六年级下册天津比例画图

哈喽，同学们大家好，今天这节课我们来学习第二单元比例。第一课，比例的认识。我们本节课 首先我们先来做一个练习题，也就是回顾我们学过的 ready go， 找出比值是四。 好，这就是题目中所有比值是四的比。那么我们今天来学习的是比例的认识。 那么我们上学期学习了比的认识什么叫做比呢？ 比，它就是啊，两个数啊相处又叫做两个数的比。那什么叫做比值？比啊的前项除以啊，比的后项所得的商， 它叫做比值。那么比的基本性质，比的前项和后项同时乘或者除以相同的数零除外，我们的比值不变。那么 我们今天学习的比例学习目标就是要理解比例的意义和基本性质，能判断两个比例是否组成比例。 哎，能根据啊比例的意义来写比例。那么你还记得这张照片吗？怎样的两张照片才像呢？ 长和宽的比相等的照片才像，长和宽的比不相等的照片不像。那么淘气说 图片 a 和图片 b 两张很像，这应该是个 b， 他 说的对吗？我们来给他算一下长与宽的比是否相等， 发现图片 a 和图块，图片 b 长与宽的比都是二比三。化简后 笑笑说，我感觉图片 a 和图片 d 两张图片很像，那么我们来算一下它的长和宽的比值， 发现图片 a 和图片 b 和图片 d 它的比值都是多少？我们给它进行化解，都是三比二， 六比四啊，它就等于十二比八。 不过这个小狗说图片 c 和图片 e 呢？它们两张像不像呢？我们还是利用长与宽的比， 发现八比三他不等于十二比上二，他们的比值不相等，所以啊，这两张不像。 那么我们来看一下什么叫做比例比例，就是像这样，四比六等于二比三，六比四等于十二比八，表示两个比相等的式子叫做比例。 那么你可以写出几个比例吗？比如我们可以写十二比十，四比七等于二比一， 九比三等于十八比六，二十比九等于一百比上四十五，我们只需要在它相互乘以或除以多少就可以了。还有六点五比五等于一点三比一。 那么请同学们来进行交谈一下，说一说什么样的两个比能组成比例？是不是比值相等的比， 比值相等的两个比能组成比例。 那么判断两个比能不能组成比例，我们就需要看它们的比值是否相等。 那么请同学们判断六比十和九比十五是否相等，我们需要把它化为最简，两边同时六比十，两边同时除以二，画成三比上五， 九比十五，两边同时除以三是三，十五除以三是五，三比五都是三比五，所以第一个能组成比例。那么第二个 我们知道比，也就是除号，我们可以给他进行三分之一除以二，也就是六分之一， 六分之一除以四，也就是六分之一乘以四分之一，也就是二十四分之一，发现这两个比值不相等，所以第二个不能组成比例。 那么如果两个比的比值相等，那么这两个就什么比例，肯定是能组成比例。 一个比例等号左边的比和等号右边的比一定是什么？肯定是相等 啊， 比如十二比六等于八比四，六比四等于三比二，都可以组成比例。那么我们来看一下这个比例，它有两个内向和两个外向来进行组成， 十二除以六，净等于八除以四，两个外向，还有六除以四等于三比二， 我们以二点四比一点六等于六十比四十为例，来看一下他的两个内向和两个外向，两个内向分别是一点六和六十， 两个外向是二点四和四十，那么 组成比例的四个数叫做比例的项，两端的两项叫做比例的外项，也就是他们都在两端中间的两项叫做比例的内向，也就是他们都在里面， 也就是等号左右的两个数。 那么请指出分数形式，比例的内向和外向他是分数，那么是不是我们也可以把它进行写成比例，也就是十二比六就等于八比四，我们这样更容易看出哪个是内向，哪个是外向。 发现六比八他是内向，而十二和四是外向，六和八是内向，八十二和四是外向。 好，接着我们再来看下表，是笑笑和乐乐调制蜂蜜水时蜂蜜和水的一个配比情况。那么说说他们谁的秘风水帖， 要看谁的蜜蜂水甜，我们需要进行比例， 我们可以进行比，也就是水的比，我们比上它加的蜂蜜的比是不是就等于蜂蜜 b， 它长的水和蜂蜜， 结果一算，这两个比啊相等，说明两杯水啊一样甜， 我们也可以用蜂蜜来比上水，这样都可以，结果是二比十等于三比十五，所以啊，水啊的甜度啊一样。 一、分别写出图中两个长方形的长和长的比，和宽与宽的比，判断这两个比能否组成比例。我们先来看这个小长方形，它的长是三， 大长方形，它的长是可以算一下三六九， 这是啊，长与长的比。我们再来看宽小长方形的宽是二， 大长方形的宽是六，我们来看看它们能否相等，我们需要给它化解。三比九，同时除以三是一比三，二比六，除以二也是一比三，所以啊，它们可以啊，组成比例。 那么我们再来分别写出每个长方形的长方形的长与宽的比，判断这两个比能否组成比例。 小长方形的长是三，宽是二，大长方形的长是九，宽是六，我们来看它们是否相等。 我们将九比六进行化解，两边同时除以三，九变成了三，六变成了二，三比二，所以三比二等于九比六也可以组成比例。 那么哪几组的两个比可以组成比例？把组成的比例啊写出来。 第一个我们还是需要给他化解，两边同时除以三，这是五，这是六，这一个两边同时除以六，这是五，这是六，所以他们俩可以组成比例。 第二个，同时除以四，这是一比二，这个是一比四，所以一比二不等于一比四，所以这两个不可以组成比例。第三个，四分之一，十六分之一，也就是四分之一乘以十，六是 零点五，除以二，也就五，除以二，十是零点几，所以第三个也不可以组成比例。 第四个，三分之一除以九分之一，也就是三分之一乘以九，也算是啊，三六分之一除以十八分之一算是也是三，所以啊，这两个笔啊，可以啊，组成比例。我们在这两个笔之间画上等号就可以了。 第二妙，想，想位啊，半径为啊三厘米的圆形小镜子，围一圈丝带， 他现在有十八厘米长的丝带，那么勾一勾够吗？我们可以算一下， 半径为三厘米，那么我们他要围一圈， 也就是需要算它的一个周长，圆形的周长，同学们还记得是什么吗？ c 等于二拍耳，也就是二乘以半径三，也就是六拍， 他有十八米六派什么大于十八？所以啊，不够，这个根本没有用到我们本节课学习的一个知识点。 接着再来看把能组成比例的两个比，我们看第一个，我们先来把它画成最简， 两边同时除以三，这是四，这是三，这个两边同时除以二，是五，比上二，这个两边同时除以 八，也就是多少一比四，这个两边同时除以五，这个可以变成五，这个变成了八， 这个是最减，这个我们也可以将它进行化解，化解成四十五比上一百八十，两边同时除以九 五九四十五，这还剩个二十，再次化解是一比四， 这个是最减，这个也就是数十比四。同时啊，除以二，也就是五比上二啊。接着我们再来给它进行匹配 啊， 能与六分之一比上八分之一组成比例。我们先来算一下它的结果，六分之一除以八分之一，也就六分之一乘以八，两边同时约分除以二，这变成了四，也就是三分之四， 也就是四比三。所以啊，答案选择 b 选项。 再来看下面的式子中，哪一个能够组成比例。第一个画成最简，除以三，六比上一，这个也是六比上一，所以答案选择 a 选项。 我们再来看第二个，第二个它不是比例， 是啊，表示两个比相等的是字，叫做比例。记住，两个比相等的是字，第三个也不是比例。 三、乐乐和欢欢看同样的故事书，乐乐四天看四十八亿，欢欢七天看八十四亿，他俩看的页数与天上的天数的比能否组成比例？ 乐乐看到叶数是四十八，欢欢是八十四，天数是四比七，我们将它进行化解，两边看看能否啊，除以十二， 这个是变成了四，这个是变成了七，所以他们俩可以啊，组成比例。 那么算一线，算一算，也就是要计算两个内向和两个外向，应该是外向的积。 大家一算这四个比例啊，内向，两个内向乘以两个外向，它们积都相等。所以 我发现了，在比例里啊，两个内向的基等于两个外向的基，那么这就是比例的基本性质。两个内向的基等于两个外向的基，这个是一个常考。 比如这个比例啊，外向基是二点四乘以四十等于九十六，内向基是一点六，乘以六十等于九十六， 二点四乘以四十，一点六乘以六十，它们俩相等。所以比例的基本性质就是在比例里，两个外向的积等于两个内向的积， 那么我们在分式里，我们可以给它进行交叉相乘，它们的乘积也相等。 那么请同学们应用比例的基本性质，判断下面的两个比能不能组成比例。 第一个，我们把它同时乘以十，这是二比二十五，这个同时除以二也是二比二十五。 我们这是利用了我们还没有学习比例的基本性质来算的，那么我们运用比例的基本性质，也就是两个内向乘以啊，两个外向，看看他们的基是否相等， 一算他们的积都是十，所以这两个比啊，能组成比例。第二个，也是两个内向的积，乘以两个外向的积一算， 两个内向的积是五分之三，两个外向的积是六，六不等于五分之三，所以这两个比例啊，不可，这两个比不能组成比例。 那么比和比例之间有什么联系？ 比例它是由两个相等的比组成的，区别意义不同。比表示两个数相处，而比例表示两个比相等。还有象数不同， 比啊，它有两个象，也就是比的前象和后象，而比例它有四个象，两个外象和两个内向，它们的性质也不同， 比的性质是比的前象和后象都乘以或除以一个不为零的数，比值不变。而比例的性质是两个内向的积等于两个外向的积。在比例里。 第一题，在比例里，两个内向的鸡是十八，其中一个外向十二，那么另一个外向是多少？ 我们知道，两个内向的鸡等于两个外向的鸡，也就是十八，等于一个外向，乘以另一个外向，也就是二乘以多少等于十八，就是二乘以九。 第二问， a 比上八等于九比上 b， 我 们来看一下，八和九都是它的内向， a 和 b 都是外向，所以两个内向的积八乘九等于七十二，也就是两个外向，也就是 a 乘以 b 等于七十二。 好， 那么我们来回顾一下我们学习过的总的一个重点，什么叫做比例 表示啊，两个比啊，相等的式子啊，叫做比例。那么比例的基本性质在比例里啊，两个外向的积等于两个内向的积。接着我们给它进行应用， 判断下面哪几组的两个比可以组成比例， 并写出组成比。写出组成的比例，我们需要给它进行两内向积等于两外向的积， 一算，他们的积都是十二，所以这两个可以啊，组成比例。第二个也是需要算，两个内向的积等于是否等于两个外向的积，一算，他们的积都是一百零八，所以他们两个也可以组成比例。第三个也是一样的， 算出来内向机和外向机，内向机是九分之一和三分之一，也就是二十七分之一，而外向机是八分之一，这两个不相等，所以不可以组成比例。 第三个，第四个，两个内向的机是二，两个外向的机也是二，所以这两个可以组成 比例吗？不可以，为什么？因为啊，十二和六分之一相乘，它是二，而九乘以十八分之一，它是二分之一，所以啊，这两个不可以组成比例。 第四，问，下列各表中相对应的两个量能否组成比例？把能组成比例的写出来，我们可以给他算一下， 我们可以随便比上面比下面，下面比上面都可以。我们算二百一十比上三和三百五十比上五，他们的积都是 他们的比，二百一十比上三是七十，三百五十比上五也是七十，所以这两个可以组成比例。第二个是 五百比上十是五十，九百比上二十，也就是多少 四十五，所以啊，相对应的两个量不能组成比例。第三个零点五比上四，它等于六比上四十八， 我们可以算一下，两内向的积和两外向的积都是啊，二十四。第四个二比一点六，还有五比三点五，也就是一点六比二是零点八， 三点五比五是零点七，这两个不相等，所以啊，相对应的两个量不能组成比例，这啊，同学们可以看一下， 这都是我们术后的课后题， 接着我们再来看最后一题，什么与三比五能组成比例？我们先将下面的比例进行化解， 十比十六，两边同时除以二，这是五，这是八，七十比九，十是七比九， 八比十是四比上五，三十比五，十是三比五。我们来看一下， 第一个肯定是三十比五十，第二个是十比十六，第三个是八比十，第四个是七十比九比九十，我们把它画成最简，一眼就可以看出来。 好，那么我们今天的这节课就讲到这里，我们下节课会接着来学习第二课比例的应用，我们下期再见， 记得点赞关注哦。

涂色面积是大长方形的七分之二，是小长方形面积的九分之四。问，这两个长方形空白面积的比值？ 好？按照我们之前的过往思路，分四步走。第一步，锁定共同量。在这里呢，我们的公共部分就是我们的涂色面积，在大长方形中占的是七分之二，小长方形中占的是四分之九。 好，利用到我们的分数。我们上节课说的类似的相关问题，这里二和四去找他的最小公倍数取四，所以我们的共通量为四分。第二步， 确定两个长方形的面积。这里大的长方形其中有七分之二是我们的四分。 再想一想大长方形怎么算？拿四除以七分之二对不对？好，所以得到大长方形的面积总共是我们的十四分。 同理，小长方形面积乘以九分之四得到四分，所以小长方形的面积是九份。第三 来请同学回答一下第三步应该是什么？对，我们来找我们的空白部分，这里大长方形有七分之二是涂色，那空白部分还剩 七分之五，总分呢是十四份，所以拿十四乘以七分之五，得到了空白是十份。 同理，小长方形拿一减九分之四，得到空白面积占九分之五。而小长方形我们刚说了是占九份，所以空白相当于五份。 到这一步，答案已经很清晰了，问题问的是空白面积比，那这里两个空白面积比 s 大 的空白比上 s 小 空白等于十比五？好有心结，同学现在开始往里面带答案了啊，十比五， a、 b、 c、 d 没有这个选项怎么办？是不是还忽略了最壮的一波，我们所有的分数题目最终答案一定要化减， 所以最终答案选 a。 二比一这道题不仅仅是在考计算，更是在用分数法去求我们的具体面积， 用两个量都可以，用同一个量来指代时，采用这种分数法会让我们的题目变得更加清晰简单，那这种题目还会和我们初中未来要学的比值分数做衔接，内容一定要重点理解。

下面我们重点来探索这个问题，比例有什么用？我们怎么能够运用比例来解决实际问题。 在咱们的日常生活当中，人们要想获得自己所需要的一些物品， 可以采用货币购买的方式。有的时候啊，也可以用物物交换的方式，按一定的比例交换自己所需要的物品。 比如青青有一些玩具小汽车，华华有很多的小人书，他俩就想彼此交换， 于是华华提出了这样的交换规则，四个玩具汽车换十本小人书，这个规则你理解吗？它是什么意思呢？ 这个规则的意思就是轻轻拿出四个玩具汽车换华华的十本小人书，再拿出四个玩具汽车，又可以换华华的十本小人书，也就是说每四个玩具汽车就可以换十本小人书。 这位同学很清楚的理解了，四个玩具汽车和十本小人书是等价关系，如果轻轻有十四个玩具汽车，那么它可以换到多少本小人书呢？ 面对这个问题，你能想到几种不同的解决方法呢？ 我们来听一听同学们的想法，我是用画图的方法来解决的，用三角形表示玩具车，用圆圈表示小人书，四个玩具车可以换十本小人书， 那再来四个玩具车就又可以换十本小人书，这样可以再来一组，那现在就剩下两个玩具车可以换五本小人书，所以十四个玩具车总共可以换三十五本小人书。 画图真的是一种非常棒的解决问题的策略，通过画图可以帮助我们分析问题，有的时候画图还可以直接得到问题的答案。 我们再来看看其他的方法，我是这样想的，已知四个玩具小汽车可以换几本小人书？十除以四等于二点五本， 所以十四个玩具小汽车就可以换十四乘以二点五等于三十五本小人书。 受这位同学的启发，我们也可以先求一本书能换几个玩具汽车， 四除以十等于零点四个，一本书能换零点四个小汽车，十四除以零点四等于三十五本。 这道题我们也可以这样解决，已知四个玩具车可以换十本小人书，十四个玩具车是四个玩具车的三点五倍，那么十四个玩具车能换的书也就是十本小人书的三点五倍。 同学们非常的棒，运用我们已有的知识方法，就可以很好的解决这个问题。下面咱们把这四种方法梳理一下， 请你用笔的视角来看车与书之间的关系。我们先来看画图的这种方法。 第二种方法，先求一个玩具汽车能换几本书，再求十四个玩具汽车能换多少本书？ 第三种方法，先求一本书能换几个玩具车，再求十四个玩具车能换多少本书？ 第四种方法，现在你发现了车与书之间的比了吗？ 这个问题用比例同样可以解决，我们可以设十四个玩具车可以换 x 本小人书，你能根据提议列出比例吗？ 我列的比例是四比十等于十四比 x， 因为四个车能换十本书，十四个车能换 x 本书，那么四比十就应该等于十四比 x， 我列的比例是十四分之四等于 x 分 之十，因为四个玩具车能换十本小人书，那十四个玩具车就能换 x 本小人书，那么车和车的比就应该等于书和书的比。 还有的同学列的比例是这样的，十四比四等于十比 x， 现在我们就有了这样的三个比例，究竟哪个比例列的对呢？ 在列比例的时候，正确建立两个比的相等关系是直观重要的。我们先来看第一个比例， 四个车可以换十本书，十四个车可以换 x 本书，所以这四比十和十四比 x 表达的都是车与书的兑换关系， 而这个兑换关系是固定不变的，所以四比十和十四比 x 肯定是相等的，因此说第一个比例列的是正确的。 当然，如果我们把比例列成了十比四等于 x 比十四也是可以的。我们再来看第二个比例， 既然这是一个比例，它表达的就是两个比相等，因此我们在读的时候也要把它读成四比十四等于十比 x， 四比十四表达的应该是四个车占十四个车的几分之几， 那么与之相对应的十就应该是 x 的 几分之几。因此刚才这位同学说的非常的好，车与车的比就应该等于书与书的比，因此第二个比例也是正确的。 我们再来看最后一个比例，十四个车是四个车的几倍，那么 x 本书就应该是十本书的几倍， 所以十四比四应该等于的是 x 比十，而不是十比 x， 所以 第三个比例列的是错误的。 正确的列出比例之后，下面我们要做的工作就是要解比例了， 面对这样一个比例，你会选择怎样的方法来求出比例当中的未知数呢？ 我是这样想的，比例中两个比的比值是相等，左边比的比值是零点四，那么右边的十四比 x 的 比值也应该是零点四，所以 x 等于十四，除以零点四， x 等于三十五。 我的做法是把左边的比和右边的比变成相同的，四变成十四，就和右边比的前项一样了，要乘三点五，所以十也要乘三点五，变成三十五。 两个比是相等的，它们的前项是相同的，那么它们的后项也一定是相同的，所以 x 等于三十五。 我是根据内向机等于外向机解的，两个外向分别是四和 x， 两个内向分别是十和十四，所以四乘 x 等于十乘十四，那么 x 就 等于三十五。 面对同一个比例，咱们同学们采用了不同的方法，下面我们一起来看看这三种方法。 当面对一个比例的时候，我们可以运用比值相等，也可以采用比的基本性质，让两个比变成相同的， 还可以运用内相机等于外相机，这样都可以帮助我们解出比例，解的到底对不对呢？所以我们还有一项重要的工作要做，就是验算。 我们可以把解出来的 x 的 值带入原来的比例当中，看一看两个比的比值是否相等， 或者是看一看两个笔能不能化简成相同的最简笔，又或者是算一算内向机是否等于外向机，都可以帮助我们判断我们解出来的 x 是 否正确。 所以说，我们现在所看到的这样的三种方法，既是解比例的方法，也是验算的好方法。我们再来看看分数比例应该怎么解呢？ 我们仍然可以把左右两个比变成一样的四乘以二点五就会变成十，为了保证比值不变，十四也要乘二点五变成三十五。分子相同，那么它们的分母也得相同，两边才能相等。所以 x 等于三十五， 我用的方法还是内相积相等，我用的方法还是交叉相乘积相等， 所以四 x 等于一百四十， x 等于三十五。我再多说一句啊，虽然解比例有很多方法，但我还是向大家推荐内像机等于外像机这种解法。首先，无论是普通的形式还是分数形式，这种方法都能用。其次，这种方法好想不用费脑筋， 特别喜欢这位同学多说的这一句，因为这代表着他对方法有着自己的思考。应该说方法本身没有优劣之分，合适的就是好方法。 在面对这个比例时，你会选择怎样的方法来解呢？这道题要是用求比着的方法来解呢？这道题要是用求比着的方法来解呢？这道题要是比较麻烦。 如果用内相积等于外相积的方法算计，算量也会比较大。所以我用的方法是通分，把九分之 x 变成二十七分之三 x， 这样三 x 就 等于十八，所以 x 等于六。 你的方法可能和他不一样，但也应该像他一样，先对方法有一个辨析，然后再选择合适的方法。 但这个比例在解的时候，我们也可以采用约分的思路来做，我们完全可以把二十七分之十八约成九分之六，这样就可以得到 x 的 值了。如果我们运用的是交叉相乘积相等来解，其实也不复杂， 九和二十七是可约的，我们可以得到三， x 等于十八，这样我们就会得到 x 等于六了。 所以说合理灵活的运用方法可以让我们的预算变得轻松简单。这节课的。

哈喽，同学们大家好，今天这节课我们来学习第二课比例的应用。我们本节课的学习目标主要是有三种。 第一个是使学生学会解比例的方法，进一步来理解比例的基本性质。 能力。目标是联系啊学生的生活实际啊，创设情景，体现解比例在生活实际中的应用。 情感。目标是利用所学知识解决生活中的问题，进一步来培养学生综合运用知识的能力及情感。 重点就是能根据比例的基本性质解比例，而难点是掌握解比例时把比例改写成方程的一个方法。 前面我们学习了比例的基本性质，同学们还记得比例的基本性质是什么吗？比例的基本性质就是 两个外向的基等于两个内向的基，它的前提条件是在比例里。 第二，请你用比例的相关知识判断下面哪两个比可以组成比例，并说明理由。要想判断这两个比能否组成比例，我们需要看他们的什么？内向基是否等于外向基， 由此可以看出，他们的内向机和外向机都是等于二十四，所以六比三等于八比四可以组成比例。 那么第二种我们也可以用另一种方法来解。除了用这个内向机等于外向机之外，我们还可以用十除以一点五，把把它改写成一个什么分数，两边同时乘以十 就变成了十五分之一百，同时除以五是三分之二十，而八除以十二，两边同时除以四是三分之二， 发现三分之二不等于三分之二十。所以这两个比例啊，这两个比不可以组成比例 三，将比例啊改写成等积式。等积式是什么？也就是比例的基本性质，内向积啊，等于外向积。 他给你写了零点五乘以二等于多少乘以多少，这是外向积，那么他就等于内向积是五乘以零点二， 二分之一，比上三分之二等于四分之一，比上六分之一，他给你写了二分之一乘以六分之一，这是外向积。那么内向积是三分之二乘以四分之一。 好，八比上二十五等于四十比 x 也是内向基等于外向基就是二十五乘以四十就等于什么八乘以 x。 这就写成了一个 方程的形式。我们通常 有时人们会使用物物交换的一个方式，将一定的比例交换自己所需要的一个物品。 比如我们将两把斧子，一件上衣，二十斤粮食，一块布，还有啊，若干其他的一个商品，可以啊，换一只绵羊，这都是 物物交换的一个方法。还有两百斤猪肉等等等等，可以换一样台笔记本 啊。那么这里有两位同学，他说我有十四个玩具汽车，另一个人说四个玩具汽车换十本小人 书。那么问题来了，十四个玩具汽车可以换多少本小人书呢？这时我们就需要运用 运用什么解比例，假设十四个玩具车可以换 x 本小人书，尝试用比例的 方式方法来解决问题，我们就可以列出这样一个比例，四个小汽车换十个小时书。四比十 等于什么？十四比上 x 好， 我们利用内向机等于外向机，可以列出一个方程，也就是四 x 等于十四乘以十，也就是一百四十， 结果 x 一 算等于三十五，然后我们最终再答就可以了。 那么用比例解决问题的时候，第一步射出未知数 x， 他 问什么你就射什么。 第二，根据已知条件找到等量关系。第三列比例，第四解比例。那么解比例的时候，第一步要写解，第二步将比例啊转化成方程。第三步解方程。第四步检验 那么解下面的比例。这也是利用内向基等于外向基，可以列出一个方程，也就是零点三， x 等于二十四，乘以零点四，两边同时除以零点三， 变成了 x 等于多少， x 等于我们两边同时乘以十，这就变成了三，这变成了四，结果一算是三十二， 所以 x 等于三十二。第二问遇到分数， 我们利用交叉相乘的一个方法，这个我们上节课也已经学习了。七 x 啊，就等于三点五，乘以四，也就是十四， x 等于二。 我们说了解完方程要干什么检验，我们来检验第一个方程， x 啊等于三十二，三十二除以零点四啊是八十， 二十四啊，除以零点三也是八十，所以我们解的这个 x 是 正确的。第二个把 x 等于二代入 二除以四是零点五，三点五除以七也是零点五，所以我们解的 x 等于二也是正确的。 那么我们其实人体之中也有一个比例的关系，比如手腕的一周比上颈部的一周是一比二，颈部的一周比上小腿肚的周长就等于一比一。 颈部的一周比较粗等于一比二，头高比上双肩的宽等于一比二，脚板的长度比上自己的身高是一比七。 接着我们来进行练一练。第一题，作业本上有六个小星星，可以画两面小红旗，淘气的作业本上已经有了十五个小星星。 第一问，十五个小星星可以换多少面小红旗？说说你的想法。我们说过直接进行射，他问什么你射什么？我们可以射 十五个小星星，可以换 x 面小红旗，我们就是小红旗，为 x。 接着我们列出一个比利时，我们可以列出六比上二就等于十五比上 x， 六比二等于十五比 x。 我 们利用内向机等于外向机，也就是六， x 等于三十，结果一算， x 等于五。 第二问，假设十五个小星星可以换什么？么么么，多少米小红旗，你能列出比例并解决问题吗？这也是一样的，我们还需要给它进行设 x， 结果解得 x 还是等于五。 第二，写出比例，并求出未知数。组装汽车时，汽车的量数与车轮个数的比是一比四，那么我用八十四个车轮组装了 x 辆车，汽车的量数比上车轮的个数是一比四， x 是 汽车车轮是八十四，我们可以列出比例，还是内向机等于外向机。四， x 等于八十四，解的 x 等于二十一。记住，在写的时候我们必须写上解， 因为啊，这是解方程的步骤。四个鸡蛋与十个橘子可以互换，我们用鸡蛋的个数比上橘子的个数，这是鸡蛋与橘子的比，等于鸡蛋是 x， 橘子是二百五十。千万不要写成二百五十比上 x。 我们利用内向机等于外向机，也可以给它进行算出十， x 等于一千， x 等于一百。 下面是解方程， 四比九等于 x， 比三点六，也就是九， x 啊，等于三点六，乘以四是十四点四，解得 x 啊，等于一点六。写解 第二个利用交叉相乘二十七， x 等于一百六十二，解得 x 等于六。第三个也是内向机等于外向机，也就是四分之一， x 等于七十二分之一， 结果算得 x 等于十八分之一。 第四位，淘气和笑笑收集的邮票张数的比是三比五，淘气收集的邮票是涨三份，笑笑是五三比五， 那么淘气收集了三十六张，笑笑收集的呢？像社笑笑收集的邮票有 x 张，那么列出比例， 根据内向机等于外向机，我们还是可以解出三。 x 等于一百八十，解得 x 等于六十。最后我们回答 第五题，广州塔高六百米，是目前世界上第一高的电视塔，星星公司设计制作了这座电视塔的模型， 模型的高度与实际高度的比是一比三百，模型的高度是多少米？设模型的高度 x， 广州塔的高度是六百，就等于模型的高度一比上实际高度三百，可以列出一个比例式，根据内向机等于外向机，我们可以算写出三百， x 啊，就等于六百，解得 x 等于二。最后我们再回答就可以了。那么通过这节课的学习，你收获了什么呢？我们学会了什么？ 运用解比例时把比例改写成方程的一个方法 哎，进一步了解了比例的基本性质。那么我们今天的这节课就讲到这里，我们下期再见，记得点赞关注哦！

六下数学最难的正反比例，就这几大题型，寒假练完稳进前三，可打印六年级下数学寒假预习正反比例公式。 路程等于速度乘时间，总价等于单价乘数量在比的前向比的后向比值。这三种量中，长方形面积等于长乘宽总个数等于每天生产的个数乘生产天数。 平行四边形的面积等于底乘高总人数等于每行的人数和横数。六下数学比例成考易错。十二种题型题型一，隐藏问题题型二，归一问题。间隔问题。带有分数的比例问题。行程问题归总问题。比例与差不变的问题。比利时问题自行车里的数学以上六电子版。

我们一起来看一下这个题啊，这个题我们用笔的方法和笔的思想来解决它。学校和工厂之间有一条公路，两点钟派车去该场接某劳模啊，派车从学校去工厂啊，所以说我们大概定一下位置，这是校，这是厂， 然后两点呢？谁出发？车出发，对吧？从这边走往返需要一个小时，往返需要一个小时，也就是说啊，这个车他正常单程 应该是需要三十分钟，对吧？他说这位老母啊，下午一点便离场，步行向学校走，所以这个人是往这边走的，途中遇到接他的汽车，立刻上车驶向学校。啊，也就说我们大概的过程是这样啊，我把这个颜色区分开， 车往这个方向走，人呢？往这个方向走，他们在某个位置会相遇，但这个相遇画的不是特别准啊，应该车会走的更远些啊，在这里相遇之后，接下来的过程是什么？接下来人就不走了呀，人应该上车了，对不对？那对车来说呢，他就直接左返 回到学校，他说在下午两点四十分的时候到了学校， 那我通过两点是车出发的时间，两点四十是车到达学校时间是不是能够判断出来自这一部分，其实一共是四十分钟，那么一半是多少？二十分钟吧。 啊，这是车的啊，好，那我们在想那人呢，人走了多久呢？ 人是几点出发？人是一点出发啊，相遇的时候，所以啊，相遇的时候是几点钟？相遇的时候应该是两点二十，为什么两点二十？因为我两点钟车出发呀，他花二十分钟到这啊，对吧，所以说这个时间点应该是两点二十分，那对人来说，从一点钟出发到两点二十分，他走了多久？ 一小时二十分钟吗？那不就八十分钟吗？ 好，那到这我们这个条件好像没用，就是车单程是三十分钟。注意哦，车单程是三十分钟，也就是说他走一遍他是走三十分钟，那么这他要花二十分钟，说明什么呀？ 说明对车来说，这是人啊，对车来说，哎，剩下的部分，车得花多久？车得花十分钟， 对吧？好，那我现在就找到了关键点，对于这个过程来说，路程是不是固定的？路程固定的情况下，时间和速度成什么呀？ 成反比，对吧？那你想这段路程当中，人的时间和车的时间是不是八十？比上十也就是八比一啊？ 那我速度之比是多少呢？人数比车数是多少啊？因为是反比例关系，是不是应该相反，应该就是一比啊？当然最后他问的是汽车速度是人速度的几倍，那我就是八倍呗。 这是这道题，我们要去画图，找到某一段，这一段他有不变量，或者说有相同量，那我们就可以通过正比或者是反比例去进行求证。

六项的数学里啊，比和比例这一章呢，真的非常容易出错。题目呢，看着好像都不难，但是题型一多，公式一砸，做到后面 就非常容易混淆。所以呢，我就把这一张呢单独拆了一下。你现在看到的这份资料就是按照题型分的，一共呢是十八类，从最基础的比到后面的百分数折扣，这一下都给分开理一遍。下面部分是知识点容易搞混的地方呢，直接放在了一起， 不用来回翻书，寒假每天呢花上他个十五分钟啊，一类一类的过笔和比例这一章开学呢就不会那么慌。资料电子版本呢，我已经整理好了，需要家长可以直接在评论区留言关注，老师持续为你带来上海最新的实验资讯。

六下的数学比和比例这一章可以说是孩子最容易踩坑的重灾区了，题型多，概念乱，动不动就混淆，尤其呢是折扣、百分数、税率这一类的实际应用题，经常呢一不小心啊就要算错。 我这边呢，整理了一份比和比例十八类题型清单，把这一张所有的高频考点呢都梳理清楚了啊，包括比的意义啊，性质啊，比例的基本性质，还有常考的应用题型。每类题呢都配套公式和典型的例题，起题思路啊，也都给你标的清清楚楚。 寒假期间每天呢花上半个小时啊，好好的练一类这一块呢，就可以彻底的吃透。需要电子版家长进我主页粉丝群领取，记得点赞收藏，关注老师，持续为大家上最新的学习！

同学们大家好，今天给大家带来的是一节关于我们五六年级高年级段的奥数问题，比例问题。 作为一名老师，我们应该因材施教，可是屏幕前的你我并不了解，故且当做大家都是基础特别好的一个状况，来进行咱们这节课的一个学习。友情提示，右上角有倍速播放。如果觉得课程的一个进度不是特别适合自己，可以自行进行调节， 那回归我们的课程比例问题。首先要学会比例问题，我们得先掌握好比的一个应用，所以比是什么，我们得先回顾一下，以最快的速度我们给他过一遍好吗？ 比的定义是什么？就是比是什么？比是什么？聪明的你肯定知道，没错，除法分数 不就是咱们的笔了吗？但是我得跟大家区分一下，它们的针对性各不相同，我们的除法主要更针对的是什么？它的倾向于是，呃，目的是作为一个整个一个预算，它的一个倾向。 然后分数呢，更侧重的是什么？他侧重的是咱们的这个运算的一个结果，也就是说，他其实是已经是一个数了，对吧？那比呢？比是两者数，两个数之间的一个关系， 那同样的每个位置他有对应的一个称谓，除法里面，前者是被除数，后者是除数，对吧？上边这边是分子，下面这边是分母，那同样的咱们的比呢？左侧是前向对吧？ 那右侧是什么？右侧是后向，中间则是我们的笔号。那学到这里， 你肯定会说，既然它们是一样东西啊，不是完全一样啊，是一家人，但并非一个人，对吧？我们得再一次稍微严谨的给大家稍微区分一下，除除了他们的一个针对性不同以外，基本上其他的一些性质都是完全相等的、相同的。 那同样的，他们这个作为比的一个状况，他的书写形式也可以写成分数的形式，但是在描述的时候你不能写，说成是 b 分 之 a， 你 还是同样要啊，要表述成 a 比 b 啊，所以他的表述有两种哈，也可以这样子书写。 ok， 那 作为除法上面有被除数，有除数，那是不是还有一个什么东西？还有一个商，对不对？那商对应的是什么？就是咱们笔的什么笔直了， 比值是什么？比值就是商，对应的就是结果，是不是，对吧？所以他也有三种形式，有什么整数，小数，还有什么分数的形，三种形式。 那因为有这个三个形式之后，我们也知道比，我们为了方便我们计算，所以他还有一个什么？比的最简化？ 比的简化也叫比的整数简化，要把它化成什么？最小的两个整数。所以当我们遇到第一种整数的两数的时候，我们应该如何化简呢？整数化简， 整数化简有什么呢？怎么做呢？通过分数的一个角度去理解，可能会更容易一些。怎么个说法？ 分子和分母同时约分，也就是提取他们最大的公因数，留下他们两个之间的一个互质数。举个例子啊，三比六， 他们最大的公因数谁是三？所以三比六同样可以化成一比二，这个就是一个最简的一个。呃，化简的一个整数化一个，一个整数化简了，那有整数化简，同样的也有小数化简，对吧？ 小数化简啊，小数化简。以上面的为例，我们给它增添一个小数点，零点三比零点六，那该怎么化简呢？ 没错，聪明的你又知道了，马上就能反镜反应过来，这个零点三，我们把这个十给它们，同时给它们扩大十倍，也就是去小数点， 他就会变成三比六，是吧？然后他们的一个比值是还是没有任何变化的？是不是维持他们的一个比值的情况下， 那同样的再继续进行约分，就是一比二了，就和上面的是一样的。那明白了哈，那接着有整数化简，同样有小数化简，再者肯定也有分数的化简啊， 分数的化简啊。举个例子，二分之一比三分之一，该怎么去化简呢？ 是一比一吗？是二比三吗？那二分之一零点五零，那三分之一化成零点三三三循环小数啊？不可以，那这些都不不对，那该怎么做？ 如果分母相同的情况下，他们的分子每一份的分量是不是一样的？没错，那就是什么？给他们进行一个通分，取他们最小公倍数，把转换成六分之三比六分之二， 那是结束了吗？没有把，谁，我们刚才是已经说过了，我们笔的简化要干嘛？要画成什么 化整啊？这个刚刚忘记写了，给大家提个醒，要化整，最小的整啊，最小的整数。所以呢，我们可以把分母直接去掉。为什么可直接去掉？好好思考一下。刚刚前面我已经说过了，因为当他们分母相等的情况下，他们每一份的单份的量 是不是是一样？所以它有几份？它有三份，它有两份，其实就是三比二了，分母已经可以直接给它去除掉了，这个就是我们的分数化简，这个比较三个化简当中比较注意的是分数化简。好嘞，那到第四点， 第四点一般来说我们在做相应的笔的应用题或者比例的应用题当中会经常遇到就是我们要干嘛进行这个按笔去分配， 还有一个什么键笔要，或者说写成键笔要拆分或划分都可以哈。呃，我喜欢写成拆分吧。啊？ 举个例子，小明，小明有 小明，哦不对，应该这么写吧，小明，小明宇，小红， 呃，口口袋中或者说 的钱，现金的 money 啊。支笔 一比二，他们总共有 二十一元，请问 它们共有多少元？各有多少元？这个怎么做？ 我知道大家记忆力超群，这个题对于大家来说有点太简单了是不是？那这个就可以有效的帮大家回顾，我们首先是不是应该把这个二十一元找到它对称的一个分量，是不是份数总共有几份？一加二也就是三份， 所以通过二十一元除以三份，我们就知道三七二十一，所以每一份每一份单份的一个量是什么？七元，然后再还原回去。也就是说小明是多少名？是 这个，它对应的是一比二哈，所以名是一份，一份乘以七元，然后这个红呢？ 是两份，所以两份乘以七元，所以一个是七元，一个是十四元。好， ok， 单位记得写上去啊，这个只是举个例子，所以咱们就差不多就点到为止啊。 ok， 所以 遇到应用题的时候一定要记得我们要干嘛按笔分配键笔乘一份， 那如果通过分数的一个理解，你马上能反应过来其实就是什么。呃，十一元乘以三分之一或三分之二嘛？是不是因为总分数就是我们的一个分母？好嘞，那回归，回归到最后一点就是往分数最后一点就是比较常见的，也是核心部分， 会经常遇到什么两个比让你转换成一个比，比方说 a 比 b 等于，咱们这个写成 a 比 b 等于一比三，那这边下边却给了你另一个条件， b 比 c 等于四比五。 请问怎么把它转换成 a 比 b 比 c 呢？那这个这种题型叫什么？这个叫画脸笔。 有没有感觉有点像我们？哎，对不起，这个掉了，不好意思，稍等一下。 有没有感觉有点像我们第一年级所学过的一个知识点？有点相似啊，但是不是一个东西。呃。一个篮球加上两个足球等于两百元，那接着他又给另一个条件， 足球这次它数量不一样，它变成了四个足球和一个排球是五百元。那请问篮球加排球多少钱？那是不是应该把下面的这个分数旅程，也就是说扩张到扩分到 跟上边对称的都是四个足球呢？啊？的一个对称的一个前数，我们就知道篮球与排球的一个总价格了。那同样，这个题目其实是一样的，你可以稍微琢磨一下，思考一下。 那这两边都有一个 b 对 不对？是不是？没错，都有一个 b， 那 b 的 一个数量却不一样，这个数量代表什么？分 份不一样，但量一样，那该怎么做？那当然是把它们的份统分统一到一起，所以我们就有了画脸笔的一个主要的一个方式是什么啊？等量部分啊？ 等量要给它统一分数， 等量的部分要统一它的一个分数。我们以这个题为例好不好？ a 比 b 比 c 是 吧？那上边 a 比 b 是 一比三，下边的是 b 比 c， 四 比五，这边是三，这边是四。分数不同，我们要给它统分，把它分数都统一成，什么？统一成十二， 因为找他们的最小公倍数就可以了，是不是？所以上边的要干嘛？一起扩大四倍，是不是？所以这边就变成了四比十二，对吧？上边的这个 a、 b、 b 就 变成四比十二， 那下边呢？就是十二比什么？这里扩大的是三倍，所以十二比十五，那这样子好像还不太理解，那我告诉你为什么要这么做？ 首先通过 b 的 一个理解，我们刚说这个是什么分，对不对？它的量其实是一样，它有没有变过啊？它没有，还是 b 还是原来的 b， 它并没有变过。 那如果分数一样的时候，它每一份的单份的量，也就是平均值，单份的一个量是不是就已经变成了对等的了呢？明白了没有？所以每一份的分量它一样的情况下，它就能跟 a、 a、 c 也是左右两侧的这个进行一个比较了 啊。通过如果说你之前分数的一个理解比较较深的情况下啊，你也可以通过这个分数的一个角度来去理解。怎么理解？ a 比 b 等于一比三，是不是可以这样子写？ 以分数除法的形式是不是？ a 比 b 是 不是等于三？ a 是 占 b 的 三分之一，而下面 b 比 c 等于四比五哈， b 比 c， 所以 b 写下面吧。好吧， 四比五啊，这边是 b b c， 所以 下边 b 是 代表的是四分啊，对，零的四分，那 c 是 五，它占的是什么？一个是 a 占 b 的 三分之一，而这边 c 占 b 是 四分之五，它们分母各不相同， 分母不同，它们分数能一样吗？肯定不能进行比较，是不是，对吧？回归我们刚才前面这边讲的分数 笔，呃，这个画件是不是同一个原理？是吧？你分母不同，你怎么知道上边的一个分数能捋成对等的一个？呃，这个对于比较的一个大小呢？肯定是不行的，是不是，对吧？难以比较， 所以你就要把什么他们两个分母，也就分母部分，也就是 b 的 部分，要把它干成干嘛？ 转换成它们的最小公倍数，也就是通分通分的状态下，你就知道哦， a 比 c 是 多少了，是不是同样也知道 a 比 c 比 b 比 b 是 多少了？那这个是分数的角度，是不是？这边是比的角度，是吧，你就能理解了。 ok， 那 我们的比的一个知识点已经回顾的差不多了，那剩下我们开始这个稍微给大家回顾一下啊，关于比例的知识。 比例的知识概念很少，其实什么是比例？刚才前面我们有简单提了一下，比和比例其实唯一的区别就是什么比是两数之间的关系，而比是什么两组两个相等的，比如说一比二，两个相等的比，就是我们的这个比例的 两个或两组吧，两个相等的 比，这个就是咱们的比例的一个定义了。什么是比例，现在你已经清楚了啊， 那啊，我手机给它关机一下，这个就是咱们比例的啊，这个基本的 性质， 我们从分数的角度来讲，可能会让大家理解的更容易一些。举个例子， b 分 之 a 等于 d 分 之 c， 那 我们都知道， 当两个分数它相等的情况下，它们的交叉乘积是不是什么交叉乘积 是什么相等的， 通过我们刚刚前面课程的一个，前面的一个，嗯，这个咱们的一个最基本的一个定义， 你是否想起来，我们可以把转换写成 a 比 b， 其实就是等于 c 比 d， 那 这边 a 乘的是谁对象？ a 乘的是 d， b 的 对象是谁是 c， 也就是说 a 乘 d 的 g 等于 b 乘 c 的 g， 那 我们在这个比例的应用里面称之为内向机，这个叫内向机，而下边的叫什么 y 相机， 所以因此有了什么内向机就等于了谁 y 相机嘛， 这个很容易哈，通过我们的分数的角度去理解，你一定可以能马上能明白。 ok， 所以 推导出了第三个东西叫什么。当我们方程的时候应该怎么做呢？ 其实就是把某一个数把它转成 x， 比方说还是我们的 a 比 b 等于 c 比 d， 那 这个如果是未知数，把它换成 x， 不 就是 d x 等于 bc 的 记了吗？容易了吧。好， 那所以我们的一个概念知识就是这么的一个简短，接着我们来做几道题来巩固和实践一下吧。 简单读题一下 啊，如果读题觉得太快，自己按暂停自己再读一遍。假设是乙数的三分之二，乙数是丙数的五分之四加乙丙三数的比分别是多少呢？那我们首先得先先给它分数转换成书写成比的形式，我们会不会看的会更容易一些？也就是假比，乙 是二比三，对不对？那这个接着是什么？一比丙 是几比几？一比丙是四比五，而且我们放在对称的一个位置，你会发现跟我们上面前面讲的这些，这个咱们这个画脸笔是完全一致的，对不对？把两个 相等的啊？不对，两两组啊？两个两个比，把它转换成一个比，当然这需要一个什么条件？需要一个中间人，中间数是不是都有一个乙，是不是，对吧？中间商不赚差价嘛，是不是？所以我们要屡的是谁，所以要把这对应的谁 三和四，也就是乙的这个数，把它转成，转换成什么？转换成一样的分数，所以有了什么？ 第一个点想起来没有叫统一，他们的什么统一分数啊？统一谁的分数？我没写啊。统一这个同一个对象，也就是我们统一等量部分的统一分数啊。 那等量部分是谁？上下都有乙，所以我们要统一的是谁？是乙，对不对？所以乙要把它扩大成什么？十二，对不对？是不是？ 那上边的这边是什么？三四十二乘的是四，所以整体扩大了是四倍，二十四就得到了八，所以八比十二，这是假，对不对？是吧？我们刚刚没有写成对称的上下位置，这个稿子这样会不好写，我们把它换一个位置，其实会更好看一下。你们在书写的时候，其实平常可以这样做，加一 饼，呃，然后这边呢？不看啊，这样会不会更一目了然一点？明白了没有？二比三，然后这边四比五，所以把乙是等量的部分， 乙是一个等量的部分，把它转换成等份，所以扩大都变成了十二份，明白了吗？那甲要当然要跟着扩了，是不是因为他这边是二比三，所以二就要扩四，是吧？所以就变成了八， 那下边呢？这边是什么？或者是三对不对？所以三五十五就有了八比十，二比十五就是我们的甲乙丙啦。好嘞，那直接填上去啦。 那接着我们来看下一题， 依然是简单读题，读的慢的同学可以自行先按暂停看一下题目是在讲什么。这也是老师的一个建议，为什么 你这样子会更深入的去理解一下这个题目是怎在讲什么东西，自己先去过一下脑，然后老师再讲述，这样加倍收益。好吧，才会完全依赖于说老师的一个讲解。 那简单读题，甲乙丙三人一共有九十九张水浒卡，甲和乙的张数比为二比一，乙和丙的张数比为三比二，求三个人各有多少张卡呢？那这个还是跟刚才一题那题是完全一致的。都是什么？画脸比？是不是？ 画脸笔应该干嘛？我们再说字，画脸笔要干嘛？统一等量的部分，把它统成什么？统？分数是不是？ 是不是统一分数？明白了，没有？统一写的分数等量部分，所以我们要写成这样子写啊，笔 乙丙丙做草稿的时候，你这样就更不会乱。甲和乙的比是什么？二比一对不对？ 乙丙的张数比是什么？三比三比二，谁是前面？乙是前面，所以这边是三三比二，是不是一目了然？有没有看到 乙是什么对称的，对应的这个什么相等的量要给他干嘛？进行统分，所以你马上就知道哦，这边上边要扩大三倍，是不是因为他们最小公倍数是谁？是三，所以这边一样维持三三，那甲这边扩大三就变成六比三 比二，下边这边丙是没动的，所以他比例就马上出来了，比值啊也出来了，那剩下的部分是什么？ 最基础的知识吗？我们的第四点，刚才还记得我们的笔记吗？什么根据按照他的什么按份去分配吗？是不是 分别你有几分，我有几分，所以这一共有几份？六三二加起来是几分？总共是十几十一份，对不对？所以 十一份对等的是谁啊？是这九十九张的什么水浒卡，是不是，对吧？因此 九十九除以十一张啊，除以十一份啊，就等于什么九张美份了，当然这个份你可以不写啊，这样写不是特别严谨，直接写九张就可以，有一个单位就行。好吧，那接着就是还原了，明白了吗？ 由于这张纸是横向的，所以我们按理说写题应该上下写会好一些，但由于怕这个录相机可能录不到，所以咱们只能横着这边写了。写第二步骤是不是？那也就是什么还原？还原谁？甲乙 饼还原就是分别一个是几份，你要看哪里？看这里吗？那肯定是错的，我们刚刚是这里总共是什么？按照这什么十一份的量来去划分的，所以对称的是在哪里，这里才是相称的，相应的一个份，明白了吗？ 那所以这边是六，这边是三，这边是二，所以对应的都是什么？九张每一份是不是这样子就能还原回去了？六九好，三九二九好，点点点点。答案你们自己去写了，最后再作答好不好？ 好嘞，那我们来看一下第三种题型， 自行按下暂停，然后看一下题目，自己去思考一下，咱们再开始。那老师直接就开始读题啦。 光明小学将五年级的一百四十名学生分成三个小组进行值数活动，已知第一个小组和第二小组人数的比是二比三，第二小组的人数比是四比五，他问这三个小组各有多少人？ 哇哦，这题怎么跟上题一模一样？有没有发现？没错，常吃榴莲的你肯定知道这就是熟悉的榴莲味，所以这个叫什么？这叫体感。 你对于这一种题型到达到一定熟悉度了，你就会马上能反应到把它归纳到某一种题型里面，你做起来会更快一些，明白了吗？就好比你吃榴莲，妈妈常给你买榴莲，你就知道榴莲味是什么， 而不会区分不了榴莲跟 toilet 这个之间的一个味道了，不然就很麻烦了。那下次让妈妈多买榴莲，你自己多练题多练题，下次你对题就有题感，明白了吗？好， 指不定哪一天两公里外你妈买榴莲你都能记得，都能闻到。不是记得，说错了。好，回归我们的题目，所以这个题目马上我们就知道第一件事情是什么？画脸笔，所以要什么先统分是不是？ ok？ 统分它分别有什么？一组？二组连，呃，一组二组三组是不是一组比二组 三组？那分别是比值是怎么样？比是什么样的？二比三？一比二是一组比，二组是二比三。 那二组跟三组呢？二啊，四比五？看清楚了啊，他有时候会倒着写啊，这里是完全是对称的写啊，是二比三啊，二二组比三，组啊，四比五。所以你要干嘛？你要 统分。明白了没有？统一分数，统一分数是什么？上边扩大的是什么？四倍最小公倍数吗？是不是十二？是不是？ 所以这扩四四二四得八，这边下边扩三三五十五。好，总共有几份？八加十二加十五，总共有三十五份好不好？所以三十五份对应的是什么？我们来看下总共是几人？一百四十人， 明白了吗？所以接着就是什么按比例分配了，分配嘛， 再缩姿啊，最后我们就把概念直接去掉，反正你能知道这个东西是什么就足够了。 那第一步肯定还是一样，幺四零除以三五等于多少？三四十二四五二十。好，所以就是四人 每份啊。这个份其实不写了啊，我刚刚已经说过了啊。那接着就是还原回去。还原回去应该怎么办？对应的一定是下边的这个笔，不是上边这边啊，务必记得了啊。是这个啊，刚才忘记用红笔给你们圈了啊。 c 回啊，这个还原的时候这边是八，下边的这个是十二，这边是十五，分别乘以单份的一个量是什么？是四对不对？ 四八三十二点点点点点点。好，最后再做答吧。好嘞，我们来看下下一种题型。 好嘞，我直接读题了啊。 假以两校原有图书本书的比是七比五，如果假校给已校六百五十本。假以两校图书本书的比是三比四，请问原来假校有多少本书？哎呀，奇怪了，怎么回事？ 怎么没有中间商呢？没有中间人帮我们转介绍怎么办？怎么办？看起来又像画脸笔，他妈笔怎么从甲乙从 七比五转成了变成了三比四？发生了什么事？发生了假笑，给乙笑六百五十本书，可是这个笔怎么增？一个增一个减，那到底这个笔该怎么做？ 其实它同样还是一个画脸笔，只不过有两只小兔子，两个数给它隐藏起来了。两个条件？什么条件？老师给你缕出来。 当你知道 a 比 b 的 时候，其实还有两个数是藏起来的， 那我今天给他揭晓出来，下次你自己来挖掘。也就是一个和一个是差嘛？是不是？所以这边甲和乙它有什么？ 一个是和，还有一个是差吗？两数的差和是多少？这里是十二份，差是什么差？是两份，是不是这边呢？他就是七，这边就是差，就是一。看得懂吗？如果看不懂，按下暂停再好好看一遍。好吧， 明白了没有？所以其实给你的两个数实际上有四个对应的一个量，明白吗？两个是隐藏的部分，那我给他揭晓了，下次你自己来揭晓。好吧， ok， 那 寻找的是什么？所以回归我们的什么？画脸笔？画脸笔应该干嘛？找不变量？就是我们这个 找那个什么对应的相称的相应啊，相应的一样的一个量，谁是中间人？ 那这个就是什么变量？不变量要干嘛？把它化成同份数？因为同份数才会干嘛？每一份的分量一样，也就是单量一样啊，简称单量一样。那哪里是一样？ 我们来看假笑，给以笑多少本？请问他们有没有凭空消失东西？没有，所以他们的总和还是不变。所以差有用上吗？差就不需要用上了，这个只是老师顺便给你的，明白了吗？ 划掉，好吧，所以我们应该干嘛？统分的是谁？统的是什么？是我们的和好， 所以通过画脸笔我们就知道了。要干嘛统分好，这是最后写一次，下次我就不写了。统分，统分十二跟七互治，是吧，对吧？所以他们合应该什么？ 转成什么东西，东西转成多少？二七十四，所以还是这个八十四是他们的最小公倍数，明白了没有？所以上边这边是整体是乘了几呢？乘了七或者就乘下边这个数嘛，乘七，所以上边的就会变成什么 七七四十九，是吧？然后像这个呢，就会成这个是五七三十五，这个是 原先的甲乙，我们先把它区分开哈，原先的甲，这边是乙，那就会变成下边的这个会多少？下面同样这里还是八十四呢，这倒着写也可以，这样才不会乱。 在四四乘十二等于多少？四十八，这边呢？三乘十二等于多少？三十六。哦吼，我们来看是不是这样子的？四十九，这边什么扣出了七分，而这边三十五。什么加了 啊？不是，这不是扣了这个运算十五哈，这边是加了十三分， 减扣了十三分啊，这边呢？这边是加了十三分啊，那边减十三分，这边加十三分。肯定是对应的嘛，因为是谁啊？假给了一嘛，是不是？你看下，这边是四十九，三十五，下边这边他变小了，小了多少？小了十三，这边加了十三，所以肯定是对应的，所以 这十三份对应的就是这六百五十本书嘛，明白了吗？哦 那剩下的无非就是我们前面的所讲的知识分配嘛是不是对吧。分配写成一个分也行。好吧，然后六百五十本 除以咱们的十三份啊，你们自己写的时候就不用写这个单位哈，我让大家更好理解我所以写的比较啊字多写了一些额外一些字注意大家理解。那这边三五十五号等于五十五十本每份啊。 那第二步肯定是还原回去嘛。就是呃对应的一个份对应的是什么我们来看他问的是什么。原来驾校有多少本书你不用写了。一大堆啊全部都还原不需要原来哪边是原来这边才是原来的这边是后来的 因为你自己不记得你自己再给他一个标识。好吧所以就是四十九乘以五十分就等于多少。五二十五二两千五百两千五百减五十就是两两千四百五哈 两千四百五十分啊。 ok 最后再做大。好嘞看得懂吗？看不懂自己再暂停回顾一下。好吧。 ok 下一个题型 简单读题。甲乙的水母卡之比是七比十甲乙都得到了二十七张后甲乙的卡数都变成了呃七变成呃这个比变成了七比九。请问两个人原来有多少张水母卡。 嗯没错还是榴莲味没毛病。还是一样的东西。什么东西？我们刚刚知道两个隐藏的数是什么。一个和一个叉。那这里面谁不变呢。不变量是谁 不变量是谁不变量是我们的 都得到二十一张都得到二十张和有变吗？肯定有变变的是什么差。没错差这个也可以通过什么什么知识？可以可以，可以，回顾，回顾的起来马上能反应过来， 没错，年龄问题嘛，是不是，对吧？所以他们是差不变，所以你只要找到假比，你 比叉就可以了。那我教你一个新的写法，这样会比较不容易乱， 所以横向写，所以这边就写一个，因为他后面他是是不是增加了量，是吧？他们都都增加了，他还是原来的假吗？肯定不是吗？你给他做一个小标识吗？假 a 或假 e 吗？ e 或 e a， 然后这个叉还是原来的叉，明白了吗？ 这边是七比十，这边是什么？七比九，上边的差是多少？差是差是谁？差是三嘛？是不是这边差是二，所以你应该捅的是谁？ 捅的是我们的这个叉的部分，是不是，对吧？所以叉应该干嘛？转换成最小公倍数就是咱们的六，是吧，对吧？明白了吗？ 那所以上边这边我们就直接横向的写，不好意思，我写成怎么写到下面来？按道理写，横向的会更好一些啊。不好意思，写了，写给忘了，因为这张纸太太宽了。 然后接着这边上边的是什么？我们是说过倒着写比较容易犯错，当然你要正的也行哈。这边是乘二，是不是，对吧？所以这边是二十二七十四，是不是就转换成了什么？ 我们来看下边的这个假一，这边七，这边是乘三对称的，乘的是三三七，二十一，二十一，这边三九二十七，也是比六，肯定是一样的吗？是吧？那我们检验一下左侧跟右侧看一下有什么变化。这边十四到二十一加了多少？ 加了七份，这边二十到二十七也是加了七份，他们都是什么？加二十一张卡，所以二十一张卡对应的是什么？二十一张卡 对应的不就是咱们的这个七份了吗？所以分配一下好不好？所以二十一除以七， 然后直接跳步，是不是，对吧？干嘛还要再再浪费那个时间呢？我们已经熟练度上来了，所以直接成为对应的我们，他们要给我们的什么东西啊？对应的分数，那他要问的是谁？两人原有原来哪个是原？ 不记得自己画一条横线嘛？这个就是原来的嘛，是不是，对吧？一个乘十四，一个乘二十，是不是？所以这边三七二十一，三三三四十二四十二，这边是不是啊？六十？好， ok， 单位记得写， 最后记得作答。 好嘞，明白了没有？好，就是这么简单。那我们再给大家稍微拓展一下，如果你对于这个不变量不是特别理解，还记得刚才老师有说过吗？通过分数的理解 分数，分数什么？这个就是分母，是不是？中间上就是分母，是不是找不变量？我们前面如果说同学们如果有学过分数的奥数题，那你对这个 啊，不好意思，讲到一半才发现突然没电了，哈哈，那个咱们继续啊， 这个题刚才我们从比例的这个角度已经掌握好了，接着就是我们从分数的角度再稍微去拓展一下， 当然呢，如果你自己本身对于分数的这一个模块，这个奥数的一个模块掌握的不是特别透彻，那 正好你二次拓展掌握的更深入一些，岂不是更好吗？岂不美哉哉，是不是？ ok， 那 我们从分数角度来讲，其实是一样的，他同样是找这个什么不变量啊，是不是？ 怎么个不变量？他无非就在这个叉，这个也就是这个一，这个不变量是一，是不是在这个一上面的一个占比， 你的一个转换由 a 变成了 b， 或者变成了 c， 是 不是然后它对应的这个占比的一个变化中间的这个数值是多少是吧？它的量是多少？比如这里面是三十，那由百分之二变成了百分之一 啊，那这个百分之一不就是对应的这个三十的一个量吗？是不是然后还原回去就是一样的？那跟这个题其实是完全是一致的，这个差 他就是那个不变的一，是不是？而差是三。那我们从甲来左手，从甲来左手，其实他就是什么从这个三分之七变成了二分之七啊，明白了没有？ 他无非就是什么，这个一差是没有任何变化的，只是分子上面的一个做一个调整，这个一在这个一上面的一个占比是没有任何变化的， 明白了吗？所以从分数的角度理解的话，呃，你可以相互加深，挺好的，最好不要变成前后支持在打架好不好？能二次巩固是最好的。那自己消化一下喽。那我们来讲解一下下一个题型。 ok， 来，还是简单读题，不行你就先按暂停，先去自己去消化一下是最好的。 甲和乙它的水母卡之比为三比五，甲得到十二张，乙得到四十八张，那甲和乙的卡的数量比变成了一比二，问两个人原来有多少张水母卡？哦，这题啊， 同学又说好熟悉啊，又是榴莲味，没错，是榴莲味吗？再好好思考一下，这是榴莲还是 toilet？ 这个如果分不清，拜托麻烦让妈妈多买一点榴莲吃一下嘛是不是？那咱们的题也是一样，多练一练 你才会发现说，哎，其实这里面你没有找到我们刚才所熟悉的不变量，是不是，对吧？找不到这个东西了，没有不变量，那该怎么做？那刚刚我们回归刚才我们前面的理论基，理论基础知识啊，这个想起来没有？ 除了我们这个画脸笔之外还有另一个什么？它比例有一个什么特性呢？跟分数是一样的，想起来没有？想起来没有？没错，我就知道你们这个记性特别好。 交叉乘积对等那笔的比例里面是什么？这个叫什么？内向积是什么？是相等的是不是，对吧？ 所以呢，我们由三比五转成一比二，也就是说对等的就是两组比是对等的一个等量关系，是不是两个对等的三比五与三三比五等于 一比二对不对？那他需要一个什么条件？这个三比五转成一比二，肯定中间有附加了一个什么样的一个条件，是不是，对吧？看看他的一个成绩。那我们来看 你要设 x 要解方程，是不是你会优先选择一元还是选择二元？换做我老师是比较懒的，肯定选一元。聪明的你，如果你愿意，你自己去选二元吧。我是不愿意。好，那选一元。 一元该怎么设呢？你可以设成三。这边要怎么把这个假的水母卡原先设成 x 吗？ 然后这个乙的水浒卡就变成。嗯，这个 x 乘以三分之五嘛，因为它乙占的是 x 的 三分之五份啊，也是可以，但这样会比较麻烦，还有没有更好的方法？有的，我们来试一下。先写解 射射谁射？射什么射，每一份为 x 嘛，但是这样写不严谨，你就直接写射甲 原先有三 x 章嘛，是不是已有 五 x 章，明白了吗？是不是变得很容易呢？然后再把这个条件套进刚才我们上面对等的一个等量的一个关系，是不是，对不对？是吧？ 那三 x 它干嘛？它是得到了十二张，那比上 以是得到了什么？五 x， 五 x 得到了多少？四十八张，那变成两组比是对等的，明白了吗？那内向积等于 y 向积啊， 所以三 x 加十二乘二等于多少？六 x 加上二十四嘛，它就等于多少？ 五 x 加四十八乘一呢？就还是五 x 加四十八 小圆，然后就剩下了一个 x， 是 不是这边各扣二十四，所以 x 等于二十四，二十四，是吗？二十四张， 二四是谁你要知道，如果你不记得，是啊，我们前面设的是每一份，那你要记得你前面这边 解设这边可以有给你的提示。所以三 x 就是 什么原先加的数量啊，原先也就是五 x 嘛，所以还原三乘二四和五乘二四啊， 不就是还原回去了吗？是不是三四十二七十二，然后这边四五二十一，二零，是不是，对吧？这边填上单位， 然后最后做答会吗？这就是我们常规遇到的几种类型题啦，就是第一种是什么？你要先把这个画脸笔的知识运用好，是不是，对吧？其次分配怎么分配？ 根据他的一个分数来去分配给他，是不是，对吧？你要先画成每一份多少，如果你不记得，可以通过分数的角度再去想一下，构思一下他总共里面这样的这个分母里面的几份，是不是，对吧？然后 再接着就是第三样，就是我们的知识点找不变量。找不变量的目的是什么？无非还是一样的，跟前者这个画脸笔是相似的，怎么个相似？ 他还是找那个对等的那个不变的那个量，是不是，对吧？给他转换成什么啊？转换成同样的分数，是不是？明白了吗？ 那第四种就是我们由这个基础性质推导出来的，这个叫什么？内向机等于外向机，所以你在解方程设成常规的一般方程的时候，做起来会更容易一些， 因为它在你找不到对等的啊，这个叫做啊，这个，这个不，不变量哈。这个找不变量的时候，如果你找不到，那我们就可以通过 x 来设为一般方程，做起来会更容易一些。好，那 ok， 那 今天的这节课，呃，就先上到这里 啊。按理说后面还有好几种类型题，但是我觉得这个时间上面的一个问题，包括理解上面的问题，建议大家说分成两段去学习，所以老师也给他拆分成了两段， 那我们下半段再继续延伸学习下去。不同的一个关于比例的这个类型题，那他会这个融入一些相应的一些知识点啊，比如说他可能，呃，运用到了一个反比例的一个问题，什么是反比例 啊？路程是不是等于速度乘与时间对不对？是吧？那 请问路程和时间是不是成反比的一个状态？如果二乘五和五乘二吧，是不是？如果你对于这个不是特别了解，特特别理解，可以去自行先查阅一下。反比例是什么啊？ 那顾名思义，反比例其实就是相反的嘛，利用我们啊乘除法的一个这个规律变化性质，这个也可以从通过四年级的奥数去再稍微再去理解一下，这边扩那边缩啊，不变量。打个比方，我们的举个例子吧，这样会比较直观一些，比如说， 嗯，举个例子， a 乘 b 等于 c， 而这个 c 是 不变量啊，是一个不能说不变量定值，它是一个定值啊，可误。 举个例子，它是定值的情况下，那 a 和 b 它就是什么？成一个反比例，一个状态，是不是？如果你 a 扩大， b 就 会缩小，是不是，对吧？这个就是我们前面三四年级学的一个，呃，一个小小的一个知识点， 那这个其实就是一种反比例的一种状态，那接着他可能还融入了一个另一个知识，就是我们的工程问题。这个 如果有，有新的同学哈，可以先去翻阅一下这个工程问题的一个奥数知识点，可以去先了解一下， 包括。当然呢，分数的部分知识点你也可以再去查一下，复习一下，对这个章节会有很大的一个帮助。因为这三者都挺挺类似的啊，挺相似的。 那工程问题它融入之后又会变成怎么样的一种题型呢？那我们下一节课再见分晓。 ok， 那 这节课先到此为止，谢谢同学们的观看，再见。

这道题啊，经常考，很多同学一看这么复杂，无从下手。其实啊，利用赘述法非常简单，若三分之 a 等于五分之 b 等于七分之 c 等于两千零二十五分之两千零二十三，要求 a 加 b 加 c 分 之 a 加 b 减 c， 它的值等于多少？已知条件是，三分之 a 等于五分之 b 等于七分之 c 等于两千零二十五分之两千零二十三。 我们可以假设这个分手指太大，假设它比三角复杂。问题简单化，三分之 a 等于三角，五分之 b 等于三角。这样， a 就是 三， b 的 三角， b 就是 五， b 的 三角， c 就是 七的三角。好题目要求什么？ a 加 b 减去 c， 这是分子，分母是 a 加 b 加 c， a 是 三个三角带进来， b 是 五个三角带进来， c 是 七个三角带进来。 好， a 就是 三个三角， b 就是 五个三角， c 就是 七个三角。 三加五等于八八个三角减去七个三角，这是三角啊！是不是一个三角上面就是一个三角？分子是一个三角。 三加五等于八，八加七等于十五十五个三角。三角三角约分以后就是一。所以啊，最终结果等于十五分之一，因此呢，它的分数值就是十五分之一。好！

同学们大家好，今天给大家带来的是一节关于我们五六年级高年级段的奥数问题，比例问题。 作为一名老师，我们应该因材施教，可是屏幕前的你我并不了解，况且当做大家都是基础特别好的一个状况，来进行咱们这节课的一个学习。友情提示，右上角有倍速播放。如果觉得课程的一个进度不是特别适合自己，可以自行进行调节， 那回归我们的课程比例问题。首先要学会比例问题，我们得先掌握好比的一个应用，所以比是什么，我们得先回顾一下，以最快的速度我们给他过一遍好吗？ 比的定义是什么？就是比是什么？比是什么？聪明的你肯定知道，没错，除法分数 不就是咱们的笔了吗？但是我得跟大家区分一下，它们的针对性各不相同，我们的除法主要更针对的是什么？它的倾向于是，呃，目的是作为一个整个一个预算，它的一个倾向。 然后分数呢，更侧重的是什么？他侧重的是咱们的这个运算的一个结果，也就是说他其实是已经是一个数了，对吧？那比呢？比是两者数，两个数之间的一个关系， 那同样的每个位置他有对应的一个称谓，除法里面，前者是被除数，后者是除数，对吧？上边这边是分子，下面这边是分母，那同样的咱们的比呢？左侧是前向对吧？ 那右侧是什么？右侧是后向，中间则是我们的笔号。那学到这里， 你肯定会说，既然它们是一样东西啊，不是完全一样啊，是一家人，但并非一个人，对吧？我们得再一次稍微严谨的给大家稍微区分一下，除除了他们的一个针对性不同以外，基本上其他的一些性质都是完全相等的、相同的。 那同样的，他们这个作为比的一个状况，他的书写形式也可以写成分数的形式，但是在描述的时候你不能写，说成是 b 分 之 a， 你 还是同样要啊，要表述成 a 比 b 啊，所以他的表述有两种哈，也可以这样子书写。 ok， 那 作为除法上面有被除数，有除数，那是不是还有一个什么东西？还有一个商，对不对？那商对应的是什么？就是咱们笔的什么笔直了， 比值是什么？比值就是商，对应的就是结果，是不是，对吧？所以他也有三种形式，有什么整数，小数，还有什么分数的形，三种形式。 那因为有这个三个形式之后，我们也知道比，我们为了方便我们计算，所以他还有一个什么？比的最简化？ 比的简化也叫比的整数简化，要把它化成什么？最小的两个整数。所以当我们遇到第一种整数的两数的时候，我们应该如何化简呢？整数化简， 整数化简有什么呢？怎么做呢？通过分数的一个角度去理解，可能会更容易一些。怎么个说法？分子和分母同时约分，也就是提取他们最大的公因子，留下他们两个之间的一个互质数。举个例子啊，三比六， 他们最大的公因数谁是三？所以三比六同样可以化成一比二，这个就是一个最简的一个。呃，化简的一个整数化一个，一个整数化简了，那有整数化简，同样的也有小数化简，对吧？ 小数化简啊，小数化简。以上面的为例，我们给他增添一个小数点，零点三比零点六，那该怎么化简呢？ 没错，聪明的你又知道了，马上就能反镜反应过来，这个零点三，我们把这个十给他们，同时给他们扩大十倍，也就是去小数点， 他就会变成三比六，是吧？然后他们的一个比值是还是没有任何变化的？是不是维持他们的一个比值的情况下， 那同样的再继续进行约分，就是一比二了，就和上面的是一样的。那明白了哈，那接着有整数化简，同样有小数化简，再者肯定也有分数的化简啊， 分数的化简啊。举个例子，二分之一比三分之一，该怎么去化简呢？ 是一比一吗？是二比三吗？那二分之一零点五零，那三分之一化成零点三三三循环小数啊？不可以。那这些都不不对，那该怎么做？ 如果分母相同的情况下，他们的分子每一份的分量是不是一样的？没错，那就是什么？给他们进行一个通分，取他们最小公倍数，把转换成六分之三比六分之二， 那是结束了吗？没有把，谁，我们刚才已经说过了，我们笔的简化要干嘛？要画成什么 化整啊？这个刚刚忘记写了，给大家提个醒，要化整，最小的整啊，最小的整数。所以呢，我们可以把分母直接去掉。为什么可直接去掉？好好思考一下。刚刚前面我已经说过了，因为当他们分母相等的情况下，他们每一份的单份的量 是不是是一样？所以它有几分？它有三份，它有两份，其实就是三比二了，分母已经可以直接给它去除掉了，这个就是我们的分数化简，这个比较三个化简当中比较注意的是分数化简。好嘞，那到第四点， 第四点一般来说我们在做相应的笔的应用题或者比例的应用题当中会经常遇到就是我们要干嘛进行这个按笔去分配， 还有一个什么键笔要，或者说写成键笔要拆分或划分都可以哈。呃，我喜欢写成拆分吧。啊， 举个例子，小明，小明有 小明，哦不对，应该这么写吧，小明，小明宇，小红，呃口口袋中或者说 的钱，现金， money 啊，支笔 一比二，他们总共有 二十一元，请问 它们共有多少元？各有多少元？这个怎么做？ 我知道大家记忆力超群，这个题对于大家来说有点太简单了是不是？那这个就可以有效的帮大家回顾，我们首先是不是应该把这个二十一元找到它对称的一个分量，是不是份数总共有几份？一加二也就是三份， 所以通过二十一元除以三份，我们就知道三七二十一，所以每一份每一份单份的一个量是什么？七元，然后再还原回去。也就是说小明是多少名？是 这个，它对应的是一比二哈，所以名是一份，一份乘以七元，然后这个红呢？ 是两份，所以两份乘以七元，所以一个是七元，一个是十四元。好， ok， 单位记得写上去啊，这个只是举个例子，所以咱们就差不多就点到为止啊。 ok， 所以 遇到应用题的时候一定要记得我们要干嘛按笔分配，键笔乘一份， 那如果通过分数的一个理解，你马上能反应过来其实就是什么。呃，十一元乘以三分之一或三分之二嘛？是不是因为总分数就是我们的一个分母？好嘞，那回归，回归到最后一点就是往分数最后一点就是比较常见的，也是核心部分， 会经常遇到什么两个比让你转换成一个比，比方说 a 比 b 等于，咱们这个写成 a 比 b 等于一比三，那这边下边却给了你另一个条件， b 比 c 等于四比五。 请问怎么把它转换成 a 比 b 比 c 呢？那这个这种题型叫什么？这个叫画脸笔， 有没有感觉有点像我们，哎，对不起，这个掉了，不好意思，稍等一下。 有没有感觉有点像我们第一年级所学过的一个知识点？有点相似啊，但是不是一个东西。呃。一个篮球加上两个足球等于两百元。那接着他又给另一个条件， 足球这次它数量不一样，它变成了四个足球和一个排球是五百元。那请问篮球加排球多少钱？那是不是应该把下面的这个分数旅程，也就是说扩张到扩分到 跟上边对称的都是四个足球呢？啊？的一个对称的一个前数，我们就知道篮球与排球的一个总价格了。那同样，这个题目其实是一样的，你可以稍微琢磨一下，思考一下。 那这两边都有一个 b 对 不对？是不是？没错，都有一个 b， 那 b 的 一个数量却不一样，这个数量代表什么？分 份不一样，但量一样，那该怎么做？那当然是把它们的份统分统一到一起，所以我们就有了画脸笔的一个主要的一个方式是什么啊？等量部分啊？ 等量要给它统一分数， 等量的部分要统一它的一个分数。我们以这个题为例好不好？ a 比 b 比 c 是 吧？那上边 a 比 b 是 一比三，下边的是 b 比 c， 四 比五，这边是三，这边是四，分数不同，我们要给它统分，把它分数都统一成，什么？统一成十二， 因为找他们的最小公倍数就可以了，是不是？所以上边的要干嘛？一起扩大四倍，是不是？所以这边就变成了四比十二，对吧？上边的这个 a、 b、 b 就 变成四比十二， 那下边呢？就是十二比什么？这里扩大的是三倍，所以十二比十五，那这样子好像还不太理解，那我告诉你为什么要这么做？ 首先通过 b 的 一个理解，我们刚说这个是什么分，对不对？它的量其实是一样，它有没有变过啊？它没有，还是 b 还是原来的 b， 它并没有变过。 那如果分数一样的时候，它每一份的单份的量，也就是平均值，单份的一个量是不是就已经变成了对等的了呢？明白了没有？所以每一份的分量它一样的情况下，它就能跟 a、 a、 c 也是左右两侧的这个进行一个比较了 啊。通过如果说你之前分数的一个理解比较较深的情况下啊，你也可以通过这个分数的一个角度来去理解。怎么理解？ a 比 b 等于一比三，是不是可以这样子写？ 以分数除法的形式是不是？ a 比 b 是 不是等于三？ a 是 占 b 的 三分之一，而下面 b 比 c 等于四比五啊？ b 比 c， 所以 b 写下面吧。好吧， 四比五啊，这边是 b、 b、 c， 所以 下边 b 是 代表是四分啊，对，零的四分，那 c 是 五，它占的是什么？一个是 a 占 b 的 三分之一，而这边 c 占 b 是 四分之五，它们分母各不相同， 分母不同，它们分数能一样吗？肯定不能进行比较，是不是，对吧？回归我们刚才前面这边讲的分数 比较。呃，这个化简是不是同一个原理？是吧？你分母不同，你怎么知道上边的一个分数能捋成对等的一个？呃，这个对于比较的一个大小呢？肯定是不行嘛，是不是？对吧？难以比较， 所以你就要把什么他们两个分母，也就分母部分，也就是 b 的 部分，要把它干成干嘛， 转换成它们的最小公倍数，也就是通分通分的状态下，你就知道哦， a 比 c 是 多少了，是不是同样也知道 a 比 c 比 b 比 b 是 多少了？那这个是分数的角度，是不是？这边是比的角度，是吧，你就能理解了。 ok， 那 我们的比的一个知识点已经回顾的差不多了，那剩下我们开始这个稍微给大家回顾一下啊，关于比例的知识。 比例的知识概念很少，其实什么是比例？刚才前面我们有简单体会一下。比和比例其实唯一的区别就是什么比是两数之间的关系，而比是什么两组两个相等的，比如说一比二两个相等的比，就是我们的这个比例的 两个或两组吧，两个相等的 比，这个就是咱们的比例的一个定义了。什么是比例，现在你已经清楚了啊， 那啊，我手机给它关机一下，这个就是咱们比例的啊，这个基本的 性质， 我们从分数的角度来讲，可能会让大家理解的更容易一些。举个例子， b 分 之 a 等于 d 分 之 c， 那 我们都知道， 当两个分数它相等的情况下，它们的交叉乘积是不是什么交叉乘积 是什么相等的， 通过我们刚刚前面课程的一个，前面的一个，嗯，这个咱们的一个最基本的一个定义， 你是否想起来，我们可以把转换写成 a 比 b， 其实就是等于 c 比 d， 那 这边 a 乘的是谁对象？ a 乘的是 d， b 的 对象是谁是 c， 也就是说 a 乘 d 的 g 等于 b 乘 c 的 g， 那 我们在这个比例的应用里面称之为内向机，这个叫内向机，而下边的叫什么 y 相机， 所以因此有了什么内向机就等于了谁 y 相机嘛， 这个很容易哈，通过我们的分数的角度去理解，你一定可以能马上能明白。 ok， 所以 推导出了第三个东西叫什么。当我们方程的时候应该怎么做呢？ 其实就是把某一个数把它转成 x， 比方说还是我们的 a 比 b 等于 c 比 d， 那 这个如果是未知数，把它换成 x， 不 就是 d x 等于 bc 的 记了吗？容易了吧。好， 那所以我们的一个概念知识就是这么的一个简短，接着我们来做几道题来巩固和实践一下吧。 简单读题一下啊，如果读题觉得太快，自己按暂停自己再读一遍。假设是乙数的三分之二，乙数是丙数的五分之四，甲乙丙三数的比分别是多少呢？那我们首先得先先给他分数转换成书写成比的形式，我们会不会看的会更容易一些？ 也就是甲比乙，是二比三，对不对？那这个接着是什么？乙比丙 是 g b g， 一 比零，是四比五，而且我们放在对称的一个位置，你会发现跟我们上面前面讲的这些，这个咱们这个画脸笔是完全一致的，对不对？把两个 相等的啊？不对，两两组啊？两个两个比，把它转换成一个比，当然这需要一个什么条件？需要一个中间人，中间数是不是都有一个乙，是不是？对吧？中间商不赚差价嘛，是不是？所以我们要屡的是谁，所以要把这对应的谁 三和四，也就是乙的这个数，把它转成，转换成什么？转换成一样的分数，所以有了什么？ 第一个点想起来没有叫统一他们的什么统一分数啊？统一谁的分数？我没写啊。统一这个同一个对象，也就是我们统一等量部分的统一分数啊。 那等量部分是谁？上下都有乙，所以我们要统一的是谁？是乙，对不对？所以乙要把它扩大成什么？十二，对不对？是不是？ 那上边的这边是什么？三四十二乘的是四，所以整体扩大了是四倍，二十四就得到了八，所以八比十二，这是假，对不对？是吧？我们刚刚没有写成对称的上下位置，这个稿子这样会不好写，我们把它换一个位置，其实会更好看一下。你们在书写的时候，其实平常可以这样做，加一 饼，呃，然后这边呢？不看啊，这样会不会更一目了然一点？明白了没有？二比三，然后这边四比五，所以把已是等量的部分 底是一个等量的部分，把它转换成等份，所以扩大都变成了十二份，明白了吗？那甲要当然要跟着扩了，是不是因为他这边是二比三，所以二就要扩四，是吧？所以就变成了八，那下边呢？这边是什么？或者是三对不对？所以三五十五 就有了八比十，二比十五就是我们的甲乙丙了。好嘞，直接填上去了。 那接着我们来看下一题， 依然是简单读题，读得慢的同学可以自行先按暂停看一下题目是在讲什么。这也是老师的一个建议，为什么 你这样子会更深入的去理解一下这个题目是怎在讲什么东西，自己先去过一下脑，然后老师再讲述，这样加倍收益。好吧，才不会完全依赖于说老师的一个讲解。 那简单读题，甲乙丙三人一共有九十九张水浒卡，甲和乙的张数比为二比一，乙和丙的张数比为三比二，求三个人各有多少张卡呢？那这个还是跟刚才一题那题是完全一致的。都是什么？画脸比，是不是？ 画脸笔应该干嘛？我们再说字，画脸笔要干嘛？统一等量的部分，把它统成什么？统？分数是不是？ 是不是统一分数？明白了，没有？统一写的分数等量部分，所以我们要写成这样子，写笔， 乙丙丙做草稿的时候，你这样就更不会乱。甲和乙的比是什么？二比一对不对？ 乙丙的张数比是什么？三比三比二，谁是前面？乙是前面，所以这边是三三比二，是不是一目了然？有没有看到 乙是什么对称的，对应的这个什么相等的量，要给他干嘛？进行统分？所以你马上就知道哦，这边上面要扩大三倍，是不是因为他们最小公倍数是谁？是三，所以这边一样维持三三，那甲这边扩大三就变成六比三， 比二，下边这边丙是没动的，所以他比例就马上出来了，是不是比就马上出来了，比值啊也出来了，那剩下的部分是什么？ 最基础的知识吗？我们的第四点刚才还记得我们的笔记吗？什么根据按照他的什么按份去分配吗？是不是 分别你有几分，我有几分，所以这一共有几份？六三二加起来是几分？总共是十几十一份，对不对？所以 十一份对等的是谁啊？是这九十九张的什么水浒卡，是不是，对吧？因此 九十九除以十一张啊，除以十一份啊，就等于什么九张美份了。当然这个份你可以不写啊，这样写不是特别严谨，直接写九张就可以，有一个单位就行。好吧，那接着就是还原了，明白了吗？ 由于这张纸是横向的，所以我们按理说写题应该上下写会好一些，但由于怕这个录相机可能录不到，所以咱们只能横着这边写了。写第二步骤是不是？那也就是什么还原？还原谁？甲乙 饼还原就是分别一个是几份，你要看哪里？看这里吗？那肯定是错的，我们刚刚是这里总共是什么？按照这什么十一份的量来去划分的，所以对称的是在哪里，这里才是相称的，相应的一个份，明白了吗？ 那所以这边是六，这边是三，这边是二，所以对应的都是什么？九张每一份是不是这样子就能还原回去了？六九好，三九二九好，点点点点。答案你们自己去写了，最后再作答好不好？ 好嘞，那我们来看一下第三种题型， 自行按下暂停，然后看一下题目，自己去思考一下，咱们再开始，那老师直接就开始读题了。 光明小学将五年级的一百四十名学生分成三个小组进行值数活动。已知第一个小组和第二小组人数的比是二比三，第二小组的人数比是四比五，他问这三个小组各有多少人？ 哇哦，这题怎么跟上题一模一样？有没有发现？没错，常吃榴莲的你肯定知道这就是熟悉的榴莲味，所以这个叫什么？这叫体感。 你对于这一种题型到达到一定熟悉度了，你就会马上能反应到把它归纳到某一种题型里面，你做起来会更快一些，明白了吗？就好比你吃榴莲，妈妈常给你买榴莲，你就知道榴莲味是什么， 而不会区分不了榴莲跟 toilet 这个之间的一个味道了，不然就很麻烦了。那下次让妈妈多买榴莲，你自己多练题，多练题，下次你对题就有题感，明白了吗？好，指不定哪一天两公里外你妈买榴莲你都能记得，都能闻到，不是记得说错了。 好，回归我们的题目，所以这个题目马上我们就知道第一件事情是什么？画脸笔，所以要什么先统分是不是？ ok？ 统分它分别有什么？一组二组连，呃，一组二组三组是不是一组比二组 三组啊？分别是比值是怎么样？比是什么样的？二比三？一比二是一组比，二组是二比三。 那二组跟三组呢？二啊，四比五，看清楚了啊，他有时候会倒着写啊，这里是完全是对称的写啊，是二比三啊，二二组比三组啊，四比五。所以你要干嘛？你要 统分。明白了没有？统一分数，统一分数是什么？上边扩大的是什么？四倍最小公倍数吗？是不是十二？是不是？ 所以这扩四四二四得八，这边下边扩三三五十五。好，总共有几份？八加十二加十五，总共有三十五份好不好？所以三十五份对应的是什么？我们来看总共是几人？一百四十人， 明白了吗？所以接着就是什么按比例分配了，分配嘛， 再缩姿啊，最后我们就把概念直接去掉，反正你能知道这个东西是什么就足够了。 那第一步肯定还是一样，幺四零除以三五等于多少？三四十二，四五二十。好，所以就是四人 每份啊。这个份其实不写了啊，我刚刚已经说过了啊。那接着就是还原回去。还原回去应该怎么办？对应的一定是下边的这个笔，不是上边这边啊，务必记得了啊，是这个啊，刚才忘记用红笔给你们圈了啊。 three 回啊，这个还原的时候这边是八，下边的这个是十二，这边是十五，分别乘以单份的一个量是什么？是四对不对？ 四八三十二点点点点点点。好，最后再做答吧。好嘞，我们来看下下一种题型。 好嘞，我直接读题了啊。 假以两校原有图书本书的笔是七比五，如果假校给已校六百五十本。假以两校图书本书的笔是三比四，请问原来假校有多少本书？哎呀，奇怪了，怎么回事？ 怎么没有中间商呢？没有中间人帮忙转介绍怎么办？怎么办？看起来又像画脸笔，他妈笔怎么从假以 从七比五转成了变成了三比四？发生了什么事？发生了假笑给以笑六百五十本书。可是这个笔怎么消失的？怎么增？一个增一个减？那到底这个笔该怎么做？ 就是它同样还是一个画脸笔，只不过有两只小兔子，两个树给他隐藏起来了。两个条件？什么条件？老师给你捋出来。 当你知道 a 比 b 的 时候，其实还有两个数是藏起来的。 那我今天给它揭晓出来，下次你自己来挖掘。也就是一个和一个是差嘛？是不是？所以这边甲和乙它有什么？ 一个是和，还有一个是差吗？两数的差和是多少？这里是十二份。差是什么差？是两份。是不是这边呢？他就是七，这边就是差，就是一。看得懂吗？如果看不懂，按下暂停再好好看一遍。好吧， 明白了没有？所以其实给你的两个数实际上有四个对应的一个量，明白吗？两个是隐藏的部分。那我给他揭晓了，下次你自己来揭晓。好吧， ok， 那 寻找的是什么？所以回归我们的什么？画脸笔？画脸笔应该干嘛找不变量？就是我们这个 找那个什么对应的相称的相应啊，相应的一样的一个量，谁是中间人？ 那这个就是什么变量？不变量要干嘛？把它化成同份数？因为同份数才会干嘛？每一份的分量一样，也就是单量一样啊，简称单量一样。那哪里是一样？ 我们来看假笑给以笑多少本？请问他们有没有凭空消失东西？没有，所以他们的总和还是不变。所以差有用上吗？差就不需要用上了，这个只是老师顺便给你的，明白了吗？ 划掉，好吧。所以我们应该干嘛？统分的是谁？统的是什么？是我们的和啊， 所以通过画脸笔我们就知道了。要干嘛统分。好，这是最后写一次，下次我就不写了。统分， 统分十二跟七互质，是吧，对吧？所以他们和应该什么转成什么东西，转成多少？ 二七十四，所以还是这个八十四是他们的最小公倍数，明白了没有？所以上边这边是整体是乘了几呢？乘了七或者就乘下边这个数嘛。乘七，所以上边的就会变成什么 七七四十九，是吧？然后像这个呢，就会成这个是五七三十五，这个是原先的甲乙，我们先把它区分开哈，原先的甲， 这边是一，那就会变成下边的这个会多少？下面同样这里还是八十四呢，肯定的，都不用算。是不是七要乘十二，这倒着写也可以，这样才不会乱。所以四四乘十二等于多少？四十八， 这边呢？三乘十二等于多少？三十六。哦吼，我们来看是不是这样子的？四十九，这边什么扣出了七分，而这边三十五。什么加了 啊？不是，这不是扣了这个运算十五哈，这边是加了十三分 减扣了十三分啊，这边呢？这边是加了十三分啊，那边减十三分，这边加十三分。肯定是对应的嘛，因为是谁啊？甲给了 e 嘛，是不是？你看下，这边是四十九三十五，下边这边他变小了，小了多少？小了十三，这边加了十三，所以肯定是对应的，所以 这十三份对应的就是这六百五十本书嘛，明白了吗？哦， 那剩下的无非就是我们前面的所讲的知识分配嘛，是不是对吧？分配写成一个分也行。好吧，然后六百五十本 除以咱们的十三份啊，你们自己写的时候就不用写这个单位哈，我让大家更好理解我，所以写的比较啊，字多写了一些，额外一些字，注意大家理解。那这边三五十五号等于五十五十本每份啊。 那第二步肯定是还原回去嘛。就是，呃，对应的一个份对应的是什么？我们来看他问的是吗？原来假校有多少本书？你不用写了，一大堆啊，全部都还原，不需要原来哪边是原来这边才是原来的，这边是后来的， 因为你自己不记得，你自己再给他一个标识。好吧，所以就是四十九乘以五十分就等于多少？五二十五二两千五百，两千五百减五十就是两两千四百五哈， 两千四百五十分啊。 ok， 最后再做大。好嘞，看得懂吗？看不懂自己再暂停回顾一下。好吧， ok， 下一个题型 简单读题。甲乙的水母卡之比是七比十，甲乙都得到了二十七张后，甲乙的卡数都变成了啊，七变成啊，这个比变成了七比九。请问两个人原来有多少张水母卡？ 嗯，没错，还是榴莲味，没毛病，还是一样的东西。什么东西？我们刚刚知道两个隐藏的数是什么？一个和一个叉。那这里面谁不变呢？不变量是谁？ 不变量是谁？不变量是我们的。 都得到二十一张都得到二十张核有变吗？肯定有变，变的是什么叉？没错，叉这个也可以通过什么什么知识，可以可以回顾回顾的，回顾的起来马上能反应过来， 没错，年龄问题嘛，是不是，对吧？所以他们是差不变，所以你只要找到假比你比差 就可以了。那我教你一个新的写法，这样会比较不容易乱，所以横向写，所以这边就写一个，因为它后面它是是不是增加了量？是吧？它们都都增加量，它还是原来假吗？肯定不是嘛，你给它做一个小标识嘛，假 a 或假 e 嘛？啊？ e 或或 e a， 然后这个叉还是原来的叉，明白了吗？这边是七比十，这边是什么？七比九，上边的叉是多少叉？是 叉是谁？叉是三嘛？是不是这边叉是二，所以你应该捅的是谁， 捅的是我们的这个叉的部分，是不是，对吧？所以叉应该干嘛？转换成最小公倍数就是咱们的六，是吧，对吧？明白了吗？ 那所以上边这边我们就直接横向的写，不好意思，我写成怎么写到下面来啊？按道理写横向的会更好一些啊。不好意思，写了，写给忘了，因为这张纸太太宽了。 然后接着这边上边的是什么？我们是说过倒着写比较容易犯错，当然你要正的也行哈。这边是乘二，是不是，对吧？所以这边是二十二七十四，是不是就转换成了什么？ 我们来看下边的这个假一，这边七，这边是乘三对称的，乘的是三三七，二十一，二十一，这边三九二十七，也是比六，肯定是一样的嘛。是吧，那我们检验一下左侧跟右侧看一下有什么变化，这边十四到二十一加了多少？ 加了七份，这边二十到二十七也是加了七份，他们都是什么？加二十一张卡，所以二十一张卡对应的是什么？二十一张卡 对应的不就是咱们的这个七份了吗？所以分配一下好不好？所以二十一除以七， 然后直接跳步，是不是，对吧？干嘛还要再再浪费那个时间呢？我们已经熟练度上来了，所以直接成为对应的我们，他们要给我们的什么东西啊？对应的分数，那他要问的是谁？两人原有原来哪个是原？ 不记得自己画一条横线吗？这个就是原来的吗？是不是，对吧？一个乘十四，一个乘二十，是不是？所以这边三七二十一，三三三三四十二，四十二，这边是不是啊？六十？好， ok， 单位记得写， 最后记得做答案。好嘞，明白了没有？好，就是这么简单。那我们再给大家稍微拓展一下，如果你对于这个不变量不是特别理解，还记得刚才老师有说过吗？通过分数的理解 分数，分数什么？这个就是分母，是不是？中间上就是分母？是不是找不变量？我们前面如果说同学们如果有学过分数的奥数题，那你对这个 啊，不好意思，讲到一半才发现突然没电了，哈哈，那个咱们继续啊，这个题刚才我们从比例的这个角度已经掌握好了，接着就是我们从分数的角度再稍微去拓展一下， 当然呢，如果你自己本身对于分数的这一个模块，这个奥数的一个模块掌握的不是特别透彻，那正好你二次拓展掌握的更深入一些，岂不是更好吗？岂不美哉哉？是不是？ ok， 那 我们从分数角度来讲，其实是一样的，他同样是找这个什么不变量，他无非就在这个叉，这个也就是这个一， 这个不变量是一，是不是在这个一上面的一个占比的一个转换，由 a 变成了 b， 或者变成了 c， 是 不是然后它对应的 这个占比的一个变化中间的这个数值是多少是吧？它的量是多少？比如这里面是三十，那由百分之二变成了百分之一 啊，那这个百分之一不就是对应的这个三十的一个量吗？是不是然后还原回去就是一样的？那跟这个题其实是完全是一致的，这个差， 他就是那个不变的一，是不是？而差是三。那我们从甲来左手，从甲来左手，其实他就是什么从这个三分之七变成了二分之七啊，明白了没有？ 他无非就是什么，这个一叉是没有任何变化的，只是分子上面的一个做一个调整，这个一在这个一上面的一个占比是没有任何变化的， 明白了吗？所以从分数的角度理解的话，呃，你可以相互加深，挺好的，最好不要变成前后支持在打架好不好？能二次巩固是最好的。那我们来讲解一下下一个题型。 ok， 来，还是简单读题，不行你就先按暂停，先去自己去消化一下是最好的。 甲和乙它的水母卡之比为三比五，甲得到十二张，乙得到四十八张，那甲和乙的卡的数量比变成了一比二，问两个人原来有多少张水母卡？哦，这题啊， 同学又说好熟悉啊，又是榴莲味。没错，是榴莲味吗？再好好思考一下，这是榴莲还是 toilet？ 这个如果分不清，拜托麻烦让妈妈多买一点榴莲吃一下嘛，是不是？那咱们的题也是一样，多练一练 你才会发现说，哎，其实这里面你没有找到我们刚才所熟悉的不变量，是不是，对吧？找不到这个东西了，没有不变量，那该怎么做？那刚刚我们回归刚才我们前面的理论基，理论基础知识啊，这个想起来没有？ 除了我们这个画脸笔之外，还有另一个什么？它比例有一个什么特性呢？跟分数是一样的，想起来没有？想起来没有？没错，我就知道你们这个记性特别好。 交叉乘积对等，那笔的比例里面是什么？这个叫什么？内向积是什么？是相等的是不是，对吧？ 所以呢，我们由三比五转成一比二，也就是说对等的就是两组比是对等的一个等量关系，是不是两个对等的对，三比五与三，三比五等于 一比二，对不对？那他需要一个什么条件？这个三比五转成一比二，肯定中间有附加了一个什么样的一个条件，是不是，对吧？看看他的一个成绩。那我们来看 你要设 x 要解方程，是不是你会优先选择一元还是选择二元？换做我老师是比较懒的，肯定选一元。聪明的你，如果你愿意，你自己去选二元吧。我是不愿意。好，那选一元。 一元该怎么设呢？你可以设成三。这边要怎么把这个假的水母卡原先设成 x 吗？ 然后这个乙的水浒卡就变成。嗯，这个 x 乘以三分之五嘛，因为它乙占的是 x 的 三分之五份啊，也是可以，但这样会比较麻烦，还有没有更好的方法？有的，我们来试一下。先写解 射射谁射？射什么射，每一份为 x 嘛，但是这样写不严谨，你就直接写射甲 原先有三 x 张嘛，是不是已有 五 x 张，明白了吗？是不是变得很容易呢？然后再把这个条件套进刚才我们上面对等的一个等量的一个关系，是不是，对不对？是吧？ 那三 x 它干嘛？它是得到了十二张，那比上 以是得到了什么？五 x， 五 x 得到了多少？四十八张，那变成两组比是对等的，明白了吗？那内向积等于 y 向积啊， 所以三 x 加十二乘二等于多少？六 x 加上二十四嘛，它就等于多少 五 x 加四十八乘一呢？就还是五 x 加四十八 小圆，然后就剩下了一个 x， 是 不是这边各扣二十四，所以 x 等于二十四，二十四，是吗？二十四张， 二四是谁你要知道，如果你不记得，是啊，我们前面设的是每一份，那你要记得你前面这边 解设，这边可以有给你的提示。所以三 x 就是 什么原先加的数量啊，原先也就是五 x 嘛，所以还原三乘二四和五乘二四啊， 不就是还原回去了吗？是不是三四十二，七十二，然后这边四五二十一，二零，是不是，对吧？这边填上单位， 然后最后做答会吗？这就是我们常规遇到的几种类型题啦，就是第一种是什么？你要先把这个画脸笔的知识运用好，是不是，对吧？其次分配，怎么分配？ 根据他的一个分数来去分配给他，是不是，对吧？你要先画成每一份多少，如果你不记得，可以通过分数的角度再去想一下，构思一下他总共里面这样的这个分母里面的几份，是不是，对吧？然后 再接着就是第三样，就是我们的知识点找不变量。找不变量的目的是什么？无非还是一样的，跟前者这个画脸笔是相似的，怎么个相似？ 他还是找那个对等的那个不变的那个量，是不是，对吧？给他转换成什么啊？转换成同样的分数，是不是？明白了吗？ 那第四种就是我们由这个基础性质推导出来的，这个叫什么？内向机等于外向机，所以你在解方程设成常规的一般方程的时候，做起来会更容易一些， 因为它在你找不到对等的啊，这个叫做啊，这个，这个不不变量哈。这个找不变量的时候，如果你找不到，那我们就可以通过 x 来设为一般方程，做起来会更容易一些。好，那 ok， 那 今天的这节课，呃，就先上到这里 啊。按理说后面还有好几种类型题，但是我觉得这个时间上面的一个问题，包括理解上面的问题，建议大家说分成两段去学习，所以老师也给他拆分成了两段， 那我们下半段再继续延伸学习下去，不同的一个关于比例的这个类型题，那他会这个融入一些相应的一些知识点啊，比如说 他可能，呃，运用到了一个反比例的一个问题，什么是反比例啊？ 路程是不是等于速度乘以时间对不对？是吧？那请问路程和时间是不是成反比的一个状态？如果二乘五和五乘二吧，是不是？如果你对于这个不是特别了解，特特别理解，可以去自行先查阅一下。反比例是什么啊？ 那顾名思义反比例其实就是相反的嘛，利用我们啊乘除法的一个这个规律变化性质，这个也可以从通过四年级的奥数去再稍微再去理解一下，这边扩那边缩啊，不变量。打个比方，我们的举个例子吧，这样会比较直观一些，比如说， 嗯，举个例子， a 乘 b 等于 c， 而这个 c 是 不变量啊，是一个不能说不变量定值，它是一个定值啊，口误。 举个例子，它是定值的情况下，那 a 和 b 它就是什么？成一个反比例，一个状态，是不是？如果你 a 扩大， b 就是 缩小，是不是，对吧？这个就是我们前面三四年级学的一个，呃，一个小小的一个知识点， 那这个其实就是一种反比例的一种状态，那接着他可能还融入了一个另一个知识，就是我们的工程问题。这个 如果有，有新的同学哈，可以先去先去翻阅一下这个工程问题的一个奥数知识点，可以去先了解一下， 包括，当然呢，分数的部分知识点你也可以再去查一下，复习一下，对这个章节会有很大的一个帮助，因为这三者都挺挺类似的啊，挺相似的。 那工程问题它融入之后又会变成怎么样的一种题型呢？那我们下一节课再见分晓。 ok， 那 这节课先到此为止，谢谢同学们的观看，再见。