能考，所以他是高中函数性质的极大成者， 对不对？我们说他他是有界的，是所有啊，我们所学的只对应函数里面唯一个有界的，唯一个有界的， ok， 然后呢，所以同学们不仅要好好去掌握他本身的基本知识，还要以他为作为主体，进行我们的整个 b 九一板块的这个函数板块的大整理和大总结， 所以请关注这节课非常重要啊。这节课我是在课本的基础之上做了一个大升级，做了个大大大升级，然后呢， 这节课融合了，然后如果大家都都能够贯通了，然后整个函数板块就贯通了，好吧，这个就很重要。所以呢，借着三角函数的机会，如果我们的函数没有学好的同学， 借着三角函数的机会，把它给重新整理去思考一下。就在比如说刚才的那么多的题目当中，不要只是觉得它是三角函数，它为什么是这样子？为什么？我要把它什么那个 x 看成一个整体，为什么要要把那个周期性把它弄进去， 对不对？然后复合函数等等，我们要把它看成一个函数的一个训练，而不只是三角函数，所以这个就是我们的这节课。好吧，我们下节课再见，同学们，拜拜。

挑战看完就会系列之三角函数图像问题。本期我们先讲正弦函数，从去透正弦函数的定义域、域最小正周期，到搞定对称轴、对称中心和单调区间，最后用真题练透直域不等式韩餐问题，跟着小数学起来吧， 一个视频带你搞定三角函数图像问题。我是小舒老师，接下来我将会用十八分钟时间带你系统了解正弦函数图像问题。我是小舒老师，接下来我将会用十八分钟时间带你系统了解正弦函数图像的关联与区别。最后一种方法换算法超级重要，请你一定要看到最后。 首先我们先来看一下正弦函数的基础性质，定义域与值域。因为正弦函数对于自变量 x 没有特殊要求，所以正弦函数定义域呢，就是 r。 在 这里大家其实会有一个问题啊，就说为什么正弦函数图像呢，它是长成左边这个样子的，就这个图像，它到底是怎么得来的呢？ 其实很好理解啊，就是所有的图像呢，其实本质上都是通过描点法的方式得来的。比如说我给你一个 x 等于三分之派，那么其实你就可以得到一个 sin x 就 等于我们的 sin 三分之派 等于我们的二分之根号三。所以你其实是可以得到一个点的，就是我们的横坐标为三分之派，纵坐标为二分之根号三这样的一个点。同样的道理，如果我再给你一个 x 等于六分之五派，那么你其实相对呢，是可以得到一个 size， 六分之五派等于我们的二分之一的。那么进一步你可以得到一个点，六分之五派二分之一，这个点， 原则上说呢，只要你找的点足够的多啊，其实你就能够画出 size 的 标准图像。但是实际在日常的学习和解决的图像，你只需要画出它大概的图像就 ok 了。 当然呢，一些比较关键点的坐标你得知道啊，比如说负派的时候呢，函数值等于零。负二分之派的时候呢，函数值等于负一。零的时候呢，函数值等于零。二分之派的时候呢，函数值等于一派的时候呢，函数值又等于零了。 所以你只要能够知道这五个点的坐标，你就能够画出正弦函数在一个周期内的图像，因为其他的都是复制粘贴的方式重复延伸得来的嘛。在绘制这个图像的过程当中，大家也会发现这个函数呢，它是在二分之派的位置上呢，取得最大值一，在负二分之派的时候呢，取得最小值负一，所以它的值域就是多少，就是我们的负一到一。 讲完了定义域与值域这两个比较基础的概念之后呢，我们要给大家讲一个比较通俗的例子啊，大家都知道一周是七天吧， 如果说今天是周一，你会发现再过七天，再过七十天，再过七百天，是不是都还是周一啊？所以我们就把七天，七十天和七百天呢，都可以称之为一个周期，但是在这些众多的周期当中呢，有一个最小的正值期，对吧？ 那我们就称为这个期呢，为最小正周期。这个概念呢，也同样适用于正弦函数图像。大家可以看到，其实正弦函数图像呢，就是由负派到派这个区间当中的这段图像，通过复制粘贴的方式向左右两边无限延伸而得来的吧。那么问题来了，为什么正弦函数的最小正周期是二派不是三派，不是四派不是五派啊？ 其实很好理解啊，我们在之前给大家讲过一个概念，叫做中边相同角，大家还记不记得就是所谓的中边相同角呢？指的是这个角的中边啊，他绕着这个圆点这样旋转，旋转一周之后，他是不是又回到了原来的位置啊？一周是多少弧度？是二派弧度吗？ 所以说他旋转一周之后回到原来的位置，三角函数值不变，所以他所对应的图像肯定是一样的。这就是为什么正弦函数图像的周期的最小单元是二派，那么我们也可以用来求值。 大家还记得我们之前给大家讲一个导公式的时候，是不是讲过这么一道题，就是 sine 三分之十九派等于多少？我们当时是怎么处理的？我们是不是直接给他减去了一个三分之十八派？为什么可以减去一个三分之十八派？因为三分之十八派等于六派呀，它是我们二派的整数倍，它就直接等于我们的 sine 三分之派就等于我们的二分之杠三了。所以你会发现周期有一个非常神奇的作用，一方面可以通过研究一部分图像来研究整个图像，另外一方面可以降低角的大小来求值。我们同样在之前给大家讲到公式的时候，也提到过了正弦函数的奇偶性，它是个什么函数？它是一个奇函数，奇函数有什么特点？奇函数满足 f 负 x 等于我们的负的 f x 呀，所以说怎么样？所以说我们的 sine 负 x 呢，它就等于我们的负的 sine x， 它的图像是关于原点对称的，所以说这个 sine 负的三分之派等于多少？我们当时也给大家举了这个例子吧，它是不是等于我们的负的 sine 三分之派就等于多少？就等于我们的负的二分之根号是三。 到这呢，我们已经讲完了正弦函数的对称性、周期性和基有性，那么就只剩下他的最后一个比较常考的性质了，就是他的单调性。我们在研究正弦函数单调区间的时候呢，其实不用研究整个定义域的单调性，我们只用研究我们最常用的这个区间上单调性就好了。 比如说我们最常用的增区间呢，其实就是从负二分之派到二分之派这个区间，然后呢你再加上他的周期二 k 派就好了，所以说他的单调增区间是多少？就是我们的负二分之派 到我们的二分之派，最后呢给他加上了一个二 k 派，二 k 派是它的周期啊，所以它就能够统一表示我们所有的单调增区间，别忘了后面 k 属于 z。 同样道理呢，我们减区间呢，其实也只用研究从二分之派到二分之三派这个区间上，对不对？有三个图像，怎么样？是越来越矮的，那么它的减区间呢，我们就可以统一写成二分之派 加二 k 派，到我们的二分之三派加上我们的二 k 派，最后呢 k 属于 z。 以上呢，就是我们关于正弦函数图像最基础图像性质的讲解，接下来我们来看一道练习题啊，求这个散 x 在 三分之派到六分之五派上的值域。这种题呢，一般情况下都很简单，因为你只需要画图就好了， 我已经在这个屏幕上给大家把这个图画好了，因为这个 x 的 范围呢，是从我们的三分之派到六分之五派，所以大家在画图的时候呢，你就只用保留从我们的三分之派到六分之五派的这段图像就 ok。 很明显，当这个 x 等于二分之派的时候，是不是函数值取得最大值，所以说这个 f x 的 最大值，它就等于我们的 f， 二分之派就等于我们的三，二分之派就等于我们的一，而这个最小值呢，很明显在哪取得？在我们的六分之五派这取得吧，它就等于我们的 sin， 六分之五派 就等于我们的二分之一。如果大家不记得我们的三角函数值的话，建议大家听一下我们之前关于三角函数 b 内讲的知识啊。里面我给大家听一下我们之前关于三角函数 b 内讲的知识啊，他就是我们的二分之一 一就做完了。同样的方法呢，我们还可以用来解这个不等式啊，比如说我们来看一下这道题解不等式三 x 大 于等于二分之根号三。首先呢，我们只需要先复制出三 x 的 图像，然后再找着纵坐标等于二分之根号三的位置就好了。 比如说我先给大家画这样的一条水平的横线啊，这条水平的横线呢，就是我们的 y 等于二分之杠三，很明显是不是位于这条水平横线以上的部分？是不是都符合题？当我们在研究这个函数图像的时候呢？其实只用研究我们最熟悉的区间呗，那就是从负派到派这个区间当中，那么如果我们令这个 sign x 刚好等于我们的二分之杠三的时候，我们可以算出 x 等多少。 x 等于我们的三分之派，或者是我们的三分之二派，那么大概就是在这个位置上，这个位置上呢是我们的三分之派，而这个位置上呢，是我们的三分之二派。那么它要函数值比二分之到三大的话，那所所对应的 x 的 范围是不是就是三分之派到三分之二派？ 那我们就可以直接写答案了， x 怎么样？它是大于等于我们的三分之派，小于等于我们的三分之二派。但是不要忘了我们的这个正弦函数是个什么函数？是一个周期函数啊，你看这个图能看出来吧，它大于二分之根号三的区间其实是有无数个的左右两边可以无限延伸，所以说你的左右两边还需要加上它的周期二 k 派，当然这个 k 属于 z 位。去所有的整数， 我们给大家讲了过，高中阶段所有的范围都需要写成区间或者是集合的形式，所以说你要把它表达成这种标准的集合的形式，这就是这道题的答案。讲完了正弦函数之后呢，接下来就给大家讲一个更加重要的函数类型，正弦型函数。 那么什么叫做正弦型函数呢？我们就将这种形容 y 等于 a 倍 sin， 我 们该 c， f， i 这样的函数称之为正弦型函数。为了方便大家理解，我给大家举这样的一个具体的实力啊，我们首先先来看一下这个函数的定义域，我们刚是不是讲到过 sin x 的 定义域是多少？是我们的 r 对 吗？对于我们的正弦型函数来说呢，它的定义域呢，也是 r 对 x， 其实是没有特殊的限定的。值域刚刚是讲到过三 x 范围是多少，是不是我们的负一到一，它最大值是一，最小值是负一？那么如果说我在这前面乘了一个系数四呢？哎，那它的值域呢？就会变成多少，就会变成我们的负四到四，这也很好理解嘛，就相当于是值域四倍了。 我们在前面是不是讲到过正弦函数的最小正周期 t 等于多少？ t 是 不是等于我们的二派啊？那么到了我们的正弦型函数来说的话，它的最小正周期 t 等于多少呢？ t 就 等于我们的二派比上 x 系数的绝对值， 所以说它就等于多少，它就等于我们的这个二派，比上二就等于我们的派。同样的，借助正弦函数的对称轴和对称中心，我们也可以求正弦型函数的对称轴和对称中心。我们先来看一下对称轴 刚刚是不是讲到过三 x 的 对称轴是多少？是 x 等于二分之派加 k 派吧，然后面有个小尾巴，什么东西 k 属于 z， 那 我们怎么去求后面的这个函数，它的这个对称轴呢？你就永远记住一句话就好了，你就只需要把这个二 x 减三分之派怎么样当成一个整体， 所以你只需要怎么操作，你只需要令我们的这个二 x 减去三分之派等于多少？等于我们的二分之派加上一个 k 派即可。也就说怎么样，我们相当于用这个二 x 减三分之派把刚刚的谁给替换掉了，把左边的 x 给替换掉了，然后你把这个等式解出来就好了。及我们的这个二 x 呢， 就等于我们的六分之五派加上一个 k 派。所以说这个 x 等多少？ x 等于我们的十二分之五派加上我们的二分之 k 派， k 属于 z， 这就是我们这个正弦型函数它所对应的对称轴，因为本质上其实都是括号里面这坨取二分之派加 k 派呗。同样的道理，你是不是也可以用来求我们的对称中心啊？ 你回顾一下我们刚刚所讲到的三 x 的 对称中心是多少？是不是我们的 k 派？零，那所以说，你在求这个正弦型函数的对称中心的时候，你只需要令这个二 x 减去三分之派等于多少？等于我们的 k 派就好了。所以说呢，你就可以得到我们的二 x 呢，就等于我们的三分之派加上我们的 k 派。 x 呢，就等于我们的六分之派加上一个二分之 k 派。那所以对称中心是多少？就是我们的六分之派加上一个二分之 k 派。逗号，零，别忘了后面有个小尾巴 属于 z。 这种求对称轴和对称中心的方法呢，同样可以用来去求解正弦型函数的单调增减区间。大家回顾一下我们刚刚讲到过的正弦函数的单调增区间，是不是我们的 x 大 于等于我们的负二分之派加上二 k 派，小于等于我们的二分之派加上二 k 派，对吗？ 我们要求后面的这个正弦型函数的单调增区间，其实只需要怎么样？只需要令二 x 减去三分之派，大于等于我们的负二分之派加上二 k 派，小于等于我们的二分之派加上二 k 派就好了。那这个不等式怎么化简呢？ 首先第一步，不等式的左右两边都先加上一个三分之派，所以就变成了二 x 小 于等于六分之派加上二分之派吧。而左边呢，就是我们的负六分之派 加上一个二 k 派。最后呢，你在左右两边都除掉一个二呗。就是 x 大 于等于我们的十二分之五派加上一个 k 派，小于等于我们的负十二分之派加上一个 k 派。别忘了后面怎么样， k 属于 z 啊。我们说到过高中阶段，所有的范围都在写成区间或者是集合的形式，所以你把它写成集合的形式，这就是我们这个函数的单调增区间。 同样的道理，我们可以用来求正弦型函数的单调减去间。我刚是不是讲到过三 x 的 减去间是多少？是不是我们的 x 大 于等于我们的二分之派加上我们的二 k 派，小于等于我们的二分之三派加上二 k 派。所以你要求后面这个正弦型函数的减去间，你只需要怎么样？你只需要令二 x 减去三分之派，大于等于我们的二分之派加上二 k 派，小于等于我们的二分之三派加上二 k 派就好了。但是化简的方式跟上面是一样的，大家可以自己去化简。以上呢，就是我们关于正弦型函数图像基本性质的研究方法。 接下来我们来看一下这道真题，我们建议大家可以先自己暂停一下，再听我讲。现在看第一题，他不知道求这个函数的最小周期吗？我们刚刚讲了过，这个最小周期是怎么求的，这个 t 呢，他就等于我们的二派比上 x 系数的绝对值，就等于我们的派，一问就完事了。 而第二问，对称轴，刚是不是讲到过，我们只需要令括号里面的这个二 x 加上六分之派等于多少？等于我们的二分之派 加上 k 派就好了。然后面这个 k 属于多少呢？属于我们的 z， 解一下，就是二 x 呢，就等于我们的三分之派加上一个 k 派呗。这个三分之派是怎么来的？就是我们的二分之派减去六分之派吧，即咱们的这个 x 呢，就等于我们的六分之派 加上一个二分之 k 派， k 属于 z， 这就是它的对称轴。而对称中心呢，是一样的方法，我们只需要令括号里面这个整体二 x 加上六分之派等于多少就好了，等于我们的 k 派即可。那所以说二 x 呢， 就等于我们的负六分之派加上一个 k 派。所以这个 x 等于多少？等于我们的负十二分之派加上一个我们的二分之 k 派。当然呢，这个只是对称中心的横坐标啊，所以它的对称中心是多少横坐标呢？是我们的十二分之负派加上一个二分之 k 派， 纵坐标呢，就是我们的零。然后再看第四题，单调增区间当时也讲到过吧，我们只需要令括号里面这个整体二 x 加上六分之派怎么样？大于等于我们的负二分之派，加上二 k 派。小于等于多少？小于等于我们的二分之派， 加上二 k 派即可，然后再化减呗。怎么化减？首先是不等式的左右两边你都先减掉一个六分之派，这个三分之派是怎么来的？其实就是二分之派减去六分之派吧，加上二 k 派，而左边呢， 是大于等于我们的负三分之二派。这个三分之二派是怎么来的？负二分之派减去六分之派就是负六分之四派吧，就是三分之二派啊，加上一个二 k 派， 然后你不等号的左右两边再除一个二就完事了。就是 x 小 于等于六分之派，加上一个 k 派，然后小于等于我们的负三分之派，加上一个 k 派， k 属于 z 啊，大家注意，一定要写成区间或者是集合的形式，这呢我就不写了， 接着我们来看一下第五题啊，其实第五题和第四题的区别呢？就是第五题它限定的 x 的 范围是零到派，那么所以说我们第五题只需要在第四题的基础上来赋值就好了。为什么要赋值呢？因为它 x 只限定在零到派这个范围之内嘛。就是第一种情况，你就令我们的 k 等于几啊？ k 等于零就 ok， 那你会发现这个 x， 你 把 k 等于零带到第四个的结果里面去吧，就大于等于负三分之派，小于等于我们的六分之派，那因为他只要以保留零到派的范围啊，所以说这个结果是怎么样？那么则我们的第一个增区间就是我们的零到六分之派，然后你再令 k 等于几，你是不是只需要令我们的这个 k 等于一就好了， 我们就可以得到这个 x 呢？是大于等于我们的三分之二派，小于等于我们的六分之七派的， 但是因为我们刚刚所说到过，我们只用保留，怎么样保留零到派的范围啊？第二个增区间呢？就是我们的这个三分之二派到派。这就是我们这道题最终的答案，有两个范围，一个是零到六分之派，一个是三分之二派到派。 接下来我们要给大家讲一个在正弦型函数这个板块非常非常重要的一种方法，换元法，就是当你直接去研究这个正弦型函数非常不方便的时候呢，你可以通过换元的方式把它变成一个非常简单的函数。具体怎么操作，你跟着我一块来试一试。首先这道题他是不是让你去求这个 f x 等于三零二 x 加六分之派的值域，对吗？ 那所以说你遇到这种题的时候，你第一步先换元，怎么换元呢？你就令我们的这个 t 呢，就等于我们的二 x 加上一个六分之派。 x 有 没有范围？有的 x 是 不是大于等于零，小于等于我们的二分之派的， 这没问题吧？那 x 大 于等于零，小于等于二分之派的话，那么二 x 呢？它是不是大于等于零，小于等于多少？ 小于等于我们的派啊？接着往下二 x 加六分之派呢，它就是大于等于多少？你左右两边都加个六分之派呗，它就大于等于六分之派， 小于等于我们的六分之七派。我们刚刚是不是令这个 t 等于二 x 加六分之派吧，所以说这个二 x 加六分之派的范围就是谁的范围，就是 t 的 范围，那么 t 就 大于等于我们的六分之派，小于等于多少？小于等于我们的六分之七派。 你有了这样的一个换元之后呢，这道题就可以简化为去求这个 y 等于我们的三元 t 在 我们的这个 p 大 于等于六分之派，小于等于我们的六分之七派上的值域。 你这样换元之后的最大的好处就是把一个比较复杂的正弦型函数给它转化成一个相对来说比较简单的正弦函数。为什么要这样做呢？因为你虽然不知道三元二 x 加六分之派的图像长什么样，我们之前是不是专门讲了，所以说我们只需要画这样的一个平面坐标系 横坐标，当然自变量肯定是 t 了啊，因为我们这个时候呢，它的变量是 t， 纵坐标还是 y？ 三 t 的 图像大家还记得吧，就是这样的一个波浪呗，差不多就行，你不需要画的特别美观啊。然后标记一下特殊点的位置，这个地方呢，就是我们的二分之派，这个地方是我们的派，这是我们的零， 当然你还需要找到我们的另外一个比较重要的位置，就是多少呢，就是我们的六分之七派的位置，大概在这这个地方呢，是我们的六分之七派的位置，以及左端点六分之派的位置。所以说我们可以很轻松的画出这个自变量 t 从六分之派变到六分之七派的这段函数图像大概就是这个样子，所以说你可以很轻松的看到这个函数的最大值等于多少， 它就等于我们的 sine 二分之派就等于我们的一，而我们的最小值呢，就等于我们的 sine 六分之七派就等于我们的负二分之一。所以它的值域是多少是我们的负二分之一 到我们的一。如果大家不记得三角函数值怎么求的话，大家看一下我们前面诱导公式的那一讲，我们给大家专门去讲一下怎么去求三角加 r 反的值。 同样的方法，大家可以用来解一下我们右侧的不等式就是三 t 大 于等于二分之一，你看一下你会解吗？做出来，同学呢，可以把你的答案发到评论区，我可以帮你批改批改。 最后我们来看一下这道含餐问题啊，你可以先暂停自己先做一下，你会发现换元法在解答这类问题的时候也特别好使。首先我们先来看一下第一步，就是你甭管那么多，你先令括号里面这一坨怎么样等于 t？ 题干当中是不是已经告诉你这个 x 呢？大于等于 a 就 没问题吧， x 是 大于零，小于等于 a 的 话，那么二 x 呢？ 是大于等于零，小于等于二 a 的。 那么继续往下写，二 x 加三分之派呢？你就左右两边都怎么样，都给他加上一个三分之派呗，那他就大于等于三分之派，小于等于二 a 加上三分之派，这是谁的范围？这是二 x 加三分之派的范围，其实就是 t 的 范围吧， t 就 大于等于我们的三分之派， 小于等于我们的二 a 加上三分之派。有了这样的一步换元之后呢，你会发现这道题会变得特别简单，它就可以转化为 y 等于二倍三 t， 在 我们的 t 大于等于三分之派，小于等于二 a 加上三分之派上是必增的，然后让你去求这个 a 的 范围。有了这两步准备工作之后呢，你会发现第三步就特别简单，你只需要在平面坐标系当中把这个三点 t 的 图像画出来就好了。 因为我们今天是不是一进教室，首先讲的就是三点 t 的 图像吧，横坐标是 t 呗，它和三 s 图像其实是一样的，无非就是自变量变成了 t， 纵坐标呢还是我们的 y。 而且你做这道题的时候呢，也不需要画特别多的图案，你只需要画零到派的图像就好了，这是零，这是派 标。记一下比较关键的一个节点，二分之派准备工作完事了，然后呢，你只需要在图当中找到我们三分之派和二 a 加三分之派的位置就 ok 了。那么三分之派在哪？他肯定在零和二分之派之间。那么请问这个二 a 加三分之派在哪？他是不是一定要在我们的二分之派的哪左边吧？ 因为他说了要在这个区间上怎么样是单调递增的呀？你想他要在这个绿色的区间上单调递增的话，这个二 a 加三分之派就一定不会越过我们的二分之派。因为你想，如果说这个二 a 加三分之派在这的话，你想这个图像是长成这样子的，他不是先增再减吗？ 所以你要使得它在这个区间上单调递增，你只需要满足这个二 a 加上三分之派怎么样？小于等于我们的二分之派就好了，可以去等哈。那就是二 a 呢，就小于等于我们的六分之派， a 呢，就小于等于我们的十二分之派，当然，别忘了它还得怎么样大五零，它得有意义吧。所以这个 a 怎么样得 比零大？而且这道题你可以随便本地化，比如他这个地方给你说的是单调递增，下次你可以转化成有一个零点，有两个零点也行啊，有一个最值。 ok， 基本的思路都是一样的，先换圆，然后求出 t 的 范围，最后画图就完事了。以上呢，就是我们关于正弦函数和正弦函数的所有知识的讲解，希望对大家学习会有帮助。下一周呢，我们将会逐步开启我们的期末复习，关注我，带你掌握更多的高中数学知识。

这个视频咱们来看看正弦函数的图像长啥样。在研究三角函数图像时，通常用弧度纸来表示角，即做 x， 也就是自变量。用 y 来表示函数值，也就是因变量，所以就可以用 y 等于赛亚 x 来表示正弦函数。 接下来我就教教你用单位员来画一画 y 等于 six 的图像。先在直角坐标系中随便画一个单位员 从这个焦点开始，把圆平均分成十二等份，显然这些线所对应的弧度就是零，六分之派，三分之派，二分之派等等等等，一直到回到这里就是二派。 你已经学过正弦直就对应单位员中的纵坐标，所以当 x 等于零时，所对应的函数值就是零，显然图像得过原地 点。当 x 等于六分之派时，所对应的函数值就是这么多，显然这个点一定在函数图像上。当 x 等于三分之派时，所对应的函数值就是这么多，显然这个点也在函数图像上。 像这样，你就把所有的 x 都标在坐标轴上，然后依次找到他们所对应的函数值，描述这些点，再把这些点用光滑的曲线连接起来，就得到了正线函数在零到二排上的图像了。用同样的方法，你也可以把二排到四排之间的图像画出来。 不难发现，其实就是在重复这一段图像。用单位原来看就是正着多转了一圈，如果反方向多转一圈，就是左边的图像了。其实也是在重复这一段图像。两边依次画下去，你就得到了 y 等于三 x 在 r 上的图像。从图上可以发现有五个关键的点，零零二分之派，一派，零二分之三派负一，还有二派零。以后再画图，你就用这五个点瞄一瞄就成图像画好了，再来看看这个图像有什么性质， 瞪眼就能看出定义欲就是全体识数，周期就是二派，再瞪眼一次，图像夹在这两条线之间，显然直欲就是负一到一。 现在弄明白了他的性质，出道题考考你，函数 y 等于三 x 在三分之派到派上的职域是多少呢？ 要弄清楚在这段上的直域，看看图像就一目了然了。三分之派到派显然是这段图像，最大值就是一，最小值就是零， 所以直域就是零到一。 ok， 搞定。看来以后让你求正贤函数在某段区间内的直域，你就利用图像找找最直就行。 好了，就讲这么多，总结一下，这个视频我就给你讲了，正贤函数的图像长得非常妩媚，就是一条以二派为周期的波浪线， 用意欲是全体识数，值欲是负一到一。另外，如果要求某段区间的值欲，就用图像来找最值。好了，本姑娘就讲这么多，赶紧刷题去吧！

正弦函数 y 等于 sin x 的 图像和性质。正弦函数的自然顶一域是实数级，值域为从负一到一的 b 区间。正弦函数是周期函数，其周期为二 k 派，其中 k 是 不等于零的整数， 且当 k 等于一时为最小正周期二派。当某个正弦函数的定义域是关于原点对称时，是奇函数， 当定义域不是关于原点对称时，就不是奇函数。正弦函数在负二分之派加二 k 派到二分之派，加二 k 派的 d 区间上单调递增。 在二分之派加二 k 派到二分之三派加二 k 派的 b 区间上单调递减。所以正弦函数的单调性具有区间性而非痊愈性。当 x 等于二分之派加二 k 派时，取最大值一。 当 x 等于负二分之派加二 k 派时，取最小值负一。正弦函数的对称轴为直线， x 等于二分之派加 k 派，且对称轴恰好经过最值点。 在一个周期内，对称轴柱对应函数的最大值或最小值。正弦函数的对称中心为点 k 派和零。综合整理表格如下。

广东高中高考最后二十二天啦，邪修用最短的时间带你刷真题啊，轻松拿下一百二十分。今天我们来讲定域域的真题啊，每年呢定域域呢，都有五分啊，都有五分，不管他用什么形式的考啊，最最少五分啊，五到十五分。那我们来看啊，二零年的真题，二零年真题二一年的真题二二年， 二四年，二五年，二三年呢，他是换了个形式考啊，所以我们今天呢特地把这个定域域这个知识点拿出来考啊，主要的考题方向呢？有几种啊？有四种给大家写出来啊，一共呢就四种。 好，哪是种呢？哪是种呢？哎，我们直接拿出来看啊，这个内容啊，给大家叠一下给大家叠一下。好。第一种叫什么？分母不能等于零分母不能不能等于零啊，大概是什么？比如说 x 减一分之一。好啊，这个 f x 等于这个，那他的定义是什么呢？那他的分母就这一个分母，这一个分母啊，这个括号啊，不能等于零啊，这个括号不能等于零啊，这一部分的内容不能等于零。这是第一种啊，看没有，这是第一种。第二种是什么？第二种就是带根号的，带根号的就根号下这一部分内容啊，这一部分内容 好，这一部分内容要大于等于零啊，明白意思吗？与这个例子为例啊， f x 等于啊，根号下的二倍 x 减一，那它的定域是什么呢？就二二 x 减一要大于等于零啊，解出来解集就是它的定域率。好，我这样说，大家听明白了吗？ 第三种是什么？第三种就是真数密次啊，真数密次要大于零什么意思？就是那个二维底啊，比如说二维底 x 减一，好，这个对数 f x 啊， f x 等于这个啊， 好，这一部分，这一部分啊，就要大于零啊，是没有等于啊，没有等于要大于零啊，大于零，所以大家一定要记得 啊，真数密次要大于零啊，真数密次要大于零，所以比如说与这个啊，例子为例啊，以这个内容的例子为例啊，那这个二 x 减一呢？要大于零啊。 x 二 x 减一要大于零，所以第四种是什么呢？ 第四种啊，考题也很喜欢考的啊，这是第一种啊，这是第二种，这是第三种，我刚才说的第四种。第四种是什么？哎，这个考题考官呢，他很喜欢考的内容，他就是把这个根号， 哎，他把他放一个分数上去，好，这样子考，这样子考啊，本身他这个根号呢，他是属于大于等于零的，对吧？大于等于零的， 但是呢，因为他是在分母里面，所以他是不能等于零的，大家明白吗？所以这种情况下的是指呢？他这一个内容，他是不能等于零的，他要大于零啊，他要大于零啊，所以这个内容啊，第四种情况要特别注意的，要特别注意。好，我们直接来看题，我们直接来看题，好，这个内容是什么呢？ 乘数，乘数啊，这对数里面的乘数，我们刚才说了啊，他这个括号里面要大于零，他这个括号要大于零。好，我们就直接把内容啊放出来，三 x 减二大于 零，解出来是什么？三 x 大 于二， s 大 于三分之二，对吧？ s 大 于三分之二，所以啊，所以答案选什么呢？选什么呢？ 一定是不带等号的，这一个中括号呢，它是属于大于等于的这个小括号。小括号。小括号是不带等号的啊，小括号是不带等号，所以答案选 c 这一个内容啊，这一个内容大家一定要记好啊，一定要记好，非常关键啊。 好，现在来了啊，现在来了，就是这种形式的，这种形式的，它就是本身分母呢，它是不等于零的，但是第二种情况呢，就是它是在根号下面呢，它是等于零，它是大于等于零的，但是因为他们两个要同时满足的，所以 x 加二是要 大于零的啊，是要大于零的，所以啊， x 是 大于负二的， x 是 大于负二，是不能等于的啊，是不能等于的啊，大家一定要记清楚，一定要记清楚，所以这个题直接就选 d 了，直接选 d 了啊，这个内容大家清楚吗？非常简单对不对？非常简单啊，其实非常简单。好，到了二二年，二二年，什么？ x 加一 不能等于零吗？不能等于零吗？对吧？刚才我们已经讲过了吗？这个内容啊，不能等于零吗？对不对啊？不能等于零。好，那我们啊，这个怎么表示？怎么表示啊？表示呢？非常简单，他多种形式动啊，不能等于零， x 就 不能 等于负一啊， x 就是 不能等于负一，那不能等于负一。怎么怎么表示呢？这个答案怎么表示呢？哎，正常我们就是 一个数轴里面哎，中间挖了个空嘛，啊，其他的全部都可以嘛，对不对？其他的都可以，就中间这一个空不行嘛。好，那我们写成这个几何的形式就负无穷了啊，负无穷啊，到这个负一，对吧， 然后并上啊，为什么并上啊？并上，然后负一啊，到这个正无穷啊，写出来答案呢，就是选 c 的， 答案就是选 c 的。 好，我们上一个视频呢，讲到了这个 啊，一个解集的一个问题啊，一个解集的问题啊，按照我们上一期视频讲的这个内容呢，真数密次呢，是大于零的。好，所以这个是指呢？我们直接写下来，写下来三加二， x 减去 x 平方，大于零啊，大于零 啊，那这种情况我们怎么用啊？这种情况我们怎么做啊？他是什么？为什么他这一个内容啊，这一个知识点跟我们上一个内容呢啊，有什么区别？有什么不同呢啊？因为他这个内容呢，为什么不能用呢？他这一个 x 平方前面的他是负号啊，他是负号，所以把它变成正号的情况下呢？ 用 x 平方把它变成正号呢？减去二倍 x 啊，减去三，它会变成小于零啊，所以这一个内容啊，上一个视频这个内容呢啊，不知道大家清不清楚，有没有听明白啊？它会变成小于零，小于零的情况下是什么？小于啊，去 中间啊，大家听明白了吗？小于取中间，所以这些答案呢都是不满足的啊。小于取中间，所以只有这两个啊，只有这两个啊，他是只能小于，没有等于啊，没有等于，所以直接答案就选 c 啊，这个内容啊，二四年考的，这个内容呢，会有那么一点点难啊，有点点难啊，如果没有转过弯的话啊，会 容易做错啊，容易做错。好，那接下来二五年就简单了， s 减一啊，这个内容是什么？大于等于零嘛，对不对？根号嘛，开根嘛， 根号要大于等于零啊。根号大于等于零，所以 x 大 于等于啊，大于等于一啊，大于等于一啊，这个是带等号的。带等号的。带等号的是什么？ 直接选 d 啊，直接选 d， 所以 最后啊，这个二十来天呢，我们练的是什么呢？直接练去练专项的练习啊，直接回归整体啊，这才是最重要的。所以如果说大家不懂这些知识点内容的啊，那老师这里呢，已经全部给大家整理好了。直接整理好了，还有什么呢？还有这些专项练习包括什么呢？定律， 直域，还有解解析式啊这些内容呢？老师这里全部都有，都是免费给大家的。还有什么？包括这种呃概念的一个讲解内容。好吧，如果有需要的啊，后台找找老师领取就行了。好，我们下期再见啊。

正弦函数知识点归纳，第一个知识点就是正弦函数一个周期的图像，那我们用的是描描点法，三个步骤列表描点，然后用光环的曲线连接，那么列表的时候我们主要起的五个点， x 起零二分之派，派二分，三派和二派， 那么我们算出他的正形的字，那第二步的话呢，就是秒点啊，这五个点，第一个点是零零零零点，第二个点是二分之派一，第三个点是派零，第四个点是二分之三派负一，第五个点是二派零，那么这五个点呢要记起来，然后用光滑的器械把它连起来，那么这就是这些函数一个周期的图像。 第二个知识点就是正前函数的，嗯，图像，那么正前函数的图像他是像波浪一样的啊，那么他可以向左边无线的延伸，也可以向右边无线的延伸。第三个知识点就是正前函数的性质，这边我们看定义词语和坠子，那么正前 他说的图像我们已经知道了，那么我们要会看图，那么定义域定义是 x 的范围，那么图像把它对应到 x 轴，发现那么是整个 x 轴，那么因此他的定义欲的话呢是前提十数， 那么直欲，直欲的话呢就是歪的气质范围，那么我们把这些图像全部对应到歪轴，发现歪的范围就在负一和一之间，那么所以他的直欲就是负一和一最直。当 开始在这个二分之派，二分之五派最最大值就是最上面的点，那最上面的点他有无数多个，在二分之派，二分之五派，二分之九派等等，还有负二分之三派都可以起到最大值， 那么怎样把所有的 x 表示出来呢？我们找到规律就是他们相隔都是相隔二派的长度，那么所以我们要写 x 的范围的话，你只要呢写其中一个，比如说二分之派，然后加上二 二 k 派，那么就可以表示所有的 x， 那么在这个 x 写出来以后，我们就可以知道他的最大值就是对应到 y 轴，最大值就是一，那么同样的最小值就是最下面的点，那么最下面的点的话呢，他的 x， 那么同样的他的规律呢，就是相差二派个长度， 那么所以的话，我们要写出 x 的字，就是你先起一个，你可以起负二分之派啊，也可二分的三派，二分之七都可以，然后加上一个二 k 派，就表示所有的 x 的字，然后我们就可以知道他的最小字是负 e， 我们看这个立体 e， 立体一的话，已知正弦会的二 m 加以求 n 的范围，那么这个的话呢，就要用到这个正弦函数的有界性，那么刚才我们已经说了，正弦函数它的范围是在大一等于负一小一的一，所以的话呢，左边在这个范围，那你右因为是相等的，右边也要在这个范围，所以就可以求的 n 是大一等于负一，小一等于呢？零二。 再来看例题二，函数 y 等于三， xx 属于零到二分之三派时，当 x 几合值时，最大值是多少？ x 合值是最小值多少。那么这边的话呢，我们用图像法，那图像法的话呢，你先画出一个周期的图像，但是这一道题它并不是一个周期，是零到二分之三派，只是这一个周期的其中一小部分， 所以你要先把图像呢找出来。 x 在零到二十三部分对应的图像，那么就是这红色的部位，那么我们就可以知道最上面的点就是最大值吗？那就是在这个地方，那么我们可以知道这个时候对应到 x 轴是二分之派，所以 x 得以二分之派的时候，它可以起到最大值，就是一 最小值，就是最下面的点，那么最下面的点呢？就是这个点，那么当 x 等于二分之三派的时候，其他最小值呢？复议第四个，这个点即有型，那么正前函数在二上是基函数，那我 我们可以根据图形来，我们知道接函数的话，他会关于眼点对称，那么从这个图中我们把这个图旋转一百八十度，哎，我们会发现他是关于和原来的图像是一样的，所以图像是关于眼点对称的，所以是接函数，当然我们也可以用定义来证明。第五，单调性， 那么嗯，正前函数的单调性，我们要写他这边的话呢，又有单调递增期间，又有单调递减期间，那么我们怎样把这个单调递增期间和单调递减期间写出来呢？因为他这边每个递增期间，每一个递减期间不是连在一起的，那我们该怎样写呢？ 啊？我们先找出所有的递增期间，哎，我们就会发现他这一些呢，都是图像上升的，都是递增期间，那我们怎样把它呢写出来呢？我们可以找到规律，比如说最小指点和这个最小指点它是相差二拍个长度，最大指点和最大指点也会相差 二派克程度，所以的话我们要写出他的单调递增期间，我们只要先写出其中的一个，比如说我们找出负二分的派，加二分的派，呃，二分的派，那然后呢，你在这两个端点这边加一个二可以派，他就可以表示所有的这个递增期间，还有所有的递增期间。 那么同样的方法递减期间呢，也有很多，也有很多，那我们只要先找出其中一个，然后呢分别加上二 k 派，那么就表示呢，这个期间就表示这个正弦函数的递减期间。 比如说我们看丽丽三要写出这个函数的单调期间。单调递减期间，那么首先我们要找出图形，我们要画出图形，那么负派到二分之三派，他的图像呢，是这种形状的， 画出图形以后，那么递减期间就是图像向下的部分对应而开始的范围，那我们的话呢，可以知道有两部分，还有 这一部分和这一部分，那这部分 x 的范围很明显就是负派到负二分之派，那么这一部分的话是二分之派到二分之三派。第六个知识点，周期性，对于一个函数 fx， 如果存在一个长数 t， 使得当 x 起定义内的每一个数值时，都有 fx 加 t 等于 fx， 那么这个函数就叫做周期函数。 常数 t 就叫做这个函数的周期，这就是周期函数的定义，那么这个周期函数 fx 加 t 等于 fx 什么意思呢？就是说对于任意的 x， 经过给第一个周期以后，那么它的函数值是会相等的。 那么对于一个周期函数 ff 开始，如果在他的所有周期中都存在一个最小的证数，那么这个最小的证数就叫做最小证周期，比如说最前函数，最前函数的话呢，他的最小证周期就是二派，因为其他周期的话呢，他的图像都会和这个图像呢完全 前的重合，比如说下一个周期，再下一个周期，再下一个周期，他们图像其实都是重合的，所以最小的正的周期就是二派。 那么我们再返回去看定义 f x 加 t 等于 f x， 你看，比如说我们看最大值点，这个二分之派这边最大值是一，经过一个周期以后是二分之五派，二分之五派以后，他的最大值也还是一，所以的话呢，当然在其他地方也是经过 k 个周期以后，他们的最值都是相等的，而歪值都是相等的， 这就是周期函数，经过 k 个周期以后，函数值都会相等。第七个知识点，求最小证周期。对于证证衔证衔行函数，我们要求他的最小证周期，有个最简单的方法，就是带这个公式， 就是用二派除以欧米伽的结对子，那么这个欧米噶是 x 的系数，要注意是 x 的系数，比如说像立体式，那就是二派 除以三，所以他的最小增周期就是三分之二。排第八个知识点，五点法做图，我们做的是正前行函数的图像，那么方法的话呢，一样的，比如说我们在这边要做出 y 等于一加三也开始的图像。第一步描点法 好，描点法的话， x 的起子，我们都是起零二分之派派二分之三派，二派都是起的这五点。然后我们可以用计算器算出 y 等于三页 x， 再算出 y 等于一加三页 x， 那表格列出来了以后，我们就知道五个点了，第一个点零零和二零一，第一个点是零一，那么是在这个地方，第二个点是二分之派二，是在这个地方，第三个点是派一，第四个点是二分之三派负一，二分之三派零，第五个点是二派一， 然后我们有光滑的器械呢，把它连起来啊，那么这个图像就是 y 等于一加三也开始的图像，一个周期的图像啊。我们看这个 在前行函数，他的最值，那么他最值，我们可以看图来最上面的点就是在这个地方，就是当 x 等于二分之派的时候，他可以起到最大值二，最下面的点就是最小值，就是当 x 等于二分之三派时，起到最小值为零。要会看图，要会看图 这些新函数的旧性，那么从刚才的图像，我们其实会发现，他既不会关于歪轴对唱，也不会关于眼点对唱，所以的话，他的从图像就可以判断出他是非机非偶的。 但是在解答题当中我们要进行说明，那我们前面的话呢，我们有讲过机油性的证明两个步骤，第一步你一定要说明定义意义是否关于原点对称，那么他这边第一步定义意义是关于原点对称的。 然后第二步我们的话呢，就 x 起相反数，比如说 f 二分之派等于二， f 二分之派等于零， x 去相反数，如果是饥寒数， x 起相反数， y 指也互为相反数，那么一个是二，一个零不是 相反数，谁不是极函数？如果是偶函数， x 会相反数，歪子相等，那所以他也不是偶函数，所以这个函数既不是接函数也不是偶函数。 第十一个知识点就是这些函数的单调性，那么我们也是要会看图哈。呃，图像向上的部分，这一部分对应 x 的范围是零到二分之派，还有向上的部分是这一部分，呃，对应 x 范围是二分之三拍到二派，所以他是一个真函数，那么在这个范围他是一个减函数。

正弦型函数 y 等于 a， 乘以 side 括号 omega， x 加非，其中 a 不 等于零。 omega 大 于零的图像和性质。正弦型函数的自然定域域是实数，几值域为从负 a 的 绝对值到 a 的 绝对值的 b 区间。 正弦型函数是周期函数，其周期为 omega 分 之二 k pi， 其中 k 是 不等于零的整数， 且当 k 等于一时为最小正周期。 omega 分 之二派正弦型函数在非等于 k 派时为奇函数，在非等于 k 派加二分之派时为偶函数。 当 a 大 于零时，正弦型函数再从 omega 分 之二 k 派减二分之派减飞到 omega 分 之二 k 派加二分之派减飞的 b 区间上单调递增， 再从 omega 分 之二 k 派加二分之三派减飞的 b 区间上单调递减。 当 a 小 于零时，单调性则刚好相反。当 a 大 于零时，正弦型函数在 omega 分 之二 k 派加二分之派减 a 处取最大值 a 在 omega 分 之二 k 派加二分之三派减 a 处取最小值负 a。 当 a 小 于零时，在 omega 分 之二 k 派加二分之派减 a 处取最小值 a 在 omega 分 之二 k 派加二分之三派减 a 处取最大值负 a。 正弦型函数的对称轴为直线 x 等于 omega 分 之 k 派加二分之派减分，对称中心为点。 omega 分 之 k 派减分和零。综合整理表格如下。

哈喽宝贝们，我们一块来求一下函数的定义域，首先我给它分成了两个大类，第一个大类的话呢，是直接去求 f x 的 定义域，第二个类型的话呢，是已知 f x 的 定义域，求一个复合函数的定义域，求 f x 的 定义域。 这是我分为了两个大类。首先我们先看第一个大类，那么第一大类里边呢，它又包含了好几个小的点，那么我们一块来看一下。首先第一个点的话呢，就是分式当中分母是不能为零的， 那么我们看一下这个例题，已知 f x， 它是等于 x 加一，分之 x 减一的，然后我们去求一下它的定音域，那么首先这个 f x 的 话呢，它是一个分式，那咱说了 分式当中呢，分母是不是不能为零？这里边的分母是谁啊？分母的话是 x 加一，所以这个 x 加一的话呢，是不能等于零的。 那么我们下一步不等式两侧给它同时减一，那么左侧的话是 x 加一再减一，然后不等号照抄右侧的话就是零减一，左侧的话一减一的话就是零， x 加零就是 x， 所以 咱能解出来 x 是 不等于负一的，这样的话呢，我们就能求出来，它的定音域的话呢，就是 负无穷到负一并上，负一到正无穷。那为什么这么写哈？首先我这个地方，我这是写成了区间的形式，我如果写成集合的形式的话呢，就直接写成是 x 竖线 x 不 等于负一，一个大括号的这个形式就可以了。 那么我如果说写成区间的形式，我们可以通过竖轴来看一下它怎么写的，那么这个地方的话是负一，那么不等于负一的话，就是空心往左的话呢，就是 负无穷到负一，然后空心往右的话呢，就是负一到正无穷。那么咱说的写定域域的话呢，那么两个区间之间，我们是要用并给它连到一起的，所以合到一起的话，就是负无穷到负一，并上负一到正无穷， 这是第一个小类，那么咱们再看第二个小类，那第二个小类的话呢，就是偶次根式的话呢，它要求被开方式是大于等于零的。 几次根式的话呢，它对被开方式是没有任何限制的。那么我们先看第一个例题，我已知这个 f x 等于根号下 x 加一，那么我们求一下它的定义域。首先这个根号它指的是二次根式， 那么二它是不是一个偶数啊？所以根号下 x 加一，这个根号它是一个偶次根式，那么它要求它的被开方式是大于等于零。下一步我不等式，这两边给他同时减一，左侧的话是 x 加一，再减一， 然后大于等于照抄，然后右侧的话就是零减一，那左侧整理一下，就是 x 大 于等于右侧的话，就是负一，所以我们解出来 x 的 话是大于等于负一， 那写成区间的形式的话呢，就是负一到正无穷，左必右开的形式。那我如果写成集合的形式的话呢，就是大括号 x 竖线 x 大 于等于负一，然后这个地方再给它括起来就行了，那么写成集合的形式也行，写成区间的形式也行。这两个形式的话，写哪个都是对的哈。 然后再看第二个例题，那么我已知 f x 等于三次根号下 x 加一，那么我们求一下它的定义域，首先三次根号，这个三的话呢，它是一个基数，那咱说了 第一次根式的话呢，它对被开方式是没有任何限制的，所以它的定义域的话，就是全体实数，那写成区间的形式的话，就是富无穷到正无穷。 那么我们再看第三个小类型，那么对数函数的话呢，它要求真数是大于零的，那么我们还是举个例题，那 f x 的 话呢，它等于零， x 加一，那么我们求一下它的定义域。首先这个对数函数的真数的话呢，是 x 加一对吧？那么咱要求真数是大于零的，所以就要 x 加一 大于零，那么下一步我把不等式左侧的这个加一给他移到不等式的右侧去，原本是正的就变成负的，那就是 x 大 于零减一就是 x 大 于负一，那么我们写成区间的形式的话呢，就是负一到正无穷开区间的形式。那么什么时候写 b， 什么时候写开啊？这种 不带等号的，你像这种大于的，你就写开区间，那么大于等于这种带等号的，你就写成 b 区间的形式就行。那么这个地方我如果不想写区间的形式，写成集合的形式的话呢，就是画一个大括号，然后 x 竖线 x 大 于负一，再给他括起来就行了。然后接着 再看第四个小类型，那么 arc 三引 x 和 arc 口三引 x， 它的定音域的话呢，是负一到一 b 区间的形式，那么我们可以给它拓展出去。假如说 arc 三引框和 arc 口三引框的话，那么它的定音域的话，就是要求这个框的话是要大于等于负一，小于等于一的， 那么这个框呢，它就是一个关于 x 的 式子哈，那么还是回到我们的题目当中，我已知 f x 呢等于 r 三 e x 加一，然后我们求一下它的定义域， 首先这个 r 三 e x， 它要求这个 x 的 范围的话，是在负一到一之间，所以我的这个定义域的话，就是负一到一 b 区间的形式。那么后边这个加一的话，你注意一下，它是 r 三 e x 这个整体加的 e， 不是 r 三 e x 加一括起来的形式，就这两个形式是不一样的，你一定要注意区分。如果要是 r 三 e x 加一， 它的定义域的话呢，你就要要求这个 x 加一要大于等于负一，小于等于一的，那么这个 x 加一呢，它就相当于这个公式当中的框， 然后我们下一步在不等式这两边给它同时减一，中间的话是 x 左侧的话呢，负一减一的话是负二，右侧的话呢，一减一的话是零，这样的话， ar 三引 x 加一，这个整体，它的定音域的话呢，就是负二到零 b 区间的形式，就这个地方的话，一定要注意一下， 然后再看下一个例题，那么还是 ar 口三引 x 减一的定音域，首先 x 减一呢，它就相当于公式当中的框，所以 x 减一呢，它要大于等于负一，小于等于一，然后我们下一步不等式这几边给他同时加一，那么负一加一的话是零，一加一的话是二，所以我们就能得到 x 的 范围的话呢，就是大于等于零，小于等于二，这样就能求出来它的定域就是零到二 b 区间的形式。 那么接着再看第五个小类型，那么求复合函数的定音域的时候呢，我们一般是从外向里求，那么当然你也可以从内向外求，这样的话也行，那么从内向外还是从外向内，一般就看个人习惯， 你如果说习惯从内向外求，你就从内向外求，你如果习惯从外向内求的话，你就从外向内求，我一般的话会习惯性的从外向内求，所以我们讲的话，我们就从外向内的这样去讲哈。 那首先我们先看一下这个例子，那么 y 等于根号下 r 三引 x 减二的定义域，那么首先这是一个复合函数，外层的话呢，是这个根号，内层的话呢，是这个 r 三引， 那么外层的话呢，它是根号，那么偶次根式它要求被开方式是大于等于零的，所以咱们就能得到 r 三引 x 减二呢，它是大于等于零的。然后接着再看内层，内层是谁啊？内层是 r 三引 x 减二， 那么 r 三引 x 减二呢？它要求这个 x 减二呢，要大于等于负一，小于等于一。那么我们写出来这两部分他们对 这个 x 的 限制之后呢，我们再求一下这两部分的交集就可以了。那么首先 r 三引 x 减二大于等于零，它解出来就是 x 减二大于等于零。怎么来的？我们可以画一下 r 三引 x 的 图像，那么这个地方的话呢，是 y 等于 r 三 x 的 图像，那么当 x 大 于等于零的时候呢，我们可以发现它这个 r 三 x 呢，是大于等于零的，也就是说当 x 大 于等于零的时候， ar 三引 x 大 于等于零，我如果给它拓展出去的话呢，就是框大于等于零的时候呢？ ar 三引框它是等大于等于零的，所以这个地方的话呢， ar 三引 x 减二大于等于零，解出来就是 x 减二大于等于零，这个 x 减二呢，它就相当于公式当中的框。 然后接着 x 减二大于等于负一，小于等于一，这两部分一求交集的话，你看一下 x 减二，他大于等于零，又大于等于负一小于等于一，这两部分一求交集的话，是不是只剩下个 x 减二大于等于零，小于等于一了，然后下一步的话呢？我们在不等式这几边给他 同时加上个二，那么左侧的话零加二的话是二，右侧的话一加二的话是三，所以咱能得到 x 的 话呢，是大于等于二，小于等于三的，这样我们就能写出来它的定义域，就是二到三 b 区间的形式。 接着我们再看一下第六部分，那么两数和或者是差的定音域，我们就是分别求一下这两个函数的定音域，然后再求一下它们之间的交集就行。那还是看几个例子，那首先的话， f x 等于 r， 口三引 x 减一，加上 lo n x 加一的定音域， 那么它是两个函数相加的形式，对吧？我们分别先求一下第一个函数的定音域，然后这两部分 x 的 范围求一下交集，就是我们这个题的答案。 那首先阿克口三 e 的 话呢，他要求后边的式子要大于等于负一，小于等于一，所以才能得到 x 减一。要大于等于负一，小于等于一， 那么不等式这几边同时加一，这样我们就能得到 x 的 范围的话，是大于等于零，小于等于二的。然后接着再看第二个部分的 一个定域，也就是说我们对数函数的话呢，要求真数是大于零的，所以 x 加一的话呢，它是要大于零的。那么我们解出来这个 x 的 范围的话呢，就是大于负一的，所以这两部分 x 的 范围，我们求一下交集，可以画一下数轴，这个地方的话是负一，这里是零，这里的话是二， 那么 x 大 于等于零，小于等于二的话，就是实心给它连到一起。 x 大 于负一的话呢，就是空心往右。那么这两根线的交集的话呢， 解出来 x 的 范围的话，就是大于等于零，小于等于二，那么我们就能写出来它的定义。域的话呢，就是零到二 b 区间的形式。 那么接着再看下一个例子，那么这个例子的话呢，是两个函数相减的形式，我们还是求一下这两个函数 x 的 范围，然后咱们再求一下交集。首先偶次根式的话呢，它要求被开方式是大于等于零的， 对开方式是谁啊？是这个 x 加一吧，所以这个 x 加一要大于等于零，那么我们把左侧的加一给他移到那个不等式的右侧去，原本是正的就变成负的，那零减一的话是负一，这样我们能得到 x 的 范围的话呢，是大于等于负一的。 然后接着再看另一部分的函数，对数函数的话呢，要求真数是大于零的，那真数是谁啊？真数是 x 减一，所以 x 减一要大于零，咱就能解出来这个 x 的 范围的话呢，是大于一的，那么这两部分一求一下交集这个地方是负一，这里是一，那么 x 大 于等于负一，就是实心的往右， 那 x 大 于一的话，就是空心往右。这两根线的相交的部分的话，这个 x 的 范围的话就是 x 大 于一，所以它的定音域的话呢，就是一到正无穷开缺键的形式。那么第一部分的内容呢？我们就讲完了。