青岛九年级抛物线二次函数题目

这个视频我们来讲解一下含餐二次函数的取值范围问题，需要用到数形结合和分类讨论的思想。已知抛物线 y 等于 a， x 方减二， a x 减三加二， a 方， a 不 等于零，设点 p m y 一 q 三 y 二。 在抛物线上，若 y 小 于 y 二，求 m 的 取值范围。这个函数表达式是一个含餐的二次函数，它里面的参数是 a， 虽然有一个未知的常数 a， 但并不影响我们求对称轴，因为对称轴永远等于负二， a 分 之 b， 我 们将其代入，就等于负二， a 分 之负二 a， 我 们就可以求出它的对称轴永远都是一。 那么这个时候，因为二次项系数是不知道的， a 不知道大于零或者小于零，那这种情况下，我们应该分两种情况去考虑。第一种情况， a 是 大于零的。第二种情况， a 是 小于零的， 那么如果 a 是 大于零的，开口一定向上，我们就可以做出一个这种类型的函数图像。对称轴是 x 等于一， 因为点 q 的 三 y 二，它的横坐标是已知的。我们先找到点 q 大 概的位置，这个地方就是点 q 大 概的位置，它的横坐标就是三， 纵坐标就是 y 二。那么这种情况下，我们可以去求一下点 q 的 对称点 作它对称轴的一个对称点，这个时候这个地方的坐标，它的纵坐标一定还是 y 二。 因为点 q 和这个点是对称点，他们的纵坐标相同，那么他的横坐标也就是这个数加上三除以二是等于一的，所以这个点的坐标就应该是负一 y 二。 那么因为我们知道点 p 这个纵坐标一定是小于 y 二的，所以点 p 的 位置就只能在这个区间范围内，所以我们就应该知道 m 一定是大于负一且小于三的。那么第二种情况， a 是 小于零的，我们可以画出开口向下 对称轴还是 x 等于一，我们同样找到点 q 的 坐标，点 q 这是三 y 二找个大概位置做它的对称点，它的对称点同样的也是负一 y 二， 那么这个时候因为外一一定是小于外二的，所以外一一定是在这条线的下面这部分，那么这条线的下面部分这个这种情况下分两种情况，这种情况一种就是 m 一定小于外一， 或者是这边一种情况，那就是 m 一定要大于三，所以第二种情况是 m 小 于 负一，或者是 m 大 于三。所以做这种类型的题，我们一定要竖形结合和分类讨论。这道题你听懂了吗？听懂的记得和老师点赞和收藏。

之前我们学习了二次函数必须掌握的三大题型之最大利润和图形面积的最值。今天呢，我们继续来学习第三种抛物线形建筑问题。 好，我们通过两道例题来理解抛物线形建筑问题。第一，左图呢是一个抛物线形拱桥，拱顶离水面呢是两米。 那么问你啊，水面下降一米的时候，水面长增长了多少？水啊，水面宽增长了多少？那么增长是两边的啊。 好，首先呢，这类题，我们第一个在坐标系中建立抛物线形的图形，通过抛物线形图形，我们计算出它的解析式，好，一般是雷打不动，就是这种步骤。 那么这样呢，就是我们把这个图形包到了，搬到了坐标系中。那么有的同学会问，哎，我这个坐标往坐标系里放，我这个图形该怎么放零？零点在什么地方？那我们的原则就是怎么简单怎么来。我们来看一下， 抛物线的顶点是最简单的，就是你的对称轴和你的顶点为零，那么它的图形的顶点就在 x y 轴的焦点零的这个地方啊，这种就是最简单的。 那么我们把这个图形呢，顶点放到了 x y 交点的这个零点，那我们就能得出一个最简单的图形， y 等于 a x 平方，因为抛物线开口向下，那么就是 a 小 于零。 这种呢，它只有一个 a， 不知道，我们随便找一点代入就可以了，比如说把 c 点二二代入，那我们就能求得 a 等于负的二分之一， 这样我们就很容易能获得抛线型函数 y 等于负的二分之一 x 平方。接下来我们再来看第二位 说水面下降一米的时候，我的水面宽度，水深下降一米的时候，我的水面宽度增加了多少？那么 你水面下降的时候，水面的边缘依然是在抛线上，那我们只要把抛线的一点带入，那岂不深度就能得到了 啊？深度带入我们宽度是不是就能得到了？所以在这个地方呢，因为原先在 c 点，现在水面下降之后到 a 点，那我们把 a 点这一块的， 因为我们知道 a 点这一块的深度也就是 y， 那 么我们把 y 代入解析式，是不是我们就能算出一个 x 来，也就是 a 点的在 x 轴上投影的长度， 那么负三等于负的二分之一， x 平方，那我们解析之后就能获得 x 这一块的增加的宽度是右边，左右两边都增加，我们只看一边，那么一边增加的长度 或者宽度，那么就是根号六，也就是 a 点在 x 轴上投影， ax 减 c， x 右边增加的水面的宽度就是根号六减二，因为 a 点的投影是根号六， 而 c 点的投影是两米，那么一边有了之后呢，那水面增加宽度就是一边的乘以二， 那么最终呢，就是二倍的根号六减四米。在这道题里边，我们一定注意， 建立坐标系之后，在坐标系建立抛物线图形一定越简单越好啊，这是原则。好，我们再来看第二道 隧道的横截面积呢，是由抛物线和长方形构成的，那么长方形的 a、 b、 c、 o， 它呢是一个长十二米零到十二，那中心对称轴就是六米，高是四米， 那么我们把它放到坐标系里，因为这个已经把我们放好了，这样呢，给出的抛物线的解析式是， y 等于负的六分之一， x 平方加二， x 加 c， 那 么这里边不知道的常量只有 c。 好，第一问，写出该抛物线的解析式，那我们只知不知道 c 相当于说这个题呢，我们只要直接随便带入一节，带到这个解析式里边，我们是不是就能算出 c 了？ 好，我们把 c 等于零带入，就能算出 c 等于四。那么还有一种呢，我前面讲过 abc 与图形的关系， 大家有没有记着，就是这个图形里边与 y 轴的交点就是 c， 所以 从图形里一看，与 y 轴的交点是 c， c 是 y 轴的交点是四，那我们就知道哦， c 是 四，很容易就通过图形看出来。 好。第二问，一辆货运汽车载了一个长方形的集装箱，集装箱长高六米，宽四米。问，你从这个隧道里边能不能通过，能不能安全通过？好，我们画一个图形来看一下， 那么双车道我们的这个货运集装箱你只能从左边或右边，那么假如说我们现在就从右边来啊， 只要我不超过对称轴六，那我就在右边，你长呢？宽呢？是四，那对称轴是六，我右边的最宽的地方呢，那就是十 高的这个地方呢，只要我不超过六，是不是我就能安全通过了？那这样的话，就相当于说我们把 x 等于十，带到这个抛物线里边，算出这一点，你这一点只要比六大，我就能安全通过。好，我们知道怎么做了之后，我们就开始 列式子，那么它的顶点是是 x 减六 的平方加 x 加十，那么这个地方其实计算的时候我们不需要去计算顶点式，其很多计算我们是不需要计算顶点式，这个地方呢我们相当于说练习一下， 那么我们知道对称轴是六，你双车道，你宽是四，因此我只要取一边，那么取右边，那么 x 你 就是十，我只要把十代入的时候，我就能获得抛线的 y， 这一点 你是七点三，那就说明呢，你七点三比我的六， 比我的六米要高，就说明你这个地方呢是可以安全通过的。 好，这个呢就是我们今天练习的两道抛物线型建筑问题，如果大家有什么问题可以留言。

思南引路，难题不辄。大家好，我是思南老师。九上期末二次函数这块呢，有一类让同学们特别头疼的问题啊，就是我们的区间对值问题，那这期视频呢，思南老师就来教一下大家这类题目应该怎么去做。他说，二次函数 y 等于 s， 方减二 m x x 大 于等于负一，小于等于二的时候，他对应的这个函数值 y 的 最小值呢，是负二，让我们去求 m 的 值， m 现在是不是在二次函数的表达式中，对吧？好，然后呢，他现在是给了一个区间， 然后给了他的函数值的最小值是负二，让我们去求 m 的 值，那怎么去求呢？对吧？好，对于这类题目啊，哎，我们首先呢，要把二次函数图像先画出来， 目前我们已经知道，二次函数的 a 是 等于几的，是等于一的，是大于的，所以它开口向上，对不对？二次函数的图像画出来之后，找一下它的对称轴应该是多少呢？同学们，哎，对于这个一般式，它的对称轴是 s 等于负的二， a 分 之 b， 对 吧？ 好，等于负的二， a 分 之 b 往里一带二， a 是 几？同学们， a 是 一， b 是 负二， m， 对 吧？好，所以呢，等于 m， 好， 这是我们的对准轴找出来了，哎，在这好，现在呢，他又给了一个范围， s 大 于等于负一，小于等于二，然后他的最小值是负二，好，那么那这一段范围 是不是就是给了一个区间，对不对？那这个区间到底在这二次函数的哪一个部分呢？我们是不能确定。好，那所以呢，就有三种情况啊，好，我们来看一下啊。首先， 这段有没有可能完全在对称轴的左侧，那我们这种情况来看一下啊，目前的话，呃，他的左区间是几？是负一，右边呢？是二，对吧？这个时候二次函数的最小值在哪个地方取的？是不是在 x 等于二的时候取的，对吧？好，那所以，哎，我们就来 把情况写一下啊，当 x 等于二的时候，这个时候呢，我们 y 取的最小值。 好，同学们，这个最小值是多少？是不是把二往里一带就可以了，对吧？好，那二往里一带，也就是二的平方四减去二的四四 m， 对 吧，等于多少？等于负二，好，同学们，这个时候你算算 m 等于多少呀？ m 等于二分之三啊，好，那这个时候同学们，二 m 等于二分之三，我们能不能要？ 哎，能不能要？要看什么？同学们，你要看一下啊，现在你的 m 是 什么？ m 是 对称轴，对称轴在二的哪一侧？我们如果说按照第一种情况全部在对称轴左侧的话， m 是 不是应该比二还要大， 对不对？哎，所以第一种情况是基于我们 m 大 于二的情况下去做的啊，同学们，而 m 等于二分之三，是不是不在这个范围内， 对不对？所以我们第一种情况就要舍掉了啊。第二种情况的话，同学们，我们是不是，哎，这个一段区间呢？正好跨过了我们对称轴，好，这个时候呢，这这个地方是负一，这个地方呢是二 啊。这种情况的话， x 等于多少的时候取得最小值啊？同学们，这个时候你看一下，哎，一定要分辨。好啊，一定是在对称轴数取得最小值，好吧？好，这时候当 s 等于 m 的 时候， y 取得最小值，最小值等于多少？把 m 往里带，对吧？那就是 m 方减去二 m 方， 也就是等于负的 m 方等于多少？同学们，等于负二，所以 m 等于多少？同学们，哎， m 一 等于正的个方二， m 二呢？等于负的根号二。朋友们，这两个结果还是要思考一下，是不是都能要对不对？好，那这个时候我们要怎么考虑呢？还是这样的呢？现在对称轴是不是处于负一和二之间，对吧？好，那所以我 m 的 值就应该是大于负一小于二的， 对吧？好，那正根号二和负根号二哪个在这个区间内？所以，哎，我们就找到了第一个答案，是多少的呢？哎，是等于正根号二了啊？好，这是我们第二种情况。接下来再来看第三种情况，我们全部在对准左侧，已经讨论过了，然后快和对准也考虑过了，然后最后是不是在全部在对准左侧？ 六层，是吧？好，那就是第三种情况。同学们，在第三种情况的时候，这个时候，哎，这个地方呢，是负一，这个地方是二，这个时候当 s 等于多少的时候，取得最小值负一啊，负一， y 取得最小值 等于多少呢？是不是还是往里一带，对吧？好，负一的平方一，然后减去二 m 乘以负一，是不是加上了二 m 等于多少？同学们，等于， 对吧？好，那这个时候 m 解出来是等于多少呢？ m 解出来是多少？你们是等于负的二分之三，对吧？好， m 等于负的二分之三，这个结果能不能一样呢？还是要看一下这个 m 的 直径范围。八、目前 m 如果处于这个位置，我们整段都在对称轴右侧的话，那 m 是 不是应该比负一 要小的，对吧？而负二分之三是不是刚好也是就是比负一要小的，对吧？所以我们这个情况是可以要的啊，所以对吧？哎，我们综合来看，这三种情况的话，我们 求出来了一二三四个结果，但是只有两种情况是符合题的，对不对？哎，一个是 m 等于正的根号二，一个是 m 等于二分之三，所以这道题目答案就是 m 的 值为正的根号二或者 负的二分之三。朋友们，这是我们这道题目啊，好，那今天的区间最值问题呢？大家听懂了吗？ s 老师呢，还给大家一道同类的练习题，大家可以用我刚才教的方法来做一下这道题目啊，然后在评论区告诉我你的答案是多少。

已知二次函数对称轴与 ec 相交， p 为 ec 上方动点，求粉色面积是蓝色面积二倍时， p 点坐标暂停思考 二次函数。另外，等于零得到 e、 f 坐标，令 x 等于零得到 c 点坐标，配方得到 d 点坐标 b、 c 两点，确定其所在直线。解析式 q 横坐标为对称轴，代入得到 q 点坐标 做蓝色三角形的高，由 c d、 q 坐标得到蓝色三角形，面积为一，转换为求粉色三角形面积为二十。 p 点坐标含动点三角形面积，常做铅垂线，哪个顶点是动点过谁做铅垂线 得到粉色三角形面积为二分之一的 t 的 纵坐标减去 a 的 纵坐标，乘以 c 的 横坐标，减去 q 的 横坐标。推导过程为粉色面积等于绿色面积，减去黄色面积。 c 点 q 点坐标。已知舍 p， a 的 横坐标为 mp， 在 抛物线上用 m 表示其坐标， a 在 直线 e、 c 上也用 m 表示它的坐标。将各坐标带入粉色面积关系式，得到 e、 m 的 方程。 十字相乘解出两个 m 值，分别带入二次函数，得到两个 p 点坐标，右侧一个，左侧一个。下课。

前面呢，我们学习了二次函数的三种基本类型，基本上差不多了，今天呢，我们来看一下二次函数和几何的一个组合， 那么这类问题的难度其实不在于二函数，而是在于几何，你几何掌握的比较好的话呢，这类问题做起来就没有问题啊。好，今天我们来看一下这类问题怎么去解决，大家坐稳了啊。 那么我们说抛物线，它经过了 a c 两点，并于 x 交于 b 点，那么 m 是 它的顶点，直线呢？ a m 相交于 y 轴于 d 点。 我们先来看第一问，求抛物线的表达式，那么这个解析式里边呢， b c 不知道，而正好它经过 a c 两点，那么 c 点呢，就是抛物线与 y 轴的交点 是三，那就说明 c 是 三，我们直接就能获得 c 是 三，之后呢，他还经过 a 点，那我们把 a 点带进去之后，只有一个常数，未知数 b， 那 么这样的话，我们就能求出 b 等于二， 这样我们就很轻松的求出了他的解析式。我们再来看第二问 点， h 是 x 轴上的一个动点，那么这时候问你啊， h m 加上 h d 的 最小值， h 是 个动点，你看这种情况你能想到什么？是不是将军银马两个定点一个动点，那么我们遇到这一类问题的时候呢，就是一定要想着把两个动定点放在动点的两边， 那么或者把 d m 找一点放在动点的 x 轴的下边， 像这样，我们找到一个以 x 轴为对称轴做 d 点的对称第一撇，这时候呢，连接 m 第一撇 这条线段就是 m h 加 d h 的 最小值。好，具体接下来我们怎么做？ 首先呢， d 点我们得知道吧，这时候 d 点呢，我们不知道，但是呢我们知道 a 和 m 这两点，通过 am 这两点代入，我们就能求得一个一元一次方程， y 等于二， x 加二就是我们求的一元一次方程，它经过地点，地点是零二，我们代入之后呢，我们就知道地点， 就能获得一个地点零和二，这时候零地点知道了，那么第一撇点我们也知道了，那么它是零负二，第一撇点 m 点，知道两点之间的距离， 直接代入就能算出等于根号三十七。好，我们再来看。第三问， 若抛物线上的一个动点屁问你啊，在对称轴上是否存在一个 q 点， 使得 d m p q 这个四边形是平行四边形？问题，如果是平行四边形的话呢， q 的 坐标是多少？那么这一类问题我们猛一看呢，比较晕，但是我们想想四个点，如果我们四个点都知道啊， 这时候怎样去判定它是平行四边形呢？ 那么我们一般的做法呢，就是找点列坐标，首先四个坐标，接下来呢分组讨论 平行四边，要是平行四边形呢，我们可以用它的对角对角线 的中点重合，那么如果它的对角线的中点重合相等，我们列出这样的等式，那么就说明这时候它是平行四边形，就存在一个 q 点。 那像这种情况呢，我们就可以分为三种情况讨论， d p 和 m q 它是一段对角线，那么 d m 和 q p 是 一对对角线，或者 d q 和 mp 是 一种对角线，那么总共有三种情况，之后呢，我们在三种情况列等式较验，重复的点排除。 那么接下来我们来看一下，为什么基于对角线可以判定它是平行四边形的， 那么平行四边形里边，这是个平行四边形，它的 a c 的 中点 o a o 就 等于 o c， d o 就 等于 o b， 只要这个四边形，它的对角线重合，对角线的中点重合，就说明它是平行四边形。 好，那我们就以 o 点来列平衡等式。那么 o 点呢？ a x 加 c， x 的 一半，那么就等于 d x 加上 b x 的 一半， y 也是一样的，那么都除以二的话，我们进行化简之后呢，就是说 a x 加 c， x 就 等于 d， x 加 b x， 同时 a y 加 c， y 就 等于 d， y 加 b y。 好， 这个呢，就是我们要用的平行四边形对角计算式。 好，我们再回到原题， p 动点， h 动点四个点四边形， 这时候呢， q 点 x 是 一，那么 y 轴我们设为 n p， 因为在抛物线上 x 为 m 的 时候，它的 y 就 负 m 平方加二， m 加 c， 那 么四个点呢？现在呢，都有了对角线相互平分，交点重合来列等式，分三种情况，讨论四个点分三种情况， 第一种情况， d p， m q， d p 这个对角线和 m q 这个对角线， 它的中点重合，那我们四个点找它中点还不容易。 x 等于 x， y 等于 y， 列等式，我们就能算出 n 等于一，那就说明存在一个 q 点 一一的时候呢，使得它四个点， d， i， d p， m n 为对称线的时候呢，它就是一个平行四边形。那么第二种情况，我们用 d m， d， m， q p 认为它两个是平行四边形的对角线。列等式算出 q e 三存在一点，使得四边形呢是平行四边形，那么在相同的方式验证第三种情况， d q， d q 和 m p 也存在一点 q 一 五，这一点使得四个点成为平行四边形。因此呢，通过上面我们就能获得 使得 d m p q 为顶点的四边形。是平行四边形的时候存在点 q， 那 么 q 点 q 呢？是一三或者一一或者一五？是或者啊，只能存在一个点。 好这种。这道题呢，相对而言是比较难一点，因为初中呢，几何是比较难的，其实你几何学明白了，相对而言就简单很多了。 好，这道题呢，大家如果还有什么疑问，后边呢，就给我留言。好，今天就到这里，下次呢，我们开始圆的学习。

解一题得一法，今天给大家分享一道九年级的这个二次函数相关的一个计算性的问题啊。好，下面我们来看一下例题， 他说抛物线 y 等于负 x， 方加 x 加二，与 x 轴交于 a b 两个点，然后与 y 轴交于点 c， 因为抛线解释告诉了，那么很明显我们这个 a、 b、 c 三个交点的坐标啊，是可以求出来的。那么这里呢，我们就直接写一下啊，你看这个 b 点呢，很明显它应该就是二逗号零了，然后这个 c 点的坐标呢，就是零逗号二 啊，当然 a 点也可以求出来啊， a 点也可以求出来。好，另外呢，他说平行于这个 b c 的 一条直线 m n， 交抛物线于 m n 两点，然后直线 m c 还有 n b 又交于点 p， 最终要求这个 p 点的横坐标啊，求 p 点的横坐标。好，那么今天这个题目啊，我们首先用一个常规的这一个点餐或者现餐的这个方法，来通过计算来求一下这一个 p 点的坐标啊，来求一下 p 点的坐标。 哎，那么具体的我们看一下，因为要求 p 点坐标，我们就会发现 p 点它是 mc 和 nb 的 交点，所以我就先要求 mc 和 nb 的 这个直线， 而要求 mc 和 nb 的 直线，那么 c 点和 b 点知道，那还有 m 点和 n 点呢，所以这个里面，我们第一步可以采用一个点参的方法，也就是用参数来把这个 m 点和 n 点给它假设出来 啊，那我们就按照这个思路啊，来写一下啊，这一个，哎，分析的过程。好，我们看一下。 首先已知点我们刚才已经求出来了，我们快速的写一下，那就是由这一个 y 等于负 x 的 方加 x 加二啊，可以得到 这一个 b 点的坐标是二，逗号零，还有 c 点的坐标零，逗号二，那这个时候我们再来设这一个 m 点的坐标，给它设一个参数，假如说它的横坐标是 m 啊，它的横坐标，我们把它表示为 m， 那重坐标呢？大家解释就是负 m 的 平方加上 m 加二，同样的道理， n 点的坐标呢，欸，把它的横坐标设为 n， 然后重坐标就是负 n 的 平方加 n 加二。 好，那么你看这个已知点求出来，未知的点，我们就设参啊，设参，哎，这就是点参的方法。好，那么有了点之后，我们接着呢，就可以求得这一个直线 啊，第一个是 m c， 它的解析式啊， m c 的 解析，那么这个求解析式的过程呢？我们肯定还是用待定系数法啊，哎，比如说 c 点是零到二，然后 m 点的坐标嘛，用依次函数解释这个过程，在这里我就不写了啊，我们就直接写出来， 哎，它的结果应该是，哎，负 m 加一，括号 x 再加二，这个是直线 m c 啊，好，那同样的道理，还有一个直线这一个，哎， n b， 那也是一样的，我们用 n 点坐标以及 b 点坐标啊，来把这个解释给它求出来，好，那这个解释呢，也是用代入系数法算出来 y， 它应该是等于 负的 n 加一，括号 x， 然后再加上一个二倍的 n 加一啊，二倍的 n 加一，这是 m c 和 n b 的 解释求出来了。 好，那么这个时候我们显然要表示 p 点坐标，那就要把这两个给它连立，对吧？把这两个方程给它连立啊，那我们就把它连立成一个方程组， 上面的 y 等于负 m 加一，括号 x 加上二倍的 n 加一。 好，把它连逆之后，那我们就可以把它这个方程，因为这是个一元一次方程，肯定可以解出来啊，解得我们的这个 x 也就是 p 点的横坐标， 只不过这个时候我们解出来，很明显要用含有 m n 的 式子给他表示出来啊，给他表示出来，那么这个表示出来的结果呢？应该是 n 减 m 加上二分之二 n 啊，这样一个式子。 哎，那这个很明显，我们现在这个 p 点，它表示出来这个结果是含有 m n 参数的，那我们这个题目要求 p 点的坐标，那显然是要把 p 点给算出来才对，对吧？要算出来才对， 那怎么样去算呢？那说明我们还要找到 m n 的 关系，那这个时候我们就要用到平行于 bc 的 这个直线的这样一个条件 啊，那我们刚才是设点，那么接着我们可能就要设直线的解释，同样的还要设参数。好，那么首先先把 b c 的 解释求出来啊，然后我们有这一个 b 点的坐标 二，逗号零，还有 c 点的坐标零，逗号二，可以得到这一个直线。 哎，这一个 b c， 它应该是 y 等于负 x 加二， 那这样一来，因为我们的 b c 是 平行于这一个 m n 的， 那这里面要利用一个直线平行的关系啊， b c 平行于 m n， 那 所以我们不妨就设直线 这一个 m n 的 解析式，那就设为 y 等于负 x 加 b。 好， 注意这个地方，我们为什么把它设成负 x 加 b 呢？因为我们知道两个直线平行的时候，这个依次函数啊，它这个直线的这个 k 值是相等的，你看这里是负 x， 所以 这里是负 x 嘛，哎，那这样它就只有一个参数 b， 那么同样的方法，我们还是要连立这个直线跟这个抛物线啊，那我们再一次的连立， y 等于负 x 加 b， y 等于负 x 的 平方，然后加 x 加二， 那这个时候就得到个一元二次方程，也就是 x 的 平方，应该是减二 x， 然后呢，再我们看一下啊，然后再就是加上 这一个 b 减二，它等于零，那这个方程两根呢？它显然就是 m 点和 n 点的横坐标，是不是？哎，那所以 我们就可以得到，哎，这一个 m 加上 n， 两根之合嘛，就等于二 啊，你看两根之合等于二，当然两根之几也可以求出来，它等于 b 减二，但是这个里面我们不需要求了，因为有了 m 加 n 等于二之后，那我们的 m 它就等于什么？就等于二减 n， 那这个时候我们再将它带入这个 x p 就 可以算出来了，你看 带到下面来的话， m 等于二减 n， 那 么下面呢，那就是 n 减去括号二减 n， 然后再加一个二，上面是二 n， 那 这个时候下面刚好是什么？ 也是二 n， 那 么所以它就等于一了，这样我们就把这个 p 点的坐标给求出来了。 好，那么以上的这个过程呢，其实最关键的就是我们的计算啊，我们的每一步计算都不能出错，你比如说这个计算，这个解释算解释，包括这里解方程求解的坐标，你看一步、两步、三步， 对吧？包括这里的。哎，这个方程这次也是一个计算啊，那么到最后的代入，他始终这是计算，那么每一步计算都是不能出错的啊，都是不能出错的，那么我们的技巧方面，那就是哎，要注意我们就设餐的方法，就是设这个点， 然后把解释求出来，然后这里嘞，但是 m n， 我 们求 m n 的 解释的时候嘞，我们哎就没有用这个 m 点和 n 点来代替系数法，又用 m 点 n 的 这个参数来求， 如果用 m 点 n 的 参数来求这个解释会比较复杂，那么计算比较复杂，我们就利用了这个平行关系啊，那么这个时候你看我们得的这个一元二次方程就简单一些，然后就是要灵活的用根与系数的关系， 你看这个 m 加 n 等于二，它就是通过这一个来进行一个消餐嘛，实际上就把我们前面设的参数消掉，这样也把它求出来。好，那么以上就是关于这个题目的一个常规的方法， 但是如果说我们这个题目啊，哎，掌握了抛物线当中的一个平行弦的这样一个知识点啊，我们看一下平行弦的一个知识点，也就是我们能够掌握一个平行弦的性质， 当然这个平行弦的性质在我们的课本上是没有的啊，这个我们也是通过刚才的这个常规方法推导出来的一个结论， 就是如果我们有这一个 b c 平行于这个 m n 的 时候啊，有这样一个条件，这其他的就是 b c 是 抛物线上两点， m n 也是抛物线上两点，如果它们平行的情况下， 我们就有这样的两组结论啊，第一组结论就是我们的 x c 加上 x b 就 等于 x m 加上 x n， 那也就是说 b c 两个点的横坐标的和，就等于 m n 两个点横坐标的和。这是第一个很重要的结论。 那第二个很重要的结论就是我们这个题目的模型就是 m c 和 n b 又交于点 p 的 话，像这个图当中，那我们就可以直接得到这个 x p 其实就等于二分之 x m 加上 x n， 它也等于二分之 x c 加 x b。 好， 那这样一来，你看我们的 x c， 它是等于零，对吧？我们的 x b 已知啊，它等于二，对不对？那你看，用这个方法我们就可以快速地算出来 x p 就 等于一， 是吧？当然这是建立在我们对这个平行弦的性质啊，哎，他能够熟知的情况下，我们就可以快速应用，但是这个性质的得得出来还是有这个常规的，哎，这个方法计算方法推导出来的 啊，这就是今天我们这个题目哎，给大家分享的一个方法，接下来我们归类一下啊，对，这个题目归类一下，那么首先这个题目用到的一个知识点肯定还是最基础的二次函数的解释，哎，包括求焦点，求解释的这个计算啊。第二个就是我刚才重点讲的这个平行线的性质 好，那么具体的计算的过程当中，我们说在点餐和现餐就是，哎，要么设点啊，要么设点，要么设限，哎，我们通过设参数，你看这里是设限，这上面是设点， 然后呢？哎，再就是第二个关键点，就是要灵活的应用，根据系数的关系来进行消残啊，来进行消残，达到最后求出的这个坐标啊，这样一个结果。好，那么这个题目就讲到这里，希望对大家有所帮助啊。

二次函数是整个初中初三当中非常重要的一个环节，他在整个中考中占的比重大，最后遇到幺九题，定考二次函数 啊，然后呢，他的填空题、选择题，他都会有二次函数，而且不止考一道，会考多道，所以二次函数在整个中考中的比例会很大。 并且呢，二次函数它会结合跟之前我们学过的一次函数啊，跟我们之前学过的三角形啊，都会能够结合，所以二次函数它会花大量的时间来讲。我们讲完这个二次函数的前面的这个基础数之后，我们后面会再给大家讲专题 啊，就是，也就是我之前给你们讲过的二次函数的存在性问题啊，二次函数的最值问题啊，这些全部都是中考当中最后压轴题的三个三大题型之一。好，所以我们会要一定要重视哈，那像这种题呢？将这个题型呢？其实在这个我们二次函数抛物线当中，它其实就属于常规题，它不是基础题啊，但它属于常规题， 我们怎么来看？首先第一个，当你看到这句话的时候是什么意思？二次函数与 x 轴有两个交点， 我们正常话开口向上来与 x 左右两个焦点，是不是这个地方？这个比如说是 x 一， 这个是 x 二，是不是这两个焦点？那么这两个焦点的距离是六是什么意思呢？意思就是说 x 二减去 x 一 等于几啊？等于六，那我们说这个表达式我们不太会表达，怎么办呢？我们直接来个平方就好了， 平方等于三十六，为什么要平方呢？因为我要平方，我的目的是为了用什么？用韦达定律来， x 一 加上 x 二，括号的平方减去四倍的 x x 二， 这个是不是我们要知道的哎，然后等于什么？等于三十六？好了，到了这边之后，我们开始用什么？用韦达定律哈，那么 x c 加 x 二是负 a 分 之 b， 记住是负 b， 也就是负 b 的 平方减去四倍的 x， c 乘 x 二呢？ a 分 之 c 除以 c， 那 就是四， c 等于三十六。好了，我们就得到的一个关系就是 b 方减去四， c 等于三十六，这是第一个条件啊，第二个条件，那就更简单了，对称轴是 x 等于三，我们都知道对称轴的公式是什么， 对称的公式是什么呀？是 x 等于什么？负的二 a 分 之 b， 那 这个地方的 a 是 一，对不对，所以就是负二分之 b 啊，负二分之 b 等于谁啊？等于三，所以我们的 b 等于几啊？等于负六，那 b 等于负六，带到这个里面来呀，结果发现三十六减去四， c 等于三十六， 所以 c 等于角， c 等于零啊，所以这样的话呢，这个函数啊，就变成 x 方减去六， x 就 这么一个函数，那这个函数啊，它的顶点坐标会不会求啊？ 顶点坐标会不会求？很简单吧，这个顶点怎么求？ x 轴对称轴是三，我们把这边擦掉了啊， 来， y 等于 x 方减去六， x， 来，我们来给它做一下配方，应该加几加九，再减九，对不对？然后就变成了 x 减三的平方，再减去九，所以它的顶点坐标就出来了，是谁？ 三，哎，顶点坐标是三负九，对吧？那么这个顶点关于 x 轴的对称轴横坐标是负九，这个点是三负九，对不对？ 关于 x 轴啊？同学们，关于 x 轴的话是不是这样子对称过来？所以这个点这边好，这边是三，这边是九。

大家好，我是思南老师，我们学期啊马上收尾了，咱们呢也正式进入了期末和中考的核心复习阶段了。二次函数压轴题里边的面积问题呢，是拉开我们分数的重中之重，很多同学呢，一碰到就卡壳， 其实呢，这类题的方法呢，也很简单，今天老师就把解析思路和技巧全讲透，帮助大家稳稳拿下这块分值。好，首先我们先来读题 图，这个抛物线呢， y 等于负二分之一， s 方减 x 加四，经过 a、 b、 c 这三个点， b 点的坐标呢，人家已经给你了，是负二，逗号四。然后呢，哎，直线 a、 b 与抛物线的对称轴呢，交于点 e， 然后点儿 m， 同学们，点儿 m 在 直线 a、 b 上方的抛物线上运动，所以同学们，它是不是只能在这段上运动，对不对？只能在这个直线 a、 b 上方的抛物线上运动啊？好，现在让我们求的是当三角形 a、 b、 m， 好， 我先假设 m 在 这儿可以吧？ 好，我把这个 a、 b、 m 的 三角形给你画出来啊，是不就是这样一个三角形，对吧对吧？ a b m 啊，好，当 a、 b、 m 的 面积最大的时候，求点 m 的 坐标，对吧？这个时候怎么去求？哎，这个时候呢，就要用到我们前面所讲的那个方法，叫做 呃铅垂法，求三角形的面积。好，那首先呢，我们现在把这个题目中的一些呃条件先都给它求出来啊，首先，这个抛物线人家是不是已经给你了，是 y 等于负二分之一， s 方减 x 加四，对吧？ 好，然后呢，经过 a、 b、 c 三点， b 点的坐标给你了，那 a 点和 c 点的坐标我们先来求一下，不管说后面能不能用到，我们先求上，好吧，同学们，那老师就写这里了啊，怎么求 a 和 c 点的坐标？我们是不是令这个抛物线的 y 等于零，因为它是与 s 轴的交点，对吧？好，我们令这个抛物线的 y 等于零的话呢，就是负二分之一 x 方减 x 加四等于零，好，然后呢，通过一式分解，哎，老师在这里就给大家求了啊，同学们，我们求出来 x 一 等于多少呢？等于负四， x 二等于多少呢？等于二。所以我们 c 点的坐标是不就求出来了，是负四 多少零，而 a 点的坐标是不是就是二多少零，对吧？哈，同学们，那我们现在图中把它标注一下啊， 二多少零和负四多少零，好，现在呢，嗯，还有一条直线 a b， 直线 a b 的 表达式，怎么求呢？设 a b 为 y 等于 k， s 加 b， 然后呢，将我们 a b 的 坐标往里一带，就可以求出来了，对不对？同学们，好，那在这里呢，老师就给大家列一下式子啊，哎，首先呢，把 b 往里一带，那就是 四等于负二， k 加 b， 以及我们的零等于二， k 加 b， 对 不对？好，哎，求出来之后呢，我们的 k 等于多少呢？等于 负一， b 等于多少呢？同学们， b 等于二，好，这个就是我们呃，求出来的配合 b 啊，那所以直线 ab 的 表达式 y 等于负 s 加二啊，好，现在人家要求的是三角形 abm 的 面积是最大的。 老铁们，来看一下 abm， 它是一个斜跨在这个平面直角坐标系中的一个三角形，对不对？哎，那在前面老师也给大家讲个方法啊，就是利用铅垂法求三角形的面积，好，铅垂法求三角形的面积的要点是什么，对不对？我们首先要过 上面这个点，哎，做一条与外轴平行的线对不对？好，我们做 m n， 那 在这里就直接先用实线给大家表示了啊，过点 m 做 m n 平行于外轴交 a b 与点 n。 好， 这句话呢，就不说了啊，直接就给大家表示出来了。好，那这个时候同学们，我们这个三角形的面积 哎，他要求三角形的面积最大，我们是不是要先表示出来这个三角形的面积的？呃，他的一个式子是什么，对不对？好，来看一下怎么去表示 s 三角形 abm 呢？ 哎，铅垂法求三角形的面积是二分之一的水平宽乘以铅垂高，对不对？水平宽是谁？同学们，是不是 x a 减 x b， 对吧？好，铅垂钩是什么？哎，是 y m 减 y n， 对 吧？好，转来了啊，哎，就相当于我们铅垂法求三角形的面积啊，就相当于是把求三角形的面积转化成了求减的坐标了，对吧？好，这个时候同学们， a 点的坐标你知道， b 点的坐标你也知道，然后 y m 跟 y n 怎么去看呢？哎，这个时候同学们，我们来看一下啊，你会发现 m 和 n 呀，是一个动点对不对？ n 是 随着 m 的 运动在动着的，那这个时候同学们，我们要观察一下 m 跟 n 之间有什么样的联系，你会发现 m 和 n 呀，它俩什么一样啊？同学们，它的横坐标是不一样的，对不对？好，那这个时候同学们怎么去做？哎，我们就设我们 m 的 坐标，横坐标设为 t。 好，这边思考一下啊，我如果说把 m 的 横坐标设为 t 了，那它的纵坐标怎么去表示？哎，有同学说，老师，这个好像不能表示来，同学们，它确实不是一个确切的数值，因为本身它就是动的，对不对？但是你看一下啊， m 是 不是在我们的抛物线上， 对吧？好，那我们 m 的 横坐标设为 t 的， 它的纵坐标是不是可以往抛线里一带就可以了，对不对？虽然说它有点麻烦啊。负二分之一的 t 方减 t 加四，对吧？好，你们 m 的 坐标我已经设出来了，那 n 点的坐标怎么求？ 哎，你们发现 m 和 n 是 横坐标相等的，对不对？好，那 m 的 横坐标我设为 t 之后， n 的 横坐标是不是也是 t？ 那 n 的 纵坐标怎么去求呢？ 哎，你会发现我 m 在 抛物线上，我就是，呃，设出来横坐标之后，往抛物线里一带得出来它的纵坐标，那 n 点在谁上面？ n 点是在一次函数坐标上面，对不对？我把 n 点的横坐标设为 t 之后，它的纵坐标是不是往往一次函数表达式里一带就可以了，对吧？就是我们前面所求的这个 a b 的 表达式了啊，那所以 我们这个 n 点的纵坐标往里一带就是负 t 加二，对吧？好，同学们， m n 都求出来了，那这个时候 y m 减 y n， 我 们是不是就能求了？是不是就是我们 m n 的 这个线段长呀？同学们， 对吧？好， m n 呢，就等于 y m 减 y n， 因为这个地方它是已经确定了 m 在 上 n 在 下了啊！同学们，好，那 y m 是 多少？是不就是我们的负二分之一的七方减七加四，对吧？那 y n 呢，是不是负 t 加减去负 t 加二，那就是加 t 减二，对不对？同学们，我们稍微的整理一下啊，负二分之一的 七方加二。好，这是我们 m n 的 长尾，已经求出来了啊！好，那接下来同学们， 三角形 abm 的 面积 s 三角形 abm 二分之一的 x a 减 s b， 怎么求？ x a 是 多少是二？ s b 呢？是负二，对不对？同学们，那直接往里带了啊， s a 减 s b， 那 就是二减负二是不是四，然后再乘以我们的这个负二分之一 梯子二，也就是负的梯方 加四，对吧？好，那 abm 的 面积我们发现表示出来之后，刚刚好是一个开口向下的二次函数，对不对？好，那求它的最值，你是不是就会求了？好，开口向下 对称轴是多少对不对？对，成轴 s 负二分之 b， 哎，你会发现正好是等于零，对吧？哎，所以对称轴是等于零。所以这个题目就是，当 我们的 t 等于零的时候，这个 s 三角形 a b m 最大，最大达到多少？同学们，达到四，对吧？好，但是你们看一下啊，题目中让你求的是什么？求的是点 m 的 坐标，那 你看屁股都求出来了， m 的 坐标我会不会求？是会的，是吧？好，那所以朋友们，往里一带，你会发现 m 点的坐标呢，就是多少零多少，往里一带零，往里一带是不是就是四，所以 m 点的坐标就乘出来了是零多少四。 老铁们，这是我们这道题目的一个解析思路，以上的这个问题呢，我们二次函数的压轴问题啊，就给大家彻底搞定了，我是三老师，日常分享数学干货，关于二次函数的面积问题，大家还有什么疑问，欢迎打在评论区。

好的，咱们看一下九年级亚洲真相的第二十六讲，这是一道家长啊问的题目啊，他也是二零二四年连云港中考的亚洲题啊，他说在平面直角坐标系里面有一个抛物线啊，当然 有 a 和 b， a 是 大于零的。第一问，他说，若抛物线交 x 轴啊，与 a、 b 两个点，求对应的函数表达式啊。第一问来说呢，相对来说还是比较简单的，咱们将这个 a 点坐标负一到零，还有 b 点坐标四到零啊，分别带入这个 抛物线就可以了啊，分别代入，咱们最终解得呢，这个 a 呢，是等于四分之一的， b 呢，是等于负四分之三的，所以这个解式就比较清晰了啊，就是 y 等于这个四分之一， x 方减掉四分之三， x 减一啊。好，咱们看一下。第二问啊， 他说，如果如图，当 b 等于一的时候，过点 c 啊，然后呢，还有点 d， 分 别做了 y 轴的平行线啊，做了两条平行线，然后这两条平行线呢，将抛物线分别于 m 和 n， 然后呢，连接 dm， 连接 m n， 让你求证 md 是 平分了角 c， m n， 也就证明这两个角相等啊， 那么证明这两个角相等，现在来看没有什么特别好的办法，对吧？但是呢， m 和 n 的 形成呢，都是 c、 d 啊，做平行线构造的，所以 m 和 n 的 横坐标和 c、 d 的 横坐标都是一样的，并且 m、 a 都在抛物线上，所以呢，我们可以适当的先写一下这个 m n 的 点坐标对不对？ 那么因为这里 b 等于一呢，所以这个函数边际式它就变成了 a x 方加上 x 减一，显然因为这个 c 呢，这个 c 点的坐标是负一负 a， 所以 我们能够得到 m 点的横坐标是不是也是负一啊？我们把负一带进去的话，就会得到这个 m 点的纵坐标，是不是就是 a 减二了？ 同样的，因为点 d 的 坐标呢，是一逗 a 加二倍的根二，所以呢，这个点 n 的 横坐标是不是也是一啊，对不对？那它的纵坐标是多少呢？那是不是就变成 a 了呀， 对不对？好，这里有平行线啊，那么我们通过或者观察到，如果题目当中有平行线，咱们第一反应肯定说要找同位角呀，或内错角呀，或者同旁内角这类的，对不对？或者 在复杂的题目当中结合题目当中可能会找一些 a 字形啊，八字形的相似啊，那么我们要正的是 dm 平分这个角，无非也是这个角和这个角相等，对不对？因为这个平行嘛，这两条线平行嘛，所以这个角是不是和这个角是相等的呀， 对不对？假设这个角是阿勒法的话，那这个角是不是也是阿勒法？那这个角是，我只要正这个角，阿勒法和角贝塔相等就可以了， 对不对？那我们正这两个角相等，无非就是正 d n 和 m n 这两条线段相等就可以了，对不对？所以我们可以表示一下 d n 的 长度和 m n 的 长度啊。那么在这里咱们利用一下两点间的距离公式，当然 d n 这里我们是用不到的，直接用 d 的 纵坐标减掉 a 的 纵坐标就可以了， 那么就是 a 加上二倍的根二，减掉 a， 它就是二倍的根二。同样呢，我们可以用两点间的距离公式表示一下 m n 的 长度，因为在这里呢， m 和 n 的 坐标我们都表示出来了，所以它就等于根号下横坐标减横坐标平方，加上纵坐标减纵坐标或 y 的 平方， 对不对？是不是我们通过整理之后，它也是二倍的根号呀？所以这里我们能够得到 d， n， 它和 m n 是 相等的，所以我们能够得到角 m， d， n， 它是等于角啊， d， m， n 的， 对不对？然后呢，又因为这个 c， m 呢，是平行于 d， n 的， 所以我们能够得到角 m， d， n 呢，它是等于角 c， m， d 的， 从而我们就证明了，所以角 c， m， d 啊，它就等于角 d， m， n 了，从而这个 就 dm 就 平分了这个角 c， m， n 啊，那么咱们来看一下第三位啊，他说当 a 等于一， b 小 于等于负二的时候，过直线的一个点啊，这个直线还是有 x 的 范围限制的啊，过直线上的一点 g 做 y 轴的平行线， 交抛物线于点 h， 他 说若 g h 的 最大值是四，求一下 b 的 值 好，那么这个题目呢，这里的 a 呢，已经给出来了，所以这个函数呢，他就变成 x 方加上 b， x 减一了， 对不对？我们先不管一次函数，我们先看一下二次函数啊，这是一个典型的二次函数，开口向上是吧？咱们研究二次函数，无非三个要素，要么是开口是吧？然后呢？啊，顶点坐标，还有对称轴，那么我们可以研究一下他的，看一下他的对称轴嘛。 他说对称轴，根据对称轴的公式， x 等于负的二， a 分 之 b， 是 不是就等于负二分之 b 啊？题目当中告出告知了，这个 b 呢，是小于等于负二的，所以我们可以得到它的对称轴，是不是 x 一定是大于等于一的，这里能不能理解 啊，就是一个减不等式的问题啊，那可以呢，那这样的话，我们可以先画一下这个草图啊，那么这个图像呢，大体是这样子的啊，咱们先根据这个草图，咱们分析一下，他说过点过直线 y 等于 x 减一啊，那这个直线也是非常清晰的，对不对？ 那么显然 y 等于 x 减一，我们的这个直线也可以画一下啊，这两个函数的图像呢，大体是这样子的，他说在 x 大 于等于一，小于等于三的时候啊， 在这里面有一点 g 啊， g 在 哪里？不知道，假设在这里吧，他说过点 g 呢，做 y 轴的平行线，做 y 轴的平行线，交抛物线于点 h 啊，那么这里我们就要发现一个问题了， 因为这个我们不确定三在哪里，所以我们也不确定 g h 谁在上谁在下，对不对？所以呢，这里呢，我们需要把这个二次函数呢和 一次函数连立一下啊，看看这个点的横坐标到底是多少，也就是说问题是看这个 h 和 g 到底谁在上，谁在下面，这里能不能理解， 因为如果 g 点在这个位置的话呢，他的这个 h 就 跑到上面去了，那么应该 g h 的 最大值应该是 g 的 纵坐标减掉 h 的 纵坐标，那如果在一到三这个范围内， g 在 上面的话，那就是 g 的 纵坐标减掉 h 的 纵坐标，对不对？所以呢，我们把这个二次函数呢和一次函数连累一下啊， 连累之后呢，我们可以解一下这个方程组的两个根啊，一个 x 一 呢，是等于零的，一个 x 二呢，是等于一减 b 的 啊，已知分解解一下就可以了，因为题目当中告知了说 b 小 于等于负二，所以呢，这里这个因为这个，因为这个 b 小 于等于负二，是吧，所以我们可以得到 x 二，它一定是干嘛的，是不是大于等于三了， 从而在一到三这个范围内， g 点一定是在 h 的 上方，这里能不能 理解啊？ g 在 h 的 上方，所以呢，这里呢，我们可以设一下点 g 的 坐标，来表示一下 g h 的 长度嘛， 是吧，那么我们设点 g 的 坐标呢，是 t， 然后呢，它的横坐标是 t， 那 重坐标，因为它这个点 g 呢，是在这个直线上，所以它是 t 减一啊，那从而因为这个 h 和 g， 它是平行于 y 轴的，所以它的横坐标是不是也是 t 啊？那重坐标是不是要带到这个解析式里面？抛物线的解析式里面啊，就是 t 方加上 b t 啊，减掉一，那从而 g h， 我 就能表示出来了，那 g h 的， 那就是因为 g 在 上面啊，所以是 g 的 重坐标，减去 h 的 重坐标啊，整理一下，它就变成了负的梯方啊，加上啊，一减 b 乘以 t， 当然这里的 t 呢，是有取值范围的， t 呢，是大于等于一，小于等于三的，显然在这里呢，我们得到了 g h 啊，关于 t 的 一个新的二次函数，当然 t 呢，是有取值范围的，也就是研究这个 g h 在 这个取值范围内的， 在这个取值范围内的一个区间最值。问题啊，那么我们既然要研究二次函数，无非还是三要素，是吧？ 啊，这个开口对称轴还有顶点坐标，那么因为题目当中给出来了 b 的 取值范围，其实这个对称轴呢，我们也可以算出来它的范围，因为对称轴是负的二， a 分 之 b， 对 吧？也就二乘以负一分之一减 b， 对 不对？因为这个 b 呢，它是小于等于负二的，所以我们能够得到 t 的 范围， 它是大于等于二分之三的右边，那么一在这里 对不对？那，那三在哪里？我们是需要讨论的，对不对？因为三的位置不同，或者对称轴和三的位置不同，我们取得的最大值也是不一样的，但是这里呢，我们只分两种情况了吧， 对不对？就是当对称轴在三的左边和对称轴在三的右边，就这两种情况，对吧？对称轴在二分之三到三之间和对称轴在三的右边，就这两种情况。那么第一种情况就是，当这个对称轴二分之一减 b， 他 是在二分之三啊 和三之间的时候啊，在此时就是 g 呢，在这里呢， b 呢，是大于等于负五，小于等于负二的，这时候的函数图像呢，应该是这样子的，对不对？那么我们要研究它的最值情况，是不是这一点函数图像呢，它对应的函数图像 啊，就这么一点点，对不对？那显然最大值是不是啊，当 x 等于啊对称轴的时候取得呀， x 等于二分之一减 b 时， g h 取得最大值，它是等于四的啊，所以呢，我们把这个 x 等于二分之一减 b 带到抛物线里面就可以了。最终呢，我们解得 b 一 呢是等于负三的， b， 二呢是等于五的， 那么不要忘了，我们是在这个范围内去讨论的，一个取的范围， b 的 一个取的范围啊，所以在这里这个五显然是不符合题意的，我们需要舍掉啊。那么第二种情况就不是大于三了吗？ 就是当二分之一减 b， 它大于三的时候，那么此时呢，小于负五的时候，也就是这种情况下呢，我们可以把这个图像呢大体稍微画一下啊，那么三是不在这里，一在这里，那么它对应的函数图像啊， 就这一部分，那么显然是当 x 等于三的时候啊，当 x 等于三的时候，那么 g h 取得最大值是四吧，所以我把三带进去就可以了。我们解得这个 b 呢，是等于负的三分之十，还是那句话啊， 我们讨论的范围是在 b 小 于等于 b 小 于负五这种情况下去讨论的啊，所以这个结果肯定是不符合题的，所以最终这个结果我们也是需要舍掉了，所以最终啊，中上是吧， b 呢，是等于负三的啊。

最近我们初三的同学正在学习二次函数，很多同学遇到了这个一个困难，那就是综合题当中啊，一些如面积问题啊， 啊，还有对值问题啊，还有其他的啊，这种我们该怎么去解决？那么下面我们就来给大家啊，解决这个问题，我们给大家介绍几种 基础性原理的这个二次函数答题思路，那么这些基础性原理掌握之后啊，综合题呢，同学们就可以快速解决了。第一个啊，牵垂法， 如图，在平面直角坐标系当中啊，我们看到有 a 点和 b 点啊，两个点的啊，这个抛物线顶点呢，在 x 轴上，正半轴。 呃，然后我们观察发现啊，它这个图像啊，咱们这个抛物线的图像啊，它的顶点 在 x 轴上，说明什么呢？说明我们的顶点坐标它是 零啊，就是纵坐标为零，于是乎我们就可以设啊，设顶点坐标啊，那可以把它设成这个 m 零，那这样子呢，我们根据顶点啊，可以设顶点式 啊，设 a 倍的括号， x 减 m 的 平方啊，由于纵坐标是零，那后面，后面的话就不要了啊，后面就不要了。 好，然后呢，我们将 a 点还有 b 点代入啊，就可以得到啊， y 是 四啊， x 是 零。 好，这样子呢，我们同学就可以通过草稿啊，去进行计算啊，那这边的计算呢，不是很复杂啊，我们留给同学们自己算，那这边的话，我已经算好了， 那我们算出的 a 是 一， m 的 话是二。好，那这样子呢，我们的表达式就有了。 好，那么根据这个表达式呢，我们可以立马解决啊。第二个问题， 那就是 c 点的坐标对吧， c 点就是我们的顶点了，那就是二零。好，第三条，它说 p x 在 线段 a b 上的一点 线段 a b， 我 们可以发现啊，它是一条有限长度的线 啊，所以说 p 点它的运动范围呢，就被限定了。紧接着我们又看，紧接着我们又发现什么，他说 x 啊，他说这个 x 呢，只能在一到四之间，那我们可以通过题目的 a b 两点坐标啊，发现，那 a 点的横坐标是零，而我们 b 点的横坐标呢， 它是五，说明呢，线段 a b 给我们在 x 轴上的限定范围是零到五，而它给我们限定的范围是一到四，说明什么呢？说明题目给的这个范围啊，更小了一点啊，更小了，我们可以给大家换一个示意的位置啊，这个地方是一 啊，这个地方是四啊，也就是说我们的这个 p 点啊，它只能在我们描的这一段里面进行运动啊，进行运动 好，那么紧接着它说 p m 啊，做 p m 平行于 y 轴，交抛物线于点 m， 我 们从图里面可以看出来，点 m 在 哪，在抛物线上啊，然后让我们求 p m 的 最大值与最小值。 好， pm 的 最大值与最小值两个问题。那么这种问题的解决办法其实也很简单啊，就是我们将 pm 表达出来啊，将 pm 表达出来，而 pm 表达的思路是什么呢？ pm 表达的思路就是我们在初一学习的距离公式啊。啊，距离公式好，那么距离公式里面涉及到的一个要点就是我们需要将 p 点和 m 点的坐标表示出来，所以我们可以先设 啊，比如说 p 点的横坐标是零，那 p 点的纵坐标是多少呢？哎，不知道，那我们有没有办法去解决呢啊？我们是有办法解决的啊， 我们可以看一下 p 点在直线 a b 上，所以说如果我们将直线 a b 的 表达式给它解出来，然后呢，它的纵标不就有了吗？所以我们可以在旁边去 设啊，直线 a b 表达式叫 y 等于 k， x 加 b， 然后呢，我们将 a 点和 b 点代入啊，啊，将 a 点和 b 点代入， b 点代入啊，就是五 k 加 b 啊，同样的，这边的话也是一个比较基础的计算啊，我们这边也不给大家做详细的拆解，那我们算出来， k 是 一， b 是 四，那也就是说我们得到了直线 ab 的 表达式是 x 加四啊，是 x 加四，那这样子的话，呃， p 点在直线上，对吧？横坐标是 n， 那 么纵坐标就是 n 加四啊，是 n 加四。 好了，那由于啊， pm 是 平行于 y 轴的，所以 pm 这条线上所有点的横坐标都是一致的，所以呢，我们的点 m 的 横坐标也是 in， 那 它的纵坐标是多少呢？哎，它的纵坐标 带入抛物线表达式啊，因为点 m 在 抛物线上，哎，那它我们的这个呃纵坐标就有了。 好了，那我们可以通过图像观察啊， p 点在一和四之间运动的时候啊，在一和四之间运动的时候呢，这个 p 点啊，始终在 m 点的上方，也就是说咱们这个 p m 的 坐标就是 p 点在上面啊，上面点的纵坐标减去下面点的纵坐标啊，好，这边我们有个笔误啊，我们把它修改一下。 好，然后的话，我们将它啊整理一下啊，我们将它整理一下 啊，这边的话也是比较简单的啊，详细的过程呢，我们也不给大家去展示了啊，大家自行去呃处理一下啊，比较简单，我们化简啊，把这个平方呃展开，然后呢进行合并一项，最后得到的是负 m 平方，加为啊，加为 好，然后我们对它进行配方啊，我们对它进行平方。呃，我们配方的方法就是给它提取一个呃符号啊，然后呢 这边就变减五 n 啊，那么减五 n 我 们后面要配的是谁呢？我们要配的是负五的一半的平方啊，负五的一半的平方，负五的一半是负二分之五，那它的平方就是四分之二十五，那所以我们这边要加四分之二十五 啊，加四分之二数，所以在括号里面还有减去四二数，四分之二数，然后跟前面的这个符号啊一结合，那么在外面的话就相当于要加上四分之二数啊，这就可以了。好，最终我们就可以 好整理一下，好，就是这个样子好了，那么这边的话，同学们有一个很重要的细节需要知知道的，那就是此时此刻啊，我们的 in 的 范围是什么？ in 代表着 p 点的横坐标，而题目当中给的 x 是 一到四，所以我们这边一定要备注好了，这个 in 啊，它是在一到四的范围里面。好的同学们，那么在 一到四的范围里面，我们这个 pm 的 最大值和最小值如何来求减呢？好，第一，由于我们开口向下啊， 它是负嘛，负号嘛，开口向下啊，开口向下，我们会发现我们的对称轴 n 是 等于二分之五，它在 这个一到四之间，所以我们就可以知道，当 n 等于二分之五时，此时此刻就会存在这个 pm 的 最大值。 对，当 n 等于二分之五的时候啊，这个 pm 就 有最大值，我们将这个二分之五带进去啊，自己去算一下啊，这个 那非常简单啊，结果就是四分之二数，对吧？那 n 等于什么的时候才有最小值呢？ 我们在前面啊，也给大家介绍，那就是说开口向下的时候，距离对称轴越远，那咱们的这个对应的函数值就会越 小，所以我们来判断一下，这个一和四，谁和对称轴二分之五更接近呢啊，或者说更远呢？因为我们想，现在想判断最小值吗？越远越小吗？好，我们可以判断一下，一和二分之五之间的差距是 二分之三，而四和二分之五之间的差距是二分之三，所以什么？哎，所以这两个是一样的，随便带哪个都可以。好，所以我们就随便吧，那就可以写当 n 等于一时啊， pm 的 最小值， 说明啊，说明一和四啊，是关于二分之五对称的啊，所以取哪个它都是最小值啊，取哪个都是最小值。 好，那我们最终通过计算可以知道它的最小值是四。好的，这道题目我们就讲完了。

抛物线 y 一 啊，有个东西，它的沿射线 ab 方向，老规矩啊， y 一 在这里， ab 就是 它跟 y 轴的交点以及跟 x 的 交点。 ok， 它沿 ab 射线的方向平移，得到抛物线 y 二， y 二在这里，且 y 二对称轴等于八，也就是这个等于八。 现在 y 一 在零到四这个曲值范围内，与 y 二再大于等于四， x 这个曲值范围内组成一个新的图像，它叫 g。 现在说，哎，当我的 s 的 取值范围零到 m 的 时候，这个 g 的 最高点中坐标为二分之九，最低点为负二分之七。问，我的 m 怎么样而已啊。其实整个题理解下来没有那么复杂，没有那么复杂。 那么现在问题我们要干什么？是不是得先确认什么是 g 啊？啊，不是 g， g 啊，不是认输的 g g 啊，就是他说这个图像叫 g 而已啊。那么是，是不是得先知道 y 二的解析式是多少？先得把 y 确认下来？那 y 二是怎么来的？是 y 一 沿着 ab 射线方向平移的，就打斜平移的同学， 它不是水平，也不是数值啊，打斜平移的这种问题该怎么办？一般函数图像上下平移简单，左右平移左加右减也简单，但打斜平移应该怎么办呢？同学，你们应该怎么处理的？ 打斜的话，所有的函数图像打斜平移，我不管往哪个方向啊，都要把它转化成水平 加数值的组成，你这里从这里移到这里，跟我从这里先到这里，然后再从这里上这里是一样的结果。 ok， 所以 我们得先翻译出来，虽然那是往射线 a b 平移，我们得翻译出来，他往水平，水平平移多少，数值平移多少？把它先翻译出来， 那就得知道什么 ab 是 个什么东西吧，因为它是往 ab 射线移的。 ok， 先求直线方程好，直线方程的多少？首先， a 的 坐标能不能知道？ a 的 坐标是 y 跟 y 的 交点就是零， x 等于零的时候等于多少啊？二分之一啊，零二分之一。 y 呢？它跟 x 的 交点就只有一到零， 因此整条直线的斜率是多少？是不是负二分之一？算 k 的 话是负二分之一吧。那么 k 等于二分之一的斜率意味着什么？负二分之一斜率，这个啊， k 等于负二分之一，是不是意味着 它的边比例关系是二比一的关系？同学，这是 k 的 几何意义啊？这是初二的知识，没毛病吧。因此他说这条抛物线来到这里的时候，他是从对称轴一到八的。 相当于什么？告诉我水平平移了多少啊？水平向右平移了七。同学已经说出来了，意味着水平向右平移了七， 平移了七的话，那我向下呢？是不是平移二分之七啊？我们就把从这里到这里的抛物线，它的水平跟数值平移数量级的那个量化出来了， ok， 因此， y 二的解析式是不是可以出来等于多少？先看左加右减啊，甚至都不用了， x 减八的平方， 它的顶点一到零，水平平移了七，就是这个顶点，它的横坐标是八，向下平移了二分之一，所以它的横坐标是负重坐标是负二分之七。没毛病吧， 七二分之七就对应顶点啊，整个抛物线怎么平移？我上面所有的对应点都是怎么平移的？因此这里就是负二分之七，没毛病吧？这就是解 c 式 啊，这就这个就是 y 二的解析式就出来了。好，我们把它写在这里啊。 y 二解析式， y 二等于二分之一， x 减八的平方减二分之七啊，这是你的身份证，来，擦掉这里啊， 继续往下做，他说此时组成一个图像区，我们现在要找图像区，不要忘了我们的初衷啊，要找图像区，首先 y 一 是零到四的，零肯定是在这里，零在这里，四在哪里？ 问题是四在哪里？同学们，零到四 y 一 的部分呢？这一边的四在哪？在哪个点，能判断出来吗？ 嗯，能不能看得出来？ y 二的解 c 四已经出来了， y 一 的解 c 四在这里啊，两个方框， 它一个是零到四，一个是大于等于四，有没有想法？是不是想着有没有可能当 x 等于四的时候，它们两刚好重合那个坐标啊？所以我们验证一下，当 y 一 的时候啊， x 等于四的时候， y 等于多少？四减一，三二分之九吧。那么对于 y 二来说呢？ x 等于四的时候， y 等于多少？把它带进去，四减八，四十六，二分之十，六减二分之七，是不是也是二分之九？哎，发现原来这个四就是在它们两的交界处， 那么是不是大概就在这里啊？就是这个点。那么零到四的时候，我取 y 二， 一路一路过去啊，无穷远，无穷远。所以整个粉红色的这个类似于麦当劳的，不像 m， m 就是 这个图像区。 ok， 就是 这个图像区。 好了，我们已经有了这个区，之后该怎么办？这就好办啦，它不是说让我们有一个 s 的 取值范围吗？从零开始，一路到 m， 只是不知道这个 m 在 哪里，但是我要满足就是这个区间了，我要满足整个粉红色这个 g， 就 这个图像 g， 它的最高点是在二分之九处，最低点是在负二分之七处的， 是吧？那么好了，刚刚我们已经算了，这个 dot 其实它的坐标就是四到负啊，四到二分之九嘛，意味着我在整个曲值范围内，我的最高点不能比它高， 就是它最高点了。然后呢？整个范围内我的最低点在负二分之七那里，负二分之七在这个顶点处，所以来我的范围能是这个吗？来，假设我到这里啊，也就是说我的 m 在 这里，我取了这个范围就零到 m 了，这个满不满足提议 大家觉得这个满不满足题，我的 m 就 在这里的时候，我的最大值是二分之九，没错啊，你看过来最高点嘛，但是我的最小值并没有到负二分之七，所以 m 在 这里肯定不对，一，要一路往右边挪是吧？一路往右边挪，挪挪挪，起码要。哎，老师， 那我的 m 在 这里不就行了吗？所以我这个范围内我就满足了，这样对吗？同学们，这样对吗？是满足，你看我这个这个范围，这个范围， m 在 这里的时候啊，我的最高点不就二分之九吗？最低点不就负二分之七吗？怎么就不对了？对，还是不对，觉得此时 m 啊，就是八， m 等于八就行了。老师，它的取值范围没有取值范围对吗？这样子不全对，不全？对啊，最大值不就在这里嘛，二分之九嘛，我的 m 在 这里的时候，我包含最大值啊，二分之九不全，对啊，我再往右拉扯一下，我最，我再往右拉扯一下， 例如我的 m 来到这里的时候，我的最小值还是它，我的最大值还是它， 我依然满足整个区间趋之了，对吧？严同学？ d 关于 y 二的对称点， y 严同学，是 y 等于二分之九和 y 等于负二分之七啊，没错， 什么时候不会满足我的 m？ 一 路一路一路来到假设这么高的时候， 我这个曲线它的最高点它就不止二分之九，所以我要控制到最大值为二分之九，必须是不能超过这个点，是吧？不能超过这个点，我只要把这个点的横坐标定下来， 那么我在这里到这里的范围就是我们要求的范围，没毛病吧，这个得多少是十二？因为它对上角等于八嘛，所以同一高度的情况下，它的横坐标是十二，这个呢？ 八吧。所以 m m 要怎么样？同学们，公屏告诉我 m 要怎么样？别来到这里写不出来啊，那就有点尴尬了。 嗯，写一下都取等啊， 这就是我们要的。

本次带给大家的是我们二次函数中的含参取值范围的相关内容，这一部分内容多数是以压轴选择题的形式去考察，它的难度 比较大，但是做这类题呢，也是有一定的解析技巧。我们先来看其中的一类啊，而抛物线 y 等于 a， x 方加 b， x 加 c， 其中 a 小 于零，经过负一逗号一和 m 逗号一，这两点大家注意哈， 负一逗号一， m 逗一，这两点有什么特殊性呢？其纵坐标相同，所以它是不是应该平行于 x 轴啊？所以哈，我们先画出其简易图像，做压轴选择题，一定要学会画简易图像哈。 因为二次项系数 a 小 于零，所以抛物线开口向下，在这时候我们只画开口向下的抛物线就可以，不需要画坐标系，因为我们不知道它具体在哪一个位置处。 同时呢，有这两点，负一逗一， m 逗一，那就是平行于 x 轴的一条水平直线。有这么两个焦点，负一逗一， m 逗号一，那么其对称轴我是不是就可以表示出来啊？ 那是这两点端点横坐标和的一半。二分之负一加 m， 因为 m 呢，它是一个大于负一的数，负一加上大于负一的数大于负二，负二，再除以二大于负一，所以呢，这里的二分之负一加 m 是 一定是在负一和 m 之间的，这个大家应该也清楚。 好嘞，到这一步之后，紧跟着他说什么呢？ ab 这两点呢，他是在抛物线上，然后并且满足。当 x 大 于加 x 大 于等于二分之一的时候， 且 x 大 于 x 二，是总有 y 一 大于 y 二。我们先来看这个比较大小， 就说 x 越大，它所对应的外值呢，反而越小，哎，外随着 x 的 增大而减小，在二次函数当中怎么去理解呢？因为它是一个开口向下的抛物线， 是不是离对称轴越近，他所对应的外值就越大呀？ y 二大，那也就是说 y 二离对称轴比较近，那大体情况应该是这个里这样子， 就是说啊，我们 b 啊，在这， a 呢，在这边，或者说 a b 全部都在对称轴的右侧，都是可以的啊，全部在左侧，这种情况呢，它是不存在的。好嘞，我们以这种情况为例来给大家去讲解一下。 就说，呃，刚才给大家分析的，我再去强调一遍，就是说，呃，这里的外二比外一要大，又由于是开口向下的抛物线，所以我们点 b， 他 更接近于对称轴， 哎，更接近对称轴，他的距离比这段距离呢，是要小一些的。 那明确这里之后呢？紧跟着你看他这里有 x 一 加 x 二， x 一 加 x 二，我们这里怎么去利用这个条件哈，你去除以二，他的手牵垂线就这个，这是不就是他的中间吗？ 二分之 x 一 加 x 二，不就是它的一个中间，那它的中间是不是一定是要在对称轴的右侧呀？那也就意味着二分之 x 一 加 x 二一定大于二分之负一加 m 才对。 那如何才能保证这个关系始终成立呢？我是不是只需要让这一个数的最小值大于这个数的最大值就可以啊？你在它右侧吗？ 然后呢，我们分别来看一下这一块的范围，二分之 x 一 加 x 二呢，他不就相当于是这里的负四分之一吗？这里相当于是负四分之一，那负四分之一一定要在二分之负一加 m 的 右侧，所以负四分之一大于 啊二分之负一加 m， 那 这样的话，我们可以去求出 m 的 值小于二分之一，同时 m 的 值还是大于负一的，所以综上所述， m 的 值大于负一小于二分之一。 这是一个开口向下的抛物线，大家注意谁的重坐标大，谁更加接近外轴，然后去找这两个点的中间的点 与对称轴进行比较大小，进而去求出啊曲值范围。这是其中的一个题型，稍后呢，我们再给大家来看第二个题型。

今天我们来看一题抛物线的一个最值问题。首先题目告诉我们这个抛物线也走向 a b 两点，然后告诉我们 a、 b 两点的坐标，然后那我们求这个抛物线的解析式。 好，那我们看第一步，那因为题目已经告诉我们 a b 两个点的坐标，所以我们可以把 a b 两个点带到抛物线的解析式里面进来，那我们就可以得到 四， a 减二， b 再减二等于零，这是第一个方程，再把一零这个点到抛物线里面进来，我们就可以得到 a 加 b 减二等于零， 两个方程两个未知数，所以我们就可以算出 a 的 话会等于一， b 等于一，那这样我们就可以得到抛物线的解析式为 x 平方加 x 减二。 ok， 那 这样子的话， a b 两个点坐标知道，那我们知道抛物线的解析式，也就可以算出 c 点的坐标，也就是说令 x 等于零，那我们就可以算出 y 等于负二，所以 c 点的坐标呢？就等于零负二， ok， 那 我们现在看第二题， 题目跟我们说， m 是 对称轴上的一个动点，然后让我们求 m v 加上 m c 的 这个最小值是多少，那我们很明显是不是可以看出来，因为抛物线的话，它会关于这个对称轴对称，然后这个抛物线也会相交 ab 两个点，所以 ab 两个点的话就关于这个对称轴对称。好， 那我们现在假设，我们现在在这个那一个对称轴上随便取一个点，假设这个点假设为点 m 点 m， 我 们把 m 点把它取出来。好，题目让我们求 m b 加 m c， m b 加 m c， 那 因为 b 点这个点跟 a 点的话是对称点，那这样子话我们就可以到 m b 的 长度，跟 a 点的话是对称点，那这样子话我们就可以到 m b 的 长度跟 a 点是不是相等啊？所以 m b 呢，就等于 m a， 再加上 m c， 那 m a 加 m c 什么时候会最小呢？是不是当这个 a 点、 m 点、 c 点这三点共线的时候， m a 加 m c 最小，那就刚好等于 a c 的 长度， 所以我们就可以得到它的最小值就刚好为 a c， 那 a c 知道 a 点的坐标，也知道 c 点的坐标，根据两点之间的距离公式，它就会等于二的平方，加二的平方，那就等于两倍的根号二。所以我们就可以得到 m v 加 m c 的 最小值为两倍根号二。

hello， 同学们，大家好，本次带给大家的是二次函数中的等角问题，不仅是在我们的期末考试，同时在我们中考当中也是一种常考压轴题型。 我们具体来看下面的例题。第一问啊，第一题，抛物线 y 等于 a， x 方加 b， x 加 c 交 x 轴于 ab， 两点交 y 轴于点 c 零逗三。那这样的话可以非常轻松的把抛物线解析式求出来。 求完之后呢？啊，我们知道该抛物线与直线 y 等于 x 加一相交于 a 的 两点，因此连立解析式，那得到关于 x 一个一元二次方程，可以去求出， x 等于二， y 等于三， x 等于负一， y 等于零，因此的点坐标明确二勾三。第一问，非常简单，我们直接就这样过， 然后紧跟着调位，他说在该抛物线上是否存在一点 p， 使得角 b a p 和角 c a 的 相等？ c a 的 固定角，那我们有一个角和已知角 c a 的 相等。那我们先首先来看一下点 p 的 位置应该在哪里？ p a b a b 在 这，那点 p 呢？ 我们一个是在 x 轴上方，是不存在一点，同时点 p 在 x 轴下方的时候是不也有可能啊，哎，对应着有这两种情况 好明确，有两种情况之后，具体应该如何求解呢？我们这里需要利用到等角所对的三角函数值啊，相等， 那这样的话，我们先把 c a 的 这个角的正切值去求一下啊。那构造直角三角形如何去构造呢？多种方法，在这里比较简单的方式，我们是过点 c 去做 c e 垂直 a 等于点 e， 这样做的好处在于什么呀？我们它所垂直的 a 的 这条直线的 k 值以之为一， 利用垂直 k 相乘等于负一，我可以去知道直线 c e 的 k 值为啊负 e， 那 直线 c e 解析式，我可以设为 y 等于负 x 加 b， 然后又因为经过 c 点零度三，那直线 c e 解析式不就有了吗？ y 等于负 x 加三，然后直线 c e 与直线 a d 交于点， e 连立方成，求出 e 点，坐标为一度二， 那知道一点坐标，利用两点间距离公式，那 c e 的 长根号下二， a e 的 长二倍的根号下二， 那紧跟着这个角的正切值， c， e 的 正切值对边比邻边根二比二倍的根二，也就是啊，二分之一。好，我们已知角的正切值求完之后，紧跟着看我们接下来 p a、 b 所形成的角。先看上面这种情况， 那这个角的正切值为一比二。同样的道理，三角函数放在直角三角形当中，这里构造直角三角形比较容易去向。哎，直接经过点 p 向 x 轴做垂线就可以。假设垂轴为 g， 那 也就记 p g 比 a g 为一比二， 那 p g 的 长不就对应的是点 p 的 纵坐标吗？而 a g 的 长呢？横坐标减负一 啊，那也就记负 m 方加二， m 加三，比上 m 减负一等于一比二减一下。这个方程也比较简单，交叉相乘，那这里是负二， m 方加上四 m 二三得六等于 m 加一， 那负二 m 的 平方加三， m 加五等于零。化简一下，那就是二 m 的 平方减三， m 减五等于零。哎，可以接下来因式分解。十字相乘二，一，这里是负五，这里是 正义。一二得二，一乘以负五得负五。负五加二不就是负三吗？所以它可以化简成二， m 减五乘以 m 加一等于零，求出 m， 一个是二分之五，一个是负一。很明显，负一是点 a 舍去， 所以求出点 p 横坐标为啊二分之五。哎，人家让你求的就是点 p 横坐标。就第一种情况，那第二种情况一样道理啊，过点 p 做 p， h 垂直于 x 轴。那第二种情况和第一种情况的区别在哪里啊？一个是上减，下一个是。这里的是什么呀？ h 减 p， 也就是说 ph 的 长此时对应的应该是什么呀？是，呃，零减去括号负 n 方加二 n 啊，加三，然后呢，其 那个 a h 的 长仍然是 n 减负一，它不变啊。解这个关于 n 的 一元次方程，求出来 n 的 值是二分之七，我们这两种情况就搞定。 所以啊，从听第二问这里大家需要去明确。当我们再去解决角度相等问题的时候，我们通常采用的方式是等角所对的三等角的三角函数值相等，一般我们采用的都是正切值。 然后接下来的一个关键点就是在于如何去构造直角三角形，非常的关键啊，往往我们是向坐标轴做垂线，如果不能向坐标轴做垂线的话，也是向我们已知线做垂直，利用 k 相乘等于负一进行求值。 好，这是第二位。那紧跟着我们来看第三位。呃，他说点 m n 是 对称轴上的两个动点，但是呢，不管如何也要运动。 m n 的 长固定为一 点 m 在 点 n 的 上方，然后求四边形 a c， m n 的 周长最小值，那它的周长 a c， c， m， m n， a n 是 不是这四条线段的和？其中 a c 和 m n 都是固定值，那求它的周长最小值，实际上就是求 c m 加 a n 的 最小值啊， 两条线段和最小一个标准的将军印码问题如何去做呀？哎， 这个题的难点在于什么呢？在于是有 m n 这里的两个动点。如果只有一个动点的话，我相信非常简单。就说你看我们这里有 a、 c 两点，我在直线 l e 上找一点 n， 使 a n 加 c n 的 和最小。 那不直接动点所在直线即为对称轴作对称点，连接对称点和另外一个已知点交点，即为所求吗？将它转化为 a 撇 c 的 长两点间线段最短，是我们将军印码的一个理论支持。 好，这是在轴上找一个点，那如果是找两个点的时候怎么办呢？回到这里，哎，我们在对称轴 x 等于一上找 m n 两点，大家注意哈， m n 这两个动点，不管运动到哪里哈，它的长度是固定的，为啊，一两个动点的不会做。你转化成我们刚才说的一个动点呀，怎么转化呀？我将这里的点 m 可以 压缩到点 n 呀。 哎，如何压缩法？将 m 向右平移平移，这是啊，一个单位，那么当点 m 平移的时候，点 c 对 应的也是啊，需要向左啊，向左平移啊，一个单位 c 撇。那这样的话，我就相当于在 l 一 上找一点 n， 使得 a n 加 c 撇 a 啊，最小，转化为我们原始模型。 那就非常简单了，我们直接做点 a 的 对称点， a 撇连接 a 撇， c 撇与对称轴的交点，即为我们所求的点 n。 好， n 点找到了 m 怎么来的呢？ a 它不是由 m 向左压缩了一个单位得到的吗？ 那找 d m， 你 再还原回来呀，还原向右平移一个单位，对应的就是点 m， 此时四边形 a n m c， 它的周长就一定啊，最小原因依然 a， c， m n 它俩的长固定。那么求 a n 加 c m 的 最小是 a n 和这里的 a 撇 n 始终相等， 而 c m 呢？注意哈，我们当时去做的方式， c c 撇 m n， 它俩平行且相等，都为一，所以形成的 c c 撇 an m， 这是一个平行四边形，所以 c m 和 c 撇 n 平行且相等，将 c m 转化为它。那 a 撇 n 加上 c 撇 n， 不 恰好就是 a 撇 c 撇的最小值吗？两点间线段最短。所以啊，将军一马问题，它的理论支持就是我们的啊，贡献 啊，在这一个寒假当中，我们会有整个的一个专题啊，有一个洞点的，两个洞点的造桥选址问题，还有我们这种啊搭桥问题，还有这里的呃，费马点问题，我们都会给大家系统的去讲到。 好嘞，回归到这个题，我们来看具体的解法。那我们按照刚才的说，将点 c， 我 们向下平一个单位得到啊， c 撇这里的一个单位时间就是我们已知动线段 m n 的 长。哎，将 m 往下去压缩嘛，一个单位。 那这时候我们做 a， 关于对称轴 x 等于一的对称点，恰好就是点 b 啊，连接对称点和已知点。哎， b c 撇，那么交对称轴于啊，点 n， 找到 n 点之后，我们再还原，向上平移一个单位，就得到了 m， 那 连接 c m， 此时它的四边形周长 a c n m 就 一定最小。 哎， a c m n 固定 a n c m 的 值，不直接就是什么呀？ b c 撇的长吗？所以啊，四边形的周长，那 c m 我 转化为这里的 c n 平行，四边形对边平行且相等，然后 a n 转化为这里的 b， n， 然后轴对称相等，那 c n 加 b n 合起来就是我们 bc 撇的长，所以四边形的周长，我转化为就是 a c， b， c 撇 m n 这三条线段的值。 那利用两点间距离公式， a c 可以 算出来是根号下十， bc 撇算出来根号下十三，然后 m n 的 长已知为啊一，所以四边形的周长就是根十加根三，再加上一哎中，从而解出答案。 那么这种题型呢？刚才给大家说将军印马问题，他有一个非常系统的体系，我们寒假当中就会给大家讲到，如果大家想了解更多，欢迎到我们寒假课堂当中来。

九年级才考过的这张卷子，最值得你做的就是这个二三做的题目和中考考法很接近。然后十四题你也可以做做。往年中考的十四题都是一个图形的题目，只有上届很特殊，突然考了个新定义。然后这个圆的题目你也可以做做，和中考难度差不多。 然后卷子呢？我还放在视频后面，如果是需要电子版的也可以进我的群里面，然后如果你没时间，你就把整张卷子都做一遍。

今天我们来看一下二次函数的实际应用，那么二次函数的实际应用中呢，有很多的题型，比如说最大利润方案选择，拱桥、隧道、喷泉、图形图形运动等等，那么每一种题型我们都刷，那你得刷很久，你都刷不完。 那么在二次函数这一块呢，我们主要去做最大利润，图形面积和建筑物这三类问题，搞明白了就可以了。 比如说像单双动点，二次函数与弧不规阿是圆三角形这一类，你去交给几何就可以了。好，接下来我们来看一下二次函数主要的三类问题，最大利润， 那么最大利润，你只要记住总利润等于销售量乘以单件利润，那么基本上这类问题你都能搞定了。 第二类问题呢，就是求面积的最值，你只要根据面积公式，最终呢列出解析式，根据解析式， 根据解析式呢，你只要求出它的极值，基本上这类问题都能解决，同时呢，有的时候你可能要注意一下 x 的 取值范围啊。第三类呢，就是抛物线的建筑问题，那么这类问题，比如说拱拱桥， 你把拱桥呢放到坐标系里边，然后呢，通过图形和已知条件再写出解析式， 之后，还是依然地利用解析式的图像和性质，就比如说 x y 的 焦点啊，对称轴啊，顶点之类，你就能解决实际问题。好，接下来呢，我们先看一下最大利润的问题啊。 那么说某件商品售价是六十卖，每天卖三百件， 那么每涨一元，每天少卖十件，每降一元呢？每天少卖二十件。问你商品进价如果是四十元的话，每天怎么进价利润最大 点？这类题三板斧第一个呢就是看最基本的问题， 那么最基本的依然就是利润等于销售量乘以单价利润。那么在最开始的时候，销售量是多少？是不是三百？ 利润是六十减四十，因为进价是四十，所以三百乘以二十就是你的总利润，这是最基本的最开始的问题， 接下来他肯定会引入变动条件，那么变动条件呢，就是说每增长一元，也就是每涨一元，那么你就少卖十件， 每降一元，那么就是多卖二十件，这是新的变换条件。那么根据这个新的条件呢，我们再重新去列总利润的计算式， 这个过程中呢，我们是涨价或者降价为 x。 首先是涨价， 那么根据涨价呢，它是涨一元，少卖十件，那么涨 x 元是不是就少卖十 x 件？所以每天的销售量三百减去十 x， 因为你涨十涨 x x 元， 就少卖十 x 件，这是总销售量乘以单件利润。那你我原先的时候每件我赚二十，现在你涨了 x 元，那我就每件的利润就是十二十加 x。 我 们再把这个呢写成一般式，一元二次的一般式负十 x 平方加一百 x 加六千， 这就是标准的抛物线来找它的顶点，首先找顶点的时候呢，我们得看它的范围，顶点有没有在范围之内，我们来看一下范围 x 的 曲值是零 到三十，为什么是零到三十？因为你涨价的时候你不能涨负的，所以至少你得涨零元。 但是为什么我涨到三十不能再涨了呢？是因为你每天卖三百件，你涨一元，少卖十件，你涨三十元就少卖三百件，你三百件都卖完了，你还在涨，所以涨价的范围就是零到三十。 那接下来我们来看一下， x 等于二 a 分 之负 b， a b 带进去， 我们就能计算出对称轴是五，那么这个五呢？在零到三十之间，就说明最大的利润在二次函数的 对称轴的最大点，就这样这个图形 x 是 零元到三十元的时候，那它抛物线就是这一块，只取这一块，它里边利润最大的就是这个点， x 等于五， 因此我们涨五元的时候利润最大，那么涨五元我们定价就是六十加五六十五元，最大的利润就是六千两百五十元。 我们再来看一下第二问降价，那么降价呢？依然是用总利润等于销售量乘以单件利润，那么销售量 降一元，多卖二十元，那降 x 元是不是多卖二十 x， 所以 这是每天的销售量，那么你每一件降 x 元，那我原先的一件利润是二十，现在降 x 就是 二十减 x， 我 们把这个化成一元二次方程的一般式就是负二十， x 平方加一百， x 加六千。 首先我们看一下 x 的 范围，那么降价我肯定不能降成负的，所以 x 一定是大于等于零的， 那么我总利润是二十，我总不能降过二十吧，所以降价就是零到二十。 我们来看一下对称轴， x 等于二， a 分 之负 b 等于二点五，它在这个区间之内，那么就说明我们取这个抛物线对称轴对应的顶点 x 利润零到二十的时候，那我们总利润 对称轴二点五，对的最大值就在这个区间，那我们就取 x 等于二减五，因此那就是降价二点五元的时候利润最大，那么降价二点五元就是六十，减二点五就是五十七点五元， 带进去之后，这一点就是六千一百二十五元。那么从这两个里边，我肯定取这个定价为六十五元的时候，利润最大六千两百五十元。 那么第二道题呢，是说我们新研制了一种呢无籽西瓜，它的成本是它的成本每千克六元， 成本每千克六元，那么要求你呢单价你不能低于成本，你不能低于成本六元卖，或者说你最高只能卖两倍十二元。 同时呢，他给出了我们函数的关系图，这样 说你六到十元的时候，它的销量就是量一千到两百，你越贵销量越小。这是第一段，是一次函数。第二段呢，是说你卖十到十二元的时候， 你再涨价，我销量还是两百啊，这就是函数函数关系图。 好，我们来先来看第一问 y 与 x 的 解析式，那么 x 是 售价，我卖多少钱，我的销量是多少？那么从图上我们就很容易看出这是两个一次函数，我们只要列出这两个一次函数就可以了。 第一段我们只要代入两个点，代入这两个 六，一千十两百，代入到一元二次方程的一般式里边， y 等于 k， x 加 b， 那 我们就能求解出 k 和 b 的 值，再把它带回去，我们就能得出第一段售价和销量的关系， y 等于负两百， x 加上两千二百，这是第一段直线的关系式。我们再来看一下第二段。 第二段直接就是销量， y 等于两百，你再涨价，你跟我没关系，当然他俩都有区间的啊，一定要注意这个区间。因此呢，这两个我们就能得出， y 与 x 的 解析式为两段， 之后呢，我们再根据这两段继续往下走，求当天的销售的最大利， 那么 y 与 x 函数的解析式，这是分为两段，那我们计算最大利润的时候，依然雷打不动的用我们的销售总利润等于销售量乘以单件利润， 好雷打不动的是这个， 那么这个呢，就是我们的销售量， y 就是 我们的销售量，就是这个， 这个呢就是单价，单价利润啊，单价利润，因为单价是 x， 约六是成本，那么 x 减六就是利润。那我们根据这个销售量乘以单价利润 来把这两个重新列列出它的利润方程啊，总利润方程，那么就是总利润就等于 y 乘以单件利润。 这是第一段的 y 带进去负二百 x 加两千二百 六到十的时候，那我们再看 x 售价是十到十二元的时候， y 销售量是两百，利润是 x 减六，我们就得到了这个方程组，函数组应该叫函数组， 分开二次函数和一次函数，那么二次函数就跟我们前面的又是一样了， 把它进行化简成一般式，那么化简成一般式之后，我们是不是知道它的范围？ 再来看它的对称轴，那么对称轴二 a 分 之负 b 等于八点五，在六到十之间，那就说明最大的利润正好在它的顶点， 我们把八点五带进去，它的最大的利润就是一千二百五十元。我们再来看一次函数，那么一次函数呢， 它有一个增减性，就比如说这是一次函数， 如果 k 大 于零是这样的，那么随着 x 增大，是不是 y 就 增大，所以这就是增大的，那么这个地方 k 大 于零，它是 随着 x 增大，是 y 是 增大的，所以我们就叫它递增，那么递增呢，我们肯定就取最大的值了，十到十二，我们就取十二，所以取 x 等于十二的时候，代入 这一次函数最大的值就是一千两百，这是最大的利润。 那我们把这两个二次函数和一次函数划出来之后，就是这种的 六元到十元的时候是取这一段，那么它最大的利润就是这个点。对称轴 x 等于八点五，而一次函数十到十二元的时候是这个段，这一段因为它是递增的，我们就取这个点，那么这两个点 对比下来，抛物线的这个顶点更大一些，所以我们就取呢售价 x 等于八点五十，利润最大为一千两百五十元。 好，我们今天的二次函数最大利润就讲到这里，明天呢，我们继续讲二次函数的面积的极值。