9年级下册锐角三角函数图

同学们，我们学过一次函数，二次函数，那你们知道角也有函数吗？ 这节课我们就来学习下锐角三角函数。这是一个直角三角形，角 c 等于九十度。角 a 是一个锐角，这条边叫做角 a 的对边，这条边叫做角 a 的斜边，这条边叫做角 a 的林边。 角 a 的对边与斜边的比，叫做角 a 的正弦记作 seine a， 即 seine a 等于角 a 的对边比，角 a 的斜边， 角 a 的邻边与斜边的比叫做角 a 的余弦记作 c c n a 及 c c n a 等于角 a 的邻边比，角 a 的斜边， 角 a 的对边与邻边的比叫做角 a 的正切记作 tanget a， 即 tangent a 等于角 a 的对边比，角 a 的邻边、 角 a 的正弦、余弦正切都是角 a 的锐角三角函数。如果角 a 的对边、邻边和斜边的长度分别为 a、 b、 c， 那么赛尼 a 等于 c， 分之 a。 口赛尼 a 等于 c， 分之 b。 pandreta 等于 b 分之 a。 这也有个直角三角形，这个三角形中，角 a 一的对边、零边和斜边的长度分别为 x、 y z 赛于 a 一等于 z， 分之 x。 口赛于 a 一等于 z 分之 y。 摊着 a， e 等于 y， 分之 x。 如果角 a 和角 ae 的度数相等，那么这两个角的正弦与弦正切的值有什么关系呢？其实他们是相等的。 锐角三角函数的值是由角度大小决定的，与三角形的大小无关，所以这两个角的正弦与弦正切值分别对应相等。这里需要注意的是，正弦与弦正切是不能带单位的。比如， 角 a 的对边、鳞边和斜边的长度分别为三厘米、四厘米、五厘米，那么赛尼 a 等于五分之三厘米，口赛尼 a 等于五分之四厘米， tanjeta 等于四分之三厘米，这个说法对吗？大 错特错！角 a 的正弦余弦正切个子表示的是两条线段长度的比，是没有单位的，这里要去掉单位，即塞尼 a 等于五分之三，口塞尼 a 等于五分之四， hundred a 等于四分之三。 学习了锐角三角函数，赶紧来做道题吧！如图，在三角形 a、 b， c 中，角 c 等于九十度， a， b 等于五， b， c 等于三。求 sine a 口 sine a tendreta 的值。 因为角 c 等于九十度，所以三角形 abc 是直角三角形。又因为 ab 等于五， bc 等于三，所以 ac 等于根号下五的平方，减三的平方等于四。三条边都出来了， 要求赛引 a 口赛引 a thandrita 的值还不是轻而易举吗？赛引 a 等于对边比斜边等于五分之三，口赛引 a 等于零边比斜边等于五分之四， tantrita 等于对边比零边等于四分之三。搞定， 最后我们一起来总结一下。一、对于任意一个在直角三角形中的锐角，其三角函数都可以这么表示， san 阿尔法等于对边比斜边口 san 阿尔法等于零边比斜边 condent alpha 等于对边比邻边。二、在直角三角形中，锐角的正弦余弦正切的值是一、 由角的大小决定的，与三角形的大小无关。三、在直角三角形中，锐角的正弦余弦正切表示的是两条线段长度的比，是没有单位的。怎么样，你都学会了吗？

同学们好，我是来自南京市第十三中锁心分校的周晨晨老师。今天我们学习的课题是七点六用锐角三角函数解决问题。一 同学们在前几节课中，我们已经掌握了锐角三角函数的相关知识， 也学会了如何解直角三角形。而数学知识源于生活又服务于生活，那么用锐角三角函数又能解决哪些生活中的问题呢？ 今天我们就跟着小明一起去游乐场吧，看看这一路上是如何邂逅三角函数的呢？请同学们看第一个问题。 小明从家出发，路过一个横截面为等腰梯形的过街天桥，已知天桥的高为五米，鞋面的坡角为三十七度，求斜坡 a、 b 的 长度。 这是一个实际问题，我们可以从数学的角度出发，将其转化为数学问题。那么首先就需要在实际情境中抽象出几何图形，画出一个等腰梯形。 接着将提议中的条件和问题数学化，条件是天桥的高为五米，即等腰梯形的高为五米， 鞋面的坡角为三十七度。这里出现一个新名词，坡角。我们来认识一下坡角的定义， 坡面与水平面的夹角叫做坡角，那么在本题中， 我们任选一个斜坡 a、 b、 a、 d 的 夹角角 a 即为斜坡， a、 b 的 坡角为三十七度。最后提出的问题是求 a、 b 的 长， 这样我们就成功转化成了一个数学问题。这个问题又该如何解决呢？一起来思考。 面对一个几何问题，我们首先要分清题目中的已知和未知，为了便于分析，请同学们在图形上标注出已知条件和要求的是什么？ 梯形的高为五米，可以过点 b 做 b， e 垂直 a， d 垂足为 e， 即 pe 为五米角 a 为三十七度， 要求的是 a、 b。 打个问号，梳理完已知和未知之后，现在我们就要寻找已知与未知之间的关系了。 be 角 a 还有 a、 b。 观察图形，相信同学们很快发现这三个元素在同一个直角三角形里，这时我们就很容易联想到三角函数。 在直角三角形 a、 b、 e 中，我们已知边 b、 e 和角 a。 在 前面的解直角三角形的学习中，我们已经明确知道已知一边一角即可以解出所有的元素。 那么现在该选择哪种三角函数来求解 a、 b 呢？根据这三个元素边角之间的位置关系， 我们的选择应当是角 a 的 正弦。答题思路已经清晰了，下面还需要一起来规范的解答。 首先要描述辅助线，并根据提议将已知的条件用数学符号语言表述出来， 再选择适当的三角函数。本题我们选择正弦值，用解直角三角形的规范过程求出未知量。最后还要回归到实际问题的答案，也就是别忘记答。 就这样，我们解决了这个实际问题。回顾求解过程，同学们有什么收获呢？ 我们不难发现，根据已知与未知的数量关系，找出或构造直角三角形，即可利用锐角三角函数知识解决问题啦。 那么在这个问题情景中，我们还能进一步提出哪些新的问题呢？同学们先自己想一想， 老师想了两个新问题，会和你们想的一样吗？问题一，你还能求出哪些线段的长呢？ 很显然， c、 d 和 a e 的 长根据等腰梯形溢得 c d 等于 ab， 那么 a e 呢？我们发现 a e 也在直角三角形 a b e 中，那么只需要换一个三角函数的选择，把 sin a 换成什么呢？换成 tangent a 即可解除 a e。 问题二，若要知道桥底 a d 的 宽度，还需要添加什么条件呢？这也是我们常见的提问方式哦，根据要知道的结论，倒推需要给出的条件，请同学们思考一会， 相信同学们已经有答案了。 a、 d 是 梯形的底边，并不在一个直角三角形里，是无法直接解出的。 那么这个时候，一个重要的数学思想转化思想就会指引我们思考，我们可以将 a、 d 转化，如何转化呢？不妨再过点 c 做 c f 垂直 a d， 这样 a d 就 可以转化成 a， e， d f 还有 e f 这三者之合。 接下来只要逐一求出这三条线段即可由等腰梯形、异正三角形 c、 d f 和 b a e 全等，所以 d f 就 等于 a e， 现在就只剩下 e f 了。在这个图形中，除了两个直角三角形，我们还可以得到一个矩形 e f cb， 从而 e f 就 等于 b c。 那 么要知道 e f 就是 要知道 c b 的 长。同学们有答案了吗？回归实际，我们需要添加桥面的宽度， 接下来我们再把这个问题的条件变一变呢， 红色字体就是变化的部分，我们由坡脚变成了坡度，因为在我们生活中，除了坡脚，坡度也是可以刻画斜坡的陡峭程度的。那么什么是坡度呢？我们来认识一下 坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫做坡度或漂坡比，记作 i i 等于 tangent 的 而法，而法为坡角。 这里坡面的铅垂宽度我们任选。坡面 a b 即 b e， 水平宽度即 a e， 那 么坡度就是 b e 与 a e 的 比， 即角 a 的 正切。这样我们就可以得到一个新的数学问题。我们数学问题中，如果条件发生了变化，那么之前的思路过程会发生变化吗？首先，没了坡角就不能自由的选择三角函数了， 我们只能从坡度正切出发，有角 a 的 正切，我们可以得到 a、 e 的 长，再结合勾股定力， 我们就可以得到 ab 的 长了。由此启发，在解直角三角形的问题中，我们常常还需要联合勾股定力一起解决哦。 在经历了和三角函数的天桥相会后，带着刚刚的收获，我们再一起来看看利一。 如图，水坝的横截面是梯形 a、 b、 c、 d。 引水坡 bc 的 坡角为三十度。背水坡 a、 d 的 坡度 i 为一比一点二，坝顶 d、 c 等于二点五米，坝高四点五米。 求一背水 a、 d 的 坡角二坝底 ab 的 长度。这是一个实际问题，我们同样需要转化成一个数学问题。我们先看题目中给出的抽象图形，一个梯形 a、 b、 c、 d， 我 们可以把条件和问题数学化，并标注在图上。 盈水坡 b、 c 的 坡角为三十度，即角 b 为三十度。背水坡 a、 d 的 坡度 i 为一比一点二，即 tangent a 等于一比一点二， 坝顶 dc 等于二点五米。梯形的上底为二点五米，坝高四点五米，我们可以过点 c 做 c， e 垂直， ab 垂足为 e， 则 c、 e 即为梯形的高四点五米。 要求的是什么呢？背水 a d 的 坡角，即角 a 的 度数。把底 a、 b 的 长。我们来一起分析这样的一个数学问题。 先看第一小问，要求角 a 的 度数。 在这个问题中，已知角 b 的 度数为三十七度，可是我们能由角 b 来得角 a 的 度数吗？显然是不行的。那么我们还可以从哪一条路来获得角 a 的 度数呢？ 我们之前已经知道锐角三角函数值随着锐角的大小的确定而唯一确定，因此我们是可以由锐角三角函数值借助于计算机来求得对应锐角的大小的。 因此，在这个问题中，我们可以由角 a 的 正切来得到角 a 的 大小。规范解答，由于角 a 不是 特殊角，我们需要用计算机计算角 a 等于三十九点八度。 接下来我们再来分析第二小问，这里要求 a、 b 的 长 同学们有似曾相识的感觉吗？对，不就是之前天桥的底的问题吗？仿照思路，我们依然是要将 a、 b 转化。 在本图中， a、 b 可以 转化为 be 加 a e， 但是 a、 e 依然不在一个直角三角形中。我们可以尝试过点 d 再做 d， f 垂直 a、 b， 从而将 a、 b 转化成三条线段， b， e， e， f 还有 af。 而 af 在 直角三角形 a、 d、 f 中，我们可以根据 tangent a 得到， 而 b e 在 直角三角形 b、 e、 c 中，我们可以由 tangent b 得到。最后我们再看一下 e、 f 在 矩形 c， e， f d 中，从而 e、 f 就 等于 c d， 这样我们就逐一求出了这三条线段，即可得到了 ab 的 长。 解析思路一下子就清晰了，我们不妨再回味一下这道题和天桥问题如此相近，它们有什么共同之处呢？ 一定有同学发现了，我们常常可以添加辅助线，构建直角三角形加矩形的模型， 这样可以分解线段，从而逐步解决问题。希望同学们以后看到这个模型会有亲切感，能更快速的找到思路哦！ 下面请同学们结合图形和分析思路，在学习单上写出自己的解答过程。可以先按暂停键， 同学们写好了吗？我们一起来核对一下。首先仍然是要描述辅助线和将已知条件用符号语言表达。 然后在直角三角形 a、 d、 f 中，我们用角 a 的 正切，即坡度等于 tangent a 等于一比一点二，从而可以计算出 af 等于五点四米。 再在直角三角形 c、 b、 e 中用角 b 的 正切三十度等于 c， e 比上 b， e， 从而得到 b， e 等于四点五比 tangent 三十。这里我们可以暂时不用带入 tangent 三十的数据。 接着我们再由矩形得到 e， f 等于 d， c 等于二点五米。所以 ab 就 等于 a， f 加 e， f 加 e， b 等于五点四加二点五加四点五比 tangent 三十度。 我们可以在这里代进 tangent 三十的径四值，从而计算出 a、 b 的 径四值，精确到零点一，约等于十五点七米。最后别忘记了要答哦，两个小问都要答， 接下来我们再一起来挑战一下列二呢？如图，小明从点 a 出发，沿着坡角为十度的坡道向上走了一百二十米到达点 b。 再沿着坡角为十五度的坡道向上走了一百六十米，到达点 c。 请问小明沿垂直方向升高了多少呢？精确到零点一米， 请同学们按暂停键独立思考五分钟。 同学们想好了吗？我们一起来交流一下。 这道题已经给出了图形，并在图形上标注了条件， 这时候我们只需要找出要求的线段，小明从点 a 走到了点 c， 那 么小明沿垂直方向升高的高度即 cd 的 长。 那么我们该如何求 cd 呢？ 也用之前的思路。首先， c、 d 能直接求解吗？显然不能，它并不在一个直角三角形中。 那么我们又是怎样添加辅助线实现转化呢？ 同学们，你们是怎么做的呢？ 这里我们可以利用化身为直的思想做两个垂直，过点 b 做 b， e 垂直 a、 d 垂足为 e， 再过点 b 做 b f 垂直 c、 d 垂足为 f， 从而构造出了两个直角三角形加一个矩形的模型，这样 c、 d 边就可以转化为 c f 加 f d， 而由矩形一只 f、 d 就 等于 b、 e 的 长。那么我们只需要求出 c、 f 和 b e 就 可以得到 c、 d 了， 而 b、 e 可以 在直角三角形中已知 a、 b 和角 b、 a、 e 要求 b、 e。 根据这三个元素的边角关系，我们可以选择角 b、 a、 e 的 正弦值， c、 f 可以 在直角三角形 c、 b、 f 中已知 bc 等于一百六十米，角 c、 b、 f 等于十度， 我们同样可以选择正弦值解出 c、 f， 这样就可以得到 c、 d 的 长了。 同学们思路清楚了吗？请课后把这道题的完整解答写出来。 现在我们进行本节课的小节。这节课我们用锐角三角函数解决了一些实际问题，具体的步骤是怎样的呢？ 一、将实际问题抽象为数学问题 画出平面图形，转化为解直角三角形的问题。 二、根据条件的特点，适当选用锐角、三角函数等去解直角三角形。那我们怎么样正确的选用呢？可以根据已知和未知元素之间的边角位置关系。 三、得到数学问题的答案。答案最后别忘了还要回归到实际问题，得到实际问题的答案。 小明和三角函数的故事还未完结，下一节课再续哦！今天的课就上到这里，谢谢观看，同学们再见！

同学们好，我是来自南京市第五十四中学的陆芳老师。今天我们学习的课题是七点二，正弦余弦二。 上一节课我们学习了正弦、余弦和三角函数的定义，那么我们通过一道练习题来复习一下吧。 如图，在 r、 t 三角形 abc 中，角 c 等于九十度， ac 等于十二， bc 等于五。求撒引 a、 口撒引 a、 撒引 b、 口撒引 b 的 值。 请同学们暂停视频，在学习单上写一写，相信同学们已经写完了。首先在图中标出数字， 再利用勾股定律求出斜边 a、 b 的 长度等于十三。 根据正弦余弦的定义，得到 sin a 等于角 a 的 对边比斜边，即 b c 比 ab 等于十三分之五。 cosine a 等于角 a 的 零边比斜边，即 a c 比 ab 等于十三分之十二。 sin b 等于角 b 的 对边比斜边，即 a c 比 a， b 等于十三分之十二。 cosine b 等于角 b 的 邻边比斜边，即 b c 比 a， b 等于十三分之五。 同学们都写对了吗？下面我们观察一下这个结果，容易发现， sign a 等于 cosine b， sign b 等于 cosine a。 由此我们可以得到一个结论， 如果在 r、 t 三角形 a、 b、 c 中，角 c 等于九十度，那么角 a 的 正弦等于角 b 的 余弦， 角 a 的 余弦等于角 b 的 正弦。这个结论请同学们记在学习单上。 刚才我们在给定的直角三角形中，根据边的比求出了锐角的正弦值和余弦值。 那么对于一个给定的锐角，又该如何求它的正弦值和余弦值呢？让我们一起来学习吧！问题一，求锐角的正弦值、余弦值 第一题，求 sine 四十五度口 sine 四十五度的值，同学们可以暂停视频思考一下， 相信屏幕前的你一定想到了方法，我们可以构造直角三角形，利用正弦和余弦的定义解决。因为锐角是四十五度， 所以构造出的是等腰直角三角形，两条直角边相等。 我们利用勾股定律求出斜边 ab。 关于直角边 bc 的 代数式，即 ab 等于根号二 bc。 再根据正弦与弦的定义得到 sine a 等于 sine 四十五度等于 bc 比 ab 等于 bc 比。根号二 bc 等于二分之根号二。 cosine b 等于 cosine 四十五度等于 bc 比 ab 等于二分之根号二。 我们用这道题的答案来检验一下刚刚得出的结论，角 a 与角 b 互余，那么角 a 的 正弦等于角 b 的 余弦，即 sign 四十五度等于 cosine 四十五度。这道题的答案也是符合这个结论的。我们再来看一题， 第二题，求撒引十五度，口撒引十五度的近四值。仿照第一题的解析方法，我们很容易可以想到构造直角三角形， 屏幕前的同学们可以自己先画一画。 根据正弦和余弦的定义，撒引十五度等于 b， c 比 ab， 口撒引十五度等于 a， c 比 ab。 因为不是特殊角，所以我们可以通过度量三条边的长度计算出撒引十五度和口撒引十五度的近似值。 但在整个过程中可能会出现这样的问题，度量会产生误差，并且边长不一定是整数， 这样在做除法时除不尽，只能再取近四值，这样又再一次增大了结果的误差。这时我们可以想一想应该做怎样的调整去尽量减小这个误差呢？ 于是我们可以通过控制边的长度，以实现减少计算量的目的。因为正弦与弦都是直角边与斜边的比，因此我们可以控制斜边的长度， 令斜边长为一个单位长度。那么只需要度量 b、 c 的 长度，即可得到撒英十五度的近四值。度量 a、 c 的 长度即可得到口撒英十五度的近四值。 按照刚刚的想法，我们可以将这个问题放在一个实际背景中来理解。如右图，当一个点从圆点 o 出发， 沿着十五度线移动了一个单位长度到点 p 时， 这个点在垂直方向上升了约零点二六个单位长度。于是根据正弦定义可知， sin 十五度约等于零点二六。 在水平方向前进了约零点九七个单位长度。根据余弦的定义， cosine 十五度约等于零点九七。 屏幕前的你可否根据这张图写出 cosine 七十五度和 cosine 七十五度的近似值呢？同学们可以暂停视频写一写， 相信各位同学一定写出来了。 sine 七十五度约等于零点九七， cosine 七十五度约等于零点二六。那么根据这张图， 你还能写出哪些角度的正弦值或余弦值呢？我们观察到，在这张图中有两条直线分别指向三十度和六十度。 那么我们先看三十度线，构造直角三角形后发现三十度的对边为零点五个单位长度。 根据正弦的定义可知，三十度的对边比斜边等于零点五，即 sign 三十度等于零点五。再看六十度线， 同样的方法构造直角三角形，发现六十度的零边为零点五个单位长度。 根据余弦的定义可知，六十度的零边比斜边等于零点五， 即 cosine 六十度等于零点五。这题也符合之前的结论，即两锐角互余，三十度的正弦等于六十度的余弦。 当我们控制住了斜边长，规定它为一个单位长度，那么 sin a 的 值就是线段 b、 c 的 长度， cosine a 的 值就是线段 a、 c 的 长度。 通过观察这张动图，我们可以发现，随着锐角 a 的 增大， b、 c 的 长度越来越大， ac 的 长度越来越小。所以我们可以说随着锐角 a 的 增大， sign a 的 值越来越大。 随着锐角 a 的 增大， cosine a 的 值越来越小。同学们都学会了吗？ 除了可以通过构造直角三角形来求锐角的正弦值和余弦值，我们也可以借助计算器。下面来看问题二， 用计算器求正弦值，余弦值精确到零点零一、在本节课中，我们所使用的计算器是卡西欧。先看第一小题， sign 七十五度。我们在计算器上依次按键 sign 七五 括号等号，在屏幕的右下方会出现 sign 七十五度的精确值，然后按键 s、 d 就 会显示出 sign 七十五度的径四值，因为要精确到零点零一，那么我们四舍五入得到 sign 七十五度，约等于零点九七。 我们将动图再完整的看一遍， 再来看第二小题， cosine 七十五度和第一小题的按键方法基本一致，不同的地方就在第一个按键上按 cosine 其他的操作方法同 sign 显示出径四值后，四舍五入可以得到 cosine 七十五度，约等于零点二六。我们将动图再看一遍。 最后来看第三小题，带有度分秒的锐角， 我们在计算器上依次按键 sign 二三，注意一下，度分秒都使用同一个按键，在这个位置 继续按键一三分二零秒结束，输入按键括号， 最后按等号，在屏幕右下方直接出来进四值，四舍五入得到撒引二十三度十三分二十秒约等于零点三九。 在此处的学习中，我们需要注意，如果是计算只用度表示的锐角， 那么在按键时输入完数字后，直接按键框号表示，输入结束，最后按等号键出结果。 如果是计算用度分秒表示的锐角时，那么在按键的时候就需要使用到度分秒按键。同学们都记住了吗？课后我们可以自己尝试做一做书上相应的练习。 接下来让我们一起来看几个例题。例一，在 r t 三角形 a、 b、 c 中， 角 c 等于九十度，角 a 等于十五度， b、 c 等于六，求 ab 的 长精确到零点零一。 我们可以根据题意画出图形，并将数据标在图上。 要求 ab 的 长度，我们可以利用角 a 的 正弦， 因为角 a 已知，那么角 a 的 正弦值也就唯一确定了。再根据正弦的定义写出现断的笔，最后利用计算器计算得出最后结果。一起来看一下规范解答。 解，由题一知，撒引 a 等于 b， c 比 ab， 则 ab 等于 bc 比撒引 a 等于六比撒引十五度， 用计算器计算得 ab 约等于二十三点一八， 接下来请看例二，如图点 p m q。 在 半径为一的圆 o 上， 根据已知知识和图中数据，零点九七、零点二六为近似数解决问题，若 m h 垂直于 x 轴，垂足为 h， mh 交 o p 于点 n， 求 m n 的 长，结果精确到零点零一。参考数据，根号二约等于一点四一四， 根号三约等于一点七三二。这张图是之前见过的正弦余弦图， 我们是控制了斜边长为一个单位长度，通过读图中的数据写出了十五度、三十度、六十度和七十五度的正弦值和余弦值。 此题就是要求各位同学在观察图形的基础上，根据所给数据求出线段 mn 的 长。下面让我们一起来分析一下。 观察图形可以看出，要求线段 m n 的 长，可以利用线段的和差关系，即 m n 等于 m h 减 n h， 那 么我们就需要分别求出现段 m h 和 n h 的 长度。先看到线段 m h， 在 r t 三角形 m o h 中已知斜边长 o m 为一 角， m o h 等于六十度，那么可以利用六十度的正弦得到 sine 六十度等于 m h 比 o m 等于 m h 比一。 在上一节课中，我们知道了当一个锐角确定的时候，这个锐角的正弦值和余弦值也就唯一确定了。 当时我们借助等边三角形求得 sin 六十度等于二分之根号三，再根据本题所提供的数据计算，得到 sin 六十度约等于零点八六六， 这样就可以求出现段 n h 的 长度了。继续来看线段 nh， 在 r t 三角形 o n h 中已知十五度的零边长为零点五， 那么可以利用十五度的正切得到 tangent 的 十五度等于 n h 比 o h 等于 n h 比零点五。那 tangent 的 十五度又该如何去求呢？ 我们观察到，在 r t 三角形 o， p a。 中， tangent 十五度等于 pa 比 o a。 读取图中数据， p a 约等于零点二六， o a 约等于零点九七，计算结果约等于零点二六八。这样我们就求出了线段 n h。 的 长度了。 规范的解答过程，同学们可以在课后按照思维导图写出来。 现在我们进行本节课的小节。本节课我们发现了如果在 r t。 三角形 a， b， c。 中，角 c 等于九十度，那么撒引 a 等于 cosine b， cosine a 等于 cosine b。 并且通过控制直角三角形斜边的长度，令它为一个单位长度。 发现了随着锐角 a 的 增大， sign a 的 值越来越大， cosine a 的 值越来越小。最后我们学习了如何利用计算器计算已知锐角的正弦值和余弦值。 今天的课就上到这里，谢谢观看，同学们，再见！

今天和大家分享速读版九年级下册第七章锐角三角函数的复习课。 这一章学习了锐角三角、锐角三角函数。锐角三角函数包括三种正弦、余弦、正切自主角的三角函数，且直角三角当中利用三边关系、勾股定三角关系、三个三角函数 以及实际运用两角方位角、括对括角、辅角等问题。锐角还在三角函数直角三角形当中。啊 角锐角 a 的 正圆等于它的对边比，斜边与弦等于它的邻边比邻边正确等于它对边比邻边。啊， 三英三十度二分之一啊，扣三十六度也二分之一，三英四十度和扣三十四度都二分之高二、三十六度和扣三英三十度都是二分之高。三 餐厅三十度三分之高三餐厅四十五度一餐厅六十度高三好 解，直角三角形是吧，三边扣股定底三角两锐角互余是吧？边角关系啊三角函数是吧， 三角 a 等于三 a 除以 q 三 a 啊，找出它们之间关系。 直角三角形可解的定义和解法解，直角三角形吃到其中两个元素要至少有一边，就可求出其他三个位置元素。 解法，一边一锐角，先用两个锐角互余，求出另一个锐角支斜边，用正弦或余弦求另两边支直角边，用正弦求另一直角边， 再用正弦或勾股定力，求斜边至两边，先用勾股定力，求第三边用，再用边角关系求锐角。 斜三角形问题可通过添加适当的辅助线转化为解决这三角形问题。啊 锐角函数的正弦和正切角度越大，弦数越大，弦角度越大，函数值越小。 解直角三角应用啊，仰弧角，首先概念考究啊，方位角啊， 解直角三角的应用，抠角过度这概念要抠懂啊。 坡度啊，是坡面的铅直高度与水平宽度的比，要坡度，坡角是坡面与水平方向的夹角。要高度啊，坡面与水平方向夹角叫坡角，坡角弹力二法就等于坡度啊。 坡度通常写成一比 m 形式，由于正截值增大，正截值的增减关系可知，坡度越大，坡脚就越大，坡面就越陡。 好，那像这题是吧。哎，这题没有图，我们把图画出来，角 c 九十度， 角 c 九十度，摊平 a twenty a 等于二，那就是设它为一，它就是二啊， 那它就是根号五，所以 q 三 a 一 比，根号五，所以等于五分之根号五。这个啊， 这个确确定热影长度定热影长度的仪器称为啊。来，我们看一看，立柱 a c 为 a。 冬至时，此时北京正午， 日光入射角约为 a b c 二十六二十六点五度，则立柱根部与 微表的东至线的距离，即 b c 长，求 b c 长，我们看一看，这是什么？ d 比邻是正切是吧，所以选择 b 啊， 这是第一个考点，求三角函数值啊。再看这题，怎么求呢？我们注意这点啊，这点你看，都是对角线， 而我们要求这个角的三角值要放在直角三角形，所以我们取这个焦点，假设 d 连接 c d 就 出来一个直角， 两个四五度加减直角。好，那这为根号二，这为三，根号十，所以等于根号十除以根号二，那等于啊， 对不对？ 三三减九，根号十吧。 clear 啊，写到了根号二除以根号十，或者怎么得，所以等于根号五分之一，等于五分之根号五，哎， 三对笔斜，是吧？所以啊，好，这一题呢，就用拿玄玄，我们当时还没学，是吧？这个用，拿一个同符所对的圆周角相等，就是这个角，就等于这个角啊，这是十五， 这是九啊，这是十二，是吧？求角 a、 d、 c 的 摊平值，并且这是直角，这直径所求摊平值等于九比十二啊， 六分啊。这题等学过圆，你再回头再来看好下面这一题，这个落到这跟，这是直角 a、 e 是 五倍，根号五，五倍根号五，那这题我们看看，这是直角，这是直角 啊，那它加它九十度，这是九，这是九度一百八，那所以它加它九度，所以它等于它，所以左右两个三角形相似，关系相似。 好用贪心 e、 f、 c 等于三比四，那可以设它为三 x， 则它为四 x， 设它为五 x， 勾股定律，则这也是五 x， 这就是八 x， 八 x 跟它相似，是二比一，所以这点是十 x。 然后再用勾股定律啊，十 x 括号平方加五 x 括号平方，等于五倍，根号五的平方，对吧？ 哎，从而求出 x 值，是吧？再求出，这就是六 x， 最后十 x 把周长求出来，就出来了。这题便是 a， b 为十， b， c 为八，这是十。翻过去，这是十，那这是六。要求这个角摊平值，我们刚才已经证明了，这个角就是这个角摊平，那就是四分之三 啊，或者怎么办呢？还可以怎么办呢？你设这为啊，这是六了，那这节就是四， 那设置为 x， 这也为 x， 这就为八。减 x， 利用勾股定力，再求出这个探针值。好，所以本题可能用第二种方法更快一些啊。 第一种方法，呃，第一开始说的就是这方法二更快一些。这种方法可能慢一点啊， 再看又是翻折，求正相似。我刚才正过了啊， 翻过来，这是九十度，它加它九十度，这是直角，这是直角，它加它九十度，所以这个两个三角形相似。这题问题，第二个餐厅三角 d e， d f e， d f e 啊，三一比三设它为 x， 设它为三 x 啊，再为三 x 则为四 x 啊，这个，这是三 x。 再利用相似 这个啊，三 s s 三三点九啊，八二倍根号二 x。 好 利用相似 在求出它要求探听角 e， b， c， e， b c， 这个角就是这个角啊，那它就等于探听角 e、 b、 f， 那 求着就是它跟它之比 啊，算出来，我们用来比比看啊。这个 a b f 比上二 x 等于 等于什么？四 s 比二倍根号 x 啊，那 b f 乘 就能求出来了啊， b f 出来了， f 也能求出来，对吧？ i f b x 把大家求出来，带进去就出来了啊。自己做我就不再拖拖写了啊。 最后等于二分之二十七点，这个点呢，你就代入百二乘二分之一加二分之一 减贪心六十度根号三，这是三分之二，三也是根号三分之一，再加二分之二括号的平方，最后把它算出来 啊，这个呢，二分之一一加二分之，根号三加上一，贪心三十度三分之 根号三，对吧？你再化简一下是吧？ 同乘以二，二加根号三分之一，再加啊，根号三， 对吧。然后二加根号三分之一加二倍，根号三加三等于四加二倍根号三，二加根号三就等于二， 这个是吧？这个绝对值大于等于零，平方大于等于零，所以它的 a 减一等于零，构成以 b 减二分之一等于零，所以它的 a 等于二分之一。 角 a 就 等于啊，等于一二十一，等于四十五度，扣三根 b 等于二十一啊， 扣三根多少度啊，对吧？ 角 b 是 多少度啊？ 三十三十度等于 cos 六十度，是吧？所以角 b 是 六十度， 所以角 c 是 七十五度。好， 再看这个是吧？要变式是吧？这就是根号三。餐厅六十度，也是根号三加上一啊，二倍根号三加一， 这个训练根号二，这是啊，二分之高，二分之一 啊，就这也是根号，这个是倒数啊。二分之根号二的负一，则也就是根号二减去二分之一啊，乘以 啊，二分之一加上负一，再加一，这两个没有了，这是二减四分之一，等于，是吧，也有四分之三啊， 这个要求，这个等高 c， a 等于 c， b 扣三 a， c 扣三 a， c 要首先要做高， 好做高扣三音 c， 你 看，这是四扣三音，那这是一，那这就是三，这就是根号十五，这是根号十五，这是 根号二十四，那就是二倍根号六。好要求。三 a b 就 等于根号十五比二倍根号六啊，二倍根号二，比根号五，就等于四分之根号十。好，发现出来， 这个是吧？要把这个角标上，这是四十五度啊，把坐标系方位角啊，这是三十度， 这是六十度，那这也三十度，那这个也三十度，好要求啊。 b m 长要做直角三角形， 对吧？好，我们看一看。这个，这是九十啊，一个半小时，这九十，我们设这个 b c 为 x， 这就为二 s 啊。第一个九十加 x 等于根号三 x， 也就是根号三减一，括号 x 等于九十， x 就 等于四十五乘以根号三加一， 那 b c 长就是四十五。括号根号三加一，那 p c 等于 md 等于 p c 就 同乘以根号三，就等于三加根号三乘以。 好，这个是四十五，这个是四十五， 乘以三加根号三。嗯，这个角有三十度要求啊。 b m 长给它乘以二 乘以二，那就是九十，括号三加括号三，再除以这个速度六十好化解就能得到。啊。这个 啊， c 为底是吧？ a c 为三，这个六十度， 那这就是根号三，这就是二倍根号三，这就是四倍根号三，是吧？嗯，这就是 a b 把 a b 再算出来，就等于三的平方加五倍根号三的平方再开方。 九加七十五，等于根号二十四。啊，等于二倍，根号二十一， 对吧？然后这个周长就等于三加五倍，根号三加二倍，根号二十一。啊，这，这一个内容。

同学们好，我是来自南京市洪山初级中学的吴涛老师。今天我们学习的课题是七点三，特殊角的三角函数。 经过前面几节课的学习，我们学习了锐角的正弦、余弦、正切的概念。 他反映了直角三角形中边角之间的关系，即无论直角三角形 abc 的 大小如何，只要给定锐角 a， 则角 a 的 对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边的比就随之确定。利用这一关系，结合勾股定力等，我们可以求特殊角的正弦值、余弦值和正切值。 请看问题一、 如图，两块三角尺中有几个不同的锐角。求这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值。 我们可以看到，两块三角尺中共有三个不同的锐角，分别是三十度、四十五度和六十度。 我们可以将两块三角尺抽象成两个直角三角形。 那么，在这两个直角三角形中，如何运用我们所学知识，求这几个角的正弦值、余弦值和正切值呢？ 请同学们思考一下这个问题，并尝试解决。将结果填写在学习单上的表格中。 我们知道，无论直角三角形 abc 的 大小如何，只要给定锐角 a， 则角 a 的 对边与斜边、邻边与邻边的比就随之确定。 为了方便计算，我们不妨可以设每个直角三角形中较短的边长为一， 利用勾股定力和锐角三角函数的定义，可以求出这些锐角三角函数值。下面我们一起来看。 在等腰直角三角形中，两者角边长均为一，利用勾股定律计算可得斜边长为根号。二、 利用锐角三角函数的定义，可以求出 sine 四十五度等于二分之根号二， cosine 四十五度等于一。 在三十度、六十度的直角三角形中，三十度所对的直角边长为一。利用在直角三角形中，三十度所对的直角边等于斜边的一半。可以求出斜边长为二。 再利用勾股定律计算，可得六十度所对的直角边长为根号三。 利用锐角三角函数的定义，可以求出 sine 三十度等于二分之一， cosine 三十度等于三分之根号三。 tanning 的 三 十度等于二分之一， cosine 六十度等于二分之一， tanning 的 六十度等于根号三。 接下来请同学们看一看观察表格，讨论表中的各个函数值有什么样的特征呢？ 请同学们思考一下这个问题，并将你所发现的特征写在学习单上。 让我们一起来观察一下这个表格，你发现了哪些特征呢？我们先分析横向特征，第一行，三十度、四十五度、六十度的正弦值分母都是二 分子，从小到大分别为根号一、根号二、根号三。随着角度的增大，正弦值在逐渐增大。 第二行，三十度、四十五度、六十度的余弦值分母都是二分子，从大到小分别为根号三、根号二、根号一。 随着角度的增大，鱼弦值在逐渐减小。 第三行观察三十度、四十五度、六十度的正切值，随着角度的增大，正切值在逐渐增大。 其中四十五度角是等腰直角三角形中的一个锐角，所以 tanning 的 四十五度等于一比较特殊。 进一步观察，我们还能发现， tangent 的 三十度和 tangent 的 六十度互为倒数。因为在直角三角形中，若一个锐角确定，那么这个角的对边和邻边之间的比值也随之确定 g。 因为 tangent a 等于 b 分 之 a， tangent b 等于 a 分 之 b， 所以 tangent a 等于 tangent b 分 之一。 用文字语言可以描述为互余的两个锐角的正切值互为倒数。 类似的观察第一行和第二行，我们还能发现， sine 三十度等于 cosine 六十度， sine 四十五度等于 cosine 四十五度， sine 六十度等于 cosine 三十度。 因为在直角三角形中，若一个锐角确定，那么这个角的对边、邻边和斜边的之间的比值也随之确定， 即 sign a 等于 c 分 之 a， sign a 等于 c 分 之 b， sign b 等于 c 分 之 a。 任意一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值。 要熟练掌握三个特殊角的三角函数值，关键是熟悉这一对直角三角形。 由于这一对直角三角形的边除了符合勾股定律以外，还有特殊的数量关系，所以我们可以求得它们锐角的三角函数值。 通过探究表格中数据之间的特征，方便我们在理解的基础上记忆。让我们来复习一下， sin 三十度等于二分之一， sin 四十五度等于二分之根号二。 sin 六十度等于二分之根号三。 cosine 三十度等于二分之根号。 cosine 四十五度等于二分之根号二。 cosine 六十度等于二分之一。 tanning 的 三十度等于三分之根号三。 tanning 的 四十五度等于一， tanning 的 六十度等于根号三。给同学们一点时间理解记忆一下我们的表格， 接下来我们一起来看几道例题。例一，求下列各式的值一、两倍的 sine 三十度减 cosine 四十五度。 二、 sine 六十度乘以 cosine 六十度。三、 tangent 的 三十度加 cosine 三十度。四、 sine 六十度的平方 五、 sine 四十五度分之 cosine 四十五度减去 tangent 的 四十五度。请同学们思考一下这个问题， 我们一起来分析一下。求下列各式的值，需要将三角函数值代入算式进行计算即可， 在代入过程中要将点乘改写成叉乘。完整的解答过程如下， 减一，两倍的 sine 三十度减 cosine 四十五度等于二。乘以二分之一减二分之根号二等于二分之二减根号二。 二、 sine 六十度乘以 cosine 六十度等于二分之根号三乘以二分之一等于四分之根号三。 三、 tanning 三十度等于三分之根号三加二分之根号三等于六分之五倍根号三。 我们再来看四、五两小题，在第四小题中出现了 sine 六十度的平方 sine 六十度的平方记， sine 六十度乘以 sine 六十度。再将三角函数值代入算式时，要添加括号后再平方。完整的解答过程如下， 减四、 sine 六十度的平方加 cosine 六十度的平方等于二分之根号三的平方加二分之一的平方等于一。 第五小题 sine 四十五度分之 cosine 四十五度减去 tangent 四十五度等于二分之根号二除以二分之根号二减一等于零。 在计算过程中，我们发现，当锐角的角度确定时，它的三角函数值也唯一确定。 接下来我们再看例二，例二，求下列等式中的锐角阿尔法 一，两倍的 sine 阿尔法减，根号二等于零，二根号三倍的 tangent 的 阿尔法减一等于零。请同学们思考一下。本道题。 在锐角三角函数中，已知特殊角可以求出它的三角函数值，反过来，已知特殊角的三角函数值也可以求它对应的角度。 本道题要求下列等式中的锐角 r 法，就先要求解它的三角函数值。我们不妨将 sine r 法看作是一个整体， 先移项，得两倍的 sine r 法等于根号二。 系数化为一，得 sine r 法等于二分之根号二。 有已知得 sine 阿尔法等于二分之根号二，所以阿尔法等于四十五度。 当然，在解析时，我们也可以通过画直角三角形，利用三角形的边长关系来求解阿尔法。 已知三角尔法等于二分之根号二，则令尔法的对边长为根号二，斜边长为二， 利用勾股定力计算得另一条直角边长为根号二，发现三角形是等腰直角三角形，所以尔法等于四十五度。 第二、小题，我们将 tangent 的 尔法看作是一个整体，先移项，得根号三倍的 tangent 的 尔法等于一。再系数化为一，得 tangent 的 尔法等于三分之根号三。 有已知得 tangent 的 尔法等于三分之根号三，所以尔法等于三十度。我们也可以通过画直角三角形，令尔法的对边长为根号三， 相邻的直角边长为三，利用勾股定律计算得斜边长为两倍根号三，发现斜边长是阿尔法所对的直角边长的两倍，所以阿尔法等于三十度。 我们一起来看例三，在直角三角形 a、 b、 c 中，角 c 等于九十度。已知 bc 等于根号三 ac 等于三，求角 a、 角 b 的 度数， 请同学们思考一下本道题， 下面我们一起来分析一下。首先，我们要根据题意画出直角三角形 abc， 角 c 等于九十度， bc 等于根号三 ac 等于三，要求出角 a 和角 b 的 度数。首先要先求出角 a 和角 b 的 三角函数值， 因为已知角 a 的 对边和邻边，我们可以求出角 a 的 正切值。记在直角三角形 abc 中，角 c 等于九十度。 因为 tan 角 a 等于 ac 分 之， bc 等于三分之根号三，所以角 a 等于三十度。 同理，我们也可以求出角 b 的 正切值，得到角 b 的 正切值等于根号三，所以角 b 等于六十度。 那么请同学们在思考下，你还有其他方法求出角 b 的 度数吗？ 我们还可以利用直角三角形的两个锐角互余，在我们知道角 a 度数的基础上，因为角 a 加角 b 等于九十度，所以角 b 等于六十度。 我们再来看例四，如图 a、 c 是 三角形 a、 b、 d 的 高， bc 等于十五角 b、 a、 c 等于三十度，角 d、 a、 c 等于四十五度。求 a、 d。 请同学们思考一下本道题， 让我们一起来分析一下。有体可知， b、 c 等于十五， b、 c 是 直角三角形 abc 的 一边。 利用角 b、 a、 c 等于三十度，我们可以求得直角三角形 abc 的 另外两边。 本题要求 a、 d 的 长， a、 d 是 直角三角形 a、 d、 c 的 一边。那么我们要去寻找直角三角形 a、 d、 c 和直角三角形 abc 之间的联系， 即两个直角三角形有一条公共边 a、 c。 要求 a、 d 就 要先通过直角三角形 a、 b、 c 求出 a、 c 的 长为十五倍根号三， 再利用角 c、 a、 d 等于四十五度，求出 a、 d 的 长等于十五倍根号六。下面我们一起来看完整的解答过程。 结，因为 a、 c 是 三角形 a、 b、 d 的 高，所以 a、 c 垂直于 b、 d， 所以 角 a、 c、 b 等于角 a、 c、 d 等于九十度。 在直角三角形 a、 b、 c 中，角 a、 c、 b 等于九十度。因为 tangent 的 角 b、 a、 c 等于 a、 c 分 之 b、 c， 所以 a、 c 等于 tangent 的 角 b、 a、 c 分 之 b、 c 等于十五，等于十五倍根号三、 在直角三角形 b、 a、 c、 d 中，角 a、 c、 d 等于九十度。 因为 cosine 角 c、 a、 d 等于 a、 d 分 之 a、 c， 所以 a、 d 等于 cosine 角 c、 a、 d 分 之 a、 c 等于 cosine 四十五度。分之十五倍根号三， 等于十五倍根号六、 现在我们进行本节课的小节。本节课我们通过一组特殊的直角三角形求解，得到特殊角的三角函数值。根据特殊角的三角函数值，我们可以直接代入进行计算。 反过来，我们也可以根据特殊角的三角函数值求出角的度数，即在锐角三角函数中，已知特殊角可以求出它的三角函数值。 已知特殊角的三角函数值也可以求它对应的角度，这两者时间是一一对应的关系。 今天的课就上到这里，谢谢观看，同学们再见！

今天我们来教大家如何记忆特殊的三角函数值啊， 以这个三十度为例，咱们就把这个三十度啊放在这个直角三角形里边去啊，好， 把这个地方怎么样当做这个三十度，那么根据三角形的内角和这里是九十度，所以上边就是六十度，对不对啊？上面就是六十度，那么我们要找一些特殊的数据，比如一呀，这些对不对啊？把三十度的这个对边这地方 看成一，那么我们知道在直角三角形里边三十度所对的边是斜边的一半，那么你这边是一，你这个斜边就是几啊，斜边就是二，对不对？那么根据勾股定律，咱们就知道这个另一个直角边就是 根号下二的平方减去一的平方就是四，减一等于多少？等于根号三，对不对？好，我们来看啊， 那么这个散音三十度散音指的什么？指的是对边比上斜边对不对？那么现在这个三十度对的是哪个？这是一，对边是一，对不对？斜边是二，所以就是多少？就是二分之一啊，就是二分之一，好，那么再看这个 与弦， cosine 啊， cosine 是 哪边比哪边？ cosine 是 这个邻边比上斜边，那么邻边是根号三，斜边是二，那么就是多少？就是二分之根号 三，对不对？好，再来看这个贪心的正确啊，贪心的三十度，那么贪心的指的是什么？指的是这个对边比上零边，那么对边是多少？对边是一，零边是根号三，然后化成这个什么？这个 最简二次根式对不对啊？分子分母同时乘以根号三，那么就变成三分之根号三啊，就说这个的值就是三分之根号三啊，然后这个六十度啊，这里这个地方啊，也是一样的啊，那么 这个角散移正切值啊，它的六十度等于什么？等于对边比上斜边对不对啊？对边是根号三，斜边是二，所以说 就是二分之根号三啊，二分之根号三好。然后是 cosine 六十度，就是 鱼弦。 cosine 六十度，它是等于零边比上斜边，零边是一，斜边是二，那么就是一比二就是二分之一啊，二分之一好，然后贪心的六十度，贪心贪心的等于什么？等于这个对边比上 零边对不对？那么对边是根号三，零边是一，就是根号三比上一，那么这个一怎么样？可以省略不写，就是根号三啊，所以这个贪镜的六十度就是根号三好，然后还差多少度啊？差这个四十五度， 所以咱们把这个四十五度放在这个直角三角形里边来，那么让这个角等于四十五度，根据三角形的内角和，那么上边这个角怎么样？他也是四十五度，所以这是一个等腰直角三角形，咱们把这个腰怎么样？看左一，根据勾股定律的话，那么这个斜边就是多少， 斜边就是根号二，对不对？好，然后再来看啊，心算三引正切啊，三引四，四十五度就是这个角的正切值，正弦值对不对？那么这个 角的正弦值怎么样？等于对边比上斜边就是一比上根号二啊，等于一比上根号二，然后化成最减二次根式分子分母同时乘以根号二，就是二分之根号二，对不对啊？就说这个三引四十五度是二分之根号二啊，同理这个， 嗯，余弦啊，这个 cosine， cosine 四十五度，它一样的啊，等于什么？等于它的零边比上斜边，也就是一比上那个比上根号二，一样的，画成最减二根 四就是二分之根号二啊，这个是二分之根号二。好，再来看这个正切摊近的啊，摊近的四十五度， 正切值怎么样？等于什么？等于对边比上一就是几啊？等于 一啊，等于一啊，当然哈，如果说你能够把这个表啊，把它怎么把它这个背下来也可以，只是说我教的这个方法就是如果你在这个做题或者说考试的时候，突然忘记某一个特殊的三角函数值等于多少的时候，你可以用这些特殊的三角形啊，再 带入这些特殊的这个数据啊去推导。好，那么今天这个内容啊，咱们就讲完了，大家听懂了吗？

同学们好，我是来自南京市将军山中学的曹小龙老师。今天我们学习的课题是七点四，由三角函数值求锐角。 首先我们来回顾这样一个问题，你能够根据一个锐角求出它的三角函数值吗？ 好，上节课我们学习了特殊角的三角函数值，我们知道了三十度、四十五度六十度角的三角函数值， 那么你能够根据一个锐角的三角函数值求其对应的锐角吗？ 同样的，根据特殊角的三角函数值，当然可以确定其对应的特殊锐角。 特殊锐角和其三角函数值是相对应的，如果是任意一般的锐角呢？ 在前面的几节课中，我们知道这个问题可以借助计算器来解决， 请看问题二，用计算器求 tangent 六十五度 sign 二十三度十三分二十秒刻 sign 五十一点二八度的值精确到零点零一， 请同学们暂停视频，用计算器进行计算和解答。 好，现在老师和大家一起回顾一下，请浏览操作步骤。 然后再看计算器模拟。先开机， 在卡西欧计算器上直接可以看到 sine， cosine， tangent 这三个三角函数。功能键先计算第一个按 tangent 六十五右括号可以不摁等于， 再看第二个 sine 二三度分秒键 十三度分秒键二十，再按度分秒键等于 第三个 cosine 五十一点二八，直接可以等于。 这样，我们分别求得第一个 tangent 六十五度约等于二点一四， sine 二十三度十三分二十秒约等于零点三九， cosine 五十一点二八度约等于零点六三。 接下来，同学们可以暂停视频，自己再写出一些非特殊锐角，并利用计算器求出它的三角函数值。 好，回到开始的另一个问题，你能够根据一个任意锐角的三角函数值求其对应的锐角吗？ 一起来看问题三，根据下列三角函数值，求锐角 a 精确到零点零一度。一 cosine a 等于四分之一。二 tangent a 等于二。 我们来看计算器模拟的操作步骤。 在开机状态下，第一题我们先按左上角黄色的 shift 键， 再按 cosine 键即可用其上面黄色 cosine 负一功能，再按四分之一 可以直接等于， 或者我们按 shift 键，再按 cosine 键，按一除以四，可以直接等于，结果是一致的。 第二题，继续按 shift 键 tangent 二，直接等于可以得到结果。 我们再次浏览刚才的操作步骤， 第一问，锐角 a 约为七十五点五二度。第二问，锐角 a 约为 六十三点四三度。当然，如果题目中需要化成度分秒的形式，只要再按一个键即可。比如第一小题， 请看 shift cosine 一 除以四等于 再按度分秒键即可完成转换。当然，本题不需要， 同学们可以再次暂停视频，自己再写出一些非特殊锐角的三角函数值，利用计算器确定锐角大小。 接下来让我们一起来看几个例题。例一，如图，当光线与水平线的夹角为三十二度时，测得学校旗杆的影长为二十八米，求旗杆的高度 精确到零点零一米。请同学们暂停视频思考并解答 好。这是一道实际问题，本题可以把实际问题转化为数学问题。已知直角三角形 a、 b、 c 中锐角 a 的 度数 角 a 的 邻边，求其对边应选择的三角函数为角 a 的 正切。 有提议可知， tangent a 等于 b、 c 比 a、 c， 则 b、 c 等于 a、 c 乘 tangent a 等于二十八乘 tangent 三十二度。 这时需要知道 tangent 三十二度的值。利用计算器 二十八乘 tangent 三十二度可以直接等于 利用计算器我们得到 bc 约等于十七点五零，达其杆的高度约十七点五厘米。本题用到了根据锐角求三角函数值， 接下来再看。例二，在等腰三角形 a、 b、 c 等于 a、 c 等于四， b、 c 等于六。求角 b 的 度数精确到零点一度。这是一个数学问题，请同学们暂停视频思考并解答。 首先，根据提议可以画出图形， 等腰三角形具有三线合一的性质，通过做底边上的高可以构造出直角三角形， 便可知直角三角形中锐角 b 的 邻边及斜边的长度分别为三和四。然后求角 b， 如图过点 a 作 a、 d 垂直， bc 垂足为 d。 在 r、 t 三角形 a、 b、 d 中， ab 等于四， b、 d 等于二分之一， bc 等于三，则 cosine b 等于 ab 分 之 b、 d 等于四分之三。 此时需要知道，三角函数余弦值为四分之三的锐角度数，可以利用计算器 shift cosine 三除以四，可以直接等于 用计算器计算，最终得角 b 约等于四十一点四度。 本题是根据锐角三角函数值求锐角，你做对了吗？ 下面我们来看练习反馈，请暂停视频完成。 我们来 第一题，第一小题约十四点四八度。第二小题约七十六点七零度。第三小题，锐角 a、 o a 约等于八十四点二九度 第二道解答题角 a o a 撇的度数约为四十四点四度，你都答对了吗？ 相信同学们对计算器的操作已经很熟练了，下面我们来看这样一个问题， 用计算器求值精确到零点零一，请认真观察表格，你有何发现？请大家按下暂停键算一算，想一想， 通过计算这些锐角的三角函数值，不难得到这样的结 论，锐角的正弦函数值随着锐角的增大而增大，锐角的余弦函数值随着锐角的增大而减小， 锐角的正切函数值则随着锐角的增大而增大。你还有什么发现吗？ 通过观察不难发现，锐角的正弦函数值大于零小于一， 锐角的余弦函数值也是大于零小于一，而锐角的正切函数值则为正数。 其他同学发现了吗？我们可以用计算器验证一下，如八十九度的三角函数值等于多少？ 八十九点九度呢？八十九点九九九度呢？等等，大家可以试一试 哦！我们发现，锐角的正弦余弦值虽然是正数，但总小于一，而锐角的正切值却可以很大很大。还有吗？ 比如 sine 二法、 cosine 九十度减二法，也就是一个锐角的正弦值和这个锐角余角的余弦值有什么关系呢？ sine 阿尔法、 cosine 阿尔法探证者阿尔法同一个锐角的正弦函数余弦函数正切函数值有什么关系呢？ sine 阿尔法的平方与 cosine 阿尔法平方的和等于多少呢？ 大家可以通过举例再操作一下。 通过操作我们不难发现，一、 sine 阿尔法等于 cosine 九十度减阿尔法， 也就是说一个锐角的正弦值等于这个锐角余角的余弦值。 从表格中我们便可以直接看出，比如三十度等于克萨因八十度，三二十度等于克萨因七十度等等。第二个呢， 贪婪的阿尔法等于 cosine 阿尔法，分之 sine 阿尔法，也就是一个锐角的正切值等于其正弦值与余弦值的商。 这个结论不能通过表格计算得到，因为表格中是近似值，需要原始数据进行计算方可得到。 而最后一个呢，则是萨因阿尔法与 cosine 阿尔法的平方和恒等于一，也就是一个锐角的正弦值与余弦值的平方和等于一。 这个结论也不能通过表格直接计算得到，因为表格中是近四值，需要原始角度进行计算方可得到。 老师来举例验证一下，请看视频模拟。我们以三十五度为例，切换成小数， 再计算 cosine 十五度的余角，七十五度也等于四分之根号六，减根号二，切换成小数。同样的结果，再看第二个，我们以贪婪者二十五度为例， 记住这个数据，我们再计算 sine 二十五度括号，除以 cosine 二十五度括号， 等于与刚才贪婪的二十五度的值是一致的。再来看第三个， sine 二十五度括号的平方，加上 cosine 二十五度括号的平方， 我们看结果等于一。同学们，你们也可以举例试一试。 同学们课后还可以继续探索，看看还有没有其他新的发现，和同伴或老师进行交流。 最后，我们进行本节课的小节。本节课你有什么收获？ 本节课我们会使用计算器，由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角。 我们知道锐角与其三角函数值是一种函数的对应关系，利用计算器可以更快、更精确的进行计算，并通过估算等方式解决某些实际问题。 当然，不同型号的计算器的操作步骤可能也是不一样的。 今天的课就上到这里，谢谢观看，同学们再见！

这是一本书，如果从上下前后左右分别给这本书拍照，那你会发现，从不同方向观察书的样子可能是不同的， 但上与下、前与后、左与右的形状基本雷同，所以通常只要从上往下、从前往后和从左往右这三个方向来观察就行。 这就是我接下来要讲的三式图。像书这样的长方体，如果把这三个方向看到的画成平面图形就是这样的。 其中这一张是从上往下看到的，咱叫它俯视图。这一张是从前往后看到的，把它叫做主视图。这一张是从左往右看到的，把它叫做左视图。 那这些常见的立体图形的三式图又长啥样呢？咱可以用小学讲过的拍扁法。先看这个圆柱， 从上面把它拍扁后，俯视图就是一个圆形。从前面把它拍扁后得到的主视图和从左边把它拍扁后得到的左视图都是长方形，而且大小一模一样。 再看这个圆锥，从上面把它拍扁后，俯视图也是一个圆形。从前面把它拍扁后得到的主视图和从左边把它拍扁后得到的左视图都是三角形，而且大小也一模一样。接着看这个三棱柱， 从上面把它拍扁后，俯视图就是一个三角形。从前面把它拍扁后得到的左视图都是长方形，但大小可能就不同了。 最后看这个三棱锥，从上面把它拍扁后，俯视图也是一个三角形。从前面把它拍扁后得到的主视图和从左边把它拍扁后得到的左视图也是三角形，而且大小也可能不同。 仔细观察这四组图，这两组圆什么形的俯视图都是圆，而这两组三棱什么形的俯视图都是三角形。 另外，这两组柱形的主示图和左示图都是长方形，而这两组锥形的主示图和左示图都是三角形。 不过在考试中经常是反过来考你。比如已知一个几何体的三式图，如下图所示，那这个几何体是哪一种呢？有四个选项，分别是棱柱、圆柱、圆锥和球。 那咱先来看看他的俯视图是圆，那他不可能是棱柱。再看他的主视图和左视图都是正方形，那他不可能是圆锥和球，所以只能是圆柱了。选 b。 以上就是有关三式图概念的全部内容，总体来说，你得记住各种图形的三式图特征怎么样？弄清楚了吗？如果清楚就快快刷题去吧！

同学们好，我是来自南京市第五十四中学的陆芳老师。今天我们学习的课题是第七章锐角三角函数小节与思考。二、 锐角三角函数在生活生产中有着广泛的应用，如测量航海工程技术中有关距离、高度、角度等的计算。 我们可以将问题转化为解直角三角形的问题。那么今天这节课我就将带领各位同学利用锐角三角函数做一个数学活动，测量校园内旗杆的高度。 为了测量校园内旗杆 a、 b 的 高度，小明、小丽和小军同学分别采用如下方案， 一、小明的方案如图一，小明站在地面上点 c 处观测旗杆顶部测得仰角角 a、 d、 e 等于二法，并测得 b、 c 长度为 a 米。 若小明的眼睛离地面 h 一 米，请根据小明的方案计算其杆 a、 b 的 高度，用含有 a、 h 一 阿尔法的代数式表示。 在小明的方案中出现了一个名词，羊角。那么什么是羊角呢？ 阳角就是从低处观测高处的目标时，视线与水平线所呈的锐角，在本图中就是角 a、 d、 e。 下面让我们一起来分析一下。 首先将题目中的数据标在图上，根据仰角的定义，我们延长 d、 e 即可构造出直角三角形， 要求其杆 ab 的 高度，就是要分别求出线段 a、 f 和 b、 f 的 长度。 因为四边形 f、 d、 c、 b 是 矩形，所以可以根据矩形的性质对边相等得到 d、 f 等于 b， c 等于 a， b、 f 等于 c， d 等于 h、 e， 求出了线段 b、 f。 下面来求 af。 我们观察到，在 r、 t 三角形 a、 d、 f 中已经知道了一条直角边 d、 f 和一个锐角阿尔法， 那么我们可以依据锐角阿尔法的正切求出线段 a、 f 的 长度，最后加上线段 b、 f 的 长度，即可得到旗杆 ab 的 高度。 在我们的分析过程中可以发现，如果在直角三角形中已知一边一锐角，那么就可以直接解直角三角形，从而得出结果。 我们来看一下这道题目的规范解答。首先交代辅助线的做法， 其次将实际问题数学化，把题目中所提供的已知条件写出来。接下来根据矩形得出线段的长度， 再根据已知角的正切求出 a、 f 等于 a 乘 tangent 的 阿尔法。 最后根据线段的和差关系写出现段 a、 b 的 长度。不要忘记实际问题，还要写答。 继续来看小丽的方案，如图二，小丽先站在地面上点 f 处观测旗杆顶部， 测得羊角角 a、 g、 n 等于北塔。然后他向旗杆方向前进了。秘密，此时观测旗杆顶部，测得羊角角 a、 m、 n 等于伽马。 若小丽的眼睛离地面 h 二米，请根据小丽的方案计算其杆 a、 b 的 高度，用含有 b、 h 二、北塔伽马的代数式表示。 我们先将线段长度标注在图上，下面一起来分析。 用同样的方法添加辅助线构造直角三角形，还是先由矩形的性质得到 g、 m 等于 f， h 等于 b， bp 等于 m， h 等于 h。 二、 要求其杆 a、 b 的 高度，就是要求出现断 a、 p 的 长度。 我们可以发现线段 ap 存在于两个直角三角形中，分别是 r， t 三角形， a， g、 p 和 r t 三角形。 amp。 在这两个直角三角形中，已知的元素都只有一个，锐角北塔和伽玛，那么就无法像之前那道题目一样直接解直角三角形了。 但是我们可以发现，这两个直角三角形都共用一条边 a p， 并且这两个直角三角形的另外一条直角边存在等量关系，即 g p 减 m p 等于 g， m 等于 b。 所以 我们可以利用北塔和伽玛的阵切 建立起两条直角边的比，如果设 a p 为 x， 那 么就得到了线段 gp 和 mp 关于 x 的 代数式。 再利用刚刚发现的线段等量关系建立方程解出 x， 最后加上线段 b p 的 长度，即可得到其杆 ab 的 高度。 来看一下规范解答。首先交代辅助线的做法和将实际问题数学化，并且设两个直角三角形的共边为 x， 由矩形得出线段的长度，然后分别在两个直角三角形中，根据已知角北塔和伽马的正切 求出 g p、 m p 关于 x 的 代数式。接下来根据线段等量关系建立方程得解。 最后加上线段 b p 的 长度，就得到了旗杆的高度 a b。 由这道题的解答过程我们可以发现，在 应用图形中无直接可解的直角三角形，可以根据图形所显示的线段等量关系建立方程得解。 这道题我们也可以设 m p 等于 x， 那 么 g p 等于 b 加 x， 还是根据已知角北塔和伽马的正切得到线段 ap 关于 x 的 两种代数式，再根据 ap 等于 ap 建立方程得解。 最后来看小军的方案， 如图三，小军先站在地面上点 g 处观测旗杆顶部，测得羊角角 a i k 等于北塔， 然后他向旗杆方向前进了 c 米，此时观测旗杆顶部测得羊角角 a、 o、 q 等于 c 塔。 若小军的眼睛离地面 h 三米，请根据小军的方案计算其杆 a、 b 的 高度，用含有 c、 h 三北塔 c t 的 代数式表示。我们先在图中标出已知量， 下面让我们一起来分析一下。同样添加辅助线构造直角三角形， 我们还是发现在构造出的两个直角三角形中都是只知道一个元素，锐角北塔和 c 塔。 但是同样发现这两个直角三角形有共边 a r， 并且另外两条直角边有 o r 加 i。 二等与 c 的 等量关系。 那么我们可以仿照上一题的做法，设共边 a r 为 x， 根据已知角的正切得到 o r 等于 x 比 tangent theta i。 二等于 x 比 tangent beta。 利用找到的等量关系建立方程解出 x， 最后加上 b r 的 长度，即可得到其杆 ab 的 高度。 规范解答过程，同学们可以仿照上一题在课下把它完成。 通过三种测量旗杆高度的方法，我们来总结一下如何利用锐角三角函数解决实际问题。 如果在直角三角形中已知一边一锐角或已知两边，那么可以直接解直角三角形。 如果在应用图形中无直接可解的直角三角形，那么可以在两个直角三角形中根据图形所显示的线段等量关系建立方程得解。 常见的模型有背靠背和母子图，它们都有一个共同特点，就是共边。通常我们都是设共边为 x， 再根据等量关系建立方程得解。 接下来让我们一起来看几个例题。 例一，公交总站 a 点与 b、 c 两个站点的位置如图所示， 已知 a、 c 等于六千米角， b 等于三十度角， c 等于十五度，求 b 站点离公交总站的距离及 a、 b 的 长，结果保留根号。 我们先在图当中标出数据，此图没有直角三角形，那如何利用锐角三角函数解决问题呢？同学们可以想一想。 对，我们可以化斜为直，添加辅助线，构造可解的直角三角形。于是我们过点 c 作 cd， 垂直于 ab， 垂足为 d， 此时出现了两个直角三角形。屏幕前的同学肯定有人看出来了，这张图很像母子图，所以第一反应就是设 x 建立方程。 那么这道题真的需要设未知数求解吗？同学们可以暂停视频思考一下这个问题。 在问题中给出了两个角度，角 b 等于三十度，角， a、 c、 b 等于十五度。 我们可以根据三角形的外角性质得到角， cad 等于四十五度， 那么在 r、 t 三角形 a、 c、 d 中就已知一边一锐角了，可以直接解直角三角形，求出线段 c、 d 和 a、 d 等于三倍根号二， 求出来以后，另一个 r、 t 三角形 b、 c、 d 也同样已知一边一锐角。观察图形可以看出三十度的对边， c、 d 等于三倍根号二， 那么我们可以利用三十度的正切求出现断 b、 d， 再根据线段的和差关系直接计算出 ab 的 长度。 当然，这道题也有其他的做法，同学们可以尝试过点 b 做 a、 c 的 垂线段，或过点 a 做 b、 c 的 垂线段，看看能不能解决这个问题。 下面来看一下这道题目的规范解答。首先交代辅助线的做法， 利用三角形外角性质求出角 c、 a、 d 等于四十五度。 在 r、 t。 三角形 c、 a、 d 中，利用四十五度的正弦求出现断 c、 d。 等于三倍根号二。 利用四十五度的余弦求出现断 a、 d 等于三倍根号二。 在 r、 t。 三角形 b、 c、 d 中，利用三十度的正切求出现断 b、 d 等于三倍根号六。 最后根据线段的和差关系计算出 ab 等于三倍根号六。减三倍根号二。 我们再来看一道例题。例二，如图，为了测量建筑物 ab 的 高度，在 d 处树立标杆 cd， 标杆的高是两米。 在 d、 b 上选定观测点 e、 f 从 e 测得标杆和建筑物的顶部， c、 a 的 阳角分别为五十八度、四十五度。 从 f 测得 c、 a 的 阳角分别为二十二度、七十度，求建筑物 a、 b 的 高度精确到零点一米。 此图较为复杂，共有四个直角三角形。是直接解直角三角形呢？还是需要设 x 建立方程求解呢？让我们一起来分析一下吧。 首先将实际问题转化为数学问题，题目中共给出了四个锐角和一条线段长度。 通过观察， r、 t。 三角形 c、 d、 e 和 r t。 三角形 c、 d、 f 都是已知一边一锐角 是可以直接解直角三角形，求出现断 d、 e 和线段 d、 f。 在 r、 t。 三角形 c、 d、 e 中，利用五十八度的正切求出 d、 e。 在 r、 t。 三角形 c、 d、 f 中，利用二十二度的正切求出 d、 f。 再根据线段和差关系计算求得线段 e、 f 的 长度。 因为此题是要求线段 a、 b 的 长度，那么我们观察线段 a、 b 是 r、 t。 三角形 a、 b、 f 和 r t 三角形 a、 b、 e 的 边， 而这两个直角三角形都是已知一锐角，缺少边的已知量，那么我们就需要设未知数，借助于方程解决问题。 习惯上我们会设共边 ab 为 x， 但是也可以设其他的线段。那么此题我们尝试设线段 b f 为 x。 在 r t 三角形 abf 中，利用七十度的正切求得 ab 等于 x 乘 tangent 的 七十度。 在 r t 三角形 a、 b、 e 中，利用四十五度的正切得到 a b 等于 b， e 等于 x 加 e f。 根据 a b 等于 a b 建立方程解出 x， 最后用 x 加 e f 求出线段 ab 的 长度规范。解答过程，同学们可以在课后按照思维导图的分析完整地写出来。 现在我们进行本节课的小节。本节课是第七章锐角三角函数的应用复习课。 在处理应用问题上，首先需要将实际问题转化为数学问题，再在直角三角形中利用锐角三角函数进行解决。那如何利用呢？ 我们需要根据题目中所给出的条件在图形中进行观察。 如果在直角三角形中已知一边一锐角或两边，那么可以直接解直角三角形。 如果没有可以直接解的直角三角形，那么可以在两个直角三角形中根据图形所显示的线段等量关系建立方程得解。 今天的课就上到这里，谢谢观看，同学们再见！

同学们好，我是来自南京市高城区第一中学的杭香香老师。今天我们所学习的课题是五点三，锐角三角函数。第二课时， 上一节课我们已经复习了锐角三角函数的定义。这节课我们利用锐角三角函数来解决问题。 第一题，如图，在 r、 t 三角形 a、 b、 c 中，角 c 等于九十度，角 b 等于三十度， bc 等于六，则 a、 b 为结果，保留根号。 根据图中 bc 为角， b 的 邻边， ab 是 斜边，我们选择角 b 的 余弦 cosine， b 等于 bc 比 ab 变行为 ab 等于 bc， 除以 cosine， b 等于六，除以二分之根号三等于四根号三。求解 第二题，在 r、 t 三角形 a、 b、 c 中，角 c 等于九十度， a、 c 等于根号六， b、 c 等于三根号二。解这个三角形。 这里的解这个三角形就是要把三角形 a、 b、 c 中除了已知的两边和一角外，其余的剩下的两角以及一边全部求出来才叫解这个三角形。 根据 a、 c 是 角 a 的 邻边， bc 是 角 a 的 对边。我们选择贪婪的 a 等于 bc， 比 a、 c 等于三根号二，比根号六，化简为根号三。 记忆角 a 就 等于六十度。然后根据直角三角形的两个锐角互余求出角 b 等于九十度。减角 a 等于三十度。求 a、 b 方法很多，可 也可以选择角 a、 角 b 的 任何一个三角函数值。 这里选择的是三十度角所对的边等于斜边的一半，所以选择了一个最容易的办法， a、 b 等于两倍的 a、 c 等于二根号六。 上面解直角三角形的过程总结为就是确定直角三角形除直角外的条件，也就是判断直角三角形全等的条件。 我们只需要在已知除直角外的两个元素，就可以求出剩下的三个元素，这就是借直角三角形的过程。 在已知的两个元素中，至少必须有一边，因为三个角相等是不能判断两个直角三角形全等的，所以还分为已知 一边一角求另外两边和一角的过程，以及两边求第三边和两角的过程。这个过程当中所利用的知识有 三边之间的关系，就是勾股定律，两个锐角之间互与的关系以及边角之间的关系，就是两个角的六个三角函数值的选择。 例二，在三角形 a、 b、 c 中， a、 c 等于八角， b 等于四十五度角， a 等于三十度求 a、 b 的 值。 这个三角形不是直角三角形，我们可以把它称为叫斜三角形。如何来利用三十度角和四十五度角，我们需要天垂线 过 c 做 c、 d 垂直 ab 垂足为 d， 这样原来的三角形就可以分成左右两个直角三角形来分别求解。 在 r、 t 三角形 a、 c、 d 中，已知一个锐角一条边，我们就可以求解这个直角三角形。这里需要求的边有 a、 d 和 c、 d， 所以 选择口上以 a 等于零边比斜边， 所以 a、 d 就 等于 a、 c 乘 cos 等于 a 等于八，乘二分之根号三等于四根号三。 还有 c、 d， 我 们选择的是最简单的等于 a、 c 的 一半等于四， 这个 c、 d， 它属于两个直角三角形，是两个直角三角形的公共边，是两个直角三角形联系的桥梁。 在 r、 t 三角形 b、 c、 d 中，已知 cd 一 边角 b 四十五度，我们又可以去求解这个直角三角形，这里所需要求的边是 b、 d。 根据弹性的 b 等于 c、 d 比 b、 d 等于一，我们可以求出 b、 d 等于 c、 d 乘弹性的 b 等于四，乘一等于四。当然这里你也可以选择特殊的等角对等边来解决 b、 d 的 长度。 最后 a、 b 的 长就等于 a、 d 加 b、 d 等于四根号三加四。第二题，在三角形 a、 b、 c 中， a、 c 等于六角 b。 三十度角 c。 十五度求 a、 b 的 长，结果保留根号。这道题目 最初的想法很容易过 a 做 b、 c 的 垂线把斜三角形分割成两个直角三角形， 但是有一个直角三角形，还有的是十五度，这个角我们是非特殊角， 我们一般情况下是不知道十五度角的三角函数值的，所以这个办法应该来讲是走不通的。 我们选择过 c 做 c、 d。 垂直 ab。 垂直为 d。 根据三角形中角度的位置，我们可以求出角 c、 a、 d 等于 角 c 就是 角 a、 c、 b 加角 b 等于四十五度。四十五度又是我们常见的特殊角，这样我们就找到两个还有特殊角的直角三角形， 一个是 a、 c、 d， 一个是 b、 c、 d。 在 a、 c、 d 中已知斜边等于六角 c、 a、 d 等于四十五度。选择 cosine 角 c、 a、 d 等于 a、 d、 b、 a、 c 转化为 a、 d 等于 a、 c 乘以 cosine 角 c， a、 d 等于六乘 cosine 四十五度等于六乘二分之根号二等于三根号二。 同样 c、 d 我 们也可以求出来等于三根号二，或者用 c、 d 等于 a、 d 求出来等于三根号二。 这个 c、 d 它同时属于两个直角三角形，所以它的位置非常的重要，是两个直角三角形的公共边。 在 r、 t 三角形 b、 c、 d 中，又一只 c、 d， 一 边还有一角角 b 等于三十度。 我们可以选择贪婪的 b 等于 c、 d、 b、 b、 d 转化为 b， d 等于 c、 d 除以贪婪的 b 等于三根号二，除以三分之根号三等于三根号六。 求出了 b、 d， 求出了 a、 d， 我 们就可以得出 a、 b 等于 b、 d 减 a、 d 等于三根号六，减三根号二。 这个题目也是把一个三角形分割成两个直角三角形，但是这个分割是通过做一条外面的勾来分割的。 总结一下，确定两个三角形全等的条件，我们知道要三个条件，这三个条件当中 已知就可以确定求出未知的三个元素。我们也可以类似的把这个过程称为叫解斜三角形。解三斜三角形其实就是转化为解直角三角形。 转化的方法一般有下面两类，在三角形的内部添一条勾，或者在三角形的外部添一条勾， 这条勾我们称为叫两个直角三角形的公共边，起着非常重要的作用。那么分为已知两边加角， 求另外两角一边或者以至两角集齐一组等角的对边或者以至三边来求三角的过程， 这就是解斜三角形的过程。一般的题目中没有出现解斜三角形的这个词，但是它会求出一部分的大，比如说它只要求某一条边或者某一个角。 好，下面我们看例三。如图，为了测量建筑物 c、 d 的 高度， 小明在 e 点分别测出建筑物 a、 b 的 顶端的阳角， a、 e、 b 这个标在图上等于三十度，还有一个阳角 c、 e、 d 等于四十五度，这个我在图上没有标出来。在 f 点 分别测出建筑物 ab 的 顶端的阳角是 a、 f、 b 等于四十五度， c、 f、 d 等于七十度， 已知 ab 的 高度等于十四。求 cd 的 高度。答案要求精确到零点，一，并提供了三个参考数据， 这也是我们每年中考常见的三角函数的一个类型。在这个图形当中比较复杂，它一共有四个直角三角形 a、 b、 e、 a、 b、 f 还有 c、 d、 e。 其中 a、 b、 e 是 已知一边十四，一角三十是可解的， a、 f、 b 同样已知一边十四，一角四十五度也是可解的。 三角形 c、 d、 e 中没有一条变异值，三角形 c、 d、 f 中也没有一条变异值，所以这个题目的难度就加大了。 但是我们可以看出来，三角形 c、 d、 e 和三角形 c、 d、 f 他们有一条公共的边， c、 d 还有他们的边 c、 e 和 c、 f 之间相差的那个 e、 f 是渴求的。所以此类题目我们要把这两个三角形关联起来求，也就是需要借助于设 未知数的方法来列方程或者方程组解决问题。设 c、 d 的 长为 x。 好，我们先把能求的求出来。在 r、 t。 三角形 a、 b、 e 中，角 a、 b 等于三十度， a、 b 等于十四。 选择贪婪的角， a、 e、 b 等于 a、 b、 b， a、 e 转化为 a， e 等于 a、 b。 除以贪婪的三十度等于十四根号三、 在 r、 t。 三角形 a、 b、 f 中， ab 等于十四角， a、 f、 b 等于四十五度，很容易求出来， a、 f 等于 ab 等于十四。 所以 e、 f 的 长就等于 a、 e 加 a、 f 的 长等于十四根二三加十四。 接下来我们在三角形 c、 d、 e 中和三角形 c、 d、 f 中 都找不到一条一致的边，但是通过假设的未知数 x， 我 们可以用 x 来表示其余的边 c、 d、 e 当中角 c、 d、 e 等于四十五度。很显然， c、 d 等于 x， 那 么 c、 e 就 等于 c、 d 等于 x， 这个应该是特别好计算的一个量。 那么在 r、 t 三角形 c、 d、 f 中，角 c、 f、 d 等于七十度， c、 d 是 它的对边，还有一条 c、 f。 其实我们已经可以借助已知的量和设的未知数表示出 c、 f 的 长， c、 f 是 七十度角的邻边，所以我们选择贪婪的七十度，贪婪的角 c、 f、 d 等于对边 b 邻边， 也就是 x b， x 减去十四加十四，根二三等于二点七五。 这个方程解出来 x 等于六十点一。 完整的作答。 我们经常在碰到解直角三角形的时候，无法直接 用边来表示，那么我们的另一个手段，也就是设未知数，然后通过设的未知数来表示另外的线段构造方程来解决问题，这其实也是一种模型的思想。 好，我们再看。第四。如图，在横线 l 的 两侧分别有观测点 a 和 b。 点 a 到横线 l 的 距离为两公里，点 b 位于点 a 的 北偏东六十度 方向，且与点 a 相距十公里处。这个题目的题干就要求理解 ab 的 长度就是十。 现有一艘轮船从位于点 b 南偏西七十六度的方向的 c 处，就是图中的 abc 等于七十六度， 正沿自西向东的方向途中自西向东，也就是 c、 d 的 方向航行五分钟后到了 d 处。 这个题目对方位角的理解以及对方向题目意思，对应的线段的要求比较高。 第一个问题，求 b 到航线的距离，也就是图中虚线 b 一、 这条垂线段的长度。第二个问题，求轮船航行的速度，提供的参考数据 可以供你选择，答案要求精确到零点一千米每小时。 那么这个题目中我们首先要找到要求的是哪些量，它比前面一个题目难在，就说你要需要求什么量，审题的要求就提高了。 这个题目我们需要找出相应的条件以及相应的三角形。设 a、 b 与 l 相交于点 o， 在 rt 三角形 a、 o、 d 中，已知角 o， a、 d 等于六十度， a、 d 等于二，我们可以选择相应的三角函数， tan 等于 o d， b， a、 d 等于 a d， b 上 o， a 求出 o、 d 的 长和 o， a 的 长。 根据 a、 b 等于十，我们可以解出 o， b 等于 a， b 减 o， a 等于六。 在 r t 三角形 o、 b、 e 中，我们还需要知道角 o、 b、 e 的 度数 等于角 o、 a、 d 的 度数等于六十度。然后选择相应的三角函数，同样的办法求出 o、 e 和 b， e 的 长，这样第一题的答案就得到求解。 第二题为了求 cd 的 长度， 在 r t 三角形 b、 c、 e 中，角 c， b， e 等于七十六度， b， e 等于三。选择 tan 角 c， b， e 等于 c， e 比上 b， e 变成 c， e 等于 b， e 乘 tan 角 c b， e 带入相应的数字，求出 c、 e 的 长度。 又因为前面的答案已经求得 d 一 等于 o， d 加 o 一 等于五倍的根号。三、 带入相应的数据等于八点六五，这样我们就可以用减法求出 c、 d 的 长度等于 c 一 减 d 等于 十二点零，三减八点六等于三点三八。题目中五分钟我们把它化成十二分之一小时， 求的轮船的速度为路程除以时间约等于四十点六。然后完整的写出题目的解答过程。 总结一下，我们通过直角三角形的边角关系，总结出了锐角三角函数的定义， 那么在具体的问题当中，我们需要去找到相应的直角三角形来解这个直角三角形，从而解决实际问题的答案。 今天的课就上到这里，谢谢观看，同学们再见！

同学们好，我是来自南京市玄武高级中学的陆燕老师，今天我们学习的课题是锐角三角函数。小结与思考 一、直角三角形是我们现实生活中的常见图形，与之相关的运算实际利用非常普遍。 在这一张中，我们学习了锐角的正弦、余弦、正切的概念，下面我们就以问题为引领，对这一张的知识与思想方法进行梳理。请看问题一， 锐角三角函数是如何确定的？我们看一下这幅图。 在这张图中，我们利用相似三角形的知识可以证明， 当角 a 确定时，角 a 的 对边与斜边的比、角 a 的 邻边与斜边的比、角 a 的 对边与邻边的比都是确定的， 从而定义了锐角的正弦、余弦和正切概念，即 sin， a 等于角 a 的 对边比斜边 cosine， a 等于角 a 的 邻边比斜边摊进的 a 等于角 a 的 对边比上角 a 的 邻边、 角 a 的 正弦、余弦正切都是角 a 的 锐角三角函数。那下面就请同学们利用锐角三角函数的概念完成填空， 大家做好了吗？这里我们需要注意，计算锐角三角函数的前提是在直角三角形中。题目只给出了三角形的三条边长， 由勾股定律的例理可知，三角形 a、 b、 c 是 直角三角形，其中角 c 是 直角，所以我们可以依次写出结果， sin a 等于五分之三， 五分之四。 cosine a 等于五分之四， cosine b 等于五分之三。贪婪的 a 等于四分之三，贪婪的 b 等于三分之四。 这里还有两个常用的结论，不知道同学们还记得吗？ 一个锐角的正弦等于它余角的余弦，或者说一个锐角的余弦等于它余角的正弦。我们也可以用符号来表示，就是 sign， a 等于 cosine， 括号九十度减 a。 另一个结论是互于两角的正切值，互为倒数，用符号语言表示，就是 tangent 的 a 乘以 tangent 的 括号九十度减 a 等于一。掌握了这些结论，可以帮助我们有更多的途径去解决问题，下面我们一同看。例一， 如图，在直角三角形 a、 b、 c 中，角 a、 c、 b 等于九十度， c、 d 是 斜边， ab 上的高， ab 等于五， ac 等于三。求算角 b、 c、 d 的 值。 你会怎么做呢？ 我们先从已知条件出发，结合图形可以看到图中有相似的三角形，直角三角形 a、 b、 c。 直角三角形 b、 d、 c 和直角三角形 a、 d、 c 都是相似的。 另一方面，结合勾股定律，相似三角形中对应边成比例，我们可以求出这个图中很多线段的长度。 有了这样的认识，我们再来看看要求什么呢？要求 sin 角 bcd， 可以 理解为在直角三角形 bdc 中求 bd 比上 bc， 这两条线段的长度都是未知的，我们可以选择足条求出，也可以利用相似做整体的代换。 例如，我们可以通过两角对应相等证得三角形 b、 d、 c 相似于三角形 b、 c、 a。 再根据对应线段乘比例可得 b、 d 比上 bc 就 等于 bc 比上 ab， 其中 a、 b 是 已知的， b、 c 的 长度则可以由勾股定律求得，所以我们得到答案， sin 角 b、 c、 d 等于五分之四。我们还可以换个角度来考虑， 因为锐角确定，锐角的正弦值也确定，所以要求上角 bcd， 我 们也可以在途中找一个与角 bcd 相等的角，求出它的正弦值。 依据同角的与角相等可知，角 a 就 等于角 b、 c、 d， 那 么上角 b、 c、 d 等于上角 a 等于 b， c 比上 a、 b 等于五分之四。 这两种思路都是常见的求三角函数值的方法，同学们可以根据实际情景选择恰当的方法来解析。 接下来就请同学们算一算。 这里我们主要复习的是特殊角的三角函数值，要熟练掌握三个特殊角的三角函数值，关键是熟悉这一对直角三角形。 由于这一对直角三角形的边除了符合勾股定律以外，还有特殊的数量关系，所以我们可以求得它们锐角的三角函数的精确值。让我们复习一下， 我们可求得， sine 三十度等于二分之一， cosine 三十度等于二分之根号三。贪婪的三十度等于三分之根号三。 sine 四十五度和 cosine 四十五度都等于二分之根号二。贪婪的四十五度等于一。 sin 六十度等于 cosine 三十度等于二分之根号三。 cosine 三十六十度也可以等于 cosine 三十度等于二分之一， tangent 的 六十度等于根号三。 最后我们核对一下这两题的计算结果，第一题答案为零，第二题结果是根号三。 下面请看问题。二、 在三角形 abc 中，角 c 等于九十度， a 等于根号二， b 等于根号六、解这个直角三角形 在这一题当中，我们首先要弄清楚什么是解直角三角形呢？ 规定由直角三角形边角中的已知元素求出所有边角中的未知元素的过程，叫做解直角三角形。 那么直角三角形中都有哪些元素？各元素之间又有哪些关系呢？除直角外，还有两个锐角，两条直角边和一条斜边。 从边上看，有 a 方加 b 方等于 c 方。从角上看，有角 a 加角 b 等于九十度。 从边角关系上看，则有 sin a 等于 c 分 之 a， cosine a 等于 c 分 之 b， 贪婪的 a 等于 b 分 之 a， 当然还有角 b 的 三角函数。 回顾完这些知识点，我们再来看这道题。现在已知两直角边，我们可以先根据勾股定律求出斜边的长。 接下来如何求角度呢？可以利用三角函数，因为三边都已经知道了，所以三个三角函数是可以任意选择的。这里我选择使用角 a 的 正切 计算。贪镜的 a 等于三分之根号三，所以可以求得角 a 等于三十度，角 b 等于六十度。 解完这道题就要请同学们思考了，你能根据不同的已知条件归纳出相应的解直角三角形的方法吗？ 这里先要解决的是有哪些不同的已知条件可以确定一个直角三角形呢？也就是说两个直角三角形全等需要具备什么条件呢？ 我们可以一一列举一下。已知一个锐角和斜边， 已知一个锐角和直角边。已知两直角边。 已知一直角边和斜边。一共四种情况，这些组合可以判断两直角三角形全等。也就是说， 一个直角三角形可以由五个元素当中的两个，其中至少有一个是边来唯一。确定 其中已知两直角边。解直角三角形的情况我们刚刚就已经练习过了，接下来就请同学们完成其他三种情况， 请同学们用五分钟的时间完成这道例题。 好，我们一起来看一下解答。第一小题，已知角 a 则角 b 等于九十度减角 a。 因为已知的是斜边， c 要求两直角边，所以只能选择正弦或余弦来进行计算。 我们可以求得 a 等于 c 乘以撒引 a， b 等于 c 乘以 cosine a。 当然你也可以选择用角 b 的 三角函数来表示直角 a 和 b， 当然你也可以选择用角 b 的 三角函数来表示直角边 a 和 b。 第二小题的思路与第一小题大致相同，不同的是三角函数的选择， 因为已知的是一个锐角和一直角边，所以要关注锐角与直角边之间的位置关系，选择正确的函数关系来列式， 分别求出斜边和另一直角边。 第三小问是已知一直角边和斜边，先依据勾股定力求出另一直角边， 这时三边都已经知道了，我们可以根据三角函数值求出锐角的度数，这里只展示了其中的一种解法。 通过这三小问，我们就对解直角三角形做了比较全面的总结。 接下来我们就想把在解直角三角形中获得的方法和经验进一步拓展。请同学们考虑一下， 在一般三角形中已知哪些元素就能解这个三角形呢？ 和前面一样，我们可以将这个问题转化为两个三角形全等需要具备什么条件呢？ 相信同学们都非常熟悉，一共有四种方法， 边角边角边角角角边和边边边。对照解直角三角形的思路，大家来总结一下， 一个任意三角形可由六个元素当中的三个来唯一确定，其中已知的三个元素当中至少要有一个是边。 好，接下来我们就一起来完成两个例题，请看例一， 在三角形 abc 中，已知 ab 等于四， ac 等于二角 c、 a、 b 等于一百二十度，求 bc 的 长。 这是一个一般的三角形，我们已知了其中两边及其夹角，要求的是第三边。 解决问题的突破口应该是在将一般三角形转化为直角三角形，这时候就要需要添加适当的辅助线， 你会做什么样的辅助线呢？在这里我们做三角形边 ab 边上的高 cd， 这样就得到了两个直角三角形， 分别是直角三角形 a、 dc 和直角三角形 bdc。 其中在直角三角形 a、 d、 c 中，我们已知了角 d、 a、 c 等于六十度， a、 c 等于二，利用三角函数就可以求出它的两条直角边的长度， 再利用已知条件 a、 b 等于四，就可以求得直角三角形 c、 d、 b 中两直角边的长度， 最后结合勾股定律可求得斜边 bc 的 长度。同学们可以先自己书写一下解答过程， 写好后我们一起来看一遍。先说明添加的辅助线， 因为这里有多个直角三角形，所以使用三角函数时，建议大家说明清楚是在哪一个直角三角形当中。 在直角三角形 a、 d、 c 中，我们利用三角函数可以求得 c、 d 等于根号三， a、 d 等于一， 所以 b、 d 等于五。 在直角三角形 c、 d、 b 中，利用勾股定律可以求得 bc 的 长，等于两倍的根号期。 接下来我们看例二， 在三角形 abc 中，角 a 等于三十度，摊进的 b 等于二分之根号三， ac 等于二，根号三，求 ab 的 长。 在这个问题中，我们一样可以沿用刚才的思路，将一般三角形转化为直角三角形。那么这一次你会怎样添加辅助线呢？ 考虑到角 a 等于三十度，所以我们选择做三角形边 a、 b 上的高， 这样就将圆三角形分割成两个直角三角形，直角三角形 bdc。 在 直角三角形 adc 中已知一个锐角和一边， 我们是可以解这个直角三角形的，求得它的边 a、 d 和 c、 d 的 长。而另一个直角三角形 b、 d、 c 与其有公共的直角边，并且还知道一个锐角的正切值，这就等同于知道两条直角边的比值。 我们可以利用这两个三角形求出现段 a、 d 和 b、 d 的 长，从而最终求得 a、 b 的 长。 还是请同学们先自己写一写， 下面我们一起看一下具体的解答过程。做 c、 d 垂直于 a、 b， 垂足为 d。 首先在直角三角形 a、 d、 c 中 求得 c、 d 等于根号三， a、 d 等于三。 再在直角三角形 b、 d、 c 中求得 b、 d 的 长等于二，根号三， 最后求得 a、 b 等于三，加二根号三。 通过这两个例题，同学们可以总结一下我们再解一般三角形的思路与方法。 好，今天我们一同复习了锐角三角函数的相关知识，梳理了直角三角形中的边角关系，再一次巩固了锐角三角函数的概念， 并能够利用这些关系解直角三角形。锐角三角函数在实际中有很多应用，我们将在下节课和同学们继续学习， 今天的课就上到这里，谢谢观看，同学们，再见！

同学们好，我是来自南京市第十三中索金分校的周成成老师。今天我们学习的课题是七点六，用锐角三角函数解决问题。三、 同学们，今天我们再和小明一起坐一坐热气球呢，看看热气球又会带来哪些新的有趣的问题呢？先看问题一， 小明在游乐场某处利用侧角仪观测热气球的仰角为二十七度，然后他沿着正对气球的方向前进了五十米， 此时观测气球的仰角为四十度。如果侧角仪的高度为一米，那么气球的高度是多少呢？ 我们还是先来抽象图形，请同学们在学习单上跟着老师一起画一画。根据实际情景，我们来发挥一下自己的想象力。 我们可以把地面抽象为一条直线，在直线上任取一点作为某处，再画出热气球的位置及点 c 的 位置。这里有一个新名词，羊角。我们来认识一下 仰角的定义，从低处观测高处目标时，视线与水平线所呈的夹角。 相对的还有俯角的定义，从高处观测低处目标时，视线与水平线所呈的锐角。我们来看左面这幅图，可以清楚地明白什么是仰角和俯角。 那么在这个问题中，我们需要画出水平线和视线，从而标注出仰角。 沿着正对气球的方向前进了五十米，到达了 f b 处，我们还是要再画出此时的仰角， 那么要求的是什么呢？气球的高度？我们来一起看一下这个数学问题。 先来梳理题目中的已知和未知，为了方便表达，我们可以过点 a 做 a h 垂直 c d 垂足为 h， 由题意可知点 b 也在 a h 上面， 那么这个时候仰角我们就可以表示为角 c a、 b 等于二十七度，另一个仰角 c、 b、 h 等于四十度。还有 ab 等于 e， f 等于 d， h 都等于一米，要求的是 c d 的 长。 同学们思考一下，这个已知和未知之间有什么样的联系呢？ 同学们有想法了吗？这个图形看上去没有那么简单哦， 我们在分析这个问题之前，不妨先思考这两个问题呢。第一个问题， c d 需要转化吗？如何转化？观察图形 c d 等于 c h 加 h d， 而 d h 就 等于一米，那么问题就转变成只要求 c h 就 可以了。 那么随之第二个思考就出现了， c h 与哪些已知量有关呢？请同学们观察图形。先想一想， 我们不难发现 c h 同时存在于两个直角三角形当中，可惜的是，这两个直角的角形都只是已知一个角，我们无法直接解除 c h。 但是我们可以根据已知角的三角函数得到三边关系。例如，在直角三角形 c、 b、 h 中，我们可以根据已知角 c b h 得到 c h 的 关系。 同样在直角三角形 c h 中，我们可以根据已知角 c h 的 三角函数得到 c h 与 a h 的 关系。 那么这里为什么我们要选择 c h 与 b h 以及 a h 的 关系呢？请大家观察图形， 我们看出 a h 和 b h 与已知量之间联系紧密，我们可以找到它们与 ab 之间的数量关系。带着这两个思考，我们再来分析也许就清楚多了。 先从三角形 a h 出发，利用 tangent 二十七度等于 c h 比 a h， 从而得到用 c h 来表示 a h。 同样，在直角三角形 c b h 中，利用 tangent 四十度等于 c h 比 b h， 从而得到用 c h 来表示 b h， 而 a h 减掉 b h 等于 ab。 这里我们只要设 c h 为 x， 即可得到一个方程，从而求解出 c h。 在 这个思路过程中，我们是从已知条件出发，不断地推向未知。像这样的思维方法是在由因导果 解决这个问题之后，我们不妨再回顾一下整个分析过程。在这个问题，图形中出现了两个直角三角形，而且都无法直接解出， 但是两者之间有一个公共边，这时候我们可以选择设这条公共边为 x， 再利用已知角的三角函数找到边与边之间的关系，即可用 x 表示出其他未知边。最后再利用图形存在的线段之间的等量关系建立方程求解。 当然，这道题也有其他的解法，我们选择的未知数不同，建立的方程也就不同，同学们课后可以尝试下，然后再互相交流对比下，看看谁建的方程更方便解答呢？ 下面我们一起来看一下这个方法的具体解答。首先描述辅助线，交代已知条件，并设出未知数。然后利用三角函数分别用 x 表示出其他的未知边。 接着再根据数量关系建立方程，大致分为三段，选择合适的未知数，利用三角函数表示其他的未知量。根据线段的数量关系建立方程求解。 小明神奇地发现，原来用测阳角的方式就能得到热气球的高度了。于是他登上热气球之后，又尝试了用同样的方式去测量大楼的高度，请看便事。 小明乘坐热气球到达一百米高处时，从热气球探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的阳角为四十五度，看这栋楼底部的俯角为三十度。求这个高楼的高度。 我们同样要先抽象图形，相信这个时候同学们已经可以画的很快了。 点 a， 即小明到达一百米高速时，从热气球显示看一栋高楼的顶部仰角为四十五度，即从点 a 处看点地的仰角为四十五度， 看这栋楼底部的俯角为三十度，即从点 a 看点 c 的 俯角为三十度。求这个高楼的高度及 c d 的 长。同学们先思考一会儿， 我们发现 c d 在 一个一般三角形里，根据之前所学的解一般三角形的经验，你会怎么做呢？ 对，我们可以画斜为直，将一般三角形转化为直角三角形， 我们可以过点 a 做 a h 垂直， cd 垂足为 h， 这时候 cd 就 可以分解成 c h 和 h d 了， 而 c h 就 等于 ab 等于一百米。那么问题就转变成如何去求 d h。 我们发现 d h 在 直角三角形 a d h 中，我们可以根据 tangent 四十五度等于 d h 比 ah， 从而得到 d h 就 等于 a h 乘以 tangent 四十五度， 那么我们就需要把 a h 的 值找到就可以了。进一步观察， a h 在 直角三角形 a h c 中，而 a h c 中我们已知一角和一边，那么即可解出 a h。 我 们可以利用 tangent 三十度等于 c h 比 a h， 从而解得 a h， 得到 d h， 进而得到 c d 的 长， 这样我们的路线就打通了。在这个思路过程中，我们是从带球的结论出发，逐步靠拢已知条件。像这样的思维方法，我们是在执裹索因，下面我们来看一下具体解答。 在这个问题中，我们不需要建立方程，可以直接的过程，最后精确到一米。 小明的测高实验再次成功了。可见在我们生活中测量高大的建筑物本来是很困难的事，但是有了三角函数的帮忙，一切都变得简单了。数学知识就是如此的奇妙， 我们可以用锐角三角函数知识解决测高问题。接下来我们来看。第一， 如图，在以笔直的海岸线上，有 a、 b 两个观测站， a 在 b 的 正西方向， a b 等于两千米。 从 a 测得船 c 在 北偏东五十六度的方向，从 b 测得船 c 在 北偏西二十度的方向，求船 c 离海岸线的距离。 这里出现了方位角，我们来认识清楚。 如图，绿色的线表示北偏西三十五度方向，红色线方向我们可以称之为南偏东六十四度。 也就是说方位角我们一般都是从南北偏东西，不从东西偏南北。理解了方位角之后，请同学们在图中标注出方位角。 下面我们一起来看这个问题如何解决。要求船 c 离海岸线的距离可以过点 c 做 c h 垂直 a b 即求 c h 的 长。那么该怎么求呢？ 我们先来梳理已知和未知。这个题目中已知的两个方位角并不在三角形中，我们可以找出它们的余角转化成三角形的条件， 即角 c a、 h 等于三十四度，角 c b a 等于七十度。当然还有 ab 等于两千米，我们要求 c h， 请同学们先自己找一找已知和未知的联系， 同学们，找好了吗？我们发现这个图形中虽然有两个直角三角形，却依然不满足可解条件。根据之前测热气球高度的问题，同学们有什么启发呢？两个问题有相似之处吗？ 我们发现这两个问题中都有一条公共边， c h 是 两个直角三角形的公共边， 那么我们可以在直角三角形 c h 中利用已知角 c h 的 正弦表示出 a h， 再在直角三角形 c、 b h 中，同样利用已知角 c b a 的 正切 表示出 b h 的 长。而观察图形，我们可以找到 a h、 b h 与已知线段 a b 之间的数量关系，即 a h 加 b h 就是 ab 的 长， 从而我们可以设出 c h 等于 x 米。建立方程求解 这个思路，过程依然是在由因导果。接下来我们来看一下具体的解答。 整个过程依然分为三段，选择合适的未知数。在两个直角三角形中，分别根据已知角的三角函数值，从而用 x 来表示出其他的未知量。在寻求线段之间的数量关系，建立方程求解。 有这个问题，我们发现锐角三角函数不仅可以解决测高问题，同样还可以解决测质问题呢。接下来我们一起来挑战一下。立二 大海中某小岛周围的十千米范围内有暗礁。一海轮在该岛的南偏西五十五度的方向某处，由西向东行驶二十千米后，到达该岛的南偏西二十五度方向的另一处。 如果该海轮继续向东行驶，会有触礁的危险吗？ 这个问题是要发挥同学们的想象力，首先在脑海里面想象一下海伦行驶的情景，并根据提议把你抽象的图形在学习单上画出来。可以先按暂停键， 同学们画好了吗？有一定难度吧，我们一起来交流一下呢！大海中某小岛， 我们用点 a 表示周围的十千米，用圆 a 来表示，半径为十千米。 一海轮在该岛的南偏西五十五度的方向的某处，我们画出方位角，得到点 b 处。由西向东二十千米后到达该岛的南偏西五十二十五度的方向，我们可以向东行驶， 直到方位角在南偏西二十五度的方向得到点 c。 如果该海轮继续行驶，会有触礁的危险吗？ 请同学们想一想，我们可以通过什么依据来判断是否促交呢？ 我们先画出轮船继续向东行驶的路线，即延长 b c。 这时候所谓促交即可理解为这条延长线与圆 a 是 否有公共点，也就是要判断直线与圆的位置关系。 同学们的思考方向清晰了吗？我们可以过点 a 做 a h 垂直， b c 的 延长线垂足为 h， 那 我们只要把 a h 的 长求出来即可。该如何求呢？ 我们依然可以延续前几个问题的思路。我们发现 a h 也在两个直角三角形当中， 可以在 a h、 b 中利用 tangent 五十五度等于 b h 比 h， 从而我们可以用 a h 来表示 b h。 同样在三角形 a h、 c 中，我们可以根据 tangent 二十五度等于 c h 比 h， 从而实现用 a h 来表示 c h。 而由图中可以看出， b h 减 c h 等于 bc， 而 bc 是 已知的，从而我们只需要设公共边， a h 为 x 即可。建立方程求解 决这个问题之后，我们把今天的几个问题联系在一起回味和对比呢。请大家观察今天的四个问题的图形结构， 你有什么看法呢？ 不难发现，这四个图形中都有两个直角三角形， 并且都含有一条公共的直角边，我们可以归纳为有公共边的双直角三角形模型。 那么这四个图中又有什么区别呢？你又会怎么将它们分组呢？ 像这样两个直角三角形，在公共边的同侧的，我们称之为同侧母子形。像这样两个直角三角形，在公共边的翼侧，我们称之为翼侧背靠背形。 这两种模型在我们解直角三角形的问题中比较常见，通常我们都是设公共边为 x， 在 寻求线段之间的等量关系，建立方程求解。 我们归纳模型并不代表我们在解析时都需要去寻找模型，模型带给我们的是亲切感和熟悉感，这样可以帮我们更快的找到解析思路哦。 现在我们进行本节课的小节，通过这几节课的几个问题解决，我们进一步认识了锐角三角函数知识对我们生活的影响。 同学们现在可以总结用锐角三角函数解决实际问题的方法了吗？ 我们首先需要将实际问题转化为数学问题，再利用三角函数结合见方程解直角三角形。 当然，我们可能遇到的是直角三角形，也可能是一般三角形，那么我们就需要添加辅助线转化为直角三角形的问题，再解直角三角形，从而得到实际问题的答案。 那么这个方法我们又是如何找到的呢？经历这几节课解决问题的过程，我们更重要的是领悟了很多数学思想，例如 转化思想、方程思想、模型思想、塑形结合思想等等， 而这些数学思想指引着我们如何思考问题，并找到解决问题的正确方法。希望同学们在以后的学习中可以获得更多的数学思想和方法，从而解决生活中更多的问题。 今天的课就送到这里，谢谢观看，同学们再见！

同学们好，我是来自南京市玄武高级中学的陆燕老师。今天我们学习的课题是正切一。首先请同学们看第一个问题， 你能比较图中哪个台阶更陡吗？相信同学们很快就能回答。右图中的台阶更陡一些，因为它的台阶与地面的夹角更大一些。 还有一些同学会发现右图中台阶底部离墙更近一些，所以右图中的台阶更陡。 那么同学们的想法是否正确，表述是否准确呢？ 我们可以从数学的角度出发，在实际情境中抽象出几何图形，直角、三角形 a、 b、 c。 我们知道台阶是否更陡，其实就是看角 a 的 大小。在这里，我们把角 a 称之为请斜角，那么我们就得到了 从角上看，请斜角越大，台阶越陡。 但在实际生活中，我们知道度量一个台阶或者斜坡的请斜角是比较困难的，所以更多时候都是从边的角度去考虑。 那么从边的角度我们有什么发现呢？仅仅比较某一条边的长短是不能说明请斜程度的。 例如，在这里，左右两个台阶是在高度相同的情况下，右图中台阶底部离墙更近一些，所以它才更陡一些。 这表明了我们需要知道两条直角边的长度才可以比较且斜角的大小，从而我们将它归纳为， 从边上看，当垂直高度相同时，水平边长度越短，台阶越陡。当水平长度相同时，垂直高度越大，台阶越陡。 好，带着这样的结论，请同学们进入活动。二、比较下列图中请斜角的大小。 这里是多个角之间进行比较，同学们该如何操作呢？ 按照我们的经验，应该先分组两两进行比较，然后再整理。那么你会如何分组呢？ 为了方便表述，我们先将每个请斜角标上数字。 不难发现角一和角二所在的两个直角三角形，它们的水平直角边长度相等，都是八，数值的直角边不一样。 根据活动一得出的结论，可以判断角一小于角二， 与之相同。我们还可将角二和角三所在的两个直角三角形放在一起比较。 这两个直角三角形是数值的直角边长度相等，而水平直角边长不等，所以可以得出结论，角二大于角三。 接下来还有哪些角可以比较呢？ 仔细观察后我们会发现，角一和角四所在的两个直角三角形中虽然没有相等的直角边， 但是他们满足两边对应成比例，且夹角相等，所以这两个三角形是相似的，也就得到了角一等于角四。 看看我们得出的结论，要想将这四个角按大小有序排列，现在关键就是弄清角一和角三之间的大小关系。 他们所在的这两个三角形既没有相等的直角边，也不是相似的关系，我们又该如何比较呢？请同学们再思考一下。 下面我们就一起来解决这个问题。解决的思路主要是通过构造辅助图形， 将两三角形没有相等的边转化为有一条相等的边来解决问题。 首先我们可以在右边的直角三角形水平直角边上截取 a c 等于八， 然后过点 c 做 bc， 垂直于 a c， 这样我们就得到了一个与圆三角形相似的直角三角形， 通过相似比的计算，可求得 bc 等于四点八， 这时直角三角形 a、 b、 c 和角一所在的直角三角形，它们的水平直角边相等，而数值直角边分别是四和四点八。 因为四小于四点八，所以我们可以得出结论，角一小于角三。 按照这个思路，同学们觉得还可以怎样操作来比较角一和角三的大小呢？请大家试着再画一画。 相信同学们已经找到方法了，我们还可以通过相似来放大角一所在的三角形，让它的一条直角边长为十， 利用相似比计算求出另一条直角边长为五。 这样在水平直角边长相等的情况下，比较两条数值的直角边长度，因为五小于六，也可以判断出角一小于角三。 最后，综合我们之前的结论，就可以得到角一小于角三小于角二，并且角一等于角四。 尽管得到了答案，还是让我们回到一开始的问题，再请同学们思考一下，当你经历过比较角一和角三的过程后，能给你带来什么样的启示呢？ 你现在对解决这个问题又会有什么新的想法吗？ 我们知道了，当两个直角三角形没有相等的直角边时，可以通过构造相似三角形来进行转化。 现在我们不妨在每个三角形当中都截取相同长度的水平边。这里我们以取一个单位长度为例， 分别做出四个三角形的相似三角形。接下来就利用相似比求出每个相似三角形竖直直角边的长度， 根据它们的大小就可以判断出且斜角的大小。 在计算数值边的长度时，我们还可以发现，它的结果就是圆三角形的两条直角边的比值，而这个比值越大，且斜角就越大。 这样一来，我们就总结出一个结论，请斜角的大小可以用两条直角边的笔来描述。 接下来我们看活动三，如果锐角 a 的 大小确定，我们可以做出无数个以 a 为一个锐角的直角三角形。 问题一，在图中这个等式成立吗？ 答，等式是成立的。为什么呢？根据提议，我们可知，这些直角三角形都是相似的， 由相似三角的性质可以得到它们的对应边是成比例的，同时利用比例的基本性质可以转化得到这个等式。 问题二，当角 a 变化时，上面等式仍然成立吗？ 答，当角 a 变化时，图形之间的关系没有变化，所以等式仍然成立。 问题三，上面等式的值随角 a 的 变化而变化吗？ 在这里，等式虽然成立，但因为角 a 发生了变化而导致边的大小会发生变化，所以等式的值也会随之变化。 那么这一串的问题又说明了什么呢？思考一下，尝试用简洁的文字语言来描述这一系列问题的结论。 我们可以整合归类为直角三角形的一个锐角的大小确定，那么这个锐角的对边与邻边的比值也确定。 这就是我们今天学习的一个新的数学概念，正切。 在直角三角形 a、 b、 c 中，角 c 等于九十度，如果锐角 a 确定，那么角 a 的 对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做角 a 的 正切。 在这里，我们一般约定，斜边 a、 b 用小写字母 c 来表示 b， c 就是 角 a 的 对边，用小写字母 a 来表示 a， c 叫做角 a 的 邻边用小写字母 b 来表示。 我们规定用符号贪婪的 a 来表示角 a 的 正切。 根据定义，贪婪的 a 就 应该等于角 a 的 对边比上角 a 的 邻边等于 bc 比上 a， c 也可以记作 a 比 b， 我们一般都把它写成分数的形式， 研读定义，这里有几个细节请同学们注意。 一、正切是在直角三角形中定义的，它针对的是锐角，所以直角暂不考虑。 二、贪婪的 a 是 一个符号，表示角 a 的 正切。这里角的符号可以保留，也可以省略，但是当用三个字母表示一个锐角时， 角的符号就不能省略。 最后，贪婪的 a 是 一个比值，所以它是没有单位的。 弄清楚正切的概念后，现在就请同学们根据正切的定义来写一写锐角 b 的 正切， 我们一起来核对一下。贪金的 b 等于角 b 的 对边比上角 b 的 邻边 等于 a， c 比上 b， c 等于 a 分 之 b。 好理解正切概念后，我们就一起学习利用它来解决问题。请看，第一，求图中直角三角形锐角的正切值。 问题不难，但也要仔细审题， 求图中锐角的正切值。那么锐角是谁呢？在图中有两个锐角，所以要求的应该是这两个锐角的正切值。 其次，要求一个角的正切值。需要知道哪些条件呢？根据定义，需要知道锐角所在的直角三角形的两条直角边长。 那么现在我们又已知什么呢？一条直角边和斜边。 这样一分析，解析的思路就很清晰了，我们要先利用勾股定力求出未知的直角边、边长，再分别求出两个锐角的正切值。 接下来我们就看一下规范的解答过程。 在直角三角形 a、 c、 b 中，首先求出 bc 等于根号下 ab 方减 ac 方等于三。 所以我们可以得到，贪婪的 a 等于 bc， 比上 bc 等于四分之三，贪婪的 b 等于 ac， 比上 bc 等于三分之四。 题目做完了，我们还可以再回味一下，看一看从过程到结果。同学们还有什么想法吗？ 一定有同学发现了，在这里存在着这样一个数量关系， 角 a 的 正切值与角 b 的 正切值是互为倒数的。当然还要加一个前提，角 a 和角 b 是 互余的关系。 所以我们将之归纳为，若角 a 加角 b 等于九十度，则摊进的 a 乘摊进的 b 等于一。好，接下来我们一起来看。例二， 在等边三角形 a、 b、 c 中求锐角 a 的 正切值，还是请同学们先思考一下， 我们一起来分析 要求角 a 的 正切。按照定义，角 a 必须是直角三角形的一个锐角才可以， 现在没有直角三角形，这就说明需要通过添加辅助线来构造直角三角形。 在等边三角形中，我们通常会采取做一边的高来构造直角三角形， 而且我们还知道所做的高同时也是中线和角平分线，它是三线合一的。 如图作， cd 垂直于 ab， 垂足为 d， 这时角 a 就 在直角三角形 a、 d、 c 中了。 要求角 a 的 正切就是求 cd 与 ad 的 比。在这里，虽然不知道等边三角形的边长，但我们可以得到一些线段之间的数量关系。 由三线合一可知， ad 等于二分之一， a c。 由勾股定律可知， c、 d 等于二分之根号三， a c。 所以 摊进的 a 就 等于 c， d 比上 a， d 等于二分之根号三， a c 比上二分之一， a， c 等于根号三。 那么在这一题当中，同学们还有什么发现呢？ 在这里，等边三角形的锐角度数是一个定值， 而前面的学习中，我们知道了，当锐角确定时，它所对应的直角边的比值也随之确定，所以贪镜的 a 就 等于贪镜的六十度等于根号三。 那么就请大家再想一想，我们还可以求出什么呢？ 在这个直角三角形里还有三十度的锐角，那我们也可以用同样的方法计算，求得贪婪的三十度等于三分之根号三。 好，以上就是今天学习的正切第一课时的全部内容，课后同学们可以对今天的内容进行整理，完成课本上的相应练习。 今天的课就上到这里，谢谢观看，同学们再见！

同学们好，我是来自南京市第十三中锁心分校的周晨晨老师。今天我们学习的课题是七点六用锐角三角函数解决问题。二、 同学们，小明过了天桥之后来到了游乐场，今天我们就来看看游乐场里小明又会遇到哪些可以用锐角三角函数解决的实际问题呢？请看第一个问题。 游乐场的大型摩天轮的半径为二十米，旋转一周需要十二分钟。小明从摩天轮的底部与地面相距约为零点三米出发开始观光。两分钟后小明离地面多高？ 首先，我们依然是要将实际问题转化为数学问题， 请同学们从这个实际情景中抽象出几何图形，并在学习单上画出图形。 同学们，画好了吗？我们一起来交流一下。地面可以抽象成一条直线 l， 摩天轮看作一个圆，圆心为 o， 支架是点 o 到直线 l 的 垂线段，同学们，画对了吗？ 接着我们还需要将提议中的条件和问题也数学化。条件是摩天轮的半径为二十米，即 o， a 为二十米，底部与地面相距零点三米，即 a、 b 的 长为零点三米。 提出了一个什么样的问题呢？两分钟后小明离地面的高度， 那么就是要先找到两分钟之后小明的位置，在图中即点 a 的 位置变化。我们可以假设两分钟后点 a 绕着点 a、 点 o 旋转到了点 c， 那么点 c 的 位置又如何确定呢？我们发现点 c 的 位置可以由角 aoc 的 大小决定。 根据提议中转动一周的总时间为十二分钟。我们很容易由时间的比例关系计算出角 aoc 的 大小 等于六十度，从而确定了点 c 的 位置。那么要求此时小明离对面多高，即要求点 c 到直线 l 的 距离。这样我们一个数学问题就应运而生了，下面一起来解决这个问题吧。 我们先来梳理题目中的已知和未知，并在图上标注出来。已知 o a 等于二十米， a b 等于零点三米，角 a o c 等于六十度，我们要求的是点 c 到直线 l 的 距离。 根据点直线的距离的定义，我们可以过点 c 做 cd 垂直， l 垂直为 d 及求 cd 的 长度。 现在我们一起来寻找已知和未知之间的联系。同学们，先观察图形，想一想 你们遇到困难了吗？这个问题好像没有天桥那么简单了，因为 c、 d 并不在一个直角三角形中，而且已知与未知之间好像关联不大。 这时我们需要思考什么呢？牵线搭桥？在几何问题中，或许一个辅助线就能帮我们实现一线牵了。那么你会怎么画辅助线呢？ 在上节课的启发下，相信同学们很快就能想到过点 c 做一条垂线，垂足为 e， 这就能构造出了一个直角的角形，又能得到一个矩形。 我们可以把 c d 转化为 b e 的 长，而 b e 的 长由图中可以看出，就等于 o b 的 长减掉 o e 的 长， 而 o b 呢，可以根据 o a 加 ab 得到。那么这个时候问题就转变成如何求 o e 的 长呢？ 同学们思考一下 不难发现， o e。 显然在一个直角三角形 o e、 c 中，我们再次联想到了三角函数。 在这个直角三角形 o e、 c 中，已知角 a o c 等于六十度，边 o c 等于 o a 等于二十米， 我们要求的是 o e， 那 我们只需选择适当的三角函数即可解除 o e。 根据边角的位置关系， 我们选择余弦函数，即 cosine， 六十度等于 o e， 比 o c 可以 得到 o e， 从而得到 cd 的 长。 思路一下就明朗了，同学们是不是有点成就感呢？回顾思路过程，我们是由带球的结论逐步靠拢已知条件，像这样的思维方法我们可以称之为执国所因。 下面我们结合所画的图形和思路导图一起来规范的解答。 首先描述辅助线，将条件数学化，并通过计算得到角 a、 o c 的 度数， 再选择适当的三角函数计算出 o e 的 长，再由线段之间的转化，从而得到 c d 的 长。最后别忘记了还要答。 那么在这个摩天轮的情景中，你还能进一步提出哪些新的问题呢？ 先想一想， 我们一起来看这两个新问题。追问一，摩天轮转动多少时间后，小明离地面的高度将首次到达十五点三米， 这个问题相当于之前问题的逆向思考，由高度倒推乘坐的时间，我们先来根据高度确定点 c 的 新位置， 请看动态效果。 此时点 c 旋转到高度十五点三米的地方，那我们可以过点 c 做 c e 垂直 o b， 从而得到 b e 等于十五点三米。 那么现在我们要知道时间，就是要知道什么呢？ 我们只需要知道角 a、 o c 的 度数。由图上不难看出，角 a、 o c 依然在直角三角形 o e c 中， 我们依然可以通过解三角形 o e c 得到。不同的是，这一次我们需要通过边的关系倒推角度， 我们可以选择 o e 边， o e 等于 o a 加 ab 减 b e 可以 算得，我们还可以选择 o c 边，因为 o c 等于 o a 就 等于二十米。再根据 o e 和 o c 的 两条边的位置关系， 我们应该选择角 a， o c 的 余弦等于 o e 比 o c， 从而可以得到角 a o c 的 度数。可见，在有些数学问题中，我们其实是可以把条件和结论互换的，这也印含着我们数学的逆向思维。 接下来我们再来看一下例，问题二，摩天轮转动一周，小明在离地面三十点三米以上的空中有多长时间？ 可见这是一个运动过程，而不是一个时间点。不过我们在思考的时候可以以静制动，先找到临界位置 极，在图中画出两次到达三十点三米的位置，同学们可以尝试画一画， 第一次到达， 我们可以做出垂直，从而得到此时的 b e 为三十点三米。那么根据圆的对称性， 显然还会第二次到达三十点三米的位置。 观察图形，同学们想一想，我们要得到三十点三米以上的空中时间，就是要知道什么呢？ 很显然，只需要知道角 c o c 一 撇的度数，可是这里 c o c 一 撇是个钝角， 我们需要先转化成求锐角的问题。根据圆的对称性，很容易得到角 c o c 撇就等于两倍的角 c o e。 那 么我们只需要把问题转化成求角 c a e 即可。 那么该如何求呢？ 根据前面的经验，相信同学们很快就能想到，同样只需要解直角三角形 o e、 c 即可得到。这里我们可以选择 角 c o e 的 余弦值，因为 o e 和 o c 的 长都是可以求出来的， 这样问题就解决了。那么在解决了以上几个摩天轮的问题之后，同学们有什么新的收获呢？ 我们发现，在运动变化的问题中，只要能够抽象出静态时刻的图形，也是可以用锐角三角函数解决的哦。 接下来我们再跟小明一起去荡秋千呢。 如图，当秋千向两边摆动时，两边的摆动角度均为三十度， 它摆动至最高位置和最低位置的高度之差为一米。求秋千链子的长度。首先仍然是抽象图形，我们可以把秋千链子看作一条线段 o a。 先观看运动过程， o a， 左边当到最高位置 o c， 右边当到最高位置 o b。 根据题意可知，角 a、 o b 等于三十度， 过点 b 作 b d。 垂直 o a 即可得到。最高位置和最低位置的高度之差为线段 a d。 一 米。 我们要求的是秋千链子的长度及 o a 的 长。转化成数学问题之后，我们一起来分析一下，请同学们先思考一会， 同学们有没有遇到困难呢？如果有，我们一起来战胜它。 要求 o a。 根据旋转的性质，我们可以转化成求 o b， 而 o b。 很 显然，在直角三角形 o d b 中， 我们只需要解一解这个直角三角形，可是经过分析，我们发现这个三角形中只有一个已知元素，并不符合可解的条件，我们似乎遇到了新的挑战， 这时候我们曾经在学习解直角三角形中获得的方法和经验也许能帮到我们哦，那么你会怎么做呢？ 没错，我们可以寻求线段之间的数量关系，建立方程求解。 观察图形，不难发现， o d 这个线段是可以转化成 o a 减 ad 的， 这样一来， o b 和 o d 两条线段都可以用 o a 来表示。我们再次观察图形， 发现 o d 和 o b 在 同一个直角三角形 o d、 b 中，我们可以根据它们的位置关系，选择角 a、 o b 的 余弦函数来列式，即可得到 cosine 角 a， o b 等于 o d 比 o b。 这时候我们只需要设 o a 为 x， 即可得到方程 x 减一比 x 等于二分之根号三，进而求解。 在战胜这个困难以后，我们又 get 到什么新技能呢？同学们有没有发现，在有些无法直接解的直角三角形的问题中， 我们可以寻求已知量和未知量的关系，借助三角函数建立方程求解。下面看一下完整的解答过程， 先描述条件和辅助线，再建立方程求解，最后别忘记了答。那么这个问题还可以变得更一般化吗？你们会怎么做呢？ 我们可以用字母来表示角度和线段长，把三十度换成 alpha， 把高度之差一米换成 h 米，这样就可以实现从特殊到一般。 当条件一般化以后，我们的思路过程会发生变化吗？ 因为图形结构并未改变，数量之间的关系也未改变。我们依然是延续刚才的思路， 只不过需要将已知条件换成字母，比如 cosine 角 a， o b 等于 cosine 角 r 角， 还有 a d 从一米变成了 h 米，这样我们方程里面的条件就要发生变化， 变成了一个含字母的方程。可是我们一样可以求解呀，只不过最后的结果中要用字母来表示。 接下来我们再跟小明一起来做一做跷跷板呢。 已知不等 b 翘翘板 a、 b 长为四米，当 a、 b 的 一端 a 碰到地面时， a、 b 与地面的夹角为而法。当 a、 b 的 另一端 b 碰到地面时， a、 b 与地面夹角为白塔 求翘翘板 a b 的 支撑点 o 到地面的高度 o h。 用含而法白塔的式子表示。首先，根据题目抽象图形， 翘翘板可以看作一条线段， a b 为四米。当 a b 的 一端 a 碰到地面时，我们来看一下动态， a、 b 与地面的夹角为 r 法， 当 a b 的 另一端 b 碰到地面时，我们可以再画一张图， a、 b 与地面的夹角为白塔， 求跳跳板 a b 的 支撑点 o 到地面的高度 o h。 这样我们就可以把它转化成一个数学问题。结合图形，同学们先思考一会， 同学们想好了吗？对于这样一个有点复杂的问题，我们可能需要先思考这样两个问题， 在 a b 的 运动变化中，有哪些量不变呢？ 很明显， o a、 o b o h 和 a b 的 长度适中不变。思考二，如何找等量关系呢？ 观察两个图形有线段之间不变的等量关系吗？ 同学们发现了吗？ o a 加 o b 等于 o b， 而 a b 是 我们的已知条件。那么这个时候我们只需要建立起 o a、 o b 和要求的 o h 的 关系即可。建立方程， 弄清这两个问题之后，我们的思路是不是会明朗许多呢？ 先来看一看 o a、 o a 和 o h。 在 直角三角形 a、 o h 中， 我们可以利用角耳法的正弦值找到它们之间的关系，从而 o a 就 等于 o h 比上弦耳法，同样 o b 和 o h， 它们。在直角三角形 b、 o h 中，我们可以利用角白塔的正弦找到它们的关系，从而用 o h 来表示 o b。 这样一来，我们只需要设 o h 为 x 即可得到方程。 这样一分析柳暗花明，我们的解析思路就清晰了，同学们给自己点个赞呢！在解决这个问题之后，我们再联系前面几个问题，一起回味一下 同学们有没有发现这几个问题都是运动变化的问题，而在这样的问题中，我们往往可以在变化中发现不变的量，寻找合适的等量关系去建立方程。最后我们再看一下这道例题的解答， 设出未知数，选择合适的三角函数，找到未知量之间的关系，再寻找线段之间的等量关系，从而建立方程。最后再答。 现在我们进行本节课的小节，这节课我们依然是用锐角三角函数解决了一些实际问题， 但是今天的问题中有一些是不能通过直接解直角三角形得到的，这时候我们需要借助方程模型，具体步骤是怎样的呢？ 一、设出适当的未知元。二、选择适当的三角函数，得到一些已知量和未知量之间的关系，从而可以实现互相表示。三、利用图形中线段之间的等量关系建立方程，解决问题。 特别的，在这堂课中，在我们发现的运动变化的问题中，寻求变化中不变的量，是我们解决问题的一个突破口。 今天的课就上到这里，谢谢观看同学们，再见！

同学们好，我是来自南京市洪山初级中学的吴涛老师。今天我们学习的课题是七点五，解直角三角形。一 经过前几节课的学习，我们学习了锐角的正弦、余弦、正切的概念，会求特殊角的三角函数值，由三角函数值求锐角。 今天我们一起来利用所学知识，进一步研究解直角三角形这一问题。首先我们来学习一下，什么叫做解直角三角形呢？ 一般的直角三角形中，除直角外共有五个元素，即三条边和两个锐角。 由直角三角形中的已知元素求出其余各元素的过程，叫做解直角三角形。 那么在直角三角形中，除直角外的五个元素之间有怎样的关系呢？请同学们思考一下这个问题。 除直角外，还有两个锐角，两条直角边和一条斜边。从边上看，根据勾股定律，有 a 方加 b 方等于 c 方。 从角上看，根据直角三角形，两个锐角互余有角， a 加角 b 等于九十度。 从边角之间的关系上来看，根据三角函数的定义，有 sine a 等于 c 分 之 a， tangent a 等于 b 分 之 a。 sine b 等于 c 分 之 a b。 cosine b 等于 c 分 之 a， tangent b 等于 a 分 之 b。 那么首先就要请同学们思考一下，知道这个五个元素中的几个就可以求其余元素呢？ 我们不妨从一个元素出发，也就是如果已知一个锐角或一条边，可以求其余元素吗？请同学们尝试着做做看。 相信同学们都有了自己的思考，我们一起来分析一下。如果仅仅知道一个锐角，此时缺少边的条件是无法求出各边长度的， 根据动画展示，我们可以更加直观的感受到直角三角形的大小，不能确定，自然不可求解。那如果只知道一边呢？ 比如已知 b、 c 边的长度，此时缺少角的条件，无法求出其余各边和两个锐角的大小，此时直角三角形仍然不可解。 已知一个元素我们已经讨论完了，发现不行，那么如果已知两个元素可不可以呢？我们再尝试着做做看。 让我们一起来分析一下。已知两个元素就会出现多种情况，我们不妨对这个问题进行分类讨论。分为已知两角、 已知两边和已知一角一边。如果已知两角，我们发现就等价于已知一个锐角的大小。这个问题我们已经讨论过了，发现不行。 如果已知两边，需要我们进一步分类，分为已知两直角边和已知一直角边一斜边。我们先来分析一下已知两直角边的情况。 利用勾股定力，首先我们可以求解出斜边 c 的 长度， c 等于根号下 a 方加 b 方， 再利用正切可以求得角 a 和角 b 的 度数，即 tangent a 等于 b 分 之 a 分 之 b。 类似的，如果已知一直角边一斜边，我们可以根据勾股定律求得另一条直角边长 b 等于根号下 c 方减 a 方，再利用角 a 的 正弦值和角 b 的 余弦值求得角 a 角 b 的 度数。 sign a 等于 c， 分 之 a 和 sign b 等于 c 分 之 a。 我 们再来一起分析一下已知一角一边的情况。已知一角一边可以分为已知一角一直角边和一角一斜边两种情况， 其中已知一角一直角边。根据直角三角形中锐角与直角边之间的位置关系，又可以分为下面两种情况，我们来具体研究看看。 我们先来看第一种情况，如果已知角 b 的 大小和边 bc 的 长度，利用直角三角形两个锐角互余，我们可以求得角 a 的 度数。 记，角 a 等于九十度，减角 b。 已知角 b 的 零值角边和角 b 的 大小，利用三角函数的定义求出 b c 长度记 c 等于 cosine b 等于 a 乘以 tangent b。 类似的，如果已知角 b 和角 b 的 对边，我们也可以求出角 a 和斜边 c 以及另一条直角边 a 的 长度，即角 a 等于九十度，减角 b， c 等于 sine b 分 之 b。 最后，我们来看已知一角一斜边的情况。如果已知角 b 的 度数和斜边 c， 同样也可以利用直角三角形的两个锐角互余求得角 a 的 度数， 再利用角 b 的 正弦和余弦值求得 a b 的 长度，即 a 等于 c 乘以 cosine b， b 等于 c 乘以 sine b。 综上，如果一个直角三角形可解，可以分为以上四种情况。这四种情况其实就是判断两直角三角形全等的条件。 也就是说，一个直角三角形可由五个元素中的两个，其中至少有一个是边来唯一确定，此时直角三角形是可解的。 下面我们一起来看几个例题。例一，在直角三角形 a、 b、 c 中，角 c 等于九十度。根据下列条件解，直角三角形 一角 a 等于三十度， a 等于五二， a 等于一百零四， b 等于二十点四九、结果，保留小数点后两位 请同学们思考一下这个问题， 我们一起来分析一下。例一的第一小题，我们可以看到本道题是没有配图的，为了方便我们理解题意，我们先可以根据题意画出草图。 由题可知，角 a 等于三十度， a 等于五，这是已知一角和一直角边的情况。 通过前面的分析，我们知道此时直角三角形是可解的，那么要解这个直角三角形，就要求出角 b 的 度数和边 bc 的 长度。 利用直角三角形两个锐角互余，我们很容易得到角 b 的 度数。 再通过观察条件，我们可以发现已知角 a 的 对边要求角 a 的 零值，角边可以利用正切进行求解。 解，角 b 等于九十度减，角 a 等于九十度减三十度等于六十度。 因为 tangent a 等于 b 分 之 a， 所以 b 等于 tangent a 分 之 a 等于三分之根号三分之五等于五倍根号三。 又已知角 a 的 对边要求斜边，我们可以利用正弦进行求解， 即因为 sin a 等于 c 分 之 a， 所以 c 等于 sin a 分 之 a 等于二分之一，分之五等于十。 那么请同学们再思考看看你还有哪些方法可以求出斜边 c 的 长度呢？ 相信同学们一定想到了很多种方法，那么老师这里呈现一种方法。 通过前面的求解，我们知道了两直角边的长度，那么我们就可以利用勾股定律求出斜边 c 的 长度。 记在直角三角形 a、 b、 c 中，根据勾股定律得 c 等于根号下 a 方加 b 方等于根号下五的平方加五倍，根号三的平方等于十。 让我们回顾一下本小题。首先我们需要根据题意画出草图帮助我们理解。 要解直角三角形，需要我们综合利用直角三角形中各元素之间的关系。在利用三角函数进行求解时，要关注锐角与直角边之间的位置关系，选择正确的函数关系来列式， 我们再来分析一下第二小问。根据上题的经验，我们知道先要画出草图标记数据， 因为此时已知两只角边长，我们可以先利用勾股定律求解出斜边 c 的 长度， 即结在直角三角形 a、 b、 c 中。根据勾股定律得 c 等于根号下 a 方加 b 方等于根号下一百零四的平方加二十点四九的平方。 用计算器计算得 c 约等于一百零六点零零。 然后因为已知角 a 的 对边和零值，角边可以求得角 a 的 三角函数值，通过三角函数值求出角 a 的 度数。 这里可能会有同学想到用斜边来参与求解角 a 的 度数，那么我们还要注意结果的精度，尽可能用原始数据进行求解。记 尤体一只 tangent， a 等于 b 分 之 a 等于二十点四九分之一百零四。用计算器计算得角 a 约等于七十八点八五度， 所以角 b 等于九十度减七十八点八五度等于十一点一五度。 下面我们再来看例二这道题。如图，圆 o 的 半径为十，如何求圆 o 的 内接正五边形 a、 b、 c、 d、 e 的 边长呢？结果保留一位小数， 请同学们思考一下本道题， 我们一起来分析一下。三角形 a、 o、 a、 b 是 等腰三角形，我们可以通过做等腰三角形的高，将等腰三角形转化为直角三角形，借助直角三角形来解决问题， 我们一起来看解。因为五边形 abcd 是 正五边形， 所以角 a、 o、 b 等于五分之三百六十度，等于七十二度。 过点 o 做 o， h 垂直于 ab， 垂足为 h。 在 直角三角形 a、 h、 o 中，因为角 a、 h、 o 等于九十度，角 a、 o、 h 等于二分之一角 a、 o、 b 等于三十六度， o， a 等于十。此时我们可以发现，直角三角形 o、 a、 h 是 可解的， 所以 a、 h 等于 o， a 乘以 sin 三十六度，所以正五边形 a、 b、 c、 d、 e 的 边长 a、 b 等于两倍的 h 等于二乘以 十乘以 sin 三十六度，约等于十一点八。 最后，请大家用五分钟完成本道题，作为我们今天课堂内容的小结。 好，我们一起来看一下这道题。 第一小题，已知角 a， 则角 b 等于九十度减角 a。 因为已知的是直角边， a 要求另一条直角边和斜边，所以要关注锐角与直角边之间的位置关系，选择正确的函数关系来列式， 分别求出斜边和另一条直角边长，所以得 角 b 等于九十度减角 a。 因为 tangent a 等于 b 分 之 a， 所以 b 等于 tangent a 分 之 a。 因为 sine a 等于 c 分 之 a， 所以 c 等于 sine a 分 之 a。 第二小题的思路与第一小题大致相同，不同的是三角函数的选择， 因为已知的是一个锐角和一斜边，所以只能选择使用正弦或余弦进行计算，分别求出两只角边 解。角 b 等于九十度减角 a。 因为 sign a 等于 c 分 之 a， 所以 a 等于 c 乘以 sign a。 因为 cosine a 等于 c 分 之 b， 所以 b 等于 c 乘以 cosine a。 第三小题是已知两直角边，先根据勾股定律求出斜边。记在直角三角形 a、 b， c 中，根据勾股定律得 c 等于根号下 a 方加 b 方， 这时三边都已知，可以根据三角函数值求出锐角的度数。这里我们只展现了其中的一种解法。 通过这三小问，我们就对解直角三角形做了比较全面的总结。 今天的课就上到这里，谢谢观看，同学们再见！