八上数学第三次月考距离相等怎么画

两分钟带你学会三角形外接圆画法。 听到这里的同学们，我再说一下三角形外接圆的圆心，他又有个名字呢，叫做外心，他的特点是到三角形三个顶点的距离都相等，所以我们做这个图的方法就是去做他每条边的 垂直平分线，也就是它的中垂线。嗯，这里的话其实只需要做两条边的垂直平分线就可以了，因为两条边它的焦点就已经可以确定圆心的点了，老师是顺手把第三条边的也给画上了。

画轴对称图形的核心依据是对称轴，是对应点连线的垂直平分线，这意味着圆图形上的任意一点与它的对应点之间的连线 必定与对称轴垂直相交，并且这两个点到对称轴的距离完全相等。理解这个原理是掌握轴对称图形画法的关键。我们需要找到图形关键点，比如顶点、端点或焦点，然后为每个关键点找到它关于对称轴的对应点。 画轴对称图形的规范方法分为四个步骤，第一步是找关键点，在原图形上标出所有的顶点、端点或焦点。第二步是做对应点，为每个关键点做关于对称轴的对称点，确保对应点到对称轴的距离与原点相等， 并且连线垂直于对称轴。第三步是连对应点，用直尺按照原图形的顺序依次连接所有对称点。第四步是验证修正，检查对应点连线是否垂直于对称轴，对应边长度是否相等，确保图形完全对称。 做对应点需要使用圆规和直角接。首先过关键点，做对称轴的垂线，可以用圆规在关键点两侧画弧，与对称轴相交于两点， 然后连接这两点的中点与关键点就得到了垂线。接下来在垂线上量取与关键点到对称轴相等的距离，标出对应点。最后验证对应点到对称轴的距离是否相等， 年限是否垂直于对称轴，这样就能准确的找到每个关键点的对应点。在方格纸上画轴对称图形可以使用简化方法。如果对称轴是数值方向，比如直线 x 等于 a， 那 么对应点的横坐标等于二倍的 a， 减去圆横坐标，重坐标保持不变。如果对称轴是水平方向，比如直线 y 等于 b， 那么对应点的重坐标等于二倍的 b， 减去原重坐标，横坐标保持不变。例如，当对称轴为 x 等于三时，点 a 的 坐标是一逗号二，那么对应点 a 撇的坐标就是五逗号二。这种方法可以快速准确的找到对应点。 划轴对称图形时，容易出现以下错误，第一，漏找关键点，忽略了线段的端点或图形的交点，导致对称图形不完整。第二， 距离不等，在做对应点时没有准确量取对称轴的距离，导致图形不对称。第三，连线错乱，连接对应点时，顺序与原图形不一致，形成了扭曲的图形。第四，垂线不垂直，没有使用圆规规范做垂线， 仅凭目测画线，导致对应点位置偏差。避免这些错误，需要严格按照规范步骤操作，使用正确的工具，并在完成后仔细验证。 我们来看一个典型例题，在方格子中画出三角形 abc。 关于直线 x 等于四的对称图形，已知点 a 的 坐标是一逗号二，点 b 的 坐标是三逗号一，点 c 的 坐标是二逗号四。首先确定关键点 abc， 然后使用公式计算对应点的坐标。对于数字对称轴 x 等于四，对应点的横坐标等于二乘以四，减去圆横坐标，重坐标不变。因此 a 撇的坐标是七逗号二、 b 撇的坐标是五逗号一， c 撇的坐标是六逗号四。最后依次连接 a 撇、 b 撇、 c 撇，就得到了对称三角形 a 撇、 b、 c 撇。 现在我们来做一道练习题，在方格纸上画出梯形 a、 b、 c、 d。 关于直线 y 等于三的对称图形，已知点 a 的 坐标是零逗号零点 b 的 坐标是四逗号，零 点 c 的 坐标是三逗号二点 d 的 坐标是一逗号二。因为对称轴是水平方向的，直线 y 等于三。 我们使用水平对称轴的公式，对应点的重坐标等于二，乘以三减去原重坐标，横坐标保持不变。计算得到 a 撇的坐标是零逗号六、 b 撇的坐标是四逗号六、 c 撇的坐标是三逗号四、 d 撇的坐标是一逗号式。最后依次连接 a 撇、 b 撇、 c 撇、 d 撇，就得到了对称梯形 a 撇、 b 撇、 c 撇、 d 撇。通过这道练习，我们进一步巩固了在方格纸上画轴对称图形的方法。

同学们大家好，今天我们来学习垂直平分线， 我们在学习垂直平分线之前呢，我们先来要看一下什么是垂直平分线，也就是垂直平分线的定义是什么？只有了解了这个定义，我们才能够根据他的这个定义来推到他的性质。 好，我们来看一下垂直平分线的定义，那什么是垂直平分线呢？我们来注意这个图是不是我们得到的很像是一个轴对称图形的图， 那就说明了这个垂直平分线是不是跟轴对称有关系，那好我们来看它怎么说呢？经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，我们叫做这条线段的什么垂直平分线？ 我们在看这个图的时候发现 i 纹其实就是我们这两个图形 abc 和 a 撇， b 撇 c 撇的什么对称轴？那我们说过对称轴是不是从一点，比如说 a 点来说，它到对称轴的距离和 a 撇点到对称轴的距离怎么样呢？相等， 所以我们首先是不是就得到了线段终点？屁，是我们 a a 撇线段的终点。然后呢我们再来看直接看图，其实也能看出我们 m p 是 垂直于 a a 一 撇的，所以 m n 是 不是就是 a a 一 撇这条线段的垂直平分线。好，我们现在接着来看一下垂直平分线的性质，我们现在可以看到有一句话猜想啊，他说什么线段垂直平分线上的点 到线段两端点的距离怎么样呢？相等，那也就是说我们首先前面这一串都是我们的什么条件？ 首先这个点在哪里？垂直平分线上，然后呢他要到哪里呢？到线段的两个端点的距离，那我们说过点到点的距离是不是 沿他的这两个点的什么直线？那好，那我们来看一下如何判定得到这条性质呢？ 我们来注意一下这道几何证明题。已知如图，直线 l 垂直于 a， b 垂足为 c， a， c 等于 c b， 点 p 在 l 上。首先我们来看这个条件 来，直线 l 垂直于 ab， 垂足为 c， a， c 还等于 c b。 那 就说明了一件事情，我们直线 l 是 ab 的 什么？垂直平分线？ 好，我们再来看它，让我们求证， pa 等于 pb， 那 怎么办呢？那我们想一下， l 垂直于 ab， 首先我是不是得到角 p c a 等于角， p c b 等于多少度呢？九十度。 然后呢，我们再来看 c a 等于 c b， 然后我们还发现这两个三角形有一条公共边什么呢？ p c。 那 我们来注意，当我们把条件在一个三角形里面画出来了以后，我发现是不是 s a s 是 不是就能够判定什么了？全等了，所以我们就能够得到三角形 p a， c 全等于三角形 p b c， 然后呢，两个三角形全等，我们是不是也就能够得到 p a 等于 p b？ 好， 以上是我们的分析过程，现在我们来看一下这道题如何进行描写呢？ 好，我们注意到我们这个屏幕下方出现了最后一句话，用符号语言表示为，因为 c a 等于 c b， l 垂直于 ab， 所以 pa 等于 pb。 我 们今后可以不用几何证明直接得到这句话。当然我们还可以这么写啊， 因为 l 是 ab 的 垂直平分线， 所以 pa 等于 pb， 这样写也是正确的啊。 好，我们这道题大家听懂了没有？听懂的话呢，我们就相当于已经把线段的垂直平分线性质证明出来了。 那我们来看一下这个几何语言如何用文字语言来进行表示呢？ 我们来看啊，线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等。 注意，首先是这个点必须在哪里呢？线段的垂直平分线上第二个呢？他要求到哪里呢？他必须要到这个 线段的什么两个端点？是线段的两个端点，然后我们可以得到距离相等，然后我们就可以得到距离相等。啊， 好，那我们来做一下相关的应用，根据垂直平分的性质，我们能够得到什么样的应用呢？我们来看一下， 如图， a d 垂直于 bc， b d 等于 dc。 好， 我们读到这句话立马就能翻译到，所以 a d 是 我们的什么线呢？垂直平分线是谁的垂直平分线呢？是不是 bc 的？ 好，得到垂直平分线以后，我们立马想到垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，那我发现垂直平分线上的点是不是有个 a？ a 是 不是有刚好跟线段两端点 a b 连接着一个 ac 也连尖叫，那所以我们立马就得到了 ab 等于 ac。 好， 我们再来看第二句话，点 c 在 a e 的 垂直平分线上。 好，我们来看点 c， 在 a e 的 垂直平分线上来点 c 带 a e 的 垂直平分线上，然后我们注意到 c 是 不是跟线段 a e 的 一个端点 a 连接着，对不对？然后 c 同时跟 a e 的 另一个端点 e 连接着，那我们立马就得到了。所以什么 a c 等于 c e？ 好，那我们把刚才得到的已知结论全部给综合一下，是不是就得到了？所以 ab 等于什么呢？ c e， 那 好，现在我们来看题目， a b， a， c， c， e 的 长度之间有没有什么关系呢？那我们是不是差了什么？ a c， 那 么 a、 c 一 股，那所以第一个关系是不是这三个线段怎么样呢？相等，然后我们再来看第二个问题，他说 a、 b 加上 b， d 与 d， e 有 什么关系呢？与 d， e 有 什么关系呢？ 那我们来看这种题怎么办？我们就要用到等量代换了啊，因为 ab 加 b、 d， 我 们在之前是不是就得到了它？是不是等于 ab？ 我 们说过它是等于谁呢？ c， e 的， 然后呢？ b、 d 又是等于谁呢？ c， e 的， 那我发现了 c e 加 c， d 刚刚好就是我们的什么 d， e， 所以 它有什么关系呢？它们 ab 加 b， d 等于什么呢？ d， e 啊？ d e， 好， 我们来看一下这种题标准的证明过程怎么写啊？ 好，我们现在得到了这道题的标准的证明过程，那我们现在对线段的垂直平分线的性质就有了一定的了解。那以上呢，就是我们今天的所有内容了，我们来再把线段的垂直平分线的性质来复习一下。 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。注意， 第一，这个点必须在垂直平分线上，第二，这个点必须是到线段的两个端点，然后呢，我们才能得到距离相等。好，同学们，我们下节课再见。

每天三分钟，初中四年通，今天我们来到八上二十二点二、角平分线。我们之前在讲三角形内部的线的时候，其实就已经讲过中线高和角平分线， 那么如果我们独立的来看角平分线，那就是给出一个角，然后做出一条线，使被这条线平分的两个角大小相等。那么我们来看重要的是角平分线的性质。角平分线它自带一个角度相等，所以这个条件往往在证明全等的 题目中会广泛使用。角平分线有定律，角平分上线上的点到角两边所在的直线的距离相等，这个其实可以根据在角平分线上任取一点往 角的两边做垂线段，这样子就构造了两个直角三角形正。这两个直角三角形全等是非常简单的，因为它有一个公共边有角度，所以快速正出全等我们就能正出，其中 e f 等于 d， f 即角平分线上任取一点到角两边所在直线的距离相等，他的逆定律也是正确的，在角的内部到角两边所在直线距离相等的点均在这个角的角平分线上。 那么我们只单独讲角平分线，那么再把角平分线放到三角形里面，我们来看有没有什么特殊的条件呢？我们把三角形内部三个角的角平分线都画出来，发现居然交于一点，我们暂时没有学到圆，但是这里先 提前说一下为什么叫内心，因为这一点是三角形最因为这一点是三角形内接圆的圆心，因为圆上半径处处相等，所以其中的 o e 等于 o d 等于 o f， 所以 o 点即是三角形内部内接圆的圆心，叫做内心， 这个会在我们后面学到圆的时候再单独的提出来。重点讲角平分线最重要的性质，那就是通过全等所证出的角平分线上的点到角两边距离相等，逆定律也同样正确。

我们南京的期末考卷的压轴题难度系数比较大啊，同学们可以先尝试做一做啊。他依然是一个行程问题。我们先看题目，甲乙两地相距的距离是 s， 没有告诉我们 s 多少，是个未知数。慢车从甲地 出发，匀速驶往乙地。好了，那我们看到这个题目的时候，我们上来优先把甲乙两地的这个线段图画一画，也就是说，这是甲地，这是乙地，它们之间的路程是 s， 对 吧？那慢车呢？是从甲地往乙地哦，慢成这，而且它是匀速运动，对吧？ 出发 a 小 时之后呢，有一个快车哦，快车也是从甲地开往乙地的，不过他是慢车先出发了 a 小 时之后他才出发的。 那下面他又说了，呃，两车同时到达以地，哦，居然他们慢车，虽然你先出发， 你跟快车虽然你后出发，但是他们居然是同时到达以地的，这个信息很重要。第二个，当他们到达以地的时候呢，慢车保持原来的速度，就原路返回，他到了之后就立刻返回。而快车呢，是 在那休息了一个小时，然后突然加速。刚开始比如说速度微快，后来变成什么？加速百分之五十，变成一点五微快，好理解吧，加速百分之五十是不是比原来多了零百分之五十啊？所以他的速度立刻变成了一点五微快， 微快休息的时间比较长了，所以他必须加速。哎，他发现他和慢车又是同时回到假地这个过程。那么整个过程当中啊，慢车距离假地的距离 y。 注意重点来了， 假地的距离，慢车离假地的距离 y 与时间的 t 函数关系如图所示，这就是我们的慢车离假地的距离，刚开始他离假地是零，也就是说他距假地是刚开始在假地。 哦，两个小时之后，他又什么样？距假地的距离为 s， 说明此时此刻他已经到乙地了。到了四小时之后，你发现他距假地的距离又为零，说明他两小时到这，因为他是两小时，两小时看得懂吗？ 这个还是比较简单的吧。好，那我们看以在图中画出快车离甲地的距离 y 二、与时间 t 的 函数关系。我们知道快车是 a 小 时后再出发的，也是两小时跟甲是同时到达乙地的，所以刚开始的第一范图，对于第一段图对于我们来说还是比较容易的吧， 就两小时，他也是到达乙地了，也就是说刚开始 a 的 时候零到 a， 他 没动，所以他到甲地的距离是零，他一直在甲地，然后从 a 的 时候，他开始慢慢离开甲地，和乙是同时到达乙地的，也就是说同时到达乙地，也就两个小时的时候，甲到达乙地， 乙也到达乙地了，哦，不，那个慢车到达乙地，快车也到达乙地了。好，那这时候两小时一到这之后，慢车就返回了，但是快车休息了一个小时，也就是说在这个休息时间段里面，二到三小时，甲压根没动，他是保持原来的这个 地方，他一直是在乙地休息的，所以此时他到乙的距离，到甲的距离是不是永远保持 s 啊？ 啊，那么到了三小时之后，他疯狂开始开加速，一个小时又跟我们的慢车一样回到了假地吧，所以他又是同时回到的，所以这个紫色的线画出来，这条线就是我们所说的 y 二吧。所以第一小问他还是送分的比较简单。 那第二小问要求 a， 他 到底多长时间开始出发呢？这个对于我们来说也不算很难，其实这个数字好练吗？非常好练，我们知道刚开始。哎，一开始我们的 慢车，哦，就是快车，他行驶的这个路程，去的时候行驶的路程也是 s， 回来的时候他行驶路程是不是也是 s 啊？那么这两段所行驶的路程是一样的。好了，那我们根据。嗯，第二题，我们把过程写在旁边。 第二题，既然他行驶的路程相同，那我们看一下他去的时候的路程是不是用速度乘以时间？他的速度我就给他取名叫 v 快。 乘以时间他行驶多少小时？是不是二减 a 小 时啊？因为他是过了 a 小 时才出发的，那么回来的时候他行驶多少小时？ a 行驶的一小时，他的时间，那速度变成什么？是不是变成一点五？ v 快 啊，能看得懂吗？哦，乘以一小时 解得，那这个方程里面，你看微快，微快两边都有，是不是消掉这只有一个含有 a 的 一个方程，所以二减 a 就 等于一点五，乘以一就是一点五，所以 a 等于零点五。解这个很简单吧。哦，解得 a 等于零点五，也就是说他是慢车出发半个小时之后，快车才出发的零点五。 零点五。你看这个题目，就即使有同学他不会，他会去猜测， 感觉看着好像是零点五是一半，是吧？有人就能猜出这个答案。所以这个题目故意给图的时候，他把 a 往旁边偏一偏，那这个时候有同学想猜的时候，想猜零点五，可是内心有点打鼓，他觉得好像他不是零点五，这个图不准，感觉猜个三分之一，所以你如果靠猜出来答案就是错的了啊，所以这个题目他故意这么去画图。 好，下面第三题已知，从甲地到乙地的这个路程中，距离乙地三十千米处有一个治安警亭，那么第一小问，哦，这时候出了个幺蛾子，什么幺蛾子哦？距离我们乙地三十千米，也就是说这个地方有一个警亭， 治安警亭，我们在这边写个警啊，警亭写一个字，这一段距离是多少呢？是三十千米。 好，现在第一小问，若 s 等于一百二哦，整个 s 是 一百二十的话，那这个这段长度不就是九十吗？ 对吧？好，那我们根据题目，他说在整个行驶过程中不含形成中点假地，那么问 t 时间 t 等于多少时？两车与仅停的距离是相等的， 不含终点是什么意思？你看，刚开始慢车往这边行驶，行驶，行驶快车 a 半个小时之后，从后面追追追追追，直到他们同时到了到达乙地的时候，快车追上慢车，那么在整个这个过程中，到达乙地的时候，他们到紧急的距离肯定是相等，那么在到达乙地之前，有没有一个相等呢？当然有，为什么？因为你 快车追上慢车的时候是在乙地才追上的，那有没有可能慢车已经到这了， 对吧？但是快车呢？可能在这，那么这种情况下，有没有可能保证他们到达仅停的距离相等呢？当然有可能，这是第一种情况，那第二种情况就是慢车到达以地，快车也到达以地，刚好追上慢车的那卡那一刻啊，是不是他们到仅停的距离也是相等啊？ 这第二种，那么第三种是什么呢？就是返回的时候，咦，他没动，在这没动，然后呢？甲往回行驶，有没有可能？咦，没动，在他没动之前，他正好行驶了这个六十千米时的这个也是三十，保证这两个三十有没有这个可能？ 这是第一种吧。第二种，假如说一开始他没有动之前，他没有行驶到，比如这只有二十，那么当他动了之后，他慢慢往这边动，他就往边运动，是不是肯定有一个时刻是这样相等的呀？ 所以我们要看一下第三和第四这两种情况中，有一种情况是存在的，另外一种情况是不存在的。同学们想想，为什么？你想啊，如果他没动之前，他已经到了这个三十了，假如说没动之前，你是三十，对吧？三十千米 啊，那这个时候这种情况如果成立的话，那么你动了之后，你还有可能有这种相等的吗？不可能了，为什么？因为你在动了之后，慢车继续往这边，这段距离一定大于三十，而你快车一旦动了，这个距离永远是小于三十，虽然不存在这个两段相等了，对不对？ 那如果动之前，他没有，就是他没抖，没有动啊，这个快车没有动，一直停留在这边，而慢车动的时候，哦，已经到这了，刚刚行驶的这边只有二十千米， 是不是他没有相等的？他还没有相等，那这时候快车开始动了，那么这种情况下，那肯定就会存在一个，对不对？这两种情况只能只会存在一种啊，不可能，即使说，呃，在快车动了， 动之前存在了，动之后还存在，不可能你动之前存在，动之后就不存在，那你动之前没有存在，那你动之后一定存在，就是这两个中有一个。好，那么回到这个题目当中来，那么我们就知道了，要分三种情况。第三题的第一小问 第三题，第一种情况啊，第一种情况，我们看一下，假如说甲，它行驶的路程是这么多到警车，呃，治安警停的距离是这么多吧，可以表示出来吧。甲行驶甲的速度是多少呢？我们得把甲的速度算出来， 根据题目告诉我们时路程知道了它是两个小时到的，所以甲的速度，哦，不是甲叫慢车的速度吧。 v 慢，我就直接写在这边吧， 所以我直接第一小半直接写 v 慢。慢车的速度是不是就可以直接用路程除以时间？路程是一百二十，除以时间是二，所以是六十千米每小时。 那快车呢？快车是多少？你看一下，快车提速一点五倍之后，提速百分之五十之后就变成一点五。 v 快 是不是应该等于慢车速度是两倍啊？快车花两个小时返回成功，所以 快车提速百分之五十之后的速度是我们慢车的一点五倍吧，所以很快就有一点五。 v 快 是不是就应该等于一百二十千米每小时，所以很快就知道了。 v 快 是等于多少呢？ v 快 是不等于八十千米每小时啊，这个速度我们是很快能够求出来的。有了假，呃，快车和慢车的速度。那接下来我们来看一下这道题，为了方便写，我怕位置有点不太够， 我把这个写到这个中间吧，因为后面还有一小问呢。 好，第三题的第一小问的。首先他们快车和慢车的速度我们都知道的前提之下，他问你自然紧急的距离相等。那么第一种情况是什么呢？哦，当 就是刚开始去的时候，那这时候是相当于。呃，慢车过了仅停了，慢车的速度是六十，六十乘以时间 t 就是 六十 t 减去什么？减去它行驶的这这段路程啊，这个，这段长度是不是相当于是六十 t 啊？减九十是不是就能得到它距仅停的距离？所以减去九十 等于快车。快车是不是行驶到这里的时候啊？这段距离是多少？用快车的速度乘以快车行驶的时间，快车的速度是八十乘以它的时间是 t 减零点五吧。好，解得解方程 解得，这个可以在草格子中解啊。 t 等于多少呢啊？六十 t 减九十就等于八十 t 减四十，所以二十 t 就 等于。嗯，这个可以把它挪过来。 嗯，把它挪过去。这个数字列的不对啊，应该用九这个。我们看一下这个等号的右边是什么东西啊？等号的右边是不是相当于是快车行驶的路程？我们算的是这一段长，但是我们要算的是哪一段长？这一段长等于慢车行驶的这一段长吧，这两段相等，他们到井停的距离相等， 好理解吗？所以这个地方我应该用九十减去快车行驶的路程吧。需要，需要前面还加一个九十减，这样式子才对啊，要不刚那个算出来怎么会是个负数呢？好，那么重新解一下这个方程，六十 t 减九十就等于九十减八十 t 再减加上一个四十， 所以一下象移过来就变成，嗯，一百四十 t 等于一百八，加四十等于二百二十，所以 t 就 等于七分之十一，所以很快能算出来这个 t 值就等于七分之十一。这个 t 很 简单吧，我们把它写下来 七分之十一，这是第一种。第二种情况就是这个就很简单了，当快慢车同时到达乙地了，快慢车同时到达乙地时， 到达乙地，那如果同时到达乙地，此时的 t 等于两小时，这个就很简单。那么第三种情况，返回时当返回， 那么返回时一定要注意了，你看要注意，返回的时候，你要看已动了，已在那休息还是没动了，那我们先看在休息的时间里面是怎样的。 那如果返回时还得分两种情况，第一种情况如果算出来有答案，第二种情况不用算了，如果第一种情况算出来没有答案，第二种情况还得算，对吧？好，那如果返回时，呃，快车还没动呢？或者说我直接写出 t 的 范围， t 是 小于等于三小时，而大于等于两小时的时候，这这段时间是不是快车正在休息啊？ 哦，快车正在休息的时候，我们来看一下，快车到井停的距离永远是三十千米，那我们看一下慢车，如果说他走到这边距井停的距离也是三十千米的时候，那该多好呀，那也就是说他总共走了多少？六十千米吧，那他多少时间能走六十千米哦？我们可以算一下， 他是一小时正好走六十千米吧，所以相当于他只要三小时的时候哦，这个时候返回时在这个时候，那么快车到仅停的距离我们怎么表示呢？啊？快车到仅停的距离，注意， 他是速度是六十乘以时间，时间是 t 减二，因为他 t 是 包括什么？ t 是 从这到这，这是 t， 但是前面这段是两小时吧，所以返回的这段小时间只有 t 减二小时，所以他返回的时间是 t 减二，好理解吧。所以是六十乘以 t 减二，对吧，这个好理解吗？这是他返回的路程，也就是从这到这， 他返回的这段路程怎么算？用他的速度乘以返回的时间，返回的时间总时间是 t 对 不对？那么他返回去的时间是两小时，所以返回的这一段是不是 t 减二啊？所以这段路程是不是 t 减二？那么他到顶仅停的距离是不是只有这段？还是在减三十 哦，减三十是不是就等于三十啊？那我们算一算此时 t 等于多少？我发现 t 等于三 解方程，这个很好解。最后我们综上一下， t 等于十一分，七分之十一，两小时或者三小时的时候，那这时候距离相等结束。这是第三题的第一小问，那么第三题的第二小问呢？ 嗯，若两车相进步过仅停的时间间隔不超过六分之七小时，求 s 的 取值范围。注意，这种情况下，他的 s 不 再等于一百二了。那我们看这个 s 的 取值范围是什么意思？重点你要看清楚，两车相进步过，仅停的时间间隔不超过 六分之七小时，其实我们通过图中能看到，这是不是假车的距离谁的呃？距离谁的这个路程啊？看清楚，横坐标代表的是假车 距，哦，不是慢车距离假地的路程哦，距离假地的路程，他距离假地的路程，当距离假地路程为多少的时候，他这时候刚好经过仅停，你想想是不是这段路程是 s 减三十啊？所以当他经过 s 减三十，那我们在图中标一标，标一个点，这个点就叫 s 减三十， 当他经过假 d 是 s 减三十的时候，在这种情况下，那此时他这个点是不是恰好是路过仅停的时间啊？那路过仅停的时间，同学们感受一下。这个时间点是这个时间，我们给他取名叫 t 一， 这个时间我们给它取名叫 t 二。 t 一 是不是慢车到达我们仅停啊？ t 二是不是快车到达仅停哦，这个 t 三是不是又是慢车到达仅停的时间？这个 t 四是不是相当于是快车到达仅停的时间 t 四吧？ 所以对于这个题目，我们只要看图什么情况，只要保证 t 二减 t 一 这段时间要小于等于六分之七，同样 t 三减 t 二的这段时间也要小于六分之一，同样 t 四减 t 三的这段时间也要小于六分之七，只要把这个都满足小于六分之七就可以了，好理解吗？那么为了方便，那我们来标一标，这是一个 a 点， 这个是个来标一标啊，这样你们能够看得懂我说的哪个哪条线？ ab， 然后这个叫 c， 这个叫 d， 那 我们是不是可以把 abob 以及 b、 d 以及 c、 d 这四条直线的解析式，把它算出来呢？只要令它的 y 是 等于这个 s 减三十，对应的这个 t 值是不是通通可以把它求出来， 看得懂吗？所以 o， b， o， a， b 以及我们 b， d 以及 c、 d 的 解析式，接下来我们要重点算的就是这个吧。好，那我们看一下 ab， y， a， b 等于什么？那么要了解 y， a， b， 我 们是不是得知道 ab 上面的两个点，这个 a 是 零点五，是知道的。 另外这个点横坐标是二，纵坐标是 s， 所以 ab 的 解析式我们怎么去算呢？我们不妨设 那有两种算法啊。第一种设 ab 的 直线解析式是 y 等于 k， t 加 b， 可以 吧？这个里面的两个变量，一个是 t， 一个是 y。 好， 这时候我们把两个点坐标带进去， ab 两点 a， 点坐标是零点五，零，是吧？所以很快就是零等于零点五， k 加 b。 还有一个是 b 点是二 s， s 就 等于二 k 加 b， 所以 很快我们能够求出 k 等于什么， b 等于什么？很快能够得到 k 等于两个，一减二十减一十是零点五， k 等于 s， 所以 k 就 等于二 s， b 等于什么呢？哦， b 就 应该等于负 s， 看得懂吗？所以 ab 我 就直接写吧。 哦，这个地方，可能这个地方好像有一个算错了。呃，这个一减是一点五， k 等于 s， 所以 k 应该是三分之二 s 不是 二二， s 是 三分之二 s， 这样的话，我们的 b 就 应该是负的三分之一 s， 所以 能够得到 ab 的 解析式是， y 等于三分之二 st， 再减去三分之一 s， 这就是 ab 的 解析式。 那么同样的道理， ob 的 解析式我们也可以算出来，那 ob 的 话，我们就用另外一种方式算啊。其实这个 ob 也可以利用设 ob 的 直线解析式， y 等于 k， t 加 b， 然后把零零点和我们 b 点带进去算就可以了。那我们还可以怎么算呢？我们要纵横比是吧？也可以吧。第三种，我们直接用它的速度等于什么？ ob 相当于是什么？是我们慢车离什么的距离，离 假 d 的 距离吧。哦，它的速度是什么？它的速度是路程除以 s 啊，速度是二分之 s 乘以时间 t， 所以 直接可以写成它的 y o b。 我 们直接写吧，这个 y o b， 这个比较简单，就等于二分之一 s， t， 这就是 o b 的 解析式。那 o b 的 解析式有了之后，那么紧接着下面继续还差什么？我们还差 b， d 和 c， d 有 了之后，那么紧接着下面继续还差什么？我们还差 b、 d， 我 们要把它算出来 y， b， d， 那这个你就自己去算一下啊。就直接设 b， d 等于 k， x 加 b， 然后把我们这个呃，带进去计算就可以了啊。把这个 b 点坐标和 d 点坐标带进去算，然后算出 k 等于什么？ b 等于什么啊？要不我示范一下？等一下我再擦掉，因为这个地方位置可能不够显。 嗯，我写在这边吧。射，写，写在这个地方射 b， d 的 直线表达式是 y 等于 k， x 加 b， 然后把 b 点 b 点的横坐标是什么？是二和， s 就是 二， k 加 b 就 等于 s 和。还有一个地点地点是四和，零就是四， k 加 b 是 不等于零，那么解得解方程用一式减二式，所以负二 k 就 等于 s， 解得 k 就 等于负的二分之 s， 负的二分之一 s， k 知道是负的二分之一 s， b 就 等于二 s， 这就是我们。呃， b、 d 的 直线表达式，我就可以直接写出来了。好，我写下来就是等于 b、 d 的 直线表达式，就是 y y， b、 d 就 等于负的二分之一 s， t 再加上二 s。 啊，最后还有个 c、 d 的 直线表达式 c、 d 直线表达式，求法依然是一样的。我们可以设 c、 d 的 直线表达式是 y 等于 k， x 加 b， 然后把 c 点和 d 点带进去。因为这个题目它其实只要写答案，这些通通可以在草稿纸上写啊。 c、 d 的 直线表达式，把 c 点是三 s 带进去就是三 k 加 b 等于 s， 还有个是地点是四零四， k 加 b 是 不是等于零？所以我们很快用一式减二式能得到负 k 等于 s， 所以 很快能得到 k 等于负 s， 那 b 等于什么呢啊？ b 就 等于四 s， 所以 这就是我们的最后这个 c、 d 的 解析式，所以 c、 d 的 解析式我们也把它写下来，我就写在这个下面啊。 c、 d 的 直线表达式 y， c、 d 是 不是就等于 负 s， t 加上四 s， 对 吧？那此时此刻，那我们 t 一 t 二 t 三 t 四，能不能求出来呢？啊？接下来这个位置可能有点够呛，有点小啊，那这时候我们这四条解析式已经全部都求出来了，对吧？四条解析式一旦全部求出来之后，你只要令 y 等于 s 减三十，是不是 t 一 t 二 t 三 t 四全部都能表示出来？好，那我们看一下。呃，我的字写小一点吧，我往上写一下啊，就是令 y a b 等于 s 减 t， 我先念 y o b 吧，从 t 一 开始求念 y o b 等于 s 减三十，那此时此刻我们能得到什么呢？能得到 t 一， 这个我们就自己去算了啊，就是相当于就是 o b 等于三十的时候。 呃，我还是写一下吧，这个东西等于 s 减三十，对吧？然后，嗯，这个算一下的话，就是把它挪过来就变成了要求 t 吗？就是它除以二分之 s 的 话，那就是乘以 s 分 之二， 那算出来的答案应该是，二减 s 分 之六十，二减 s 分 之六十，你自己去算啊。第二个是令 y a b 等于 s 减三十，那么此时我们是不能得到 t 二的值哦， t 二的值，同样的也是这样的，你把它念这个是 s 减三十啊，那这个 t 二的值很好算的，把它挪过去就是四分之三分之四 t 减三十，再除以， 呃，三分之二 s， 所以 是得到的是二减 s 分 之四十五，二减 s 分 之四十五，这个你自己去算。如果跟不上我的计算节奏，你就按暂停自己去算啊，因为计算这个东西啊，没有什么难度啊。最后还有个，还有两个 b d 的 s， 这就是 t 二，那么 t 三 t 三是 b d， 那 么 b d 等于 s 减三十，那么我们同样也可以算一下，把 b 三这个东西是 s 减三十，那挪过去就是负 s 减三十，再除以负的二分之一 s 的 话，那这个算出来应该就是， 嗯，二加上 s 分 之六十， t 三就等于二加上 s 分 之六十，最后令 cd y cd 等于 s 减三十，就是把这个每一个 t 都算出来 啊，这个东西是 s 减三十， s 减三十，你把它挪过来就变成了负三， s 再减三十，再除以个负 s， 那 就是三 加上 s 分 之三十，所以很快就有了这个 t 三就是三加上 s 分 之三十，这是 c d 三加上 s 分 之三十。写下来，好，那这时候我们很快要保证什么呢？要保证三个式子都小于，它说时间间隔不能超过六分之七嘛。所以这个式子 t 二减 t 一， 要什么要 不超过，就是小于等于六分之七，然后 t 一 三减 t 二，这两个也得小于等于六分之七，然后 t 四减去 t 三，也要小于等于六分之七，好理解吧。也就是说这个 s 减三十，我把它写下来，表示 到治安仅停的路程，到仅停，你就少写两个字吧。到仅停 的路程，那如果说他所涉及的 y 等于他，那么他们这是我们慢车道警停，这是快车道警停，然后这又慢车道警停，这又快车道警停，所以他们的时间间隔都不能小于，都不能，怎么都不能。这个， 呃，不超过六分之七，所以接下来我们就有几个式子呢？下面就这个题，其实考察的纯粹的是计算啊。 好，那就是 t 二减 t 一， 就是二减去 s 分 之四十，五减去二减去 s 分 之六十，这个式子要小于等于六分之七，好理解吧。 第二个式子，二加上 s 分 之六十减去一个，二减去 s 分 之四十五，这个东西小于等于六分之七。第三个是三加上 s 分 之三十 减去二加 s 分 之六十，这个也小于等于六分之七。接下来我们要解一下这个不等式，这个不等式一个一个去解，解完了之后，那么这个题目就可以解决了吧。第一个 我们来看一下啊，这个算出来相当于就是 s 分 之六十减 s 分 之四十五，就是 s 分 之十五要小于等于六分之七，所以我们很快能够得到 s 是 大于等于七分之九十，这你自己去算啊， s 大 于等于七分之九十。 第二个我们也可以把它算一下，这个就相当于这个东西加这个东西， s 分 之四十五加上 s 分 六十，就是 s 分 之一百零五要小于等于六分之七，所以这个 s 就是 能够算出来是大于等于，哎，正好可以整出九十，对吧？ 这个怎么算的？一零五，是不是有人不会小于等于七分之六哦？六分之七啊，你看两边同时除以七没问题吧？不等号两边同时除以一个正数，不等号不改变方向，对吧？那就 s 分 之十五要小于等于六分之一的事情啊。那你看一下， s 肯定是个正数吧，你两边同时乘以六 s 行不行？ 乘以六， s 这边变成了十五乘以六，不是九十小于等于这边乘以六 s 就 为 s， s 大 于等于九十属于，这么来的，看得懂吗？所有的都计算，其实都还好啊，大于等于九十。好，最后这个也是一样的，你把这个跟这个一剪，剪完了就变成了，嗯，这是 一减去 s 分 之三十要小于等于六分之七，是吧？所以这个算出来的啊，这个肯定是要算一个负数了，对不对？这直接舍啊，其实都不用算，因为他 s 小 于某小于等于某一个数，他肯定是小于等于，这肯定是个负数，他是舍去的啊，直接舍， 要不我们也把它算出来，为了保证这个的完整性啊，一减去 s 分 之三十要小于等于六分之七，所以很快就有 s 分 之三十要大于等于负的六分之一， 看得懂吗？哦，你把它挪过去，这个挪过来就大于等于负的六分之一，你看这个东西要大于等于负的六分之一，那两边同时乘以六， s 是 变成了，这是一百八十。要大于等于负的一，就是负的一百八十，要怎么样？ 要，呃， s 啊， s 要大于等于负的一百八十，要编号吗？对吧？这个东西肯定是很成立的一个 s 他 本身就是个正数吗？直接不用管。大于等于负的一百八十， 这就是一个很成立的式子，所以他这个不用管啊，肯定是没有问题的。最后这个好了，那么紧接着当我们得到这样那个三个不等式，那最终要保证什么呀？大家都成立，同大取大，是不是大家都是大的？九十最大，最后中上 s 的 范围就有了， s 大 于等于九十。结束这道题的答案， s 大 于等于九十。

第三个是咱们说一下如何在网格里等分线段，其实这个是八年级的同学也可以理解，就是网格里你随便画一条直线，那这里的 ab、 bc、 cd、 d、 e 这些线段都相等，那九年级同学一看就看明白了，平行线三线段成比例， 但是八年级的同学完全也可以做，比如说也也很可以理解，这些都是相等的，怎么呢？你可以过点 c， 做一条垂线，你过点 c， 如果做一条铅垂线，这个焦点咱们叫点 m， 这个焦点叫点 n， 是 吧？这明显，因为平行线间的距离是相等的，所以 m o 等于 n o， 然后两个直角对顶角相等，所以这两个三角形，这两个小三角形是全等的。八上同学是完全可以理解这个事情，所以说我的 b、 c 等于 cd， 同理，你每一段都相等， 所以所谓平行段、平行线分的等线段都相等，八上的同学很容易就证明了。 用刚才说的这个知识，比如说我们画一个这个一乘四，一乘四小格的这个对角线，他其实过的这个点一定是这个小格线 ab 的 通点，同理，你画个一乘二小格的对角线，他过的一定也是这个小格的终点。 当然，如果你是一乘三小格的角线，咱们看我画这个，这爱他肯定不过小格的终点了，他过的是什么呀？他过的是这个小格的中心，这个小正方形，小格的中心， 都可以用刚才的知识来理解，因为这里边都有很多平行线，这些不都相等吗？对，他俩一旦相等，这个点其实也是小格的中心，按一下，这都可以解决，都可以理解。

青一八年级第三次月考质量非常高的一套试卷选择题，最后一道将军印码加双洞点点，关于直线翻折，加上入射角与反射角相等，再加上法线倒角，就会相对容易。 一十六题，日历表的找规律问题啊，六月份有五个星期二，如何去画这张表啊，也动手就会相对简单 呃。二十四题，非常巧妙的一道题，他把 a、 b、 x 三个圆放到了一个方程组里面，如果他把字母 x 换成 c， 会相对简单啊。但是在我们看来， a、 b、 x 是等价的主元法的反向应用。这也为后面我们学函数，到底是 y 关于 x 的 函数，还是 m 关于 t 的 函数啊，这种如何去看待这些字母的关系啊，打下了一个非常好的基础。 然后配合分式方程的技巧，如何把它倒过来，如何裂开，如何化成一个简单的三元一次方程组啊。后面的整数问题相对简单。二十五题 第三位也略有难度，但是这里面有一个好的方法，就是我用特殊角来验证，比如说我里面用到六十度角，一百二十度角，那么基本的面积比例就有了，然后在这个基础之上去找全等，也会非常容易。所以 考试之后我们应该总结什么东西？我们好的方法，好的思想，特殊思想用在最后一道题，主研思想跟反向应用用在二十四题，有了这些思想，我们可以应对更多变化。

角平分线的性质三第四个呢是角平分线的定义，他有两条，一条是正定义，一条是逆定义。定义的话呢，讲的是角平分线上的点到角的两边的距离相等，它 逆定义的话呢，也是成立的，如果说有一个点到角的两边距离相等的话呢，这个点呢，他一定在这个角的角平分线上，那我们就先把这个命题都证明一下，再把这个这学期的格式怎么去利用。我们在这个角 a o b 中 oc 呢是角平分线上面呢，有一个点，假如说点 d， 然后过点 d， 分 别做两条边的垂线，假如说 d e 和 d f， 也就说 o c 平分角 aob， d e 垂直于 o a， d f 垂直于 o b， 他让你求证的是 d e 等于 d f， 那 么我们先用以前的证明这个全等方法来证一下，因为这个题目中 o c 是 角平分线，所以说就是角一和角二是相等的， 然后呢， d e 和 d f 是 两条垂线，因此呢，角三和角四是两个直角，再加上 o d 和 o d 是 公共边，就说角一和角二是角平分线，角三和角四是直角， o d 和 o d 是 公共边，所以说三角形 o e d 全等于三角形 o f d， 这样的话呢，交叉点对应边相等，所以就有 d e 等于 d f， 这个是我们以前的方法，那么现在这学期学会这个方法之后的话呢，我们只需要交代角平分线上的一个点， 两边距离指的是垂线段，也就是说你交代好了角平分线和垂线段，就能直接推导出 d e 和 d f 相等。也就说正确的格式是这样的，因为 o c 平分角 a o b， 然后这个是角平分线前面半句话上面的一个点， d 到两边距离，距离则是垂线段。所以说呢，再补上 d e 垂直于 o a， d f 垂直于 o b， 所以 就变成了 d e 等于 d f 可以 直接写上，到时候的话呢，把这个文字理由抛下来就可以了。