高二数学试卷答案扬州过程分

我们来看一下这次扬州市的高二期末考试的几道压轴题。 首先看这个第八题，第八题它给我们的一个递推关系是这个式子，然后它让我们求后面的这个值可能是什么。 那么我们一般拿到递推关系的话，他如果里面带 sn， 通常我们会把它整理成 sn 等于 an 加一乘以 an 这种形式啊，然后我们不喜欢看 sn 嘛，因为递推关系是要的 an 和 an 加一的关系，所以我们可以往后再写一下， sn 加一就等于 an 加二乘以个 an 加一， 我们做差两个式子做差就可以得到 an 加一就等于 an 加一，括号 an 加二减 an 两边可以把 a n 加给约掉，因为呢，他这个呃竖列的象啊，他是做分母的，所以他不可能会有象是等于零的，所以我们在这边约的时候，不需要考虑到他这个象是否会为零这种情况， 所以我们就可以得到 a n 加二减去一个 a n 就 等于一，那么我们会发现它实际上是隔两项为一的，一个等差数列，也就它基数项乘一个等差数列，偶数项也乘一个等差数列，那么既然如此的话，我们就非常想弄清楚它的首项是什么。 呃，所以我们可以根据这个递推关系，我们可以带一些特殊值，比如说我们带 n 等于一的时候，我们会发现 a 二就等于 s， 一 就是 a 一， a 一 比 a 一 就等于一啊，那么我们已经有了偶数项的第一项， 但是我们这个基数项的第一项也就 a 一 是不清楚的，那么不清楚的话，我们可以先去试试看，我们就用 a 一 去写他这个式子的一个表达式，那么他前面是前六项和啊，前六个偶像和就是一加二加三，一直加到六。 好，我们可以求一下，手项加末项乘以项数除以二，所以这里算出来是等于三七二十一。 好，后面是从第一个计数项，第一个计数项就是 a 一， 第二个计数项就是 a 一 加一。好，一直到第七个就是 a 一 加六，不是加七哦，因为首先是 a 一， 然后我们把它加起来， 然后再除以一个啊，不用除了，那么这个东西它就等于七个 a 一， 再加上一个二十一。好，所以它的一个做差，实际上的结果就等于负七倍的一个 a 一， 那么负七倍的 a 一 可能是下面哪一个呢？如果是他的话，那么 a 一 就等于一，如果是 b 选项就是 a 一 等于零，如果是这个，那就 a 一 等于负一 啊，如果是十四的话，那么 a 一 等于负二啊，我们可以把这个排除掉，因为他不能有任何项为零。然后后面两项他虽然不是零啊，但是他会导致 a 二就等于零，这个会导致 a 三等于零啊， 写错了啊，这个是 a 三等于零啊，这个是 a 五等于零，他都是不可以的。所以这道题目我们选 a， 这个第十一题，第十一题的话，他的 a、 b 选项都是比较好判的，但是 c、 d 选项是有难度的。 我们先看 a 选项，如果它关于 y 轴对称，也就是说你带 x 进去或者带负 x 进去，它应该式子是不变的，那么我们会显然发现它里面出现过的 x 都是 x 平方，那你带 x 和带负 x 进去，这个式子是没有变化的，所以 a 选项是正确的， b 选项我们要看它与坐标轴有几个公共点，我们可以令 x 等于零解 y， 令 y 等于零解 x， 那 么这边我们可以解出来，它实际上应该是有四个公共点，然后 c 选项， 他说他任意一点的重坐标的取值范围，也就要求 y 的 一个取值范围，那么我们怎么去求解 y 的 取值范围呢？ 在这里如果我们分餐就会有一点点麻烦，比如我们从分餐的策略去走， y 减去 x 的 平方的平方，就等于一减 x 的 平方一下，然后你就要开根，但是开根的话，你会发现平方开根实际上是要套绝对值的，它就等于一减 x 的 平方， 那么这时候你要去绝对值，它就变得非常的麻烦啊，所以我们用分餐的角度画，其实并不是特别好，那么在这里我们可以考虑整体进行一个讨论 好比如说我们可以令 x 的 平方等于 t， 那 么我们可以写一下 t 的 范围，由于啊，它是两个平方加和等于一，所以 x 方是一定不会超过一的，所以我们就会得到 t 的 取值范围应该是小于等于一，大于等于零。 好，所以它就变成了 t 加上一个 y 减 t 的 平方等于一，我们可以把它打开，它是关于 t 的 一个方程， y 是 这样式的函数，我们可以写成 t 平方减去一个二 y， t 加上一个 t， 再加上一个 y 平方减一等于零。 整理一下变成 t 平方加上一个一减二 y， t 加上一个 y 方减一等于零。那么到这里的话，我们就需要他要在零到一上面要由解 好，那么我们可以看一下，它是一个二次函数，我们可以把它当二函数看，那么它需要在零到一上有解的话，我们可以先看一下，我令这个函数为 f x f t， 我们就可以得到。先带下两个端点值观察一下情况，我们可以得到 f 零就等于 y 方减一， f 一 就等于一加一减二， y 加 y 方减一就等于 y 减一的平方， 那么我们会发现，如果说 f 零是小于零的， f 一 是大于零的，那么它中间一定会传出一个根出来，所以也就是说我们如果让 y 方减一小于零，同时让 y 减一的平方大于 等于零啊。由于零和一是可以取的，那么没关系，可以大于等于零，那么就可以做到它中间一定会有根，所以这边我们可以解出来是 y 要大于等于负一小于一，这边我们解出来是 y 啊，一定是会大于等于零的， y 除以二，所以在这种情况下，我们可以解到 y 的 一个范围，那么如果说他在零的时候是正的，那么我们就需要这样 啊，他才会有根，对吧？因为一的时候肯定是大于等于零的嘛，所以这时候我们就要要求他的对称轴负二 a 分 之 b 要大于零小于一，同时我们要求他的第二大要大于等于零，往他对准时候可以取到等，那么这时候我们就可以再解出一段 t 的 范围。 第一个式子，接下来是一减二， y 要大于等于负二小于等于零，两边先解这个二， y 要大于等于一， y 要大于等于二分之一，再减后面这部分， 二 y 要小于等于三， y 要小于等于二分之三。好，再看点它大于等于零， 而他的话，我们就可以得到 b 平方一减二， y 的 平方减去一个四 a c 四倍的一个 y 方减一要大于等于零，那么这边我们打开一加上一个四 y 方减去一个四， y 减四， y 方加四 大于等于零消掉。所以我们可以得到四 y 是 小于等于五的， y 小 于四分之五，所以在这种情况下，我们可以得到 y 的 一个取值范围要大于等于二分之一，小于等于四分之五。最后我们再把这两段取一个并集，就可以得到 y 的 取值范围是大于等于负一小于等于四分之五，所以啊， c 选项就正确了。 那么 d 选项的话，它其实是比较难判的，但是在这里同学们可以尝试去找一些特殊值进去，那你就会发现它可以超过根号二，所以 d 选项就是错误的。 好，我们来看十四题，十四题他说在平面直角坐标系内，我们可以先画一个圆， 他的圆心是一，逗号二，半径是三，那么 a 点坐标是二，逗号四，我们可以把它带到圆里面，会发现它是小于九的，所以它在圆内。然后呢，他要求 ap 是 垂直 a q 的， p q 是 圆上的两个动点，我们可以画一个矢图， a p 垂直于 a q， 然后他要我们去求 p q 这根弦的一个最大最小值的差值。 我们知道，如果我们想要研究弦的一个长度的话，实际上就要研究什么呢？啊，圆心到弦的距离，也就是说我们实际上是需要找到 p q 的 中点 m 点的一个变化啊，我们要求出 cm 的 一个取值范围，那么 c 点是定点，那么我们就要去看这个 m 点它是怎么动的，只要有了 cm 长度的取值范围，它的弦长的变化就出来了， 也就是说我们要求动点 m 点的一个轨迹，那么在这里我们可以尝试用圆的参数方程。在这里我们可以假设 p 点坐标为 三 cosine 阿法加一，逗号三 sine 阿法加二。 同样道理，我们说 q 点三 cosine 为它加一，逗号 cosine 为它加一加二。 好，那么我们看一下它满足的一个等量关系啊，就是这个垂直，垂直的话我们可以理解为向量相乘等于零，所以我们就可以写出三 cosine， 哈发减一，乘以一个三 cosine 被它减一，加上一个三 sine 哈发 减二，乘以一个三 cos， 三 cos 被他减二等于零，好，我们可以把它乘开来，乘开来我们就可以得到九倍的一个 cos 算法， cos 算法 后面也有九 cos 算法，算法减去一个三倍的 cosine 算法加上一个 cosine 被他 减去六倍的一个 sine 打法，加上一个 sine 被它。好，那前面还有一，后面还有四，所以加五就等于零。那么我们要看 m 点的一个轨迹，那么我们可以先表示一下 m， 利用中点坐标公式，我们可以得到 m 应该是等于二分之三个 cosine 算法加上 cosine 比特再加一，它的中坐标应该是二分之三个 sine 算法加 sine 比特 再加二。好，我们要求它横轴坐标满足的等量关系，我们可以令它为 x， 令它为 y， 我 们先尝试去表示这个部分，那么这个部分怎么得到呢？我们可以啊，把 x 减一，再乘以二 平方，再加上一个 y 减去一个二，再乘以二平方，那么它写下来就等于三 cosine 符号加上三 cosine 比特括号的平方加上一个三 cosine 比特括号的一个平方，那么它整理下来就变成了一个十八，加上一个十八倍的一个 cosine 比特， cosine 比特 加上十八倍的三个法三倍的。好，这就出现了我们要的这个部分，所以我们只需要把十八移过去，再除以二，所以他就可以得到 两倍的一个 x 减一的平方，再加上一个两倍的一个 y 减二的一个平方，再减去一个九。好，这里就比较容易了。这里的话我们可以直接把它写成 x 减一，再乘以二。这边减去一个部分，就是 y 减二，再乘以一个四， 减去一个四倍的一个 y 减二，加上一个五，等于零。两边同除二， x 减一的平方减去一个 x 减一，加上一个 y 减二的平方，减去一个两倍的 y 减二，再减去一个二，等于零。 配方，他可以写成 x 减一，减去一个二分之一的平方，加上 y 减二减一的平方就等于二，加上一个四分之一，再加上一个一， 所以我们可以得到它就是 x 减去一个二分之三的平方，加上一个 y 减三的平方等于四分之三四一，十二十三，所以我们就可以得到它的圆心是二分之三，逗号三，它的半径是等于二分之根号十三， 那么在这里我们就可以求到 c m 长度的一个取值范围了，那么我们要求 c m 的 长度取值范围，我们先聚在 c 点到这个圆心的一个距离， c 点到圆心的距离我们可以计算一下，它应该是等于二分之一的一个平方，再加上一个一的平方再开根，所以它算出来应该是等于二分之根号五，所以我们可以得到 c n 的 距离的取之范围应该是 大于等于二分之根号十三，减去一个根号五，小于等于二分之根号十三，加上一个根号五。 而 p q 的 一个长度应该是等于 r 方减去一个 c m 的 一个平方再开根，再乘以二，所以我们就可以知道 p q 就 等于根号下。嗯，九减去一个 c m 的 平方，再乘以一个二。 那我们当 c m 取到最小值的时候， p q 会取到最大，那么此时可以得到 p q 的 一个最大值，应该是等于根号下。九减去一个四分之十三，加上一个五，再减去一个两倍的根号六十五，再乘以二， 那么我们可以进一步运算，它就等于四分之十三，加上一个五，加上一个二，根号六十五，再乘以二，所以它算下来的话，就可以写成根号十三， 减去一个，加上一个根号五。那么同样道理，我们可以算出 p q 的 一个最小值，它最小值就等于根号十三减去一个根号五，所以它的最大值最小值的差是等于两倍的根号五。