九年级下册数学锐角函数第一课时笔记

今天我们讲的是九年级下册第一章第一节锐角三角函数。好，我们来看前面这个引力啊。梯子是我们日常生活中常见的物体， 那么来看这个图里面，你能知道梯子 a、 b 和 e、 f 哪个更陡吗？其实大家通过这个生活实践都知道是不是梯子 a b 更陡，那为什么它更陡呢？ 我们除了可以直接观察，我们还可以计算它的倾斜程度，你比如像第二个图一杠二，那这时候你就没有图一杠一，那么直观能看出来哪个梯子更陡，那这时候我们就可以用它的倾斜程度。 什么是它倾斜程度呢？就是它的这个数值高度和水平宽度的比值，然后去判断哪个更陡。好，我们来看一下。想一想说，小明想通过测量 b 一、 c 一 及 a c 一 算出它们的比来说明梯子的倾斜程度。而小亮则认为通过测量 b 二、 c 二以及 a c 二算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度。好， 那么你同意小亮的看法吗？那这里面肯定是同意的， 那在这里面 b 一、 c 一 就相当于是它的什么呀？数值高度，铅垂高度，然后 a、 c 一 在这里面就相当于是水平宽度，那我们可以用它们的比值来 比较倾斜程度。好，第一个，直角三角形 a、 b 一、 c 一 和直角三角形 a b 二、 c 二有什么关系呢？那其实我们会发现这两个三角形存在什么样的关系？应该是相似， 那为什么相似呢？首先有一个公共角，另外还有这两个都是直角，所以用两角分别相等的两个三角形相似，那么一旦相似，我们是不是可以得对应边成比例？ 所以 b 一 c 一 比上 a， c 一 和 b 二 c 二比上 a c 二的关系就是相等。那既然相等，所以说它们比值相等，那说明它们都可以用来说明梯子的什么呀，倾斜程度。 然后他就给了我们一个定义，说在 r t 三角形 abc 中，如果锐角 a 确定，那么角 a 的 对边就是 bc， 邻边就是 ac， 也就随之确定这个比叫做角 a 的 正切， 我们记作贪进他 a， 然后我们来看啊，正切正切就指的是这个角的对边比邻边 ab 在 这个直角三角形中叫做斜边。所以说，如果我们提到正切，他的前提条件一定是直角三角形啊，这是他的前提条件， 摊进的 a 等于角 a 的 对边比邻边，我们可以简记为对比邻，那么当角 a 变化时，摊进 a 的 值也会随之变化。 好，那么在图一杠三中，梯子的倾斜程度与摊进 a 有 关系吗？当然是有关系的。那什么关系啊？ 直接下面就给了，我们就不再说了啊。贪进 a 的 值越大，梯子就会越抖，所以让你判断梯子抖不抖。我们只需要算出这个角 a， 它的对边比零比 a， 就是 贪进的值越大，梯子就越抖。 好，接着再往下看看。第一说，图一杠五表示甲乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？刚才我们说了，说我们计算贪进 a， 他的值越大，他就越抖，那贪进 a 指的就是这个角的 对比零。好，那我们来看假图，假图贪进阿尔法对比零是不就是四比八？四比八就等于二分之一， 然后这个第二个图摊进贝塔就等于对比零，而零边我们不知道，但是他是直角三角形，我们是可以用勾股定律把零边求出来，那就是十三的平方，减五的平方开根号可以算出来这个边是十二，所以说角贝塔的 正切值就等于五比十二，十二分之五。那我们比较一下，因为二分之一在这里面是大于十二分之五的，所以说 是不是就说明第一个扶梯更陡？在这里面有几个注意事项，老师给大家说一下啊。如果说我们用一个大写字母， 这个角的顶点处的大写字母，或者是这个什么呀，希腊字母来表示的时候，我们直接就说贪进 a 和贪进阿尔法贪进贝塔。但如果我们用三个字母，比如说这个地方，我说贪进， 我想用 b、 a、 c 来表示，就不能说摊进 b、 a、 c， 而是摊进它角 b、 a、 c 三个字母的时候，前面要加上角的符号， 如果这个地方我标作角一，那我们就可以表示为摊进它角一也要标上角的符号。只有一个大写字母或者是希腊字母的时候，才不需要写角的符号，这个大家要注意一下。 那么正切也有另外一种说法，正切也经常用来描述山坡的坡度。好，这里面我们要知道什么叫坡度， 就是这个坡面，这个坡面他的牵直高度与水平宽度的比叫做坡度，也有时候会我们叫做坡比。那你看题上怎么说？ 题上如果说山坡的坡度是多少，或者山坡的坡比是多少，其实就是指的是这个夹角的什么呀正切值。你比如像这个题啊，他说在水平方向上每前进一百米，他就上升 身高六十米，那么他的坡度就是六十，比上一百，最后可以算出来是五分之三，那么他的正切是五分之三，坡度就是五分之三，他的坡比也是五分之三。要注意这样一个描述方法，这也是考试的时候容易出现的地方。好，来看学堂练习 说。如图，三角形 a、 b、 c 是 等腰三角形，你能根据图中所给的数据求出摊进 c 吗？好，那摊进的 c， 它首先要放到直角三角形中，那很明显，摊进的 c 在 这里面， 他就等于对边比，邻边就是 b、 d 比上 c、 d， 而 b、 d 我 们知道了是一点五， c、 d 怎么求呢？因为他是一个等腰三角形，三线合一，所以说当这是垂直的时候， d、 b、 d 也就是 底边 ac 的 什么呀？中线，所以说 c、 d 就是 ac 的 一半，就是二，所以就是一点五，比上二就等于四分之三。 好，接着再看第二小题，如图，某人从山脚下的点 a 走到了，走了两百米，到达山顶处的点 b， 说明 ab 的 长度是两百米， 已知点 b 到山脚的垂直距离是五十五米。然后求山的坡度。首先我们要知道，坡度指的就是他的正切值，那他的坡度就等于 摊进，那就是对边 bc 比上邻边 a、 c， 而对边 bc 是 五十五。邻边 ac。 不知道，我们需要用勾股定律， ac 就 等于根号下的二百的平方减五十五的平方。然后我们可以大致算一下 它，最后呢，我们算出来之后，它是，它不能是一个整数，我们算出来就约等于一百九十二点二八八八，因为它要精确到零点零零一嘛，所以我们就多算一点，然后呢， bc 比上 ac， 然后最后就约等于零点二八六，那这个就是山的坡度，一般我们在正式考试的时候不会出现这种比较难算的啊，一般都是比较容易计算的。好，接下来我们来看 c t 一 点一。 第一题，在 r t 三角形 a abc 中，所以我们要看到这种没有图的题，我们要善于画图。角 c 是 九十度， ac 等于五， ab 等于十三，求摊进 a， 那 在这个图里面，摊进 a， 摊进的 a 是 不是就等于对边比邻边，也就是 bc 比上 ac， 那 怎么去 bc？ 我 们不知道 ac 是 五，怎么求 bc 呢？那就是利用勾股定律，在 r t 三角形 abc 中由勾股定律得 b， c 就 等于根号下的 a， b 的 平方减 a， c 的 平方就等于根号下的十三的平方减五的平方，最后求转是一个十二， 所以说 b c 比 a， c 就是 十二，比上五，也就是五分之十二。那么贪金币，我们来看贪金币， 贪金 b 在 这里，贪金的 b 在 这里面是对边比邻边，也就是 a， c 比上 bc， 那 就是反过来就是十二分之五。那你们会发现啊，这个角 a 和角 b 在 这个图里面什么关系？是不是就是互余？角 a 和角 b 互余，那么它的贪金值什么关系？ 是不是就互为倒数？所以说当角 a 加角 b 等于九十度的时候，摊进 a 乘上摊进 b 就 等于一。那其实通过这个图我们也可以得到这样一个结论，好看。第二题，第二题，同样我们画一个草图啊，角 c 等于九十度，还告诉你了， bc 等于三， 好没有了。还有一个贪进 a 等于五比十二。那首先我们来看，在这个题里面，在 r t 三角形 abc 中，贪进的 a 等于 bc， 比上 ac 就 等于十二分之五。然后又因为 bc 等于三，所以我们就可以求出来， ac 分 之三等于十二分之五，所以 ac 在 这里面应该就等于五分之三十六。 这是我们的第二题，那第三题让你观察，那我们就不再多说了啊。然后第四题说的是角 c 等于九十度， 然后贪进 a 与贪进 b 什么关系？刚才我们在第一题的时候已经证明过了啊，就是当角 c 等于九十度的时候， 那说明角 a 加角 b 就 等于九十度，就互余。刚才说如果两个角互余，那么它们的摊进值，它们的乘积就等于一，它们是互为倒数的。 这就是我们讲的第一节第一课时，你学会了吗？

今天咱们一起来学习九年级下册三角函数章节，比较喜欢的考察的三角函数的计算。咱们三角函数计算一般涉及的是特殊角三角函数，来我们一起来做一下第一题，三点六十度，三点六十度等于二分之根号三。关于 cosine 六， cosine 六度是二分之一， 减去它的三十度，它的三十度是三分之根号三。再设它的六，它的六度是根号三， 然后再加上三个四十五度的平方三，四五度是二十分之根号二符号的平方，加上 cos 四十五度也是二十分之根号二符号。然后我们进行计算啊，这四分之根号三减去，所以这个三分根号三就是 cos 三分之一了， 它重来是一，然后加上四分之二的二分之一，二分之一，再加二五分之一，最终等于四分之根号三，这都需要我们下去把两个特殊的三号线给它记， 一个含三十六角，还有一个是等腰直角三角形，知道它们的三边比例在根据三角函数的概念是很容易记住他们的，他们这个好 再弄第二个。第二个属于咱们在中考比较想考察的类型，就是综合计算带三角和第一个根号二乘以根号六，我们就是根号十二，根号十二减二等于根号三，其实这块有一个区域绝对是一减根号三，其实是小于零的那圈绝对是让他的三角是等于四倍的根号三减一 再生三个六，六六是二分之六毛三，再减去二分之一的负一次方，负一次方你可以理解为二个的意思，那就等于二减去二，好整理一下二零六毛三加上 四乘二倍的方程啊。七十二倍，根号三乘以根号三减一，再减二就等于二倍，根号三加上二根三乘根三，那就是六，再减去二减根号三就行了。然后合并一下恒量 c 和 t 加差不小于六，减去二可等于四。这就是咱们常考的一些计算题，有什么问题了可以在评论区给我留言。

这是一个三十度角，咱以他为内角做一个直角。三角形就是一块你已经很熟悉的三角板， 其中这条边叫做三十度角的对边，这条边叫做三十度角的斜边，这条边叫做三十度角的鳞边。根据之前所学的知识，如果我告诉你对边的长是一，那你一定知道斜边的长就是二。 如果我告诉你对边的长是三，那你也一定能推出鞋边的长九十六。换句话讲，不管三十度角的对边与鞋边具体长度是几，只要三十度角这个角的大小不变，那对边与鞋边的比始终都等于一比二。 这说明对边与斜边的笔直，其实是由三十度角所决定的，与三角形大小无关。与之类似的还有对边与鳞边的比，以及鳞边与斜边的比， 他们都与三角形大小无关。你像三十度角的鳞边比上三十度角的斜边，就等于刚好三比二。 而三十度角的对边比上三十度角的零边，就等于一比根号三。这一系列笔直都只与三十度角有关，而与三角形的具体大小无关。所以，数学家给他们起了一个统一的名字，叫做三十度角的三角函数。 为了把这些三角函数互相之间区分开来，他们又起了三个不同的名字。把对边与斜边的比叫做三十度角的正弦，即做三 s 度。 把林边与斜边的笔叫做三十度角的余弦，记做扣三三十度。把对边与林边的笔叫做三十度角的正，切记做 titan 的三十度。根据刚才的结论，三、三十度就等于二分之一，扣三三十度就等于二分 根号三探探的三十度就等于根号三分之一及三分之根号三三十度角的正弦、鱼弦和正切。你已经明白怎么回事了，那别的角的这三个三角函数你会求吗？ 比如咱来算算四十五度的三角函数值，你同样以四十五度为内角做一个直角三角形，显然三边的比为一比一，比根号二。根据定义，正弦是对边比斜边，那它就等于一比根号二，化减后就是二分之根号二。 而余弦是林边笔，斜边这两边的笔显然也等于一比根号二，化解后就是二分之根号二。至于正确，他是对边与林边的笔，结果就等于一比一得一。其实，对于任意一个锐角，你都可以像刚才这样借助直角三角形来计算 他的三角函数。比如这个角 a 要求他的三角函数，你就以 a 为那角做一个直角三角形，把对边比斜边的笔直记做散 a， 鳞边比斜边的笔直记做扣散 a， 对边比邻边的笔直记做 thantana。 进一步的，如果我告诉你这个直角三角形恰好就是三四五，那三 a 就是三比五得五分之三，扣三 a 就是四比五得五分之四。弹弹的 a 就是三比四得四分之三。 以上就是三个常用三角函数的定义。关键就一点，牢记这三个三角函数的算法。对于任意一个锐角 a 而言，以他为内角做一个直角三角形，角 a 的正弦散 a 就是对边比斜边角 a 的余弦扣散 a 就是邻边比斜边 交易的正切探探的 a 就是对边比邻边。怎么样，记住了吗？如果记住，就快快去刷题试试吧！

大家好，欢迎回到课堂，今天要对九年级数学下册进行整体解析与学习指导，我们将一起深入探讨这本教材的核心内容、学习重难点以及相应的学习策略， 希望能为大家的学习带来启发和帮助。本次课程将分为四个部分，分别对应教材的四个主要章节，反比例函数、 相似锐角、三角函数以及投影与矢图。在每个部分，我们都将详细解析其核心概念、重点、难点，并提供一些实用的学习建议。 首先，我们进入第一章反比例函数的学习。反比例函数是既一次函数之后又一种重要的基本除等函数，它不仅是数学知识体系的重要组成部分，也是解决实际问题的有力工具。我们来看看反比例函数的核心概念，它的基本形式是 y 等于 k 除以 x， 其中 k 是 一个不为零的常数。需要注意的是， x 和 y 都不能为零，这一点在解析时非常重要，我们也可以将其写成 z 等于 k 的 形式，这有助于我们理解其图像的对称性。 接下来，我们分析反比例函数的图像和性质，它的图像是一条双曲线，当比例系数 k 大 于零时，双曲线的两个分支分别位于第一和第三象限，并且在每个象限内 y 的 值随着 x 的 增大而减小。当 k 小 于零时，情况则相反， 双曲线的两个分支会位于第二和第四象限，此时在每个象限内 y 的 值随着 x 的 增大而增大。此外，反比例函数的图像关于坐标原点、中心对称，这是一个非常重要的性质。比例系数 k 的 几何意义是本章节的重点和难点，也是中考的热点题型。 简单来说，握双曲线上任意一点向 x 轴和 y 轴分别做垂线形成的矩形的面积就等于 k 的 绝对值。如果只向一个轴做垂线形成的三角形的面积就是 k 绝对值的一半。这个知识点在解决与面积相关的问题时非常有用。 接下来我们进入第二张相似。相似是平面几何中的一个重要内容，它不仅是全等的延伸，也是学习锐角三角函数和头英语式图的基础。首先我们来明确几个核心概念， 相似图形，顾名思义就是形状相同但大小不一定相同的图形。对于多边形来说，相似需要满足两个条件，对应角相等、对应边乘比例。我们把对应变的比值叫做相似比。相似三角形的判定是本章的重点。 除了预备定例，我们主要有三个判定定例，两角分别相等的两个三角形相似，即 a a 两边乘比例，且加角相等的两个三角形相似，即四 s 以及三边乘比例的两个三角形相似，即 s s s。 大家要熟练掌握这些定律的应用。了解了如何判定相似，我们再来看看相似三角形有哪些性质。除了对应角相等、对应边乘比例这些基本性质外，它们的对应高、对应中线、对应角平分线的比 以及周长的比都等于相似比。特别需要注意的是，面积的比等于相似比的平方。现在我们进入第三章锐角三角函数。本章内容是初中数学从几何向代数过渡的关键环节，也是高中三角函数学习的基础。 我们在直角三角形中定义锐角三角函数。对于一个锐角，我们分别定义了它的正弦、迂弦和正切。正弦是对边比斜边，迂弦是临边比斜边，正切是对边比临边。大家要牢记这三个定义。 三十度、四十五度和六十度是我们在解析中最常遇到的特殊角，它们的三角函数值是必须牢记的，大家可以通过这个表格来加深记忆。解直角三角形就是利用我们学过的三角函数知识，有已知的边或角，求出未知的边或角。 这个过程在实际生活中有广泛的应用，比如测量建筑物的高度、两地之间的距离等等。 最后我们来学习第四张投影与仕图。本章内容主要培养学生的空间想象能力和几何直观能力，是连接二维平面和三维空间的桥梁。我们首先来了解投影的基本概念， 投影就是物体在光线照射下形成的影子，根据光线的不同，我们可以将投影分为平行投影和中心投影。 平行投影的光线是平行的，比如太阳光，而中心投影的光线则是从一个点发出的，比如灯光。三式图是工程之图中最常用的表达方式，它包括主视图、俯视图和左视图，分别是从正面、上面和左面观察物体所得到的图形。 通过这三个式图，我们就可以完整地了解一个物体的空间结构。由三式图还原几何体是一个逆向思维的过程，非常考验大家的空间想象能力。 我们可以按照长对正、高平齐、宽相等的原则，分别从轴式图、俯式图和左式图中提取几何体的长宽高信息，然后综合这些信息，在脑海中构建出几何体的三维模型。 在学习过程中，我们建议大家要注重知识的前后联系，帮助学生构建完整的知识体系。同时要加强数学思想方法的渗透，比如树形结合、转化与化归等。 此外，通过实际问题的引入，强化数学的应用价值，培养学生的芥末思想。最后要关注到不同学生的学习需求，实施分层教学，让每个学生都能有所收获。最后，我们来简单回顾一下本次讲座的主要内容， 我们分别解析了反比例函数、相似锐角三角函数和投英与仕途这四个章节的核心知识点。希望通过今天的学习，大家对九年级下册的数学内容有了更全面、更深入的理解。

比萨斜塔高五十四点五米。一九七二年地震后，塔顶中心点偏离垂直中心线的距离增加至五点二米。根据上述信息，你能计算出比萨斜塔的倾斜角吗？ 我们不妨将该实心问题抽象为数学问题，问题就转化为已知直角三角形的斜边和一条直角边，求这条直角边对应的锐角的度数。这样的斜边就是米萨斜躺的身高五十四点五米。 那我们看一下这个问题转化成一个什么问题，你知道是什么东西？斜边还椅子的什么直角？一条直，一个锐角所对的直角边要求什么？ 求这个锐角度数？我们前面讲讲过直角三角形的一些性质，我们先来回顾一下直角三角形有些什么性质？角之间有什么关系？ 角尖有什么关系？从直角弯的两个角啊，怎么做？边之间有什么关系？就是两个直角边的平，他们两个各自的平方的和的斜边平方的和， 斜边的平方。勾股定律， a 平方加 b 平方等于 c 的 平方。那我们现在的这个问题是要知道 b、 n 的 关系来求什么角的度数。那么从这节开始，我们就来学习这一个问题。 首先来看一个简单的实际问题，请问把这个问题抽下，我们的数学问题是一个什么样的数学问题？好在 r t 三角形， 在 r t 三角形 a、 b c 中角， c 为九十度角， a 为三十度，已知出水口的高度已知 bc 为三十五度，求 ab 的 时候 bc 为三十五米，求求 ab 的 水管。 ab 的 长很好，那么我们可以把它转化为这样子的一个数学问题，那么请问 ab 的 长等于多少？ ab 的 长等于等于七十。理由， 理由，就是角 a 等于 bc。 理由，我们前面讲的理由，三十度角有什么特征？三十度角 手对的就是他的对边等于斜边的一半，手对的那条直角边等于斜边的一半。好，那么如果我现在把出水口的高度，出水的高度改为五十米，那么水管需要准备多长？应该准备一百米的 那种水管。理由，三十度的再直角，三十度的角对的斜边等于直角边一百。 什么等于一半？直角三十度的角所对的边是斜边的一半，直角边是斜边的一半。好，那所以我们就可以知道我们原先讲的结论，在直角三角形中，如果有一个锐角，这个角是三十度，那么他所对的这条直角边 都是斜边的一半，也就是不管我的这三角形大小如何，他的对边与斜边的比都等于多少 二分之一。那么今天我们就来研究这个对边与斜边的比。那我们来看一下，如果现在我把这个角度改为四十五度，那么请问对边 bc 的 比为多少？ 二分之二，二分之二。理由，因为四十直角三角形中，四十五度角所对的直角边等于 它的斜边等于这条直角直角边的根号 r 边。你说如果这条边是 x， 这条边是 s， 那 这条边应该是多少？根号？ r s 用格子固定， 所以它比它就应该是 x， 比根号 r s 等于二分之根号。啊。好，也就是说，如果我现在把这个锐角的度数改为四十五度，那么不管这个角的扇形大小怎么样，它的对边与斜边的比就等于多少二分之根号啊！ 那如果说我们现在这个角的度数改成是一个其他的一个对角，那么它的对边与斜边的比是否也是一个固定值呢？我们先来看一看，看看是否是一个固定值。 比如说我现在这个角 a 是 等于二十度，那么我们看一下现在 bc 对 边比 ab 是 多少？ 零点三四，好，如果我把这一个角角 a 不 变，把这个三角形变大，请观察，笔直变了没有？好，再变大一点 也没有，笔直变了没有？好，把这个三角形变小一点也没有，笔直变了没有。也就说只要这个角为二十度，它的对边与斜边的比就是多少零点三四，好，我把这个角为二十度，它的对边与斜边的比就是多少零点三四，好，我把这个角的度数改一下，如果是改成四十度，来看一下 这个时候改成四十度，请看这个时候 bc 比 ab 是 多少？零点六四，好，把这个三角形变大， 笔直变再变大好，三角形变小也没有。所以说只要这个角为四十度，那么对边与斜边的比就大概是多少零点六四，好。再看一下如果这个角度再变一变，看看这个时候对边与斜边比是多少？ 美女有事，好，三角形变小变大也没有变，所以我们就可以达到一个猜想，只要这个锐角的度数是固定的，那么他的对边与斜边的比 也怎样？固定也是一个固定字。那请问同学们，你能够证明这一个猜想吗？ 能不能证明这个猜想？当内角角 a 的 度数固定的时候，无论三角形的大小如何，对边与斜边的比都是一个固定值，一共一年，用什么来证明？这个猜想也是两个，只要大家觉得它们的直角都相等，他们的有一个角相等，所以这两个可以证明这两个三角形相。 就是我如果画两个三角形，只要使这两个角相等，那么因为角 c 和角 c 次是九十度，所以这两个三角形就会相似丁次，所以 b c 比 ab 等于 b 次 c 次 b 次 b 次 c 次对应边乘比例， 把这个比值转一下，转成什么样子啊？就画一下边，就是 b， c， a， b 等于 b 次 c 次 b 次 b 次。 好，用我们前面的相似转化成我们已经学过的东西来证明。好，那我们现在就得到结论，在直角三角形中，当对角 a 的 度数一定的时候，不管三角形的大小如何，角 a 的 对边与斜边的比都是一个什么值？固定值。 好，刚刚这个证明听懂了，再举下手，好，放下。那我们这个固定值在我们数学上我们就给他一个名称，因为是这个角正对的边与什么的比 斜边，而斜边我们要称为弦，所以我们把这个比值把它叫做正弦。那我们现在 把正弦下面定义什么叫做正弦，什么叫做正弦，前提在什么东直角三角形中，然后角 a 的 对边与斜边的比值叫做这个角的正弦好， 那么正弦值我们记作三引 a， 也就是三引 a 等于角 a 的 对边比上斜边。如图，角 a 的 对边既为 a， 斜边既为 c， 就 等于 a 比 c 好。 同学们把这个概念读两遍， 如图起。如图，在 r t 三角形 a， b， c 中，角 c 等于九十度。我们把对角 a 的 对边与斜边的比叫做角 a 的 对称 记作 sin a， 即 sin a 等于角 a 的 对边比斜边等于 a 与 c 好。第二遍，如图起如图，在二极三角形 a、 b、 c 中，角 c 等于九十度。我们把锐角 a 的 边边平行叫做角 a 的 角 a 等于角 a 的 对边平行边等于 a， b、 c。 好， 我们这一个 正弦的定义，他有一个前提，是在哪里定义的直角三角形中，所以是直角三角形中一个角的什么边对边 与什么边的比，斜边叫做这个角的正弦，所以就是三。 a 等于 a 比 c。 那 么根据我们刚刚讲的，请朋友们来回顾一下我们三以三十度应该等于多少？我不知道，二分之一对吧？对， 因为三以三三十度，角所对的那个直角边是斜边的一半，所以三以三十度是二分之一。好，三以四十五度啊，二分变化啊！三以六十度，好，姐妹们一起把这三个特殊角把它记一遍。 三以三十度等于三以四十五度等于三以六十度等于七。三以三十度等于七，三以三十度等于二分之一。三以四十五度等于二分之根号二。三以六十度等于二分之根号三。 好，下面我们来看一下，下面来求一个角的正弦值。第一题，然后同学来告诉我们，求，再来。我们在平行三角形 a、 b、 c 中，角 c 零九十度。因为角 a、 c 等于四， b、 c 等 于三，所以可以用勾和平底得出 a、 b 等于根号下 b、 a、 c 的 平方加上 b、 c 的 平方， a、 b 就 等于根号下三的平方加四的平方等于五五，好，所以三眼 a 就 等于 b， c 比上 a， d 就 等于三比五。 那就关键三眼 a 就是 找出角 a 的 对边，所以是三比上斜边 a， b 是 几五，所以等于三比五。然后三眼 因为在 r t 三角形 a， b、 c 跟角 c 等于九十度。如果我们也可以知道第一个图的三点 b， 三点 b 就 等于 a， c 比上 a， b 就 四比五， a， c 比上 a、 b， 所以 等于四比五， 好。这是第一幅图五二五二好，那个王力涵。角 c 等于九十度，因为角 c 等于九十度，所以 c 等于更快下 c 三分之三，所以 十三平方减五的平方，五的平方等于十二十二，所以三 a 的 十 a 等于 b， c 比 b， a 等于 b， c 比 b， a 等于五比十三，五比十三。三， 以 b 的 对边，那角 b 的 对边是谁？ a， c， 所以 等于 a， c 比 ab 等于等于十二比十三， 好。那也就是说如果是要求一个三角函数，那关键就是说在直角上行中，要求出这个角所对的对边与什么边斜边好。那如果像这个题， 我们来怎么求三引 b？ 我 来你就想出来了啊，那就叫这样是 a b c 中 a， 呃， ab 等于 ab 等于十二的根 根号加十二的平方，加九的平方等于五五倍根号哦，呃， a， b 等于十五， a， b 等于十五。换引， b 等于 a， c 比 ab 等于十二比十五等于四比三。呃，四比五，四比五，好 啊，这个还是比较简单，对吧？求三引 b， 因为直接就是角 b 的 对边 a， c 比上什么边斜边 ab 对 不好？那现在如果我把这个改一下，我不要求三引 b， 如果我是求三引角 a、 c 的 好几天，呃，就是我可以转换一下，因为呃 a 多是垂直于 a、 b 的 嘛。我们就可以知道角 a 加角 a、 c 得等于九十度，然后又因为角 a 加角 b 等于九十度，所以角 a、 c 得等于角 b， 所以 三 a、 c 得的值也就是三 b 的 值 转化，因为角 a、 c 的 就等于谁角 b， 所以 我就可以把这个三引角 a、 c 的 它就等于谁三引 b 好。 转化的理由是因为角 a、 c 的 加上角 a 等于多少度？九十度，然后哪个加角 a 也九十度，角 b 加角 a 也等于九十度， 所以三角 a、 c 的 就可以得到角 a、 c 的 应该要等于角 b， 角 a、 c 的 等于角 b， 所以 三引的角 a、 c 的 应该也等于三引的角 b。 那 么这个告诉我们什么？告诉我们什么？求一个角的三角函数值， 除了在这个三角形中求，还可以怎么样转化？转化成什么角与它相等的角的三角函数，对吧？对，好。当然除了这种方法，还有没有其他方法？有， 有要求这个角的正弦值，还可以把它变成谁比谁 a 得比上 a、 c 好， 请问怎么求 a 得相似？还有呢？肾经里是不用，肾经里也可以求。好，来记一下，肾经里 a 得等于什么？ a 得的平方等于谁的平方？ a、 c 的 平方等于 a 乘以 a、 b， 是不是也可以把这个 a 的 求出来，转化成它相等的角？所以这个地方注意，就说除了用正弦值，还可以用用定义法直接求之外，还可以转化为和它相等的角的正弦值啊。 下面反过来，如果知道正弦值能不能求边长有没有看到一题三好，我请一个同学来黑板上来做，其他同学底线完成， 装好了就请举手。好，拿起来看一下黑板上的这一个。好，我请一个同学来评价一下黑板，这个写的怎么样？认真看不？亮洁，你觉得写的怎么样？你就少了个单位啊， 写还是写的很好，对吧？他知道这条边比这条边是七比二十五的话，我们就可以用我们前面讲过的比例就是这条为七 s， 这条为二十五 s， 然后 知道这一条边，所以用什么定律？割股定律，而且 s 等于一，他写的很清楚，把什么舍掉，负数舍掉它一点点大，后面有数。好，那我们来看一下这一个七 好，这个是刘伯熙的，刘伯熙，你来讲一下你的想法是什么？因为三 a 是 等于 b， c 等于二十五 x， b， c 等于七 x， 然后用勾五定底，就可以把 ac 表示出来，就是二十四 x， 那 我想问一下，为什么快速得到 ac 是 二十四 s？ 对， 你对勾股数要很熟悉， 勾股数七，二十四就是二十五，所以有一条边为二十五，那么另外一条直角边就应该设上二十四，所以这一条边为二十四 s， 然后就可以，然后又知道 ac 的 长度，所以可以变成这个就是 x 的 一，这个 a 就是 x。 那这个提醒同学们，因为我刚刚看到有同学算了好久的，你常见的几组勾股数要把它怎么样 牢记？常见的勾股数要把它牢记，那我们来看一下，如果说是像我们刚刚这样子的，如果是已知三角函数求边长，一般情况下我们可能需要结合什么去求勾股定律，还要可能要结合什么 方程？像这样子是不是设一个未知数？结合方程需求好。

比萨斜塔高五十四点五米。一九七二年地震后，塔顶中心点偏离垂直中心线的距离增加至五点二米。根据上述信息，你能计算出比萨斜塔的倾斜角吗？ 我们不妨将该实心问题抽象为数学问题，问题就转化为已知直角三角形的斜边和一条直角边，求这条直角边对应的锐角的度数，这样的斜边就是米萨斜躺的身高五十四点五米。 那我们看一下这个问题转化成一个什么问题，你知道是什么东西？斜边还椅子的什么？一条直一个锐角所对的直角边要求什么？ 求这个锐角度数？我们前面讲讲过直角三角形的一些性质，我们先来回顾一下直角三角形有些什么性质？角之间有什么关系？ 角尖有什么关系？从直角弯的两个角啊，怎么做？ b、 n 之间有什么关系？就是两个直角边的平，他们两个各自的平方的和的斜边平方的和， 斜边的平方。勾股定律， a 平方加 b 平方等于 c 的 平方。那我们现在的这个问题是要知道 b、 n 的 关系来求什么角的度数。那么从这节开始，我们就来学习这一个问题。 首先来看一个简单的实际问题，请问把这个问题抽下，我们的数学问题是一个什么样的数学问题？好在 r t 三角形， 在 r t 三角形 a、 b、 c 中角 c 为九十度，角 a 为三十度，已知出水口的高度已知 bc 为三十五度，求 ab 的 时候， bc 为三十五米，求求 ab 的 水管。 ab 的 长很好，那么我们可以把它转化为这样子的一个数学问题，那么请问 ab 的 长等于多少？ ab 的 长等于等于七十。理由， 理由，就是角 a 等于 bc。 理由，我们前面讲的理由，三十度角有什么特征？三十度角 手对的就是他的对边等于斜边的一半，手对的那条直角边等于斜边的一半。好，那么如果我现在把出水口的高度，出水的高度改为五十米，那么水管需要准备多长？应该准备一百米的 那种水管。理由，三十度的再直角，三十度的角对的斜边等于直角边一百。 什么等于一半？直角三十度的角所对的边是斜边的一半，直角边是斜边的一半。好，那所以我们就可以知道我们原先讲的结论，在直角三角形中，如果有一个锐角，这个角是三十度，那么他所对的这条直角边 都是斜边的一半，也就是不管我的这三角形大小如何，他的对边与斜边的比都等于多少 二分之一。那么今天我们就来研究这个对边与斜边的比。那我们来看一下，如果现在我把这个角度改为四十五度，那么请问对边 bc 的 比为多少？ 二分之二？二分之二。理由，因为四十直角三角形中，四十五度角所对的直角边等于 它的斜边等于这条直角直角边的根号 r 边。你说如果这条边是 x， 这条边是 s， 那 这条边应该是多少根号？ r s 用格子固定， 所以它比它就应该是 x， 比根号 r s 等于二分之根号。啊。好，也就是说，如果我现在把这个锐角的度数改为四十五度，那么不管这个角的扇形大小怎么样，它的对边与斜边的比就等于多少二分之根号啊！ 那如果说我们现在这个角的度数改成是一个其他的一个对角，那么它的对边与斜边的比是否也是一个固定值呢？我们先来看一看，看看是否是一个固定值。 比如说我现在这个角 a 是 等于二十度，那么我们看一下现在 bc 对 边比 ab 是 多少？ 零点三四，好，如果我把这一个角角 a 不 变，把这个三角形变大，请观察，笔直变了没有？好，再变大一点 也没有，笔直变了没有？好，把这个三角形变小一点也没有，笔直变了没有。也就说只要这个角为二十度，它的对边与斜边的比就是多少零点三四，好，我把这个角为二十度，它的对边与斜边的比就是多少零点三四，好，我把这个角的度数改一下，如果是改成四十度，来看一下 这个时候改成四十度，请看这个时候 bc 比 ab 是 多少？零点六四，好，把这个三角形变大， 笔直变，再变大好，三角形变小也没有。所以说只要这个角为四十度，那么对边与斜边的比就大概是多少零点六四，好，再看一下如果这个角度再变一变，看看这个时候对边与斜边比是多少？ 美女有事，好，三角形变小变大也没有变，所以我们就可以达到一个猜想，只要这个锐角的度数是固定的，那么他的对边与斜边的比 也怎样？固定也是一个固定字。那请问同学们，你能够证明这一个猜想吗？ 能不能证明这个猜想？当内角角 a 的 度数固定的时候，无论三角形的大小如何，对边与斜边的比都是一个固定值，一共一年，用什么来证明？这个猜想也是两个，只要大家觉得它们的直角都相等，他们的有一个角相等，所以这两个可以证明这两个三角形相。 就是我如果画两个三角形，只要使这两个角相等，那么因为角 c 和角 c 次是九十度，所以这两个三角形就会相似丁次，所以 b c 比 ab 等于 b 次 c 次 b 次 b 次 c 次对应边乘比例， 把这个比值转一下，转成什么样子啊？就画一下边，就是 b， c， a， b 等于 b 次 c 次 b 次 b 次。 好，用我们前面的相似转化成我们已经学过的东西来证明。好，那我们现在就得到结论，在直角三角形中，当对角 a 的 度数一定的时候，不管三角形的大小如何，角 a 的 对边与斜边的比都是一个什么值？固定值。 好，刚刚这个证明听懂了再举下手，好，放下。那我们这个固定值在我们数学上我们就给他一个名称，因为是这个角正对的边与什么的比 斜边，而斜边我们要称为弦，所以我们把这个比值把它叫做正弦。那我们现在 把正弦下面定义什么叫做正弦，什么叫做正弦，前提在什么东直角三角形中，然后角 a 的 对边与斜边的比值叫做这个角的正弦好， 那么正弦值我们记作三引 a， 也就是三引 a 等于角 a 的 对边比上斜边。如图，角 a 的 对边既为 a， 斜边既为 c， 就 等于 a 比 c 好。 同学们把这个概念读两遍， 如图起。如图，在 r t 三角形 a、 b， c 中，角 c 等于九十度。我们把对角 a 的 对边与斜边的比叫做角 a 的 对称 记作 sin a， 即 sin a 等于角 a 的 对边比斜边等于 a 与 c 好。第二遍，如图起如图，在二极三角形 a、 b、 c 中，角 c 等于九十度。我们把锐角 a 的 边边平行叫做角 a 的 角 a 等于角 a 的 对边平行边等于 a b、 c。 好。 我们这一个 正弦的定义，他有一个前提，是在哪里定义的直角三角形中，所以是直角三角形中一个角的什么边对边 与什么边的比，斜边叫做这个角的正弦，所以就是三。 a 等于 a 比 c。 那 么根据我们刚刚讲的，请朋友们来回顾一下我们三以三十度应该等于多少？我不知道，二分之一对吧？对， 因为三以三三十度，角所对的那个直角边是斜边的一半，所以三以三十度是二分之一。好，三以四十五度啊，二分变化啊！三以六十度。好，姐妹们一起把这三个特殊角把它记一遍。 三以三十度等于三以四十五度等于三以六十度等于七。三以三十度等于七。三以三十度等于二分之一。三以四十五度等于二分之根号二。三以六十度等于二分之根号三。 好，下面我们来看一下，下面来求一个角的正弦值。第一题，然后同学来告诉我们，求，再来。我们在 r 三角形 a、 b、 c 中角 c 零九十度。因为角 a、 c 等于四， b、 c 等 于三，所以可以用勾和平米得出 a、 b 等于根号下 b， a、 c 的 平方加上 b、 c 的 平方， a、 b 就 等于根号下三的平方加四的平方等于五，所以三眼 a 就 等于 b， c 比上 a， d 就 等于三比五， 那就关键三眼 a 就是 找出角 a 的 对边，所以是三比上斜边 a， b 是 几五，所以等于三比五。然后三眼 因为在 r t 三角形 a、 b、 c 跟角 c 等于九十度。如果我们也可以知道，第一个图的三点 b， 三点 b 就 等于 a， c 比上 a， b 就 四比五， a， c 比上 a、 b， 所以 等于四比五， 好。这是第一幅图五二五二，好，那个王力涵。角 c 等于九十度，因为角 c 等于九十度，所以 c 等于更快下 c 三分之三，所以 十三平方减五的平方，五的平方等于十二。十二。所以三 a 的 十 a 等于 b， c 比 b， a 等于 b， c 比 b， a 等于五比十三，五比十三。三， 以 b 的 对边，那角 b 的 对边是谁？ a c， 所以 等于 a， c 比 ab 等于等于十二比十三， 好。那也就是说如果是要求一个三角函数，那关键就是说在直角上行中，要求出这个角所对的对边与什么边斜边，好。那如果像这个题， 我们来怎么求三引 b？ 我 来你就想出来了啊，那就叫这样是 a b c 中 a。 呃 ab 等于 ab 等于十二的根 根号加十二的平方，加九的平方等于五五倍根号哦。呃， a， b 等于十五， a， b 等于十五。换引 b 等于 a， c 比 ab 等于十二比十五等于四比三。呃，四比五，四比五，好 啊，这个还是比较简单，对吧？求三引 b， 因为直接就是角 b 的 对边 a， c 比上什么边斜边 ab 对 不好？那现在如果我把这个改一下，我不要求三引 b， 如果我是求三引角 a、 c 的 好几天呃，就是我可以转换一下，因为呃 a 多是垂直于 a、 b 的 嘛。我们就可以知道，角 a 加角 a、 c 得等于九十度，然后又因为角 a 加角 b 等于九十度，所以角 a、 c 得等于角 b， 所以 三 a、 c 得的值也就是三 b 的 值 转化，因为角 a、 c 的 就等于谁角 b， 所以 我就可以把这个三引角 a、 c 的 它就等于谁。三引 b 好 转化的理由是，因为角 a、 c 的 加上角 a 等于多少度？九十度，然后哪个加角 a 也九十度，角 b 加角 a 也等于九十度， 所以三角 a、 c 的 就可以得到角 a、 c 的 应该要等于角 b， 角 a、 c 的 等于角 b， 所以 三引的角 a、 c 的 应该也等于三引的角 b。 那 么这个告诉我们什么？告诉我们什么？求一个角的三角函数值， 除了在这个三角形中求，还可以怎么样转化？转化成什么角与它相等的角的三角函数，对吧？对，好，当然除了这种方法，还有没有其他方法？有， 有要求这个角的正弦值，还可以把它变成谁比谁 a 得比上 a、 c 好， 请问怎么求 a 得相似？还有呢？肾经里是不用，肾经里也可以求。好，来记一下，肾经里 a 得等于什么？ a 得的平方等于谁的平方？ a、 c 的 平方等于 a 乘以 a、 b， 是不是也可以把这个 a 的 求出来，转化成它相等的角？所以这个地方注意，就说除了用正弦值，还可以用用定义法直接求之外，还可以转化为和它相等的角的正弦值啊。 下面反过来，如果知道正弦值能不能求边长有没有看到一题三好，我请一个同学来黑板上来做，其他同学底线完成， 装好了就请举手。好，拿起来看一下黑板上的这一个。好，我请一个同学来评价一下黑板，这个写的怎么样？认真看不？亮洁，你觉得写的怎么样？你就少了个单位啊， 写还是写的很好，对吧？他知道这条边比这条边是七比二十五的话，我们就可以用我们前面讲过的比例就是这条为七 s， 这条为二十五 s， 然后 知道这一条边，所以用什么定律？割股定律，而且 s 等于一，他写的很清楚，把什么舍掉，负数舍掉它一点点大，后面有数。好，那我们来看一下这一个七。 好，这个是刘伯熙的，刘伯熙，你来讲一下你的想法是什么？因为三 a 是 等于 b， c 等于二十五 x， b， c 等于七 x， 然后用勾五定底，就可以把 ac 表示出来，就是二十四 x， 那 我想问一下，为什么快速得到 ac 是 二十四 s？ 对， 你对勾股数要很熟悉， 勾股数七二十四就是二十五，所以有一条边为二十五，那么另外一条直角边就应该设上二十四，所以这一条边为二十四 s， 然后就可以，然后又知道 ac 的 长度，所以可以变成这个就是 x 的 一，这个 a 就是 x。 那这个提醒同学们，因为我刚刚看到有同学算了好久的，你常见的几组勾股数要把它怎么样 牢记？常见的勾股数要把它牢记，那我们来看一下，如果说是像我们刚刚这样子的，如果是已知三角函数求边长，一般情况下我们可能需要结合什么去求勾股定律，还要可能要结合什么 方程，像这样子是不是设一个未知数结合方程需求好？

列表规范初中阶段必须掌握的锐角三角函数值包括，三十度的正弦等于二分之一三十度的余弦，二分之根号三三十度的正 弦二分之根号三，四十五度的余弦也是二分之根号。二 四十五度的正切等于一四十五度的余切也等于一，六十度的正弦等于三十度的余弦是二分之根号。三， 六十度的余弦等于三十度的正弦是二分之一六十度的正切等于三十度的余弦是根号。三、 六十度的余切等于三十度的正切是三分之根号。三能记多少其实没有限制的，甚至你可以查找资料， 记住更多的锐角三角函数值的。另外，观察这个表格，你有什么发现吗？俺发现，锐角越大，正弦值就越大，即正弦值随锐角的增大而增大。 反之，锐角越大于弦值却越小，即于弦值随锐角的增大而减小。和正弦一样，锐角越大，正切值越大，即正切值随锐角的增大而增大。所以，锐角越大于切值反而越小， 即于切值随锐角的增大而减小。下一个视频将给大家证明这三个规律，敬请关注！

这是一个三十度角，咱以它为内角做一个直角。三角形就是一块你已经很熟悉的三角板，其中这条边叫做三十度角的对边，这条边叫做三十度角的斜边，这条边叫做三十度角的邻边。 根据之前所学的知识，如果我告诉你对边的长是一，那你一定知道斜边的长就是二。如果我告诉你对边的长是三，那你也一定能推出斜边的长就是六。 换句话讲，不管三十度角的对边与斜边具体长度是几，只要三十度角这个角的大小不变，那对边与斜边的比始终都等于一比二。这说明对边与斜边的比值其实是由三十度角所决定的，与三角形大小无关。 与之类似的还有对边与林边的比，以及林边与斜边的比，它们都与三角形大小无关。你像三十度角的林边比上三十度角的斜边，就等于刚好三比二， 而三十度角的对边比上三十度角的邻边就等于一比根号三。这一系列比值都只与三十度角有关，而与三角形的具体大小无关。所以数学家给他们起了一个统一的名字，叫做三十度角的三角函数。 为了把这些三角函数互相之间区分开来，他们又起了三个不同的名字，把对边与斜边的比叫做三十度角的正弦记作 sin 三十度。把邻边与斜边的比叫做三十度角的余弦记作 cosine 三十度。 把对边与邻边的比叫做三十度角的正切记作 tangent 三十度。根据刚才的结论， sine 三十度就等于二分之一， cosine 三十度就等于二分之根号三 tangent 三十度就等于根号三分之一，即三分之根号三。 三十度角的正弦、余弦和正切，你已经明白怎么回事了，那别的角的这三个三角函数你会求吗？比如，咱来算算四十五度的三角函数值，你同样以四十五度为内角做一个直角三角形。显然，三边的比为一比一比根号二。 根据定义，正弦是对边比斜边，那他就等于一比根号二，化简后就是二分之根号二， 而余弦是邻边比斜边，这两边的比显然也等于一比根号二，化简后就是二分之根号二。至于正切，他是对边与邻边的比，结果就等于一比一得一。 其实，对于任意一个锐角，你都可以像刚才这样，借助直角三角形来计算它的三角函数。比如这个角 a 要求它的三角函数，你就以 a 为内角做一个直角三角形，把对边比斜边的比值记作散 a， 邻边比斜边的比值记作 cos a， 对边比邻边的比值记作 tenant a。 进一步的，如果我告诉你这个直角三角形恰好就是三四五，那三 a 就是 三比五得五分之三， cosa 就是 四比五得五分之四， tenant a 就是 三比四得四分之三。 以上就是三个常用三角函数的定义。关键就一点，牢记这三个三角函数的算法。对于任意一个锐角 a 而言，以它为内角做一个直角三角形，角 a 的 正弦散 a 就是 对边比斜边角 a 的 余弦， cos a 就是 邻边比斜边 角 a 的 正切 tan tan 的 a 就是 对边比邻边。怎么样，记住了吗？如果记住，就快快去刷题试试吧！