八年级下册平移怎么画 用两个三角尺

如何由平移找等量关系？八年级数学下册第三张图形的平移与旋转今天我们这里讲第一题。 将 r、 t 三角形 abc 沿着 b、 c 的 方向平得到 r t 三角形 d， e、 f， 那 就是 b 到 e， c 到 f， a 到 d， 这些呢，都属于平移的 距离啊，方向是沿着 b 到 c 的 方向。 c、 f 等于五，就是 b， e 等于五，也就是平行的距离是五， 那么要求 b 的 长， b、 e 就 等于五啊， b， e 就 等于五，那么求图中的阴影部分面积，那么我们说这个阴影部分面积加上这个三角形的面积，所以那么这个阴影部分的面积呢？ 其实就是应该等这个梯形 c、 f、 d、 g 的 面积。好，我们看到已知除了这 c、 f 等于五之外， d、 f 等于八，那么 a、 g 等于三， a g 等于三的话，那么这个 a、 c 等于八，这就是五，所以，那么就等于上底加下底乘以高除以二， 对吧？嗯，内积多少呢？呃，八五一十三，一十三乘以五就是六十五，所以就是二分之六十五，这面积就二分之六十五。 好，我们看到第二个加直角梯形 a， b c， d， a， b c， d 沿着 a 到 d 的 方向平行得到梯形。呃，直角梯 e f， g h， 已知 h g 等于二十四， h g 在 哪里？ h g 啊，这个是二十四，那么 w g 这个等于八，这里等于八。 c 这个东西等于六啊，这个等于六。由于刚才说了是一个直角题型，这是直角，这里是直角，而且当然平移的时候呢，这也是直角，对吧？这里是直角， 所以求 d h 等于 a， e 等于 b， f 等于 c、 g， 那么所以这里就是这个 c、 g， c、 g 等于多少呢？你看六八直角，所以这个 p、 e 的 距离啊，就应该等于十 啊， p、 e 的 距离等于十啊，就很简单，那么这个阴影部分的面积多少呢？你看这个阴影部分的面积，加上这个梯形的面积，就是 a、 b、 c、 d 的 面积 啊，而这个 d、 h、 g、 w， 这个面积加这部分面积啊，也是梯形面，所以这个阴影部分面积其实就等于这部分面积啊，所以阴影部分面积就等于 s、 d、 h、 g、 w， 那 么这部面积就等于上底加下底，下底是二十四乘以高，高等于八除以二，对吧？那么这个从这里到这里是二十四，这里是六，那这就是一十八了， 嗯，那就等于多少呢？这个就是二十三，十四，十二，呃，四十二，这二分之八月份就是四二四，得八，四四，一十六，所以等于一百六十八，这个面积等于一百六十八啊， pi 的 距离等于十。 好，那么刚才我是嘴巴上说的，但是这过程呢，并没有写出来好，那么这是第一题的这个过程啊，有平行的性质，得，平行的，这个距离始终是相等的啊，这个刚才这个面积之间的变化。 好，第二题，同样这平行的距离啊，刚才这里是连接 c、 t， 那这个面积之间的变化呢？我刚才嘴巴上说，嗯，那么大家自己去把它那个写出来啊。这两个题目的难度不大，是基础的题目，基础的题目，要确保拿满分，不丢分，记得点赞关注哦！

你不会证的平移， 把你的数学下册第三张，我们看到这里的第四题，如图，在等幺三角形 a b c 的 两幺 a b a c 上距离 e 和 f 是 a， e 等于 c f， 那 么这里呢，除了有等幺，还有 a e 等于 c f。 抓住这些重要的已知， a e 等于 c f， a b 等于 a c， a b 等于 a c 等幺三角形有些特别重要的内容， 当然在等幺三角中，最重要的就应该是三线合一，等幺三角底边的高线，底边的中线，顶角的平行线互相重合。 这个呢，应该是等幺三角最重要的，比如这里呢，做 a m 垂直 b c v m。 呃， b m 等于 cm， b m 等于 cm， 就 等于二分之 b c， 因为这里设计了有二分之 b c， 对 吧？ b m c m 就是 二分之 b c， 并且这个角 b a m 等于角，这个 c a m。 那 么当然还有这里是直角的， 现在这个 a e 和 c f 这两个相等。哎，我们将怎么样把它弄出个 e f 的 关系？好，我们把这个 a e 和 c f 啊放在一起，咱们可以这个平移 a e 啊，沿着 e f 的 方向，我们平移 a e， 把这个 a e 平移到 f d 的 位置啊，我们连接 a d c d。 好，连接之后呢，那由于这个 f d 是 a e 平移过来的，根据平移的性质，呃，除了 a e 平行切等于 f d 之外，还有这个 a d 呢，还有这个 a d 啊，平行切等于这个 e f 的 啊，也就是这个 e f 呢，我们就变出了它，变出了它就是 a d 了。好，现在我们要求着 e f 大 于二分之 b c， 我 们这求着 a d。 哎，这个大于二分 a d 就 大于这个大于等于啊，那就大于等于这个 c m 就 可以了。好，我们看到这里，如果我们过这里，又再继续来做垂直线的话，做这个 叫做 d n 乘以 a m， 那 我们就知道这个 d m 是 等于 cm 的 啊， d n 等于 cm， 为什么一直角，二直角，那这里是不是直角呢？ 我们看到啊，就是刚才我们过这里坐车直的时候，呃，这里直角，那刚才我们这里这就得到这两个角相等。 实际上刚才我们这个 a、 e 平行 f、 d 的 时候啊，有什么呢？有这个角 b， a、 f 等于角 a、 f d 啊，就这个角角 a、 f， d 等于角 b a f， 而 a e 等于 c f， 刚才我们拼过来之后， f、 d 等于 a， e 就 等于 c f， 那 就是说角 f c， d 等于角 f d， c 就是角 f c d 与角 f d， c 都是等于角 a、 f、 d 的 一半，而这个角 c a m 也就是等于二分之一角 b a c 也就是而刚才这个角 b a c 等于角 a、 f d， 所以我们就得到了这两个角相等，这两个角相等的话，那我们就得到 a m 平行于 c cd， a m 平行于 cd， 那 这个角是直角就出来了。我们可以证明 c、 d m m 是 一个矩形 啊，这是矩形呢，应该在九年级才学啊，但是因为这是科二的题目啊，那么有三角是直角的四边形呢，哎，他就是我们就可以判断是矩形，那么这样我们就可以得到这个 a、 d、 n 是 一个直角三角形，斜边大于直角 b， 那么这样呢？ a d 大 于 d n 就 出来了。哎，那么这里还有个等号，什么叫等号呢？那就是 a、 d 可能是等于 d、 n 的， 实际上也就是当这个 e、 f 啊，它是这个中位线的时候 啊，实际上当 e、 f 是 这个中位线的时候，那我们就可以得到这个 d n。 就 在这啊， d n 呢，就等于这个 c m， 所以 这里呢？呃， e f 大 于等于二分之 b c 啊，那么等号呢？是当这个 e、 f 分 别是 ab 和 ac 的 中点的那个时候的 啊。当然大家不明白的，您可以把这个图你去画一遍。好，刚才说的这个过程呢，只是跟大家解释，但是具体的系数呢，我们看到这里的第四题 啊，把 a e 沿着 e f 的 方向平行到 f d， 则 a e 平行切点 d f， 对 吧？我们就得到 e f 平行切点这个 a d 啊，然后我们可以证明这个 a m 啊，和这个 d c 平行。我们得到角啊，我们做这个垂直的时候啊，做这个垂直的时候，我们就可得到三个角，是直角啊，我们可以得到这个，这里也是直角啊，但这里我写了垂直， 所以我们知道这里是一个矩形矩形，所以 d n 呢？等于 c m。 呃，在三角形当中呢，是 a d 是 斜边大于直角边，但是当 e f 为 a b a c 的 中点的时候呢，那么这个 a d 呢，是等于 d n 的， 当然这个图形上我们就看不出来，你要重新去画图才能够理解呃，多去思考，模仿的去写，记得点赞关注哦！

同学们大家好，我们今天分享一个平移和面积的题型啊。题中说三角形 a、 b、 c 沿着 ab 方向向右平移三个单位，得到直角三角形得 e、 f， 那 么这段长就应该是三，这段长度也是三啊，这是平移的距离 e、 f 长度。题中说 e、 f 长度是六，这个啊，它是六， g、 b 长度它是四。那求图形当中阴影部分的面积，阴影部分的面积加上这个蓝色三角形的面积是 abc 的 面积，对吧？那同样的，如果梯形，我们再换个颜色啊。 如果梯形儿这个 f、 e、 b， g， 它的面积加上蓝色三角形面积也是 a、 b， c 的 面积。因为 a、 b、 c 和的 e、 f 同一个三角形儿，所以能得到。其实阴影部分的面积和它是相等的， 那我就可以通过算梯形的面积行，梯形面积是上底四，下底六乘以高，是三除二。那答案就应该是十五，没有单位啊，你会了吗？拜拜。

北师版八年级下册第三章旋转平移我们知道他是整个初中的重中之重，这块有个半角模型，相信啊，百分之九十的小孩都听过，而我们这个对角互补模型，有些小孩他虽然见过，但他不知道 这是啥意思。一个等腰直角三角形， a b c 中啊，等腰直，然后这个角它是九十度，你看他俩是不是对着的，是对角 哎，他俩还互补相差一百八吗？那么这个模型对应着我们 p a， p b， pc 就 有一个数量关系，那其实是 p b 加 pc 等于根号二倍的 p a。 咱们辅助的方法就是你可以从这边延长啊，让这个边等于这个边，也可以这块去做垂直，然后勾到手，拉手都可以去做。 那么这个模型他其实也符合咱们初中一个重要的模型叫托勒密定律的一个结论啊，当然了，托勒密定律他只能是做秒杀题来用，他不能写过程。 而我们把第一个啊，这个对角互补模型变个形啊，就变成了这个，就你把这个直角，你给它翻到上顶去，翻到上顶去，哎，让这块是垂直的，那么此时还是 p a， p b， p c 的 数量关系就略微的发生了变化。 同样你把这个图角 b， p a 这个九十度，你给它放在右侧这块，它就变成了这个图， 那么此时 p a， p a， p c 还有个数量关系。而我们这三个图证明方法都是一样的， 你要么是截长补短的思想，要么你是做垂直的思想，那么这三个图是非常锻炼咱们孩子七下的全等做辅助线的，以及我们八下第三张旋转平行的思想的， 咱们八年级小孩啊，要把这个模型学会，并且两种做俯卧撑的方式你都要会，因为不一定哪种方式是在你接下来考试中它能变得简单的。

中学生基本上都不会做的不等式当中的平移求最小值这类问题。 八年级数学下册第三章的我们平移的第七题，在三年级 a、 b、 c 中角 a、 c、 b 都是九十度好，第一个已知这是直角 加 bc， 这角等于三十度好，有了三十度，马上知道一比根号三比二的关系，也就这个角是六十度，对吧？ a、 c 如果等于根号三，那么我们刚才说是一比根号三等于二，所以 bc 等于一， ab 就 等于二 啊。 a、 b 的 r 呃，点 d 在 斜边上， e 在 a、 b 的 延长线上，现在有 b 的 a d， b， e 的 a d， 也就是说这个 e， b 加 b d 就 等于 a， d 加 b d， 所以 这个叫做 d e 啊，它就应该等于 a、 b 的 r 啊， d， e 等于 ab， 求三角形 c， d、 e 周长的最小值。 c， d， e 刚才我们说了 d， e 等于 r， 所以 现在我们这求这个叫什么东西呢？ c、 d 加 c、 e 的 最小值，然后呢，再把这个加起来就可以了，因为不管你怎么去 啊，画图，这个 d、 e 的 固定的等 r 的 好， c、 d 与 c e， 那么这里好像它不在一条直线上，我们求最小值，往往我们求它们在一条直线上的时候，三点共线的时候，我们前面都这么想的，所以这里您看啊，咱们比如说把这个 c、 d 给它平移 好，比如说它平移到这里来，对吧？呃，平移到这里，比如说平移到 e、 f 的 位置， 连接这个 c、 f 好， 那么这样我们要求这个 c、 d 加 c e 的 最小值，那就是求 f， e 加 c e 的 最小值，这将从哪里求起呢？ 当然刚才这个 c、 f 等于二，对吧？ e， f 等于 c d， 这个就是变化的波浪等于几？哎呀，这个 c e 加 e f 就 怎么办呢？ 所以在这里啊，他这个特殊的三十度角的直角三角形，所以对于三十度角的直角三角形来讲啊， 我们把这个 c 换个地方，所以这地方有个关键的东西很难懂的，你看啊，现在你看咱们这样办 作 c h 垂直 ab 啊，并延长 c h 到一点 g， 使这个 h g 等于 c h。 那 我们知道这里您看垂直中点，所以我们结合到的这个 a e 啊， 是 c g 的 中垂线， a e 是 c g 的 中垂线的话，我们就由中垂线上的点到线段的两端距离相等啊，这里有个关键的， 就是 c g 中垂线上的点 e 到点 c， 点 g 的 距离相等，那就说这个 e c 就 等于 e g。 好， 现在当 f e g 三点共线的时候， 所以我们把这个连起来啊，比如说它三点共线的时候， 三零勾线的时候，我们这个 f g 就 等于根号。这边我们刚才说是等于二，那么这个等于一的话，这个就等于二分之一，因为这六十多，这三十多，这个长的等于二分之一的根号三， 对吧？就是一根号三二的关系，这是二分之一，二分之一根号三，这个是二分之一的两倍，所以这里是二分之一，根号三，这里是二分之一，所以 c d 就 应该是根号三，所以就等于二的平方加根号三的平方。 当然大家还可能问这里是直角吗？因为刚才我们说我们把这个 c d 啊拼一到 f e 的 位置，所以我们就可以得到这个 c f 是 平行， 切，等于第一的，那么两直线平行，你看同位哎，这个同位角相等也可以，对吧？这个角 e h g 等于角 f c g 啊，这里就是直角， 对吧？那么这就等于根号四加三，根号七，所以这个周长三角形 c d e 周长最小值， 那就是根号七加二啊，这题我们就做完了，根号七加二，哎，这个呢，还是有一定的难度的。 嗯，大家看一下这里的证明过程啊，做 c g 乘以 ab 为 h， 延长 c g 到，延长 c h 到 g 是 h g 等于 c h， 则 c e 呢，就等于 c e 等于 g e， 特别就这一步 啊，这步呢，就是你就是照我这个读啊，抄一遍的话，你你你抄不懂的啊，我这里又没有说什么理由啊，我现在跟你说啊，这个应该叫做什么呢？线段中垂线上的点 啊，就是说 a e 呢，是 c g 的 中垂线的点到线段的两段距离下呢，因为我们这个呢，我们是找平移的，但是这个呢，我们这里不是平移的 啊，由于这个 c d 平移到 f e， 所以 这个 c l 是 平行且等于 d e 的 啊，那这样我们就可以知道这个角 f c g 等于角 e h g 等于九十度，所以那么这个 f c g 这个直角三角呢， f g 就 等于根号，这边就等于二啊，但是这有的过程呢，我，我这里也省略了很多 啊啊，大家关键是要理解啊，大姐，你也可以把这过程补补清楚一点。嗯，应该说这道题是一道非常难懂的一道题，记得点赞关注哦。

百分之九十的学生不会用平移的知识求四边形周长的最小值。八年级数学下册 第三张的平移。我们看到这里的第十题，如图，在 r t 三角形 abc 中， abc 等于四角， abc 等于九十度。好，我们首先把这么多看清楚。呃， ab 等于 bc 等于四，说明它是等腰的 角 a， b c 等于九十度，说明这是直角，那就是等腰直角三角形，等腰直角三角形。那我们知道角 a 角 c， 那 都是四十五度啊。这个 a c 呢，等于 ab 等于 bc 的 根号二倍， ab 等于 bc 等于四，但是这里呢，有一个 c d 等于一， c d 等于四，那么 b d 就 等于三。 现在有一条长为根号二的线段 p q 啊， p q 的 长呢，是根号二在 a c 上移动。求四边形 b p q d 周长的最小值，这个周长，那就应该等于 b p 加上 p q 啊， p q 是 已知的，加上 q d。 呃， b p q d 这不知道。然后 p q 和 b d， p q 和 b d， 那 么这个周长 就应该等于这么多，那么加这个是根号二，加这个是 b d 等于三。所以现在只要把这个 b p 和 q d 啊， 把它和找出来就可以了。好，这两条线段的和呢，咱们想方设法把它变成是。呃，因为最小值嘛，两点之间线段最短， 你看这两点跟这两条线呢，根本就不在一起，咱们怎么办呢？所以咱们可以想一办法把它给平移，把这个 b p 呀，沿着 p q 啊，平移到 这个叫做 b 一 撇 q 的 位置上来啊。那么因为通过平移，它的对应点呢？ 啊，对应线段是平行且相等的啊，对应 b 平行且相等。那么您看到这里的 b b 一 撇，那就是等于根号了， 哎，这个 b p 就 等于 b 一 撇 q， 哎，你看 b 一 撇 q 就是 b p， 所以 要求 b p 加 q d 最短，就是求 b 一 撇 q 加 q d 最短。 好，现在已经把他们通过一个点呢，把它弄在一起了，现在咱们呢把这个两条线段的和变成是一条线段上来，这一条线段怎么变呢？ 我们看到这个 q d 呀，呃，它其实是可以等于做它的对称啊，不管 d 在 哪里做它的对称。第第一撇也就是 q d 等于 q d 一 撇， 我们做点 d 关于 a c 的 对对应点，那么这个 q d 就 应该等于 q d 一 撇，对吧？那么这样呢，我们来看呢，当这个 q b 一 撇加 q d 一 撇，当这个 q 呢？在这个 b 撇 q d 三点共线的时候，你看什么时候呢？那就是当 q 在 这 啊，当 q 在 这里的时候， q b 一 撇加 q d 一 撇，哎，那它就是最短的啊，所以我们现在把这个最短的给它，给它，给它求出来，那么这个最短的怎么去求呢？ 那我们现在看到这里的最短的，哎呀，这个长度等于几呢？ 嗯，刚才我们找到这个，这个是 abc， 等于这角三，这四十五度，那么刚才我们做平行的这个角也是四十五度的角，对吧？这个角也是四十五度的角，那么这个角也是四十五度的角的话， 那么现在我们要求这样的一个长度啊，就是求这个 b 一 撇 d 一 撇的长度。 我们看刚才这个 d 跟 d 一 撇是什么关系？刚才我们是做过 a c 的 对对称点，所以我们把这个 c 一 撇就给它连起来， 哎，这连起来，那这个就是四十五度，好，那我们就可以有了，这个叫做 b c d 撇，这是一个，这是个直角啊，这是直角， 那么在这个直角，现在我们来建立一个，这是个直角三角形。 我们来看看这个，这边等于一，这边等于一。哎，这里是根号，根号应该是直角边长为一的根号二倍， 所以我们来看看啊，如果咱们这里做垂直，所以这题目是非常难的，嗯，比如说做，这里叫做 e， 做 b 撇 e， 嗯，如果说这里有一个点是我们加入一点 f， 那 么这里刚才我们坐车至这四十五度，那么这个根号二，应该等于，这个就是一啊，这个长度等于一，这个长度等于一，所以我们现在来看啊， 哎，对于这个 b 撇 e f 和 d 撇 c f 这两个三角来讲，我们看到这里是直角，这里是直角，这边等于一，这边等于一对顶角相等 三角形。 b 撇 e f 前等于三角形，这个 b 撇 e f 就是 d 撇 c f 这两个三角圈呢，那么这两个三角圈呢？之后呢？那我们就可以知道这个这个 e f 啊，是等于 c f 的 e f 等于 c f。 实际上，当然这里如果说我们要求这个， 我们我们建立这样的直角三角形，你看我们建立这样的一种矩形也是可以的啊。 你看，那么这个 b 一 撇 d 一 撇，就等于这个是一，这个是一，那么然后到这个长的，那就是几呢？就是三 啊，就是这个长的等于三，所以这个 b 一 撇 d 一 撇，那就等于根号二的平方加三的平方二得四，三得九，呃，就是根号一十三， 也就是说这个 q 一 q b 一 撇加 q d 一 撇， q b 一 撇加 q d 一 撇大于等于根号一至三，也就它的最小值就是根号一至三， 所以那么这个周长的最小值就是根号一至三，加上这个根号二加上这个三 啊。当然刚才大家您可以把这个是这个长的等于三，这两个三角形呢？这个等于一点五，对吧？呃，这个等于一点五，那么您把这个求出来呢？等于二分之根号一至三， 你看这个 b 一 撇 f 等于根号，对吧？一的平方加上二分之三的平方，这个是四分之九，就是四分之一十三，对吧？所以等于二分之根号一十三，所以您可以，当然你也可以这样去求，不过每个人的求法呢，可能是不一定是一样的。 好，刚才这一题的过程呢，大家可以去参考一下，这题是有些难度的， 求最小值啊，通过平移，而且这里也通过轴对称，还有三角形全能，还有勾股定律啊，这个内容啊是非常多的，记得点赞关注哦。

如何在正方形中平移？求最小值？ 八年级数学下册第三章的平移的第五题。在正方形 a、 b、 c、 d 中，边长是二，好，告诉正方形，告诉边长是二。 呃，边长是二的话，那么正方形的对角线，那就应该等于二根号二 啊。你看这个等二，对吧？这个，这个等二，那么这个 a、 c、 b、 d 就是 二根号，所以这个都等于根号二，对吧？ o a， o b， o c， o、 d 都等于根号二啊，都等于根号二啊。正方形的这条线呢，是互相平分的，垂直的， 呃，还是相等的啊？好，对角线 a、 c、 b、 d 交于点， o p， k 为 b d 上两个洞点，现在是 b p 等于 o q。 好， 这两段相等啊，把这两段相等，给它看清楚，是这两段相等， 求 a p 加 c q 的 最小值。 a p 加 c q， 我 们得想办法把 a p 和 c q 啊变在一个地方去，或者说一个算题上去。你比如说，咱们把这个 c q， 咱们平移， 对吧？平移到这来，平移到 b 是 这个叫做 pm 的 位置，对吧？ c q p 到 pm 的 位置，然后连接 cm， 好， 那么把 c q 平移到 pm 的 位置，那么这样呢？我们就知道 cm 它就是平行。切，等于 p q， 而这个 p q 呢？大家注意啊， p q 是 等于这个 o p 加 o q， 由于 o q 等于 b p， 所以 这个 p q 呢，是等于 o b 的， 当然也等于 o c 的是等于根号二的。刚才咱们说了，因此 c m 就 等于根号二， 那么而我们这正方形的对角线是垂直的，刚才我们说这个是平行的，所以这个角 a c m 也就是直角， 所以这个 a p 加 pm 就是 a p 加 c 个的最小值。那如是两点之间线段最短，所以我们可以先把 am 给它求出来。 am 等于根号，这里是根号二的平方， 这里 a、 c 呢？是多少呢？我们刚才说是二根号二，所以二根号的平方等于根号的平方是二，二根号的平方是八，等于根号十，也就是 ap 加 c 扣的最小值就是根号十。 好，具体的证明过程呢？好，我们来看到这里的第五题 啊，已知 b c 等于二啊，正方形 b p 等于 o q， 求 a p 加 c q 的 最小值，把 c q 沿着 q p 的 方向 平行到 pm 的 位置，对吧？这样我们就知道这个 c q 和 pm 是 平行于相等， p q 和 cm 也是平行相等。 那么由于正方形的边长是二，所以我们得到 a、 c、 b、 d 都等于这个二根号，并且角 a， c， m 和角这个 a o b 啊。当然呢，你说 b o c 也可以九十度，并且 c m 呢，是等于 p q 等于 o p 加 o q 啊，也就变化了，等于 o b 等于根号二，所以 am 就 等于根号 a、 c 的 平方加 cm 的 平方。呃，当这里当 apm 三点共线的时候，对吧？当 apm 共线时， 对吧？ a p 加 c q 就 应该是最小的，那两点之间线段最短，对吧？所以这个 a p 加 c q 的 最小值是更好使 好由拼音呢去证明，要多练一练，提高你的思维解题能记得点赞关注哦！

含字母系数如何？求周长的最小值？八年级数学下册第三张， 我们看到第十一题，如图，已知点 a 的 坐标是一二，点 p 的 坐标是 a， 零点 q 的 坐标是 a 加三，零 点 p 和点 q 的 纵坐标都是零，也就是说它们都在横轴上，其中 q 和 p 之间的距离等于三，因为这个 a 加三比 a 大 三，也就是 q 是 a 往右边平移三个单位，沿着 x 轴 啊，点 p 的 坐标呢，它是 a 零，点 q 的 坐标呢，是 a 加三，零 点 a 的 坐标呢，是一二又一上二。求三角形 a p q 周长的最小值，那么这个周长，那就应该等 a p 加 a q， 再加上 p q， 那 就等一个 a p 加 a q， 然后加上一个三， 那么 a p 加 a q， 我 们可以把这个 a q 和 a p 啊，呃，把它怎么放在一条线段上？我们可以做这个 a q 关于点 a 的 水平线的这个对称的 啊，我们做关于这个叫什么呢？叫做 y 等于二的对称的点，做点 q， 嗯，比如说这个大概是一点三，二点六，大概在这儿，对吧？这 q 一 撇 啊，我们做这个点 q， 关于 y 等于二的， 那么这样的一个对称点，那么这样呢，我们就知道点 q 的 坐标横坐标是 a 加三，纵坐标就应该等于四 啊，因为这个长的等啊，这个长的等啊。好，现在要使 ap 加 a q 等于 ap 加 a q 一 撇最短，那就是 p q 一 撇最短，而 p q 一 撇，那就在 p a q 三点共线的。 所以那么这个时候我们可以设这个 p q 一 匹啊，为 y 等于 k， x 加 b， 咱们把这个 p a 零 q a 加三四，把它带进去 啊，带入这个 a 零与这个 a 加三四。好，那我们就有了 a， k 加 b 等于零， a 加三 k 加 b 等于四，对吧？好，我们这两个相减， b 减 b 等于 a 加三 k 减 a， k 就是 三 k， 三 k 等于四 k 等于三分之四。呃， k 等于三分之四，可 b 还是没法求的啊，所以，那么这个 这个 p q 一 撇啊， y 等于三分之四， x 加上 b， 但是呢，它又固定 a， 所以 我们又大于 那个 a 叫做一二，我们就有二等于三分之四加上 b， b 就 等于二，减去三分之四，三分之六减三分之四就是三分之二。 好了，所以这个 p q 一 撇，那就是 y 等于三分之四， x 加三分之二了。 好，那么这个时候呢，现在我们就可以把这个 p 一 点的坐标求出来，当那个叫什么呢？ y 等于零时， 三分之四， x 加三分之二等于零，两面乘以三四， x 加二等于零，四 x 等于负二， x 等于负四分之二，也就是 x 等于负二分之一，那么这个时候，也就是 a 等于负二分之一， 对吧？ a 等于负二分之一的时候，这个 p 就是 负二分之一零，而这个 q 呢啊， q 一 撇就是多少呢？那个负二分之一加三三减去二分之一就是二分之六，减二分之一就是二分之五， 二分之五四， 好， k 一 撇的坐标是二分之五四，好，那么这样呢？ p q 一 撇的长度，呃，这个等于三，这个等于四，这就等于五了 啊，这就等于五。呃，所以，那么这个周长就是五加三等于八，这个是 a 等于八分的。好，有时间呢，这个具体的过程呢，大家看一下啊，这里的底是一体， 首先作 q， 关于这个 y 等于二的这个对称点，就 q 一 撇这一点坐标是 a 加三四。 然后呢，由于这个 a p 加 a， q 等于 a， p 加 a q 一 撇，要使得它是最小的，我们就必须三点共线，根据两点之间线的最短，所以有过 p q 一 撇的两点的这个直线叫做 y 等于 seven， six 加 b 大 于点 a 一 二， 所以这个 b 等于三分之一，三分之二求出来，当 a q 一 撇， p 三零共线的时候， 对吧？ y 等于三分之四， x 加三分之二。哎，这个是当 y 等于零的是 x 等于负二分之一，就是这里的 a 啊，就是这里的 a 等于负二分之一，然后这个长的等于三，这个长的等于四，这个长的等于五，所以最小的周长等于八。 哎，听懂了，那么他也就是不是很难了。好，这样的题目多做一些，因为我们江西的中考啊，喜欢考一些平移与旋转的题目，记得点赞关注哦！

弄不明白的四边形周长的最小值？八年级数学下册第三章第九题。在矩形 a， b， c 这种 b， c 等于三， a， b 等于四， e 是 a， b 的 中点， m， n 为 b， c 上的两个动点， m 在 左， m， n 等于二，求四边形 d， m， n 周长的最小值。好，我们把有关的 m n 等于二，这个长的等于二， b， c 等于三，他说的是矩形，那 ad 就 等于三， ab 等于四， e 又是 ab 的 中点，所以 a e 等于 b 等于二， cd 等于四， 求 d m n， d e， m n 的 周长。好，这个呢，这个 d， e 呢，应该是固定的啊，这里是矩形，这个是直角，这个三三得九，二得四，九四一十三，根号一十三。 那现在只要把这个 e m 跟 d m 的 这个两个加起来就可以了。好，这两个我们怎么去加起来呢？我们可以把这个 d m 啊，咱们往这平移两个单位 到这里来，对吧？平移两个单位到这里来，那么这个 m 啊，比这 d 到了 d 一 撇， 那么 d 一 撇 a， 这就等于一，因为这 m n 等于 r 嘛。啊，沿着这个平移过来，平移过来了之后呢，我们来看到这个，所以这个 m， d 一 撇啊，等于 md。 现在 m a 等于什么呢？我们可以做它的对称点，做这个 e 的 对称点， e 一 撇，对吧？延长 a b 到 e 一 撇，使 b 一 撇，等于 b， e 连接 这个 m e 一 撇。那么这样呢，我们就会知道，这个 m d 一 撇，加 m e 就 等于 m d 加上 m e， 所以 当一 撇 d 就 等于一撇 d 一 撇啊，当三点共线的时候， 那么它就等于根号一的平方，那这个就等于二，这就是加六的平方，所以等于根号三十七， 所以这个周长的最小值等于多少呢？就等于这两个加起来就等于根号三十七加根号一，十三加二，这就是这个四边形周长的最小值。好，这里的第九题， 大家看一下这里的我写的过程啊，有已知的，这里其实你看它四边形是矩形，这个直角我都省略了很多。 嗯，大家也可以把这些，因为四边形是矩形呢，这里是直角啊，对吧？这补住了啊，我呢都没有补，而且呢这个 a e 的 b 的 r 呢？我这个写的太简单了一点啊，这是上一届教学生时候的写的 啊，但是主要的步骤要把它写清楚啊，大家可以稍微多写一点。我这里写的少呢，可能有的人看不太懂，你还是听我刚才讲解的，在自己独立的去写，独立让自己数学思维发展的更好一些，记得点赞关注哦。

这道题就算老师和学霸也得想一会才能想出思路，因为辅助性的做法确实不一般。题中给了我们一个等腰三角形， a、 b、 c， a、 b 就 等于 a、 c、 d 点和 a 点呢，是两条腰上的两个点，并且呢， a 一 的长度就等于 e、 d 的 长度也等于 d， b 和 bc 的 长度，这四条线段的长度呢，都相等，让我们求角 a 等于多少度， 要求这个角的大小。题中并没有告诉我们其他角的大小，那我们只有想办法把这些线段相等的条件呢给充分运用起来。首先，我们先来看一下这四条线段相等。首先， a 等于 a、 d 等边对等角，这个三角形 a、 d 呢，实际上呢，是个等腰三角形，那么角 a 实际上就等于这个角 a、 d、 e， 那 我们不妨设角 a 和角 a、 d、 e 呢，都是 x 度，那么这个角作为外角就等于不相邻呢？这两个内角的和，很显然它就是二 x 度。 再来看一下 d， b 等于 bc 这两条线段呢，我们暂时看不出来如何进行运用，接下来呢，我们就不妨看一下 ab 等于 ac， 这两条比较长的线段也相等。我们注意到 b、 d 是 等于 a 的， 如果我们用长线段各自减去这个短线段，那么剩下的这个 a、 d 和 c 呢，也必然是相等的。所以说呢， ab 等于 ac， 实际上就是告诉我们 a、 d 也等于 c、 e， 这两条线段的长度呢，是相等的，但是呢，他们又不相邻，该如何进行运用呢？在初中几何当中，当我们遇到两条线段的长度相等而不相等的话，我们往往可以想办法去构造出等腰三角形，或者呢，想办法去构造出 全等三角形，那么在我们这道题目当中该如何选择呢？我们注意到 a 等于 d 这几条线段相等的条件，我们这个时候发现 a、 d 和其中的一条线段 d 呢，已经构成了一个三角形，那这个时候呢，我们就很容易想到去构造出全等三角形呢，更能充分运用我们的已知条件。 要构造出全等三角形，实际上就是要运用 c 这条线段，想办法构造出一个三角形。全等于三角形 a、 d 如何来构造呢？ 我们就要充分运用好 b、 d 等于 bc， 想办法在线段 c 的 旁边呢，再构造出一条线段等于 d， 这个时候呢，就构造出了全等的三角形。 我们只要把 b、 d 沿着 b、 c 方向做一个平移，使得 b 点移动到 c 点的位置，这个时候我们假设 d 点呢，移动到了 f 点的位置，通过平移做出这条几何辅助线之后呢，我们就很容易得到 b、 d 必然就等于 c、 f， 同时呢， b、 d 也平行于 c、 f， 这个是平行做辅助线这种辅助线做法的一种特点。 同时呢，我们注意到这条线段既平行又相等，那如果连接 d、 f 的 话，四边形 d、 b、 c、 f， 实际上呢，它必然是一个平行四边形，同时呢， d、 b 又等于 b、 d， 它也是一个菱形，通过平行做辅助线，我们往往可以得到 平行四边形或者菱形。接下来我们再来看一下构造出的全等三角形 a、 d 等于 e、 c， 而 d、 e 呢等于 cf， 这个时候呢，我们只要连接 ef， 大家来思考一下三角形 a、 d、 e 与三角形 e、 c、 f 有 着什么样的关系？首先呢， a、 d 等于 e、 c、 e 呢，等于 c、 f， 两组线段呢，分别对应相等，下面呢，我们只要找一下它中间这个夹角就可以了。这个角 e、 c、 f 等于这个角 a、 d、 e 吗？我们注意到 d、 b 是 平行于 c、 f 了， 两直线平行内错角相等，这个角呢，必然就等于角 a、 d、 e。 这个时候呢，根据边角边，我们就很容易得出这两个三角形的全等三角形 a、 d、 e 全等于三角形 e、 c、 f。 有 了三角形的全等之后，全等三角形对应的边相等和对应的角相等。首先这个角 c、 f 必然呢就等于角 a 也等于 x 度，而 e、 f 的 长度呢，必然就等于 a 的 长度，当然呢，也就等于 d 和 d、 b、 b、 c 的 长度。 那么接下来如何来求出角 a 呢？我们注意到这个四边形 d、 b、 a、 c、 f， 它是一个菱形，那么 d、 f 的 长度必然呢，就等于 b、 c 的 长度，当然也等于 d、 b 和 d 的 长度。刚才我们已经证明了， e、 f 的 长度呢，等于 a 的 长度，也等于 d 的 长度。 这三角线段的长度实际上呢，都是相等的。那么三角形 e、 f 就是 一个等边三角形，等边三角形的三个内角呢，都是六十度。这个时候我们就发现了角 d、 f 可以 写作这两个角相加，也就是三 x， 而它又是 等边三角形的一个内角，很显然，三 x 呢，就等于六十， x 呢，很显然就等于二十。我们要求的角 a 呢，实际上就是 x 度，也自然就等于二十度。