湘教版九年级上三角函数练习题

初三锐角三角函数经典例题，期末必考，刚刚呢，我们借助口诀来准确记住了特殊角的三角函数值，那下面呢，我们可以借助几道题目来考察一下。大家好，我们来看例一的第一题。 那这就是很简单的代数求值就可以了。好，它呢，四十五度是多少呢？哎，它是一，那减去三十度是二分之一，那要乘上 cosine 六十度， cosine 六十度是二分之一，然后减去 cosine 四十五度的平方，这个式子呢， cosine 四十五度的平方，它就是 cosine 四十五度整体的平方。这有一个注意点，大家需要注意一下。好，那 cosine 四十五度，它是？哎，它是二分之根二，也就是要减去二分之根二的平方。那我们写到这一步之后呢，下面就是最简单的有理数的计算， 一减四分之一，减四分之二，结果就是四分之一。好，第一题我们就要计算完成。好，我们来继续看第二题。好，那三六十度是二分之跟三，乘以摊减到三十度是哎，三分之跟三，那加上 分母，它的四十五度，它是哎一，那 cosine 六十度是二分之一，那六分之三加上二分之一就等于哎，六分之三，我们可以约分就是二分之一加上二分之一等于一。好，第二题我们就要计算完成了。

哈喽，朋友们，这个视频我们给大家说一下 day one 这两道打卡题目的处理方法。首先第一题，他说在三角形 a、 b、 c 中啊，角 a、 c、 b 是 等于九十度的，角 b 等于三十度，那么它是一个三六九三角形。 将三角形 a、 b、 c 绕着点 c 按逆时针方向旋转，得到三角形 a 撇 b 撇 c， 如果点 a 对 应点 a 一 撇，恰好落到边 a、 b 上，连接 a、 b 一 撇，则 tangent 角 b 一 撇 a、 c 啊，它的一个值是多少？好，那我们最终的落角点呢，其实是要求这个角的一个正切值，那我自然想的就是能否把它放到直角三角形中去。 好，我们来看一下这个问题啊，该怎么解决？首先这个特殊的位置肯定是我们需要去分析的，而这个题目呢，它其实是一个固定的形式，那其 我们为了方便去进行处理，可以人为的给他一些具体的长度，对不对？你比如说我直接念 ac 的 长度就等于一，那么 bc 是 根号三，这样 ab 是 等于我们的二的， 又因为我们在这说了， c、 a、 e 撇是等于 c a 等于一的，对不对？那么我们就可以知道，这个三角形啊，此时就是一个等边三角形，也就意味着我们相当于逆时针转了多少度，是不是就是转了一个 六十度角？其实咱说到这啊，这个问题基本上就已经解决了，为什么呢？因为 c、 b 一 撇的长度其实就等于 c、 b 等于根号三，我刚又已经说了，你这个角是等于六十度的，哎，那这个角是多少？九十度，所以这个角是一百五十度， 你说做完没有？那当然做完了呀，对吧？哎，因为我们这个三角形 a c b 一 撇，很明显的是 可解的吧，为什么呢？因为这个角是特殊角，而这两边也都知道，这就意味着他任意一个边，任意一个角，包括说像哎，他的高线啊，中线，这些都是能够去进行处理的， 所以我们只需要把这个特殊的角一百五十度放到直角三角形中去就可以了。那么当然在这的话呢，我觉得你可以说我们延长一下 a、 c， 从 b 一 撇点往 这条线上引垂线，也就相当于做这边上的高，此时此刻，那么这个角 b 一 撇 c、 h 就是 等于三十度的，那么根据三六九三角形的三边关系，我们自然就可以得到这个是二分之根号三，所以我们的 c h 就 等于多少呢？二分之三， 好，那你说我们的目标角度正切值出来没有？当然是已经非常明确了，对吧？所以 tangent 角 b 撇 a c 啊，也就等于对边比邻边，那就是 b 撇 h 的 长度二分之根号三，比上咱们的邻边，那也就是 a、 h 的 长度二分之三加一二分之 五，所以轻松的可以算出来，结果应该是五分之根号三，所以选择 c 选项。那这个问题的话呢，我觉得还是一个比较简单基础的问题，你结合这里面的一些特殊角度啊，特别是本身题目中有了特殊角度，我觉得大家也要多往这些特殊角三角形去进行一个思考和靠拢。 好，那么我们接下来看一下第二题，他说啊，如图这边有一个正方形 abcd， 边长 ab 是 等于四的 e、 f 呢，分别在 b、 d 以及 bc 上的动点，并且满足啊， b， e 始终等于根号二倍的 c f， 接下来连接 a、 e， d， f， g、 h 呢，分别是 a、 e 以及 d， f 的 中点连接 g h， 求 g、 h 的 最小值。 好，我们来看一下这个问题啊，该怎么去进行一个解决？首先呢，这里面有两个中点，我们要求的是个中点的一个所构成线段的最小值。当然啊，还有就是我们给定了一个具体的等量关系， b、 e 始终是等于根号二倍的 c f。 呃，我们看到这个信息啊，第一时间我觉得部分同学可能想到我们的什么呢？逆等线啊，因为我们之前有讲过，你在一个图形中，如果有两个线段始终具备着一个等量关系，他们又是都在变化的， 那这个时候可能会跟逆等线有关。但是这种逆等线问题啊，往往可能最终要求的是什么？你比如说这个题目，我们举个例子，这个题目他给的是他们俩有一个固定的能量关系，对不对？那么逆等线问题，往往要求的是这两个线段之间的一些 和的对质问题，当然可能会有一些系数的引导，所以对这个题目来说呢，他是要涉及到两个终点所构成的线段。你如果说逆等线呢，可能没有那么好做 好，那么我们的处理方法呢，其实还是有其他的一些突破口的。一方面呢，这里面有多钟点对不对？那多钟点的话呢，我们可能之前就说了， 你先看一下能否构造中卫线，但就这两个中点来讲，它并不属于三角形的中卫线，对不对？我们连接啊，它并不属于三角线，所以我们要人为的去构造中卫线，这是一种思路啊。我先可以给大家说一下，那么顺着这个思路，我们又该如何进行具体的操作呢？在这 我觉得你可以这么去进行一个处理啊。呃，因为他现在不是中位线，所以我要人为的再去找一些中点进行一个处理，对不对？那我怎么去找中点呢？我觉得这个就是可以结合这里面的一些关系， 因为 b 刚好等于根号二倍的 c f， 而且这里面又设置到正方形的对角线，是不是有四十五度的？那我的想法就是，我先从一点往下引个垂线， 假设垂足为 h， 这个时候的话呢， b h 的 长度也就等于 c f 了吧。所以我们可以进行一些长度的设定。你比如讲啊，我们设这个长度为二 m， 那 这个长度自然也就是 二 m， 所以 这个长度也就是二 m， 当然 b e 的 长度就是根号 m 呢，你等下就懂了，那我的目标是为了去设它为二 m 呢，所以我们在这还要再去 进行一些相关的操作，我们连接一下 a h 啊，那这个时候我从 g 点往下引个数值的线，假设交 a h 于 p 点， 此时很明显 g p 是 不是就是三角形 a e h 的 一条中位线，那也就是这个长度始终是等于 m 的 吧。哎，同时 p 点是 a h 的 中点，我们 h 点也是 d f 的 终点，那这么来讲的话啊， p h 其实就是我们这个梯形 a d、 f h 的 一个中位线吧， 所以 p h 是 不是也可以通过这两个长度来进行一个处理的？那就它们俩合的一半，哎，同样的，我还可以得到一个关系， p h 应该是平行于上下底的吧，而这个时候我们就知道了这是一个什么 只想，那你说 g h 可不可以表示出来，当然是可以进行相应的表示的吧，所以这个我觉得是一种处理方法，但是呢，这里面存在着一个问题啊，我觉得如果想的多的同学 做这个方法可能反而不太好，为什么呢？他会思考的一个问题就是说，哎，那我们在这啊，他没有规定说具体这个 m 的 一个范围，我们一点，也就是说白了他可以跑到这边，那么这个时候，其实，呃，我们这个图啊，如果要画大致是不是就变成了这样一个形态了， 对吧？那这个图画起来啊，后面你会发现啊，它就是 p h 的 一个位置发生了改变，那有些同学就说，那它的一个长度表示会不会有区别呢？其实这个就要更多的一些证明了，当然我在这说一下啊， 本质呢，其实差不多，他只是由一个梯形变成了一个八字形，那么我现在的话呢，最后这个，呃，我们的这个 p h 啊，只是相当于变成了这是 h， 这是 p， 同样取得这两个中点， 这里面也存在着一个结论，只不过还需要去证明，那就是 ph 依旧是平行于上下这两条水平线，并且这个时候 ph 的 长度应该是等于什么的呢？应该是等于下底减上底的一半，但是这些东西呢，其实就是 会形成一些困扰吗？所以我们也说一下这个题啊，可能说更加简单利落的一个做法，那就是什么呢？大家注意这个图形呢？首先它的主体部分是一个正方形，对不对？那么我们说过，再遇到正方形， 或者说等边三角形啊，矩形这些问题的时候，你觉得直接去做不是特别好处理，那你可以思考另一个方式叫做什么呢？间隙啊。好，那我们来看一下这个题目啊，我们间隙你就直接以 b 点为坐标原点去构建一个平面直角坐标系就好了。 那当然，我们的核心这个时候是不是我要求 g h 的 一个最小值，我是不是把 g 点和 h 点的一个坐标表示出来，接下来两点之间的一个距离表示出来是不就可以了？好，那么 g 点的坐标我们该怎么表示呢？ 很明显， g 点是 a， e 的 中点， a 点坐标我知道零到四吗？所以我的目标是不是要把 e 点表示出来？那说到这，其实思路和杆是不是就差不太多啊？哎，我们同样做这样一个等腰折，我设它为二 m， 所以 这个长度也就是 二 m 吧，所以一点坐标知道了，一点的坐标就是二 m 到二 m， 那 你说 g 点坐标知道呗？当然知道了， g 是 a， e 的 中点，横坐标就是他们合的一半，那也就是 m， 而纵坐标就是纵坐标合的一半，也就是 m 加上二。 那好，那么同样的，我们还可以去把 h 点的坐标也进行相应的一个表示，那当然啊，我们也能得到 c f 的 长度是二 m， 所以 f 点的一个坐标，那换种颜色啊，便于区分 f 点坐标，自然横坐标就是四，减去二 m， 而纵坐标是 零，而 d 点坐标就是四到四， h 点是他俩的中点，所以同样我们利用一个中点公式，横坐标的话呢，就是，呃，八加八减去二 m 的 一半，也是四减 m， 而纵坐标直接就是二。 好，说到这，我觉得是不是可以去表示我们的 g h 了，这个应该就非常明确了， g h 就 等于根号下 横坐标差值的平方，那也就是他们俩做差。这个的话呢，我觉得是非常直观的吧，四减去二 m 括号的平方，加上纵坐标差值的平方，就是 m 的 平方，那这个形式我要去求最值。当然啊， 严格意义来讲，我们 m 是 有一定的一个取值范围， m 应该是怎么样？按照题目的意思，应该是大于我们的零，小于二的， 那带一点小样，所以我们去把它进行相应的一个处理。这个的话呢，后续我觉得就非常明显的一个什么配方求最值吧，这个 根号，下面我们进行相应的一个整理啊，这个的话呢，大家可以自己去操作一下，最后的话，你应该得到的是五倍的 m 减五分之八括号的平方，再加上 五分之十六，所以那么当 m 怎么样？我现在要求它的一个最小值嘛，那自然就是当前面的这一部分为零的时候啊，所以当 m 等于五分之八，那而且这个是 在我们的范围之内的，对不对？当 m 等于五分之八十，我们的 g h 有 最小值 是根号项五分之十六，那也就是多少呢？五分之四倍的根号在我们这个题目的答案是不是也就选出来了，应该是 d 选项。好，所以说呢，这个 希望大家一定要再理解体会一下它的一个做法，我们在这用了一个间隙的思想方法。

我们一起来看这道三角函数题，如图，在 r t 三角形 a、 b、 c 中，角 a、 c、 b 等于九十度 c、 d 垂直于 ab 于点 d。 将三角形 a、 c、 d 沿直线 c、 d 折叠点 a 在 a、 b 上的点为 e， 已知 a， c 等于 d， e 是 三，那由折叠可知， 两三角形 a、 c、 d， e、 c、 d 全等。所以 a、 d 是 三， c、 e 是 五啊，求 c 角 b、 c、 e。 那么咱们读完题的话，就可以得到这么多的条件，那要求角 bce 的 正弦值，角 bce 就 应该放在直角三角形中，那咱第一步就是构造 rt 三角形， 把角 b、 c、 e 放到直角三角形当中，然后从点 e 向下做一个垂线，垂直为 f， 做 e， f 垂直 c、 b。 在遇到题目当中，要求一个角的正弦余弦或者正切的时候，要把它放到直角三角形中，像这样做一个垂线或者找它的等角啊。找什么样的等角呢？就是找在直角三角形当中的等角。 那由题目两位可知 a、 c 是 a、 d 三，那也可以顺手求一下， c、 d 就是 四，那怎么求这个 b、 c、 e 的 正切值？现在是不是 c、 e 有 啊，缺少的是谁啊？ c 角 bce 啊，也就是 c 角 c、 f 啊，它等于 e f 比上 c， e、 c 有 五，那 e、 f 是 不是就是咱们要求的线段长？ 那 cf 怎么 e、 f 怎么求呢啊？利用相似 怎么做可以看一下啊，这是一个直角三角形 斜边上的高要求一个斜边，咱们可以用什么相似三角形摄影模型或者说等面积法啊？用摄影版里边有很多相似。嗯， 三角形 a、 c、 d 是 三十五，那三角形 a、 c、 b 三边哎的比例也是三十五， 那 a、 c 是 五，三角形 abc 中明显是最短的边 啊，它应该是占三份，那就是三分之十五，那 bc 就是 三分之二十， ab 就是 三分之二十五。选择题嘛，这样可以用减变的方法， 那 ab 是 三分之二十五， a， e 是 六，也就是三分之十八，那 b 呢？三分之七， 然后用三边关系三边的比求上 e、 f 就 可以了，也可以用什么？也可以用 c、 n、 b 啊，也可以。 c、 n、 b 是 不是等于 c， n 角 a， c、 d 那 三比五， 那 ef 比上 b， e 等于 c， n， b 等于 c， n 角 a， c， d 等于 a， d 比 a， c 等于三比五啊，那这个用的就是等角的三角函数之相等啊，等角的三角函数相等， 那 b 啊， e、 f 就 等于五分之三的 b， b 是 三分之七，那等于 e， f 就是 五分之七， e， f 是 五分之七，那就变成了什么？五分之七比上 c 是 五，所以是二十五分之七。说一下 a 啊，这类题其实有很多解面的技巧啊，相似摄影模型，等角的 c、 l、 l 值相等， 或者三边的比三、四、五三角形都可以进行快速的求解出来我们的答案。

三角函数的题你都不会啊，真的是没贼了，这一块是很简单了吗？因为三角函数这一块呢，是初三里面一个非常重要的知识点， 在中考里面也会经常考到的，如果不会的兄弟也要认真去看一下。第二十六节课三角函数中的题，不是有手就行了吗？你看，那你求这个角的下影值是多少？别管了，三十二十一，三角函数一定要建立在一个直角三角形里面了，对不对？ 如果他没有直角三角形，那怎么办呢？做辅助线构造直角三角形嘛，现在让你求这个角的赛隐值，是不等于对边比上斜边了。问题来了，对边是 b f， 斜边呢是 b d， 那 么这条边长度怎么求呢？ 题目当中没有告诉你哪一条边的具体长度给你，那么怎么办呢？马上想到舍而不求嘛，因为它是一个菱形啊，菱形，它的对角线呢，是互相垂直且平分的，菱形的每一条边呢，它是相等的， 这些小菱形也是一样的道理了，对不对？那么问题来了，我们就可以把这条边呢假设为 a， 你 看这个角是六十度，那么他一半是多少度啊？就是三十度了，你说这一块呢，是三十度，你看在一个直角三角形面， 一个角是三十度，马上显得什么鬼啊？三角函数嘛，对不对？三，三十度，他是等于二分之一的， 是等于对边比上斜边的 d f， 比上这个 d e 呢，等于二分之一，那么现在 d f 是 不是等于二分之 a 了，是不是没贼了？一样的道理，对吧？ 这条边也用 a 来表示吗？怎么搞呢？做弧直线构造直角三角形吗？你看你这一块是六十度，那很明显这一块呢，也是六十度喽，那么这里是多少度？就是三十度喽，这条边就是二 a 喽， 这不是三十度所对的直角边是斜边的一半吗？那很明显这条边呢就是 a 喽，那么这里呢， 就是根号三 a 了，对不对？有问题吧？没问题。好了，那么现在的话呢，那么在这个直角三角形面，要求 b d 的 长度是不是很简单了？马上用勾股定力嘛，对不对？这条边长度是多少啊？就是一二三四，就四 a 了， 那么就四 a 的 平方，再加上这条边的平方喽，马上得到它等于根号十九 a 喽，那么现在的话呢，让你求它的值是不？很简单啦，把这两个数带进去算一算，马上得到它的结果了喽，兄弟，你学会了吗？

我们来看这个，在直角三角形当中，角 c 是 九十度， bc 五 ac 十二，求贪心的 b 的 值，那做这种题的时候其实非常简单，你只需要画图就 ok 了。那比如说我们画一个直角三角形， 角 b， 角 c 是 九十度， a， c 是 十二，那 c 是 直角边， a c 是 十二， bc 是 五，那我们就能够求出来斜边是十三，五十二、十三，对吧？ 那这个时候 tangent 的 b 其实直接根据定义就可以了， tangent 呢，等于对边比邻边，那就是十二比五，也就是五分之十二，所以像这样的小题呢，没有什么难度，我们就直接画图就快速的去解决它，对吧？ 接下来呢，我们第二个想给大家说的就是解直角三角形，什么叫做解直角三角形呢？就是在这个直角三角形当中，我们会给一些元素，然后你把这个这个剩下的边和角都求出来，这叫解直角三角形。比如说 那么这个条件我们怎么去认识它？首先你得了解一下，就是这个条件叫做他们的角 dbc， dbc 是 这个角， 你要注意，当我们知道一个角的三角函数值的时候，我们默认是相当于知道这个角的度数好吗？已知这个角的三角函数值就相当于知道这个角的度数，也就代表着我知道这个角，还知道这条边， 我还知道这条边让我们求 cosine a 的 值。那做这种题的时候呢，我们的基本逻辑其实也简单， 就是你看看你能先求谁，你就都求出来呗。比如说这个角平方角 d、 b、 c 等于谁呢？等于对边比邻边， 好吧？对边比零点，那所以我们就知道了，它等于 dc 比 bc， 那 他又告诉我等于四比三，那也就代表着 dc 比 bc， bc 是 六，是不就是四比三？那么 dc 是 不是就被我们给取出来了， 对吧？八嘛？八比六，四比三嘛，是吧？这个是八。然后接下来我们再求 cosine a 的 值，是不就简单了， 求 cosine 叫做邻边比，斜边 cosine a 呢？其实就是 a c 比 ab 是 吧？ 那接下来这个是 bc， 这个是 a c， 那 ab 我 们用勾股定力是不就一下就能求出来，谁能看一眼就求出来结果，我不用说我把它放在什么六的平方加十二的平方，然后再开方看一眼就出来结果有没有？看一眼求出来结果有没有？ 这是我们在做三角函数体，或者叫做一比二比根号五， 也就是说一个直角三角形的两条直角边的比，如果是一比二的话，那么斜边就是直角边短直角边的根号五倍， 好吧，这个用的是非常非常多的，所以你会发现这里我们这个是六，这个是十二，是不是两条直角边的比刚好是一比二的关系，那么斜边 a b 根本就不需要算，它一定是 bc 的 根号五倍，那你就乘以根号五就好了， 好吧，那这样的话呢，那你看我们这个 ac 比 ab 就是 谁， ac 就是 十二， ab 就是 六倍的根号五，那结果是不是就被我们求出来了，对吧？这个直角三角形呢，实际上就是在直角三角形里边对三角函数的一个应用会解释。 那么刚来的小伙伴们呢，大家可以给萌萌老师点点关注，我们今天给大家串讲的是三角函数，三角函数的下一个，这个是我们在解三角形当中最经典的一类题目，叫做解斜三角形，我们一起来看，说角 a 是 七十五度， 角 c 是 四十五， ab 等于二，让我们求 ac 的 长。 那么在做这道题的时候呢，其实我们也不用去记什么原则，什么什么什么怎么样，对不对？当你见到四十五度的时候，你就去想这个四十五度得放在什么环境之下他才最有用？四十五度得放在什么环境之下呀？ 大家可以在讨论去瞧一瞧，得得放在什么环境之下呀？一定是 r t 三角形对不对？是吧？一定是直角三角形， 那么在直角三角形放的时候，那你看我这就有两种方法了，对不对？我把这个四十五度放在直角三角形里边，那我能不能这么放，对吧？我是不是也可以想着这样放？ 那我这两种放在直角三角形当中的方法，我用哪一种呢？这个时候同学们要把所有的情况都考虑到之后，你再去选择，比如说如果我这样放的话行不行呢？当然把它放在直角三角形里边了，但是你会发现，那我这个七十五度放在直角三角形里边，我不太好处理， 对不对？所以那我就知道了，我可以换一种思路哦，我可以这样去放， 对吧？那这样放进去之后，那这个是四十五度，那这个角呢？是不是也是四十五度？这个角是四十五度，七十五减四十五，这个角是不是就是三十度？那你看你这样放的话，是不是就相当于把这个 a b 二放在了一个含三十度的直角三角形里边，我们就舒服多了，对不对？ 是不是这种感觉我们就舒服多了？所以那么这个时候我们剩下的再去计算呢？其实就比较简单了，这个是一，这个是根号三，这个也是根号三，这个是根号三的两倍，也就是根号六，对吧？ 这个题就给大家说到这了，这就解斜三角形，那么在解解解斜三角形的过程当中呢，一般来讲他会给我们一些角，好吧，但是这里面有一个特殊的，就是我们刚才所提到的那么有一些角，他就像这道题一样，他给我们度数 也有一些角，他给我们三角函数值。所以在这各位要了解一个点，如果他给的是三角函数值，比如说他告诉你三 c 等于二分之根号二，那你也理解为给三角函数值就相当于知道角的度数， 好吧，有这样的一种感觉，那么这道题比较简单，接下来呢，我们再来看第四个，第四个这道题你看他首先最大的特点是什么呢？ 它有一个最大的特点是什么呢？没有图是吧？所以就要小心了，所以就要小心了。我们来看 ab 等于六倍根号三， ac 等于六， cos 等于二分之根号三，求 bc 的 长，来一起看看 ab 等于六倍的根号三。 a b cosine b 是 二分之根号三，那我这个 b 画的还不太好看， cosine b 是 二分之根号三。来告诉我角 b 等于多少度，有人知道吗？ 角 b 等于多少度？ cosine b 是 二分之根号三。看各位家长对初中数学还记得多少角 b 等于多少度？三十三十。没错，这个是我们特殊角的三角函数值，对吧？大家画一个三十度， 然后 ab 呢？我让它的长度是六六倍根号三，对吧？然后我再画一个 ac 等于六，那这个六肯定比 ab 要短一点，我就画成这个样子，这是我们的 ac， 我 这个图画的有毛病吗？ 我这个，我这个图画的有，有问题吗？是不是没啥问题，对吧？然后那我们就做了呗，那跟刚才一样，你刚才是四十五度，你得放在 r t 三角形当中，是不是这个理儿？ 那我现在见到了三十度是不一样的道理，我是不是得想办法把三十度放在 r t 三角形当中，对吧？那最容易想到的是什么呢？直接做垂吗？ 是吧？这样的话，你看这个是六倍根号三，那这个呢？就是他的一半三倍的根号三，那这个呢？就是他的根号三倍三倍的根号三，再乘以根号三啊，三三得九，对吧？然后我们还知道谁还知道 a c 等于六， 那当知道 a c 等于六的时候，这个是三倍根号三的时候，那这个我是不也能求出来，对吧？一比二比根号三吗？对吧？所以就能口算出来这个是三，那这样的话呢？ bc 不 就是九加三吗？ 等于十二来，这道题有问题吗？这道题有问题吗？这不是，这不挺简单吗？是吧？这不挺简单吗？这不是。画出图来，这不就解决了吗？这跟刚才那道题有什么区别吗？ 这不都是，你刚才上一道题是把四十五度放在了直角三角形里边，你这道题是把三十度放在了直角三角形里边，四十五度变成三十度的区别，那这道题有问题吗？那最后的结果我就求出来了， bc 的 长等于十二呗， 有问题吗？有问题吗？有问题。他的问题在哪呢？就是我们刚刚所说的，你要小心一点，为什么他没有图？这是这是一个表面上我们能看出来他要分类讨论的点。好吧，他没有图， 那没有图，那我自己画了一个图，那你能不能保证他只有一个答案呢？那你不能保证，所以你想想有没有可能存在其他的其他的情况呢？ 想想，那我这个这个 ab 的 长度是固定的，这个角是固定的，那么 ac 等于六，大家想一想，我能不能把 ac 这条，把 ac 这条边以 c 为顶点，这样转过来构造一个等腰， 能理解吗？或者是说你把 a c 这条边关于这条垂线去给它对称过来，那也就代表着在 a d 的 左侧，是不也有可能存在一条长度等于六的线段，存在不存在是不也存在， 对吧？也就代表着来，我们大致发一下，就是你右边有一个 a c 等于六，那么在这个图的左边是不是也有可能存在一个 a c 撇，让它的长度也等于六， 那也就代表着，如果我盖住这个部分，那你看 ab 六倍根号三， a c 等于六，这个角 b 等于三十度，也就是说你看我这个钝角三角形是不也符合我们这个条件呀？没问题吧？ 而那个时候，那我们的 bc 等于什么呢？其实就不需要去计算了，记住像这种分类讨论，他一般是一加一减，上边你是九加三，下边一定是九减三，好吧，一定是九减三，为什么是九减三？你看，那我们哪怕这个 a c 撇跑到这边来，这条线段长度还是九， 那 a c 跑到 a c 撇的位置，原来这边是三，那过来之后是不是就这边变成三，能看出来吗？所以这个时候你的 b c 撇是不就是九减三， 一定是一加一减的结果好不好？一定是一加一减的结果。好了，那么这个到这为止，这个是十二或者是六。有些同学呢，写到这其实就就就觉得自己已经这个满分了，就可以放过他了，但殊不知 就是因为你的放过，你的错过，导致我们在做这道题的时候，下次再遇到这种题的时候，你还会出错。那么为什么分类讨论？大家思考一个问题， 仅仅是因为它没有图吗？这道题为什么分类讨论？仅仅是因为它没有图吗？ 当然没有图，是给我们提个醒是吧？我们要小心。那真正他需要分类讨论的原因是什么呢？来我给大家说一下。也就是说那么分类讨论本质是什么？ 那我们通过这一道题目，那以后在做这类题目的时候，我只要记住了这个本质，就能够让你瞬间知道他需不需要分类讨论。 那么这个本质是什么呢？就是你给出来的三角形的边角条件是否符合全等三角形的判定定， 也就是说如果，哎给出来的这个边角条件符合全等三角形的判定定力，那你就能够找到唯一的跟他长得一模一样的三角形。 理解吧，只要符合全等三角形的判定定律，你就能找到一个跟他长得一模一样的唯一的三角形。那这个时候就不需要分类讨论，那就比如说这道题目，你看给了 a b 这条边，给了 a、 c 这条边， 那 ab 和 ac， 他 们的假角是谁？应该是角 a， 对 不对？所以两边一角要想符合全等的判定定律，他应该给哪个角？应该给角 a， 但实际上他给了哪个角？给了角 b， 也就代表着你看给了这条边，给了这条边，给了这个角，是不就是它符合什么呀？这道题， 这道题符合 s s a， 对 不对？ s s a， 能不能判断？判断全等不能，这才是它的本质。我为什么需要分类讨论？因为这道题给出来的三角形的条件是 s s a 型的， s s a 型的，你就需要分类讨论了，因为它不符合全等三角形的判定定律。理解吗？ 来再比如说像我们刚刚做的这道题，它为什么就不需要分类讨论呢？你看它给了两个角和一条边， 那么只要是两个角，你看他给了这个角，这个角和这条边，那他符合什么？他符合 aas， aas， 符合全等三角形的判定定律，那还分分类讨论什么呀？就不需要分类讨论了，是吧？所以大家听懂的可以在讨论区敲两个字，全等。 好吧，什么时候在这种问题当中需要分类讨论呢？只要你这个条件当中给出来的边角条件符合全等三角形的判定定律，那我们就不需要分类讨论。他就有一，他就是唯一的，那如果不符合全等三角形的判定定律，那最多的一种情况给的就是 ssa， 好吧，他就需要分类讨论。好吧，大家听明白的讨论区敲两个字，全等。好了，这个我们就到这了，这是我们今天给大家分享的第一个部分，就是三角函数的部分。三角函数呢？其实就是这些什么 三特殊角的三角函数值这些东西他一般考的会非常简单，他真正考考我们三角函数的时候呢，他可能在元中，甚至在这个待解综合，或者是解三角形几何综合当中来考我们。 所以在初中阶段我们去使用三角函数的话，大多数是用来什么？第一个是转化角，第二个呢就是用来这个，这个解三角形，解三角形。

好，我们看这道题啊，在格点里面求三角函数的余弦值啊，其实格点里面呢，他的难点呢，如果要难起来的话，还是很难的，像这种呢，就是比较难的一种，为什么呢？因为他让我们求的这个角 a、 p、 c， 比如说这个角，当然也可以是他，对吧？他俩是对顶角， 他不是在格点上，那不是在格点上。对于我们初中生来说，我们怎么做呢？那大家记住我们记方法，我们一定是做平行，把这个角给转化到某个格点上啊，所以这里呢，我可以过地点选择做一个 b a 的 平行线，那 b a 这边是四乘三的长方形的对角线，那我这里做一个，比如说我可以做到这里。 好， a b c， d e 这个点一点啊，所以此时 d e 和 b a 是 平行的，它都是四乘三的长方形的对角线啊，所以这个角呢，就可以转换到这里了。 好，那这里呢，就简单一点了，为什么呢？因为这个角是在隔点上。好，那这里呢，我不妨再连接 c e， 你 会发现正好三角形 d c、 e 是 直角三角形。 好，它正好是一个直角三角形，所以这里呢，我们如果要求它的余弦值，就相当于求角 d 的 余弦值，那余弦值的话，用邻边比上斜边，邻边的话，这边是二四，那所以邻边 d c 的 长度就是二倍根号五， 那斜边呢，是三四啊，五，所以第一就等于五，那所以弦值呢，就是二倍根号五比五，所以具体应该是选 b。 当然你做平行线呢，也可以过这边来做，你也可以过 b 点做 dc 的 平行线， dc 呢，是在一乘二的长方形的对角线，所以你也可以这样来做 啊，然后这边呢再延长到这个点啊，这个点之后呢，这个角呢就转换到这里来，它也是在格点上，然后这时你再连接 c a， 你 会发现三角，这个三角形它也是直角三角形啊，反正大家就记住方法，当这个点不是在格点上时，我们是做平行，所以直角应该是选 b。

各位同学大家好，今天咱们来聊一下九年级三角函数值的记忆方法， 网上呢，有很多口诀记忆法，还有让大家死记硬背的方式，但我发现这些方法特别容易记混三十度、六十度、四十五度的三角函数值，一道做题就会出错， 那到底该怎么记才不混还牢固呢？今天我就教大家图形结合记忆法，核心呢就是靠画直角三角形结合定义推倒，不用死记硬背，而且还不容易混淆。 咱们先从三十度六十度的直角三角形开始，我们都知道的一个定律是，三十度所对的直角边等于斜边的一半，那我们就给三十度对的直角边标上一斜边，当然就是二， 再用勾股定律，我们可以快速的算出它是根号三，把这个数也标在三角形上。 接着我们来回忆一下三角函数的定义，正弦值 c 是 对边比斜边， 所以三十度的对边呢是一，斜边是二，所以 c 零三十度就等于二分之一。 那么 c 零六十度呢，就是对边是根号三，斜边是二，所以 c 零六十度等于二分之根号三。 cosine 三十度呢，就等于零边比斜边，那么 cosine 三十度的它的零边是根号三，斜边是二，所以 cosine 三十度等于二分之根号三。同样的道理， cosine 六十度就等于二分之一。 摊整的正切就等于对边比邻边。摊整的正切就等于对边比邻边， 所以摊整的三十度就等于它的对边一，比上它的邻边根号三。然后我们进行分母有理化，就等于三分之根号三。同样的道理，摊整的六十度就等于根号三， 你看只要我们画出这个三角形，根据定义是不是就直接能推出来呢？根本不用死记，也不会混淆。那么我们再补充一下四十五度的等腰直角三角形，方法是一样的道理， 两条直角边我们都标一，斜边呢？用勾股定律算出来，那就是根号二，直接推倒 c， 四十五度就等于一，比上根号二，那么就是二分之根号二。 cos 四十五度也等于一，比上根号二等于二分之根号二， 那么正确摊正的四十五度就等于一比一就等于一。 那么通过上述我们讲述的方法呢？我们只需要记住，正弦是 对比斜与弦是零，比斜正确是对比零这三个底，再画出对应的直角三角形，我们就能随时推导出三角函数值 寄的过程会更轻松，而且还更不容易忘，大家学会了吗？

学霸必会的三角函数值求法来十五度角的三角函数值，我们都会三十、四十五、六十，那么考试的时候碰到了像十五度的角要怎么做呢？别慌，首先我们要先去讲十五度角它是如何得到的， 肯定不是凭空得的，我们知道三角函数都是存在于 rt 三角形，我们在学三角函数的时候，我们都是学的像三十度角， 四十五度角和六十度角这样子的特殊的三角函数值，那么十五度角我们要想办法想让他和谁能凑到一块。哎，我们发现了十五度乘上二等于三十度， 所以这个十五度角我是不是想办法要去和三十度去凑啊？当我们解析的时候碰到了陌生角度的时候，不要慌，永远要明白，新的知识点，新的度数都是从原来的旧知识点我们转化得到的，所以你要去使劲的绞尽脑汁去想这个新知识点和原来旧知识点之间什么关系。 我们得到了十五是三十的一半，那么在图里边我们是不是就要去构造出一个三十度的角，什么辅助线可以构造出一个二倍角呢？这里教大家一个口诀，预半角做中垂。思路就是去做中垂线 在连接我们就可以得到这个角也是十五度，根据三角形的外角，我们就可以得到这个角等于三十度，从而就发现了含三十度角的直角三角形三边数量关系出来了吧。好嘞，一根三二 中垂线上的点到线两边的距离相等，所以这条边的长度也是二，那么勾股一下，我们就出来了斜边的长度。来举例子，考试的时候啊，十五度角会怎么考？我说 tangent 十五要怎么求呢？ 十五的对边比上零边一比上根三加二化简一下就等于二减根三，我们就轻松搞定了。大家记住啊，与半角做垂直。

好好学习，天天向上，我是你们帅气的浩哥。我们这个视频呢，讲解我们的第二十二颗锐角三角函数。锐角三角函数里面我们主要需要知道的一个东西就是什么呢？就是如果说在直角三角形里面两个角互余，那么直角三角形中三十度所对的边等于 直角，边等于斜边的一边一半，这个呢是我们一直以来都知道的哈，然后这是直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半，这个也是已知的。 然后下一个就是我们的勾股定律及逆定律，这些都是我们在之前所学过的东西，所以我们就不做过多的强调。我们重点来看题，他说角 a 是 三十度，角 a、 c、 b 是 九十度，他说 ab 等于二，所以我们就可以知道 d 点又是中点，所以 a、 d 是 一， b， d 是 一， c、 d 就 也是一，然后呢， bc 呢就也是一，所以角 b 呢就是六十度，对吧？所以 bc 就是 一，然后 c、 d 就是 一，就直接写出来了， ok， 然后他说角 c 第二个如图，他说角 c 是 九十度， ab 等于四，然后 a、 c 呢等于二倍，根号二，所以勾股定你呢，我们就可以知道 bc 呢也等于二倍，根号二，所以角 a 呢就是四十五度，所以呢，我们需要知道的第一个在高中也经常会用到的一个东西就来了， 这是三十度的直角三角形，它编的比例是一比根号三比二，然后呢，以及四十五度的直角三角形，它编的比例是一比一比根号二， ok， 或者说是根号二比根号二比二， ok， 然后下一个就是锐角三角函数，对应的就是如果说在一个直角三角形里面，注意哈，在我们初中里面，锐角三角函数只在直角三角形里面有，所以如果你要用的话，就是画出一个直角三角形就可以了， ok， 它对应的点是什么呢？ 这是 sine， 等于正弦叫做 sine， sine 呢，等于对边比斜边，就是角所对的边比上斜边叫做 sine， 然后余弦呢叫做 cosine， 所以 cosine a 呢，叫做零边，就是角将零的边比上我们的一个斜边， 然后正切就叫做摊准，等于角所对的对边比上我们的零边， ok， 这就是我们需要知道的一个点，这个呢，在我们高中也会经常会要应用到的哈，所以我们来看， 他说如图，角 c 是 等于九十度，然后三 a， 所以 三呢，等于对边比上我们的一个斜边，所以看勾股定律三四五，所以它就等于四比五。三， b 呢，就是角 b 的 对边，那就是 a， c 比斜边，所以就是三比五， 然后 cosine a 呢，那就是角 a 所对应相邻的边，也就是三比五，所以 cosine b 呢，那就是它相邻的直角边是四，所以就是四比五。然后它按着 a 呢，是对边比上邻边，所以就是四比三，它按着 b 呢，是对边比邻边，所以就是三比四。 ok， 然后再来看一些特殊的三角函数，这些呢就是你们直接去记倍处就可以了， ok， 或者说你们画出特殊的这道三角形，然后根据对比零，然后斜比，对比斜，零比斜一样的可以求出来哈， 他说根号二被 cos 四十五度减一，那所以我们就需要知道的就是 cos 四十五度是等于二分之根号，所以它就等于根号二乘以二分之根号二减一，根号乘二分之根号二，它就要等于二分之二减一，所以就等于一减一，所以答案就是零。 ok， 然后他说他按着 r 等于三分之根号三，问我们 r 的 值是多少？所以我们可以看到哈，他按着三十度等于三分之根号三，所以 r 就是 三十度， ok， 然后再来看就是解直角三角形，什么叫做解直角三角形呢？就是把三角形所有的边，所有的角全部写出来呢，就叫做解直角三角形。 ok， 所以比如说来看，他说角 c 是 九十度，角 b 是 六十度，所以我们就知道角 a 是 三十度，然后所以来角 a 是 三十度，角 b 呢是六十度。他告诉我们 ab 等于六，问我们 bc 等于多少？所以根据我们学过了之后，我们就可以知道哈， 口算 b， 它就要等于 bc 比上我们的一个 ab， 所以 我们就可以知道 bc 就 等于 ab 乘以口算 b。 也就是说如果说当你熟悉了之后，其实我们就可以直接写下面这一步了哈，也就是说它就要等于我们的一个六乘以口算六十度，也就是二分之一，所以它就要等于三。 ok， 然后同理 a、 c 呢，它就是要等于 a、 b 乘以三， b 也就等于六，乘以二分之根号三，所以就等于三倍根号三， ok， 然后我们看第下面这一个，他说如图，在这些网里面， 他说三，问我们口算 a、 c、 b 的 度数，那所以呢，我们要求 a、 c、 b 的 度数，对吧？ 它的余弦值，那重点就是看把它放到直角三角形里面，因为它是在圆里面，我们就知道哈，圆里面圆周角等于圆心角的一半，所以我们就找到圆心角的一半就可以了，那也就说假设这是阿法，所以 cosine 角 a、 c、 b 呢，它就等于 cos 阿法。也就说过 o 点做 ab 的 垂线，假设垂足是点 d， 对 吧？所以我们就可以知道 o d 是 等于二， a d 是 等于三。然后所以勾股定律就可以知道， a、 o 呢，就要等于根号下三的平方加上二的平方， 所以就等于根号下九加四，也就等于根号一十三，对吧？那所以我们就可以知道了它的口算值，那就是等于二比上根号一十三，然后分母由利化，所以就等于十三分之二倍，根号一十三， ok， 然后我们来看核心考点，来看第一个，他说如图 a 点的坐标是四逗三， 那所以我们就来过 a 点做我们的一个 x 轴的垂线，构造一个垂直直角三角形，假设这是 b 点，所以呢，因为它的坐标是三到四，所以我们就知道 o b 等于四， ab 等于三。 通过勾股定，你就知道 a o 呢就要等于五，所以呢，口算算法就是零边比斜边，也就是四比五，所以就是五分之四，所以选择我们的一个 d 选项， ok， 然后再来看他问我们三 a、 b、 c 的 一个大小，那所以首先呢，就是要有直角三角形，所以我们先把各个边给写上，我们来看就是这里 这一段的长度是三，这一段长度是四，所以勾股定，你可以算出 a、 b 的 长度呢，就是要等于我们的一个二倍，根号五， ok， 然后左边的长度是一，右边的长度是三，所以我们就知道 b 的 长度呢，就要等于我们的一个根号十， a、 c 的 长度呢，就也是根号十。 ok， 所以 我们就可以知道哈，根号十加根号十的平方，加上根号十的平方，刚好就等于二十， 而二倍根号五的平方呢，刚好也是二十，所以就可以知道三角形 a、 b、 c 呢是一个直角三角形，并且呢是一个等腰直角三角形，所以三 a、 b、 c 就 等于三四十五度，也就等于二分之根号二。 ok， 然后我们来看第二个，从这里开始呢，我们的计算题就会开始有什么三口三摊准这些了。 ok， 好，我们来看这一题，我们知道根号九呢，就是要等于我们的一个三，所以就是三，然后就是任何一个数的零次呢，都等于一，所以就是一，然后加上三六十度呢，就是等于二分之根号三，所以就加上二乘以二分之根号三， 然后我们知道二是大于根号三的，所以二减根号三呢是大于零的，所以去绝对值就直接写二减根号三就可以了，所以就是在进行约分二二约掉，所以前面相差这是四，所以他就等于四加根号三，加二减根号三，所以答案就等于我们的一个六。 ok， 然后我们继续来看，他说一个绝对值的平方，绝对值加上一个数平方要等于零，所以就说明绝对值的位置呢也是零， 所以我们就知道三 a 减二分之一呢，就要等于零，然后口算 b 减二分之一呢，就也要等于零， 上面就得到三 a 等于二分之一，所以我们就可以知道角 a 等于三十度，下面呢得到口算 b 等于二分之一，所以我们就知道角 b 呢就要等于六十度，所以角 c 呢就是九十度， ok， 然后我们来看第十题，这一题也是的，他说如图，他说 a、 c 等于五，然后三 b 呢是等于我们的一个五分之四，然后他说问我们 bc 的 长度要是多少？ 再来看 ab 呢，是等于 ac 等于五的，对吧？然后又告诉我们三，前面说过，只要是有三呢，我们就都是一个原则，就是画出一个 直角三角形，那所以呢，因为我们的三只能在直角三角形里面去应用，所以呢，我们过 a 点做 b 的 垂直假设是 d 点，那我们就知道了，三 b 呢，它就会要等于我们的 a、 d 比上 a、 b， 对 吧？ 所以也就是说有五分之四就等于我们的 a、 d 比上 a、 b， 也就是五，所以就可以知道 a、 d 就 要等于四，那 a、 d 等于四，勾股定律就可以知道 b、 d 呢就要等于三，而 bc 的 长度呢，就是两倍 b、 d， 所以 就是要等于六，所以选择我们的一个 b 选项， ok， 然后我们再继续来看下一题，他说 a、 d 垂直 bc 一 点是上面的中线，告诉我们 a、 b 是 十， a、 d 呢是六， 然后他说他按准角 a、 c、 b 等于一，所以我们就知道角 c 是 四十五度，因为他按准四十五度是一， ok， 然后他问我们 bc 是 多少，那所以我们就知道哈， bc d 呢，就也是要等于六，因为三角形 a、 d、 c 就是 一个等腰直角三角形呢？ ok， 然后又是有九十度，所以勾股定律就知道， b、 d 的 长度就等于根号下十的平方，减去六的平方，也就等于八，对吧？那所以 b c 呢？就等于我们的一个十加啊，等于我们的一个八加六，也就等于我们的一十四， ok， 然后他问我们三 d a， e 的 值是等于多少？那所以也就是说我们需要去求出我们的一个， 只要求出 d， e 的 长度，或者说求出 a， e 的 长度就可以了，对吧？那所以我们来看哈，我们已知呢？在第一问里面，我们已知 b e 的 长， b c 的 长度是一十四了，对吧？题目又说了， a e 是 上面的中线，所以就说明 e 点是 b c 的 中点， 所以 b e 的 长度就是要等于七，那所以我们就知道 d， e 的 长度就等于 b d 的 长度减去 b， e 的 长度也就等于一。 ok， 然后他问的是三角 d a e， 所以 勾股定律，我们就可以知道 a， e 的 求出 a， e 的 长度了。 a， e 的 长度呢，就等于根号下 e 的 平方，加上我们的 a d 的 平方，也就是六的平方，所以就等于根号三十七。 那所以三角 d， a， e 呢，它就等于我们的一个 d e 比上 a e， 也就等于一比根号三十七，所以就等于三十七分之根号三十七， ok， 那 这就是它的三值， ok， 那 我们这一课呢，就讲到这里了，我们下一课见，拜拜了您嘞。