八下数学几何定理

这是网上很火的一个问题啊，说这两个和面谁的面积大，那一眼就能看出来，肯定是右边这个大，但是啊，我们学过一些反直觉的常识，就是说小学学的 叫同底等高，等底同高这些东西，一个矩形和一个平行四边形，它的面积可以相等，对吧？只要它的底相同，那么因为它的高天然一样，所以面积就相同。然后等到了高中呢，我们还引入了祖更 原理，就是说呢，一个微积分思想，把它切成无数个小细条，只要两边能一一对应的话，那么面积呢，就是一样的一个微积分思想。那有了阻更原理之后呢，我们甚至可以引入你的边是曲线都可以，只要你这个曲线呢进行了一个平移，那么 依然可以一一对应，对吧？或者我们说呢，所有这样的曲线呢，都是由这样的一个点为母线，对吧？进行平移生成的， 然后这个母线呢，沿着垂直方向的路程是一样的，也就是高是相同的垂直方向路程 啊，或者叫谓一，这玩意呢就是高，这样的话，高相同生成出来的面积就是一样的。然后我们再看这个问题啊，右边这个图肯定不是 这个曲线平移得到了，因为明显能看到，看这多宽，这多窄，我们仔细观察能发现啊，他其实是一个什么生成呢？是这样，这有一个五米的地，然后呢他像这个车的轮子一样 扫出来了这样的一个面积，这个距离呢是相同的，所以这两个曲线之间的关系呢，我们叫做等距曲线，形象一点的话呢，可以管他们叫这个铁轨， 因为铁轨之间的这个距离，就是这个火车的两个轮子之间的轴距，这个是不会变的。然后等距曲线母线，也就是这个 d， 它是怎么生成这个面积的呢？它是既有平移，又有自转， 平移加字转。而且这个很有意思啊，如果我们用火车来当研究对象的话，它是这样的两个轮子呢？如果速度一样，都是 v 往前跑，它的速度只能垂直于这个 d， 对 吧？就像这个等距曲线生成一样啊，速度都是垂直于 d 的， 如果两个轮子速度一样的话，那它就是平移往前走，如果不一样，我们的路程不一样，或者速度不一样，左右两边呢，产生了轮差，那么它就会一边往前跑呢，一边拐弯，就这样， 而这个拐弯拐了多少度呢？就是这个角度拐了多少度呢？是由两个轮子的轮差 除以这个 d 来决定的，为什么呢？因为你换系啊，换到其中一个轮子上去，另一个轮子呢？绕着他呢，就只会做这个圆周运动，那换完系之后呢，刚好就两个速度相减嘛，那么，呃，积个分的话，就是两个这个路程相减，这个很好理解。 那么这样的一种母线生成面积的时候，我们有一个线程的定力，可能很多同学听说过啊，就叫这个 巴普斯定律，或者我们叫古尔丁定律，它讲的就是这样的一个面积啊，求它非常简单，只需要找到这个 d 的 终点，然后呢，因为它的这个路程呢，每时每刻都是垂直方向的，就用这个 d 乘以它的路程 s， 就 等于这个面积大 a， 这个就是巴普斯定律。 所以再回看这个问题啊，两个河面哪个大呢？那肯定是右边这个大，因为右边这个中间走出来的路程越弯曲越长的话，它的面积跟这个路程是成正比的。那我如果只知道这个河的两岸的 这个路程长度，而我不知道这个中间的长度，怎么办呢？其实求一个平均值就可以了，不过和面这道题比较简单，为什么？因为他的自转角度啊，转来转去之后呢，最终又是平行的，你看啊，全部抵消了，他往左拐，也会往右拐，最终抵消。你看两个轮子 轴，初状态和末状态是平行的，所以就意味着呢，无论你在这个轮子上找哪一点啊，它的这个路程呢，都是一样的，因为没有轮差，你可以把这个轴上的任何一点呢，想象成有一个轮子。 巴福斯定律呢，还有很多妙用，比如说我要求这样的一个半圆，它的至心在哪？ 我们就想象这个半圆的面积呢，就是这个 pi r 方除以二嘛，它比如说至心肯定在对称轴上，肯定在对称轴上，那这个对称轴这个距离是多少呢？我们设为 x， 然后让这样的一个半圆形 旋转三百六十度，生成一个球体，而这个球的面积呢，就是 三分之四 pi r 的 立方，它是由这个二分之 pi r 方的半圆形面积，乘以它的这个 至心在自己垂直方向上的一个路程，也就是乘以二拍 x， 然后 x 就 求出来了，它有很多这样的一个应用，总之它不局限于这个现生面还是面生体几维都可以。那我如果想求一个半球形的至心呢？那你就得知道这个四维球的体积公式了， 然后我们证明一下，怎么理解这个 bops 定律呢？其实也很简单，比如说它不是提到了质心或者几何中心吗？我们就用杠杆定律来理解一下杠杆定律，就是说呢，选一个杆，有一个支点，把一个大石头呢放上去， 大石头是由无数个支点组成的，每一个支点呢，到支点的距离不一样，我们就说力臂是不同的 对吧，有各自的 li l 一 l 二 l 三，对吧？这个不同的 li 有 不同的 li 力臂是不一样的，当然力臂越大的话，它起到的旋转效果就是越大的，我们就可以想象成呢，每个 m 一 m 二呢，这个置点是等质量的，就相当于一个小同学，那么这个 l 力臂呢，就是他的考试成绩， 那么至心在哪呢？其实就是求全班的平均成绩，我们就这么写啊，每个小孩乘以自己的成绩，最后呢， 除以这个石头的总质量，得到的就是这个总的利弊，那也就是说至心如果在这的话，整个石头缩成一个点，就好像所有的质量呢，都压在这个利弊为 l 的 这个地方， 那么跟 box 定律有什么关系呢？这样在生成利举的时候，利弊就是它生成时候的这个效用，它的优势，那么我们还是找一个面对吧。然后呢，这有一个点像扇扇子一样啊，绕着这个点呢，扇出一个体积来，这个面积呢，这样扇出一个体积来， 离得越远，它山的这一瞬间呢，走过的弧长就越大，那么生成的一个柱形的体积，它的高就越大，所以说它的权重呢，还是正比于这个到它的瞬间旋转中心的这个距离， 那这样的话，如果我想求一个平均值的话，哪一点能代表整体呢？那很明显，这个 你扇扇子生成体积的过程，跟刚才杠杆定律生成力矩的过程是完全一样的，所以说就是这个至心，然后至心只有沿垂直方向才是有效的啊，才可以这个生成体积。所以我们就 很直观的理解啊，为什么巴普斯定律是跟至心有关的，然后用力举来理解呢？我们要注意力矩呢，有正有负，所以说这有一个杆，他原地旋转，绕着他自己的中心旋转， 那这样的话，它的中心一点速度都没有，用巴普斯定律来讲解的话，它每时每刻生成的面积都是零，那这个怎么理解呢？就是因为从这个中心出发，它两个方向啊，生成的面积呢？是哦，上面为正，下面就为负，每时每刻相消的啊，所以说在生成的时候呢，也要注意。 最后啊，这个定律我们不白学，可以用来求感应电动式啊，怎么求呢？就这样一个云墙电场 畅翔的是 b， 然后呢，有一个杆儿连着这个圆心在这绕，有一个限速度 v， 然后这个半径的是 r。 问啊，它的发出来的这个动声电动式为什么不是 b r v 呢？那很明显它又不是平移啊，圆心这一点根本不动，它的速度呢，是这样的一个分布， 随着圆心距离增大而增大，最终我们产生的电动势呢，是这个二分之一 b r v， 对 吧？我们用微圆法或者一些别的方法可以做，那用 b p s 定律怎么理解呢？很简单，就是这个杆的中心速度代表整体就可以了，中心速度是二分之一。那如果我是一个环形的磁场呢， 有一个杆在这切割呢，那就照样找这个杆中间的速度。那如果是一个杆原地旋转呢？为什么不产生电动式呢？呃，正常来理解的话，那就是两边呢产生的这个 电池呢，相互抵消，对吧？等效的一个电动式，用巴普斯定律怎么理解呢？就是它的正负面积相消 产生的磁通量一正一负，剩下的各种变体都一样啊，比如说一个金属棒，把它往云枪磁场里一扔，又有搅速度， 对吧？然后呢，圆心呢？又有一个，这个，这个杆的中心呢，又有一个 v， 又有 omega， 又有 v， 那 它每时每刻的这个产生的动生电动势是多少呢？那这个 omega 呢？肯定不产生， 因为它这个对这个杆的中心速度呢，是没有贡献的，它是自转的角速度，有贡献的就是这个 v， 对 吧？所以说这个 v 乘以这个杆的长度， 就是它生成面积的速度。但是要注意啊，随着这个杆的姿态不一样，因为它有自转，这个 v 不 一定永远垂直于这个杆。所以说呢，我们还要做一个这个投影，比如说有一条杆，它的 v 呢是沿杆的，那它就不生成面积，对吧？因为垂直方向的分量呢，是零。

我们已经通过研究呢，我们知道了整个四边形，他到底是玩什么啊？他玩的是边角、边角和对角线，那么基于四边形的各种边角和对角线，我们去研究什么呢？研究平行四边线的性质，平行四边形的判定我们会用他们啊，同时呢我们也会证明他们在这个过程当中 发展咱们的几何证明能力。今天我们来讲一个非常非常重要的东西，就是三角形的中位线啊，这个三角形的中位线为什么不是在三角形当中学？为什么在四面形当中学？那你待会就知道了，因为它的证明哎，如果用上平四，证明起来就会非常非常的简单， 同时三角形的中位线也是我们初中阶段处理中点非常非常重要的一个工具。我们说整个初中阶段啊，我们处理中中点就怎么办啊？就是如果是一般三角形呢，你就两个思路，要么是构造中位线，要么是备上中线造全等。整个初中阶段啊，对于一个一般三角形的中点来说，你就这两条思路，那他占一个， 对吧？他就这么重要。好了，那么今天呢，我们就先来证明三角形的中位线，然后初步掌握其构造和使用，这就是今天咱们的学习目标。好，那我们来开始啊，首先我们要认识中位线，我们说中位线到底是什么呢？中位线你可以形象的理解为 三角形的裤腰带，对吧？啊，我要给这个三角形勒个裤腰带，勒个裤腰带，那我是不是得勒到中间，大概中间的位置，对吧？你那裤腰带吧，中间的位置，中间的位置，所以我就得找到它两条边上的中点，比如说我可以找到 a b 的 中点和 a、 c 的 中点，哎，那我 d e 一 连就是一条裤腰带， 就是啥？就是三角形的中位线，所以什么是三角形的中位线？就是连接三角形两边中点的线段，是不是很好理解？连接两边中点得到中位线，好，来大家来想一想。那么按照这个逻辑啊，就是我们说只要连接三角形两边中点， 一连就可以得到中位线，那么一个三角形会有几条中位线？他一个三角形有三个中点，对吧？三个中点，哎，那我还可以找这两条蓝边的中点， 这两条栏门的中点，一个中点是 d， 比如说另外一个中点是 m， 那 我连接 dm， 其实也是他的一个中位线吗？啊，那么这个时候这个 dm， 哎，就是这么看，你相当于把三角形躺倒了，哎，也是他的裤腰带，好，那么还可以是什么呢？还可以是我看这两条边上的中线，那么就是连接 em， 所以 任意一个三角形，因为它三条边上都有中点，我任意连两个中点都可以得到中位线，所以就会得到一二 三这三条中位线。任何一个三角形都会有三条中位线，那我要去研究这个三角形的这个三角形中位线的特点，或者说三角形中位线的性质，哎，那我去看其中一条就行了，因为它都是完全一致的嘛，对吧？好，我就看这个 d e 这条中位线， 我看这条中卫线，哎，我想知道他有什么性质，有什么特点？那大家觉得你就看这幅图，你猜你感觉他有什么性质和特点？你觉得这个 d、 e 会跟哪条边有关系？他会跟 bc 有 关系？我，我中卫线了，这两个终点，你感觉一下，首先这两条边看起来就是什么， 就很平行吧？那感觉也是，反正他取他的终点，他取他的终点是一样的，对吧？这感觉也是平行的，看起来就平行。 然后呢？这平行只是位置关系，除了位置关系，我还有数量关系，数量关系就是看起来，因为是终点，我自然会想到二分之一，对吧？看起来好像他和他的一半也是相等的，哎，这就是我们感觉一下，就是第一应该平行且等于二分之一的 bc， 这是一个感知，那实际是不是呢？实际还真是。其实三角形的中位线定力就是在告诉我们三角形的中位线定律，就是在告诉我们三角形的中位线平行且等于第三边的一半。什么叫第三边？ 三角形的中位线是这两边取中点吗？这两边取完中点连了中位线，第三边至自然指的是 bc， 所以 d、 e 平行且等于 bc 的 一半， 这就是三角形的中位线定力。好了，那么首先我们去研究一个性质的时候，我要对他有一个这个什么，对他有一个这个感性的认知，我就觉得他应该是平行，数量关系应该是一半，接下来要干什么？接下来我们去证明他。所以我们今天的第一个重点任务就是证明三角形的中位线定力， 证明三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。好来，那也就是说这是如图，三角形 a、 b、 c 当中 d、 e 是 中位线，要去证明 d、 e 平行且等于二分之一 bc， 那 么要证明这个事， 大家有什么想法？那我肯定得做辅助线，对不对？来，咱都不说这个 d e 等于二分之一 bc， d e 等于二分之一 bc， 我 们完成这类证明最难受的东西是什么？ 这类证明里面最让我们难受的东西是什么？最让我们难受的其实就是这个二分之一。我们证线段关系，一般证的都是等量关系，我等量关系放在同一个三角形，我可以等角对等边证明等量关系，我等量关系放在不同的三角形里面，可以怎么样？ 可以通过全等来证明等量关系。也就说无论如何我们最终都是要去证明什么，就是我们要找线段关系，一般来说，我都只能直接的去找到等量关系， 那么我在做证明的时候，也要尽可能把这种谁等于二分之一谁，谁等于两倍的谁转化为等量关系去证明好了。也就是说啊，我要证明这个 d e 等于二分之一 bc， 我 要么找到二分之一 bc， 比如说我二分之一 bc 就是 一个 a， 对 吧？我证明 d e 等于 a， 这是一种想法，找到二分之一 bc， 那 很简单，那我就找到 bc 的 终点了，哎，找到二分之一 bc， 然后呢？我就证明什么，我就证明 b m 等于 d e 就 行了，这是一种想法， 找到二分之一 bc， 证明他俩相等，那还可以怎么样呢？哎，我把它左右两边同乘二二倍的 d e 就 等于 bc， 也就是说我找到两倍的 d e， 那 怎么找到两倍的 d e 呢？那我就怎么办？ 怎么找到两倍的 d e， 我 把它延长出去啊，我延长，比如说 d e 到 f， 哎，我使得这两段相等，对吧？这就是二倍的 d、 e 就是 d f， 然后呢，我证明 d、 f 等于 bc 就 行了，我就是证明这两个相等就行了，对吧？你看，无论是我找 bc 的 一半证明这两段相等， 还是找 d、 e 的 两倍证明 d、 f 等于 bc， 我 的想法都是要把一个倍量就是这个二倍关系，二分之一关系最后转化为等量关系，正等量， 这是我处理这类带系数的线段问题的思路，就是我把一般的数量关系转化为等量关系去证明，那么在这两个思路里面选就是，这是思路一，我是找 b、 c 的 一半，这是思路二。哎，我找 d、 e 的 两倍， 那么接下来我选，我就是要看哪一种方式更能方便的，哎，用上咱们的已知条件，哎，大家觉得你觉得一和二哪条路更容易往下走？大家觉得是一是吧？好，那我来来来，那就看一，你看啊，如果我想要证明什么？如果我想要证明这两条蓝线相等 啊，那其实就是感觉在什么？我又要证明他俩平行，其实要证明 d、 e 平行，斜等于 b、 m， 那 其实就是要证明这里有一个平四。 那我有的条件是什么呢？有的条件就是这 a 和 a 啊，这两段相等都设为 a， 这两段相等都设为 b， 我 有 a 等于 a， 有 b 等于 b， 这是我手里面仅有的。还有 c 等于 c 啊，这两段也相等， c 等于 c， 这是我手里仅有的条件，我有这些条件要证明这是一个平四。 大家觉得好证不好证，不好证，为什么不好证？你要知道我们现在就目前为止，我们要证明线段关系，其实最核心的这个工具就是三角形全等，而这里面只有两个三角形， 这两个三角形一个是 ab， 一个是 bc。 哎，这两个三角形，这你现在也看不出来，也没有条件证明它全能还是不全能，完全看不出来，所以这个这条路你就往下就走不通。但是我们反过来看这边， 这边我如果把这两个延长出去以后，得到一个圈和圈相等，那最终我要证明这个 d、 f 平行且等于 bc。 其实还是要证明什么？还是要证明这底下是一个平四啊。那么我们这个时候梳理一下条件，你看， 因为这是终点，所以这个 a 和 a 相等，这是终点，这是终点，那么这个 b 和 b 相等。来，我又延长出去一个圈和圈相等，比如说这是 m， 这也是 m。 来吧，你先别管底下平四不平四，你现在说你看到了什么？看到了来，对顶角 b 等于 b， m 等于 m， 这是不是就看到了这有一个八字全等呀？而这个八字全等会带来什么？八字全等会带来，这是 a， 这也是 a。 然后呢？八字全等会带来什么？会带来这个角是 r 法，这个角也是 r 法，从而这两条线是什么关系？平行的，这是 a， 这是 a， 这两条线还平行，哎，那么这个也是 a， 看 a 和 a 相等，这两条又平行，那就会得到一组对边平行且相等，这不就是一个平四吗？这是一个平四，不是整个问题就结束了吗？这是为什么我们要把这个中位线背长出来， 因为它可以利用已知条件找到全等三角形证明线段的等量关系。所以你会发现马哥刚才讲了这么多。马哥在讲什么？我是在讲中位线的证明吗？我如果要给你讲中位线的证明，那我直接延长出去，告诉你怎么证就行了。但是我讲的不是中位线的证明， 我讲的是什么？我讲的是以后你遇到所有的 d、 e 等于二分之一 bc。 这种证明问题， 你应该如何去思考？你要想，要么找一个的两倍，要么找一个的一半，如果你不确定到底是哪条路，你怎么办？你划出来看，划出来去对比，你看一下哪一个更容易把我们的已知条件盘活，能往下走，你就去走哪一条路。 我讲的是这个东西，我讲的是远远超出中卫线证明本身的东西，讲的是应用范围比证明一个中卫线有要有价值的多的东西。那么回来 回来，按照咱们刚才的思路，那我们要证明的话，我就先延长 d、 e 到 f， 对 吧？然后再连接 cf。 接下来我就要证明底下是一个平四，那么我们的整个的证明思路应该是分几层结构？应该是分两层结构，第一层结构我证明全等，第二层结构我证明平四， 对吧？哎，就是应该是这两层展开的，那我们一步一步来，咱们写一个完整的证明思路，哎。证明，先描述辅助线，如图， 这是第一步，把它延长出来，然后再连接 c、 f， 这是第一步辅助线描述好。然后呢？接下来我要说什么？因为是中位线，所以这两段相等，这两段相等对吧？要说清楚，因为中位线，所以相等，所以 a、 d 等于 d， b， a， e 等于 ec， 然后呢？我有 a， e 等于 ec 啊，又有什么呢？又有这个对顶角向呢？角一等于角二，我再来一个，又因为 角一等于角二，然后 d、 e 等于 df。 是 我们做的嘛？到这我就可以说明，所以三角形 e， a、 d 全等于三角形 e， a、 d 全等于三角形 e、 c、 f。 好， 有了全等，我为了得到什么呢？有了全等，其实我为了得到这两段相等，同时这两个角相等， 所以这个是 a、 d 等于 c f 角三等于角四。 好，我有了角三等于角四，可以进一步得到什么？我得到角三等于角四，是为了说明这两条线是平行线嘛，对不对啊？所以这个 ab 平行于 c f， ab 平行于 c f， 所以 现在我相当于得到了这两段平行且相等了。哎，所以我可以写这个 a、 d 平行且等于 c、 f， 又因为 a、 d 等于 db， 所以 db 平行且等于 c， f。 好， 到这，所以四边形 b， c、 f、 d 是 平次， 这是到这我们完成了平行四边形的证明，对吧？完成了平行四边形的证明以后来最后一步，所以 d、 f 平行且等于 b， c， 又因为 d、 e 等于二分之一 d， f， 所以 d、 e 平行且等于二分之一 bc， 哎，最后我说明了，因为平次我就可以得到这两条边是平行且相等的，他又是他的一半，所以他平行且等于二分之一 b、 c。 到这整个证明结束，这是整个中位线的证明。那么中位线的证明，我在最后最后给大家说一下干了哪几件事啊？咱们还是要清楚。首先说明中位线， 说明中位线就得到了两条线段相等，这是条件的准备，然后由这两条线段相等结合对顶角相等来说明全等，这是第二步，第一用中位线准备条件，第二，证明全等，证明全等以后，第三步证明平四， 第三步证明平四，这是整个平四的证明过程。来最后一步得出结论，整个证明就干了这么四件事，就是大家就反复在说，就是很多小伙伴一直在跟马哥去反馈 这个证明过程，不会写证明过程，怎么样才能去发展你的证明过程呢？就是在你哎，能够想明白思路，能够理清楚结构，能够有效的用逻辑语言去把它描写出来的 前提下，怎么办呢？你要反复的去写，你写出来以后跟标准的这个证明过程去对照，然后呢发现自己的不足，再把自己的不足改掉，你这样反复的去做，你证明过程就是一定可以去进步的， 就是证明如果写不好，那就是你没有想要把它写好，如果你想要把它写好，你按照这个过程去练，没有太多要讲的 注意事项，讲完以后，你按照这个方向去练，你练不了多久，你很快就很厉害了。好了，那么中位线定力我们正完了，接下来我们用中位线定力来试着啊，我们来试着去正一正好吧，来看看这道题， 他说如图就是三角形的中位线与第三边上的中线相互平分，那我就做一个如图啊，三角形第一是中位线，那意味着这两个都是终点 啊， a f 是 第三边上的中线，意味着 f 也是中点。接下来我要证明这两个相互平分来，大家有什么想法？我就说你要证明这两条线相互平分，也就是说这两个圈相等，这两个叉相等，你现在已经学过平四了，你要证明两条线段相互平分，你会有什么想法？ 要证明两条线段相互平分，正个啥？就结束了？正个平四是不是就结束了，对不对？哎？那我只需要把 d、 f 和 f 一 连，我只要能够证明这个四边形，它是一个平四，是不是就结束了？而正平四， 你会发现我连接 d、 f， 连接 d、 e 得到的都是什么东西？得到的全都是中位线。你连接三角形任意两条边上的中点，得到的是不是都是中位线啊？这两个中点啊，那肯定是中位线，它平行且等于它的一半，对不对？这两个中点那肯定也是中位线，它就是 来蓝的，是蓝的这条边上的中位线，所以他是他的一半，对吧？然后呢？这个绿的啊，这是终点，这是终点，那么 d、 f 就 平行且等于 a、 c 的 一半， 对不对？还有最后一个啊，最后一个，这两个也是终点，那么这个黄的是不是就平行，且等于黄的 这三条线全都是中卫线，所以黄的黄的平行，绿的绿的平行，蓝的蓝的平行，那就结束了。这两组平行，这两组平行，两组队员分别平行，这就是一个平四，那是平四，那么 a、 f、 d、 e 就 相互平分结束。那么接下来我要说一下，就是以后你但凡在三角形当中看到两个中点，你都要去抢中卫线， 这是要建立起来的意识，但凡看到两个终点，你把它连接起来了，你都要去想，这有可能就就出现中卫线了。好了，那这个题我们过了，来下一个。哎，你看看到这么多终点，你是不是就应该去想中卫线，我们来说一下啊， 就是但凡看到了多个终点，两个终点的连线，我都可以想中卫线。哎，那比如说这两个点的连线， 它是哪个三角形的中位线呢？就在这种比较复杂的图里，你一定要会判断 g、 e 的 连线是哪个三角形的中位线，哎，是三角形 a、 b、 c 的 中位线。怎么看？很简单，你就看这个 g 是 哪条边的中点， 这个 g 是 不是 a、 c 这条边的终点，这个 e 是 哪条边的终点， e 是 ab 这条边的终点。你把这两个一瞄，你看这条边和这条边，就把这个三角形是不是框出来了，这个三角形是不是就是三角形 abc， 所以 g、 e 就 平行且等于二分之一 bc。 就在这种比较复杂的题目里面，你要想知道两个中点的连线，它是不是中位线，是哪个三角形的中位线，那你就去看这些中点是哪两条边的中位线就 ok 了。 好，那我再问问大家。哎，我们说两个中点的连线就有可能是中位线，那么这个 g 和 h 这两个点连起来是不是中位线，那是不是中位线，咱还得看什么？ 还是得把这个终点放到线段里去看，你看这个既是哪条线段的终点，既是 a、 c 的 终点。好，再看这个 h 是 哪条线段， h 是 d、 b 的 终点。 来，请问这个黄的和这个蓝的有没有围成三角形？很明显没有嘛，对不对？那么黄的和蓝的并没有围成三角形，所以这个 g 和 h 并不是哪一个三角形两边上的终点， 所以它们的连线也不会是中位线，中位线一定是三角形两边上的中点，也就是说作为中点，你返回去看它的所在的线段，这两条线段如果是同一个三角形的两条边， 它才能是中微线，那我们就按照这个思路我们都找一下。你看，刚才我们已经说了， g、 e 是 三角形 a、 b、 c 的 中微线，对不对？好，来，我们再来找一找。哎，千万不要小看这个，很多小伙伴刚开始就是不会找，对吧？那我们来再看一下，比如说 g、 f、 g、 f 是 哪个三角形的中位线？ c、 d， a 很 简单， f 是 c、 d 边上的中点， g 是 c、 a 边上的中点。好，那么这个中位线是不是就出来了？这个 g、 f 就是 三角形 c、 d、 a 的 中位线，所以这两条线段是平行切同一半的。 好，再来我们把它都找完。好吧，那 f、 h 是 哪个三角形的中位线呢？很简单了， f 是 这条边中点， h 是 这条边中点，所以 f、 h 是 这个三角形的中位线。哎，那最后我们再来一个，那么这个 h、 e 呢？ h， e， h 是 它的中点， e 是 它的中点，所以 h、 e 就 平行且等于它的一半。好了，那么这样的话，这四条线段其实就是四个三角形的中位线。讲到这， 大家对于证明这个平行四边形有没有什么想法了？证明平四用哪条判定定律就证了，用两组就行了，用哪两组？比如说我如果选一个 g、 e， 那 我再选一个谁？哎，我再选一个 f、 h， 为什么呢？因为 g、 e 是 三角形 a、 b、 c 的 中微线， 我就可以写 g e 平行且等于二分之一 bc， 好， 因为 f h 是 三角形的 d c b 的 中位线，所以 f h 也平行且等于二分之一 bc， 哎，这两个放在一起，所以 g e 平行且等于 f h， 对 不对？它和它平行且相等，所以这不就是平四吗？ 结束，那所以这道题我是在给你讲如何证明四吗？其实也不是，这道题你学会的应该是什么？应该是如何确定两中点连线是 哪个三角形的？中位线？就是要看那个中点所在的线段围成的三角形。接下来我们用中位线来做一做计算啊。首先这是一个等边三角形啊，等边三角形呢？我们知道这三条边都相等，接下来这两个点都是中点，就说说明什么？说明这个是五，这条边就是十， 那么这条边是十的话，哎，那就会导致这两条边也都是十，这两条边也都是十，那这两个也都是五，所以五加五加五加十，最后答案就是二十五。结束， 哎，这就是用什么中位线平行且等于底边的一半。看到两个中位线，想到数量关系，来吧，兄弟们，来下一个这道题，我们依然看到两个重点，看到两个终点，肯定要想中位线，那么这个 e、 f 这两个中点的中位线， a、 b、 d， 哎，你看这个 e 是 ab 的 中点， f 是 ad 的 中点，那么 ab 和 ad 就 把三角形框死了。有的小伙伴说，那 bd 没有连怎么办？连起来对吧？ 为什么要连起来？连起来就是为了让这个 ef 作为这个三角形的中位线，那么中位线就会得到什么？我一旦看到了这个 ef 是 三角形， abd 的 中位线就会得到 bd 等于十二， 同时还会得到什么？同时还会得到这是五十度，这也是五十度，所以中位线一定要注意啊，中位线一定要注意，很多小伙伴用的时候只能想起来它的数量关系， 千万不要忘了它还有位置关系，就是数量关系是二分之一关系，位置关系是平行关系，这两个一个都不要忘了，你看到六至十二，这是数量关系，同时这俩平行，这个五十度，这个也五十度， 数量关系，位置关系，一个都不能少。好吧，好，再接下来我要看这个大角呢，那我是不是就看这个角了，看这个角我怎么办？我往这个三角形 dbc 里面去放这个三角形，我想知道这个角是多少度，有啥想法？我支三边验直角吗？支三边验直角，你看 三边都知道三边，为什么说支三边一定要去验直角呢？因为支三边的话，这个三个角肯定都是确定的， 而我们现在没有学三角函数之前由边推出的角，那我这三边也只能推出个，要么就是三边相等的，就是等边啊，要么就是直角，对吧？好了，那么接下来你看这九十二十五，那是一个三比四比五的三角形吗？这是一个三四五的三角形，就会导致，哎，那么一定会有，这是一个九十度， 这是勾股定律的逆定律，但是你要有这个意识，你要想着去验直角，好了，那么到这完了，五十度加九十度，一百四十度结束。 好吧，那么这道题就是，这就是一个简单的中位线构造了啊，你看到两个中点怎么办呢？你要把这两个中点所在的三角形给他画出来，这个三角形画出来以后，这是六，这是十二， 这是五十度，这是五十度，就是数量和位置关系，一个都不要忘。好，来，下一个。好。这道题的第一步， 首先应该要去干什么？首先要三线合一，因为这个 b、 a 是 等于 bc 的， 这又是九十度，所以这条线应该是三线合一的线，就会得到这两个角相等，那么 d 也是 a、 c 的 中点，对吧？你看你看到等腰三角形，看到底边上的高，肯定要想到三线合一，接下来这是第一步，第一步就是三线合一，接下来我就看到了什么？看到了两个中点，两中，你肯定要去想中位线，而且这个中位线是 非常明显的中位线，就是什么？这个 e、 d 应该是这个三角形 a、 f、 c 的 中位线， e、 d 平行且等于二分之一 bc， 所以 这是五，这就是十，这是十四减十，这就是四。结束就是两步三线合一，得到一个中点， 两个中点你去找中位线。这道题结束，那我们来最后一个题来看好了。首先我们看到两个中点，我还是要想中位线， 那么它是谁的中微线呢？那你就看 e 是 dm 的 中点， f 是 m、 n 的 中点，所以我这个时候一定要连 d、 n， 那 你会发现 d、 f 就是 三角形 d、 m、 n 的 中微线啊， e、 f， 那 么 e、 f 就 等于二分之一 d， n， e、 f 就 平行且等于二分之一的 d、 n。 为什么我们要去做这个转化呢？因为你会发现，我要直接考虑 e、 f 的 这个取值范围，并不好考虑，但是由于它和它之间存始终存在一个二倍的关系，所以我看 d n 的 数量关系，看 d n 的 这个取值范围就行了，而 d n 的 取值范围太明显了，这是一个定点， n 在 这条线段上去动，那你说动到哪里最小？ d n 动到哪里最小？ n 到 a 是 不是最小？ n 到 a 是 不是垂线段最短，对吧？垂线段最短，所以它就大于等于 d a 小 于等于什么呢？哎，那你看 n 走到哪里，这个 d n 会达到最大，你很明显，这个 n 走到 b 的 时候，这个 d n 是 不是就不能再长了？这是不是就是 d n 的 最大值就是 d b？ 所以你会发现，你只要把这个 ef 转化为 d n 的 最值，这个 n 在 这最小，在这最大，一目了然，那一目了然呢？最后我们看一下， d n 的 最小值就是 d a 就是 五， d n 的 最大值就是，这是五至十二，那么 d b 就是 五十二、十三，所以 d n 对 吧？而 ef 是 等于二分之一 d n 的， 所以 ef 就 大于等于二分之十三。到这整个问题结束， 这就是用中位线去完成转化。当我们发现 ef 的 最值没有办法直接求的时候，我看一看 d n 的 最值就行了， d n 的 最值一目了然。整个问题结束。四有什么用？四没有什么用，四就是给你规定了这个 m 不 动， m 是 个定点，其实根本用不上，对吧？它是一个干扰项。好了，那么通过这道题，其实我们要明确这个中位线的数量关系，还可以帮助我们去完成转化， 对吧？帮助我们完成转化。如果你看到两个中点，这条线段不好处理，你可以转化为它的底边，换句话来说，有时候底边不好处理，你也可以完成中位线，因为它有一个二分之一的数量关系，所以我们可以完成转化。好了，那么到这你会发现马哥选的这几道题都是想跟你说点什么呢， 对吧？第一，你可以想到中位线的，首先利用它，最简单的，这是数量关系，这是第一题，你要会利用中位线的数量关系去进行求值，这是第一道题， 那么往上一点点，你要记住，中位线不光有数量关系，还应该有位置关系，对吧？所以像这道题，你注意到数量关系的同时注意到平行，注意到这个九十度，这是解这道题的关键。好，同时呢，你要会找就是 e 和 f 是 ab 和 ad 两条边上的中点，这个时候你要主动的去连 b、 d， 把它造成一条中位线，因为这道题原本它其实不是中位线，因为三角形没有出来，我连 b、 d 就是 为了把这个中位线，把两个终点的连线给它造成中位线， 这是这道题的想法，数量关系，位置关系基础的中位线的构造。再往下就是这道题了，这道题就是你需要主动的去发现终点了，你看到两条腰相等，然后又有高，所以三线合一，你自己找到一个终点，你自己找到的这个终点和人家原本的终点，两个终点拼成一条中位线 啊，拼成一条中位线，然后再用它的数量关系，这是第三道题来最后一道题，最后一道题是用中位线完成转化，你会发现这两个点的连线是中位线，那么这个中位线平行且等于底边的一半，你把这个 e、 f 的 问题利用中位线转化为 d、 n 的 问题， 因为他们之间有一个二分一关系，我就可以用中位线完成线段的转化。这道题一转，整个问题结束，这也是未来中位线很常用的一种处理思路。能不能取等，是吧？能不能取等你画一下就行了嘛。取，等的时候来取。等的时候 n 在 这， n 在 这，然后呢？这是 m n， 这是 m d， 呃， f 不 就在这嘛，对吧？那么 ef 不 就在这嘛？ 来，能不能取等，这是这边取，等，这边取等，等于五的时候在这，等于五的时候在这，这是 f， 这就是二分之五， 这就是二分之十三。能不能取等，可以吧，就是能不能取等你画一下就好了。而且人家这里说的什么 n 为线段 a、 b 上的动点，线段 a、 b 有 没有包含 a 和 b？ 肯定有嘛，但是考虑能不能取等，这是一个非常棒的意识啊，就是你提出这个问题，你也很棒，考虑能不能取等是一个非常重要的意识，但这道题是显然可以取等的。好吧，好了，那我们今天就到这了，整个四边形啊，平行四边形， 从四边形的研究对象到平四边形的性质，判定到三角形的中位线，所有的内容讲完了，来，再看一下所有的目标，这五个目标有没有达成啊？今天的三角形的中位线定理的证明啊，我们不但正了，我们还把这个定底的证明拓展到了什么，以后如何处理这种二分之一的系数问题， 然后初步掌握其构造和使用构造。有没有讲？肯定有讲，对吧？两个边上的中点怎么办？连底边不就构造了吗？对吧？使用当然也有说了，对吧？这是今天的内容。 那么在以上的证明过程当中，发展几何证明的能力，我相信如果你都听明白了，都听进去了，下来好好练，你的几何证明的思路肯定要比以前强得多，好吧？

这个直角三角形斜边中线地理啊，是八年级学生必须掌握的，那这个工具卷王教材助手，初中全科电子资料都有，免费高清下载打印， 有需要的可以拿回去刷一下。但是他们两个变形啊，也是同样重要的其中一个，对于我们后期理解四点共圆也是非常有帮助。 好，我们一起来看一下。那么讲这个题目之前，我们要带大家回顾下什么叫做 r t 三角形斜边中线定义呢？举个例子来说啊，当我们一个直角三角形 a、 b、 c 当中 地点作为斜边 a、 c 的 一个中点，现在呢，假如说我把此时的 b、 d 也是我们的中线啊，给它连接起来之后啊，朋友们可以得到这里的 a d 等于 cd， 也是等于 b d 的 好，那么这个呢，就是我们教材上的 r g 三角形斜边中线定义， 那么它的两个变形也是同等重要的啊，同学们看一看，好，我们把已知条件做一个变形。你说现在呢，九十度角 abc 还是给大家 此时的地点不再是 a c 的 终点呢？我们把它改成这里面出现一个等腰一座， a d 等于 b d。 但我想问下大家，这地方的 b、 d 和 c、 d 是 不是也相等呢？你说我还能不能得到我们刚才推的三条线的相等答案？当然是肯定相等的，那么这个证明的方法也比较简单， 我们只需要倒角就可以了，比如说你这边呢，是等幺三角形 a b、 d， 因此呢，我们可以设两个底角为 x 和 x 八，那么这样的话呢，同样可以发现这里的角 c 啊，整个内角和都是一百八十度，那么他跟我们的角 a 可以 看成是一个余角，所以说我们这个地方角 c 呢，也是九十度减 x 八。 好，那同样道理，再来看一下你的这个角 d b c 啊，那么很自然也是九十度减 x， 那 么我们这个地方两角相等，因此呢，我们可以通过角度啊角得到我们的 cd， 就 等于 b d 也是等于 a d 的 啊。好，那我们紧接着再来看一下它的第二个变形。好，那么现在呢，把条件改成 已知的三条小线段相等，那么能不能证明呢？ 答案当然也是肯定的，对吧？好，我们来看一下，一样的也是通过倒角啊，只不过我们这个地方都是一个未知数而已，那我们这个地方等于幺三角形呢？ x x y y， 是 不是由于说整个内角和是一百八，所以我们可以得到二 x 加二 y 是 以一百八十度，那么 s 加 y 呢，是不是就等于九十度，就非常容易证出来了？也说到这里啊，同学们是不是又多学了一种证明垂直方法了？好，那我们回到填坑中来， 题目中呢，他只给了两个矩形，一个矩形 a b c d， 外加一个矩形 p e f d， 要我们去求证 p c 垂直于 c f， 那 我们能不能借助刚才所讲的这个变形去挣它垂直呢？同学们可以发现啊， r t 三角形斜边中线定力的这个变形来看的话，是不是 你必须得是一个直角三角形才行，但它现在呢，只是一个直角，要我们去这，因此呢，我们这边第一步肯定是要把这里的 p f 给大家连接起来的。好，同学们再来想一下，你的 p f 呢，正好又是矩形 p f d 的 一条对角线，对吧？那么根据矩形的性质， 很自然是不是就应该把另一条对角线可以连接起来？比如说我们连接 p f 第一交于 o 点啊，同学们是不是就很自然可以得到此时的 o 点呢？既作为 p f 的 终点，也作为我们第一的一个终点，对吧？那么 p f 呢，又是我们三角形这个 p c f 的 一条 斜边，因此呢，我们按照我们刚才的呃模型来看，我们这边可以把 o c 给大家连接起来，那我们下一步是不是只需要正这个 o c 啊，等于 o p， 再等于 o f 即可，对吧？好，那么这个地方该如何证明呢？你看中还有一个矩形我们还没用到啊，那细线同源应该可以发现此时的矩形 a、 b、 c、 d 给我们的作用是什么呢？我们可以知道这个地方角 b、 c、 d 啊，也是一个已知的九十度，那这样在三角形 c、 d、 e 当中有存在一个斜边中线的一个定力。好，有时候我们的 o 点呢，它也是作为 d 一 的一个终点，对吧？那么这个地方就可以得到此时的 o c 啊，就等于 o d 也等于 o e， 那 自然而然这五条线段是不是都相等呢？下一步啊，我们再去设未知数倒角，这样自然而然是不是就可以按照我们刚才所讲的，把这个地方的 pc 垂直于 c f 给大家正出来了？ 好，那么这个模型的一个变形是需要大家熟练进行一个掌握的，除了直角三角形斜边中线地理能直接用以外，另外两个变形都是需要推倒的，这个在大体当中是不能够直接用的，因此呢，倒角证明也会。

初二一共有两大亚洲难点，一个是四边形，平行四边形，另外一个就是依次函数，那有关于四边形这里的几何证明，又是我们中考的一个大考点，那有关于这一块的证明以及基础的计算，大家一定要在这个假期就落实掌握。 那老师今天通过这个视频带着大家一起梳理一下平行四边形的性质。那有关于平行四边形性质判定，这里历年考过的真题易错题，我也给大家总结出来了，性质判定不熟练的抓紧去刷，把过程在假期给他磋实 清楚了，我们后面再去拔高题思维。下面咱们来一起看一下这道题啊。如图，平行四边形 a、 b、 c、 d 当中 a、 d、 c 的 平分线啊，角平分线 交 bc 于 e， 告诉你 a、 d 等于八， b、 e 等于二。问你 ab 等于多少？那我们知道啊，这个为八，这个为二，整个这条线段的长度是可以求出来的，八减二，也就是六。 想让问你 ab 的 长度为多少，我们可以求出 ab， 是 不是也可以求出 cd？ 因为平行四边形对边相等， c、 d 怎么求呢？由于平行四边形有一个性质叫做角分平等腰成有角平分线，有平行线，必然出等腰，所以这个小的三角形是一个等腰三角形， e、 c 的 长度为六，那 c、 d 的 长度就为六了。那记住这个模型我们很多选填题都可以秒杀出答案了。

一分钟学会一个解题大招！给出一个三角形，顶角为四十五度，高视时这条线段长为四，求另外一条线段的长度。这道题用常规方法相当麻烦，如果知道半角模型，那就完全不一样了。什么是半角模型呢？ 给出一个正方形，有这样一个夹角，等于四十五度，称之为半角模型。这里有个四十五度，那我们也可以将其构造成半角模型。我们将这个三角形翻折出去，这个三角形也翻折出去，便得到这个角为九十度。这里一共有三个直角，分别延长这两条边，便得到一个正方形。 半角模型构造完成。接下来感受一下秒出答案的快感， 记得点赞关注哦！

接下来我们来聊一聊平行四边形的判定啊，那到底我们研究判定研究的什么呢？首先我们已经知道了平行四边形的定义，对吧？那么定义什么呢？定义就是两组对边平行，只要两组队员平行，它就一定是一个平行四边形， 那么你会发现我说这个定义它本身就是四边形平行四边形的一条判定定律，因为我一定可以通过两组对边平行证明一个四边形是平行四边形。那么接下来我要探索其他的判定定律，那么我探索其他的判定定律，其实就是要问问自己 还有哪些条件，还有哪些条件我可以推出两组对边平行，只要这些条件能够推出两组对边平行，那么它就是一个平四，那么这些条件就可以直接正作为平行四边性的判定定理。 再说一遍，什么叫探索平行四边性的判定定理？我就是要去想一想，除了两组平行以外，我还能不能通过其他的条件 推出两组平行，只要能够通过这些条件推出平行，就可以得到平四，从而我也不用每次都推平行了，我就可以直接把这些条件作为平行四边形的判定定理，这就是探索判定定理的 过程。那么到底有哪些条件，我自然还是要从边角对角线的角度去考虑吗？我是不是还是要从边角对角线的角度去考虑？首先第一考虑边 边，我已经说了两组平行可以正，两组平行， 我就可以判定这个四边形是平行四边形。好，那我们来想想，除了两组平行，那自然我可以想到两组相等，两组对边相等行不行？那问题就是两组对边相等能不能推出它的定义？两组平行能还是不能？这肯定可以嘛，通过什么来？那我连个 ac 是 不是好了？那我是不是连个 ac？ 既然两组相等，那就是圈和圈相等，勾和勾相等，这个时候我只要再连一个 a c 就 可以秒得什么？边边边是不是正全等了？秒得边边边全等。这两个一旦全等，我是不是可以得到阿尔法等于阿尔法， 贝塔等于贝塔。那不结束了吗？阿尔法等于阿尔法是不是可以得到这组平行？贝塔等于贝塔是不是可以到这组平行？ 而由两组平行之，是不是就可以判定平四？所以我由两组相等可以得到两组平行？两组平行本身就可以推平四，所以两组相等也可以推平四，所以两组相等就是判定定律，就是这个逻辑。好， 那我们说了边可以两组平行，可以两组相等，那么边还可以用什么条件呢？我用两组边平行，两组边相等，我还用什么条件？一组平行写相，哎，那我们想想，一组哎，都排列组合一下嘛。两组都用了一组，他又平行又相等，行不行？ 那显然也行，还是什么一组平行写相等，我还是连 ac， 那 么我假设，哎，已知 a d 平行且等于 bc， 哎，能不能推出两组平行的？肯定可以嘛，首先 a d 和 bc 已经平行了，然后平行就可以得角相等，角相等来，呃，这是一组角，然后呢？一组边再来一组公共边。看原本 a d 和 bc 相等， 角平行得等角，再来一组公共边是不是又得这两个三角形全等？这两个三角形全等以后，是不是又得贝塔等于贝塔， 对吧？ beta 等于 beta， 那 么这是不是又两组平行了，对不对？所以由平行写相等，也可以推得两组平行，也可以推得它是一个平四，还是正一个全等结束。那么到这呢？两组平行，两组相等，一组平行写相等，所有边可能性的组合我们是不是都说完了， 对吧？所以呢，光边平行四边形的判定定律就有三条，但这三条你不需要去死记硬背，你要理解哥的探索过程，你自己把它探索一遍，你就记住了。那么接下来啊，接下来我们来说一说角的问题。 角，我们来想一想，如果两组对角相等，角，我们说平四的性质是两组对角相等，那如果我告诉你两组对角相等，能不能得他是一个平四，这肯定可以吗？怎么可能不可以呢？来看一下 阿尔法阿尔法相等，贝塔贝塔相等，那你会发现两个阿尔法加两个贝塔四边形内角和二阿尔法加二贝塔是不是等于三百六？ 那么阿尔法加贝塔就是多少？是不是就是一百八？阿尔法加一百八来这个阿尔法加这个贝塔一百八，说明 a d 平行于 bc， 再看这个阿尔法加这个贝塔一百八，说明 ab 平行于 c d。 看由两组对角分别相等，是不是可以推出两组平行？ 你都推出两组平行了，是不是可以推出它是一个平四？所以两组对角相等一定可以让它回到一个平四。边有了，角有了，那我下来是不是研究对角线？哎，你看，研究四面形，永远说边角对角线，那我研究它的对角线， 那我由对角线相互平分，能不能证明它是一个平四呢？肯定可以嘛。对角线相互平分，那是不是有圈等于圈，叉等于叉，再结合一个对顶角相等，就说明什么？圈等于圈，叉等于叉，再结合一个对顶角相等，说明这两个三角形就怎么样？ 这两个三角形是不是就全等了？这两个三角形全等就可以得到什么？是不是就可以得到角一等于角二和 a、 d 等于 bc， 对 吧？好，首先 a、 d 等于 bc 了， 在角一等于角二，是不是可以推出 a、 d 平行于 bc？ 好， 那你会发现我是不是推出了什么？我由圈等于圈，叉等于叉，推出了全等，推出了一组对边平行且相等，而一组对边平行且相等。刚已经说了可以正平四，所以对角线互相 平分，可以推出一组对边平行且相等，一组对边平行且相等，它就是平四。 来吧，兄弟们，到这边角对角线的所有判定定律结束。那么接下来前边呢，我们是给出了大家五条判定定律的什么证明的原理，接下来我们还是给大家写一写这个 具体的证明的过程，好吧，具体的证明的过程，比如说我要证明对角线互相平分的四边形是平行四边形。那怎么办？ 我第一步还是先干什么啊？我要让你证明这个判定定律，咱第一步还是要先干什么？哎，一定是先画个图嘛，对不对？先画个图，有对角线的平行四边形先画出来，然后写已知四边形 a、 b、 c、 d 两条对角线， a、 c、 b、 d 相交于点 o， 且告诉你相互平分， o， a 等于 o c， o、 b 等于 o d。 求证，四边形 abcd 是 平行四边形。好，那么按照我们刚才证明的思路，第一步是什么？先证全，等证完全等，就可以得相等，得等角，然后再得平行结束。好吧，我们想清楚原理以后，我们就开始来证明，因为 o、 a 等于 o c， o b 等于 o d， 这里还有一个对顶角，角 a、 o、 d 等于角 b、 o、 c。 好， 把条件摆清楚。所以注意不用再问我那个大括号的事了，就是那个要写一个大括号那几段式的那种写法。那老黄利了，新版本的教材都把那个删了。好吧，不用，不用再问我了，好吧，如果你学校老师一定要让你写，你听你学校老师的 好不好？咱们不纠结这个啊，来，三角形 o、 a、 d 全等于三角形 o、 c、 b 好， 全等以后我就可以得到什么，我就可以得到 a、 d 等于 bc， 角一等于角二， 而又因为角一等于角二，你看，这是第一步正，完全等以后我就可以继续写了。角一等于角二，可以进一步推出 a、 d 平行于 bc， 这是什么？这是一组对边平行且相等，所以四边形 a、 b、 c、 d 是 平四。这样我们就证明出来了，只要是对角线相互平分，他就是平行四边形，判定定力得正好了。那么其余的判定定力呢？大家可以自己动手下来哎，去证明证明。好吧，来，咱们继续 这个题，这个题大家看一下怎么正？你要证明这个四边形是平行四边形，你会用什么判定定力来正啊？看一下这个，他告诉我们 ab 是 等于 b 的， 由 ab 等于 b， 那 我肯定可以得到这个，这个角是 r 法，这个角是 r， 他 会告诉我们什么 a， e 是 角分线， a， e 是 角分线，那这个是 r 法，这个也是 r 法。好，这两个角相等，我是不是就得到第一组平行了？ 一组平行是不是有了？那这个时候我就想证另外一组平行了，他会告诉我们这个贝塔和这个贝塔相等，那不是很简单了？来，注意，因为这一组边平行会得到贝塔，加两个 r 法是一百八， 对吧？因为这组边平行，贝塔加他一百八，哎，那贝塔加他一百八，那么这个角和这个角他是不是也互补，这也是贝塔吗？这也互补， 那么这两个互补是不是第二组平行就出来了？所以两组平行结束，对吧？两组同方内角得平行结束，好吧，接下来我们来写一下证明过程，注意，你分析的时候可以把相同的角都写成阿尔法，都写成贝塔， 但是你在证明的时候，你能不能这么干？能不能写 alpha 等于 alpha， 不 能这么干，证明的时候你就得把它们标成不同的角去写等于了，对吧？我就把这些角度标一下，这是一，这是二啊，这是三，这是这角 b 和角 d 不 用标了，好吧？来证明，我们就一组一组 m 先证第一组平行来，因为 ab 等于角三， 因为 a e 平分角 b a d， 所以 角一等于角二，所以角一等于角三，所以 a d 平行于 bc， 这是第一组平行，对吧？接下来我要说第二组平行了，第二组平行是怎么说的呢？因为第一组平行，我可以得到这两个角互补， 而这两个角又相等，所以可以得到这两个角互补。所以下来这组平行， a、 d 平行于 bc 了，所以角 b 加角 b、 a、 d 等于一百八十度。 又因为角 b 等于角 d， 所以 角 d 加角 b， a、 d 等于一百八十度。哎，我就得到了这两个角相加等于一百八，这两个角相加等于一百八，就得到这组也平行了，所以， 所以 ab 平行于 cd。 好 了，来看一下，这是第一组平行，这是这道题的第一层结构，证明第一组平行，这是第二个同方内角互补，证明第二组平行，这两组都平行了，所以四边形 a、 b、 c、 d 是 平四。看，就是你写证明过程的时候，一定要头脑非常清晰，分为几段，干几件事，每一件事得到什么结果， 所以马哥不断强调什么，一思路，二结构，三逻辑语言，对吧？每一个都要到位。好吧，证明如图啊，如图啊，要写如图的这个这两个字。要的啊， 这道题，首先人家给了已经有一个什么，已经有那个 o、 a 等于 o、 b 了，我又要证明 a、 f、 b、 e 是 平四，那我肯定要想着正这两个叉相等，正他是一个对角线相互平分。一般来说，那些判定定理啊，就是有啥条件你就往哪去凑，对吧？你有一组平分，你要想到另外一组也平分， 对吧？好，怎么去证明？看条件怎么证明。告诉我 a、 c 是 平行于 b、 d 的， 又告诉我们这两个勾相等，哎，那不就结束了吗？这平行就可以有一个八字全等吗？这个阿尔法等于这个阿尔法 对顶角相等，这就会有一个八字全等，所以这个证明的第一步，哎，是证明一个八字全等，就是证明一个 d， 证明一个正。三角形 oac 全等于三角形 obd。 好吧，这个全等很明显。角相等，因为平行内错角相等。对顶角相等，勾等于勾角边角正全等。由这个角边角正全等，我就可以得到什么呢？我就可以得到这个 o d 是 等于 o c 的 来，这是第一步，这是证明的第一层。那接下来我们证明的第二层是什么呢？又因为 e f 是 终点， 因为 e f 是 终点，我可以得什么？哎，我可以得这两段相等，这两段相等。而前面又证明了 o d 等于 o c 了，那就可以得到 o e 等于 o f 了， 对吧？这是中点。 o d 等于 o c， 就 可以得到 o e 等于 f， o e 等于 o f， 又什么？又？ o a 等于 o c， 这就是这道题的第三层了，对不对？接下来最后说明，对角线相互平分，所以四边形 abcd 是 平四。 第一层全等得 o d 等于 o c， 终点得 o e 等于 f， 结合 o a 等于 o c， 对 角线相互平分得平四， 这就是证明思路啊。我就不写那个具体的证明过程了，所以其实很多时候想清楚结构是非常非常重要的，接下来你就补细节，把它写出来就好了。 afbe 啊， afbe 写错写错了啊， afbe 啊。 下一个证明，这个 m f n e 是 平四，哎，这道题是既要用到平四的性质，又要用到平四的判定了。这道题咱用哪条判定定律来？正平行且相等非常好。这道题，首先，人家告诉我们这两条线段相等吗？ 这两条线段相等，那光相等没有用，对吧？这两个圈相等没有用，我还可以由原本的平四得到这两个，或不仅相等，它还平行。 那你可以想到什么？原本大四边形是平四，所以这两个圈他不仅相等，他还平行，那你可以想到什么？平行且相等。以后看到平行且相等，你是不是要想到这或是一个平四啊， 对不对？这或是一个平四，我就可以得到什么 e、 d 和 b、 f， 他 也平行且相等，再来，这又是中点，这两段平行且相等，那你说他是不是平四，他肯定是平四， 这就是整个的思路。好，第一，你还是要想清楚，先由大平四得什么平行，对不对？好，证明， 因为四边形 abcd 是 平四， 所以 ab 平行 d、 f 好， 这是第一步。第一步，由平四得一个平行。哎，又因为这个，人家说了 b e 等于 d f， 你 看这有平行，有相等了，所以四边形 b， e、 d、 f 是 平四。好，这是第二层，我得到平四了，这是 d， 用了一个性质，对吧？这是平行四边形的性质。用了一个性质， 然后呢？由性质得到了这两个条件以后，再来一个判定。好吧，这是判定，判定完以后，由判定再用性质。由这个四边形是平四，我再用性质，所以这个 e、 d 平行且等于 b、 f， 这是 e、 d 平行且等于 df， 对 吧？由它到它又是用一次性质。对边平行且相等的性质，对吧？好， e、 d 平行且等于。看 e、 d 平行且等于 b、 f， 又因为 m、 n 分 别是 e、 d、 b、 f 中点。 哎，又因为他们是终点，那我就得到了这道题的关键性结论。关键性结论就是，所以 em 平行且等于 fn 看，因为是终点嘛，终点就说明这这这是全场的一半嘛，所以他们的一半也平行且相等。哎，所以直接平行且相等得平四。四边形 emfn 是平四来又用了一次什么？最后一步又来了一次，判定对不对？看第一步， 由平四得平行结合题目已知，相等得平四，由平四再得平行且相等。结合终点得到我们要的平行且相等，平行且相等判定平四。哎，这道题没有什么如图啊，这图是题目给的，没有啥如图了。如果你要标一个，这是角一，这是角二，你得告诉他如图这道题有啥好如图的。你要做了辅助线，你得说如图， 你要标了，你给图上贴心的东西，你得说，如图这道题有啥好如图的，这道题他不知道如图。来，再明确一下，我们今天搞定了哪些东西？第一，类比三角形，明确了四边形的研究对象，搞定对吧？我们通过证明，我们把各种性质与判定都证明了，所以 千万不要试图去死记硬背，一定要了解刚才我们整个的这个什么探索过程，自己能够把所有的性质和判定按照边角对角线去进行归纳整理，证明总结， 一定你要自己能够搭出结构，你要知道性质看什么边角对角线，判定看什么边角对角线。自己要能够把所有的性质和判定根据平四的定义推导出来，这是这节课听完以后你对自己的要求。 好吧，因为这个推导的归纳整理的过程，会让你发展你的这个研究新事物的能力。好吧，好，再接下来一定要养成标的习惯，会用四边形的各种性质。最后在以上证明过程当中发展几何证明的能力。我们再说一下 几何证明，你要想写好，第一你肯定思路得过关，你得知道这道题你能想得下来。第二，你要有非常好的结构化思维的意识，知道你几段，每段干什么。第三才是细节逻辑语言，数学的逻辑语言，好吧，这三点你每一点都得去注意。

国际数学大会在中国北京举行，这是我国数学界甚至整个科学界一件非常具有意义的大事。 此次大会的会标由四个全等的直角三角形拼合而成。通过课前大家对教材的预习，这些直角三角形的三边有什么样的数量关系呢？ 好，请你来回答。呃呃，直角边，他的两个有两条直角边，两条直角边，一条直角边平方加另一条直角边平方等于，那么斜边的时候。好，很好，请作预习的认真。 其实我国古代著名的数学著作周瑜算经当中就提到了勾三股四弦五，那为什么直角边是三和四，斜边一定是五呢？ 事实上，我们古人发现直角三角形的三边平方的结果存在一种特殊的关系。那么今天我们就来具体研究 本章的学习。我们将从丰富的现实情境出发，引入勾股定律，探索并证明勾股定律及其力定律，再运用这两个定律去解决有关问题，以此加深对直角三角形的认识。现在我们就从探索勾股定律开始。 请大家拿出穴按和方格指， 请大家按照穴按活动一的探灸步骤，完成我们最后的探灸。第一步，在方格纸上任意画一个直角三角形。 第二步，用直尺度量他们三条边的长度。 第三步，计算三条边长度的平方 也没有吗？ 最后一步，想一想它们的平方之间有什么样的数量关系？ 这个平方等于多少？一二六， 这个平方等于多少？是不？二点二五，这个呢？四，这个呢？六点二五？好，已经完成的同学请举手。 好，现在完成的同学请举手示意一下。好，我请一位同学来说一下。来，请这位男同学也来告诉一下大家，你画出来的直角三角形三边长度是多少？我画的直角三边的长度分别为一点五，一点五， 还有呢二零五，还有呢二点五。那他们的平方分别是多少？一点五的平方是二点五。好的，那么二的平方呢？ 四二点五的平方呢？二点五。那现在他们平方之间有什么样的关系？两只直角三角形的平方等于一三厘米。好，所以我们就得到了这个结果。好，很好，请坐。那么你们画出来三角形也有这个结果吗？ 有没有？好，那现在老师也画出来一个直角三角形，我们一起来看一下 刚才这位同学有小数和整数的情况，你们看一下老师画出来这个直角三角形，哇，三边都是小数，现在计算一下他的平方，那么你们来计算一下这两条直角边的平方和等于多少？ 算好了之后请举手告诉我。好，这位男同学你说一下，平方和应该是九十九点八五。好，我们来看一下。 哇，果然是九十九点八五。那现在老师画出来这个直角三角形是不是也得到了我们刚才你们探就得到的结果？但是我们知道度量是存在一定的怎么样误差的，因此我们还需要进一步去验证结论的准确性。 在小学的时候，我们就知道正方形的面积可以表示为，大 声的告诉我，没有哎，非常棒，边长的平方，因此中间这个直角三角形三边平方的结果，我们就可以借用正方形的面积来表示。那如果我们能够找到 abc 面积之间的关系的话，是不是就可以得到我们刚才三边平方的关系啊？ 好，那现在大家试一下，请大家拿出学案，看到活动二，请按照活动二第一个问题的探求完成填空。 好，填完的就请举手示意 已经填好的同学思考一下， c 的 面积你是如何计算的？ 好，我看大部分同学都已经完成了，来，我请一个同学来说一下。来，这位男同学来给大家分享一下，你算出来的正方形 a 中含有九个小方格，则 a 的 面积是九个单位面积。 继续啊，正方形 b 的 面积是九个单位面积，然后 c 的 面积是十八个，那么 c 的 面积是如何计算的呢？我是分别来上来给大家展示一下好不好？ 我是分别做这个大正方形的两个对角线，这样吗？他就可以分成四个全等的三角形，然后再通过求这四个三角形的面积就可以得到答案为十八个单位面积，你们听明白了吧？这个方法好不好？好，非常好，我们把掌声送给他来，请回到座位上。 那么你们还有其他的方法吗？计算 c 的 面积还有其他的方法吗？好，这位男同学你来说一下啊，我是用的，来上上去给大家展示一下，我是用的割补法，然后我们的话我们可以割出一个。

三角形周长最值问题可是初二几何考试的压轴考点，得分率不足百分之十。别担心，这个视频老师教给你利用轴对称和将军一码的方法求解，再搭配老师整理的几何最值讲解视频，轻松攻克这类题目，回复几何分享给你。好，我们来看题， 如图， o p 等于三角 a， o b 等于三十度，求 p， m， n。 三角形周长最小值是多少？首先我们来看一下啊， p 点呢，在此时此刻是定点， m 和 n 呢，是在 o a 和 o b 这两个射线上的动点。那这类型题是非常典型的什么问题？ 对，叫一定两动，那么一定两动作为将军一马的第二类拓展题型，我们要简单的复习一下啊，就是在一个这样的角当中出现了一个定点 p， 对吧？求在射线上找一个 m， 射线上找一个 n， 使得 pmn 周长最小。怎么做呢？它的方法很简单，叫做对称两次，也就是说 p 点关于这条射线先对称，第一次 找到 p 撇， p 点关于这条射线再对称，第二次找到 p 两撇，然后呢，把这两个点一连 好，那么此时此刻这个地方就是我们要找的 n 点，这个地方就是我们要找的 m 点，那么我们把它用实线相连，你会发现 p， m， n 就是我们所找的 周长最小的三角形。为什么呢？因为你会发现啊，根据轴对称的知识，你会发现这个边是不是倒在这里了，因为这里是轴对称的，然后这个边是不是倒在这里，因为这里是轴对称， 对吧？中间是一条动着的三根线。好，你发现单线三线双线相加和最小，很明显是这个定点对称两次，那这两个定点之间什么？两点之间线段最短，所以确定了 m 和 n 点？ 好，你一旦复习完这个知识点，那再看这个题，那就太 easy 了，怎么做呢？来对称两次，先对称，第一次找到一个撇撇，再对称，第二次找到撇，两撇把它俩一连， 那么这个时候就是我们真正的 n 点，这个时候就是我们真正的 m 点。那么你这个时候一画，那么此时此刻这个三角形就是我们 a 周长最小的三角形。那接下来的问题又转化成了什么呢？他说求最小 值是多少？那就是求这个黄色的周长最小值是多少？来，咱们看啊，我把它转移到了这里，把它转移到了这里。那你所求的实际上就是各位，是不是绿色的这个线段的长度。 好，还有一个信息没有用三十度和三。那咱们看啊，因为你做的是对称对不对？所以我这里相连。各位请看这个 x 和 x 是不是因为轴对称的关系全等，所以角相等。好，再来这个地方， y 和对称后的这个角是不是也是 y， 对吧？那我们已知题干的信息啥？ x 加 y 等于三十度，那么所以二 x 加二 y 口算多少度？对，答案是六十，而且都是 op 对称出去的， 所以这个线段和这个线段就是我们的 op， 撇和 op 撇和 op 都是相等的等腰三角形有六十度，它是什么图形？非常好等边三角形，所以你现在看到的整个这个图形 就是一个等边，而且它的边长就是 o， p 就是这里的三，所以 p 撇 p 两撇就等于三，那最后的答案也是三。各位，这个题很经典，你学会了吗？

大家好，我是凌月，我们来一起看一下这道数学证明题啊，它不是特别难。好，你可以暂停读下题，我们一起来做一下。首先我们看一下它的题干条件， 如图，已知 a、 c 平行于对 e 啊， a c 平行于对 e， 对 吧？角对，加上角 b， a、 c 等于一百八十度。角对，加上角 b a、 c 这个角，对吧？等于一百八十度。好，这是题干条件。我们看第一问，他求证的是什么？ 第一问，求证 ab 平行于 c 的 啊，我们要求 ab 和 c 的， 对吧？我们知道要使两直线平行，要不就是呃，同位角相等，要不就是内错角相等，要不就是同旁内角相加的一百八十度，对吧？你看看它符合哪个条件，我们来看一下啊。 好，你去思考一下。我们首先想到要利用我们的题干条件，角 d 加上这个角等于一百八十度。 好，那么我们还要看到 a、 c 平行的 e 啊，它俩相平行对吧？相平行的话，那么角 d 加上这个角，对吧？角 d 加上啊，换粗一点啊， 角 d 加上角的 c a 是 不是等于一百八十度啊？又，因为角 d 加上角 b a、 c 也是等于一百八十度，那么角 b a c b a c 是 不是就等于角的 c a 了？所以 ab 平行于 cd， 对 吧？因为它俩是内错角，还相等，因此两直线平行的。这是第一问啊，做出来了吗？我们来看一下第二问， 第二问，他说连接 c e， 那 我们来连一下吧，连接 c e 啊。第二问，稍微有点难度啊， 恰好满足 c e 平分角 a 的 c e 啊， c e 还平分了这个角，那么也就说明这俩角相等的，对吧？这俩角是相等的。 好，他还给你角 c、 e、 d 等于三十五度。我们找一找。角 c、 e、 d， 这个角等于三十五度啊，三十五度，求角 a、 c、 b 的 度数。 a、 c、 b， 他 求的是哪个角？他求的是这个角，对吧？好，我们来看一下吧。这个角怎么求呢？ 我们知道题干条件给了， a、 c 等于 a、 c 平行于 d、 e， 所以， 因为 a、 c 平行于 d、 e， 所以，所以哪？所以哪两个角相等角的 e、 c 这个角啊，是不是就等于角 e、 c、 a 这个角，对吧？这俩角相等等于多少度啊？等于三十五度。然后呢？证明它等于三十五度了。又因为 c、 e 平分线，对吧？是平分线啊，我简写了啊，所以，是不是这个角也等于三十五度啊，对吧？所以角 e、 c、 d 也等于三十五度，对吧？角 e、 c、 d 等于三十五度。因此它这个大角啊，角 a、 c 的 是不是就等于多少度啊？等于七十度，对吧？等于七十度。又因为我们上一问证完了 ab 平行于 c 的， 所以是不是这个角也等于七十度？因为由一只啊，由一只 a、 b 平行于 c 的， 所以内侧角相等。角 b、 a、 c 等于角 a、 c 的， 对吧？因此它也等于多少度？七十度？好，又因为它是直角啊！提干条件，因为角 a、 b 啊， a、 b 平行垂直于 bc， 所以它得九十度。因此我们所求的角，所以角 a、 c、 b 等于多少度？等于二十度，对吧？这道题不难吧？啊，不难吧？好，我们这节课先讲到这啊。