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hello, 朋友们大家好,我是小蒲老师,那么今天这节课我们要一起来学习解一元一次方程, 那么之前啊,我们解过一元一次方程对不对?但是我们利用的是什么呀?利用的是我们等式的基本性质,一和二对不对?那么有没有比这样来使用这种方法解方程啊,更简单的方法,更简易的方法呢? 好,今天我们就来学习它。首先我们一起啊,先来看一下我们之前用等式的基本性质如何来解方程,下面两个方程你能快速的求解吗?第一,五 x 减二等于八,第二,七 x 等于三 x 减五。 解答过程,第一个方程,两边同时加上二得五 x 减二加二等于八加二,也就是五 x 等于八加二,最后两边再除以五得到 x 等于二,可以对不对?但是显得这个过程啊,有点麻烦。我们再来看一下第二个 方程,两边都减去三 x 得七 x 减三 x 等于五,三 x 减五减三 x, 也就是四 x 等于负五。方程两边再同时除以四,得到 x 等于负四分之五。 嗯,一道方程解下来,我们写了好多的汉字,对不对?那么同学们来想一想,能不能找到比较简易的解题方法呢? 哎,其实啊,我们接下来要学习的方法也是利用了等式的基本性质,但是呢,却比它要简单一点,我们来看一看, 利用等式的基本性质,我们对两个方程进行了如下的变换,观察并回答下列问题,第一个方程没有变,第二个方程也没有变,但是呢,我们这里啊,对它进行了一个变换,我们来看一看, 这里我们将负二哎给它变到了这个地方,但是呢,数字没变,符号发生了改变,这里我们将三 x 也变到了这个地方, 那么符号发生了改变。那么想一想,与原式方程相比,哪些项的位置发生了改变,哪些没变? 与圆方程相比,这个很明显是常数项发生了改变,对不对?那么与这个圆方程相比,常数项没有改变,但是还有 x, 还有未知数的这一项发生了改变。 接着改变位置的象的符号是否发生了变化?没改变位置的象发生变化了没有?比如说没改变位置的五 x 符号没变,八符号没变,没改变位置的七 x 符号没有变,对不对?还有负五,他的符号也没有变, 改变了位置的象,负二变成了正二,三 x 变成了负三 x。 哎,这期间又发生了一个什么样的变化呢?我们来一起看一看。把圆方程中的某一项改变符号后,从方程的一边移到另一边,这种变形叫做一项。 也就是说啊,从方程的一边移到另一边,以什么为标准?等号为标准嘛,对不对?如果你以前在等号左边,移到另一边就是移到等号的右边,如果你以前在右边,那么你就要移到等号的左边,这叫移项。 好,接着我们再来一起啊,看一看移项的要点是什么?哎,移项是根据等式的基本性质,一两边同时加上相同的等式, 那么最后得到的结果还是等式,对不对?那么接着我们来看一下,移项要变号,没有移动的项不改变符号。这就是为什么刚才我们移动了的项改变了符号的原因。 通常把含有未知数的项移到方程的左边,也就是移到等号的左边去,对不对?把常数项不含未知数的项移到方程的右边, 也就说多少多少,什么 x 等于多少啊,或者多少加多少,多少减多少,多少乘多少,对不对?好,接着我们就来演练一下, 通过一项来解方程比我们之前直接利用性质来解要方便很多。通过一项得二, x 等于一减六, 含有未知数的项移到方程的左边,长数项移到方程的右边,那么最后我们要将 x 的 系数化为一,那么得到二, x 等于负五, x 就 等于负二分之五。方程两边同时除以二,要将它的系数化为一。 第二个一项得到三, x 减二, x 等于七减三,合并同类项得 x 等于四。 第三个一项得四分之一, x 加二分之一, x 等于三。要变符号啊,一项要变号,那么合并同类项四分之三, x 等于三,那么两边同时除以四分之三,那么得 x 等于四啊,等于四。 那么你能说出啊,利用我们的移项解方程的步骤吗?首先要移项对不对?那么移完项之后,我们要合并同类项,接着我们要说什么?化为一,没错,将系数化为一,就得到了。最后未知数的解。 好,接着我们来看用一项法解决下列方程,七减二, x 等于三减四, x, 通过一项可以得到四, x 减二, x 等于三减七,那么合并同类项, x 等于负四,两边同时除以二得 x 等于负二。 第二个一项得四分之三, x 减 x 等于负一,那么合并同类项,负四分之一, x 等于负一,接着方程两边同时乘负四,得 x 等于四。 好,接着我们来看一下下面这个方程,四括号 x 加零点五加 x 等于二,十减三,那么怎么解这个带括号的方程呢? 我们可以怎么样啊?同学们想一想,原先我们学习去括号的时候,一般如果括号前面还有一个数字因素对不对?那我们就要利用乘法分配率对不对?把它先啊乘进去,然后呢再 去括号,还要看括号前面的符号对不对,那么我们就可以得到它等于四, x 加二,接着后边的不变, 然后呢,再把这个常数项进行一个合并就可以了,等于十七,它就等于四, x 加二加 x 等于十七,一项四 x 加 x 等于十七减二,那么五 x 等于十五,两边同时除以五得 x 等于三啊, x 等于三。 通过上面的解方程的过程,你能总结出含有括号一元一次方程的一般步骤吗? 首先取括号,接着我们要移项,移完项之后要合并同类项对不对?和都合并同类项之后,最后系数化为一,也就是解决出了最后未知数的值。 接着我们再来看解方程,负二倍的 x 减一等于四要怎么做? 没错,非常简单,先去括号,负二, x 加二等于四,那么一项负二 x 等于四减二,接着化简啊,那么负二 x 等于二,接着方程两边同时除以负二,得 x 等于负一, 那么你能想出不同的解法吗?想一想,这里啊,我们是通过解决它的一般步骤,一个一个来把它啊,一步一步把它解决掉的,那么同学们想一想,我们这里啊,能不能将它呀 看成一个整体?好,我们来一起试一试。我们将 x 减一看做整体,那么 x 减一就等于负二, 对不对? x 减一等于负二,那么一项得 x 等于负二加一,即 x 等于负一,我们两边同时除以负二对不对?那么 x 减一是不是就等于负二呀?那么最后就可以得出来, x 还是等于负一, 接着必交上面两种解法,说说他们的区别,当然同学们熟练哪一种就可以用哪一种啊,最好是两种方法都可以啊,相互熟练啊。好,接着我们来看一下 二倍的 x 加三减五倍的一, x 一 减 x 等于三倍的 x 减一,怎么做?哎,没错,第一步是一样的,去括号得二, x 加六减五加五, x 等于三, x 减三。接着接在一项,最后合并同类项得到四, x 等于负四, 好,方程两边同时除以四得 x, 最后等于负一啊,等于负一。利用去括号解方程要注意什么呀?首先我们不能漏乘啊,我们 必须给括号当中的每一项啊都乘上这个数字因素。接着去括号的时候,还得观察好前边的符号对不对。那么接着我们来看一下,如果括号外的因素是负数,那么去括号后圆括号类各项符号要改变, 乘数与括号类多项式相乘时,乘数应乘括号类的每一项,不要漏乘。 好,接着我们来看解方程,七分之一括号 x 加十,四等于四分之一括号 x 加二十, 怎么来解?按我们的一般解法对不对?我们可以去括号解方程,去括号得到七分之一, x 加二等于四分之一 x 加五,那么通过一项合并同类项得到负二十八分之三, x 等于三, 那么两边同时除以负二十八分之三,那么或同乘负三分之二十八,其实是一样的,对不对?得到 x 等于负二十八,解决了没有?可以解决啊,那么我们还有没有其他的方法呢?还能不能用其他不一样的方法? 当然有,对不对?我们来一起啊,看一看。那么这里我们看到有分数啊,那么如果我们把分数变成整数去计算,会不会方便一点呢?我们来试一试, 通过我们去分母,我们就可以得到上面的原式,它就等于四括号 x 加十四等于七,括号 x 加二十, 哎,这样就变成了我们原先的方程,我们直接去括号是不是就可以解决呀?那么去括号,一项合并同一项得到负三, x 等于八十四,那么同时除以负三 x 等于负二十八, 哎,那么我们就发现了这两种解法,第一种按照正常的去括号的方法,第二种先是进行了去分母,也就是说呀,是将分数转化成了整数,我们发现计算起来会更加的简单, 那么去分母到底是怎么去的呢?他是如何把七分之一和四分之一啊这两个数字的分母给他去掉呢?这两个分数的,我们来看一看,七分之一和四分之一如何变成了四和七呢? 哎,我们发现这里经过了一个计算,那就是给他们同时都乘了二十八, 这个二十八又是怎么来的?为什么要同时乘二十八呀?哎,我们来看一看 方程的左右两边同时乘各分母的最小公倍数,可去掉分母依据是等式的基本性质二,那么也就是说这个二十八 是这两个分数分母的什么呀?最小公倍数啊,这样去分母就很简单了对不对?最后我们就可以很容易的将分数转化成整数来进行计算,那么就会变得非常简单了。 好,接着我们来看下一道题解方程,五分之 x 加二等于四分之 x, 怎么来解? 我们可以给他去分母对不对?同时乘以他们两个的最小公倍数二十,那么就可以变成四倍的 x 加二等于五 x, 那 么去括号得四 x 加八等于五 x。 接着一项合并同一项,负 x 等于负八,两倍同时除以负一 x 等于八。 好,第二,四分之一 x 加一啊,四分之一倍的 x 加一等于三分之一倍的 x 减一。是不是还是可以去分母呀?两边同时乘以它们分母的最小公倍数是多少? 十二就变成了三倍的 x 加一等于四倍的 x 减一。去过后,那么接着在一项合并同类项得到负 x 等于七啊, x 等于七。 接着我们再来看一下这个方程,五分之一倍的 x 加十,五等于二分之一减,三分之一倍的 x 减七。这里就有非常非常重要的一个地方,同学们要注意了。好,接着我们来看一下, 这里是有含有未知数 x 的 项,而这里是一个常数项,对不对?那么我们接下来计算应该怎么办 好?首先我们要明确,在同时乘啊,同时乘他们分母的最小公倍数,常数项 不能忘记啊,一定不能忘记,那么每一个都要乘,所以乘同时乘他们的最小公倍数三十之后,那么这一项就变成了六倍的 x 加十五,这一项变成了十五,这一项变成了负十倍的 x 减七, 他千万不能漏乘啊,一定不能漏乘,不能说他没有 x 就 不给他乘啊,一定也要乘。那么去括号一项,合并同类项,最后得到十六, x 等于负五, 方程两边同时除以十六,得 x 等于负十六分之五,也非常简单就可以计算出来了。好,我们接下来看。将方程四分之二 x 减一,等于一减八分之三减 x 去分母后,正确的结果是, 那么都要乘什么呀?他们的最小公倍数,那么同学们想一想,这里最小公倍数我们应该乘多少 八,对不对?那么乘八之后,他就变成了二倍的二, x 减一,他就变成了,哎,三减 x, 但是千万不能忘记给他也要乘,所以最后的结果应该是 d 选项,二倍的二 x 减一, 等于八减三加 x 啊,一定要记得。那么将方程三分之二 x 减一,等于四分之 x 加二减一的两边同乘十二,那么得到什么呢? 他千万不能忘记乘啊,一定不能忘记漏乘,不,不能漏乘啊,那么他就等于四倍的二 x 减一,等于三倍的 x 加二减十二。 好,接着我们来看一下去分母的注意事项,去分母时,方程两边同时乘各分母的最小公倍数时, 不要漏乘啊,不要漏乘,没有分母的相同时要把分子。如果是一个多项式,那么作为一个整体加上括号,如果是多项式啊,比如说是这样的多项式,就要加上括号,对不对?那比如说 我们下面的一定要记得加上括号啊,加上括号。那么接着我们来看一下这道题解方程,三分之二, x 减一减六分之十, x 加一等于四分之二, x 加一减一, 怎么样?可以先去分母,得到一个我们的化简之后的都在将分数转化成了整数,然后去括号,通过一项,再通过合并同类项,我们就可以得到负十八, x 等于负三, 系数化为一,两边同时除以负十八,那么得到 x 等于六分之一啊,六分之一。 好,接着我们来看这一道题,三分之二, x 减一等于四分之 x 加二减一,那么首先可以区分母对不对?接着去括号,一项合并同类项,得到五 x 等于负二, 那么方程两边同时除以五 x 等于负五分之二。第二个依然先要去分母,一定不能忘记,给他也要乘啊,第一个也要给他乘,千万不能忘记。那么通过括号一项合并同类项,得到负七, x 等于负七,两边同时除以负七, x 等于一。好了,接下来我们来看一下接一元一次方程的步骤啊。那么首先我们要去分母啊,防止漏成,尤其是不含分母的项,注意填括号, 还要去括号,注意符号,防止漏成去括号前面的符号啊。如果是加号怎么办?减号怎么办?一项一项的时候要变号,防止漏项。 合并同类项,系数为一或为负一时要注意。那么未知数系数化为一分子分母,不要写反了啊,不要写倒了。那么移项的时候还要注意什么? 还要注意什么?我们尽量将含有未知数的项放在方程左边,而尽量将常数项啊放到方程的右边。 好的同学们,这就是我们啊解方程的一般步骤,我们接下来来看一下本节课的课堂小结。 那么首先利用一项和合并同类项,那么解一元一次方程一项,那么分别是一项的概念和一项的法则,同学们要掌握清楚, 利用一项解方程,先一项接着合并同类项,最后系数化为一。好的同志们,我们接着来看一下利用去括号解一元一次方程。那么首先我们就说去括号的时候一定要注意什么呀? 注意括号前面的符号以及数字因素啊,那么去括号的注意事项朋友们一定要注意。接着含有括号的一元一次方程的解题步骤,去括号一项,合并同类项,系数化为一。 好,接着我们来看如何解决去分母,解决一元一次方程去分母的方法对不对,同时乘以分母最小的公倍数。 接一元一次方程的步骤,利用区分母,先区分母,再去括号一项,合并同类项,系数化为一。好了同学们,这就是本节课的主要内容,我们下节课不见不散。

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