冀教版九年级下册函数单元题

同学们好，我是来自南京市金陵中学龙湖分校的谢丽丽老师。今天我们学习的课题是三点四二次函数一， 请看问题。如图，二次函数 y 等于 a， x 平方加 b， x 加 c， 图像的对称轴是直线， x 等于一，且经过点三零，你能从中获得哪些信息？ 首先，函数图像开口向下， y 随 x 的 增大而增大， 当 x 大 于一时， y 随 x 的 增大而减小，所以 x 等于一时， y 取最大值 由对称轴于 x 轴的一个焦点三零得出。函数图像于 x 轴的另外一个焦点是点负一零。 以上这些函数图像的开口方向、对称性顶点增减性函数最值等是我们研究二次函数图像与性质的一般路径。 继续观察由图像与 x 轴的两个交点，你还能想到什么？ 可知，对应的一元二次方程 a， x 平方加 b， x 加 c 等于零的根是负一和三。 在函数中，我们令 y 等于零，即得到对应的方程函数图像与 x 轴公共点的横坐标是对应的方程的根。 函数图像与 x 轴公共点的个数对应方程根的个数， 而一元二次方程的根的个数是通过判别式 b 平方减四 a、 c 的 符号判断的。 再看图像，当 x 大 于负一小于三时，对应的函数图像位于 x 轴上方， 所以不等式 a， x 平方加 b， x 加 c 大 于零的解集是 x 大 于负一小于三。 同理，不等式 a， x 平方加 b， x 加 c 小 于零的解集是 x 小 于负一或 x 大 于三。 综上，函数图像上的点对应方程的解，一段图像对应不等式的解集，由此，函数与方程不等式有着紧密的联系。 观察图像，你还能得到系数 a、 b、 c 之间有哪些关系？ 首先， a 小 于零，因为图像与 x 轴有两个不同的交点， 所以对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，负一和三 代入方程得 a 减 b 加 c 等于零。当然，根的判别式 b 平方减四， a， c 大 于零， 由对称轴为直线， x 等于一，得负二， a 分 之， b 等于一，可得 b 等于负二。 a、 b 大 于零， 因为 x 等于负二时，对应图像上的点显然在 x 轴的下方， 所以函数值四， a 减二， b 加 c 小 于零。 综上，二次函数 y 等于 a， x 平方加 b， x 加 c 的 系数与图像间的联系有， a 决定图像的开口方向， a， b 决定对称轴。直线， x 等于负二， a 分 之， b 的 位置。 a、 b 同号时，对称轴在外轴的左侧， a、 b、 e 号时，对称轴在外轴的右侧， b 等于零时，对称轴恰好是 y 轴。 在函数式中，当 x 等于零时， y 等于 c， c 的 大小决定图像与 y 轴交点的位置特殊时，当 c 等于零时，函数图像经过圆点， b 平方减四， a、 c 的 符号决定图像与 x 轴公共点的个数， 以及根据已知点的坐标、特殊点的位置。用负值法得出关于 a、 b、 c 的 代数式的值的符号以及取值范围。 这些都体现了数对形的影响，形与数的一致性。 在这个问题中，你能确定这个二次函数的表达式吗？ 二次函数的表达式有一般式、顶点式、焦点式。我们可以用待定系数法求二次函数的表达式。 这里若用一般式，缺少一个已知点， 用顶点式，缺少顶点的纵坐标用焦点式呢？ 也缺少一个已知点。因为待定系数法求函数表达式是利用已知数对及图像上已知点的坐标建立关于系数的方程或方程组。 有几个系数就需要几个已知点。如反比例函数需要一个已知点， 一次函数需要两个而不共线的三个点确定一个二次函数。 刚才我们从形的角度复习了二次函数， 下面我们结合表格继续研究二次函数。已知二次函数的函数值与自变量 x 的 部分对应值如下表， 观察表格，你能得出哪些结论？ 我们从表格中的竖的特性出发， 首先，点零三和点二三，它们的横坐标不等，纵坐标相等，是函数图像上的一对对称点。 由此得出，函数图像的对称轴是直线， x 等于一。 再回到表格点，一、四的横坐标恰好为一，所以它是函数图像的顶点。 在表格中分别观察 x、 y 的 变化规律，可以发现，当 x 小 于一时， y 随 x 的 增大而增大。 当 x 大 于一时， y 随 x 的 增大而减小。 我们结合对称性可以得出 x 等于负一时的函数值， n 等于 x， 取三时的函数值，即 n 等于零。 那么你能通过观察表格确定 m 的 值吗？ 这里由于表格呈现数字的有限性，我们不能直接观察出 m 的 值， 但可以通过确定函数的表达式，再将 x 等于负二代入，求出 m 的 值。请你试一试吧！ 由表格知，函数图像的顶点是一、四，设二次函数的表达式为顶点式， 再从表格中选择一对数代入，如选择 x 等于零， y 等于三，即函数图像经过点零三 代入得到方程，解得 a 等于负一，求得二次函数的表达式。 当 x 等于负二时， y 等于负五，即 m 等于负五。 我们也可以设焦点式或直接用一般式求二次函数的表达式。 用待定系数法求已知类型的函数表达式。一般有设列解答几个步骤。 求二次函数的表达式时，要根据所给条件，在一般式、顶点式、焦点式中灵活选择，简化运算。 综上，我们还可以根据所给的数，分析数的特性，找到数的规律，由数到形来分析二次函数。 请看例题。 已知二次函数 y 等于 x 减 m， 乘以 x 加 m 加四 m 为常数， 求证不论 m 取何值，该二次函数的图像与 x 轴总有公共点。 根据函数与对应的方程的联系，要证明图像与 x 轴总有公共点，即证明对应的方程总有实数根， 令 y 等于零，得到一元二次方程，可将其化为一般式。 可以通过证明它的判别式恒为非负，来说明方程总有实数根， 进而证明问题。还有其他方法吗？ 观察方程的结构，根据一元二次方程的因式分解法，解方程可以直接解出方程的两个实数根， x 一 等于 m， x 二等于负 m 减四， 所以不论 m 取何值，这个一元二次方程总有两个实数根，所以该二次函数的图像与 x 轴总有公共点。 请你比较判别式法和直接求根法。 在说明问题时，我们要根据函数式方程的形式特征灵活选择方法，简化问题。 第二小问，若函数图像与 y 轴的交点在 x 轴下方，求 m 的 取值范围 与 y 轴的交点，需令 x 等于零，得 y 等于负 m， 乘以 m 加四等于负 m 平方减四 m 得图像与 y 轴交点的坐标。因为交点 a 在 x 轴下方，所以纵坐标负 m 平方减四， m 小 于零。 这是一个二次不等式，我们没有学习过它的解法，怎么办呢？ 我们已经知道二次函数和一元二次方程不等式之间的联系 可以构造 z 关于 m 的 函数 z 等于负 m 平方减四 m， 再利用函数图像解决相关的不等式问题。请你画出这个函数图像的示意图。 如图，函数图像开口向下，经过原点求 z 小 于零，即图像位于横轴下方时 m 的 取值范围。 观察图像之，当负 m 平方减四， m 小 于零时， m 小 于负四或 m 大 于零。 今天我们主要从二次函数的表达式法、图像法、表格法三种形式出发， 数与形相结合，回顾了二次函数的图像与性质，以及它与二次方程不等式之间的联系。 今天的课就上到这里，谢谢观看，同学们再见！