六年级上册数学广角数与形闺女怎么写

黑板上这道题目，如果你能五秒钟得出答案，说明你对数形结合的掌握已经到达了炉火纯青的地步。我们来看一下， 一加三加五加七，一直加到九百九十九，也就是说从一开始连续的基数依次相加，一直加到九百九十九。对于此类复杂的计算问题，硬算肯定是不行的，我们可以采取数形结合的方法，我们一起来看一下， 当只有一个基数一的时候，我们用一个圆圈，对吧？一，这时候我们可以将一个圆圈看作是一个一乘一的方阵，一的平方就等于一。当前两个基数相加的时候，也就是一个圆圈 加上三个圆圈，组成了一个二乘二的方阵，二的平方就等于四。同样的前三个基数相加，一加三加五，也就是一个圆圈加上三个圆圈，再加上五个圆圈，组成了一个三乘三的方阵，三的平方 九等于九，那么我们来看，前四个基数相加，一加三加五加七，也就是一个圆圈加上三个圆圈，再加上 五个圆圈，再加上一、二、三、四、五、六、七，组成了一个四乘四的方阵，那么四的平方 九等于十六。同学们有没有发现什么规律？我们发现从一开始有多少个连续的基数相加，那么他们的和就等于这些基数个数的平方，对不对？我们来看一下，如果说我们一直 加下去，一直加到第 n 个基数，那么他们的和是多少呢？是不应该是 n 的 平方？那么根据这个规律，我们来看一下，一到九百九十九，一共有多少个基数？我们知道一到一千，一共有一千个数，其中 五百个基数，五百个偶数，那么从一到九百九十九，包含了一千以内所有的基数，所以一到九百九十九，基数一共有五百个，那么原式就等于基数个数的平方，也就是 五百的平方，那么这个结果欢迎大家进行验证。同学们，你们还有什么好的解题思路，欢迎评论区讨论，跟着聪聪老师考试轻松一百分，记得点赞关注哦！

在数学中有一个非常重要的思维叫做数形结合，他不光出现在小学阶段，初中、高中以及大学都会经常用到，那么数形结合真的有这么好用吗？今天我们来看这样的一道例题， 计算二分之一加四分之一，加八分之一，一直加到四千零九十六分之一。首先我们来观察一下这个算式有什么特点，我们来看一下， 四分之一是二分之一的一半，八分之一是四分之一的一半，十六分之一是八分之一的一半。同样的是不是后边的每一位数都是他前面一位数的一半？那么拿到这个题目，我们很多同学首先想到的就是通分， 将所有的分数通过通分转化为分母为四千零九十六的分数，然后再通过同分母分数相加得到结果。这种方法固然没有问题，但是计算量过大，非常容易出错。那么今天我们结合 竖形结合的思维解决这道问题。这是一个正方形，我将它看作是单位一，那么二分之一该如何表示？就是正方形的一半， 这一部分是二分之一，下面剩的这一部分也是二分之一，那么四分之一，那就是二分之一的一半，这部分是四分之一。我们来看一下， 那二分之一加四分之一等于多少呢？我们来结合图形，二分之一加四分之一是不是就等于整个单位一减去剩下的这部分四分之一，所以它就等于一减 四分之一。我们接着往下看，这里的八分之一该如何表示？在图中，八分之一就是剩下的四分之一的一半，这部分就是八分之一，那么二分之一加四分之一，加八分之一 等于多少？我们结合图形，二分之一加四分之一加八分之一，就等于单位一减去这剩下的一部分，也就是八分之一，对不对？他就等于一减 八分之一，我们接着往下看，十六分之一，我们可以表示为剩下的八分之一的一半，也就是这部分是十六分之一，那我们看二分之一加四分之一 加八分之一，再加到十六分之一等于多少？同样的道理，是不是就等于一减去剩下的这十六分之一，对不对？一减十六分之一。同学们有没有发现什么规定？如果说我们从二分之一加四分之一 一直往下加，加到我们所要求的四千零九十六分之一，我们来观察一下，那么剩下的这一部分是多少呢？ 是不就是对应的四千零九十六分之一，所以原式就等于单位一减去剩下的这一部分，也就是四千零九十六分之一，等于四千零九十六分之四千零九十五。 这是我们的答题思路，如果说这是一道填空题，那么掌握了数形结合一秒钟我们就可以得出答案，是不是非常的简单，高效快捷，这就是数形结合的魅力，跟着松老师考试轻松一百分，记得点赞关注哦！

六年级今天我们来学习数与形，观察一下下面的图和算式有什么关系。把算式补充完整。 数形结合是一种非常重要的数学思想，把数形结合起来解决问题，可以使复杂的问题变得更简单，使抽象的问题变得更直观。我们来看第一幅图，这里是有一个小正方形， 一行一列，他的个数我们就可以用一乘一计算，一乘一也就是一的平方。到第二幅图，在这个小正方形的基础上，在他的外围有这个 形状里面放了三个小正方形。现在小正方形的个数我们可以用一加三求出来，等于四个。 那我们也可以这样思考，这个小正方形和外面这外围的三个小正方形拼起来，刚好是一个大正方形。 这个大正方形他是两行两列的正方形，那他的总个数我们就可以用二乘二进行计算， 二乘二也是二的平方，也等于四。到了第三幅图，他就是在第二幅图的这个正方形的基础上，在他的外围这个形状里面 添加了五个小正方形。那现在小正方形的总个数，我们可以用一加三加五求出来，是九个。 那你再思考这个小正方形加外围的五个小正方形，拼起来一个更大的 正方形，更大的正方形它是三行三列的正方形，那它的总个数我们可以用三乘三计算，也就是三的平方。 通过以上的学习，我们能发现这样的规律。你看一加三加五就是左边的算式，把它的加数加起来， 他的和就是正方形当中包含的小正方形的个数，也就等于每条边小正方形数的平方， 每条边一个就是一的平方，每条边两个就是二的平方，每条边三个就是三的平方。所以我们能归纳出有几个基数相加， 每条边的小正方形的数就是几。一加三加五是三个基数相加，那么这里 每条边的小正方形的数就是三个。而且我们能发现它都是从一开始， 从一开始几个连续基数相加，和就是几的平方。 两个连续基数相加，和是二的平方。三个连续基数相加，和是三的平方。现在我们按照规律直接写一写 这个算式，一加三加五加七加九，从一开始五个连续基数相加，它的和就是五的平方。 一加三加五加七加九加十，一加十三，从一开始七个连续基数相加，和就是七的平方。 那前面写算式要等于九的平方，说明从一开始 九个连续奇数相加就等于九的平方。那我们就用一加三加五加七加九加十，一加十，三加十，五加十七会等于九的平方。

同学们好，我们一起来学习人教版数学六年级上册第八单元数学广角数语型的运用，数行结合发现规律。同学们观察算式，并先计算出结果。再说一说你发现了什么？ 一加三等于四，一加三再加五等于九，一加三加五，再加七等于十六， 一加三加五加七加九加十，一加十，三加十，五加十，七加十，九加二，十一等于一百。 同学们，你们发现了什么呢？先看等式的左边，等式的左边这些加数有什么规律呢？是的，我们发现这些算 都是连续的基数相加，那右边的结果又有什么发现呢？四是二的平方，九是三的平方，十六是四的平方，一百是十的平方，那到底有什么关系呢？ 通过今天的学习，我们就很容易的发现这个规律了。我们来看这里有一些正方形，观察一下上面的图和对应的算式有什么关系，然后把算式补充完整 来看，这里有一个正方形，那一就等于一的平方，这里是有一个正方形。再看第二个图，一加三等于四，也就 是二的平方，这里有四个正方形，每行每列都是有两个小正方形，那这个呢？这里一加三，再加五等于九，也就等于三的平方。 那这里我们发现每行每列都是有三个小正方形，同学们，你们发现了什么呢？ 哎，我们发现一个正方形，那就是一等于一的平方， 四个正方形就是二的平方，那每行每列有两个小正方形，就是二的平方，每行每列有三个小正方形，就是三个平方。 我们再来看算式的左边，这里有一个加数，这里有两个加数，这里有三个加数，你发现了什么吗？ 哎，我们发现加数的个数和右边小括号里的数是一样的， 你看这里一，一，这里两个加数，这就是二，这里有三个加数，这就是三，那是不是有这样的规律呢？我们接着往下看， 我们发现算式左边的加数是每个正方形图左下角的小正方形和其他的图形中所包含的小正方形个数之和， 这个个数之和他正好就等于每个正方形图中每行每列小正方形个数的平方。 这个是我们根据图发现的，刚才我们说算式的左边加数的个数和算式右边括号里的数是一样的。那么除了从图中，我们还可以发现刚才这样的一个规律， 原来括号里的数和加数的个数是有关系的，具体是什么关系呢？我们一起来统一说一下。从一开始的连续基数的和正好是这串数个数的平方，所以从图 中我们发现，原来左下角的小正方形，再加上这样图形中的每一个正方形的个数之和，就等于每行每列个数的平方。 我们只观察算式，还发现从一开始的连续基数的核正好是这串数个数的平方。 同学们，这两个规律你发现了吗？我们一起来看一看这三个，一加三，左下角一个正方形， 然后再加三个正方形，这样的图形中有三个正方形，那就是每行每列有两个正方形，那所以就是二的平方。如果不看图，我们 还能发现，左边是从一开始两个连续相加的基数，那就是二的平方，二的平方就等于四，从图形中我们也能知道有四个小正方形， 那一加三加五是什么样的图形呢？就是在外面再围一个这样的图形，你看再围一个，那就是再加五个，那这就是一个每行每列是三个小正方形的正方形，那他就是三的平方， 我们只宽闸柿子，左边是从一开始三个连续相加的基数，那么他就等于三的平方，等于九。从途中我们也能知道有九个小正方形， 那最后一个呢？一加三加五，再加七是什么样子的呢？摆出来图形是这样的，那么这里就是一个每行每列有四个小正方形的正方形，而且就等于四的平方， 四的平方也就是十六。其实我们只看数字也能知道，他是从一开始连续四个基数相加，那就是四的平方等于十六，也就是小正方形的个数。同学们，那这样的一个式子他应该等于多少呢？ 从一开始连续有十个技术相加，那等于多少的平方呢？从图中我们发现这是一个每行每列都是十的 正方形，那所以就是十的平方，只看数字也能知道这是连续十个基数相加，那就是十的平方等于一百。 同学们，你们发现了吗？等式的最右边都是正方形的个数，等式的左边是从一开始连续几刻基数相加的和。 知道这个规律，那我们来看看下面你能直接利用规律来写一写吗？ 一加三加五加七，这是连续四个技术相加，那他的和就等于四的平方。一加三加五，加七，加九加十，一加十三，这是连续七个技术相加， 那他们的核就是七的平方，那九的平方等于谁呢？根据我们刚才发现的规律，我们知道九的平方其实就是从一开始连续九个基数相加的和就是九的平方。 如果你不能直接写出这个答案的话，你可以像前面那样用画图的方式来试一下。那我们一起来说一说，图形和算式有什么关系呢？ 图形每一个图形的个数正好等于从左下角加上其他这样形图中所包含的个数， 那么算式呢？算式从一开始的连续基数的和正好是这串数个数的平方，这就是图形和算 是的关系，也就是我们今天学的塑形结合。同学们学了塑形结合，你可以根据刚才我们讲的立体的结论来算一算他们的结果吗？ 请同学们按下暂停键，在课本上写一写这道题目在我们课本一百零八页的坐一坐写好了吗？我们一起来看一看。 先来看第一题，第一题的答案是二十五，第二题的答案是八十五，同学们，你们有做对吗？具体该怎么来做这道题，我们一起来看一看吧。先来看第一题， 一加三加五，加七，加五，加三，再加一。先看左边四个，左边四个是从一开始连续四个技术相加，他对应的图 行是这样的，那他就是四的平方，也就是十六，那这个呢？ 五加三加一，其实从右往左看，就是从一开始连续三个基数相加，他对应的图形是这样的，也就是三的平方等于九， 所以整个算式就是十六加九等于二十五。这是第一题。 再来看第二题，第二题我们看一看，一加三加五、加七、加九、加十，一加十三，这是从一开始连续七个基数相加， 他对应的图形是这样的，那他就是七的平方等于四十九，那右边呢？从右往左数 其实就是连续六个基础相加对应的图形是这样的，那么他的结果就是六的平方等于三十六，那四十九加三十六就是八十五。同学们，你们是这样做的吗？ 下面来看第二题，下面每个图中各有多少个红色小正方形和多少个蓝色小正方形？我们看题目给了我们四个， 第一个图有一个红色，八个蓝色。第二个图有两个红色，十个蓝色。第三个图有三个红色，十二个蓝色。第四个图有四个红色，十四个蓝色。 那照这样画下去，第六个图形有多少个红色小正方形和多少个蓝色小正方形呢？第十个图形呢？ 你能解释这其中的道理吗？同学们，我们来看一下，第几个图形就有几个红色，你看第一个图形有一个，第二个图形有两个，第三个图形有三个，第四个图形有四个， 所以第六个图形有六个红色小正方形，这个是很容易推出来的。那有多少个蓝色小正方形呢？这个有点难度了，我们一起来看。 你先看每一个图形他都有几行，有三行、一行、两行、三行、一行、 两行、三行。我们再来看每一行都有与红色小正方形相同的 蓝色小正方形，什么意思呢？你看这一行中这个蓝色和这一行中的这个蓝色和这个红色的个数是一样的。 那么这个图形我们看第一行中有两个蓝色，第二行中也是两个蓝色，这两个蓝色和这两个蓝色与这个红色的个数是一样的， 同样的道理。再来看这里第一行有三个，三个和红色是一样的，第四个图形有四个蓝色，四个蓝色和红色的个数是一样的。那再来看左右两边， 左边三个，右边三个，那左边三个，右边三个六个，左边三个，右边三 个也是六个，左边三个，右边三个还是六个。所以先看上下，我们发现每一行都有与红色小正方形个数相同的蓝色小正方形，那么左右两边都各有三个蓝色小正方形， 所以同学们你发现了什么？我们发现蓝色小正方形的个数其实就是两个红色小正方形的个数再加上六。 看一个两个再加六，所以这个蓝色小正方形，他的个数就可以表示成二乘三，一个三，两个三，二乘三加六， 这个呢？二乘四加六，这个呢？二乘二加六，这个二乘一加六。 所以第六个图形有多少个蓝色小正方形呢？那就是二乘六再加六，第十个呢？二乘十再加六，看一看是不是这样的？我们先来看这个 第六个图形，肯定有六个红色小正方形，那他的蓝色呢？我们一起看看是不是二乘六再加六。 好，打好了，我们一起来看，第一行有六个，第二行也有六个，左 右两边各三个，所以是二乘六加六，十八个是对的。那再来看第十个，第十个图形，他有十个红色小正方形， 那蓝色的呢？是不是二乘十加六呢？我们摆一摆看一看，哎，对的，他就是有二乘十，这有两个十左右，两边六个二乘十加六，二十六个蓝色小正方形， 所以我们就有一个这样的规律，如果有 n 个红色的小正方形，那就有多少个蓝色的小正方形呢？二 n 加六个，所以发现了这个规律， 我们就解释一下。第 n 个图形有 n 个红色小正方形，有二 n 加六个蓝色小正方形。同学们，你们明白这个道理了吗？ 好了，下面我们一起来总结一下我们这节课的内容。通过这节课的学习，我们知道把图形和算式结合起来是发现规律的关键。 我们还知道从一开始的连续几个基数的和与正方形个数的关系，什么关系呢？有几个连续基数相加小正方形的个数就是几的平方。 同学们，今天的塑形结合你学会了吗？课下的时间，请同学们找些题目做一做，如果你喜欢这节课，欢迎同学们评论转发，拜拜！

同学们，在开始今天的上课之前，我们一块来看一个视频，大自然的鬼斧神工下藏着哪些数与形的奥秘？ 看完这个视频，你看到了哪些数与形？再来说一说呢？ 我看到了很多生活中的景物，也看到了很多数学图形。接下来让我们一起走进数学的世界，学习第八单元数学广角第一课时 数与形，想一想我们拼成的图形和小正方形的个数有哪些数的规律呢？ 小组合作开始，请大家看黑板。第一个图形，它是由一个小正方形作为它的边长组成的，也就是一的平方，等于一乘 一等于一个小正方形。第二个图形，它是由两个小正方形作为它的边长组成的，也就是二的平方，可以用二乘二等于四个小正方形来表示。 那第三个谁找到规律了呢？三乘三等于九个小正方形，那你能告诉我第四个吗？ 四乘四等于十六个小正方形。回答非常好，请坐。我们通过图形可以找出来三个不同的算式，那学以自用，你能通过算式把相应的图形找出来吗？ 第一个算式，它是由从一开始的连续四个计数相加得到的，是四个平方，它可以组成的图形是边长，由四个小正方形所围成的大正方形。那谁知道第二个算式它等于什么呢？ 等于七个平方，它可以围成什么呢？是由七个小正方形围成的大正方形。通过图形可以找出来相对应的算式。那同样的有算式，我们可以找出来相对应的图形。我们接着来搭一个立体图形，大家仔细看， 第一层一个小长方体，第二层三个， 第三层六个，那按照这样的规律排下去， 第十层有多少个小长方体？

六年级的同学们大家好，我是你们的朋友廖老师。今天这节课我们一起来学习运用数形结合发现规律，数就是数字，形就是图形，数字和图形之间有什么规律呢？ 他们是怎样结合的呢？今天这节课我们一起去发现。首先呢，让我们一起来看一看这四个题目，一加三等于多少？一加三等于四，一加三加五等于多少呢？一加三加五就等于九， 那么一加三加五，再加七等于多少呢？等于十六，一加三加五加七加九加十加十，一加到二十一等于 多少呢？就等于一百。老师，为什么这么快就能够算出他们的答案呢？同学们，你有什么发现一加三等于四， 这个四的话，它有什么特点？一加三五，一加三加五等于九，那么这个九有什么特点？下一个得数十六。什么特点？一百有什么特点？ 第一个数字四是不是二的平方呢？二的平方，二乘二等于四，第二个呢？三乘三等于九，第三个呢，四乘四 等于十六，最后一个呢是十乘十等于一百。那么第一个就是二的平方，三的 平方，四的平方，十的平方，这个二的平方前面是不是两个数字？这两个数字有什么特点呢？他们是连续的基数，一和三是不是连续的基数呢？ 这里是两个连续的基数，一加上三，那么他就是二的平方。 一加三加五是连续三个基数的和啊，那么三个就是三的平方， 这里从一开始的啊，都是从一开始，这里是四个连续的基数的和，那么是不是这是四的平方呢？这里是连续多少个基数啊？到二十一的话是连续十个基数， 连续十个基数的和其实就是十的平方。同学们，你发现了吗？这些啊，都是连续的基数相加的。 好了，今天这节课我们就来研究数字的规律。好，请同学们看一看这个图形，这里一个正方形，这里呢是四个正方形，看看他们的排列有什么规律， 由一个到四个，再到什么呢？再在四个的基础上，在它的外面再包围一个 l 型，对不对？同学们看一看，这是图形的排列规律了，图形的规律，那么数 字之间有什么规律？这里是一个正方形，一个正方形，那么就等于一的平方，对吗？观察一下这些图和对应的算式有什么关系？ 我们呐要把这些算式呢完成。这里的一是一个小正方形，一个小正方形就是一的平方， 这里呢是一个小正方形，再加上三个，他包围他在他的右上角的，看看是不是包围在右上角的三个小正方形， 那么一共是多少个？就是一个加三个，一个加三个是不是就是二的平方呢？二 二的平方对不对啊？有一个小正方形，这里呢，同学们，每列或者是每行啊，都有两个小正方形，看看这里是不是二啊？ 每行是不是两个？这里是每粒是不是两个？是不是二乘二二的平方呢？ 好，再看这一个，由第一个图形的一个黄色的加上三个， 这个浅绿色的再加上几个五个深绿色的。同学们，一加三加五等于多少？等于，看看这要横着几个三个，竖着几个啊？ 竖着三个，那么是不是就是三的平方呢？三的平方每列或每行都有三个小正方形。 从这个题目我们发现了这个数和形相结合了，数数字的特点和图形的特点是不是相互的统一了，结合起来了呢？ 好，回到刚才的题目，一就等于一的平方，一加三等于二的平方，一加三加五等于三的平方。 同学们，我们发现了，算是左边的加数，算是左边的加数，是大正方形，左上角的小正方形和其他 l 型 图形所包含的小正方形个数之和，正好是每行或每列小正方形的个数的平方，对不对呀？ 看看，算是左边的加数，算是左边的加数，左边的加数一加三，这里是一。这是一加三加五 啊，他是大正方形，左上角的小正方形和其他 l 型。看看，这里是一吧，这里的呢？是一加上几啊？加上 l 型的小正方形围绕在他的，这里是几啊？是三。一加三，这里是一，对吗？这里呢？是加上三，加上三，再加上几，再加上五，对， 再加上一加三加五，一加三加五是不是就等于三的平方呢？这个三的平方。这个三怎么来的？有一个数字，两个数字，三个数字。或者看看这里横着啊，每行三个， 每行三个，那么每列也是三个，每列也是三个，每行或每列小正方形的个数的平方。我们发现了这个规律了。 好了，我们还发现了从一开始连续基数的和正好是这一串数字的个数的平方。你看看一加三是不是两个数 数字，它的结果呢？就是两个数字二的平方。一加三加五是不是连续三个基数相加啊，那么它就是三的平方，你发现了这个规律了吗？ 好，我们再来看这里，一个小正方形，然后呢再加这样的 l 型， 一加几呀？一加上三。好，再看这里，这里一个，然后呢加上几个？这里一个，这里一个。加上几个，加上三个， 再加这里加几个？再加上五个。一加三加五。好，再看这一个，这里是一 加三加五，再加几啊？加七， 对不对呢？一加三加五加七，一加三等于多少？一加三呢？就等于二乘二，等于。看看是不是。这里是不是两个呢？就是横着两个，竖着两个，是不是二乘啊？ 好，这里呢？看看，这样，竖着三个，横着三个，是不是就等于三乘三呢？这里呢竖着四个，横着四个，那么是不是就是四乘四呢？那么我们发现呢， 一加三就等于二乘二，一加三加五，他有三个连续的基数，就是三乘三。 一加三加五加七，他有四个连续的加数，那么就是四乘四。二乘二，他就是二的平方，二的平方就等于四。三乘三就是三的平方，就等于九，四乘四就是四的平方，等于十六。 发现了吗？这就是数和形相结合了。再看这一个，一加三加五加七加九加十，一加十，三加十，五加十，七加十一，十九。同学们，这里一共有几个基数啊？一共有 几个连续的基数啊？一个、两个、三个、四个、五个、六个、七个、八个、九个、十个，这里有十个连续的基数，十个连续的基数，他就是十 乘十，十乘十就是十的平方。十个连续的基数相加，那么就是十的平方，它等于一百，十的平方就是十 乘十，十乘十，是不是这是一百呢？ 这就是数形相结合了。好了，图形和算式有什么关系啊？我们发现了图形，每一个图形的个数 正好等于从右上角加上其他 l 型图形中所包含的个数，算是呢，从一开始的连续基数的和正好是这一差个数 数的平方，这一串数字个数的平方。同学们发现了这两个规律了吗？图形的规律和算式的规律我们都要知道，这其实就是数形结合 好了。同学们，只要是从一开始连续的基数相加，记住啊，是要从一开始的连续基数相加， 就能排列成每行每列个数都是几的大，正方形和呢也是几的平方。 老师再来总结一遍，只要是从一开始连续的基数相加，就能排成每行每列个数是几的大正方形和也就 这是几的平方。好，接下来啊，我们一起来做练习，去找一找竖形相结合的规律。第一，你能利用规律直接写一写吗？ 看看这里，一加三加五加七，同学们，从一开始的四个连续的基数增加几个啊？四个，那么他就是四的平方， 四的平方的话就是四乘四等于多少？等于十六等于十六。看看这里，一个这里呢三个，这里呢 就是五个，这里呢就是七个。一加三加五加七， 一加三加五加七的话，你们想想，这里竖着几个呀？竖着四个 横着呢，也是四个数，对不对？也是四个数。看看一个数，两个数，三个数，四个数，竖着四个数，横着四个数，那么是不是就是四的平方，四的平方就是多少，四的平方就是十六。 再来看这里，一加三加五，加七，加九加十，一加十三，这里是从一开始的几个连续的基数相加，一个，两个、三个、四个、五个、六个、七个，七个连续的基数相加，那么他就是多少？ 好，再加一个九，同志们是不是就是几个平方？这里啊？是 十一就是六的平方，再呢，十三，那么就是七的平方，那么他就是七的平方。七七四十九，好，那么有多少个等于九的平方，那么就是一个。 在这里再加，再加，加上，再加一排，再加一个 l 型，是不是就是八的平方？ 是八的平方，再加一个 l 型，就是多少？就是十七。十七就是九的平方， 那么就是一加三加五，加七，加九，加十，一加十，三加十，五加十七，等于九的平方，也就是八十一，明白了吗？好了，我们再来看这个题目， 请同学们观察这个题目中的图形的特点。下面每个图形中啊，各有多少个红色小正方形和多少个蓝色的小正方形，这里呢？有几个呀？有几个呢？同学们，有一个，对吧？ 啊，这里有一个，这里呢？同志们看一看，看一看，这样的话，我们呢就发现了规律了， 红色的是一个，红色的，这里呢？是一个，对吧？好还原。红色的一个，那么蓝色的呢？这是几个？就是八个啊？红色的它包围在正中，正中啊，那么红色的 两边，这样两边的话是不是有一二三，对不对？这里一二三，一二三， 它上下，红色的上下，还有一个，是不是三加三，再加二，是不是就是八个？一个小红色的小正方形，那么蓝色的就有八个，好还原。 再看这一个，这里有两个，这种横着摆两个，那么两个的话，它上下是不是有一二一二， 上面有两个，下面有两个，左面呢？他的左面三个，右面三个。三加三，加二加二，对不对？就是这 好，这里呢横着摆有三个，是不是三加三再加多少呀？一二三，一二三啊？加下面三个，加上面三个，这里呢四个呢？ 这样的话一二三一二三三加三，再是加四加四，就是十四个了。到这样接着画下去，第六个图形，有多少个红色的小正方形呢？第六个图形呢？ 第六个图形，你们想想。第六个图形的话，这里是第一个图形，第二个就是两个红色的，三个，三个红色的，四个，四个红色的。第六个图形呢？是不是三加三加六加六，对不对啊？有多 多少个红色的？有多少个红色的？有六个红色的正方形有几个蓝色的？有三加三等于六，再加六加六加六加六 啊，加上六加上六。同学们发现了吗？这里是多少有多少个呀？有 六个红色的小正方形，有几个蓝色的？三个加三个，左边三个，右边三个。三加三，再加上面六个，下面六个。 多少呢？其实就是三六十八个。一十八个。 好，第十个图形呢？就是三加三六个，再加上面十，下面十二十，就是多少个？二十六个 哦，第十个就是多少呢？就是十个红色的，十个红色的，那么就是多少个？二十六个蓝色。同学们，你能解释这个道理吗？答案题是，同学们，六个十八个啊， 十个二十六个。好了，我们来看看它是怎样的规律的？竖和行它有什么规律？是怎样结合的？ 好，一起来看一看。中间每增加一个红色的正方形，上下都并 必须增加两个蓝色的，对不对啊？上面增加一个，下面增加一个，是不是要增加两个蓝色的正方形呢？啊？我们发现这个规律了，如果增加一个红色的，上面要增加一个蓝色的，下面增加一个蓝色的。好， 后一个图都比前一个图增加一个红色小正方形和两个蓝色小正方形。 我们发现了这个规律，同时也发现了他们的相加的规律啊，如果是第一幅图，那么他就是一个小的红色小正方形。红色小正方形 啊，那么呢，它是上面一个，下面一个蓝色的啊，上面一个蓝，下面一个蓝，那么就是二，左边三个， 右边三个，那么三加三加二是不是八个？如果是第二个呢？上面两个男的，下面两个男的，左边三个男的，右边三个男的，也就是围绕在他周围的蓝色小正方形。 好，发现规律，红色的正方形个数如果是一，那么他就是八，红色的是二，那么蓝色的是十三，就是十，二，四就是十四，那么发现了吗？ 他们是按照一、二、三、四这样的数来排列的，而蓝色的小正方形呢，是八、十、十二、十四， 接下来是十六、十八这样的数字来排列的。好了，同学们，我们再来看第三题，你能根据 第一的结论算一算吗？第一的结论来算一算。同志们看看这里啊，可以分成两组，这里是一组，这里是一组，这一组呢？一加三加五加七， 那么这里是连续，从一开始的几个连续的，这里是四个连续的，那么是不是就是四的平方， 后面呢？是一加三加五，这里是三个连续的基数，那么就是三的平方，那么是不是就是四的平方加三的平方呢？发现了这个规律的吗？ 我们可以把它看成两部分，一加三加五加七等于四的平方，五加三加五加一等于三的平方，四 的平方加三的平方就等于二十五。其实我们就运用了第一的结论，数形结合的这个规律，把它算出来了。好，再看这个 一三五七九十一十三。同学们，这里有几个连续的基数啊？从一开始的，一个啊，一个、两个、三个、四个、五个、六个、七个，这里啊有七个连续的基数，那么就是七的平方 啊。七的平方后面十一九七五三一，这里有多少个？一个、两个、三个、四个、五个、六个，这里有六个连续的基数，那么它的结果就是六的平方。七 的平方加六的平方，看着没？这里是七的平方，这里是六的平方。七的平方加六的平方。七七四十九六六三十六。那么四十九加三十六等于七的平方加六的平方等于多少？等于八十五。 发现的这个规律计算出来了吗？好了，再来看第四题，下面呢，每一个图形中最外圈有多少个小正方形？最外圈呢？啊？有多少个小正方形？ 同志们，最外圈有多少个小正方形？我们来看看第一幅图，第一幅图，我不管他最外圈有多少个小正方形，我们首先把它总共有多少个小正方形，把它求出来， 那么这里是几啊？这里是三，这里呢？是几啊？这里是三， 那么是不是就是总共有多少个小正方形？是就是三乘三三的平方吧， 三的平方减去正中间的这个蓝色的，把中间的减去，是不是就剩下了外围的外圈的减去一，那么他就八个小正方形，外外啊，那么这里呢？不管他外围有多少，我们先看 这里有多少个？这里有五个，这里有几个？这里有五个，那么总共有五乘以五，就是五的平方，对不对？那么再看中 中间有多少个，这里是几啊？这里是三，这里是三。 减去三的平方，五的平方减三的平方等于十六，那么外围就有十六个小正方形。 再看这里外围有多少个？这里有七个，那么七的平方减去这里有几个？这里有五个，减去五的平方就等于二十四。照这样画下去，第五个图形最外围有多少个小正方形？ 这里是第一个，第一个就是三五七，多少九，再接下来是十一，对不对？我们发现这个规律啊，三五 七、九十一，那么这是第一、第二、第三、第四、第五，那么第五个的话，它的外围的边，它这条边组合成一条边的就是十一个小正方形， 那么十一个整小正方形，就是十一的平方减去中间的几个，中间的话就是十一减二，对不对？那么十一减二呢？就是九的平方， 九的平方，十一的平方减九的平方，你们想想看有多少个啊？那么十一的平方减九的平方，是不是等于四十个小正方形？发现了这个规律了吗？ 如果你还没有发现，你可以重新的听一遍。好了，同学们，今天这节课 我们学会了哪些知识呢？今天呢，我们一起学习了竖行结合的相关规律。把图形与算式结合起来啊，是发现规律的关键。 从一开始的连续几个基数的和与正方形数的关系，即有几个连续基数相加每边小正方形的个数呢？是几的平方，明白了吗？ 好，最后啊，老师布置两个题目，考考大家打开书到课课的练习， 在练习中选两个题目来做一做，如果这两个题目你都能做的出来，说明今天这节课啊，你学的特别棒。好了，今天这节课啊，我们就上到这里，同学们再见！

同学们，最近郭老师看了一本书，书里有句话叫做万物皆数，于是我看到什么都想到了数，比如说，你们也试试看，比如说这个，你们想到了数字一，好，我们再来。 如果是手机呢？你们看到了想到数字零，好，想到零，也许可以想到 啊，你们是看到这个位置对吧？如果我说看到的让你表示手机的数量的话，你们会是表示一好，再请这位同学站起来一下，现在有他的话，你看到这个同学，你们想到了数字几？一好，谢谢你的配合，请坐， 看来同学们也有这样的管结。如果我们看远一点，随着老师的照片，我们看到这是我们衡东特有的辣椒，叫黄贡椒。你们想到数字几，一起告诉老师。三，非常好。同学们，如果换成我们学过的图形呢？ 你想到哪个数好？那位男生 同意吗？同意，非常感谢你的回答。今天呢，他是第一个大声回答问题的同学，希望后面的同学能够也一样的如此啊。我们放轻松一点，这个是二分之几， 渐行。我们想到了数，如果老师换成我们学过的数呢？你想到我们学过的哪个图形？想一想， 十平方，十的平方等于一百平方分米。好，那位女生，正方形。简单说下你的理由，因为正方形的面积等于边长乘边长。好，老师，过来，我得跟你握个手，你跟我真的是实在是太有默契了。 看，这其实是老师在咱们学校的一个绿化池，然后我估算了他的面积。同学们，见数能思行，见行也能想到数。今天就让我们一起走进数与形的世界。 请看大屏幕，一加三等于四，一加三加五加七呢？十六。 好，我们看这些数字肯定是难不倒你们，对不对？嗯，但是你能快速的计算出来吗？ 不能，我们以小组为单位，四个人为一小组，拿出我们的活动探求单听。好要求，第一个是要我们将这个表格补充完整，第二个是好，坐姿端正。 哪位同学来说一说你们的发现没关系？好，青女士，你来说什么？加数的个数， 也就是你计算的是这些算式对吗？你们听懂了吗？听懂了，好，规律，应该是有 是连续性的。我们一起来看一下他所说的这里有几个加数两个，所以他就等于四四，也就是二的平方。 好，这里有几个加数三个？是的啊，可不能像老师这样粗心啊。 好，再来按摩。这里的加数个数是三，那就等于三倍光，这里的加数个数是四就等于四倍光。那你观察所有的算式都是这样子的规律吗？ 是，这些算式有什么特点？一次加了，一次加了。好，请坐。 这些算是，他们都是基数，对，基数，并且还是哦连续的，像这样的数字我们叫做连续基数， 连续奇数相加的和，我们会得到它是等于什么？哦哦哦哦，刚刚女孩子说的是什么？加数个数的平方，加数个数的平方。 好，那照你们这样规律的话，老师把它记录下来，如果是一的话，他就会等于一的平方。一等于一的平方，那按照你所说的规律的话，老师来说一下，如果是数字三加五，他们是两个数字，他就会等于 二的二。当中我们的规律不是连续基数相加的和等于加数个数的平方吗？ 想想，从开始，从从一开始一次加，从一开始一次加。对，还有一个前提的 条件，你看这些算式都是从一开始加的，是从一开始的。好，现在规律通过大家的探索，我们得到了，一起齐读一遍，从一开始 从一开始连续奇数相加的和等于加数个数的平方。好，那我们现在就可以把它纠正过来，前面应该写上， 一加三，加五个就等于三个平方。同学们，为什么会有这样的规律呢？ 想过没有？嗯，没关系，霍勒根先生说过，数缺形时少直观。今天就让我们通过形来帮助我们对这个规律的理解，好不好？好，你们想到用什么形状来 正正方形？都想用正方形吗？长方形，好，想用正方形的。简单说下你的理由。 好，女士，你来说说话，没事。为什么想要用正方形？因为正方形 边长边长，所以是等于边长的平方，像个小小数学家啊，有理有据。好，就依你们所说，我们就用什么呀？小正方形来当是一个小正方形的时候啊。数字一的时候用一个小正方形， 那如果是一加三，他就会等于按照规律来，一加三等于二加二等于二，等于二，等于八，那数字一用一个小正方形，数字三就用 三个，三个小正方形。好，接下来我们就一起进入我们的小组合作时间，先不要动，先听好要求。 第一个，我们要摆一摆，你能利用信封中的小正方形摆出表示一加三等于二的平方的图形吗？第二个，想一想，你能利用所摆的图形说明为什么一加三能用二的平方来计算吗？好，现在也是计时两分钟，把信封 坐姿端端正，我们来看一下啊，老师这里选举了每一些组的作品，现在你们会最喜欢用哪一种？ 你看哪几组是相同的？一三四六七，第一个，第三个是相同的吗？五十五个第一个，第 四个，四个一五一。我们这样来啊，一二三四五六七，也就是说这里面有几个组是相同的，六，还有两组是不一样的。如果是我看了，大部分同学都喜欢用这一种， 为什么？哪个小组能说一说？为什么你们组要摆成这个样子？好，请你说说。因为是一加三，所以代表一个正方形和三个正方形， 嗯，也就是说你是用颜色来区分分，那这一个也就是他没有区分，能不能看到数字一和数字三？不能。 那为什么这个也能看出啊？数字一和数字三也能看出来啊？因为他也有颜色，也有颜色，它也有颜色分明，但是不是二个平方，不能说明。为什么一加三能用二个平方？对，那这些我们来调取一组来看一下， 这里就数字一，这里就是数字三三，然后他的平方就是 一，他的边长是二，他的边长是二，边长是二个，所以是二乘二二的平方，非常好。现在你明白了吗？明白了， 那么老师把你们的想法记录下来，你们坐好了，这是老师邀请了一位女同学到黑板上面来摆的，大家把掌声送给他， 我们来看一下他摆的好不好。好，从这里我们可以看到数字一，如果数字是一的时候，他就是一个正方形，也就是他的面积是一的平方，当增加了一个加数以后，现在是几个加数了， 这里是一个加数，现在再增加一个加数，几个加数二，几个加数，它的边长就变成了二，也就是面积是二的平方，再增加一个加数，也就增加了几啊。 三就是三，五到五以后就几个加数了，三 变成了三平方。对，通过图形的帮助，你现在能理解这句话的含义了吗？能，这句话是奇读一遍，从开始， 从一开始连续奇数相加的和等于加数个数的平方。对，如果是一加三，加五的时候，我们就摆成了一个这样子的图形。 同学们，说明，通过行能够对树有什么？ 行能够对我们有帮助，对，有帮助，帮助我们理解，所以我们说行能帮助我们行住， 行，住什么树？树 好，行能注数。那现在通过我们刚刚的结论，你能快速说出剩余算式的得数吗？一起来，下一个，应该等于三十六、四十九、六十四、八十一、一百。 好的，那同学们，像这些数他也是有名字的，他的名字叫做平方数，又叫做正方形数。同 学们，通过刚刚的规律，你能快速的利用刚刚所学的规律完成我们课本一百零六面的做一做第一题吗？请打开数学书，一百零六面二十五，过程是怎么样的？简单的说一下， 先把前面四个数分开，然后。好，我帮你做一下标记，前面四个数分开，把它看成一组，对吧？好，那这个就符合我们的规律，它现在是几个加数？四，所以我们就想到了这样的一个图形。好，接着说四三， 嗯，他就得到一个边长是 三的正方形，对吗？所以就是几的平方，三的平方。那么四的平方等于多少？十六，十六，三的平方等于九。最后我们再来算，十六加九等于九。最后我们再来算，十六加九等于二十五。好，掌声送给这位同学 啊，这位同学已经成为了一个计算小达人，那你们也跟着老师来试试下面这个算式。那么前面就是几个数了， 七个也就是七十六平方，后面几个数六个，那就是六个平方。好，我们坐端正一点啊， 对精气神要足。好，最后的得数等于八十五，非常好， 看来这些计算都难不倒你，并且我们已经成为了计算小达人。同学们见数啊，我们能够想到它，用形来帮助，如果看到形，你能想到它对应的算是吗？好，别眨眼，看大屏幕 一起说，一加三加五加七，所以它就等于四个平方。再来，别眨眼， 一加二加三加四，加三加二加一。哦，我们班同学太聪明了啊，一点都难不倒大家。你们是怎么看的呀？ 斜的对，斜着看的。同学们，我们来对比一下这两幅图，它都等于四的平方，但是我们观察的角度不一样，不一样，说明呀，观察的角度不一样，得到的算式就不一样。 无论是我们的学习还是生活中，我们都要多换几个角度去思考问题，做生活中的有心人同学们。

小朋友们好，今天我们学习人教版六年级上册第八单元数学管角数语型第一课时， 你能用一个算式表示这三幅图中小正方形的个数吗？第一幅图是一个小正方形， 第二幅图是在第一幅图的基础上又加了三个，一加三等于四个小正方形。再来看第三幅图中一加三加五等于九个小正方形。 观察一下上面的图和对应的算式有什么关系？一等于一的平， 一加三等于四是二的平方，一加三加五等于九是三的平方。 观察这三个算式，你有什么发现？我们发现算式左边的加数是每个正方形左下角的小正方形和其他 这样行图中所包含的小正方形克数之和正好等于每个正方形图中每列小正方形个数的平方。 利用规律直接来写一写一加三加五加七等于几的平 方呢？同学们来说一说，如果遇到困难，可以先画图来帮助。一加三加五加七等于四平方， 那么一加三加五加七加九加十，一加十三又是等于几的平方呢？等于七的平方。再来看九的平方，你能写出来吗？通过规律你来写一写 一加三加五加七加九加十，一加十，三加十，五加十七等于九的平方。在这里一定要注意，只有从一开始的连续基数相加的和 才是平方数，有几个基数相加就是几的平方。巩固提高做一做第一题，请你根据利益的结论算一算，一加三加五加七加五加三加一， 那么我们能发现什么呢？一加三加五加七，一加三加五， 你会算了吗？四个计数，三个计数，所以是四的平方加三的平方， 同学们来计算一下，等于二十五。再来看一加三， 三加五，加七，加九加十，一加十，三加十，一加九，加七，加五，加三加一。先来观察 一加三加五，加七，加九加十，一加十三，一加三加五，加七，加九加十一。前面是七个级数，后面是六个级数，那么就是七的平方 加上六的平方。同学们来计算一下，等于八十五。 我们来做一做。第二题，下面每个图中各有多少个绿色小正方形和 和多少个蓝色小正方形？照这样接着画下去。第六个图形有多少个绿色小正方形和多少个蓝色小正方形？第十个图形，你能解释其中的道理吗？ 我们先来看第一幅图，绿色有一个，蓝色有两个。 第二幅图，绿色有两个，蓝色有十个。第三幅图，绿色有三个，蓝色有十二个。第四幅图，绿色有四个， 蓝色有十四个。观察你发现了什么规律呢？ 绿色一到二时加了一个。再看蓝色，八到十时加了两个，二到三加一，十到十二 加二，三到四加一，十二到十四加二。绿色的每增加一个蓝色就要增加两个。那么第六个呢？ 有六个绿色，那么就有十八个蓝色，绿色加两个，那么蓝色呢？就要加四个。 第十个图形呢？绿色加四个，那么蓝色十八道 二十六，就要加八个。总结规律，任意两张相邻的图中，绿色相差一个，蓝色相差两个。 第三题，下面每个图中最外圈有多少个小正方形？照这样的规律接着画下去第五个图形，最外圈有多少个小正方形？你能解释其中的道理吗？ 我们先来看第一个正方形，最外圈有多少个小正方形，怎么来 列算式呢？三的平方减去一的平方等于八，如何得到这样的算式？总个数有三行三列， 内圈的个数是一行一列，所以总个数减去内圈的个数，得到的就是最外圈的个数。我们再来看第二个图形，五的平方减去三的平方， 总个数是五横五列， 所以是五的平方。再来看内圈的个数是三行三列， 总个数减去内圈的个数，得到最外圈的个数。我们再来看第三个图形，七的平方减去五的平方等于二十四。 在这里七的平方是总个数，七行七列 减去内前的个数有五行五列 得到，就是我们最外圈的个数。那么同学们来看看这个图形，你能表示出来吗？ 总个数是九行九列，内圈个数是七行七列，如何来列算 是九的平方减去七的平方等于三十二，最外圈有三十二个小正方形， 那这个图形呢？你能列出来吗？先看总个数，十一行十一列内千个数，九行九列，所以列算是十一的平方，减去九的平方等于四十。 第四题，请你根据上面图形与竖的规律，接着画一画，填一填，我们先来观察一个点， 第二排要比第一排多一个圆点。再看第 第三个图形，一二三，第四个图形一二三四。那么第五个图形又该如何画呢？ 再加一排画五个圆点，一共是十五个， 那么下一个图形呢？我们再加一行，是加六个， 那么是由二十一个圆点，再加一行加七个是由二十八个圆点，如果不画这样排列下去，第十个数是多少 呢？第十个数，我们来写一写，一、加二、加三、加四、加五、加六、加七、 加八、加九、加十。同学们，你来算一算，第十个数是五十五， 你做对了吗？第五题，下面每个三角形图个是由多少个小三角形组成的？如果小三角形的边长是一，每个三角形图的周 长分别是多少？每个三角形图包含小三角形的个数与这个三角形图的周长之间有什么样的关系？ 先来看第一个图形，小三角形的个数是一个，周长是三。第二个图形，小三角形是由四个组成一个大的三角形，他的周长是 六。第三个图形，九个小正方形，周长是九。 第四个图形，十六个小正方，十六个小三角形，周长是十二。 同学们，我们先来观察小三角形的个数是一、四、九十六。你们发现了什么呢？ 我们可以写成一的平方，二的平方，三的平方， 四的平方，周长呢？第一个图形是一的平方，周长是三。第二个图形是二的平方，周长是六。 第三个图形是三的平方，周长是九。第四个图形是四平方，周长是十二。那么周长的规律是， 一层三、二层三、三层三、 四乘三。那么老师提问，如果我们再画下去第五个图形呢？小三角形的个数是 五的平方，那么它的周长是五乘三。第十个图形呢？ 小三角形的个数是十的平方，那么它的周长呢？ 是十乘三，你学会了吗？第六题，如图所示，把 同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第八个图形需要黑色棋子的个数是多少个？同学们，我们先来观察三角形、 四边形、五边形、六边形，他们用的棋子分别是三个、八个、十五个、二、十四个。 我们试着来写一写规律，第一个图形一的平方加上二乘一， 第二个图形二的平方加上二乘二，第三个图形三的平方加上二乘三， 第四个图形四平方加上二乘四。那么第八个图形呢？ 你能写出来吗？同学们，你找见规律了吗？八的平方加上二乘八等于八十个。课堂小结， 本节课我们学习了从一开始的连续计数的和正好是这列数的个数的平方。这节课我们就上到这里，小朋友们下节课见。

请大家欣赏一幅图片，如果用它来表示一个数，你觉得可以表示几？简单说说你的理由。好，小伙子，一 啊，我，二点五，一还是二点五？二点五，为什么？因为他有两条完整的线段和一条啊，就一半的线段，所以我把它说我，所以这里可以表示成二点五， 有没有道理？有，小伙子，请坐，他是今天第一课发言的，希望其他的同学像他一样的声音洪亮并且勇敢的来。好，请看下面这个这个算式，如果用它来表示，用一个图形来表示它用个什么样的图形 好。后面那个男生，正方形。理由，因为，因为正方形的三条棱长都相等。呃，有不同意见？小伙子， 呃，因为，呃，是正方形，因为，呃，因为那个那个正方形的四条边都是都是相等的。 从这个算式你怎么看到四条边度相等的啊？因为他算的是面积，面积就是用边长乘以边长，所以说 这个这个算式可以用一个正方形来表示，同不同意？同意。好，请坐站。好，三乘三等于九，注意看单位是什么？平方，所以我们在之前正方形的面积计算算出来的面积单位就是平方 厘米或者是平方分米，平方米等等之类的。好了，回过来看两个例子，第一个用图可以表示数，而这个数的背后也隐藏着形的知识。这节课我们就一起 研究数， 数与形好，数和形它是一一对应的，而这种对应关系在我们数学上会给我们解决问题带来哪些帮助呢？ 一起先看一个数的问题，读一遍，从一开始的三个连续基数相加的合适多少好，要解决这个问题，我们就必须得先来分析这个问题，从一开始你懂 明白吗？明白，第一个数字就是一连续基数，明白吗？明白。好，那看这个例子，从一开始的三个连续基数相差的和怎么列式 好？这一列后面那个女生 同不同意？同意。好，一加三加五，和呢？等于九，很简单是吧？是好，再看五个这样的连续基数相加的和呢？ 一起来列式，一加三加五加七加九等于二十九。如果是有三十个这样的连续基数相加，何会是 七加三四九百，一人在列式九百九百， 其他人好有困难。数字很大了，有三十个，如果列式列出来，从一开始要加多少个？联系技术三，曹丕都要算的至少是两三卡九百九百。好，有困难，猜的 一加九，一加一等于十，算的一加多一，我猜是。呃，只有一小部分同学猜测他的答案会是九百，那具体答案是多少怎么办？我们可不可以把这些复杂的三十个基数假定在十个以内， 假如有十个这样的连续基数相加，看看他有没有什么规律，然后再用我们发现的规律来解决这个题，可不可以？可以，好了，那基数个数假定在几个？最简单一个一个基数好，一起看屏幕， 如果是基数，个数是一和就是一，两个这样的连续基数，算式是二，一和是四， 仔细观察是不是有什么发现。好，再看一个，如果有三个连续，记住，算式是一九九。有发现，有有有，有， 不急，我们再来看一个，再看有四个连续奇数，一加三加五一，十六和十六，有发现有这样，呃，把你的想法，把你的发现跟同学说一说，然后 任选一个，验证一下，下面的这些是不是也有你发现的规律。好开始 啊， 太简单了。没错没错，确实好了，如果验证玩具的笔放正坐正 好比玩具快一点。谁来说说你的发现？好，小伙子，嗯，基数个数乘以基数个数就是他的和。 我愿意都是，不一定是好，小伙子，不一定，基数个数的平方就是这几个基数加起来的和跟他一样的 是不是好，还有没有其他的啊？没有了， 好，我们来看看是不是真有刚刚的这个规律。如果是有五个这样的连续计数算式是什么？一加九加七加九合适，合适六个呢？ 一加八加五加七加九加十，一。好，三十六， 四十九，四四四，回过来一起看。如果按照刚刚这个同学说的，有一个这样的连续基数相加，就是算是就是一，那和就是一，也就是一 乘乘一等于一的平方，哎，一的平方是不是是那两个合适？四，四个平方，三个三个平方，四个平方，五个平方对得起。 如果有十个这样的连续技术相差十，平了一百，十，平了一百，一百，一百，一百。刚刚我们的问题，三十个呢？九百 n 个呢？ n 个好，所以 从一开始的 n 个连续基数相加的和就等于 n 的 平方。好，一起读一遍，从一开始的 n 个连续基数相加的和是 n 的 平方，哎， 从一开始的 n 个连续计数相加的和竟然可以用它的平方来计算。老师，奇怪，为什么可以用它个数的平方来计算呢？谁来解释一下？ 谁来解释一下为什么可以用它个数的平方来计算？因为 谁来解释一下？嗯，小伙子，因为这个，比如从， 就是从一开始的基数吧，就是一，一个基数就相当于一个正方形，它的边长一样都是一，那就可以用一乘一。哎，他想到了，说一个基数就是一，我就想那个正方形 边长就是一乘以，好不好？好好好，主席好，这样做做。我们 数学家画了，跟先生说过，说不懂就画图，这样，老师先来做个示范，不画图我们用图形直接摆，行不行？行，好，假如我用这样的一个小正方形表示一， 一行一列，那这个就是一乘一，就是一， 有没有问题？没有，所以一个连续接数就是一好了，还可以表示一乘一等于一的平方，没问题吗？没有。好了，接下来请同学们用桌上的姓方里边的小正方形摆出一个一加三来，并且 还要能说明一加三为什么能用二的平方来计算。好，开始同桌一小组， 然后还有一个 看一下，是吧？多少加五四四十个长面积就是二加一对二，因为它边长，因为它加三个就能蹭一碗，结果他就变成了，他，边上就变成了二，所以啥都别动， 你看吧，你看，加了又加了五个，进来是变成了三，所以就变了，所以就是三个平方，然后就，然后就可以解释这个 好了，摆好的， 互相说说看你的一加三在哪？为什么能用二的平方来计算？一加三， 三二一 四个。 好了，摆好就坐正。好好 好，我们一起来看看这两位同学的作品。先来看这个一在哪里？红色，三在哪里？黄色这个呢？ 一是一个，三是三是二，好像两个图都能表示一加三，你觉得哪个图最下面？下面的为什么？因为小伙子， 对，因为他 p 成了一个正方形， p 成一个正方形，各一计算一点，怎么的？各一计算？因为他的四四条边， 四条边的长度都是一样的，所以，所以只要有两条长长的长度乘起来就得了，好做。我们刚刚的问题是，不仅要拼出个一加三来，还要能 拼出二加三，能用二的平方来计算哪个图好？一个同意，下面这个是好了，几行两行一二，所以 既能表示一加三，还能表示二平方，说明下面这个图拼成正方形更好， 是不是？是，好，如果我们要继续再拼出一个一加三加五，会了吗？会，好，动手用小正方形拼一加三加五。 啊 啊啊啊， 好了，老师看，很多同学都拼了一加三加五，但是在我们的数学上是比较讲究规律调理这些东西的， 所以你拼出来以后，呃，颜色的排列应该是要很鲜明，让人一看。哎，一找到了，三找到了，五找到了，好了，再调整一下，你们可以了，可以了，调整一下，调整一下好， 一个加三，再加上五，然后还可以表示我还要再继续拼七，没有了，没有了，拼个七。好好好 好，拼好的就坐正好好，拼，好的就坐正 好。看看这个同学是怎么拼出来的， 同意吗？同意，掌声 好，来看看这里的一在哪？红方，再来红方 绿的五五。所以这样拼成一个大的正方形，可以表示一加三加五，并且还能说明一加三加五就等于三角一行 两行三行三行三列就等于三平方，是不是？是，好，如果是我们要再继续拼七个，拼在哪？ 右外围，外，外外，外围，不拼了，我们手上的小正方形没了，那怎么拼呢？谁上来指指看？如果我要再拼七个，拼在哪？ 好，这一列的倒数第二个女生，对，这个女生好，快上来指指看看，如果我们还要再拼，如果是要再拼七个，拼在哪里？就指 谁来蹦蹦呢？我来，好，别是那个小伙子来，快，我觉得应该拼在一起开 一圈，刚刚这女生说的才六个呀，那边一二三四五，还有一个九。好，一起开，一起开，一起开。 那还有一个小伙子，说说他怎么会七个出来呢？这，这个拐角这里还有一个，他没有犯，这个是不是？是，哎呀，有时候会发现的，眼睛太好了。好，这回好，我知道。 看这里，如果我们再拼七个，看这里应该是这样的，现在，哎，说一圈只有六个呀， 来，还差一个，这是不是还有个呀？是，是不是？是。哎，所以如果是一加三加五加七，可以表示四的平方，拼那个正方形就可以。那如果我再加一个，基数是几了？ 九在外面，外面，外面，外面，外面，外面，是不是？是，如果再来一个基数是十一，拼在哪？外面不拼了。好了，回过来看看我们刚刚的这个例子， 是竖的问题，我们是怎么解决的？嗯，画，画图，解决好，画图，用图来解决的，是不是？是很多竖的问题？ 我们利用图形就可以很直观并且轻。

哇，好漂亮的灯笼，叔叔，这上面画的是什么呀？ 阿树，这可不是画，这是通往月宫的秘密。 月宫，可这些只是数啊。你再看这灯的形，一边是奇特的数，一边是方正的形，它们之间到底藏着是什么秘密？秘密就藏在这灯饰之中去寻找吧， 解开了第一个秘密，这盏灯就会为你而亮。 老板，为什么一三五这些数能和正方形扯上关系啊？ 我懂了，树是骨架，形是画笔，为什么用基数？因为它们能造出最完美的形。不错，阿叔，但月宫的秘密不止一个。 你再看那碗元宵，元宵，如果我把这碗元宵分给月亮上的嫦娥，这又是为什么呢？ 我发现算是左边的夹数，是每个正方形图左下角的小正方形和其他七行图中所包含的小正方形个数之和，正好等于每个正方形图中每列小正方形个数的平方。 我发现从一开始的连续基数的和，正好是这串数个数的平方。 额，我想我明白了，先分一半给月亮，又分 生与形的和谐统一之。

嗨，同学们大家好，欢迎来到卡老师的数学小课堂，我是最懂你们的卡老师，今天啊，我们要学习的是同步小学数学六年级上册第八单元数学广角的内容，也就是数语形。 那提到数以形呢？简单的来说，数其实指的就是代数，形呢，指的就是几何。那有的同学可能会觉得代数和几何是相互独立的两个部分，代数呢，主要是用来计算的， 几何呢，主要是画图的好，他觉得这两者之间啊没有太多的联系，其实不然，我们说啊，代数和几何呢联系其实是非常紧密的，数学历史上呢，有很多难题都是借用 竖行结合的方式来解决的，也就是把带竖转化成几何，几何转化成带竖的方式。那今天呢，我们就来看一看这种竖行结合的方式如 如何运用到题目当中。好，那首先呢，第一道题，观察一下图与算式有什么关系，把算式补充完整。 首先呢，我们可以看到有三个图，每个图呢都是由一些形状大小一样的小正方形组成的。第一个图是最简单的了，接下来呢第二个图，哎，多了一种颜色，多了这样三个小正方形， 再往下呢，又多了五个这样的小正方形，你会发现这个图形的规律其实挺明显的，每次呢就是往他的右上角多了一圈正方形，对吗？好，接下来我们再来看下面的算式， 第一个算是一等于几的平方，哎，那这个即便没有给图，我们也能做出来，一呀，就等于一的平方。那么再把这个图结合起来来看一下它代表什么含义呢？哎，那这里面呢，其实我们就可以借用正方形的面积公式来看一下这个一呀，就相当于是这一个小正方形 的面积，而这个一的平方呢，相当于是边长的平方。那所以呢，我们说这个小正方形其实就相当于是一个边长为一的小正方形，那后面以几个都是类似的情况，那再往下第二个一加三，那左边这个球的还是面积， 一个小正方形加上三个，那他们的面积呢，一共就等于四，那接下来再来看一看等于几的平方呢？我们还是直接把 正方形的面积公式带进去，你就会发现了，求他呀，其实就相当于是编程为二的正方形的面积，也就是二的平方。好，那这个二和这道题当中的算式又有什么关系呢？其实你可以看一下，是不是就相当于是这里面一共有两个数的意思呀？ 当然这个二可能不同的同学还有不同的理解，比如说呀，还可以说这个二在图上代表两种颜色可以吗？或者直 直接就说这个二代表是这个大正方形的边长等等都可以。好，除了这些，其实还有别的特点，比如说呀，你可以计算一下这个二，甚至还是一和三的什么平均数。好，那说完这些，咱们再来看第三个图， 第三个图呢，现在是一加三加五，那对应的就是这三种颜色的小正方形的个数了，一个三个五个，那求出来他们的面积之和呢？就是九， 那么对应的是几的平方呢？简单的还是直接看一下这个大正方形的边长，一二三，那就是三的平方，那 对应这个三什么意思呀？和我们前面是不是一样的，对吧？你可以只带图上的三种颜色，也可以只带图上大正方形的边长，还可以只带一共有三个数字相加，甚至呢，你也可以再计算一下，它其实还是一三五的平均数。好，那从这几个算式 和图当中呢，我们就能看出来这些信息。那接下来呢，我们再来看一下，按照刚才这些规律，现在不给图了，直接给算式，你能不能利用刚才的方法把这些算式补充完整？那首先第一个算式， 一加三加五加七等于几的平方。哎，那结合我们刚才找到的那些规律啊，你就可以直接从这里面看出结果了。我们刚才说了，前面呢这几个数字相加，那后面呢，这个数怎么样？ 他就相当于是前面这几个数的个数的平方，那一三五七四个数，那他对应的就是四的平方，那再往下呢，一三五七、九十一十三数，一数，一共几个数啊？一共七个数，所以呢，他就相当于是七的平方。好， 那最后一个稍微有点复杂，他给的我们是九的平方等于多少？那我们要把前面这个算式补 完整，但是规律是一样的，这个九指的是什么呢？指的是像这样的数字，我们一共有九个，对吧？那还是从一开始写，然后一 三五七，一直往后写。好，那下一个是几呢？其实啊，前面这些数字列举完之后，你已经能够发现了，前面这些数说白了就是什么，其实就构成了一个等差数列。当然如果同学没有学过等差数列的话，你也可以简单的一页成，就是从一开始怎么样 挨个写一个，一个一个都是基数，对吗？好，那么一三五七，下一个就是九，再下一个十一十三。好， 好，到这已经有七个了，再写两个，那再下一个呢？应该十五，最后是十七。好，这个就等于九的平方。好，到这这道题就解决完了。那所以你会发现，利用图形的方式呢，整个这道题我们甚至都不需要算了， 对吧？很快就能把结果看出来。好，那接下来我们再来看第二第二这道题，二分之一加四分之一，加八分之一，加十六分之一，加三十二分之一，再加六十四分之一。好，最关键的是后面还有个省略号，也就是说可以按照这个顺序啊，一直加下去。 好，那这道题呢，本质上又是一个计算题，但是这个计算比刚才那个还要复杂，对吗？刚才还好，都是整数，而且呢，前几项呢，数字都不大，但是到这呢上来就是分数，而且越往后，这个分数的数值越小，同分起来越麻烦。那怎么办呢？我们依然是采取数行结合的方式。 首先，其实我们可以先简单的看一看啊，这一页数字之间有什么样的特点和规律？首先分子都是一分母呢，二四八十六，三十二六十四，不就是一个等笔数页吗？好，等笔数页有的同学可能 也没有听说过，那么我们简单的来说一下，就相当于是每次呀分母乘二，那反过来说，相当于是后面一个分数是前面一个分数的一半，这个同学们应该能看出来，对吗？我们用画图的方式来看一看这个算式结果到底应该是多少？ 好，那这里面呢，既然都是分数，老师呢，就先画一条线段，代表什么呢？代表单位一，接下来先把二分之一画上去。好，那就应该是整个这条线段的一半， 刚开始我用虚线画的，那接下来这几个数字，我用实线来表示。好，那么到这一半就出来了，接下来呢，再往后加，那么我就要接着往后再画一个四分之一出来，那四分之一是多少呢？ 那就相当于是剩下这一节的一半，这个同学们能看明白吗？对吧？因为我们说了，其实每次都是取一半，这边和这边是相等的。好，那么 剩下的再画一个四分之一，那这时候老师问一个简单的问题啊，这时候剩下的虚线的这一部分又是多少呢？ 哎，那不应该还是四分之一吗？对吧？好，那再往后画八分之一的时候，我只需要把这个再一分为二，然后其中一段是八分之一，那剩的是多少？又变成八分之一了。哎，到这我不知道同学们多多少少能不能看出来一些规律。你会发现啊，这虚线的部分，也就是相对于单位一来说，剩余的部分怎么 永远和上一个加数是一样的，对吧？那我们接着再往后加，再加十六分之一呢，需要把这一部分再平均分成两份，再加一个十六分之一，这剩的 又是十六分之一了，那么以此类推，我再往后加三十二分之一，还有六十四分之一，等等，后面我就直接用省略号来表示了。好，按照这样的规律啊，其实你会发现，整个这个 数字加完之后呢，会越来越接近于一，但是和一之间到底有多大的差距呢？就是我们刚才说的他永远和一差多少呀？差最后一个加数。 好，所以呢，我们现在就可以把整个加法算式啊，转换成减法来计算，我用一怎么样直接减去最后一个加数？比如说这道题，我就算到六十四分之一为止，那么它就相当于是一减去 六十四分之一。哎，你会发现，本来是特别长的一个算式，我一个减法算式一步就算出来了，对吗？那等于多少？等于六十四分之六十三， 结果就出来了。好，那么按照这样的规律，我还可以一直往下加，加多少个我都不怕，因为最后转化成减法算式，就一步直接一减去最后 后这个加数就可以了。好，那这个图啊，其实还有不同的表示形式，比如说呢，这个单一，我还可以用远或者正方形来表示，那同学们也可以看一下，道理是一样的，比如说这个正方形， 我第一次呢，取这个正方形的二分之一，再接下来呢，我取四分之一，再取八分之一，再取十六分之一。思路和他一样，你会发现每一次剩余的部分都和最后一个加数的大小是一样的，所以依然是归纳成一减去最后一个加数。这样的套路。好，这个同学们看明白了吗？好， 那这两道题讲完了，同学们应该能够发现竖行结合有多么奇妙，有多么简便，对吧？好，那接下来我们再来看几道课后任意题，还是竖行结合，但是类型完全不一样了，我们一个一个来了解一下。首先第一个，下面每个三角形的图呀，各式有多少个小三角形 形组成的？如果我们定义小三角形的边长为一，那么每一个三角形图的周长又分别是多少？最后还让我们找一找这个三角形图包含的小三角形的个数和这个三角形的周长之间有什么样的关系。好， 我们先来解决前面这两个问题，比较简单。这两个问题呢，小三角形的个数和周长，我们看图就能直接数出来，对吧？比如说个数， 第一个图呢，就是一个，第二个图呢，就是四个，第三个图呢，九个，第四个图是十六个，当然你也可以算，怎么算？你把它分层来算，第一个就不说了。第二个呢，一加三， 这个呢？一加三再加五，这个呢？一加三加五再加七。哎，说到这，你觉得是不是有几分熟悉啊？对了，就是我们刚刚讲过的 那个利益啊，对吧？挨个都是基数，然后呢，他们求和，其实啊，就相当于是他们个数的平方。好，那接下来再来看周长，周长这个呢，也可以算，不需要数。比如说第一个，一条边是一，那他一共有三条边，一三得三， 这个呢，这一条边现在长一点了，是由两个小三角形组成的，所以他的边长变成二了，那么依然是三条边，二三得六，到这呢三三得九，再往下三四十二。 好，这两个我们都比较好填，现在关键是让我们总结规律，这个就有点难了，纵向对比的话，你会发现，哎，好像看不出来太多的规律，尤其啊，这两个数字之间的关系一会大一会小，对吗？前面还是周长比个数大，到这就相等了，再到这呢个数比 比周长反而还大了，那我们怎么办呢？我们不妨呀，先横向对比一下，横向对比呢，这个规矩我们刚才已经说了一点了， 在这里面呢，这里面每一个数啊，他呢，其实和这个三角形有几层有关系？比如说第一个，那其实就相当于是一的平方，第二个呢，其实就相当于是二的平方， 第三个三的平方，第四个四的平方。本身啊，这几个数就是完全平方数，如果同学们了解完全平方数的话，这个规律看起来会更明显。 那接下来呢，既然都是平方，那平方我们就先放在一边不管了，关键是要看一下平方下面这个数，你会发现正好是一二三四， 除了对应三角形分别有几层之外，他还能表示什么含义呢？哎，还能表示叙述什么意思呀？这是第一个图，所以是一的平方，第二个图是二的平方， 第三个三的平方，第四个四的平方，那以此类推，如果再往后画的话，第五个图就是五的平方了，第七个图就是七的平方，等等等等，对吧？ 好，那接下来呢，我们再来看一看，周长之间又有什么关系？好，周长，我们刚才在算式的部分已经说过了，这个是一乘三，这个是二乘三，这个呢，三乘三，四乘三。那其实你也可以归纳出来一个关系，什么关系呢？ 每次啊，就是拿对应的序数乘以三就完事了。好，那么比如说这个序数呢？是一，所以是一乘三，这个呢是第二个图，序数是二，那就是二乘三。好，以此类推。老师直接把这个算式写出来。 那现在上下相比较，你会发现是不是都存在着叙述这样一个条件，对吧？所以呢，我们就可以通过叙述把他们连接起来。 好，那这里面我们把它简单的说一下，最后我们找到的规律应该是什么呢？相当于把周长除以三，先得到对应的这是第几个图？那比如说十二除以三，得到这第四个图，对吗？然后紧接着把这个四平方一下，就是上面我们算出来的这个三角形的个数了。好， 这个思路同学们看明白了吗？确实有点复杂。好，老师再举一个例子，比如说第二个图。好，我们先用周长除以三得到这是第二个图，然后呢，把二平方一下，就是这个图对应的小三角形的个数。好，那以此类推。后面的老师就不再举例子了。