七上苏科版角平分线怎么画

hello， 今天给大家讲一下这个尺规作图，制作角平分线，看一下这个角 b、 a、 c 要做它的角平分线，我们怎么做？首先拿出圆规， 以 a 为圆心，任意长为半径画弧，然后呢，再以 c 为圆心， 大于二分之一 c、 d。 注意，大于二分之一， c、 d 为什么要大于二分之一？ c、 d 不 大于二分之一 c、 d， 我 们再以 d 为圆心，这个半径我们不动啊。再画弧，如果不大于二分之一，那么它们两人就没有交点，那我们此时 连接 a、 e， 那 么 a、 e 就是 它的角平分线。那老师讲一下它的底层逻辑是什么呢？我们来看，首先以 a 为圆心， 任意长为半径做的这一根线上，也就是说 这个 a、 c 和 a、 d 是 相等的，然后以分别以 c、 d 为圆心，大约二分之一， c、 d 为半径， 这个作弧什么意思？也就说，如果我们连线 c、 e， 我 们在连线 d、 e， 那 说明什么呢？啊？ c、 e 和 d、 e 是 相等的，为什么呢？因为圆规我们就是截等长的啊。 看啊，这一道的杠的和一道杠相等，两道杠的和两道杠的相等，同时它还有一个隐藏条件，什么？就是 a、 e 等于 a、 e， 那 就说这两个三角形起形是全等的，所以 全等之后，对应角是相等的，也就是说角一和角二是相等的，所以 a、 e 是 它的角平分线。 那同理，我们此时也可以再做一个线段的垂直平分线。是怎么做的啊？啊？我们如果这是 p， 这是 m， 我 们还是以 p 为圆心， 大于二分之一， pm 为半径，还是一个意思啊？你如果不大的话，它没有焦点啊，看半径，不要动，再以 m 为圆心 啊，有个焦点啊，在上面有个焦点，在下面也有焦点，你也可以整个的画完啊，可以整个的画完，没关系啊， 整个的画完，你看这是不是有焦点？如果他是 x， 这是 y 的 话，啊，大写的 y 啊，大写的 y， 那 我们只需再连接 这个 x， y 就是 它的这个垂直平分线，为什么呢？啊？再给我们讲一下，因为呢，如果我们连接 p x 和 x m 的 话，啊，这是一个什么？这是一个等腰的三角形， 那等腰三角形，为什么呢？啊？因为 p d 和 m d， x 和 mx 是 相等的，因为我们的半径都没有变， 我们的半径都没有变，所以这两个边是相等的，所以这是等腰三角形，对不对啊？等腰三角形，那同样的， 我们连接 p y 和，嗯， m y， 那 这形成这四条边是不是啊？ 相等的，这是一个菱形，菱形对角线是互相垂直平分的。菱形对角线互相垂直平分，这就是我们角平分线和 线角的角平分线和线段的垂直平分线 z 的 画法和原理，你学会了吗？哼。

在我们的期上期末考试中，双角平分线模型一定是我们考试的重点内容。学霸呀，面对这样的问题，可以三秒出答案，想知道他们是如何秒杀这类题型的吗？好，今天刘老师 教会你这样答题的核心技巧，让你也秒变学霸。我们看如图， ob 平分角 a o c ob 平分角 a o c， 也就这两个角是相等的 o d 啊，平分角 c o e o d 平分角 c o e 这两个角是相等的，可角 a o e 啊，一百五十度，整个大角是一百五十度，角 a o b a o b 是 三十五度， 求角 a o b 的 度数。那这道题啊，刘老师教会你两种方法啊。第一种，我们用常规的推导法，因为它是角平行线，我就设这个角是 x， 那 这个角也是 x， 那 么这两个角也相等，那这个角是 y， 这个角也是什么 y， 是 不是？哦，我们知道 x 加上 y 是 整个 a o e， 这个角 a o e 是 一百五十度， 所以 x 加 y 就 等于一百五除以二，等于七十五度，是不是好？ x 加 y 等于七十五度，我们求的是角 a o d， 角 a o d， 对 吧？ a o d 就 等于三十五度，加上 x 加上 y 也就等于三十五度，加上七十五度， 等于一百一十度啊，这是常规的推导法。好，刘老师再教大家一个大招，叫做去重留。办法要专门针对双角平行线模型。我们来看，什么叫去重留半呢？好，我们来看一下重 o b 啊，平分角 a o c o d 啊，平分角 c o e 我 们找到这里重复的字母，那就是谁 o 和 c， 但是 o 作为顶点，我们肯定没法去，所以我们把这个 c 啊 给去掉，那么还剩什么？ a、 o、 e 是 不是也就是角 a、 o e 好 去成留半。留什么呢？留他的一半啊，去完成之后好取一半留半啊！ a o e 的 一半， 那么等于谁呢？一定要注意，这是 o b 平分的这个角平分线是 o d， 是 由 o b 和 o d， 也就这条黄色的和这条绿色的两条角平分线所夹的角，就是我们留下来这个角的什么一半啊，也就是角 b o d 啊，一定要注意，这个角 b、 o d。 是 这个角平分线和这个角平分线两条线所夹的角，就等于被平分的这两个角 去重留半啊，把相同的去掉啊，留下的是角 a o e 等于它的什么一半，叫去重留半法啊。我们来看，也就是角 b、 o d 啊， 就等于二分之一乘以角 a o e， a o e 是 一百五十度，也就等于七十五度，所以角 b、 o d 等于七十五度，再加上角 a o b 三十五度， 所以角 a、 o d 等于七十五加三十五度，一百一十度。好，这就是去愁留办法，专门解决双角平分线模型问题，你学会了吗？关注刘老师，学习路上不迷路！

学会黑板上的这道题呢，咱们期末考试又能多得十分，那么这是一道呢？呃，与角平分线有关的角的计算，哎，好多孩子呢，一旦出现这个角平分线呢，就蒙圈了，我们来分析一下， 如图呢，已知角 b o c 等于二倍的角 a o c， 那 也就是这个角呢，是这个角的两倍，是吧？ o d 呢？平分角 a o b， 也就是说呢， o d 是 这个角等于这个角，这两个角相等， o d 呢，是角平分线， 角 a o c 呢，等于四十度，这个角呢是四十度。一定要学会把已知条件标在图形上，哎，这个好习惯呢，一定要让孩子养成。 嗯，然后呢，求角 c o d 的 度数哎，求这个角的度数，那你看，我们来进行分析一下哈。这里呢，我们给出了 a o c 的 度数，对不对？你 b o c， 那 就立马出来了，因为角 b o c 是 二倍的角 a o c， 那 就等于八十度， 那角 b o c 出来了，所以我们这个角 a o b 整个这个大角哈，那么不就是 a o c 加 b o c 吗？那就等于四十度，加八十度，等于一百二十度。 好，那你想一想啊，这个 o d 是 角 a o b， 这个一百二十度角的角平分线，那么你看，那所以我们的角 a o d 就是 它的一半，那就是六十度，也就是这个大角呢，是六十度。 那所以我们所求的这个角 c o d， 那 是不是就是角 a o d 减去谁呢？角 a o c 这样的一个角，它俩一相减就可以了哈，那就是六十度，减去四十度等于 二十度。哎，这就求出来了 c o d 的 度数了。嗯，当然了，这种题呢，一般呃，选择填空出的比较多，我们要能快速的找到解题方法，哎，争取不在这上面浪费时间。呃，要，呃准确的得到它的分数，对吧？ 好，那么这个其实角的计算啊，它有八大题型对吧？呃，它的专题字母料，哎，老师已经给同学们整理好了回复角的计算，拿去练习。

每天一道期末题，轻松多考三十分，这是一个非常典型的动脚问题中的定止问题，百分之九十九的孩子都得不到满分，丢分的原因就是不清楚两个核心步骤，这个视频，韩老师通过这道题， 带孩子彻底学会这个方法，再把我整理的动脚问题七大培优必刷题，包含了单脚平分线、双脚平分线 角问题等，给孩子练习期末考试冲高充满。我们一起来看这道题。已知角 a o b 这个大角为一百二十度，射线 o m 从 o a 出发，绕着点 o 顺时针以十二度每秒的速度旋转到 o b 结束。在旋转过程中， o n 始终平分角 a o m。 问二倍的角 b o n 减角 b o m 的 值是否为定值？如果是求出其值，那这是一个非常典型的定值问题。 要求解这类动角问题只需要两个步骤，第一个步骤表示运动过程中的旋转角的度数，那么这里就有一个公式，旋转角其实就等于旋转的速度乘旋转的时间， 那我们射线 o m 再旋转，它的速度为十二度每秒，那它旋转的这个角度 其实就应该是十二度每秒。乘时间，假设时间为 t， 所以 整个这个大角为十二 t 度， 那本来大角是一百二十度，而旋转过的度数是十二 t 度，那所以剩下的这个度数就应该是一百二十度减去十二 t 度。 而由于 o n。 始终平分角 a o m， 所以 它各分得六 t 度，那于是乎图中的每个角其 都被表示出来了，那就进入到咱们的第二步角列关系式。这道题给的关系式问的是二倍的角 b o n 减角 b o m 的 值，那所以我们就将角 b o n 先表示出来，发现角 b o n 是 由上面的六 t 度加上底 下的一百二十度减十二 t 度构成，那所以我就写上六 t 度加一百二十度减十二 t 度，就等于一百二十度减六 t 度，那 接下来我还要将角 b o m 的 值表示出来，角 b o m 就是 一百二十度减十二 t 度。图中的这个角，那于是我就将题目中的关系式角二倍的角 b o n 减去角 b o m， 那 么其实就等于二倍的一百二十度 减六 t 度，再减去一百二十度减十二 t 度这个整体，那就等于二百四十度减十二 t 度， 一百二十度加十二 t 度就等于一百二十度。发现求出来以后是一个定值，那所以最终答案即为定值一百二十度，你听懂了吗？

今天我们来讲一讲七上几何部分会出现的一个非常重要的考点，叫双角平面模型。那双角平面模型他研究的是什么呢？在研究的就是两条角平面线所形成的夹角，该如何计算，或者该如何表示出来。 那对于双角平面模型，一共会分成三种类型，我们先看第一种相交型。什么是相交型呢？就是两个被平分的角，他有一条公共边，也就是会挨一块。 那像这个图一中 o m 平分角 a o b， 好， 那我们来标一下两个角相等， o n 平分角 b o c。 好， 继续标一下两个边上，那这个途中两条角平分线所形成的假角，也就是角 m o n， 它该如何表示呢？ 啊？很明显，它是等于一个 alpha 加一个 b r， 那 这个 alpha 又是谁呢？它是左边被平分角的一半， 哎，所以阿尔法呢？就是二分之一角 aob， 那 这个班上呢，他是右边被平分的角的一半，所以他是二分之一角 boc。 然后我们再提取一个二分之一出来，哎，也就是等于二分之一括号角 aob 加上角 boc。 好， 我们在图中找到角 aob 角 boc， 那 么其实啊，它就是这个整体的大角，也就是角 aoc。 好，由此我们就推出两条角平分线所形成的这个夹角，角 m o n， 它就等于整体的最大的这个角角 a o c 的 一半。我们写一下它的结论，就是夹角， 两条角平分线，夹角等于整体的最大的这个角它的一半啊。 好，我们再看第二种情况，相邻，什么是相邻呢？ 哎，就是这两个被平分的角啊，它中间会间隔一部分，也就是两个被平分的角是不挨着的，哎，像这个图二中 o m， 它平分角 a o b。 好， 那我们继续标一下两个 alpha o n。 平分角 c o d。 好， 标出两个 bar。 那 么在图二这种相邻的这种类型中，该如何表示两个角平分线所形成的假角呢？也就是角 m o n。 那 由图中我们可以看出来啊， 它是由一个阿尔法加上一个 bar 塔，再加上中间相间隔的这个角，也就是角 boc。 那 阿尔法跟 bar 塔分别又是谁呢？ 哎，我们可以把它替换掉，那阿尔法是左边被平分的角的一半，也就是二分之一角 aob。 边上又是谁呢？哎，是右边被平分角的一半，也就是二分之一角 c o d。 哎，然后再加上中间这个间隔的角角 b o c。 好， 对于前面两个，我们又可以提个二分之一出来，哎，所以等于二分之一括号角 a o b。 哎，加上角 c o d 啊，然后再加上角 b o c。 那在图中我们观察一下角 a o b 和角 c o d 啊，是左右两个被平分角的之和， 那他又可以怎么去表示出来呢？哎，他又可以用整个的这个最大的角，也就是角 a o d 减去中间这个间隔的角，也就是角 b o c。 哎，然后后面这一部分我们继续找写， 然后接下来我们可以去括号，它就等于二分之一角 a o d。 减去二分之一角 b o c， 再加上一个角 b o c。 那 后面两个啊，可以进行合并同类项，所以就可以得出等于二分之一角 a o d 加上二分之一角 b o c。 好， 我们在图中找到 a o d 和 b o c a o d 最大的这个角 b o c 是 两个被平分角相间隔的这个度数，那由此我们可以总结出来，像第二种相离的这种情况，那么两个角平行线所形成的这个夹角呢， 他就等于整体的这个角的一半，也就是二分之一乘以整体，再加上相间隔的角的一半 就可以了。那么接下来我们再看第三种相交的这种情况。什么是相交的呢？ 哎，就是两个被平分的角，他会重叠一部分角度，像图中白色的角，哎，也就是角 a o c 被 om 平分，蓝色的角，角 a o d 被 o n 平分，那么白色的角跟蓝色的角，他会相交一部分，重叠一部分。 那对于相交的这种情况呢，他是最为复杂的，因为他的线条太多，哎，显得有点乱，不着急，我们一点点来分析。 那继续看角 m o n 该如何表示在前面两种类型呢？ 这个角 m o n， 它是可以通过几个角相加得来的，但是对于最后这种情况，角 m o n 之间，它没有其他的射线，所以它无法用加法来表示，那它只能用几个角相减来构造出来。 那由图像哎，可以观察出，这个角 m o n 呢，哎，他可以用角 a o d， 哎，减去左边的这个角，也就是角 a o m， 再减去右边的这个角，也就是角 n o d。 那这样看着不够，一目了然，所以我们在图中呢，也可以给它标一个 alpha 跟一个 beta， 哎，也就是这个角 m o n 呢，哎，它等于角 a o d 减去一个 alpha， 再减去一个 beta， 哎，其实就是减去 alpha 与 beta 的 和。那这里的 alpha 是 谁呢？哎，它是被平分的这个白色的角的一半，所以把 alpha 替换掉，也就是等于二分之一角 a o c。 那单调是谁呢？哎，他是被平分的这个蓝色的这个角的一半。哎，所以把单调替换掉，就是二分之一角 b o d。 那 我们继续把括号里面的二分之一给它提到外面来。哎，就是角 a o d 减去二分之一括号 角 a o c。 啊，加上角 b o d。 这里重点来了，角 a o c 加上角 b o d 是 谁呢？那通过图中啊，可以看出来，它就是角 a o d。 整体的这个大角， 再加上它们重叠的部分，也就是角 boc。 啊，一条蓝线跟一条白线组成这个角。好，那其他的部分我们照写。 那么接下来去括号，就等于角 a o d。 减去二分之一角 a o d 再减去二分之一角 b o c。 好，前两线可以合并同类项，那么就等于二分之一角 a o d。 减去二分之一角 b o c。 好， 那在途中找到角 a o d 和角 b o c a o d。 总体的这个大角 b o c。 是 两个被平分的角重叠的部分。那么由此我们再把第三种相交的情况的结论给他总结一下，就是两条角平分线，他所形成的假角呢？ 哎，是等于总体的这个大角的一半，二分之一乘以整体， 再减去两个被平分的角的重叠的一半。 好，那么双角平分线模型这三种情况我们就讲完了，你听懂了没有？

来，同学们啊，呃，七年级的同学呢，现在是不是学到角的计算哈，好多孩子呢，说这个角平分线一多就没有思路了，就是这个关系特别乱。 今天呢，老师教给你一招啊，快刀斩乱麻，解决这种问题好。如图，角 a o b 比上角 b o c 等于三比二 a o b b o c， 那 么相当于它是三份，那这个 b o c 呢，就是两份，对吧？ o d 呢？平分 b o c， 这两个角相等， o d 是 它的平分线， o e 呢？平分角 a o c 啊， o e 还平分角 a o c， 这个和这个相等，且 d o e 等于四十二度。你看标的就很复杂哈，我们这个 d o e 呢，这个角呢， 是四十二度，对不对？好，那么你有这个印象就可以了，关键是如何求出 b o e 的 度数，就这个角哈， 好多同学呢，读完之后，他说，老师，你这道题读的我一团乱麻，不知道该从何下手，其实呢，不知道该从何下手的情况下，我教给大家一招啊，快刀斩乱麻。那么就是什么呀？方程思想。我前面是不是给大家讲过一元一次方程？ 一元一次方程有很多应用题，但是呢，你看我们这个角的计算，其实也是一元一次方程，它的一个哈应用的场景，其实一元一次方程，它就是一个基础工具哈，它可以应用在很多方面解决问题，你看 大家有这个比，哎，你想到了什么？那是不是意味着 aob 是 三份， boc 就是 两份？那所以如果我们把 aob 它的角度设为三 x， 那 我们这个 a boc， 它的角度是不是就是二 x， 那 也就是最大的这个角 aoc 就 等于二 x 加三 x 等于五 x， 这是不是我们的目标呢？就是，说什么呢？你先找到一个角，设它为 x， 然后根据它们之间的关系，其余的角呢，我们都用这个 x 表示出来。 如果我们能列出这个 x 的 方程，解出 x， 这道题是不是又解决了呀？那关键是如何找 x 的 等量关系？你看，我们有一个 d、 o、 e 是 四十二度啊，这个 d、 o、 e 是 四十二度，有啥用呢 啊？你想想我们这里的哈，这个谁呢？ o e 还是 a、 o c 的 平分线，那么说明这个什么呢？我们这个角哈，这个二 x， 我 先把这个啊，这个 o、 d 也是平分线， 你不是这个 b、 o、 c 是 二 x 吗？对不对？那么这个角是 x， 那 这个角也是 x， 它俩合起来是二 x 吗？ 好，那么再看 o e 是 角 a、 o、 c 的 平分线，我们就可以得到角 a、 o、 b 是 不是等于二分之一？角 a、 o、 c， 这是平分线，那就等于二分之五 x， 谁是二分之五 x 呢？就这个角是二分之五倍的 x， 好， 你是二分之五 x， 你 这个角 a、 o、 b 是 三 x， 对 不对？那三 x 减二分之五 x， 这个 b、 o、 e， 我 们就可以表示出来了，它就是二分之 x， 是吧？好，那你这个四十二度是由谁来构成的呢？一个是四，这个是 d， o b 是 x， b o e 是 二分之 x， 所以 这方程不就出来了吗？ x 加二分之 x， 就 组成了这个四十二度， 这个四十二度 d、 o、 e 这个角，是吧？那这个方程不就出来了吗？你解方程就完事了哈，二分之三 x 等于四十二度，乘三十二 等于二十八度，计算的时候一定要认真细心，那么这种方程思想求角的度数你掌握了没有？就是找到一个角，设它为 x， 然后利用它们之间的关系，其余的角都用 x 来表示，然后再列出 x 的 方程就可以了。 这道题你听懂了没有？听懂的话呢？嗯，这里老师整理了角的计算八大题型啊，每一道题都有详细的答案解析，回复，角的计算拿去练习。

今天讲解的是一道七上数学期末的压轴题，考察的是动角问题。动角问题也是七上数学的一个重难点，我们现在来读题。 如图，角 a o b 等于一百三十度，射线 o m 以十度每秒绕点 o， 从 o a 顺时针旋转至 o b 结束。旋转过程中， o n 平分，角 a o m， 则二倍的角 b o n 减去 b o m 等于多少？ 解决这个问题，我们只需要两步走就可以轻松秒杀。第一步，我们表示出动脚 r 放等于未乘以 t。 第二步，列出我们的关系式，得到我们想要的答案。 好，我们现在来看一下这个地方，这个 o m， 它是从 o a 出发，以十度每秒的速度顺时针旋转，那么这个地方它是有速度，但没有时间。我们要表示出这个动角，也就是它的旋转角度还需要时间。所以这个地方我们不妨设时间为 t， 这我们设它的时间为 t， 旋转时间为 t。 好 了，时间设出来了，那么它的旋转角度也就是我们的这个动角，那自然就是十 t 度了，也就是我们的 a o m 这个角它是十 t 度， 这里 o n 平分，角 a o m， 那 被 o n 平分的这两个角自然就等于五 t 度。 好了，现在我们的角 b o n 和角 b o m， 我 们就可以在图上去表示出来了。我们先看一下角 b o n， 也就是这个角，它等于这个大角 a o b 去减去 a o n 一 百三十度，减去五 t 度。我们再来看一下 b o m 的 度数， b o m 是 这个角，那这个角它是不是也是这个大角？ a o b 去减去这个 a o m， 也就是一百三十度， 减去十七度。好了，现在我们就可以列出这个关系式了。那二倍的角 b o n 就 等于二乘以一百三十度减去五七度， 减去 b o m， 那 就是一百三十度减去十七度。现在我们去括号合并就可以了。二百六十度减去十七度，减一百三十度加十七度等于一百三十度。好，这个题的答案我们就 算出来了，它是等于一百三十度的。今天这个题我们就讲解完毕，你学会了吗？我是安阳老师，七年培训学校创始人，十年数学老师。我整理了一份七八九数学汇总资料，包含了全套的解析技巧与方法公式，欢迎进群领取。

来，各位同学啊，这个视频咱们一定要看完，我们来讲双角平分线模型，只要把这个模型掌握清楚了，那么期末考试的时候呢，很多选择填空，我们可以一秒钟出答案，哎，这就是靠平常的积累。 那什么是双角平分线模型呢？比如说有一个角，已知的一个角 aob， 对 吧？ 然后呢，我们有以 o 为顶点画一条射线 oc， 是 吧？那我以 o 为顶点画一条射线 oc， 大家想一想，有几种情况，因为我们这个角分角的内部和角的外部对不对？那所以我们画这条射线的时候呢，你就要分两种情况， 一个画在角的内部，一个画在角的外部的，这是 oc， 对 吧？然后呢，还有两个条件， o d 平分角 a o c o e 平分角 b o c。 那 我们现在问谁和谁之间的关系啊？角 d o e 和角 a o b 之间的关系，那你说它们两者之间是什么关系？ 这个图是非常简单，它俩都是平分线，那么呃，这个角呢？等于 a o c 的 一半，这个角呢等于 b o c 的 一半，它俩相加肯定等于 a o b 的 一半，这个不需要我们证明，非常简单。好，我们来看第二种情况， 第二种情况的话呢，还是这个初始的角 aob 对 不对？还是这个初始的角 aob 啊？那么我们如果有这个初始的角 aob 的 情况下，我们这个 o c， 我 可以画在什么呢？ 这个角的外部是不是好，比如说我画一条射线 o c， 那 么但是呢？ o d 平分角 a o c， 那 么但是一个 b o c， 我 先把这个 o e 给画出来， o e 是 b o c 的 角平分线好，那么这个 o d 为啥画在这呢？它是整个 a o c 的 角平分线。 那么现在问这个角 d o e， 那 么和谁呢？角 a o b 之间的关系？初十角 a o b 啊，到这，那你说这个关系还成立吗？老师来告诉你哈，角 d o e 还等于二分之一倍的角 a o b， 是吧？那很多同学老师，这个我能观察出来，但是这个呢，我观察不出来，来，老师给你证明一下，其实那也不难，对吧？那怎么证明呢？你看我们的角 d o e 可以 看成哪两个角的差， 对不对？哎，你看啊，是不是可以看成角 c o d 这个角 减去这个 c o e 啊？角 c o e， 对 吧？我们来看， o d 是 角 a o c 的 平行线，那么所以 c o d 呢？是二分之一角 a o c， 那 么 c o e 呢？因为 o e 是 b o c 的 平行线，那所以角 c o e 等于二分之一 角 b o c 好， 提取二分之一，那就是角 a o c 减去角 b o c， 那 你看这个图啊， a o c 减去 b o c， 那 不就是 角 a o b 吗？所以这个关系仍然是成立的，明白不明白？那所以现在我们有一个结论，什么结论呢？嗯，已知角 a o b 呢？然后以 o 为顶点做一条射线 o c， 不 管你这个射线 o c 呢，是在角 a o b 的 内部还是外部， 只要 o d 是 角 a o c 的 平分线， o e 是 b o c 的 平分线，那么你所得到的这个角 d o e 呢？ 他永远都是初识角度 a o b 的 一半，这就叫做双角平行线模型，对吧？那这个双角平行线模型呢？在很多选择填空里边呢，经常出现，如果咱们熟练掌握这个结论的话呢？ 那是不是就可以一秒钟得答案，对吧？这道题你听懂了吗？听懂的话呢，把老师整理的这个角的计算八大题型拿去练习啊。回复角的计算直接拿去练习。

大家好，我是老师，那么老师呢，今天给大家题目呢，是一个旋转中的角平分线问题哈，动角问题呢，一直是我们初中的重难点啊，不管是我们初一的动角，还是后面学了全等之后的动角呢，都是很多同学啊，不敢去做题目啊，那其实呢，非常简单，跟我把思路学会，让你轻松得分。 好，首先我们先看一下题目，他说点 o 呢，为直线 a b 上一点做射线 oc， 使得什么呢？他说让我们的 aoc 是 一个一百二十度啊，就这里是一个一百二十度， 对吧？将一块直角三角尺呢？如图，摆放直角顶点，再点 o 处一条直线边 o p 在 射线的 o a 上就是这个角边。在这边，将图一中的三角尺呢，绕点 o e， 每秒五度的速度，按逆时针方向旋转来， 逆时针是往这边对不对？每秒是一个五度。好，那么在旋转一周过程中呢？ d t 秒时 o q 所在直线恰好平分 b o c 呢？让我们求哎，我们的 t 值啥意思呢？就是说，哎，我的 o q 平分了 b o c 对 吧？像这种题 我们该怎么做？记住了，动脚问题，最关键的是找到这个动脚是谁啊？在哪，对吧？动脚其实很好理解，和动点一样，从初始位置到结束位置走的路程啊哈，就是一个运动的一个动脚， 对不对？我们可以把它看做一个路程问题，比如说他说的很清楚，我们是逆时针旋转，来给大家演示一下啊，我们从这往这转， 是不是逆时针是往这边转啊，往这边转是逆时针，转到哪？他说转到平分 b o c 的 位置，那你就说，老师我知道了呀，转到了这来， 对吧？好，那你想一下，我从这转到了这，那么路程是多少路程？是不就是这一节了， 对吧？这一节就是我们的路程，我们可以把它作为一个 q 撇，是吧？这是我们的一个路程，那么路程怎么求呢？很简单的，速度乘时间呗，对不对？小朋友都知道的，那么速度是每秒五度，时间是 t， 所以 这里的角度呢，就是一个五度 t， 对不对？那么老师也讲过的哈，动点动脚呢，其实它本质上就是一个方程问题，那我们找到动脚过后，我们就想办法干什么了？列方程呗，咋列呢？很简单， 我们知道这是什么三角板，三角板一个直角边放在一条直线的一条射线上，那么另一边是不是也应该是一个直角， 对吧？尤其得我们可以得出 boq 是 一个直角，再来，现在我们的 oq 是 平分了， boc 竟然是平分，那是不是我们的 boq 撇是能够求出来的 多少啊？平分嘛，所以我就是 boc 的 一半 boc 多少，哎， boc 是 aoc 的 零补角， 对不对？我是你的零补角，那我就应该是一百八十度减去 a o c 是 一个六十，对吧？那么六十再除以二，它就是一个三十度了，所以直角加上这个三十度等于旋转的五度 t， 那 么咱们就解方程，这是第一个情况， 对吧？那很多同学哈，做了这个情况就完事了，说，老师，我做完了下一题了，做完了吗？ o q 所在的直线。 什么叫 o q 所在直线呢？就是说我 o q 现在虽然在这，但我讨论的是 o q 所在的在整个直线是否平分 b o c 对 不对？这有什么意义呢？好，举个例子，假如啊，假如我现在跑到了这来， 跑到这来了，哦，我把这个换个颜色啊，我跑到这来了，那么此时我还能说这个 o q 所在直线平分 b u c 吗？ 哎，你看啊，我的 o q 跑到这，我依旧把它作为一个 q 撇儿啊，把它作为 q 撇儿到这来过后，我还能说 o q 所在直线平分 b u c 吗？可以， 因为 o q 所在直线，它就是什么？它就是整个哎 o q 我 们左右，对吧？无限延长过后，这个地方它是否平分？ b o c 是 不是？那很显然呗，也平分 啊，也平分。所以这个题很多同学会漏掉这样的一个情况啊，也就是 o q 在 哪？ o q 在 b o c 角平分线的反向延长线上，对吧？就在这个位置了 啊，那你说老师啊，这个情况该怎么做呢？其实也很简单，这个三角尺呢，其实你可以不用完全的画出来，因为我们这个题讨论的是动脚的一个时间问题，对不对？那我们只要找到动脚就好了。动脚是什么？我刚说过的， 从一开始的位置到现在的位置，那么一开始呢？ o q 在 这，是吧？一开始我们的 o q 是 在这的，然后呢？现在跑到了这，那么路程是多少？ 而我从这跑到了这，对不对？从这跑到了这，那么这里是整个路程，对吧？整个运动路程。 然后呢，你想一下，我找到运动路程，路程永远是速度乘时间，所以这一节是速度乘时间的五度 t， 对吧？所以动角问题，关键点是找到初时位置和结束位置哈，好，那么现在知道这个过后呢，你看一下我们该如何建立方程呢？对吧？这个肯定还要建立方程啊，那怎么建立呢？找角度呗，来，这里的 aub 是 个啥？ aub 是 一个平角一百八十度，所以这一部分是一百八，那这里呢？这里是一个直角九十度，那我们只需要找到 aub 就 行了呀，那 aub 是 多少呢？ 很简单的，现在我们的什么 o q 撇，所在直线平分 b o c， 那 既然是所在直线平分 b o c， 我 们就稍微延长一下， 你看一下，我们稍微延长一下，来把这作为一个 q 撇撇两撇哈，那么现在你想一下，我们从 这个位置，对吧？是平分了 b o c， 那 平分过后，我们知道吗？刚刚也算出来了哈，这两个都是三十度吧，哎，我们可以发现 a o q 撇和 b o q 撇撇什么关系啊？是不对顶角 对吗？是不对顶角？那既然是对顶角，是不是对顶角相等 对不对？对顶角是相等的，所以这个角他就也是一个三十度，这是很多同学弄不明白的事，能理解吗？ 所以说啊，这里的关键是什么呢？关键就是我这是平分的，那么相应的，我这个角就和这个角相等，他也是三十度，那么三十加一八加九十等于整个五度 t， 明白了吗？这是我们的一个思路， 是吧？啊，那么所以说这个题呢，答案就很显然了，很明显了啊，咱们来做一做。首先解来解， 那么我们要怎么样呢？分类讨论哈，你要说清楚，如图一，哎，如图一，如图一，当我们的一个 o q 撇在角 b o c 内部时啊，在 b o c 内部时， 对不对？在 b o c 的 内部时，那此时是什么情况？此时我们是不是能够得出？哎，我们的 b o q 撇是三十 直接得吗？条件写清楚，你要先证明哈，因为题目说 a o c 是 一个一百二十度， 那所以说呢，我就能求出什么？哎，所以我就能求出这个 boc 了，对不对？ boc 就 等于了一百八十度，减去 aoc， 因为它俩恰好是互补的嘛，加起来是个平角一百八嘛， 对不对？好了，现在怎么样了？哎，因为题目说了， o q 撇现在是平分我们的角 b o c 的， 所以我们的 b o q 撇呢，就等于了二分之一倍的 b o c 等于一个三十度， 对不对？好，那么接下来咱们就可以怎么样了。哎，由梯得列方程了呗，对不对？根据我们的旋转方向和一个旋转的度数啊，我们的速度时间能够得出五度 t 等于多少？五度 t 等于九十度，加上三十度呗，九十加上一个 三十度，那么最后呢，就解方程解得，哎，那么解出来五度 t 等于，这里是一百二，对吧？一百二除以五 t 等于一个二十四，对吧？这是我们的第一个情况。好，那么再来看第二个情况呢？第二个情况是什么呢？是不是我们的 o q 撇在 ab 的 下方了，对吧？ 对吧？ o q 撇在 ab 的 下方是，当然，这里其实最好写个如图二哈，来，如图二。 来，如图二。当我们的 o q 撇在 a b 的 下方时，此时怎么讨论呢？来，我们在前面求出了 b o c 是 六十度， 对不对？那我们就能算出 b o q 撇撇和 a o q 撇呢，是一个三十，对吧？因为什么呢？ o q 所在直线啊，这里应该写 o q 撇嘛，我们写的是一个撇，对不对？ o q 撇所在直线 所在直线，平分对吧？平分我们的角 b o c， 对 不对？平分 b o c， 那 所以我们的 a o q 就 和 b o q 撇撇啊，应该是 a o q 撇和 b o q 撇撇，对不对？相等了，因为它们是对顶角，都是多少？都是二分之一的 b o c， 那 就等于了一个三十度， 对吧？等于了一个三十度，那么所以怎么样了？是不是又一样套路了？我们可以由题得了，对不对？哎，由题目我们又能得出一个方程 是什么呢？就是说我们的五度 t 等于多少？这里是一百八，这里是九十，这里是三十，那就是一百八十度加上九十度，加上一个三十度， 对吧？那么解出来过后呢，我们的 t 是 多少？来，一八加九十，加三十是不等于一百二加一百八是三百，三百除以五呢，是一个六十哈，那么最后呢，就答一下呗，记得哈，我们一定是要答的啊，来，综上所述， 综上也行哈。当 t， 为什么？当 t 为二十四秒或者六十秒时啊？就答一下，此时呢，我们的 o 就是 在直线恰好平分 b o c， 所以 动角类问题怎么做啊？像这种的乘角平分线问题，哎，我们就怎么样呢？ 找动角在哪？找到过后，你想办法建立等式对不对？这个等式呢？其实你除了用加法，还可以用减法吗？ 你说老师我用五度 t 减九十度等于三十，是不是也可以啊，对吧？找到洞角在哪，根据洞角建立方程，然后呢，解方程就 ok， 明白了吗？好，那么跟着老师每日练，很轻松得满分。

好，我们来看这个期末亚洲第六十一题啊，是这个二五年鼓楼区统考的这道期末选择压轴 这道题，如果听过课的，那你一看就知道他在考什么，他在考双角平分线嘛，对吧？这已经很明显了，这个双角平分线差行，其实熟悉的同学，这个题你大概看一下就知道结论了啊，但是还有很多同学， 呃，不是很清楚，那我们就把这个题再算一遍啊。首先我们看到这样的评分条件还是一样的，跟上一题一样去标注啊，这是 x， 这也是 x， 然后再换个颜色啊， a o c， 这个是 y， 这也是 y， 对 吧？好，接下来我们就关心啊，关心他，他怎么表示？ 这个 d o e 是 不是可以看作是这个角减去这个角，而这个角是 x， 这个角是 y 吧？好，所以说角 d o e 就 等于 x 减 y， 而 x 因为平分的关系，它等于二分之一的角 a o b， 对不对？ y 因为平分的关系，等于二分之一的角 a o c。 那 我是不是可以把二分之一提出来，就是角 a o b 减去角 a o c， 而 a o b 减 a o c， 你 可以看一下，减出来就应该是等于角 b o c。 好， 所以角 b o c 是 n， 那 么最后答案就是二分之 n， 所以选什么？选 b 对 不对？这就是双角平分线叉形是吧？好，想参加我们 t u 训练营的家长可以在评论区留言哦！

好，同学们，大家好，我们今天来看一道这个七年级上册大家都必须要会的一个模型，因为这个模型的好评非常的高。那今天我们由一道成都市的期末专题来，大家带大家来介绍一下我们这个模型的使用好。 如图，射线 o e 以及这个射线 o f， 是 分别平分我们的角 c o n 以及这个角大 o m 的， 如果说这个角 c o 大 等于等于六倍的角 c o m， 然后角 c o 大 又等于四倍的角大 o n， 且这个角 c o f 的 度数，这个角 e o f， 大家可以注意到，其实就是我们这两条角平分线所组成的这样一个角度，那这样子的一个 这个求角度的话，我们其实有一个公式的，那就是我们今天要介绍这个双角平分线模型，我先把公式告诉大家，待会再给大家解释。好。就这里的这个角 e o f， 也就是我们两条角平分线所组成的这个角，它其实是等于二分之一覆盖 啊，减去重叠的。 好，先给大家介绍一下这里的这个，呃，覆盖是指什么？覆盖的话指的是我们这里被平分的这两个角， 它们所包含的四条射线所覆盖的最大角度。那一，其实就是这里的角 c o 大 啊，就是指的我们这里的覆盖角度。那重叠角度指的是这两个被平分的角，它们所重叠在一起的部分，那通过这个图可以看出来，呃，这个 c o n， 以这个 d o m， 它们所 重叠的这个角度，其实就是这个角 m o n。 好， 那么现在找到了这两个角度之后，我们来表示一下， 它应该等于二分之一角 c o 大 减去这个角 m o n。 好， 那其实最后就可以得到它，其实就是什么角呢？那就是整个这个角 c o 大 减掉中间这部分，剩下就这两个小的角，比如把这个角记为阿尔法，把这个角记为北塔，那其实就是阿尔法加北塔，那么只用算出来这两个角度，那这个题就做完了。那现在可以看到 刚才有告诉我们两个倍数关系，我们可以通过这个倍数关系把这个 r 法和贝塔角度给它计算出来。那我们就简单计算一下这个角 c o m。 啊，根据这个角 c o 大 是一百四十四度，可以算出来角 c o m 是 二十四度啊，同时这个角 d o n， 他就应该等于三十六度。好，有了这两个角度之后，我们带进去是不是就结束了？所以最后应该等于二分之，这个二十四度加上 三十六度，就计算出来我们的这个答案就应该是三十度啊，这就是我们今天这个模型的讲解，大家都学会了吗？

好，各位同学，今天咱们继续来讲解七年级数学期末必考题型，双角平分线模型。在几何章节呀，双角平分线模型和双中点模型是咱们期末考试的重难点， 对于这两个模型呢，很多孩子做起来还是无从下手，没有思路啊，比较模糊。那么老师今天就以这道题为例，一个视频教会你怎样去做双角平分线模型的题目。好，我们来看这道例题，如图，角 aob 内部有四条射线好，其中 oe 平分角 aoc 好。为了表示讲解方便，老师用角一角二表示啊好， o e 平分角 u c， 那 么我们可以得到角一等角二好 off， 平分角 o d o b， 那 么我们可以得到角三等角四好，第一问，若角 a o b 等于一百六十度啊，角 c o d 等于四十度， 好，让我们求角 e、 o f 的 度数。好，那么我们利用和差关系照着去分析可以得到。要想求得角 e、 o f， 那 我们可以 让 e o f 就 等于角二加上角 c o d 加角三，也就是角 c o d 的 度数。我们已经知道了啊，那我们只需要求得角二加角三之和即可。好用，因为 题目中啊有两条角平分线，那么角平分线的性质一定要去用啊，角二就等于二分之一的角啊， a o c。 好， 角三是二分之一的角 b o d。 好， 那我们把二分之一提出来啊，整理一下，得等于二分之一倍的角 a o c 加角 b o d。 好， 现在我们观察起 角 a o c 加角 b o d， 那 么它的度数是不是可以用大角小 a o b 一 百六十度减去中间这个小角四十度是不就可以了？好，然后直接往里面带入就行了啊？好，那么既然我们 是一个逻辑关系题啊，你的因为所以一定要写清楚，逻辑关系要准确，格式写完整，过程格式写规范啊，过程写完整好，因为 o e 平分，角 a o c o f 平分，角 d o b 好， 所以我们用到哪个写哪个啊？我们可以得到角一等，角二，也可以得到角 a、 o c 是 二倍的角一，也是二倍的角二。可是现在我们用不到啊，我们只用到了角二是二分之一的角 a、 o c 好，角三是二分之一的角 b o d 好， 所以，好，还有一个一百六啊，我们还需要求出来角 a、 o c 加角 b o d 的 度数啊啊，又，因为 角 a、 o b 等于一百六十度，角 c o d 等于四十度好，所以那么角 a、 o c 加上角 b、 o d 就 等于大角 a、 o b 减去角 c、 o d 往里带入好，一百六十度减四十度就等于一百二十度好，所以 e 最终角 e、 o、 f 往里面带二分之一乘一百二十度，加上角 c、 o、 d 是 四十度好，最终结果就是一百度好，这是第一问 好，第二问，角 a、 o b 等于阿尔法，角 c o d 等于贝塔啊，只是把第一问的度数啊换成字母了，那么我们做题的步骤和思路是一模一样的啊，只需要把第一问里面的度数全部改成字母即可啊。角 a、 o b 是阿尔法，那我们把一百六全改成阿尔法就可以了啊，角 c、 o d 是 斐特。把四十度改成贝特好，后面的都不变啊，都不变好，所以这么那么角 a、 o c 加上角 b、 o d 就 等于角 a o b 减角 c o d 也就是阿尔法减贝特 好，最终这个结果啊啊，角 e o f 就 等于啊，二分之一贝的角 a o c 加角 b o d 就是 阿尔法 既然背他好，然后还要加角 c o 底下背他好，整理一下，就是二分之一阿尔法加二分之一背他。哎，写不上了。好，各位同学听明白了吗？好，可以给老师点个关注啊，我们下期再见。

我们上节课已经讲过了双中点模型，那我们这节课来看一下双角平分线模型。我们先来读题，如图，角 a o b 等于九十度，角 a o c 等于三十度，角 a o b 是 九十度。我们画上垂直符号，角 a o c 是 三十度。 然后 o m 平分，角 b o c o m 平分角 b o c o n 平分角 a o c o n 平分角 a o c， 所以 这是两个角平分线，所以叫双角平分线模型。那么这道题目第一小问比较简单，求，角 m o n， 那 么角 m o n 是 这个角，我们可以把这个角分成两个部分， 可以把它拆成角度和，也可以把它拆成角度差。所以它的难点在于什么呢？到底是把它拆成角度和，还是拆成角度差，这个要根根据我们对于条件的应用。那么 o m 是 角 b o c 的 角平分线，所以我们在这里面可以把角 a o m 拆成两个角度差，哪两个角度差呢？角 m o c 再减去这个角。所以我们写过程 解答题要先写解字。因为 om 平分，角 b o c， 所以 我们可以得到角 b o m 应该等于角 c o m 等于二分之一角 b o c。 又因为 o n 平分，角 a o c， 所以 角 c o n 和角 a o n 相等，所以角 c o n 应该等于角 a o n 等于二分之一角 a o c。 那 么题目告诉我们，又角 a o b 等于九十度，角 a o c 等于三十度，所以角 b o c 应该可以拆成角 a o b。 加上角 a o c 等于一百二十度，那么角 b o c 是 一百二十度，所以角。我们知道了，角 m o c 等于六十度，角 n o c 等于十五度，所以角 m o n 应该等于六十，减去十五度，等于四十五度。

先看题目，已知角 a、 o b 等于阿尔法，角 b o c 等于贝塔。特别强调了贝塔是为锐角 o m 平分角 a o c o n 平分角 b o c。 第一问如图，若 o c 是 在角 a、 o b 的 外部，下面给了我们四个小问。我们先看这四个小问当中的条件有什么特点。 第一个小问呢，是明确告诉我们，阿尔法等于九十度，贝塔等于三十度。第二个小问，阿尔法的度数就很模糊了，给到的是小于一百五十度，但是贝塔是明确的是三十度。再到第三个小问，是只给了阿尔法的度数，但是却没有给出贝塔的度数。 第四个小问是阿尔法和贝塔都没有给出，只是给出了大致范围，他们的和是小于一百八十度。然后让我们探究的都是角 m、 o n 的 度数。 那我们来看一下这四个小问究竟是要告诉我们什么呢？我们先看第一个问题，若阿尔法等于九十度，贝塔等于三十度。因为告诉了这两个度数，我们容易求得角 aoc 的 度数其实就是一百二十度， 而 o m 平分的就是角 aoc， 所以 可以求出一半的角度，也就是角 moc 的 度数，应当是为六十度。 紧接着，由于 o n 是 平分角 b o c， 角 b o c 是 三十度，那么角 n、 o c 自然就应该是大角的一半，是为十五度，因此要求角 m o n 的 度数，其实我们就可以用角 m o c 减去角 n o c 即可。 角 m o c 我 们前面求出就是六十度， n o c 我 们口算得是为十五度，因此求的最终结果就是四十五度。所以第一问告诉我们阿尔法和贝塔的度数之后，求解角 m o n 的 度数其实是不难的，我们来看一下过程。 因为角 a o b 等于九十度，角 b o c 等于三十度，所以角 a o c 应当等于角 a o b， 加上角 b o c， 也就是为一百二十度。 因为 o m 平分角 a o c o n 平分角 b o c， 所以 角 m o c 应当等于角 a o c 的 一半，也就是六十度。这里就求得这个大小是六十度。紧接着求出角 n o c 应当等于角 b o c 的 一半，也就是为十五度。 因此我们在求角 m o n 时，就用角 m o c 减去角 n o c， 即可求得六十度，减去十五度，即为四十五度。这样就完成了第一个问题。那我们接下来看第二问。 阿尔法的度数并不明确给出，只是给了个范围是小于一百五十度，但贝塔是明确的还是三十度，让求角 mo n 应该怎么办呢？那我们的做题思路其实和前面相同的，求角 mo n 还是用角 m o c 减去角 n o c。 角 m o c 其实是大角 a o c 的 一半，而角 n o c 又是小角 b o c 的 一半。写作这样的形式，我们就可以将二分之一写在括号外，变成角 a o c 减去角 b o c 的 差。那我们看图上角 a o c 减去角 b o c， 其实就是剩余了角 a o b 嘛。 因此我们发现角 m o n 的 度数就应当等于角 a o b 的 一半。角 a o b 现在只是用阿尔法来做表示，没有给出具体的度数，那我们就可以用二分之一阿尔法表示出来它即可，也就完成了用含阿尔法的代数式来表示这一过程， 我们来看一下角 m o n 等于角 m o c。 减去角 n o c， 然后我们替换一下角 m o c， 替换为二分之一角 a o c。 角 n o c 替换为二分之一角 b o c。 将二分之一写在括号外，发现就等于二分之一角 a o b。 角 a o b 就是 阿尔法，也就是等于二分之阿尔法。这样我们就用含阿尔法的代数式表示出了角 m o n。 那紧接着我们再来看第三问，若阿尔法等于九十度，求角 m o n。 由于第二问的证明过程，其实只要知道阿尔法是多少度，角 m o n 的 度数就能够求出来，所以我们将阿尔法替换为九十度即可求得是为四十五度， 这个不难。接着再看第四问，若阿尔法加贝塔是小于一百八十度的，则角 m o n 与角 a o b 又有何关系？ 根据前面一二三问的证明过程，其实我们就清楚角 m o n 的 大小其实总等于角 aob 的 一半，如果我们表示出来，其实就是角 m o n， 应当等于二分之一角 aob。 像这样我们就完成了第一个问题，那么这道题其实还有第二问。 让我们考虑的是，如果 o c 是 在角 a o b 的 内部，那么角 m o n 与角 a o b 又有怎样的关系？前面我们研究的都是 o c 在 角 a o b 的 外部，所以我们画出的示意图是像这样的， 那么这个问当中问的是 o c 在 角 a o b 的 内部。首先第一步，我们要能够画出示意图来， 我们在角 a o b 中画出射线 oc， 但是其余的条件没有发生变化。 o m 同样平分的是角 a、 o c， 也就是这两个小角是相等的。紧接着 o n 平分的是角 b、 o c， 那 么这两个小角的度数又是相等的。现在说的是角 m、 o n 与角 a、 o b 又有怎样的关系？ 我们看图上角 m、 o n 其实是由两个小角构成，应当等于角 m、 o c 加上角 n o c。 而很快我们发现，角 m、 o c， 也就是这个小叉角应当等于角 a、 o c 的 一半。角 n、 o c 应当等于角 b、 o c 的 一半。于是我们将二分之一写在括号外，变成角 a、 o c 加上角 b o c 的 和。 在途中，角 a o c 加角 b o c 的 和，其实就是角 a o b。 因此我们说角 m、 o n 其实还是等于角 a、 o b 的 一半。所以前面第一问的结论同样是成立的，关系是相同的。 所以我们说，若射线 o c 是 在角 a、 o b 的 内部，如图所示，那么角 m、 o n 应当等于角 a、 o b 的 一半。这个结论仍然是成立的，方法和前面是相同的。像这样，我们就完成了这一问的证明。 面对探讨类问题的求解策略，一定要注意，此类问题的探讨总是由特殊到一般的过程， 题目通常会设置多问，各问的解法基本相同，解题时需要通过特殊情况找到解法，再应用于一般的情况。希望你学完这节课能有所收获，祝你学习进步！

今天我们来讲七年级期末必考题双角平分线模型。讲题之前呢，先来分享一套期末押题卷，包含各个版本，可以拿来期末练习， 并且都配有详细的答案解析，需要的可以拿去练习。好，我们来看题。已知角 aob 是 八十度，角 boc 是 五十度，出现了两条角平分线，一个是 o m， 一个是 o n， 那 么平分的是角 aob 和角 boc。 问我们这个角 m o n 的 度数是谁？那么如果你学过双角平分线模型，知道它的原理呢？我们可以直接去看要求的这个是不是前面这两条角平分线之间的夹角 o m o n 夹角呢？正好是个角 m o n， 那 要去求这两条角平分线夹角，你只需要去找这两条角平分线所平分的那两个角 a o b 和角 b o c， 那么 a o b 给了是八十度， b o c 呢？给了是五十度。那这个题是不是没有给我们画图，所以肯定涉及到了分类讨论。那么我们知道角 a o b 如果是这个样子的，那 b o c， 我 可以把 o c 画在它的下面，也可以把 o c 画在它的上面，那么都可以构成一个角 b o c 是 五十度。 如果是在下面的时候，那么 a o b 这个角和 b o c 这个角，它们是位于 o b 这条公共边的两侧。 这个时候我们用加法，那么用给的八十度和五十度相加，去除以二，得到六十五度，这就是这个时候角 m o n 的 度数。 那如果是上面这个是你的 o c 呢？那么这个时候你会发现角 a o b 在 这里， 角 b o c 呢在这里，这两个角它是位于 o b 这条线的同一侧，既然是同一侧，我们做减法，用八十度和五十度去做差八十度减五十度除以二，得到的是十五度。 所以这个题的答案我们可以迅速的得到是六十五度或者十五度。所以像这种题目，如果你知道双角平分线模型，并且懂得这个模型的原理，我们是可以迅速的得出答案的。关注小梦，每天带你进步！

同学们大家好，我们今天要看的呢，是我们七年级上册必考的一个知识点，就是双甲平衡线模型，然后这个模型的话，在我们期末考试当中出现的频率是比较高的。呃，我们今天要看的这个题目呢，是来自于二四年新都区的期末考试题。好，那么先看一下题干，如图一，这个射线 o、 n、 o、 m 是 分别平分了我们的角 a、 o、 c 以及我们的角 b、 o、 c。 好， 如果说角 a、 o b 等于九十度啊，就这个角 a、 o、 b， 它是等于九十度的，那么现在求的呢，是这个角 m、 o、 n 的 度数，那么要求的呢？意思，意思就是说是我们这个角平分线所覆盖的这样一个角度， 就这样一个角度。好，那这里呢，其实我们是有一个模型的，那这个模型我先给大家介绍一下，比如说我们要求的这个角 m、 o、 n， 它是我们的角平分线所覆盖的角度，那么它等于二分之覆盖 减重叠。 好，我给大家介绍一下，这个覆盖和重叠分别指是什么意义。这个覆盖呢，指的是我们这里的 aoc 以及 boc 这里的四条射线，它们所覆盖的最大角度，那意思说就是这个角 aob， 那 此时即为我们这的覆盖角度。然后这个重叠角度呢，指的是我们的角 aoc 以及这个角 boc 它们所重重叠的那个部分的角度。 那在这个题当中， aoc 和 boc 他 们重叠的，其实其实这个射线 oc 是 重合在一起的，那意思说他们重叠的角度就是零度。 ok， 那 带入我们这个公式的话，就可以开始计算了。 那我们的覆盖角度其实就是讲 aob， 那 么题干中告诉他是九十度，所以这里的覆盖角度就是九十度，然后减去我们的重叠部分，那这里是零度，所以减去零度，最后算出来就应该等于四十 五度。好，那这就是我们今天所讲的这一道真题啊，所介绍的双角平面线模型，大家都学会了吗？