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hello, 各位,我是乔一,今天我们要讲解的是高中数学冷教 a 版教材课后习题第二章章末复习一元二次函数方程和不等式,快点开始吧! 首先是本章的章末小结思维导图,接下来我们看具体的题目,我们首先来看复习参考题二,复习巩固的第一题。夏令营总共有四十八个人,要选 a 会怎么样?多选或者少选? 选 b 又会少又会多,他现在设呢? a 型号的帐篷有 x 顶,用不等式将题目中的所有不等关系都要表达出来。那我们假设 a 型号的帐篷有 x 顶, 那么 b 型号就容易知道,因为 a 型号的帐篷比 b 型号的少五顶,所以 b 型号就是 x 加五顶。那首先 a 型号的 x 肯定要大于零吧,而且 x 呢,要属于正整数,也就是 n 信号,并且呢, x 加五这个 b 型号的也要大于零,他说只选 a 型号的,那每顶帐篷住四个人,帐篷就不够用哦,那么每顶四个人, 那么 a 型号有 x 顶,所以总共是四 x, 那 这个人数呢,他要小于四十八才对,因为他说帐篷不够嘛,帐篷不够就说明人有多住,帐篷的里面的人一定要小于四十八个才会多出人来。那接下来还说每顶帐篷如果住五个人, 有一顶帐篷没有住吗?那每顶帐篷住五个人,那 x 顶也就是五 x 呗。啊,五 x 呢,就是总共住进帐篷里面的人, 那他说什么呢?有一顶帐篷没有住满,那一挺帐篷是五个人,没有住满,所以五 x 减去四十八个人,肯定要小于五个人,而且呢,他要大于零才会住不满,这就是选 a 型号帐篷的所有的情况, 那接下来看 b 型号,只选 b 型号的每一顶帐篷住三个人,帐篷不够。那 b 型号总共是 x 加五顶,每顶呢,住三个人,这是所有住进 b 型号的人数,他说帐篷不够,也就说有人多, 因此他就要小于四十八。他说每顶帐篷住四个人,则有帐篷多余,那也就说四倍的 x 加五,他首先要大于四十八倍。注意哦,他和我们前面这个不一样,前面是帐篷不够, 而这里呢,是帐篷多余,也就是说每顶住四个人,所有住进去的人,他一定是大于四十八的, 这样的话才是帐篷有多余。 ok, 列到这里呢,我们就把所有的已知条件用不等式给他表达出来了,这就是本题最终的答案。接下来看复习参考题二、综合运用的第六题。 他说当 k 取什么值的时候,这个一元二次不等式小于零,对一切实数 x 都成立,那首先我们要不要对它进行分类讨论,也就是说这个 k 能不能等于零啊?当然不能了,因为他都说的很清楚,一元二次不等式,因此 k 肯定是不等于零的。那 k 不 等于零,它就是个抛物线,这个抛物线要永远在 x 轴的下面,因为它要小于零啊。那这个图像怎么画呢?开口一定是要向下的, 你向下的话,这个图像才会永远在下面,如果你向上,这样的话,总会有图像在 x 轴上面,所以不行,一定要开口向下,也就是说 k 一定要小于零。而且呢,这个抛物线和 x 轴还要没有交点, 也就是说和它没有根,没有根,那就是判别式要小于零,满足这两个条件就能够满足我们的题。 德塔小于零, k 小 于零,那我们来解一下呗。那德塔是谁呢?是 b 的 平方减四 a c, 也就是 b 的 平方加上四倍的 a c, 把它整理一下,那就是 k 的 平方加上三 k 要小于零,所以 k 乘以 k 加三要小于零,解出来 k 是 大于负三小于零的,那综合 k 小 于零,所以这个就是它最终的答案。因此 k 的 取值范围就是属于负三到零左开右开区间,这就是本题最终的答案。 接下来看综合运用的第七题,他说明用住宅的窗户面积必须小于地板面积,但是他们的比值呢,应该不小于百分之十,这个比值越大,采光效果就越好。第一问, 一所公寓面积与地板面积的总和是二百二十平,那这所公寓的窗户面积至少为多少平? 那我们可以设窗户面积为 x 平面,那么地板面积呢?就是二百二十减去 x。 那 由我们的提议得出,首先这个窗户面积 x 一定要小于地板面积二百二十减去 x, 这是第一个大条件。然后呢,他们的比值,也就是说窗户的面积 x 比上 地板面积二百二十减去 x 要大于等于百分之十这个比例。那第三个 x 肯定要大于零的喽,你不可能没有窗户吧,地板面积也要大于零吧? 哎,这就是它的不等式组。那我们直接解出来 x 呢?就解出来就是大于等于二十,小于一百一十, 所以窗户的面积也就是 s 窗户一定要至少为二十平方米。这就是第一题他的答案。 接下来看第二问,同时增加窗户的面积和地板面积。公寓的采光效果是变好了还是变坏了?那我们设呢,原来的窗户面积是 x, 原来的地板面积呢 是 y, 那 么假设呢,增加的面积为 a 平方米,当然 a 是 大于零的。那我们说公寓的采光效果取决于什么呢?取决于窗户面积比上地板面积。 那原来的是 x 比上 y, 后来呢是 x 加 a, 比上 y 加 a, 那 你说采光效果是变好了还是变坏了?我们在前面的学习当中学过,只要是 x 小 于 y, 而且呢, x 大 于零, y 也是大于零的, 那么上下同时加上一个正数,哎,他的分数一定是变大的,也就说这个地方他是小于号,这个叫糖水不等式,分子分母同时加糖,糖水变得更甜了嘛。所以我们可以显然知道 比值是变大的,所以采光效果呢,是变好了。当然,如果你马上看不出来这个是糖水不等式,你也可以让他们去做差吗?也就是说,你要去比较他和他谁的值会更大一点,那就做差法, 用右边减去,左边减出来一定是大于零的,因此右边一定是更大的,所以采光效果会更好。 好,接下来看综合运用的第八题,他要我们反照他的写法,左边呢,写一个相等关系,右边呢,写一个不等关系,然后判断他的正误。比如说我可以写啊,洛 x 等于 y, 那 么 x 的 绝对值就会等于 y 的 绝对值, 这个是一个相等关系的命题,那不等关系呢?洛 x 大 于 y, 那 么 x 的 绝对值就会大于 y 的 绝对值, 这个是对的吗?那显然是错误的吧,因为 x 等于负一,它大于负二,那它的绝对值反而更小嘛,所以这个是不对的,你举一个复数就可以了,这是我们列举的第二个,那你可以继续列举啊。如果 x 等于 y, 那 么可以写平方。 x 等于 y, 那 么 x 的 平方就会等于 y 的 平方,这个是相等关系,那么可以继续变啊。若 x 大 于 y, 那么 x 的 平方就会大于 y 的 平方吗?这又是一个错误的吗?和我们刚刚上面这个是一样的,你添一个负号就可以。比如说负一大于负二,平方一下,显然会更小,所以它是错误的。 接下来我们看拓管探索的第九题,他告诉我们呢, a、 b、 c、 d 和这个 e、 f、 g、 h, 它是同为一个面积的矩形,它们两个呢,组成一个,总共面积是两百平方米。也就说我现在画红色的这个区域, 总面积是两百平方米。然后呢,它在正方形 m、 n、 p、 q 上建一座花坛,哦,这里是花坛,我把它标注一下,造价呢,是四千二百元每平方米。然后在四个相同的矩形,也就是这个阴影的部分要铺花岗岩。 我把它也标注一下,造价呢,是两百一十元每平方米。然后在这四个空角,也就是这四个三角形当中,要铺草坪,草坪的造价呢,是八十元每平方米。那总造价为 s, 那 总造价那就是全部加起来呗。 ok。 那 现在呢,是 a、 d 是 x 长,哦,这里是 x, 当 x 为和值的时候, s 最小,也就总造价要最小。 那我设 a、 d 是 x, 我 可不可以设 a、 m 等于 y 呢?也就说这一段的长等于 y 米。 ok, 我 们先把它设出来,那有了 x, y, 我 们知道中间这个花坛,这是 x, 它是正方形,所以都是 x, 因此花坛的面积就是 x 乘 y 等于四,也就四倍的 x y 呗。那三角形的面积也可以求出来,那草坪的面积呢?我们可以先算出来一个三角形,就是二分之一的底乘以高,也就是 y 的 平方,总共有四个,那就乘以四呗。所以它草坪的面积就是 二 y 的 平方。 ok, 所有的面积我们都求出来之后,我们接下来就可以去列等式和不等式。首先两百平米,也就是这个矩形加上这个矩形的面积是两百平米, 那也就说四个阴影部分,也就是四倍的 x, y, 这四个矩形加上中间这个正方形 x 的 平方,它的面积之和是两百。那我们可以推出来, y 就 等于两百,减去 x 的 平方,要除以四倍的 x, 所以 总造价 s 呢,就等于花坛的单价乘以面积,也就是四千二百乘以 x 的 平方, 要加上花岗岩的单价乘以面积,也就是两百一十乘以四倍的 x, y, 再加上草坪的单价乘以面积,那就是八十乘以二 y 的 平方。那我们把所有的 y 都变成 x, 第一个四千两百 x 平方不要动,变成两百一十乘以四倍的 x, 再乘以 y, y 其实就是我们刚才算的四倍的 x 分 之两百减去 x 的 平方,加上八十乘以二倍的 y 的 平方,也就是 四 x 分 之两百减去 x 平方,整体的平方呗。所以我们把它整理一下,它就变成了三万八千,加上四千 x 的 平方,加上 x 的 平方分之四零零零零,也就是四十万。那么到这里呢,大家就一目了然了。 x 的 平方, x 平方直接可以使用基本不等式,它就会大于等于三万八千,加上两倍的根号下,它乘它也就是四千 x 的 平方乘以 x 的 平方分之 四十万,那么约掉 x 的 平方,它就是幺幺八三个零。哎,也就是说 s 它是大于等于幺幺八三个零的。那什么时候成立呢? 当前仅当谁使用了基本不等式,我就让谁相等,那当然是四千倍的 x 的 平方会等于 x 的 平方分之四十万,那么写出来 x 就 等于根号十,因为 x 肯定是正数嘛, 负数要把它舍去,也就说 x 等于根号十米的时候,总造价能取得幺幺八零零零这个最小值。这就是本题最终的答案。接下来我们看拓广探索的第十题,他说购买同一种物品,可以用两种不同的策略。 第一种策略呢,是不考虑物品的价格的身价,每次购买这种物品所花的钱数一定。 那么哪一种更经济呢?我们假设呢?第一种策略,购物第一次呢,它的价格呢,是 p 一 元,我们买呢,买的是 n 千克。那第二次呢,我们假设它的价格是 p 二元,当然也买 n 千克,因为他说每次买这种物品的数量一定嘛,所以两次买它的平均价格,我假设它是 s 一, 它就等于第一次的总价 p 一 n 加上第二次的总价 p 二, n 除以二 n, 所以 可以把 n 约掉,那就是 p 一 加上 p 二除以二呗。这就是第一种策略下 它算得的平均价格。那接下来第二种策略。第二种策略呢,我们可以设,第一次花 m 元,那么它花了 m 元,它就能买多少千克呢? 是 m 除以 p 一 千克,因为第一次价格是 p 一 元嘛,那么第二次呢,他仍然花 m 元,他能买到的千克数就是 m 除以 p 二千克呗。那么两次他买下的平均价格,我们仍然可以去算一下 s 二,它等于 第一次的元素,就是 m, 加上第二次的元素 m, 那 就是二 m 除以,总共他买了多少东西, 那就是 m 除以 p 一, 加上 m 除以 p 二。那把它整理一下,就是两倍的 p 乘以 p 二除以 p 一 加上 p 二。那它现在的操作就是要比较 s 一 等于 p 一 加上 p 二除以二和这个 s 二等于两倍的 p 一, p 二除以 p 一 加 p 二。 比较 s 一 和 s 二,到底谁更大呗?那比较谁更大,我直接做插法就可以了嘛。所以 s 一 减去 s 二,那算出来呢,是等于 p 一 加上 p 二,括号的平方减去四倍的 p 一 乘以 p 二除以两倍的 p 一, 加上 p 二。那显然上面呢,也可以把它整理一下,就是 p 一 减 p 二,括号的平方要除以两倍的 p 一 加上 p 二,那显然它是大于或者等于零的吧。也就说 s 一 一般是要大于等于 s 二的,什么时候相等呢? 当这个 p 一 等于 p 二的时候, s 一 才会等于 s 二,此时它的平均价格就是一样的,如果不等于 s 一, 永远比 s 二更大。所以呢,建议推广 第二种策略,也就是说每次买这种物品所花的钱数是一定的,更划算。这是一种思路,也就说我们直接做插法,那么有没有更快一点的思路呢?也就说要比较 s 二和 s 一 的大小,我直接先从 s 二出发, s 二它等于两倍的 p 一, p 二除以 p 一, 加上 p 二,有核有机,我们可以直接使用基本不等式,那分母直接使用基本不等式,那就大于等于两倍的根号下 p 乘以 p 二, 那分母是大于等于整个分数,它就会小于等于分母是两倍,根号下 p 乘以 p 二,那分子呢?不用动,那么把它约一下,分母有理化,它其实就是根号下 p 乘以 p 二,那么根号 p 一 乘以 p 二,它就可以直接使用基本不等式,它就会小于等于二分之 p 一 加上 p 二,哎,它是谁呀?它不就是 s 一 吗?所以我们得到 s 二,它会小于等于 s 一, 哎,和我们前面这个第一种方法得到的是一样的, s 一 一般是要大于等于 s 二的。当前仅当 p 一 等于 p 二的时候, s 一 才会等于 s 二,所以选择第二种策略会比较经济。 这就是本题它最终的答案。完美,这就是这个视频全部内容,感谢观看,加油!

好,各位同学,大家好啊,咱们今天按讲讲高等数学的一些题目,这个后面我会更新一下这个高等数学的每天一题啊,今天讲的是这个有阶性的课后练习题啊,这个练习题就是咱们课本上的那个,那个那个课后习题啊,都比较简单, 先来看他说让你来讨论一下函数的有阶性,那有阶性呢?大家先想一下,基本概念就是 f x 绝对值啊,如果小于等于 m 成立的话, 哎,那么这个 m 呢,就是它的有界性,对吧?如果 f x 是 小于等于 m, 那 就是它的一个上界。如果 f x 要大于等于负 m, 那 么负 m 就是 它的下界。那么这个呢,也可以用几何法来考究考虑。我们以简单的三角函数正弦为例, 他的上界呢,就是 e, 是 吧?下界呢,就是一个负 e。 好, 我们来看,那么同时呢,这个和我们高中挂钩呢,其实就是跟这个值域很类似,对不对?值域很类似,但是要用结合一下图像来看。第一个我要讨论有界性,那我就执行定义,那么我要看 f x 绝对值,它的有界性是什么? 就是 x 的 绝对值比上一个一加 x 方,因为下面是正的。然后呢,我把一 x 的 绝对值除下来,就变成一比上 x 的 绝对值分之一加上 x 的 绝对值,对吧?这一看就是那个对勾函数吧,或者是均值不等式。下面这个东西应该是大于,等于就是 x 分 之一加上 x 绝对值大于等于二,对吧?当前紧当啊,按照初中的讲法,按高中的讲法要写当前紧当,或者是你要想一想,它是对勾函数,对吧?那我来看,所以说呢,这个圆是 f x 绝对值, 它就应该小于等于二分之一,那么二分之一呢,就应该是它的一个减好了,那我们来看第二个 f x 等于一加 x 方,比上一加 x 四次方,那么这个呢,我们也是通过定义来看 f x 绝对值,我又让它等于,哎,这个时候我们发现函数的这个奇数都是正数, 就是一加 x 方,比上一加 x 的 方,他都是正的,哎,所以这时候我就不用管了,对吧?那我来看这个呢,我要求他的有界性,你可以考虑用极限来做,就是罗密达法则做,也可以按照这个高中学过的换元,其实换元在大学期间呢,用的也是比较多的,在高等数学当中,那我来我们讲讲换元令。 t 等于一个一加 x 方,那我来看这地方,注意一下 t 的 范围, t 呢,就是大于等于一的一个数,那么这个时候我们来看这个 x 方呢,就变成了一个 t 减一,所以说这个时候换元这个一加 x 的 四次方,那么他就等于一加上一个 t 减一的平方, 那么就等于一个 t 的 平方减去二, t 加上一个二。好了,那么这样做完了之后,我们来看原式,换元完了之后,原式就变成了一个 t 比上一个 t 方减去二, t 加二,哎,这时候也是啊,上下同时除以 t 啊,这一,这里是一个 t 减去一个二,加上一个二除一 t, 那 么很明显和刚才是一样的,对吧?你无论是对勾还是还是均值不等式都可以,就是一比上一个二倍的根号二减去一个二, 对吧?那我来看,我要算一算这个数啊,这叫分子有理化,对吧?啊?分母有理化,就是二分之上面是一个二倍的根号二加上一个二,这个来看,我这个分子分母同时除以乘以啥? 呃,这个应该是根二加一,是吧?二分之根号二加一啊,这个题我是这么做的,我把这个二提出来,这里变成根二减一分之一, 然后我让分子分母同时乘以根二加一,下面就是根二加一就变成一了,所以是二分之根二加一啊,所以二分之根二根二加一呢,是它的一个解。 这我们来看还是说到刚才这个有界性,有界性呢,就是你通过图像来理解,或者通过他的。呃,这个这个直域来理解,这个是都可以的啊。就有界性,我来看,就是他要要求他的绝对值啊,还是绝对值 就形成上下的两个界,把这函数图像卡在其中就可以了。好吧,这个题比较简单,大家呢?来看一看啊。这节课讲到这,跟你们再见。

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