苏州 八年级 数学 标准答案

大家晚上好，简单给大家讲解一下刚刚考完的初二的阳光检测的试卷啊，这张试卷是苏州的统考试卷，嗯，一样的，先对一个试卷做个简单的评价啊。 嗯，这个初二的试卷简单啊。第一个简单在什么地方呢？第一，没有难题， 没有这样的题目，所有的题目，呃，除了这个，怎么说呢？除了第十六题啊，除了第十六题以外， 其他题目的难度基本上是在中等偏上，就比如说第八题和第二十七题，二十六题的难度，嗯，根据体型相比，可能要少半个档次啊，所以它的这个难题比较少，特别是第八题。好，再第二个，嗯，第二个问题啊，计算简单， 简单，他没有复杂的计算，所以对计算基本要求不高。然后第三个问题是，嗯，怎么说呢？第三个问题是出的题目比较，呃，中规中矩啊，没有太多新意啊， 没有太多新意。然后，所以他的这个大题的类型啊，比如说最后一题啊，行程问题，嗯，第十六题考虑的全等问题，他基本上是在我们考察范围里面，所以他这个直立试卷评价比较简单。 但是怎么说呢，那这张试卷还是有些问题的。第一个，我觉得他有些小的问题啊，他第一个小问题是，他这个新教材里面其实是不考不等式的图像的啊，不等式图像的， 但是新教材里面是把这个知识点删掉的。但是呢，他在这个题目里面考察了，还考察六分啊，一个是第八题，考察了一个考了六分，一个第八题，以及第这个 第多少题啊？第十四题啊，特别是第八题，还是一个难题的范畴，他考察了一个，嗯，刚删掉知识点啊，那说明，嗯，给我们的反思是，虽然教材里删除了还是考，但是我们平时的话，老师讲课里面还在的讲，那我们根据的我们这边 几个学生的一个表述，他们在学校里面基本上不太接受过这样的知识点，所以在我们在线下讲解的时候发现这个题目只要加深一下，孩子不太懂，对吧？我以为我们以为老师不讲这个地方就不会考那，没想到竟然还考了六分啊，这是一个给我们一个小的提示，虽然这个知识点被删掉了，但是 考试的时候可能还会出现，我们还是以老教材的这个知识点的讲解为主啊，在明年的时候，嗯，下面一个一个特点呢，是它的是应用题啊，就是这个应用题 的难度啊，它是还是有一点的啊？应用题它的重点考察的应用题的难度，还有一点的，它主要考察的是也是一个，怎么说呢，考察的一个特点就是它的 k， y 的 x 加 b， k 值代表的 e 啊， k 代表的 e， 这个里面是在物理和数学里面都是重点啊。但这个知识点其实在小学的时候，五年级的时候应该重点讲过的形成问题，但是很多小孩子 在五年级和六年级这个地方学的时候，特别五年级学的不是特别扎实，所以导致在形成问题的时候 理解一直跟不上啊，那这个里面就主要考察一个 k 值的意义啊，这一个重点，然后第十六题还是稍微略有点难度的啊，所以整张试卷啊，那话说回来，整张试卷你考到九十分以上啊，九十分以上，说明他的技术还可以啊，还是不错的一个结果。你考到九十五分以上， 嗯，说明在班级里面相对来说比较巴结。正常的孩子这次考试应该是八十到九十分啊。八十到九十分，嗯，就是比如说你要想考上普高的一个情况下，那正常试卷最起码是在八十分以上的一个水平啊，八十分以上的水平， 那比如说你要考上目读啊，你要考上目读，那九十五分这样的一个，嗯，九十五分是考上，基本上是在无中区市场目读一个基本条件吧。啊， ok， 下面讲讲题啊。正常讲题， 然后第一题啊，第一题所在向下啊，这是很简单，这没有什么好讲的啊，非常基础的一个题目。然后第二个它的意义啊，这一样的分式的意义是分数，分母不为零啊，分母不零，所以这个也是比较简单。选 c， 然后第三个能组成三角形的是什么？两两边之长大于第三边，两个短边啊，大于一个长边， 所以这个题也很简单啊，一看就知道选 a 啊。第五题 难度有一点点难度啊，看一下，哎，这个怎么调的呀？ 对，稍微细一点。好，两边之和是啥？那就设两个边，乘 a 加 b 等于二十，面积之差呢，就是 a 平方减 b 平方等于四十，那求 ab 的 值等于什么？先求 a 减 b， 对 吧，等于多少 二，对吧，用平方差公式得到，然后再去记这个值，所以很容易很容易写出来。等于九啊，这个也是算个中等题吧，顶多算个中等题啊。 好，下面第六题的它三边的垂直平分线的交点啊，三边垂直平分交点是？嗯，是这个。好，它平分线，你把它标出来， p a、 c 等于二十五度，那这是二十五，那这也是二十五，那 p a、 b。 哦，嘿，三边垂，看错了题目啊，三边垂直平面性的交点，那是什么？构成三个群的，呃，三个等腰三角形，那 p p、 a、 c 等于二十五度，那这个角 p p c， a 也等于二十五度，那 p c、 b 等于三十五度。 好，那同理， p b、 c 等于三十五度。探求 p a、 b 的 度数，那就很简单，用四角形、内角形、内角和公式一减，对吧？一点八减掉这四个角，然后再除以二对，也很容易算出来，这个是等于多少三十度 啊，这个题目类型也比较简单。好，第七题，第七题，这个题目类型稍微有一点点难度。好，他告诉你 a、 b 是 十五啊，这个题目呢，它图在这里， a、 b 是 十五， 然后呢，这个地方是二。好，那很容易感受到 b、 c 可以 求出来，对不对？那然后他让你求 a 的 高度，那就是 o a， 这个地方是 x， 那 这个 o、 c 是 x 减二，那 o p 呢？是 x， 那 就是我们列的购物点平方， x 减二的平方加上 b， c 的 平方 等于 x 平方，那 b、 c 的 平方用什么？在这个三角形 a、 c、 b 中， b、 c 平方等于十五的平方，减掉二的平方， 那所以在这个式子一起一记一求解，那就可以解出来，这个 x 等于四分之二百二十五啊，四百二十五，那就很容易看出来，选 b 啊， 这个题目也是一个。嗯，怎么说呢，说它难吧，一定不难，但说它简单的话，还是略有一点难度的啊，只能算中等题的，中等题里面的很偏难的一个范畴。好，下面也是的啊。好，这两个交点，一个是 b 点好，一个是 a 点 好的，零小于 y 一 小于 y 二好，这个是 y 一 在 y 一， 零小于 y 一 好，小于 y 十， y 二十就 y。 首先看 y 大 于零， y 大 于零是在 x 轴上方，所以是在这条曲线， 对吧？然后 y 一 小于 y 二，是 y 一 在 y 二的下方， y 一 在 y 二的下方，那说明是在这一部分，你看只有在 a b 这个部分才在 y 一， 才在 y 二的下方，对吧？你是怎么去看 y 一 在 y 二下方画一条笔直的竖线，哎， 这个地方画一条笔直出现，他先经过从上往下，先经过 y 二，后经过 y 一， 说明 y 大 于 y 一， 说明他这个地方我们相当于这个。这个， 嗯，叫不等式的图像，就是 ab 这一段，所以，对吧？ ab 这一段所对应的 x 的 值是什么？他两个这个的交叉，所以很容易看出来是选 c 啊。所以这个题目也只是一个比较 难度比较中等的一个题目啊，难度比较中等的题目。但是如果说我们不不会不等式的图像，那怎么计算呢？那就相对来说繁琐一点，那很简单嘛，你把这个 k 一， k 二和 b 这三个值，你看这两个 ab 两个值，带入这个函数，可以求出 k 值和 b 值， 然后再求出 k 二值，对吧？然后再去解 y 小 于 x 加 b 小 于 k 二 x， 对吧？这样一个函数，对吧？你把 k 一 k 二解出来，那就可以得到了，对吧？这个 x 的 一个取值范围，对吧？ x 取值范围，然后再解掉 k， x 加 b 再大于零这么一个取值范围，对吧？然后可以也可以看出来选 c， 这样相对来说繁琐一点。这个只要学过不等式的图像， 这个题目基本上是秒的啊，所以在第八题放到这样一个位置，这个题目如果是在去年的考试里面啊，最多放在第七题的位置，绝对放不到第八题。 好，下面一个自变量取范围。好，自变量取范围也是这个根号里面是根号里面东，这个内容，大于零就是 x 减一大于零即可。那你是分解，这也是比较简单啊。 啊，下面这个的解集啊，这也是一个比较简单的一个计算题。那这盘什么二十 x 加一等于二十四 x， 对 吧？然后进行求解就好了，就是 x 等于五，那也没有什么特别那个啊，这个下面更简单了，这不是只涉及到点的平移啊，没有涉及到什么函数图像的平移。 那点的拼音。先向右平，那向向右平，什么向右右加，对吧？平行三个单位呢，就是二加三等于五，那向下平就是减那负一减四等于负，所以这个点就是五负，也比较简单啊。这个三个答案错了，这个题目错了，这是六啊， 根号六。那下面这个也是比较简单的说明。这什么两个大于等于零的数，就是两个自然数的和为零，这两个数 都为零，对吧？不叫两个大圆，两个对对，两个大等圆的数为零，那他说 a 等于二， b 等于三，然后代入就好了。根号二分之二，加上根号六，除以根号三，对吧，就可以化简这二分之三倍根号二，对吧。 这个题目也很简单啊，都是简单题啊。好，下面这个也是的哈。函数图像好，函数图像也是的， m 大 于三， a 的 取方为，它是随着你看出来是 m 的， 这是怎么向上的？这个函数叫什么？这叫增函数，你高中化出来是叫增函数。那在 m 大 于零的时候呢？ n 的 取范围呢？就在这个点以上嘛。好，那就把 m 等于三代入，代入的时候可以得到六加三等于九， 那就是 n 的 取范围是 n 大 于九， m 大 于三， n 大 于九，在这个空的这个点往上，是吧？好，第十五题。好，第十五题。这个地方就是用到了考试常考的一个非常小的技巧。叫什么？ 嗯，叫。哦哦，没哦，没有啊，这里并没有用到 k 字型啊，直接是可以算出来的哈。下面是先把 q 点和 p 点坐标求出来，把按圆和 m 求出来就可以了。 那这个你看 a d 的 长度，这边是根号式，对吧？ e b 三 b 更好使。好了， a b 长度是更好使的话，那好了，那这个 q 点就是 e 减更好使， p 点是一加更好使。那 m 减 a， 那 这个地方怎么求啊？直接给他开放吗？那不用，先给他换点是 m 减 a 的 平方，这个相对来说比较简单一点啊，但是你直接带进去也是可以的。 m 减 a 的 平方，对吧？再加上 m， a 好， 这个地方带入就可以了。 这个是 q 点是 a， 这是 m， m 减 a， 两个一减等于多少？二倍更好使的平方， 再加上一减，根号十，可以加根号十，那就是一减十，用完全平方公式这边一结出来等于三十一，对吧？四十加一减十，所以这个题目也是只能数一个中等的范畴吧，也是比较简单哈，下面看第十六题啊，十六题，这个题目还是略有一些难度的啊， 一些难度的哈，我们看一下题目，题干， ab 等于 ac 角， a 是 四十的， b， c 等于二。好， abd 等于二十的 好。它这个题目，嗯，怎么去想呢？让你求 a、 d 的 值啊，只有这一个值，让你求 a、 d 的 值，那怎么办？我们根据这个可以把所有图中文标的角度先飘出来，对吧？它等腰三角形，那它四十度，这两个角多少度？ 七十，这也七十，那这个是五十，同样这个是六十。好，让你求 a、 d 的 值， a d 的 值，求的怎么求？ a d 怎么求解？ a d 一定要有个什么哦，这个角是六十度，你看 a d， 那 好了，那我们这个地方看一下，哎，我们给他延长有个六十角三角形好了， 对吧？那个直角三角形里面去求解，对吧？我们现在这个最大的问题是，你要给它做转换，对吧？或者你给他放在角上，它去求解。好，这个地方，比如说我们地方是 m， 那 求 a、 d 的 值， 只要求出 am 的 值，或者啊反过来或者这个 dm 的 值，都可以求出 a 点，那好了，我们做完垂直之后，发现有什么啊？有什么值相对来说是比较固定的好，只有 b， c 等于二，那我们做完直角三角形里面不管，嗯，你看不管是 am 还是 dm， 然后给他做转化，那怎么去跟 b、 c 扯上关系呢？好，怎么跟 b 的 扯上关系？好，下面这个题目呢，来遇到等腰三角形他承受的辅助线，再想一想是什么 好，做什么？他的底面的高，这是我们可以想到的，就是你们做完之后的话，你，你要有这样的意识，我们做出来看行不行？好，我们来看一下这个辅助线。 好，刚才说这个是二十度，哎，你惊喜的发现，哎，这个做完之后，这两个角都是二十度，对吗？都是二十度的时候。哦，那就一切迎刃而解了。三角形 a、 b、 d 和三角形啊，不是三角形 a、 b 点三角形，这是，这个是 p 点三角形 a， b m 啊，和 b a p， 那 是 b a p， 它会怎么样？怎么全等？为什么有一个相同的角，两个角都是二十度，还有呢？ 还有两个直角，还有共，共同的共了一个 a b 的 边，所以 a a s 全等，那全等完之后，就可以把 am 进行转换，等于 b p 好， am 等于 b p， 那 b p 等于 d， d 到一半，它不是二分之二就是一，那好了，那这个 am 知道 来可以得到 b p 了，那 a、 d 自然就求出来，他是一，那下面是 e b 根号三比二，那就是一除以根号三倍，再乘以二，就是三分之二倍到三啊。只要这个题目是有一定难度，因为这个题目难度，他要做两条辅助线啊，这其中这条辅助线还是比较容易好想的，最主要是一定要想到这个角是六十度， 对吧？他度六十度可能和 a d 有 什么关系，对吧？六十度就要构成六十度角的这样三角形。好，所以这个题目讲完了，就等于三分之二倍三。 下面第十七题啊，这些都是比较简单的，这个就是对吧？先把 a 平方减平方，提出来的 x 减 y， 然后等于 a 减 b 乘以 a 加 b 乘以 x 减 y， 是 吧？ 这也是很简单的题，那这个先画你的求值也是的，先给他怎么样？通分是 x 平方减一分之 x 加一， x 加一，再加上 x 平方减三 x， 对 吧？然后等于 x 平方减一分之 x 减一的平方，对吧？它的化简是 x， 下面是 x 加一，两边同时遇到 x 减一吗？ x 加一分之， x 减一，再把这个代入就等于什么？ 负的三分之一，二分之三，那是二分，负的二分之一除以负二分之三，对吧？负三分之一。好，这题都很基础啊，这计算没有什么复杂的地方， 下面一题，下面一题也是非常简单的好，你看他题目告诉你，只要他进 a， c 等于一百二，就等于五十，对吧，固定你十五十二十三，所以 ab 等于一百三，对吧，都是很很容易才看出来题目。 那这个也是啊， ab 关于它的对称中好， b 点呢？找这边两个格往往一对对称吗？这边是 b 撇，同样的 a 点，这边是四格，好往一对，这边是好， a 撇好一点。好，这个时候 要求 a 点对称。轴的坐标自己数吧，这个就也不用讲了。负四二，对吧？ b 点的坐标呢？ b 点的呢？就是负二四，是吧？这个很容易的。然后呢，求 o a 撇 b 的 面积。好，这里面就涉及到一个什么，我们要知道这个角是九十度，那也很容易看出来，这很容易，典型的什么 k 字形全等啊， k 字形全等，那这个时候对吧，就能知道这个角 a、 o、 b 等于 等于多少？九十度，但是等腰直角三角形，那 a、 o 等于多少？二四，这边是一比二倍根号五至二倍根号五，二倍根号五，对吧？ s 就 等于二倍根号五的平方，再除以二，就很容易算出来是十，对吧。 啊，这一题也是比较简单的，下一个啊，下一个。我感觉啊，跟你们这个求长方形的周长就是小小孩子做的题目，小学生做的题目，二分之二倍的 a 加 b， 对 吧？等于十二倍零二三， 下一个正方形的面积，长方形面积相等，那 s 等于 a 乘以 b， 对 吧？然后 c 呢？等于根号加 s 开根号，对吧？根号加 a 乘以 b 就 等于四倍根号三乘以二倍根号三开根号等于啊，四乘以二乘以三开根号就等于二倍根号六， 对吧，这是非常简单。好，下一个，下一个也是很简单。这个证全等啊。 a， c 平行于 b d， a， c 平行于 b， d 是 什么？说明什么？ 这个角 a 等于角 e， 所以 角 a 等于角 e， 那 正确，那这两个角，这两个角等下，那肯定也这两三角是全等嘛。那你看一下嘛，题目好了，告诉你了， a， c 等于 df， 那 好了， a， c 等于 df， 那 是不是要 s s 啊？那再看一条边吧，另外一条边 ab 等不等于 啊？等于 d？ 一 样啊，一看好了，那告诉你 a， d 等于 b， 那 加加上一个公共的部分，你就知道 ab 等于 d， 好 了，这个 s， s 全等，对吧？等它结束 好下一题啊，这个计算题是一个分式方程啊，但原原价是多少？好，他问你，原价就设原价是 x 呗，那怎么去列方程呢？怎么设列方程呢？好，第一次 这个题目。嗯，怎么列方程？就是呢，两次一共挨了四十千克，这是一个什么量关系？第一次买，买多少千克？第一次原价买一百零五除以 x， 那 第二次呢？ 八折，那价格，单价就是零点八 x， 那 购买的数量就是总价除以单价，对吧？两次加等于四十。好，这个时候也很容易计算 x 等于七，好，这个地方记得要验根啊， 就当 x 等于七十， x 和零点八 x 怎么都不等于零，所以 x 等于七是在方程的解，这个要要有这个步骤，对吧？所以这个解出来是 x 等于七 也比较简单啊。下面一题啊，这也不难，好，第一个，角 c 等于二十八度，让你求角 e 的 度数，好呢？ abc， abc 等于两倍的角 c， 好， 那这二十八你就两个，二十八等于五十六，那同样的告诉你， b e 等于 b f， 那 这两个角不相等吗？那就它等于二分之一的那个五十六，所以它也等于二十八，不等于角 e 了吗？对吗？那所以角 e 等于角 c 了吗？对吧？同时这个角 e 也等于角 e， 所以 可以知道什么，这个角 e 等于角 c， 那 角 e 又等于这个角二， 就得到角二等于角 c， 那 角二等于角 c， 可以 得到 d f 等于 dc， 那 d 点又是中点，那 d f 等于 dc 等于 a d， 那 自然看出来。好了， 这三条边相等，那三角形，对吧？一条边上的一条边的中线等于这条边的一半，那什么三角形啊，是三角形，那不就可以直接证明了三角形，对吧？二、三角形 a f， 那可以证明了 a f 除以于 b c， 这也是比较简单的题嘛，思路一贯形成，没有什么任何卡点啊。所以这段时间做的快的孩子，可能四十分钟可能就做完了吧。啊，四十分钟就做完了，好，第二十五题， 我们看一下直线 a b 的 表达式，好，第一个直线 a b 表达式，好了，它有两个点， a 点 b 点，知道了，那是十五 y 等于 x b 啊，直接就可以求解了，对吧？所以这个点我就不做赘述了。十五 y 等于 x x 好，这个第二问，这个第二问还是略有点难度的啊，就是我们正来说呢，求 p 点的坐标，是怎么求的，对吧？我们正来说，跟物理一样，这个地方进行什么找？对称点， c 一 撇，然后呢？ 连接 dc 一 撇，那就过这个 p 点，对不对？好了，那我们下面是一样的，我们过程求 c 一 撇的坐标，那 c 一 撇的坐标怎么求？那好了，根据这个对称，对吧？好，就是， 嗯，怎么说呢，这是一个对称点啊，对称点，那通过这个 这个点如果叫什么 m 点，就是 c m 等于 m， c 好， 这个 ab 的 这个这个关系式，知道了，它这个 y 等于 x， 所以 这个点呢？四十五度，那所以 m c 呢？哦，这个题目画的不太对，那所以同理，那这个 c m 一 撇呢？怎么样？ 这个 c 撇这个角也是四十五度，所以这个 m c 是 垂直于，就是 c p m 呢，是垂直于 x 轴的 x 轴的， 所以这个这个地方，那这个地方就很好办了。你求 c p m 等于几就好了。 c p m 等于 c m 好， o c 这边是一 o m 呢， m 点表达式是四零，所以 c p m 等于 c， m 等于多少？ 四零减到一零就四减一，这个地方等于三，那三完之后可以缩 c 撇的坐标是多少？ c 撇的，你看这边是三，就是四负三。好，通过 c 撇的坐标和 d p d 的 点坐标可以求出 d c 撇的解析式，对吧？这笔解析式好， d 点坐标是多少？ d 点坐标是 y 等于 哎，看一下 y 等于多少？零负一，所以 d c 的， 呃，这个解析式也是， y 等于 k， x 减一，再把四三进行代入，那 四三进代入的时候，那就是负三等于四， x 减一，这个四 x 等于负二，所以，呃，四 k 啊，四 k 等于负二，所以 k， 哎，四 k 等于负二， k 等于负的二分之一， 所以这解析式是怎么样？ dc 解析式， dc 一 撇的解析式， y 等于负二分之一， x 减一， 好，所以在跟这个式子连立，在跟什么式子连立啊？ a b 这个等式连立， y 等于四， x 减四，连立，可以求出四平就是 p p 点的坐标，就是 啊，放啊，这样去减，所以这个式子，这个题目相对来说有一点难度，但难度也不是很高。二来看一下啊，这两个是？嗯，直角三角形的一个旋转问题好， a， b， d 旋转好，这个题目你告诉你了， b 等于五， b， e 等于三， 好，那很容易看到 b， e 等于四，那同样的，这个是 ac 等于四，这边三，那很容易。 f 就是 a， e 等于二转，求 af 加上 e f 好， f 加 e f， 那 这个怎么求？那这个题目同意一下吧。看 连接这个 b f， 对 吧？可以证实两个三角形 b c f 和 b f 一 全等，那 e f 就 等于 c f 是 吧？那好， e f 等于 c f， 那 a f 加上 e f， 说白了就是 a f 加上 c f， f 是 加 c f， 那 这个地方等于多少就等于四，好，我们下面看第二小问，他说如果一直到这个地方的时候看 a f， e f， d 的 关系， a f， e f 和 d 的 关系啊，同样道理呢？ d 的 话还是转化成了什么 ac， 那 同样的，如果这样的情况的话，好了，那 ac 等于 e f 加 c f 吗？哦， e f 加 f 吗？我们看一下，那那就是 e f， 你 要看一下，这个是它等的观念，就是要证明什么 c f 等于 e f， 那 那里，那以同样的道理，我们去连接一下，你看等不等， 对不对？好？ b e 等于 bc 好， 是不是？还是 h 要全等，那同样的 h 要全等，那可以通过全等还可以证明到这个，对吧？同样的还是三角形 b c f 全等于三角形 b e f， 所以 可以得到 e f 等于 c f， e f 等于 c f 好， 之后进行转换，对吧？那 a c 本来就等于 a f 加上 c f， 那 可以得到这个式子，那同样的 d e 可以 得到等于 a c 这个等量，这样的式子， 对吧？所以最终结果就是 d e 等于 e f 加 f 好， 那第三个它旋转的这个数量，这个角度什么大了一些，大了一些，得到这样的以后，我们看一下同样的是 e f 和 e f 和 a f 和 d 的 关系，嗯，那这个怎么求呢？好了，我们看一下我们上一个怎么乘的。连接 b f 这两三角形全等，那么同样的再连接 d f， 你 看它们这两三角形全等 好，同样，你看 b f 等于自身，那 b c 等于 b e 还是 h 啊？可以证明什么？三角形的 b c f 全等于三角形 b c f 可以 三角形什么？ b f， 对 吧？那这个时候 c e e f 还是转化成了 c c f 好， 那 c f 等于 a f 加上 a c a c 就 等于这个里面的 d， 对吧？那所以 e f 就 等于了 f 加 d， 对 吧？所以这个题目在这个第二十六题第三问，也算是什么比较相对来说比较简单的一个题目啊？好，第二十七题，他二十七题，我们看一下，他让你求这个数。 首先我们要去会画图，对吧？我们的小学生要会画这个什么线段图？首先有甲乙两地，对吧？小智 在甲小，这是小什么？小安在乙，相对进行。好，他的速度是 v 一， 他的速度是 v 二，那后面呢？走了一分钟之后，他的速度变成了什么？ v 二，一撇，对吧？好，他告诉你这个地方三百米。好，他让你求小智的速度和他的速度，那这个小智的速度呢？ v 一 等于什么？小智路程除以小智的时间。那好，那小智的路程是多少？他一共走了多少？他能看出来他一共走了三百， 那小智的时间呢？他告诉你同时到达目的地，同时到达目的地就是他们的距离。在这个图上怎么显示呢？这个图上，哎，这个图是什么图啊？是机器人 之间的距离。好，那什么时候？那他们行走了。你看这个题目，我也有三百了，那三百可以用三百除以他的时间啊。好，三百除以他的时间，那时间是多少呢？ 你看我们一开始相距三百米，那什么时候又相距三百？到地点是不是又相距了三百米？说明走到地点的时候。那这个时候他们同时一个走到了什么？假地走到异地，说明 小智走到乙地的时间，乙地的时间又走了地点，走了那么多，他用的时间是十分钟，所以 v 等于这个等于三十，对吧？所以这个题目好看一下，所以就是三十，那下面小安的速度呢？小安的速度怎么看？那同样他们相向而行，他们之间的距离，你看 这个地方是七十，这个地方 a 点是一， a 点是一两百三，那 a 点乘一两百三地方有什么意义呢？那说明走了一分钟，它们的距离 少了七十，那说明就什么？ v 加 v 二，速度乘以一等于七十，那 v 二 v 一 等于三十了，那 v 二就等于 四十，对吧？这个题目好了，第二位也记出来了，那第三问呢？好， bc 所在的解析式，那 bc 的 所在解析式的话怎么求？那求到 c 点的这个坐标，要求 b 点坐标， 那 b 点坐标怎么求呢？这个题目还是求点难度的。那其实这个时候要知道，你看我们在 bc 的 这段，你看我们要知道 k 值代表 e， k 值代表 e 是 什么？是 v 一 后面啊， b c 这段时间和是是 v 一 加上什么？这个绝对值等于 v 一 加上 v r 一 撇，对吧？这个函数图像里面这个形这样像 s c 图像里面，它的 k 值就是它的斜率，所得的意义是它们的速度，对吧？所以这个题目要考考的是这一点，好了， 那第二次它的 vr 一 撇，那好了，这个这 k 值的等于这个石头，那这个时候速度是不变的，对吧？就是 k 值， bc 的 这一段的 k 值和 k 值什么？ c 这段 k 值，它们速度是没有变的，所以 cd 这段的图像的 k 值也是 v 一 加 v 二的 一撇，那绝对值。好，那 v 一 加 v 二一撇是多少？我们可以通过这个题目算出来， v 一 加 v 二一撇是在 c d 的 这个图像的时候， k 值，那 v 加 v 二一撇，在 c 图像可以看得出来，它这个地方是多少啊？它的速多少啊？一共花了三百，然后走了 多少分钟？五分钟，所以它们的速度是六十，总速是六十。好，那 c d 这个地方是六十，那 b c 呢？ b c 明显看出来它这向下的一条曲线，所以 k b c 就 等于负六十。 好，那知道 b c 只要曲线呢？好了， y 等于负六十， x 加 b， 对 吧？然后再把 c 五零这个数值进行代入，那可以知道什么 y 等于负六十， x 加三百， 对吧？好，那通过这个式子，我们那个第二算算啊，第三个 x 为和值时，它差为一百二，那这个式子的话， b c 要直线线段 b c 啊，它这个题目告诉你线段 b c， 那 你要求出 线段 bc 的 这个值，那这个 x 值多少？你看这个 x， 首先它是要小于等于五的。哎，那下面问题来了，那另外一个点在哪里？ 另外一个点在哪里？这怎么求好，这怎么求？就它的取值范围，这个比较难的是这个地方 好，这怎么求？线段 b， 在 做一条 y x 函数函数关系式。好，线段 b， 它是要求 b 点那 b 点的。好了，那我们这个题目好了，我们这个题目还有 a 点，那线段 a b 代表什么意思？ a b 代表什么意思好， a b 代表了什么？这个时候 b 是 不是在停下来进行技术的排障啊？ 它就是牌照，所以它没有进行停行走，那 b 点之后，它们开又开始继续行走，所以 a b 这一段啊， a b 这一段只有谁啊？ v 的 速在行走，所以 a b 这个解析式， y 等于负的三十 x 加 b， 对 吗？好。然后 这个地方还有一个值是 b 值，那所以我们把 a 点坐标带入 a 点，坐标是一两百三点带入好，两百三 等于负三十加 b， 所以 b 点等于两百六十。所以 ab 的 直角线段的解析式是， y 等于负三十 x 加两百六， 好，同样的，这个时候我们和 b、 c 进行连理，对吧？ y 等于负六十 x 加三百进行连理，可以解出来， 负三十 x 加两百六等于负六十 x 加三百，那就是三十 x 等于四十 x 等于三分之四，好，所以这个地方可以写出它的取值为是三分之四小于的 x 小 于五。好，这题非常重要，这题是比较难的，它的点就是在于它让你求线段的表达式，要求它们的取值为 好。第三问，它以求 x 为和值式，它们的距离会小于一百二，那就是在这个地方求一百二的一条直线，你看跟这条这个地方怎么样？ 这个题目里面会有怎么会有几个交点啊？会有两个交点，对吧？跟线段 bc 有 个交点，和线段 cd 有 个交点，那我们要把线段 bc 好， 线段 b 在 这里，那线段 c、 d 呢？那 c、 d 的 角是谁？也可以解出来，对吧？等于 负的二等于六十 x， 对 吧？因为它有两个点嘛，既有 c 点，又有 d 点坐标，对吧？现在在这里 d 点坐标刚才告诉的是十三百进代入可以得到 c， d 也是 y 等于六十 x 加减掉三百。 哎，好，这个是五小于 x， 小 于等于十。好，就把这 另这两个式子都等于什么？都等于一百二，就是 y 等于一百二，进行代入的函数里面就是负六十 x 加三百等于一百二，好，解出来， x 等于三， 同样的六十 x 减三百等于一百二，也就是 x 等于七。好，并且再去检查一下它是否在这个矩形范围里面，在这个矩形范围里面，所以我们就认为 x 等于三， x 等于七，都是， 对吧？都是我们要求的这个求的这个 x 值，所以 x 等于三或七十，它们的 距离相距一百二。 ok， 好， 整个事件讲完了，对吧？这比较难的一点就是在第二十七题的第二问，这个函数表达式的起始范围以及第十六题，大家题目相对来说都比较简单啊， ok， 唉。

好，今天杨老师给大家讲一下这一次初二的期末考试卷。呃，整体的难度比例的话是基础题占了百分之七十，中档题占了百分之二十五，难题只占百分之十，杨老师花了半小时时间做出来，今天给大家简单讲一下。这张卷子 稍微有点呃，难的，可能就是填空题的最后一题，我们需要去构造辅助线啊，构造全等求出 a、 d 的 长，这边的辅助线的话，构造不 不为一啊，有好几种方法。第二个的话就是在我们大题的最后一题，这张题这个题目的话，我们只要把这个图给读懂，第二个就能做出来，第二个做出来第三个就很简单了。那这张试卷的话，跟昨天初一的期末卷比的话，我觉得含金量是低了挺多的。 然后，呃，我们小朋友的话，也基本上一个小时的时间，这张卷子就已经能全部做完了。

哦，小伙伴们啊，陈老师来分析一下这张初二数学的期末卷。那陈老师认为啊，整体来说是偏简单的，不难 啊， easy。 第二个我认为有难度的题目，就是十六题和二十七题的第二小问或者第三小问，还有呢，二十五题的第二小问，这个光的反射其实就是折折折对生的问题。那这几小问 三分啊，六分，这边呢，算他四分对吧？那可能就是十三分，扣掉的话啊，还能考八十七分啊，也就是说我们小伙伴呢，你考个八十分，我觉得是 比较容易实现的好吧，好，第三个呢，基本上简单的题目非常简单啊，都没有什么计算量， 记性练习，笑啊， 所以整体来说，这道试卷不是很难啊。那老师来做题分析一下，选择题我认为没什么难度。小伙伴啊，像这个第七题呢，也是一个很 常见的这样一个直角三角形，对吧，这条边半径，然后呢，这个是二减二，你就是把它算一下。好的啊，然后呢，顶多就是十五的平方，减去二的平方可能会有点难算啊，但也还好，那这个题目 我们在期末考试前讲过四五遍，对吧？嗯，你就是看图像直接能够看出答案来的啊， y 小 于 y 啊，你要看哪条直线在哪条直线的 下方。好吧，你看清楚就行了，那就在这个区间范围内，然后九到十四题都不很难。那十五题呢，稍微有点计算量啊，你要看看出来， p 点的坐标是 一，加根号十，然后呢，六点的坐标是一，减去根号十，因为他的 边长是根号十啊，正方形的边长是根号十，然后呢， a d 长， a d 长就是正方形的边长，所以根号十作为半径。好吧，这道题目呢，稍微有点计算量。然后呢，当你算出这两个东西的时候，你不要去直接带入去算这个，这个东西你应该 再把它转化成 m 加 n 的 平方，减去三倍的 m， m n 就 会简单一点点啊，因为这两个数据加起来二相乘负九。第十六题呢，稍微有点难度啊， 你要做啊，三条辅助线啊，等腰三角形做一条高延长，再做一条高，就可以证明这个和这个全等啊。然后呢，也就是这一条等于这一条一一六十度，六十度，然后这个三角形就是三十度角的 直角三角形，这个大家会做了把有一比根号三比二这样的一个边长的比例关系自己做啊，这道题目呢，就是这样一个 辅助线，比较难以想到啊，那这个呢，要熟能生巧呃，十七，十八，十九，二十，老师就不讲了啊，这个这个三角形的面积怎么求呢？你就用大的长方形减去三个直角三角形啊，这个大的绿色的长长方形减去三个直角三角形。 二十一题也不讲啊，二十二题就是一个全等三角形。二十三题呢，这边呢，我认为啊，我们生活当中一般问大米多少钱一斤啊，然后这边呢，是 公斤，对吧？虽然你要把四十转化成八十，我们生活当中都是说的是大米是多少 且多少元一斤啊。那确实呢，这道题目的答案也比较符合我们的标准啊，确实是三点五元一斤 啊，好一点，大米呢，四元一斤，对吧？那黑龙江五常大米呢，有可能是六七元一斤。好吧，这个因为应用题呢，是取决于生活当中的，你要对生活稍微有个认知，这样子，比如说你算出来三十五，那肯定是有点离谱了好吧， 这个呢，也能够检验你算的对不对啊，然后加上这句话经检验符合提议，老师认为呢，这边呢，你大米的原价，你还是要加上这一句话的 x 元美金啊。 二十四题我就不讲了，比较简单啊。呃，然后呢，第二小问的话就是利用，利用就是直角三角形，斜边上的中线等于斜边的一半，那现在呢，你可以证明出来这条等于这条， 然后呢这条又等于这条，所以这三条都相等。这三这三条都相等呢，你去逆推出来这个角是直角三角形，好吧，这个角是直角啊，也就是直角三角形，所以呢，这三条边都是相等的。 然后二十五题的第二小问是有难度的啊，那关键呢，你要知道这个光的光线问题，一些问题啊， 你要知道光的反射的反射一些问题啊，就是对轴对称的问题，你要找到第一关于 ab 的 轴对称点， c 撇四负三，然后呢连接 c 撇 d 啊，呃，然后 c 撇 d 的 c 撇 d 到和 ab 的 交点，就是这个 p 点啊，好吧，就是这个 p 点， 然后呢，你把 p 点求出来就行了啊，所以其实就是 c 撇 d 与直线 ab 连立就行了啊，就是连立。 然后这六题不能啊，就是证明一个全等三角形，就是这个和这个全等。好吧，然后呢，这个和这个全等。然后呢 第二小问呢，也是的啊，要二阶梯比较难啊。那你首先需要你要最好自己画成这样一个形成图啊。另外一个就是 他这里面有几个段啊？这是第一段，这是第二段，这是第三段，这是第四段啊。第一段呢是 v 一 v 二的速度走，这一段呢是 v 一 在走， v 二归为零了，他修，他要修修机器。 然后呢，这一段呢是 v 一 和 v 三在走，也就是说 v 要降呃，降低速度到 v 三，这一段呢是 v 一 和 v 三在走啊，那就是整个这样一段过程里去分析其中呢？这个 v 三怎么求啊？小小智 零到十分钟走完了全程，你看从三百又到三百，所以你就用三百除以十就等于三十。然后这一段这一段它的时间是一分钟，一分钟除以速度和等于 三百减两百三等于七十，那这个 v 二就等于四十。所以我觉得第一小问大家都能做。对啊，那第二第三小问呢？有点难度。好吧， 那具体的你们看老师的分析就行了，刚好老师把这一段给你们分析好就行了，比如说你就这这这一段修机器的时间为 t 分 钟，对吧？然后呢，你去根据这个行程图上面的一些关系， 然后呢去列出来这样一个东西，然后你就可以推出来，他 v 三是等于 v 一 的，那就等于三十。然后呢再 带入到这个市值当中，你就能把 t 求出来，把 t 求出来了， b 点的坐标就出来了， b 点的坐标出来了， c 点坐标是五零。那能不能求这一段？那绿色的绿色的这一段五零和十三百，绿色的这一段的函数表达式也出来了 啊，绿色的很好求，是五零十三百，对吧？他这个绿色的话 b 是 三分之四，呃，两百二， b 出来的话，那这一段就就也好求了，对吧？然后他说一百二十米，一百二十米，你看老师标了一百二十米，他会有两个解，一个解是这个，一个解是这个啊，你就一个带入到，呃，这这条 bc 的 表达式，还有一个带入到这个 cd 的 表达式啊，自己去带一下 啊，自己去带一下啊，那主要呢就是这个 b 点的坐标，你一定要求出来啊， b 点的坐标是三分之四，两百二 啊，就就可以做的。好吧，所以说整体来说呢，这张试卷我觉得我们班的小伙伴啊，八十分以上应该能考的啊，要考九十多分，那稍微有点难度啊。然后呢？呃，其实大部分题目 我们都接触过啊，可以说这里面只有一一两道题目，可能平时上课讲的不是很多啊，但是也接触过，但是绝大多数的题目都是常规的题目，都是没有什么计算量的题目。呃，所以呢，我觉得小伙伴啊，如果没有考满八十分的，那回去呢，要好好加把加把 劲啊，这个张试卷真的不难，小伙伴啊，好希望呢，我们我们的小伙伴都能考八十五分啊以上，好吧，加油。

这是二零二六年苏州市阳光测试八年级数学第二十六题几何大题。下面我们一起来看题。 将两个全等的直角三角形 a、 b、 c 和直角三角形 d、 b、 e 按照图一的方式摆放，我们这里 a、 b、 c 这样子放， b、 e、 d 这样子放， 而 d 一 所在的实线与 a、 c 所在的实线交于 f 点。 第一小题，若 b、 d 等于五， b、 e 等于三，求 a、 f 加 e、 f， 我 们来看一下，它告诉我们 b、 d 等于五， b 一 等于三，那么我们有勾股定律，可以得到 d 一 等于四，这个我们可以心中有数。下面我们看本题要求 a、 f 加上 e、 f， 那 么本题我们关键要注意给出的两个三角形全等， 那么我们就想到了，由于三角形全等，那么它们的对应边也相等，所以我们就得到 b、 c 也等于三， a、 c 就 等于四， b、 a 也就等于五，或者说 e、 a 就 等于二。 好，我们这些计算结果出来之后，我们再来看要求的是这两段。 那么怎么来考虑呢？我们本题的关键就是要找到 a、 f 跟 e、 f 之间的关系，那这个关系怎么建立？关键是要看 b、 e 跟 b、 c 相等。 我们这里如果连接 b、 f， 你 会发现三角形 b、 c、 f 和三角形 b、 e、 f 就 有以斜边直角边这两个直角三角形， 所以这道题目我们要能够得出这两个三角形斜边直角边对称等全的，所以 e、 f 就 等于 c、 f， 所以 a、 f 加 e f 就 等于 c， f 加 a f 就 等于 s， 所以 这个就等于 s。 由刚才的两个大的全的三角形，我们得到 a、 c 就 等于四，所以第一小题我们就求出来了，那么我们从第一小题提问到，首先我们有两个大的全等三角形，得到 d、 e 等于 a、 c， 所以 a、 c 等于四。 第二，我们发现了一对由 h、 l 所构成的一对四角三角形角的 好，下面我们来看第二题。将图一中的三角形 b、 d、 e 旋转，它这样子转，我们发现这个 b、 e 转到这个位置了，原来它跟 ab 重合的。 那么首先我们注意到这个全等三角形没有变，他这是位置上绕 b 点转动一下，所以三角形 b、 e、 d 和三角形 b、 c、 a 的 全等没有变， 这个没有变。那么我们看看这一对三角形全等有没有变。实际上我们这一对全等也没有变， b、 c 跟 b、 e 还是原原来的大全等的道，我们连接 b、 f 同样是公共变， 所以这一对三角形的全等还是存在的，所以 e、 f 同样等于 c f， 所以 这个结论还是成立的。我们发现 a、 f 加上 e f 就等于 a f， 因为 e f 就是 c f， 所以 a f 加 c f 就是 a c， 所以 我们有同样的结论。下面我们看第三小题， 第三小题实质上就是在第二小题的基础上，他继续旋转，他把三角形比第一旋转到这个地方， 就是有这个三角形，这两个三角形他同样是全等的， 所以这里的大三角形全等没有变。那么我们再来看这个 b、 c、 f 的 三角形和 b、 e、 f 的 三角形全等有没有变。那么我们连接 b、 f， 我 们同样有 大权，等得到这两条相等，再接 b、 f 是 公共边，那么同样有这两个直角三角形有 h、 l 得到权的， 所以这个权的关系还是存在。那么我们再来看现在的 a f 和 e f e f， 我 们发现它现在就是 c f。 好，再来看 d e d e， 我 们看 d e 就是 哪一个，就是 a c， 所以 我们发现这个 c f 就是 e f， 所以 这里 e f 就 等于 c f， 而 c f 就 等于 a f 加 c i， 而 c a， 根据大的全等就是 d。 所以 实质上这个数字对比这个我们对比一下，它 有一点点差别。这里是 a f 加 f， 而我这里是 a f 跟 f 是 相减啊，相减 啊。本题同学们主要是体会在变化的过程中有一些量是不变的，这种题目在实际做的当中你要有所体会。这类题目还是比较多的，同学们你理解了吗？本题就讲到这里，再见。

看看这个怎么做？这是苏州刚刚结束的期末填空压轴题，苏州的小同志发挥的咋样？这个小题就是用咱们之前发过的构造辅助线的方法，顺藤摸瓜来解决它。我们一起来看看。 说给了个等腰三角形， a、 b 等于 a、 c 角， a 是 四十度，那两个底角也就出来了俩七十，说 b、 c 等于二， a、 b、 d 呢？二十度，求 a、 d 多长，那这里只告诉了 b、 c 是 二，所以要想办法让 a、 d 和下边的二联系上， 那需要转化线段，我们看看怎么来转化。说两个方法，你可以从 a、 d 入手，你看 a、 d 挨着一个四十度，然后四十度角的另一条边是一个腰， 那你想我们构造全等，必须得有边相等，那自然从腰入手。但是这个腰呢？它挨着的四十度在上边，你总不能在这里截一个 a、 d 一 样长，这样去构造，那没啥用。所以我们从这个腰的另一头来构造， 这边假角是四十度，那我就在这边构造一个四十度。至于这条边多长，那就按照这里的边角边来看。 我这边也是 a、 c 是 边，这个角四十，那另一条边就和 a、 d 构造一样长，这样就满足了。边角边，下边也是边角边，那接着只要把它连上， 这三角形就全等了，那有了全等，就有了新的边角关系，我们要求的 a、 d 就 和 c、 e 一 样了，那同时这有一个二十度就来到了上边了，你会发现这是四十度，那另一半也是二十，这不就 a、 e 角分线吗？ 而这又是等腰那角分线，自然三线合一，往下一延长就垂直了，同时也把 b、 c 平分了两半都是一嘛，那到这就出来了，这七十度减四十，剩一个三十对的直角边斜半一半，这是二 x， 这是 x， 你用勾股定律都能算出来，四 x 方等于 x 方加一三 x 方等于一，这 x 等于根三分之一，也就是三分之根三，但是咱求的是二 x， 所以 把它乘二三分之二倍根三，这就搞定了。你看，就是从这个 a、 d 入手， 它挨着四十度和腰。哎，我这边也是利用腰构造个四十度和 c、 e， 利用边角边转化来搞定。当然这里也可以先做垂直，这就等腰三角形最常用的辅助线嘛，然后在这个高上呢去截取一段，和 b、 d 相等， 也能通过边角边，这边也是边二十度和腰截取完一连，那这条线就是我们要的 a、 d， 然后把这个四十度对应过来，哎，是一样的， 这就是截长补短里的截长嘛。那再分享一个方法，你可以从他这个腰相等等腰最常用的辅助线做垂直来入手， 这既为点 e， 那 想构造和这 a、 d 有 关系的三角形有一个腰。 现在呢，我们构造了直角，所以我就利用这个腰也是作为斜边，再来构造一个直角三角形，那就把它当成斜边，然后延长 b、 d， 接着过 a 点做一个垂直，这既为 f， 那 这样的话，三角形 a、 b、 f 自然也是全等三角形 c、 a、 e 的 判定的依据就是我们三线合一，这是二十度，再来一个边和直角角，角边，这边也是角角边， 那先搞定角度，这个二十意味着上边这个角是七十，那里边是四十，旁边的 f、 a、 d 就是 三十， 那同时三线合一嘛？这是一上边的 a f， 全等对应过来也是一，就和刚才一样了，这是三十度 x 和二 x 直接能求出来 a d 了。你感觉哪个辅助线更容易想呢？那就到这，每天进步一点点，咱们下期见。

今天来一道苏州啊，我们的七中考的一道原题的压轴题啊，这是一道行程问题，说实话，这道题不是特别难，但是呢，这道题里面可以让我们学到很多的东西，学会这一道题呢，那如果说中考考到的话，八九分肯定是难拿的， 我们来看一下题目啊，小智，小安，那么小智的速度 v 在 走啊，从假地到以地匀速行驶，小安呢，是由以地到假地，以 v 二的速度在匀速行驶，但是这个小安啊，他走了一分钟以后就出现故障了，然后呢，技术人员排除故障以后，他是降低速度继续匀速行驶， 也就是说我们的小智 v 对 应的 v 一， 它是不变速的，但是我的 v 二是一直在变，就是走了一分钟以后，再排除故障以后又降速了， 那么已知两地相距三百啊，然后他我们来看这个形成这个图啊， x 轴表示什么？表示测试的时间，那 y 表示什么？表示两个机器人之间的距离啊，所以这个 y 是 距离。那小智的出使速度 v 是 多少呢？好，我们看怎么算啊？小智 他用了十分钟，你看啊，就是各这个是相距的距离吗？最后小智他是不变速的，他最后跑到三百，就是说两个人相距对吧？相交过来，然后最后又相距三百的时候，表明我们小智从甲地到乙地了吗？对不对？从甲地到乙地，他花了十分钟的时间， 而且他是没有变速的，他是匀速的啊，那 v 二呢？ v 二，小安他是 初识速度， v 二要去求啊，那 v 二在这个地方，他 v 一 是 v 一 和 v 二是集合的，所以这个地方两个人都有在做， 所以这个地方他走的路程是三百减去两百三，除以他的时间一分钟，那么速度和就是七十减去 v 一， 那就是 v 二，所以 v 二的初识速度是四十，所以这个地方是四十米每分钟。 接下去它要求我们 bc 所表示的 y 与 x 的 解析式。好， bc 段，那 bc 段 b 是 没有变的，但是我们的 v 二是变速了，那怎么办呢？我 b 点不知道呀，我可以设它的横坐标为 a， 纵坐标设为 b。 好， c 点坐标是五零，那么 bc 段 怎么去求啊？ a 和 b， 我 们来看实际情况，对于 ab 段来说， ab 段它的速度只有一个人在走，就是我们的小至 v 一 啊，因为我的小安已经出故障了，所以这一段我们的速度就是 v 的 速度三十乘以它的时间， a 减一等于我的路程， 那路程我们看这个线段啊，应该是两百三减 b 的 路程。好，这是 ab 段，可以给到我们的一个表达式，但这个表达式解不出来，要有两个表达式才能解。那我们就来看 bc 段， 那 bc 段注意，这里的 v 是 v， 这里的 v 二是变换了以后的 v 二，维修了以后的 v 二是有改变的，所以 bc 段是三十，加上变换以二的 v 二撇好，这个是速度， 对吧？速度乘以它的时间，时间是五减 a 好， 等于这一段路程从 b 到零嘛路程啊，好，那么这两个 ab 解出来， ab 小， 呃，解出来以后， b 点坐标就有了， 那 b 点有了之后，我们就可以去求谁了呢？哎， b 点有了，对吧？我们可以去求 b， c 的 解析式，对吧？ b c 的 解析式，一个是 b 点，一个是 c 点， c 点是五零啊，是吧？ b、 c 的 解析式就有了，好， b c 解析式解出来是 y 等于负六十， x 加上三百。 好，那么还有一个 cd 的 解去式，那你这个 b 点有了 cd 的 解去式，你看 c 点有了， d 点也有了， cd 解去式也可以去求出来是 y 等于六十， x 减去三百啊， 好，那么我们 cd 两个解去式 bccd 都有了，我们再来看啊。最后最后一问，他说两机器人之间的距离恰好为一百二的时候， x 是 取何值？ 恰好为一百二，不就在一百二这里。比如说，假如说这个 y 是 一百二，拉一条横线嘛，它与 b、 c 段的有个交点，与 c、 d 段也有个交点，那你把这两个交点只要令 y 等于一百二，分别带入 b、 c 段和分别带入 c 的 c、 d 段，对吧？零到五的时候是 b、 c 段， c 到呃，五到十的时候是 c、 d 段， 然后最后算出来 x 等于三，或者是 x 等于七啊。所以这道题关键点在这里， ab 段和 bc 段建立等量关系，把 a 和 b 给它解出来，把 b 给它解出来。 懂了，所以整个这道题你说难吗？好像也不难哟，是不是啊，关键是分析出来啊，看到这个图分析出来， 那我们的 v 是 匀速的，我们的 v 二，哎，它出故障了，一分钟以后维修以后又降速了。那么像这样一类的题目，如果说还有不懂的话呢？李老师给大家准备了一份啊，完整的像这种行程问题，结合我们的坐标系的题型，如果有需要的话，可以评论区留言。

哈喽，初二的同学们，这张卷子真的是想让你们开心过好年啊，我看到很多家长也在评论区跟我讲啊，琴子老师，这张卷子真的有点过分简单了。 那么其实这张卷子呢，确实还是蛮简单的，但我也看到有些同学有些题目啊，确实不太会。那我们来看看这张初二卷子啊，从头到尾看一下，那我们到底应该考一个什么分数？首先选择题来说，真的没有难题啊，包括最后一道题，它这个题目也是蛮简单的。第七题，一个双勾股还是 这是我们平时练的基础题，如果说你的选择题错了，加油了啊。好，那我们再来看填空题，填空题的话，说实话一到十四题都是基础中的基础了，然后十五题的话，一个公式的变形，而且这个这个十五题说实话也没有什么难度，虽然判为中档题，没难度啊， 十六题， ok， 说一下这个十六题，十六题他其实是很明显的一个等腰三角形，要利用他的三线合一，但是有的同学呢，没有想到用全等，可以说十六题是本章卷子里面唯一一道可能有点难度的题目。 ok， 那 么十七，十八，十九啊，十九题这种这种题我们我在做的时候我就想了，这个出卷老师是有多想让大家过好年啊，对吧？这个题做错的话，不应该啊，二十题都比较简单了。然后我们看二十三题，二十三题有没有谁漏检验的，是不是你啊？漏检验的话，这道题应该要扣三分的。 然后二十四题就是一个倒角的题目，二十五题，我看有的同学说二十五题不太会哦，那二十五题你要看出来这条线啊， y 等于 x 减四，你看这个点是四零，这个点零负四，它是一个四十五度的角啊，然后做对称的话， d 点做对称的话，它其实构成了一个等腰直角三角形，那得到这个地撇点， 所以这道题的话，可能会有的同学不太会，但是说实话，他只能算中高档题啊。二十六题，非常基础的一道全等二十七题， ok， 二十七题，像这种行程问题是我们这两年苏州中考的一个趋势啊，走行程问题，那这道题呢，说实话也算一个中高档题吧， 它的你要看懂啊， v 一 v 二的速度和以及速度，单独速度也要看懂它，技术人员修好以后，它的速度是有变化的，那么通过方程的形式去做那二十七题，这道题放在压轴的位置，相对于以前的压轴题来说，几何的压轴题来说是 简单了一点，但也考了孩子们的分析能力啊。那么从整张卷子来说的话，我觉得如果你考到一个九十六分以上是比较优秀的，那大部分同学应该集中在八十八分到九十五分之间，如果你八十八分以下了，那这个寒假不能玩了，可以来找李老师开始学习了。

关注郝老师，学习不迷路！

零二六年南京鼓楼八年级上册的期末试卷的压轴题的视频讲解来了。刚才我们已经讲到了，讲完了选择那个叫什么解答题的压轴题，以及填空题的压轴题。那现在呢，就是选择题的压轴题。好，我们看一下这个压轴题的第六题， 在锐角三角形 abc， 它是个锐角三角形，角 b 等于四十五度，角 b 等于四十五度，那这个角是四十五度题目给的在 a、 c 上面呢？点 d 是 a、 c 上面的一个点在哪里？不知道，反正他在动。 那么关于 a、 b、 b、 c 对 称的点 e 和 f， 哎呀，这不就是我们妥妥的学过的一个什么东西，将军赢马球最直的常做的一个辅助线吗？啊，辅助线都给我们做好，他求啥呀？啊，那我们不妨做对称，他根据题目噔噔噔噔这个相等，所以此时你看我把这个连起来， 这个连起来，这不就是我们课堂讲过的一个非常重要的一个东西吗？这是四十五，那请问这个角多少度？哎，这个角不就是告诉我们是多少度，是九十度呀，对不对啊？这个角是九十度，当然我们讲的那个比这个多多了啊， 那我们这个题目他考察的只需要用到这个角是九十度，那么其次还有这条边跟这条边以及我们的 b、 d 边是相等的，这是三个圈圈都相等，对吧？ 三根条圈圈边都相等，而且能得到这是个九十度。最后题目问 ef 长度的变化，哎呀，根据题目我们能够得到 ef 这条线段， 因为这个三角形立刻知道这是个直角，这是个等腰直角三角形，而 ef 是 等腰直角三角形的斜边。等腰直角三角形斜边永远等于根号二倍的直角边的长度我们是知道的，直角边的长度是圈圈边圈圈边圈圈边吧， 是不是就等于根号的 beode？ 那 题目问你什么？问 e f 的 长度是怎么变化的？那换句话说，不就问你 beode 怎么变化吗？哎呀，这不是送分题吗？ 他问你点 d， 从 a 运动到 c 的 时候， o， 从 a 运动到 c 的 时候，这个 beode 怎么变的啊？先不断地变小，变小变小， a 当垂直的时候达到最小，然后又变变变大变大变大，所以先变小再变大，选哪个？选 c， 妥妥的选 c。 这题作为压轴题太过于简单了点。

成功靠的不是奇迹，而是你每一天一点一滴的努力。不是井里没有水，而是你挖的不够深。不是你不够成功，而是你不够努力，所以人都是一样的。

苏科八下学霸提重题第四十四页第一题，期中测试基础题八年级赶快看过来，千万别被你同桌发现！ 小玲的爸爸在定制平行四边形框架时，采用了一种方法，将两根木条 a， c， b、 d 的 中点重叠。比如这有一个线段 a， c， 这有一个线段 b， d， ok， 中点重叠了，那说明他既平分 b， d， 又平分 ac， 那 这很明显是用了什么原理啊？ 是不是对角线互相平分的四边形是平行四边形，明白了吧？所以说跟对角线有关。那这道题呢？果断选 a， 轻松解决。

这个苏州四市八年级的期末考试啊，填空题的这道题， 嗯，绝对算一道难题啊，在考场上我估计十个同学九个做不出来，我不知道这个真实的得分率是多少啊，我估计是这样的，呃，可能大家看完答案的方法之后啊， 觉得他哎呦也不是很难，但是你要知道你是根据答案的那个什么什么辅助线，这个那个，你是相当于有导航带着你走这条路。你现在看，说他简单的就是事后诸葛亮了啊，不，有点 轻蔑这个题了，这道题绝对算一道难题啊。那现在讲这个题目的难度已经没有多大意义了，我们需要 比方说你是学生，我们需要做的一个事情就是站在我们的角度，怎么把这道题当时没想到的部分，哎，那个条件特征开发没想到的部分，现在给他好好的总结一下。哎，你做好一些笔记，整理好， 那么指导你下一次遇到同类型的条件特征，你给它翻译出来，这个才是我们现在应该干的事情啊。好，我们把重心再调拨到 如何解这道题和思考这道题上，下一次我们还能想到什么啊？好，整个题目的条件背景呢，是一个等腰三角形，你看这个 ab 等于 ac 啊，角 a 顶角是四十度，那么两个底角就各自是七十度， 还给了我们底边 bc 是 二，哎， bc 是 二啊，然后这里面有一个点 d a、 b d 的 角度呢，是二十度，这些其实都不是特殊角 哎，但是没关系，我们看条件的特征啊，首先看等腰这个部分，等腰这个部分呢， 我们的性质开发是什么啊？等腰呢？我给我的同学总结的是两条路径，一条是走等腰内的等腰的性质啊，比方说等边对等角，三线合一啊，等角 和三线合一这两个套路就是纯粹从等腰的内部思考， 还有就是通常学生会意识不到的，就是从等腰外去思考，什么意思呢？就这个等腰，我不走等腰的路，或者说不仅仅走等腰本身性质的路，还要把两个腰长给他放松的看成普通的两个线段相等， 这样这个 ab 等于 ac， 就 有可能会被用来正全等啊，比方说我们的手拉手全等，就是一个典型的 abac， 一 会会被分散成两个全等三角形的对应边。我们要总结这个套路啊，当然优先呢，还是建议先走等腰内的这个套路， 不行再去看看全等有没有可能好，这是等腰啊，我们再看 bc， 等于二，底边是二 好，比方说我关注这两个等角啊，我们从等腰性质开发，那这个减乘下就是五十度，这个角就是七十度，都不是特殊角啊，好，还可能会做三线合一的辅助线，这个时候呢，四十度会被分成二十度哎，这个二十和这个二十凑成一个，然后这个角 e e a 等于 e b 啊，这是垂直平分线，然后整个 bc 呢，被平分一和一不知道有没有作用，你要做好这种潜在的铺垫的可能啊，好为后续发展啊，准备，做好准备工作。好，这是等腰内，我们再看这个角度本身啊，四十度，二十度，五十度，七十度，本身没有什么特殊的， 但是呢，我们说了，角度一定要多注重外角的开发，对吧？外角是两个不相离的两个内角合，你看，这是个六十度，隔壁呢是一百二十度，这个六十度啊，我估摸着大多数同学想的都是这样做，垂直出现一个三十度， 或者这样做垂直出现一个三十度。但是问题就是，你把这个特殊三十、六十、九十的三角形构造出来之后啊，大家就会犹豫，这个二到底怎么去用呢？跟我这个一比根号三比二，对吧？三十度直角三角形的三边比，始终插不进去， 这是困难。那么这个时候你就要总结另外一个点了啊，就是看这个一百二，哎，之前给学生总结过，看到特殊的钝角，比方说一百二、一百五，这些角， 一定不要去纠结于这个角本身了，还非常有可能会做延长线。哎，隔壁是不是六十度的特殊角，这里是一百五的话，隔壁就是三十度的特殊角，你再去做垂直。所以还有这样一种可能啊，如果这个六十度你在这里做垂直没什么效果，或者这样做垂直没什么效果啊， 你这个一百二，隔壁的这个六十或许也可以是通道之一， ok 啊，这个是个小模型对不对？你这个六十确实用不进去了啊。好，当然了，你现在在这里做六十啊， 哎，你这个二离得更远了，是不是这个二，这个线离得更远了啊？跟这个题目让你求 a d， 包括这个零六十，离得更远了就更不像了，所以这道题真的是挺难的。好，那么做到最后呢？这道题啊， 我估计不少同学都会卡住啊。好，这道题最后的做法就是结构不够，什么叫结构不行？不够啊， 就是我里面条件是有一些的，但是条件与条件之间关联性不够紧密，这个时候一定要去尝试重新搭结构。做辅助线的意思结构不够，那你数据条件是不是用不进去啊？你要去重新构造整个条件结构啊，比方说做一些辅助线了， 哎，做一些辅助线了啊，好，你现在做辅助线，刚才你的一些简单想法，这样做垂直，这样就是不行，而且从等腰，我们说了等腰还可以去三线合一， 哎，这个三线合一为什么可能会有作用呢？因为他把这个 bc 分 成一和一的两个部分了，是不是？哎， 他并没有起到一个什么倒退的作用啊，所以这个一和一还是有一点贡献的，并且这个 e a 还等于 e b， 是 不是还是有一点特殊性在里面呢？好，当然这条辅助线不足以支撑你能够完成整道题。还有就是最后的关键就是这个问题求 a d， 我们看 a d， 你 想怎么求出来呢？一定是靠勾股定律，或者是三十度的三十度角，或者说四十五度直角的一些比例关系啊，是不是？你我们现在八年级阶段不就是靠一个勾股定律吗？偶尔可能靠一些什么垂线段，用等面积法，是不是？哎， 一定要是靠这些，哎，我们再去配合啊，再去尝试，我这个六十度如果这样做肯定是做不出来了，那我不如打开思路， 比如说我这个六十度补出来，这个补出来，你说那老师你这个事后的，哎，确实是事后的，但是适中也是有有机会的，你这样去想个辅助线的来源，是这样啊， 首先我要求 a d， 我 是不是要靠一些结构才能求出 a d， 那 么现在 a d 现成的结构是没有三角形可以支撑的啊，我这个隔壁的六十度是不是跟 a d 绑定在一个地方？是不是结构化了？我这样做垂直 是不是能够把 a d 包到这个三十、六十、九十的特殊三角形里面，所以它是有一定道理的啊。我们再看这里的二十度， 哎，这里的二十度以及配合刚才的三线合一，哎，这个要看你之前有没有去 下一个 m 点吧，因为是中点啊，主动的去找什么呀？这款你要主动的去找一些，比方说，哎，全等啊，勾股啊，特殊三角形啊，什么斜边中线啊，这个那个的模型啊，哎，你配合这里啊，你看这里也是二十度，或者隔壁也是二十度，哎，不妨呢，我们去找一找， 等腰找一找，全等，你看这个时候就要你以前的几何，这是几何的这个题啊，要心里面要有一个大方向， 比如说我这个辅助线做完啊，瞎做一些。辅助线之后，做完之后你要干嘛呢？就同学们，这个方向是没有的，你要你要干嘛？辅助线你瞎做也好，还是有道理的，做也好啊，比如这个三线合一，比如这个做垂直， 你的方向一定要有沉淀出来，那就是主动的去第一个找勾股啊，找全等，第二个找勾股，一定要把这个总结出来，然后找特殊三角形，比如说等幺，对吧？三十、六十、九十这种特殊三角形， 哎，然后你勾股和特殊三角形其实比较单一的，而全等是能打通整个结构的，对吧？全等是包含两个三角形啊，它是非常重要的啊，发生结构的一个，哎，场景。全等要主动去找全等，就内心一定要有这个语言。 我要主动的找全等，找全等，找全等，找特殊。先三角形，勾股三角形，特殊等腰三角形，三十六、十九十三角形，四十五、四十五三角形。找这些特殊性，你内心一定要有这个东西，所以我觉得最后应该通过这个题总结的是这个， 如果你之前你只是看懂这个题现在的做法，嗯，其实做的是没有太多意义的啊，没有太多意义的啊。好，这款呢，你要主动的去找全等，找勾股，找特殊三角形，这里是有特殊三角形的，我们就找一找勾股勾股呢？你这个二勾不进去，是不是这个一，这个一，还有就是找全等啊， 又怎么样？意识到，哎，我怎么辅助线，呃，找不到这个全等，关键是要有这个意识啊，你看这个全等其实很好找了。 哎，我们首先看 a、 h、 d， 它是一个直角三角形，它的这个锐角是二十和七十，是不是啊？然后配上一个直角，我们这个 a m、 b 呢？你看 a、 m、 b 是 不是也是一个二十和七十配一个直角，所以这两个直角三角形啊，是全等的。 好，你这个时候不要再问我为什么想到这个找全等了，因为几何你学的东西不就是这些东西吗？你不要主动找这些，找这些东西吗？是不是一定要把这个方向沉淀出来，这个才是真正有用的核心方向啊，这个题真正有价值的啊。不是啊，不是说我这个辅助线没做出来，那 你要有这个方向的啊，找辅助线做出来，你没方向也不行。好，找完全等之后你看这 a h 就是 一了啊，等于我们的 b m 或者说 c m 等于一。好，这款呢？我们他比，他比，他是一比根号，三比二就能求出来。