张宇30讲更新到哪了27

我们二零二七这个基础三十讲是没有选学内容的，这个选学内容呢，在二六的时候呢，给大家做了一个，就是放在书的后面，那么实践下来之后呢，很多同学呢，认为这个选学内容还是比较难的，所以呢到了二六的强化阶段，那么我把这些选学内容呢，有不少呢又重新放到了强化阶段的内容里面，就是看来大家这个自学的意愿呢， 还不是很强。所以呢，今年我就把这个选学内容啊做了两个拆分，一个呢拆分到我们的论文当中，比如说我们需要在计算上加强， 比如说我们需要在某些重要结论上加强，那么就放一些在我们的基础三十讲里面，所以他就没有选学内容了。剩下的选学内容第二个放呢，我们就放到这个强化阶段去 啊，虽然这个处理呢，主要是减轻大家的负担，因为大家看来还不愿意自学啊，不愿意自学呢，就百分之百的没有这个自学内容，那就是百分之百的书包，那就是有书也有内容讲解，那么就是完美的统一的了啊，就没有这个选学内容了。

请看第九点九题，这个题是 max， 两者之间的大者好，那么很多同学感觉这个东西挺抽象，我们可以画一下，因为它一般都是出一些比较简单的函数图像。首先咱们画一下 y 等于 s 绝对值，这个函数 大概就是这样的一个形式，对不对？再画一下 y 等于一，这个函数大概就是这样的一个形式，取他们之间的大者啊，那就是看看谁在上方就取谁，对吧？所以咱们可以画一个最终的出来，这个黑线就是最终的一个形式， 是不是？咱们也可以把它这个表达式写出来，只要是 x 在 一到负一之间，这个表达式它就是一。 当 x 大 于一的时候，这个表达式是 x 绝对值，而这个时候 s 绝对值也是 x， 因为 s 本身大于零，当 s 小 于负一的时候也是 x 绝对值，这个时候 s 是 负的，所以等于负 x。 好，那么咱们只能给他分段去求不定积分，对不对？因为他表达是不一样吗？所以你只能分段求不定积分。那有的人说这个怎么能确保他是能有求出来不定积分呢？ 好，那首先你看这个函数，他本身也是连续的，对不对？这样的话他也是有原函数的，我们知道倍镜函数连续的时候是有原函数的好，那么这个不定积分就可以表达他所有原函数吗？所以这肯定是可以求出来的。 那么我们先求一下第一段嘛， x d x 这个算完之后是二分之一倍的 s 方再加个 c， 再算一下这一段。这一段算完之后是 x， 再加一个 c， 这个地方再算一下，算完之后是负二分之一 s 方再加 c， 但这样的话，你发现了一个问题，就是我们分别是按三个不定积分算的，那么这个 c 其实我们不能确保它完全是一样的，对吧？所以我们只能改成 c 一、 c 二、 c 三， 因为我们是分了三次去做的嘛。那么还有最后一点，因为这个背机函数本身是连续的，大家看一下这个背机函数是不是连续的？那么背机函数连续它是有原数的， 大家想一想，这个原函数是不是肯定是要连续的？这不定积分是表原数吗？原数肯定是连续的，为什么？因为你想原函数求导就是等于被积函数，写一下啊，比如说这个被积函数，我们记成 f x， 原函数求导能够得到被积函数，那原函数它都可导了，那肯定是它能推出这个东东。连续啊，我们知道可导的函数一定是连续的， 所以你随便写个 c 一、 c 二， c 一、 c 二其实都是任意常数，你不一定能确保它们刚好就连续了在分界点处，所以我们还得确保这个 c 一、 c 二、 c 三，它们得满足一定的关系，使它在分界点处连续。 当 x 趋近于一的右边的时候，这个极限是不是就等于 二分之一再加 c 一 啊？当 x 趋近于一的左边的时候啊，这个极限刚好是等于一加上 c 二，我们得让两个相等， 也就是说二分之一加上 c 一， 必须等于一加上 c 二，也就是说 c 一 必须等于二分之一加 c 二。 那么再来看一下这个，当 s 去负一的时候，它的极限是 当然是负一的右边的时候，它的极限是负一加上 c 二，当 s 去负一的左边的时候，它的极限是等于负二分之一，加上 c 三，那也得确保两个相等才行， 这样的话咱们就得到了 负的二分之一加上 c 二是等于 c 三的，对不对？好，咱们可以把这个 c 三和 c 一 分别都用 c 二有关的来表示一下吗？ 这个把它换成这样的一个形式放这里，对吧？这是和 c 二有关的，然后把这个也放这里， c 一 有关的也换一下， 这个地方有个 c 二。那么现在我们是不是只需要保留一个 c 二就可以了，什么 c 一 c 三都不需要了， 这样就可以确保它是连续的啊，那么我们直接就把这个 c 二写成 c 就 完事了，对不对？ 那反正就它自己了嘛，把 c 二就写成 c 就 行了。 好，那么这个就是最终的答案。所以大家要把这个背后三层测原理搞清楚，因为背的函数连续，所以有原函数，原函数它肯定可导嘛，那么原函数肯定连续，所以最后这个细节要保证它在分界点处是连续的。 请看第九点十题，这个题是同学们平时问的很多的，首先咱们先看看这个题该怎么解决，一般遇到定积分以后，我们可以优先考虑考虑能不能用奇偶性， 或者说能不能用一些现有的三角函数周期函数公式啊，或者是区间在线公式。这个题你发现他都做不了，那所以我们只能是硬着头皮用牛来公式的方法，先把它的原函数求出来，先按照不定积分去处理， 这个一除以一加上 cos 方，遇到这种形式其实非常简单，这种不定积分，那么有同学说这种不定积分该怎么处理？大家请看总结。遇到这种三角函数不定积分， 我们可以看一下它属于哪一种情况。 好，如果说出现了你把原来的三这个部分换成负三， cosine 这个部分换成负的 cosine， 这个表达式和原来相等， 那么这个时候我们一般就是凑 tan 进去，这个题是不是刚好是这样，你看你把这个 cosine 位置这个地方是我们的 r 扇 q 扇，哎，有的人说没有这个扇没关系，你可以想象成扇前面系数为零嘛， 当你把里边的 q 扇的部分把它换成负 q 扇以后，是不是肯定还得平方，是不是跟刚好跟原来相等啊？所以说这两个是完全相等的对不对？ r 的 负扇负 q 扇完全相等， 这种情况下，一般来说我们就是得去凑摊进它， 但是有些人说这个方法我想不到还有没有其他方法，这里我可以给你说的更通俗一些， 当你发现分母上都是一些常数啊，和三平方 cos 平方或者是 cos cos 相乘，这两个都是一次，乘完之后是二次的 啊，并且分子也是常数的时候，我们都可以分子分母同时除以扣三方，这是我们按照不定积分，我们在算不定积分的时候，是不是一般都不需要考虑范围啊， 大胆除就行，一般不需要考虑分母为零的情况，所以这种情况下咱们直接就除以扣三方就行了。分子分母同时除以扣三方，一除以扣三方， 加上一 cosine 方，刚好就是 sine 的 方，刚刚也给你提示，这种一般都是在 d 后边凑出 tangent， 哎，刚好这个是 tangent x 的 导数，所以在 d 后边就可以凑出 tangent x 了。 这个地方就是常数一，你整个的肯定都得凑成和 tangent 有 关的，不然的话解起来还是比较麻烦，对不对？ 好，那这个是 sector 方， sector 方刚好可以看成是 tangent s 方，再加一，再加一，那就相当于加二了， 那这个问题就好办了，这个二就相当于根号二的平方了啊，我们就直接用 tangent 的 公式就可以了，对不对？和 tangent 有 关的公式，有同学说是哪一个来看一下， 那是不是就是这个公式啊？ a 方加 s 方这种积分直接可以出结果，所以说这个题直接就出结果了，等于根二分之一。阿科， tangent tangent x 除以根号 x。 好， 那呢？有的同学就想到了用牛来公式， 零到四分之三派， 但他把零到四分之三派带进去以后，发现和最终的标准答案不一样，所以他就问他说，学长，这个哪个地方错了？好，按照我们的做法，这个按理说就应该是大 f x 它的原函数，对不对 啊？只不过这个定积分问题，咱们一般是不需要加 c 的， 因为你加了 c 也没有必要，因为你带入上下线相减的时候，这个 c 也减掉了，所以我们一般不加。到这里以后，我们忽然发现了一点，就是这个大 f 居然有没有定义的点， 你比如说 x 在 这个区间里边肯定有可能取到二分之派的，当我们把二分之派带入其中，这个背机函数它的确是没有定义的，也就是发生间断了。 哎，那就有同学说比较好奇，他说学长怎么会出现这种情况下呢？那明明这个这个函数背机函数它处处是连续的，按理说它应该是有原函数的 啊。那么这里可以准确告诉大家，你之所以出现了这种问题，那就是因为你分子分母同，除了扣占方，大家应该还记得这一步吗？同除以扣占方， 当 x 等于二分之派的时候，你相当于除以零了，就这一个点出了点问题，其他地方都是完好的。也就是说，只要是 x 不 等于二分之派，这个大 f 肯定就是你的一个原数，对不对？但是这个 x 等于二分之派，它不行，它不是， 那这个该怎么办？这一下就变得麻烦了，没关系，这里咱们有一个针对于这种问题的二级结论，大家一起看一下，你只要把这个二级结论记下来，选这个计算题什么的都可以搞定。 如果你遇到了像这种情况，除去一个点外，这个大 f 都是它的原函数，你看是不是除了这个点之外，除了 c 点外，其他点都是它的原数？ 好，那么这种情况下，咱们可以沿着这个点断开去分别使用牛来公式，根据积分区间可加性嘛，你先算一下 a 到 c 的 左端的，再算一下 c 的 右端到 b 的， 分别算完，然后加起来，可以按照这样的一个思路。 好，那么这个题就是这样的套路，我们完全可以积分区间可加性，先算一下从零到二分之派的左端，再加上从二分之派的右边到四分之三派， 对不对？好，先带入二分之派的左端，这里有必要给大家画一下贪镜的图像，因为有的同学他不太知道这个图像，借助图像观察肯定帮助你省很多力气。这是二分之派这个点， 当 s 趋近于二分之派左端的时候，这一块就是趋近于正无穷的阿克坦尼的正无穷是二分之派，对不对？ 所以代入二分之派左端的时候，它相当于是根二分之一乘以二分之派，把零代入其中，就是零。阿根点零就是零，对吧？减零，再加上我们把四分之三派代入其中，四分之三派代入其中，就是负一，这是根二分之负一。 接下来我们再把二分之派的右侧的极限带入其中，当它呢趋近于二分之派的右侧的时候，这个极限是负无穷。阿克泰尼的负无穷是等于负的二分之派， 所以这个相当于是减掉了根二分之一负的二分之派，这个地方就变成加号了啊，那么和前面这个一合并，就变成根二分之一乘以派了， 然后再加这个部分啊。这个符号你也可以挪到前面来，因为它本身是个奇函数嘛。 这个就是一个最终的答案，你发现是跟参考答案给的是一样的， 请看第九点一这个题。这个题很多同学说，如果我们用分布积分的那个口诀 子三密对反，当然有的老师也叫反对密三子，按理说应该是把这个指数函数当成微撇，移到地后边去，对不对？但发现还是做不出来，那就问什么原因？就是这个口诀绝大部分是成立的，尤其在考研里面的题目， 但是我们不能说他百分之百一定成立，有的时候他可能并不成立，有的时候我们可能并不会呃，把这个排在口诀前面的部分当微撇，可能会反过来 啊，比如说有的时候我们可以把这样的积分给他内部拆开，拆开以后，有的时候两个积分呃中间产生两个积分很难单独去计算，但是他们可可能符号相反，可以让他内部的抵掉。 有时候会出现这种情况，比如说像这个题，咱们可以给它拆开，我们先看这个 e 二分之 x cos x， 除以根号它，那这个就是只剩下一个 cos x 二分之一次方，对不对？ 再看另外一个部分，哎，你发现这个地方咱们可以把负的肾移到里边去啊，对不对？ 复合三移到里边去，刚好就变成了 d cosine， 然后这个地方还有一个根号下 cosine x， 我 们可以把这个根号下 cosine， 再凑到 d 后边去，然后用分布积分。是，按理说我们应该是把这个指数函数移到里边去啊，因为指数函数它排的靠前一些，一个是指数，一个三角嘛，指数排的靠前，但这个题好像就反过来了，对不对？ 你要是把这个 q 三移到里边去，首先这个地方得产生一个二，这个就是 d 根号下 q 三 x， 接下来我们对这个用分母积分，注意这个要按住不动， 这就是两倍的 e 二分之 x， 根号下 q 三 x， 再减掉 e 二分之 x， 求导会产生一个二分之一 e 二分之 x， 然后再产生一个根号下勾三 x dx， 哎，你发现这两个刚好是相反数就抵没了，所以就只剩下这一个了，这个带入上下线就行了。 负的四分之派，四分之派 好，当我们把四分之派带入其中的时候，就是两倍的 e， 八分之派， 这是根号下二分之根二，再减掉两倍的 e， 负八分之派，根号下二分之根二。 那有同学就说，这种题它能不能先用一下，就是奇偶性，但这个题它确实用不了，因为 e 这个函数它并不是奇函数，也不是偶函数，对不对？ 所以到这里就可以了，看一下九点一二这道题。当我们遇到这类定积分的计算的时候，可以看一下咱们总结的流程， 有时候定积分往往它比不定积分计算起来要简洁，因为它有一些特殊的方法可以借助。 比如说你可以先看看背机函数有没有奇偶性，以及是不是对称区间，这两个要同时满读，这个它已经不是对称区间了，所以没有研究奇偶性的意义。 其次，看看能不能用一些已有的三角函数、周期函数的定积分公式来简化计算。这个是强烈建议大家记忆的， 你只有把这个东西记得比较熟，然后才能够比较快的去运用方法。比方说这个题它刚好是 x 乘上一个和善有关的函数，对不对？所以我们当然可以考虑考虑这个公式。那有的人说，不对啊，这个里边它没有，呃，它还有 cosine 啊， 但你想 cos 方是不是也可以看成是一减 sin 的 平方？ cos 平方也可以看成间接的关于这个 sin 的 函数啊，就这个部分可以间接的看成一个关于 sin 的 函数，那我们当然就可以用这个公式了， 有同学问这个公式怎么证的，他其实就是用一个区间在线的公式来证明的，他的好处就是直接变成二分之派了，这样的话咱们就不需要分布积分了，因为有时候分布积分会很麻烦，这个就等于二分之派倍的零到派， 这就是三 x 除以一加上 cos 方 d x 啊，那么当然是凑微分法，这个凑成 d cos 前面要添加符号啊。这个就是负的二分之派阿克探进的 cos， 这个首先代入上限以后就是派嘛，这个负的二分之派，阿克探进的负一 再减掉，相当于加上二分之派，阿克泰林的 q 占零就是一嘛。阿克泰林的负派负一代入其中就是负四分之派， 这个代入其中是四分之派，这个算完之后就是等于四分之派方，这就是最后的答案。 二期考研数学答疑的方式，可以在你问的问题上进行涂鸦讲解，可以为您录制一个视频逐步分析，直到为学弟学妹们讲明白为止。 为您答疑服务期间全天在线答疑，不限制题目次数，七天内有任何任何的不满意，比如为您讲解的听不懂，比如回复速度太慢，均支持七天无理由全额退款。超过七天不满意，或者是您找到性价比更高的答疑辅导团队， 仍可以按时间比例退款。答疑学长均为九八五 c 九研究生，可提供考研成绩与学信网学历证明。 答疑均包含复习计划、制定、督学等服务。复习计划可包含数学、英语、政治，我们会尽全力为学弟学妹们服务好是一个预算法则啊！学弟就是如果这个二这个符号出现在 n 的 右上方，就代 真的真的万不得已的情况下，也可带领着学弟学妹们直播授课。同学们大家晚上好，现在就正式开始咱们零基础导学课的讲解， 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二期考研章宇数学基础三人讲使用指南啊，那么今天这个视频呢，主要是去给我们二期考研同学去讲一下关于章宇老师的基础三人讲的一个使用。然后接下来呢，我也会从多个角度多个维度去分析这套书的一个优势。 首先啊，就是不得不去说一下我们去选择章宇老师的一个原因。呃，其实当时在我考研的时候，其实我也有过，就是在蓝开和红开的一个之间的一个纠结， 但其实让我当时决定蓝开的一方面是我觉得基础三人奖他是一本呃愿意去画很大篇幅去对每一个特别细致的考点进行展开的一本书， 不论说是大家的基础如何，呃，这种详细的展开呢，如果说是对高峰型选手，那可能能够帮助大家去更好的拔尖，如果是可能对于大家平时一些基础相对薄的同学，他其实也能非常好的照顾到大家的一些痛点， 可以说是非常的全面。那么另一方面呢，我觉得就是张宇老师的一个讲题风格，那么张宇老师本人的讲课风格呢，也是非常分寸，但他有不失一定的严谨性啊。与此同时呢，我觉得张宇老师是一个能给到我情绪价值的一个老师 啊。所以综合以上两点，我觉得大家在基础阶段去选择张宇老师的基础三人讲去作为我们的开端，绝对是一个非常正确的决定 啊。其次呢，就是我想去详细的聊一聊关于基础三人讲的一个使用。首先就是我认为基础三人讲可能是大家考研数学以来最重要的一本书， 也正是因为如此，所以我觉得大家对于这套书的一个要求绝对不是说简单的去过一遍，这里呢，我非常推荐大家去详细的过两遍去学透这本书。 第一遍时候大家主要是跟着章鱼老师的课程去学懂学会，然后在这个过程中去详细的做每一个在呃基础三人讲上出现的一个例题，还有课后题。 那么第二遍就是大家需要独立自主去完成三人讲的一个过程，在这个过程中呢，你就需要去独立的去完成课本上的每一道例题，这一遍呢，你不仅完成了例题，而且完成了一个真正的输入，在这个复习的过程中呢，你会发现你的效果会更好。 然后的话，大家再配套上章鱼老师的一个一千题，你去复习一张，然后再去相应的做一张对应的题集。那么等到大家基础阶段结束了以后，如果大家完成了以上我说的一些步骤的话，你会发现你的基础可以说是相当的扎实。 呃，与此同时呢，今年的基础三十讲还更新了一本就是核心计算通关讲义，这里也是非常完整的去归纳了所有的一个积分的计算类型，也是可能考虑到大家就是一个平时关于积分学习的一种不弱性，所以这本书也是非常好的去解决这样一个痛点。 呃，大家在学到积分阶段的时候，再配套着这个通关讲义的练习，我觉得大家的积分能力就应该能得到一个很好的提升。 那么最后呢，我觉得基础三人奖是一套非常值得大家去仔细研究的一套书，最近呢，我们的云图图书淘宝旗舰店也是在年货节上有一个满二百减四十五的一个活动， 同时呢，我们的基础三人奖也有一个专属的活动，也是说大家在云图图书的淘宝旗舰店去给我们淘宝客服去发送张宇基础三人奖，他会给大家去返一个二十元的券， 总体来说也是非常的实惠。同时呢，我们一月份马上就要出我们的章鱼一千题，然后一千题呢，我就非常推荐大家去跟进着我们的技术三人讲去综合完成， 大家也可以在接下来的时间去留意一下啊。最后呢，在新的一年呢，我希望我们二期考研的同学能有一个非常顺利的开端。那么以上就是本期视频的全部内容，大家再见。

到底要不要全程跟章鱼老师？这个问题我相信每一个准备考研数学的同学都纠结过。我的结论是，二期考研完全可以全程跟章鱼。 但是我必须先给你泼一盆冷水，老师讲的再好，课程再精彩，也不能保证你一定上岸。每年都有无数同学从基础班跟到强化班，从强化班跟到冲刺班。章鱼老师的全套资料买的整整齐齐，视频一节不落地刷完，结果出分的时候却傻眼了， 问题到底出在哪？不是老师不行，不是资料不好，而是你使用的方法可能从一开始就错了，这才是最致命的。 很多同学把跟课等同鱼学会了，把刷完视频等同鱼掌握了，结果一上考场，看着题目似曾相识，笔却迟迟落不下去。章鱼老师课上讲的那些精妙思路，到了自己手里一个都用不出来。方法错误才是复习中最致命的问题。 这篇文章，学姐会结合自己的亲身经历和踩过的坑，给大家整理一份章鱼老师二期考研全年用书清单，以及各阶段超详细的使用建议。更重要的是，我会告诉你如何避开那些看似不起眼，实则害人不浅的复习陷阱，真正把章鱼老师的知识体系内化成你自己的东西，转化为你卷子上实实在在的分数。 如果你已经决定跟章鱼，或者还在犹豫要不要跟这篇文章一定要认真看完。很多同学在刷完视频后，面对真题依然手足无措，这种被动吸收很难转化为考分。 为了打破这种死循环，我开始寻找能带我主动思考的工具，加上后面我会重点说说智能型是如何帮助我复习的。通过这种方式，我们才能把老师的精妙思路真正转化为自己解决问题的能力，而不是停留在表面上的看懂和听懂，从而在考场上能够游刃有余地应对各种题型。 考研数学的备考我认为可以分为三个步骤，第一步，先解决考研数学知识掌握不足的问题。第二步，再通过集中性的大量的题目训练，达到熟练应用知识并完整解决题目的水平。第三步，最后通过现实训练，提升做题速度，达到有限时间完美解答问题的最终考试要求。基础阶段就是完成这最关键的第一步， 推荐用书基础三十讲一千题基础篇时间规划现在二零二六年六月，这个阶段的核心目标只有一个，把基本概念搞明白，基础方法掌握，形成一个知识体系框架。 很多同学在这个阶段最大的误区就是疯狂听课，特别是张宇的基础三十讲课时比二四版长两倍。很多人的问题在于不听课，不会做题，但听了课就没时间做题，八部的什么也不做，舒舒服服地听，老师就帮你讲懂了。基础阶段需要高度重视，因为这直接影响了后面的高校学习， 很多人陷入一听就懂、一坐就猛的死循环。你以为自己跟着老师的思路懂了，实际上还没有真正理解和掌握有关内容和方法，这样效果很差。这就是传统复习最大的痛点，被动接受知识，缺乏主动思考，导致基础不牢。 我直到五月才发现自己走了弯路，心态大崩之后意外找到了救命稻草，就是一个叫智能型的刷题网站，它和传统刷题完全不一样， 不听课就不会做题怎么办？知能型选手不会就写，不知道知能型就会拆分综合题，把没吃透的知识点一个个喂给你，他会先用一道综合题测你，如果你不会，他不会直接给你答案，而是会把这道题拆分成多个基础知识点，让你逐一排查，直到找到这道题中你的知识盲区，再对该知识点进行更细致的训练。 通过这种精准的排查和训练，能够确保你真正掌握每一个核心考点。这和看视频的不同在于，每一步都是你主动思考得来的，在思考提问中会联系其他知识点，形成自己的思维网络。当你把这些拆分出来的小知识点都弄懂后，再反过来去重新做综合题目，就会发现问题迎刃而解了。 这种主动学习带来的提升是看视频无法比拟的。如果你现在就想知道自己到底哪些知识点是假会，又不想等到几个月后才后悔，我强烈建议你去试试，它能让你立刻发现自己的知识漏洞，这比盲目听课刷题要高效得多。千万不要为了刻意赶进度去刷视频，这样刷题的效果微乎其微。 基础阶段需要我们高度重视，基础不牢地动山摇，在这个过程中建立起稳固的知识架构，才能为后续的强化和冲刺打下坚实的基础。智能型能帮助你在复习早期就识别出那些隐藏的复习盲区，避免在后期真题模拟时才发现问题。 强化阶段的目标是在打好的基础上进行题型和解析技巧的专项训练，把知识点串联成线，形成体系。推荐用书三十六讲一千题强化篇时间规划，二零二六年七月二零二六年八月 此阶段的主要任务是大量习题训练，熟悉考研题型，加强知识点的前后联系，分清重难点，让复习周期尽量缩短，把握整体的知识体系。 章鱼老师的三十六讲就是为此而生的。但很多同学从基础到强化会感觉难度陡增。每年都有同学反映前几讲听得很舒服，但积分之后开始觉得难。为什么？因为你的基础可能并没有你想象的那么牢固，以为自己会了，其实都没会。 如果基础没打好，不建议写一千题，因为有很多小伙伴基础阶段转到强化阶段之后，发现跟着宇哥进度会有点困难。这时候智能型的作用就更明显了，它不仅仅是补基础，更能帮你平滑地过渡到强化。 智能型会把知识点一点点喂给你，循序渐进，保证把基础都补全，再训练你组合起来解难题。它会帮你构建高数 and 现代的知识框架，让你在刷题前就对整个章节的脉络了如指掌。 而且更重要的是，智能行省时间，关键在于学了不忘。它的综测功能会根据艾宾浩斯遗忘曲线，在你快要忘记的时候，及时巩固基础，再顺势拔高解新题， 用同样的时间得到几倍的效果。因为别人在遗忘的时候，你在收获复利。当你用智能行把基础打得足够扎实，你会发现章宇三十六讲里面的解析公式很牛，真正理解了以后，会发现做题的时候能力提升很多。 这种复习方式能够确保你在强化的过程中不会因为知识点太多而顾此失彼，而是能够稳固提升自己的综合解析能力，将零散的知识点聚合成为一个逻辑严密的整体，从而在后续的模拟中展现出更强的竞争力。 真题的重要性不用多说，它是检验复习成果的唯一标准。推荐用书，真题大全解时间规划，二零二六年九月至十月。 此阶段的主要任务是结合往年真题，建立清晰的知识体系框架，在真题套卷练习过程中进行查缺补漏。做完之后不要过分关注对错分数，而是要看自己有没有掌握考点和方法。 不要迷信拿真题估分，因为不准。为啥？因为真题其实你不是第一次看到，在很多题型测里都见过类似题了。 这个阶段真能行同样可以发挥巨大作用。它包括三十年真题，题型会每天推进，而且薄弱点会针对训练，一直到考试前，比自己刷一遍真题效果好很多。 你可以把它当成一个动态的、个性化的真题分析报告，它会告诉你哪些类型的题目是你的稳定得分点，哪些是你的薄弱环节，然后针对性地给你推送题目进行巩固，让真题练习真正发挥查缺补漏的作用。 最后的冲刺阶段，比拼的不仅仅是知识储备，更是心态 and 做题的感觉。推荐用书，八加四、模拟套卷比零六加四等。此阶段的主要任务是系统检测，保持做题的手感。 冲刺阶段最重要的是两点，学过的不遗忘。如何防止遗忘？我每天只需要完成综测，就不用担心会有哪个知识点会长时间不练习忘记了。智能型的综测功能就是你保持手感，巩固记忆的利器， 每天花半小时就能把之前学过的所有知识点过一遍。冲刺阶段，时间就是分数，如果你有某个老大男的专题，比如二重积分级数，自己肯可能要花一两周还没效果。而冲刺阶段，智能型对于考生最大的帮助是可以尽快的掌握一个之前有困难的专题，一般三至五天就可以把一个专题刷到三级，对应的提高分数是十至十五分。 这种确定性的提升在考前能给你带来巨大的信心，让你在实战中积累临场经验。考研数学是一门没有捷径的学科，无论基础如何，考研都需要长期付出 and 坚持努力。每个阶段都至重要， 跟随张宇老师的体系是完全没问题的。总的来说，张宇的知识点是全的，不需要担心漏知识点，漏经典方法。但学姐想再次强调，原则上第一遍复习一定要慢一些，扎实一些，否则不容易深入。不要盲目跟风，也不要陷入无效的努力。 效率这个词放在高数这门学科里，并不是我一天要刷几百道题的行动，而是我一天要真正搞懂多少道题，弄懂多少个知识点的觉悟。如果整个考研过程你都能抱着解决问题的态度去备考，最后一定能一战成硕。 希望这篇分享能对二期考研的你有所帮助，加油！在这个漫长的复习周期里，保持清醒的头脑 and 高效的方法比一味的埋头苦干更为重要。只要步履不停，终会到达理想的彼岸。

好，我们来看四点三，已知 f 一 撇等于 a 乘以 e 的 x， 方， a 是 正的常数啊，不是正常的数，是正的常数，这样断句啊。 好，则 f x 的 反函数的二阶导数，那这一块考的就是反函数的导数啊，同学们把这个式子哎，这两个式子给它记下来啊，这直接就是结论给记下来啊。好，反函数的一阶导的话， x 对 y 的 导就等于 y 对 x 导的倒数，我们说 y 等于 f x， 它的反函数是不是解出来 x 等于多少道 y 啊，对不对？好， x 对 y 求导，那就是 y 对 x 求导的导数，这很好记啊， 好，二，解导呢，这个推导的过程啊，同学们得知道好，课下哎，写一写，记一记之后，最后最终就把啊这两个啊 结论给记下来。你看，我们要求的是反函数的二阶导，反函数是 x 关于 y 的 函数，那么二阶导的话，就是 x 对 y 求二阶导，是不是这个式的哎，你用一下，它就等于负的 y 对 x 的 二阶导，除以 y 对 x 一 阶导的三次 方， y 对 x 的 二阶导，已经有了 y 对 x 的 二阶导，你在这基础上再求一阶导就行了，带着式子就行了啊，我们也看一下这个推导过程啊，再去帮大家复习一下。 好， x 对 y 的 二阶导是这种格式的啊，那 y 对 x 二阶导也是这种格式的，你看，这是 y 对 x， 这 x 对 y 呗，是不是 x 对 y， 因为反函数嘛，它就是两个字母，两个变量对调一下啊。 好，我们就看这个吧，这个你会，这个当然你会了， y 对 x 求二阶导的话，那不就是在一阶导的基础上再求一阶导，是不是？这是表示啊？好， y 对 x 求一阶导了，求一阶导吗？好，那就是二阶导， 或者你这样表示都都是一个意思的啊，都是对 y 对 x 求二阶导的意思。好，那 y 对 x 求一阶导的话，我们说 a 是 不是可以表示成一除一个 x 对 y 求一阶导呀？它们互为倒数的关系啊，为什么搞成这样呢？我们把这一个啊 y 变量引入过来嘛。 好，对于他来说的话，你现在的话啊，是 x 关于 y 的 函数了，对不对？你看 x 对 y 求导吗？ x 关于 y 的 一个函数。好，那我们求导的话，那你就是对 y 求导，是不是对 y 求导啊？好，你对 y 求导之后，你这里再乘一个底 y， 因为人家本来是 对 x 求导吗？是吧？是除以 d x， 你 要把 d x 拿过来，你的莫名其妙要乘一个 d y 吗？这相当于对 y 求导的意思，你这里要乘一个 d y 啊。好，这一块的话， 他对 y 求导，那就是负函数求导了啊。你对 y 求导的话，你注意啊，你整个啊，整个对 y 求导，是不是？你这相当于，哎，我们说的啊， 反 y 分 之一对 y 求导吗？负函数求导啊，先是外层求导，就是这个分之一求导，是不是负的？哎，这个 负的分 y 的 一个平方分之一，是吧，这是外层求的，然后在内层求的。好，就是这一块对 y 求的这一块对 y 求的， x 对 y 求一阶导，再求一阶导，那不就是 x 对 y 求二阶导吗？是吧？好，这一块 y 对 x 求导，那就等于 x 对 y 求导的倒数， 你看它们两个一整理啊，分母都是 x 对 y 求导的倒数，你看它们两个一整理啊，分母都是 x 对 y 求导的倒数，你看是 x 对 y 求二阶导的意思是吧？ x 对 y 求二阶导，在这分子上啊，前面有个符号，好，这个过程啊，要会推导，因为你推导一遍之后，你记这个结论就比较容易记住了啊。好，我们看一下这求反函数的二阶导，那就是 x 对 y 求二阶导，把这个十字带过来就行了啊。 好，我们需要 y 对 x 的 一阶导，我们令 y 就是 等于 f x 的 啊。好， y 对 x 一 阶导，就是 f 一 撇吗？这不是给了吗？ 那么我们还需要 y 对 x 的 二阶导，那一阶导再求一阶导吗？还是它吧，是吧，好，带到这个啊，公式里面， 负的 y 的 x 的 二阶导，在这放到分子上， y 的 x 一 阶导的三次方，放到分母上，三次方啊， 三次方，这就是三 x 是 不是好， a 和 a 消一个分母，还剩 a 的 平方， e 的 x 四方消一个，再减一个 x， 那 就是二 x 了， 是这个结果吧，负的一比上 a 的 平方 e 的 二 x 方，那当然了，有同学说我没有记住这个，你为什么记不住啊，必须要记住啊，实在在考场上没有想起来的话啊， 那么就是用最原始的一个方法，你就解出来反函数 x 关于 y 的 表达式，看能不能解出来。那有些题他解不出来呢？这个题可以解出来啊，解出来之后，好，你求一节导，再求一节导，对不对？求二节导吗？我们看这个题可以解出来啊， f 一 撇，有了， 我们还是啊，令 y 等于 f x 啊，那我们两边求导积分啊，求什么导啊，两边积分不就把 f x 就 求出来了吗？就是我们说的 y 啊，这积分也很好积啊，那就还是它是吧。积分啊，两边积分。 好，你这里要加一个 c 啊，这个积分有同学还没有学到的啊。你没学到的话，你学完积分再回来看一下啊。 好，我们先把 y 等于多少多少 x 表示出来，你才能够解出了 x 等于多少多少 y， 才可以把反函数表示出来嘛，对不对？这个 c 我 们现在求不出来，求不出来其实也影响不了这个题的一个结果啊。我们现在是不是要表示出来 x 等于多少 y 啊？好，你表示一下啊，我们看 这个 a 乘以 e x 四方，是不是就等于 y 减去一个 c 啊？ y 减去一个 c， 这个 a 呢？可以挪到这里吧，你看它是正的常数，它不是等于零吗？所以它可以做分母啊，两边取对数，取对数的话， x 就 解出来等于多少多少 y 了， x 就 等于零， y 减 c 除以一个 a， 是 吧，这能解出来的啊？解出来之后，你看这个相除的话，我们给它写成 劳隐相减嘛。真数相处等于对数相减，这高中知识了啊，不解释了。 好， x 等于多少多少 y 已经解出来了，反函数就是就是 x 等于它呀。好，我们现在不是要求反函数的二阶导吗？二阶导，你先求一阶导，就是 x 对 y 的 一阶导。先求出来，然后再求二阶吗？ x 对 y 求导，那就是 y 减 c 分 之一 long 嘛，是吧？好，这后面就是一个常数求导，那就是零了啊，继续啊， x 对 y 求二解导， 求二解导，这是一个分式结构，咱们一眼就看出来了吧。 y 减 c 的 平方分之一，前面添一个符号，就类似 x 分 之一，求导吗？负的 x 平方分之一的都会啊。 好，那你直接写这个结果嘛，肯定不行，因为 c 题里面是没有的，是不是？那你看一下啊，这个 c 是 可以从这里解出来的呀，你看这个 c 不 就等于 y 减去一个 a 乘以的 x 次方嘛，是不是？哎， y 减去它就是 c 啊，你带到这里面不就完事了，是吧？所以 x 对 y 的 一个二阶导，或者你直接看这儿， y 减 c， y 减 c， 直接就是你啊，你的平方就完事了。负的 好，也就是 a 的 一个平方， e 的 x 平方，那不就是二 x 吗？分之一，你把 c 放到这也行，然后再 y 减去 c， 是 吧？减去一个零，那一个意思吗？还是他啊，他的一个平方，你看结果一样的吗？ 是吧？一样的。那这个题他好处就是能解出来 x 等于多少多少 y 反还说能解出来，那有些题解不出来了怎么办呢？所以同学们，哎，本质这个题考察的其实就是，哎， 这个反数的导数的公式啊，一阶导，二阶导公式，同学们要记住啊，一定要记住。好，那这个题就讲到这了。

说实话，张宇三十讲选二七版还是二六版选择没有你想的那么重要。最近后台收到很多消息问我这个问题，大家都在纠结。听说二七版三十讲改动很大，内容删了不少，那我是更新版，还是用去年二六版的讲义？ 我理解这种焦虑，毕竟选错了教材，万一漏了重要知识点，那不是亏大了？但我想先给大家吃个定心丸。三十讲的核心知识点，两个版本都覆盖了， 改动主要集中在一些拓展内容和难度偏高的例题上。去年那种炫技般的拓展内容，比如二阶常数、变异法、分段估值问题，要么删了，要么移到选学部分。去年繁杂涌长的公式、花样摆出的图形，一股脑全塞给你的二级结论起码精简了一大半。坦白说，这次删减对大多数人是好事。 如果说去年三十讲的吃透难度是九分，那么今年以直线降为五至六分，学习时长也缩短了不少。不管用哪个版本，你学完之后能做出题吗？我去年备考的时候，最大的困惑就是这个 三十讲看完了感觉知识点都懂了，结果一做一千题，十题只能对四题。当时我还以为是自己基础太差，后来才发现这是一个非常普遍的现象。针对我当时看完了三十讲但不会做题的痛点，我意外发现了智能型这个题分利器，他帮我把断掉的逻辑链条重新接上了。作为你们的学姐，后面我会重点说说智能型是如何帮助我复习的。 所以今天这篇文章，我不只是想告诉你选哪个版本，更想和你聊聊，怎么学才能把三十讲真正学到手，而不是看完了但不会做题。去年很多人说三十讲啃不动，暑假复习不完了，网上舆论很大，大多数人并不是拔高不行，而是基础就不行。去年那个版本信息量太大，很多人过了一遍，但没有巩固，知识点没留下来。 删的主要是难题和超纲内容，核心考点都还在。我对比了一下，新旧版本改动主要有这几方面，去年凡是非考研重点的边角知识点，该删减的都删减了。这些内容说实话，考研真题里出现的频率本来就不高，删掉反而减少了记忆负担。 另外， g 二五的小白鼠实验失败后推倒重来。今年新版类似于二四的风格，框架精炼，内容集中，我自己翻了几张，能明显感觉到对考研重点的针对性比去年强了几个档。 那为什么要删？因为去年很多人说三十讲啃不动，暑假复习不完了，网上舆论很大，大多数人并不是拔高不行，而是基础就不行。 去年那个版本信息量太大，很多人过了一遍，但没有巩固，知识点没留下来。所以如果你问我选哪个版本，我的建议是基础一班的同学直接用新版，内容精简，重点突出，不会让你陷入看不完的焦虑。如果你是二战，手里有去年的版本，也完全能用。 但是请一定要对照今年删减过的专题，把那些钻研性价比极低的内容去掉后再去自学。不管用哪个版本，有一个坑，你一定要避开。我当时就是过于纠结版本选择，结果在这上面浪费了好几天，后来发现真正的问题不是版本，而是我学完之后根本做不出题。 记得当时，哎，刚看完三十讲的极限部分，感觉七大未定时、等价无穷小，这些都懂了。但当我开始在智能型上刷对应专题时，系统推了一道需要用泰勒展开处理零零分型的题目，我直接卡住了。我当时还挺纳闷，心想这不就是个常规题吗，肯定是计算哪里出错了。 结果系统紧接着又推了几道类似的便是题，有的是复合函数展开，有的是需要判断展开到几阶。我连着做错了三道。那一刻我才意识到，我对于什么时候用泰勒展开到第几阶这个判断标准完全是模糊的。 书上的例题我都看懂了，但那是因为宇哥已经帮我选好了方法，我只是在跟着走。那种感觉就像是被精准的戳中了软肋。系统根本不管我看没看完书，只看我能不能做对题。 如果你也在纠结版本选择，不妨先测一测自己的实际水平，可能问题根本不在版本上。这是我去年最困惑的问题，相信也是很多人的困惑。这是一个很普遍的陷阱，看老师解题轻松，自己做题就没思路，听完课正确率还在百分之五十以下。 我当时的情况是，三十讲跟着宇哥过了一遍，课后题也做了，感觉知识点都理解了，结果一刷一千题基础篇正确率只有百分之四十左右。当时我还安慰自己，一千题十题能对四题就已经很不错了。但后来我想明白了一件事，不是听完课就进入强化阶段了。强化阶段最重要的事是什么？提高解析能力。 三是讲，确实覆盖了基础加强化的所有知识点。但问题是，强化阶段的真正目标不是听完课，而是会做题。那为什么听完课还是不会做题？我觉得核心原因有两个，第一，知识点没有真正内化， 看视频的时候觉得都懂，但过段时间就忘了做题，想不起来。这是因为光输入没有输出知识点，只是在脑子里过了一遍，没有形成肌肉记忆。第二，缺乏针对性训练 习题测是按章节编排的，但你不知道自己哪个知识点薄弱，可能你花了很多时间做已经会的题，但真正不会的点一直没被发现。 我后来的做法是，先搞清楚自己到底哪里不会，再针对性的练。这里我想详细说说我是怎么发现自己薄弱点的。当时哎，以为自己导数学得还行，毕竟求导公式、练式法则这些都很熟。 但有一次我在智能型上做综测，遇到一道引函数求二阶导的题，我算了半天，答案就是不对。我当时想着可能是这道题比较特殊，就跳过了，结果第二天系统又推了一道类似的题，还是引函数求导，但换了个形式，我又做错了。紧接着第三道、第四道全是引函数相关的便是。我 这才慌了，原来我对引函数求导这个点根本就没掌握，只是之前做的题恰好没考到这个类型。那几天系统一直在推引函数的题给我，从最基础的一阶导开始，到二阶导再到代参数的情况 我记得特别清楚，大概到第三天的时候，突然就开窍了，之前总是搞混的地方，比如什么时候要用乘法法则，什么时候要把 dy dx 当成整体，一下子就理顺了。那种感觉就是综测给一道新题，忽然能把会的知识点用上了，能自己做出来了。 还有一个困扰我很久的问题，学后面，望前面。以前我做习题测，今天做完极限，明天做导数，等到做积分的时候，前面极限的解析技巧就忘得差不多了， 反反复复的忘了捡起来，忘了捡起来，那种拉扯感特别消耗人。但我在智能型上刷题的时候，发现一个规律，今天做对的题，过几天它会再推一遍，而且刚好是我快要忘的时候。一开始我还觉得烦，怎么又是这道题，后来才明白，这是在帮我巩固，这样反复几次之后，那些题就真的刻进脑子里了，不会出现隔两周全忘了的情况。 所以有没有效果，关键要看留下来多少，一轮一轮过，没留下来的都造成了时间上的浪费。基础阶段的目标要清晰，不是看完课，而是打牢基础。什么叫基础打牢？我的标准是一千题基础篇一刷，正确率能到百分之八十以上。达不到这个标准，说明基础还有漏洞，后面强化会很吃力。 关于看课，我的建议是，跟课的一定要做好提前预习，趁听课前一晚翻五至八页的讲义，不需要你预习的多深入，只要清楚大概题型与没读懂的纯文字性概念，第二天再带着目的去听课，效率比你全程被动接受知识输出高得多。关于做题，这里有个很重要的点，不要光学学到的，要巩固下来。 刷题可以巩固知识点，自己做出来的题，巩固效果最好。但问题是，市面上的习题测题量都很大，一千题八八零、六六零每本都有上千道题，全做根本做不完。而且更让人头疼的是，你不知道哪些题该做，哪些题可以跳过。 我当时八八零有很多题不知道要不要做，有些题扫一眼，感觉思路有了，但又不确定自己真的会不会。有些题看着挺难，但可能就是我的薄弱点需要练，所以有没有效果，关键要看留下来多少。 后来我发现，智能型上 ai， 猜你会不会功能可以预测习题册上的题我会不会做。我试了一下，发现有些我以为很难的题，系统显示我大概率能做对。反而有些看着简单的题，系统预测我可能会错， 我就按这个来筛选。预测能做对的题，我就扫一眼，有思路就跳过预测，可能做错的，我就认真做一遍，这样对照着来写习题册省了大概百分之八十的时间。以前做八八零可能要一个月，这样筛选之后两周就写完了，而且错题更集中，更容易发现问题。 等级刷到三之后，我试着做一千题强化篇，正确率稳定在百分之八十五左右。那时候我才感觉基础真的打牢了， 知识点学得透，一步到位，周围的小知识点没有遗漏，感觉就是综测给一道新题，忽然能把会的知识点用上了，能自己做出来了，然后越用就越熟练了。 关于知识点覆盖的问题，我也想说几句。去年专题考了一些冷门知识点，比如二四数一纲考过的复历页又出来了，数二考了区历元二五数一还考了博松定律，网上说四十年没考，很多人说这些是老师没重点讲的，所以觉得考试不会出。 但其实这些点我在智能型上都练过。我记得当时刷概率的时候，系统推了博松定律的题，我还想着这玩意会考吗？但他一直推，我就老老实实做了。 结果二十五年真题里真的出了一千八八零，大约覆盖百分之八十五的知识点，六六零是百分之七十五左右。但真题是可能考到任何知识点的，所以那些看着冷门的内容，该练还是得练，版本选择真的没那么重要。 真正决定你分数的，是你学到的东西有没有留下来，知识点学得透，一步到位，周围的小知识点没有遗漏，新题自己做出来，这才是我们追求的目标。加油，你一定可以的。

一千题什么时候出？我我说了啊，这个一千题呢是要考完之后我才出的，因为呢我要按照这个考题的情况呢，再做一个修正。已经定好了，那么也就很快大家寒假的时候呢，是完全可以做这个一千题的。一千题呢，我增加的零基础呢，也完全是配套，我们三十讲的零基础 应该是早一点啊，配合的基础，三十讲是先把基础编的题目要跟上正确。对，所以呢，我也尽快给大家出出。

好，我们来看四点四，设函数有参数方程，确定好，求的是 y 对 x 的 二阶导，这是属于数一数二同学需要做的题目啊，数三不用去看了啊，数三不考 好。这样的题呢，有两个方法啊，要么你直接把公式记住，直接公式一记啊，好，也不难记啊，可以记一下，如果考场上一紧张忘掉了，那么这两个式子得记住啊。好，我们看啊， y 对 x 一 阶导， 你看， y 对 x 一 阶导，你就，哎，分子分母都除以 d t 啥意思呢？也就是 y 对 梯求导， x 对 梯求导的意思呗，对不对？因为 x 和 y 都是关于 t 的 函数， 所以啊，把 t 引入过来吗？都对梯求导，这不就是 y 对 x 求导了吗，是吧，就消掉了吗？这个意思啊。好，那 y 对 x 二阶导呢？一阶导，你知道了，那在一阶导的基础上再去求一阶导吗？你看， 在一阶导的基础上再去求一阶导，那就二阶导了吧，而一阶导它关于 t 的 函数，所以，哎，再把 t 引入过来就行了，是不是？我希望同学们啊，哎，这两个式子一定是要记住的，而这个式子呢，你就尽量去记，能记则记，实在记不下来，那这两个啊，就够用的了啊， 那我们讲题都给大家讲一下啊。好，这是要求必记的啊，所以我们先去啊，反应用它来去做啊。 好，你看，我们先要把啊，这个 y 对 x 的 一阶导就出来，要用到它吗？ y 对 x 的 一阶导， 那就是把底 t 拿过来，对吧？都出一个底 t 都出一底 t 的 意思就是 y 对 t 求导， x 对 t 求导吗？ y 对 t 求导的求导都会吧。 algebra， 你 求导，同学们得记住啊，是一加 t 的 平方分之一，没记住的你先写到小本本上，后续都会啊。 讲到是不是求导那一招啊？好，再减去 t 加一的平方，求导，好，这是二下来 t 加一是吧？负还是求导啊？先平方求导，这里面求导就是一个一了啊， 继续 s 对 踢球的啊，先捞赢球的先外层，球的在内层啊，捞赢球的不就分之一吗？内层对踢球的就是一个二踢啊，二踢是吧，这是不是又已经球完了啊？这，这两个都球完了，我们去整理一下啊，整理一下上面的话， 减去一个二 t 加一，好，除一个它就乘以它的倒数，对不对？乘以它的倒数，那就是二 t 分 之一加 t 的 一个平方，那我这里除一个一加 t 的 平方吧，那这里就乘一个一加 t 的 平方，对吗？ 一加 t 的 平方就是这里，通过分吗？好，这样的话，你看他俩合一下是不是一加 t 的 平方跟一加 t 的 平方消掉了，还剩了什么？二 t 分 之二减去一加 t 的 平方，好，这是二 t 加上一个二吗？这里分子整理一下啊， 我们看一根二 t， 一 乘一根二，一乘二 t 的 三次方加上二 t 的 一个平方，是这个吧，好，二减去个二，这就没有了啊，还剩的是负的二 t， 负的二 t 的 三次方，负二 t 的 平方除一个二 t， 好，消一个 t 啊，消个 t 消一个 t， 好， 现在就是 y 对 x 的 一阶导就求完了，我们是可以把这个二消一下符号提出来，那就是 t 的 平方加 t 加一，是不是二消掉了？好，现在呢？求二阶导嘛， 我们说二阶导就是一阶导的基础上再去求一阶导，对一阶导的基础上再去求一阶导，而一阶导呢，它关于 t 的 一个函数，所以把 t 引入过来嘛，就是对 t 求导，你是关于 t 的 函数，当然就就是对 t 求导了，那你分子对 t 求导，分母也是对 t 求导。 对，这样一消，哎，就是啊，我对 x 二解导的意思嘛。好，你对踢球的简单吧，负的二踢负一呀， x 对 踢球的，咱们刚刚求过了，在这呢啊，二踢除一个一加 t 的 一个平方， 那就是负号，我可以提出来吧，二 t 加一好，除一个二， t 上面是一加上 t 的 一个平方，这就是最终答案呀， 我们再去啊，用公式解一下啊，假设你公式记住了，我们需要用的， x 对 t 一 阶导， x 对 t 二阶导， y 对 t 一 阶导， y 对 t 二阶导。我们先把这几个啊都求一下啊。 x 对 t 的 一阶导，咱们其实求过了啊，拿过来， 那 x 对 t 的 二阶导，你看，在它的基础上再推 t 求导嘛，反而没有这个感觉快呢，但有些题呢，可能哎， y 的 t 的 二阶导就比较简单了，所以说平时呢，咱们就 能够用的方法，咱们都去练一练。那有些题是吧，哎，这个方法更快，你做出来了，你这个方法呢？你感觉慢，那你赶紧换这个方法，这个方法慢，赶紧换这个方法。哎，这就是多一个方法，多一条路嘛。 在他的基础上，对梯再去求一节倒，我们在这写了好吧。嗯，用算了，还在这写吧，写详细一点。除法求倒公式吗？分母平方，分子求倒，分母不倒减去分子不倒，分母求倒 是这个意思啊，其实求导公式都会我们把分子整理一下。二加二梯方减去四梯方吗？那就是二减去二梯方，继续。哎， y 对 t 的 一阶导和二阶导需要用的啊。 y 对 t 的 一阶导求过了，在这了啊，二除以一加 t 的 平方，减去一个二， t 加一。好， y 对 t 的 二阶导， 你先求一些，倒都会求啊，先分子求倒零乘以分母不倒，减去分子不倒，分母求倒，这就是四题啊， 再减去后面对踢球道不就是一个二了吗。好，现在这些都有了，带到公式里嘛，好，硬着头皮给它算完它啊。这个题就属于用公式发了是吧，太慢了啊，但是我们得知道这个公式，有些题可能用公式就比较快了啊。好，算下去吧， 相当于锻炼一阶导的三次方，你的三次方。 八 t 的 三次方除以一加 t 的 平方的三次方。好，接下来是 y 对 t 的 二阶导在这呢啊，负四 t 除以 斜过来啊，乘以 x 对 t 的 一阶导你， 然后是 y 对 t 的 一阶导，你 这不用打括号。乘以 x 对 t 的 二阶导啊， 这儿二减二 t 的 平方除以一加 t 的 平方的平方。好看看啊，能不能算出来它啊，我们用别的一个颜色笔啊，就当草稿啊，来回去算了。主要是分子吧， 分子的话先他跟他乘一下啊，那就是负的八 t 的 平方除以一个一加 t 的 平方这三次方了吧，减去二跟他一乘啊，四 t 除以一加 t 的 平方。 是的啊，减去把头像删掉吧。你们两个相乘啊。好， 一加 t 的 平方的三次方，二跟这边相乘嘛。四减去四 t 的 平方。好，你跟你相乘，你注意，这两个减号就变成正号了，负负的正的 好，一加 t 的 平方的平方，这块跟这块相乘啊，对不对？这个符号已经乘过了啊，就是你和你相乘，我把这个二提出来啊，哎，这个是一了啊，这就是四了。 这个整理一下，我们看一下啊，我们先写到这 t 加一减 t 的 一个平方。好，你看这是整个分子啊，分子的话，那这两块是不是可以整理一下？这两块的话 没法整理到一起，那我们直接通分得了，是吧？都变成这个三次方呗，这样的话就可以啊，整理一块的一个分子部分整理一下嘛，这三次方的话，那就是分子部分乘一个一加 t 的 平方的平方嘛，是吧？好，这一块整理一下，分子再乘一个一加 t 的 平方， 这就变成三次方了，分母一样，分子去整理了啊，整理分子，我写到这儿了，负趴 t 的 平方减去。 减去什么呢？这里啊，我们整理出来四 t 一 加上二 t 的 平方，加 t 的 四次方。好，写过来啊，减去四 t 加乘进来啊，八 t 的 三次方，四 t 的 五次方，对不对？这一块啊，好在减去啊，这里减去四加四 t 方案。好，加上后面。这里。分子啊，我们也是在下面写一下， 看一下这一块是不是整理一下完全平方，是吗？一减 t 方乘以一加 t 方，就是一减去 t 的 四次方吗？好，四倍的 t 减 t 的 五次方，加一减 t 的 四次方。好，这里啊，斜过来啊，加上加上四 t 减去四 t 的 五次方，加四减去四 t 的 四次方。好注意啊，有点 快结束了是吧？好，坚持住啊，你这一块的话，我们把这个括号去掉吧，减去四 t， 减去减去啊，好 看一下。这里啊，负八 t 的 平方，这里有平方吗？那就变成负四 t 的 平方，减去四 t 再用直线吧，减四 t 加四 t 它就没有了。好，负八 t 的 三次方，那就写过来， 减去四 t 的 五次方，减去四 t 的 五次方，八 t 的 五次方，减四加四没有了啊，还有一个负四 t 的 四次方，那就是这就是分子了啊，分子的话，你看可以把负四提出来吧，负四提出来，还有 t 的 平方也把它提出来啊， 负四的题的平方都直接提出来了，前面剩个一正的二 t 吧，正的二 t 的 三次方，正的一乘以 t 的 平方，就是这玩意。好，除以， 这是整个的这一块的分子，是吧？分母啊，母母写过来一加 t 的 平方的三次，现在是把这一块的分子整理出来了啊，除一个它乘以它的倒数啊， 一加 t 的 平方的三次啊，八 t 的 三次，是不是好看一下啊？见证奇迹了，他俩消掉了，再看这一款跟这一款了啊。 嗯，四消一下，还剩一个二，对 t 的 平方消一下，还剩一个 t， 你 看负的这里有二 t， 负的有个二 t 还剩这一款， 这一块你看是不是等于它就行了，对不对？这个我们整理到一起啊，你看二 t 加上二 t 的 三次方加一加 t 的 平方，是不是这里呢？一加二 t 加二 t 的 三次方加 t 的 平方。一样的啊，这个很麻烦，但是呢，这个公式 就是告诉大家，有这样的一个公式法吗？有些题目啊，就是一阶导，二阶导就求的非常简易的一个形式，不像这个题很多分式啊， 如果你考试的时候遇到这个分式结构了，那你别用公式法了呗。是不是就这样一步一步的求就很快了啊？好好好，去算一下当计算能力的一个题。什么呗？训练了呗。好，那这个题就讲到这了。

hello， 各位同学，大家早上中午晚上好，我是 super 新，大家也可以叫我小新学长。那么今天呢，我们继续函数与极限与连续。第三部分终于讲到中奖了，函数的极限这部分的内容，当然我们还有函数的极限的计算，那那是我们唯一可能考的比较多的内容， 那么对于函数极限性的概念与性质，我们具体来看一下。第一部分，领域，领域我们只要知道就根根据他的定义，就跟他的名字一样，就是相邻的区域，什么领域？去心领域，左领域，右领域，大家看一眼就懂了，然后 了解这个概念就可以了。然后函数的极限的定义就是它的 x 趋近于一个 x 零点，我这 x 往这个 x 零趋近，然后我的这个函数值 也往一个值趋近，这就叫函数的极限。如果这个有，有这个常数 a 存在，那我们就称函数的极限存在，如果没这个 a 存在，我们就称函数的极限不存在，了解了解就行了。那张宇老师说要把这个二十四个式子你都得会写，其实就是什么？那就是 函数极限存在，极限趋无穷，极限趋正无穷，极限趋负无穷，然后 x 呢？也有几种，是不是就是 x 区域， x 零，从左边去进 x 零，从右边去进 x 零，然后还有什么去进无穷，去进正无穷，去进负无穷啊？看一下就行了。这个题是不是他说已知这个极限存在，且函数等于这个东西，那么就要你求这个极限是多少？还是学的？ 在第一期我说最重要的思想是不就是分析题目，聆听题目，告诉你给你的信息，他让你求的是 f x 比上 x 方的极限，我们来看这里是不是已经给了你 f x， 那 么不妨是不是就 把它左右都除个 x 平方，那这里就 x 三次方，这个 x 方划掉。如果咱学过后面的内容可以看到，一减 x 方就可三 x 就 可以等价于二分之一 x 平方， 把这二分之一上去，这个后面是不是就变成了趋于零的时两倍？趋于零的时候 f x 以上 x 方是不是又是我们要求的？这个我们不妨就把它说极限存在，不妨就设为 a。 还有这个这个后面也是一个非常常见的一个泰勒展开公式，相信大家如果学后面的也都非常是，它就是等于六分之一， 加上二 a e 解是不是就出来 a 是 不是就是等于负的六分之一？惊而易举，主要还是聆听题目告诉给你的信息。 第三部分超时数。在极限中应用超时数就是帮助我们理解极限这个概念的，我们就要理解了，这一大部分内容其实 是不需要看的，但我们注里面这有个比较重要的内容，就是我们极限的计算，先要进行的是实数运算，然后再进行的是趋和运算，这个千万不能搞错了，在嗯这个题目，嗯说实话是没什么关系的，但我们后面有的题目，比如如果他学过我写一个式子， 比如一减，我就在这个原原式上进行改编，就一减 cosine x， 减去二分之 x 的 平方，比上 x 的 四次方，如果我们就直接进行等价无穷小的话，那是不是一减 x 的 cosine x 是 不是我们常用的一个等价无穷小是二分之一 x 的 平方，那减去二分之一 x 方比 是不等于零啊？零比它 x 四方是不是零？那这题的答案是零吗？它不是零哦，这就是我们很重要的不能先进行曲和运算，曲和运算就是把这个一减三 x 进行半价了，我们先要进行时速计算，当然这里我们说时速运算，就是再给它展开一点，就是展开成 我们用泰勒展开式。泰勒展开式是不是就是一个等下的式子呀？因为我们泰勒展开，比如 cosine 的 泰勒展开是不是 cosine x 是 一减去二的阶乘分之 x 平方，加上四的阶乘分之 x 四次方，再加上一个 x 四次方的 高阶无穷小，我们把剩下的所有项都写成 x 四次方的高阶无穷小，它是不是个等号啊？所以等号是我们说的什么？是不是实数数运算？所以我们要想解这道题，我们得用泰勒展开， 然后把这一减去，把括号 x 用展开了四次，我们为什么展开了四次？因为分母就四次吗？那那四次以后的高阶无穷小，那是不是比上 x 四次都是等于零？所以这道题答案实际上应该是负的二十四分之一，也就是负的四阶乘分之一啊，希望大家把握这个地方就可以了。 下面的什么趋和速度、极限四则运算法，我相信大家是不是都会这些部分内容，看看一眼就得了，大家都是聪明的孩子。 然后这个存在和这就极限四的运算法。怎么他说翻译成人化就是 f x 极限存在等于，比如设它等于 a， g x 极限存在等于 b， 那 么它加减、乘、除都存在，如果其中有一个不存在，那么它加减肯定不存在，那乘或者除是可能或者也也也可能不存在，那均不存在的话，就是都可能。翻译成人化，就是它的极限 存不存在？一个不存在，加上一个存在，那那他就不存在。一个不存在，呈上一个存在，他可能存在，也可能不存在。 ok， 很 很简单。然后极限的性质跟那个树立的性质其实是一样的，因为唯一性、局部有界性，还有什么保号性。 那对于唯一性来说，唯一性咱有几个例子，应该你看学长上期视频应该就讲这个，我们去无穷的时候， e、 x 无穷分别去进的时候，他极限是存啊，他去无穷的极限存在，去无穷极限还是不存在的 啊。比如，再比如说这个，呃，三 x 比上 x 的 绝对值，那我们是不是既要从左边趋近，又要从右边趋近？只有它的极限是相等的时候，它的极限我们才可以说这个玩意的极限是存在的。再比如说这个什么阿克泰尼 x 趋趋近无穷的时候，是不是也是趋近正无穷、负无穷的时候，值不一样啊，它还是不存在的。 那几个例子，大家在做选择题呃的时候，应该是一个常见的反例，咱们来再来看这个极限怎么算？这个极限怎么算啊？嗯，大家下去算一下就行，非非常简单，那也是我们常考的一个题目，包括这个题也是。然后局部有界性 又有啥？呃，这个，这个有界性，有界性是不是上节课还是上上节课学的时候有界性？其实咱就是判断端点、分段点 什么不定一点，是吧？其实都都是很有特征的点，我们就判断这几个点的极限存不存在。如果一个区间它两端，首先我们这个函数得是连续函数的，虽然我们的函数大多数都是连续函数，但是呢，也有，是吧？就不连续，不连续咱就分段， 那对于连续的函数来说，那就是这两端的端点，它的极限都存在，那么在这个区间内，如果它是连续的，那我们说这个函数就是有界的。 好，就这么一个思想，然后局部保号。性，然后吕老师说这个，这个非常重要。确，确实，但是呢，都是在最难的那个大题，就是比很难很难的大题，也不能说最难的吧，反正很难很难的大题。 那你就是这个脱帽严格不等，戴帽非严格不等，其实也很好理解。就是，呃，如果我们的极限是大于零的话，我们比如说这一个函数，我们画一个函数， 你说这个函数它的极限是大于零的，那么在毕竟有这一部分，它的这个数，函数的值也是大于零的，如果 我们说函数是大于零的，那么它的极限可是大于等于零呢？比如我们就画这样一个函数，是不是我，我在趋于无穷的时候，它的极限实际上是零啊？那就这么简单。 好，这个题目也是，嗯，大家自看就行，非常简单。无穷小的定义，无穷小就是无穷小，很小很小，无穷小的性质也是我们我们这什么无穷小的笔节，我们知道这个概念就行，高阶、低阶、同阶等价分别是什么概念， 那就 ok 了，重要的来了，这个是我们需要记得常用的等加无穷小这几个，到时候学到什么，我就是学到就题目里做到了，我们也可以积累下来，越越多积累，我们做题目的时候其实相对来说就更加容易。 然后呢？还有一个，这个注里面的这个思想就是广义化，就比如这个 x 也可以是狗，对吧？撒硬狗比狗也等于一，这是个非常重要的思想。那学上也在这里画个 triple star。 最后就是无穷大的定义，这个也非常简单，其实就是哦，但是我们需要注意的就是无穷大是一定是无界，但无界函数不一定是无穷大。无界啥意思？无界就没有界限啊？只只要他有函数，只是区域无穷大了他就行了。那但是我们无穷大呢？无穷大，比如我们举个 x 区域零的时候他是无穷大，我们是要在 一他的 x 大 于一定的值的时候，他是无穷大，我们是要在一他的 x 大 于一定的值的时候，他就这么一点， 其他就没有什么。大家做一下这个立体，还是学长，还是那个思想，我觉得就是一开始阶段咱只要学学会这个立体，然后包括这个书上课后的这种习题就已经足够了。等我们全学完以后，再开始比较大规模的刷题，我感觉那样的效率会更高， 而且那个时候你的思维形成，就形成了这种解析的思路，和你最后考试的思路差别不会很大。好，那么这就是第三部分的所有内容，下面就是一个最最重点的内容，就是计算了，那我们明天再讲。好，那么这期视频就分享到这里，谢谢大家，我们下期视频再见。

三十讲高速部分一月份能讲完吗？关于三十讲的进度呢，我的总的计划来说呢，应该在下个月就差不多吧，高速肯定就跟完了，就是我们就是全部重新学的同学吧，这样说 我跟课的速度一定是在你这个复习的进度是比你超前的，我这个可以确保这一点，所以我的意思是说你不要追着这课走，因为大家是还是需要好好去消化的。很多同学呢，看这个教学的视频呢，这个有时候是追这个课。 那至少你对张老师那是给张老师面子了啊。那至少说你的课我还勉强看得下去，但是呢，数学这个东西呢，我觉得一遍就是很草草的，跟着我就这么学下去，不回头看的话 不行，很多我说的话你第一遍是不一定能真正理解的。这是不是稍微再慢一点啊？慢一点意思说我学完一部分，我做点题目了是吧？再巩固巩固，忘记中，又回个头再看一看。

好，同学们好，我是常来学长。然后今天这个视频给大家测评一下我们二零二七章鱼核心计算的一个讲义，以及它的一个使用指南啊。这套书的话是在基础三十讲里面单独成册的，它这本书的前身其实是基础三十讲里面的一个选学部分， 然后我将从以下以下五个部分，然后来测评这本书啊。首先第一点的话，来讲一下我自己刷下来的一个感觉，因为没有使用就没有发言权，我是真的是 花了两三天时间去好好研读这本书，并且做了两张的。目前的体验是可以总结如下，首先第一个 啊，这个名字的话起的稍微有一点点那个误导性啊，他虽然说是叫核心计算通关，但是他的核心计算其实只包括了不定积分，他不涉及极限跟导数。第二个的话，就是他的这个记在这里面，他的那个积分题他是非常全面的 呃，就是他里面讲不定积分吗？他几乎是，呃，我不知道有你们本科用的是不是那个同济高速课本，同济高速课本后面他有一张积分表， 他几乎是把所有呃，他几乎是把整张积分表全部给你搬过来，并且把那个呃参考答案给你呃给你写清楚了。所以说你在考研范围内，我甚至不说考研范围呢，你哪怕是竞赛里面的那种不定积分，你放进来， 你只要是算不定积分的那种题目，百分之九十九以上的不定积分都能在这本书里面找到原型。但是呢，这本书虽然说包含的很全，但是他这本书却很薄，就是说如果说你手上有实体书的那些同学应该能明白我说的什么意思，他 这本书非常的薄，但是呢他的那个体量是非常惊人的，为什么？因为他的书中没有给你留下答题的一个空间，所以说他会显得很薄。实际上他这个你如果说真的要刷的话，你可能得刷一个礼拜才能把它刷的完。 然后呢还有一个关于难度的问题，虽然说大部分都是考研范围内的一个难度，但是有那么百分之二十左右的题目啊，他是超出了考研难度的范围啊，为什么我我能这么判断呢？因为我发现啊不管是我自己的答案做下来，还是他书上的答案做下来，他至少一页 a 四纸都写不完。那这像这种情况下的话，那其实 其实就呃就不太可能在考场上给你考这种东西啊，因为一页 a 四纸，你考试的时候你总共才一张 a 四纸的草稿纸，他不可能一道积分让你算这么久的，对不对？只不过呢他这个讲义，他为了他的全面性，所以说把这些东西都都给加进去了。然后还有一个就是说如果你能完全掌握这本书， 你呃我觉得考研范围内我都不说百分之九十九，我可以说你百分之百没有你不会做的不定积分，你所有的书你可以把这个当成一个字典一样，对吧？任何题目都能在上面找到一个圆形， 呃，然后这样子的话呢，就是我可以呃在这里的话我总结一下他的一个优点跟缺点吧。啊，首先一个优点，优点我们前面基本上都说了，就是一个的话是赋覆盖面权，我这里写的保守了一点，百分之九十九，实际上就是百分之百。 第二个的话就是说这本书出的早，大家全年都能都能抽时间看，不管你是一月开的、二月开的、三月开的、四月开的、五月开的，对吧？ 六月开到七月开到八月开的，后面我就不说了，要到后面的话，其实你不太有时间看这个东西，但是呢，我可以大有大致的认为就是大家全年都能抽时间看这个东西，对不对？甚至有些同学是那个二八考研的，他也可以提前把这个东西看起来吗？ 啊？第三个他是有官方讲解视频的，这个讲解视频就是啊，我这里，我这里当然是为了我的作品，所以说我把这个二维码给挡掉了，就在这个地方的话，他是有一个二维码， 你，你在那个，你在那个，就是你买的那本书里面扫一下，他会有一个官方的一个讲解。所以说你如果说有呃 在这里的话，他大部分答案都是非常详细的，就是你自选能够掌握大部分，但是有一小部分的话可能就是看答案你也看不太清楚，那你可以去听一下他官方的一个讲解视频，然后下一个就是说有了这本书以后，我们再也不用到百度去搜某某的原函数了，因为只要是考研范围内的，你一定能在这本书上找到。 当然他这本书光有优点不行，他肯定是有一点缺点的。我们，呃，实事求是的说，他这本书其实不是一本完美的书 啊。首先第一个部分答案思路有跳步嘛，就比如说在这里，在这里这个应该是呃，第二组的第十一题，他我蓝色框这个框出来的，你可以去看一下他那个，他这里虽然说写了个同理，然后直接把这个给写出来，但是你可以去试一下这个同理，他没有那么的显然， 他要用到一个很短视才能够得出这个东西，所以说他这个我认为是有跳步的。呃，有跳步其实很正常，因为写这本书的人他水平非常的高，他不是那个数学系的硕士，也也是那个数学系的博士， 最次最次也是个理工科的一个硕博，对吧？所以说他的那个数学水平跟我们啊初学者的数学水平，他其实是有个断档的，所以说有些东西他们觉得显然，但是对于我们来说他其实没有那么的显然。第二个的话就是说我们部分答案并非最有解答，就比如说这道题， 这道题它处理的处理这个 sin 方或 sin 方的时候，它是直接把它全部同名化成 sin 了， sin 方， sin 四次方。但是你看啊，这两个东西啊，这个倒还好算一点，后面这个东西它其实不好算，但是这个东西我们有没有必要非得这样子呢？其实不没有必要，我们直接二倍角公式，我们把它写成那个 sin 二 c， 它不就行了， 三个二 t 不 就行了吗？这样的话我们只要算一个平方向就行了，对不对？你这个四次方我们完全不用去管他，所以说他这个呃绝对不是一个最优的一个处理方法，虽然说能做，但他不是最优，但是他答案里面也没有讲这种方法对不对？ 然后第三个的话，然后再往前就是说他没有给我们预留一个做题的一个空间，没有预留做题的空间，你看啊，就是非常的挤呃，并且有部分题目的话考研是不需要掌握的，但是他没有标注，没有给你标注好 呃，所以说对于呃有小部分题目的话，对于初学者来说难度较大，对不对？然后还有一，还有一个问题，就是说极小部分没有的那个参数范围未讨论，就比如说这个积分，这个积分的话，你看这个 a 方， a 方出现在分母，我们一定要考虑的一个情况是什么？就是 a 它不能等于零，你看这个东西，原函数 a 等于零的时候， b 分 之 x 我 也能积啊，对不对？但是绝对不是你这这么一个表达式，所以说像这种的话是一个小的瑕疵。对于我们 啊，对于我们应试来说的话问题倒不大，但是你作为出出了本书的话，我觉得这个东西还是得明确一下的，对不对？ a 不 等于零，这个东西对于你来说只是加个括号的是，但是加上去这个东西其实就很严谨了，对吧？ 好，有同学说，那学长你给他这么高的一个评价，对吧？虽虽然说也有一些缺点，但是这些缺点都瑕不掩瑜，那是不是我必然得做这套书呢？ 那其实也并不是的，我们来看啊，哪些人值得做这本书？你如果说同时满足这三个条件的话，我觉得是值得做的。首先第一个你的指面实力是在一百三十五以下的，也就是说你，你比如说你去年，你去年复习复习过，呃，然后呢？你的那个，呃，然后你平时做模拟卷或者做真题的时候， 基本上能够稳定在一百三十五左右，甚至一百三十五以上的，那你可以不用做这个。为什么呢？因为你指面实力在这一百三十五以上的话，那你计算这一关肯定不是你的弱项，你要把你的时间放到其他的板块学习中去，对不对？然后你同学说学长我是一站的，我没有往年的，呃，那个数据可以参考，那怎么办 啊？你一站的，你就默认你现在指面实力是一百三十五以下就行了，这个没有关系啊，啊，你如果说你是那个天赋比较高的那种东西，你其实做，呃，做到后面你自己能感觉出来的 啊。对于大部分的普通人来说的话，你的指名实力就是在一百三十五以下，然后第二个的话就是说你学完积分，但是觉得自己积分老是找不到头绪的，就是说给你一道积分，你可能，哎想到了就想到了，想不到就想不到的那种， 那种感觉就是你看见这个东西你把握不了他的一个核心，你比如说就这个，就这个给你一个散引方的一个积分，让你积，你不能立刻想到用那个加密公式，而是在那边东想西想的那种的话，然后最后想了十五分钟，哎，想到，哎，可能可以用加密公式一做，还真的做出来了。 像这种的话你还是得做一下，因为你呃你必须得进行一个专项训练，否则你上考场你完全是看天意的对不对？这样的话你分数丢了是很可惜，你要知道一道计算题你失误的话，你至少是扣五分。五分什么概念？你那个，你那个政治，一道大题十分， 你把那个答案偷出来了，你把它抄上去，你拿到了十分，你然后你，你政治什么都不懂，你直接把那个材料抄抄一些东西上去，字写的漂亮一点，你都能拿五分，这就是这就是五分，他的那个含金量，在考研当中那个含金量。 然后第三个的话，就是说这个还是比较适用于那个进度比较快的一站同学或者二站级以上的同学，为什么呢？因为这个东西的话，你至少得前三章学完了你再才能刷，对吧？然后虽然说接下来的复习时间还有三百多天吧，对吧？但是我不建议你在九月份， 到时候再花时间练这个九月份，尤其是二战、三战的同学，你要知道九月份之后你是非常忙的，到时候那个时候数学模拟卷你刷不完，然后英语的那个呃模板你得开始背起来了，对吧？然后还有那个 政治，哎，政治要站起来，那个时候要练单选择题，多选择题，以及他的一个呃，肖八肖四，对吧？所以说那个时候，呃计算这一块就没有那么重要了， 然后，呃，或者说相对没有那么重要，就是其他的东西他更重要。好，然后有有同学说，学长这本书我想刷，但是有这些痛点怎么办呢？那我我我的话，我决定今年就是给大家免费提供一个辅助。给大家提供如下辅助，首先第一个， 呃，这本书答案有跳步，对吧？那么这全书每一题我都给你录制一个不跳步的解析，然后这这本书的话，他所有的题目都是我先做过再去对他的答案。 呃，所以说呢，就是我基本上我能想到的题目，呃，想到的方法一般的同学接受度能更高一点，包括你这个答案不是最优，对吧？我可以教你怎么更快的一个求解， 对不对？像这种东西，这个我为什么能想到三个二 t 啊？就是我，因为我提前做吗？我提前我自己做了，所以说我， 呃我可能不受他答案的这个思想的一个引导，如果说你看了答案再去做的话，你可能就跳不出来这个答案了，对不对啊？答题空间不够我，我来给你做做题本，然后没有难度标识，我来给你 那个不同分数段的必刷题，然后可以给你看一下那个做题本吧，就是我这是我自己做的做题本，然后想要拿这个做题本的可以去关注一下我的公众号，然后输入章与核心计算这一整套做题本，包括这本书全部免费给你啊。 然后这个做题本的话，它的答题空间是给你设计过的，你看啊，比一般的 ppt， 一 般的 ppt 大 概是十六比九或者四比三嘛，我给你变成了这种比较长的这种，然后你看啊，这一整道题清清爽爽爽的，那个写下来是完全没有问题的。 好，然后，呃，这里的话给大家看一下吧，我应该是，应该是，就差不多是这样子吧，你拿到的错。呃，那个做题本， 然后这这些东西确实是很多东西都是非常经典的东西，我建议还是做一下，当然有一些可能难度比较高的我都会给你标出来，像这种东西的话，作为一个计算题的一个锻炼，在初期是非常有帮助的。所以说在这本书的话，我一般啊，我，我肯定是给了他一个很高的一个评价嘛，只不过啊，这套书可能刷下来 可能没有那么的，那没有那么的啊简单，你可能会有一点点痛苦的感觉，但是你要相信啊，痛苦之后你 这个人得到的一定是一个非常大的一个成长。好，然后这本书的测评就给大家讲到这里，然后后期的那个 更新，就是那个视频更新的话，我也会在那个公众号里面发通知，以及的更新的话是在小破站那边更新。希望啊，如果有兴趣的同学可以关注一下我。好，然后今天这个测评视频就给大家讲到这里，谢谢大家。

我是二七考研的，然后考出一百分是一百三十分呢，我就是想问那个三十讲的更新速度是咋样呀？我怕就是时间不够，来不及。会不会？不会？不会基础三十讲的更新的速度是保证按照科学的更新速度来的，这个你可以放心，可以明确告诉大家，我们的课程不论是基础三十讲还是后面的强化三十六讲，更新的速度是 按照大家正常复习速度，基本上是提前两个月的时间就更新的。也就是说如果你按照复习进度来讲，你现在如果是完全跟得上复习进度的话，我认为你记得已经比一般速度已经超过两个月了。甚至理政的考试，一般大家你问一下学长学姐就知道，他的复习的时间一般都是靠后的，专业课的复习基本上也是靠后，你要确定好你的目标专业和 院校，你要定好之后你才能开始专业课的相关的复习。

好，我们来看四点二啊， f x 是 用极限定义的，我们是不是得把这个极限求出来，那么 f x 就 求出来了，再去求导就行了。我们说求极限，先判定类型啊，再去选择方法呀。 好，我们变的量是 t 哦，好，那 x 它是相当于 t 来说，你就看成一个常数就行了，对不对？我们变的量是 t 啊，判定类型的话，你看 t 就 行了啊， 一减去 t 去零，那就是一减零一嘛。好的，负号啊， x 相对于 t， 你 看成一个常数就行了。好，零分之一个常数，那么就是一个无穷，对不对？无穷啊，我们给它判定出来类型了，就是一的无穷大次方这一类型的一个极限的话，咱们说它属于重要极限的第二个， 哎，有它的一个固定的一个方法，就是三步走就行了。第一步，该写标准型，就是凑一出来，这已经有了，已经是标准型了。第二步，去算 alpha 乘以 beta 的 极限值啊，就是它俩相乘的极限值。我们去求一下啊， t 去零这一块跟这块相乘啊，负的二， t 负的 x b， t 负负没有了啊，二呢？过来， t 跟 t 消掉了，那就剩一个 x 了，是吧？ a 已经求出来了。第三步，写答案就行了， e 的 a 次方，这一块，那个极限的话，就是 e 的 a 次方，那就是 e 的 二 x 次方，对不对？好，前面还有个 x， 那 就是 x 乘以 e 的 二 x 次方，这就是 f x 表达式，是吧？哎，那你这求到那，简单的很， 用乘法求导公式，左导右不导加左不导右求导。求导。注意了，负函数求导先指数函数求导在内层的二 x 求导是一个二，我们可以把 e 的 二 x 次方提出来，二 x 加个 e， 是 吗？ 这很简单吧，没有难度的题目啊，好做。对啊，做对，那这个题就讲到这了。

说实话，张宇三十讲选二七版还是二六版选择没有你想的那么重要。最近后台收到很多消息问我这个问题，大家都在纠结，听说二七版三十讲改动很大，内容删了不少，那我是更新版，还是用去年二六版的讲义？我理解这种焦虑， 毕竟选错了教材，万一漏了重要知识点，那不是亏大了？但我想先给大家吃个定心丸。三十讲的核心知识点，两个版本都覆盖了， 改动主要集中在一些拓展内容，比如二阶常数、变异法、分段估值问题，要么删了，要么移到选学部分。 去年繁杂拢场的公式，花样百出的图形，一股脑全塞给你的二级结论起码精简了一大半。坦白说，这次删减对大多数人是好事。如果说去年三十讲的吃透难度是九分，那么今年已直线降为五至六分，学习时长也缩短了不少。 但这里有个更重要的问题需要你想清楚，不管用哪个版本，你学完之后能做出题吗？我去年备考的时候，最大的困惑就是这个 三十讲看完了感觉知识点都懂了，结果一做一千题，十题只能对四题。当时我还以为是自己基础太差，后来才发现这是一个非常普遍的现象。所以今天这篇文章，我不只是想告诉你选哪个版本，更想和你聊聊怎么学才能把三十讲真正学到手，而不是看完了但不会做题。 一、新版三十讲到底删了什么？先说结论，删的主要是难题和超纲，内容和新考点都还在。我对比了一下，新旧版本改动主要有这几方面，去年凡是非考研重点的边角知识点，该删减的都删减了。 这些内容说实话，考研真题里出现的频率本来就不高，删掉反而减少了记忆负担。另外， g 二五的小白鼠实验失败后推倒重来，今年新版类似于二四的风格，框架精炼，内容集中，我自己翻了几张，能明显感觉到对考研重点的针对性比去年强了几个档。 那为什么要删？因为去年很多人说三十讲啃不动，暑假复习不完了。网上舆论很大，大多数人并不是拔高不行，而是基础就不行。去年那个版本信息量太大，很多人过了一遍，但没有巩固，知识点没留下来。所以如果你问我选哪个版本，我的建议是，基础一班的同学直接用新版，内容精简，重点突出，不会让你陷入看不完的焦虑。 如果你是二战，手里有去年的版本，也完全能用。但是请一定要对照今年删减过的专题，把那些钻研性价比极低的内容去掉后再去自学。去掉之后，相当于今年版本的加强版，立体更多，深度更高。但不管用哪个版本，有一个坑，你一定要避开。我当时就是过于纠结版本选择，结果在这上面浪费了好几天， 后来发现真正的问题不是版本，而是我学完之后根本做不出题。记得当时我刚看完三十讲的极限部分，感觉七大未定时等价无穷小，这些都懂了。但当我开始在智能型上刷对应专题时，系统推了一道需要用泰勒展开处理菱菱形的题目，我直接卡住了。我当时还挺纳闷，心想这不就是个常规题吗？肯定是计算哪里出错了。 结果系统紧接着又推了几道类似的变式题，有的是复合函数展开，有的是需要判断展开到几节。我连着做错了三道。那一刻我才意识到，我对于什么时候用泰勒展开到第几节这个判断标准完全是模糊的。书上的例题我都看懂了，但那是因为宇哥已经帮我选好了方法，我只是在跟着走。 那种感觉就像是被精准的戳中了软肋，系统根本不管我看没看完书，只看我能不能做对题。后来我跟着他的引导，把这细分的直接展开，然后是带参数的，最后是复合函数嵌套的。 等我把这个专题刷通，再回去翻书上的例题，才明白宇哥讲课时跳过的那些步骤，原来是这个意思。如果你也在纠结版本选择，不妨先测一测自己的实际水平，可能问题根本不在版本上。二、为什么三十讲看完了还是不会做题？ 这是我去年最困惑的问题，相信也是很多人的困惑。这是一个很普遍的陷阱，看老师解题轻松，自己做题就没思路，听完课正确率还在百分之五十以下。 我当时的情况是，三十讲跟着宇哥过了一遍，课后题也做了，感觉知识点都理解了，结果一刷一千题基础篇正确率只有百分之四十左右。当时我还安慰自己，一千题十题能对四题就已经很不错了。但后来我想明白了一件事，不是听完课就进入强化阶段了。 强化阶段最重要的事是什么？提高解题能力。三十讲确实覆盖了基础加强化的所有知识点，但问题是，强化阶段的真正目标不是听完课，而是会做题。那为什么听完课还是不会做题？我觉得核心原因有两个，第一，知识点没有真正内化，看视频的时候觉得都懂，但过段时间就忘了做题，想不起来。 这是因为光输入没有输出知识点，只是在脑子里过了一遍，没有形成肌肉记忆。第二，缺乏针对性训练习题测是按章节编排的，但你不知道自己哪个知识点薄弱，可能你花了很多时间做已经会的题，但真正不会的点一直没被发现。 我后来的做法是，先搞清楚自己到底哪里不会，再针对性的练。这里我想详细说说我是怎么发现自己薄弱点的。当时我以为自己导数学的还行，毕竟求导公式、练式法则这些都很熟。但有一次我在智能型上做综测，遇到一道引函数求二解导的题，我算了半天，答案就是不对。 我当时想着可能是这道题比较特殊，就跳过了，结果第二天系统又推了一道类似的题，还是引函数求导，但换了个形式，我又做错了。紧接着第三道、第四道全是引函数相关的变式，我这才慌了，原来我对引函数求导这个点根本就没掌握，只是之前做的题恰好没考到这个类型。 那几天系统一直在推引函数的题给我，从最基础的一阶导开始，到二阶导，再到带参数的情况我记得特别清楚，大概到第三天的时候，突然就开窍了。之前总是搞混的地方，比如什么时候要用乘法法则，什么时候要把 dy dx 当成整体，一下子就理顺了。那种感觉就是综测给一道新题，忽然能把会的知识点用上了，能自己做出来了。 还有一个困扰我很久的问题，学后面，望前面。以前我做习题测，今天做完极限，明天做导数，等到做积分的时候，前面极限的解题技巧就忘得差不多了，反反复复的，忘了捡起来，忘了捡起来，那种拉扯感特别消耗人。但我在智能型上刷题的时候发现一个规律，今天做对的题，过几天他会再推一遍，而且刚好是我快要忘的时候。 一开始我还觉得烦，怎么又是这道题，后来才明白，这是在帮我巩固。这样反复几次之后，那些题就真的刻进脑子里了，不会出现隔两周全忘了的情况。所以有没有效果，关键要看留下来多少， 一轮一轮过，没留下来的都造成了时间上的浪费。三、基础阶段到底应该怎么学？说完问题，聊聊具体怎么做。首先，基础阶段的目标要清晰，不是看完课，而是打牢基础。什么叫基础打牢？我的标准是，一千题基础篇一刷，正确率能到百分之八十以上。达不到这个标准，说明基础还有漏洞，后面强化会很吃力。 关于看课，我的建议是，跟课的一定要做好提前预习，趁听课前一晚翻五至八页的讲义，不需要你预习的多深入，只要清除大概题型与没读懂的纯文字性概念，第二天再带着目的去听课，效率比你全程被动接受知识输出高的多。关于做题，这里有个很重要的点，不要光学学到的，要巩固下来。 刷题可以巩固知识点，自己做出来的题巩固效果最好。但问题是市面上的习题测题量都很大，一千题八八零、六六零每本都有上千道题，全做根本做不完。而且更让人头疼的是，你不知道哪些题该做，哪些题可以跳过。 我当时八八零有很多题不知道要不要做，有些题扫一眼，感觉思路有了，但又不确定自己真的会不会。有些题看着挺难，但可能就是我的薄弱点，需要练。 后来我发现智能型上 ai 猜你会不会功能可以预测题型测上的题我会不会做。我试了一下，发现有些我以为很难的题，系统显示我大概率能做对。反而有些看着简单的题，系统预测我可能会错， 我就按这个来筛选。预测能做对的题，我就扫一眼，有思路就跳过预测，可能做错的，我就认真做一遍，这样对照着来写。题型测，省了大概百分之八十的时间。以前做八八零可能要一个月，这样筛选之后两周就写完了，而且错题更集中，更容易发现问题。 等级刷到三之后，我试着做一千题强化片，正确率稳定在百分之八十五左右，那时候我才感觉技术真的大牢了。 关于知识点覆盖的问题，我也想说几句。去年专题考了一些冷门知识点，比如二四书一纲考过的复利业又出来了，书二考了趋利源，二五书一还考了薄松定律，网上说四十年没考，很多人说这些是老师没重点讲的，所以觉得考试不会出。但其实这些点我在智能型上都练过。 我记得当时刷概率的时候，系统推了博松定律的题，我还想着这玩意会考吗？但他一直推，我就老老实实做了。结果二十五年真题里真的出了一千八八零，大约覆盖百分之八十五的知识点，六六零是百分之七十五左右，但真题是可能考到任何知识点的，所以那些看着冷门的内容，该练还是得练。四、给纠结版本选择的你几点建议。 最后总结一下我的建议，关于版本选择新版。三是讲删减的，主要是边角料和难题，核心知识点都在基础，一般的同学用新版就够了，内容更精练，更容易吃透。二战的同学用旧版也行，但要跳过那些被删减的超纲内容。关于学习方法，记住， 不是听强化课就进入强化阶段了，强化阶段的目标是会做题，不是看完课。如果你现在一千题基础篇正确率还不到百分之八十，说明基础还没打牢，先别急着进强化。我给大家的建议是，一、 不要光学学到的，要巩固下来。二、刷题可以巩固知识点，自己做出来的题巩固效果最好。三、行动起来最重要，不要总觉得自己没准备好。最后说一句，版本选择真的没那么重要。我的感觉就是，学习过程中最重要的是抓牢你的薄弱点，不像习题册容易混过去，用什么教材跟哪个老师，这些都是形式。 真正决定你分数的是你学到的东西有没有留下来，知识点学得透，一步到位，周围的小知识点没有遗漏，没有反反复复的，忘了捡起来，忘了捡起来的拉扯感。感觉就是综测给一道新题，忽然能把会的知识点用上了，能自己做出来了，然后越用就越熟练了。新题自己做出来，这才是我们追求的目标。加油，你一定可以的。

张宇三十讲精选题讲解，我们来看到这个题给了两个极限，这算是一个题型，已知极限 a 要求极限 b， 我 们来看到法意泰勒， 你可以理解为这一类题目的通法都是泰勒。这个方法我也十分推荐， 因为什么呢？因为泰勒是无敌的，只要对于极限来说，泰勒是无敌的。我把这个极限记读 a 啊， a 等于 limit x 去于零 x 立方分之三引 x 加上 x 倍的 f x。 既然现在我们来用泰勒，那我需要知道一个问题，泰勒到几界呢？ 根据同阶原则，分母几阶，分子呢就展开到几阶，所以此时分母是三阶，咱们就把分子呢斩到三阶嘛。等于 limit x 去于零 x 立方分之 x 减去六分之一 x 三次幂，再加上 x 倍的 f x 加上 o x 立方。注意啊，拍勒展开要加上高阶无穷小，这个极限结果等于零。 好，到这里的话，咱们还需要再来利用同阶原则啊。同阶原则的目的，方便咱们推展开，还方便咱们来利用同阶可拆啊。 只要分子和分子的接是同接的，那么这个极限就能拆开。那么就等于 limit x 去零 x 立方根之 x 加上 x 倍的 f x 减去 limit x 去零 x 三次幂分之六分之一 x 三次幂，再加上 o x 三次幂。那么现在这个极限结果是存在的吧，它等于六分之一。把这个符号给拿过去，就变为了六分之一，等于 limit x 去零。咱们在这里呢，分子分母约去一个 x 就 变为了 x 平方分之一，一加上 f x。 哎，你看这个极限不就是刚好这题目让咱们求的 b 吗？那么故这个 b 就 等于六分之一啊。 好，这个极限结果啊，它是六分之一。所以呢，这个方法我很推荐啊，你只需要知道泰勒展开以及同届原则，就可以把这一类题目解决了啊。法二易用，解 好。什么叫利用结呢？刚才我们提到了是不是同结原则，分母几结，分子到几结，第二个是不是同结可拆呀？哎，你看，同结可拆，现在我们来做个分析啊， 分母是三结，你想一下，我们的等价无穷小， 有三阶的东西，它是有限的，那么这里有 sin x 是 不是很容易的联想到 sin x 减 x， 或者说是 x 减去 sin x， 它是三阶嘛？通过这个联想就可以通过阶这个思想对分子呢，偏向减向了。 lemit x 去于零，分母是 x 三次方，既然利用 g 对 不对？分子呢， sin x 减去 x， 再加上 x， 加上 x 倍的 f x， 哎，你看，那么利用 g 这个思想就可以把这一项极限呢给单独的拆出来，算了嘛，就等于 lemit x 去于零 x 三次方分之 sine x 减 x， 再加上 limit x 去零，把这里的 x 给约去了啊。跳一步， x 平方分之一加上 f x 的 极限为零。那你看这个极限结果 简单吧，因为什么呢？因为 sine x 减 x 等于六分之负一 x 立方，所以这里的结果是六分之负一给拿过去，又推出来了， limit x 去零 x 平方分之一加 f x 的 结果等于六分之一吧。相对来说，利用接这个方法其实和泰勒这个方法是很类似的啊，所以说还不如掌握泰勒就足够了，就足够了 好。那么问题来了耶，我凭什么想到是减 x 呢，对不对？你看这个利用街，这个三街的这些等加无穷小，它是不是很多呀？那比如说是不是 sine x 减去 arc sine x， 或者说是不是 sine x 减去减减零 x， 它是不是也是三阶呀，对不对？但是这里为什么要减 x 加 x 呢？ 这是因为后面这一项是加 x f x， 这里严格来说是否要减 x 或者加 x 或者减弹减停？加弹减停这个东西都是需要去尝试的好吧， 只不过刚好后面是加 x f x， 我 才想到了尝试一下去减 x 这个东西啊，这些东西都需要尝试，并不是说我可以一眼看出来不对啊，这个要尝试的，如果这里减 x 不 行的话，那么就换一个，好吧，就换一个啊，好，那么法三 法三的话，其实本质来说啊，我更推荐再选填用啊， 它算是一个特指法，注意啊，这个方法我已经锁死了啊，是在选填里面用，别瞎搞啊。好，那我把这个题目给接过来啊， 选填用特指法，哎，你看特指法就是特殊指法，就是找到一个特殊的 f x 嘛，对不对？这个东西是抽象的，我们需要把它干嘛，需要把它给句式化， 那么就是直接简单一点去掉极限符号嘛， 把符号去掉就得出来了，是不是 x 三次方，那这 sine x 加 x 被的 f x 等于零啊，那么直接一解就解出来，是不是 sine x 加 x， f x 等于零，即 这个 f x 就 等于把三 x 移过去，它是负的，是不是 x 分 之三 x 啊，检查一下啊。嗯， ok 的。 哎，你看这个 f x 都被咱们解出来了，要来算这个极限 b 简单吧，那么这个 b 就 等于厘米，它 x 去零 x 平方根之一减去 x 分 之三 x 耶，那不就是分子分母同时乘 x 吗？就变为了 limit x 去零 x 三次方分之 x 减三 x， 现在是不是分子等价为六分之一 x 立方，那么这个 b 的 极限呢？结果等于六分之一啊，好，那么你们可能会看解析，对吧，它是用了个啥？用了一个极限的托某法嘛， 相对来说啊，这个方法我并不推荐啊。那么如果非要来看一下的话，咱们可以来看到解析啊，已知极限 a 的 吧，这是 a 嘛？根据这个极限 a 呢，我们来把这个极限等式给拖冒了，好吧，给拖冒了，拖，为了被这个极限的函数等于极限，结果零，再加上一个 alpha x， 其中呢，这个 alpha x 它维度从小啊，那么 limit x 去零 r x 等于零，那么现在一样的呀，我可以根据这一个等式反解出来这个 f x， 那 么 f x 反解出来之后呢？再来带入到极限里面啊， 相对来说，这个方法我并不推荐，我还是觉得什么呢？我还是觉得，还不如把这个方法就直接理解为是一个特值法。好吧，不用那么繁琐的。