六下数学圆柱与圆锥13页第3题方法

孩子们好，今天我们来学习六年级下册第三单元，圆柱与圆锥的第一课是圆柱的认识。来看老师给大家带来了什么？仔细观察这些物品， 你发现上面这些物体的形状有什么共同点？我们把这些图形抽象出它们的几何图形， 像上面这些物体的形状都是圆柱体，简称圆柱。孩子们，在生活中你还见过哪些圆柱形的物体呢？比如这个盒子是圆柱，这个水杯也是圆柱，我的这个遥控器也是圆柱。 看来呀，圆柱在生活中随处可见，那么圆柱它有什么特点呢？接下来我们一起研究。例一， 观察一个圆柱形的物体，看一看它是由哪几部分组成的，有什么特征。孩子们，拿出你手中的圆柱，摸一摸，看一看吧。通过观察，我们发现，圆柱是由三个面围成的， 像这样上下两个面叫做圆柱的底面，周围的这个面叫做圆柱的侧面。拿出你的圆柱，摸一摸底面、底面、侧面。我们还发现圆柱的底面都是圆， 并且大小一样，它的侧面是一个曲面。知道了圆柱的这些特征，那你能判断哪些物体是圆柱吗？一起来看这道题， 下面哪些图形是圆柱？在括号里画对号来看，第一个图形，它是上下两个底面，一个曲面，所以它是圆柱。第二个呢，不是，因为它的上底面不是圆，是个椭圆。第三个图形 倾斜放，但它仍然符合圆柱的特征，所以它仍然是圆柱。第四个图形，两个底面都是圆，但大小不同，所以它不是圆柱。 最后一个图形，就相当于把我手里的遥控器立起来放，它仍然是圆柱。接着看这样的两个圆柱，它们有什么区别呢？我们发现它们的底面相等，一个圆柱高，一个圆柱低。圆柱的高低与什么有关系呢？ 对，与圆柱的高有关系。那什么是圆柱的高呢？连接两个底面的圆心这条线段就叫圆柱的高。你们认为圆柱有几条高呢？ 对，不仅仅是连接圆心的这条线段较高，上下底面的任何一条垂直线段 都叫圆柱的高。所以我们发现圆柱两个底面之间的距离叫做高，圆柱两个底面之间的距离就是两个底面之间的垂直线段的长度就叫做高。那么任何一点到底面的垂直线段都 都叫圆柱的高。所以圆柱有无数条高长度，并且都相等。圆柱它是立体图形，那它和我们的平面图形之间有没有关系呢？来看这个动手操作。 如果把一张长方形的硬纸贴在木棒上，快速转动木棒，看看转出来的是什么形状。孩子们，你也动手做一做吧。那王老师就把这个长方形粘在了木棒上，我如果给他快速旋转起来，你发现能看到什么图形？ 对，我们把这个长方形快速转动起来，转起来就像一个圆柱。如果我把木棒粘在长方形的这条边上，快速转动起来，是不是也像一个圆柱呢？ 这样通过一个平面转动起来，我们就得到一个立体图形，这叫面动成体。我们以前学过，把一个正方形向上平移，就得到一个正方体。那么圆柱能不能通过一个平面图形平移得到呢？ 一个硬币可以看作一个圆形，如果我把更多的硬币落起来，就相当于一个圆，通过平移也可以得到一个圆柱，这都可以称为面动成体。 来，孩子们总结一下，通过这节课的学习，你有了什么收获呢？首先我们知道了圆柱的特征，上下底面是两个大小相等的圆， 侧面是一个曲面。我们还知道了圆柱的高，圆柱的两个底面之间的距离叫做高，他有无数条高，长度 都相等。另外，我们还知道面动成体，以长方形的一条边为轴，快速旋转，就看到一个圆柱。那接下来教材十七页做与做中的两道题一定难不住你。

三十秒动画让你领悟圆柱圆锥倒置转换问题，此类问题重点抓住水的体积不变，圆柱和圆锥的底面积相等。先看第一想象，我们有魔法可以控制水静止不动。切开， 先让圆柱里的水下落体积不变，剩下高十八厘米是圆锥里的水。先来从公式理解一下圆锥与圆柱之间转换的关系。转化过程，体积不变，所以相等，别忘了这里的底面积也相等，所以柱体的高等于三分之一，锥体的高。 回到题目，这个锥体的水下落体积不变，转换成柱体，其高就是锥体的三分之一，等于六厘米， so easy！ 再看例二，倒立过来水不动，这里是柱体转化为锥体，那就先把锥体填满水。已知锥体的高度是十五厘米， 那他就只能装柱体里五厘米高的水，柱体还剩七厘米的水，下落填满高度还是七厘米，最后就是十五加七等于二十二厘米了，是不是 so easy 呢？

孩子们好，今天我们来学习六年级下册第三单元圆柱圆锥的第三课时，圆柱的表面积。首先大家思考一下什么叫表面积？ 物体表面的总面积叫做它的表面积。比如我们以前学习的长方体、正方体，他们都有六个面，那六个面的总面积就叫做他们的表面积。 那圆柱的表面积指的是什么呢？它包括上下两个底面和一个侧面。前面的学习中我们已经知道了，圆柱的长开头包括两个底面，一个侧面，所以圆柱的表面积等于圆柱的侧面积加两个底面的面积。 接着看他的两个底面是大小相等的。圆圆的面积我们以前学了呀， s 等于 pi r 的 平方，圆柱的侧面积又该怎么求呢？把圆柱的侧面沿高剪开展开以后得到一个 长方形，那么圆柱的侧面积其实就是长方形的面积。通过观察我们发现，长方形的长等于圆柱的底面周长， 长方形的宽就是圆柱的高。因为长方形的面积等于长乘宽，所以我们推导出了圆柱的侧面积等于圆柱的底面周长乘高。如果用字母来表示，那就是 s 侧等于 c h 还等于二 pi r h。 看来呀，圆柱的侧面积会求了，圆柱的底面积会求了，那圆柱的表面积是不是就简单了？来看这道题。一个圆柱形罐头的侧面贴着商标纸，圆柱底面半径是五厘米，高是十厘米，这张商标纸的面积是多少？ 要求这个商标纸的面积其实就是求圆柱的侧面积。圆柱的侧面积怎么求呢？ s 侧等于底面周长乘高还等于二 pi r h， 那 这里告诉了底面的半径，你能不能求出它的侧面积呢？ 半径乘二是直径，直径乘派等于底面周长，底面周长乘高等于圆柱的侧面积，那就是这个商标指的面积。答，这个商标指的面积是三百一十四平方厘米， 那圆柱的表面积都包括两个底面和一个侧面吗？那可不一定，我们要根据实际情况具体分析，一起来看。例四，一顶厨师帽近似圆柱形， 高是三十厘米，帽顶直径二十厘米。做这样一顶帽子大约要用多少平方厘米的面料？得数保留整时数，求大约用多少面料，其实就是求什么呢？对这个帽子的表面积，那我们再来思考一下这个帽子的表面积，它包括几个面， 一个是圆柱的侧面积，还有一个是圆柱的底面积。因为下面要戴在头上，所以他只有一个底面， 那我们就得到圆柱的表面积就等于侧面积加一个底面的面积。题中告诉了底面直径，所以圆柱的侧面积直径乘 pi 等于底面周长， 底面周长乘高，得到帽子的侧面积一千八百八十四平方厘米。帽顶的面积也就是底面积等于 pi r 的 平方直径除以二是半径 pi r 的 平方，求出底面积三百一十四平方厘米，那么需要的面料就是侧面积加帽顶的面积。 注意，这里实际使用的面料要比计算的结果多一些，所以我们这类问题往往要用 进一法来取它的进四数，所以等于二千一百九十八平方厘米。注意，进一法约等于二千二百平方厘米。答，做这样一顶帽子大约要用二千二百平方厘米的面料。那大家继续思考，如果让你计算烟囱、水管、通风管的表面积， 就是求他的什么的面积。对，这些的表面积其实只包括一个侧面积，所以只计算他们的侧面积。大家继续思考，怎样计算笔筒、玻璃杯、无盖水桶、水池、 帽子的表面积呢？像这些，他们都包括一个底面的面积加上一个侧面积，所以只计算侧面积加一个底面的面积。 怎样计算茶叶桶、油桶的表面积呢？茶叶桶、油桶我们是要盖盖的，所以呢，它的表面积就包括侧面积和两个底面的面积。 看来呀，我们在计算不同物体的表面积的时候，一定要根据实际情况灵活计算。好了，孩子们通过这节课的学习，你有什么收获呢？ 首先我们知道了圆柱的表面积，包括圆柱的侧面积和圆柱的两个底面的面积，所以圆柱的表面积 s 表等于 s 侧加两个 s 底 侧面积。怎么求呢？ s 侧等于底面周长成高，所以 s 侧等于 c h。 圆柱的底面积就是我们以前学习的圆的面积， s 底等于 pi r 的 平方。我们在解决圆柱表面积的实际问题的时候，并不一定都是包括两个底面积，一个侧面积，有的是侧面积加一个底面积， 有的是只计算侧面积，还有的是侧面积加两个底面的面积，所以我们一定要做到灵活应用于不同的情境，做到灵活选择。

六下必考圆柱、圆锥。一个圆柱和一个圆锥底面半径的比是二比一，高的比是一比三，他们的体积可是三十一点四立方厘米。圆柱和圆锥的体积各是多少立方厘米？ 这道题的破题思路就是巧用笔的转化条件说，圆柱和圆锥的底面半径比是二比一。 因为圆柱和圆锥的底面都是圆，所以就可以推出圆柱和圆锥底面积之比就等于这俩货的底面半径平方比。所以圆柱和圆锥的底面积之比就是二的平方比一的平方等于四比一。又知道圆柱圆锥的高之比是一比三。 圆柱的体积公式是底面积乘以高，圆锥的体积公式等于三分之一，底面积乘以高。已知圆柱、圆锥的底面积之比是四比一。还知道这俩货的高之比是一比三。 再结合这俩货的体积公式，就可以得出，圆柱和圆锥的体积之比是四乘以一，比上三分之一乘以一乘以三等于四比一。已知圆柱圆锥的体积比 条件还说了，圆柱圆锥的体积和是三十一点四，按比例分配就 ok 了。把圆柱的体积看成是四份， 圆锥的体积看成是一份，那体积的总分数就是四加一等于五份。用体积和三十一点四除以总分数五份就可以求出一份是六点二八立方厘米， 圆锥的体积就是一份，所以圆锥的体积就是六点二八。圆柱的体积是四份，所以圆柱的体积就是六点二八乘以四等于二十五点一二立方厘米。

六下数学最难的圆柱与圆锥就这十五大题型练完稳进班级前三，可打印六年级下册。数学重点，圆柱与圆锥公式清单圆锥体积的计算圆柱体积的计算圆柱的侧面积计算圆柱的表面积计算 pad 常用数常用单位换算 圆柱和圆锥常见题型总结题型一，圆柱、圆锥各部分名称及特征题型二，圆柱的侧面积三，圆柱的表面积题型四，特殊的圆柱表面积问题题型五，捆扎问题题型六，圆柱切割带来表面积的变化题型七，圆柱体积推导问题题型八，圆柱切割问题题型九，铁皮问题题型十，半径、直径表面体积关系 题型十一、计算不规则容容器的容积问题题型十四，圆柱与圆锥的关系溶住问题立体图形的体积和表面积以上均有电子版。

六年级的小伙伴，我们第一单元学习了圆柱， 我们求圆柱的体积和侧面积的公式，前面我们也已经讲过了，今天我们来做 a 卷上的附加题，他说如下图，我们有一块长方形的铁皮，这是这一块长方形，整个这一块大的长方形的铁皮， 把其中的涂色的部分把它剪下，我们这个阴影部分把它剪下来，制成一个圆柱形油桶。求圆柱形油桶的表面积是多少，我们要知道一个圆柱形的表面积是等于它的侧面积加上两个底面的面积。 在这里我们知道这一个长方形的长是一十八点八四 分米，它的宽是十分米，这里我们第一步要想到的首先要求到这个圆的直径，求出圆的直径就可以求出它的半径来，圆的直径是 这里是知道圆的周长，看一下我们这一个展开的这个长方形的长就是这一个圆，它的周长 我们拍乘以 d， 周长就是十八点八四，拍 d， 那 我们 d 就 可以算出来这个直径就是一十八点八四，除以三点一四，等于六分米， 这里我们算出这个 d， 这个直径算出来以后，我们看这一个长方形的这个宽， 用它的宽是十分米，减去一个直径，就求出我们阴影部分的这一个宽阴影部分这个长方形的宽就是十，减去六就等于四分米，我们阴影部分的长是是十八点四，宽 是四分米，就可以求出这个侧面的面积，侧面面积就是 我们把它求出来以后，就可以加上这两个圆的面积，就是两个圆的面积。一个圆的面积是三点一四，乘以 pi r 平方， r 是 二分之六， 它的平方我们再乘以二是两个圆，就算出这一个整个侧面积，加上两个圆的面积，就求出它总的阴影部分的面积就是一百三十一点八八。 这里我们最后同样要写上答的。再看我们第二道题，他说一个圆柱形物体的底面直径是八分米，这里告诉我们这个圆柱形的底的直径，这个圆柱底的直径是八分米， 他被切后斜切向这个形式，把它斜切开以后，像这一个图形， 最低处是十分米，最高处是十五分米，他问的我们要求这个被切厚的这个物体的体积，就是切了以后，这是一个不规则的物体，我们怎么去求它的体积呢？是多少立方分米？ 这个不规则图形我们可以用两种方法去，第一种方法就像这个同学所用的方法，我们是看到是用的是分割法，也就是把这个不规则图形分成两部分，下面这部分它是一个圆柱，是这一个圆柱的 上面这个部分，它是我们以高十五减十，这个高为圆柱的一半，就是切割成这样的两个图形，我们用下面这个圆柱形的面体积，加上上面这一个圆柱形的体积的一半， 那我们就求到他的总的体积，这个不规则的被切后的这个物体的体积是六百二十八立方分米。 看我们第二种方法更简单，我们用补全的方法，我们将这个圆柱切的 把它补全，补全以后它就是一个完整的圆柱，这个完整的圆柱它的高就是十五分米，再加上十分米就是二十五分米， 再用这个底面积，我们底面积乘以高，底面积是三点一四乘以拍二平方，这里低是知道我们 r 也会求出二分之八 的三个平方，再乘以他的高乘以他的高，十五加十，他这里求这个 整个这个圆柱的体积求出来，我们再除以二，就是他最下面的一半，除以二就得到同样的答案，是六百二十八立方分米。 像这种题，我们掌握到第二种方法更简单，在我们考试的时候，如果你用上更简单的方法，就节约时间，也算起来更方便。

六下数学最难的圆柱与圆锥，就这八大题型练完稳进班级前三！六下数学圆柱与圆锥八大考点考点一，圆柱与圆锥中的切拼问题方法点拨典型例题 考点二，圆柱与圆锥中的旋转构成问题方法点拨典型例题考点三，圆柱与圆锥的关系问题方法点拨典型例题考点四，圆柱与圆锥中的两种变化关系问题，方法点拨 对应练习考点五，圆柱与圆锥中的等级变形问题典型例题电子版可分享！

六年级的必考题型一个圆柱和一个圆锥底面直径之比是二比三，它们体积之比是五比六。圆柱和圆锥高之比是多少？ 我们先把题目里面的已知条件列出来。圆柱和圆锥体积比五比六，底面直径之比是二比三。已经知道了体积比要求高的比，那我们根据直径的比，求出来底面积的比。 圆柱和圆锥底面积都是圆形，圆形直径的比是二比三，半径的比，它就等于直径的比也是二比三。那两个圆面积的比就是半径的平方米，也就是二的平方比三的平方，二的平方比三的平方，它就是四比九。 体积比是五比六，底面积的比是四比九。我们现在去求高的比， 圆柱的体积是五，底面积是四，他的高就是体积除以底面积五除以四，四分之五。圆锥体积是六，底面积是九，那圆锥的高，他得先用体积六乘三，再去除于九，那圆锥的高他就是二， 那高的比就是四分之五比二。我们给他画成最减整数比，比的前项和后项同时乘四，四分之五乘四等于五，二乘四等于八，那圆柱和圆锥高的比就是五比八。这道题我们选择 a 选项。

六下圆柱圆锥必考！一个高是四厘米的圆柱，沿着直径切成同样的两半，表面积增加了二十四平方厘米。这个圆柱的底面周长是多少厘米？条件说，沿着直径切成同样的两半，那就是沿着圆柱的底面直径咔嚓来一刀，切面是长方形， 此时圆柱被一分为二，表面积相对于之前的圆柱，正好多了两个这样的长方形。条件说表面积增加了二十四平方厘米。 于是就可以求出一个长方形的面积是二十四除以二等于十二平方厘米。观察切面，长方形，它的长就是圆柱的高四厘米，宽就是圆柱的底面直径。所以根据长方形面积是十二，就可以求出底面直径是十二除以四等于三厘米。 最后求的是圆柱底面周长，底面周长等于拍地，所以直接用三点一四乘以底面直径三厘米，就可以求出答案是九点四二厘米。

六下必考圆柱圆锥，一个圆柱和一个圆锥等底等高。如果圆锥的高增加十二厘米，那么圆锥与圆柱的体积相等。已知圆锥的底面半径是五厘米，那么原来圆锥的体积是多少立方厘米？读完题发现圆柱的体积从头到尾没变过， 一直是底面积乘以高。圆柱的高用 h 一 表示，后来圆锥的体积等于三分之一，底面积乘以高，后来圆锥的高用 h 二来表示。 条件说圆锥的高增加十二厘米厚。圆锥和圆柱的体积相等了。对比原来圆柱的体积和后来圆锥的体积表达是体积是相等的。原来的圆柱和圆锥是等底的，就说明它们的底面积也是相等的，那就说明 a 奇异等于三分之一， h 二 两边同时乘以三，就有三倍。 h 一 等于 h 二，也就是 h 一 比， h 二等于一比三。 h 一 是原来圆柱的高，也就是原来圆锥的高。 h 二是后来圆锥的高，所以就有原来圆锥的高和后来圆锥的高的比是一比三， 也就是后来圆锥的高比原来圆锥的高多了。三减一等于二份，条件说圆锥的高增加了十二厘米，所以就可以求出一份等于十二厘米，除以二等于六厘米，那原来圆锥的高就是六厘米。 最后求原来圆锥的体积，圆锥的底面半径给的是五厘米，由圆锥体积公式就可以算出，答案是五十 pi， 所以 答案就是 b。

六、下 b 错题圆柱与圆锥的底面周长的比是二比三，体积比是八比五，圆柱与圆锥高的比是多少？这道题的突破口就是把比看成具体的量来计算。圆柱和圆锥的底面周长的比是二比三， 于是就可以把圆柱的底面周长看成是二，圆锥的底面周长看成是三，圆柱和圆锥的底面周长公式都是二拍二，于是就可以求出圆柱和圆锥的底面半径比为二除以以拍除以二。比 的前后项都有，除以以拍，除以二同时消去，于是可以得到圆柱和圆锥的底面半径比是二比三。有了底面半径比，就可以求出圆柱和圆锥的底面积之比。 因为圆柱和圆锥的底面积公式都是拍二平方。把圆柱的半径看成是二，圆锥的半径看成是三，所以可以得到圆柱和圆锥的底面积之比等于拍成二的平方比。拍成三的平方 比的前项和后项都约掉派，就等于四比九，得出底面积之比。这道题就简单了，条件说圆柱和圆锥的体积比是八比五， 所以可以把圆柱的体积看成是八，圆锥的体积看成是五。圆柱的体积等于底面积乘以高，圆锥的体积等于三分之一，底面积乘以高，圆柱和圆锥的底面积分别看成是四和九。 所以可以把圆柱和圆锥的高支笔表示出来，就是八除以四比五，除以九除以三分之一。前后化简，得到二比三分之五，这可不是最简整数比前项后项同时乘以三，答案就是六比五。

六年级今天我们来学圆柱的认识拓展哦，妈妈买一个大蛋糕，蛋糕盒是圆柱形，现在用丝带将它捆扎起来，如图，需要多长的丝带？ 蝴蝶结用去十五分密。首先我们看这个是圆柱形的蛋糕盒，那么 将丝带将它捆扎起来，我们要求丝带的长度， 那就要考虑丝带它组成的部分是哪一些，有曲线部分，就是蝴蝶结部分，还有呢，在圆柱的上里面、下里面以及侧面的部分，那这些是直线部分。 从图当中我们能看到这个圆柱形，它的底面直径是八分米，高是四分米。那么我们先看上底面，这里是一条直径， 两条直径，那上底面是两条直径的长度， 那说明下底面呢？也有对应的两条，所以就是四条直径的长度，一条直径八分米，那四条我们用八乘四，再加上侧面部分， 这里有一条高，两条高，前面是两条高，那对应的后面呢？也有两条高，那总共就是四条高，一条高四分米，四条高那就四个四分米。我们用四乘四计算， 再加上蝴蝶结的这个部分。蝴蝶结部分是用去了十五分米，再加十五分米， 八乘四，四八三十二，四乘四等于十六加十五，三十二加十六，再加十五，最终等于六十三，单位是分米，需要六十三分米长的丝带。

孩子们好，今天我们来学习六年级下册第三单元圆柱与圆锥的第二课时，圆柱的侧面展开图。上一节课我们认识了圆柱，它是由三个面组成的，上下两个底面，还有一个侧面是一个曲面。 大家思考一下，圆珠的侧面，如果我们给它展开，可能会是什么形状呢？你也可以动手试一试。现在我们把罐头盒的商标纸如下图所示，沿高剪开再展开， 这时候你会发现圆珠的侧面展开后得到一个长方形。那么大家继续思考，我们把圆珠的侧面展开后得到长方形吗？ 来看这道题，下面是同一个圆柱的展开图，说一说每个图是怎样展开的。比如第一幅图，它的侧面展开是一个长方形，那我们是怎么样给它展开的呢？对，是沿着侧面上的一条高展开的。 第二幅图是怎么展开的呢？我们是沿着侧面上的一条曲线展开的，所以它得到了一个不规则图形。 第三幅图我们是怎么做的？沿着侧面上的一条斜线展开，这样它的侧面就得到一个平行四边形。那如果现在让你判断一道题，圆柱的侧面展开图一定是长方形， 那很明显这道题是错误的，有可能得到长方形。还有不规则图形或者是平行四边形，只有沿着侧面上的高剪开才能得到长方形。 比如我手中的这个圆柱，如果沿着它的高剪开，展开以后还可能是正方形。但不管是不规则图形还是平行四边形，我们都可以通过割补法，然后通过平移把它转化成一个长方形。 比如平行四边形，把它割补，然后平移，也可以把它转化成一个长方形，包括这个正方形，它也是一个特殊的长方形。 那好，那我们就以长方形为例，来研究一下展开的长方形的长宽与圆柱有什么关系？把这个长方形重新包在圆柱上，你能发现什么呢？ 不管是把这个长方形围在这个圆柱上，还是让圆沿着长方形的长滚动一周，都会发现这个长方形的长就相当于圆柱的底面周长，那么长方形的宽就是 圆柱的高。这个长方形与圆柱之间的关系特别重要。来，孩子们你也跟着读一遍。长方形的长等于圆柱的底面周长，长方形的宽等于 圆柱的高。再根据长方形的面积等于长乘宽，所以我们得到圆柱的侧面积就等于圆柱的底面周长乘高。那如果用字母表示 s 测就等于 c h， 那 么 c 又等于二 pi r， 所以 还等于二 pi r h。 看来呀，要求圆柱的侧面积，我们只需要知道圆柱的底面半径，或者底面直径，或者底面周长和高，都可以求出它的侧面积。 那来看这道题，一个圆柱形茶叶桶的侧面贴着商标纸，圆柱的底面半径是五厘米，这张商标纸展开后是一个长方形， 它的长和宽各是多少厘米？那我们看长方形的长就相当于圆柱的底面周长。这里告诉了半径，能不能求出周长呢？ 半径乘二等于直径，直径乘派等于周长，也就是长方形的长。那么长方形的宽就等于圆柱的高，所以它的宽就是二十厘米。答，它的长是三十一点四厘米，宽是二十厘米。来，孩子们总结一下，通过这节课的学习，你有什么收获呢？ 通过刚才的动手操作，我们发现圆柱的侧面沿高展开，得到一个长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长， 长方形的宽等于圆柱的高。根据长方形的面积等于长乘宽，我们推导出了圆柱的侧面积等于圆柱的底面周长乘高。那如果用字母表示 s 测等于 c h， 还等于二 pi r h。 圆柱的侧面积公式推导非常的重要，这里学好了，后面学习圆柱的表面积，那就轻松太多了，孩子们，你也试着把圆柱的侧面积的公式推导过程说一遍吧！

孩子们好，今天我们来学习六年级下册第三单元圆锥的第二课是圆锥的体积。 上一节课我们认识了圆锥，知道圆锥它是由一个底面和一个侧面组成的，还知道它的底面是个圆形，它的侧面是一个曲面，并且它只有一条高。那么圆锥的体积又该怎么计算呢？ 前面我们学习过了圆柱的体积，那么圆锥的体积和圆柱的体积有没有关系呢？ 哎，我们发现呐，圆柱和圆锥的底面它都是圆形，那他们的体积应该有关系，那么究竟有什么样的关系呢？接下来我们通过一组实验来探究圆锥和圆柱体积之间的关系。 那孩子们，请你们准备好沙子或水，还有等底等高的圆柱和圆锥形容器，然后用倒沙子或水的方法 试一试吧。老师也来做一次实验，这是等底等高的圆柱和圆锥，我往圆锥里边装满水，然后倒入圆柱里边，咱看一看，倒几次正好装满。为了让大家看的更清晰，王老师往水里边加了点墨水， 我先倒入第一杯装满，倒到等底等高的圆柱里面，再往圆锥里边倒入第二杯倒满，然后倒到等底等高的圆柱里面，接着倒往圆锥里边装入第三杯，然后倒到等底等高的圆柱里面， 正好倒满。通过这样的实验，我们发现，圆锥的体积就是等底等高圆柱体积的三分之一。当然，也可以把水先装到圆柱里装满，然后倒入等底等高的圆锥里边。 大家猜一猜，应该能够倒几次呢？是的，也是三次。那通过刚才的实验呢，我们发现等底等高的圆柱和圆锥，我们发现圆柱的体积是圆锥体积的三倍，那圆锥的体积等于圆柱体积的三分之一， 前提条件一定是等底等高。在实验的过程当中，我们会发现可能有误差，并且这种实验来推导公式并不严谨， 但是由于我们目前所学的知识有限，我们只能通过实验的方法来探求圆柱、圆锥体积之间的关系。 到了初中以后啊，孩子们，你们学了更多的知识，我们会用更严谨的方法来推导出圆柱和圆锥体积之间的关系。我们知道圆柱的体积等于底面积乘高，那所以圆锥的体积呢，就等于圆柱体积的三分之一，所以用字母表示就是三分之一 s h。 那 要想求圆锥的体积，需要知道什么条件呢？对，我们可以知道底面积和高，然后为圆锥就等于三分之一 s h， 但是有的时候不告诉底面积，比如告诉底面半径和高，怎么求圆锥的体积呢？对，那我们就可以根据底面积等于 pi r 的 平方，所以我们就可以推导出为圆锥等于三分之一 pi r 的 平方 h。 那如果告诉底面直径和高呢？那同样根据直径我们可以求出底面积，所以为圆锥等于三分之一 pi 二分之 d 的 平方乘 h。 那 如果告诉底面周长和高呢？同样先求出底面积，再根据为等于三分之一 s h 求出圆锥的体积。 这些公式呀，孩子们不需要你都去背，你只要记住我们的母题公式，圆锥的体积等于三分之一 s h， 然后把圆的半径、直径、周长、面积它们之间的关系灵活应用就可以了。 知道了怎么计算圆锥的体积，我们来解决一道实际问题。例三，工地上有一堆沙子，其形状近似于一个圆锥，如下图， 这堆沙子的体积大约是多少？如果每平方米沙子大约重一点五吨，这堆沙子大约重多少吨？ 图中告诉了这个圆锥的底面直径和高，你能计算圆锥的体积吗？对，我们就要根据圆锥的体积等于三分之一 s h， 那 告诉的底面直径，我们是不是要先求出圆锥的底面积？ 沙堆的底面积根据 pi r 的 平方直径除以二的平方等于十二点五六平方米，再根据圆锥的体积公式，那么沙堆的体积就等于三分之一，底面积乘高。注意，孩子们在这里计算的时候啊，我们不一定按照从左往右的顺序计算， 只要能约分的，我们都可以先约分再计算，比如说三和一点五有同时除以三 等于零点五，这样计算起来就比较简单。最后结果等于六点二八平方米，因为每立方米重一点五吨，那么六点二八平方米一共重多少吨呢？所以沙堆的重就用六点二八乘一点五等于九点四二吨 啊。这堆沙子的体积大约是六点二八立方米，这堆沙子大约重九点四二吨。好了，孩子们，那我们来总结一下，通过这节课的学习，你有哪些收获呢？ 首先，我们学会了利用公式能够计算圆锥的体积。另外，我们还有知道，根据我们目前所掌握的知识，通过实验的方法来探求问题是一个好办法。 第三，计算圆锥的体积的过程中啊，可以先化简再计算，就是能约分的，我们先约分，使计算变得更加简单。如果这节课你也有很大的收获，请给自己点个赞吧！

下面哪个图形是圆柱的展开图？那通过这三幅图的观察，我们会发现啊，你看中间这三个图形都是长方形，说明啊， 这三个图都是沿着圆柱侧面上的一条高来进行展开的，对不对？ 那得到的长方形。那像这种情况，我们只要通过判断图中的圆的周长是否等于长方形的长，来判断该图是不是圆柱的展开图，对吧？好，那我们先来看图一 啊。图一，那它圆的周长是派地，对不对？那图一它的这个 直径是二厘米，那它的周长就是三点一四乘二，得到的是六点二八厘米， 那你看圆的周长是六点二八，那告诉我们，你看这个长方形，它的长也是六点二八，所以等于长方形的长。 说明啊，这个图就是这个圆柱的展开图。好，我们接着看图二，那它的周长同样用派递来计算，那图二告诉我们，这圆的直径是 四厘米，那它的周长就是三点一四乘四，得到是十二点五六厘米， 那十二点五六厘米，他告诉我们这个长方形的长是二十厘米，所以十二点五六不等于二十厘米。说明啊， 这个图形就不是这个圆柱的展开图。好，我们来看图三，我们同样的算出它的周长，那大家来看图三，它的直径是三厘米，那它对应的周长就是三点一四乘三， 算得等于九点四二厘米。我们来看，你看，他告诉我们这个长方形的长是三厘米，那显然九点四二不等于三厘米，所以啊， 这个图也不是该圆柱的展开图。同学们，你听懂了吗？

六下数学最难的圆柱与圆锥，就这五大题型练完，开学稳进前三，可打印六下圆柱圆锥必备公式汇总，圆柱的侧面积等于圆柱的底面周长成高圆柱的表面积等于侧面积。加两个底面积，圆柱的体积等于底面积，成高圆锥的体积等于三分之一乘底面积成高 圆锥体积计算公式圆柱体积计算公式圆柱侧面积计算公式圆柱表面积计算公式圆柱和圆锥必考题型，圆柱和圆锥的体积和表面积铁皮制作圆柱体，圆柱的切割圆锥的体积和表面积圆柱的体积和表面积以上均有电子版。

六年级小伙伴，我们来看一单元的逼卷的附加题，这是我们更加上难度的题了，他说如右下图就是这是一个 柱体的，就是这一个柱体，但是我们这个柱体它不是一个完整的圆柱体，从中间我们切过了的 就是不是一个完整的圆柱，给出了我们他的高为，这里他的高是二十四厘米，这是他的高底面的半径，这是我们的半径，这个是半径， 半径为十厘米。圆形角，这里告诉了我们这里的圆形角，这个是圆形角， 圆心角是二百七十度，二百七十度，我们看一下 他在这里，我们这个圆心角二百七十度，我们可以得到什么结论呢？在我们整个圆当中，他这里所占的比例是整个圆的，用二百七十度去除以三百六十度，占整个圆的四分之三， 我们把这四分之三先求出来，那我们这个圆，整个圆柱的表面积它是多少呢？整个圆柱的表面积 我们再乘以四分之三，那就得到了这个不规则的这个柱体，这个柱体的表面积等于它整个表面积，我们要有这两个 四分之三元，他上底和下底只占这个四分之三元的 两个，这个四分之三元的底的面积再加上侧面积，这一个圆柱的侧面积的四分之三，再加上这两个长方形的面积才是整个这一个 圆柱，这个柱体不是圆柱，才是这个柱体的表面积，所以我们这个表面积有几部分组成的，我们要清楚，它是由上四分之三的 上底和下底的面积，加上这个四分之三的圆柱的侧面的面积，再加上两个长方形的面积所组成的，在我们这里算的时候，同样利用公式，只要我们把公式 利用好了，计算认真，就不会出错。看我们这个整个圆柱，它的侧面积是四分之三的侧面积，这个原 s 圆柱的四分之三，这个是 我们算的这个圆柱，它这里侧面积就是这个柱体，圆柱体不是这个圆柱的，是这个柱体，圆柱体 这个是四分之三的圆柱体就是这个柱体的，不是圆柱的 四分之三的侧，它的侧面就是 s 侧面，加上四分之三的圆，再乘以二。我们这里看一下，把公式我们弄了，简简单去计算，四分之三侧面是二百 r， 乘以它的高， 再加上四分之三二拍二平方，再乘以，再乘以一个二，这里漏掉了一个二哈， 这里再乘乘以二四分之三二拍，这里二存在这里的是对的，是把这个二它放在前面的，是二拍二平方，这里我们算出来就是二分之三拍二， 再乘以。这里用了提取公因子的方法，为了简编计算，高加上半径的和他们一层，把数据带进去。二分之三乘以三点一四，再乘以 半径是十，半径是十厘米高，这里我们半径再加上，再乘以它的半径加高高是二十四厘米，再加上一个半径， 这是我们提取工艺室了的，这种一算出来就是一千六百零一点四平方厘米，这里算出我们这柱体的四分之三，就是这一个柱体的四分之三。 还有它的什么侧面，这一个长方形的侧面，两个长方形就是两个长方形，它为什么是两个相等的，可以同时乘，这个高是相等的，半径是相等的， h 乘以 r 就是 这个长方形的 高是 h， 它的宽就是它的半径， r 就是 h 乘以 r， 再乘以二，算出是四百八十平方厘米，它们的总和加起来就是两千零八十一点四平方厘米， 最后写上达，所以我们这个图形一定要学会去看它，重点是由几部分组成的。 再看我们下面这一道有关圆锥的，像我们这一个题，很多同学拿到就无从去思考了。我们圆锥的体积，它是圆柱体积的三分之一，就是等底等高的一个圆锥的体积是一个圆柱的体积的三分之一。 看我们这里，他说甲所装的水，它的高度是整个圆锥的三分之一， 他以这个容器水的高度是整个容器的三分之二，他说哪一个容器剩的水多，多的是少的几倍。 我们在减这个题的时候，首先我们就要设这个圆锥底面积，我们要设 这个圆锥的底面半径为三 r， 为什么为三 r？ 我 们为了便于把它这个三分之一，这个三约分就说一说。设它为三 r， 高为三 h， 它这个高为三 h， 我们设到这个他为他的三三倍，有三倍这个关系，就是为了想把这个三分之一把它去掉，在我们相乘的时候去分母可以去掉 看一下我们微夹这一个，我们可以算这个水的体积，我们不容易直接去算是算不出来的，那我们用整个圆锥的体积减去上面这个空白的圆锥的体积， 他就得到了这个水的体积，那圆锥的体积我们是三分之一拍而平方这里 r 我 们设为三，三 r 的， 那就是三 r 的 平方乘以它的高就是三 h， 就是 这个整个圆锥的体积减去这里的它的半径， 半径是我们告诉了它是占三分之一，那三分之一，它的半径就是我们一减去三分之一，那就是它的三分之二的，那就我们所以说这个就是二， 就是二 r， 平方再乘以三 r， 因为它是整个这一个 r 的 三分之三分之二，我们再乘上 r， 所以 这二 r 是 怎么得来的，这里我们这里表示清楚了的。 二 r 是 一减三分之一，再乘以三 r， 所得到的是二 r， 我 们这里二 h 再乘以二 h， 它这个高度是我们这里它本身设了是三 h， 这么高，它是占它的三分， 占了它的三分之一，水的占到三分之一，来往空白的是不是一减三分之一就三分之二，三分之二再乘以三 h， 再乘以三分之二，再乘以三 h， 就 得到了二 h， 所以 这个二 h 又是怎么得来的，我们这里就表示的很清楚。 好，我们这里把它发减以后再计算，算出我们这里是九拍二平方 h， 再减三分之八拍二平方 h， 就 最后发减通分算出是三分之十，九拍二平方 h。 我们同样看一下我们这个圆圆锥一，它的水的体积是该占多少了，它圆锥一这一个，其实它就是我们 占这个体积整个这个圆锥体积的高，它就是它的二分，三分之二，高就是它的三一三分之二，我们还要乘以我们这一个高的 就是高的三 h， 三分之二乘以三 h， 那 我们就是成了 二 h， 这里就成了二 h， 它的半径同样的是这个半径的三分之三分之二再乘以二 r， 三分之二 r 再乘以三 r， 因为我们这里是三 r 都得到了二 r， 所以 这是二 r 平方，我们就直接 可以算出这个小的这个圆锥下面阴影部分，他也是一个小的圆锥的体积，他直接就是三分之一拍二二二平方再乘以二 h， 算出的三分之八拍二平方乘以 h。 在 他们这两个当中，我们两个比较，一看就是哪个的水沉的最更多了，那我们肯就是 这后面他们拍二平方乘以 h 都是相同的三分之十九，那肯定是大于三分之十八，那所以甲的容器称它所剩的水装的水是多，它比它多多少倍呢？那我们就用甲的 这个双装水的容器的水的体积除以乙装水的体积就得到了它的比，它的比是它的多少倍就是八分之十九倍， 这里乙甲容器水是乙容器水的八分之十九倍。

hello， 欢迎来到范老师的小课堂。今天我们继续学习六下第一单元，圆柱与圆锥的问题。看黑板这道题， 这道题的话，你要先抓住一个关键词，等底等高，等底等高。它告诉我们一个信息，就是圆柱的体积和圆锥的体积有一个比， 比上圆锥的体积等于三比一。有了这个比，我们就好解了，他们之间有个体积之差，那也就说他们的分数差是两份 四十除以两份，求出他每一份的体积是二十立方米， 那三份的话，圆柱就直接乘三就行了，二十乘以三等于六十立方。所以我们把数字填上去，圆柱是六十，圆锥占一份是二十。这道题你抓住这个关键词，你也能拿下它。

六下圆柱圆锥必考题一个圆柱被截去十厘米厚，圆柱的表面积减少了六百二十八平方厘米。原来圆柱的表面积是多少平方厘米？要想求出原来圆柱的表面积，就得知道圆柱的底面半径 条件。说圆柱表面积少了六百二十八，那减少的是哪部分呢？把圆柱分开， 原来圆柱减少的表面积显然就是粉色的上底面再加上绿色的侧面。但是截去的同时， 原来圆柱又会多出一个蓝色的上底面，粉色上底面和蓝色上底面是相等的，一增一减抵消了。所以圆柱减少的六百二十八表面积，实际上就是截掉圆柱的侧面积。截去圆柱的侧面积等于底面周长乘以高等于六百二十八平方厘米。 截去圆柱的高是十厘米，就可以求出底面半径等于十厘米，问题求的是原来圆柱的表面积。原来圆柱的底面半径已经求出来了，是十厘米， 高就是十五加十等于二十五厘米。圆柱的表面积等于侧面积。加两个底面积代入数值，答案就是两千一百九十八平方厘米。