两角和鱼叉的正弦余弦正切公式

同学们大家好，今天开始啊，我们来学习两角合一插的正弦、余弦与正切公式。首先呢，我们从本单元的研究主题三角横等变换开始。 什么是三角横等变换呢？我们来看我们的熟悉的诱导方式。一，他反映了中边相同角，其三角函数值相同。那么 利用之奥的约导公式啊，我们可以对三角函数式进行变形，从而达到化简、求职乃至证明的目的。 这种利用公式对三角函数式进行的横等变形就是三角横等变换。好，我们首先啊，利用诱导公式进行化减，扣三二分之派减贝特就等于三贝特，扣三派减 bat 就等于负 chosen bit chosen 父 bat， 它就等于 kosan bat chosen r 法减去二分之四派，它就等于 foo syne r 法。 cossen r 法减二 k 派自然等于 抠散耳法。那么我们来关注这组题的共同的结构特征，我们来看 他们时尚都是两脚叉的余弦结构。可能有同学对扣三付贝特有所质疑，那这个付贝特我可以看成扣三零减贝特，那自然也满足我们的结构特征。我们在关注他脚的特征，二分之派减贝特 派减贝特零减贝特，阿尔法减二分之三派，阿尔法减二 k 派， 那实际上他都是一个特殊角二分之 k 派与一个任意角耳法或贝特之间的差的关系。 我们在关注化解的结果，其结果都与任意角尔法或贝特的正弦或余弦直有着关系。 现在啊，我们把本组习题之中的特殊角二分之派派零，二分之三派于二 k 派，用任意角 r 法或 bet 来进行转化，那这样这五个问题就 统一为扣三而法减贝特的问题，我们把它简称为叉角的鱼形，那请大家来思考吧。那扣三而法减贝特的展开公式可能与哪些值有关系呢？ 那么通过对比之前的五个式子，那我们发现了这个口散阿尔法捡贝塔展开是可能与阿尔法或贝塔的正弦值或余弦值有关。 好了，那我们想一想了，我们能用到哪些知识去探究蔻赛阿尔法捡贝塔与阿尔法贝塔的正弦之与弦之的关系呢？ 这就要我们看以往的经验，我们回忆我们的诱导公式，在推导诱导公式的时候，我们用到了三角函数的定义和 单位员。当然了，对于我们的诱导公式一而言，中间与单位员交于一点 p p 绕欧点旋转。二 k 派由圆的特殊对选性，该点扔在圆上且位置不变，所以说我们得到了中边相同的角，三角函数值相同内笔诱导公式的推倒，那么请大家 利用三角函数的定义动手作图。一 s 轴非负半轴为始编，任取两角耳法 bet 两脚中边分别交单位源于 a 一 p 一。当我们排除阿尔法贝特 中边相同的特殊情况，实际上同学们做图呢，可以分为以下三种情况，我们一一说明。 第一种，任意角尔法贝特切零到二排内与 r 法中边相同的角。大于零到二排内与贝特中边相同的角。 第二类，任意角，尔法 bet 在零到二排内与 bet 中边相同的角。大于零到二排内与耳法中边相同的角。 当然了，还有我们同学画的最多的这一类阿尔法贝特就都在第一乡县切零到二排内与阿尔法中边相同的角，大于零到二排内与贝特中边相同的角，那么情况比较 复杂，我们从简单的入手，并令角，而法贝特为锐角，且而法大于贝特。那么如图， a 点为贝特的中边与单位人的焦点，所以说 a 点坐标为 cosan 贝特赛贝特。 p 一点为 r 法的中边与单位人的焦点，所以说他的坐标为 co 散 r 法赛 r 法。 大家记住了，我们是要推倒扣三阿尔法减贝特的展开式，所以说我们也要找到与扣三阿尔法减贝特相关的点， 怎么去寻找呢？当然了，我们还是用到三角函数的定义，一 s 轴非负半轴为始编坐角， 而法减 bat 交单位元于一点 p， 此时 p 点坐标自然为扣散而法减 bat 散而法减 bat。 好了，那么我们现在要发现蔻赛阿尔法捡贝特与阿尔法贝特的正弦值与弦值存在的等量关系， 那我们要注意了，我们发现的是角的三角函数值的关系，我们自然还是要关注角，所以说我们在单位员中去找到与阿尔法减杯他相关的等量关系的角， 那我们知道角 aop 是我们做的角阿尔法捡贝特，在阿尔法大于贝特的情况下，那么角 aop 这个角 依然为阿尔法减贝塔，所以说我们找到了角 aop 就等于角 aop 一，它都是阿尔法减贝塔角由这两个圆心角相等，我们可以得到很多的结论，比如说我们可以得到胡 ap， 等于胡 a 皮，当然了，我们还可以得到 三角形 a o p 与三角形 a、 o、 p、 e 间的全等，无论是胡等还是三角形间的全等，我们都可以得到两条线段， a p 与 a e、 p、 e 相等， 那么这个就是我们推导公式最主要的依据。为了推导严谨性，我们现在要严格的证明线段 a e、 p、 e 和 a p 的相等，我们怎么证明呢？ 我们还是要关注这个图，我们关注 op 是阿尔法捡贝特的中边， op 一为 r 法的中边，那么 op 绕着 o 旋转贝特角之后，自然就与 op 一重合， o a 为我们的屎边， oa 为贝特的中边，那么 oa 绕着 o 旋转贝特后，自然也就与 o a 一重合。所以说这里涉及到了扇形的旋转自然扇形 aop 绕着点 o 旋转贝特角， 那么由圆的旋转对称性，圆上的点 a、 b 绕 o 旋转任意角 batt， 那么它扔在圆上，而且点 a、 p 分别与 a 一 p 一重合，所以 我们得到了胡， a p 等于胡 a e p， 所以对应的弦 a p 就等于 a e p。 当然了，有人说，老师在这个特殊图里边啊，我们还有其他的方法。 由我们之前推倒的角 aop 等于角 aop 为 r 法减贝特，那我们就可以知道三角形 aop 全等于三角形 aop 一。自然也可以得出线段 ap 与 a 一 pe 的相等。 我们现在严格证明了线段的等，那么线段的等，其本质是什么呀？自然是等距问题，所以说接下来我们介绍两点间距离公式。 平民内任意两点， a x 一外一， b x 二外二。那么以 a b 为斜边构建直角三 表情 acb， 则 ac 的长度自然为 y 一减 y 二的绝对值， bc 的长度自然为 x 一减去 x 二的绝对值。 所以说 a b 的平方就等于 b c 方加上 a c 方就等于 x 一减 s 二的平方加 y 一减 y 二的平方。所以说我们就得到了两点间距离公式记， a b 等于个号下 x 一减 s 二的平方，加 y 一减 y 二的平方。 那么下面呀，我们就用两点间的距离公式来表示线段 a p 与 a p e， 进而推倒 co 赛阿尔法减菲特的公式。那么根据我们之前的作图，我们已经知道了 p 点 a 点 p 一点以及 a 的坐标， 那么 a p 的平方即为扣三阿尔法减贝特减一的平方，加上散方阿尔法减贝特。 a p 一的平方自然为蔻赛尔法减蔻赛贝特的平方，加上赛尔法减赛贝特的平方。由于两条线段的等，我们就得到了他们的平方，也相等。 在这样一个左右等式之中，我们发现了三个完全平方式。我们对完全平方式进行展开整理， 我们关注左侧的式子，这里出现了同角的平方和关系后，赛方二发减倍特与赛方二发减倍特加和 为一。右侧的式子出现了扣散方二法，赛方二法加和为一，扣散方 bet 加，赛方 bet 加和也为一。说式子就整理为 负二倍的扣散阿尔法减贝特加二等于二，减去二倍的扣散阿尔法扣散 bat 减去二倍的散儿法散贝特。稍作整理，我们得到 当阿尔法贝特为锐角，且阿尔法大于 bat 这个特定条件下，扣散阿尔法减贝特就等于扣散阿尔法扣散贝特加上塞阿尔法塞， 那么二发贝特在其他的情况下是否能够满足我的要求呢？最特殊的情况， 阿尔法贝特中边相同，此时等式的左侧转化成 q 三二 k 派，它的值为一，右侧即为扣三方 bat 加上三方 bat 其实也为一，左式和右式相等，所以说我们上市自然成立。 那我们再来看我们的情况。一、阿尔法贝特为任意的角，且零到二排内与阿尔法中边相同的角大于与贝特中边相同的角。在这里边，因为 零到二倍内与阿尔法中边相同的角大于与贝特中边相同的角，那自然阿尔法剪 bat 会形成一个逆时针的旋转角记角 aop。 所以说我们发现角 aop 和 aop 一是相等， 自然就有了他们对应的弦 a p 和 a e p e 相等情况二， 而法 bat 仍然为任意角，且零到二排内与 bat 中边相同的角大于零到二排内与耳法中边相同的角。 这个时候我们还是要用到圆的旋转对称型，那么扇形 aop 绕 o 旋转贝特角此时 a p 就会分别与 a p、 e 重合，自然仍然有对应的壶， a p 等于壶， a e p e 也可以得到 a p 等于 a p， 那么自然也能用两点间距离公式推倒我们的这 这样的插脚鱼线公式综合一下，那么对于任意角阿法贝特， 时尚我们都有线段 a p 等于 a e p e， 那我们自然都可以利用两点间的距离公式推倒出抠散阿尔法减贝特就等于抠散阿尔法抠散贝特加上散尔法散贝特。 所以对于任意角阿尔法贝特有扣散阿尔法减贝特等于扣散阿尔法扣散贝特加散尔法塞贝特，我们称为叉角的余弦公式，简介为这样一个符号。那么首先我们要强调 尔法贝特为任意角，切左边的角为尔法，减贝特右侧的角为尔法。 我们关注展开式的右侧，他的形式即为同名相乘符号相加。 好，我们现在利用插脚的余弦公式证明，一、扣散二分之派减耳法等于散耳法。二、扣散派减耳法等于负扣散耳法。 那题目中要求我们用插脚的鱼线公式，那么第一题我们自然按要求展开，注意 同名相乘符号相加，那么即为 q 散二分之派，扣散 r 法加上散二分之派散而法大有数值，证明出其实为散而法。同样道理， co 散派奖而法展开即为蔻散派扣散而法加散派散而 带有数值，算得为负扩散而发。我们顺利的证明了这两道题目。那请大家发现一下上面的这两个诱导公式与插角的鱼弦公式之间有什么关系呢？ 实际上这两个公式啊，我们都可以用叉脚的鱼香公式进行展开整理，从而证明说明我们叉脚的鱼香公式是这样两个诱导公式的一般化的推广， 而我们这两个用到公式时尚，我们看做我们插脚鱼形公式的特例，这是我们所说的特殊与一般的关系。 我们再来看例二，已知赛尔法等于五分之四，尔法属于二分之派，到派口算贝特等于负的十三分之 十五，贝特是第三下线角去求抠赛阿尔法，见 bat 由插角的鱼弦公式。要想求 蔻赛阿尔法捡贝特，我们就需要知道阿尔法贝特的正弦直与弦直，题目中已经给了散阿尔法和扣散贝特，少了扣散阿尔法和散贝特，那这里我们就需要用到同角的平方和关系。 用之前我们一定要关注角所在象限，从而确定三角函数值的正负。所以说我们可以 这样来解决，三二法等于五分之四，二法属于二分之派到派，自然我们可以的扣散 r 法，它是一个负值，负的多少呢？负的根号下一减散方二法，其之为 富的五分之三。又因为 q 散贝特等于负的十三分之五，贝特在第三象限，那么我们可以知道三贝特是一个负角，那记为负的根号下一减扣散方 bat 其实为负的十三分之十二。 那么自然我们带入我们的公式之中，同名相乘，符号相加，其之为负的六十五分之三十三。这个题还是要强调应用同角的平方和关系，一定要关注该角所在的详细。好，我们回忆一下本节课我们所讲的内容。 本节课呀，我们共同掌握了插脚的鱼弦公式，理解了其推导过程，那么我们在推导的过程中，为了说明阿尔法贝塔的任意性，我们用到了分类讨论。那么为了证明 公式的形式，我们引入了三角函数的定义，记竖行结合，为了说明叉角鱼弦公式与我们诱导公式间的关系，我们体会了特殊鱼一般。 好，那么这是我们今天的作业。好，本节课呢，我们就上到这里，同学们再见！

两角和差的正弦与弦正切公式是怎样的呢？这是两角和差的正弦公式，我们可以把这两个公式合到一起来记忆， 慎，二法加减贝塔等于乘二法，口算贝塔，加减口算二法，慎贝塔。注意这里的符号是对应的，也就是说这里是加，这里就是加，这里是减，这里也是减 那两角和差的余弦公式我们也可以合到一起来记忆，口乘二法加减贝塔等于口算二法，口算贝塔，减加乘二法乘贝塔。这里要注意这里是加的时候，那这里就应该是减， 这里是减的时候，这里就应该是加，他们是相反的关系。好，除记这两个公式之后，我们就可以去推倒 碳二法加贝塔，也就是两角和和两角差的正切公式。 首先我们要知道这样一个公式，那就是一个角的正切是等于这个角的正弦比上这个角的余弦，也就是探 x， 等于三 x 比上口算 x， 那同理，探二法加贝塔，就可以写成 他们两个的正弦和余弦的笔直，就是算二法加贝塔，比上口算二法加贝塔。我们把这两个公式啊给他带入进来，就得到这样一个式子。 接着呢，我们给这个式子的分子和分母同时除以一个口算二法乘口算贝塔， 就可以得到一个这样 的式子。然后分子分母可以展开来写，写成这样，我们发现分子分母有可以约分的部分， 经过约分之后，我们得到了一个这样的式子。我们知道三二法除以口算二法其实就是碳二法，那三贝塔除以口算贝塔，其实就是碳贝塔。我们 继续可以给这个式子进行整理和变形，得到这样，那就是两角和的正确公式，探二法加贝塔，等于探二法加探贝塔除以一，减去探二法成探贝塔， 注意这里是加，这里就是减。那用同样的方法，我们可以推导出碳二法减杯塔，也就是两 两角差的正确公式，等于碳二发减碳杯塔除以一加上碳二发乘碳杯塔，注意这里是减，那么分母这个部分的符号应该是加。

大家好，今天我们来讲一下三角横等变形，这里先来看一下两角合叉的正弦、余弦、正切的这些公式，这些公式证明我们的后面的视频中会给大家证明，大家先把这个公式先记住。 这里的公式呢有点多，所以大家记的时候一定要去总结它的特点，然后再记的时候呢，我们只记一半，这样的话我们就会记得更准一些。然后我们来看一下那前面的几个公式，记住了，其实后面这个二倍角的正弦、余弦和正切就不用记了， 可以用前面的来推出来，但是后面这些我们记住之后呢，你在解析的过程中速度肯定会快很多， 当然在具体的解析的过程中呢，需要去配凑一些角，这些配凑角的常用的这些结论，我们已经把它总结出来了，放在这希望你能够把它整理在笔记本上， 常常翻开看一看。接下来咱看例题。首先我们来看第十一题，这个题呢给了我们这么一个条件，让我们求贪婪而法比 ten 的 值，可是前面给我们的是不是都是弦啊？所以这个肯定我们要用公式先把它展开吧，因为我们也不知道这两个直接能不能得到它。好，那我看到这个之后，我们先用塞什么 塞阿尔法加 bet 这个公式，那这个公式呢，我们在记的过程中是正弦，正弦我们记的时候叫一名同号，什么意思？就是它的三角函数名，哎，是 相异的，相异就是不同，你看一个正弦，一个与什么，与弦一名同号，同号指的这个符号和前面括号里面的符号是什么是一样的，那这个就 cos sine， 对 吧？它是不是等于四分之三，对吧？再来看第二个条件，这个是不是减法，那也是一样，我们记正弦，那就是一名什么同号乘的时候是什么？一个正弦，一个什么 哎，余弦，然后这个符号呢？和前面括号一样，对吧？考 c r f c 是 不是等于多少？二分之一？好了， 有这两个，我们观察之后，我们会发现，我们如果把这两个式子给它相加之后，后面这部分是不是就消掉了？那我们给它加一下，你看一下我们是不是得到一个二倍的 c alpha， cosine better 是 不是就等于它俩相加？我们来看一下，是不是等于四分之五，对吧？然后我们再来看一下，如果把它俩相减的话，前面这部分是底角，是不是等于后面这一部分的二倍，那它就是二倍的 cosine alpha c better， 对 吧？它就等于多少？它俩相减是不是等于四分之一？那现在来看一下，化减到这儿之后呢？它和我们求的这个结论之间有什么关系呢？因为正切它就等于正弦比上于弦，那现在我们发现把这两个式子消除，对吧？ 刚好就能得到这个，那现在我们来给它比一下，就是二倍的 sin。 什么阿尔法？ cosine， cosine better 比上一个二倍的谁？ cosine alpha， cosine 它就等于什么呢？看一下这个二和二约定了， cosine 比 cosine 是 不是就是 tanit， 什么 alpha， 对 吧？然后嘞，这个 cosine better 比 sine bet， 是 不是 tanit bet 分 之一给它写在分母上，是刚好就是我们要的这个结构，那它是不是就等于这两个？我们在前面都求出来了，是不是四分之五， 比上一个谁四分之一，对吧？最终结果就等于五，所以选 a 选项。 然后我们再来看十二题，给了阿尔法和 bet， 是 锐角，给了他这角的范围，那肯定最后让我们要求这个题的时候，肯定要判断正负的时候用的，看一下考塞阿尔法加 bet 和考塞 bet， 告诉我们最终让我们求的是什么塞阿尔法， 这样子的话，我们就要配凑一个角了，用已知的角来表示我们要求的角，这是这种题型的常规解法，那现在我们来看一下，那怎么来表示呢？因为阿尔法这里是阿尔法加 bet， 这里是不是 bet， 所以 我们这个塞什么 阿尔法，我们就可以把它写成 c 括号，谁？哎？先写成中括号括号，阿尔法加 better， 这是已知的，再减去一个 better 是 不是就等于什么 alpha？ 那 为什么要这么表示呢？因为它两个是已知的，我们要用已知的，把未知的表示出来给它带进去，这个值是不就求出来了？所以接下来我们要用公式，这个是不是可以看作什么正弦的差角公式，那就是 c alpha 加 bet 乘上一个 cos 什么 bet， 是 不是减去一个 cos alpha 加 bet， 再乘上一个 c better。 然后完了之后呢？我们现在目标已经很明确了，我们现在已知的是 cosine， 什么 cosine 法加 bet 和 cosine bet， 我 们是不是还要去求前面这两个 sine 法加 bet 和 sine bet， 那我们求好了，因为阿尔法 beta 都是锐角，那阿尔法加上 beta， 它肯定还是一个什么锐角或者钝角，也就是说它在第一或者什么第二象形，它是大于零或者小于什么 pi 的， 对吧？ 那对于大于零小于 pi 的 一个角，它的正弦值也就是三阿尔法加上 beta， 它一定是正的。我们先来看一下 这个余弦是不是十三分之五，所以这个正弦呢？它就等于十三分之十二，你怎么来的呢？其实也很简单，你可以通过 同角三角函数的关系三，而法方加 cosine 方等于一来求，也可以直接构造三角形，那这你看是十三和五，那那个边就是十二，所以它的正弦就是十三分之十二。然后我们再来看一下，因为 考塞 better 是 五分之三，所以我们的塞什么 better， 它就等于什么五分之四，这个都是让你熟练地掌握你初中学的那个锐角三角函数。 好了，那现在我们来看一下，这个有了之后，我们现在是不是直接往这个里面给它代换就行了？那原式是不是就等于来三？这个已经求出来，它就等于十三分之十二乘上一个，这个是考三 better 有， 是不是五分之什么三 减去一个考赛，那就是十三分之五乘上一个五分之几五分之四，是吧？来我们给他通分。哎，这刚好分母是一样的，直接算就行了，对不对？三十六减二十等于十六，所以最终的结果就等于六十五分之 十六。然后我们接着再来看这个呢，它不光要使用三角函数变形，还要用到之前我们的诱导公式。为什么要用诱导公式呢？当这个题目中出现了大于二分之派的这个角度之后， 我们都可以通过诱导公式把它来画成什么比较简单的，那现在我们来看一下，这个后面我们要求的这部分比较复杂，前面这个比较单纯，那我们先从后面入手来画一下，看它是个什么？ 再括号二阿尔法，我加上一个什么三分之二派，因为三分之二派超过了二分之派，所以我们要对它进行化解，那我们就给他拆出来一个什么二分之派，这就变成了二阿尔法加上一个什么 六分之派，再加上一个二分之派，对吧？那现在我们来看一下，我们把这一部分当做一个整体， 整体的话，那看一下这是二分之派加了一个角，这是不是正弦，对吧？那现在我们看他是正坐标变函数名，他肯定要变成考塞，括号谁 阿尔法加上六分之派，对吧？然后再来看二分之派加了一个角，这个角还是当做锐角来对待，那是不是逆时针走？这就在第二项写的正弦是正的，所以 这个不用点，也就说这个我们要求的结果通过化简之后是不是得到这么一个式子。那现在我们来看一下，我们要求的这个角 和已知的这个角有什么关系呢？哎，细心的同学发现了，这个角的二倍不就刚好等于它吗？ 那既然是这样的话，那我们这考塞是谁？括号二阿尔法加上六分之派，我就可以写成考塞，什么二倍的括号阿尔法加上十二分之派， 对不对？那这个时候呢？你看这就出现了二倍角了，所以我们就可以用我们的二倍角公式来帮助我们去解题，对吧？那好了，那这个我们用余弦的二倍角公式，但是余弦的二倍角公式呢？他又有三个，我们到底用哪一个呢？因为 已知条件里面给了我们是正弦，所以我们就用含有正弦那个一减去二倍的 c 谁 括号阿尔法加上十二分之派的平方，我们用这个也好了，这个刚好已知条件里是不是有这个来，我们直接给他带进去，那就是一减去一个谁？这个是不是四分之几 二乘上一个四分之一的平方来看最后的结果，这是四分之一，十六分之一乘二是不是等于 八分之七？所以这个结果选 d 选项。然后我们再来看一下第十四题，这也是一个高考题，对吧？这高考题现在已经告诉我了，它是一个 r 法，是个锐角，那它是一个锐角， 告诉我余弦值让我求的是 c 二分之 r， 那 很显然这两个角之间有个 什么倍一二倍的关系，所以我们肯定要通过这个来求它，那把这个阿尔法看作二分之阿尔法的二倍的话，那这个 cos 阿尔法，它就等于 cos 二乘上一个什么 二分之阿尔法，是不是可以用二倍角公式，对吧？但是我们要最后求的是不是 c 二分之阿尔法？所以我们还是要用哪一个一减二倍的 c 二分之 r 法的平方，是吧？用这个，然后它等于什么呢？它是不是等于四分之一加上一个根号物，对不对？好了， 那你现在看一下，我们相当于得到了一个关于 c 二分之阿尔法的一个方程，对吧？现在解方程是不是就可以了？但是你不要高兴的太早。哎，往下看，我们给他移向，给他变过去，你看一下这个是什么？那就是你给他移向之后，我们就得到二倍的 c。 二分之二法的平方，他是不是就等于谁？是不是等于一减去四分之一，加上一个根号五？来一步步化解这个，先化解一下，他是不是就是四分之三减去根号五，对吧？ 然后你把这个除过来，我们得到了一个三，什么二分之二法的平方等于 八分之三减根号五，到这之后很多同学就什么蒙了，为什么 左边带平方？你要求他，你知道这个是什么直取正的，因为是锐角，二分之二法肯定也是锐角，对吧？但是呢，这个很多同学就不会开方，这时候你有两种做法，你若 不会怎么去配凑，你就直接一个一个选项带，如果说你知道配凑，那我们来配一下怎么配，也就说你要给他开方，你给右边是不得配成一个平方的形式，那这个分母 八他不能开出来，我们给这个两边同时乘个二，你看这个分母他是不是变成十六了，然后分子就变成六，减去二倍的根号五， 对吧？那到这一步之后，分母最后能开出来，就是分子还是不行，我们来观察一下，我们要对它进行配凑配成。哎，好了，那我们把六能不能拆成五加一，这肯定是可以的。五，我能不能写成 根号五的平方，那当然也可以，但是这个逆向思维你一定要积累啊，积累到，不然的话，你遇到这真是束手无策，只能去 把选项往回带了，完了之后你会发现我这么配凑之后，这分子不就是一个完全平方公式吗？他不就等于根号五减去一括号外的什么平方吗？ 分母是不是就十六，对吧？这个时候呢，你看一下，因为塞二分之二法他是正的，所以两边同时开方，我们就得到了塞什么二分之二法，他是不是就等于四分之根号五减一， 完了看在选项里面找啊，这个是 d 选项。咱们接着来看我们二零二三年的这个高考题，这个高考题呢，其实就是考了三角恒等变形的公式，那现在我们来看一下题目给了 c r f 减 bet， 以及考 c r f 乘以 c bet 等于六分之一，让我们去求的是考点二倍的啊阿尔法加二倍的 bet。 既然是这样的话，那现在我们来观察一下前面式子正弦的差角公式 这一部分呢，其实之上它就是正弦差角公式展开的一部分，那像这样的话，那我们先来把这个塞什么 括号阿尔法减 bet 用公式给它展开，看我们能得到什么，那就是一名同号，对吧？ c 考点一名同号符号与前面括号的符号一样，考塞什么阿尔法塞 bet 是 不是等于多少三分之一，对吧？因为题目又给了我这个等于六分之一，所以我们能求出来这个塞阿尔法 考塞 better 是 不是就应该等于三分之一，把这个移过去加上一个什么六分之一，就等于这家是二分之一，对吧？我们求出来这个之后，你看一下， 我们最终要求的呢，是二倍的塞阿尔法加二倍的什么 better， 这里我们就可以得到塞什么 括号阿尔法加 better 的 值，然后还是一样用公式，这个叫异名同号，那就是 si 阿尔法 cosine better 加上 cosine 法 si better 来往回带出去，这前面是不是都有，对吧？这个是不等于二分之一，对不对？在后面这个是不等于六分之一，给他加上六分之一来加一下这个等于通格分，是三分之二，对吧？然后我们把这个求出来，之后呢，再接着来看我们最终要求的这个 cos 什么二阿尔法加上二 bet， 它怎么求？你把这个二提出来是不是就是 cosine 二倍的括号阿尔法 加 bet， 这不就可以用二倍角公式了吗？当然余弦的二倍角公式又有几个？那我们就用我们含有正弦的那个一减去二倍的 c 括号阿尔法加 bet 的 平方来。这回这是不是有了往回代数去一减 二乘上一个什么三分之二括号外的什么平方，来看一下这个是不是等于九分之八，那解出来是不是就等于九分之一？所以这个题的答案选 b 选项。

好，同学们，好啊，我们今天一起来研究两角和与差的正形公式。首先我们看到本科的学习目标， 一、能由两角合的余弦公式推导出两角合的正形公式，掌握新公式的知识的产生过程。二、我们能运用公式进行简单的三角式的化解，求职和横等变形。 三、通过学习，我们要理解每个公式，并能与其他知识的综合利用，灵活运用结合起来，培养数学问题探索能力，提升数学素养。 在研究这个公式之前呢，我们首先来进行一个基本的课前复习， 上节课呢，我们学习了两脚和一叉的余弦公式，我们回顾一下啊，两脚叉的余弦公式分别是阿法加被打和阿法减被打的余弦表示，那要求他用脚阿法脚被打的正弦和余弦的三角笔来表示，那么这个公式为， 科三的阿法加被打等于科三阿法，科三被打减去三人，阿法三人被打 啊，靠山的阿法简背打是靠山，阿法靠山被打加上三元阿法三人被打，这个是指对于阿法和被打，一切另一角都可以成立，所以我们称之为阿法被打，属于二。第二个我们要复习的是呢，我们前面也学习了第五 组和第六组的右打公式啊，我们一起来看一下对右打公式五三的二分之拍减二法， 他整个是二分之拍减二法的形式啊，根据我们记忆诱导公式的方法啊，一拳二正弦，三切四于弦，所以这个结果呢，他是二分之拍的基数倍，所以符号呢，由的象限决定这个三角鸣，那么相反他是要变的，所以这个就是靠山的阿法， 那么这个是三印的阿法，那么这里得到靠退印的阿法，那么这个是特印的阿法。 好，第六种，他也是基变而不变，那么是二分之拍的基数倍，那么所以他三角米要发生变化，那么这个等于靠山的阿法，那么这个是负的 三打法， 这里是负的靠腾打法，那么这个是负的腾打法， 那么他都是二分之派的基数倍，所以三角明全部发生变化了。好，有了这两个基本知识以后呢，我们提出一个问题， 前面我们说用已知的阿法和北打的三角笔可以表示阿法加北大以及阿法奖杯的余弦三角笔，那么能否用 表示阿法加倍的以及阿法减倍的正前三角比例？那么前面学会已知的遇险公式是否有助于正险公式的推倒的？请大家对这个问题进行思考和探索。 好，根据两者之间的关系，我们比较容易得到。我们研究的对象是筛印的 阿法加倍的，那么前面我们学习了 cosay 的阿法加贝的或者阿法减贝的，那么根据前面学过的诱导公式，我们可不可以把它转化成鱼型的形式，所以根据诱导公式，我们得到他可以看成 cosy 的二分之拍 减去二法加倍了，然后他就变成了于浅的形式，那这两个角我们进行重启一个组合，就是 coselin 的把它看成二分之拍 减啊法啊，再减去背的，那么大家看一下他就可以看到新的啊法减背的，那么根据两角差的余钱公式，他就等于 cosel 的二分之拍减 大法乘以靠山的北大加上三应的二分之拍减，二法乘以三的北大，很明显这两个可以继续化减，所以他等于 三硬的阿法 cose 的北斗加上 case 的拿法 这样的背的。这是我们对这个两角和的正险公式，可以利用雨险公式来进行推导，那么再利用的这样一个诱导公式， 那么如果我们要得到塞拿法减倍的，那怎么办呢？这款分析原式 等于一种方法，也可以借助刚才这个方法啊，我们可以把它写成山的转化成靠山二分之拍减去二法 再加上 a 档。那么看这两脚也可以 在原来上面这个公式成立的基础上啊。我们将原来的这个阿法简碑的写成 阿法加上父辈的，那么利用刚刚学过的这个公式，他就等于三应的阿法 cosy 的父辈的加上 靠上你的阿法塞你的腹背的。好，再用右打公式，他就会等于塞你的阿法靠上你的背的减去靠上你的阿法 三个背的，所以这样就完了，完成了对于两脚和与差的正向公式的推倒。 好，这样得到以后，那么得到两角合于他的正向公式啊。我们再次来复习一下，三应的按法加倍的等于三应，二法靠上背的加靠前二法，三应背的 三元的阿法减倍的等于三元阿法靠三元倍的减去靠剩阿法三元倍的。那么这两个公式它的结构上有什么特点啊？我们说它有两个特征，第一个公式左边都是两角和与差的正弦， 右边是单角就是一个阿法，或者是被打的正于弦交叉相乘的和与叉二左右两边的加减号，哎，不像于弦一样，他于弦是相反，这个正好是相同，这是他的一个结构特征。 接下来我们看到例题分析，第一，如果不用计算器啊，请大家来求下列各式的值。 在我们心里的基础上，我们知道山影的七十五度，七十五度还不算一个特殊角，我们比较熟悉的是三十五、三十度、四十五度、六十度等，那么这个七十五度跟我们掌握的特殊角是有关系的，所以大家很容易想到，我们看 把这个七十五度看成，比如看成是四十五度加上三十度，那么 就看着两个角的和的正向，所以利用两角和的正向公式，他就等于山影的四十五度乘以靠山的三十度，加上靠山的四十五度乘以山影的三十度。 好，我们带进去，这个是二分子根号二，这个是二分子根号三，那么这个是也是二分子根号二好，这个是二分之一，所以他的结果是四分之 跟好，六加跟好啊，那么这样就简洁的得到了摄影的七十五度的这样一个直 好，这是第一个问题。现在看到第二个问题，我们首先仔细观察题意，他这个角啊，他都不是特殊角，还一个是三度，一个是七度，但他的组合形式我们看起来比较熟悉，而且他 他一个关键的特征，大家发现了没有，十三度和十七度，他的和是我们比较熟悉的一个特殊角。 那么讲，你看塞印的阿法卡塞的北大，加上卡塞尔的阿法塞的北大，所以你看他正好满足我们两角合的正弦公式的利用，所以我们说原式等于， 那就是加上十七度，你正好等于上瘾的 三十度，也就等于二分之一，这样就简单的解决了这个问题。好，我们继续看到立体啊， 这个看起来比较复杂，求 cosen 的阿法家十二分之五排乘以 cocy 的阿法加六分子牌， 再加上科三的十二分之牌减拿法，乘以科三的三分之牌减拿法。仔细观察，认真分析，我们发现这个问题里面他四个表达是都是余弦， 但是在你的脚的形式出现了一个阿法，那么接下来有四个啊，十二分之五排，六分自拍，十二分之拍，三分自拍等这个形式去通过我们仔细观察可以发现这有一个叫阿法加上十二分之五排 这个角啊，比如说和这个角，这两个和十二分子牌， 他们两个有什么关系呢？你看不管是怎样的阿法，他们有个特点，他们加起来一定会等于十二分之六牌，也就是二分之牌， 那么这一来我们就发现水 case 的二法加上十二分之五拍，其实他就会等于三影的 十二分之拍减二法，哎，这两个相等，那么这两个四个括号里面不同的，好像这两个可以画成相同，同样的道理啊，我们发现二法加上六分之拍，这个角与这个角 他在喝， 他也是等于二分自拍的， 那么也就得到了后面的这个扣上的三分之拍减二法，那么就会等于三 答应的二法加六分之牌，两个角加起来是二分之牌，那么其中一个余弦字就会等于另外一个正弦字， 所以我们对原来看起来四个不同的式子，四个不同的括号里面的角，哎，这样就可以起到一个消圆的这样的一个作用。好，我们看，所以我们原式等于 第一个就写成三应的十二分之牌减二法，哎，这个不动乘以靠三应的二法加六分子牌， 这个十二分之拍减二法不动，那就是靠晒影的十二分之拍减阿法，最后这个靠晒影就变成杀影，那么杀影的阿法 加六分自拍。好，这么一来，大家发现他就是山影的阿法科，山影的贝的， 加上靠晒你的阿法晒你的背的，所以现在他就正好符合我们两角合的正弦公式，两个相加十二分之拍减二法，加上二法加六分之拍， 那么就得到了筛影的正好，阿法可以抵掉抵消，就变成十二粉丝牌 加六分之拍。好。通过运算，我们比较容易得到十二分之拍加六分之拍，他正好就会等于四分之拍，所以他等于三应的四分之拍。 大家比较熟悉的一个特殊角，那么他的结果呢？正好等于二分之根啊。 好，回顾一下这个问题的解决，看样子比较复杂，但是我们说对问题的分析，要抓住这八个字，仔细观察，认真分析。 接下来以后，这里面四个角之间，两组之间是有关系的，他跟阿法具体的值是没有关系的，你看他加起来也等于二分之百，用我们的话可能叫护鱼， 那么他的正弦和鱼弦可以转化，正好是符合我们两脚和的正弦公式的展开式，哎，这样就很便捷的解决了问题。 好，我们看到立体三已知靠山的快等于负分之三，这个快是属于二分之拍到拍之间 球赛的赛加六分之派的值。 好，我们一起来看这个问题。 条件只有一个角块的余弦值，但是有他的所在的象限啊，是第二象限，而且是一个钝角，那么这个条件我们知道，那么另外的五个三角笔都随便可以确定下来。好，我们要求这个，那么看怎么分析？ 因为腮印的这个块加六分字牌，他的形式大家很熟悉了，他正好是两角合的正形 形式，所以他等于三应的范乘以科三的六分之牌，加上科三的范乘以三的六分之牌，这个科三六分之牌和 上一个粉丝牌都是具体的数字了，那么我们有靠上的快，那么问题现在就缺一个了，所以解决的问题我们怎么办呢？因为靠上的快 等于负的五分之三，再加上这个，我们说符号看象限，他是属于二分之排倒排第二象限，所以这样就得到他的正弦值啊，正弦值第二项他是正的，那么得到五分之四， 好，再把这个结果带入上市，所以原式就等于三的快，通过这个五分之四 乘以科三的六分之牌，是二分之根号三加上科三的范是负的五分之三，三的六分之牌，那么是二分之一。 好，很简单，我们把它运算出来，十分之四，根号三减三，这就是我们解决的这样的一个问题。 我们来看到例题四啊，已知三的二法加上靠山的被打等于五分之三， 科三的阿法减三的被答等于五分之四啊，我们求的是阿法减被答的 正前置。好，这样看怎么来求要求的这个式子是两角叉的预线形式，通过前面的研究我们知道啊，你要把它解决，可以考虑是不是把它 三元阿法靠扇贝的减去，靠扇阿法扇贝的 出来。咱们要把这个求出来以后分两头看，然后三元阿法考三倍的，哎，这里有三元阿法考三倍的，但是他是和这个成绩同样的考生，阿法三元倍的考生二法三元倍的，这个是成绩，这个是差。那我们很容易想到， 我们把已知这个塞印的啊法加上扣上的被答等于五分之三，我们两边平方就得到了塞印的平方啊法 加上两倍的腮音 f c 的倍的，再加上 case 的平方倍的等于二十五分之九啊。比如这是第一个式子，同样也是由 cocy 的啊法减去三的倍的， 他等于五分之四，也是两边平方，他就等于科三的平方二法减去两倍的科三的二法三倍的，再加上 相应的平方倍的，把它等于二十五分之十六。那么这两个事实我们观察一下，很显然根据我们同角三角笔的基本横等式，这两个加起来是等于一的，这两个加起来也是等于一的，那么这就对退 讲一加二，我们就得到了这个是一，这个是一就是二， 加上把一个二提出来，那么他就是山印的阿法靠山印的被打减去， 扣上你的阿法扇你的被子啊，正好等你。 所以很简单，我们就可以把这个求出来，撒印的阿法靠上的背的减去靠上的阿法撒印的背的，那么他就等于负的二分之一，这个正好就是我们要求的阿法减被的正向之极， 塞印的阿，房间杯的，也就是这个富二分之一，你搞清楚了吗？ 好，我们继续研究。看到例题五，这是个证明题，求证三应的阿法加倍的乘以的三应的阿法减倍的，而他等于科三的平方倍的减去 case 的平方阿法。 那么前面讲到这个是指两角和与正弦，两角叉的正弦，两角和两角叉的正弦，他们之间其实表达世上只是一个符号的问题， 那么我们也比较容易想到他从这边出发，那他有一个正和负的问题，这边虽然能够一是分解，但是我们看这个一是分解好了以后，好像后面不太好走了，只有我们从左边出发来证明， 左边等于他是三应的二法加北的乘以三应的二法减北的。哎，我们把它打开来，他会等于三应的二法 科三的北大加上科三的阿发三的北大 乘以这个是三应的阿法。 call 上你的 battle， 减去 case， 你的阿法 三的倍的好在那个正好符合平方差公式，所以他等于三应的平方啊。 科三的平方倍大减去科三的平方二法三的平方倍大。好得到这么一个形式 好，对照我们的右边，我们发现右边他全部是余弦显示，那么这里还有正弦，而在平方的背景下去掉正弦，这里是很方便的， 所以他就等于利用平方关系，一减去靠山的平方啊，乘以靠山的平方背的减去靠山的平方啊，这个别动啊，这里 写成一减去扩散的平方倍的，所以他就会等于扩散的平方被的减去扩散的平方二法乘以扩散的平方被的，再减去 科三的平方二法加上科三的平方二法乘以科三的平方被打。 观察我们运算出来的结果，我们容易发现这两个正好可以抵消，所以他就等于科三的平方倍的减去科三的平方二法正好等于他的右边，所以叫原等式就成立了。 好，这是我们讲的第五个问题，我们搞清楚了吗？ 接下来我们一起来看到例题六，已知三的阿法等于三分之二，科三的贝答等于负的四分之三啊，他给出阿法贝的是一个钝角啊，第二相向二分之拍到拍啊，正前为正的，余前为负的。哎，要我们判断阿法减背的是第几向前叫， 那么通过前面的学习，我们知道如何判断一个角，我们把它看成一个整体啊，是第几象限角呢？ 那么我们说由中间可以知道第几项线，可以知道他的符号，你反过来，那怎么判断他是第几性相奖呢？那么我们说一个基本的方法，我们可以考虑研究他的正弦指 阿凡将佩戴，以及柯圣的阿凡将佩戴 阿法简便的这个角的正弦字和语弦字，那么就可以知道他的第几象限了。比如两个都是正的，那么他肯定第一象限 两个都是负的，那么他的第三象限正弦为正，于弦为负。那么第二象限如果正弦为负，于弦为正，那么第四象限那其中如果有零，那可能他的中边就是落在坐标轴上的， 所以我们这么来考虑好，那么要把这两个求出来，我们知道我们还是需要四个基本的量啊，要知道讲阿法的正弦与弦，北打的正弦与弦，那么现在有两个，所以这个题目的解题思路就非常清晰了，我们一起来看到。 所以我们由三应的阿法等于三分之二，明确 这个角是二分之排到排，所以第二象限，那么他的余弦 简单就是负的那么三分之二。我们可以用构造直角三角形，也可以用平方关系，那么就得到了 cos 的二法等于负的三分之， 然后 同样我们由高线的背的 等于负的四分之三。贝塔是属于二分之派大牌也能够得到三应的贝塔，这个是正的，他是四分之类。更好， 那么四两个角的赠与圈都有了，好，我们一个一个来研究，所以我们先研究三应的啊法减倍的，根据两角差的正形公式，他等于三应的啊法，靠山的被的减去靠山的啊法 晒你的被子，还把他带进去晒你的阿法是三分之二，靠晒你的被子是负的四分之三， 好，减去科三二，把我们算出来是负的三分之，根号五相应的被的，那么我们算出来是四分之 点，好气，所以我们运上以后啊，他就会等于十二分子 负六，再加上根号三十五，很简单，六是根号三十六，这个应该是小一点。二、 cose 的阿法简单也是一样的方法，那么他是等于 cose 的阿法， cose 的 bady 的加上三应的阿法 在你的北大，所以带进去高线的阿法是负的三分之， 然后乘以靠山的背挡是负的十分之三， 三应的啊法是三分之二，三应的被的是四分之根号七，那么他的结果应该等于十二分之 三根毫加上两倍的根毫七，那么现在他是大于零，所以由他的余弦值大于零和正弦值 小一点。其实可以根据我们前面讲过利用三单位三角里面的单元元的背景啊，把这个中标上与单元元的焦点的横坐标看到是这个中坐标看成三元的啊，把减肥的，那么所以 这个讲阿法讲非常简单，一下子大一点，这么小用为第四下先讲， 搞懂了吗？ 好，我们看到立体器求证。对于这个符合题意的讲二法，有扣绳的二法加根号上的三人二法，等于两倍的三人的六分之牌加二法。 哎，这个形式长得很漂亮啊，前面是一个余正弦和余弦，后面呢只有正弦啊，但是这个角阿法呢，变成了六分之拍假阿法。那我们证明，这个怎么来证明呢？好，我们来一起来分析一下。 应该这个形式比较简洁啊，这个横起来可以打开，所以我们第一种方法我们可以从右边入手， 好，打开来两倍的先别动弹，那就是山影的 六分自拍，好散的阿法， 加上靠上的六分自拍乘以三零的啊，好，乘出来 正好等于二啊，这个是二分之一的科三答法，这个是二分之根号三的三应答法，正好等于科三的阿法，加上根号三的三答法，好，正好等于他的左边，所以 原本是成语，这是我们讲的这个问题， 这个题目还有另外的政法吗？ 好，你看这个形式啊，他是扣三引三引的跳三， 那么我们考虑一下能不能把这个他是一乘以靠上瘾的阿法加上根号三的上瘾阿法， 那根据前面学习过的东西，哎，我们能不能把这个一看成三人的被打呢？这个看成靠晒的被打呢？我的形式上很类似，对不对？ 那么我们知道这两个是不能看的，因为他们的平方和度不会等于一，哎，通过刚才我们分析，我们发现能不能凑一下啊，所以我们也可以从左边出发， 不能直接看，但是左边等于扣剩的二法，加上偏后三塞印的二法，哎，我把这个二提出来， 给个二分之二分之开往上，正好可以按压正线和余线，所以把它看正。 二分之一乘以靠山的阿法，加上二分之跟二三乘以三应的阿法，那么我们把这里的二分之一看成是 某一个角的正弦三人的被打，把二分之根号三看成这个角的余弦是可以的，所以他就变成了科三人的被打，可选阿法加考生的被打三人的阿法， 好，那么这个是摄影多少呢？好简洁一点，我们就把它看成山影的六分之拍，这个时候正好啊，他是靠山影的六分之拍， 所以我们把它变成两倍的三应的六分自拍，乘以靠线的啊，加上 cose 的六分自拍乘以三人的啊，三人的阿法啊，这是 cos 的阿法，正好符合两角合的正向公式，他就等于两倍的三人的六分自拍 加阿法正好等于他的右边，所以 原等式是成好很好的解决的问题。那么我们对这个结果大家要仔细关注一下，你看他非常有特点，他左边的形式 画到右边，他有一个很好的地方，本来有两个三角名的，因为正弦有余弦，现在画多名为少名， 可能有两个三角形变成一个了，这个角看来他原来是单独的一个角，但是现在变成六分之拍加二法，哎，这个六分之拍还是个特殊值，所以这个在以后的运用中哎，他会非常广泛，所以请同学们关注他。 已知三二法加三北大等于二分之干儿求 coc 阿法加靠三北大的最大值。 这个问题和结论呈现的是我们比较熟悉的两个角啊，一个是阿法角的正形值 和北大脚的正弦指，另外一个是阿法脚的鱼弦指 和被大角的鱼线值，他们是核的形式啊，一个是二分的钢化定制，一个是研究最大值， 我们研究过这两个的成绩 与这两个的成绩， 他的和或者说差，他正好符合两脚差与和的语险公式，所以我们从这里出发，把要研究的对象啊，看这个整体，所以大家看看能不能这样解决， 所以我们不反思。 t 等于可乘压法 加上靠上背的，那么你要得到这个刚才讲的这个成绩，那么我们经常考虑把它进行平方，对不对？ 所以我们有科三的打法，加上科三的北大的平方， 就等于题方，我们把它展开来，靠上平方，阿法加上两倍的靠上阿法 靠上被打，再加靠上你的平方被打两个踢翻同一把椅子条件，他由三应的阿法加三的被打， 这个平方他就等于二分之一，那么也能得到三应的平方，二法加上两倍的三应，二法 三倍大，再加上三应的平方倍大等于二分之一， 这两个加起来啊，前面遇到类似问题，等于一，这两个也是一，那么我们就能够得到，所以一加二， 那么就得到一个二啊。把一个二提出来，那么这里面就是靠山的阿法，靠山的背的加上山的阿法 三的倍的啊，等于七方加二分之一， 好，这个是什么？哎，这个就是靠山的 阿尔法奖杯的 油脂可以得到 考生的二法减倍的，那么正好等于化解一下，是二分之一的提防，减 去四分之三，他是这样的，那么我们要求他的最大值， 这是他的最大值，那么这个的最大值是什么呢？一个角的另一角的余选值最多，最多可以取到一，对不对，何时取一呢？所以我们发现，如果说这个角的中边，他是在 x 轴的正半轴， x 正半轴，那么他的余弦就等于，那么 x 正半轴有很多比较简单的，比如说就是零度，所以比如说当 二法减倍的，他会等于 k 牌二， k 牌 k 属于 z 的时候， 那么科三的阿法兼备的还等于一，所以 第二分之一题方减四分之三而言，就是整个科三的二分之三倍的，他的最大值就是一，由此可以得到他的题方是小于等于四分之十四， 所以这个 t 就小于等于二分之根号是四，所以科三的二法加上科三被打，他的最大值， 你就为这里的二分子根号十四，好，你搞清楚了吗？ 好，今天我们对几个问题进行了分析啊，我们充分的推倒了两角和与差的正向公式，而且把这公式进行简单的运用。大家知道题目 我们还可以考虑，比如他把它改一下啊，我们把它变为散打法，加上 case 的被打啊，不用，等下把粉丝给他啊。 好，我们求 cosan 的阿法加塞应贝打的 最大值啊，最小值问题也用类似的方法可以进行探究。 好，今天我们留下这四道课堂练习啊。一、在三角形 abc 中，已知扩散 a 等于十三分之五，扩散 b 等于五分之四，求扩散 c 的值。 二、已知阿法是在四分之八到四分之三排之间被的是零到四分之块啊。 cc， 四分之八加二法等于负分之三三，以四分之三百加被的等于十三分之五， 要求三应二法加倍的值。第三，已知三应的二法加倍的等于三分之二，三应的二法减倍等于五分之二，我们要求同应的阿法比上同的倍的值。那么第四题跟一题三其实是差不多的， 那么对这个问题我们可好，同学们啊，独立思考啊，把它完成可以通过暂停或者截屏呢，把这个练习留下来。 好，下面我们把这个答案啊，解决问题的提示和参考答案给大家。这是第一题啊，最后结果的是六十五分钟十六。 第二道的话呢，嗯，他最后结果是六十五分之六十三啊，我们根据符号，这个要抓住符号看向下啊。第三个问题， 那么他直接结果是二分之三。 好，接下来我们进行课堂小结， 一、公式的推导，希望大家能够自主得到这个过程，有利于进一步提高推正的能力，推理证明的能力，感受三角证明的灵活性和多变性 啊。大家在这个课堂中，我们要体会运用化规与变量替换的一种数学思想，我们是推倒了两角和以茶的正形公式，并能够应用两角和以茶的正形公式解决一些求职化遣证明等基本的商家问题。 三、在力学的探究中，我们要注意公社正用运用以及辨识使用有浅无深， 体会三角横等式的正面方法和策略。 好，同学们，我们今天这堂课就上到这里，谢谢大家，我们下次再见！

前面的视频你已经学过，两脚合与差的余弦正弦。这个视频我要讲讲两脚合与差的正确。先来看和把它变形看看，看见就等于下一笔扣塞，根据两脚合的正弦公式，上面就可以写成，三一阿尔法扩散贝塔加扩散尔法，塞一杯塔， 根据两脚合的于弦攻势，下面就可以写成扩散耳法，扣散贝塔，减散耳法下一贝塔。为了让这个式子只有正确上下，同时除以扩散耳法扩散贝塔， 越掉相同的部分整理一下，这就是探景阿尔法，这就是探景贝塔。下面就是一剪探景而法成探景贝塔，所以探景而法加贝塔就等于探景。尔法加探景贝塔，除以一剪探景而法成探景贝塔。这个就是两角河的正切工。 至于两脚的差，只要把减背他写成加负背带就行，根据刚才的公式，他就等于探紧阿尔法加潘记负背塔 除以一减太极而法成太极富贝塔。其中太极富贝塔就等于富的太极贝塔，所以这个世子就等于太极，而法减太近贝塔，除以一加太极而法成太极贝塔。这个就是两脚差的正切公式。 这一共两个公式，非常重要，你可得记仔细了。左边是加时，右边上加下减，左边是减时，右边上减下加。总之左边的符号一定和分子的符号相同， 有了它，很多貌似不能求的正切值就可以求出来了。比如踏进十五度，就可以拆成踏进六十度减四十五度。根据两脚叉的正切工式，你就可以 血橙探近六十度，减探近四十五度，除以一加探近六十度，成探近四十五度，接下来花钱计算就行了，正常应用你学会了。那如果反过来呢？比如让你球探近十度，加探近二十度，除以一减探近十度，乘太近二十度，根据两小盒的正确公式， 你就可以把它写成看见十度加二十度，也就是看见三十度得三分之根号三。好了，总结一下，这个视频我就给你讲的两脚合与差的正切，你可千万得记住了，前面的符号和分子的符号一定相同， 不管是正着求职还是反着化解，都可以用它来搞定。怎么样，明白了吗？明白的话就赶紧去刷题吧！

大家好，欢迎关注中学数学，中学数学让你的高中数学变得好学。这节课给大家分享两角和与差的正先函数公式的一个推倒。那我们在课本上呢，见到的就是大屏幕上的这个公式， 那好多老师呢，直接给出大家这个公式，然后去用去计算，但是他是如何推倒得来的呢？下面我们来看一看。 先看第一个公式，空心阿法加白塔，它等于空心阿法，空心白塔减信阿法信白塔。那我们推倒呢，是在这个单位元中进行推倒的。先说第一种方法， 首先呢，在单位圆中，我做出角啊法，这个角呢即为角啊法，那角啊法的中 边与单位的人交点呢，我即为点 a， 由此可以得到点 a 的坐标呢，就是扣信仰二法，信仰二法， 那同样的道理，我在依据啊，在依据角 a， 这个角 f 的中边欧 a 作为角 bat 的一个起始边，做出角 batt， 这是 batt， 那吉他的中边呢，与单位的焦点为 b， 那不难发现，这个角呢，这个角就是阿尔法加 batt， 所以必点的坐标就是 cocy 阿尔法加贝特。那我在这里再做一个 个富白塔，富白塔呢，是按顺时针方向转啊，识别呢，还在 x 轴背负半轴上做出富白塔， 这里呢就是富白头，富白头的中边和单元的焦点即为 c， 那么 c 点的坐标呢，就是抠 c 影，富白头 c 影 不摆摊。那这里呢，是单位元和 x 走入正半轴的焦点，即为点地，那么地点的坐标呢，就是一零。那由此我们会发现，脚 b o d， 它的大小就是阿尔法加贝塔，那同样的道理，脚 aoc， 它的大小也是阿尔法加白塔，那在这个单位元当中， 圆心角相等，圆心角相等，那么他们对应的这个弦长呢，也是相等的，所以角 b o d 对呢，弦长呢，就是 b d， 而 aoc 对应的弦长呢，就是 a c， 那由此我们会得到 bd 的长度是等于 ac 的长度的，那刚才我们在图当中也标出 abcd 的坐标， 那我们就用两点间的距离公式把这个距离给他表示出来，因为 a 点坐标呢，扣信阿尔法，信阿尔法， 这个坐标呢，是依据这种运行函数的定义得到的必点坐标。扣 c， 阿法加白塔， 新颖，阿法加白塔，这点坐标扣新颖， 我不爱他 阴影副贝特地点坐标就是一零，所以那 bd 它的长度就是根号下 扣信二法加贝特减一括号的平方，加上 c， 二法减北和减零括号的平方，也就是 c 平方，二法加贝特。 那同样的道理， ac 他的长度就是根号下扣 c， r 法减去，扣 c， 腐败他的平方 加上零，二法减去，这样腐败他 平方。因为他们两个长度是相等的，所以两边平方呢，也是相等。我们直接整理口信平方，阿尔法加贝特，减去二倍的扣信阿尔法加贝特加一， 加上信用平方二法加白塔，等于这边展开扣信方二法加上扣信负白塔，那他还是扣信白塔，加上扣信用平方白塔， 减去二倍的扣信二法乘以扣信白头继续加，加上信用平方二法 加姓付白糖呢，是付的新 白塔，也就是四个平方白塔，然后这里是减呢，这里就变成加了，也就加二倍的进二法乘以进白塔。 整理之后呢，因为我们知道平方关系，扣信用方二百加白头，加信用方二百加白头就是一，也就是一减二倍的 扣信二法加倍的再加一，所以这里就是二，二减二倍的扣信二法加倍的 等于。那扣信方案二法加信用方案法是一，扣信方 batt 呢？加信用方 bata 也是一，所以这也是二减去二倍的二倍的 c 二法口径白糖把符号提出来就是减进二法乘以杏白糖 二和二抵消之后，负二和负二约掉之后，所以就得到了扣信二法加白塔等于扣信二法，扣信白塔减去 进二法乘以进掰他，那这个公式的推倒呢，就完成了这第一个公式。那第二个公式呢，就是扣进二法减掰他。 那我们直接在第一个公式啊，一直推倒的基础之上，对这里的 batt 做一下处理，因为这个公式呢，是对任意的 apple bat 都是适用的，那我把所有的所有的 batt 换成副 batt， 比较空心。 阿法加上腐败特用公式就是口型阿法，口型腐败特 减去，这样阿法乘以 c 样覆白，他用右脑功效整理之后也结实扣 c， 阿法减白塔 等于扣信用二法，扣先付白特呢？还是扣信用白特，然后这里减去信用二法乘以先付白特，先用付白特呢，是负的信用白特，所以这里是加上信用二法乘以信用白特。 那其实这里的记忆规律呢，就可以依据他这个特点语写，前面加，后边是减， 前面减呢，后边是加。那我们知道正弦和余弦它是有个关系的，那有余弦的和叉公式可以得正弦的和叉公式我们知道，口径二分的派减去阿尔法加 bat， 从右到空中画完呢，他就是 c， 二把加掰他好，把这个鱼弦揭晓，往下整理。勾心二分的派减二法相当于这三个角呢，把前两个角放到一起，然后再剪掰他。那这个时候套鱼弦的擦脚公式就是抠心 二分派减二法乘以扣信用摆头，加上心二分，派减二八乘以信用白头好，还是用右脑部分化解。那左边呢，就是心用阿法 加白塔，右边空心二分的派减二法就是信二法， 然后乘以口径白塔。 那 c 我们可以减二法，就是抠线啊，加上抠线二法乘以零掰特。那同样的道理，我们把正弦和角公式当中的所有的掰特呢，换成负掰特，也是心领二法加上负掰特。 套正弦的插合脚公式就是四样二法，空心腐败他加上勾心二法乘以四样腐败他 整理之后记设心应阿法减白头等于新阿法。 空心负白塔呢，是空心白塔，加上空心二法乘以先负白塔，先负白条是负信白塔等于是减去空心二乘以先用白塔。 那公式记得呢？正弦正弦，前面是加，后边也是加，前面是减，后边也是减。注意，正弦是先正弦再余弦，然后再余弦再正弦，这是两脚合于它的正文弦公式。 那有的课本上呢，给我们的证明方法呢？ 有的课本上他给的一个证明方法 不是刚才说的这种方法啊，有的课本上给的是用项链证明的。我们来简单看一看，还是 有的课本啊，有的课本他是先给出这个空性啊法减掰特，扣信啊法减掰特，他的一个公式，也就是先正空性啊法减掰特等于空性 勾线二法勾线白条 加上进二百进白头，然后再把这里的白头呢换成副白头啊，剩下的正先得到的由来呢，和刚才推到是一样的。简单来看一下他的一个证明方法，用项链去证明， 那在这里呢，先在这里呢，是先做出这个脚啊，这是脚啊，他的使边呢是在 x 轴的背负半轴上，中边呢记他与单元的交 高点为 a， 那么 a 点的坐标呢，就是扣信 r 信 f， 那还是以以 r 法的使编为使编，还是以 x 轴的非古版的为使编？我再做一个叫 beat， 这是 batt， 那记 bat 中边和单元的焦点呢，是 b b 的必点的坐标呢，就是空线 bat 杏 bat。 那如果说啊，先讲了这个平面项链的话，那我们就可以得到项链 a 与项链 ob 的一个数量机，就等于他们坐标之间的一个关系，抠线二法乘以抠线用 batt， 然后加 加上信用二法乘以信用白头。这利用的是啊项链的一个数量计的运算公式。那除了这一方面呢， o a 与 ob 的数量计呢，还可以写成他们的魔长 o a 的摩擦乘以欧币的摩擦，再乘以他们俩之间夹角的一些颜值，那他们俩的夹角呢，就是这个角 aob aob， 那 aob 呢？就可以用，就可以用这个阿尔法简单的这个角来表示，这就是 coc。 抠性阿法简白特，那我们知道在单位元当中呢，我 a ob 的长度都是一，所以我我比的数量几呢？就是抠性阿法简白特， 那一二加两四呢，是相等的，那由此就正得 c 二八减白条等于 c 二法， c 白头加上信 r 法乘以 c 白头。 如果学了项链，那这点证明还是很很好去说的，但是如果不学项链的话，这点还是不太好说，那还有一种证明方式呢， 用的是鱼弦定律 可能有的这个教材呢，鱼线定理是在高二的时候才能学习的，我们来简单看一下 鱼线定理呢，他在这个三角形 aob 中，他正的还是两角差的鱼线勾心安法减白条这个公式有鱼线定理，我们会知道， ab 的平方， 他就等于 o a 的平方加上 ob 的平方，减去二倍的 oa 乘以 ob， 再乘 口型交 aob， 那就是口型 阿尔法减 batt， 那 ab 的平方，这两点距离知道了，那 ab 的平方就是扣信二法减扣信 baty 括号的平方， 加上信用阿尔法减信用贝特括号的平方。那 u a 是在当语言当中 ovo 费呢？都是一一方加一方呢，就是二二减二倍的啊，这还是一乘一二倍的扣信阿法减贝特。我们继续把左边进行整理， 左边这里是扣信方 f 加上扣信方 batt 减二倍的扣信 r 扣信 bat 加上信用方案二法加信用方 bat 减二倍的信用方案二法信用卡 等于二减二倍的扣信阿法减贝塔。这里根据平方关系，扣信方案法加信方案法是一，扣信方贝塔加信方贝塔也是一，这就是二了，二呢和这边的二是抵消了， 那这里把负二提出来，负二提出来就是扣新颖阿尔法贝塔，然后这里是加上新颖阿尔法信贝塔， 这里的负二呢，他们可以约去了，所以就得到了扣信阿法减白塔等于扣信阿尔法库信白塔加上信用阿法乘以信用白塔。 那几种证明方法呢？到这里 就已经结束了，不知道大家能听明白哪一种。那对于公式的证明呢？也就是公式的推导 建议了解啊，理解就行，主要呢还是对公司的记忆还有他的一个运用。好这节课呢，就先说到这里，感谢大家的关注，我们下一期再见。

同学们，大家好，很高兴今天和大家一起来学习两角和与差的正弦余弦和正切公式。前面我们学习了诱导公式，利用他们对三角函数式进行横等变形， 可以达到化解、求职或证明的目的。观察诱导公式可以发现他们都是特殊角。与任意角阿尔法的和 或差的三角函数与这个任意角阿尔法的三角函数的横等关系。例如，三引阿尔法加二分之派等于 cosine 阿尔法。如果把特殊角二分之派换成任意角背他， 那么任意角 alpha 与 beta 的和或差的三角函数与 alpha beta 的三角函数会有什么样的关系呢？带着这个问题，我们一起来开始这节课内容的学习， 请大家一起来思考，如果已知任意角 alpha beta 的正弦余弦，能由此推出 alpha 加 beta， alpha 减 beta 的正弦余弦吗？ 下面我们首先来探究 cosin alpha 减 beta 与角 alpha beta 的正弦与弦之间的关系。不妨令 a 法不等于二 k， pa 加 bat， k 属于 z。 如图所示，设单位元与 x 轴的正半轴相交于点 a 一零， 以 x 轴非负半轴为使边作角阿尔法贝塔，阿尔法减贝塔，他们的中边分别与单位圆相交于点 p 一 a p。 请观察右图，你能根据三角函数的定义写出点 p e， a e p。 的坐标吗？通过观察我们可以发现，根据三角函数 的定义可以得出点 p e。 的坐标为 cosine alpha sanine alpha。 点 a e 的坐标为 cosine beta sun in beta。 点 p 的坐标为 cosin alpha 减 beta sun in alpha 减 beta。 连接 a e p e a p。 若把扇形 o a p 绕着点 o 旋转 bat 角，则点 a p 分别于点 a e， p e 重合， 根据圆的旋转对称性可知弧 a p 与弧 a e p e 重合， 从而和 a p 等于和 a e p e。 所以 a p 等于 a e p e。 根据两点间距离公式，我们可以得到 cosin alpha 减 beta 减一括号平方加上三 in alpha 减 beta 的平方等于 cosine alpha 减 cosin beta 括号平方 加上三引阿尔法减三引贝塔括号平方。通过化减，我们可以得到 抠三眼阿尔法减贝塔等于抠三眼阿尔法。抠三眼贝塔加上三眼尔法 三引贝塔。当阿尔法等于二 k 派加贝塔， k 属于，这时容易证明上市仍然成立。所以对于任意角阿尔法贝塔，我们有 cosine ar 法减 beta 等于 cosine alph， cosin beta 加上三引尔法三引 beta。 此公式给出了任意角阿尔法贝塔的正弦余弦与其差角阿尔法减贝塔的余弦之间的关系， 称为差角的余弦公式。接下来请大家继续思考，从两角 差的余弦公式出发，你能推导出两角和与差的三角函数的其他公式吗？ 比较 cosine 阿尔法减贝塔与 cosine alpha 加贝塔，并注意到阿尔法加贝塔与阿尔法减贝塔之间的联系。 alpha 加贝塔等于 alpha 减去负贝塔则由两角差的余弦公式我们有 cosin alpha 加贝塔等于 cosin alpha 减去负贝塔 等于 cosine 阿尔法。 cosine 负贝特加上三也阿尔法三也负贝特 等于 cosine alpha， cosine beta 减去 sun in alpha sensing beta。 我们通过上面的推导过程，于是得到了两角和的余弦公式。 记住， cosine alpha 加 beta 等于 cosine alphe， cosine beta 减去 sanya alpha saninbata 这里用到的是加法和减法的联系，也可用换圆的观点来考虑。 由于差角的余弦公式对于任意的阿尔法贝塔都成立， 那么把其中的贝塔换成负贝塔后也一定成立。 由此也可推得两角和的余弦公式。上面得出了两角和与差的余弦公式。我们知道用诱导公式五或六可以实现正弦余弦的互化， 你能根据两角和与差的余弦公式，即诱导公式五或六 推导出用任意角 alpha beta 的正弦余弦表示 sine alpha 加 beta， signing alpha 减 beta 的公式吗？ 下面请大家一起来看推导过程。诱导公式五，三亿 alpha 等于 cosine 二分之派减尔法。接下来利用换元的观点，用尔法加贝塔换尔法可得三引尔法加贝塔等于 cosine 二分之派减去尔法加贝塔。 通过变形可得 cosine 二分之派减 a 法减 beta 则由两角差的余弦公式可得 cosin 二分之派减阿尔法 cosin batte 加上 satin 二分之派减阿尔法 satin batin。 最后利用诱导公式可以得到 sunny 阿尔法 cosine 贝塔加上 cos 三引阿尔法三引贝塔。由此我们得到了两角和的正弦公式。 从两角和的正弦公式出发，利用换圆的观点，用副背它换背它 可以得到三引阿尔法加上副贝特等于三因阿尔法 cosine 富贝特加上 cosine alpha 三因富贝特 由诱导公式可得 seven in alpha 减 battle 等于 seven in alpha cosine bath 减去 cosine alpha set in battle。 于是我们得到了两角差的正弦公式。 通过推导我们可以得到两角和与差的正弦公式如下， 请大家一起来思考。你能根据正切函数与正弦函数、余弦函数的关系，从两角和与差的余弦正弦公式出发， 推导出用任意角阿尔法贝塔的正切表示 tant 的阿尔法加贝塔， tant 阿尔法减贝塔的公式吗？首先，根据正切函数与正弦函数与弦函数的关系，我们可以得到 潘金的阿尔法加贝塔等于三亿阿尔法加贝塔，比上抠三亿阿尔法加贝塔。 再从两角和与差的余弦正弦出发，可得三亚尔法 cosine beta 加上 cosine 尔法三 n beta， 比上 cosine 尔法 cosine beta 减去三亚尔法三 n beta， 然后通过分子分母同时除以 cosine alpha， cosine bath。 最后可得 tangent alpha 加 tangent bath 比上一减 tangent alpha， tangent bath。 通过推导，我们可以得到两角和的正切公式。从两角和的正切公式出发，利用换圆的观点，用副贝塔换贝塔 可以得到 tangin 的 alpha 减 beta 等于 tangin 的 alpha 减， tangin 的 beta 比上一加上 tangine alpha， tanginbat。 于是我们得到了两角差的正切公式。 通过推导可以得到两角和与差的正切公式如下，在此需要强调的是，两角和与差的正切函数必须在定义域范围内使用 两角和的正弦与弦与正切公式。给出了任意角 alphet 的三角函数值与其合角 alpha 加 beta 的三角函数值之间的关系。 为方便起见，我们把这三个公式都叫做合角公式。类似的，两角差的正弦余弦与正切公式都叫做差角公式， 请大家继续思考。合角公式与差角公式中，阿尔法 beta 都是任意角， 如果令阿尔法为某些特殊角，就能得到许多有用的公式。你能从合角公式与差角公式中推导出诱导公式吗？ 你还能得到哪些等式？下面请大家带着这个问题，先来看一道例题， 利用两角差的余弦公式来证明， cosin 二分之派减尔法等于三亚尔法， cosin 派减尔法等于负 cosin 尔法。请大家思考 证明如下， cosine 二分之派减阿尔法等于 cosine 二分之派 cosine 阿尔法加上三亿二分之派三亿阿尔法 等于零，加上一乘以三也而法等于三也。而法 cosine 派减 alpha 等于 cosine pi cosine alpha 加上 sending 派 satine alpha 等于负一乘以 cosine ar 法加上零等于负 cosine ar 法。该例题既是两角差的余弦公式的应用， 也体现了诱导公式与两角差的余弦公式之间特殊与一般的关系。