合肥六校联盟数学解析几何

安徽中考数学最后两道压轴题到底怎么破？大部分合肥初中家长和孩子都头疼，没有好的办法，今天咱就分析一下最后两道压轴题的命题趋势和一些复习策略。安徽中考数学试卷在二十年之前呢， 最后一道题一直是几何综合倒数第二题目是二次函数，从二二年开始呢，他们两个位置换了一下，并且你看一下，二二年和二三年的二次函数里还有几何的影子，但到了二四年和二五年，就逐渐变成纯粹的函数和代数的题目。这是一个信号啊， 压轴题向函数靠拢，因为函数它就是高中数学的天下，而高中的空间几何它就是小菜。但是这个变化呢，对于怎么应付安徽中考影响其实不大。我之前有说过， 八项是初中数学的分水岭，其中一部分原因就是因为四边形，因为四边形可以和三角形契合，题目难度和灵活性立马就上来了 一个辅助线，想不起来整个题目就能卡住。以我个人的教学经验呢，几何压轴可以从以下三点展开复习。第一点，做好规划总结，画好思维导图。因为校内他是按章节进行学习的，每个学期都学一点，比较分散。那么你复习的时候呢，就要把从七年级到九年级所有的几何知识点 梳理归类一下，把能想到的每个知识点背后的啊性质都写出来。比如说角平分线，你要想到由角平分线上任何一点向两边做垂线所得到的垂线段相等所形成的两个三角形全等。如果你只能想到角平分线所形成的两个角相等，那后面的压轴题你不要想了， 到中考的时候要形成条件反射，就是给你一个条件，他背后的一连串性质立马就能在你脑子里浮现出来。第二点呢，是按题型进行专项突破。几何压轴体主要分为 图形、动态研究、存在性问题和坠子。对于某一类体型，你要先做基础辨识啊，再做整体压轴，总结记录该体型的思路框架。这个其实很重要，你比如说动态问题，你要先找到不变量啊，存在性问题你要先假设它存在，再进行推导。第三点呢，就是强化解析技巧与规范。书写 解析的时候务必务必审好题，最好把条件标在图上，再联想模型，最后分布推导。证明题要步步啊，有理有序。计算题呢，要写明公式和代入过程。另外我跟学生讲的比较多的一点就是 平常要多积累辅助线的添加技巧，比如说遇到角平行线啊，咱们经常做垂线啊，或者是平行线，那么遇到圆的直径呢，要构造直角三角形。 我讲的这三个点其实和天赋没有什么太大的关系，纯粹的是解析技巧，都是可以通过训练啊，可以掌握的。下个视频呢，我会讲安徽中考二字函数的复习策略啊，和一些解析技巧。

刚结束的安徽六校联考高三数学试卷，我们刚研究了一下试卷的难度，确实在线，选择填空藏陷阱大题呢，更是考验孩子的综合能力，想要拿高分真的要下功夫的。 但这份卷子含金量是很高的啊，完全匹配了高三一轮复习的这种检测需求，他可以精准的找出孩子的这个复习的短板，就哪里没有学扎实，对吧？如果您 孩子还没有做过这份试卷，需要试卷电子档的直接找我。嗯，比盲目刷题效果要好的多。

同学们好，我是高中化学的姚老师。那今天我带大家来看一下去年合肥六校联考的第十五题，那这一题是一道平衡大题。首先第一小问考察的是盖斯定律，求二氧化碳和氢气，那我们先写出对应的热化学反应方程，是二氧化碳气体加上氢气气体 好反应，生成了乙稀气体和水蒸气。这个时候我们根据元素守恒，把它配乙稀有两个碳，所以二氧化碳中配两个。好，那接下来根据我们对应的氢守恒，那我们对应的氢和氧，这个时候我们先看氧守恒，因为水的系数还有在变， 那二氧化碳中有四个氧，所以根据氧守恒，我们水中要配四个氧，那就是这个水。 好，那最后看清楚这里有四个氢，所以一共是十二个氢，那我们配六个水，这时候我们可以求出德泰 h， 德泰 h 和我们对应的目标方程之间的关系啊。首先和 假设这为一，这为二，德泰 h 和一二之间什么关系呢？根据同加 e 减乘比例，那首先找出现次数为一的，在这里是二氧化碳， 我们目标方程要求二和，它在反映物，它也在反映物，可以，所以得态 h 一 好，接下来目标方程要求是两份，它只有一份，我们永远和目标方程保持一致，所以是两倍的得态 h 一 好，那接下来再找重复次数为一的，那就是我们的 以 c， 我 们不要找亲戚，两方程都有亲戚，以 c 同加一减乘比例，我发现对应的在这里系数和我们对应的位置都是一致的，所以直接加上得它 h， 二把值代入就是二 乘上四十一，再减去一个两百一，所以这个结果等于负的一百二十八 铅胶，美膜把这个结果给他写上去就可以了，所以这个得它就等于负的一百二十八铅胶，所以第一个空我们就拿到分了。那第二个小问考察的是平衡图像，这个是我们上课讲解的双因素图像。 那首先我们先看加强 p 一 和 p 二的大小关系，首先我们通过分析，这是加强 p 一， 这是加强 p 二。根据题目加强增大 平衡是向着气体分子数减小的方向去移动的，德恩小林的方向，根据我们的勒夏特利原理，那这一题呢？加强增大，我们通过题目分析发现对应的平衡是向着正向移动的，因为正向是德恩小林的方向，所以平衡正移， 那平衡正移，我们对应的纵作表表示的是一氧化碳的平衡转化率，所以一氧化碳的平衡转化率是 增大的，那增大也就是说我们对应的比较大的是 p 二，那它的压强就比较大，因为压强越大，转化率越大。所以首先第一个横我们填的是小于符号。 好，那接下来第二个是温度和 k 值的关系好，首先我们先看一下反应是吸热还是放热，首先我们看横坐标温度升高， 那温度升高，根据我们的勒夏特利原理，声吸降放，那温度升高，所以平衡是向着吸热方向去移动的。那在这里对应的，由于温度升高，我发现一氧化碳的平衡转化率在减小，所以一氧化碳的平衡转化率减小， 那一氧化碳的平衡转化率减小，说明平衡是逆向移动的，所以一脸逆向是吸热方向，所以可以得出我们的正向是 d h 小于零的一个放热方向。好，那正向是放热方向，那温度越高，平衡逆移，那 k 值就越小。所以在这里我们对应的两个，一个是 k a 和 kb 是 t e 温度，那 k c 温度高， k 值反而小，所以我们求出来的是 k a 等于 kb， 那 同时它是大于 k c 的 这个空我们就分析明白了。那接下来第二小题是平衡判断标志， 这个题型我们在之前练的比较多。首先对于第一题型 a 项和 d 项，它的整体思路就是两个，一个是方向，一个是笔直，方向满足微正微 逆，笔直满足化学计量，所以气体和我们的甲醇气体虽然满足对应的微正微逆，但是你要注意，气体和甲醇 对应的氢气前面的穴又是二，甲醇前面穴又是一，所以它不是一比一关系。所以 a 向直接排除方向笔直，那对应的 d 选项也是方向笔直。那首先消耗零点零四摩尔氢气，那氢气在这里消耗零点零四摩尔，那这个平衡的确是向着正向去移动的， 同时生成了零点零二摩的一氧化碳，那一氧化碳是我们的反应物，平衡的确是逆以，所以微正微逆满足了。接下来看系数，零点零四摩，零点零四摩氢气，零点零二摩一氧化碳，氢气的量是一氧化碳两倍，所以系数也是符合的，这个 d 是 正确的。 好，我们再看 b， 说甲醇的体积分数不变，因为是全气系列，甲醇体积分数正移增大，逆移减小，那这是一个变量，在某一时刻不变，那这个时刻就是我们的平衡时刻。所以根据变量不变可以推导出来 b 和 d。 好， 那 c 选项也是根据变量不变的思路。首先密度等于什么？等于气体的质量比上体积。 好，那这题由于题目告诉我们它是一个两升的密闭容器，恒容，所以下面体积是一个定值不变， 那由于反应前后都是气体，满足质量守恒定律，气体也是个定值。也就是说对于这题来说，密度始终是定值，能不能退化平衡不可以，在反应结束之后都是一个定值，退不出来，所以它不是一个变量，所以这个空我们选择的是 b 和 d。 好，那接下来对应的要我们求 t 二和 p 二，两个，包括我们的第三、第三问和第四问都是 t 二， p 二， p 二 p 二对应的是这个阶段， 这是 p 二和 p 二，这是对应的一氧化碳的平均转化率。好，首先第一个求平衡时氢气的体积分数，第二个求假定 p 二的压强， p 二的压强为 p 为 p。 那 一会我们带分压的时候要带 对应的，拿这样分数乘以总压就成 p。 他 说让我们求平衡常数 k p k p 用平衡分压代替 气体的平衡浓度，那整理出含有 p 的 最简单的表达式，所以你要画到最紧，题目已经要求了，那这个时候如果想求体积分数，如果想求 k p， 我 们就要列三行式，只要三行式能正确列出，我们就可以求一切。在这里我来给 同学们去系统列一下三行式，那在这里我们对应的物质是一氧化碳气体，加上氢气气体 翻译生成了甲醇气体，这个方程呢我们就写好了，检查系数是没有任何问题的。接下来是转化的平衡的，那其实投量是多少？是零点三摩尔的一氧化碳， 然后是零点四摩尔的氢气，零摩尔的钾醇，转化之比等于化学计量数之比。一定要注意，这时候一氧化碳转化的是百分之五十，零点三乘上百分之五十，所以转化的是零点一五摩尔。 由于转化之比是化学计量数之比，这是一，这是零点一五，这是二，所以它转化零点三，这也是一，所以转化的也是零点一五膜。好。那平衡时我们剩余的一氧化碳，第一个相减是零点一五膜， 第二个是零点一模，第三个也是零点一五模。我们可以求出平衡时的 n， 总是等于三者之合，就是零点四模。好。首先第一问求氢气的体积分数，那在这里就拿氢气的量是零点一， 除上总量零点四乘上百分之百，所以这个结果等于百分之二十五。第二个是求对应的我们的 k p， 那 这个时候三行式列出之后，我们再加一行四行式，列出各物质的物账分数。第一个物账分数是零点一五， 除以零点四，第二个的误差位数就是四分之一。第三个的误差位数也是零点一五，除以零点四，那这个时候我们算出误差位数乘以总呀，就是各五指的分呀。所以 k p， 我 们公式可以算出来是等于 生成物的分压密次方，那就是甲醇分压的一次方，比上二氧化一氧化碳分压的一次方，再比上氢气，注意，因为它是一个平方，不要注意，因为它是一个二次方平方，所以这时候我们把结果给他带进去，发现对应的一氧化碳 和甲醇这两个系数是一样的，带进去那等于对应的物质上分数零点一五比上零点四乘以 p， 这是我们的分子分母，下面还有一个是零点一五比上零点四 p 好，再乘以一个就是我们对应的氢气就是四分之一屁括号的平方，那上下直接就约掉。题目要求是最简单的表达式，那就是等于就是十六分之屁平方，注意，上面是分之一，那倒过来就是十六 比上我们的 p 平方，所以这个结果是十六比上 p 平方，我们就搞定了。好，这是一道平衡大题，是期末考题，希望同学们通过这道题，把对应的我们之前上课的笔记再好好去复习整理一下，备战我们的期末考试，加油！

我手上拿着的是昨天刚刚结束的安徽六校联考高三素质检测数学的试卷， 卷子整体是偏难的，不管是选择填空还是后面的大题都不简单，想要考高分难度不小。这是一份呢，有效暴露孩子知识漏洞和能力短板的一个检测卷， 贴合高三一轮复习的检验成果。如果你孩子还没有做过的话啊，可以找我拿电子档练一练。

hello， 各位宝子，今天给大家录的模型是逆等线模型， 熟悉我的粉丝肯定知道，今天的提量也是非常的大，希望大家能够耐心看完，同时如果这个视频对你有帮助，麻烦给个一线三连。好的，废话不多说，那我们首先来看模型的特点，首先看这个图形， 在三角形 a b c 中啊， e f 分 别是 a b 和 a c 上的动点，且 a e 等于 c f。 题目问求 b f 加上 c e 的 最小值。 好，那就看模型的特点的第一句话叫等长线段，那这里 a e 和 c f 它就是等长线段。第二个特点是首尾错开不连接，看一下， a e 在 这里， c f 在 这里，这 a e 和 c f 它们是没有连在一起的， 所以只要我们在以后看到题目当中啊有等长线段，但是首尾没有连接的，我们就把它可以看成哎逆等线的这种模型。然后再看这个图形， 在直角三角形 a b c 当中啊，肯定角 a c b， 这里是九十度。然后 e f 为线段 a b 上的动点，且 a e 等于 b f。 好 了，在一个图形当中有等长的线段， 虽然说 e f 是 动点，但是不 e 点往这边动的话呢， f 点也往这边动，所以说 a e 等于 b f， 那 就满足了。等长线段且首尾不相连，所以说这个图形它也是逆等线模型， 那么要求 b f 加 c e 的 最小值，或者求 cf 加 c e 的 最小值。 在做辅助线之前啊，我们知道初衷解决问题基本上都是把线段或者这种动线放到一个图形当中去求解是不是这样。所以说那我们现在的目的就是把这个 动线 b f， 把这个动线 a c e， 如果我能把它们首尾相连，连在一起，然后在一个三角形或者一个四边形当中呢？能去求解，那这个问题应该就简化很多，是不是这样？所以我们来看一下辅助线应该怎么做 好。这里有写我们辅助线啊，就是通过构造平行、平移或者旋转来构造全等三角形，那么我们应该构造哪个三角形和哪个三角形来全等呢？那一起来看一下。在第一个图形当中， a 点是定点， e 点呢是动点， c 点呢是定点， f 点是动点，那这里写了定对定动对动，所以我要以 c f 边构造一个三角形和 三角形 c a e 是 全等的，那么 c f 和 a e 肯定就是对应边，但是这个 a 点和 c 点要是对应的， e 点和 f 点要是对应的，所以呢，那 a 和 c 对 应，我要从 c 点做一个角等于角 a 能理解吧？所以这就是这里定对定动对动的平行线， 好过点 c 做一条 ab 的 平行线，那 ab 和假设这个是 h 吧， c h 和 ab 平行，那么角 a c h， 这个角和角 a 不 就相等了吗？然后呢，我在 c h 上面再取一点假设点 g， 使得 c g 等于 a c， 这样的话，我们来看三角形，哎， a e 等于 c f 角 f c g 等于角 a a c 等于 c h， 所以 所以说是边角边就构造全等了，那么对应写一下全等啊， 三角形 c a e 全等于三角形 g c f， 那 么 c e 就 等于 g f， 所以 原来题目说的是 b f 加上 c e 就 改成了 b f 加上 f g， 哎，这里 c g 是 固定长度的吧， c g 是 等于 a c 的， 因为 a c 固定长，所以 c g 固定长，所以点 g 是 一个 定点，那么这个题目是不就转化成了哎， b 点是定点， g 点是定点，然后呢，点 f， 它的轨迹是一条直线，这不就是直接连吗？像将军一马队友做完对称之后的直接连，两点之间线段最短，所以说我直接就是求 它两支和是大于等于 bg 的， 这个题目就是转化为求 bg 的 长度就可以了。好，这是第一个图形，再看第二个图形，第二个图形当中 a e 等于 f h， 那么我们想就要构造一个三角形 a 一 边。哎， a 一 边和 f b 边是对应的，然后看一下定点动点，这点非常重要。 b 点啊是定点， f 是 动点，那很显然， a 点是 定， e 点是动，所以 b 和 a 是 对应的， f 和 e 是 啊，对应的。那么我过点 a 要做一个角，和角 b 是 相等的，很显然，我们又要做一个平行线，比如说 这样好过点 a 做一个假设是 h 吧， a h 平行于 c b， 那 么两直线平行内错角相等，角 b 就 等于角 e a h， 然后呢，且 a h a h 等于 c b， 那 么我们再连接 e h， 这样的话，我们看这两个三角形 e a h 和三角形 f c b f b 等于 a e 这个角等于这个角，这条边等于这条边，所以边角边又可以证明这两个三角形全等。写一下三角形 e a h 和三角形 f b c 是 全等的，就把 c f 转化到了 e h。 那 题目求 cf 加 c e c c f 加 c e 就 等于 c e 不 变，加上 e h 同样的 cb 是 一个定长，那么 a h 肯定是一个定长，然后这个角度不变，所以 h 肯定是一个定点，那 c 是 定点， h 是 定点， e 的 轨迹是一条直线，怎么求最短呢？肯定是连接 c h， 所以 它是大于等于 c h 的， 所以通过这两个例子，我相信大家已经知道了这个 逆等线模型的特点，特点就是在一个图形当中啊，有等长的两条线段，他们首尾不连接，等长的两条线段首尾不连接。如何去做辅助线呢？首先要找定点 动点，对吧？这里是定点动点，然后定点和定点是对应的，动点和动点是对应的，然后呢，过一条边， 选择 a e 或者 c f 到。但是做题具体的做题过程中啊，是选择 a e 还是选择 c f 呢？并不是说是完全一样的，你需要根据题，有的时候它的角在某个地方的话是比较特殊的，所以自己自己要去尝试一下， 但是呢，宗旨是定对定动对动，然后构造全等，比如三角形 f， c h 和这个三角形构造全等，然后就把 c、 e 转化到了 f h， 然后就把 cf 转化为了 e h， 这样的话呢，他们就首尾连在一起了，就把分开的两条线段，对吧，然后转成了首尾相连了，这样的话呢，就容易求解。接下来我们来直接看例题吧。首先看第一题， 在三角形 a、 b、 c 当中啊，咦，角 a， b， c， a、 abc， 这里是六十度， d、 e 分 别在 a c， b， c 的 b、 c 边上， a e 等于 c， d， a e 等于 c d 好， a e 和 c d 它们相等，但是呢，也没有首尾相连，所以说是逆等线模型。若 a b 等于四， a， c 等于五，求 a d 加 b e 的 最小值。这是一个非常典型的一个逆等线模型。首先找定点动点，对吧？ c 点是 定， a 点是定， e 是 动， d 是 动。 那么我们是过点 c 去做一个。做一个角，使得角 b， 使得这个角等于角 b a c 呢？还是过点 a？ 哎，做一个角，使得这个角等于角 c 呢？哎，从图形上来看，肯定是过点 a， 哎，做一条水平就可以了，因为你过点 c 啊，做这个角 角 b a c， 它不是一个特殊角，那我这个做出来的这个角怎么去画？其实是很难说明的，对吧？所以呢，我们就过点 a， 哎，其实做一条水平线就可以了。 过点 a 做一条水平线，那很显然，哎，这个角和角 c 是 相等的，两直线平行，内侧角相等，然后 a e 等于 c d， 我 们在这条水平线上再取一个长度等于 a c， 不 就通过边角边证明全等了吗？好，这边是五，那么取一个点 h 连接 e h。 好，这里我把过程简单写了一下， a e 等于 dc， 角 c 等于角 h a e， 然后 a h 等于 a c， 所以， 所以通过这个边角边就能证明全等了。 那么 a d 就 等于 h e。 这个题目求的是 a d 加上 b e， 它就等于 h e 加上 b e。 我 们来看 h 点是定点， b 点是定点 b e 加上 h e， 那 直接连接 b h。 那 接下来这个题目就转化为求 b h 的 长度，它就大于等于 b h 的。 我们还有一个已知条件，没用吧，这里是六十度，然后 a h 呢？是五，如何来求 b h 呢？啊？这也更简单了，这就不是这个模型的问题，过点 b 向 a h 做垂线， 那么假设垂足是点 g， 好， 因为角 abc 是 六十度，那么角 gba 这个就是不是游戏机啊，是三十度，然后 ab 是 四，那么 ag 呢？它就是二， gb 呢？是二倍，根号三，再直角三角形 g b h 当中这套边长是七，这套边长是二倍，根号三，不就能求出 b h 了吗？ 所以 b h 等于根号下七七哎，四十九，加上二倍根号三二二得四三四一十二，等于根号下六十一。所以第一题就是这样写的啊，难度不大，讲的有点详细，后面可能会讲的快一点。看第二题。 在三角形 a b、 c 中角 b a， c 等于九十度，这里九十 d， e 是 动点 b， e 等于 c e， 且 bc 等于五，这个整个的斜边长是五，则 a d 加 a a， 这就是刚才讲的这个模型，是吧举的那个例子。然后我们来看一下这个题目怎么做。首先写定点，动点 b 是 什么？定点 c 是 定点， e 是 动点 d 是 动点。那么过哪一个边来去做另一个三角形的全等三角形呢？这个题目好像没有什么特别的之处啊， 我们来就以 b、 d 为例，那以 b、 d 为边去做一个三角形 a、 e、 c 的 全等三角形已经有了， b d 等于 c e 过点 b 要做一个角等于角 c， 那 么就做平行线是吧？ 做一条平行线和假设是个 l 吧， a c 平行于 l， 然后在直线 l 上面取一个，取 b f 吧。 假设取一个 b f 啊， b f 等于等于 a c， 然后连接 d f， 所以边相等。两直线平行内垂角相等，这是我取的，所以和 a、 c 相等，是边角边，所以这两个三角形全等全等之后呢？ d f 就 等于 a e， 那 么 a d 加上 a e 就是 a、 d 加上 d、 f， 那 么 f 是 一个定点吗？最短的距离不就是 连接 f， 连接 f， f 最短。 哎，这个时候考的就是，其实就是啥？就是四边形吧，我们看这里是垂直的，然后 l 和是平行于 a、 c 的， 然后 a、 c 是 垂直于 ab 的， 所以这里也是垂直，那 这里垂直，这里垂直。 a、 c 等于 b、 f 那 一组。对，我们知道一组对边平行且相等的，那他们就是平行四边形，所以 a、 b、 f、 c 它就是一个平行四边形，其中内角又是， 这里是九十，这里九十，那这里九十，这里也九十，所以它是矩形吧。矩形对角线是互相平分且相等的，所以这个它是大于等于 a、 f 的， a、 f 又等于 bc 的， 所以这个最小值就是就是五。好。最后考了一下矩形，然后再看第三题， 在矩形 a、 b、 c、 d 中， a、 b 等于三， a、 d 等于三倍，根号三 ef 分 别是对角线 a、 c 和边 c、 d 上动点，且 a、 e 等于 c、 f， 求 b， e 加上 b、 e 加上 b、 f 的 最小值。那这个图形放在这里，我们要看还是首先看是谁是动点，谁是定点，对吧？ c 是 定， a 是 定，动了我就不写了，因为图形比较小，那么 e 和 f 它就是动点，我就要，我是觉得是过点 c 做比较好，因为这个图形嘛，它就放在这个位置上面，那过点 c 做一个角等于这个角， 那角 b、 a、 c 多少度呢？我们看到 ab 是 三吗？ ad 是， 那 bc 也是三倍，根号三，这好像它就是一个三十度角的直角三角形吧。所以说角 b、 a、 c 它是六十度，那这也是六十度，我就过点 c、 a 做一个六十度的 射线，是吧？假如是 l 就是， 当然了，你不能讲是 d c 啊，就是这个角也是六十度，对吧？然后呢，在这条射线上面取一个 c h， c h 等于 ab， 就 等于三，然后连接， 然后连接 f h 就 可以了，是吧？这样这个三角形哎，边角边就是全等了，全等之后， b e 等于 f h， 让我们求的是 b f 加上 b e 就是 b f 加上 f h， 那 就直接连接 b h， 哎，这 b h 咋求呢？我们延长一下这条边， 我们知道 c h， 它的边长是三，这两边都是，这个是六十度，这个是六十度，整个角是，这个是 d c， 假设这个是 m 吧， d c m 是 九十度，那很显然这个地方是三十度嘛，我们做垂线嘛， 对吧？看到特殊角我们就做垂线， c h 是 三，那这边是假设这个是点，点 p 吧， 那么这条边就是二分之三，然后 cp 呢？ cp 就 等于二分之三倍根号三，然后我们就把这个图形画一下吧， 好，大致用一下啊。这个点是 b， 这个点是 p， 这个是 h， 然后有一个点是 c， 这个是二分之三，这个 bc 是 三倍根号三， c p 是 二分之三倍根号三，那直接勾股定利求，对吧？好，这里我把求 b h 用勾股定利就简单算了一下，最后结果是三倍根号七啊。 计算结果就比较简单，主要分析过程，然后看第四题吧。如图，在矩形 abcd 当中， ab 等于三， b c 呢？等于四， e 是 边上的 b c 边上的一个动点， f 是 对角线上的一个动点，且 b e 等于 d f， b e d f 求 d e 加上 c f 的 最小值，这里 b 是 定点， d 是 定点，那么我们选择 b、 e 吧，选择 b、 e， 从 b 点做一个角等于角 f， d、 c 构造一个边，角，角边，是吧？那么我们看这个角和就是角 d， b、 c 和角 b、 d、 c， 它俩是互余的吧？我要从这个点啊，从 b 一 边去构造一个角等于角 f， d、 c， 那 我是不是做一个垂线就可以了，对吧？所以过点 b 做一条垂线，那么这一弧和两弧的是互余的，这一弧和两弧的是互余的，所以说那就构造了一个等角。然后呢，在这条射线上面再取一个等于 cd 的 假设， 假设是 h， 取是 b h 等于 cd， 它就等于三，然后连接 连接 e、 h， 所以 这个 c、 f 它就等于 e、 h 的。 那么题目求的是 d， e 加上 c f， d e 加上 c f 就是 d， e 加上 e、 h， 那 么最后求它俩的最小值，就是直接连接，哎， 就是直接连接 d、 h， 我 们知道三四五勾股数，所以 e、 d 它的长度就是五，然后 d、 h 呢？是三，所以在直角三角形 d、 b、 h 中，那 d、 h 就是 根号下五五二十五，加上三三得九，等于根号下三十四。好，再看下面一题，如图，在三角形 a、 b、 c 当中啊 d、 e 分 别是 a、 b 啊 b c 和 a c 上的一个两个动点，且 b、 d 等于 c e， b， d 等于 c e， 若 a、 b 等于二倍，根号二 b， c 等于四，求 a d， 求 a d 加 b e 的 最小值。那么这个题目呢，会比前面的题目稍微难那么一点点， 难点在于你以哪一条边去做另一个三角形的全等三角形。如果我们以 c、 e 为边，那先标一下定点动点， b 点是定点， c 点是 顶点，那如果我们以 c、 e 为边去做三三角形 b、 d、 a 的 一个全等三角形，我要做一个等角，我要过以这条边去做一个等角，那这个角多大？搞不清楚，是不是因为角 c、 b、 a 这个角搞不清楚嘛？所以你做的这个角 多大根本搞不明白。那我们换着来，以这条边等于 这个 c、 e， 然后呢？以 b、 d 边去做一个三角形 a、 d、 c 的 全等三角形，那我只要做这个等角就行了，做这个等角简单，我只要做平行是不是就可以了？所以说选择 b、 d 边会减变很多，所以过点 b 做水平线，然后呢，假设这个是 l l 平行于 a、 c， 然后再截截一个 c、 b 的 长度， c、 b 是 四。 好假设到这里吧，假设是 h， 然后连接连接 h、 d， 看边和边相等，角和角相等，这 c、 b 等于四， h、 b 呢，也等于四，所以说这两个三角形全等了，全等完了之后呢？ 这个 b、 e 就 等于 h、 d， 那 么就是 a、 d 加上 h、 d， 它是大于等于 a、 h 的 连一下。 那就跟上面那个题目有点类似了吧。 h、 b 长度是四，这个是四十五度，我相对面去做 垂线，像这条直线 l 做垂线， b， a 是 二倍，根号二，这是四十五，那这也是四十五度。所以说这个三角形 p b p a， 它是一个等腰直角，三角形 b、 p 等于 pa 等于二。 题目就变成了这条边长是四加二十六，这个是二，那直接求了吧，是根号下六六三十六，加上四，根号四十是二倍，根号十，所以这题选 a。 好， 这题告诉我们以哪一条等边去做另一个三角形的全等三角形啊，可能我们要分析分析，而并不是任意选这条或者这一条的，好吧，然后再看第五题吧。 这一题放到这里呢，其实并不是很严格意义上，上面讲的那个叫能用刚才的这个逆等长逆等线模型来去求解。那首先看题目，等边三角形 abc 边长是六 e f 是 abac 上的动点，且 a e 等于 c f， a e 等于 c f， 它让我们求 c f 的 这个最小长度，那按照刚才的思想，对吧？ a 点是定点， c 点呢？ c 点是定点，那我们就选择以 c f 边做一个三角形， a e b a e f 的 一个全等三角形，那么从点 c 开始做一个角， a 角 a 是 六十度，那就是应该做一个平行线，对吧？ 好，但这个时候有问题了，这个 a f 它也是动的吧？我怎么去在这条射线上面取一个 f 呢？ 或者取要取一个，取一个点 g 呢？对吧？ a f 是 动的，那么你 c g 也是动的，它跟我们上面的这个模型啊，能取一个定长，那不一样。 但是呢，我认为这个题目啊，它可以仿照上面这个这个叫逆等线模型来做。我刚才往这条射线上不好取，我在这边取，可不可以取一个 c g， 假设取个 c g， c g 等于 af， 然后连接 连接 g f， 我 们看边和边相等六十度，六十度相等 af 等于 c g， 那 么这两天等于全等，对吧？全等之后， ef 和 f g 是 相等的， 全等之后呢？还有对应角，这个角和这个角是不是相等？哎，那这个角是不是就是六十度啊？ 我们看角 a f g， 它是由，假设这个是角一，它是由角一加六十度得到的吧？这个也是角一吧，然后角 a、 f、 g 又是三角形 f、 g、 c 的 外角，它也等于角一加六十度吧，所以说这个地方它不就是 等于角 c 等于六十度吗？那我再连接 eg 三角形 egf 是 不是也是一个等边三角形？等腰三角形有一个角是六十度吗？它也是等边三角形。 那么这个三角形 abc 和三角形 egf， 它们是不是公共有一个共点的这个外心啊？也就是这个外接圆的圆心。 好，假设就是这个点，三角形 abc 和三角形 e、 egf， 它们就共这一个圆心 o， 我 们连接一下这个 o f， 连接一下 e f， 那 假设这个 o e 也就是小 r， 那 向这边做垂线角 角 e o f 肯定是一百二十度，那么我们做垂线，由垂径定律，那这个是六十度，是吧？假设这个是点 p， 那 o p 呢，就是二分之一，而 e p 呢， 等于二分之，根号三小 r， 那 么 ef 就 等于根号三小 r， 求 ef 的 最小值，也是求半径的最小值。那这个圆心是定的，我怎么求这个小 r 的 最小值？那肯定是过点过这个圆心，向向 这个 a c 或者向 ab 做垂线不就可以了吗？做这个垂线不就可以了吗？知道 bc 是 六， bc 是 六，那这一节是三，这又是三十度，这又垂直，这是根号三， 所以小 r 呢，它是小于等于根号三，乘以根号三等于三呢？所以说 ef 最小值就是就是三。好，这题我是这么去想的。 好，下面这两题啊，跟上面的题目呢，略有不同，这里有写这两题都属于加权逆等一些模型。那什么叫加权逆等一些模型呢？刚才是 两条线段直接相等，线段相等是没有前面这个细，就是没有这个根号二的线段。前面的系数呢？是一是吧？这里它不是一了，是根号二，这里是根号二。再比如说 a、 c、 f 等于两倍的 a、 e 系数不是一了，所以说它前面加了个系数。那对于这种问题，我们的思路其实还是一样子的， 就是还是通过构造，通过对应边去构造，刚才是构造全的，那既然既然有比例的，我肯定要构造什么？构造相似，构造相似，然后呢？再化折为止，所以说思路是一样的，只不过方法上可能会略有不同。那我们先看这个题目，如图， 直角三角形 abc， 这里是九十度 斜边， bc 等于四，那么 ab 等于 ac 都等于二倍。根号二 d、 e 分 别为线段 ab 和 bc。 上动点 b， e 等于根号二倍的 a、 d， 假设是 a， d 是 小 a， 那 么 b、 e 就是 根号二倍的小 a， 然后求 a、 e 在 这里，根号二，二倍的，根号二倍的 c、 d 在 这里。 那我们按照刚才的思路，那 a、 d 和 b、 e 肯定就是我要找的那那一组相似三角形中的对应边， a 点是定点， b 点是 b 点是定点，那 b、 e 比 a、 d， 那 不就是根号二吗？所以说我通过 b、 e 构造的三角形是三角形 c、 a、 d， 这个三角形的根号二倍，就是相似比是根号二，那过点 b， 要做一个垂直吧，对吧？所以说过点 b， 哎，做一条垂直， 然后呢？ a、 c， 那 我要找一条，在这条射线上面找一个 a、 c 的 根号二倍， a、 c 乘以根号二，那就是四， 就是在这里，假设这个点是啊，点点 f 连接啊，连接 e、 f， 这里是垂直，那么 a、 e， 好 吧，重新再说一下。那么看一下，三角形 b、 e 比上 a、 d 是 根号二， b、 f 比上 a、 c 是 根号二，对应边乘比例，且夹角都是九十度，所以三角形 f、 b、 e 和三角形 c、 a、 d 是 相似的，那相似比就是根号二，那么 f、 e 就是 c、 d 的 根号二倍，那它两个相加就等于 a、 e 加上 e、 f， 那 这条边是四，它两个相加是大于等于 af 的， 它是大于等于 af 的。 那怎么求 af 呢？刚才方法都是一样的，过点 a 向这边做垂线， 这里九十度，这是四十五，那么这是四十五，这边是九十。假设是点 g， 三角形 g、 b、 a， 它就是一个等腰直角三角形 ab 边长是二倍，根号二，所以 g、 b 和 g、 a 都是二。在直角三角形 g、 f、 a 当中，这是二，这是六，根号下二得四六六，三十六，又是根号四十，等于二倍，根号十。 好，再看这一题，在矩形 a、 b、 c、 d 中， ab 边长是二， ad 呢是一，那么 bc 是 一， g 是 中点，所以 g、 b 等于 a， g 都等于一， ef 分 别是 a、 d、 c、 d 边上的动点 cf 等于两倍的 a、 e， 设 a、 e 为 a， 那 么 cf 就是 二， a， 则 g、 f 加上两倍的 b、 e 的 最小值等于多少？那这个时候我们就要想，以 cf 和 a、 e 啊是对应边，然后以 c、 f 为一条边，构造一个三角形，和 a、 b、 e 啊相似，然后相似比，应该是二就可以了。那么我们找定点动点 c 点是定点， a 点是 定点，所以呢，做点 c 做一条射线， 使得这个夹角啊应该等于角， a 等于九十度，然后 ab 长是二，我们知道相似比是二，所以二乘二得四，那取一个是 两倍的两倍的 ab 长，那看一下是不是啊？一，一二。好，假设，取到这里吧。假设是 h， 然后连接 连接 f、 h， 这个时候 f、 c 比上 a， e 是 二， c、 h 呢是四，比上 ab， 二是二，然后且夹角相等，那么就是相似比为二的一个相似三角形了。那么 f h 和 b， e 就是 对应边那两倍的 b， e 就是 f h， 所以 它两个相加都等于 g， f 加上 f、 h， 那 这个题目不就变简单了吗？连接 g、 h， 这里是一，这个是四，这个是一，那么最小值就是大于等于根号下一 加上五的平方等于根号二十六。好，前面做的都是一些选择填空题啊，那我们看一下 最后一题。最后一题是一个综合的题目，它应该是去年新疆的一个中考题的压轴题。如图，在等腰直角三角形 a、 b、 c 中角 a 等于九十度， a、 b、 c 长是四，那么 a、 c、 a、 b 长都是二倍杠二， a、 d 呢？等于 a 倍的 b， n、 m 是 中点，那么 a、 m 就是 根号二， mb 也是根号二。 然后 d、 n 分 别是线段 a、 c、 b、 c 上的动点。第一问，第一问应该是比较简单送分题，当 d、 n 分 别是 a、 c、 b、 c 的 中点时， 那应该画个图吧，暂停一下。好，这里把图形画好了。 d、 n， d 是 a、 c 的 终点， n 是 bc 的 终点。求 a 的 值， a 的 值，也就是 a， d 比上 b， n 等于小 a， 那 通过我们刚才我们知道，这里是根号二，这个是根号二，这里也是根号二，这里也是根号二。 m、 n 都是中点，所以 m、 n 平行且等于二分之一的 a， c， 这里是垂直，这里是垂直。那 a、 c 是 二倍杠二，所以 m、 n 也是啊， 根号二，所以 m、 b、 n， 它是一个等腰直角三角形，所以这里是 b， n 长就是二。那么根号二比上 ad， b， b， n 就是 根号二，比二，它就等于 a， 所以 a 等于二分之根号二。第一问比较简单，看第二问，就后面两问，可能会有一点难度。 第二问，当小 a 等于根号二时，以点 c、 d、 n 为顶点的三角形与三角形 b、 m、 n 相似，求 b、 n 的 长。这个题目呢，首先好的点是，他告诉了我这个 a， 他 这个笔直啊，就是根号二，坏的点是 c、 d、 n， 他 又没有给我一个，对吧？用符号去表示， 他没有用相似符号去表示，那么对应关系就可能存在多种情况，要分类讨论，是吧？所以我这里画了好几个图形，我们来去看一看。首先三角形 a、 b、 c， 这是 m， 假设摁在这里吧， b， n， 那 假设这个是 d， 好， 连一下， 因为题目说 a、 d 比上 b， n 等于小 a 等于根号二，我设 b， n 是 x， 那 么 a、 d 呢，就是根号二 x， 整个 b、 c 长是四， c， n 呢就是四减 x， dc 等于二倍，根号二减，根号二 x。 好， 这里表示到这里， 三角形 b、 m、 n 和三角形 c、 d、 n 相似。那我们把这两个三角形确定的东西给写一写，那不确定的东西呢？我们也给看一看，分析一下。 三角形 b、 m、 n 角 b 等于四十五度，这是确定的。 bm 它是确定的，是根号二 b， n 呢是 x。 然后三角形 c、 d、 n 当中 角 c 等于四十五度确定的。那么 b 和 c 可能就是一种分类情况，就是 b 和 c 是 对应角，对吧？然后 cd 等于二倍，根号二减，根号二 x， c n 就 等于四减 x。 那 么这一题我的思路就是拿 b 和 c 是 否为对应角来去分类。第一种情况，哎，角 b 与角 c 对应，哎哎，它和它相等，那么要么 b m 和 d， c 是 对应边， b n 和 c， n 是 对应边，那反过来还有一种情况是 b m 和 c， n 是 对应边， b n 和 cd 是 对应边， 因为它俩相似嘛，那肯定是对应面乘比例嘛，所以要么他和他对应，要么呢是他和他对应。所以我们来把这两种情况写一下， b m 对 的是 c d， 那 么相应的 b n 对 的就是 c n， 那 么 b n 对 的就是 cd。 好， 那既然对应边肯定是对应边乘比例嘛，肯定能列等式，是吧？ b m 这个是根号二，所以说写一下， 根号二比上 cd 是 二倍，根号二减，根号二 x 等于 b， n 就是 x 比上四减 x， 或者 上面这也是或的关系，是吧？上面是，那这边呢？是根号二比上 c， n 是 四减 x 等于 x 比上二倍，根号二减，根号二 x。 那 分别解这两个方程，不就能求出 x 了吗？好，看看左边的上下，可以同时除以根号二，就是一除以 二减 x 等于 x， 除以四减 x。 交叉相乘四减 x 等于二， x 减 x 方一项 x 方减三， x 加四等于零。看得它 b 平方九减去四乘以四是小于零的，那肯定是无解的嘛，所以这个无解，对吧？当然你考试不能打叉，你写无解，对吧？ 那再看这，再看这个交叉相乘，四减二， x 等于四， x 减 x 方移项 x 方减六， x 等于四，那就通过配方来， x 平方减六， x 加上九啊，这里是负四啊，等于九，减四等于五，所以 x 减三，括号的平方 等于五， x 就 等于三加根号五或三减根号五，这不用说，三加根号五排除。为啥 你整个 bc 长才是四，你三加根号五都比 bc 长了，你 x 太长了，对吧？所以这个舍去那只有一个结果，就是三减根号五号，这是第一个分类。再看第二个分类，就是角 b 与角 c 不 对应的情况下，角 b 和角 c 不 对应，那么角 b， 我 们来看这个三角形 d、 n、 c， 那 除了这个四十五度，那也就是说角 d、 d、 n、 c， 或者说是 n、 d、 c 这两个角有一个角等于四十五度，是吧？那， 那是，那说明三角形 d、 n、 c， 它就是一个什么等腰直角三角形嘛，要么它是四十五度，要么它是四十五度，反正它肯定是四十五度了，对吧？ b 和 c 又不对应，所以这个角是四十五度，或者这个角是四十五度，那所以说 d、 n、 c， 它肯定就是一个啊，等腰直角三角形，那 d、 n、 c 是 等腰直角三角形，那么 b、 m、 n 不 也是一个等腰直角三角形吗？那我就不用看这个三角形，我就看这个三角形，是的吧，那要么就是角 m、 n、 b， 这里是九十度，要么呢，就是角 b、 m、 n， 这里是九十度，对的吧？好， 画到这里啊。第一种情况，这样分析分析啊，这个是 m， 这个是 b， 这个是它就能推出来三角形 b、 m、 n 为 等腰 r、 t 三角形。好，那如果它是九十度，对吧？再分一个小情况，就是啊，再分个小情况， 角 b、 n、 m 等于九十度，那这个是根号二，这个是一吧，这个是一，是吧？ 所以呢，这个是 c、 n， c， n 不 就是四吗？呃，四减一吗？等于三， c， n 是 三， d、 n 呢？是二倍根号二减 根号二乘一，这个不就是 x 吗？二倍根号二，减根号二，就是等于根号二。 你会发现，三根号二怎么可能是在一个等腰直角三角形当中呢？所以肯定是不成立的， 能听明白吧？就三角形 b、 m、 n， 它是等腰直角三角形，那如果这里是九十度，这是根号二，那就是一，一 x 等于一了，那么 c、 n、 c 根长就是四减一是三，那这个呢？是二倍根号二减根号二，就是根号二。三根号二，怎么能凑出来一个等腰直角三角形呢？所以说不成立。那再看第二种情况， 第二种情况就是 这样，角 b、 m、 n， 这里是九十度， 那这边是根号二了，所以，所以这个是 n 了啊，所以 b、 n 长呢？就是二， b、 n 长是二， 那么那么 c、 d 呢？ c、 d 等于二倍，根号二减根号二乘以二，那不等于零了， c、 d 边都不存在的，也不存在。所以说，哎， b 与 c、 e 不 对应，它就也组成三角形，那最终的结果就是 这一个值，三点根号五。看第三问，这题主要想说第三问，他说当 a 等于根号二的时候， m、 n 加上 n、 d 的 最小值，那这个题目呢？他出题人还是比较恶心的。恶心的点什么？我擦一下你就知道了。 他说小 a 是 根号二，那么设 b， n 是 x， 这边是 根号二， x， 那 在一个三角形中。哎，你给我讲了一个，在一个三角形 a、 b、 c 中跟我讲了一个 b n 和 a a d 的 这样一个等量关系，我想的就是加全逆等线，是这样吧， 但是呢，你这里是 b n 加上 n d， 你 n、 d 又不带系数了吧？我们看一下刚才上面这个题目，对比一下，这里是系数一加系数是一， 哎，你这里是系数是一，系数是二，这里系数是一，系数是二。哎，你比刚才的题目又难了吧，所以说这个出题人还是蛮难的，蛮恶心的。 所以如果我们按照逆等线的思路，哎，这是 b 是 定点， a 是 定点， n 是 动点， d 是 动点，那么从点 a 来做一个角四十五度水平的，然后呢，这个长是根号二，那我扩大一个根号二倍，就变成了， 变成了二，对吧？到这里再连接这里，你会发现我这条线段和它虽然是对应边，但是它也变成了 m n 的 根号二倍了吧。你虽然把 这个 n、 d 和这条边连到一起去了，但是题目要求不是 n d 加根号二倍的 m n， 而是 n d 加上 m n 吧。那这个题目我们的思路就想，我能不能把这个根号二给还原回去，因为这里是 x， 这里是根号 x， 我 题目最后又是系数都是一的，所以我不想要这个根号二，那哪里能把怎么样去把这个 a、 d 的 根号二给消掉呢？我们想到一比一比啊，根号二，也就是等腰直角三角形当中，我以 a、 d 边为斜边，那我们是不是就把这个根号二给消掉了呢？所以过点 a， 哎，我做一条垂线，假设垂足是一， 再过点 d 向 a e 呢？做一条，做一条垂线，假设垂足式点 f， 这样的话呢， a f 和 f、 d 它都是 x， 没问题吧？我们看这个 f、 d， 它和这个 b， n 啊，是不是又相等又平行？ 是的吧，他是 x， 他 是 x， 这个 f d 垂直于 a e， 这个 b， c 也垂直于 a、 e， 所以 他两个是平行且相等。那一组对边平行且相等的四边形是啥来着？它是平行 四边形，所以呢，这个 n、 d 它就等于 b、 f。 那 题目让我们求的是 m n 加上 n d， 是 不是就是 m n 加上 b f？ 好，然后接下来我们的目光就集中到三角形 a， b， e 当中，他告诉我了我 b n 是 和和 af 怎么样？ b， n 和 af 相等吧，然后这个求 m n， 求 m n 加上这个 b、 f 的 一个最小值。哎，是不是就是普通的这种逆等线模型啊？那我们来标一下定点动点， 那 f 肯定是什么动点，对吧？ a 是 呢，定点，然后 b 呢是定点， n 是 n 是 动点，那我们的思路就是 b， n 和 af 它是对应边，然后过点 b 做一个什么跟角 b， a、 f 相等的角四十五度吧，那这里角 abc 是 四十五度，那就直接往这边 斜四十五度，给我做一个 l， l 和 ab 是 垂直的，那这个不就是和这个角相等了吧？假设标两弧吧，然后我还要取个定长吧， ab 呢，是二倍根号二，所以我在这个直线 l 上取一个 b， bg 等于 ab 等于二倍根号二，然后连接 连接 n g， 哎，这样的话呢，我们看这个三角形，边边相等四十五度，四十五度相等边边相等边角边，所以就全等了吧，全等了之后， b f 不 就转化为了这个 n g 吗？那么 那么题目要求的 m n 加上 n d 先转化为了 m n， n d 转化为了 b f， 对 吧？再转化为了 m n 加上 ng， 那 m 是 定点， g 是 定点，那它是大于等于直接连 mg 大于等于 mg 的， 对不对？这边呢，是根号二，这条边是二倍根号二，你说 mg 等于多少 mg， 它就 等于根号下八加二等于根号十。所以回归到这个题目， 猛的一看，哎，这条边和这条边有个比例关系，但是让我求的呢，却不是存在比例关系，我们就要想怎么样把这个根号给消掉。嘿，在什么三角形当中呢？能消去这个根号二呢？就是在一个等腰直角三角形当中。 那找到这样一个等腰直角三角形，我发现一组对边平行且相等，那么就是平行四边形，把 n d 转化到了 b f 这里，好，在一个三角形当中， a b e 当中 b n 等于 a f， 它就是逆等线模型，对吧？然后呢，就可以用这个以 b n 边去构造一个三角形和三角形， a， b， f 全等，把 b， f 转化到，把 b， f 转化到这里来，所以 m g 两点之间线段最短就可以求出了。所以说这个题目呢，还是非常不错的，希望大家能够好好听一听讲义。然后呢，把这个题目所有的题目都自己再重新做一遍。好，今天的视频录到到这里，谢谢大家。

全等三角形手拉手模型是八年级数学考试频率特别高的一个模型，但对模型能够熟练掌握并应用的同学并不多， 今天我将从模型的特征、模型的四个结论、模型的结论的证明三个方面做一个详细的讲解。 首先我们来看一下手拉手模型有哪些特征。 ab 等于 a、 c 意味着三角形 abc 是 一个等腰三角形 a、 d 等于 a、 e 意味着三角形 a、 d、 e 也是一个等腰三角形。所以模型 的第一个特征是题目中含有两个等腰三角形，所以模型的第一个特征是题目中含有两个等腰三角形。所以模型的第一个特征是题目中含有两个等腰三角形，所以模型的第一个等腰三角形。 那么从图形上我们可以发现 a 点，它是三角形 a、 b、 c 的 顶点，同时也是三角形 a、 d、 e 的 顶点。 所以模型的第二个特征是这两个等腰三角形共顶点 角 b、 a、 c 等于角 d、 a、 e， 也就是这两个角相等。 那么从中我们可以发现这两个角分别为这两个等腰三角形的顶角，所以模型的第三个特征是这两个等腰三角形的顶角相等。 当题目中的条件同时满足这三个特征时，我们就要想到手拉手模型 前面的三个特征可以帮我们辨别出题目的考点是手拉手模型，那接下来的四个结论及其证明将可以帮助我们快速解析 结论。一、与腰勾全等，即三角形 a、 b、 d 与三角形 c、 a、 e 全等。那有一部分同学可能不知道如何找出这两个三角形，这里我来说一下方法， 那从图中我们可以发现， bc 为三角形 abc 的 两个底点，那 b 点在左， c 点在右， d、 e 为三角形 a、 d、 e 的 两个底点， d 点在左， e 点在右。 那接下来我们只需要将左边与左边的点相连，即 b、 d。 右边与右边的点相连，即 c、 e， 就可以得到我们所需要的两个三角形，这也是手拉手模型的名称由来，左手拉左手，右手拉右手。 从图中我们可以发现，在三角形 abd 中， ab 为三角形 abc 的 腰， ad 为三角形 ade 的 腰。 在三角形 a、 c、 e 中， a、 c 为三角形 a、 b、 c 的 腰， a、 e 为三角形 a、 d、 e 的 腰。所以我们的结论一是与腰共全等。结论一的证明过程我已经写下来了， 大家可以暂停看一下，有不明白的步骤可以在评论区留言，我会一一解答。结论二，拉手线等长， 即 b、 d 等于 c、 e。 这个证明的过程比较简单，它来源于结论一的证明，即三角形全等对应边相等。 结论三，两个拉手线形成的夹角等于顶角，即这个角角 b、 f、 c 等于角 b、 a、 c 等于角 d、 a、 e。 它的证明过程我写在了下方，里面用了一个八字型，大家可以暂停看一下证明过程。 结论四，顶点与拉手线的交点连线平分。拉手线夹角，即 a、 f， 它平分角 k、 f、 h 平分这个角。 结论四的证明我已经写在了下方， 大家可以暂停看一下，有不明白的步骤可以在评论区留言，我来解答。 另外需要说一下的是，这里涉及到了一个辅助线的添加，这个辅助线的添加是需要大家记住的，因为在解大题目的时候，他是需要写解析步骤，那这里面的辅助线添加就是我们需要用到的。 有了这四个结论，可以让我们在做选择和填空题时秒答题。理解了这四个结论的证明过程， 可以让我们在解大题的时候首先思路清晰，然后写过程也将十分轻松，因为这个解析过程其实就是结论的证明过程。

同学们好，我是秋实教的王老师，下面我们来看安徽六校联考的这个一月份的联考的这个，这个最后一题啊，首先呢，给了我们一个安培的定义，安培的定义就是相当于告诉我们一个新的知识啊，像这个相距一米的，嗯， 这个立为两个导线呢，立为二乘十的七次负七次方牛顿啊，那么这个电流就叫一安培，电流是一安培。 好，那这个这个你东西就不用管了，反正他告诉你这样的，你就这样这样来就行了，这个你没学过啊？好，这是以前的这个安培的定义啊，现在安培的定义已经不照这个定义了啊，二零一九年之后啊，他就不照这个定义了啊，这是最新一届的这个 什么什么计量大会啊，就是已经按照这个什么留够多少个电子啊，定义电子的电赫就电子的这个电量 e 啊，它等于什么？一点六零二啊，后面还有多少啊？乘以十的负十九方库伦啊，这是这样定义的，然后一秒呢，是定义成为 什么这个原子的这个跃迁啊，你就多多少个周期啊，叫一秒，然后一秒钟是一库仑的电核，一库仑的电核就是多少个电子通过这个，这个叫一安培。好，那这个这个倒无关紧要啊，反正这也是之前那种定义啊。 嗯，有这个定义之后，接下来他讲，嗯，又又介绍了一个新知识啊，我们现在有两个新知识，一个无限长的导线，它周围会有磁场， 这个磁场呢，磁感强度就写成这么多了， r 分 之 k， i， i 是 电流， k 是 我们的一个常数啊，这常数加来就让我们求的，嗯，这个常数，不知道你让我们求呢？就通过这个安培的这个定义啊，上面这个我们就可以得出下面这个通过上面这个安培的定义啊，可以得出来下面这个 k 的 值。好， 第一个要求这个 k 的 值，那我们就把这个带进去啊，我假设这个现在就是一安培，就是一安培，那我这个一个电流在另外一个 地方，你比如讲相距就叫一米，那这个地方还产生一个磁场，那这个地方产生磁场，我这个电流叫 i 啊，那在这边这电流也是 i， 他 在第一个左边的 i 在 右边产生一个磁场，比如说我们这是朝外的，朝外的，那这个磁场就是朝上的，朝上的磁场， 那你有个向上的一个磁场 b， 那 这个 b 是 多少呢？ b 就是 k， i 除以二， k 除以二，那然后这个电流在这个左边的这个电流的磁场当中，它受个力啊，受个力就是安培力。 f n 等于 b l b， b 就是 k 倍的 i 除以 r i， i 就是 i l l 就是 一米啊，就是一米啊，好，我们分别把这些都带进来，那这个东西就等于什么？就等于 k 就是 k 除以这 i 是 一安培，嗯，这个 i 是 一安培啊，这个 r 是 一米， l 也是一米，那，那就没了，那我们这这就一个 k 了啊，这里只剩一个 k 了， 这就一个 k 等于多少呢？二乘以十的负七次方，二乘以十的负七次方，所以我们这就就第一问就算完了啊，所以这个 k 就 算好了。好，这是我们的这个第一个问，第一问， 那下面我们再来看第二问，嗯，他讲我有如假所示啊，有无限长的绝缘筒，半径为 耳，半径为耳，然后外侧 m n 有 无限长的通电导线，就是下面这个图这样的啊， m n m n 啊，有这个无限长的这个导线啊，这个电流均为 i， 方向都朝上，方向都朝上。 呃，给了一个俯视图啊，俯视图就这边有个 i， 这边有个 i 啊，这个都朝上啊，呃，现在问我们这个圆心为 o， 圆心为 o， 呃， a 是 这个弧的中点， a 是 m n 这个弧的形的这个中点啊， 嗯，中点两边的角度呢，都叫 c 塔， m o a 和 n o a 都叫 c 塔，叫 c 塔。你标出来问 a 点的这个磁感强度是多少？ a 点的磁感强度，那我们就可以带到上面的，用上面这个公式啊，你无限长的知道现在产生的磁场强度是这么多吗？但是这个它是有方向的啊， 就我们虽然这个是这个，这个求出来这个大小，它这个大小，它是个矢量啊，你不能呃，这大小是个矢量，你，你不能不能 呃，直接把它相加啊，你这个 m 在 这块呢，产生一个长， n 在 这也产生一个长，那比如说这个是朝外的这个电流啊，我们朝外的电流，朝外的电流在 m 在 这个 a 点产生的长是什么样的呢？你把它连起来连接 ma 啊，产生长垂直的 啊，垂直的好，那它也是垂直的啊，它垂直的是垂直于 a n n， 它是这样的 啊，他这样垂直的啊，你是这样垂直，他是这样垂直的，那你们两个是不是发现，哎，我是刚好和这个 这个水平线啊，水平线竖直线，我这个正交分解的，正交分解，你们两个的水平分量刚好保存下来了，水平分量刚好留下来了， 水平分量留下来了。你这个数值分量相相互抵消了啊，数值分量你俩是电流是一样的啊，是不是相互抵消了？那这个角度又是多少呢？那我们这个角度是多少？这个角度这是垂直的往这划过来， 抛过来啊，他这也应该垂直的啊，所以这个角度对应的就这边的角度。这个角度多少呢？二分之 c， 它，二分之 c， 它，所以我们这应该是多少呢？就是，呃， b 啊，磁感强度 b 应该就等于首先是 k 倍的 i 除以 r 特别大除以 r， 然后呢，他再进行投影啊，这个投影投多少呢？就是 cosine 二分之 c 啊， cosine 二分之 c。 好， 那这个 k 刚才已经求出来了啊，我们是知道的啊，这就不用管了，这个 r 是 多少 r？ 是 m a 之间的距离，那这个距离又是多少呢啊？ r 这个距离是多少？ r 应该是等于大乘以一个 sine。 二分之 c， 三分之 c 啊，然后再乘以二 啊，这么多都是两两两两半啊。左边右边两半，每一半是这个 r 乘以三 r 乘以四的。好，然后你再把它带进去啊，那我们这个 b 就 等于什么呢？你把这个带到这里面来，我们 b 就是 k 倍的 i， 然后乘以一个 cosine。 咦，我，我三引，三引，我刚写错了吧这是这写错了，这不是过三引吧？是三引，三引，二分之四，它，这个这个角度是二分之四，它，啊，那对应的是这个边，这个边是三引啊，三引写错了好，掉进来。这个 r 里面本身也有三引啊，就是可以 sin 二分之 c， 它除以大乘以三二分之 c 它再乘以二，好，那这个三分之 c 它这两个相约掉了，约掉了，那这就是两 r 两边的大分之 k i， 对 吧？大分之 k i。 好， 你这只是一半对不对？你还得乘一个二，你再乘一个二，那你再乘一个二，那就是二分之 k i。 啊，你看一下。好，这样我们就能得出来这个这个结果了啊，那这个 a 点的测量强度能不能已经算完了啊？算完了，这个 k 是 多少？ r 是 多少，对吧？嗯， r 是 多少，这个就知道这个都是清楚的啊。 k 我 们刚才已经算过了啊，好，我们就就用字母表示啊，他没让我们写数字啊，那第二我们就算完了。 嗯，然后到第三问啊，半径为一米的，现在这叫有数字了啊，告诉我们这个半径了啊，半径为一米的啊，无限长的绝缘筒外表面有一百根啊，一千根啊，均匀分布均匀分布一千根的无限长的通电导线，每根导线的电流是十安培啊，每个十安培电流要告诉我们， 如图饼所示啊，就是密密麻麻的排了一千根啊，排了一千根啊，排的非常密啊， 好啊，现在都排满了一样啊啊。圆筒单位面积单位面积受到的压力单位面积压力相当于加强了好，那这个圆筒用这无穷长的啊，单位面积又一平方米一平方米，那我就相当于我这是选一块的吧，我的工作是选一块 啊，选一块在这一块里面啊。啊，他受到这个压力是多少啊？任意选一块啊，他的这个长啊宽啊，对应的啊，这个边这个磁场应该是能够算出来的啊，我任意选一个位置啊任意选一个位置啊，比如在这个地方啊，我选一个特别特别小的一小块啊。啊，在这之间我选一特别小的一块，那你们的这个磁场是多少呢？ 嗯，可以算出来啊可以算出来，我们还像刚才这样啊还像刚才这样。我们画一个图还像刚才这样，我们画一个大的图，嗯，画一个圆形， 椭圆、多边形。嗯，圆形吗？只有椭圆啊，哎，这就是个圆哈。 好，画个圆形啊，画一个圆形，然后接下来呢，我们就取这个位置啊，我们还是取这个最低点这个位置，然后这个地方有一个，这个地方也有一个，这是我们的圆心，这是我们的圆心啊。好，那这个角度，这个角度就是比较小啊， 现在因为它是一千根啊，一千根相当于我们这一个角度啊。是啊， ip 除以一千， 它派除一千啊，就是五百分之派啊，这个角度很小啊，就叫 c 塔啊，就叫 c 塔。好，那你们在在这一点呢，它也要产生这个场啊，你们俩在这一点产生场是多少？那将来这还有啊，第三个，第四个，我们同样是两两配对啊，刚好都关于它这个对称啊，都关于它对称啊，所以我们这个 总共相当于有五百对啊，有五百对那么一对，我都把它算出来。那五百对总共多少啊？就就就能够算出来啊。好，你这是多少呢？就是跟刚才一模一样的啊，就是去去 c 塔啊，我们这个 c 塔哦，跟刚才还稍微有一点点不一样啊，刚才是一边叫 c 塔的，我们现在是两边叫 c 塔，我们这是二 c 塔，二 c 塔等于这么多， 好，那这边就是 c 塔，那得出来的这个这个这个这个这个量啊，你这边朝上啊，朝上，我换个颜色，就这边一连起来，它垂直向上，这边一连起来呢？垂直向下 好，然后得水平方向的投影啊，水平方向投影好，然后这边一连起来，这边连起来啊，这边再连起来 就连起来，这样垂直好，那跟刚才一模一样的啊，我们同样的这个操作步骤啊，我们就能分出来这两个对称的这两个导线啊，这两个导线在这个地方产生的这个磁感强度大小 b 呢？ 我们就 b 一 吧，两两个导线，两个导线配成一对，那么这一对的这个磁感强度大小就应该还是我们刚才算的这个结果啊。刚才算这个结果多少 啊？ k 倍的 i 出幺， k 倍它出幺， k 倍的 i 出幺，因为刚前面已经算过了，哎，那你这两个呢？你们俩产生的是多少呢？ 它差别在什么地方？就是 c 的 在增加，对吧？ c 的 变大好，然后你现在要连这个连这个啊，你这个画的就是这个角， 就这个 c， 它现在就变成了二 c 它了，但是你，你这个 c， 它是不是约掉了？我们刚才第二个当中，哎，你发现它约掉了，对吧？嗯，你这个撒一 c 它，你这撒一 c， 它就刚好约掉了，跟这根本没有关系啊，所以这个就是还这造型，还这么多，那你那就感觉不对劲啊， 你看我这个，你这两根线离这么近，这两个导线啊，这个蓝色，这两个导线离这么近，你产生的这个磁感强度是 kpi， 这样离这么近，你怎么还是 kpi 二呢？ 你不是离得越近磁场越强吗？好在这里面有个什么问题呢？就是他是方向不一样啊，方向不一样，你刚才在这的时候，在这的时候你是垂直于这个连线啊，现在你得垂直于这个连线，就是你的大小虽然是在减小啊，但是你的方向变倾斜了， 你分量变轻些了，分量变轻些的话，你水平方向的这个分量就变大了，分量就变大了啊，你这个本身大小是在减小的，红色的是比黑色的要短的啊，但是因为你的方向变得更平缓了啊，变得更平缓，所以你的合起来之后啊，这个和食量这个大小还这么多 啊，所以我们总共有多少个呢？总共有五百个， b 一， b 二， b 点点点，一直到 b 五百，对吧？他都是这么多啊， key 的 i 出 y 啊，都是这么多，所以那总共那大家，并且我们方向还都朝右，对不对？所有的这个方向都朝右啊，所以大家一起合起来啊，你别让我随便再画一个啊，再往远处再画一个。 假设有一个关于这个对称的啊，关于这个数值的，这个对称的啊，有个在这，有个在这啊，他们要对称的，那这个导线在这个地方啊，产生了一个场啊，我们朝外的，那你就是要垂直于这个连线， 垂直于这个连线，那你就这样这样的，但是你很小啊，你很小，就这个长度，平时很短的话，太短你看不清楚啊。好，那这边呢？也是的， 这边划过来啊，划过来，你呢？要垂直，正看你们俩到最后合适时呢，还是水平的啊，还是水平的啊，所以总共就这五百个，那我们总的这个磁感强度在这点，总的磁感强度多少？就是五百倍的这个 b 啊，我们 b 最终的这个 b 啊，就是五百倍的 k i 除以二 啊，我也没看出来。好，那 b 是 这么多，那我们要，我们要算什么？我们要算他这个嗯， d 的 大小啊。那你，你这个在这个上面，我这么强的这个磁感应强度 在你这个面上面产生多大的力？你这个面上面相当于，你看我这帮根本就没有电流啊，没有电流怎么有力呢？你这没有力，人家旁边这电流要受力啊，到最后他要均摊到每一个位置上面去啊，所以我们把这个电流给它均分一下， 相当于均分了一下啊，你每个位置需需有多少电流啊？那这个总的电流是一千倍的 i， 一 千倍的 i， 然后我们除以一下，除以一下这个总的长度啊。派啊，这就是限电流密度，限电流密度， 然后我们再乘，再乘以我们现在的这个长度啊。假设我取了这一小节，就这一小节，这个长度呢？我们叫叫叫叫叫叫叫一个 a， a， a 的 一个长度啊， 那你这个长度的 a， 那 个长度叫 b 啊，那长度叫 b。 这个 a 和 b 他 们俩一个乘起来呢？应该是一啊，他俩乘起来应该是一啊，面积是一吗？单位面积上面的啊，所以这个面积是一。呃，这个，这个，这个就从这到这啊， 从到这，这就是我们的电流电流的大小啊，好，电流大小，然后这是长度，然后你再乘一个磁场，乘个 b 啊，这个 ab 这个面积上面的这个安培力。 好，那单位面积呢？那我们再除以 ab， 再除以 ab， 就 得到单位面积上这个压力的大小了。好，那就是一百倍的 i 除以阿帕尔，再乘以 b 啊，好，那把这一千倍的 i 啊， 好，那这样的话，我们就可以得出来这个是多少。一千倍的 i 除以二 pi， 再乘以五百倍的 k i 除以二啊，出二。好，其中二是一，二是一啊，这个是比较简单的，我们直接约掉了，不要 二是一。然后 k 呢，是二乘以十的七次方，二乘以十的负七次方，二呢？二是多少？二是十，二是十， 二是十，那这个是十，这个是十，相当于再乘一百，再乘一百。嗯，这是三次方，两次方就是五次方，五次方加二次方七次方啊，所以上面就是五乘以十的七次方， 然后再乘以二乘以十的负七次方，就是十啊，下面呢就是二 pi 啊，所以就是十除以二 pi， 十除以 pi 就是 pi 分 之五 啊，八分之五，嗯，这个，这个力就是这么多啊，好，那这样的话我们就算出来了啊，我们这个力的大小主要就是算这个磁感强度啊，我们这个任意一个位置的磁感强度就由这一千根的导线共同产生的，所有的这个磁感强度放到一块， 所以这一千根导线啊，他是两两配对，两配对，配对完了之后，他的思想强度是固定的啊，就是 k h 啊，他的第二位啊，相当于第三位进行了一个铺垫啊，这是一个，就是一个，一个比较比较常规的这么一种，就算这个题的这个情境不常规啊，情境有更，这不可能学到这个东西的啊。嗯， 电流产生磁场啊，这个是最早是比尔萨法他们呃得出出来的这个结果啊，给出来这个公式啊，比尔萨法定律啊，安培给出来是这个电流之间的受力的一个公式啊。安培定则。 嗯，那这个就是大学的这个电磁学当中啊。呃，会专门学习的这个内容我们正常的啊，除非学竞赛的同学啊，正常的，我们高中课程不会涉及到这些的啊。这个内容如果你你学过了这个竞赛的内容啊，你会这个什么安排？滑动定点啊，这个这个磁上磁感强度这些都很好求啊，直接就求出来了。那这个 对应的这个力的大小都挺简单的啊。你微积分会了这个微积分啊那些就学了这些这个这个到高度对称啊，你不都不用微积分啊。嗯， 这内容都都不是很复杂，但是我们就根本就没有学过这个，但是他这个题目里面呢，他不需要你学，他跟你讲了啊，讲了怎么做，然后你照着照着他套就可以了啊，他的第二个和第三个联系非常紧密啊，第二个就是靠第二个的这个结果做出来的。 好，那我们这里还有一个瑕疵啊，就是这个 k， 这个 k 应该是有单位的啊。单位？我们没有带单位啊，这 k 有 单位。你根据 根据这个这个量钢的这个法则啊，这个 k 应该带个什么样的单位啊？看看带什么样单位。就是用这个什么安培啊，这个，呃。米啊，千克秒啊这些啊，用这个 f 直立啊，牛顿嘛，牛顿就是米千克秒这些啊。好，那然后就把它带带出来啊。好，这个我就就不带了啊。 行，那我们这个题就分析完了啊。那我们这个题就分析完了啊。行，那我们这个题就分析非常明显啊。其实非常明显， 寻找对称性啊，就对称就做出来了啊，得出来这样的这个规律。行吧，我们就分析到这里。啊啊，祝同学们学习进步，再见。

这是一道简约而不简单的经典初中几何难题，这个题目呢有一定的历史了， 那么这里面呢，我们如果站在初中生的角度去解，怎么样去解呢？我们一起来看一下。这里面给我们一个三角形， a c b 角 c 呢？九十六度角， a 呢？五十四度， a c 的 长度告诉我们等于一，现在让我们求 bc 的 长度为多少， 图形呢？给的非常的简单，那么拿到这种题目以后呢，我相信大部分初中生，即使你没做过这种题目，你也会想着干嘛呢？把这样的一个锐角放在什么？放在直角三角形里面， 因为我们通常在中学里面学的三十度，四十五度，六十度，我们都是这样来操作的，变成直角三角形的一个内角以后呢，就能够利用他的三角函数值去求线段的长度了。那么这样的一条线做下来以后呢，有的同学会想，哎，五十四度，所以他的这个余角呢，正好是三十六度， 三十六度，九十六度的一部分吧，所以这个角呢，一定是一个六十度的角，它六十度，现在我们要求的这个 bc 刚好是这个六十度角三角形的一个什么斜边吧，所以它一定是我们这条边的两倍，因为这个角是一个三十度的角 啊，那我就知道这个 bc 呢，要求它，我们可以间接的先把这个 c h 的 长度给它算一下， c h 呢，它所在的三角形 a c h 正好是一个直角三角形， 但是这个直角三角形呢， h a h 我 们不知道，如果知道的话，勾五厘米就 ok 了。或者呢，我们知道月角的三角函数值也可以，比方说这里面的三十六度和四五十四度呢，恰好我们也是不清楚的，对吧？如果是四十五度我们就知道了，那在这个位置可以怎么办呢？啊？那么下面呢，我们还是要着重的描 从这个地方出发，这个三十六度呢，它的零边刚好是 c h， 如果我能够把三十六度角的一个余弦值给它算出来，它正好是我们要求了这个 c h 和我们这里面的 ac 的 一个比值吧， ac 等于一嘛，所以 c h 的 长度实际上就是 q 三也怎么样？三十六度。 那下面的问题就集中在能不能把三十六度角它的余弦值，我们通过手工的这种方法把它算出来呢？ 啊？要算的话怎样就算呢？那这个东西的话，要联想到我们在相似这个章节里面讲到的一个黄金分割比啊，由黄金分割比我们又延伸出来一个叫黄金三角形，黄金分割三角形啊， 这个黄金分割三角形呢，比较典型的就是什么呢？就是以三十六度角为顶角的一个等腰三角形， 他的两个底角刚好是七十二度，他呢也是七十二度。然后呢我们再做这个角的一条角平分线，和他有一个交点，你会发现他三十六，他也三十六， 所以呢，这个角其实也是一个七十二度的角，也就是说这里面正好形成了一个顶角为三十六度角的等腰三角形，刚好是一个相似关系，所以这里面一些边的长度呢，我们就能够用相似比把它算出来， 就这个意思。所以下面有了这样的一个想法以后呢，我们可以在这个位置也来构建一个三十六三十六度角的一个等腰三角形，我们可以把这条边呢怎么办？我们把它向下延长一下啊，比方说延长到这个地方这个点， 这个点，刚刚说的这个点是 a 区点，对吧？这个点呢，我们用 e 来表示，使这个 c e 的 长度呢？等于几呢？等于 ac 等于几？等于一，那么这样的话，我们再把这里面的 a e 啊，我们给它连接起来， 那么此时这个 a c e 呢，就是我们所说的顶角为三十六度角的一个等腰三角形，对吧？那么相应的它这两个底角呢，都是七十二度， 那么这个大的底角呢，也是一个七十二度的角，那我现在怎么办呢？我们再做这个大的七十二度角的一个吗？角平分线和他有个交点，这个点呢我们用 f 点来表示， 那么这条线做出来以后，大家看一下，我们得到的是他三十六度，那么他呢应该就是一个十八度的角，下面这个角呢，他也是一个十八度角，因为七十二减去五十四呢， 他也是一个什么十八度的角，所以这地方这个 a h 又是 f a e 的 一条角平分线，也就说这两条边其实是一个相等关系吧，对吧？好，那么在这个位置大家看一下，我们得到这个 e a f 这个三角形三角形 e a f 其实是相似于三角形 a c e 的 吧？ 他俩刚好相似啊，都是顶角为三六角的一个等腰三角形吗？所以这里面 a e 的 平方一定等于 e f 乘以什么？乘以 c e， 这里面 c e 的 长度为几啊？为一，那我们就是 a e 的 平方呢，一定是等于我们这里面的 e f 乘以 乘以，这里面 c， e 就是 一啊，就等于它，对吧？我就不写了。那么下面这两条边是什么关系呢？我们要求的等一下看，我们现在就假设这条边是 x， a e 是 x， 那 相应的 af 长度呢？也是 x， 它是三十六度，它也三十六度，所以这里面 cf 和 af 长度也是一样的，也是多少也是 x 吧， 对吧？那这样的话，这个 e f 的 长度其实就是整个这个一减去什么减去 x， 所以 这个方程就变成了什么呀，是不是 x 的 平方等于一减 x 呀？ 没问题吧，那这样的话，我们可以把它减一下啊，等于几呢？等于零，那么我们得到的就是这样的一个一元二次方程，下面呢，我们利用这个求公式呀，可以快速的减一下 x 等于二分之负一加减，根号几呢？根号五 x 呢？他肯定不为负，所以这里面要首负，最终呢，我们取一个正的，就是 a 二分之，什么根号五减一，这个刚好就是一个黄金分割比啊，所以顶角为一百，为三十六度角的这样的一个等腰三角形啊， 他就叫做黄金分割三角形。这里面呢，有些，有些时候呢，这个省份会考试啊，他会引入这个东西啊，我在这里面呢给大家分享的这个东西，大家也可以当这个偷懒偷懒的结论去记，那这样的话，我就知道 x 是 等于他的， 那我现在求什么？我要求这个三十六度角的一个余弦值吧，对吧？那怎么样去办呢？哦，我们可以这样来操作一下，我过他知道边上一条高线， 这个点呢，我们用 f 点，用 g 点表示，因为这个 c f 和 af 相等嘛，这个 g 点一定是 ac 的 一个中点，所以这条边呢就是多少二分之一，我已经算出来 x 的 值是多少二分之根号五减一，所以下面呢，这个口三 a 三十六度啊， 他的一个三十六度角的一个余弦值就是二分之一，除以。什么除以？我们这里面的二分之根号五减一吧，最终结果呢是根号五减一分之一，也就是再给它分母幺理化一下，上面是根号五加一，下面呢下面应该是几，应该是四， 对吧？等于这样的一个结果，那么也就是说这个 c h 长度等于它，那么 c h 长度呢？也就等于它，那么下面我们要求的是什么？是 bc 的 一个长度，所以 bc 呢，是它的两倍，最终算出来的结果应该是二分之根号五，怎么样加一，所以这道题呢，我们就给它解决了。

还有不到一个月的时间就期末考试了，而九年级的同学呢，马上就进入到了中考的冲刺阶段，不知道你有没有一种疑问，就是几何要学到什么程度，能够达到考试的要求？今天给大家分享的这道题，就给同学们提供了一个参照标准，这道题能够在二十分钟以内做出来的， 基本上就能达到安徽中考考试的要求。这就选自合肥名校科大附中十二月断考的几何压轴题，也是我们名校压轴题训练营的重点给同学们讲解的一道题。 我们来读题，他说，在三角形 a、 b、 c 中角 c、 a、 b 等于九十度， a、 d 垂直于 bc。 在 图一中，这是一个特殊的等腰直角三角形，当然， d 点和 e 点都是中点。 在图二中， a、 c、 b 依然是直角三角形，只不过角 b 是 三十度，也即使它是一个特殊的三十、六十、九十度的直角三角形，而在图三当中，它是一个一般的直角三角形。只告诉我，角 b 等于阿尔法 a、 e 和 b、 e 之间的数量关系很明显，这三问之间是有联系的。也就是说，你做第一问的解法，其实会影响你做第二问和第三问这道题呢？他的第一问，我给大家提供两种解法，一种是普通同学的解法，另外一种是老师的解法。你看一下哪种方法你认为更好一些？ 在图 e 当中，因为 d 点是 bc 的 中点， e 点是 ab 的 中点，所以我们能想到连接 d、 e， 那 么 d、 e 就是 三角形 abc 的 中位线， d、 e 平行于 ac， 且等于二分之一 ac。 当然，这个三角形 d、 e、 b， 它也是一个等腰直角三角形。 在这里我们能看到 d e、 b 这个直角和 c e f 这一个直角是重叠的，也即使这里是一个叠角模型。 来背一下口诀，叠角必有等角，也即是此时这个角等于这个角。而我们要的 g e 和 e f 是 不是在含有这两个角的三角形 g d e 和 e f b 当中？所以这两个三角形我们正一下它全等，就能够把这道题 ef 和 e g 的 数量关系确定下来。 这两个三角形当然是全等， d e 是 等于 e b 的， 也即是有一个边相等，这个角是四十五度，这个角也是四十五度， 所以这两个角相等。而刚才我们已经证明了有另外一组角也是相等的，所以我们根据 a s a 就 能够判定这两个三角形是全等的，也即是 g e 等于 ef。 第二种方法就是老师的解法，是通过辅助圆的思想， 因为在这里已经明确的告诉你，这个角是直角，而这个角也是直角，因此 g、 d、 f、 e 四点是共圆的， 共哪一个圆？当然是以 g f 为直径的这样一个圆。辅助圆做出来之后，我们能够很快的看到这两个角是相等的，并且都等于四十五度，所以 g e f 它是一个等腰直角三角形，因此 g e 等于 ef。 ok， 好， 这是另外一种解法。我们来看第二小问，第二小问呢？它的条件是把角 b 等于四十五度改成了角 b 等于三十度。依然让我们探求 e f 和 f g 的 数量关系，因为在第一问中，角 b 等于四十五度的时候， ge 是 等于 ef 的， 那么当这个角变成三十度的时候，我们再根据 ge 和 ef 目测一下， ge 是 大于 ef 的， 所以我们可以推测出，其实大多数的同学都可以推测出 ge 是 等于根三倍的 ef 的。 要证 g、 e 等于根三倍的 e、 f， 也即是让我们求证 g、 f、 e 这个角等于六十度，也即是让我们求证 a、 d、 e 这个角也为六十度。因为这两个角它是相等的，它都是弧 g、 e 所对的圆周角， 所以我们用引元可以快速的看到这两个角是相等的。如果 a、 d、 e 为六十度，由于这个角 d、 a、 b 已经是六十度了，也即使这个三角形它是一个等边三角形，我们此时只需要证 a、 d 等于 a、 e， 就 可以确定这个三角形 a、 d， e 是 等边的。题目中说 这个三角形是一个特殊的三十、六十、九十度的直角三角形，不妨设 c、 d 的 话，是不是等于根三？ a ac 是 不是等于二？ a ab 的 话， ab 是 不是等于二？ a 再乘以根三，也即是二倍的根三 a， 此时注意一下， e 点依然是 ab 的 中点，所以 a、 e 等于二分之一的 ab， 那 就是等于根三 a， 所以 它俩是相等的，从而我们就证明了 g、 e 确实是等于根三。 e、 f 这个角是六十度 来看最有挑战性的疑问。这道题的前两问，如果你是用引援做的话，那么第三问这个思路也很容易用引援来建立。它是不是让我探究 e、 f 和 g e 的 数量关系，因为在这里 e f 和 g e 是 垂直的， e f 和 g e 的 数量关系也既是让我求这个角，在这里我标了一个角一，也就是角一的正切值，就是 tangent 角一是等于 e f 比上 g e 的 好。注意一下，这里有个关键的思路， 是不是让我求角一的正切值，此时我如果把这个辅助圆做出来之后，角一是不是等于角二，那么你要果断的把角一的正切值给我转化成角二的正切值， 也就是说让我求角一，我偏偏不用角一，我一定要转化一下，这样的话思路才容易打开。这就是数学题目他比较狡猾的地方就是你一定要转化一下思路，才能是不转化。在这里死磕角一的正切值可能是不好求的， 要求角二的正切值，我们是不是可以从 e 点往 b c 做垂线？假设垂足为 h 的 话，那么此时 tangent 角二是不是等于 e h 比上 d h 来用题目中给的条件表示出 e h 和 d h。 先来看一下 e h e h 是 不是用题目中给的这样一个条件， a e 等于 k b 的 be 是 不是 be 乘以三点二法，而 d h 来看一下 d h 是 这一段，它是不是等于 b d 减去 b h， b d 这一段是等于 ab 乘以口三幺二法，而 b h 是 不是等于 be 乘以口三幺二法？所以 d h 最终我们算出来是等于 a e 乘以口三幺二法来把这个代入到这里， 那么这个式子就变成了 be 乘以桑尔法比上 ae 乘以口桑尔法，此时 be 比上 ae 来看一下 be 比上 ae 是 不是等于 k 分 之一，而桑尔法比上口桑尔法是不是等于 tangent 阿尔法。 所以最终 ef 比上 g e 就 等于 k 分 之 tangent 阿尔法。这样的话就做出了这道压轴题的第三问， 想要最终拿下几个压轴题的同学，注意一下这道题老师的解法是不是主要是两个思想，第一个是不是辅助圆？好，你不要光会辅助线是不够的， 要会辅助圆。第二个就是转化的思想，这是数学的灵魂，他不是让我求角一的正切值吗？我偏偏不用角一，我把它换成另外一个角，这样的话呢，就容易打开思路。