数学必修二第八章空间几何体思维导图

高一没掌握空间几何，高三才幡然醒悟，看不懂题，不知道粉碎了多少人的高分梦。今天主播就从零开始，帮你补齐立体几何底层逻辑，空间几何体平行与垂直，空间向量与间隙全部拿下，轻松学会。今天 我们来研究一下空间几何体，那空间几何体主要有两个形式，第一个叫多面体，多面体它是由若干个多边形围成的，比如说我们常见的棱柱和棱锥都是多面体。 第二个就叫做旋转体，它是由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转而成的封闭几何体就叫做旋转体。比如说我们常见的圆柱、圆锥以及球都叫做旋转体，那我们来看一下旋转体的基本的考法。首先我们来看一下什么 是圆柱，很简单，它是以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周所形成的面所围成的旋转体就叫做圆柱。那我们来看一下圆柱的具体的特征啊。首先我们都知道圆柱的侧面展开一定是个 矩形，那么它上下面都是一个圆形，那如果我们知道圆柱的高是 h， 它的底面圆的半径是 r， 我 们 们就可以知道它的侧面积 s 特应该是等于二拍 r 乘以 h， 那 么它的表面积应该是侧面积，加上上下两个圆的面积可以得到应该是 s 特加上二拍 r 的 平方。好，那么接下来我们来看一下它的体积。体积 v 应该是等于 s， d 乘以 h， 写下来就是拍压的平方乘以 h。 好， 那么接下来我们来看一下什么是圆锥，注意圆锥它以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所形成的几个体， 我们就把它叫做圆锥。那么对于圆锥来说，我们要记住以下这几个特征啊。首先，圆锥的侧面展开一定是个扇形， 并且圆锥的这条边我们把它叫做母线。母线通常来说我们用 l 来表示，那么圆锥的高我们就知道应该是 h， 那 底面圆的半径我们用小 r 来表示，我们可以知道圆锥的侧面积 s 和应该是等于 i r l， 那 么它的表面积 s 表应该是等于侧面积加上它底面圆的面积，所以应该是 pi r l 加上 pi r 的 平方，那么体积。注意， v 是 等于三分之一乘以 s， d 再乘以 h， 那 么也就说我们可以写成是三分之一乘以 pi 乘以 r 的 平方再乘以 h， 这就是圆锥的体积。 那么我们来看一下一道圆锥的特别的考试手段，他说已知圆锥的母线长为四，圆锥的底面半径为一。一只蚂蚁从圆锥的底面 a 点出发， 绕圆锥侧面爬行一周回到 a， 那 么接下来他问了蚂蚁爬行的最短路程应该是多少，那么大家记住啊，虽然这是在空间当中，但是我们也要明白两点间什么时候最短，应该是连成直线一定是最短的。 所以如果我们想知道在什么时候它是最短的话，我们只需要把这个圆锥侧面展开就可以了。那圆锥的侧面展开，我们可以发现一定是个扇形， 所以它从 a 点出发，绕一圈回到 a 点，那么也就意味着我们只需要找到扇形的这条边长就可以了， a a 撇就是我们要找到的最短的距离，所以我们可以知道 a a 撇是多少呢？我们可以发现母线的长 一定是四。好，接下来它告诉了我们它的底面半径是一，所以我们可以发现它的这个扇形的弧长一定是等于这个圆锥的底面圆的周长。 那么扇形的弧长我们写下来可以等于多少？可以得到应该是 c， 它乘以 l， 应该是等于底面圆的周长等于二拍 r， 那 所以我们可以发现母线的长是四，等于二拍 乘以它的底面半径。而所以也就是说我可以得到 c 塔应该是等于二分之派，也就是说这个扇形它的这个角为直角二分之派，所以我们很明显就可以得到 a a 撇，它的长度应该是 四倍的根号二，学会了的话，大家来看一下这道题，打出你的答案。苦练十年，不如名师指点，每周我都会在抖音粉丝群分享独家的大招资料，需要的话大家可以进群领取。

现在给同学们更新的是高中数学人教 a 版必修第二册的内容，我们接着上一堂课来讲，咱们来看到探究三空间几合体的平面展开图。在讲这些立体之前呢，我们先来看到反思感悟这个地方， 这个地方呢，提到了由几何体绘制展开图的关键，以及反过来由展开图复原几何体的关键。首先呢，我们先来看到绘制展开图的关键。第一， 结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力，或者是亲自制作多面体模型。这个地方呀，发挥空间想象能力这东西呢，没法给同学们讲，因为每个同学的空间想象 能力是不一样的，如果空间想象能力较为薄弱的同学呢，可以自己亲自去动手制作一些多面体的模型，比如说三轮柱、四轮柱、三轮锥等等。 来看到第二个关键点，我们在解题的过程中，这个地方的解题指的就是绘制几何题的展开图。在这个过程中呢，我们可以给多面题的顶点标上字母， 先把多面体的底面画出来，然后呢依次的去画出各个侧面，便可得到其平面展开图。这个东西啊，说起来简单，但是真正的操作起来，咱们的 部分同学确实还是会有一定的难度。现在同学们来看到这幅图，这个是一个三轮柱，我们将这个三轮柱给它展开底面， abc a 一 b 一 c 一。那我们在展开的过程中，其实就是用一把剪刀，沿着他的这些棱，将这个几何体剪成一个平面图形。 当然这个地方强调一下，我们在剪开的过程中呢，这个三人柱的五个面必须要连接到一块，不要把它剪断开了。 那由于可能你剪的位置不一样，你这个三人柱的展开图也是不一样的，这也是我们这个地方要提到的。第二点，同一个几何体的平面展开图 可能是不一样的，也就是说一个多面体他可能有多个平面展开图，现在我们来看一下将它展开吧， 怎么去展呢？展开的方法不一样。同学们，我们在这个地方呢，我们先去将它的底面展开，我们现在来看到上底面，这个上底面同学们可以把它想象为一个瓶子的盖子，我们要想把这个瓶盖 打开的话呢，这个时候你至少要剪掉两边，那这个时候我们可以剪掉 a， e， b， e 以及 e， e， c， e， 只要把这两个地方剪了之后，我们的这个瓶盖它就可以翻起来了，对不对？好，翻起来之后它就变成了这个样子， 字母对应好，这个地方是 a， e， 这个地方是 c， e， 这个地方你把它翻起来， b， e 就翻到这个地方来了。 同理我们来看下底面，下底面你要把它打开的话呢，你就用一把剪刀剪掉任意两条边，我们不妨假设剪掉的就是 ab 以及 bc， 你把这两个地方一剪开之后呢，你就可以把这个平面 a、 b， c 相当于给它打开，给它扳平了，把这个平面扳来，和这个平面 a、 c， c 一 a 一在同一个平面，它是平的。好，那这个时候呢，我们就得到这样的一幅图， 这个点相当于是 a 点，这个点相当于是 c 点。这个时候呢，我们先把 a、 a、 e、 c， c， e 连接起来， 这个面我们刚刚讲了，把这两个地方一剪开之后呢，他就可以扳平，扳来，和这个面是在同一个平面内， 好大，自然就是长这个样子了。这个地方和这个地方，可能有的同学一眼看过去，说，这没啥变化呀，变化很大，这个地方，注意你这个平面 a、 b c 和这个平面 a c、 c e， a e 是不同的平面，而这幅图的话，你已经 把他们俩搬在同一个平面内了，这部分相当于是立体图形，而这一部分相当于是平面图形。 现在我们回到这幅图里边，我们刚刚已经剪掉了 a e、 b e， 还有 b e， c e 以及 b a， b c 这些边都被我们剪开了，对吧？ 相当于啊，这个瓶子，他的瓶盖以及瓶底都被我们展开了，现在需要去展开他的侧面，也就是瓶子的瓶身，我们要去展开他的侧面，只需要用一把剪刀把 b b 一剪开，剪开之后就可以展开了呀，好，同学们来看到这幅图 剪开之后就变成了这个样子， 这个地方它就是 b b e。 同理，这个地方他其实也是 bbe， 因为你把这一部分展开之后，往两边一拉，这两条边其实都是 bbe 展开的。 那么这边的话呢，我把它记为 b 一撇， b 一一撇，这边呢，我把它记为 b 两撇， b 一两撇。 感兴趣的同学呢？下去呀，自己准备一个三轮柱，用一把剪刀去尝试着剪一剪，可能你展开图呢，和老师的不太一样。好了，接着我们来看到这个地方第二大点，由展开图复原几何题的关键来看到第一个， 若是给出多面体的平面展开图，先判断这个字，打错了，改成先字， 先判断是由哪一个多面题展开的，则可把上述过程力推。 我们依然来看到这个地方，从左边到右边是用剪刀剪开了，那反过来从右边到左边就是用咱们的针把它缝起来了。那我们事先根据展开图，先来判断一下他是由哪个几何体展开的。 比如说这个地方，同学们，我们来观察观察，最明显的特点就是在于这两个地方，这两个地方是相对的，对不对？他是对折的，而且他的形状是完全一样的，截止到目前为止，我们学过能住、能追、能抬， 这个时候呢，这两个面相对的，而且是完全一样的，也就是说他们两 是全等的，那这个时候呢，就大有概率是由轮柱展开的。又由于这两个面都是三角形，所以我们就大胆的去猜测他是由三轮柱展开而得的，又恰好观察到 有三个侧面，对不对？所以呀，把他们一围起来，就得到了这个三人柱。 好了，同学们，现在呢，我们来看到咱们的例题来看，第三杠一括号一如图是三个空间图形的平面展开图，请问各是什么空间图形？ 我们来观察一下咱们的第一个，第一个呢，有一个很明显的特征，就是这两个五边形是相对的，而且是全等的，对吧？好，那这个时候大有概率是能住了。我们 再来看这个地方呢，又有五个平行四边形，那这个时候肯定就是人柱了呀，五人柱 上下两个底面是全等的五边形，侧面都是平行四边形。接着我们来看到第二个，第二个呢有一个明显的特征，就是说这个地方有一个单独多出来的面，对吧？而且这个面呢，它是一个五边形。 然后我们再来看这几个面，这几个面呀，都是什么呢？三角形，而且这些三角形有一个 公共的顶点在这个地方，那很显然他肯定是由五人锥展开的。好，我们接着来看最后一个来观察这两个地方， 有一个小的三角形，有一个大的三角形，就体现了相似的关系，对吧？而且他们俩是相对折的，那大有概率是轮台了，因为轮台上下底面是平行而且相似的多边形。我们再来观察一下他的这个侧面， 这个地方，这个地方，这个地方三个梯形，所以他肯定是由三轮台展开的。 接着往下我们来看到括号二一个结合体的表面展开图，如图， 该几何题中与数字和里字相对的分别是？我们先不要去解决这个题目的问题，先来观察这个展开图，他是由哪个 和图形展开的。通过观察我们会发现这一周围都是梯形，而中间的这一个呢，相当于是一个正方形，这个地方又是一个小的正方形， 那这肯定是轮胎呀，对吧？上下两底面平行且相似，周围都是梯形，那么也就是侧面都是梯形， 那这个时候助字必定和前字相对，里字必定和成字相对，所以答案为 a 选项。 接着往下我们来看到立三杠二，括号一这个题目呢，是一个多选题，某人用如图所示的纸片沿折痕折后粘成一个四轮锥形的走马 灯。好注意，也就是说这个平面图形呢，我们可以将它复原为一个四人锥。接着读题，正方形做灯底，那么这个正方形他就是这个四人锥的底面了。前有一个三角形，面上写上了连字， 当灯旋转时，正好看到新年快乐的字样，则在一、二、三处应该写上哪几个字？ 既然他复原之后是一个四人锥，我就把这个四人锥给他画出来了。好注意，看这个脸，他应该对应在最里边的这个面，对吧？ 这个左边的这个面对应的序号为一，然后呢，右边的这个面对应的序号肯定就是二， 正对着咱们的这个面对应的序号就是三。我们要看到新年快乐的字样，那咱们的这个字的顺序呢？有可能为 逆时针，也有可能是顺时针。如果是逆时针看到新年快乐，那么心必定在二这个地方，连在这，快必定在一这个地方，乐必定在三这个地方， 这个时候你逆时针方向看就是新年快乐。这种情况下，一填的就是快， 二甜的就是心，三甜的就是乐，所以必选项要选。还有一种情况就是我们顺时针看他是新年快乐，这个时候，年在这，那么心必定就在一这个地方， 新年快就必定在二这个地方，乐必定在三这个地方。所以这个时候一填的就是新，二填的就是快，三填的就是乐。答案为 c 选项，因此我们这个题最后的答案为 bc。 现在我们来看到括号二。如图，在长方体 a、 b、 c、 d、 a、 e、 b、 e、 c、 e、 d 中， a、 b 等于 a， d 等于一。注意， a、 b 等于 a， d 等于一，他又是一个长方体，那么意味着什么？意味着底面是正方形， 上下底面都是正方形。 a a 一等于二倍根号二，高度是二倍根号二 点一为 a b 上的动点，则 d 一一加 c 一的最小值为多少？ 这个题目我一把题目读完呀，我就感觉非常熟悉，所以我又倒回去看了我们之前所讲的题目。同学们，翻开咱们的讲义一百六十一页预习字册第十题，只要同学们把这个题目做懂了， 再来做这个题目的话，思路就会更加的清楚一点。为什么说咱们的这个题目相对于 预习自测第十题来说要难一点呢？是由于啊，同学们，我们来看这幅图，咱们的这个第一，他在这个地方一点，在这个地方这条线也就是 是 d e e， 它并没有在这个平面 a b b e a e 上，如果这条线在这个平面上的话，我们就可以将这个面与这个面展开成一个平面，然后根据 预习自测第十题的做题方法来求这个最小值就可以了。但是呢，在这个题目中呀，第一一，这条线他并没有在这个平面内， 这个呢，正是我们的这个题目的一个难点。这个时候我们再来好好的观察一下这幅图，这个 c 一，他始终是在这个下底面的，对吧？一，他在 a b 上动， 这个时候呢，我们将 d， e， a 还有 b， c， e 连接起来， 这个时候呢，同学们我再把这个 ab 给他描成蓝色以及 dece 描成蓝色，我们就可以看到这个地方他就有一个四边形 abcede 这个点。一，它在 a b 上运动，不管它动到哪里，它始终是在这个四边形 a、 b、 c 一 d 一上的。 那这个时候我们就可以借助预习自测第十题的做题方法，我们将这个下底面 abcd 与这个蓝色的面展开成一个平面。但是这个时候同学们，我们来看一看咱们的这个蓝色的这个四边形，它是一个什么样的四边形呢？ 由于它是一个长方体，那么 c、 e、 d、 e 和 b、 a 在外 位置上来说是平行的，在长度上来说肯定是相等的，所以首先他肯定是一个平行四边形。又由于这个呀，他是一个长方体，既然他是一个长方体的话，那么咱们的这条棱 a、 b 和左侧的这个面必定是垂直的关系。 这个时候呢，我们就会得到 ab， 他必定和 ade 这条线是垂直的，也就是说这个角他是一个直角。这个地方如果理解不了的同学，那么我们这个时候来看，找到这条线 d、 d、 e， 然后呢，我再把这个 d、 b 给它连接起来，很显然这个 d、 d、 e 和 d、 b 必定是垂直的关系，这个地 方肯定是直角。同理，我们就可以得到这个角，他是一个直角，有一个角是直角的平行四边形是矩形，因此这个蓝色的四边形他就是矩形了。此时我们把这个蓝色的四边形绕着 a、 b 给他折过来， 则来和 a、 b、 c、 d 在同一个平面。这个时候呢，我先把这个 a、 b、 c、 d 给它画出来吧，它是一个正方形，对吧？画成平面图形的时候呢，它是一个正方形， 这个地方 d 点，那这个地方就是 c 点，这个地方是 a， 这个地方是 b， 我们再把这个蓝色的四边形翻下来的时候呢，它和这个 a、 b 这个地方是接着的， 然后这个地方就是 d 一，这个地方就是 c 一，此时呢，这个点一，它在 a、 b 上运动，当它动到什么时候， d 一一加上 c 一的长度会最小呢？和咱们的第四题一样呢，这个时候呀，就是当这三点贡献的时候就最小了。好，所以这个时候呢，我们直接连接 c、 d 一，当点一动到这个地方的时候，三点贡献，那这个时候呢？ d 一一加上 c 一就取得最小值，这个最小值我们就可以利用勾股定点来算了。 这个长方体的两个底面呀，都是正方形。 d、 e、 c、 e 的长度其实和 a、 b 的长度是一样的，等于 于一。 bc 的长度和 ad 的长度是一样的，也等于一。现在我们来看 bc 一的长度， bc 一也就是这节的长度，此时我们来看，这里是一，高度为二倍，根号二。利用勾股定力，我们就会得到 b、 c 一的长度，他就等于根号下一加上二倍根号二的平方，也就是八，从而就等于根号九，也就是三，因此 b、 c 一的长度为三。所以在这个大的 直角三角形里头，我们现在要去求的是 d、 e、 c 的长度，根据勾股定理，它就等于 这条直角边的平方，一的平方加上这条直角边的平方，也就是四的平方，从而就等于根号十七。所以我们这个题最后的答案为 d 选项。好了，今天我们就讲到这个地方，拜拜。

大家好，今天呢，咱们继续来讲高一寒假同步公益课的第五讲，内容就跟立体几何有关的平行定律。当然在讲平行定律还有垂直定律之前，我们必须先了解立体几何集合的语言。 首先立体几何里头有点线面吧，比如说点 a 在 直线 l 上，咱们大概画一个图，这就是点 a 在 直线 l 上的意思。那如果说点 b 不 在直线 l 上，又怎么说呢？有专门的符号语言， 点 a 在 直线 l 上，咱们就借助这样的属于符号，那如果不在，哎，如果点 b 不 在直线 l 上的话，咱们就借助不属于的符号就可以了，所以它是集合的语言啊。 好点的话是作为立体几何里头点线面最基础的元素的，所以用属于符号。那么继续来看第二个，还有什么 点在平面内一样的吗？点动成线，线动成面，那么点也是最基础的元素。那此时咱们画一个图吧， 比如还是看最下边这个图，点 a， 它呢是在平面 alpha 里头的，但是点 b 不 在 alpha 里头，这个时候借助什么？还是这样的属于符号？点 a 在 平面 alpha 里头，点 b 不 在平面 alpha 里头，这个还是很轻松的。那么继续来看第三点，点完了之后，继续来看线， 直线 l， 如果在平面内，我先画一个图，平面的话，直观图通常都是用四十五度的角的这样一个平行四边形做的啊，当然别的角度也行，这个不是特别严格来，比如说直线 l， 直线 l 在平面 r f 内吧，但是你要注意，这个 l 是 点的集合， r f 也可以认为是点无数个点组成的集合，那所以说点，所以说这个直线 l 在 平面 r f 内，咱们就不要用属于符号了，因为都是点的集合嘛。集合之间咱们应该用什么？用类似的子集符号 好写上它。那么大家现在可能就有一个问题了，老师啊，我们集合跟集合之间，呃，高一学习的时候，高一上学期学习的时候，明明是用的是什么？比如说 m 集合， 是 n 集合的什么这样一个子集，那比如说还有什么集合呢啊？ q 集合，它是 n 集合的什么？哦， 榛子极，这两个符号还是有区别的。榛子极就 m， n 可以 相等，但就紫极符号吧。 m， n 可以 相等，但是榛子极符号的话，这个 q 比 n 的 范围始终是要小一些的。 那这个时候为什么直线 l 和谁啊？为什么直线 l 作为点的集合，平面 r 也作为点的集合，它不区分这样一个榛子极或者说紫极符号呢？原因很简单，原因很简单，知道为什么吗？好说，好说 什么呀？因为线面之间的关系永远只有真子极啊，对吧？线的范围始终比面的范围要小，他不可能。既然不用做区分的话，咱们就不需要再写什么真子极或者子极符号作为区分了，直接写躺着的 u 就 行，懂了吧？好，这个就读作什么 l 在 这样 r 分 内， 那当然了，如果直线 l 不 在 f 内的话，分两种情况吧。哪两种情况？看第四种啊。好，这个还是平面 f 有 可能是平行的，也有可能是怎么样的呢？我再画一个不同的颜色吧。 比如说 m 这条直线，它跟点 a 呢？跟这样一个 m， 这条直线跟 f 呢？交于点 a 吧，那这种情况呢？咱们 m 也是不在 f 里头的， l 也是不在 f 里头的， 所以一定要注意，只要直线上存在不在平面 f 里头的点，也就是平行或者说相交的关系，那我们都记作这样一个这样一个符号，懂了吧？这个怎么读呀？画圈部分读作直线 l 不 在 f 平面内。 那继续来看第五种情况，第五种情况的话，就是你看直线 l 和 m 是 有可能相交的，如果相交的话，必然会有交点啊， 那比如说这是 m， 这是直线 l， 怎么记？咱们用交集符号不就可以了吗？ m 是 点的集合， l 这条直线也是点的集合，那 m 和 l 取交集符号，它交集不就是点 a 的 意思吗？懂我的意思了吧？通常情况下，咱们是不写这样一个括号的啊， 通常情况下就直接写点 a， 写后边这样一种情况就行了，不写这样一个集合的符号，懂了吧？好，这个注意一下就行。那最后呢，如果两个平面，两个平面相交的话，咱也可以把这个示意图给画出来，比如这个平面是 r f， 然后呢，这个竖着的平面呢？是 beta， 此时 alpha 和 beta 它是有一条交线的，什么交线？就 a 这条交线，那怎么记 alpha 和 beta， 它有一条交线，就是直线 a 就 行了，清楚了吧？好，这就是咱们借助集合的语言 来表示点线面之间的这样一个重复的关系，所以要清楚。那么接下来我们就要先介绍一下三大公里了，关于这样的立体几何，三大公里的话，在高考里头直接考察的非常少，但是它作为定力的基础。公里啊，公里，什么叫公里？ 哦？咱们欧式几何你得先了解这三大功底，功底就是必然成立，才有了这样一个理论，对吧？才有了这样立体几何的内容，那么功底有了之后，才有了各种各样的，比如说平行定力啊，垂直定力等等，所以功底是最基础的，你必须要掌握的啊。那好，第一个， 如果什么？如果一条直线上的两个点对两个点就能确定一条直线吗？所以，哎，这此时这条直线上所有的点都在。其实你可以用另外一种方法看了啊，如果用符号表示的话，咱们看图，点 a 在 直线 l 上，点 b 也在直线 l 上， 那么点 a 在 平面 f 内，点 b 也在平面 f 内，那此时指整个直线 l 都在平面 f 内了，懂我的意思吧？所以一定要注意啊，点和线，点和面，咱们用属于或者不属于的符号， 但如果是直线和平面，一定要用这样的类似的子极。符号清楚了，图的话也画的非常清楚，就不再多说了。那么接下来我想说的是， 如果一条直线跟一个平面有公共点的话，那只有两种情况，一种情况就是公共点只有一个，要么就是公共点有无数个呗。那我们图中画的这种情况就是直线跟 f 有 无数个公共点，因为直线就在 f 内。那另外一种情况，对啊，你画你画一个情况嘛？ 对，这部分用虚线来表示啊，比如说直线 m， 直线 m 跟 f 这个平面相交，比如说交于什么点？哎，交于点 c， 清楚了吧？那这个就可以了呀。那这种情况就直线 m 跟 f 这个平面只有一个交点，好来看公里二， 公里二的话很重要，就是如何确定平面。怎么确定平面呢？来不贡献的三个点，确定一个平面，在空间中不贡献的三个点，确定一个平面，那么两个点行吗？ 两个点肯定不行，原因很简单，就跟你翻书的时候一样，书籍，书籍上知道吧？就书 这个叫书籍，这个知道什么叫书籍吗？这个叫书籍啊，你书籍上，你翻开书之后，比如说右边是这一面， 你翻开书是这一面，懂了吧？如果只有 ab 两个点的话，咱们可以确定无数个平面，这样才导致你翻书翻开以后能翻开一定的角度，懂了吧？所以两个点是不能确定一个平面的，那得几个 a 三个点才能不贡献的三个点才能确定一个平面，那么图像说的很清楚了。 然后符号呢？符号好说呀， abc 三点不共线，所以 abc 可以 确定一个平面，咱们把这个平面记为 f 就 可以了，那么咱们可以根据这样一个公里二呢？其实还有很多推论，也可以当成定力来用。我们来说一下，首先要说的就是 你说直线是几个点，确定一条直线，那肯定啊，不管是平面里头还是空间里头都是两个点，两个点可以确定一条直线，但是平面呢？平面得三个点，所以平面比直线不就多了一个维度吗？对的，那么接下来就是推论了， 这些推论啊，都可以，不管是推论一，推论二、推论三，都可以当成定力直接来用，或者当成这个公理直接来用，你不用说理由的。 那为什么叫推论？首先第一条经过一条直线，都是空间里头经过一条直线和直线 y 的 一点，可以确定一个平面，比如说这个平面是 f， 哎，为什么直线 l 和点 a 可以 确定呢？ 其实跟公里公里二完全一样的吗？ abc， 这不还是不共线的三个点吗？懂了吗？不共线的三个点 abc 确定了平面，所以它本质上还是不共线，三个点确定平面就是公里二。所以第二个推论，你当成公里来用的也可以。怎么回事啊？两条相交直线确定一个平面， 比如说这两条相交直线，一个 m， 一个 n， 哎，那他跟公里二究竟有什么关系？好说， 一个点 a， 一个点 b， 一个点 c a， 不 共线的 abc， 这三个点对不对？不共线的三个点就确定了平面 f 了，所以它其实本质上还是公里二。所以第三个的话，你自己我觉得都会推了什么？平行，两条平行线，空间中两条平行线，比如说 l 一 和 l 二 怎么样？此时是平行的，所以我们说 l 一 和 l 二就可以确定平面 f 可以 唯一的把这个平面确定下来，本质上还是跟谁公里二一样的，你找一个点，再到 l 二上找两个点，这不还是 abc 就是 不贡献的三个点确定一个平面吗？咱们把这个平面记为 r 就 行了，所以记住了公里二跟这几个推论都得知道。那么好，公里三，公里三用的最多的地方是什么呢？用来证明 贡献的时候，这个公里三是用的非常多的。什么贡献啊？就是好几个点证明贡献的时候， 那为什么？一会咱们做一道题，你自然就清楚了哈。咱们先来看如果不共线的两个平面，呃，如果不重合的两个平面啊，有一个公共点，那么这个公共点啊， 怎么样？那么他们就这两个平面，尤其只有一条过这个点的公共直线，那不就是交线吗？这个公共直线叫什么？嗨呀，叫 alpha beta 的 交线，也就是说 alpha beta 有一个公共点了，那公共点必须在交线上，懂我的意思了吗？哦，原来是这么回事啊，所以下边其实也说的很清楚，如果两个平面，你看 r f 和 beta 有 写只有一条公共的直线，那不就是相交的意思吗？相交于直线 a， 然后呢？哎，那怎么说呀？则这两个平面相交，这就是相交的关系， a 就 叫做 r f 和 beta 的 这条交线，懂了吗？ 那么符号语言就图中说的很清楚了，那符号语言怎么来说这个公里三呢？这样来说， alpha 就是 a， 记在 alpha 内，你可以分开来写， 点 a 呢，也在 beta 这个平面内，然后你改，可以改一种方式吗？ 好，则什么？则点 a 一定在这个交线上吗？你完全可以这么来记，用来证明共线的是不是？咱一会来做题你就知道了。 来吧，来说一说共面啊。共面的话好说，你比如说几个点？三个点啊，四个点啊，五个点啊，六个点啊，他只要在同一平面内，我们就说共面。这个太好了，我们来做第一个题，利啊，立方体，正方体，一个图， 它让你证明什么呢？证明图中的 c 一 点， o 点和 m 点， m 点不用多说了，就是面对角线， c 一 点是顶点，然后 o 点的话，它是这样连接体，对角线 a e c 连啊，之后和谁啊？和这个平面交于谁的？交于这个点 o， 它是这么回事，所以我觉得这个题应当是非常简单的，但是我要给你画一个东西， 好了，没问题了吧？这个是一个平面吗？为什么是一个平面？你，你 a a 一 和 c c 一 是平行的，当然是一个平面了。那我们把这个红色的平面，呃，就记。为什么我为了方便讲解啊， 我把这个红色的平面 a a 一 c 一 c， 呃，我就记为平面平面 r 吧，可以吧？然后为了方便的话，我把另外一个要讨论的平面呢？我画一下。这个就应该用虚线了啊，挡住的线，你用虚线来画 好，那这样一个蓝色的面呢？也就是说平面 c 一 d 一 b 啊， d b c 一 吧，他写的 d b c， 那 咱就写 d b c d b c 一， 这个用什么呢？用 b t 来表示吧。 那现在我觉得这个题就非常简单了，那你看嘛，根据题目中的意思看好了。 c e o m 它是不是在平面 f 内啊？是啊，那根据题目中的意思， c e o m， 它是不是也在谁，也在贝特这个平面内呀？既然它既在贝特这个平面内，又在 f 这个平面内，那不就是在 f 和贝特的交线上吗？懂了吧，人家的交线是谁你，你写不写都行啊，你直接写就行了啊。 所以 c e o m 在 什么？在平面 r 和平面杯的交线上， 那两个平面相交的话，它只有一条交线的呀，是唯一的。所以咱们这个时候直接说 c e o m 三点共线就可以了，很简单，一道题，那么第二道题也是立方体的，这个就有一定难度了， 怎么回事呢？就立方点，就 m 点啊，是棱的中点， k、 l、 e 啊， f 啊，反正他呢？其实我想说的是啊，你画出来以后，这东西很特殊，他是个什么？这玩意是个正六边形， 就为什么这个红色部分他是一个正六边形呢？这个，这个跟他这节课内容没有关系啊，你可以自己考虑一下，咱们正一下这六个点，就是 h、 g、 f、 e、 l、 k 这六个点为什么是共面的？就在同一个平面内。 嗯，怎么正呢？来吧来吧，我来说一下啊，我们先先连接图中的 k、 f 于谁啊？于这个 he 吧。嗯，对，都连完了。嗯，那么连完之后的话，我想再连接一个什么呢？我再连接一下这个 b、 d 吧，因为我想根据平行的传递性来做一下呢。那么接下来写过程了啊，首先 e 点和 l 点都是对应的终点，那，那既然说是终点的话，咱们根据中位线的性质，所以 el 是 谁的中位线啊？它实际上是 b、 d 的 中位线。 那好，那继续来啊，又因为在什么里面？又因为在这样一个 矩形 b d， d 一 b e 中啊，在这样一个矩形中，然后这个 k f 和谁？ k f 和 b d 也是平行的关系。哎，也就是说这个图形我我写写的清楚一些吧。 b d， 它 对，它实际上是一个矩形的啊，根据正方体的性质很容易正的。那么接下来根据传递性不就可以得出来 el 和谁？ el 和 kf 是 平行的两条平行直线，是不是可以确定一个平面啊？所以咱们就记这个平面 e、 f、 k、 l。 对 啊，它是继承什么呢？继承一个平面 f 吧，为了方便的话，我给你画一下这个图红色部分啊，就是咱们的平面 f， 这个都很好说啊， 但是图中还有，我再画一个蓝色部分吧，请大家看好了， 能看出来吧？哦，这个地方也就是 k、 l、 e、 h， 它是一个蓝色的平面，它这个它也是同一平面，这个怎么去写呢？你只需要写同理就行了，因为道理确实是一样的，你找中位线，然后根据传递性嘛，同理咱们可以说明这个 k、 l、 e、 h， 然后这四个点呢， 它是确定了一个平面的，然后这个平面也就是图中这个蓝色的平面，咱们记为平面 beta， 这个清楚吧。然后接下来请大家看一下啊，这个平面 alpha 于 beta 里头都有什么？ 都有三个不共，就是三个不共线的点呀。三个点？哪三个点呀？你应该写清楚啊，三个不共线的点 都有 k 点、 l 点和 c 点，哎，三个不共性的点人家唯一确定的。所以我想说的是， alpha 与 beta 这两个面是什么面？是同一个平面，它俩是重合的状态， 理解了吧，既然重合的话，我们可以得出来的结论就是，哎，它的 h 点啊。哦，就红图中这个红色的顶点和蓝色平面的顶点都是都是在同一平面内的 h、 k、 l、 e、 f、 o， 原来它是共面点，咱们把这个面写成平面 f 不 就行了吗？ 那接下来还是同理，有人就要问了，老师，点 g 怎么说？点 g 好 说你大不了再连接一下啊，这个 g l 呗。所以同理咱们可以说明什么呢？点 g 它实际上也是在平面 f 里头的，所以咱们最终就可以说六个点 共面了，都在哪个面里头？都在平面 r 里头呗，就结束了，那么过程你自己来说。那最后咱们总结一下啊，其实你证明共面的话，有以下这两种方法，主要是哪两种呢？首先第一种就是先确定一个平面， 然后证明其他的所有的元素，比如说点啊，线啊都在平面上。然后这道题用的是间接法，先证明这些元素分别在 f 上，又在贝特上，然后再证明 f 和贝特怎么样的，这两个平面是重合的，然后就可以说明这六个点共面了，用的是第二种间接法。 那么接下来咱们就要正式讲平行的定义了，但是讲平行的你之前，你得先知道什么是平行，比如说什么平行线怎么定义的？在空间里头 也是平面内，同一平面内不相交的两条直线，他就是平行线，这是平行线的定义。 那平行公里的话，这个是什么？过直线外一点，有且只有一条直线，跟这个直线平行，这是一定的，这是一定的啊，有且只有一条直线啊，跟他平行没问题。那么还有什么？还有空间中平行线的传递性，也就说 a 平行于 b， b 平行于 c， 不 管在平面几何还是空间几何里头，我们都可以推出来 a 是 平行于直线， c 的 好，这是传递性。那么最后还有一个等角定律，这个在大体里头是可以直接用的啊，我告诉你是可以直接用的。那什么叫等角定律呢？空间中啊， 如果有两个角，它的两组边分别是平行的，那么这两个角互补或相等。但如果你再加一个性质条件， 他一个角的两边和另一另外一个角的两边除了分别平行之外，他这个方向就是射线的方向，他还是相同，那这个时候两个角就不可能互补，就只能相等了。那画个图，大概就是图中这个样子，咱们编成一道题来说一说，就已知啊， 图中 a 撇 c 撇跟 a c 平行了啊。然后还有已知图中这个 a b 撇跟 a b 也平行了。现在问你，哎，图中这个角一和角二，这这俩角平什么？它就是相等的啊。 我觉得有一点，如果在平面里头，应该不用杨老师正了吧，因为在平面里头很好正嘛，你只需要用 r 和这个角。对啊，同位角啊，然后再减去贝特这个角， 所以角一就等于角二了。所以平面几何里头肯定成立，咱们主要是研究空间几何里头。注意啊，这是一个空间几何体，你至少应该把我做完辅助线以后，这这玩意看成什么东西？看成一个三棱柱吧，斜三棱柱对不对？嗯，具体 怎么去正呢？在空间几何里头，我来说一下啊，咱们分别 什么分别？在射线上取 a 撇 e 撇等于 a e， 然后顺便呢，在射线上咱们也取这个 a 撇 d 撇等于 a d。 好 了，也就说图中，哎，这两条线段一样长， 图中这两条线段一样长。我觉得你应该知道了，你只要证明上下这两个红色的三角形，一个是 a e d， 一个是 a 撇 e 撇 d 撇全等，就可以证明角一为啥是等于角二了吧。对，咱们证明三角形全等，那问题就在于， 这玩意他他他凭什么这个 e 撇 d 撇就等于 e d 啊？来吧，好说， 首先根据题目中的要求，我 a 撇一撇不仅是平行的，现在我还我还想等了，是不是出现了一个什么平行四边形？对，这个平行四边形，咱们就写成 a 撇 a， e， e 撇。 那平四边形最大的特征是什么？哎，他的对边是平行的，所以 a a 撇平行于 e、 e 撇。那同理同理我就不说了啊，也是同理，咱们还可以说明什么 a、 a 撇是怎么样的平行于 d、 d 撇的。那么根据平行线的传递性，所以图中的 e 一撇怎么样？其实你除了平行之外，是不是并且相等啊？平行不仅具有传递性，等号更具有传递性了，所以我们直接写图中的一一撇，平行且等于 d、 d 撇。天呐，出现了一个平行四边形， e， e 撇 d 撇 d。 所以 请你告诉我，图中的 e 撇、 d 撇是不是等于一底？是呀，因为平行四边形对边就相等，所以根据 三角形边边边的判定，定离三角形 a 片、 e 片、 d 片是不是全等于三角形 a、 e、 d？ 是 啊，根据的是边边边三组边分别相等，所以是不是剩下的角 b、 a、 c 就 等于角 b 片， a 片、 e 片了？对，用的全等，所以这个题其实也不难。 那么接下来，哎，什么空间中两条直线的位置关系？两条直线位置关系的话，除了刚刚说的平行还有什么？ 还有平行其实是一种共面的关系。为什么呢？因为咱已经说过了呀，公里二的其中一个推论，如果 l 一 平行于什么？平行于 l 二，那此时 l 一 l 二肯定可以把这个平面完全给确定下来，两平行直线确定一个平面，所以就是共面的意思。那其实还有 有可能人家是相交啊，比如说 l 一 l 二怎么地相交于点 b？ 那 好，此时 l 一 l 二两条相交直线也是公理二的推论，也是可以确定唯一的平面 r 的， 这个都叫做公面，是因为它们可以确定唯一的平面。 那意面直线怎么说呢？意面直线，其实我更加推崇的是老教材上定义。以前老教材上是这么来定义的啊，比如说直线 a 和直线 b 啊，为什么是这样一个？ 比如说这个就是直线 a 吧，这个是直线 f， 那 直线 b 的 话，这样来，画好 这个的话，写成点点 m 吧，我就这样来吧。那这样来，那以前的老教材上怎么去定义这样的意面直线呢？意面直线就是既不平行又不相交的直线，就叫意面直线，这是用排除法来定义的。我觉得这定义方法不太好。真正的定义是这样的啊，你不可能找到一个平面， 让 a 和 b 都在同一平面内，哎，这个就叫异面直线。异面就是 a 和 b 永远不可能放到同一个平面内。那老款教材它的定义是这样的， 直线 b 和 r f 交与点 m 是 相交的关系，然后 a 呢，它是在这个平面 r f 里头的， 此时你还得加上一句什么？如果说此时的点 m 他 不在，什么不在直线 a 上，则我们就可以下结论了， a 与 b 这两条直线是意面直线。意面其实也是一种位置关系，你写意面也行，写意面直线也行， 清楚了吧。那好，原来是这么回事，那如何去定义一面直线角？好说，两条一面直线的夹角，不就一面直线角吗？可是一面直线没有相交的位置，怎么定义平移嘛？你比如说非常能经常借助的， 你把它平移到 a 一 b 一 的位置，其中 b 一 和 d 重合了，经常利用的是平行四边形， 对不对？平移过来，此时平移之后的相交了之后，他这个交线，他这个夹角呢？比如说角一，他就是一面直线角或者一面直线角的补角了。 嗯，因为相交之后呢，两条直线相交，它会出现四个角吗？角一角二是锐角，角三角四是钝角，那肯定角一角二才是一面直线角。我们规定它的度数，它的范围是在零到九十度之间，九十度是包含的，那九十度实际上就是垂直的状态啊，没问题。那为什么不是零度？那大家就要想了， 如果是零，如果两条直线他的夹角是零，那两条直线不就是平行，那不又变成共面直线了吗？所以一面直线你肯定是比零大，但是比九十度是小的，可以取得到九十度。注意这个细节就可以。 那么咱们看看，比如说举个例子，在立方体里头， b、 c、 e 这条棱 和 cd 这条棱，它就是永远不可能放到同一平面里头的。那这两条这个 b、 c 一 和 cd 就是 两条异面直线了，它们俩的位置关系就是异面。行了，现在来说一说直线和平面的位置关系。 首先第一种位置关系好说啦，直线就在平面 r 里头。第二种位置关系，直线 和平面 f 交于点 a。 第三种呢，咱们通常画的时候画线和面平行的时候，咱们画平，这个平面当然好画啦，就是平行四边形嘛， 那直线的话，画的跟它其中一条边平行就可以啊。那此时就是 l 平行于平面 f 了，就结束了。这个是直线于平面的这三种位置关系吧，要牢记记住这个图就可以记住这个写法。那么来看第四点， 判定定律。定律当然很重要了，如何判定直线跟平面它是互相平行的呀？文字内容是这样说的，不在同一平面内的一条直线 和平面内的一条直线平行。比如说 l 和 m， 怎么说呢？ l 它不在 r 分 内， m 它是在 f 内的。如果平面外的 l 和平面内的 m 这条直线是平行的，那么我们就可以推出来谁此时平面外的 l 就 平行于 f 了。这个就是 线面平行的这样一个判定，那里它是从低维度线线平行推到高维度线面平行的图像圆，这个画的也很好，你可以把图画上。 那么现在我们就来做题了啊，这个题挺有意思哈，但是他有些线画的太细了啊，这个我给你描粗一点，这个红色部分都是虚线哈。 首先给了你这样一个四面体吧， a、 b、 c、 d。 在 这样一个四面体里头， f 点是中点点这种点呢？中点的话，你肯定先能想到的是谁，先能想到的是中规线，这个肯定能想到啊。 嗯，那么他问什么？两个吧。第一个，如何证明 bc 平行于这个平面？那太简单了， bc 在 平面外吧， 你这样写吗？因为点 g 和点 f 分 别是中点，那根据中位线定律，这 g、 f 不 就平行于 bc 吗？但是你要写全 g、 f， 它是在平面里头的，但是呢，这个 bc 显然是不在平面 e f g 里头的，根据先面平行的判定定律，平面外的 bc 不 就平行于整个平面 e f g 了吗？这就结束了呀，这就第一问，所以第一问的话还是非常非常容易的，咱们现在来看第二问， am 啊，看好了， 他连了一下 amm 点也是终点啊， m 点也是终点。然后他现在怎么说呢？他说，请你说明一下， am 跟刚才 e f g 这个平面为什么是线面平行的？怎么去正？那其实好说，很好说的嘛，你只需要来一条辅助线 连接 m d 可以 吧？比如说跟 g f 交于点 n。 对 啊，所以第二个咱们连接 m d， 然后呢， m d 跟 g f 交于点 n， 你 可以这么写的。那么交完之后的话，根据第一问， 这个 g f 不 仅平行于谁，平行于 bc， 而且这个 g f， 哎，剩下应该不用多说了吧。其实 g f 还是终点吗？那其实就是根据什么呢？根据平行线分析呢？成比例，所以说咱们也可以说明什么，也可以说明点 n 为谁的终点，为 dm 的 终点。 不过现在你就需要看另外一个三角形了，这你要看清楚啊，在空间里头 amd 这样一个三角形。行了啊，在 amd 这个三角形中，咱们顺便连接一下谁，连接一下 这个 e n 吧。好，因为点 e 是 不是也是中点，点 n 是 不是也是中点？ 所以此时 e n 就是 中位线啊，它是谁的中位线？是 am 的 中位线。后边不用说了吧，因为 am 它不在这个平面里头，你自己写清楚。但是呢，这个 e n 它是在这个平面里头的，所以平面外的 am 就 平行于整个平面，这不就是线面平行的判定定律吗？好，写完了，那继续来看性质定律，线面平行的性质定律就是已知线面平行，咱们咱们能够推出什么来？好说？ 已知 l 和 r 和这个平面是互相平行的，那么文字型内容这样说，如果一条直线和一个平面平行，这是前提，那么经过这个直线的平面和这个平面相交好，也就是说贝特是经过 l 的， l 是 在贝特里头的， 此时 r 和贝特有一条交线 m， 所以 啊，线面平行，最后推出来的是线线平行，平均，谁平均交线？ 那怎么去写呢？哎，很好写啊，因为谁？因为 l 在 贝特里，这就是经过贝特这个平面，经过 l 的 意思， l 还平行于 r， 并且 r 跟贝特还交于直线 m， 所以 就可以说了，平行于线面平行 l 就 平行于这个交线 m 就 结束了。那么现在来看，这个立五啊，立五的话挺有意思的， 他说，首先这个 a 和 b 呢？人家是谁？是意面直线，然后我们 连接 a， c 跟平面 f 呢？去什么跟平面 f， 咱们是交于 m 点的，然后连接 b， d 交于点 n。 那么另外你要注意， a 和 b 虽然都是一面直线，但是 a 和 b 跟平面 r 和都是什么状态？都是平行的状态，也就说 a 是 平行于平面的， b 这条直线呢，也是平行于平面的。哦，原来是这么回事，那么接下来怎么办呢？好办， 你只需要连接一下就行了。连接一下谁啊？这个辅助线，说实话啊，有很多还是很难想到的。咱们连接， 我直接写了啊，连接 ad， 然后 ad 跟平面 r 交于点 q， 分 别连接一下 q、 m 和 q n 就 够了。 那么连完之后的话，我觉得咱们先看第一个三角形好不好，也就是 a、 c、 d 这样一个三角形，这个可以吧，根据谁？哎，来吧，写过程了啊。首先 因为 b 和 r 是 平行的，那么啊，还有谁？还有这个，嗯？ b 在 哪个里头啊？ b 在 这个平面 a、 c、 d 里头， 然后这个平面平面 a、 c、 d 和平面 r、 f 是 交于 m、 q 的， 这不就是通过线面平行对不对？线直线 b 和平面 和平面是什么状态啊？直线 b 和这个平面 r 是 线面平行的状态，通过线面平行就推出来线线平行了，也就是直线 b 是 平行于 m、 q 的， 没问题吧？那事实上就相当于图中的 c、 d 平行于 m、 q 了。 那接下来咱们直接写同理就行了啊，同理啊，在另外一个三角形里头，咱们看此时 a、 b 是 不是也平行于这个 r、 f 呀？那肯定也平行于交线了，剩下不用多说了吧，同理咱们也可以说明 a、 b， 它是平行于这个 q、 n 的， 没什么问题。那既然平行的话，我们先看这个红色的三角形呢？根据平行平行线分线的乘比例，根据第一组平行的话，咱们是不是可以得出来 am 比上谁？ am 比上 m c 等于 a q 比上 q、 d 啊？那同样的，根据第二个， 他可以推出谁来？可以推出来这个 b、 n 比上 n、 d， 他 是等于 a、 q 比上 q、 d 的， 那根据圈一圈二等号的传递性，最终就可以说明 am 和 mc 的 比值等于 b n 和 n、 d 的 比值。然后就结束了呀。 那么来看第三个啊，也是最后一条，最难的一条面面平行，那么面面平行，首先咱们得了解两个平面的位置关系吧， 两个平面平行就指的是图中 r 和贝特这两个平面没有公共点，咱们就借助这样的平行的符号。 那么你画两个平行平面的话，一般来说啊，咱们这个平行四边形，咱们对应边分别平行就可以了。好，就这样来表示。那么继续来，也有可能两个平面是相交的，就像图中的贝特这个平面和 f 这个平面，它是相交的，那此时交线是谁？交线是 m 吧。啊，你这改成 m 就 行了。 那么来看，怎么判定两个平面他是怎么样的？是互相平行。如果想判定 r 和 beta， 你 要注意 r 和 beta 平面怎么判定好说，平面怎么确定两条相交直线嘛？所以你的结论是， 你这个定理是，如果一个平面内两条相交直线，那么此时面面平行，比如说图中怎么写？ 你得先说明 a 和 b 相交，比如交于点 a 是 吧？然后你还得说明 a 平行于 beta， b 也平行于 beta， a 是 平面 alpha 里头的点，然后呢？哦， a 是 平面 alpha 里头的直线， b 也是平面 alpha 里头的直线。 那现在你才能说结论什么，哎，两条相交直线五推一啊，然后才两条相交直线分别平行，另外一个平面则两个平面平行，阿尔法平行，贝特就是这样来的。 那么现在我们直接来做题，也是立方体，非常简单的题，怎么来正啊？好说吧，首先看了啊，这两个平面， 你先看这个红色部分是不是一个平行四边形，你直接由正方体的性质不就行了吗？ 根据正方体的性质，图中的 a 一、 d 一 和谁和这个 bc 它是平行且相等的关系啊，所以你会得到一个平行四边形 a 一 d， 那 平行四边形得到什么结论呢？他可以首先说出来， a 一 b， 它是平行于 c 第一的。那么接下来咱们看好了啊，首先 a 一 b， 它不在哪个平面， 它不在 c 一、 b 一、 d 中吧，但是 c 一 它是在平面 c、 b 一、 d 中的。然后呢，咱们就可以说明平面外的 a 一 b 平行于平面 c、 b 一 第一了。那接下来就是同理了啊，大家看这个蓝笔部分吧，同理你 a， 嗯， a 一 d 吧， 它也是平行于平面 c、 b 一 第一的。你得说明你光有平行不行，你还得说明什么？还得说明 a 一 b 和 a 一 交于点 a 一 这是相交哦，三个几推几推一来着， 它是有五推一的呀，你还得继续来。说好了，继续来啊，两条相交直线，嗯，包括这个 a、 e、 b， 然后包括这个 a、 e、 d， 它在哪个平面里头？它在平面 a、 e、 b、 d 里头呗。 一开始的话，你一定要写的详细一些，所以误推一吧。根据一二三、四五，咱们就可以说明这两个平面分别是 a、 e、 b、 d 就 平行于另外一个 平面 c、 b、 e、 d， 然后就结束了。对，一个平面里头，两条相交直线分别平行于另外一个平面，则面面平行。那最后一个就是两个平面它平行的性质定律了。 那怎么说呢？首先是这样的文字内容，如果两个平行平面同时于第三个平面相交，那么他们的交线是平行的，你看阿尔卑特平行吧，但是跟第三个平面分别交于 a 和 b？ 对 啊，因为阿尔卑特没有交线，就是没有交点吧？阿尔卑特 既然是平行的，那么阿尔卑特就不可能有交点，那同时 a 和 b 这两条直线分别在 alpha 和 beta 里头，所以此时 a 和 b 也不会相交，而且是同一个平面内互不相交，同一个平面内永远没有交点。你说这样的两条直线是不是平行线？这就是平行线的定义啊，所以这个还是好说的，通过面面平行推出来最终的两个交线平行，这就是面面平行的性质定律。 那么还是做一道题，这个题应该不用多说吧，跟刚才有一道例题是不是非常像啊，我们只需要过这个点，然后连接 af 吧，比如说交于哪个点呢？嗯，注意啊，咱这个地方得画成这个虚线啊。 对，然后就交于这个 a、 b、 c 的 e、 f， g 吧，连接 b， g， 连接 e， g， 对，这样来不就可以了吗？对，那么现在看了他说的什么， 咱刚才已经证过了， ab 比上 bc， 他 肯定是等于 d， e 比上 ef 的， 因为他们都等于谁都等于 ag 比上 g、 f 啊，是不是都是通过这样的 a， f， beta， gamma 分 别平行吧，所以这些交线啊，比如说好 b， g 这条线和 c、 f 这条线啊，它就是平行线。然后呢，因为 alpha， beta 平行，所以此时的 a、 d 和 g、 e 也平行，你就分别来不就行了吗？根据平行，然后等比例分线段，就得到这样一个结论了。那好， 咱们看数字是多少？六比二等于 e， d 比上三吧，所以咱们很快就算出来了， e、 d 等于几， e、 d 等于九。过程的话请你自己写吧，最后也不难的啊。那么今天我们就讲到这，分享课堂知识，感受数学之美。我是范老师，下节课再见。

嗨，宝宝们，今天开始呢，我们讲解的是棱柱，棱锥、棱塔的表面积和体积，咱们这块的一些重点呢，就是要了解它们之间的一个表面积和体积的求法。 那我们首先呢先来进行一下知识点的一个引路啊，在这个包装品当中啊，能装多少？然后呢我们需要这个包装用多少材料来做成，这都是涉及到我们的一些体积和表面积之间的一些相关的关系， 所以呢我们来去想一下哈，咱们呢前边已经去了解了我们的结构特征和平面的一些表示，那表面积和体积是什么意思呢？是不是就是我们几何体表面的大小和几何体所占的一个空间？ 在初中当中啊，学到了一些长方体的表面积，那展开图的话，是不也可以画出来那几何体的表面积其实就是展开图平面的一个面积之合，对不对？ 好，那我们来讲一下这块是怎么来做呢？棱柱，棱柱的话给它进行展开是变成这样，那棱锥展开呢，其实就是一个三角形加上底下的一个黄色的底面，那棱台的话，展开是不是这个样子？所以我们其实就会发现它的表面积就是底面积加上一个什么侧面积，对吧？ 这是我们那些表面积的公式当中涉及到的。那我们说棱长的话为 a， 它的表面积是什么？哎，我们说四面体，如果要是棱长均为 a， 那 是不是四个面都是相等的，所以我就可以是四乘以什么四分之高三 a 方，对吧？那也就是说变成了高三倍的 a 方， 这个的表面积呢，他是说侧棱长是多少？是五，底面边长是六，那是不是在这个里头的话，我们的 pe 就 存在一个三四五，为什么这么想呢？因为我们说大家都是一个正的，所以长度应该是一样的，那也就是这个是五， 底下呢是六，那这个是三，这是三是不是垂直？因为等幺嘛，他俩是等幺，所以中间也是垂直。那三四五，我们就知道 p e 的 长度是四，如果知道 p e 的 长度是四，三角形 p a b 呢就是二分之一底乘高，六乘四，那我们的整个的这个对应的一个什么表面积的话，是不是四个 乘以十二，再加上底下的一个平方，那就变成了什么呀？八十四，这个还是相对来说比较简单的啊。 那我们还记得之前咱们在初中当中学到的一些东西吗？比如说我们的正方体体积， a 的 立方长方体， a b c 长方体，还有个什么？底面积乘高对不对？那除此之外涉及到棱锥和棱台怎么办呢？ 我们现在去想一下哈，面积和顺序呢？是不变的，然后我们就会发现在前后有没有一些体积的变化，把它进行了一个什么？相当于推了一下对不对？那结论是什么？如果要是底面积是一定的，高是一定的，那么这个里头是一道体积的话呢，它就是不变的。 所以呢我们要找到的是这个高，但是呢你要想推过去这个之后的高有没有发生改变，是不是就没有？那如果说现在给了一个底面的边长是四的一个正三，棱柱的侧面积是九， 他的一个测面积如果是九的话，他是几个测面积，是不是三个测面积啊？那每一个测面积我们就当成了什么？是不当成了一个三，所以呢，咱们现在是不是就能知道一个正的三棱柱？如果说现在，现在稍微写一点，那我重新画一下吧， 是这样的，这样的和这样的底面边长是不是四三，是不是除以四？那我的体积呢？体积是不是四分之二？三 a 方乘以四，平方乘以高乘以的是四分之三，那它是不是此时测就等于三倍的杠三就行，对吧？ 像这种的话呢，我们就能知道体积还是比较好求的，你只需要按照我们的公式里头去算就行啊。然后接下来呢，我们来去思考一下，咱们如何去求锥体的一个体积。 再回顾一下，咱们说如果一个圆柱和一个什么圆锥，对吧？那他们之间的一个底面是相等，高是相等的， 那我的圆柱其实体积就是圆锥的一个几倍啊？是不是就是一个三倍？所以呢，我们现在就能知道，咱们初中这个知识点延伸到我们的棱柱的话呢，就是三分之一底面积乘高，对不对？好，那我们就能知道棱锥是三分之一底面积乘高， 咱们可以来看一下啊。看，哇，原来是这个样子，所以呢，它就展示形成了几个呀，是不是三个呀？那三个的话呢，我们就能知道，如果要其中一个棱锥，是不是就是我们的一个体对应的是几个了？ 三倍的它，对吧？好，这个还是比较简单的啊。然后我们了解了这个之后呢，咱们就是说整个这样的一些 公式啊，其实是比较简单，也好记，那我们讲完棱锥之后，我们去想一想棱台呢？棱台其实就是一个大棱锥减掉一个上面小棱锥，涉及到一个割补的问题，对不对？三分之一底面积乘高，再减掉一个三分之一底面积乘高，所以它其实就相当于是涉及到什么了， s 加杠下 s 加杠，然后 s 加 s 加杠下 s s， 对 不对？然后我们这个公式啊，其实 我一直想给大家讲个小例子，哎，我们进行一个小小提问哈，比如说咱们现在呢，就是说如果你 去蛋糕店买蛋糕之前，我定了一个十二寸的，但是此时此刻十二寸的没有了，他说给你换成两个六寸的，行不行？行不行？你隐隐 约约感觉我这么问你肯定不行，那如果不行，我应该给你换几个， 我是不是应该给你换四个？为什么呢？因为边长比，如果是一比二，那面积比是不是一比四？如果老师那体积比呢？就一比八，我现在已经假定他们的高度是一样，所以我得给你换四个，之后还得看你同不同意，明白了吧？所以为什么在这个里头，他们之间的比值是开根的面积，因为面积比是他们比值的一个平方，是这样的啊， 好，跟我一起读一下台体的一个体积是啥？是 s 加 s 加杠加 s s 啊？ ok， 那 我们知道了这个的话呢，体积它就变成了什么呢？三分之一底面积乘高，面积是二加四，加上根号下二乘四是八乘以的是三二倍根号二 六加，那就是二加三，三底掉了，那就直接写成是什么？六加上二倍的根号二，这个呢就是属于一个比较基础一个小公式啊。好，我们再来看一下喽。哎，我们来看看他们的体积是什么？柱体的就是三分之一底面积乘高， 对吧？锥体的就是啊，柱体的就是底面积乘高，锥体就是三分之一底面积乘高，然后呢我们的台底就是三分之一， s 加 s 加高加 s， s 乘以 h， 它其实是啥意思呢？就是我们会让这个上下底面相等，是在棱台的基础之上变成棱柱，然后呢在棱台基础上变成棱锥，就其中一个 s 的 零，它是想表达这个意思啊。 好，我们再继续看一下。哎，下一个，下一个的话呢，在这里头是一些一个沙漏，两个的高呢都是零点五，然后公共的面呢是一个边长为一的正方形，那么我们现在说他的一个体积是多少？体积的话，是不是上下相间， 上下相加的面积乘高是一的平方乘零点五，再加上谁一的平方乘以零点五乘以三分之一，所以是二分之一乘以的是三分之四，我们就知道它的结果是三分之二，像这样的话就很简单了啊，我们进行一个简单的计算就行喽。 好，这是我们求得体积的一些小方法哦， ok， 正方正六棱台，它的一个表面积，刚才咱们是说什么？是不是涉及到的是一个叫做 什么体积？现在是表面积，表面积就上底面积加下底面积加侧面积，那上下底面积的话，其实就是我们去想哈，等边三角形它是几个？它是六个，所以六倍的四分之二三立方。等边三角形面积是四分之二三立方，这一定要记住了啊，咱不能老说啊。 ok， 现在开始了啊， 进行一个什么呢？切割，切割成一。那我现在去想想共得到多少个以一为边长的这样的一个小立方体，是不是他的体积是多少？是六十四个， 所以就是六十四个。那我现在说三面，三面的话是在哪里？他会出现一个三面，是不是在这个八个顶点上？一二三四五六七八。所以呢，我们就是八乘以六 八乘。嗯，等一下啊，我们要形成是多少个？是不是就是八个，对吧？八个的话我们再去想这个里头是什么？是不是一个 侧面面积是不是一，这是不是也是一，对吧？所以呢，我们现在的话就会形成呢，他们的一个什么面积之和是多少？ 十三。那你说老师不三八二四吗？不是，他是问你什么小立方体有多少个，那小立方体的面积是不是六啊？所以应该是六八四十八啊？这个事要理解，你要看好他在问什么，然后两面都是红色的。

大家好，今天呢，咱们来讲高一寒假公益课的最后一项内容，垂直关系。那么我想说的是，为什么距离上一次公益课咱们隔了这么久的时间？因为过年期间，杨老师在老家山西啊，经常放这个烟花爆竹在村里边， 然后呢声音非常大，所以没办法给大家录课啊，所以杨老师在回去的路上呢，开工的路上，专门找了一家非常啊静谧的酒店，给大家录一下最后一讲的内容。好了，来看最简单的垂直关系，那最简单垂直关系肯定是这个线线垂直，线 线垂直又称为相交垂直和一面垂直。什么叫相交垂直呢？如果两条直线交于一点，这个就叫相交垂直。 而且根据公里二，大家还记得公里二的推论吧，两条相交直线是可以完完全全确定一个平面的，比如说我现在画这个图， m 直线和 n 直线交于点 a， 此时两条相交直线，根据公里二的推论，就可以唯一的确定这个平面 r 的， 这个就叫相交垂直。 什么叫一面垂直？那首先是得一面直线呗，两条一面直线一面直线，既不平行又不相交，你只有通过通过什么，通过平移之后才能够相交？比如咱们还是画一个示意图，看了啊，谁啊？ 嗯，这条直线的话，咱们记成 m 吧，然后呢，再画一个 n， 好 了， 画出来了，画完这个 n 之后的话，这样画吧。那么现在如何确定 m 和 n 这两条一面直线是互相垂直的？这样我们通过平移的方式，比如说通过平行四边形平移平移到相交位置，大概平移到什么呢？ 来，我先画一下吧。对，把 m 平移到 m 撇的位置，平移到 m 撇位置以后，如果 m 撇 和 m 啊，记住是平行的，然后呢，平移之后，此时的 m 和 n 是 垂直的关系，所以这种情况下，咱们就说 m 和 n， 所以 说 m 和 n 这两条一面直线就是互相垂直的，这个叫一面垂直，所以线线垂直非常简单，一个相交垂直就共面的，另外一个就是一面垂直呗，就这两种关系。那么接下来咱们主要讲解的是呃，线面垂直，还有面面垂直呗，就这两种关系。那么接下来咱们主要讲解的是呃，线面垂直，还有面面垂直。首先说定义， 什么叫做线面垂直？如果看图，如果一个平面内所有的直线，所有的直线啊， 你不管画任何一条直线，画一万条，一亿条也一样。如果一个平面内的所有直线和 l 是 互相垂直的，那么此时我们就说线面垂直。什么意思啊？如果用符号语言的话，咱们可以这样来记啊， 对于 r 平面内所有的直线来说，都满足什么？ 都满足 l 垂直于 m， 对 l 垂直于平面 f 内所有的直线，则此时我们就定义 l 垂直于什么？ l 垂直于平面 f， 这个就是定义啊，也可以当成定律直接来用。 好，那么接下来这条直线叫做什么？叫做平面的垂线，它就叫做垂线。那么其实还有另外一个呢，比如说 l 和 f 交于点 h 吧，那此时这个焦点，如果 l 垂直于 f 的 话，线面垂直，这个 h 也叫做什么？也叫做 垂足。好， l 叫做平面的垂线，那平面叫做 l 的 什么垂面？哦，有垂线，有垂面，这个焦点还叫垂足、垂线、垂面、垂足，这三个名词要掌握，那么继续了。 如果一条直线垂直于一个平面，那反过来说，根据定义，那这条直线 l 不 就平行，不就垂直于平面里头所有的直线了，懂了吧？这也可以当成定律直接来用的。就是咱们把最后一行 你直接当成定律来用，当然可以了，满足定义当然符合要求，他是一个定律了。那么继续了。接下来你要注意的是咱们定义里头看第一行啊，第一行是定义 于平面内的任意一条，任意俩字，请告诉我可以改成无数条吗？我清楚的告诉你，不行的啊，不能改成无数条不能改成无数条。为什么？你可能只有一个方向上， 懂了吧？如果这无数条都平行呢？但是反过来就就有可能是不行了，比如说跟着这个 m 一 对吧，跟 m 二，跟 m 三等等等等，都是垂直的关系，但是接下来跟这个 n 却不垂直，这个是不行的，这个清楚吧？也就是说任何直线不能改成无数条直线，这个大家清楚就行了。你可能这个 l 只跟 r 分 某一个方向上的直线是互相垂直的， 必须改成任意啊，任意就是所有的意思，无数，他可能只有一个方向上，这个要注意理解一下。 或者你可以拿什么，或者你可以拿你的手掌，这个平面就是你的手掌，然后这个 l 是 什么？咱们就地取材嘛，你手里肯定拿了一支笔，笔就是那条直线， 你这个手任意四根手指并拢的时候呢？你看你的手指，哎，这是第一根手指，这是第二根手指，这是第三根手指，这是第四根手指，哎，四根手指都跟 l 垂直，但是你的指掌面一定跟 这样一个 l 是 垂直的吗？平面，也就是你的掌面跟你比所在的这条直线一定是垂直吗？这个不一定，这个不一定，不信你试试啊。那么好了，咱们需要补充的是，补充的这两行都可以当成定力直接来用。我还是说一下，有很多隐藏的定力 考试时候是可以直接当成定力来用的，你也要写上。比如说咱们第一个定力怎么说的？过一点，有且只有一条垂线，一条直线跟已知平面垂直，另外过一点， 你这个点啊，可以在 l 上，对吧？也可以不在 l 上，比如说点 a 在 外头，那有且只有过。点 a 有 且只有一个平面跟已知的直线 l 是 互相垂直的，这两个都可以当成定力来用，这个都是表达了垂直关系的唯一性。 那么来看线面垂直的判定定律，判定定律，很好理解了，文字内容是这样说的，如果一条直线跟平面内的两条相交直线 是分别都垂直的，那么此时这条直线和平面互相垂直，那么看图的话很清楚了。比如说，比如说 什么意思？那怎么写这个符号圆吗？如何证明 l 和 f 是 互相垂直的？好说， m 在 f 内， n 在 f 内，你得说明 f 内的两条相交直线吧， m 和 n 还是相交的，交于什么？交于点 a 行了吧？哦， l 不 仅垂直于 m， 还垂直于 n， 必须是相交的啊。然后误推一的关系，最终可以得出结论来，此时 l 这条直线是垂直于平面 f 的， 这个就是如果直线 l 垂直于平面 r 内的两条相交直线 m 和 n， 此时就下面垂直。为什么呢？因为这个其实也包含了我们之前上节课讲的公里二。推论什么？可以确定一个平面啊？ 两条相交直线可以确定一个平面，这是一个推论，是一个公里啊，公里比 定力这样一个层级更高，你只有认可这个公里一，公里二，公里三，你才能接下来研究我们高中的立体几何，才有了接下来的这些定律，懂了吧？好，相交线啊，所以必须是两条相交直线。那么继续了，还有什么推论？看好了啊。 推论是什么？如果在两条平行线中有一条，比如说 l 一 和 l 二 已经告诉你是平行的，呃，其中如果 l 一 是垂直于 f 这个平面的话，我们直接写另外一条 l 二也是垂直于平面 f 的， 这个就是推论，他已仍然可以当成定力来直接 使用。接下来是什么？接下来就是线面垂直的性质定力了。如果两条直线平行，刚才有点类似，但是已知条件和结论稍微改了一下。什么呢？ 如果 l 一 垂直于平面 f， l 二也垂直于平面 f， 那 么我们反过来可以推出来 l 一 和 l 二是互相平行的。那么怎么来理解呢？你也不用去严格证明它， 你只需要干嘛，我一会说一说。证明啊，比较绕，你听懂就行。那我们可以拿两支笔啊，笔你多的是吧？两支笔， 然后这个 r f 是 什么呢？哎，你可以是认为你的桌面桌平面呗，其中的一支笔垂直于你的桌面，另外一支笔也垂直于你的桌面，那你肉眼可见的这两支笔是不是平行的状态？肯定是啊，这个就是线面垂直的性质定律。 那么线面垂直，它的性质定律怎样去证明呢？这个听懂就行了，你可以这样来理解，首先你要清楚你的目标，咱们是证明什么东西？咱们是证明如果 l 垂直于 f， 且 m 垂直于 f， 则这样一个命题啊，则此时 l 就 一定平行于 m， 这是我们的目标。那同一法怎么去证明呢？这样来证明啊？你想，既然 l 垂直于 f， m 垂直于 f， 咱们怎么样？咱们先否定结论，用反证法吗？你先否定结论，最后会推出矛盾来的，要么跟已经学过的知识矛盾，要么跟已知条件矛盾。这个是反证法啊， 那你看好了，如果什么，我这就擦掉了啊。如果 l 和 m 不 平行，你本来正的是什么？本来正的是 l 和 m 是 平行的，对不对？是平行的，那么你否定结论，看能不能推出来矛盾。如果 l 图中的 l 和 m 不 平行， 那么过这样一个 m 和 f 平面的交点。过这个点 b。 注意啊，点 b 是 m 和 f， 肯定会有一个交点嘛，你垂直的话，肯定会有一个交点，那么过这个交点肯定是可以做出来什么的 过这个交点，咱们可以做一个 m 撇儿跟原来的 l 是 互相平行的状态。对，既然你假设 l 和 m 不 平行了，那我们可以做另外一条直线， m 撇儿跟它平行，那么 根据刚刚讲过的这样一个推论，两条平行直线中，这不就 m 撇和 l 吗？ l 既然已经垂直于 f 了，对不对？根据刚刚的我们推论，那样一个定律不就可以直接得出来，所以 m 撇不也是垂直于 f 的 吗？好， 刚学完可以直接用啊。那继续了又，因为两条相交线，对吧？过点 b， 一 条直线跟 l 平行，另外一条跟 l 不 平行，那么它就表明了这是两条相交直线交于点 b， 两条相交直线。根据公里二，咱们是可以唯一的确定这个平面，咱们把这个平面记成什么？咱把这个平面竖着的平面记成平面 b， 此时平面 b 和平面 r 分 交线是 a 这条交线，看清楚是 a 这条交线，那么再接着往后看啊， 因为 m 和 m 撇它都垂直于平面 f， 既然垂直于平面 f 的 话，那 m 和 m 撇肯定垂直于平面 f 内的所有的直线吧。这个不就是线面垂直的定义啊。 那所以说此时 m 和 m 片都垂直于交线，为啥？因为交线它就在 f 内， m 和 m 片都垂直于平面 f 内所有的直线，包括 a 在 内。既然 m 和 m 片都垂直于交线的话，这个跟我们初中学过的这样一个结论，这样一个常识，或者是这样一个定律就矛盾了。 你看平面几何，这是初中学的吧，现在不是立体几何啊，从现在开始画横线这个部分开始，这是初中学的平面几何。在一个平面内，在贝特这个平面内过直线 a 上的一个点点 b， 有 且只有一条直线与已知的直线就是过点 b， 按理来说，在被它平面内啊，被它平面内。好，这是平面几何。过点 b 油，且仅有一 条直线。与谁与直线 a 是 互相垂直的，但是什么？ 但是你却之前推出来的是 m 和 m 撇儿怎么样？不是同一条直线，所以说矛盾了呀？这跟我们这样一个结论，跟这样一个定律是矛盾的。平面结合里头这样一个定律，所以。 所以什么？所以说 m 和 m 撇儿重合了呗，那重合其实就相当于一条线，清楚我的意思了吗？ 是不是？那最后不就你反证法若什么，若他不平行，最后推出来跟这样一个公理是矛盾的，那反证法最后的结论不就代表反证法的假设是错误的吗？因为矛盾了，所以只能是 m 平行于 l 了，最后性质定律就得到了证明。这个听懂就行，你要想掌握你就掌握， 实在掌握不了，至少保证你能听懂。那么接下来啊，由这个同意法，如果你真的想深入研究一下的话，你可以用同意法证明一下，过一点 与已知平面垂直的直线只有一条，这个呢，跟 l 就 没什么关系。这个我稍微提示一下，你自己来写过程啊。 过点 b 怎么样？要过一点与已知平面只有一条，那你怎么样？那你反过来说呗，反正法假设过点 b 有 两条，一个 m， 一个 m 片。用同样的这样一个统一法，最后你会得出来结论，其实只有一条的，也就是说 m 和 m 片其实是重合的， 懂了吧？过程自己写啊。接下来我们做一道题啊，立一。这个立一的话挺有意思的啊，涉及到了垂足，看一下 已知 p， 为什么 p 为三角形， a b 往外的一点就是个平面外的一点，那此时 p a b c， 那 就是个四面体或者三棱锥了， p o 是 垂锥底面 a b c 这个平面的 垂足为点 o， 并且此时 pa 垂直于 bc 一 面直线垂直啊，并且 pb 也是垂直于 a c 的。 好，原来是这么回事，那么现在问什么呢？现在问的就是，首先求成第一点吧，为什么 bc 是 垂直于平面 a o p 的？ 有什么作用？首先啊，有一个已知条件， p o 垂直于谁？垂直于整个底面 abc 吧，并且 bc 是 在这个平面 abc 里头的。 好，线面垂直。那线面垂直的定义是什么？不就垂直于平面里头所有线，包括 bc 在 内吗？所以现在你很轻松的已经证明完其中的 bc 和 p o 已经是互相垂直的了，已经一条了吧。那么接下来你很轻松的已经证明完其中的 bc 垂直于 pa 吗？ 所以 bc 垂直于平面里头两条相交直线，这不就是线面垂直的判定定律？但是你应该写全谁啊？ p o p a 是 相交的，而且 p o 和 p a 是 平面 a o p 里头两条相交直线，这不就行了呀？好， bc 垂直于平面里头两条相交直线，所以 bc 就 垂直于平面 a o p。 好 了，结束了，这个就是第一问，非常简单，咱们来看第二问。 第二问的话，现在让你证明什么东西啊？哦，让你证明一下这个 pc 垂直于谁？ pc 还垂直于 ab， 为什么这两条一面直线是互相垂直的？来吧来吧，咱们这样来啊， 看第二问。首先， a o 是 在哪个平面内的？ a o 是在平面 a o p 内的，那么根据括号一，此时 b c 不 就垂直于平面里头所有的直线，包括什么？包括 ao 在 内吗？所以现在你看了 b c 已经垂直于 ao 了，同理啊，你根据这个 p b 垂直于 a c， 可以 推出谁和谁垂直来，肯定可以垂出来这个 a c 和 b o 是 互相垂直的。 b o 原来是 a c 上的高， a o 也是三角形啊，另外一个高，两条高的交点叫什么？哎，那不就很简单了，所以说点 o 是 什么心？点 o 为三角形 abc 的 垂心。 那垂心有什么特点呢？垂心，他是三条高的焦点，所以不仅 a o b o 都是高，其实谁还是高？ c o 也是高， c o 是 ab 变成的高， 所以这个是根据垂心得出来的。这个题只要得出来垂心后边就非常简单了，行了吧。好，那么接下来跟一，嗯，与括号一同理。这个我就写了啊， 完全可以同理啊，因为咱们现在又得出来另外一条嘛，就这个 co 垂直于 ab。 嗯，那么既然如此的话，咱们继续写吧。你看 po 垂直于 ab 吧。对啊， po 垂直于底面，那么 po 就 垂直于底面所有的直线，还有谁？还有这个 co 也垂直于 ab 吧，这是刚刚证明完的吧，所以 ab 垂直于平面里头两条相交直线。 那剩下的，那写清楚吧，此时 po 和 co 是 相交的吧，并且 po 和 co 都怎么样？ po 和 c o 都是在目标平面 poc 里头的， 所以接下来我们就可以说 ab 垂直于平面里头两条相交直线，所以就垂直于这个平面 poc。 那么又因为 p c 在 平面 p o c 中，所以 ab 不 就垂直于 pc 了吗？因为线面垂直，所以啊，这条直线 ab 垂直于平面里头所有的直线，包括 pc， 所以 就证明完了。行了，这是括号二啊， 听起来有点绕，实际上每一步都是有理有据的。这道题的括号二比较麻烦，就是很多人没有想到垂心，如果想到垂心的话，就是一个简单题，那么来看第二个比较难的，更难的，面面垂直。这个我说一下啊，这个面面垂直有两种定义，其中一种定义 就是我写的这种定义。另外一种呢，比如说就拿现在人叫 a 板上的定义，他是通过什么先引出二面角， 然后呢再根据二面角 为直角来定义什么来定义面面垂直，这是垂直啊，就是第一个平面垂直于另外一个平面，我就简写了，懂吧？这两种定义它本质上都是一样的， 但是呢，咱们人家 a 版就是这个，先引出二面角这样一个定义的话，那必须先有二面角才有面面垂直。但是现在我们先不讲二面角，二面角放到春季角，所以我们用另外一种定义怎么定义呢？其实也还好，首先如何定义这个是 r 和这个平面啊？ 躺着的这个呢，是贝特这个平面，然后 alpha、 beta 这两个平面是相交的，然后于第三个平面都是垂直的，也就是说已知 alpha 垂直于伽马，已知贝特也垂直于伽马。 那么并且现在看好了啊，又这个平面与第三个平面相交所得的两条交线， 那两条交线，比如说 alpha 跟伽玛交线是谁？交线是 ab， 比如说 beta 跟伽 玛交线是谁？ beta 跟伽玛交线是 b、 e， 这两条交线如果互相垂直，也就是说这种情况下，你再加上一个 ab 垂直于 b、 e 的 话，这个时候我们就可以五推一，可以定义 alpha 垂直于 beta 了，这个就是面面垂直的，就是这样一个定义 啊，它就是这样一个定义，清楚了吧。那么现在我们来看看面面垂直的判定定律啊，也很好说。好， 这个是 beta， 你 看，首先由线面垂直 ab 这条直线垂直于 beta， 那么过 ab 这条垂线的所有的平面都垂直于贝特了，这个就是面面垂直的判定定律。简单来说，就是由线面垂直推出来面面垂直，只要有 ab 这条垂线了，那么过这条垂线所有的平面都是垂直于贝特的。好，这就是判定定律。这个也好理解吧， 那么咱们接下来做一道题，巩固一下，很简单一道题，立方体啊。立方体大家都知道呀，现在证明图中的 a c c 一 a 一 这个平面和 d d 一 b 一 b 这两个平面是互相垂直的，怎么来？首先啊， 我就这样写吧，写上证明俩字。首先在立方体中， 根据立方体的性质，那肯定咱们是有 a 一 c 一 垂直于 b 一 d 的。 哎，肯定的嘛， a 一 c 一 b 一 d d， 这个是正方形对角线互相垂直的意思。还有谁？还有这个 b b 一 垂直于平面， a 一 b 一 c 一 d。 对 啊，测棱肯定垂直于底面嘛，这也是立方体的性质， 所以说现在我们就可以说 b b 一 垂直于 a 一 c 一 了。对啊，因为线面垂直，所以这条直线就垂直于平面内所有的直线，包括 a 一 c 一 在内。其实我觉得接下来你应该会了吧，谁呀？我画一下吧。 首先，红色的这两条线是两条相交直线，准确来说是一个平面里头两条相交直线，那么 a c 一 这是什么呢？ a c 一 垂直于一条，两条垂直于平面里头两条相交直线啊，那么清楚了吗？则 此时我们就可以说， a 一 c 一 垂直于两条相交直线，那么就是垂直于平面 b b 一 d 一 d 了吗？好，有了线面垂直，离面面垂直就不远了，你只需要再多写一行，写什么？ 因为 a 一 c 一 过这条垂线的所有的平面。哪个平面？哦，这个垂线是在平面 a a 一 c 一 c 中的，那么接下来，根据这两条，是不是可以推面面垂直啊？所以说，平面 a a 一 c 一 c 就 垂直于 平面 b b 一 d 了。好了，结束了，继续来看面面垂直的性质定律。已知图中的 alpha 和 beta 是 互相垂直的，那么能推出什么来？文字性的表述， 如果两个平面互相垂直，其实你理解的时候完全可以这样吗？好说吧，拿两个笔记本嘛，其中一个笔记本是 alpha， 另外一个笔记本是 beta， 你 这样来表示一下，你可能就有这样的空间感了啊， 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线则垂直于另外一个平面。什么意思啊？其实你看图，已知 alpha 垂直于被它性质定律肯定是已知面面垂直嘛，然后呢？ alpha 被它有条交线，是 a 在 f 平面内的直线，如果垂直于交线，垂直于交线，则垂直于平面。哦，简单来说，则垂直于交线，则垂直平面。你可以写这么一句话，垂直于交线，则垂直于平面。这个就是 面面垂直的性质定律。那么这个性质定律怎么去用呢？我们来做一道题啊，上面这个图是折叠以前的，下面这个图呢，是折叠之后的，折叠之前是一个平面图形，折叠以后呢，是一个立体图形。所以要分开来看 折叠之前的 abcd 啊，人家是一个直角梯形，而且这个直角梯形咱们可以先研究一下，一会直接用结论吗？什么看？呃，首先这个 bc、 d 它是一个四十五度。好，另外它直角梯形，直角梯形的话，嗯，那继续吧，这是九十度吧，那么还有吗？还有这个 a、 d 是 平行于它的啊，平行于它的。呃，那么继续啊。还有一个就是 a、 d 的 长度是正好等于 ab 的 长度的。那我觉得就更简单了，这两个角相等不用多说吧，这个是根据 a、 d 等于 ab， 那 就是等边对等角得出来的。 另外这两个角差为什么相等啊？对不对？所以这两个内错角相等，所以说两个角差 加起来是九十度，那脚叉不就是四十五度吗？所以咱很容易推，根据平面几何的知识，咱们很容易得。哦，这是四十五度，这也是四十五度。哦，这还是四十五度，这又有个四十五度。所以咱们可以认为这个直角梯形是由一大一小 a、 b、 d 和 b、 c、 d 两个等腰直角三角形拼接成的。 呃，直角题型理解了吧，可以这么认为。那么继续了，现在沿着 b、 d 折叠折叠起来之后， a 点所在的位置啊，空间感了， a 点 a 撇就是点 p， 现在形成了一个三棱锥， p 啊， b、 c、 d 这样一个三棱锥。然后折叠之后呢，咱们保证折叠之后的平面 p、 b、 d 所在的平面 和 b、 c、 d 所在的平面是互相垂直的，那么现在主要是看第二个图，毕竟是立体几何嘛。请你正题问，为什么 p、 b 是 垂直于 c、 d 的？ 看第二个图啊，很好说嘛，首先 由平面几何的知识，或者你大概正一正啊，不用不用写，几行都能正出来的。首先 b、 d、 c 好 说吧， 等于九十度吧，没问题，也就是说这个 c、 d 是 垂直于 b、 d 的。 看这个图啊， c、 d 垂直于 b、 d 还有吗？继续，你说面面垂直要要出什么？你先写，因为平面 p、 b、 d 垂直于平面 p c、 d， 并且交线是谁？交线是 b、 d。 那 行了呀， 两个平面互相垂直，一个平面的直线垂直于，所以后边不用说了吧。好了呀，垂直于交线，这就是交线啊。垂直于交线，则 c、 d 垂直于另外一个平面。哪个平面呢？显然是 p、 b、 d 这个平面，又因为 p b 在 不在里头，你肯定在这个平面 p、 b、 d 里头啊，所以 c、 d 就 垂直于平面内所有的直线，包括这个 p、 b 在 内。好，第一问不就正完了吗？行了吧，正完了，那继续来看第二问，第二问怎么正？证明这两个平面是互相垂直的？一个是 p、 b、 c 好像有点难，另外一个是 p、 d、 c， 其实一点都不难看。好了，你说最终你怎么去证明这个面面垂直？肯定是先通过线面垂直来证明面面垂直的，对不对？关键是 我们这条线面垂直是找平面 pbc 里头的线，还是找平面 pdc 里头的线？这个很重要。来吧，我说一下吧，刚才我们已经在平面里头正过 ab 垂直于 ad 了， 现在 a 点就是 p 点，那不就是 p、 b 垂直于 p d 的 意思？哎，原来是这么回事啊，你要想到这一点你就清楚了，主要看的是 p b。 首先因为 p b 垂直于 p d 吧。 对啊，等于直角三角形啊，这个很容易正嘛。呃，然后咱们继续啊，反正这个都很好说。然后 p b 垂直于 c d， c d 和 p d 交于 d。 所以 说 p b 既然垂直于平面里头，两条相交直线，所以它就垂直于 平面 p c d 既然垂直的话，又因为 p b 在 什么里头？ p b 在 平面垂直好在这个里头啊，根据线面垂直，不就推出来面面垂直吗？所以平面 p b， c 垂直于 平面 p d， c。 好 了，这就整完了，很简单一道题啊。行，现在大家应该学会了线线垂直，线面垂直，还有面面垂直这三种位置关系了吧，这些定律一定要好好看一下，尤其是一些推论，咱们也可以当成定律来直接用的。那么今天我们就讲到这，分享课堂知识，感受数学之美。我是安方老师，下节课再见。

哈喽， boss 们，今天呢，我们讲解是例题图形的一个直观图，我们来看一下这课的学习目标呢是需要了解的是斜二侧的一个画法， 那么我们来讲一下哈，进行一个复习和回顾。简单的几何体是不是分为多面体和旋转体，多面体是什么？是不是各面都是平面的？旋转体是不是有曲面，对吧？那我们来看一下哈，进行简单的几何体的一个分类，还可以分成什么呢？柱体，肢体和球体，那柱体呢？有柱、 棱柱、圆柱，那锥体就是棱锥，圆锥，那台体就是棱台，圆台，那球体就没有那个棱球和圆球，这是一个啊，而简单的组合体呢，我们是可以通过 简单几何体进行的一个拼接，拼成了我们的简单组合体，或者是说我们要去进行一个截取也是可以的啊，那我们来看看哈，通过这些呢，我们说我们要去进行一个截取也是可以的啊，那我们来看看哈，通过这些呢，我们要去怎么来画出来的呢？ 我们来说一下直观图呢，就是观察者站在某一点去观察，而获得这样的一个图形。好，那么我们来说一下如下图，然后矩形的一个窗户给他 照过来的一个影子，包括我们从远处看到一些农田，在我们的视线当中是什么？是不是就是一个平行四边形对不对？ 那为什么是这样的一个形状，能解释吗？我们来想一下，叫中心投影，投影的话呢，是不是就是一束光打过来进行的这样的一个投影，叫平行投影，平行投影当中呢，有正投影和斜投影，就看这个光怎么打， 对吧？好，那我们说中心投影呢，是有一点，向外进行一个发散，这样的一个叫做中心投影。那如果要说平行投影的话，其实就是一束平行光给他打过来啊， 那由一个物体的投影呢？我们不仅跟它的一个形状有关，而且跟它投影的方式是相关的。一般呢，我们矩形的平行投影都是一个平行四边形，利用平行投影呢，我们这个方法就叫做什么斜二侧的一个画法， 然后斜二侧的画法呢，我们就得知道它具体的一个步骤是什么呀？第一步我们说要找到互相垂直的 x 轴和 y 撇的时候呢，我们就会发现假角是形成是四十五度或者是一百三十五度。 那第二步呢，就是说原来平行于 x 轴的，现在就应该平行于 x 撇，原来平行于 y 轴的，现在就平行于 y 撇。已知图形当中平行于 x 轴的线段呢，我们说长度保持不变，那平行于 y 轴方向的呢？长度变成原来的一半，哎， 平行于 x 轴不变，平行于 y 轴的是不是变成了一半，对吧？这就是我们的一个斜二侧，然后正方形的斜二侧过来就是平行四边形呢， 那平面图形的斜二侧画法的一个要点什么？我们要进行夹角是四十五度或者一百三十五度与坐标轴平行或重合的这个线段呢？保持平行或重合水平，线段是等长的数值线段是减慢的，不变的是平行关系，变化的是垂直的一个关系。 还有呢，就是我们说横不变重减半，平行重合不改变，平行重合不改变，这个一定要记住啊。好，那么我们来看一下具体的斜二测的一个画法，现在呢，我们说要进行一个间隙，就得研究怎么去建呢？更好一点， 那我现在是不是就得是找一个正经八百这样的吧，对吧？那这样的话，我们就能知道，在斜二测画法当中，原来的 x 轴，现在 把它变到 x 撇，那是不是位置，就是说什么不能改变？好，那么我们来想一下具体的这些东西哈，咱们呢现在要去找到一定的一个长度在 y 轴上面，在 x 轴上面， 我们先看 x 轴上面是有 a 的， a 的 过来的时候是不是就不能去进行了一个改变，所以呢，我们的 a 撇的撇是长度不变的，但是呢，我们 m n 的 这个方向叫做什么？ y 撇的时候呢？要进行的减半， 对吧？那这样的话我们再找谁 bc 是 不变的，所以 b 撇 c 撇长度是一样，同样道理， f e 是 不也一样？那你说老师到底画到哪看呢？看 m 点 n 点和 m 撇点 n 点这样的一个位置，对吧？充当是中点， 所以我们所有的线都画出来之后，其实就像点画出来，点画出来之后我们是不是要进行描点就行了，对吧？这就是我们的小二测之后的图形， 然后我们说呢，如果是一个圆呢？圆的话怎么办？是不是首先还是找一些长度不变呢？接下来再去找什么？找我们的 c 撇的撇是不是长度变成 c 的 一半？哎，这个时候我们就无限的去找很多很多个平行线，然后呢我们就会发现，哎，他是不是就是能大致看出来是一个椭圆，对吧？ ok， 我 们这样就明白了。看啊，基本上都是一个图，而这样的一个关系。好，接下来我们来说一下进行的这个叫做什么呀？是不是我们的一个判断？那做这块判断题的时候呢，我们还是要看好他们之间的一个关系。 第一个呢，说相等的线段在直观图当中仍然相等，不是的，是水平方向平行的才是不变的，然后平行的线段在直观图当中仍然平行，对，平行是不变的。一个角的直观图啊，对的，这仍是一个角，角是不发生改变的。相等的角在直观图当中仍然是相等的， 不是，因为相等的角，有可能是说类似于像 x 轴方向不变，但是 y 轴的话，他不是会减半吗？你说那怎么来进行一个理解？比如说我们原来 现在是不是这个角，那现在给他斜二侧之后，这边的长度不变，但是这边现在变成谁了？是不是平行于他？所以我们相当于角度变成了四十五度，那也就是说我们相等的角角仍然是角，但是长度有可能是发生一些改改变的啊。然后继续我们来画一下斜二侧的这些东西。 第一个呢，我们要找到原来的坐标系。第二个呢，我们要知道是给他斜二侧之后，长度哪些不变，是不是 ab 不 变 后得变成原来的一半。然后呢，第二个图就是说你要找到的是平行于 x 轴和 y 轴，所以第二个图没法去找 a 得，那我们现在去找的是谁啊？比方说我们的这个里头是得往下去做一个垂线，叫做我们的一个谁呢？ m 点，那得 m 是 平行 y 轴，现在呢，找到一个得 m 撇撇，他是变成原来的一半，所以呢，我们现在得点是知道的，然后 a 点现在还是 a 撇点，对不对？ am 这个长度是不变，所以呢，我们这个是这么去做的，平行线不是得撇， m 撇其实相当于已知了 m 撇之后找到得撇， 然后 ab 的 长度是不变的，那这样的话，我们现在此时此刻能知道 a 撇 b 和 d 撇 c 撇是不是应该是长度一样？所以呢，我们这样去找到一个谁，这个画稍微短一点，然后这么去画，明白了吧？我先清个屏啊，然后大家可以来看一下具体的这个过程。 好，第三个呢？第三个还是找什么？ a b 长度是不变，所以呢，我们给他过来之后， a 撇 b 撇长度不变， o， c 变成 o， c 撇的一个一半，然后第四个图呢，去找谁？找我们这个里头的一些具体的数值，比如说我们现在是找谁？ a b， a b 是 不是长度不变？ a b， 然后呢， o 的是变成了平行的，所以 o 的 变成了 o 撇儿的撇儿变成了一半，那一点怎么办？一点的话我们可以去看一下，相当于一撇点位置现在是不变的，那一撇是不是这样， 对吧？ e 一 撇是不是平行于 o 的？ 那我现在是不是就平行它，但是我的长度变成一半，所以呢，这个就是相当于我们的 e 撇，那这个就应该用 m 来表示好一点，那这是不是就是 m 撇？所以这样的话，我们进行一个瞄点，哎，是不是这块是过来的？同样的道理，我是不是 c 可以 往下去做做我们的 n 点，所以我们找到一个是 n， 然后往上去做一些平行线，找一半的长度， 就这样，对吧？可能画的线不直啊，但是这个具体的方法大家一定要明白的，所以你会发现其实我所有找到的这些东西都是在干嘛？都是在找到的是我们的点， 通过线段去平行线段找点，再把我们的点进行一个连接啊。 ok， 我 们就知道了，是平行，平行，平行长度，长度，长度。

hello， boys 们，今天我们开始讲圆锥，圆柱，圆台球的一些表面积和体积啊，那咱们先来看一下这部分的一些支点的回顾， 咱们上节课呢，当时讲了一些什么呀？是不是锥柱台，那它们的表面积和体积呢？体积的话，柱台，锥台和锥是不是就是都是三分之一倍的 s h， 只不过台的话 s 是 s 加 s 加杠加 s s， 对 吧？ 好，那么我们通过上面的话呢，隐身出来哈，我们说圆柱呢，圆柱的话，它包含的是哪些？是不是有一个展开图的话， 是两个圆面加上一个矩形，对吧？那我们现在去说表面积的话，是不是就是 pi 二方？几个 pi 二方是两个 pi 二方加二 pi 二方，那侧面的话，其实还有一个是谁呀？是不是二 pi 二乘以我们的一个 l， 对 吧？ 所以呢，圆柱的一个表面积还是比较好做的，那么我们接下来看一下圆锥，圆锥的一个展开图呢，底下是一个小圆，然后旁边的这个呢是一个圆锥，打开的话是一个扇形， 那扇形的话呢，我们来想一想哈，它的一个底面积是不是叫 pi r 方？它的侧面面积是什么？是不是二分之一乘以它的二 pi r 再乘以 l， 所以呢，我们就是叫做 pi r 方加 pi r， 对 吧？提取一个公式 pi r 就 行。 圆台呢，圆台是一个上环加上两个半圆加上两个整圆，那两个整圆的话呢？我们去想哈， 他现在在这个里头是不是就是上下底面是派二方加派二方，那侧面的话呢，我们就需要去思考一下侧面的这个东西应该怎么来做？ 我们是不是可以把圆台补成一个圆锥，那这样的话有比例的一个关系，能求得我们的 x 之后它是个扇环，那就是大的减掉了什么上面的小扇形，所以呢，我们就会发现，按照他们这样的话，一个比值的一个关系，是不是能大致的去求出来，对不对？是这样的一个 pi r l 加 pi r l r 的 话呢，是两个不一样的。 好，我们继续看一下啊，圆台呢就是 pi r 加 pi r l 加 pi r l， 然后 r 呢对应的是不一样的。 ok， 我 们知道这些之后呢，我们来想一想，当我们的这个上面的小 r 撇变成 r 的 时候，就相当于上底进行扩大，是不是形成的是一个圆柱，那上底呢，再进行一个缩小，是不是就是圆锥？所以呢我们这个里头就是二 pi r 背的二加 l， 那 这个呢 就是我们的 pi r 方加上 pi r l 啊，好，我们之前已经学过了一下，这部分的一些涉及到什么 体积？体积是什么？柱体的体积是不是就是底面积乘以高，对不对？然后呢我们现在就能知道，圆锥呢就是三分之一的底，面积乘以高，圆台呢？圆台，我们来思考一下哈，如果要是说想按成圆台，其实也是一个锥去进行了一个割补，对不对？那三分 分之一底面积乘以高加高减掉它，然后呢我们进行一个小小的化简，就可以得到什么三分之一 pi， 那 我们还是说面积下面积，对吧？面积下面积加根号加 s， s， 其实就是 pi 二方加 pi 二方加上 pi r， r 乘以什么呀？乘以我们的一个 h 啊， 好，那么我们还是类比到圆柱是不是 r 进行扩大叫 pi 二方 h， 那 如果要是说 r 进行缩小呢？是不是就是三分之一 pi 二方乘以 h， 对 吧？球球的话是什么球？我们之前去思考过，叫四倍的大圆面积，大圆面积是不是叫 pi 二方？那他现在是不是四倍的，对吧？所以我们也可以想成一个什么呢？就是把我们的这些进行一个小小的切割，然后所有的侧面积的之和，嗯， 这个了啊，类似于个圆数，这个大家要理解啊，那类似于这样的话，我们是不是就可以去把它想象成的是什么呀？很多个小圆锥，很多个小圆锥去形成了一个体积， 那三分之一底面积乘以什么 r， 那 我们的这个里头是不是很多个面积的和，其实就是三分之一四 pi 方乘以 r， 那 就是三分之四的 pi r 立方， 好，这是体积啊。 ok 啦，那么接下来我们要来研究一下这个叫做什么呀？是不是就是我们的一些涂料，那我们来思考一下啊，怎么就设计到涂料了呢？现在来看看他是不是有两个什么 半球和一个圆柱进行粘合，然后半球的直径呢？是零点三，那我们就能知道了，如果这样的话，他是不是半径就是零点一五柱体的高呢？是零点六，现在要涂一层防水漆，涂一层防水漆的话，我们其实求的是什么？就是表面积吧，那 s 表等于什么？是不是就是我们 面积？面积的话呢？它是有几个呀？它是不是有两个半球？那两个半球其实就是相当于一个整球，一个整球的话，我们能知道它的一个整球表面积是不是叫四 pi r 方， 对吧？那我们把这个做一下，就是表面积等于四 pi r 方 r 是 多少？是刚算零点一五的一个平方， 对吧？那这个是它还有一个是谁啊？是不是就是我们的圆柱的测面积叫做底乘高，底乘高是不是二派 r 乘以谁乘以高？高是零点六，等于的是零点八四七八平方米，那我们现在需要需求的是总的吧？ 总的是什么？零点八四七八，我们每平方米是不是需要零点五千克？一共是多少个？是不是一千个？所以是四二三点九千克，这样的话呢，我们就可以求出来一个总的了。嗯，好，然后我们来看一下具体的这个过程哦， ok， 第二题，第二题呢？说圆柱的底面的直径啊，和高都等于它的一个球的直径，那么我们去求一下它们之间那个比值关系。比值关系，那我是不是得知道球的一个体积是什么？球体积公式是叫三分之四 pi r 立方， 对吧？那我们说圆柱呢，圆柱的一个体积是什么？是不是底面积乘高？底是谁啊？底是 pi r 方高是多少？是不是二 r， 那 就等于的是二 pi r 的 一个立方。所以呢，我们现在如果要是去求微球比上谁微圆柱， 它现在就等于的是多少，是不等于的是三分之二，那我们就能知道它们之间一个比值，也就是说像这种的吧，它其实就是考察一个公式，一个推导啊，难度倒不大。 ok， 我 们来继续看一下这个已知呢，我们的圆锥啊，表面积是 a 的 平方，它的侧面展开图是一个半圆。好，那我现在来简单的去给画一下。啊，这是不是就是我们一个圆 锥，对不对？它展开图是一个半圆的话，那是不是就类似于像这样呢？我们现在去想一想哈，圆锥 它现在要干嘛？是不是我们要去求一下它的一个？嗯，我们现在说一下它展开图是什么？展开图的话，我们能知道它其实就是面积是 pi r， 方，加上 pi r l， 是 不是表面积就等于的是 a？ 那我们再去想它本身展开都是一个半圆，半圆的话，那我们就能知道一个什么它的周长，这个底下的周长是叫二 pi r， 那 其实就是什么？就是我们的这个吧，对吧？

hello， boys 们，我们今天终于迎来了八张立体几何的初步，今天呢讲的是我们的多媒体部分，多媒体这个部分呢，我们先来看一下哈， 这是一个什么球，对吧？那我们去想这是一个什么体？长方体，那这是一个什么呀？这是不是一个锥？三棱锥对不对？那我们如果不考虑这个空间图形就叫做空间几何体， 那如图所示呢？他们都具有怎样的一些形状？如何去进行描述呢？那我们来说一下哈，其实就是找一些面呐和面之间的一些关系。 嗯，我们首先先看一下具有哪些相同的一些特点，围成他们的一些平面呢，且都是平面图形，但是围成他们的这个平面的底下，这个就是 不都是平面图形，对吧？所以上面呢叫做多面体，底下呢叫做旋转体，也就是说如果要是都是平面就是我们的多面体， 那也就是由若干个平面多边形围成的几颗体叫做什么叫做我们的多面体。 多面体的话呢，我们会涉及到这些面，多面体的棱呢？两个面的公共边叫做多面体的一个棱，两个面的公共边叫做多面体的棱，那 abbc 和 c 的， 和 a 的 和 e 的 这些是不都叫做，对吧？好，那多面体的一个顶点呢？就叫做一个什么 是他们棱与棱的公共点，那顶点 abc 这些都是我们的顶点。旋转体呢？旋转体是不？刚才说了，由一条平面曲线绕他所在的这个平面内的一条定直线，经旋转形成的这个曲面叫做旋转面， 然后封闭的这个旋转围成的几何体呢，就叫做我们的一个旋转体，我们来看一下这个轴是谁啊？是不是就是中间蓝色这个？那旋转体就是沿着这个平面 绕着 o o 撇，是不是进行一个旋转而形成的，对吧？ ok， 那 我们通过这个呢，就能接下来去看一下第二个问题，说每个面都具有什么样的一些不同的之处，他们每个面其实都是一个什么叫做平行四边形吗？并且相对的两个平面给我们的一个感觉就相当于什么平行的， 所以什么叫做棱柱呢？我们来看看哈。棱柱是一般有两个平面是互相平行的，其他都是四边形，并且相邻的两个 四边形的公路边都是互相平行的，那这个呢就叫做棱柱，底面呢是两个互相平行的这样的一个底面，然后侧面什么是除了底面以外的 都是叫侧面，底面是上下底啊，那除了这两个是不都叫侧面？侧棱是什么？是不是就是相邻侧面的公共边？那公共的顶点就是侧面与底面的一些什么连线的公共顶点就叫做我们的顶点啊。 好，我们来看一下这个东西的表示还是比较简单的，所以呢我们如何进行一个棱柱的分类？如果按底面边数就是有三四五棱，如果按侧棱与底面的位置关系的话，就会有垂直的叫直棱柱，然后斜着的这种呢就叫做斜棱柱，也就是说侧棱不垂直于底面，就叫做斜棱柱。 正楞柱是什么？底面是一个正多边形的直楞柱，正多边形的直楞柱才叫做正楞柱啊，底下如果是正多边形，但是它是斜楞柱的话也不叫正楞柱，那平行六面体呢？就是平行四边形的四楞柱， 叫做六面体，底面是平行四边形的四棱柱是可以是斜的，可以是直的。什么叫做四棱柱？底下是什么？四边形的棱柱叫四棱柱，直的呢？是侧棱，与底面垂直长方底是什么呢？底下是矩形的。那正四棱柱呢？底下是什么？正方形的 正方体就是所有的边长都相等的。好，我们来看一下他们这一个关系越来越特殊，对不对？ ok， 那 哎，再看一下，哎，怎么了？是不是他们上面的这个棱 面变成了一个尖尖点，对不对？那我们来观察一下他们这有什么样的一些特点哈。有一个面是心形的，是叫做多边形，其余呢，各个面都是由一个公共点所组成的这些三角形， 这些叫什么？叫锥？叫棱锥，有一个面是多边形，其他的呢，都是有一个公共的顶点的这样的三角形， 然后底面呢，是它的一个多边形，有什么呀？由我们公共顶点的各三角形面形成的。那侧棱是什么呢？侧棱就是相邻侧面的公共边，然后我们的顶点什么各侧面的一个公共顶点，用它们来表示的话呢，就是 s、 a、 b、 c、 d 啊，这是棱锥的一种表示。 棱锥也可以按照底面啊，三四、五棱锥，正棱锥是底下是正多边形，并且顶点的这个投影投下来，这是垂直于棱锥的底面的，这样的才叫做正棱锥啊。再说一下 底面，第一个要求是底面是正多边形，第二个要求是我们顶点与底面的中心的连线是垂直于底下的。 好，然后棱台是什么？哎，发没发现，怎么了？在一个棱锥的基础之上，怎么砍了一刀对不对？砍了一刀之后，我们形成这个平面，就叫做棱台，用一个平行于棱锥底面的平面去截棱台，我们就形成了底面和界面之间的这个部分叫棱台。上底面呢，就是上面的那个界面， 然后下底面呢，就是原来的底面，是不是有上下底面，对不对？ 侧棱是什么呀？就是相邻的这个侧面的公共边，然后顶点呢，就是侧面与上下底面的一个公共的顶点。 好，我们需要了棱锥棱柱，那棱台呢？棱台是有三四五棱台，对吧？由原来的三四五棱锥去进行一个切割。那什么叫正棱台？由正棱台的话，就是上下底面都是正多边形，侧面都是全等的，等到梯形的这样的个棱台。啊。 好，我们再强调一下刚才的这个，刚才在说什么由正楞椎去截得的，知道吗？好，我们来看看哈，他们的关系图呢？如图所示，这是多面体 楞椎和四面体，直楞柱和什么平行六面体。然后呢，我们说上面的这个里头啊，有一个关键点是什么呢？大家去想一下，楞椎和四面体是三楞椎，对吧？那楞椎可以是三四五六。

这个视频我来讲讲如何用斜二侧画法来画直观图。比如要画这个六边形的直观图，方法分四步，第一步，画坐标系，先在六边形上建个直角坐标系，然后 x 轴不变，外轴倾斜四十五度，分别写成 x 一撇轴和外一撇轴，这就是斜二侧画法的坐标系了。 画好了坐标器。第二步，画坐标轴上的点，规则是 x 轴上的长度不变， y 轴上的长度减半，简称横不变，竖减半。现在来看， x 轴上是 a 和 d 对应，画到 x 一撇轴上，根据横不变， a 对应之二是 a 一撇， d 对应之二是 d 一撇。 再看外轴上是 h 和 g， 根据数减半， oh 减一半，这二是 h 一撇，显然这就是 g 一撇。搞定。接着第三步，画平行坐标折的线，规则是平行关系不改变，并且还是 横不变竖减半，看 ef 平行 x 轴划过去还是平行 x 轴根据横不变，所以长度是一样的。再看 bc 也平行 x 轴划过去也不变，平行线就搞定了。最后就是连点，把这些点连起来，就得到正六边形的直观图了。 图画好了，咱来总结下写二侧画法。方法主要分着四步，从坐标器到坐标轴上的点，再到平行坐标轴的线，其中的规则一定要记好，横不变，竖解半，平行关系不改变。 刚才是给你平面图，让你画直观图，如果给你这个直观图，你能画出他的平面图吗？步骤跟刚才一样，第一步还是画坐标系，第二步还是画坐标折上的点，根据很不便，显然这是 a， 还有这二是 c， 这样坐标折的点就搞定了。接着第三步，画平行坐标折的线，他 平行外轴对应 ab， 就是平行外一撇轴的。要注意， a 一撇 bb 长度是减半以后的，所以 ab 的长度是他的两倍，这样 ab 就画好了，最后连接 bc， 就得到三角形的平面图了。 像这样给你直观图，要你画平面图，步骤是一样的，原来长度不变的还是不变，但是原来长度减半的就别忘了乘二 图。你已经绘画了。如果我进一步问你，这两个图形的面积有啥关系，你能找出来吗？比较一下这两个三角形，先看底，分别是 ac 和 a 一撇， c 一撇，显然是相等的。 再看高，这个是 b 撇第一撇，这个是 ab， 有啥关系呢？想一想， a 撇 b 撇等于二分之一， ab， 这是四十五度角，那 b 一撇第一撇就等于这一段乘上二分之根号二，所以 b 一撇第一撇等于四分之根号二。 ab 底相等高是他的四分之根号二，那直观图的面积就等于平面图的四分之根号二。你可以记住这个结论，他不仅在三角形里成立，由于任意多边形都能分成三角形，所以也都成立 好了。回顾刚才的内容，关键掌握两点，首先是十二侧画法的规则，横步变竖减半，平行关系不改变。其次，直观图面积等于平面图的乘四分之根号二。怎么样，你学会了吗？如果学会了，就速速去刷题吧！

好，我们这节课哎，来录一下立体几何的一个初步认知啊。 东西讲的不多啊，就因为是基础嘛，先讲基础课，后边的话我再慢慢的去讲。证明啊，三师徒啊，这两大块比较不好理解，对不对？挺难的。那先讲一个普通的 啊，能住大家都认识了吧。什么能住？对不对？你看这底下是一个什么平行四边形，也就不一定是平四边形吧，你四边形都可以，对不对啊？底下是四边形，上面是一个 四边形，你像这个呢？哎，他躺着的，你就得把他立起来，知道吧？得把他立起来，用他这个好比这是 a， 咱得用 abc 作为底面，对不对？那个做底面，你如果拿底下这个四边形做底面的话，那上面就不对了，是吧？像这个呢是什么呀？几个边？五个边，对不对？五个边，那他就叫做一个什么呀？五能柱，对吧？ 那这个呢，咱得拿谁做底面啊？是不是得拿这六边形作为底面？当然底面有两个，一个上底面，一个下里面，对不对？有两个啊，我还还是看一下定义吧。 啊，这里啊，哎，丁毅很重要啊，他虽然考的少，但是你刚开始学的时候他考的会比较多。有两个面互相平行，首先是两个面互相平行，哎，这是第一点，那两个面互相平行那就不用说了。应该是什么呀？上 底面和下底面，对不对？就是上面这个和下面这个是互相平行的，然后其余各个面都是四边形，你看这里我们一会会讲这个问题，其余的每个面都得是四边形，你观察一下其余的面是不是都是四边形， 并且每相邻的每个相邻的两个面也就两个四边形，他们之间的公共边都互相平行。 哎，什么意思？那你好比这个 a 撇 a b b 撇和 b 撇 b c c 撇他们的公共边是不是 b b 撇啊？那后边的这个他们的公共边呢？又是 cc 撇，对不对？他说的是这个公共边和这个公共边，还有这个公 目标都是互相平行的，然后说由这些面所构成的围城的一个集合地叫做能住，对吧？叫能住。 那你看他这个其实总结一下就是几个要求啊，一共严格来说应该是有三个哦，这第二个， 这第三个对不对？第一就是上下两个面互相平行，第二呢，每个侧面其实就剩下的每个面全都是四边形，然后每个相邻的四边形的这个公共边都是互相平行的，对吧？ 哎，三个条件，这里有一个啊，我们先来介绍一下上面的面，上底面，下边呢？叫下底面，也要统称为底面，对吧？统称为底面，其余各个面都叫做侧 侧面，因为他都在侧边嘛，对不对啊？侧啊，就是侧面，然后相邻公共边，相邻的公共边叫做什么呀？侧能啊，这忘记打算出体了啊？侧能也就这些能，都叫做侧能，对吧？ 然后侧面与里面公共的顶点啊，你看顶点，这个点就叫做什么呀？叫做顶点呗，也没有什么叫法，对不对？叫做顶点 啊，这个自己认识一下就好了。但是这里有一个啊，你说我能不能把它记做上下两个面互相平行，然后每个侧面都是平行四边形呢？ 哎，这是一个问题啊，他是不行的，如果他可以那么简单的定义，他就不会给你这么复杂的一个定义， 知道吧？啊？我们后边会讲啊，一会就讲到了，所以先认识一下这个，那底面如果有几个边，那这就叫做几能柱，知道吧？好比这个那叫几能柱啊，他就叫三能柱，因为他只有三个边呢，底下对不对？ 这个呢？一二三四五六，那他六能住，那叫六能住，对吧？啊？他的一个表示方法会比较麻烦，他得写什么呀？得写字能住。 哦，完了，我这休息了几天，字越来越不写不好了，能做什么呀？你得先写 底面 abc， 然后杠写一横杠， a 撇， b 撇， c 撇啊，对应的点尽量写到对应的位置，对不对啊？跟以前的相似啊，全都 差不多，对吧？那这个呢，就麻烦了，能住 a b c d e f 杠， a 片， b 片， c 片， d 片， e f 片，对不对啊？反正就这种表示方法啊， 看后边能住到分内。咱刚刚说了，看他的底面是几边形，几边形就叫做几能住，对不对？那从三能住开始的，没有二边形对不对？ 然后能做的表示刚才说了，你看能做 abcdef 杠， a 撇， b 撇， c 撇， d 撇，一撇 f 撇，对吧？好，这就是刚刚我提的那个问题，说有两个面平行，有两个面是平行的， 好比上下两个面平行，其余各个面都是平行。四边形的几何体是不是能住呢？肯定不是，再说了， 如果能这么简单的来定义的话，他肯定定义的就比较简单。哎，下面这个你想象一下，有两个能住，听到一起， 他现在这种状态还叫做能助吗？就不叫了，但是他符合我们上面这个思考，两个面，上边这个面跟下边这个面是不是互相平行啊？ 然后各个侧面是不是都是平行四边形，但是他不是能住，对不对？他断了是不是折了呀？相当于，对吧？哎，所以你要注意啊，如果是哎，拼起来的，他这就不叫了。但是如果是立着的，完完全全一样的，那是可以的，对不对？所以这个定义你自己要弄明白啊，一定要把它记好了。 好，接下来我们看一下。能追，那能追，追是什么呀？有个尖就叫追，对不对？ 尖的吗？所以这个也很好理解，你看，哎，底下是一个底面，上面一个尖，这个就比较特殊，对不对？你说我要拿啊，我们写个字母， a、 b、 c、 d， 哎，我要拿 b、 c、 d 做底面， a 做顶点，那是不是也是一个锥？我要拿 a、 b、 c 做底面， d 作为顶点，是不是也可以啊？认为它是一个椎体，对不对？但是前面这个就不行，你要 b、 a、 b、 c、 d、 e， 你要拿，必须拿 b、 c、 d、 e 做底面， a 作为顶点，对不对？如果你拿 a、 d、 e 做底面， 俩顶点了，那不正常了，对不对啊？像这个呢，几能追啊？一二三四五个边，那就是五能追，那像这个六能追，对吧？看着有点费劲， 这个看着有点不太舒服。没事啊，我们接着往后看，那能追的定义一样的，要看清楚，他说有一个面是多边形，那多边形就是三边以上的啊，三边以上的， 其余各个面都是有一个公共顶点的三角形，这要注意了，必须是有一个公共顶点的三角形，哎，由这些面所围成的几合理，叫能追，一定要记住啊，公共顶点他必须要共一个顶点的，哎， 那一样的能追，你看下边底面，他有几个底面？有一个底面，对不对啊？这叫底面 abcd， 然后侧面，就是边上的这些面都叫侧面，然后顶点呢？在这里是不是叫做顶点啊？ 啊？顶点，然后侧棱一样的，很好理解他的表示方法，一样的，你看写字能注意，然后 s 杠 abcd， 对吧？但是他要先写一个顶点啊，这是一个规范的一个表示方法，对不对？先写顶点好一点， 他可以认为是什么呀？底面？不不不，底面这个柱体，把上边这个底面给他捏到一起，对不对？变成一个锥，对吧？可以这么认为 啊，他们的什么特征啊？你自己看一看就好了，没什么用，多注意一下。能抬，那这个能抬呢？其实也挺简单的，对不对？一个能追，你看一个能追，我拿一个什么面啊？用一个平行于能追底面的平面，一定要记住啊， 是平行于底面的平面啊，你看这个面，这个平面得平行于底下这个面去结出来的， 然后底面和这个洁面之间的这一个部分，你看就叫做一个能锥，你别随便瞎划，一个时候夸斜着划一刀行吗？那肯定不行，他就不叫做能抬，对不对？这叫能抬啊，能抬上下把这个椎体截完以后叫能抬， 那一样的上底面，下底面，侧能侧面，对不对啊？这叫能抬，你说我这样去结，哎，这样斜着去结都可以的，对吧？ 呦，原著，这个原著都认识对不对？小学学初中学，高中还得学原著，他可以认为是由谁旋转出来的，那是以矩形的。