辅仁高中高一年级三角函数竞赛

三角函数的图像性质和我们后期各种含有正余切的不等式复合函数、最值求导以及圆锥曲线章节都有着十分紧密的联系，所以基础图像内容的掌握就显得尤为重要。 首先，我们看这样一个大波浪一样的玩意儿，它叫做正弦函数 y 等于 sine x。 而除此之外，这样的一个外形好像也是一模一样的波浪的一样的玩意叫做余弦函数 y 等于 cosine x。 当然，还有一个长得比较奇特的是正切函数呃，先选哪个？好嘞， 这两玩意长得像，我们就先研究他们俩。哎，我发现呀，这波浪虽然看着吓人， 但是他根本上却是这种小的半壶一个一个重复拼接而成的，那我是不是只要把这一个小半壶研究明白了，每一部分也就都清楚了呀？ 好，既然他的表达是是 y 等于塞眼 x， 那 么图像上任取一个点 p， 横坐标为 x， 纵坐标便是赛隐 x。 可是问题来了，他的图像为什么会呈现这样一个像对称的弧形一样的玩意呢？这里就不得不搬出我们的常驻嘉宾单位员来了。 在此之前，聪明的你已经了解到，对于一个大小为 x 的 角度，它的中边与单位圆的交点 q， 它的纵坐标就是 x 的 正弦值。 而当我们把视线转向右边的途中，横坐标为 x， 对 应这样的长度纵坐标，也就是 sine x 正弦值， 他们俩之间会不会有啥特别的关系啊？看左边，对于锐角 x， 随着 x 的 增大，点 q 在 上升，那么他的纵坐标正弦值也在变大。 看右边的图，在弧形的前半段，随着横坐标 x 的 不断增大，纵坐标 sin x 也在变大， 这两个 x 的 大小是一模一样的，只是说呢，一个作为角度，一个作为长度存在，而 x 一 样了， p、 q 两点的正坐标 sin x 也就一样了，可以用一条线进行贯穿。 比如，咱们先研究 x 属于零到二分之派的开区间大于零小于九十度的情况， 也就是左边图中点 q 只在第一象限上升的情况。好的，让 x 的 值无限趋近于零作为起点，随着 x 的 增大， p q 两点都在上升，可是他俩会一直这样上升吗？ 没错，并不会的，因为马上随 x 逐渐靠近二分之派，也就是九十度这个点， q 便会到达圆的最高点，那么相应的，右边图中的 p 点自然也到达了最高峰。 那么这个高度是多少呀？没错，正是单位圆的半径大小等于一，此时的 x 等于二分之派，也就是九十度。 那么右边的 x 也是二分之派，正好是这样一段红色实线的长度，正好是波峰的横坐标。 好的，再接下来，随着自变量 x 的 继续增大，为什么图像开始递减了呢？我们还是两个图像一起来看。 随着 x 的 继续增大， q 点开始沿着圆下滑，和 q 点等高的 p 点呢，也开始下滑，一直下滑。下滑？滑到哪呢？ 一直滑到 q 点的纵坐标为零了，此时的 x 恰好是一个平角半圆。咱们说一派一半圆， x 刚好等于一个派， 右边的 x 对 应红色实线，他也等于派一个派的横向跨度刚好对应一个半弧。不过嘞，这好像还没完， 当 x 大 于派之后，还有图像，并且是这样一个完全复制翻折过来的半弧，我们还是可以两个图像一起来看。 单位圆上的点 q 它还在继续下降，那么右图中的 p 点它也会同步下滑，但啥时候是个头呀？是的，当 q 点触碰到单位圆最低点的时候，右边图中的 p 点也会到达。拨鼓， 此时的 x 等于二分之三派，对应拨鼓的横坐标。最后图像又是怎么递增回去的呢？相信你一定想到了 此时的 x 等于二派一个完整的圆。到这里，我们便推出了无尽重复的正弦函数中的一个完整的周期， 其他部分就是不断的复制粘贴，首尾相接，这样便可以得到一个完整的正弦函数 y 等于 sin x 的 图像。 并且呀，图像一直都被前置在外等于一和外等于负一两条直线之间，当然可以取到边界点。我们把视角放大了看， 一正一负两个半弧相邻拼在一起，就是一个完整的周期，也就是最小正周期。一个半弧是一个派，那么一个最小正周期呢，便是两个派了。 好的，再说这个函数，它有对称轴吗？图像是无穷左右延伸的，所以啊，任何一条贯穿波峰或者波谷的竖直线都是正弦函数的对称轴，不用考虑对称轴左右图像的长度问题。 并且啊，相邻对称轴之间的距离都是派，比如这其中一条对称轴是 x 等于二分之派， 那么二分之派加派，二分之派加二派，二分之派加三派，二分之派加四派等等。 x 等于二分之派加上整数倍的派，都是对称轴。同时呢，二分之派减掉整数倍的派也是的。 所以啊，对称轴的一个通用表达式就是 x 等于二分之派加 k 派， 二分之派是其中的一条，加上一个 k 派就覆盖了所有的情况。 不过这里千万注意的是， k 是 一个整数，他不是正整数，因为减掉几倍的派和加上几倍的派都是可以的。好的，说完了对称轴，你说他有对称中心吗？思考一下， 没错，不仅有，还有无数个图像与 x 轴的所有焦点都是对称中心派，二派，三派，所有的整数倍的派都是对称中心的横坐标。 k 派都好零，这里边的 k 他 还是要注意是整数，而不是正整数。 好的，到这里说完了正弦函数 y 等于塞沿 x 的 这么多性质，我们回过头来简单的总结一下。 首先，定义域为 r， 整个 x 轴上都有图像。再说直域为负一到一的 b 区间，因为它的图像呀，永远都只在外，等于负一和 y 等于一之间波动来回 最小正周期。 t 等于二派，两个半弧拼接而成，一派一半弧。 再说，对称中心是所有的焦点，焦点的横坐标呢？ x 等于 k 派。 不过需要注意的是，对称中心是一个点，千万不要只写一个横坐标就结束了。而对称轴呢，竖直贯穿所有的波峰波谷， 当然， y 轴不在其中，因为正弦函数是一个奇函数。好的，说了这么半天的正弦函数，如果我要研究余弦函数，这些结论需要全盘推翻吗？ 这里是并不需要的，我们只需要把图像在原本正弦函数的基础上向左平移二分之派个单位长度就可以了。 为啥呀？因为塞隐 x 加二分之派等于 cosine x， 这个借助上一节所学的诱导公式可以推理得到，左加右减， x 加二分之派就是向左平移二分之派个单位长度就可以得到余弦函数了， 它是一个偶函数，但是波形外观和正弦函数是一模一样的，所以定义域值域最小正周期都是完全不变的。只有对称轴和对称中心的横坐标需要简单的互换一下位置， 但是对称中心依然是所有的交点，对称轴依然是贯穿所有的波峰波谷的数值线。 不过对于余弦函数这样一个偶函数来说，外轴他也是对称轴了。好的，说了这么老半天，也该拿出一道题目来检验检验了。 首先， x 属于零到二派的开区间，要解这样一个不等式，我们还是借助图像来辅助求解。 蓝色图像是 y 等于 sin x 的 全貌，但是题目中他只要零到二派这个开区间之内的图像，也就是这样一个完整的周期，其余部分通通拿掉。 好。 y 等于 cosine x 对 应于弦值，但是他还带了一个绝对值，这个怎么画呢？ 我们还是先把里边的余弦函数给他画出来，就是在正弦函数图像的基础上，向左平移二分之派个单位长度得到余弦函数，再结合定义域零到二派的开区间，只保留对应的区域。 接下来戴上绝对值，这个应该咋办呀？没错，把副半折的部分通通翻折上来，这样就可以了。现在题目明确了，在零到二派的开区间上求蓝色曲线高于红色曲线的部分， 那是不是就只有这样一个狭窄的开区间符合题目的要求呀？好的，方向明确了，但是 x 一 和 x 二又应该怎么求呢？ 在图像中看， x 一 x 二正好对应红蓝曲线的交点横坐标，所以赛引 x 一 等于 cosine x 一 的绝对值，赛引 x 二的绝对值。 那么 x 一 和 x 二之间又有什么区别呢？他们俩中间竖着隔着一条， x 等于二分之派， 也就是 x 一 小于二分之派， x 二大于二分之派。现在方程就好解了， x 一 是锐角，所以 cosine x 一 的绝对值可以直接拿掉， 进而算出 x 一 等于四分之派。 x 二呢，是一个钝角，所以 cos 以 x 二的绝对值等于 cos 以 x 二的相反数，进而解出 x 二等于四分之三派。 而咱们的答案呢，就是 x 一 到 x 二的开区间。这样一道题便成功的解出来了。 接着看第二题，要解一个含有正切值的不等式。可是正切函数的图像又有什么特点呢？ y 等于 tan 减 x， 它长这样挺吓人的，它被无数条虚线分割成了无数个单体，而每一个单体又刚好对应一个最小正周期。 t 等于 pi， 相邻虚线之间的距离也是派。并且呀，你会发现他的图像在数值方向上可以无限延伸，上天入地，没有正余弦函数那样的限制值域为 r。 但是嘞，他的定义域就有不少的限制了，所有的虚线都不能取 x 等于二分之派，二分之三派，二分之五派以及负二分之派，负二分之三派等等等等。 定义域是 x 不 等于二分之派加 k 派， k 取全体整数。 接着正切函数的对称中心依然是曲线与 x 轴的所有焦点， k 派逗号零，只不过呢，他没有对称轴，一条也没有。 好的简单了解了正切函数的性质之后，我们再回到题目当中，一个玩意的正切值大于等于负一，小于等于根号三， 且不管正切符号里边是个啥，如果一个数的正切值大于等于负一，小于等于根号三，比如这个数就是 c， 它暂时给它替换掉， 那么符合题目要求的曲线范围便是所有标黄的部分。毕竟要大于等于负一，小于等于根号三，必须在两条红线之间，那么横坐标 c 塔的取值范围自然是黄色曲线的横向跨度了。 但是一下子研究这么多个，确实有些看不过来。咱们从中挑出一个来，比如在负二分之派到二分之派的开区间上的这一个。 既然解析式是 y 等于贪婪 x， 那 么曲线上的点自然就要满足对应的关系， 而这里的点 p， 他 又刚好是上边界 y 等于根号三和曲线的焦点，所以纵坐标正切值等于根号三，进而可以算出横坐标等于三分之派， 下边界 y 等于负一与曲线的交点 q 也是同样的道理，纵坐标正切值等于负一，进而可以算出横坐标为负四分之派。那么现在在这一周期内， c 塔角它的左右边界就都完美搞定了。 这个时候，我们再把曲线放回原本的大的重复周期当中，相邻周期之间的间距都是 pi， 那 么在刚刚单拎出来的周期中，左边界负四分之 pi， 右边界三分之 pi， 组成这样一个符合题目要求的 b 区间， 那么整体加个派就可以得到第二个成立的区间，第三个，第四个等等等等。不过呢，有没有一个表达式可以把所有这些符合题目要求的黄色区间都一次性表达出来呢？思考一下， 哎，还真有这样一个，在我们最开始求出的负四分之派到三分之派的 b 区间的基础上，发生 k 派的左右平移，便可以包含所有的情况。当然呢， k 属于 z， 可以 取全体整数。 现在咱们知道了，只要 c 他 角属于这样一个 b 区间，他就是符合题一的， 当然呢，还没有完 c 它角是换元之后的结果，千万要记得要换回二分之一 x 加六分之 pi， 这才是题目的要求。这样一个不等式，解开之后便可以得到最终的答案。

同角三角函数公式背了一堆，一做题还是没思路，马老师告诉你，三角函数不是靠背的，是靠体系。今天一个视频带你拆解三大底层逻辑，把之一求二、衔接、转化和和积差三大必考题型一网打尽，建议先收藏， 这绝对是你刷到过全是重点，能直接拿来用的三角函数课。我们今天一个视频把同角三角函数的三种题型给一网打尽。 首先我们先来看基本关系式及其变形当中给我们的三个启示，然后再通过练习来理解其应用与计算的细节。 首先， sine 法、 cosine 法， tangent 法呢，它是三个未知数，在这个基本关系式当中呢，它给我们提供了两个方程，那也就是说条件再给一个方程的话， 我们就可以通过三个未知数，三个方程把未知数完全求解出来，这也就是所谓的知一求二。 第二点，其次，化切，也就是说我们通过其次式呢，同除这个方式把弦呢去完全转化成切，那其实你把这个式子商数关系反过来去看，他也是一个切化弦的过程， 这其实也能告诉我们，正余弦呢，它是一个计算体系，而正切它是另外一种计算体系，那我们会在应用当中去彻底理解。其次，这么一个东西以及常数一在其次当中的一个作用。 第三，在平方关系式的变形当中，它体现的是 sine 加 cosine 和 sine 乘 cosine 三种结构之间的关系。看到这三个结构当中出现了其中的某一个，我们一定要想到这样的一个完全平方式。好，那我们通过三种题型，彻底把这三条底层逻辑给理解清楚。 题型一弦切当中的知一求二，在我们去计算之前呢，我们一定要知道，对于所有的求解三角函数值的问题，我们一定要确定角的范围，如果已知角的象限， 我们可以得到三角函数值的正负，如果我们知道三角函数值的正负，反过来也能推出来角所在的象限， 那我们来看例一，已知 sin x 等于负三分之一，那你负三分之一的话，那角是不是就会在第三或者是第四项线？那么 cosine x 呢？就有可能是负，也有可能是正， tanning 呢，就有可能是正，也有可能是负，对不对？所以前提一定要做好这样的一个判断。 在解答题当中，我们可以按照前面的基本关系式来进行一个计算，在小题当中，我们可以用其他更快的一个方式。我们先来去快速的去说一下这个公式的一个应用。 sin x 等于负三分之一，那我们就想同角三角函数的关系嘛，对不对？ sin 方 x 加上 cosine 方 x 等于一，所以呢， cosine 方 x 它就等于一减 cosine 方 x， 也就是一减九分之一，等于九分之八。 既然你的角可能在第三，可能在第四，我们就要进行一个讨论，如果角 x 呢是在第三项线，那么 cosine x 就 等于负的三分之二倍根号二， 此时的 tanning x 呢，等于 cosine x， 除以 cosine x， 我 们就会得到二倍根号二分之一。化简一下，四分之根号二， 那如果 x 在 第四象限，我们就会得到 cosine x 呢，它就是正的嘛，三分之二倍根号二，那 tanning x 就 会变成是负的，也就是负的四分之根号二。 第二小问， tanning 尔法等于三，那求 cosine 尔法那所以 tanning 的 尔法就等于 sine 尔法，除以 cosine 尔法 等于三，也就是 sine 耳法等于三倍的 cosine 耳法，再结合 sine 方耳法加上 cosine 方耳法等于一，那我们把第一个式子平方一下，就得到了一个九倍关系， 然后代入二式，就得到十倍的 cosine 方阿尔法是等于一的。哎，那阿尔法在第一象限嘛，那所以 cosine 一定是正的，我们就解出来 cosine 阿尔法等于十分之根号十。 在解答题当中，过程我们就按照同角三角函数的关系来进行一个计算。在小题当中呢，我们要知道，三角函数值是有两部分确定，第一部分是正负和象限的关系，第二部分是比例， 也就是把这个角放入到一个直角三角形来去进行一个计算。那么用第二种方式再来去尝试一下三， x 等于负三分之一，那么它可能在第三或第四象限。当 x 在 第三象限的时候， 我们知道 cosine 为负， tanning 为正，我们画一个直角三角形，这个角 x 呢，它的对边就是一，斜边就是三，那所以我们就可以得到它的邻边是不是就是二倍根号二啊？所以 cosine x 就 等于负的三分之二倍根号二，那 tan t x 呢，是不就等于一？除以二倍根号二，也就是四分之根号二？ 所以三角函数值由两部分组成，一部分是正负，一部分是比例，那所以 x 在 第四象限的时候， cosine x 就 等于三分之二倍根号二， tanning x 是 负的嘛，所以就是负的四分之根号二。 第二小问， tanning r 法等于三，在直角三角形当中，哎，我们去画一个 r 法角 tangent 尔法对边比邻边是三比一，所以斜边是根号十，那尔法是第一象限， cosine 尔法为正，所以 cosine 尔法就等于一，除以根号十等于十分之根号十。 例二。这个题目呢，给到我们一个方程关系，这个方程关系并没有给到我们什么 sin 是 多少啊， cosine 是 多少这样的值，对不对？但是呢，它其实给了一个方程，我们就可以结合同角三角函数当中的基本关系式去构建方程解未知数。所以它是 sin cosine 吗？ 我们把它和谁，把它和 sine 方加 cosine 方等于一结合起来，那这是不是就是两个方程，两个未知数就可以去把 sine 和 cosine 先去求解出来。 所以我们对于第一个式子，平方四倍的 sine 方 c 塔就等于一减两倍的 cosine c 塔，再加上 cosine 方 c 塔，那第二个式子呢，我们就乘以一个四，然后再把这个式子带入进去，我们就可以得到， 在整理一下，我们就会得到五倍的 cosine 方 theta， 减去两倍的 cosine theta， 再减三等于零。 那这里我就直接英式分解，得到五倍的 cosine theta， 加上三，再乘以 cosine theta 减去一是等于零的， 所以 cosine theta 等于负的五分之三，或者是 cosine theta 等于一。 哎，那你看，现在要做取舍了，那你前面是不是一定要注意这个角的范围，所以这个角呢，是在第二第三象限，那 cosine 呢，一定是小于零的嘛，对吧？所以 cosine 等于一就要舍去 cosine theta 等于负五分之三，那我们代入到条件当中，给我们的式子两倍的 sine theta 就 等于一减去负的五分之三等于五分之八，所以 sine theta 就 等于五分之四，那么 tanning theta 等于负的三分之四。选择 b 选项吧。奇形二弦切其次化求值。那首先我们来理解什么是其次，其次一定要在一个等式或者是一个分式当中。 第二点，私密怎么来去理解那 sine 而法我们就可以看作而法正弦的依次，那 cosine 呢？就可以看作 cosine 的 依次，那它俩的加减也是依次， 那 sine 的 平方，那就是这个角正弦的二次，那 cosine 的 平方呢？就是这个角余弦的二次 sine， 而法乘以 cosine， 而法呢，就是两个一次的相乘，所以它也得到的是二次的形式。 而我们在题目的应用当中经常会有一，它是不是可以去写成是 sign 方加上 cosine 方，所以我们就可以把一个常数一去转化成二次， 所以在一个题目当中已知正切，那么求一个分式的值，那这个分式我们就观察它是不是一个其次式。那么看例一，分子上， sine 法是一次， cosine 法是一次，它俩是减的，所以分子是一次 分母， cosine 法是一次， sine 法是一次，它俩加也是一次的，所以就是其次。是其次是干嘛呢？做处理就是要分子分母同除 cosine 的 n 次方耳法，如果你是其一次，就除以一次的 cosine 耳法，如果你是二次的，那你就除以 cosine 方耳法嘛，所以这个分式我们的分子分母同时除以 cosine 耳法就变成了两倍的 tanning 的 耳法。减一除以 二，加上三倍的摊平 r 法把二代入就可以得到二乘以二减一，二加上三乘以二，我们就会得到是八分之三嘛。所以这就是一个什么弦去转化成切的过程。 那我们刚才说切是一个计算的体系，正弦与弦又是另外一种体系，所以说我们再去计算的时候，你现在能把弦去转化成切，是不是也可以把切去转化成弦？那已知 tanning r 法等于二，实际上我们是不是可以把弦给求出来？ 我们假设 r 法在第一象限，那么 tanning 的 r 法等于二，我们画一个三角形， 对边是二，邻边是一，斜边就是根号五，所以 sine 尔法就等于二，除以根号五。 cosine 尔法就等于一，除以根号五。那我们代入是不是也可以计算所以切化弦呢？也是一种想法呀。那如果是尔法是第三象限，也是同理的，那 sine 尔法它就变成了是负的嘛？ cosine 法也变成了是负的，我们代入到这个分式当中，也是可以去计算结果的。 例二，那就是一，它的一个代换，把常数去转化成二次，那你 tanine 法等于二，后面这个式子呢？分母它是二次的， 分子上是一个常数，常数其实是 sine 尔法的零次方，它其实是零次的，所以我们需要把常数去转化成一个二次的，所以原式就可以等于 sine 方尔法加 cosine 方，尔法再除以 sin 而法乘以 cosine 而法。分子分母同为二次了，那我们的分子分母就同时除以 cosine 方，而法得到 tanning 的 方，而法加一除以 tanning 的， 而法把二代入，就是 五除以二嘛，所以结果是二分之五。第二问 tanning 的， 而法等于二。后面我们要求这个式子的值呢？它是一个二次的，平方和 sine 乘 cosine 都是二次， 但是他没有。其次，因为他既不是分式，也不是等式，所以这种情况下，我们还是要去构造一个 分式的情况，也就是我们让这个式子呢除以一个一，那这个一是不是就可以变成三引方 尔法加上 cosine 方尔法。所以分子分母同为二次，我们就可以同时除以 cosine 方尔法去变成 tenning 方尔法。减 tenning 的 尔法除以 tenning 的 方尔法。加一 把二带入，哎，我们就可以得到是二除以五嘛，所以最后的结果是五分之二。例三，前面我们已经说过一种方式了，直接把 sin 和 cosine 去求解出来，那我们现在去换一种方式， 条件给了我们是正弦跟余弦问题，问的是正切，那么从弦到切，我们是不是可以其次弦化切。 所以我们需要对前面这个式子呢做一个变形，把一写单独的写到一边来，叫做两倍的 sine theta 加上 cosine theta 等于一啊，因为常数一呢，它是可以转化为二次的，所以我们这个式子是不是要做一个平方的计算？ 现在平方过后，左边就是二次的了，那右边我们把它用 sine 方 theta 加上 cosine 方 theta 表示出来，那现在就变成了一个其次式。然后我们先化简一下吧， cosine 方 cosine 方约掉， 然后 sine 方和 sine 方也可以约掉一个，所以三倍的 sine theta 加上四倍的 sine theta 乘以 cosine theta 就 等于零。 那我们的左右呢？可以同时除以 cosine fencita， 得到三倍的 tanning 的 fencita 加上四倍的 tanning theta 等于零啊，这里我可以同除，是因为在这个范围内， cosine 是 不为零的，所以我们会得到 tanning 的 theta 等于零，或者是 tanning 的 theta 等于负的三分之四。有两个结果一定要验证一下吧，你看这个 a b 选项是不是就特别的相近？所以当 tanning theta 等于零的时候，实际上就是 sin theta 等于零，那 sin theta 等于零呢？ cosine theta 就 会等于一嘛？ 那在这个象限当中， cosine theta 是 小于零的，对不对？所以呢，这种情况是不成立的，那 tanine theta 等于负三分之四，它是小于零的，那就会在第二象限 第二项线， cosine 小 于零， sine 是 大于零，所以这种情况下它是可以的。那答案就是 b 选项。当然，我们也可以通过把 sine cosine 具体求出来，进行一个更加细致的验证。 题型三，正余弦和积差的值一求二，那我们就通过完全平方式把它们给联系起来。 好，那我们来看例一，已知 sine 法加 cosine 法，而法的范围给了是非常的好的。那所以最后要求的 sine 法和 cosine 法，那我们就知道哦， sine 是 负的， cosine 是 正的，那最后的结果一定是 小于零的嘛。好，那我们就开始平方计算， sine 法加上 cosine 法的平方就等于一，加上两倍的 sine 法乘以 cosine 法 等于二分之一，所以呢，两倍的 sine 尔法乘以 cosine 尔法就等于负的二分之一。我现在想要去求 sine 尔法减 cosine 尔法对不对？那它也要平方， sine 尔法减 cosine 尔法的平方就等于一，减去两倍的 sine 尔法乘以 cosine 尔法， 那也就是一加上二分之一等于二分之三。所以我现在要开根号嘛，开根号就要判断正负来去去绝对值，所以呢，我们已经判断出来它是负的了，所以 sine 而法减 cosine， 而法就等于负的根号下二分之三 就等于负的二分之根号六嘛。然后我们稍微进阶一点来看例二，最后要去求解呢，是整数，那我们还是看到这个式子干嘛呢？平方对吧？ sine x 加上 cosine x， 它的平方 就等于一加上两倍的 sine x 乘以 cosine x 等于二十五分之一。所以呢，两倍的 sine x 乘以 cosine x 是 等于负的二十五分之二十四， x 在 零到派这个范围内，而 sine 乘以 cosine 呢，它是小于零的，所以这个 x 呢，一定是在第二项线。 现在去求 tangent x， 一定不要把这两个式子去进行一个连立，而是要算什么，而是一定要算 sine x 减 cosine x， 所以 sine x 减 cosine x 的 平方就等于一减去两倍的 sine x 乘以 cosine x 就等于一。加上二十五分之二十四，那就是二十五分之四十九嘛。那开根号，因为在第二项线， sin 为正， cosine 为负，所以 cosine x 减去 cosine x 就 等于五分之七，那么 cosine x 等于五分之四， cosine x 等于负的五分之三。我们就可以把 twenty x 更快的求解出来是负的三分之四， 这里其实也可以给大家去说，如果说你在小题当中看到了有五分之一这样的一个数，它一定是由五分之三和五分之四来去组成的， 我们说了这个正余弦的和积差，它是一种关系，那这种关系我们要学会进行一个相互转化。那我们再来看例三它的一个应用 f x 的 最小值，那我们先把 f x 给展开吧， f x 它是等于一减去 两倍的 sine x， 再减去四倍的 sine x 乘以 cosine x， 所以你会看到这里面有什么？是不是既有 sine x 乘以 cosine x， 又有 sine x 减去 cosine x， 那 看到了这样的关系，我们一定要想这个完全平方式，也就是 sine x 减去 cosine x 的 平方，它是等于 一减两倍的 sine x 乘以 cosine x， 所以 我们的 sine x 乘以 cosine x， 是 可以转变成 sine x 减 cosine x 这个结构，所以原来这个不认识的函数呢，我们就可能变成是认识的了。那我们再来去写一部，看看你们认识不？ 那在这个解析式当中，它同时出现了 sin x 减 cos x 和 sin x 减 cos x 的 平方，所以这就是一个我们能认识到的复合函数。 那接下来我们内层令 t 等于三 x 减 cosine x， 外层呢？ y 就是 等于一加上二 t 减去二，再加上二 t 方，也就是二 t 方加上二 t 再减一， 那我们肯定要知道 t 的 范围嘛。那如果说你们学过的话，这边应该是一个辅助角公式，等于根号二倍的 sin x 减去四分之二，那么它就属于负根号二到根号二， 那所以 t 的 范围就是负根号二到根号二。如果辅助角还没有学，就一定要先认识到把它变成一个复合函数的这么一过程 啊，如果认识到了，我们就可以继续求解了，那这个关于 t 的 二次函数，它的对称轴是负二分之一，而负二分之一是在这个负根号二到根号二的区间内，所以最小值我们就可以取得到，那么 我们就把 t 等于负二分之一，直接代入得到 y 的 最小值就是二乘以四分之一，再减去一，再减去一，那就等于负的二分之三。选择 b 选项， 发挥你的聪明才智，把这三个练习快速的拿下吧。总结一下我们对于三角函数的计算问题，我们一定要先理解公式，然后呢看到里面计算的细节， 比如说一的代换，他是如何把一变成一个二次的形式，从而构建出一个其次同除的形式，这些是要通过在练习当中不断的理解和积累的。关注我用正确的方法搞懂数学。

咱们高一上的家长同学们大家好啊，这个现在咱们这个马上到期末了，咱们人教 a 版的，是不是很多的同学们已经到了三角函数这块了，是不是？张老师给你们说一下子，咱们一直到期末，三角函数这一块大家想学好， 我们要学会哪一些东西？从前到后我们要学会哪一些东西啊？他不是说光背的是不是？现在是不是发现我现在我光背公式有些题我还是不会做，是不是？那我应该到底要怎么去学会这些知识点？要学会这些知识点哪些的用法啊？ 那首先第一块我们先从啥呀？针一角 这个东西，我就发现脚这个东西大家都发现，注意一下东西就是转圈嘛，脚的中边这个转圈， 然后转圈怎么样去表示我们头一次注意啊， k 派二 k 派二 k 派， k 属于 z， 这是个啥意思？二 k 派是啥东西？实际上写成什么？ k 乘以二派， k 派呢？ k 乘以派，这是啥东西？ 你们要学会去理解，把这个二 k 派和 k 派理解成干啥？怎么去转圈？二派是啥意思？原地转一圈是不是？ k 赛是整数？啥意思？转整圈是不是 因为转圈的话，我转整圈意味着啥？中边回原位是不是啊？对吧？而 k 乘以派呢？所谓的加派呢？相当于是啥？我一个角 转多少圈？派是多少？半圈是不是？转半圈是不是？转半圈的整数？也就是一圈里头转两转，几次转两次，是不是啊？大家要记着要理解这个东西啊， 然后大家要学会的东西无非就是啥，我怎么样，我在任意角的时候给我一个任意角，我能判断出核心是啥，这里的核心是啥？判断角中边的象限， 无论它以什么形式给你的啊，给直接给我一个角，或者给我一个什么什么加 kpi 啊，加二 kpi 啊，让我们就把它的中边到底给我画出来，到底是什么样子啊？这一块是你要大家需要注意的，因为这块东西你搞不定的话，你后边三角函数 相切，你判断不了是吧？然后这是第一块，第二块的话就到哪了。三角函数定义是吧？ 三角函数定义塞口弹， 这个塞口弹记着点啊，在哪个里头画出来？在单位圆里头学会画出来它 一个角中边是吧？单位圆里头，单位圆半径为一啊，角 c， 它塞口塞弹进， 这是干啥呀？尤其这这是弹性，它都无所谓，主要是塞口干啥？我要构造出三角形来，我要知道三角函数线 在哪，然后这样子的话，在象限里头做的话，这样子我就知道了啊，用三角函数线，我一下子就很直观的理解出来 角象限和三角函数值正负的这个关系了，你看这里头啊，塞塞它，口塞塞它啊，二象限，这一象限，三象限，四象限，我塞的角在塞的角，在第二象限的时候，塞沿值还是为正是吧？对应 y 轴正半轴就是正， 口塞沿在 s 轴，负半轴啊，口塞沿为负是吧？ 你把这些东西理解了，然后我们三角函数值这块儿还有一个啥呀？我们三角函数这块儿的东西还有什么东西？ 一个最重要的东西，两个公式，其实就两个公式， size c 比上 cosine c 等于弹性 c 是 吧？第二个是什么？塞方加口方等于一是吧？ 我们要把这个做了，这个东西它们两个结合起来之后， 比如说老师，这两个公式太简单了，核心是干啥？切弦互化， 弦切互化， 还有一个啥？构造分是做，其次是算值， 干啥？二次 sin r 法， cosine r 法，然后加上什么 cosine r 法， 给你个弹性 r 法，那这东西怎么算？塞方 r 法加上 cosine 方 r 法，利用这个东西它等于写 e， 然后干啥？上下同除。 cosine r 法我给你，比如说我给你弹性 r 法，让你求谁求？这个 是吧？这是 同角，三角，三角关系这块，然后紧接着还有一个啥，再往上右导公式 啊，既变不变符号看象限是吧？我刚才上一个前一个已经，是不是我已经判断好那个象限了，那现在开始什么了？我要开始玩右导公式了，是不是 三幺二的话加二分之派是吧？等于啥？积变偶不变积是什么？积偶是指的是什么？我一个角加的是什么？这个角我当第一象限角，这个流程就是啥？这个角我作为一象限角， 然后加的加减的这个东西是谁啊？是二分之派的积偶倍数，是不是啊？然后判断一象限角加减积偶倍数之后， 这个角的中间在哪个象限，是不是我们前面说了你看见没？你前面学完了你后边才能学，看见没有，什么叫支点的衔接，是不是啊？然后说鸡变偶变 鸡，偶首先变的是啥呀？名是不是塞口？他们是一对的塞口弹弹弹进的，口弹进的是吧？对应的名是吧？变名变号不？ r 加二分之派， e 象限角加个二分之派是不是加个直角啊？ 正向加个直角逆时针，是不是啊？二象线了，二象线三也为正，是不是刚才前面那个讲讲的是不是啊？二象线三也为正，所以说呢啊，变名不变号是吧？三也还为正嘛，对不对？ 偶不变的一样的。核心就是啥？首先他基偶这块好判断，我变名的时候变名变名不变名啊，这个东西是二分之派除以二分之派是基是偶。这个很简单，核心就在于这个符号看象限，首先你得判断出这个角为 一象，限角的时候加加减这个二分之派的奇偶倍数之后，它的中边在哪一个象限，你得判断出这个来，然后在这个象限里头原名的这个它到底是正是负，往后边一写就完事了，是吧？ 这是诱导公式，然后诱导公式的用法，用法是反着用，很少有正着考你的，都是凑干啥。给你一个角让你求角，比如说我给你一个赛耶 r 法减去六分之派，然后让你求一个什么， 再利用什么同角同角关系式让你求什么？那个呃，头赛耶 r 加三分之派， 你要自己去找到他们之间的这个关系，是不是跟二分之派有多有什么样的关系？是加派啊，加二分之派啊， 是吧，你要自己去凑这个角之间的关系去，你要自己先把这个角算一下子他们之间有什么样的关系，然后找到对应的月老公式，然后再去啥求对应的值去。 也就是这个题啊， r 法减六分之派和 r 法加三分之派是啥意思？这个角如果是 r 法的话，这角如果是 theta 的 话，那 theta 加上六加上二分之派是 等于这个角是不是啊？那也就是说这个角我换出来是啥？是 cosine theta 加上二分之派这个角是什么？ cosine theta 给塞塞的让你求口，塞塞的加二十派，这个东西变名不变名，变号不变号啊。给塞塞的求复，塞塞的 看见没有？你要自己去凑，去 把一个角，你甭管它啥东西，把它当做整体之后，你看这两个角之间它们有啥样的关系， 是吧？一下就能换，换出来，换出来之后，然后这个月老公式是不就出来了？然后再利用月老公式把它换出来，这样子是不是就好丑了？我到底是要求这个是你看给 size 求复 size 可以 是给 size 求父口， size 也没问题是吧？也能求是不是？ 这是月老公式的？下一块儿咱们再说一块儿。 我们刚开始学啊，咱们现在学东西的时候就是这些基本的东西，你得先知道一下子是吧？来 sin， 然后下一块到哪？ 三角函数性质，三角函数性质这块的东西啊，咱们都是从基本的啊， sin x 图像， cosine x 图像，贪心的 x 图像的基本性质 有哪些呢？定域值，域 最大值最值了。然后啥呀？对称轴，对称中心， 零点，对吧？这两个基本上是一样的。对称轴和中对称轴和零点这个是一样的啊，对称中心和零点这两个是基本上是一样的，是吧？然后 我只要不做上下平移，对称中心和零点就是统一的，是吧？然后还有啥呀？单调曲线， 先熟悉这些它们对应的这些基本的性质，然后干啥？做平移伸缩， 先做平移，研究平移以后的就是，那就是什么 sin x 加 f 是 吧？ cosine x 加 f 是 吧？一层一层做是吧？然后干啥啊？ y 方向上做伸缩的话， 你这个不影响啥，是不是？然后我现在，然后再是啥？再往下走是 a 倍的赛欧米伽 x 加赛干啥呀？ 在 x 方向上做伸缩，也就是说把 f x 变成什么 f 二 x， f 三 x 这种东西啊，然后它的定域值，它的什么这个值域啊？周期啊，对称轴，对称中心怎么样去变化？从函数性质那里头去研究它们去， 我们函数性质在前面，是不是？前面讲了平行伸缩是不是左加右减，是不是啊？从这个角度去做，他们去啊， 去研究函数的性质，去研究这个三角函数的性质，别硬背啊，因为他们出题的时候是啥？这些东西和题里边这些参数之间是不是来回去给，让你来回去推啊？ 给你一个，让你求这些，给你这些东西，让你求他去，是不是啊？这个里头还加一个周期重要的东西啊，但周期其实是最好求的，是吧？ 对吧？然后这里头周期的话，我们在题目中给条件的时候都是啥啊？周期怎么样？用对称轴和对称中心他们之间的 这个位置来表示出来，相邻的对称轴就是半个周期，是不是啊？我只是赛口函数，是不是？相邻的对称轴就是半个周期，是不是啊？对吧？相邻的对称轴和对称中心就是多少啊？四分之一个周期，是不是啊？也就是对不对？ 这样子，是不是？相邻的对称轴，这是半个周期？相邻的对称轴和对称中心，这是四分之一个周期，是不是？哎，是吧？相邻的对称轴和对称中心，这是四分之一个周期，是不是啊？ 然后再通过平移和伸缩，我们函数性质的方东西 f x， 我们 f x 怎么到 f x 加 a 呀？然后 f x 怎么到 f 二 x 啊？ 平移伸缩怎么去做的呀？啊？我们说了所有的平移和伸缩都是对 x 进行操作啊， 要把这些东西搞清楚啊，这些是基本的东西，你们要搞清楚啊，三角，三角函数这些基本东西脑想把三角函数学好，先把这些东西先弄好了。你们说老师那三角函数和三角函数变换的东西，那是后头的东西了，你们先把这些东西先吃掉去， 然后三角函数变换是干啥？用三角函数变换是啥？三角函数变换用三角函数变换的方式 和差背角公式往这个形式上去推，我们现在说的是三角以函数的状态 从塞，从这个东西通过平行伸缩到这，这是另外一两，这是两条路线啊，先把这些吃掉去，听明白了吗？啊？

高一年级同学大家好，今天我们来看一下第九十九页的打卡内容。我们先来看一下这边的第九题，第九题呢，首先我们要根据他给你的图像，去把这样的一个 f x 函数解析式呢把它求出来， 我们来看一下具体要怎么样去求。首先从负八分之 pi 这个位置到八分之三 pi 这个位置呢，是不是属于这个函数图像的半个周期？ 所以我们就知道了，二分之 t 就 等于四分之 pi， 此时 t 就 等于 orange pi， 当 t 等于 orange pi 的 时候，那我是不是可以求出 omega 的 值？因为这是个正弦函数图角，所以我的 omega 就 等于 pi 除以一个周期 t， 所以 omega 求出来值呢等于二。那很明显 a 这个选项呢就是错误的了， omega 算出来之后呢？那你 f x 的 表达式呢，就写成了 a 倍的添进了二 x 加上 five， 那具体的 phi 怎么样去求？我们来看，那整个这个函数样是不是经过八分之三 pi 零这个点，所以我们把八分之三 pi 呢往里面带，是得到 a 倍的添进的四分之三 pi 加上 pi 等于零， 那就得到了添进的四分之三 pi 加上 pi 等于零。那我们现在把四分之三 pi 加上 pi 呢，当做一个整体， 它在天津的 t 这样一个正切函数图像里面，它所对应的值是不是就等于 k 派， 那我们就得到 five 呢？就等于 k 派减去四分之三派，又因为 five 的 绝对值呢小于二分之派，所以只有当 k 等于一的时候呢，是满足条件的， 那么否呢，就等于四分之二，这时候 f x 这个函数解析式已经被我们求出了哪两个未知数呢？一个是 omega， 一个是否此时 f x 呢，就等于 a 倍的添进的二 x 加上四分之二，那这边的 a 怎么求？ 又因为这个函数要经过零一这一点，所以把零往里面带，那就得到 a 乘以天径的四分之派呢，就等于个一 天径的四分之派，等于一的话，那么 a 就 等于一，所以整个 f x 这个函数解析式呢，就求出来了，就等于天径的二 x 加上四分之派。 那我们来看一下 b 这个选项， f x 的 定义域，那就等价于二 x 加上四分之派，不等于 k 派加上二分之派。 把这边的二 x 加上四分之派这个角呢当做一个整体，那这时候你的 x 呢，就不等于二分之 k 派呢，加上一个八分之派，所以 b 这个选项呢是正确的。 再来看 c 负八分之三派，零是函数 f x 图像的一个对称中心， 我们可以去想，通过最原始的正切函数图像，我们知道它的对称中心是不是每过半个周期出现一次， 那这时我们就知道了，对于 fx 这个函数图像而言，那你的对称中心是不是也是每过半个周期出现一次？ 那我们来看，本来八分之派零是它的对称中心，八分之三派零也是它的对称中心， 那么负八分之三派，比如说从负八分之三派到八分之派，它的区间长度是不是恰好是它半个周期的整数倍？这题你的半个周期呢，是等于四分之派的， 所以我们就知道负八分之三 pi 零呢，也是 f x 图像的一个对称中心，所以 c 这个选项呢就是正确的。再来看 d f x 在 区间四分之三 pi 到 pi 上面的值域，那我们就把二 x 加上四分之 pi 呢，当做一个整体 根据， x 大 于等于四分之三派小于等于派，那我就得到二 x 加上四分之派，就大于等于 四分之七派，小于等于 四分之九 pi。 而在这个范围内的话，你的天津的 t 这个图像呢，它的值域就是负一到一，所以 d 这个选项呢，也是正确的。 还是一样，我们把二 x 加上四分之 pi 这个角呢，当做一个整体去看最原始的图像，天津的 t， 那我们再来看一下这边的第十一题。第十一题呢，首先对于甲乙丙这三人对函数 f x 的 论述中，有且只有一人是正确的， 那究竟哪个人是正确的呢？我们先来看甲这个人说 x 属于零到四分之派的时候呢， f x 在 单调递减， 首先天津的 x 加上 theta 这样的图像呢，是由天津的 x 向左平移 theta 的 单位得来的， 左右平移的时候呢，不会改变整个函数的这样的一个单调性，所以 f x 呢，是单调递增的，不会出现单调递减的情况。假，这个人说的就错误了。再来看以 f x 的 图像，关于直线 x 等于三分之 pi 对 称，那很明显也不对，因为对于正切函数图像而言，它是没有对称轴的，那只能是 b 是 对的， b 是 对的话，我们先来看它说 y 等于 f x 图像的一个对称中心为六分之 pi 零， 那我们先来写最原始的函数要填进的 t， 它的这样的一个对准公式是多少？是不是二分之 k 派零， 那现在如果说六分之派零是 f x 这样图像的一个对称中心，那就说明当这边的 x 等于六分之派的时候，你的六分之派加上 theta 是 不是就应该等于二分之 k 派，那我就得到了 theta 等于二分之 k 派呢？减去六分之派， 这时候又因为 theta 角是属于零到二分之派的，那么只有当 k 等于一的时候呢？满足条件，所以 theta 等于三分之派。 再来看一下这边第十二题，第十二题，当我们把这样的一个图像把它画出来之后，我们来看蓝色的笔和红色的笔交界部分就是点 p， 然后通过点 p 呢做一条垂线，与这个绿色的图像呢交于点 q， 然后与 x 轴呢交于点 h， 这时候我们就要去求 q h 的 长度。 首先根据这边你的点 p 呢是 y 等于三倍的三 x 与 y 等于天津的 x， 这个图像的交点， 我们不妨令点 p 的 坐标如果为 x 零 y 零，那是不是得到三倍的 x？ sine x 零等于天津的 x 零，那根据这个值，我是不是求出 cosine x 零呢？就等于三分之一。 这时候因为 p h 是 与 x 轴垂直的，所以点 q 的 横坐标是不是也是 x 零？当点 q 的 横坐标为 x 零的时候，它的纵坐标是不是就是扩散 x 零，那么此时 q 点的纵坐标就等于几呢？就等于三分之一，那我们就可以 轻松地得到 q h 的 长度呢？就等于三分之一。 再来看一下这边的第十三题， 第十三点 f x 等于天津的二 x， 加上 five 关于负八分之 pi 零对称， 那求 f x 的 单调增区间。首先我们要把这边的发音的值呢，把它求出来，我们不妨令 t 等于二 x 加上 five， 那 么原式 f t 是 不等于天津的 t， 而天津的 t 这个图像呢，它的对称中心呢，是二分之 k pi 零， 所以负八分之 pi 零。既然是 f x 的 对称中心，那我就把负八分之 pi 呢往后面这个 x 里面去带，带进去之后，是不是得到负四分之 pi 加上 pi， 此时负四分之 pi 加上 pi 零，这个点 是不是就是 f t 这个图像的某一个对等因子？那这时候 f e 的 值就等于多少？是不就是负四分之派加上 f e 呢，就等于这边的二分之 k 派， 然后 f e 求出来值就等于二分之 k 派加上四分之派。又因为 f e 是 大于零，小于二分之派的，所以 k 等于零的时候呢，是满足条件的。所以 f x 的 函数解析式就出来了，就等于贴近的二 x 加上四分之派， 然后再去求它的单调增区间，那还是一样把二 x 加上四分之派呢，当做一整体，把这边的 x 解出来就可以了。原本天津的 t 这个图像，它的单调增区间是多少？是不？ t 大 于 k 派减去二分之派，小于 k 派加上二分之派， 那我要求求 f x 这样的一个单调增区间，那我就把二 x 加上四分之派呢往里面带，那得到 二 x 加上四分之派呢，就大于 k 派减去二分之派，小于 k 派加上二分之派。那么此时 x 解出来呢，就大于负八分之三派加上二分之 k 派，就小于八分之派加上二分之 k 派， k 除以 z。 所以 第一问， f x 单调三区间就是多少呢？负八分之三派加上二分之 k 派，到八分之派加上二分之 k 派， k 除以 z， 一定要写成集合的形式。 再来看一下这边的第二位，去解这个不等式，那就等价于天津的二 x 加上四分之 pi 呢？大于等于负一，小于等于根号三，那我们去把二 x 加上四分之 pi 呢？这个角当做一个整体的话，我们把最原始的天津的 t 这个图像把它画出来。 如果天津的 t 大 于等于负一，小于等于根号三，那么此时你来看一下 t 的 取中位是多少？ 负一的时候，在负二分之 pi 到二分之 pi 这个范围内，当天津 t 等于负一的时候，它的横坐标是不是对应的是负四分之 pi？ 当天津 t 等于高二三的时候， t 是 不是就等于三分之 pi？ 后面是每过一个周期出现一次， 所以此时 t 的 取中位就应该是 t 大 于等于 k 派，减去四分之派，小于等于 k 派加上三分之派。而我要求的是这边 x 的 值，那我把二 x 加上四分之派呢？往里面带 就解出来， x 大 于等于负四分之派，加上二分之 k 派小于等于二十四分之派，加上二分之 k 派， k 除以 z。 当然这边的解集呢，一定要也要写成集合的形式，这就是今天的打卡内容。

好，我们继续看填空题第十题。那这个就直接用第一步，用相反角公式等于两倍的 cos 二分之派减法，再用负一角公式就等于两倍的 sine 法，那这个就用积变， 哦，不变符号，看象限画过去，对吧？画完之后，然后注意符号，但是第二象限是正的，那我们就做到这里啊， 对吧？然后这是同角，我们有个同角公式，对吧？那这个塞亚法等于两倍的塞亚法，乘以 cosine 法， 那我们就可以把它整体代掉嘛。比如说 cos 等于两倍的，它 cos 等于两倍，那就四倍的三元平方二法，那就在这里把 cos 二法消掉就好了嘛。就三样法，那这个平方是等于四倍的三元，再就五倍的得一， 对吧？那他就得五分之一，那带进去就是五分之四，五分之四。 那接下来看十一题，十一题它告诉你，两倍的三元 omega x 加两倍的 cosine omega x 加四分之 pi， 一个周期是二分之 pi， 问它的可能的起值，只要写一个就可以，对吧？那如果你去把它展开 再化简合，并是是可以这样做，这没问题。但是我们观察它的周期，不就是二派除以欧米伽吗？它的周期也是二派除以欧米伽吗？这就是它的共同周期啊。 展开以后，你用辅助角公式，它最后算完还是 omega x， 你 公式数的话，在脑子里面可以呈现出来，因此这个二派除以 omega， 它就可以等于二分之派嘛， omega 就 等于四， 那这个多简单嘛，对吧？这个就是功底也好嘛。接下来看三亚阿法加三亚贝塔等于二分之一， cosine alpha 减贝塔等于。求 cosine alpha 加 cosine beta， 那 这个地方怎么弄呢？大家的研究对象都是 alpha beta 正常就把它展开嘛。 cosine alpha， cosine beta 加三亚法三倍，它等于四分之一，对吧？那这个哪里会出现这个角呢？平方嘛，所以平方 加三平方倍，它等于四分之一，那我要求的对象呢？也平方啊， 我假设它是等于 x 嘛，那这两个四指相加，你看它得一，它得两倍的，这个加起来就是这个四指就等于四分之一，那它加起来也是一， 对吧，这多简单呢，但是你思路要清楚，否则的话就不好做嘛。四分之八消掉一个四分之九， 那 x 等于二分之三正负，对吧？要注意，那有正有负怎么判断？它没任何条件限制，阿富汗它是完全对等的地位，所以这两个字都可以取嘛？ 两个字都可以取，是吧？ 好，我们继续来看十三题，这个大题好，已知 sin x 减负值派等于十分之七根号。阿波斯，九十度到一百三十五度之间，求 sin x， 那 我们就解， 对吧。嗯，那这个是椅子角啊，这个位置角，我们尽可能的用它来表述它啊。那我们 草稿纸上是要适当的分析哈。 sin x 减四分之 pi 加四分之 pi 啊，那它就会等于 sin alpha， cosine beta 加上 cosine alpha， sine 比特，对吧？那我们把它带进去，这个值是知道了，十分之七根号二，乘以二分之根号二，对吧？加上，那这个值肯定是十分之根号二， 那平方加起来等于一百啊，乘以二分之根号二，但是这个地方有一个注意，就是正还是负啊， 对吧？你考试的时候，呃，草稿纸上分析，对吧？展开，那你这个时候就肯定要去求括号这个词， 对吧？这个词，那就是要判断符号嘛，因为 x 属于二分之派到四分之三派这个范围，所以 x 减四分之派呢？ 它将会属于负的四分之派到二分之派的范围， 对吧？然后呢，所以我写一下，三 x 减四分之派等于四分之七根号二，所以 cos x， 因为它是一四象限呢， cos 肯定是正的嘛， 对吧？它就不需要再用同角公式去算它，要不然你做的多慢呢？所以我们把它带进去， 你看这个这个这个约掉了嘛？这个这个这个约掉了嘛？加起来十分之八就五分之四嘛。那第二问，三 x 求出来了，对吧？那这里面二 x 角肯定要把 三以二 x cos x 求出来，因此我们需要把 cos x 求出来，对吧？ cos x 在 第二项弦肯定是负的嘛，所以 cos x， 对 吧？第一问写了，我们就不需要写了嘛， cos x 等于负的五分之三，那接下来我们就要求 cos x， 对吧？三，二 x 等于两倍的三 x 乘以 cos x， 然后把它带进去，等于负的二十五分之二十四嘛。 那我们还要求 cos 二 x cos 二 x， 你 可以等于两倍的 cos 平方减一， 我们把它带进去，它平方是二十五分之九乘以二，就变成负的二十五分之七嘛。 这个时候再来求它，很多时候它都是草稿纸上先算好的，那它就等于 cosine 二 x cosine 六分之 pi 减掉 cosine 二 x cosine 六分之 pi， 对吧？那我们把它带进去，扣上，就等于负的二十五分之七乘以扣上的二分之根号三，减掉三引，那就变成正的二十五分之二十四乘以二分之一。 啊？那我们就等于五十，对吧？不要轻易的约分哈，他两个四指同分母，那就二十四减去根号三，这样就把它做完了。

欢迎来到襄阳数学小课堂，我们上一讲以及这一讲和之后的视频都会为大家讲讲 m c 十二今年 a b 卷以及 m c 十的今年的 a b 卷的一些典型题。那同时呢，我们会解析中英文卷的对比， 比如说大家现在看到的这道题，在英文原卷当中呢，是 b 卷的第十一题，而在中文卷当中呢，是第十题，它们长得非常的类似， 大家如果说掌握了其中一个题的做法，那另外一个题正好可以用来作为练手题。好，那我们来看一下这类的题该如何求解呢？这是一个基础三角函数的题，但它又有一点小技巧， 如果说你能把它掌握住，那么基本的三角函数的竞赛题是都可以拿下。 我们来看一下这个第十题，它说当这个下角标 x n 的 这个 n 变换的时候，这个 n 呢就会变成 cosine 多少度的这个度数， 它这里要找到 x 一 到 x 九十的平均值，其实就是在找什么呢？就是在找 cosine 方一度，加上 cosine 方二度，一直加加到 cosine 方九十度， 去除以一共有九十个数的这个平均值，它想要找这个值是多少？ 答一看好像是一个挺复杂的题，但是只要用上 sine 方 theta 加 cosine 方 theta 等于一的公式，并且能够了解，对于任意的 sine theta， 它都会等于 cosine 的 九十度减 theta， 那么这个题将迎刃而解，也就说不知道大家发现规律没有。如果说我的口上一方一度 想要去加上口上一方八十九度的话，我其实是可以把口上一方八十九度重新转换为上一方一度的，所以它就会变成口上一方一度加上上一方一度，哎，这样的话呢，就可以配对得到一了。 那么同样的原理， cosine 方二度， cosine 方三度都是这样，所以我们就对它进行个两两配对， 但是我们要注意的是什么呢？就是我们在整个过程中呢，暂时没有用到这个 cosine 方就是，而它的值呢，也是确定性的，我们是已知的。 并且在这个两两配对的过程中呢，比如说我们一直写写到扩散方四十四度，加上扩散方四十六度，它也是能够配对得到了一， 而我们还剩下什么呢？实际上还剩下了一个扩散方四十五度，所以说呢，千万不要漏掉它们这一系列加起来它实际上就是一个四十四， 那 cosine 方四十五度就是一个二分之根号二的平方，会等于二分之一，而 cosine 方九十度呢？大家说等于多少呢？啊？就是零， 所以我们就会得到四十四，加上二分之一，去除以九十，就是它的 average mean value， 那 这个 mean value 是 四十四点五，除以九十的话，就可以把它变成八十九除以一百八， 所以我们这题就可以选择八十九比一百八的这个选项。那么一样的原理，大家正好拿下面这道题来练练手，看看它的结果又是怎样的呢？ 大家可以按下暂停键先做一做，做了之后呢，来核对一下答案。 那我们依然使用两两配对，上一方一度，加上上一方八十九度， 就会得到一个上一方一加，可上一方一就会得到一，他为什么会单下来一个四十五呢，因为从一到八十九一共是八十九项，八十九是个基数项，据说除开最中间的这个上一方四十五度之外，其他的是可以两两配对。 好，那我们这里呢，一样的得到二分之根号二的平方等于二分之一，但是不一样的地方是上一方九十是等于一的，得到了四十四之后，我们要加上二分之一，再加上一，再除以九十， 也就是会得到九十一，除以一百八。所以在英文圆圈这里是要选一的。屏幕前的你掌握了吗？ 有更多三要素或者是对数的问题，都欢迎给我留言，我们下期见。

我们今天继续看到三角函数诱导公式这一章节的题目，以这个题为例，他说以 o x 为矢边，哎做了角 r 和贝塔他们分别的中边与单位元交于 p q 两点，已知 q 的 坐标为 x， 动五分之根号五。第一问是让我们一个纯诱导公式 这东西，所以我们必须得知道考上引贝塔和上引贝塔的具体值。那么我们通过题目的信息去求一下点 q， 它是 x 到五分之根号五，又因为它的单位元，所以我可以求出来这个 x 就是 根号，下一 减去五分之一，我们这算一下，是五分之二倍根号五。然后开始诱导公式，即变偶不变符号。看象限 考三引二分之三派加贝塔，这个部分会变成二线不动抄上去二分之三派相当于是我们的外的非正半轴，也就在下边这个部分 再加一个贝塔，就是顺象限再转过去转一个贝塔角，他会转到第四象限，那我知道第四象限角的余弦值肯定还是正的，但这地方是二分之三，它属于是积，所以我先写成三 贝塔，然后五倍的 cosine 派减贝塔属于第二象限角，那第二象限角的余弦值是负的，那它是不变，那就是 cosine 贝塔下一个 负三倍的 sine 三派加贝塔，那三派是 x 轴的非正半轴，再加贝塔的话是转到第三象限，第三象限角的正弦值也是负的，那这就会变成三倍的 sin beata， 然后负二，它是正二吧，我们上面因为那个地方是正五，我们就这就正二二倍的 sin 二分之 pi 加 pi， 那 二分之 pi 是 x y 轴的非负半轴，再加一个 beata 到第二象限，第二象限这先变成 cosine， 然后第二象限角的正弦值还是正的，那就是二倍的 cosine beata。 所以 我们这个地方诱导完以后，就可以把原式 改写为二三 in beta 减减负就是加五倍的考三 in beta， 除以三倍的三 in beta， 减二倍的 考三 in beta。 然后我们就可以带值考三 in beta 是 我们的重坐标，考三 in beta 是 我们的横坐标，我们这带值带进去算出来就是负十二，计算过程就省略了。 然后第二问，他说 o p 垂直于 o q， 那 就代表着其实而法就应该是贝塔加二分之派。所以我求点 p 的 坐标，我们这地方 会发现他们这个地方的长度，点 p 的 重坐标相的重坐标的长度是点 q 横坐标的长度，那我们这直接带上去 就是五分之二倍根号五。然后点 p 横坐标的长度是点 q 重坐标长度的相反数，那也就是负的五分之根号五。其实我们这利用的信息就是三角函数线，这个信息也很重要。

我们每学习一个新的函数，最重要的就是得知道它的函数图像怎么画。那么对于 y 等于三 x 这个函数来说，咋画图像啊？但最笨最笨的方法，咱是不是可以把 x 带成一些特殊值啊？ 带成三十、六、十九十，带成一百二、一百五、一百八，把它对应的函数值，我一个一个一个一个全都点出来，然后连成线，用秒点法来做，这肯定没问题。 那今天呢，我们换一个思路，咱用一个更漂亮的方法来画图。首先，哎，我们知道啊，三 x 是 啥东西？是中边跟单位员交点的纵坐标的值。纵坐标，纵坐标，其实就是这个点有多高，对不对？ 那怎么画图呀？当这个 x 这角的曲值，由零度到二分之派到九十度的过程当中，他先由零度开始这焦点坐标，显然纵坐标就是零。所以这个图像啊，一定是从原点开始画的。 那我现在把这个角稍微变大一点，三十度六分之派出的函数值，这高度有多高，我在图像上一眼就看出来了， 我画一条平行线在这，就这么高呗，如果没跟上也没关系。哎，你看三分之半六十度有多高，六十度对应的函数应该是一边高的，那咱就又找到了一个点， 九十度最高了。最高多少啊？最高那不就是一吗？单位圆的半径，再画一条水平直线，保证高度一致。 这就一个普通的角度，从零度到九十度，他变化的过程，纵坐标越来越高，纵坐标就是函数值，函数值也越来越大。那接下来，当他从九十度、二分之派转到一百八十度的过程当中，哦，你看这个函数值，这纵坐标是不是越来越小了呀？ 最图像上的点，他也在越来越小。那如果我继续转，咱从一百八十度从派转转，转到二分之三派，我发现这个纵坐标不仅越来越小，而且他还变成负的了，这每一个点咱都可以对应起来， 六分之七派，三分之四派，最后二百七十度最底下这个点纵坐标不可能比他再低了，因为如果这个角继续转的话，咱从二百七转回来，这焦点的纵坐标可就越来越大了。 那继续往上升，咱把这十三个点点连成线，这就是我们要的三 x 图像，太神奇了。所以发现这个三 x 图像，它是一个浪型的，它先增大再减小， 穿过 x 轴之后继续减小再回来，有点意思哈。但是注意，我们现在只是画 x 在 零到二派之内的图像，但是对于个角度来说，这个 x 值角度是任意角， x 是 属于 r 的， 这图像从根本上咱还没画完，但是已经够了。为啥？因为我们知道角度它是可以转圈的，当我再重复转圈的时候，它的函数值总是循环往复的，循环往复的，先正再负，先正再负。 换句话说，我们只需要把零到二派这段函数，让它不断的循环往复的出现，这最后就构成了三 x 完整图像。 我们只要牢牢抓住零到二派之内的图像的变化趋势，那其余每一段啊，咱还用研究吗？就不用研究了，直接平移不就好了吗？所以来看，我们说，如果把函数的一段零到二派这一段 平移他自身长度之后，我平移二派，哎，往右平移，往左平移，他总跟自身是重合的。我就说这个函数啊，具有周期性哎，不断循环往复的出现同一段图像，这就叫周期性。那周期有多长嘞？ 零到二派有多长啊？我姥姥都会算，就是二派。大家只要掌握了三 x 图像，怎么画很多看似很难的题目，那就已经能做了。 来看这道题，他说 f x 啊，问这个长得挺恶心的函数，它的零点个数有几个？我们知道啥是函数零点啊，那就是个函数值等于零的 x 的 减的个数呗。 那整个这一段等于零。我非常明显的发现，这不两个不同函数吗？咱总不能把俩函数合在一起看吗？那太麻烦了。所以我现在决定把两个函数分到等号的左右看吧，那太麻烦了，所以我现在决定把两个函数分到等号的左右看吧，那太麻烦了，所以我现在决定把两个函数分到等号的左右。放 log x， 我画一个三角函数，再画个对数函数，看这函数有几个焦点呗，他焦点的个数就是最后零点的个数。 那三 x 宝贝们会不会画？刚学的嘛，先增后减，先减后增。这是零到二派范围内的图像，然后怎么办？我复制再复制。那二派到四派，四派到六派，这范围内函数图像不就都有了吗？ 画完三角函数，该画对数函数了，这对数函数 log 是 以十为底，对不对？以十为底呢？这函数必然它是一个单调递增的，经过这个 x 轴上定点肯定是一。我现在把这两幅图画在同一个平面直角坐标系里面，不就大功告成了吗？ 所以我先得找到。哎，这一在哪呀？哪有一啊？咱知道这个点，他是派，派是几，在座的各位应该都知道吧。派是三点一四， 三点一四的位置。找到了，我问一在哪一，当然在他三分之一左右的位置。所以对数函数我马上就要画出来了，我必须得经过这个一零点。那接下来咋画？我只知道它要单调递增，你说这函数是这么增还是这么增？还是我再离谱一点，这么增？ 不同的增法，这焦点个数相差可太大了，有可能有一个焦点，有可能一二三三个焦点，甚至有可能看好一二三四五五个焦点，几个焦点都是有可能的。 这对数函数咱得好好画，光这么随随便便的一撇可不行。那对数函数，我们除了知道它经过一零点之外，这 log x 还经过哪个点啊？当 x 取十的时候， log 十其实就是一码， 因此它还经过一个点，叫十一。十在哪啊？三派我知道那是九点几，四派是十，二点几十，就在三派到四派之间的某一个位置呗。 横坐标找到了，那纵坐标一纵坐标哪是一小笨蛋 sine， x 的 最高点跟最低点，那函数值不正好是正一和负一吗？ 为啥？因为整个单位圆的最高点。刚才说了单位圆半径是一耶，这最高点的函数值当然跟半径长端呢，就是一样的呗。所以回过来，实数函数值跟三 x 最高点这么多点，应该是一边高的。 因此对出函数，咱们这样画，既经过一零，又经过十一。所以睁开小眼睛来看一看，这段绿色图像跟红色图像究竟有几个交点呢？一个，两个，三个没了。选 a 这种看着好像挺复杂的题目，我们都可以通过画图来解决，那么在做更难的题目之前，我们需要对三 x 进行一个更深入的研究， 咱把它，哎，所有大家需要掌握的性质我都放在这了。第一，定义域。定义域指的是 x 的 范围， x 是 任意曲值的， x 是 任意角，那当然定义域就是 r。 第二，值域，值域是啥？我奶奶都知道了，值域就是 y 轴的范围， y 最大值最高点是一， y 最小值最低点是负一，所以三 x 的 值域在正负一之间，这也太重要了， 即便，哎，如果有一天大家把自己名字忘了，但是三 x 在 正负一之间，这基本的值域性质可不能忘，这以后就相当于一个已知条件一样。紧接着对称轴跟对称中心。对称轴在哪啊？因为整个三 x 它是无限长的，它的对称轴实际上有无数个。 看，这是一个啊，这是不是？这也是，这是不是？这是不是每一个都是对称轴？ 每一个取得最高点和最低点的位置都是对称轴？那我其中，哎，我选其中一个啊，来写一写，比如说来看他这是几啊？这是派，这是零，中间你说是几？中间当然是二分之派呗。所以我可以写成 x， 取二分之派。 那当然，我光写这一个够不够？那肯定不够，因为人家对称轴有无数个吗？那有无数个，难道我一个一个 x 等于谁？ x 等于谁？全都写出来，那我写不完呢？ 所以我需要用一个式子，尽量把他们全都表达出来。这些对称轴之间有什么关系？二分之派是一个，这是几派和二派之间？应该是二分之三派，二派和三派之间二点五派是二分之五派。 哎，有点意思啊。对称轴虽然有无数个，但是每个对称轴之间的距离是多少距离？总是派总差派总差派。 这对称轴加一个派，加两个派，加三个派，它就往右移。同一个对称轴，我减一个派，减两个派，它就往左移。所以我可以通过加减整数倍的派来表示出所有的对称轴。 其中这个 k 取的是任意的整数， k 属于 c， k 取正值，它就加派加二派，加三派， k 负值，它就减派减二派，减三派。 这种带 k 的 表示方法，我们经常用在具有一个周期性的函数的性质表达当中。对称轴是带 k 的 对称中心，带不带 k 也带。大家看哪是对称中心？ 我都帮大家点出来了，这是一个对称中心，这是一个对称中心，这是一个对称中心派二派三派零，负派负二派负三派，所以我可以用 k 派来表示。 当然，别忘了，对称中心是一个坐标，咱得把它写成坐标的形式， k 派零，其中 k 属于 z。 最后来个简单的周期，哎，周期是多少来着？周期，刚才说了啊，是二派， 咱把长度为二派的图像进行平移，我发现，哦，平移二派，哦，平移二派，平移二派总是重合的，哎，所以这就是周期。而且注意，二派是散的最小正周期， 为啥说他是最小的？实际上任何一个周期函数，他的周期是有无数个的。哎，挺奇怪，周期怎么可能有无数个呀？大家来想，二派如果已经是周期了，那我问大家，四派是不是啥意思？ 四派多长啊？四派就这么长呗。那如果我不把二派当成一个整体，我把四派当成一个整体，我把它平移，那是不是我平移四派之后，它也是跟整个函数完全重合的呀？ 类似的四派是周期，六派八派十派都是，不是其实都是周期。那这所有周期里面最小的那个正数周期是几？是二派？ 我不可能取一个图像比二派还小了。比如说啊，我随便取个，我取派，他是不是周期？那你就看呗，你把这段函数把它平移，周期这么长，你如果觉得派是周期，我平移，派这个单位，他跟自己这图像重合吗？那明显不重合吗？ 所以这么一小段就不是整个函数的基本单位，因为这基本单位连下边这一段都没包含，对不对？ 最曾经有的选择题，如果出的比较损的话哈，他问大家，三 x 图像四派是周期对还是不对啊？也对，偶数倍的派都是三运的周期，但是它的最小正周期尤其仅有那么一个，就是二派 啊。那紧接着就到一个最难的图像性质了，单调性。我发现这三 x 吧，他有增也有减，而且增区间有多少个？增区间，这也在增，这也在增。理论上增区间和减区间都有无数个。 那像这种有无数个区间的，咱怎么办？跟刚才一样，咱都用 k 来表示。做题方法就是咱先取其中一个，这都是增区间。没问题，我取其中一个最好写的。当然你选谁都行啊，我喜欢选远点附近的 增区间的，左端点是负二分之派，右端点是二分之派，所以这段区间怎么写？想都别想，我当然就写成负二分之派到二分之派喽，取开取闭都可以。那我如何用这一段区间把所有其他的增区间全都表示出来嘞？ 那只需要看这不同段之间他的相同点的距离是多少喽。听好喽，是相同点的距离，最低点和最低点距离，或者说最高点跟最高点的距离， 这距离有多长？从二分之派到二分之五派，距离足足有二派这一整个周期这么长吧。 咱把整个这一好好的，这一段，哎，我看啊，我把它平移，平移，哎，这是最高点啊，最高点平移。二拍是不是跟下一段重合了？所以相当于说，我把这段图像 它的总区间加二拍，加四拍，或者说减二拍。减四拍总是跟别的增距间是重合的，那所有的其他增距间都可以在已知一个区间的基础上加多少？加二 k 拍， 那这原来的一个小区间就可以写成左端点加二 k 派到右端点加二 k 派，这就是它的增区间，其中 k 除以 c 增区间会了，减区间会不会？我也一样，先选出来一个减区间，哪个好选选哪个，哎，我就选这一段。 当然有的宝贝说，哎，我选这一段行不行？也行，都一样，先把你已知的写出来，减区间，左端点二分之派，右端点二分之三派。用小手写一下，但是还没完，我把它平移，哎，平移到下一个减区间，大家来看看它平移的距离有多少啊？ 这平移距离怎么看？大家看这最高点到下一个最高点，这个距离划过的应该是一整个周期，和刚才一样，也是二派，所以咱再次基础上加 k 倍的二派，也就是二 k 派，左边加右端点也得加。 大家在刚学这种具有周期性的函数各种性质的表达过程当中呢，他总是有 k 啊，挺烦的，挺墨迹的，这谁学谁烦，我学的时候我也烦，但没办法，这一页大家需要牢牢记住，以后我问，哎，他最衬轴是多少，大家一下就得说出来啊。最衬轴是二分之派加 k 派。 这页三 x 的 六个性质，我们都可以通过三 x 这个图像来把它写出来，它们真的非常非常重要，这是我在和大家一起推，我也非常非常欢迎大家像我一样，自己在课后独立的把这六个性质再推一遍，整理成自己的笔记。 欢迎大家把自己整理完的笔记发在评论区，我给你点赞。 ok 哦，那光知道这个知识点没有用，咱得知道怎么利用知识点去做题呀。 第一类问题，最不动脑子的题，会画图像就能做的题。哎，咱先来爽一爽啊，再 x， 他 问我，哎， x 在 负三分之派到六分组派，他值域是多少啊？那咱就从图像上去截呗，这是负派，负三分之派是他的三分之一的位置，咱得从这个点开始截。 那下一个六分之五派在哪？零到派，我取六分之五派，相当于我把零到派分六份取那第五份的位置。现在我把这两点连起来，哎，得到的图像就是我最后要的图像呗。 那我奶奶也能看出来哪是最高点，最高点在这，最高点是多少？是一，最低点在哪？最低点在这是左端点。负三分之派其实就是负六十度， sin 负六十度，那显然是负二分之根号三。这还不会的，赶紧把三角函数定义那节课复习一下，我们在单位圆里看。

高一年级同学大家好，今天我们来看一下第九十八页的打卡内容。我们先来看一下这边的第一题， f x 等于添进了二 x 的 定域。首先我们在做三角函数类的题目的时候呢，我们一般是去把后面这个角呢当做一个整体去处理， 就比如说我令 t 等于二 x， 那 么原式这个函数是变成了 f t 等于添进 t， 而这时候它的定义域 t 的 指数为是多少，是不是 t 不 等于 kpi 加上二分之 pi， 所以 这时候二 x 这个整体呢，就不能等于 kpi 加上二分之 pi， 这时候我们再去把 x 解出来， x 就 不等于二分之 kpi 加上四分之 pi， 所以 答案选 a。 记住，做三角函数类的题目，无论是 sine 还是 cosine 还是天津的，我们一般都是把后面这个角当做一个整体，因为刚开始最原始的图像，也就是我们所说的 sine t， cosine， t 和天津的 t 的 图像呢，是最容易画的，也是书上给我们的图像。 我们再来看一下这边第二题。首先 x 属于负四分之派到四分之派去求 f x 等于三分之一添进的 x 的 值域。 这个式子很明显是由一个指数函数和一个正切函数复合而成的，那我们通过换元，我令 t 等于添进的 x， 那 么 f t 是 不是就等于三分之一 t 次方， 那这时候我求出 t 的 取范围就可以了，因为 x 是 属于负四分之派到四分之派的，所以贴近的 x 呢，就大于负一小于一，那此时就变成了 t 属于负一到一的时候呢，去求三分之一 t 这样的一个取值范围， 这时候它的值域就是多少呢？就是三分之一到三，所以答案选 b。 来看一下这边的第三题， 这个函数去求它的这样的一个最小正周期。呃，对于正弦或者是余弦函数图像，它的最小正周期计算的公式是什么？是 t 等于二 pi 除以 omega 的 绝对值， 而正切不一样，正切用的是 pi 除以 omega 的 绝对值。所以在这一题当中，你的周期呢？ t 就 等于 pi， 所以 a 这个选项是错误的。 再看 b 去求 f x 的 定义域。那根据刚刚第一题的解法，我们把 x 加上三分之派呢，当做个整体，那么这个整体呢，就不能等于 k 派加上二分之派，所以此时 x 就 不等于 k 派加上一个六分之派， k 属于 z， 所以 b 这个选项呢，是错误的。再看 c， f x 是 增函数。首先天津的 x 加上三分之派呢，是由天津的 x 呢，通过向左平行三分之派一个单位得来的， 所以它中间会出现断点，那么此时 f x 就 不会是在 r 上面那个增函数，它只能是某个区间到某个区间里面呢，是单调递增的，所以 c 这个选项呢是错误的。再来看 d 去比较 f 四分之 pi 和 f 三分之 pi 之间大小关系，那实际上就 比较的是天津的十二分之七派和天津的三分之二派之间大小关系。你只需要把这边的四分之派和三分之派呢，分别往 f x 这个函数解析式里面去带。 那么这时候我们去比较天津的十二分之七派和天津的三分之二派之间大小关系的时候，我们把正切函数图像天津的 t 这个图像把它画出来， 那我们可以发现，十二分之七派和三分之二派呢，都是属于 average 派到二分之三派这个范围内的。 而在这个范围内，你的正切函数同样呢是单调递增的，所以天津的十二分之七派呢，小于天津的三分之二派，所以 d 这个选项呢是正确的。 再来看这边第四题，根据这个函数，它的最小正周期为二 pi， 那 么此时二 pi 就 等于 pi 除以 omega 的 绝对值，又因为 omega 是 大于零的，所以 omega 就 等于个二分之一。 然后 f x 这个函数解析式就变成了天津的二分之一 x 加上十二分之 pi。 现在要求 f x 在 负 m 到 m 上面呢，是单调递增的， 那还是一样，我们把二分之一 x 加上十二分之 pi 呢，这个角呢，当做一个整体，我令 t 等于二分之一 x 加上十二分之 pi， 那 我们原式就变成了 f t 等于天津的 t。 为什么这样去转化，把后面这个角当做一个整体，现在就知道了，因为天津的 t 这个图像是最容易画的。 现在这个题目原式是 f x 在 负 m 到 m 上面单调递增，那就等价于 f t 这个函数在 t 属于负二分之 m 加上十二分之派到二分之 m 加上十二分之派上面是单调递增的， 因为此时 x 的 范围如果是负 m 到 m 的 话，那么此时 t 的 取得范围呢，就是负二分之 m 加上十二分之派。 那么根据天津的 t 这个图像，我们可以知道此时 t 所在的这个范围 里面是不是一定包含十 ofenpi 这个值，所以 t 所属的这个范围，那一定是负 ofenpi 到 ofenpi 这个区间范围的一个子集， 又因为 t 所属的这个范围呢，两个端点是取不到的，所以负二分之一 m 加上十二分之 pi 就 大于等于负二分之 pi， 二分之一 m 加上十二分之 pi 呢，就小于等于二分之 pi， 最终解出来 m 的 取端为是等于多少呢？选 b， 再来看一下这边的第五题。第五题求这个函数单调增区间。首先拿到手第一件事情，我要先写这个函数的定义域，而这个函数的定义域是什么？就是 sine or x 要大于零。 然后再去看，如果去求这个函数的单调增区间，这个函数是由两个函数复合而成的，一个是对数函数，一个是三角函数。所以我们通过换元， y 等于 log t， t 等于 sign 二 x。 首先 log t 就是 在单调递增的，所以这一题如果你要去求原式 y 等于 log sign 二 x 的 单调增区间，实际上求的就是 sign 二 x 的 单调增区间。 同时我还要保证 sign 二 x 呢，必须得要大于零。 这时候实际上就要满足两个条件，第一个是定义的要求，第二个是单调性的要求。那不妨把三 y 二 x 这个图像呢，把它画出来。三 y 二 x 这个图像呢，叫重坐标不变，横坐标变为原来的二分之一， 进行伸缩变换得来的。所以三 y 二 x 这个图像画在左侧的话，那么此时一个周期就是派。 那把这样的图像画出来之后，我们可以发现，如果要使得三幺二 x， 整个这个图像既要大于零，又要单调递增，那只有哪一段是既大于零也单调递增的只有零到四分之派这一段。先写第一个周期范围内的取值范围是不是零到四分之派， 然后当然这边的零是取不到的，然后你会发现整个这个范围是不是每过一个周期出现一次，而这个函数的周期是不是 pi， 所以 我们就得到此时 x 的 取中范围就多少呢？就是 x 大 于 k， pi 加零小于等于 k， pi 加上四分之 pi， 所以 答案选 d。 再来看这边的第六题， f x 等于三 x 加上三 x 分 之二， x 的 取范围是大于等于负二分之 pi 小 于零的。去求这个函数的最大值还是最小值。首先我们来看一下这个函数是由一个对勾函数和一个正弦函数复合而成的，所以我们令 t 等于三 x， 原式就变成了 f， t 等于 t 加上 t 分 之二。因为 x 的 取中位是大于等于负二分之 pi 小 于零的，所以 t 的 取中位就属于负一到零，负一可取， 那现在就变成了 t 属于负一到零的时候，去求 f， t 等于 t 加上 t 分 之二的最值。 首先 t 加 t 分 之后是一个对勾函数，我们把它画出来的话，我们只取哪一部分？是不是只取负一到零这一段？那也就是图中蓝色笔所画的部分。这时候我们可以发现， 此时这个函数呢，只有最大值，且在 t 等于多少的时候取到呢？ t 等于负一的时候取到，所以这一题的答案呢，选 c。 再来看一下第七题，第七题 f x 这函数的最小值呢？为零，去求 omega 的 最小值。首先我们来看一下后面这个绝对值符号的这个图， 我们不妨令 g x 等于 x 减一的绝对值加上 x 减二的绝对值， 那我们通过去掉绝对值符号呢，就可以得到整个 g x 这个图像大致的怎么画的呢？是不是这样去画， 那我们就可以知道，后面 x 减一的绝对值加上 x 减二的绝对值，它的最小值是不等于一。 而无论 x 取什么值， cosine omega x 它的值域是不是始终是负一到一，而题目当中要取到最小值为零，而后面这个式子是大于等于一的， 且在 x 属于一到二的时候呢，始终是等于一的。那这时候你去想，如果这个整个这个式子要取到最小值零， 那我是不是得要保证在 x 属于一到二的时候，你的 cosine omega， x 要等于负一，才能使得整个函数 f x 去掉最小值为零？ 不然的话，如果在 x 属于一到二的时候， cosine omega x 取不到负一，那这个题目就会变成什么？你来想， cosine omega x 如果在 x 属于一到二的时候，它是大于负一的，那么整个的核是不肯定比零大，那这时候会取到最小值零吗？肯定取不到。 好，如果 x 不 在一到二这个范围内，比如说 x 小 于一，那首先 x 减一的绝对值加上 x 减二的绝对值是不大于一，而 cosine omega， x 又是属于负一到一的，那整个的函数值是不是加起来一定也是大于零的？那这时候 f x 就 没有最小值零。 现在我们就知道了，只有当 x 属于一到二的时候，使得 cosine omega x 等于负一，才能使得 f x 整个这个函数取到最小值零，那这个题目就变成了 存在一个 x 零属于一到二，使得 cosine omega x 零呢？等于负一，那这时候我们把 omega x 零当做一个整体， 它角的积额怎么写？是不是 omega x 零等于二 k pi 加上 pi， 那 么 omega 是 不是就等于 x 零分之二 k pi 加上 pi， 在 这一集当中 omega 是 大于零的，这时候我们要使得 omega 取到最小值， 是不是要使得这边的 x 零取到一个最大值？而 x 零的范围是不是属于一到二的？ 那这时候只有当 x 零取二的时候呢？ omega 取到最小值，那此时 omega 就 等于二分之二 k pi 加上个 pi， 再来看 这时候 k 除以 z 的 话，那我是不是只有当 k 等于零的时候，才能使得奥密克拿取到一个最小值，那么此时奥密克拿就等于 alpha 派，所以答案选 c。 好， 这就是今天的打卡内容。

高一数学必修一最后一个单元，三角函数单元反反复复就考这十一大 拓展培优题型，这个视频带大家梳理一下基础知识，想要上一百二的同学，这份三角函数单元的培优题目可以拿去练习，那对于高一同学来说，成绩分化是从三角函数单元开始的， 这个板块是必须要学好的，因为这对高一下册学解三角函数有直观重要的作用，那在高考中的话，会考一道解答题，难度不大，是不可以丢分的一个板块。三角函数拓展满块常考十一大题型分别是同角、三角函数的基本关系、拓展 诱导公式的综合应用、解三角方程、解三角不等式组、比较三角函数中的求差问题、三角函数的既有性与周期性的综合、 三角函数对称性与周期性的综合、三角函数零点求差问题和差角公式的综合运用、二倍角公式的综合运用等。 那这些内容都属于课本上没有但是考试要考的拓展培优题型。如果说孩子没有系统学过，可以借助我们的拓展视频课学习相关的题型和解析思路， 学懂之后再去做题，会高效很多。那如果说已经学过了，可以在下方领这份三角函数的一个拓展培，有练习可以拿去练一练。关注我，一位教知识，更教规划方法的理科老师。

好，我们看第一题，已知根号三三幺法加勾三幺法等于三分之二，这就是辅助角公式，对吧？然后这里的研究对象是二 r r 减六分之派， 所以我得先在这里处理等于二塞引 r r 加上六分之派 啊，等于三分之二，那两边一掉，它就三分之一，对吧？选择题题就可以这样简单的处理，不要再抄一遍了。那接下来就要研究这两个角的关系， 对吧？这是阿尔法，所以这里要乘以二，乘以二，这里就是三分之派。 好，那它们相减就是二分之派的关系。因此我就在这里先处理这个式子，将等于塞引 二，阿法加三分之派，再减二分之派， 把这个角看成整体，他是他的两倍，那先不要急于求，因为你不知道是求三赢还是求 cos， 那 在这里面我们先处理利用相反角公式，拿出去就变成负负的三赢，二分之派 减掉阿尔法减加上日派，它就变成这个，然后再进一步化简，用负一角公式，这都是诱导公式哈，就是你个人的理解，或者是你使用看不习惯，你就用奇变偶变符号看象限去处理， 完了之后就它等于负的 cosine， 奥，阿法，加三个拍，好，我现在出来了，是 cosine， cosine， 你 就不要去动它，对吧？如果你要是这里是三眼，你还要去求 cosine 这个角，那就不需要了，那就在这里直接处理就好了， 对吧？那它等于一减去两倍的它的平方，那就是有个负号，那就是两倍的它的平方 减一，所以这个时候你看值就可以带进去九分之一平方，九分之一，九分之二，负的九分之七， 这样子做题你就会比较快一点啊。选择题第二题， 第二题，他说那前面这些你可以不要去，不要去太在意，对吧？那在这个某个直角上，一个锐角的斜边以及零边的笔叫做正割， 因为现在，呃，高考没做这个政策的要求，对吧？三角函数实际上是六个三元科三吞卷，还有科吞卷的三肯的科斯肯，那么这没关系嘛，哈，我们就按照这个他的心给的定义来看， 斜边跟零边比，那我知道了，零边除以斜边就是 cosine， 因此它会使 cosine 的 倒数， 是吧？然后锐角的斜边以及对边比叫做 cosine。 那 cosine 呢？对边比斜边， 如果不熟，你就画一个直角三角形出来。好，这个是初三应该掌握的。对边比斜边就是三引，所以它是三引的倒数。 好，那这个题目就转化出来了，我把它写到上面了，等下这下面不够写哈，这个四字就等于写到这里来啊。 cosine 就是 三引 十度，对吧？他这题目已经是十度了，一减掉根号三除以科三十度，他就要求这个式子，那么由这个已知条件的新定义，我们把这个式子转化到这里来。 那这个题目呢？肯定是通风嘛，三十度 q 三十度，减掉根号三，三十度， 那就是我们的两角和差公式的反用，对吧？那你在这里乘一个二分之一，这样就提一个二出来。这个可以看辅助角公式啊，也是类似于辅助角公式。这里再乘一个 二分之根号三，那底下也要乘一个二分之一，对吧？这样子才会平衡。那上面就可以变成什么呢？ sin 三十度， cosine 十度，减掉 cosine 十度， cosine 三， cosine 三十度， cosine 十度，对吧？那这里面呢？ 我们就可以把它变成四分之一 cosine 二十度，用二倍角公式。好，那下面依然保留线不动它， 那上面是撒引阿法 cosine beta， cosine alpha， 撒引 beta， 对 吧？那就是撒引 阿法减 beta 二十度，你看它就噎掉了，所以它倒过来就等于四啊，所以它选 c， 选 c 啊，再讲一个啊，第三题， 第三题，这道题呢，也比较难哈，八十度，八十度至四十度，那肯定是用二倍角先转它转成两倍的三引四十度乘以扩散四十度。 好，那一加上这个二倍角公式，因为二倍角公式有三个，你要看一下 列出来，对到公式去理解该用谁来做哈。当然，你记得住他一加两倍的等于两倍的 cosine， 那 就是两倍的 cosine 平方四十度，那这个二约掉，对吧？ cosine 四十度，约掉一个， 那就变成了什么？三点四十度除以 cos 四十度，对吧？再减掉四倍的 cos 四十度，这个时候就比较难了，因为这个时候你看都是统一的角，但是你把它提出来，它做不出来， 对吧？那就比较难办了。好，那我们就通分分子分母同时乘以 cos 四十度， 对吧？这个式子就变成这个，那变成这个以后呢？怎么办呢？同分母相加嘛，那这个如果你提出来，他还是做不出来，那我们能动的就在这里。二倍角先处理， 它就会变成三，八十度又变回去了，那八十度又怎么处理？你不能用二倍角变回来啊，对吧？那八十度你要想办法，你会发现它是一百度， 一百度又等于特殊角六十度加四十度，这样子就有转机了。好，两倍的三影六十度加四十度，目标肯定是要出现四十度， 对吧？然后再用二倍这个两角和差展开。啊，写到这里来，不够写哈，先写这里吧。 啊？可算四十度，那这里是三英四十度，减掉两倍的三英是二分之根号三，可算四十度， 加上二分之一，对吧？二分之一乘以三点四十度。好，这个时候你括号去掉，你会发现这个都消掉了。那这就做出来了嘛，括号一掉等于负根号三， 对吧？这个题目就比较难了啊，一个你寻找角的关系，有时候要借助以特殊值、特殊角度来处理。

这道题是我们三角函数里边非常典型的一道题啊，就是让我们求呃，中边落在某条直线上的角的几何，而不是射线啊。这里你记住，那么你要是落在直线上的话呢，你就要分两段了，是不是这个直线呢？就相当于是不是这 半边是一条射线，然后这半边又是一条射线，那么他是两条角的中边。呃，一般情况下呢，我们要想写在这个所有角的集合啊，我们分两块，那么我们先找到他的出实角， 你看啊，我们从这旋转到这，那这个呢？出实角是六十度，落在这条中边上，那么这个角你想想你，你到这是一百八十度， 一百八十度，你再加六十度是多少呢？这个，那它的初十角度是二百四十度，那所以，呃，我们有两个集合，假设呢，中边落在上面这条射线上的角的集合呢，我们写成这样是阿尔法， 阿尔法大于啊，阿尔法等于这个六十度加啊， k 乘三百六十度，对吧？那么 k 属于 z。 好，那么落到下面这个射线上的角呢？那就是 r beta， 我 们用另一个另一个字母来代替啊， beta， 那 么 beta 等于，那么二百四十度加 k 乘三百六十度， k 属于 z， 对吧？大家来看一下，是不是这样两个角啊，那我们把这两个角合起来，取并集，把这两个集合给它合起来，是不是中间落在整条直线上的角，那么这两个该如何去合并呢？那么其实非常简单，那么这个呢，就相当于是阿尔法 alpha 等于，你看啊，这 k 乘三百六，可不可以看成二， k 乘一百八，那么就是六十度加二 k 乘一百八十度， k 属于 z， 好， 并上，那么这个 beta， beta 等于什么呢？你看你这个二百四呢？ 我们可以看成是六十加一百八，再加 k 乘三百六，二 k 乘一百八， 对吧？那么是不是又等于六十加二 k 加一倍的一百八十度啊？所以你看啊，他俩的形式可以转化成一样， 二 k 加一倍的一百八十度，那么 k 属于 z， 对 吧？好，我们观察一下啊，都是六十度，一个是加二 k 乘一百八十度，一个是加二 k 加一乘一百八十度。那你告诉老师啊， 二 k 是 全体偶数，二 k 加一是全体基数，全体偶数和全体基数合起来，那是不是就是全体整数呀？那所以我们这一道题的最终结果就是什么呢？阿尔法，呃， alpha 等于六十度加 n 乘一百八十度， n 属于 z， 那 么就是这样的一个集合啊，这样的一个集合就是表示中边落在这个直线 l 上的所有角的集合， 那么这是我给大家推导的这样的一个过程啊。那么如果说你要是不推导，你直接理解怎么办呢？首先我们怎么理解呢？你看，我们把它当做这个与这，我们只考虑这一条射线中边落在这上面了， 那这个阿尔法我们来看一下啊，这是六十度，对吧？啊？阿尔法，那么阿尔法等于六十度加多少呢？它是六十度，你从这个六十度开始， 你每隔每旋转一百八十度，是不是都又回到了这条直线上它的中边？你想你原来中边在这旋转一百八十度跑到这来了， 再旋转一百八十度又跑到上面的，不管你怎么样，反正你总是间隔整数个一百八十度，那么你的中间就会落到这条直线上， 那这还不简单呀，所以你这里呢，应该加上整数个一百八十度，就可以得到所有落在中间，落在这条直线上的所有角的集合， 明白不明白？哎，你要比这种推导的方法呢，要简单的多。你这种你就直接理解，因为它的间隔是一百八十度，这样的话呢，会便于我们处理很多很多问题，都是可以直接瞬间得答案的。学会了吗？关注老师，学习更多高中数学知识！

高一已经进入第五章三角函数的学习，对于高考来说，这也是你遇到的第一个要解决的大题。高考占分最多的是函数，函数占分最多的是三角函数， 可能很多学校的老师也搞不清楚为什么三角函数如此之重要，对吧？你纵观高考四十多年，每年高考里面三角函数至少是三道题以上， 可能是占分最多的一个板块。如此重要的主要原因是三角函数具有周期性，这个性质非常的强。你想，地球的自转 形成了日夜的交替，太阳东升西落，地球的公转形成了四季的变换，动物的一个作息规律，植物的生长规律，花开花落，花熟蒂落，对不对 都是具有周期性的，从而衍生的。所有的经济作物，包括我们吃的、住的、用的，甚至是猪肉，甚至是矿产，都具有周期性，从而导致这些周期性的物品价格的波动也具有周期性。是不是 那么学习研究三角函数是不是具有广泛的实用价值啊？其次，三角函数的有界性，同角的正弦和余弦的平方的和等于一，这一特性可以贯穿高中的任何一个章节。 在高中数学的广袤天地里，三角函数与平面像量犹如两座巍峨屹立的高峰，闪耀着独特且迷人的智慧光芒， 蕴涵着数学抽象深邃。在这一段的学习里，我们尤其要注重等价转化的思想，数形结合的思想，还有化规思想的一个意图。为了让高一的学生更好的驾驭这两个板块的知识， 我推荐高读高中题型全解三九函数篇，这本书就是专讲这两个板块的学习的窍门， 他从夯实基础开始。右斗公式二十个公式怎么记的？既变不变，符号看象限到其次化切求值。然后包括今年的二零二五年的高考的压轴和差画，积积画和差， 三角函数图像的延伸如何变换？三角换元和其他章节的一个联系是怎么考的？包括平面向量里面的极化、恒等式、 奔驰定律，构造几何图形，矩形大法是什么？一个鬼东西对不对？然后正极定律与方程思想，愚行定律与方程思想， 正值一些课外的一些拓展。总之，三角函数是不容丢分的，一分都不能丢啊哈哈哈。

高一上册最后一章三角函数，这个章节呢，是好多孩子的噩梦。呃，其实学到前面那些函数的时候还感觉不怎么样啊，但是三角函数是彻底听不懂了。 呃，我们需要学这个三角函数之前呢，首先搞懂这些基本概念，你看中边相同的角和相线角，那么这样的一个多选题就可以来帮我们辨析这些角哈。 a 呢等于第一象限角， b 呢是锐角， c 呢是小于九十度的角，那么 abc 这三个集合的关系是什么？呃，你要想了解这三个集合的关系，那么我们必须要清楚 啊，这三个集合它本质上都表示什么？那你看，我们的这个 a 是 第一象限角，那我用阿尔法来代表这个元素，我们用描述法哈，那第一象限角就是阿尔法大于，那么 k 乘三百六十度，小于 k 乘三百六十度加九十度，然后 k 属于 z， k 是 整数， 你第一向下角，你就是相当于零到九十度，然后再转整数整数圈嘛，是不是啊？那么第二个呢？ b 是 锐角，那么锐角呢？它的限制非常死，那就是大于零度，小于九十度， 对吧？好，我们来看集合 c， 嗯，集合 c 的 话呢，是小于九十度的角，那么这样的一个角呢，那就是阿尔法小于九十度，那其他没有任何限制。 好，我们来看他们三者之间的关系哈。嗯，其实大家你想一想啊，这个 b， 它集合中的元素是最少的啊， b 是 c 的 一部分，它也是 a 的 一部分， 是吧？这有时我们说的，那么锐角一定是第一象限的角，但是第一象限角，第一象限角呢，它不一定是锐角。哎，这个你要明白哈。那我们依次来看第一个， a 交 c， a 与 c 的 交集等于 b， a 与 c 的 交集不一定等于 b， 对 吧？它可能还有呃，其他的，所以这个呢，是错的啊，错的不一定只是零到九十度， b 和 c 的 并集等于 c。 好， 那么这个是对的。为啥呢？因为 b 是 c 的 一个子结，对吧？ b 包含于 c， 那 b 呢？也包含于 a， 我 们来看第三个， b 与 a 的 交集等于 b， b 包含于 a， 那 么 b 与 a 的 交集肯定是较小的这个 b， 所以 这个也是对的。 a 等于 b 等于 c 哈，这个肯定是大错特错啊。所以我们这道题多选择题的话呢，答案就是 bc 这样的两个。呃，那你想我们这个多选择题的原则呢？如果答案你只能确定一个，那你就选一个。为啥呢？因为多选择题改卷有一个原则 啊，就是你错多选，或者是错选得零分。哎，但是呢，如果你要是少选了啊，那么我们还可以得两分，听懂了吗？关注老师，学习更多高中数学知识！

好，那我们来看一下今天的每日一题，是一道三角函数里面中边相同的角，相关的题目，让我们用弧度制表示啊，就是中边落在阴影部分内的角的集合，那相当于是有两个小问，是吧？那我们首先分析一下到底怎么写？ 第一小问呢，这是阴影部分，然后呢，给我们标了两个角，一个是这是七十五度，一个这是三百三十度，是吧？那我们解决这种题呢，最开始是找一个具体的，然后与零比较接近的一个阴影的范围。 啊，什么意思呢？就是你看啊，这给你标的是三百三十度中边，这是七十五度中边。那你能说这个阴影部分是三百三十度到七十五度吗？不行啊，你肯定是范围是从小到大的，怎么可能从大到小的呢？是吧？那我们怎么表示这个阴影部分呢？就是一个与零比较接近的范围。 那需要转换一下，我们可以把这个三百三十度，三百三十度他相当于是这么逆时针转到这的，是吧？ 那所以说我反过来，我顺时针转三十度，也能转到这负的三十度，中间也在这，是吧？所以我找到一个精准的范围，就是负的三十度到七十五度，是吧？这个是零附近的，表示这个阴影部分的角的范围， 然后在这个基础之上我们就可以看了，负三十度到七十五度表示这个范围。好，现在呢，我对于这两个角分别都加上个三百六十度， 你看是不是依然代表阴影部分？就是中边在阴影部分，是吧？负三十度加三百六，又回到这了，还是表示这之间的范围 是吧？或者说我一共左右再同时加个三百六，或者再同时减若干个三百六，是不是依然代表这个阴影部分啊？所以现在我们就会写了，是吧？那这个第一问呢，我们就应该写成，如果用阿尔法表示这个角的话，那就阿尔法一竖杠，阿尔法要 大于等于负的三十度，加上 k 乘三百六十度，小于等于七十五度，加 k 乘三百六十度， 然后其中 k 是 个整数，是吧？这样啊，因为人家说了，这个包括边界，所以说我们两边都写个 大于等于啊，小小于等于哈啊。然后呢，但是这个题目要求我们用的是这个弧度值表示，是吧？那就统一把角度都换成弧度来表示呗。那我们就可以这样 r 发一竖杠三十度是六分之派，负三十度就是负的六分之派，是吧？然后这里呢，三百六十度相当于二派， 所以我们一般是写成这个样子哈，叫二 k pi 减去个六分之 pi 小 于等于阿尔法小于等于二 k pi 加上个七十五度，是多少 pi 呢？ 我们知道 pi 是 对应的一百八十度，那七十五度对应多少 pi 呢？你列一个比例关系，比例关系式是吧？ pi 比这个等于一百八比七十五度就能算出来，是吧？应该是多少？十二分之五 pi， 其中 k 是 个整数，这是第一问，然后再来看下第二问，第二问的话， 这个相当于什么呢？相当于这个有两个范围了，你看啊，其中一个范围是这第一项线，一个范围是这在第三项线一部分，是吧？那我们首先找一个这个部分的这一部分，先写一个具体的范围，然后与零比较接近的， 那能写出呢？应该是三十度到九十度，是吧？这个范围，那在这个范围的基础上， 我把三十度加上个一百八十度，是不是就变这边了？然后再把九十度加一百八又变这来了？所以你看，我在这个基准之上，我左右同时加上一百八十度， 也就是二百一十度到二百七十度，是不是中间就在这里啊？是吧？那我在这个的基准之下，我再去左右加一百八， 到这边再加个一百八，是吧？相当于是二百一加一百八又转到上面这，然后 这加一百八又变上面去，所以说我现在左右再加一百八，得到的范围又变这一段了，所以说我再同时加一百八又变下面了，再同时加一百八又变这，所以就是 k 个一百八就行了。那么所以说就是相当于 三十度加上 k 一 百八十度，一直到九十度加上 k 一 百八十度， 当 k 是 整数的时候，可以对 k 进行负值，那么就会得到这两个阴影部分。那当然最后让我们用弧度值来写嘛，那我们就用弧度值表示写成几何的形式。 r， phi， 竖杠，这是多少？一百八十度是 pi 是 吧？那就是 k pi 加上三十度，六分之派小于等于阿尔法，小于等于 k 派，九十度是二分之派，其中 k 是 个整数。 好，这样呢，就用弧度至，并且用集合的方式表示出了这中边落在这两个阴影部分的角的集合，是吧？所以我们一总结，因为发现 如果中边是射线相关的，比如说第一个图两个射线，那么就是加上 k 三百六十度，也就是二 k 派，而中边 与直线相关的，你看这是两根直线，那么就是加上 k 一 百八十度，那就是 k 派，是吧？也可以当成一个小经验，我们后面做题的时候可以快速的写出来。

我们高一数学呢，结束了只对函数就会进入我们的最后一张三角函数，这是一个很庞大的模块，如果你看你的课本的话，整个这最后一张、第五张跟你前面第三张和第四张加起来差不多一样厚， 就代表三角函数，它整个的知识内容跟你的密值对函数加起来其实是一样的。但是如果我们站到高三的维度去看三角函数，甚至一直到他后面的解三角形，其实整个是没有难题的，就是这种基础到中等的题， 但是我们出去的时候还是会觉得很难，原因是因为他的知识量太庞杂了，当这些知识体系一股脑的给你的时候，你消化不了，然后就会感觉比较难。所以我们在学这个地方的时候，一定要学会分层。 整个三角函数它其实是两部分，一部分是跟我们初中学锐角三角函数解直角三角形很相似，就属于它的这种公式求值化简运用的。这这些东西最终呢会延伸到我们第二本书的开头部分，解三角形 这种集合计算，这里面的话以代数化简公式的运用为主，是代数能力。而另一部分就是它作为最后一个基基本初等函数，就是它的函数的部分，那就是图像性质，图像性质，因为它里面有周期性，有这种普遍的对称性。 还有我们的最值问题，那会有一定的难度，你做好分层之后，按照你的理解程度，按照你的能力 去决定我要学到成什么层次。最一个基本的要求就是你起码要保证它的公式的化简要会因为我们要这个东西要延展到后面你的解三角形，尤其是第一问要去用的，如果你的熟练度不够你解三角形，通常第一问你是反应不过来为什么要这样去思考的， 体感就做不到，没有体感基本上做内部问题，而他的那种呃图像性质里面偏难的，可能是影响我们将来的最值问题，你可以暂时搁置。 那么我们这个课程本身也是分层的，它分了三角函数的基础和三角函数的公式，说的诱导一直到横能变换，然后后面就是它的图像性质，跟我们的课本顺序稍微有点不一样，我们课本顺序的话是在诱导公式之后是直接进入了图像性质， 然后过了这个应该是五点四，然后后面到五点五才会进入我们的横能变换的那些公式。 那我们今啊第一节课呢，就是来说啊，三角函数里面基础的这一部分就是我们的任意角 和弧度值，这个呢其实是一个我们角的概念的整个的扩充，目的就是想把高中的啊三角函数后面这个角扩充到实处范围，可以无穷大，也可以无穷小， 你不能再局限到一个什么锐角，三角函数锐角范围或者一百八的范围，三百六、三百六的范围都不够啊，因为一旦你学它的图像性质，它会告诉你这个塞引，塞引 x 后面这个变量啊，就是我们这个角啊，它是个实数范围， 所以第一步要把角给扩充了，那么我们重新去定义角，就不再是两个射线，然后加一个顶点了，就只有一个射线， 一个设限是他最开始的有一个位置，然后他去旋转，通过旋转定义，那旋转之后呢，他会停，会形成一个中边，那么在他开始的这个边和中边之间会加一个角， 这是我们重新讲的概念，然后他就规定了什么，为什么要旋转，因为我可以规定正方向了，我规定逆时针为正，顺时针为负，这样的话你就会出现正负角， 当然了，如果你不赚，那就是零角，就好像我们的数一样，有正数，负数还有零啊，这是第一种分类方法，就是这第一个点， 因为它这个地方比较零碎啊，我们分别讲一个点，然后看一个题，正负角，然后对了，就是这个题 这个范围目前还是没有超过三百六的，那主要是看它的旋转方向。那么你既然问我的这些角都是 a o c， 说明我是以 o a 为开始的那个边，然后去旋转的， 那么你这第一个角呢？它是逆时针旋转，所以这应该是个正的，然后我们看它具体的度数嘛，这有一个垂直九十度加二十，所以是正的一百一。 然后第二个，很明显啊，它是顺时针旋转，所以这是一个负的角，然后呢大的这个呢是九十，这边有一个二十，那我们要减去， 所以它应该是一个七十，但它是个负的，所以是负的七十度，这是正负角的认识。那么单独正负角是不够的， 因为我们旋转是可以不停的，我可以旋转无数个圈，无数个周角，这个角就可以变得无穷大。但是啊，那书本上就会给我们一个思考，也就是这个点， 你如果把我们这种旋转这种啊操作放到直角坐标系里面来，那么我会以 x 轴的非负半轴啊，就是原点和正半轴为开始的那个边，那么我从这开始旋转， 我旋转之后，如果给定一个角了之后，那么它肯定是有一个唯一的中边，与之对应的，它是反过来， 如果你有一个射线 o b， 它是个中边，你以它为中边的话，那么它对应的角是唯一的吗？那你看这个图就不唯一了，因为我们是可以旋转很多圈的，你最终停下来之后还是这个位置，就好像它这个图展现的， 如果我从 x 轴直接顺时针旋转，那么是这个负的三十二度停到了 o b， 但是我如果是这样呢？我如果就是这个蓝线啊，我如果从 x 轴是逆时针转，转了之后呢，也停到了 o b 这个位置，那么这个蓝线表示的角，它是三百二十八度，怎么来的呀？因为我可以理解成它是在负三十二的基础上 多转了一圈啊，正向多转了一圈，所以它其实是负的三十二度加上了一个三百六，我们的周角，然后变成了所谓的三百二十八度。 同样，你再看这个红线，我从 x 轴开始，我直接逆时针转啊，不是直接顺时针转，也就是我们的负方向，但是转过来之后不停继续转，然后回来之后再停到 o b 上， 那么这个角就是负的三百九十二度，怎么来的？那就是我们负的三十二度，再减了个三百六得到的，因为它是顺时针负方向转的，那就是个负角。 对，这样就出来一个负的三百九十二度，那么这仅仅是转了一圈，你可以转什么？无数个整圈的 都会回到 o b， 所以呢，我们就出来了这样一个概念，是第三条中边相同的角，它是不唯一的，它有无数个，只不过这无数个满足什么呀？我们这个 alpha 一 般就是在啊三百六这个范围内， 第一圈里面那个最小的那个角，那在基础上我们再去做什么，也不能说最小吧，因为你如果是负的话啊，其实很小啊，就这个意思，就是第一圈里面那个角 是阿尔法，那么另外的就是在阿尔法的基础上加或者减多少个三百六，那我怎么表示啊？我让这个 k 它是个整数就可以了。这个 z 呢，是我们原来集合的一个语言，是整数，整数级 整数，当然就包括负的，你取负的，它自然就是我们顺时针啊。再减，就好像这个地方，这是减，你取正的，那就是加， 就可以表述无数个和某个阿尔法角本身共中边的这种角有无数个，它是一种集合语言， 那么这个点呢，很关键，因为它影响我们后面的这种轴线角和象限角， 那么对的，我们的书本例题是这个。第二，我们先来讲它，那现在呢，是让我们写出来中边在外轴上的，注意它是外轴，整个不分正负。那如果我们先看，就是看它这第一圈，也就是三百六之内， 你看它在三百六之内的角，先给它找到了。我如果从最开始直接转个九十，那么它是外轴的正方向，也就是九十度。所以呢，那我们根据这个共轴面的特点， 它本身的外轴正方向 这个地方，它对的应该是在九十度的基础上加上了一个 k 倍的三百六十度，是这样一个集合，我们这个角比如叫就叫阿尔法吧， 我不写这个集合圆了啊，那么如果是负方向啊，很显然我们第一圈是这个蓝线，是二百七十度， 那么这个角如果叫 beta， 它应该是二百七十，然后加上一个 k beta 三百六， 那么但是它问的是它没有区分正方向，是整个 y 轴，那么我们按照集合的话，需要把这两个相加，相加的话就是求 并集。我没有写集合语言啊，也不要这个地方啊，有什么误区啊？因为我这样去操作的话，它就会比较简单，我再写个啊，画括号，没必要，你知道我是在它俩相加就可以了。那么这种集合语言的相加，它其实有一个难点， 那这个难点其实我们可以反过来先去想这样一个问题，我如果这个地方是九十，我就去这样想，我如果从这个正方向，然后到负方向，这其实走了什么？走了一个平角，对不对？其实是加了一个百八， 也就是我这个周期循环，它不再是三百六了，而是一百八循环的啊，就是你从九十度作为起点来看，一百八到了我的负方向再走个一百八，是不是回来了？变到正方向，说明它的循环是一百八循环的， 那它应该是加 k 个一百八就可以了，只不过是在九十度的九十度的基础上加的，不是在零度的基础上加的，这就可以覆盖整个它的外周。我们现有这样一个意识， 你就想着那我怎么办呢？这集合怎么去求一个相加并集啊？你就拆一百八就行了，因为明显我们这个地方应该是一百八的循环，所以这个三百六要去把它提一个二出来。 可是我本身阿尔法其实是可以写成九十加上二 k， 然后乘上一百八的，是我分离一个二出来，同样我的 beta 可以 写成 二百七，本来是二百七啊，加上我也分离了出来一个 k， 二 k， 然后一百八。 因为我发现什么，这个二百七其实还可以分一百八，它可以变成九十加一百八，所以我给后面一个一百八，经过合并之后，它会变成二 k 加一倍的一百八。那么你注意就关键点就在这里了， 我的二 k， k 本身还是整数，那么二 k 是 不是？你想想，在 k 取整数的时候，这个二 k 是 不是就是偶数， 二 k 就是 所有的偶数，负二啊，正二啊，四呀这些东西。那么你再看看二 k， 二 k 加一，二 k 加一，是不是就是偶数？在基础上加几个一就变成基数了，它就是所有的基数， 包括乘一负一啊， k 等于的时候乘三负三。那么奇偶加起来应该是什么？你取所谓的并集就是加起来，那奇偶加起来不就是所有的整数吗？ 所以它俩合起来之后就含盖了所有的整数啊。 那它既然包含所有整数，那我直接把它写成一个整数不就可以了？我们写成 k， 写成 n， 只要注明它是整数不就行了吗？所以这个题的结果就是， 那结果其实就是在九十度的基础上加上 n 个一百八就可以了。当然它要写成集合， 阿尔法等于斜杠啊，阿尔法等于九十度，加上 n 倍的一百八，而你后面给我注明了， n 本身就是我们的正数。 其实啊，你用我刚才这个思维，它就是循环周期变成了一百八了，同理，你就可以去推那这个 x 轴啊，它作为中边的时候，那些角是什么呀？那就应该是零，在基础上看，加上 n 乘一百八，所以它就是 k 乘一百八， 我们由此就由这种题啊开发出来的一种题，就这种求阴影的表达的。 这个本来也是要求写集合的啊，我为了省事，我就不再写集合了。简单一说，这种呢，你做题方法就是先找我们的第一圈， 你看这第一个题的范围，它是从这到这，那所以这边是一个小的角，这边是一个大的角，必须在第一圈里边，那么根据它标的，这个地方肯定是四十五度， 那这个地方就只能取负角了啊，你不能这样直接转过来，那比四十五还大呢，又必须只能取负角，那这个负角是多少呢？那我们可以从 x 轴这里开始来转吧， 这边有一个三十一百八，去掉一个三十，应该是一百五，所以它是负的一百五， 所以在这个范围里面，我们如果不带周期的话，那就是负的一百五到四十五，那我们分别带上 k 乘三百六就可以了。所以这第一个角的范围其实就是 这边是虚线呢，也就是不等这边虚线，那就是负的一百五十度，加上 k 乘三百六十度，然后阿尔法这边是实线，那就可以等是四十五度，加上 k v 的 三百六十度， k 呢就是我们的整数，那这个。