张宇1000题题目设置有问题

好，我们看这个题定积分比较大小的啊，近几年呢，也是比较喜欢考这类型的，所以同学们要多练一练啊。 我们先去观察，这样题，就先观察啊，先观察，观察积分区间，观察，观察背记函数，先看区间，区间他俩是一致的，那他跟另外两个不一样，那再瞄一眼之后，这是对称区间，那你立刻想到什么呀？哎，对称区间上的知识点，那就是被积函数，如果是积函数，一积分就是零，是吧？ 哎，这块就用上了啊，偶函数的话可以写成两倍。好，那 m 直接就算出来了， m 还剩的不就是负二分之一，二分之一一 d x 吗？零了啊， 好，这就等于二分之一减负二分之一一了呀。好，这个时候同学们得知道，这个一出来之后，它就是一个参照物了，啥意思？另外两个啊，之 要么是大于它，要么是小于它，就是这个意思。好，做这样的题啊，得有这样一个思想啊。好，那么我们去看一下到底谁是大一，谁是小一呢？再去观察一下， 好，看一下它的背记函数，它的背记函数。哎，这个 e x 方跟 e x 方好像有什么渊源，渊源在哪呀？在这了，这就是我们常考的一些不等式，你必须印到它呢，你问问你自己为什么没想到。有些同学啊， 好，那想到了是吧，想到的话，那它就是大于它的。对，大于它的话，它除以它不就是大于一的吗？这就是，对吧？就是上面减下面是大于零的吗？那除的话不就是大于一的吗？大于一，那就是 k 就是 大于一的吗？是不是 k 就 等于啊？零到一 e x 方， 因为我们知道这一块是大于一的，所以就可以放放松了啊，就给他这里放成一个一，因为积分的区间一样。好，这个背记函数左边大于右边，那么积分的话左边就大于右边呀，是不是这积分就是一个一啊，所以 k 就 大于一， 好，根据是吧？根据我们说的啊，你这个做题的一个思维的话，那按理说这个 n 呢，就是小一，但这个时候是你猜的， 猜的，一般没有啥问题的啊。没啥问题，你待会你可以去验证，比如说时间紧张的情况下，我现在就可以大致下个结论了啊，就 m 是 等于一的参照物，有了 k 大 于一的，我也找出来了， k 就是 大于 m 的， k 就是 大于一的嘛，它等于一，那另一个小于一嘛，好，就是 n， 那就是 k 大 于 m 大 于 n。 这个是我们啊，粗略的的一个答案，有些同学就不放心，行，不？放心我们就去证实证实一下， k 就是 n 呐， n 就是 小于一的，怎么去？正好一个分式想去证它小于一，那么就是分子跟分母做减法就行了， 你只要说明出来它减它小于零，前提啊，这也是大于零的啊。好，它减它小于零，不就是说 a 除以 b 是 小于一的吗？是不是？哎，这个中学的了啊，可以再复习一下。那我们就可以另一个 f x 就 等于 分子减去分母吗？是吧，零一加 x 的 一个平方，好，减去 x 平方。那么关于这里啊，积分的这个 短点的一个问题，我待会把这个题讲完会再补充一点啊，有同学说可不可以去等啊之类的啊，好不？不可以啊，去不了等。 好，那我们现在，哎，先把这一块求一下左边，你这要看一下他大一零，小一零，要去研究这个函数了啊，是不是左边求导是个一，右边不求导， 加上左边不求到，右边求到。先是平方求到，再是 lone 求到。这个得很熟练了啊，后边一求，看一下它是正还是负。 lone， 一 加 x 平方 后面的话，这个跟这个消掉了，还剩二倍的 lone， 一 加 x 后面减二 x 这一块的话，我们知道啊，这个定域就是零到一。同学们啊，关于这个积分的话，你不要给他写成等号啊，写成等号约成就会绕进去，因为积分的话跟他这一个啊，这个取 b 区间和开区间没有啥区别。 最后我还还是会补充的啊，你先就把它以后都写成开区间就行了啊。写成开区间也就说 s 不 等于零是吧。不等于零啊， x 大 于零，大于零的话这个又用上了吧。哎，这一系列这些都常常用啊，它就小于它，那小于它的话，它小于它二倍的，它也是小于二倍的它呀，这块肯定是负的，这块是正的。 正负我不知道你们加到一起是正还负的，怎么办呢？继续啊，继续求导，这不常见的套路吗？那先平方求导，再是捞引求导，后边捞引求导 是吧。一个二，你再整理一下吧，一加 x 分 至二倍的 low， 一 加 x 加上二，再减去一个二，再减去一个二 x 去吧，这个通分上去了啊。好，你看一下二跟二不就消掉了吗？还剩一个减二 x 啊，直接写了， 那减个二我二都提出来，这不又出现了，好，零一加 x 小 于 x 可以 用上了吗？所以分子是一个负的，分母是正的呀，是吧？分母是正的，所以这块是小于零的，那我们就知道了，一阶导函数就是单减的， 对不对？一阶导函数单减，我们就知道你是单减的吗？所以你在定义域上啊，就是，哎，我们整个的 f x 肯定会小于 f 撇零的，是吧？零点对应的这个一阶导函数是最大的呀， 比如说你零点不是没取吗？没取也没关系，那我整个的在定律上不包含零的，肯定就小于零这一点的函数值吗？是不是你就去写就行了，反正它是可导函数。好，没问题的啊，写就行了， f 撇零，你一看是一个零， 对，是个零。好，那这个时候我们就知道一阶导函数小于零，就这样往往上逆着推回推回去了。一阶导函数小于零，我们就知道了，函数是单减的，函数既然单减，那么我整个的 f 在 定义域内 f x 肯定就小于 f 零，是吧？ f 零六等于谁就是零呀？ 好，你看你是不是正出来了， a 除以 a 减去 b 小 于零，那就是 a 除以 b 就 小于一了，这就正出来了呀， 这个就是你猜想的，就是对的。这样的题，有有这样的一个思想，参照物的一个思想。好，下来，我就说一下啊，刚刚说的这个补充的一个部分，就说有同学可能会纠结于这个地方能不能去等的一个问题，取不了等，取不了等啊，就说你就算你把啊这个 x 这个区间给他写成 b 区间啊。有同学总是纠结于等号啊，带不带的问题，我，我们就说一下啊，好，假如这个积分的区间，你就给他写成啊， b 区间，因为跟开区间没啥区别，这一块没有问题吧， 也就是说我们先补充第一点啊，这个 a 到 b 这个区间上，我们去积分的话，这个 f x 它定域的话啊，定域，你是写 a 到 b 还是说写 哎，小，这个开区间的 a 到 b 没关系吧，你看这是 f x 的 话，好，这是一个 a， 这是 b， 你 这个积分的话，你注意你积分完，积完的一个这个几何 e 是 吧？积分的几何 e 是 不是平面图形的面积啊？对不对？面积的话，它就是二维的量了，对吧？二维量而一个点，对吧？一个点处啊，这一个点取不取它的话，其实它对应的一个函数值吗？你想知道它函数值是不是？ 好，那它其实是一个一维的量，对不对？你这个点对，那函数值取不取无所谓，对不对？取不取无所谓，反正我要的是整个的啊，整个的一个面积是二维的东西了，这个端点你取不取无所谓啊，是不是这一维的东西啊？端点的函数值，所以说同学们应该要知道的，就是说 这里你理解为这个 x 是 b 区间也好，开区间也好，都是不影响积分的一个结果的，所以说 这个啊，这个就是大于号，哎，有些取不了，等吗？好，你看啊，假设啊你，你就认为它是一个 b 区间了， x 可以 取零，好，你看 x 取零的时候是不是它俩相等的呀？这个图大家得印在脑海里啊。 嗯， e 的 x 方是这样的啊， e 加 x 就是 这样的，这一点啊，这一点是 e x 方的一个切线。这里 这个啊，你可以去求一下，求完之后记得记下来啊，这个直线 x 加一，他只在零这一点啊，他俩的函数值相等。好，又再说，我就取零的时候，他俩就相等了，相等了，这就是一个一了呀，一的话，那为什么这里不能取等呢？这里这里又又说回来了啊，他只在一个点处啊， 函数值相等，而我们整个的是一个积分的量了，我们可以画一下啊，画下图，你再看一下这一块，我们给它另成一个 f x， 可以吧？对于分 x 的 话，好，有这样说， x 等于零的时候，它的上下一比是一个一吗？是吧？分 x 就 等于一啊， x 等于零的时候，分 x 是 等于一的， 但只要不等于零了。好，我，我整个是区间的。是区间啊，那不等于零的时候，你比如说取二分之一啊，是吧？一直取到一，这里加上是一个啊，这个，这个一取的太短了，这个是一 假设啊，这个一零到一这个区间上嘛。好，其他的点对应的函数值是不是都是大于一的？因为除了零这个点之外，上面都是大于下边的分子大于分母一除的话都是大于一的啊，所以对应的函数值都是大于一的。大于一， 大于一啊，我不管是在哪，反正对应的函数值是大于一了。好，这就是 f x 假设啊，这 f x 的 图像， 你看这个整个的一个面积是不是大于一的？你看 面积唯一的是紫色的，而我们记了一个积分的一个结果是严格的大于，不可能这里去等啊，就算，就算，你认为啊，这个积分的区间上下，这个包含了这个两个端点， 也是不可能去等的，都是严格的大于号，所以以后同学们啊，再见到啊这个积分这样的题目的话，你不要给自己再去限 跳到这个思维陷阱里面是吧？有同学总是绕进去，不要绕进去，不要去钻牛角尖，看到这样的题就直接认为开区间，这样的话就不会去搞这个 b 区间。什么等号不等号的问题了是吧？直接就认为开区间，因为开区间跟 b 区间没有什么区别，你一旦认为 b 区间的话， 你就可能会考虑等号的问题了。但我们已经说了啊，他跟你取 b 区间是一样的结果，那你干嘛不直接就把它当成开区间是吧？当成开区间这样研究问题的话，不会对你造成啊，困扰了是不是这个意思 好，有些人说，哎，我还没有注意这一块呢，越讲越乱了。好，那你当我上面没有讲是吧，当我上面没讲啊，总之，希望，哎，希望不要啊，不要去纠结于这个等号什么的，直接就开序键。还有这句话好参照 o 哎，一个大语义一个小语义这样的题目得有这样的想法。好，这个题就讲到这了。

好，我们看这个题啊， d 是 第一象限内在它和它之间的区域二重积分。好，这个流程都知道了，先把区域 d 划出来 第一象限啊，好， y 等于四 x 方， y 等于九 x 方，两根抛线啊， 一根再来一根。好，那上面这一根的话，那就是 y 等于九 x 方，对吧？下面是 y 等于四 x 方，这个没问题吧？你这个 x 取一的时候， 比如说啊， x 取一的时候，这个值小，这个值大嘛？是，好， 它们之间的一个区域是不是一个无界区域啊？你看这个无界区域啊， 积分的话我们看一下啊，选择 x 形还是 y 形域啊？如果你先对 y 积分的话，你看啊，这一块的话， 他的一个元函数是谁啊？这个是记不出来的，对，他这个记不出来啊，那你就先对 x 积分嘛，是不是先 x 后 y 不 就完了， 那就是把曲化成哎， y 型的嘛，你看 y 的 一个变化啊， y 的 变化就是零到，哎，无穷了。好， 我们记为 i 啊， y 的 变化零到正无穷。 x 的 一个变化呢？平行于啊，这个 x 轴画一根线， 这是进，这是出，是不是？那这个 x 等于多少 y 呢？这里 x 等于多少 y 呢？你看一下， x 平方等于九分之 y， x 呢？开个方就行了，是不是？那就是三分之根号 y 没问题吧？这块呢，解一下， x 等于 y 除以四 x 等于 根号 y 比上一个二，因为他在第一项线吗？取的是正的啊。好， x 放在这， e 的 负 y 的 一个平方放在这。 好，这块积分的话，原函数是二分之一 x 平方，对不对？ x 平方啊，上下线一带，我们直接直接在这算了啊，那比较容易嘛。 好，上线的一个平方，那就是四分之 y， 下线的一个平方啊，九分之 y 对 不对？一减的话三十六分之 九减四五吧。好， y 啊， e 的 负 y 方抵 y， 这个很好记了吧。这个 y 方，哎，这个往后面一凑不就完事了。好，二分之一，零到正无穷。这个系数拿出来啊， e 负 y 方抵 y 方，或者你补个符号也行，对，你不补也行啊，都可以。你这一块的话啊，微分是二， y 抵 y， 你 比原本的多一个二啊，要补一个系数二分之一。哦，好，这是四乘以三十六 十四一四四分之五。好，后面呢？后面啊，你把它看成一个 t e 的 负梯次方，原函数就是负的 e 的 负梯次方是吧，负的 e 的 负梯次方。如果你这里啊，给他搭配一个符号的话，你前面要多一个符号， 是不是这整个的啊？哎，看成一个 t e 的 t 次方，原函数就是 e 的 t 次方。对，前面多个符号都一样的啊。好，零到整无穷 一四四分之五。先不管这个符号，我们先看上限带入一的负无穷吧。一的负无穷，求极限嘛，那就是零啊。下线呢，一带一的零，次方是一零减一是负一，前面有个符号，所以是正一，那就是它嘛。好，五比上一四四。 对，也是一个比较容易的题目啊，主要是你要判定出来啊，先 s 后 y 还是先 y 后 x 啊。好，那这个题就讲到这了。好，我们看这个题啊， 计算二重积分，把区域 d 啊，我们画出来，可以看出来是个半圆域是不是？你看，因为 y 大 于等于零嘛，画一下啊， x 轴好， y 轴圆心是 a 零， a 大 于零啊，半径是 a 的 圆，这是一个偏心圆好 哦， y 大 于等于零，所以只取上上面这一部分就行了，这就是区域 d 啊。 我们说偏心圆域的话，你可以考虑二重积分的一个换元法，但是呢，不同的一个题目，你还是要灵活一些好。如果你采用二重积分的一个换元法，就是令 x 减 a 等于个 u 好， y 呢，是等于 v 的 x 就 等于 a 加上一个 u， y 呢，是等于 v。 好， 我们说换元要三换是吧，你这里面的 x 要换成它， y 呢，要换成它，那你这个啊，减去一个是吧，它的一个平方，你看这个平方还你还得去求一求，是不是你最后还得开方，这不好处理。 也就是我们遇到偏心圆域的话，你可以去想到用二乘七分的还原法，但并不是所有的题都要用二乘七分的还原法的，比如说这样的题，它的背积函数带有根号，并且这里面有减去 x 方加 y 方， 那就直接记坐标，不要画圆了啊，直接记坐标这一块的话，哎，是不是就是 r 方呀，哎，这，这样就好好处理一些啊，看到这种平两个平方相加都带根号的，你得想到直接记坐标，不要画圆了是不是？具体问题具体分析啊，直接采用记坐标，就是令 x 等于 r 乘以 cosinect， y 呢？ r 乘以 sin x。 好， 那我们看一下啊，这个区域 d 的 话不是在这呢吗？我们说跟圆相关的，我们采用极坐标啊， 角度的一个变化，那就是零到二分之拍吗？是不是你这个啊，都是切线吗？你看好 d、 c 它半径的一个变化呢，注意有个小 r 啊，那就是从极点出发引一根射线出去啊， 从零到他，你解一下就行了啊，零到谁呢？这个圆不是在这呢吗？ x 方减去二 a x 加上 a 方加 y 方，这个圆的一个方程啊， 这个消掉了， x 方加 y 方，就是我们说 r 方嘛，等于二 a x r 乘以 cosine theta， r 消掉，是不是它二 a cosine theta。 好， 这里面啊，四 a 方减去 x 方加上一个 y 方，这块就是 r 方了。对，好，开方， 这一看就是错位分啊，好，递减它， 二 a 扣三 a c 的， 我凑微分的话，我直接就凑这一腿，是不是把这一块直接凑到后面啊， 底底就是 c。 四 a 方减去 r 方，你注意啊，要补系数这一块。求微分的话，是不是负二 r 抵 r 呀？原本是 r 抵 r， 你 多了个负二，所以要补一个负二分之一啊。负二分之一 这个根号呢，你就写成二分之一次方呗，是不是你再看成一个 t， 看成一个 t 啊， t 的 二分之一次方的一个原函数，那就是 t 的 二分之三次方。再补一个三分之二。好，系数都写到前面了啊， 零二 a cosine c， 它往后面写了啊，咱们把这个背积函数啊去算一下，它就负三分之一啊， 上键带到这个位置啊。四 a 方减去平方一下啊，是他吧， 你看这一块是不是把四 a 方可以提出来啊，那就一减 cos 方，那就是 cos 方。好，整个要二分之三次方。四的二分之三次方。六十四开方是个八嘛。好，二乘以二分之三是一个三次方啊，这也是一样的三次方啊。八 a 的 三次方 sin c， 它的三次方下限零一代啊，也是四 a 的 平方，二分之三次方，四的话二分三次方是八，它的话三次方啊，八 a 的 三次方， d c 它啊，这个也很容易算啊，别算错了， 我们可以把八 a 的 三次方提出来吧，负三分之一八 a 的 三次方，这里面的话， sin theta 的 三次方，把图像去掉，减一个一啊， d theta 好。 负三分之八 a 的 三次方，这一块的话，用一下滑理式公式啊，三二一减去二分之拍， 这就最终结果啊，我们也可以乘一下啊，把负号乘进去吧，三分之八 a 的 三次方，负号乘进去就是二分之拍，减去一个三分之二， 这就可以了，对不对？你答案的话，他把这里面又通个分，再整理一下也行啊，其实你到这也可以啊，你非要整理一下，那就是把里面通个分，六分之 三拍减去一个四，是吧？这个六呢，你跟这里消一下啊，除以一个二是一个三，好，这个三跟三一乘是九吗？是不是这块就是他了？三拍减四， 好，这个结果也可以啊，你写到这其实也是行的啊，好，这个题没有什么难的，直接集坐标这边也很好算啊，算对了。哦，好，这个题就。

好，我们看这个题啊，是连续函数 f x 满足。好，这个等式，这里边有 f x， 有 f x 加一。好，这里呢是 f x 在 零到一积分是等于零的，求 f x 在 一到二积分那个结果啊，那我肯定是想用 这个信息的，是不是？而 f x 这里出现的有，那你这求的积分，那我就直接都是在零到一上面求定积分不就行了，是吧？你要想到啊，哎，这个 题目的信息应该如何用，是吧？那这个我零到一都都在零到一上面积分的话，这块不就是零了吗？不就可以用它了吗？我们用用试试，然后看一下能不能够把这个结果啊，怎么给体现出来，是吧？这这个要求的啊，就表达式体现出来。 好，那就全部啊，零到一区间上啊，就定积分 x 加一 d x 嘛，减去零到一 f x d x， 它等于零到一 x， 零 x d x。 好， 这块我们说是等于零了吗？ 前面呢是零到一 f x 加一 d x 啊，等于零，我这里啊，写一下吧，这是零了啊，不管了，等于后面的 零到一。我这个啊，咱们是可以，其实可以积出来，这里，是吧？这两类函数我们可以凑微分分布积分呀。好，这个结果肯定是可以算出来的，那现在他跟他的一个关系， 这个我们想要的是 f x， 并且是一到二区间，现在你是 x 加一，我换个圆就行了，是吧？我变成代换一下呀，我就另 x 加一，就直接等于 t 啊。 好，这个时候的话，我们看当 x 取零的时候， t 就是 取一了，当 x 取一的时候， t 取二，是吧？那这就是 f t 好， d x d x 刚好就等于 d t 就 换个圆，是不是？那发现它就是我们要求的，你这个用 x， 用 t， 用哪个字母是无所谓的，是吧？这就是我们要求的啊，好，它就等于不就是这个定积分吗？是不是？好，我们去算一下它啊， 凑为分，把密函数凑后面，你对着函数怎么凑啊？好， d d x 的 一个平方，你要补一个什么二分之一啊， 凑为分，这个是没有问题吧？好，接下来凑完就立刻分布积分，这不是这类题的一个套路吗？凑完立刻分布积分啊。好， x 平方 low x 零到一，我们把系数带上了啊，减去二分之一倍的 x 零到一，我们把系数带上了啊，减去二分之一的 x， 那 就是 x 分 之一 d x 二分之一，把上线一带 lonely 一， 这块就零了，是吧？减去下线一带，下线一带就要用到啊。给大家说的这个经常考的一个极限， 它现在就是 s 的 一个平方， lonely x， 这个是意思呢？是吧？求极限了呀， x 现在是去零，因为你零带进去肯定是没有意义的。我们这个用牛顿来维尼斯公式的话，这个就是去零啊，是求极限的意思是吧？零不是带入啊，是求极限啊。 从右侧去零的时候，这不就是这个极限，就是等于零吗？好，零了啊，减去二分之一倍的零到一， x 方除以 x 就是 一个 x， dx 前面就是个零了，不用管了。减二分之一 x 的 原函数是吧？ x 平方除以二呀， x 平方除以二，这就是四了吧？好，零到一，负四分之一，那么一一代零一代，这就是一个负四分之一。往这一写 说，哎，要学会啊，观察描眼怎么用它呢？那自然我给它凑成你的这个形式，就可以用这个信息了嘛，再变量代换一下啊。好，这个题就讲到这了。好，我们看这个题啊， 这是一个函数，是不是这让我们求的定积分啊，观察一下，这是积分变量 y。 好，这里面有一个 x， 既然积分变量是 y 的 话，我就把 x 给它换成 y 的 一个表达式不就行了吗？是不是你 y 等于多少多少 x， 我 解出来 x 等于多少多少 y 带过来不就完事了吗？是不是？好，那我们看啊， 怎么解呢？两边都平方呗，因为这有根号啊，两边平方一下，这是 x 方，先右边平方吧。好，就是它，左边平方就是它。所以呢，我们可以把一加 x 方跟 y 方乘一下来解一下嘛。 这是什么呢？是 y 方加上 x 方 y 方是吧，这个跟这个是不是可以挪到一起啊？ 也就是 x 方减去 x 方， y 方就等于 y 方。好， x 方提出来，那就是一减去一个 y 方就等于一个 y 方，那么 x 方就等于 y 方，除以一减 y 方。 好，这个时候因为是 x 平方了，那我们解的话，应该是 x 等于正负根号下这一块上面根号的话， 先先写一下吧，根号下 y 这个平方除以一减 y 的 平方。好取正取负呢，同学们看一下啊，这里有提醒啊， y 它是介于二分之一 和二分之根三之间呀，总之 y 是 不是就大于零的呀？ y 大 于零的话，那么看一下它怎么大于零呢？这个肯定是大于零的呀，所以 x 就是 大于零的，是从一开始你就应该能够知道 x 就 应该是大于零的，才满足题意嘛，是吧？ x 大 于零的话，那就取正的呀， 是吧？ y 也是大于零的，所以这个上面的根号就是一个 y 了，下面的还带一个根号，是不是下面还有一个根号？ 好，这解出来 x 等于多少个 y 了啊？所以这个 a 的 话，分割线一下啊， a 就 等于二分之一，二分之根三 x 现在就换成 y， 比上一减去 y 的 一个平方开放。 好，这还有一个 y， 是 吧，那就是 y 的 平方了啊。 d y， 这个时候观察一下啊， 观察一下，这里有个根号，并且出现的是平方减平方的形式，我们是不是可以什么呀？三角画圆对不对？前面啊讲过，平方根号下平方加减的话，一定要有一个想法，就是三角画圆，或者呢，你看到了这是一减 y 的 方，那我这里是不是可以给他配成一减 y 的 方呀？ 我前面听个符号，是吧，可以给它配成一减 y 的 方，那一减 y 的 一个平方的话，除以一减 y 的 平方根号，根号的话是不是就等于根号下一减 y 方也可以啊，我们都试一试啊，先是三角换圆的话啊，从这里啊分出来的方法先是三角换圆。 好，我们令什么？这个型号呢？是不是就令这个 y 等于 c n t 就 行了是吧？好， y 等于 c n t d y 呢？ d y 就 等于 cosin t d t 了呀，是吧？好，这个 a 的 话，就等于当 y 取二分之一的时候， sin 多少二分之一呢？ sin 三十度是吧？六分拍呀，取二分之根三的时候呢， sin 六十度呀，六十度是三分之拍。 对，这角度记好了啊， y 的 一个平方， y 的 平方啊，就是 sin t 的 一个平方， 一减一减去 c n t 平方是 cosine t 的 平方，开方是 cosine t 的 绝对值，是吧？我们再看，哎，它是在六分派到三分派，所以这个绝对值是可以去掉的。咱们说了，这个型号的啊，都是可以去掉的 对不对？在 d y， d y 就是 cosine t d t， 这样的话， cosine cosine 消掉了，还剩的是 c n t 的 一个平方是吧？ c n t 的 平方的话，我们这个时候是不是可以想到，呃，倍角公式啊， 好，它就等于二分之一倍的，我们再写一下吧， c n t 的 一个平方就等于二分之一减去 cosine 二 t， 是 不是 cosine t 的 平方的时候是一加上 cosine 二 t 啊，除以二，这个记清楚了，我们把二分之一提出来了啊，是六分之 pi， 三分之 pi， 这是一加一减 cosine 二 t。 好， 我就横着写了啊， 生两个生这样地方，第一部分我们拆成两部分积分，第一部分积分就是上线减下线呀，三分之拍，六分之二拍，减去六分之拍，那就是六分拍好，再减去这块原函数的话， c 二 t 你 会多一个二，所以前面出一个二 把上下线啊，一带六分之拍，三分之拍，我们看一下啊，三三分之二拍是不是等于三分之拍呀？而他的一个分，这个下线的话，六六分之拍一带就是三分之拍，上下线结果一样呀，三三二拍是不是等于三三分之拍呀？这些该记的啊，诱导公式，记一记， 这块积积分就是零了呀，零的话就只剩这块了。好，就是十二分之拍，是吧？就出来了啊，这就是他的结果。我们看这块不想用三角画圆，我们说了给它凑成这个型号，凑成这个型号的话，我填一个符号吧。先， 我先添个符号，这个上面先出现负 y 的 方是好 e 减去 y， 放开放底， y 好 负的就放这了啊，我就写详细一点， 这是负 y 方，我现在想要一个一啊，也就是你莫名其妙在分子添了一个一，所以再减去一，这个就是一个整题了，对吧？除以根号下一减 y 的 平方 d y。 好， 我往下写负的第一部分写两部分了啊， 这是第一部分吧，那就是根号下 e 减去 y 的 平方 d y 是 吧？第二部分就是加上啊 e 除以啊， 根号下 e 减 y 的 平方 d y 对 于这一块的话，它的一个元函数，它的不定积分结果我们是很熟悉的，是不是？这个你别忘了呀，是 arc sin 对 不对？ arc sin 啊，它的结果 好把上下线一带，那这个呢？这个的话啊，如果他的一个上下线是比如零到一好，就可以用几何咱们说的几何意义去做四分之一圆的面积是不是？ 但他现在不是零到一了啊，那我们也没有必要再去用几何意义了，再去画圆求面积了，是吧？其实也可以啊，去看那个角度的一个变化也行，用面积 好，那不用的话，这又出现了根号，那肯定还是你看这块你还是避免不了用一下这个三角还原是吧？这个还是要用三角还原的负的好，我们去换一下是吧？这个另，这也可以写一下另 y 就 等于 c t 好， d y 就 等于 cosin t d t， 这个还是一样的步骤啊，这就是六分之拍，这是三分之拍，这变成 cosin t 是 吧？ d y 呢，就是 cosine t d t， 这就是平方了呀， d t 再加上这个解，这个不定积分，我们是记住它的一个公式的，是吧？ cosine y 啊，好，二分之一，二分之根三。 第一部分看一下是不是还得用一下二倍角公式。 cosine t 的 平方啊，等于二分之一倍的一加上 cosine r t 了啊，好，二分，负的二分之一， 负的六分之 pi 三分之 pi 好， 一加上 cosin 二 t d t。 咱把后边先算一下啊， cosin 二分之根三 sin 多少等于二分之根三呀？ sin 三分之 pi 是 吧？ sin 多少等于二分之一啊？六分之 pi。 先把后边这个可以写出来，好好，接下来继续。 这个好像还没有直接这样好像快呢啊，不过也做一做呗，这也是常见的一个想法的啊，咱们有其他题目不是已经见过了吗？好负的二分之一。第一部分，积分一，积分上限减下限，是吧，这怎么是负的呢？正的啊， 六分之二拍减六分拍，六分之拍，前面已经说过，再加上这是三二题，要补一个二分之一，是吧，这块积分就是一个零啊，咱们也说过了啊，再加上这是六分之二拍，加六分拍，减去六分拍啊，就是一个 六分拍。这里我们说了啊，这块积分结果上面也说过了吧，是不是这里啊，就是等于零的啊，都还剩一个， 还剩一个。负的二分之一乘以六分之拍是负的十二分之拍，是吧？加上一个六分之拍，最后的话 是，是吧？十二分之拍呀，六分之拍不是十二分之二拍吗？减去十二分之一拍就十二分之拍呀？对的啊，还不能迷糊了是吧？有点犯迷糊了。好，就十二分之拍啊。 那当然啊，还有别的想法，就说我们直接啊，把这里边的 y 都换成 x 也行，是不是？把这个 y 换成 x， 这就是 d y 吗？ d y， 你 算一下 y 的 微分吗？给它换成 d x。 但是你不要忘了啊，这个上下线也得换呀，是不是你 y 等于二分之一的时候， x 等于多少？ y 等于二分之根三的时候， x 等于多少？所以你要换的有一二三四，你会发现啊， 也简单不了。没有，还没有这个，还没有这个简单呢，我课下已经算过了，所以我觉得这不他不是一个很好的一个方法，所以我就不给大家讲了，我告诉你有这个想法。有这个方法你可以去做一下啊， 没有必要可以不做啊，可以不做，直接他是底 y 是 吧？哎， y 积分作为基本面料，我们就把 x 换成 y， 这块就不用换了呀。是不是换成 x 这块还得换，万一换错了呢？增加这个做题步骤就容易出风险啊。好，那这个题就讲到这了。

好，我们看这个题啊，考察反常积分的连散线啊这一块，把相关的知识点梳理整理清楚之后，你会发现这样的题其实也不难了啊。 好，这样的题咱们说啊，做题步骤的话，先去判定反常积分的类型，如果只只是一种类型的话，好，那你就，哎，对应的方法一用就行了。是不是主要比较对象这个无穷区间的无穷无穷无穷区间上的反常积分的话，就找 p 积分嘛。 好，如果仅仅是考的，哎，无界函数，哎，这类型的反常积分的话，好的，相应的啊，这个方法，哎，主要是找比较对象 q 积分，如果两种类型都包含呢？你要进行插点了啊，我们判定的时候就是一侧哎，这个反常积分的时候一侧反常才去判定啊，你不要两侧都反常啊， 可能是两种类型都包含我们进行差点，也有可能像这个题一一样啊，他两端都有可能是瑕点，这就两侧反常了，也是要进行差点的。总之你要记住一句话，就是我们判定的时候，好，这个判定某一个反常积分的时候只有一侧反常， 懂不懂？可能是这两个，这两个点都可能是瑕点，那你要进行差点，也有可能是，好，哎，是两种类型都包含我们进行差点， 这是瑕点的话，好，这是无穷区间两种类型或者这种，哎，只要你记住一句话，咱们判定的时候就是一次判定的就是一侧反常的这个反常积分，它到底收不收敛啊？ 为什么？这个题啊，这个也是需要叉点的啊，因为零和一都有可能是瑕点，为什么？你看零的话，你看这个分母是 x 去零正，这个一的话，就是 x 去一负，对不对？ a 如果大于零去零正，零正的 a 次方，那不就还是去零正吗？是不是你分母为零了啊，然后它就是瑕点了啊。好，你再看一下这一块啊，这个一，这里一，这里的话， x 去一负 贪念二分之拍乘以 x， 那 就是从左侧去二分之拍嘛。好，我们二分之贪念贪念的图像画一下啊， 这是二分之一是吧，这是负二分之一，这是零啊，从左侧去二分之一的话，你看往往无穷去了，对不对？好，这一块啊，它是往无穷去，你这个 b 啊，很有可能小于零啊，咱现在并不知道这个 ab 的 一个情况，那如果它小于零的时候，那无穷 一个无穷，它的小于零的一个次方的话，比如说负二次方，那就，那就什么呀，那就变成趋零了，是不是分母趋零就是没有意义的嘛？是不是分母为零就是没有意义的？我们也称为瑕点啊，所以 一很有可能是瑕点，零很有可能是瑕点。这两个点啊，都是要啊关注的嘛，那我们哎，就进行差点啊，使其一侧反差，你不要搞两侧反差啊。好，我们现在啊，把这个反差积分 来进行差点零到二分之一，你写三分之一当然也可以啊，只是说我们习惯性的，是吧，差一个中点啊。好，二分之一我得写过来啊，这是零 x 好， 写详细一点啊。 第二部分，二分之一到一 x x 到 tan 的， 我们可以记为 i 一 和 i 二啊，这样便于书写啊。好，现在看，对于 i 一 的话， 瞅一眼啊。我们现在的话啊，这两个反常积分，它都属于这个无界函数的反常积分，也就是我们说的霞积分。好，哎，霞积分的啊，几个关键的一个点看一看啊， 盯住我们那个瑕点，盯住我们的瑕点，我们的瑕点，这个时候啊，就是零，很有可能是瑕点嘛，对不对？那把极限存在的一部分的式子可以甩掉，你看有没有呢？ 哎，这个 lone 零的话不行啊，这个因为 lone lone 零正的话是趋富无穷的嘛，是不是？这也不行啊，这都不能甩掉的是不是？哎，这一块 这块是不是可以用一下等价啊？你看，想到可以用等价无穷小啊，也就是说这块等价完之后，它们反常积分的连散性是不变的原理咱们说过啊，就是比较判定法的极限形式啊。好，你 x 趋于零正嘛，你这个贪念二分之差 x 完全可以用一下等价呀，所以这一块的一个连散性就去看 这一块反常积分的连散性就行了。好，这就划为什么了。哎，等价于二分之差的一个 b 次方， 是不是？这个不用再解释了吧，他跟他等价的话，他们两联赛性是一样的啊。好，定积分能甩掉的这个题这个十字是没有的，那也可以用一下等价。好，最最后我们是要转到这个比较对象 q 积分上啊，现在还没有转化到呢啊，我们继续看， 你这个二分之拍的 b 次方也是不影响连散性的吧，所以我们，哎，继续转化啊。好，连散性就等价于这一个反常积分的连散性就不用去看是吧，这系数吗？一个数不影响连散性吗？好，就这样的话，这样，这个一合一下呗， a 加 b 是 吧？次方啊，变成 a 加 b 了， 好，这个时候啊，它跟我们的一个 q 积分已经很像了，你看 q 积分在哪里啊？ q 积分在在这里，是不是？好，但它这里呢，就是有一个 loan x， 有 一个 loan x， 也不用怕，我给大家也 总结书里的有啊，你看啊，这一块好，带 loan 的 啊，带 loan 的 和不带 loan 的 啊，这两个，这两个啊，这个返程积分，它们你收敛，你就收敛的啊。 好，这个题你看啊，我们刚刚少少说了一句话啊，这个反正积分已经要求收敛了，你拆成两部分，这两部分都必须收敛，对不对？收敛加收敛才等于收敛的啊。好，也就说这个要求收敛，那么 它收敛的话，它跟就是它两个是同连散的嘛，你收敛你也是收敛，你俩同连散。好，那我去看你，你要收敛的话，就是等价于你收敛，也就是 longen 是 可以去掉的。 看一下啊，我们这个 a， 这个不是取的是零，这个题啊，二分之一嘛，是不是？这是零啊，这是一个零，是不是？这是 x 的 这个 a 加 b 次方， x， 这是零了啊。 x， a 加 b 次方，上面是龙眼 x， 对 不对？好，你收敛，你也就是收敛的啊。这个为什么 咱们在前面的题已经给大家讲的很详细了啊，我会在这个题讲完之后，在最后的几分钟再给大家把这一块啊推导的一个过程给大家啊，再去看一下啊，同学们再去看一下，如果忘的话，记住啊。哎，这个过程推导，嗯， 课下梳理之后，然后把这两个结论记下来就行了，你收敛就是等价于你收敛，你们是啊，同连散的好，这个时候是不是就转化为我们的最终目标就是 q 积分了呀，对不对？ q 积分啊， 什么时候 q 积分是收敛的呀？哎，就是这个，这个 q 小 于一的时候就收敛了，是不是？ q 不 就是这个 a 加 b 吗？ a 加 b 小 于一，是，哎，就收敛 好，你看小于一啊，这错这错，那就从它俩里面选了好，这是对于 a 一 啊，或者呢？ 你这一块啊，这个带 lo in 的 啊，带 lo in 的 没记住啊，它们联赛性是一样的，那怎么办呢？那你这一块你总记住了吧， 哎，你看我们带 low in 出现的时候，这一个是要求同学们一定记住的啊，其实这些都要求同学们记住啊，但这个是考的相对来说更多一点，同学们可能印象印象更深一点，如果你这个印象非常深刻的话，我们就往这个上面去转化嘛， 你就给它转化成无穷区间这类型的反常积分，这里面有 no 吗？你给它写成这种格式好去判定它的连散性不就行了吗？那这个时候怎么去把？哎，这个无界函数，也就是无嗯，瑕积分给它转化无穷区间上的反常积分呢？那就是换元吗？是不是？哎，你可以换元啊， 怎么换元？那就是倒代换一下就行了。倒代换，哎，我们可以令什么呀？ x 等于 t 分 之一抵 x 就是 负的 t 的 平方分之一抵 t， 是 不是？好，你看这个 i e 啊， 我这个分割线一下啊，别看不清楚了， a 一 呢，是它，其实我们看这就行了，你这整个这这个流程分析是一样的吧，这就不再说了啊，主要是这块是不是我们想把这个 lonely x 啊，给它转到这个分母上，给它换成这种格式的，所以从这看就行了。前面这个分析流程都一样的啊，所以你看它就行了啊，看它 好，那它的话，当 x 你 看取零的时候，取零的时候，那你看 x 等于 t 分 之一， t 就 等于 x 分 之一嘛。零正分之一是正无穷啊， x 去零正的时候啊， x 去二分之一，这个倒数一下，那就是二， 是吧？好， lonely x， x 的 话是 t 分 之一，看一下啊， x 现在是 t 分 之一，好， a 加 b， dx， dx 在 这呢啊，是负的 t 方分之一底 t 看一下啊，你这个符号是不是不是可以作用于上下线啊？你就二到正无穷，你看，就化为这个啊这个形式了。这个 low in t 分 之一是不是可以给它写成负的 low in t 啊，这个符号拿过来啊，这个符号已经作用于上下线了，这个符号得拿过来了啊，好，负 的负一次方吗？这就是 t 的 负一次方，负 a 负 b， 后面还有一个这个二，是吧？底 t 好，我们把这个 loan 啊给它拿到底下不就行了吗？不就这种格式了吗？那就给它写成 loan t 的 负一四方，对不对？负一四方，再负一四方，不就是一个 loan t 吗？好看一下啊，它咱们要求得是收敛的嘛。 哎，去看这对比这个格式了啊，收敛的话只有两种情况，这种情况或者这种情况。你看这个 loan 的 话啊，这是 loan x q 四方，这个 q 已经确定是负一了， q 已经确定负一了， q 就 不是大于这种情况，是不是它不是这种情况了，只有这种情况才满足收敛啊，那也就是说这个 p 大 于一就行了，是不是要求 p 大 于一就行了？ p 大 于一就是二减 a 减 b 大 于一就行了。那不就是 a 加 b 小 于一吗？是吧， a 加 b 小 于一也可以啊。 好，那我们看一下第二部分 a 二好， a 二的话啊，在这呢，它也是啊，属于这个无界函数这类型的反常积分，也就是我们说的霞积分嘛。好，哎，也是注意啊，这几点嘛， 我们盯住霞点，哎，霞点这边一一它很有可能是霞点嘛，所以你盯住它就行了，把极限存在的一部分的式子啊，该甩掉甩掉啊，你看，去 x 去一负嘛，哎，去一正，哎，对啊，去一负啊， 去一负的话，你看这块是不是可以甩掉啊？你是去一一的 a 次方呢？还是去一的？这是一个数，是不是不影响连散性啊，所以你不用去看它了。好，它这个连散性，现在啊，就是去看它的连散性就行了。好，它，您的二分之百 x b 次方，哎， 这个原理是什么呢？哎，咱们解释过啊，就是，哎，比较判定法的极限形式，你俩的连散性就是一样的，好，就是一样的， 那接下来再去看呢，哎，有没有可以用等价的呢？是不是可以啊？ x 去一的时候，龙眼 x 等价于谁啊？ x 减一，这个没有忘吧，哎，这个也经常用啊， x 去一的时候，龙眼 x 等价于 x 减一，它是最原始的，这个 等价无穷小的一个替换的一个延伸一点点的知识点。是不是我们学的是 x 去零的时候啊，龙眼一加 x 是 等价于 x， 这个没有忘吧，哎，你看这一块零 x， 你 给它写成一加上 x 减一，不就完事了？你看是不是这种格式，一加上 x 这种格式，这整体是小于零的，所以就会等价于这个整体，就等价 x 减一，是不是？这个经常用，一定要记住啊。 好，你看这块就可以等价了啊，就它是等价于 x 减一的嘛，所以这个返程积分的联赛性就是一样的。好，就等价于 x 减一，看后面这个返程积分的联赛性就行了啊，就这样一步一步的转的啊。 好的， b 次方 d x。 我 们最终的目的啊，就是去找这个比较对象 q 积分写成哎，这种这种形形式是不是？哎，这种形式啊，那现在还没有到达我们最终的一个想要的一个格式，那怎么办呢？你再去看一下啊，这里 这个贪心的看着是不是不顺眼啊？贪心的不顺眼，我们给它改成 sin 除一个 cos sin 呢，你再去观察一下啊。好， 这是一二分之一 x 减一。好，这给它写成 sine 二分之 pi x。 好 的， b 次方，除以 cosine 二分之 pi x 的 b 次方。我们这个是不是可以挪到上面啊，挪到上面了啊。 cosine 二分之 pi x 的 b 次方。好 d x 啊，这个时候你再去看一下啊，我们是 x 去一负，对不对？去一负啊，去一负的话，你看这不是 去二分的拍嘛，是不是三 a 二分拍是去一的呀，哎，一的 b 次方它还是去一的。这一块的话就是我们说的极限存在的一部分的柿子是可以甩掉的，它是不影响哎，我们的反转积分的连散性的，这是可以去掉的是不是？哎，你就不停的啊，去往我们的 q 积分上去画嘛。啊，好，那就看它的连散性了啊， 那继续啊，这个还剩那个 cosine， cosine， 哎，这个时候你是不是可以用一下这个诱导公式啊？好，因为我们总共就是去往这两个方向去考嘛，考虑嘛，要么等价，哎，要么用一下这个这个极限存在的某一部分的式子， 给它甩掉这两部分。是不是一般就用这两部分去化解嘛？因为这个 cosine 的 话，它没有什么等价无穷小。对于这个这一块的话， 因为关于 cosine 的 话，我们学的是一减去一个 cosine x 等价，那我们现在想还要用，如果想用去等价的话，你可以用诱导公式转化为 sin sin 等价的，哎，多呀，是不是啊？ sin x 啊，比如说，哎，等加于 x 呀，你可以往上面去想一想嘛，总共就这点东西吧，对吧？ cosine 不 行，等加不了，你就用一下诱导公式试一试呗。可以给它写成 cosine 二分之 pi， 减去一个二分之 pi x， 可以 吧？的 b 次方， 对不对？ sine sine 它的话是不是就等于 cosine 二分之 pi x 呀？好，为什么写成它，哎，我们说了啊， x 这个时候是趋于负嘛？趋于负啊，这是趋于二分之 pi， 这是趋于二分之 pi。 二分派减二分派去零嘛，对不对？三也去零就可以用等价了，哎，可以用等价是吧？扣三也不行，三也可以等价呀，这块就等价于这个整体嘛。好，等价于整体啊，这俩是相等的，那等价的话，它的连散性就与下面的啊这个连散性是一致的，看下面的这个连散性就行了。 等价于二分之派减去二分之派 x， 好， 总共有 b 格嘛，是不是？好？ d x， 你 看啊，这个二分之派的话，我们可以提出来吗？ x 减一可以提出来啊，那还剩一个一减去一个 x 是 吧？ b 四的啊， d x， 好， 你看啊，非常像我们的这个 q 积分了啊，非常像了，我们去给他改写下就行了啊。我们这个瑕点啊，在上方，是不是我们给它写成一减去一个 x 就 写成一减 x 啊？ 那我就前面提个符号嘛，其实这些都不影响连散性嘛。好，那再去啊，改一下负二分之拍 好，二分之一到一，一减去 x 的 b 加一次方，我就写成负的 b 加一次方，可以吧。哎，因为我想去给它写成什么呀？写成这个瑕疵分的一个形式吧，这个瑕点是在下方啊，如果在上方的话应该怎么写啊？也得也得会啊， 就是 a 到 b， b 是 瑕点的话，应该是 b 减去一个 x 的 q 字方 d x 是 不是？哎，这，这都是一样的了啊，好，得知道啊。 好，你看我们写成一减去这个 x 的 一个 q 方的一个形式了，什么时候这个？哎， q 积分是收敛的呀，就是 q 小 于一的时候，也就是负的 b 加一，也就是负 b 负一小于一的时候是收敛的，对不对？ b 挪过去啊，就大于负二，哎， b 大 于负二是不是？哎，整个就选出来了。 好，你看这样的题其实不难吗？就是一步一步的往这个 q 积分去靠拢，对不对？把该甩掉的部分甩掉，不影响反常积分连散性的部分甩掉，是不是这部分甩掉好，这部分甩掉根本就不影响它的原理就是在这啊，之前都解释过了，甩掉就行了， 好，哎，一直甩，一甩甩，甩到最后啊，哎，就到达我们想要的这个目标 q 积分了，对不对？好，整理梳理清楚这一块啊，好，我把这一块的啊推导过程再给大家放到后面，哎，没有听过的同学可以再去听一下啊。好，我们这个小视频呢，讲一下反常积分这一块总结的其中一个结论。 第三条啊，当然了，整个页面都是需要同学们啊记住的，那你先把它推导推导过程知道了之后，然后直接记住，遇到这样的题的话，直接用结论，不要考试的时候再去写这个。为什么啊？这为什么？他俩是吧，他收敛，他收敛， 他俩是同同收敛的，哎，这些你就别问为什么了，课下给他掌握了这个为什么好，遇到题目直接用结论啊。 第三条啊，其中有两条是吧？两条都得记住，这样的第三条它主要用于什么样的题呢？就说给出来了，哎，这一块给出来的这一块题里面啊，给的信息说好它是收敛的， 它是收敛的，请问这个 p 或者是这个 q q 它的一个取值范围是吧？让你去求哎， p 的 一个取值范围的时候， 那我们就是直接就找他对应的，哎，比较对象就行了，他什么时候收敛呀？那就是他收敛的时候， 他什么时候收敛呀？那就是他收敛的时候，而他收敛，他什么时候收敛，他什么时候收敛你是知道的，因为这就是 p 积分和 q 积分呀。 p 积分啥时候收敛呀？那就 p 打一 q 积分什么时候收敛呀？ 啊？ q 小 一是吧。所以说我们去求这样类型的题目的时候啊，你直接去找他对应的这个比较对象就行了。现在我们就说一下为什么他收敛的时候，那就是他收敛呢，是吧？哎，他收敛的时候就是他收敛呢，这一块咱们证明一下，以后就不要再去啊，纠结于为什么了纠结于为什么了啊，就是我们 掌握完之后这个过程以后直接就用了啊，就是用这里来证明的比较判别法的极限形式，用的这一条，用这条，记住啊， 哎，想不起来的时候你就想一下我，我们说的啊，用的这一条，也就是说两个被积函数相除，求极限，这个极限等于零的话，好，分母对应的啊，哎，这一块的一个反常积分收敛的话，那么分子这一块啊，对应的反常积分也是收敛的，这就是我们说的这一块收敛，这一块就收敛了，这是 g x 啊， 这个对应的是 f x 啊，它有个都对应有一个反常积分啊，好，那我们现在，哎，就是把这个啊极限等于零给它证明出来，是吧？先看啊，第一条，咱这个用蓝色笔也行啊，第一条也就是说一下 这里它，嗯，它 好，我们想求哎，他收敛的时候 p 的 一个范围，其实就是，哎他收敛的时候 p 的 一个范围，是吧？因为他收敛的时候他就收敛了啊，他什么时候收敛？那我们这里啊， 都说了啊，用这一个啊，比较派派法的极限形式，我们把这个极限搞过来啊，这个对应的就是 f x， 这个就是 g x 啊，好， f x 拿过来， g x 拿过来， 好，我们是不是想让这个极限是等于零的呀？好，就正这样啊，还用用这个结论？极限等于零，那就瞄这里了啊，用的就这个好用的是它。我们先不看它的话，你先看啊，如果我们这里就写的，哎，就是它，是吧？ g x， 你 看一下啊，它，它 这个 s p 四方上去之后就跟这里消掉了，那还剩一个 low in x， 是 不是？哎，这个 low in x 往 x 区域正无穷的时候。好，这个极限是等于正无穷呀， 我们说了啊，我们得挣出来等于零才能说他收敛，他收敛呀，是不是就是不等于零啊？我想让他等于零，那这里是否就是我出现一个 x 的 一部西龙次方， 只要这个一部西龙大于零，我们现在啊，就是任取一个很小的正数，别取太大啊，任给的很小很小的一个正数。好，那这样的话，我这里就减去一个一部西龙。 好，这个翻上去之后，你看，哎，就剩一个 x 的 负一位形容四方了，那不就是 x 一 位形容分之一了吗？是不是这是很小的正数啊？ 那 x 的 很小的正数四方的话，这就去无穷的，是吧？这也是去无穷啊，那谁的速度大呀？谁的去去无穷的速度大呀？速度快呀，他去无穷的速度更快，所以这个减就等于零，这不就用了这一块吗？是不是？ 那么他一旦等于零的话，好，这一块收敛，那么这一块对应的反常积分就收敛了，而这一块跟这一块比如说不一样，其实是一样的啊，我们看一下，好，他收敛，我们就知道啊， 这个好，他对应的啊，这个反常积分，现在我们挣出来的就是他收敛的话，一定能够推出来，就是 还带分子，是吧？我们这个这一类的题目就是分子都带龙眼 x 啊，你看清楚了，好分子是带龙眼 x 的 啊，龙眼 x 好 除以 x p 次方好。这个反上积分就收敛了，他收敛他就收敛 好。为什么我们说，哎，这个时候他收敛就是他收敛呢？那他跟他有什么区别呢？没有区别，我们说了他收敛的话什么时候收敛，我们说他是什么时候收敛， 是不是 p 减去一个一步系统，这是一个 p 积分呢？对， p 积分就是 p 大 一啊，整个头上这一部分大一的时候它就收敛了，而我们已经说过了啊，一步系统是非常小的正数，记住了，是非常小的正数， 它减去一个非常小的正数啊，那我们就能够知道 p 也是大于一的，这个非常小的正数就是可以忽略的啊，你看零点零零零零零零零一就完全可以忽略掉它呀。所以说只要 p 减去很小的正数大于一的话，我们一定能得出来 p 就是 大于一的，所以，哎， p 大 于一，那其实不就是对于 他们现在不就这个级数，这个，这个反转积分是不是就转化为这个反转积分了呀？是不是 p 大 一好， p 大 一不就是这一个反转积分，这个 p 积分，这就是 p 积分了呀，他就是收敛的，所以说我们就说了啊，只要他收敛，那就说明出来了，他收敛，是不是也就说 我们这一个 p 大 一收敛嘛？是吧？ p 大 一收敛也就相当于 p 减去一个很小的正数，大于一了，也就是它收敛，那它收敛就是它收敛，这是一，这是串到一起的啊， p 大 一的时候好，这个技术收敛，那 p 大 一的时候减去很小的正数也是大一，那它就收敛了，它就收敛，就它就收敛了，所以整个的就形成了一个，哎，这个 推倒了一个过程，是不是？哎，从这个后往前啊，就推出来了。好，这是这一款啊，那有同学呢说，嗯，这平时可能啊， 一问，哎，这为什么他收敛的时候他就收敛，是吧？你看你这个课堂上啊，老师都是每个老师都有讲解的，如果你这里又忘了话，我们也可以再提一下，比如说为什么这个比较判别法，这个极限等于零的时候啊，分母这个对应反转积分收敛，他就收敛呢，你看一下啊， p 呢，我们说啊，整个收敛的话是 p 大 于一的，是不是？所以说啊，这个龙眼 x 你 就不用看了啊，这 x p 分 之一，分子，这个是去无穷的，无穷分之一就是去零的这块的话， p 减一位数呢，也是大，我们说了啊，也是大于一的， 就整个的话啊，肯定大于零的，是不是他整个的话分之一，无穷分之一也是小于零的，那他整个极限是等于零，也是谁小于零的速度更快呀？分子整个分子小于零，是不是分子小于零的速度更快啊，速度更快，那你这个分母，你看你小于零的速度很慢 很慢，你都收敛了呀，是吧？我们现在是已知他收敛，推出他收敛吗？小于零的速度非常慢，你都收敛了，那你去 零速度更快的那个，这个期这个反常积分，那你更收敛了呀，是不是这样去理解啊？好，这块啊，把这个过程啊，知道咱们用的是哪一块去正的就行了啊，以后直接就用结论了好不好？那我们看一下第二个啊，一样的道理啊，好，说一下，这是 a 到 b 啊，我们这个 a 的 话啊，咱们就举简单例子吧，就举它啊，主要就是这个 a 就是 这个瑕点啊，就是这个瑕点，你看这个题，这不是瑕点，是一个瑕点，是一个零吗？是吧？下线就写成零，零就是它的一个瑕点啊，咱就不写这么复杂了啊，就举这个最常见的例子， 好，龙眼 x x 的 一个 q 字方 d x， 那 么与这个零一， 这就是一个 q 积分，是吧，也就说你收敛的时候你就收敛了，我们这个时候好去求这个 q 的 一个啊，取值范围，你知道它对应什么样的题型啊？好，分子，分子啊，都是带牢硬的，为什么它收敛的时候它就收敛，同样还是用的啊，这个这一条去给它挣出来的啊，怎么去挣的，就用这一条去挣的 好，我们这个啊，这个是无穷，刚刚说的是无穷区间的反正积分啊，那我们现在的话是侠积分了，是吧？这个整个结论是没有啥区别的，只是说我这里啊，这个上线啊，现在换成 b 了啊，结论都是一样的，咱，所以咱们就写成一条了啊，写成整个归程，归程这一部分啊，代表了 好，我们现在仍然啊，用比较判别法的极限形式，现在就是趋于零了，是吧？趋于这个瑕点啊，好，这上面啊，这就是同样啊，这是 f x， 这是 g x， 这结论都是一样的啊，只是说你这个积分，这个反正积分形式不一样了啊，好，这是 f x， 比上一个，这就是 g x， 我 们现在看一下啊，我们现在想让它的一个极限等于零。哦， 极限等于零去证明啊，现在就是。好，那如果我们这里啥也不干了，不干一件事的话，那他同样是变成龙眼 x 了， 是不是？这个啊？这个给你这个消掉了，只不过这个时候我们是去领证啊，对，去领证啊，小点，那去领证的话，好，龙眼 x 的 话，那就去富无穷，是不是？我们现在说了，我们想让他的极限等于零，怎么等于零？好，就用了这一条，你注意，我们这块证明的时候就用了这一块了啊，一个知识点。 好，我想让它等于零，我是不是想出来一个 x 的 r 的 次方，也就是很小的一个正数，再乘一个 long x， 那 这个时候它就是趋于零了。好，那我就这样呗，我这个地方 用个绿色的吧，你看这上面是减去一一步形了，我现在想加一个一步形，我加个一步形了之后，你看它俩一消的话，它上去之后就是 q 加上一步形的四方，是吧？因为 x 去零正的呀，是吧？ x 去零正，好， 那一步行动呢？是很小的正数，我们说了认给一个很小的一个正数，这是很小的正数，只要啊这个次方他是大于零的，这个 y 也是大于零的，这个极限就是等于零，已经强调过无数次了，是不是？所以说这是很小的一个正数，那写成了它乘以它，那这个极限就是等于零， 这个极限就是等于零，我们就已经说明出来了啊，这整这下边的话收敛，那么上面就是收敛的， 是吧？那下面什么时候收敛呢？我们看啊，下面什么时候收敛？这是零到一啊， x 的 q 加一维型的四方 d x， 它什么时候收敛？它收敛的时候我们就能退出来这个咱们的零到一这个区间上啊，要求的啊，这个基数收敛 它的一个 q 的 范围吗？我们要求 q 的 范围是吧？它什么时候收敛？这不就是一个 q 积分吗？什么时候收敛？ q 小 一啊，也就是整个这一块小一就行了， 而你是很小的正数，基本上就可以忽略的一个正数啊，所以 q 加上一个很小的正数小于一的话，一定能推出来， q 就是 小于一。 所以说我们也就说了啊，零到一一比上一个 x q 四方好， d x 只要它收敛，你看 q 小 于一的时候，它就是收敛了嘛， 他也收敛的话，好，加一个一呼西咙也是小一的，他就收敛了，他收敛，而我们就推出来了，他收敛，是不是？所以说只要他收敛，那么就能推出来他收敛了，那我们根据他收敛的这一块的一个结论，把这个 q 的 范围求出来，那他对于他收敛的那个 q 的 范围不就求出来了吗？ 这里我们也说一下啊，这瑕疵分这一块啊，为什么说，哎，这个分母对应的瑕疵分收敛，那么分子对应的一个瑕疵分就是收敛的呢？这块啊，它就不是去零的一个速度的问题了，而是去无穷的啊一个问题了。好，我们说啊，这个 q 小 于一， 那么其实这个地方也需要跟大家多说一句，有一些教材你会发现，哎，它是 q， 是 小写的 q 小 于零的，而我们这里小于一。那有同学就问了，那我们这个平时做题的时候， 考试的时候，我应该是写我，我去求一个啊，这个参数的范围的时候，应该这里是小一还是零到一呢？好，这里给大家说一下啊，这个真题里面啊，都是认为是 q 小 一的，那我们练习题里面啊，可能就会啊， 就是你就认为啊，这个 q 是 零到一的。总之我希望啊，接下来咱们做真题的时候，真正考试的时候，你就啊 q 小 于一，去求参数的范围就行了。这里为什么有些教材写它呢？是这样的啊，因为这一这一章呢，我们说了是反常积分，是不是反常积分，而这个 q 小 于一啊， 它是我们给它拆成两部分的话，小于一，那就是零到一和小于零，对不对？这是一嘛， q 小 于一，我们给它拆成两部分啊，一个是零到一，一个是小于零的。为什么有些教材不写它？因为 q 小 于零的时候，这是长，我们说的长 e 积分就是定积分呢， 它就是给它区分了呀。你看，我们举个例子啊，零到一吧，这是 x， 我 这里写成一个负二次方， 是吧？你这个 x， 这不是小于零吗？这个 q 就 小于零啊，小于零，你这个翻上去了呀，再翻上去不就是 x 平方了，这是一个定积分啊，常异积分了，所以有些教材他是不写的啊，不写的， 嗯，这就记住吧。好吧，考试的时候，你就这个一个题目说了一个反常积分收敛，如果你找到啊，你正好比较对象是 q 积分的时候啊，你就是领 q 小 于就行了，因为定积分它肯定是收敛的呀，是不是？ 这有，只是有一些，有一些练习题啊，他可能没有考，就是不包含这块定积分了。但是我们整体都是包含的啊，没有包含的话，那你就是一个练习题嘛，对吧？你就练练，你就按这个也行啊，按这个就行。 那我们这一块证明的时候啊，我们证明的时候就是按照这个反常积分这一块去证就行了，按照反常积分这块证，也就是说 q 是 零到一之间的， q 零到一之间的话， x 区域零，那整个都是区域零了呀，是不是区域零了？分之一的话 零分之一不是区域无穷了吗？是吧？区域无穷，而这里的话， x 区域零，正他也是无穷。所以整个的话啊，分子就是区域无穷， 而分母呢，也是区域无穷呀，是不是零分之一个常数？区域无穷这个时候就比的是去无穷的速度好。你这个分母啊，你区域无穷的一个速度肯定是快的，不然你几千怎么等于零呢？是不是区域无穷的一个速度快，好往无穷去， 你的速度非常快的，这一个啊，对应反常积分，你都收敛了，那我速度慢了肯定收敛了，这其实就是我们说的大收则小收了，是不是？你这个去无穷，往无穷其实往发散上面去啊，那个往发散去上面去，越快的都收敛了，你更别说越慢的了，是不是？ 哎，这块理解一下啊，你实在真的这这块还去零啊，去无穷速度快啊，慢记不住，你直接去结论行吧， 阶积结论，只要极限就等于零，那么底下的这个收敛上面就是收敛，无论是反常，无论是无穷区间的反常积分也好，无界函数类型的反常积分也好，都是这样的结论啊，结论都是一样的，记一记就行了。 好，以后见到这样的啊，分子带有 long x 的， 分子带有 long x 的， 它想收敛的话，求 p 的， 求这个 p 或者 q 的 取值范围的时候，直接就看它什么时候收敛，它什么时候收敛。你清楚得很呀，对不对？ 好，这就说，我这里再写一下啊，这里就是考试的时候，你就哎就认为啊 q 小 于 a 就 行了。这个平时练习的时候 有一些题目他就是没有考虑啊。 q 小 于零定积分，那因为他就是只按照反常积分了吗？定积分，不是反常积分，他没有按照也行，你就看具体的题目，平时练习就不要纠结那么多了啊。好，那这个题就这个小视频就说到这了啊。

好，我们看这个题啊，关于数一数二啊，一元函数，积分学物理应用这一块，刚开始学的话，很多同学可能有点苦恼，不太会分析这样的题，不用着急啊，这里给大家，哎，多说几句话，不要着急， 我们一个一个题的去分析，哎，你不会做也没事，你去听一听讲的这个题目，你听完之后，哎，你了解了，你听懂了，好，接下来呢，你自己，哎，单独的再去给自己讲一遍，哎，当时老师怎么讲的，你自己给自己讲一遍，好， 逐渐的啊，你这样这类型的题你就会了啊，自己给自己讲一遍，讲着讲着自己做着讲一点，自己做一点，自己给自己分析一下，绝对是能学会的啊。 好，关于这个这一块啊，他的一个内容其实不是很多的啊，哎，主要就是要用到微元法，每一点点的去分析哪一类型的题，哎，对，微元法应该怎么去用是吧， 哎，就是万有引力啊，出水做工呀，净水压力啊，便利做工呀，来来回回就这些该记的公式，去记一记，哎，关键点记一记，哎，我们去找啊，这个微圆，哎，微圆，你看这体积微圆，质量微圆， 好，面积微圆，哎，关键点已经给大家标出来了，这个题的话，就是你看万有引力这一块了，其实关键点就是质量微圆，你找到找到之后呢，好，就去积分了是吧？哎， 就是这样的一个过程啊，我们去分析一下，一定要会画图啊，把图画明白了啊，然后去，哎，一点点分析。好，我们看沿 y 轴上的，那我们就把 x y 这个直角坐标系画出来是吧？ y 轴上零到一区间上放一根长度为一的面线，密度为 root 啊，均匀的一个细杆子。好，这就是零，这是一吧，往上来来也行啊，这就是一吧。 好，那这对应的啊，这有个一是吧？好，这有个细杆子，这个细杆子呢，我们就用这个颜色的笔吧，让大家看清晰一些嘛， 这很细了是吧？细杆子啊，在这放着，在 x 轴 x 等于一米处有一个单位的置点，这个置点呢，我们用紫色的来表示，可以吧。 好，单位置点是啥意思啊？就是它的质量为一的意思。好吧，好，那么则该细杆就这个细杆子啊，细杆对这个字， 对这个置点的一个引力，沿着 x 轴正向的一个分力，你得搞清楚它在问什么是吧？它并不是说，哎，问的是这个细杆子对这个置点的一个引力，而是 引力沿着 x 轴正向的一个分力，这又考察到我们中学、高中学的力的一个分解了。力的分解啊，是吧，力的一个分解，我觉得这款啊，你可以忘的话，你再去复习一下是吧？好， 我们先别说力的分解了，先把细杆子对质点的引力这个方向啊，你得搞清楚，因为这个力的话，它是有大小有方向的，它是一个矢量啊， 力是一个矢量，对不对？这高中都学过啊，咱们都是理科的呀，是吧，有大小有方向的啊。好，一定要注意方向的问题。好，我们先把啊这个 细杆子对质点的引力求出来，那这个方向你怎么定呢？既然是细杆子对质点的引力，你对你的一个引力，你说这个方向朝哪啊？ 是不是朝向他呀？是不是细杆子对质点的一引力，那么这个方向啊，就是朝向细杆子的那细杆子，细杆子他有很多个点呀，是吧？每一个点，他 膝杆子上的每一个点对置点的引力它都是不一样的，但是方向我们是确定的，都是这样的一个方向，是不是？好，那我们现在啊，你没办法确定这个整个的引力是大小是多少，我们就是要采用微圆法吗？是吧？你取方向，反正你已经确定了啊，我们取一小段嘛，对不对？哎，取一小段 非常小的一段啊，好，我这个画的已经很很很高了啊，不是很小了，为了让大家看到这个，你就认为它很短啊，很短的一段，这个是 y 到 y 加底 y， 也就说这个距离就是一个底 y， 哎，这个非常短啊，底 y 嘛， y 加上一个底 y， 好， 这一段啊，很窄的一段的一个底 y 很 短，好，这一段啊，很窄的一段的一个西干字，好，它对这一个 质点的一个引力，你先算出来，是吧？哎，这个引力我们已经知道，方向就是朝着细杆子吧，是吧？朝着细杆子，好，把它算出来，那现在啊，就是把力的微圆，是吧？力的微圆求出来，其实本质上就会转化为啊，质量的微圆了，我们去看一下啊，微圆 力的微圆，那现在把它拿过来了，是不是好记大 m， 我 们说这个红色的这小段啊，这个细杆子的一个质量，我们记为大 m 的 话， 好，就这样去写吧。好，其实应该用 d 大 m， 对 不对？整个的细杆的一个质量，我们记为大 m 啊，整个细杆的质量记为大 m 的 话，我们这一小段红色的这一小段的一个质量就 d 大 m 了吗？是不是？哎，这个质量为圆了啊，你取的是一小段，咱们就称为微圆吗？这一小段的一个质量就是质量微圆。好， 然后小 m， 小 m， 我 们就是表示这个指点，可以吧？这个质点那个质量吗？记大 m 小 m 了啊，小 m 就是 一个一吧，再写一下啊，待会再代值。好，除以他俩之间的一个距离。 好，我们取的啊，这不是一个 y 吗？而且这个这个这个距离是非常短的，你就可以忽略。你不管啊，你就这个距离就可以忽略了，所以这是 y， 这你也给他认为是 y 就 行了。 好，那这个距离呢？是一个一，这个距离是一个 y， 或者你直接啊，这个箭头就指向于这个 y 就 行了，对吧？你不管指向于这一点，还指向于这一点，还指向于这个中间的任何一个点，哎，你都认为啊，我还指向这吧，或者指向这，你看着舒服一点。 我这个箭头无论是指向他还是指向他，你都认为啊，这个距离就是 y， 因为我们取的这个小段是非常窄的，就忽略为，就直接认为是零就行了，所以这个距离就是一个 y， 好 吧，我的指向他，你的距离也是 y， 你 一定要这样告诉自己，不然你会搞的很乱啊。 好，这就距离是一个 y， 这是一个一，所以这个啊，就根据勾股定律嘛，是吧，斜边不就是一加 y 的 一个平方嘛，现在我就是要的是，哎，两点之间的一个距离嘛，是吧，这个 r 就是 两点之间的距离啊，好，就是一加根号，哎，一加 y 的 一个平方开方呀， 距离，然后再平放，别搞错了啊，距离再去平放一下。好吧，现在我就是求的啊，这一段细杆子对这一个点的一个 眼力，是吧，哎，这个直接就忽略。这个已经看成一个点。哦，我现在就是画的比较高啊，要不我画短一点？行吧，画画窄再窄一点啊，基本上就是，哎，跟这一个啊 y 靠近啊，就没啥距离，你就理解为他俩就挨的非常近好吧，挨的非常近 y 加上一个 d y， 好，这就忽，这就变成个点了吗？因为非常近就看这个点吗？两点之间好，这个距离一算是吧，质量一算利用啊，两点之间这个万有引力的一个公式吗？是吧，万有引力的公式。好，就算出来了，这就是这个好，力的为圆就算出来了，是不是其实本质上就是算质量为圆。 dm 怎么算出来呢？好题里面啊，给了这个线密度，好，我们这里写了啊，线密度你得知道它是等于啊 m 比 l 的， 我们现在啊要要求的是这个 dm 啊，也就是 dm 它除以。哎，你， 你不是取的是最小段是吧？哎，它的一个质量咋么怎么算呢？它的一个质量怎么算？我们现在把 m 推导出来，不就等于 u 乘以 l 吗？是吧，那 d m 质量它就等于 u 乘以 l， 它的一个，它的一个高度就是 d y 呀，是吧， 它的高度就是一个 d y， 所以 你 d m 就 算出来了啊， d m 就 等于这个好，如乘一个 d y， 是 吧，这个小 m 是 等一一，我就写到前面了好吧，一就写到前面了啊，好，除以底下就是一加 y 的 一个平方了吗？ 对不对？哎，我们取的这一段啊，其实就看成一个点。哦，你外有引力，不是，你不是两个物体之间的引力公式吗？是吧？哎，这看这个点啊，不要把它看的太长啊，就是一个点距离就是 d y 是 非常小，可以看成零就行了。好， 这个现在求的是相当于哎，这一个小小段的一个细杆子对质点的一个引力算出来了。我们说了啊，现在要最终的一个目的啊，是要把它沿着 x 轴正向的分力算出来。你算这个引力不行啊，那现在就牵扯到力的一个分解了啊，我们去分解一下 分解会吧，是不是往竖着，往横着去分解啊？好，他竖着分解的话，沿这个纵轴的方向是不是朝这的？哎，就朝这了吗？好，沿这个啊，水平方向是不是朝这的？因为它整个的方向是这样的吗？所以你分出来的就是朝这的和朝这的。 好，那也就是说朝着 x 轴负向的一个引力，我们是可以求出来的，而人家让求的是正向的引力，是吧？那你就把这个求得的结果再添一个符号就行了，你就记住最终求的结果再添一个符号，好吧。哎，再添一个符号。好， 那现在啊，这个这个方向的力已经求出来了，那这个分解出来的朝着 x 轴负向的一个力怎么算呢？那不就是 d f 乘一个 cosine rf 不 就行了，是不是还乘一个 cosine rf？ cosine rf 是 可以算的啊，你看 这个邻边有了是吧，斜边也有了，这不就直接算出来了吗？这不就 cosine r 方吗？好，一加上 y 的 平方开方是不是？好，那我们现在直接添个符号得了。好吧，别到时候忘了把这个符号添一下， 天然负号的话，就是说这个细杆子对这个质点沿着 s 轴正向的一个引力已经算出来了，接下来就是积分的问题了，积分的话是没有问题了，是吧，直接零到一区间上啊，对这一块进行积分就行了吗？这里我们可以再化解一下吗？负的点 f， 点 f 不 就是这个吗？好， g 除以 y 一 平方呢，所以是二分之三次方， 现在这就是我们的力的微圆了啊，就是这个题目的啊，要问的正上的分力的一个微圆求出来了，所以我们整个的啊，要求的这个力的话，就等于零到一区间上，零到一这个区间上，对这个力的微圆进行积分， 好，是吧？哎，无缘法结束了就无缘，已经找到了，那么就开始积分了。好，一加上 y 的 一个平方，二分之三四方，这个 d y 我 就习惯写后边积分，我觉得是没问题的啊，把常数提出来。 这里面啊，看到了一加 y 的 平方，我肯定想到，是吧，三角还原是吧，我就令 y 等于它，你的 t 啊，它是， 它是这种型号的，是不是好，当 y 取零的时候， t 取零呀，当 y 取一的时候， t 取四分之拍法。好，这里边 一加上 tan 的 t 方是 sine 的 t 方，六次三次方吗？是吧？ sine 的 t 的 平方，这三次方是六次方，六次方开方，你要注意了，是三次方的绝对值是吧？ 好，你这个思考的步骤不要忘啊，三次方的绝对值 d y 的 话，那就等于 seven t 的 一个平方， d t 是 不是好，再去去绝对值，那 seven t 的 话，在零到四人拍是正的，所以这个时候再去掉，但你这个思考的过程，哎，过程不要去忘了。好吧， 这里一消一下， seven t 方除以 seven t 的 三次方，还剩这底下 seven t 分 之一不就是 cosine 吗？是不是 这已经出来结果了吧。啊，这是 cosine 题了呀，看出来了吧， cosine 原函数不就是 sin 吗？是不是 sin？ 好， 零的四分之 pi， 负的 g 乘以如，四分 sin， 四分之 pi 就是 二分之根二，是不是二分之根二既数零一代是零吗？好，负的二分之根二既如。 哎，你分析分析，你发现也没那么难，是吧，有些同学他就下不了手，怎么下不了手呢？你就，哎，按照我们说的一个步骤，这个题呢，关于引力的，引力的最终啊，其实找力的微源，最后还是来到了这个质量微源的力。质量微源就是我们取的这一小段啊， 这个相当于一个小指点了，是不是它的一个质量怎么去算？哎，这个质量的公式就等于如乘以 l 嘛，你这小段的一个质量就等于如乘以你的长度，你的长度是非常窄的，就是 d y 嘛，它就算出来了。好，这个根据我们这个案例的一个分解，还有方向的一个问题，别忘了，是吧，高中的知识再去复习一下啊。 好，哎，这个微元找到了积分就行了。好，这个题就讲到这了。 好，我们看这个题啊，瞄一眼，哎，它是属于净水压力的这类型题目，是吧，哎，还是微元法吗？你得知道压力是等于加强乘以受力面积。 好，加强式 ugh， 把这些公式给它备注啊。好，我们就是要求这个力的微原理就是加强的微原理乘以受力面积啊。 好，那其实呢，你看这个压墙来说的话，主要是这个 h 入距 h 看一下啊，这个距离怎么去定，还有这个受力面积，他也是啊，哎，把这个微圆给求出来，主要就是 h 和 d s 啊，好， 我们看这个题啊，边长为 a 的 哎，正方形平板，至于水面下，这就是，哎，水面啊，好，且一个顶点呢，与水面是相齐的 其中一条对角线，这条吧与水面是垂直的是吧，好，水的密度，重力加速度好，那么一侧所受的净水压力，就是说这个平板啊受的净水压力， 为什么我给画两个呢？同学们看一下啊，如果我们哎，我们取，我们用微元法的话，我们先取一小节这个平板是吧，你看你取这里和取这里，那么它受的啊 力是不一样的啊，你看，我们主要是要把这块力的微圆求一下嘛，入 g h 乘以 d s 是 吧，你看入 g 是 没有问题的，如果我们取的微圆啊，取的这个一小节木板在这的话，就是这这里啊， 好，这个 h 的 话，是不是，哎，这木板子到水面的一个距离啊，你注意这个距离啊，就木板子到水面的一个距离，那我们取在这的话，好，你看木板子这啊，这个红色的到水面的距离 h 是 不是长得不一样呀，对不对？并且啊，这个受力面积就我们取的啊， 这小角木板，他近四的就是一个长近四看成长方形是吧，求他的一个面积吗？哎，这个面积的话，这里就是好，这个长度乘以这个宽度，这个宽度的话，我们都记为，可以都记为底 y， 底 y 是 一样的，但这个长度呢， 也是不一样的，对不对？这个长度也是不一样的，所以啊，我们去算啊，这个木板子受的净水压力的话，我们就给他，哎，分成两部分去算，第一部分我们取的一个微圆呢，哎，就是这样的，第二部分取的微圆呢，就这样的， 你无论啊怎么去建立坐标系，你会发现都要分情况讨论啊。好，我们建立直角坐标系了。好，它既然在水下，那我就是朝这个方向，可以吧？好，这是 x 轴，这个是坐标原点，可以吧？好， 这是 y x 坐标原点，我们先看这种情况。好，这个我们把这里记为 y， 这个这个点的坐标就是 y 加底 y， 是 吧，这个能看清吧？ y， y 加底 y 就是 这个宽度嘛，是吧？就是底 y 啊，任取啊。 y y 加底 y 是包含于你这个这个点的一个动作边是多少呀？好，这个是 a， 这是 a， 这都是直角呀，是不是这都是直角啊，并且这些角度都是四十五度，就这些小的角度都是四十五度，是不是这是 a a， 所以 它的一个斜边的话就是根号二 a 呀，对吧？这就是根号二 a， 它是包含于零到根号二 a 的，是吧？好，我们的一个 目标啊，把受力的这个微原理的微源给它找过来，对吧？入距 h 乘以啊，面积的微源。好，入距 h， 就是 啊，这木板子到水面的距离就是一个 y 吗？是吧？这个厚度你就忽略啊，厚度是忽略的， 嗯，这个 d s 就是 我们取的这一小角的木板子的一个面积，是不是长乘以个宽呀？宽，我们知道，就是 d y， 是吧？好，这个长怎么算呢？也是很好算的呀，哎，这一角是不是歪啊，这些角度我们说了都是四十五度呀，是吧？所以啊，这一角也是歪，对不对？ 是不是？这是 y， 这就是 y 了呀，其实我们这里应该用 x 来表示，对不对？它是沿着的轴吗？我们用 x 来表示的话，因为它四十五度，所以 x 就 等于 y 了，对不对？我们就用 y 来表示，因为这个积分变量我们是用的 y 嘛，所以啊， 这一角是 y， 因为它是还有两侧呢，是吧，哎，左侧还有一个 y， 所以 就是二 y 就 行了，对呗。 哎，这个啊，搞清楚啊，这就是长乘以宽，或者你算一半的，然后一半的这个受力再乘一个二也行。那我们直接啊，就画画一个画长条得了啊，一下算完它 好力的微圆已经算完了，我们现在去积分就行了，我们说是上面这些，是吧，上面的板子，所以它的积分的区间就是零到这个地方，对不对？零到这个地方啊，这就是二分之根二 a 啊，二分之根二 a 是吧？ d f 这积分就行了，这积分很简单吧，把该提出来，提出来啊，二倍的入 g 提出来了啊，好，零到二分之根二 a， 这里面就是 y 的 一个平方，是吧？ d y 算一下啊， y 的 一个平方 d y y 的 平方的原函数是 y 的 三次方，除以个三三就放这啊，二入 g， 好， y 的 一个三次方啊， 零二分之二分之根二，是不是可以写成根二分之一啊，好，为什么这样写啊，这样可以化简，看的更清晰一些啊， 好，他的一个三次方不就是 a 的 一个三次方，还有根二的一个三次方，就是二倍的根二，对吧？二倍的一个根二，这是二三得六了。二，这一个二，这一个根二，所以就消成这里是一个根二了， 是吧？我们再看，哎，这一小节板子啊，受的这个净水压力， d f 二是吧？入 g h 乘以啊， d s， 好， 这个高度的话啊，我们同样啊，这个点即为 y， 这下边这个点是 y 加 d y 嘛，是吧？还是这个套路嘛？ 好，这个高度啊，就是木板子距离水面的一个距离，是吧？哎，木板子距离水的一个高度啊，水面的一个高度，水面的高度就是就这个 y 吗？是不是所以 h 就是 y 啊？搞清楚， 就是个 y， d s 呢？ d s 这个高度啊，这个高度仍然是 d y， 是 吧？长方形的面积，算一下吗？好，这个长度怎么算呢？用中学的知识你自己划了两下，你看，我们现在要要这个，是吧？先把它求出来，然后再乘以到二，不就整个的长了吗？高，已经知道了， d y 长怎么算呀？ 这是不是 y 啊？哎，整个这个长度是多少呀？是二，哎，是根二， 哎呀，跟二 a 减去一个 y， 跟二 a 减去这个长度，不还剩下边这个长度了吗？是不是这个长度是不是就算出来了？这个长度有了，我们说这些角度都是四十五度呀，是吧？这个角这个长度有了，那个，这个横着的跟这个竖着的长度是一样的吧，对吧？就算出来了啊？ 好，这个底 y 往后写，我们应该就是跟二 a 减去一个 y， 好， 就是蓝色的，竖着的，蓝色的，横着蓝色的，跟它一样，那我们要两倍，是吧？哎，两倍，两个蓝色的，所以就乘一个二，不算完了吗？好，我们积分的话啊，你注意是从这是吧这里到这里啊， 上面这是，这是多少啊？这应该就是二分之根二 a， 对 不对？到根二 a 啊，好， d f 二算一下就行了啊， 把该提出来提出来啊，入记二可以提出来是吧？二分之根二 a， 根二 a， 还有这个跟这个了啊，我们给它乘成两部分吧啊，第一部分的话就是根二 a y 是 吧？根二 a y， 第二部分就是 y 的 一个平方嘛， 好，一点点算一下啊，二入记对于它来说积分，它的原函数呢，就是根二 a， 提出来 y 的 话就是 y 的 一个平方，除以一个二，是吧？好，咱们写成两块儿积分啊， 看的更清晰啊，减去同样这个系数，别忘了二入记啊， y 的 一个平方，原函数 y 的 三次方除以三了啊，二分之根二 a， 根二 a， 好 算一下啊， 二根二消掉了啊，还有是根二入记 a 好， y 的 一个平方，根二 a 的 平方就是二 a 的 一个平方，再减去它的一个平方，它是根二分之一 a 嘛，是吧，平方一下就是二分之一 a 的 一个平方， 这多少呀？二分之三 a 的 一个平方，对不对？减去看一下后面的啊， 三分之二入记好， y 的 一个三次方啊，根二 a 的 三次方，二倍的根二 a 的 三次方吧，减去它的一个三次方，我们说了它是根二分之一 a， 三次方就是二倍的根二好， a 的 一个三次方， 是不是这个化简一下吧啊，二倍的根二减去这个根二的话，我给他提上去吧， 再乘一个根二就是一个四好，看一下这个给它除一个四的话，这就是一个八，对不对？四分之七倍的根二， a 的 三次方， 四分之七倍的根二， a 的 三次方。好，再划减一下，第一部分是二分之三倍的根二入记 a 的 三次方，减去第二部分二，根底下的这个消掉了， 而这是一个六了，是吧？六分之七倍的根二入 g a 的 三次方， 这个是六乘一个三，这就是九。好，这就是六分之二倍的吧，是不是根二入 g a 的 三次方。好，就它了。 入 g a 的 三次方，这是六分之二倍的根二，这是六分之根二，所以它们加到一起是六分之三倍的根二入 g a 的 三次方，三消一下，是不是就是它这个结果加到一起。哦，两个加到一起啊， f 一 加上 f 二，二分之根二入 g a 的 三次方。写到这里， 作为一个填空题，它确实计算量是还是有一点的，但其实过程的话是很简单的吧，你得把该记的公式记一记，知道要分啊，两部分加到一起， 你坐标系，包括你见到这个中间的话也是一样的，你可以试一下，咱就不讲了啊，这个总之都要分成两部分进行算的。好，这个题就讲到这了。 好，我们看这个题啊，将地面上质量为一的物体牵直的向上举高，好，地球的半径啊， 哎，地球的质量引力常数，则物体摆脱地球引力至少需要做的功。那这个题它牵涉到这个便利做工，还有引力做工，是不是？我们其实画画图啊， 这个利用微元法是吧？还是核心就是微元法吗？把图可以画一下啊，建立一下坐标系，假设这个就是地球和这是球心，好吧，那么这个地球的表面吗？是吧？哎，地球， 地面上没有地球的表面吗？哎，这就是表面上啊，好，质量为一的一个物体，我们向上哎，进行举高，把它举高啊，咱们建议坐标系的话，那就连连，连到这个球心，可以吧？这个绿色的啊，是我们的这个物体啊， 好，我们知道地球的一个半径是 r， 我 们建议直角坐标系啊，咱们建议坐标系啊，便于做题吗？ 好，那就以他为这一个零点，可以吧，往这个方向去看啊，往这个方向去看，可以吧？哎，这是零啊，好， 那我们知道啊，你往上举高的话，这个物体到达这里，到达这里，到达每一个地方的话，地球对他的引力都是不一样的，其实就是便利做工， 对呗？好，我们就假设啊，这个物体现在从这到这，哎，我们从这举到这的话，好，他这个克服地球引力需要做多少功？我们算出来，然后再整个的话去积分不就行了吗？是不是？哎，先取一段微元吗？ 好，那这个坐标的话，我们就记为 x 到 x 加底 x， 从这里，哎，往上一点点，是吧？好，这一段距离它做的一个公，我们先把这个公的微圆求出来了，是吧？哎，公的微圆求出来， 它是不是就等于利的微圆乘以这个利方向上的一个位移啊？是吧？从这到这的话，那位移不就是底 x 吗？ 是吧？那我们现在就把力的微元求出来，力的微元怎么求啊？好，你物体是不是现在啊？就现在啊，从这举到这，其实这个我们说了啊，你算这个距离的时候，把它整个这一这一个，哎， 这个距离就给它当成一个点就行了，是吧？哎，此时我们这个物体就相当于这是一个点了啊，给他看这个点，好，他到这个 球心的一个距离，不就是 x 吗？是吧？我们记为这个这个座，这个坐标轴的话，我们是这个方向，记为这个 x 轴的话啊，这个是圆点吗？好，他到啊，到这里，这里我们说的是 x 吗？好，那这个他， 他跟地球之间的一个引力好，是不是就是 g 大 m 乘以小 m 就是 一吗？好，除以他俩之间的一个距离，是吧？哎， 好，地球对这个物体的引力啊，这就是 x 平方了，是吧？零到啊，这个 x， 他 俩那个距离吧，好，也就是说物体在这的时候，那么 地球对它的一个引力的一个大小就是这么大，是吧？哎，再再乘以啊， 从这，哎，到这一点点，这一点点距离，他做的一个公，这就是公的威严就求出来了，哎，不要迷惑这一点啊，你不要在这个 x 平方，你在 写成二 x 加点 x 的 平方啊，我们去算距离的时候，前面已经说过了，你就把它看成一个点就行了，是吧？因为这个距离是非常短的啊，非常短的，整个就看成一个点，一个点。哦，到这个圆点的一个距离，就是到那个球心的一个距离嘛，是吧？就是一个 x 就 行了， 公的微源已经有了，我们现在啊，这个物体想要摆脱地球，哎，想要摆脱地球的引力啊， 他一开始是不是在这个表面上，地球的表面上，你想摆脱的话，也就说，其实我们就从这个地球表面上把它移到无穷远处啊，是不是？我把你移到无穷远处，那么你不就是把这个地球引力给克服了吗？是吧？你跑的非常远呀。 好，那一开始我们知道啊，这个距离，你看他这，他一开始在这吗？好，这个零，这个原点到啊，他待的这个位位置的这个距离是不是 r 呀？我们从这哎移到无穷远处吗？所以就是从 r， 哎， 是吧？因为我们那个圆点在这呢，哎，从这哎移到无穷远处，所以就是从 r 到无穷哎，进行积分是吧？对，公的一个位元积分就是摆脱地球引力做的功了，对呗，一开始在这移到无穷远处， r 到正无穷对立的一个 为呃，公的一维元积分，这就得出来啊，他克服引力说至少做的公了啊，一到无穷远处不就克服了吗？好，现在就积分的问题了啊， r 的 正无穷 d w 已经算出来了呀， g 大 m 小 m 比上一个 x 平方 d x g 大 m 是数，放到前面 x 平方分之一，原函数就是负的 x 分 之一是吧？负号可以作用于上下限，那就是正无穷到 r 是 吧？好， g 大 于 m 这个上限一代是吧？再减去下限一代，无穷分之一就取极限是个零了，所以就是 r 分 之 g 大 m， 对 吧？ g 大 m 比上一个 r 就是 便利做功这个功，哎，这块又用到了万有引力的一个公式， 对吧？还是微元法啊，把这个功的微元搞完之后直接积分嘛。好，这个题就讲到这了。 好，我们把第四题啊和第六题一起讲，直接一起讲了，它很类似的，你看旋转泡沫面容器， 旋转泡沫面水缸，是吧？咱们一起讲了啊，这个题他牵涉到啊这个抽水做工的问题，抽水做工呢，其实就是克服重力做工，我们知道工的话，就等于 力乘以这个力方向上的一个位移，而克服重力，是吧？那就是这个力，我们就，哎给它相当于啊，是重力嘛，对不对？你抽水做功相当于就是克服的重力做功，你就理解为这个力啊，其实等于大 g 重力好，而大 g， 我 们知道 m g， 小 m g 嘛，是不是？而这是液体哦，液体的话好，它的一个质量是不等于 v 啊，所以就转化为 v g s 了，是吧？好，这个 v g s， 那 我们本质上啊，去求这个 做的一个公的话，那就要就要把这个公的微元去，哎，写出来，写出来之后再去积分，是吧？微元法吗？而本质上又回到了啊，这个更细致的一个点，其实就是去找哎，这个体积微元是吧？公的微元，其实就是体积微元嘛。好，就把这个 公式记住，哎，咱们把微元找到哎，去积分不就行了吗？好，那这个题呢，我们读一下，把图可以画一下啊，画一下，图 有一内表面为旋转抛物面的一个水缸，旋转抛物面怎么形成的？同学们得知道啊，它是由抛线，我们用一个别的笔吧 抛线哎，绕一个轴旋转出来的呀，就抛线哎，比如说绕这个 y 轴啊，这个旋转出来的一个旋转体，我们就称为啊旋转抛物面， 那光看这个面啊，旋转朋友面，好，那这个时候就要多给大家说两句话了，有同学呢，说，去求这一个啊，旋转就是这个我们旋转出来的啊，是不是一个立体啊，对吧？就是类似家里的一个碗吗？是不是？ 你看是不是像你家的碗，哎，去求这个碗的一个体积的时候，有同学就有问题了啊，他说求这个碗的一个体积的话，直接就是求用球的啊，体积公式求一下，哎，那再除一个二，不就是这个碗的一个体积了吗？ 你看对不对？球的一个体积公式，哎，再除一个二就是等于这个碗的一个体积，不对啊，这跟球有什么关系呢是不是？你看你家的碗，你家的一个碗的话，是球是一个球的一半吗？ 不是吧，对不对？你这跟抛物线有关系啊，对吧？你抛物线可能是长这个样子的，长这么窄的，或者是长这么宽的，你去旋转出来的形成的一个啊，这个立体是吧，形成的这个碗，你这这个跟你的这个抛物线有关系，跟这个球没关系啊。你，你确定你这个抛物线旋转出来的就是， 对吧？就是，都是均匀的吗？对不对？你这个抛物线长得很窄，长得很宽，你旋转出来的怎么可能就是球了， 方方正正的均匀的一个球的一半呢？一定要搞清楚，我们去求这个旋转抛物体，就是这个啊，这个立体的一个体积的时候，可不是用球体积除以二啊，那一定要注意了，好，继续啊，这个深度呢，是 a， 深度是 a， 假设啊， 这是圆点吗？也就是这个距离就是一个 a， 对 吧？距离是 a 啊，坐标轴啊，好，钢口的直径是二 a， 直径是二 a， 那 半径不就是 a 吗？是不是半径就是 a 呀？所以这个点啊，抛线吗？抛线就是我们画的这个蓝色的线啊，它就过 a a 这个点吧，是不是？哎，这个横横坐标是个 a， 纵坐标也是一个 a 吗？那我们知道了啊，他过这个点的话，其实就可以把抛物线的一个方程求出来，求出来肯定是有用的啊，待会我们再求也行啊，缸内呢，就盛满了水，这里边都是水啊，一碗水好，水的密度如，如果以 每秒哎 q 立方米的速率把这个缸里边的水全部都抽出来，需要多少时间呢？需要多做多少功呢？ 好，需要多长时间？是不是我们就要把这个碗的一个体积求出来呀？那就缸的体积求出来，体积求出来再除以啊，你这个 速率是吧，你抽的一个速率吗？你一秒抽 q 立方米吗？这，这个不就是体积单位吗？是吧，一秒抽这么多，总共有这么大的一个体积除以啊，你这个速度相当于不就等于你需要多长时间了，是不是？好，本质上要把体积求出来。 第二问就是做工的问题，那就是我们刚刚说的啊，把这个体积微元哎找出来。好，我们先看啊，第一问需要多长时间， 那么就要把体积算出来，算体积的时候，其实啊，它跟第二问就有关系了，是吧？我们把第不是跟第二问有关系啊，我们第一问就会把体积微元求出来，第二问刚好也要用到体积微元，所以他们哎， 就是联系到一起了啊。好，我们把体积微圆求出来，那是不是得取一层很薄的水面是吧？取一层很薄的水面啊，取的一层，你自己想象一下，家里的碗我取一层很薄的一个水面，这个距离呢？这个啊，这就是一个 y 到这个 y 加底 y 这高度嘛，是吧？这一层水面这是 y， 这是 y 加底 y， 这个一层水面这个这层水面的一个高度的话，就是底 y 嘛，非常薄的一层啊，水，好吧，好， 那我们现在要把底 v 去求一下，是不是你可以这样写一下啊，任取这个 y 到 y 加底 y 嘛，它是不是包含于零到 a 呀？ 好，这个底微怎么求啊？哎，就是你渠的这一层水面的一个体积微圆，是吧？哎，我们这一层水的一个体积求出来就是体积微圆嘛，好，想象一下这个体积怎么求？哎，你家的碗的话，一层非常薄的一个水的话，这一层的一个水的体积怎么去求啊？ 你，你可以给它，是不是可以看成，哎，它就是一个圆柱圆柱体啊，对不对？圆柱体啊，就是一个圆柱体，好重新画啊， 对不对？哎，这一层水，你看一下你家的碗不就是一个圆柱体吗？这很薄的一层水，在你碗在你家碗里，哎，你去求这一层水的一个体积啊，它就是一个圆柱的一个体嘛， 这边就是圆柱体的一个体积，求出来就是这一层水的体积啊，好，对，圆柱体的体积我们都知道啊，是底面积乘以高，是不是高，我们知道啊，就是取的底 y 吗？ y 到底 y 距离就是底 y 高，已经有了底面积呢，不就是圆的一面积吗？拍 r 的 一个平方是吧？ 这个 r 怎么求呢？好，我们就得射出来了啊，我们射坡物线啊， 方程是吧？设抛物线的一个方程，这时候就得求方程了啊，为 y 等于好，因为我们这样建立坐标系的，所以它的一个方程就是 y 等于 k x 平方嘛，是吧？因为 它过哎， a a 这个点，所以 k 就 可以求出来了，是吧？ a 就 等于 k 乘以 a 的 一个平方， a 是 大于零的呀，对不对？这个 a 大 于零咱就不写了吧，它深度为 a 肯定大于零啊。好，这也可以写一下啊， a 大 于零，都除一个 a， 除一个 a， 还剩一个 a， k 就 等于 a 分 之一，所以我们抛物线的一个方程就求出来了 a 分 之一 x 的 一个平方，是吧？好，那我们现在啊，要求这一个底面积，就要把这一个半径求出来，半径其实不就这个长度吗？是不是这个长度不就是 x 了吗？因为你的一个高度你是记为 y 的 吗？对吧？这个高度我们记为 y 啊， 那它对应的，哎，这个长度不就是 x 吗？因为我们的方程就是 y 等于 k x 方了，是吧？好，这个好，这个半径就有了啊，底面积就求出来了啊，所以底 v 就 等于拍 r 的 一个平方，好，乘一个高度，是吧？这一层水的一个体积就求出来了，体积微圆就出来了。接下来呢，我们去积分呀，总共呢，是 它的一个高度是零到 a， 是 吧？因为我们只取了这么高的一层水，体积求出来了零到 a， 哎，它的高度是从零高度是 a 吗？从零到 a， 对 体积微圆进行积分，不就得的是体积了吗？好，零到 a， d v 就是 pi x 平方， d y 嘛，嗯， x 平，因为现在是 d y， 所以 我们要把 x 平方给改一下，是吧？ x 平方嘛，给改什么 y 呀？积分变量是 y 呀，那 x 平方是现在就可以用了， x 平方不就等于 a 乘以 y 吗，是吧？ a 乘以 y 呀， d y 好， a 乘一个 y， d y， 那 a 拍都可以提出来 y 的 积分二分之一 y 的 一个平方，领到 a， 好， 那就是二分之一 a 乘一个拍，再乘一个 a 的 一个平方，就是 a 的 三次方， 体积就求出来了，是吧？也就是 v 就 求出来了啊，好，这个往左边来，来吧， 需要多长时间呢？我们已经说了，再除以这个 q 就 行了，体积除以 q 就 行了啊，走， 哎，我们需要的时间就等于 v 除以一个 q， 拍 a 的 三次方，除以个二，再除以个 q， 这时间有没有单位啊，秒啊什么的，没秒是吧，那我们带上单位啊，就是这么多秒就行了啊，也可以在下个结论，我就写了第二问，哎，需要做的功，需要做的功，我们说了体积微圆已经有了，那你这个做工就非常简单了，是吧？好，由第一问。 哎，我们知道 d v 是 我们想要的啊，拍 a y d y， 好， 接下来就是公的一个微圆，是吧？公的一个微圆的话， 就等于这个 u g， d， v s 嘛，你记下来嘛，是吧？ u g d v s， 好， 这个 s 的 话，你看一下啊，应该写多少呢？待会儿我们要改一下啊。 u g d v 已经有了啊，拍 a y d y， 现在就是这个 s s， 什么意思呀？ 也就是说我们是取的这一层，这红色的这一层水面，我们要把它抽出去，是吧？这一层水，哎，给它抽，抽出去需要做的功，那抽出去的一个距离，哎， 这个就把这一层水啊抽出去了，这个距离的话，不就是这个 a 减去这个 y 吗？是吧？这就是我们抽出去的一个距离呀， 对吧？便利做工，也就是说利方向上的一个谓语，谓语就是，哎， a 减上一个 y 嘛。啊， a 减去一个 y， 这里呢，要不你就别写 s 了是吧，写上也行吧。可以啊，可以这样写 s 现在又给它换为 a 减 y 了， 好， d w 有， d w 都有了。那你整个做工是吧，只需要积个分就行了啊，工的维元已经有了，我们，哎，整个啊，积分就行了啊。零到 a， d w 入机拍 a y， a 减 y d y， 是 吧，很简单了啊。 嗯，入看，能提出来的都提出来啊。入机拍 a 都能提出来，这里边就剩这块了呗。我们看， 嗯， a 乘以 y 的 原函数是不是就它？ y 的 平方的原函数是不是就它？哎，这积分就很简单，主要是分析的过程啊。入记拍 a， 这里面二分之一 a 的 三次方呀，减去三分之一 a 的 三次方是吧，这不就是六分之一 a 的 三次方吗？那就是六分之一入记拍 a 的 四次方。 做多少公他都有单位，那我们就带上公的单位，不是交而吗？交是吧，我们，哎，就顺便把第六题做了啊，你看他前面这些序数啊，这序数是不是就跟第四个题是一样的呀，是吧，我们也把图画一下啊，好， 再画一遍，加深一下印象。旋转，抛面 抛物线旋转啊，绕着 y 轴旋转一周得出来的啊， 这个容器啊，就是就是一个碗嘛，对吧。深度为 a 口径啊，端容器口直径为二 a 跟刚刚一模一样啊，一模一样，它过这个点， a a 这个点是吧，这是一个动作标，也是一个 a。 好，我们同样啊，先把这个方程求一下，咱们这面已经求过了，就是它是吧，再写一遍啊，好，嗯，设抛物线啊， 方程，这个 y 等于 k x 方，它过 a a 这个点，所以啊， k 就 等于 a 分 之一，是吧，则这个 y 就 求出来了。这肯定要求出来要用它的啊， y 等于 a 分 之一 x 方啊，好套话啊，该该写的要写一写，写完了这个，接下来读一下题啊，它呢，是以每秒 q 立方米的速率。速率这块题啊，牵涉到相关变化率了啊， 这个速率你看啊，这是单位，是立方米，也就是体积哎，对时间的一个导，是吧。这就是啊，每每秒 q 立方米的一个速率就表示成非对 t 的 一个导，这个你得能写出来，是吧。好，我们以 一秒啊 q 立方米的速率往容器里面注水。第四个题是啥呀？是盛满了水往外抽抽水做工，这是往里面注水啊，好， 容第一问啊，容器的容积和表面积内表面的面积啊，容积的话不就是还是去算啊，这个碗的一个体积吗？是吧，咱已经算过了，就是它还是它啊，再写一下，好吧，再写一下啊，好，仍然啊。取一层哎，很薄的 水面，直接这样画了，这个距离我们就是 y 到 y 加底 y 啊，这一层水面好 写一下啊，这个慢慢的啊，等多写一点，加深一下印象，任取 y y 加底 y 这一段啊，很窄的一个水面，它包含于零到 a， 是 吧。 好，我们就把啊体积为圆去求一下。体积为圆我们已经说了，他是等于拍 x 的 一个平方哎，底面积乘以高高就是这个底 y， 是 吧，圆柱体的体积公式就行了。我们因为积分变量是 y， 所以 把 x 换成 y 了啊。 x 平方就等于 a 乘以 y 嘛， a 乘一个 y 好， d y 好， 体积，容积，不就是啊，这个碗那个体积吗？是吧？ v 就 等于零到 a， 哎，积分呢？体积为圆，一积好，拍 a y d y 拍 a， 这个 y 的 话是二分之一 y 的 平方，是吧？二分之一 y， a 的 一个平方，那就 a 的 一个三四方，好吧，这个单位要不要写一下？它有这个米是吧？容积我们就写成立方米，刚刚是不是没写啊，写一下也行， 对吧？这个体积啊，看是不是一样的，一样的啊。好，表面积这一块需需要注意一下啊，这个警醒一下自己， 关于题里面说到表面积或者说到侧面积，一个东西啊，或者说到弧长，就就这点儿东西啊，你就记住我们的一个微圆，这个高度啊，这个高，这这个高度的一个微圆就不再是 d y 了啊，就变成 d s 了。 d x 的 话我们前面都已经学过了，是吧？好，是一加 y 对 x 求导的平方， d y 或者呢？哎， x 对 y 求导的平方，哎，这个，这是 d x 啊， 至于用哪一个，你根据题目是吧，这个题目我们都写成 y 变量啊，底 y 了，所以那就选这一个就行了，记住这一点啊，弧长侧面积，表面积出现的时候，我们的一个啊，这个微圆就是不要去取这个底 y 了啊，你看，我们先把这一这个 很窄的一个，对，现在啊，是容器的一个表面积，咱们就不应该去取一层薄薄的水面，是吧，给它展开水怎么去展开呢？应该是啊，就是取这样的很窄的啊一段，你去把这个碗这一段啊，给它截，截掉，用剪子给截，你可以理解为它是一个 这个纸碗吧，用纸做的碗。行吧，用纸做的碗，我们就取这么窄的一段，好，用剪刀给它剪开，剪开之后它就是啊， 就相当于一个长方形，对呗，你想象一下，剪纸吗？就一个长方形，你看这个，这个就是它的一个高度，这就是它的一个高度。好，那你这个啊，这个长度呢？哎，我们先是把这个 面积的一个微圆先求出来啊，现在有才知道我们的目的啊，面积微圆求出来之后再去求啊，整个的面积就积分就行了。好，也就说我们取啊， 这个碗的一小圈吗？是吧，你想象一下，哎，很窄的一段啊，一小圈，来，给它拆，拆下来 用，用剪刀给剪下来，然后给它铺平啊，铺平之后是不是就是一个长方形了呀？好，这个高度就不是啊，这高度就不再是这个 d y 了，就这这个弧长了啊，这段的弧长。哎，是作为我们的啊， 这个微圆了，就是 d s， 现在是小的 d s 啊，我们现在是算的啊，表面积的微圆。好，它就等于这个啊，长方形的， 这个长乘以高。就是啊，这个表面积的一个微圆啊，好，这个长方形的一个面积不是底乘以高吗？高，我们你知道了，就这个底。小 s 啊， 这个长呢，长的话是不是就是我们刚刚说的啊，它很像这个这个圆柱体吗？是吧，它底面积就是这个圆的一个周长呀，是吧，那我们刚刚说它是一乘四 水的时候啊，你给它算体积的时候，我们就近四维啊，它是一个圆柱体，那么你现在啊，只是说我们现在去求表面积了，你用纸用这个剪刀剪开，给它铺平，给它看成 长方形就行了，而它的一个长方形的一个长的话，那么就是底面，对吧，给它展开了吗？底面的圆的一个周长呀，对，圆的一个周长，公式就是二拍 r， r 就是 我们说的 x 吗？是吧？这就是一个 x 呀，这就是它的一个底，底面的圆的一个半径 r 拍 x， 哎，就这样的啊。 x 的 话，你从这里可以给它解一下， x 平方是等于 a 乘以 y， x 就 等于根号下 a y， 因为我们待会都是 d y 嘛，所以把 x 都换成啊，跟 y 相关的信息。 d s 呢？我们已经说了啊，这个微圆现在就是它了啊，就不不要给它写成 d y 了啊。长乘以宽不是乘的 d y， 千万记住，不是乘的底 y， 不是。 我们算体积的时候这个微圆底 y 了啊，高度不是底 y 了，是用这个弧长代替的啊。高度好，一加上 x 对 y 求导，这个平方好，底 y 就 行了。 x 对 y 求导。你在这求一下 二倍的根号下 a， y 分 之 a， 是 吧？那 x 对 y 求导的一个平方，你也可以算一下 a 的 一个平方。四 a， y 削一个 a 削一个 a， 不 就是 a 除以一个四 y 吗？ 好，我们写过来。二拍，根号下 a y， 一 加上 s 对 y 求导的一个平方就是它嘛。 a 出一个四 y 好， 再开个方是吧？ d y 还可以再划减一下吧。二拍，这个是啊，大 s， 这个是啊，高的一个微圆吗？小 s 写小一点， 根号下 a y 这里啊，四 y 你 通分啊，这样题你通分就行了。四 y 加个 a 开方，这底下开方，这开方不就是二乘以根号 y 吗？是吧？ 根号下四 y 加上一个 a， 除以二根号下 y， 你 看这可以消一下吧。这有根号 y， 这有根号 y， 二根二也消掉了，所以还剩一个拍根号 a 呀，对不对？这里跟这里消掉了，二消掉了，只前面只剩一个 拍和根号 a 了啊，搞清楚。好，四 y 加上一个 a， 你 这里化简多一多一些步骤的话，接下来我们去求啊，这个面积 就是零到 a 区间上啊。对，我们的面积为圆积分不就行了是吧？这时候你就哎好做多了啊， 就不用再去化减了，因为上面化减的很彻底了。这积分简单呀，是吧？这拍根号 a， 往前一提，这里这根号就写成二分之一次方百是吧？我们再去凑个微分呀，拍这个四 y 加上一个 a， 二分之一，你这就是 d， 四 y 加上一个 a， 那 补一个四分之一是吧？四分之 pi 跟好 a 乘以这边函数简单的很呀。那二分之三补一个三分之二是吧？ 一个三分之二零到 a 去算一下啊，二跟这底下削一个，还有个六拍根号 a， 这里面我们看 a 往这一加的话就是五 a 了。五 a 的二分之三四方，五的二分之三四方不就是五倍的根五吗？在 a 的 二分之三四方，另一代就是 a 的 二分之三四方，是吧？你这里还可以合并一下， a 的 三四方可以跟根号 a 一 乘，就是 a 的 平方了呀，对不对？所以就是六分之拍 五倍的根五减去一个一嘛，五倍的根五减去一个一 a 的 平方呀，这个跟前面的根号 a 就 成成 a 的 平方了呀，是吧？这就是它的一个结果啊。表面积的话，面积啊，应该是平方米，是吧？第二问啊，写到这里了， 容器中水深为二分之一 a 米的时候，水面上升的一个速率，哎，这个题考察到相关变化率了，是吧？哎，这个地方出现了啊， 一个啊，关于相关变化率的一个提示，好，这是 v 对 时间的导，是等于 q， 现在又牵涉了一个高度的问题，是吧？你得能够分析出来啊。好，我们要求的啊，这个水深他说是二分之一 a 米啊，我先设成 h 米， 当水升为 h 的 时候，好，这个水面上升的一个速率上升，那不就是高度吗？是吧，其实就是去求高度，对时间的一个导嘛， 对，要求的就是它啊。而这个里，在这个地方提示你的什么呀？而提示你的是 v 是 关于时间的一个函数，是吧？ v 是 关于时间的函数，现在让求的是 h 关于的函数，那么我们自然就能够知道， v 肯定是关于 h 的 一个函数， h， 哎，关羽 t 的 函数是吧，这不就是相关变化率的这一套吗？从这里可以看出来，你看我们这个水深现在升为 h 的 时候，是不是可以求出来，哎，这个当水升为 h 时的这个水的一个体积压往里面注水吗？ 数的高度为 h 的 时候，此时水的一个体积是不是关于 h 的 一个函数啊，对吧？关于 h 的 一个函数，而很显然 h 又关于时间是 h， 关于 t， h 又是关于 t 的 一个函数，对吧？好，所以我们现在哎，就是设 水深为 h 的 时候，哎，把体积的一个表达式求出来，在两边对时间求导，是吧？该把该带的带一带，这个不就是等于 q 了吗？ 好，这个体积体积等于多少呀？不就是零到 h， 哎，体积微圆，把第一问的体积微圆拿过来了，把这个 a 现在换成 h 了，对不对？好，零到 h d v 是 多少呀？ 拍 a y d y 是 吧？拍 a 提出来 y 的 原函数二分之一 y 的 一个平方就是 h 的 平方。好，两边对踢球岛就行了。两边对踢球岛， 对吧？ v 呢？就对踢球岛，这个其实就是等于 q 的 嘛。对，踢球岛啊，其实就是 v 对 h 球岛， h 对 踢球岛嘛。 v 对 h 球岛。二下来了，那就是拍 a h 是 吧？好，接下来就是 h 对 提求的。现在呢？不是说了吗？好，这个 h 等于二分之一 a 米吗？把它换成二分之一 a， 这不就直接求出来它了吗？是吧？好，将 h 等于你。不要啊，一开始就要搞一个数，在这里你一定是用啊，一个变量表示把该求的求完之后再把变量赋值，是这样的过程啊， h 等于二分之一 a， 代入这个一是吧？ 好，就可以得了。 h 对 t 得一个到等于多少呢？那不就是 q 是 吧。 q 除以 a 乘一个 a， 再乘一个 h， 这样吧啊， h 是 二分之一 a， 然后平方 pi 乘一个啊，我们要求的是等于 q， 所以 那就等于 q 除以 拍 a 的 一个平方，再乘以二。是这样的啊，这个就没什么说的，慢慢求。好，这随便上升，是高度吗？是吧，所以是每每秒啊，这个速率就是它 这个相关变化率的问题啊，应该是不难的。好，把这两个题啊是放到一起进行做一做啊，自己给自己讲一遍，慢慢的啊，就会做了啊。好，这个题就讲到这了。 好，我们看这个题啊，哎，有抽水做工是吧，还有相关变化率的问题啊，在一个高为一米的圆柱形内哎，储存某种液体横着放，注意是横着放啊，圆柱体横着放 好底面圆的一个方程，就当圆吗？如果容器内除满了液体，你把它当成水不就行了？好，以 零点二毫米每分钟的一个速率将液体从容器顶端抽出，那么第一问，页面在 y 等于零的时候，页面下降的一个速率。第二问啊，一平方米的液体呢，受的重力是一牛，那么我们把所有的液体都抽完需要做多少功呢？ 我们做这样的题是不是得把图画出来呀，哎，横放的这个圆柱体应该怎么画？你想象一下，我们生活中见过类似的一些东西，不 见过啊，好，油罐车或者是我们说的哎，路上啊，咱们都见过啊，就是洒水车都见过吧，包括啊，这个声音我觉得同学们听过啊，可以听一下啊，我是天天听哦，是吧，这个叫什么兰花草 好，就这样了啊，就是给大家加深一下印象啊，就是见到这个横放的一个圆柱体的话，得想到啊，这个是吧，洒水洒水车， 那这个还不太好画，我直接啊把家里的这个牙签牙签盒给它装上水，这样看来更清晰，是吧，就跟这个啊，我们说的哎，洒水车是一样的，对吧，这样便于我们去做这个题啊，我就直接把它放过来啊，更直观一点好， 它的一个高度为一，就是这个整个的一个长度是一，这是不是横着放的哎，这个就是它的高度为一啊，我们现在呢啊，先看第一问啊，页面 y 等于零的时候，页面下降的一个速率，你像求页面下降的速率，页面进行下降了，是不是就是高度啊，高度的一个问题。关于高度的问题，其实它就是求的，就是 h 对 t 的 一个导的意思，你得能够分析出来吧， 这个怎么去求呢？哎，我们想一下啊，你是里边啊，盛满了液体，我们是把液体哎，抽出去，是吧？往上抽出去啊，你抽出去的话，那肯定啊，随着时间的延长的话，我们这个水的一个体积是不是越来越少啊？所以它跟体积又是有关系的，一定要往体积上面去想， 也就说体积肯定是关于时间的一个函数，这肯定没有问题，对不对？你这个随着时间的一个延长的话，你的这个液体的一个体积会越来越小，越来越少吗？好，那 体积肯定是关于高度的函数，高度也关于又又是关于 t 的 函数，这样是不是？哎，就联系起来了。这样的题，其实你做前面咱们已经做过类似的了，对不对？好，你看这句话其实也提示你了吗？ 这个速率是什么呀？这不是立方米每分钟吗？不就是体积对时间的导吗？他都已经告诉你了，这个是零点二，是吧？现在啊， 我们要求这个高度啊，高度等于零的时候，好，这个啊，页面下降的速率就是求它，是吧？那我们是不是关键点就是把体积对时间的对高度的一个导出来呀？我们是不是得把体积给求出来呀？对不对？把整个啊，这个这里边的水的体积求一下，我们就要用到维元法了呀， 把体积微圆找到是不是？好，那我们现在是不是就得建立坐标系了呀？那既然底面啊，它是圆吗？是一个单位圆， 那我们就以圆心作为坐标轴的一个圆心，坐标轴的一个圆心是吧？坐标系轴的圆点啊，不是圆心啊，圆点就这样建立坐标轴不就行了吗？是吧，这半径啊，都是一哦，都是一，好， 体积微圆找出来，我们是不是去任取啊？一层很薄的一个水面，这个高度呢，就是 y 到 y 加底 y 可以 吧？这一层啊，很窄的啊，一层水面。 好，我们就取啊，把这把这一小层的啊，水的一个体积求出来，不就是体积微圆求出来了吗？再去是吧，还再去搞这些求导的事。 好，我们就任取这个 y 到 y 加底 y 很 薄的一层水面是吧，它包含于这应该是负一是吧？这个啊，这就是负一了呀，这是一呀，是吧？好，负一到一， 我们看这个体积怎么算啊？好，我们知道啊，如果一个圆柱啊，这个这个咱们不横着放的话，好，我们取一层， 哎，一一，一层水是吧，薄薄的一层水的话，这个体积是不是？哎，就算这个圆柱体的体积啊，底面积乘以高就行了呀，现在你想一下，他还是一个圆柱体吗？这么 这么窄的一层水面的话，你看他是圆柱体吗？你这样看对不对？你自己想象一下。哎，这个油罐车，这个洒水车，这个横着去看的话， 哎，你取一层，你取薄薄的一层，你看过来，从这往往这边看的话，他是不是一个近似，近似为一个长方题啊，对不对？他是长方题的形状哦，这得搞清楚啊，那长方题可不是圆柱体了， 哎，这个长方体了，对不对？哎，这个长方体的一个体积就是我们这一小层水面的啊。体积。好，这个长方体的一个体积公式我们知道，就是底面积乘以这个高，高的话不就是这个油罐车，是吧？这个就这个啊，圆柱形，这个 就这个容器啊，他的一个长度吗？长度就是这个长方形的一个高就是一个一，现在算一下底面积。对，底面积，底面积不就是这不就是这个吗？是吧？就我们取的这一薄层的一个水面啊，这个就给他径四吗？这就这圆圆的就给他径四为径四为直的吗？哎，就是，哎，这个 长方长方形了啊，在它侧面了，对不对？你看一下，哎，从这，从这，你视线往那里面去看啊，往里面去看，不要，往，不要这样去看，这样去看，是不是这样去看啊？好， 长方体的这个底面积怎么算呀？不就是我们刚画的这个吗？好，这个长乘一个宽就行了，宽呢？不就是这个底 y 吗？是吧？宽就是一个底 y， 这个这个长呢？这是长吗？宽是底 y， 长怎么算呢？长的话我们描一下， 连一个线啊，我们想要这个长，是吧？好，这个圆那个半径不是等于一吗？这个高度不是一，这个高度不是 y 吗？好，这个长不就根据勾股定底吗？一减去 y 的 一个平方，开方是这段长，我们是两段加到一起，是吧？哎，这是整个的啊，一个长一个高， 这个高就是底 y， 这个长的话就是两倍的根号，下一减 y 的 平方嘛，对不对？底 乘以高就是底面积，好，底面积有了这个高度，再一乘就长方体的一个体积了啊，好，那就是二倍的根号下一减 y 的 一个平方，这是底面积再乘一个高高就是一吗？是吧，这么长。好，这个搞清楚啊， 体积微圆就求完了啊，咱就不，你还是要写一下告诉别人是吧，你知道这件事吗？那就现在化解一下， 我们是不是要把这个 v 给表示出来呀？好，你再读一下题啊，页面高度是吧，它指的就是高度啊，哎，当这个页面啊，这个高度为多少的时候，好，这个页面下降的一个速率求的是它。 我们说这样的题，你不要是先去看具体的啊，这个高度为多少的时候，你先啊，哎，去设出来一个变量 h， 把这个该求的导都求完之后，好再把 h 等于零带一下，是这样的一个过程啊，不要直接就是看盯住这一个啊， 相当于给你的条件，对吧？给你的一个具体的条件，不要去盯它，我们现在就设页面高度，哎，页面它指的就是高度啊， 为 h 的 时候，好，我们就把哎此时的液体的体积求一下，好吧，体积那不就是等于零到 h， 哎，负一到 h， 你 注意了啊，我们的坐标系，你看底下是负一是吧，负一到 h， 然后，哎，体积微远积分嘛，对，体积微远积分。 好，这是 h 二倍的根号下一减 y 的 平方 d， y 有 必要积出来吗？没有必要，不用积出来， 因为我们待会要去求导了，是吧？哎，关于关于求导呀，那你干嘛还要积呢，积完还得再回来呀，还得求导图啥呢？好，接下来就是两边对梯求导 是吧？好， v 对 t 求导，我们知道 v， 你 看关于高度的一个函数是吧，也就相当于 v 对 h 求导， h 对 t 求导，这已经分析过了啊，好， v 对 h 求导，变现积分函数求导。二倍的根号下 e 减 h 的 平方呀， 好， d h 逼上一个 d t， 这个时候再把 h 是 吧，页面高度，哎，等于零，带到这里面就行了啊，我们就把 h 等于零。 还有什么还有 d v 比 d t 的 题里面说了呀，是等于零点二嘛，我们就代入这个式子就求出来了，代入一式就可以得， 好， h b t b d t d h 比 d t 啊，这左左边是零点二，右边是二，根号下一减零嘛，好， d h 比上一个 d t， 这是一，这是一个二，二挪这里，这不就是零点一嘛，是不是零点一，好米每分钟对吧，因为关于高度嘛， 就求完了，对呗，来仔细分析一下啊，好，第二题，抽水做功了啊，看好这这一串的公式是吧，我们是抽水做功，是克服重力做功啊，我们这个哎，这个它受的力其实就是重力，它俩要相等，理想条件下啊，就把它抽出来了啊， 好，最终其实我们说过了啊，就是去求公的位，员工的位源呢，其实就，哎，就是体积的位源了，其实就这块对吧，关键就是他呀。好，我们那就把公的位源写过来，咱们直接 背下来了是吧，入记底微以及啊，这个力的方向上，哎，走的一个位移对不对？哎，这就是移动的一个位移啊， 好，我们现在看一下啊，今天没有给这这这个入机怎么办？我们现在先不用去管那么多，先把这个入机先放在这里，那么 d v d v 上面是有的，抄过来就行了，是吧？有第一问， d v 就是 二倍的根号，下一减 y 的 平方 d y， 好， 我们是不是取的是 这样的一层，哎，这样的一层刚刚还是这层水面啊， 好，把它抽出去，是不是？哎，抽出去，你看一下在它抽出去经经历的这个长度是多少嘛，对吧？哎，它这个力的方向往那个位移嘛，抽出去多多高呀，你看它多高，总共这里是一个一，对吧。这个高度是一个 y， 那 它抽出去的一个高度， 这，这段就这段嘛，一减去一个 y 呀，是吧，所以这个 s 就是 一减 y， 是吧，哎，力的方向上的位一啊，现在就是如基，如基的话我们你要知道啊，他是客户，重力做工的话自己就可以推导出来，你看一下如基等于谁？你看这里 mg 是 不是等于 v 基啊，对不对？ mg 等于 v 基， mg， 嗯， g 跟 g 相等， m 就 等于如 v 嘛，因为液体的一个质量的话，就等于如乘以 v， 你 得这些得搞清楚啊，高中的知识了，你看一下如 g 等于谁？如 g， 这不是如 g， 哎，现在现在就求如 g 的 呀，如 g 就 等于 m， g 除一个 v 啊，这是其实就给你了，你看 一立方一立方米的液体所受的一个重力等于 u， 不， 不等于一 u 啊，这不就是这个，这个意思不就是等于一立方米的哎，这个液体所受的一个重力吗？ 对不对？这其实就给你了呀，就是等于一啊，我问你，大 g 除以 v， 是 是是，啥意思？是不是就是一立方米的液体所受的重力啊，这不就给了吗？就是一立方米的液体所受的重力啊，对不对？能看出来吧？ 好，如果你这个啊，哎，忘了，是吧？这些高中学的一个知识忘了，那我们再回到这里，哎，你让我去求 d w， 是 不是就是去求哎，力的一个位元乘以这个力方向的位仪啊？力的方向位仪，我其实知道的就是他，那 这个力的话，我们说他就是克服重力做功，其实就是等于哎，重力，是吧？乘以这个我们是往上的啊，为乘以这个位仪。 好，这个重力的话，你看一立方米的液体受的力是受的重力是一扭有多少立方米呢？哎，我们说了啊，你现在是力的，你现在是啊，求微圆的是吧？那我们就这么多的， 哎，这么多毫米的一个液体，那么你受的一个力是不是就是跟你的一个体积有关系啊？你一毫米就受一牛的一个力，你五毫米就受五牛的力，你现在有多少有多少毫米啊？有 d v 个 d v 不 就是表示的这个 叫什么呀？哎，体积为圆吗？就是你有多少多少平方米的一个液体，是吧？多少平方米的液体你就受哎，多大的一个重力就受多大的啊。这个抽水的那个力，对不对？就是拉力吗？抽水做工其实那就是拉力了， 对吧？所以说你受的这个力就是等于你的一个体，对吧？哎，力的微元就等于体积微元，这个能搞清楚吧，咱们就不写那么多了，它其实等于体积微元呀，再乘以这个 s， s 就是 我们说的 e 减 y， d v 的 话，我们再抄一下上面的 是吧。再乘一个 e 减 y， 你 看跟它一样吧。一样的啊，你就自己理解一下啊，你多多少立方多少立方米，那么它所受的一个力，哎，就是多少，是吧，所以它们对着的啊。 好，现在我们就知道的是 w， 哎，这个做工的一个位元已经有了，那接下来不就是积分了吗？是不是积分的话啊，我们是把所有的液体都抽出去，哎，他的这个按你看，从负一到一啊，哎，从负一到一 好， d w 这就全抽出去了啊。负一到一 d w 我 写过来了，二倍的根号，下一减 y 的 一个平方，好，一减 y， d y 是 吧，对称区间上积分，你肯定要考虑一下基友星了。你看， 第一部分是二倍的根号，下一减 y 的 个平方 d y， 第二部分就是个零，你看啊，它跟它一样乘，这块是偶函数，这块是奇函数，是吧？在对数圈上积分等于零。第二部分是个零，咱不写了啊，第一部分的话，你看我们可以用几何意义吧，是不是 这个时候啊，可以转化为二倍的，这个二已经挪这里了啊。接下来是负一到一对它进行积分，是不是可以写成两倍的，因为它是偶函数，背积函数是偶函数啊，二倍的好，对它进行积分，根据定积分的几何意义，是吧？这个咱们已经做过多次了，你别看不出来了啊， 他是四分之一圆那个面积，对不对？哎，那不就是拍 r 的 一个平方是一个四吗？前面是一个四，再四分之拍 r 的 平方好，就是一个拍，是吧？其实你这里不转化为二倍的话，他其实就是 半圆的一个面积，对吧？再乘一个，前面本来有个二吗？也可以啊，这个单位呢？哎，交耳就行了，交交耳是吧，好，自己分析一下啊，这些该记的公式记一记，微元法掌握了啊。好，这个题就讲到这了，我们看这个题设以单位质量， 单位质量为一的意思吗？细杆的长是一，既是引力常数，当质量为 a 的 至点，在细杆延长线上距杆右端点的二分之一处，处啊，一到三分之一处，使引力做工大小，这是不是考察的便利做工呀，这个力的话是不是万有引力啊？好，那我们可以啊，把这个图画一下，咱们看的更清晰一些啊， 你要你要建立坐标系啊，你刚开始的时候可能不知道怎么建，我们做做做题你就知道了啊，你比如说我这样建立的话，你这个细杆子你往哪放呢？你放到这边也行，放到这边也行，是不是？比如说我们放到这边吧，放这边的话，好，细杆子的一个长度 不是等于一吗？好，在坐标系上的话，那是不是，哎，这个点就是负一，这个点，这就是细杆子啊，好，我们看啊，质量为 a 的 质点在哪呢？我们先这里长度是一个一啊，这个一大概在这的话， 他说是好细杆的延长线上距距杆子右端点的二分之一处啊，右端点的二分之一处，比如说在这，对不对？你看二分之一处啊，好，一到三分之一处，三分之一，那大概这个位置呗，对不对？ 差不多就行了啊，质点呢，就是从这好到这，那这个细杆子对我们质点做工的一个大小。 好，我们说了啊，这块呢，做功的话便利做功，功的话是力乘以谓仪，那这个力的话怎么去求谓仪？咱们待会再去说这个力的话，我们刚刚提到了是万有引力，而万有引力的话，咱们说的是两个质点之间，是吧？他的万有引力的公式是这个啊。 好，他的一个质量为大 m， 这个质点的质量为小 m 的 话，他们之间的一个万有引力就是这个公式。你现在是杆子，对这个 这个置点好，他们之间的 y o 以内怎么去算呢？那不就是微元法吗？是不是我们先去啊，在这个杆子上啊， 取一个点呗，但取一个点你没法做，对不对？我们取一个 x， 这这个很小的一个距离，你就近四为一个点嘛。好，这是 x， 加上一个 d x， 你 就认为啊，这是一个很小的一个距离啊，这个是 d x 嘛，对不对？这一小段是一个 d x 啊。 好，你就认为是一个点就行了，非常小吗？好，那这次近似一个点。好，这不是出现两个点了吗？是不是两个点？有了那两个点之间的一个万有引力是不是就可以求出来了？好，这就是力的一个微圆吗？ 那用一下我们的万有引力公式啊，大 g 乘以。好，这个我们的细杆子取了是很短的一点，就近似为一个点吗？但它还是有距离的，是吧？我们给它画长一点，这样便于去讲解啊。 好，那这个细杆子的一个质量等于多少呢？质量等于多少？哎，我们可以用质量密度乘以这一个细杆这一段杆子的一个长度呗，是不是质量密度是等于多少呀？那就是 大 m 除以 l 嘛，是不是就是一除以一啊？那我们这一段的一个质量等于多少呀？再乘以这一个 长度不行了吗？这一小段的一个长度 dx 是 不是乘以一个 dx， 那 不就是 dx 吗？对不对？能理解不？这一小段的一个质量就是 dx， 或者你这样去理解也行。 整个细杆子质量是大 m 的 话，好，它对应的一个长度是不是我们记为 l 好，这一段的话，它这个质量我们记为 m 一 撇的话，好，那它的一个长度的话，我们说是 d x 嘛，哎，你这样也能够算出来对不对？ m 一 撇，这不就是一吗？也是 d x 嘛。 你这个细杆子我们考考察这种题的话，质量分布均匀，我们考的话都是质量分布均匀嘛，其实这就是质量密度的意思，是吧？这质量密度的意思嘛。好， 好，我们这一小段啊，这个细杆的一个质量我就知道了，就是一个点 x， 好， 这就有了啊，点 x 好， 这个啊，置点。它的一个质量是小 a 吗？ 除以它俩之间的距离，我们的置点啊，就是在 x 轴上，我们，嗯，给它记为一个位置的话啊，这就用 t 来表示就行了。它俩之间的一个距离的话，那不就是 t 减去一个 x， 对 不对？好，平方一下不就行了吗？ 是吧？哎，两个至点之间的一个距离不就是右端点减去左端点吗？对不对？这个你就看成一个点吗？一个点记为这个是 x 就 行了，这个就可以忽略的吗？这整个就看成啊，这个在 x 轴上是一个，我们记为 x 吗？是不是 t 减去一个 x 就 行了啊？好，这个 力的一个微圆就求出来了，是不是？而我们细杆子的话，它就是由无数个点构成的吗？这一个点对 置点，这个引力是，哎，这个样子的，那其他点也是这个样子的，所以我们积分就行了，积分的话就算出来了，这个细杆好，对，这个置点的引力对不对？好，积分，积分呢，就是从负一到零嘛， 这就是细杆对置点的啊，引力好，负一到零，这个 g a 我 们可以提出来了啊，负一到零，好底， x 放到后面 是不是它呀，这会算吧，这简单呀，直直接凑一分得了啊，这个 x 的 话，我就凑成 t 减 x， 那 再添一个负号前面啊，这等于多少？ 好，这个看成一个 u 吗？是吧， u 的 平方分之一，原函数不就是负 u 分 之一吗？符号跟前面符号消掉了，那就是 u 分 之一吗？原函数啊，这就是 u 分 之一。注意还有个 ga 啊，好，上下键一带就行了，我们看一下等于多少啊？ ga 往这一放，这个我就 分割线一下吧。啊，零，你注意我们对 x 积分啊，是不是积分变量是 x 啊，零一代的话 t 分 之一，负一代的话 t 加一对 t 减去负一嘛，就它了啊。好，我们现在就知道了啊，这个细杆子对这一个啊，质点的一个力就是哎，它，你会发现啊，这个力就是引力， 这个引力的话，它是跟这个 t 有 关的，关于 t 的 函数，也就是说你这个置点啊，你在哪一个位置， 因为这个引力它都是不一样的，所以它是一个变与做工问题啊。好，接下来我们去求这个公的一个啊大小， 那我在求功之前啊，给同学们稍微补充一下，复习一下这个高中的一个知识啊。有同学呢，算的是一个赋值，有点迷糊，问题出在哪里啊？好， 首先啊，我们考到啊，这个做功的一个问题的话，一般问的就是让你求做功的一个大小，让你求的是做功的大小，大小一旦出现的话，那一定取的是正值，懂这意思吧？ 做工大小一般就这样考的啊，那一定是正的值，比如说我们求得的是一个哎，正五， 对不对？哎，我们不可能是求一个零零角尔的，这样的题几乎没有是吧，搞半天是一个零，做工为零没意思啊。好，做工大小，那么就是取正值，记住这一点就行了。一般就是啊，考的就是让你求大小的，所以你找正的这个值就行了， 你会发现都给正的值，那你得算一个准确的值就行了。现在就是跟大家去区分一下啊，有同学非要较真的话，如果题目问的是好，引力做功 就是这样的，哎，引力做功为多少好，那做功的话啊，他可能做的是正的功，也可能是负的功，那因为这个题有同学算的是一个负的一个值，他不太清楚，所以还是哎，给大家也补充一下这个高分的知识，再复习一下嘛。好， 那你要注意了啊，这里的正负号表示的啊，是方向吗？不是啊，我们说公，它是一个标量，标量是啥意思啊？只有大小，没有方向。 那你这个正负号表示的啥意思呢？正负号表示的是意义，什么意义呢？ 那这个正五交耳，比如说好立的一个方向是朝这，那么位宜的方向也是朝这个方向。好，他们的一个方向相同的话，我们说立做的就是正宫，就是表示的是意义，它表示的不是方向啊。 好，如果是负的一个五角耳呢？那就是力的一个方向，与我们位宜的一个方向是相反的。你比如说摩擦力做功做的就是副功，对不对？这个正负号表示的是一个意义啊，它不是表示方向的好，对应的呢就是矢量， 他的正负号表示就是方向啊。食量呢，是有大小有方向，有大小有方向。好，那用正负号就是表示方向的正负号表示方向。我们常见的一个食量是什么呀？这个谓语呀， 因为速度呀，还有你比如说，比如说力啊，是吧？这个题有用到这个力嘛？好，功呢，是常见的一个标量，还有常见的标量还有什么呀？你比如说质量，时间对不对？都是常见的一个标量啊。那现在我们回归这个题啊， 好，首先他问的是引力做工的大小，我们已经强调了，只要问大小，那么结果一定是正的值啊，这个结果已经已经确定了，一定是正的值， 好，对不对？你选项你必须找正的值啊，当然了，一般都是这样考的啊。如果，如果他是考察哦引力做工为多少，那这个时候有可能为正，有可能为负吗？那怎么去判定呢？我们已经说了，你看力和位移的方向是不是一致的就行了， 那你看一下，如果这个题问的是做工为多少，那到底是正还是负呢？你也可以判定一下啊。好，我们说是细杆子对这个质点的力做工对不对？细杆子不是在这呢吗？好，他对 质点的一个力的一个方向是，是哪个方向？是不是这个方向，对不对？你对你的万有引力不就这个方向，你看谁对谁？我们是细杆子 对支点的一个外有引力，对不对？你对人家的一个力，那当然是朝你来呀，对不对？这个力的方向是不是？哎？朝左的呀？谓移的方向呢？你看看是从二分之一移到三分之一，是不是也是这个方向呀？ 所以啊，力和谓移的方向是一致的，就算他问的是做工为多少，你也能够判定出来就是正的一个值，对不对？无论如何啊，这个题结果一定是正的一个值。我们知道这件事之后，好，你算得的这个公啊 得是取正的吗？如果你算的是一个负的一个值，你加个绝对值就完事了。你算的一个负的值的话，你就是把这个力和位移的方向搞搞反了，但是这个值 你算的是对的，懂这意思吧？哎，你力跟位移的方向一样的话，这个力呢，做的是正功。好，就比如说我们是推箱子， 箱子在这，你这样去推，力跟位移都是这个方向，那你这个力呢？就是起到推动的作用，就是我们说的这个正号表示的是一个意义，推动的一个作用是不是是前进的动力？那如果我们这个力的一个方向跟位移的一个方向相反的话，比如说摩擦力做功， 对不对？你摩擦力，你在走路的时候，好，你往这边走的话，你的这个脚鞋啊，跟地之间的一个摩擦力，是不是向另一个方向呀？好，那你这个摩擦力做的就是一个副攻，那就是起到一个阻碍的一个作用，阻阻，阻碍的一个作用啊， 这就是我们说的一个意义啊。不管怎么样，那你算的这个值，这个，这个这个数肯定是对的，对不对？只是一个方向的问题，你可能分析错了，但没关系，你加一个绝对值就行了，是不是？你把答案肯定能选对吗？好，我们去看一下啊， 这个力有了嘛？我们现在呢，就是成个位移，对不对？我们比如说啊，我们这个置点啊，在 x 轴上啊，是，就在在这个位置，我们记为 t 了嘛，是不是我们啊，移动一点点移动一点点，我们记为啊，这个这个，这个距离就是一个底 t 嘛，是不是我们给画大一点啊， 这是一个 t， 你 这个可以认为是个 t 减 t 吧， t 减底 t 啊，就这个啊，这个距离我们记为底 t 嘛，是不是移动这一点点做的一个功是多少呢？这就是这个是一个微圆，是吧，这个功的一个微圆嘛。好，这个 f 已经有了嘛， 存一个底 t 是 不是立这移动这一点点啊，做的一个功的话，不就是积分就行了嘛，是不是？ 好，这里就牵涉到啊，可能有同学这个上下线写的不一样，那结果有可能是正的，有可能是负的，但你已经清楚了，得取正的嘛，那你算完之后，负的就变成正的，正的，那就直接就正的呗，你看算一下啊，好，二分之一，三分之一 f 的 话， g a t 分 之一，哎，减去一个 它好， d t 这个元函数也很好求吧。那不就是 lone t 减去 lone t 加一，那我们可以整理一下呗， 是它吧，这不用加绝对值了，因为取正的吗？对对，这个提取的是正值啊，好，二分之一到三分之一看一下 ga lone 三分之一带的话，除以三分之四，那就是乘以四分之三是吧？就是四分之一， 好，减去 lone 二分之一，带二分之一加一二分之三吗？乘以三分之一，这是谁呀？这不就是添一个符号负 lone 三吗？那就是正的 lone 三， 这里呢，负的 lo 四嘛，这块的话就是 lo 三减 lo 四，那 lo 三减 lo 四，我们知道那是小于零的，对不对？你整个公就是小于零的了，那你要填一个 这个绝对值嘛，就变成正的就行了啊。好，这 lo 三除以 lo 四，所以这个公啊，我们我们要求的这个公啊，就得是，哎，就是取正值嘛，是吧？ w 我 们要取正那个值，这就是你心里清楚的一件事嘛，那就是 lo 四除以三，这里是吧，去正的一个值啊。好，你看选谁啊？那就选 a 就 行了。 那有同学有同学纠结啊，为什么你这里算的是一个小于零的呢？那我们说了啊，你问题就会出在你的力根位移啊，你可能分析的有点问题。好，我们也去给大家去啊，说一下解释的话，又牵涉到我们刚刚补充的这个高中的知识了啊。 好，就是标量，尺量的问题啊，尺量的话，我们说有大小，有方向，比如说我举一个位移吧。好，那我们首先要规定一个啊，这个正的一个方向，比如说我规定啊，向右这个方向啊，就是我们的正方向，你这个得提前规定一个正方向啊。向右。 好，规定完了，那如果我从零这个点出发，向右移动五米，好，向右移动五米， 那么位移我们怎么去记呢？就是记为正的五米，如果从原点往左位移，哎，移动了五米啊，那位移应该怎么去记呢？就是记负的五米，是不是？哎，这个正负号表示的就是方向的问题，与你规定的方向是一致的，那就记为一个正号，与你规定的方向 相反的话，就记为一个负的一个方向，而力和位移都是矢量，所以你要去算这个弓的话，你要去规定一个啊，这个方向的问题。比如说你看这个题，我们已经分析到了啊，你这个力的话，向左位也向左吗？那我就规定向左是一个正方向， 对，我规定向左，对，规定的啊，向左为正方向，我们说啊，他对他的一个引力的话，是朝这个方向的吧，好，朝这个方向与我们规定的一个方向是一致的，所以呢，这个力前面，哎，加一个正号，对不对？表示这是他的大小，这他的方向吗？大小，哎，是正的吗？对不对？大小也是正的啊，这 刚好它也是正的啊，加一个正号就表示啊这个矢量了，对吧？就这样表示的好，位移呢？我们说啊，位移它也是这往这个方向的，与我们规定的方向是一致的，对不对？与我们规定的方向是一致的啊， 那也就是说你位移比如说移动了啊，移动了一个三米吧，移动三米的话，那你前面就得是这是大小，这是一个方向，得这样去表示这个位移，对不对？你看啊，你这样积分的话，你看这个底 t 我 们说了是一个正的吧，对，只要是底底，什么它都是一个距离，是一个正的了啊，但你这个积分的话，你看 从二分之一到三分之一，这不是跟位移有关系吗？对不对？你记从这到这，你这个不是在说位移的事吗？好，积分的话，我们说你下限大于上限了，你积出来这个结果就是一个负的呀，我们现在要一个正的，对不对？你的位移啊，你这个跟位移相关，你得是添一个正号啊，所以你这个就不行，对不对？ 你这个不行，也就说我们得给他改成三分之一到二分之一才保证的啊。这个谓语是一个正的吗？对不对？好，力跟谓语都是正的，一乘出来就是正的，哎，乘出来这样的话啊，这个因为我们上下线就反了吗？是吧？三分之一到二分之一三分之一，那结果就是啊，就是我们说的这个对不对？就这个问题啊。好， 那有同学感觉还是迷迷糊糊的。那你就不要搞这些了。好吧，这些方向问题你不用不用管了啊，一般来说就是去考大小的，你如果求得的是一个负的，你就直接选正的，不就完事了吗， 对不对？实在他再难一点，真的要去出这种好做工为多少？你提前分析一下力的方向跟位的方向一步一致，如果你分析的是一个负值，好，你求的是负的，那就直接是负的呗，对不对？哎，就这个意思啊，懂就行了啊。 好，本质上还是微圆法啊。这个做题啊，这几种情况是不是万用引力定律，做工还是这些嘛。好，那这个题就讲到这了。 嗯，这个题啊，直角三角板的斜边长为一，将该直角三角板竖直的插到水里面，我们可以画图啊，画图顺便把直角坐标系也可以建立出来。这边比如这 x 轴就是水，水面的话 竖直的插到水里面，其中一个直角边与水面是对齐的，你比如说这个是一个直角边跟水面对齐吗？还有一个直角边，那另一个就是斜边吗？这就是直角的一个三角板啊。 那你 y 轴的话，你可以往上也可以往下，那因为它是关于哎降水压力的问题，是吧？降水压力的话，我们可以把 y 轴哎建立到这个方向上，可以吧？建在这个方向上的话，这些点啊，都是取的正值吗？当然你往上也是可以的啊。好，三角板 受到水的压力最大的时候，水平直角边的一个长度，你能读出来什么意思？不 就是说这个三角板的啊，这个水平的这个直角边的一个长度不同，这个三角板受到的压力就是不同的吗？是不是也就是压力？他是跟这个啊直角边的长度是有关系的，那我们可以把这一个啊 这个点设为一个梯点吧。好，那三角板受到的压力怎么去求呢？你先别最最大啊，你先把压力求出来再说。好，这个压力的话，这就是咱们说的净水压力的问题吗？那就微元法吗？我们先取 取一小段的一个三角板，对吧？这是一个 y， 任取 y， 这是 y 加底 y， 这个高度就是一个底 y 嘛。好，这个紫色的这一段啊，这一块小一小块三角板，他受到的压力先求出来，然后我们再积分就行了呗。好， 这是这个这一段紫色的三角板啊，他受到的一个净水压力怎么求啊？也是力的一个微圆，是不是加强乘以这个受力面积啊，对不对？加强的话就是入 g h 高度，高度的话不就是这个吗？ y 对 不对？高度是 y 啊， 好，你这个底 y， 你 就认为它非常短嘛，所以就是这个高度就是一个 y 啊，这个面积呢？这个紫色的啊，这一小块，它这个面积的话，不就是近似是一个什么呀，长方形吗？ 他的一个高，我们已经知道了，现在就是算这个长度，对长乘一个宽吗？宽就是我们说的高啊，长乘以宽，面积就出来了，长怎么算呢？像这样的题一般都是用到相似三角形啊，你看我们把这个啊 三角板画出来啊，三角板画出来上面的是长度是 t 啊，好，那斜边我们知道啊，斜边长度是个一，对不对？斜边是个一，这一块呢，就是一减去 t 方开方吗？对，没？好， 我们要算这个这个长度吗？是不是这个长度怎么去算呢？这个三角形底下这个三角形是不是与整个的这个直角三角形是相似的呀？那这这个长度啊，我们要算这个长度，即为 t 一 撇的话，好，那相似三角形啊， 它的这个小三角形的底比上大三角形的一个底，就得等于小三角形的一个平方开方吗？ 那这个高度怎么算呢？这个高度的话，不就是你减去个你吗？是吧？这个不是这个这个点，这里不是一个 y 吗？是不是这个 y 吗？整个的减去啊，这个距离 y 吗？ 好，那这个这个点啊，它在坐标上是一减 t 方开放啊，好，跟好下一减 t 方开放，再减一个 y， 是 不是这个减这个啊，就是这一段了吗？好，那我们去看一下这个 t 一 撇啊，那就是交叉相乘吧， t 乘以 乘一个它，再除一个它呗，除一个它这回算啊。好，你看等于多少？我们可以给它写成两部分吧，第一部分这一块就消掉了嘛， 就是一个 t 减去第二部分 t 啊， y 比上一个根号加一减 y 放 t 也可以提出来， t 提出来啊，你就是一减去它是这 t 一 撇啊，就是我们要求的这个，这个微圆的一个长嘛，好，写过来啊。 d y 代入来写啊， t 一 减 y， b 上根号下。 好，这个就是 a， 我 们取的这一段微圆这一小块三角板，它受到的这个净水压力，是不是那整块的一个三角板受到的一个压力？那不就是积分不就行了吗？是不是这是零啊，零到这个根号下积分就行了。好，立 零到根号下，以减 t 方 f， 我 们看啊，把这些常数啊给它提出来入积我们积分的话，你看是对 y 变量积分，那其他的都看成常数了是吧？ t 也提出来啊，好，零的 对， y 得乘进去了啊。乘进去 y， 减去 y 方 d， y 积分也不难哟。入 g t， 这个是圆函数，它吧，减去这个先抄下来 y 的 平方的圆函数， y 三次方除以一个三嘛。好，零到根号下，一键提方 入 g， t 上线带过来就行了，下线一带是零嘛，上线带一下好，它的平方嘛， 底下上面它的三次方，一减 t 的 平方，开方的三次方是不是它呀？底下开方其实就二分之一次方嘛，那就减一个二分之一，把它消掉，这是不是一个一了呀，好，没了啊， 看一下，一减 t 方，提出来二分之一减三分之一，那就是六分之一嘛，六分之一一减 t 方对不对？这个 t 也可以乘进去嘛？ t 减 t 的 三次方， 好，我们可以看出来啊，这个力呢，关于 t 的 一个函数是不是这个力啊？是关于 t 的 函数，就是我们刚刚一开始给大家说的嘛， 你这个力的一个大小是跟哎这个直角边的一个长度是有关系的，对不对？这个 t 的 话，它的一个范围它肯定是大于零的嘛，对不对？你长度嘛，肯定要小于斜边嘛，你直角边一定小于斜边的是不是？好， 那也就是说这个关于 t 的 一元函数在这个区间上求最大值不就行了吗？对不对？提取什么的时候 f t 最大吗？这咱们都会了吧，求导就完事了。 一减去三 t 的 平方哦，令导函数等于零解柱点就行了是吧？可以得柱点，你会发现就只有一个 v 一 的一个注点就是三分之根三， 唯一的注点一定就是极大值点，你看是不是？等于零的话，三 t 方等于一， t 方等于三分之一， t 等于啊， t 等于正负，三分之根三 t 不 可能取负的，所以只能取正的，这个点就是好这个函数啊，唯一的一个注点，那它就是 最大之点是吧？当 t 啊，就是取这个三分之根三的时候吗？压力是最大的啊，好，选 a 就 行了，对不对？当然你也可以令它大于零解一下单增区间，小于零解一下单减区间，你会发现啊， 三分之根三到一就是单减的，零到三分之根三就单增的，哎，这个点就是啊，几大几点？最大之点吗？唯一的几大之点就是最大之点，这都没有问题了啊，好，净水压力微元法是吧？一点点分析也不难吧。相似三角形啊。好，那这个题就讲到这了。

好，我们看这个题啊，数一数二，求弧长或者求侧面积的题目，把相关的公式课下推导一下。哎，我们考试的时候，做题的时候直接用公式背下来就行了是吧，你知道它怎么来的，然后背下来，因为你知道怎么来的之后你背的快嘛。 好，那这个题的话，你看 y 关于 x 函数是吧，那直接就用这个公式就行了，这很好记吧，做几个题其实你就记住了啊，好， s 就 等于六分之 pi 到三分之 pi 是 吧，一加上 y 对 x 求导的平方好开放， d x 其实，哎，公式记下来，接下来就考察的是定积分呀，六分之 pi， 三分之 pi， y， g， x 的 等函数，我们求一下负函数求等，先是 lone 求等，再是 c 求等 cosine， 这不就是 cosine x 的 一个平方，那不就等于 cosine x 的 平方吗？是吧，这个公式该记的都记住了吧。 好，默认记住了啊，敲 second x 的 平方在开方呢，是不是要加个绝对值啊，这个思考的过程别忘了，别直接就去绝对值啊，我们接下来再去绝对值。敲 second x， 我 们知道是 c x 分 之一， c n 在 六分之拍到三分拍正的，所以它也是正的，这个时候可以去绝对值了。哎，别忘了提醒一下自己啊， 它的一个积分公式我们是背下来了吧， cosinex 减去 cosinex， 有 人说还没背下来，我看谁没有背下来啊，赶紧插出去，背完再过来。好，上下线一带 我们看啊，这个 cosinex 我 们知道是它 cosine 的 x 呢，我们知道是 cosine 比上一个 sin 是 吧，看一下，这是六十度吧，这是三十度啊，上线是六十度， sin 六十度， sin 六十度是 cosine 三十度，二分之三倒数一下。二分之三。倒数跟三分之二呀。 减去 cosine 的， 那就是它。我们把六十度一带 cosine 六十度就是 sin 三十度，是吧？二分之一 sin 六十度就是 cosine 三十度。二分之根三。好，二分之一除以二分之根三就相当于乘以根三分之二嘛。 好，是不是根三分之一啊？哎，不管怎么样，你给它搞出来就行了啊。减去下限一带，下限是一带。 sin 三十度二分之一，倒数一下就是一个二了。 好， cosine 的 三十度， cosine 三十度，二分之根三是吧？除以 cosine 三十度，二分之一，除以二分之一就乘一个二，所以就是根三。 好，慢慢来啊，别算错了，它绝对值。可以直接打开啊。好，根三分之一 后面呢？也是可以直接打开。都是正的嘛，是不是零减零不就等于对数相减，是真数相除啊。一除一个根三，再除以这个二减根三，是吧？它俩相处 这时候我们可以有理化一下吧。分母有理化，分子和分母都乘一个二加根三，再乘一个二加根三，就是四减三是个一了，是不是还剩它了？它的话，我们分子乘以根三，分母乘以根三。 哎，这有问题吗？重来，重来啊，感觉有问题啊。是一比上一个根三乘一个二减根三，是吧？上面乘一个啊， 二加根三，下面乘一个二加根三是一个一，所以就是一个根三。好，我们这个时候其实是可以化减成两部分吗？是吧？是一加上根三分之二，而根三分之二的话可以再化减一下啊。 好，你要是这个时候不想花钱不能不写两两部分应该也是可以的啊，尽可能花钱吧啊，根号一般我们要写上面的啊，分子分母都乘一个根三的话是不这样的。好就行了啊，或者你就是上面乘一个根三啊，刚刚写的也对， 下面乘根三就是三了。你这样写也行啊，只不过说我们这个哎，更简化一些吧。好吧，零一加上三分之二倍的一个根三公式，记住认真计算啊，定积分就行了。好，这个题讲到这了， 好，我们看这个题啊，还是啊，求弧长的啊，我们看啊，他用哪个公式把公式一套就行了是吧，一看就是这个型号的嘛。 这个 r 法的话是啊， c 倒他写的啊，就是零到一嘛，然后 r 等于 e 的 c 的 次方是吧，平方一下，然后 r 对 c 的 求导平方一下加到一起开方，就这样的公式记下来就行了。零到一是不是根号下 好它的一个平方，那不就是它吗，它求导的一个平方求导还是它自己啊，是吧，再平方一下，哎，其实它长的一样吧，那不就是二倍的吗。 好，零到一这里面就是二倍的， e 的 二倍的 c 的是吧，这个根二的话是不是可以提出来呀，然后零到一还剩的是 e 的 二， c 的 开方不就是这里除以个二吗，不就是 c 的 e 的 c 的 次方吗？ e 的 c 的 次方。这个啊，定积分是比较简单的啊， 是吧，直接抄过来，这不是带元函数吗，剩下线一带，哎，都不想写了啊，太简单了， e 的 一次方减去 e 的 零次方是吧。根二 e 减去 e， 谁要错了哈，反思一下自己啊，好，这个题就讲到这了。 好，我们看这个题啊， y， x 有 方程确定，哎，这是有方程确定的一元也函数啊， 好，曲线从这个点到这个点的一个长度，还是考察的弧长公式，你有没有记住，对不对？我们常常用的啊，是这个，你会发现啊，你用这个公式的话， 很难求出来，你这个时候怎么办呢？好， y 既然是关于 x 函数，那 x 也是关于 y 的 函数啊，是吧，你转换一下思维就行了，这里会对照啊，我们后续十五张微分方程有同样的一个思想啊， 就说我们会发现有一些温方程，我们去，哎， y 对 x 求导表示不出来的时候啊，你得想一下，给它调个个，我们给它转化为 x， 对 y 进行求导。好，这个时候可能就转化为，哎，这个 我们常见的啊，这个几种文件方程之一了，就可以套公式了。哎，就这个啊，你可以这里记一下，就是这同样的一个思想啊，你可以看一下，我们如果带这个公式的话，是要把 y 对 x 导函数求出来的。 好，首先 y 它是由方程确定的，引函数，你是根本写不出来， y 等于多少多少， x 显现不出来的，它不是写函数嘛，显现不出来是不是？这是第一点 好，第二点，有同学说我直接两边，对吧，你还说我求导呢，对 y 这个求导你仍然解不出来，你看，我们对 y 求导的话，四 y 的 一个三次方， 对吧？减去六这里啊， x 求导， y 不 导， x 不 求导， y 对 x 求导。好，你看你想要把 y 一 撇表示出来吗？是吧？ y 一 撇还是很难搞的，对吧？所以说这时候就要转换思维了啊，就是让 x 跟 y， 哎，你这个 调个个啊，对，问方从这这一张的时候是一样的，调个意思就是说，对吧，你别用 y 对 x 求导了，用 x 对 y 求导，一样的呀， 对不对？好，你均匀变量变成 y 了而已。本来，哎，应该是 x 是 吧，我们常考的是这个嘛。好，本来应该是它到它用这个公式，哎，不也不能说本来吧啊，一般是用它的。现在啊，换一个想法了，那就是 y 变量 积分变得是 y 了吗？那这个啊，上下线就变成他跟他了是吧，没啥区别呢。哎，这个这个可以画一个啊，你可以在你的笔记本上记上啊，练习册上就不要做任何标记啊，记下来这样的一个思想啊，小同学们。 好，那我们是不是哎要把 x 关于 y 的 一个表达式写出来，或者呢， 你是两边同时对 x 求的都行的啊。好， x 关于 y 的 函数，这是可以显现出来的了啊，你会发现六 x y 好， 这个挪过去啊，那就等于 y 的 一个四次方加一个三，好出一个六 y 啊， 这不就是 x 关于 y 的 函数，你看就写成显函数的形式了，这多好啊，我们想要的就是 x 对 y 的 一个导函数的一个表达式，是吧，好，求导不就行了吗？ 这个六六三十六平方分子求导四 y 的 一个三次方。分母呢？不求导，减去分子不求导分母求导是个六， 整理一下吧。好，它分子分母都有一个六，我们先去化解一下，把六都消掉啊。四 y 的 四次方减去 y 的 四次方加三六消掉了，还有个六 y 的 平方， 四 y 的 四次方减去 y 的 四次方，三 y 的 四次方减三，是吧？六 y 的 一个平方三三除以三，是不是变成它了呀，好，直接化解了啊， 写两部分吧，二分之一 y 的 平方减去二分之一 y 的 负二次方，是吧？这这一部分好，这个没什么说的啊，你认真一点呀， 或者呢，我们，哎，等式两边对 x 求导，哎，你要把这个啊，你给看成啊， x 关于 y 的 函数，不要看成 y 关于 x 函数了。我们对 x 求导的话啊，我们对 y 求导啊，对 y 求导。方程两边对 y 净求导。那么 y 的 一个四次方的话，我写一下了啊， 方程两边同时对 y 求导， 左边是不是四 y 的 一个三次方来？好，就到这了，减去六倍了。我它俩啊，它俩我是看成这样的，六就放在这，好看，这部分分成两两部分。乘法求导公式吗？ x 对 y 求导是吧？我们对 y 求导了 x 关于 y 的 函数啊， x 对 y 求导，左边求导，右边不求导，加上左边不求导，右边求导， y 对 y 求导，就是一了，是吧？好，这这后边都是零了啊，搞清楚啊， 好，那就是四 y 的 一个三次方减去六 x 对 y 求导。好， y 再减去一个六 x 等于零，是吧，这都给它除一个二吧，二 y 的 一个三次方。我这个在草稿上进行了啊，二 y 的 三次方减去三 x， y 一 撇， y 减去三 x 等于零。我们想把 x 对 y 的 等数表达式写出来，是吧？这个又移过去，好，左边就是它跟它的呀，移过去之后，我们想要的它再除一个三 y， 对 不对？现在是这样的啊， x 对 y 的 一个表达式，现在就是二 y 的 三次方减三 x。 好，三 y， 那 这个时候我们看一下啊，哎，这个 x 对 y 的 一个导函数的话，这里面应该都是 y 啊，哎，不要着急嘛。三 x， 三 x 的 话啊，这是有六 x， 其实我们一开始的时候啊，不化解是最好的，我直接还要给他搞回来。四，我出现六 x， 这不就跟题目对照上了是吧。六 x 我 可以解出来呀，它表达是是不是六 x y 我 们是知道的，看好移六 x， y 移过去啊，移到右侧对 y 的 三 y 的 四次方加三 是吧，好，这六 x 不 就出来了吗，就是 y 的 四次方加三除以 y 是 不就行了。四 y 的 三次方。 这里也可以化简一下，行两部分， y 的 三次方加上三乘以 y 的 负一次方，是吧，好，这里啊，六 x 拿过来， y 的 三次方加上三 y 的 负一次方。括号去掉吧，减去它，减去它。好，除一个六 y。 看啊，一样的，上面就是三 y 的 三次方减去三 y 的 负一次方除以一个六 y 三削一下，三削一下，三削一下，还剩一个二，好，仍然给跟上面写的一样啊，二分之一 y 的 一个平方减去二分之一 y 的 负二次方，是吧， 这个我就放到这啊，你可以看一下。好，这个跟这个求完了是吧？一样的啊，不管怎么求都求完了啊，我们现在呢，好，把这个互换公式写过来， y 的 一个变化是一到二，是吧？好，根号下一加上 x 对 y 求导的平方了啊， 顶 y， 这里呢，已经求得了 x 对 y 的 一个导函数吗？是吧，写过来， x 对 y 的 一个导函数就是它吗？它的一个平方是吧，我们直接平方吧。直接平方啊，四分之一 y 的 四次方，减去二倍的它俩相乘，二根二分之一消掉了， y 二方， y 负二方也消掉了，就是一个 负二分之一了，是吧？再加上四分之一倍的 y 的 负四次方。同学们做这样的啊，带根号下的题目，这里边还有一 一堆东西的，你得有一个想法，就说这个根号通常是可以消掉的，也就说这里边通常是可以写成一个完全平方式的，谁的一个平方，我们再开方是可以把这一个啊凡人的根号给消掉的，它是有这样的一个 小技巧，你需要知道它的一个意思啊，哎，不然的话你根号是吧，这里边又乱七八糟的，你让我怎么去记分呀？所以出体人一般来说都是让你配成一个文凭方式再开放。好知道这个想法啊，这个想法好，那你看你整理一下，一到二， 这不就一减去二分之一，不就是一个二分之一吗？是吧？加上四分之一 y 的 四次方，加上四分之一 y 的 负四次方， 哎，他能写成谁的平方呀？你心里哎，应该知道了啊，告诉你完之后你就知道这个想法了，谁的平方呀？哎，你自己一看就看出来了，是不是？他不就是二分之一 y 的 平方加上二分之一 y 的 负二次方的平方吗？你看对不对？ 他这个平方不就是他吗？他这个平方不就是他吗？再加上两倍的，他俩相乘，不就是一个二分之一吗？ 平方在开方啊，那么我们说需要加个绝对值，是不是？其实绝对值这个时候是可以去掉的，但这个思考的过程一直在强调不要忘掉啊，是吧， 为什么可以直接去掉啊，这都是正的呀，对不对？ y 是 一到二平方也是正的，这都是正的啊，所以说，哎，直接这样就行了。好，这都很好求了啊， y 的 负二次方，这里就可以给它写成 y 的 平方分之一了。其实 好，他的一个原函数是二分之一，这就是 y 的 一个三次方除以三就是六分之一，是吧，我们可以写成两部分，求啊，二分之一往这一写， y 的 平方分之一的原函数是负的 y 分 之一，是吧，这得很熟练吧。负号啊，别忘了。 好，上下线一带吧，看这里啊，六分之一二的三次方，八八减去一七吧。我直接写了啊，再减去二分之一乘以这一块二分之一减去一负的二分之 一，算一下啊，六分之一 加上一个四分之一，对吧。你可别看成这个时候啊，你可不要看成负二分之一减二分之一了，他俩可是相乘的关系啊，这有有同学就会犯这样的错误啊，你看是不是。你这是整个是四分之一啊，好，十二分之 二，七十四三是吧，十七除以一个十二好就行了啊， 你看需要注意的点，就是说好用这个公式行不通了，那就用它呀。微分方程那一张也是啊， y 对 x 导函数求不出来的时候，你求一下 a 对 y 那 个导函数，那个时候你求完的表达式好，大概率就可以去带我们背的一些啊。求微方程的一个公式了。 好，一般是可分离变量那一块的啊，一阶的限行微分方程，同学说没学到，没学到也没关系，先去记一下这个思想啊。好，这个题讲到这了， 好，我们看这个题啊，曲线与其过原点的切线以及 y 轴所围成的面积，看一下选项啊，面积没让你求出来，只是让你表示出来就行了，是吧，这不就是考察定积分的几何意义吗？表示的面积，这个图呢，你可以简单画一下的啊， 其实图哎，你稍微勾勒两下答案就选出来了啊，因为它出的比较简单吧，你看这是 y 的 等 e 的 x 方图像，是吧，过圆点的切线，这个可以 画一下切线假设这是切点的话啊，他过远点啊，这是切点好，没切住啊，就是他了好，嗯，有切线好，有这个曲线，还有这个 y 轴是吧，再换一个笔啊，有他，有他是吧，还有他 这是封住的啊，这是封住的啊，这是画的问题好，不，就是这块的面积吗？对，这块面积的话，其实我们啊 看一下，那不就是 e x 四方减去一下，这个红色的就是我们的过圆点的切线的一个方程是吧？切线的一个方程 y 一 吧，然后再零到谁，是吧。这个切点的横坐标求出来，上面进行积分就行了，是吧，你看谁像这个样子呀， 对吧，他俩像，你这是这个不行，对不对？这不行啊，所以说我们选的话，切线的话，那，那肯定就选他了，你这都不是切线是吧，切线是一根直线吗？不是直线方程，其实瞄一眼选项的话就是选 b 了，你觉得呢？ 那我们去求一下啊，为了确保，是吧，那我们把切线方程求出来，点斜式啊，点斜式去求一下，这个点的话， 我们给它设为这个 x 零，好，它是这个曲线上的一个点嘛，是吧，所以啊，这个点的横纵坐标都给它求出来了。点斜式求一下这个切线方程啊，好， y 减去 y 零等于 k 倍的 x 减 x 零， k 就是 切线的斜率，切线的斜率的话就等于函数，这个函数在这一点的导数值呀，是吧？好，导数的话是 e x 方，把这一点带进去，对不对？所以啊，这就是切线的斜率啊， e 的 x 零次方好， x 减 x 零， 因为这个切线方程它是过圆点的，我们是可以把 x 零定出来的呀，是吧，它是过圆点的啊，所以零零点可以代到啊，这个切线方程里面，零一代的话，这边就是负的 x 零乘以的 x 零四方， 是吧？这边的话，零减去嘛，零减去就是负的一的 x 零四方，是吧，这个跟这个就等于个一了呀，是吧，所以 x 零就等于一， 这个横切点的横坐标就找出来了，是吧？零到一啊，切线方程就求出来了，是吧？这个点呢，是一 e 的 一次方吗？好，这个斜率不就是 y y 除以个 x 就 行了吗，是吧？就是一个 e 啊，所以切线啊，从这里就能看出来了，就是 e x 就是 e x， 或者你把 x 零带到这里面也行的啊， y 减去 e 的 一次方就等于 e 的 一次方， x 减去个 e， 对吧，这就是 e x 方，减去个 e 减 e 减 e 消掉了 y 就 等于 e x 方也行啊，从图上一眼就能看出来啊，起眼方程呢，就是 e x， 好， 那就选 b 了，是吧， 这个没问题吧啊，我们零到一区间上，对它进行积分的话，面积是黑色的这一块好，对它进行积分的话，面积是这一块，所以他们一相减的话，不就是紫色的面积吗？其实这两根曲线相减是吧，零到一起区间上积分就行了。好，这个题就讲到这了。 好，我们看这个题啊，选择题，体积的考察，我们说这块简单的题的话，直接套公式，这两个公式很好记啊，记一下可以的，稍微复杂一点，你搞不清楚的时候啊，用二种积分法就行了。好，我们看一下这个题，你的图你可以画一下吗？简单的描一下。 这个 x 平方和它都是正的呀，对不对？哎，都是正的，那我们的曲线就在 x 轴上方，其实已经明确了，它就属于简单的题。对，你也可以画下图啊，当 x 取零的时候是取零，当 x 无穷区域无穷的时候啊， 去无穷的时候，这是 y 吗？是吧？他是去零的，因为他去无穷的速度比较快嘛，所以极限为零啊。那大概图像就这个样子的是吧。哎，其实也不关键，我管你长啥样呢，反正你在 x 轴上方，他就直接用这个公式就行了。比较简单的图嘛，是不是好公式一套啊。 这是零到正无穷吗？是吧？拍 y 的 一个平方， y 的 平方，这里平方一下啊，我们还是写一下吧， 零到正无穷，拍 y 的 平方 x 次方 e 的 负二 x 次方 d x， 这个时候怎么处理呢？好，看到零到正无穷，这里面有密函数，指数，函数，区间是零到正无穷，你一定要敏感一点，想到伽马函数，伽马函数就是零到正无穷，密函数只会有函数，这种形式是不是必须要想到啊？必须想到，而且这里要求记的很熟练。 好，你，你真的没有想到，我真的是强调多次，希望你记住啊，假设真的还是没有想到或者公式忘了，最后这些 记记记得想不起来的时候啊。那你可以采用咱们的表达法是吧，但是四次方就比较复杂了，所以还是干嘛函数啊，建议接下来干嘛函数也凑它形式吧，是吧。这是负 x 次方负的啊，一个变量是吧，负的一个变量。那我就令二 x 得等于个 t 吧，是吧。哎，令 二 x 等于个 t， x 呢就等于二分之一倍的 t d x 呢？二分之一倍的 d t。 好， 我们看一下啊， 换元要三换嘛。当 x 取零的时候 t 呢？取零是吧，当 x 取正无穷的时候， t 也是正无穷 x 一个四次方 x 现在就是它了是吧。四次方二得四十六了啊。对，四次方好，接下来是 e 的 负的，哎，就是 t 了。 d x 呢就是二分之一倍的 d t 是 吧，把系数提一提啊，三十二分之 pi 零到正无穷 t 的 四次方， e 的 负梯次方。现在已经凑成干巴巴函数的形式了吧，是不是？哎，我们现在其实写的这种形式，这种形式的话直接就等于 n 的 结成，看到没，这个 n 是 不是取的四呀，哎，四的结成呀，好算一下啊。 四的结成四三二一是吧，这底下是一个三十二，还有个拍二四得八，这里需要一个四四分之三拍吗？ 是吧，你这多快呢，干嘛还是要求必须记住啊，没记住的你赶紧出去记一会再过来。好吧，记住了再过来。那好，我们也说一下啊，退路是吧，实在没招的时候你就退路了。退路就是用表格法或者凑微分。那凑微分这还有符号啊，更容易出错，所以还是用表格法。 这实在想不到方法，想不到这个啊，哎，怎么写的这个忘掉的时候就用它 x 的 一个四次方，这求导用好几次啊。四 x 三次方，十二 x 平方二十四 x 二十四再零是吧。写着写就不想写了，不想写了，你想写吗？ 写吧，这 e 的。 你看这求积分也是会有填负号啊。填负号，我们求一次就填一个负二分之一是吧，还是啊，不管错位分还是表格法，这里有符号就容易出错，填个负二分之一。填一个负二分之一 是吧。不写了，我不写了，写着写着就头疼啊。所以说还是要求啊，掌握看把函数得了啊。四分之三排好，你不头疼，你写一下。好吧。好，这个题就讲到这了。 好，我们看这个题啊， f x 好 绕 s 轴，哎，旋转一周所得全面积。这个啊，就老生常谈了吧，应该都不陌生了把。这个图呢，你可以简单画一下，你心里有个谱，它是不是属于我们这个简单题这一类的是吧。 好，怎么画呢？求个导呗。有同学都把这个图都记住了，也没有必要记啊。求一下导，画一下 x 求导， no 不 求导， x 不 求导， no 求导是吧，我们令导还说等于零的话可以解一个注点。 注点，哎，等于零的就是负一是吧，那就是一分之一啊， 对不对？对一的话是不是可以写成高一啊。这个符号上去好，注点是为一的啊。那我们看大于一分之一的时候， 大于一分之一就是它，是它大于零嘛，解出来的导函数就是大于零的嘛，对不对。函数就是单增的， x 小 于一分之一呢，我们讨论的是 a 是 零到二之间啊。 好，导，函数就小于零了，对吧？单减，先减后增，这个点是一个极小值点，也可以去求一下啊，极小值是正的，是负的一分之一乘以零一分之一不就等于负的一分之一吗？是个负的是吧？这里啊，是一个极小值点， 先减后增，咱们是零到二啊，这个区间。好，这个是零。哎，不对啊，是一分之一是吧？这是二后增，这个点对应的函数值呢？是小于零的嘛？先减后增， 二对应的是多少？二乘以零，二是正的了是吧？正的了啊，应该这样了，先减后增嘛， 减的话，我们看 x 趋于零的时候是不是求极限啊，这，这我们让大家多次啊，必须掌握的一个知识点，是吧，求极限嘛，哎，再去零的啊， 这图就大概这个样子嘛，所以它就属于简单类型的，对吧？图非常简单，就直接到带公式了，属于这这一型号了。好，那我们直接带啊，它就等于零到二，拍 y 的 一个平方 d x 是 吧？拍啊，零到二 y 的 平方 x 方零 x dx。 这个时候积分看一下，有有有几种想法呢？至少两种吧，两类函数，想到凑为分，分布积分是吧？两种，两类两类别的函数吧，把它凑到后边， 或者看到了密函数，对数函数，对数函数是可以往指数函数上面进行靠拢的，便让代换一下， 而密函数跟指数函数相乘，或者密函数跟三角函数相乘，是可以采用表格法的。这块一个思想同学们可以记下来，因为做题嘛，最主要的就是一些想法是想不到的，当你没想到的时候，你就记下来，我学到这个题，有收有收获，对吧？ 就是有这个题做的就有意义了啊，也就说我们见到，对吧？这个密函数，比如这个题和对数函数，那么想到啊，给它化为这个密函数， 乘以指数函数作变量代换令，当 x 等于 t， 你 看 x 两边同时取指数， x 就 等于 e 的 t 次方了，是吧？ x 这里就等于 e 的 t 次方，那平方呢？ 以 x 等于 e 的 t 次方啊，这就是这样的了。好这一块啊，龙眼， x 现在变成 t 了，是这样的变化啊，别搞错了， 总之我们把它另成一个 t， 就 会把它俩相乘，变成密函数跟指数函数相乘了，是吧，就可以用表格法了，这是一个思想啊，所以我们两个方法也都讲一下，你看你啊， 觉得哪一个更好呗。好反义就是凑一分，这个是必须要想到的是吧？两类函数出现的时候，能凑就凑啊， 拍是吧？零到二肯定是把 x 平方往后凑啊， x 等于个三次方，那你再补一个三分之一吧。 第一部分好， x 三次方零， x 的 平方零到二减去。你写两部分的话，别忘了系数啊，要么你就把系数整个放到前面。对啊， 注意啊，别错了，系数有时候会忘了。好，零到二， x 三次方，对它求一分，求倒吗？先平方求倒啊，二倍的零零再求倒是它好。第一部分 三分之二得四，二四得八吗？是吧？这个是等于二，这个平方下线一带啊，这就是求 x 去零正的极限了，是吧？无论你多小，你多大，只要它俩大于零，极限就等于零，减去三分之 pi 还有一个二。 好，这里面是 x 的 平方 lonely x 对 不对？仍然两类函数凑为分，分布积分三分之八排 lonely 二的平方减去 三分之二排，乘以零到二零 x d x 三次方补一个系数三分之一。好，这个认真计算就行了啊。减去九分之二排， 我们这时候可以啊，给他写个括号啊，这个减号出现的时候容易出错啊。 x 三次方。 好， loan x 去吧。零到二减去零到二 x 三四方 d loan x 就是 x 分 之一 d x， 这个时候你可以再去去这个就不容易出错了，是吧？减去它，这就是加了，加的话，你注意啊，我们前面有一个整个的一个系数，不要忘了加过来， 你要写成几部分的话，就这样。好，三分之八 pi 零二的一个平方减去九分之二 pi 二得四，二四得八，是吧？零二零一带还是取极限等于零了。九分之二 pi 是 吧？ x 三次方除以 x 就是 平方嘛，是吧。平方的原函数是三次方除以三，我直接写了吧。好吧， 三分之一可以跟这里写到一起，三九二十七嘛。所以三分之一不要看了啊，二得四，二四得八了啊，八二八一十六，对吧？就这样了啊。好，我们可以把拍提出来，三分之八倍的 lon 二的一个平方减去 九分之二倍的 lon 二，是吧？加上二十七分之十六， 看着不太像一个结果，但它其实就是对的，你相信自己是吧？大不了你有时间的话，你可以再用别的方法，比如我们法二再去求一个结果去验证，但一般来说没有时间啊，就是我们想往表格法上面进行去靠拢，就要把零 x 进行 变量代换，令它等于 e 的 t 次方 d x 就 等于 e 的 t 次方 dt。 好， 我们看 上下线的一个变化啊。换要三换，当 x 取零，其实就取零正吗？取极限劳力零正是负无穷，劳力二就是 t 了啊。当 x 二的时候， t 取劳力二 x 的 平 方，是吧？劳力 x 是 t 了，那就是 t 的 平方了。好，接下来是 e t 乘以 d t 吗？是 d x， 这不就是 e 的 三 t 次方，这个时候就可以用表格法了，是吧？好，这是 t 的 平方。求导，求导求导， e 的 三体次方哟。积分一次多一个三分之一，再积分一次又多一个三分之一，再来一次又多个三分之一，是吧？看着很复杂的，很简单呀，交叉相乘，正负相减变函数就有了啊。太， 这都有一个 e 的 三 t 次方，提后边儿得了啊。三分之一 t 的 平方，看一下，减去九分之二 t 加上二十七分之二，是吧？上下限， 龙以二好抬，上线一带三分之一，龙以二的一个平方减去九分之二，龙以二加上一个二十七分之二， 去吧。还有一个啊， e 的 三 t 次方，三乘一个零二，三上去二的三次方八， e 的 零八就是八呀， 整个啊，再乘一个八，是吧？这是上限带入的结果，减去下限带入就是取极限吗？取极限啊，这里可以这样看好，这个是 密函数，下面呢是指数函数，对吧？因为他去负无穷，我们可以把 e 的 三次方给他写成除以 e 的 负三次方。 负无穷在添个符号，就是正无穷，所以去正无穷，你也是去正无穷，对吧？抓大就不用看了，他去正无穷的速度更快，所以极限就等于零，下限带入的结果去极限等于零了，所以就前面这块结果，乘一个八， 三分之八倍的 lonely 二的一个平方，是吧？减去九分之八倍的一个 lonely 二，加上二十七分之十六，整个再乘一个 pi 看一下，跟上面的结果写的一样不？ pi 写到哪都行啊，写到后边更好看一点吧，是吧， 三分之八倍的减去九分之，哎，减去九分之，这里是不是二八一十六啊，九分之十六倍的。 好，这个题呢，就讲到这了，梳理一下，好，我们看这个题啊，曲线在零到一曲线上，长度互长公式的考察，是吧？哎，记下来这个题直接就它了呀，好， 还是考七分的啊，顺便考了一个小的一个公式，零到一区间上，是吧，一加上 y 对 x 求导平方啊，开方 d x， y 对 x 求导的话，这简单的很啊，是吗？就是一个 x 好往这一带啊，零到一，一加上 x 的 平方，开方 d x， 对 于这个根号下啊， a 方加 x 方啊，其实它是有一个不定积分的一个公式的， 但很多同学记不住的啊，包括我写着写有时候也是记不住的，所以我们根本就不要求大家去记，有些同学说，又开始杠精了，是吧，我就能记住，行，你能记住啊，那你考场上千万不能写错。好，这里要求大家呢，是 记下来它的过程，就说有时候这这个这个题是一，是吧，那有时候它改成 a 的 一个平方，你也得会啊。不管是啊，这个写成这里加 a 的 平方，还是说减 a 的 平方，我们让大家记这个推导的过程也是很快的啊。 嗯，更加推荐的是第一个方法，用分布积分的方法把它的一个啊，哎，不定积分的结果推导出来，它在里边啊，会再次的出现。哎，这一个我们所谓的这个 i 跟我们前面说过的啊，推导它的一个过程 很像，是不是在推导的，你看，在写的过程中啊，我们在求它的不定积分的过程中再次出现，看到没负的 i 会再出现，你就记这样的一个过程，对比着去记忆， 反正你知道分布积分去求它的一个对应积分结果好，推一下就行了啊，我这里，呃，这个啊，这里写的是 a 的 平方，我过程都已经写到这了，同学们课下一定要自己写一下，去对照一下，好吧，好， 分布积分是优先推荐的，那第二个推荐的呢，对吧，有它其实就不用有它了啊，这个三角画圆也可以，但它没有分布积分更快啊，直接就是 u v 减去 v d 为底 u 嘛，更快一些啊，你看三角还原就，哎，稍加了有点费事啊。同样也是出现会出现负 i 的 啊，最后啊，把那个负 i 移到左边，会 i 二 i 二 i 有 了，那 i 不 就有了吗，是不是好，还是建议啊，把这个根部积分掌握了啊，推导它的过程就行了， 这也是一样的。这就我刚刚说的啊，不管是加 x 方加 a 的 平方，还是 x 方减 a 的 平方，都推荐的是用分布积分把它的一个不定积分的结果推出来。课下啊，我要求同学们必须自己去写一下 啊，能够达到要求的啊，扣个一我改，我肯定是抽时间会看一下大家弹幕的啊，能达到要求的扣个一啊，扣下去啊，做一下不能达到要求的你扣个二，你先退出去，退出这个视频，反思一下为什么你不愿意是吧，去涨一些知识呢，你愿意了之后你再过来啊，再再继续听讲。好吧， 那我们现在已经知道了。好哎，咱们就用分布积分去推他的一个啊，这个 元函数是吧，不定积分求出来再再把上下限一带嘛。好吧，那就直接好分过积分嘛，直接开始了 x 啊，根号下一加 x 方是不是零到一减去再减去一个啊？零到一 x 好， 对，它求微分，求倒是不是，求到的话，这个也比较简单吧， 等于二倍的根号下一加 x 的 平方分之一这里边，是吧，再去求到啊。二 x x， 二跟二消掉了是不是？所以啊，这就是 x 比上根号下一加 x 的 平方好， d x 我们看一下啊。第一部分可以先给他计算一下吧，是吧，上限一代的话，一一加一是个二，根二零一代是个零了啊，减去零到一，这后边是 x 平方，除以根号下一加 x 方， 我肯定要去凑你这个，这往分母上去凑啊。好，我加一个一，因为分母是哎，加个一嘛，那我再减个一，这个看成一个整体是吧，我们就把它拆成两部分了。这常见的套路啊，做过了，这样的有点函数积分应该是没问题了。第一部分的话 好，不就是 a 除以根号 a 的 意思吗？就等于根号 a 是 吧。根号下一加 x 平方 d x， 这是不是就出现了我们说的这个 s 了呀？就说这里的 i 的 意思是吧。第二部分的话就是加上零到一一除以根号，下一加 x 的 一个平方，对不对？ 对他来说的话，我们要求啊，背会他的一公式，是不是在学极限的时候就要求大家掌握了，有一些题目就会出现，分子就是它，分母是另外的东西，就是零比零类型的，我们采用洛比达的时候，好，这个玩意在分子上，哎，我们就求导，就是他， 对他的求导是他，他的积分是他来来回回的啊，怎么考你都得会是吧。好，那这个就是负 s 是 负的 s 了， s 就是 他了，二 s， 这移过来二 s 就 知道了， s 不 就知道了吗，对不对？可以再写一步啊，就等于根二减去 s 加上 long， 这是 x 加上一个根号，下一加 x 方，这绝对值是可以直接啊变成括号去掉的。这是都是正的嘛，对吧？都是正的啊，没问题。好，所以二倍，这应该还有个上下限啊。 对，二倍的 s 吧，我们之间啊，挪过来。好，这边就是根二加上零，我们看上限一带一加上一个根二是吧？下限一带的话， 这是零一，这，这个是零加上一个一加零是一吗？零一是零了，所以就不用写了吧。所以 s 对 吧， g s 就 等于二分之一倍的，它俩相加不就完事了。根二加上零一加上一个根二， 这就行了，是不是好说了啊，还是希望同学们啊，掌握一些快速的一个方法，不要去当杠精啊，总有人当杠精。好你，你三角花园可以，但你慢了吗？对吧，我们也可以做一下。好吧，我们也做一下，但你以后遇到这样的题，你就听我的就行了啊，分步积分快啊， 好，或者哎，不太推荐的三角还原，因为我们看到平方加平方，说了你要想到三角还原的，但对于这个型号的，你不用去想到它也可以的。好吧，那这个型号呢，我们就是令的 x 等于这个贪婪的 t， 对 吧？ 哎，这如果这个型号的话，就是 a 乘以贪婪的 t 啊，一个意思好，那 d x 呢？贪婪 t 的 一个平方 d t 是吧，这个 s 我 们看换元要三换啊， x 取零的时候 t 取零， x 取一的时候贪婪四分之拍是吧，一样 好，这里边就是一加贪婪 t 的 平方，三个 t 的 平方开方是三个 t 对 不对？绝对值是吧？啊， d x 是 三个 t 的 平方， d t 对 于绝对值去掉加不加符号呢？你看一下啊， t 在 零到四十分之间，他是正的呀，是吧，正的直接去掉就行了，但你不要忘了我们有这样的一个过程，是吧，每次都会给大家说一下，有这样的一个过程，思考 好，这个时候刚好就是我们。哎，前面说了多次的三个的一个三次方，求它的一个圆环圆函数的一个过程啊， 怎么求啊，好，咱直接看这了，我就不写了，咱们在第九章的时候是不是，哎，讲讲的挺多的了啊，好，三次方呢，就给他写成啊，三的 t 一 次方和三的 t 的 平方，平方就凑到后面变成第三的了，是不是？然后分布积分好，在这过程中呢，就会再次出现了这个 i 是 吧，好，这个负 i 就 出来了，然后移到左边，好，就来到了最后就是这个样子， 对， i 就 有了 i 其实就是我们这里的啊，它好，我就直接带这个结果了，就不不啰嗦那么多了，同学们都会了，是不是它等于二分之一倍的啊？ 好，三， second t 是 吧，你记住过程这个结果的话，你自然就写对了。 second t 加上一个叹音的 t 去，好，这是它的一个元函数，对吧？上压线一带啊，四分之八零到四分之八 二分之一倍的上限。一代的话啊，贪念四分之拍的话是个一，然后写过来啊，三个的四分之拍，我们知道是等于靠近四分拍分之一，靠近四分拍是二分之根二，对吧，再倒数一下是根二分之二，那就是一个根二呀， 对吧，根二乘一个一，再加上，好，继续啊，这是零，三个四分派，我们说的是根二贪，这是一嘛，所以就是零，根二加上一个一 是吧，零的话是不是零的呀？好，就不写了啊，其实这个结果这个一也不要了，好吧，这样的是不是这个结果？对，总之记住记住这一点啊，不要给自己啊 找麻烦啊，走弯路，平时就是总结一些做题的简洁的路径啊。好，这个题就讲到这了， 好，我们看这个题啊，来看一下主题考的什么呀，先让你体积，是不是我们说了，哎，简单的套公式好，稍微复杂一点的，你就可以用二乘积分的方法，我们把这一个去 d 去画一下，好吧，看一下啊，这个去 d 是不是我们啊，所谓的简单的题的这一块可以套公式的呢，是不是简单题呢？好， y 等于 lonely x 对 吧？ x 等于一，这儿呢？ x 等于一， y 也等于一。好，这 y 等于它 y 乘的一个趋定，你会发现就不像我们哎，说的啊，简单题的话一般就这样的是吧，哎，或者我们建了 c， e， x 这样的一个区域，或者是在下方的， 对，或者是，哎，有上有下的，这都属于简单的，而你看这个区域，现在啊，就不属于这种型号的，是吧，这个简单型号的了。 那我们就二话不多说了，你公式就别套了，你套就错了是不是，你看你区域是这样的嘛，我们平时的是见的是，哎，这样的呀，就看这根线，它与 x 轴是吧，围成这区域，绕 x 轴旋转，现在公式就不要再乱带了，它不属于简单的题了，已经 稍微一点点复杂了，直接就上步骤是吧，二重积分。好，我们看它是绕 s 轴，于 y 等于一是吧，你看它旋转轴，它还不是咱们的坐标轴呢。那更要采用二重积分法了，不然你会哎，很很迷惑啊，有时候会把自己搞晕的， 直接无脑作。行吧，我们看一下 v 一， 它绕的 v 一， 这个体积是 d， 绕 x 轴旋转一周是吧，我们的第一步是怎么找到旋转区 d 已经找到了阴影部分的好内取一点 x， y 点这样了啊，取一点 x， y， 它到旋转轴的一个距离记为 r 绕 x 轴，那距离就是一个 y， 是 吧，好，直接，公式写过来了， 二重积分还没学到是吧？有些同学我们已经说过了啊，你学二重积分再过来，所以 y， d， c 干嘛就行了，对不对？哎，这个时候我们主要就是把二重积分算一下了啊，现在就考察二重积分了。好，那区域 d 啊，在这呢， 这个焦点是不是得求一下呀。是 y 等于零点 x， 当 y 取一的时候， x 是 取 e 的。 好，二乘积分的话，我们可以把去化成 x 型域或 y 型域都可以，是吧，都是比较简单的。那就 x 型域吧。 x 变化是，呃，一到一是吧， y 的 个变化呢？ 哎，平行，于是吧，这个字母就这个轴，就是竖着这根线平行 y 轴呢？好，先交后交。我们可以啊，定下上下线，先交的是 y 等于零， x 后交是 y 等于一对呗。好， y 往这一放，这就算就行了， 这考二零积分，二分积分得好好学一下。这个 y 的 原函数就是二分之一 y 的 一个平方是吧，二分之一 y 的 一个平方，好，这是下限，这是上限这 d x 啊。 嗯，这个二分之一就出来吧。出来了啊，一到一上线一代的话就是一个一减去下线一代就是 lone x 平方是吧？ d x 好， 这个积分很显然就是上线减下线就行了。我们写两部分得了啊， e 减去 e， 再减去拍背的一到一 low in x 的 平方 d x 很 显然分布积分一下就行了，是吧，我单拎出来得了啊， 一到一，不然前面一直带个尾巴是吧，难受啊。拎出来了，目积分 x low in x 的 一个平方，一到一减去，看不清了，换个笔。好，一到一 x， 对 它求微分。求导啊，先是平方求导二倍的 long x， 再是 long x 求导是 x 分 之一，这个就消掉了啊，还剩一个二， 好，这里写不下了，就省一点点可以吧。好，回来第一部分是 e long e 是 个一，对吧，下限一带是个零了，不管了，减去二倍的， 这继续分布积分是吧。 x 龙引 x 一 到一减去一到一 x d 龙引 x， 这是一了 d x 好， e 减去二倍的，这里面 e 乘以龙引 e 一 一样的啊，是个 e 减去零了，这边是 e 减去一，是吧，积分的结果。那减一加一好， 这一减一是不是零了？这整个还剩一个一吗？这就是一减二了呗。一减二这块就是一个一减二了啊，拍 一减一减去一个，拍一减二是这样的吧，拍提出来也就是一减一减去一个一减二，那减一加二，一跟一减掉了是吧？减一加二就剩一个一了，所以就是一个拍啊， ppt 啊，卡顿了一下啊，我们继续好。这个题出的不太好啊，就是我们把 v 一 算出来就可以看一下答案了，我们通常啊，比较大小的时候就算一个结果，你就可以去看一下这个选项了啊。哎呀，养成这样的习惯可以先排除， 有时候它排除完了就提出的不太好。就是说你看 v 一 等于拍，这是拍是吧，拍拍拍 对吧，拍大于二分，二分拍对的，这拍小二分拍，不对吧，拍小二分拍，拍小于二，拍小于二分拍，这直接就排除完了呀。对，直接就选 a 了呀， 是吧。这样的话啊，一般来说不会啊，考研的时候不会说都排除完啊，一般排除两个我们继续去看啊。还是要看的啊，不能你选完就不看了是吧，平时要看一下考试可以不看啊。 v 二的话， 你看他旋转轴，现在变成 y 等于一了， y 等于一，这时候我就说了啊，就更要采用二乘七分法了，不然你会搞的啊。哎，有时候 整的很乱，心里很乱是吧，他旋转出来到底是啥样的呀，还得想半天。不用想了，直接按照步骤就行了。我们在这个 区域内是吧，找一点啊， x y， 好， 他的坐标就是 x， y。 好， 第二步就是他到旋转轴的距离，你说这个距离是多少？不就是这个一， 是吧？这整个这个动作标。这个啊，这一段不是一个一吗？再减去他的一个这个点的动作标，不是 y 吗？不就是这一段吗？不就是一减 y 吗？是吧？好，第三步，哎，二重积分一算就行了，就等于二拍 一减去一个 y， 是 吧？哎， d 是 一个码，算二乘积分就行了，算二乘积分，这时候同样啊，采用 x 形域， y 形域都行，是不是？好，我们比如说这 x 形域，我们已经算过一次了，我们这时候，哎，复习一下，把去化成 y 形域， y 的 一个变化是不是零到一呀？ 零到一顶 y， x 变化呢？平行于 x 轴，哎，在区域内画一根线是吧？这是 x 这左边啊，先交后交，左边是 x， 等于一，右边呢？看这里 x 等于多少呀？ y 等于等于 x， x 的 话就等于一的 y 四方是吧？好，这是一的 y 四方，都复习一下吧，这是一减去一个 y 吗？好，这就是一个一了，这边先算一下，这很显然，上线减下线就行了。 好，零到一一减去 y， 上线减去一个下线 d y， 这时候我们可以给它写成几部分，对吧？二派提到最前面吧。好，第一部分，哎，这个 e 的 y 次方， 它跟它乘，再看一下啊，它跟这个后边的一一乘的话就是一啊，是吧？一一的积分就是一个一了。好，再减去零到一 y 乘以一的 y 次方，再加上零到一 y， 是 吧？底 y， 它们乘完之后是有四项了。四项啊，好，等于二拍第一部分， 第二部分，第三部分，第三部分。这个就是我们常常见他的一个 积分，是吧？常考到他九档，在九档或者同学都直接记下来了他的一个积分结果了，想记就记，不想记就我们采用表格法也很快，是吧？交叉相乘，正负相减， y 减 e， 括号 e 的 y 次方 好，再加上二分之一， y 的 平方上压线零一就是一个二分之一，是不是好？二拍，这里面 e 的 一次方减 e 的 零次方案， 再减个一，再减去这里。上线一带一减一等于零吧。哎，上线是个零了啊，上线带入是个零，下线一带的话，零减一负一一的零次方是一，下线是个负一零减去负一就是一个一了啊，这整个这里是个一，再加上一个二分之一，这个啊，得慢慢算，别搞错了。 好，看一下，这就是一减去减一减，一减三，再加上一个二分之一，是吧？减去二分之六，加一减去二分之五嘛， 是吧。再乘一个二拍，你把二可以乘进去，乘进去，这二一乘进去，再减个五。为什么乘进去啊？因为这里是个牌嘛，我们可以都给他写成牌，乘以多少便于去比较呀。 对，看一下选项啊。他说的 v 二是小于二分之拍的，看一下，他要想小于二分之拍，咱们这样去看啊，如果 a 对 的话，说这一部分就得小于二分之一的意思啊。把拍都去掉的话， 二二 e 的 话 e， 我 们说二点七多嘛，是吧。乘一个二就是五点四多，减去一个五零点四多，对吧？小于零点五对的，所以 a 就 对啊。好，这个也没什么说的了啊，其他的当然都错了，已经排除了嘛， 这个对于啊，他这个题就不是我们平时说的比较简单的题了啊，认真算二重积分。好，这个题就讲到这了。 好，我们看这个题啊，旋转题，侧面积，同学们把公式记下来就行了，这块没什么说的啊。啊，侧面积啊，还有我们说的弧长公式，记住，来，课下你推导一下啊，用这个无言法推导的吗，是吧，哎，记住就行了，我们这个题是绕 y 轴，直接套用公式就完事了。 好，我们看一下啊，这是二拍 y 的 一个变化的话，是不是一到四呀，盯紧了啊，是一到四。好，这里要写一个啊，这个 x 关于 y 的 一个函数是吧， 这里是 y 等于 x 平方 x 呢，就等于根号下 y 啊，保证啊，你写的是一个正的，因为我们求的面积啊，加绝对值是为了保证求得的结果是正的，面积都是正的呀，是吧，后边根号下一 加上 x 对 y， 求到这个平方顶 y。 好， 这里是一个草稿了啊， x 对 y 求到，那不就是二倍的根号 y 分 之一吗，是吧，好，写过来， 一到四根号下 y， 根号下一加上这块平方一下，不就是一除以四 y 吗，好，底， y 是 不是可以通个分呢？这里面啊，通分 四， y 分 之四， y 加一是吧，根号写成两部分吧，这个开方直接开出来得了啊，二倍的根号下 y 啊， 好，二，跟前面的二消掉了，还剩一个排根号，根号消掉了，还剩这一颗了，是吧，一到四四 y 加一开方，那就是它，我们凑一个微分就行了。你有个四，前面要补一个四分之一啊。好， 一或者四 y 加一，看这个 t t 的 二分之一次方圆函数不就是二分之三次方，补一个系数三分之二一到四。好，前面消个二的话，六分之排 上线一带四，四十六十七十七的二分三次方，十七倍的根，十七下线四加一，五五倍的根五，是吧？好，这就是它的结果啊，同时记住啊，你要想画图，你看它旋转出来是啥样的，也可以画一下，但没有必要啊，是吧，这是一个抛物线 啊。一一这个点到二十四这个点，这段弧绕 y 轴绕 y 轴形成的一个选择题，是这个样子的， 对吧？用完了，用完了，这是测面积，对吧？好，我们就不搁这推导了啊，不推导了，好，记住公式。那这个题就讲到这了。 好，我们看这个题啊，求取，嗯， y 在 零到一区间上的一个平均值，哎，公式一代就行了，是吧，很简单啊，还是求积分的这个平均值，它就等于 这个 b 减 a 分 之一，是吧？零到一，哎，把 y 写过来啊，一减 x 放 dx， 这就是一个一了，不用管它了，我们这个积分看怎么算带根号了， 哎，目前想到根式代换是吧。我们可以令 x 等于 c n t d x 就 等于 cosine t d t， x 取零的时候， t 取零， x 取一的时候 t 取二分之一，是吧？ x 方，那就是 c t 的 一个平方，底下一减 c 方， cosy 方， cosy 方开方是 cosy 绝对值。零到二分之 pi 是 可以去掉，是吧？我们说啊，前两个型号的啊，它绝对值是可以直接去掉的啊。前面讲很详细，底 x cosy t d t， cosine， cosine 消掉了啊，零的二分之 pi c t 的 一个平方 d t， 这是不是用一下华丽士公式就行了。点火公式是吧？二分之一乘以二分之 pi， 这不用再说了啊，你得给我记记准确了啊。四分之 pi 好， 同时记住认真算好，这个题就讲到这了。 好，我们看这个题，求平面区域 d。 好， 第一问啊，面积，第二问，这个区域 d 绕 x 轴旋转一周所成的旋转体的体积。啊，常规的题目吗？我们把区域 d 划一下， 好，看一下啊，我们知道这 y 是 大于等于零，也就是说在 x 轴上方吗？ 好， y 又小于它，小于它，有同学说这个不会画， y 等于它边界吗？等于啊，你看一下会不会画呢？不会画没有关系啊。 好，这是根号，这个是平方，我们的 x 呢，是根二到二之间，它是严格大于零的，对不对？哎，这是严格大于零的，你只需要知道这一点就够了呀， 你看，这是根二，这是一个二。好，我们的 y 呢，就是在 x 上方，我们取这一段嘛，因为取这一段，比如说这个样子的，你管它什么样子，就这样就行了，是不是无所谓的啊。好，求，这个区域 d， 它的一个面积的话，那不就是积分吗？是不是定积分呀？学生题的一个求学生题的体积的话，也是比较容易的，对吧？好，哎，直接计算就行了。 好， s d， 那 就是根二到二去减啥？我们这根线的表达是不就是 y 等于它吗？好， x 方减一除以 x 方 d x 是 吧？哎，这个积分怎么积呢？看到了根号下的啊，这个 x 方减去一个 a 方，这个型号的话，哎，是不是三角画圆啊？这三种型号出现得能够想到三角画圆。好， 那我们令的是 x 等于 a， 这个题是取一吧。 second t 啊， second s e c t 好 令， x 等于它啊，换元要三换。当 x 取根二的时候， 我们知道 c 根的 t 是 cosine t 分 之一嘛，是好，它取根二分之一的时候倒数不就根二了吗？ cosine 多少等于根二分之一啊？这四分之拍嘛。 好，当 x 取二的时候得取二了啊。那这个扣三等于二分之一不就行了吗？扣三多少等于二分之一啊，是不是？ 嗯？三分之拍啊，对不对？扣三六十度，三三三十度吗？二分之一啊，三分拍。这个认真看一下就行了啊。 好，上面的话， c 的 t 方减去一个一，是不是贪念的 t 方开方是贪念的 t 的 一个绝对值哦，注意啊，我们 t 是 四分之八到三分之八，贪念的 t 是 正的，所以直接去绝对值啊。但这个思考的过程别忘了啊。好，除以 x 平方啊。 d x 呢？ sin 的 t 求导，是不是 sin 的 t 乘以 tan 的 t 啊？求导公式得记住啊，好，化简一下就行了啊。好，把这个划掉一个。那变成什么了呢？也比较容易哦。 tan 的 t 方底下是 tan 的 t， 这是 三角函数，你就画一画呗，是不是你画成我们熟悉的 sin 除以 cos 以 t 方底下的话， sin 的 t 分 之一就是 cos 以 t 嘛。 这个消掉了啊，就变成这个样子了啊，是不是好上下先写一下啊， sin 的 t 方比上 cos 以 t 嘛底 t 哎，这会写了不？ 你这个平方用一减去 cosine t 方一代替，是不是都含有 cosine t 方了呀，也是比较比较容易看出来的啊。一减去 cosine t 方以上 cosine t 给 t。 好， 你拆成两部分不就完事了。第一部分 cosine t 分 之一是什么呀？ c 的 t 嘛。第二部分， 第二部分是 q 三 e t 啊，那比较容易啦。好，它的积分我们让记公式了啊，是不是它呀。啊，好，这个就图画擦掉了，碍事。 把这个记住啊。必须记住， long sign 的 t 加上 sign 的 t 好 上下键啊。后面就是三 e t 嘛。积分是三 e t 啊， 好，算一下看一下啊。上线一带 second t 是 等于 cosine 七分之一的好， cosine 这是六十度是三，三十度二分之一倒数那就是一个二了啊。 tangent 的 六十度跟三吧。 这认真算啊，减去。好嘞， c 的 t t 取四分之拍啊，取四分之拍，这是根二分之一，倒数就是个根二。贪心的四分之拍是个一，写个小括号就行了，减去后面 好。哎，小括号也行吧。三以六十度啊。三以六十度是扣三以三十度。二分之根三减去三以四分之拍二分之根二。 没问题啊。好，再整理一下就行了呗。这 long 减 long 你 可以再化简一下，你看可以化简成这个样子的。对， 你不想化其实也 ok 啊。好，尽量化一下吧。是不是 long 减 long 是 long， 它除以它好，我们一般来说分母上不出现根号嘛。那我再分子分母都乘一个它呗。 那这不是二减一就是个一了，底下是个一了，这就是它了呗。零二加上一个根三，根二减去一好，减去。减去二分之 根三，这是加上，这应该是加上了，这应该是减去。哈，减去好，注意啊，这加加减减的，别搞错了啊，就行了啊。这就第一问好，第二问第二问。换个笔吧，感觉看不清了都。好， 我们说啊，那个图的话啊，大概就是这个样子的，是不是根二到二？你知道他是在 a 轴上方就行了，这个区域绕 去 d 嘛，绕 x 轴旋转一周，就是我们说的这个简单题，对不对？哎，这种简单题啊，像这种区域的，绕 x 轴旋转一周，直接带公式计算题的体积带公式就行了。好， v x 就 等于这个拍是根二到二 y 方是吧？ y 方啊， d x， 你 这个公式，这两个公式你也不想记的话，你直接是吧，用二乘积分的咱们的一个去旋转题的一个体积方法，你用这样的一个流程去算，算完之后还是这个公式， 是不是你去课下算一算都算过了啊，还是这两个公式，只不过说相对简单的题目的话，像这种图的，你绕 x 轴旋转，绕 y 轴旋转，你直接，哎，就就这两个公式。行了，你不想记就这样去做啊。好，这是一个万能的方法。 好，开始计算了啊， y 方就是我们说的啊，这个这个，这里面也没有出现 y， 你 就这个 y 方，你也别写 y 方了，你直接这个 x 方减一，这样吧，我们再写一步啊，根号 x 方，这样的一个平方。好， d x 二，根二也是 x 方减一吧，底下是 x 四次方， d x， 好， 这也不难吧，看着根二二分成两部分呗，这不是 x 方分之一，减去 x 四次方分之一，这就负四次方嘛。好， d x， 好， 这个积分的话啊，它积分 x 负三次方， 补一个系数负三分之一，注意前面还有个符号，所以是正的，正的三分之一 x 负三四方，那就这样写呗， x 三四方分之一，这样写好上下键啊，根二二。 嗨，我们看啊，上线一代的话，负二分之一加上三乘以二的三次方是八吗？三八二十四啊，这第一部分啊，上线一代下线一代的话，负的根二分之一加上 根二的三次方。二倍的根二吗？二倍的根二，六倍的根二啊，六倍的一个根二。好，搁这算一下啊， 拍，先不管他了，二十四分之负十二加一，负十一减去后面的啊。好，我们给它通个分，都乘一个六的话啊，第一部分啊，都乘一个六分子分母加个它这块就是一个负五了，是吧？可以通分了啊。 啊，减去负的，那就正的啊，正的啊，是不是？你这块的话也可以把根二挪上去，下面是一个十二，这就行了，然后整个成一个拍，或者你这是二十四，这也可以搞个二十四，合到一起成一个二，就是十吗？这个拍行了， 二十四分之十倍的根二减去十一拍就行。常规的一个题目，注意去画不出来的时候，你把关键的哎信息画出来，够做题就行了啊。好，那这个题就讲到这了。

好，这个视频开始啊，我们讲十五张了，讲之前呢，哎，给大家聊几句心里话吧， 就是每年啊，都会有这样的评论，对着答案讲，一点都不清晰，糊弄人。 这样的评论啊，不是一个两个，每年都有很多，我不清楚啊，为什么会有这样的这样的评论，每次点进去之后，看了之后都很不舒服，但也没有办法啊，这个做互联网这一块可能多多少少，你无论怎么去 做，怎么努力都有人啊，看你不顺眼，那我也是慢慢的去适应吧。我只能说啊，这个人无完人，那我有做的不好的地方，同学们也可以指出在评论区给我留言，但你不要去留一些伤害人的这个语言， 我觉得这个网络的这个暴力确实是很伤人的，只能说我这边啊，慢慢去调整。那同学们呢，也是嘴下留情好不好？好，那话不多说了，我们去看十五张啊， 这张是微分方程嘛，那我们去判定一下类型再去啊，找它对应的一个解体办法。是不是非常像我们第一张求极限一样呀，先判定类型，它有对应的一个方法，这一看的话，就是一阶的微分方程是吧，一阶的话，你就找出来这个 y 一 撇嘛。好，那 y 一 撇怎么出来呢？你这里除一个 dx 呗， 除一个 dx 是 一个 y。 好， 那你再除一个 x 呗。 这发现什么呀？ e 阶的限性的非起色微分方程，我们是不是有通解公式啊，一带就行了，或者有同学看到了啊， x y 加上 y d x， 这，这是什么呀？这是不是 x 乘以 y 的 微分啊？ x 抵 y， y 抵 x， 这个能看出来是 x 乘 y 的 微分末。好，我们设一个函数啊，它是 x 乘 y 的 话，你看我们说抵 z 是 不是等于 z 对 x 偏导， 加上 z 对 y 的 偏导抵 y， 你 看 z 对 x 的 偏导是不是就是一个 y 啊，对不对？是一个 y 啊？ z 对 y 的 偏导是不是就是一个 x？ 这个我觉得学微分这一块应该都清楚的啊，看到它你能够反应到啊，是 l 乘以 y 的 微分也可以，是不是也可以这样做啊？ d x y 就 等于它，你这里也去往后面一凑。哎，可以做出来啊，两边积分就行了，我们都去做一下吧，发一。好，那就发二 这个代公式就行了，对不对？好， y 等于多少？你看它公式不是在这吗？ e 的 负的 p x dx q x e 的 p x dx 加上 c， 好 看一眼啊。 x 分 之一，我们说积分是 lonely x 绝对值，在这一张的时候啊，绝对值可以不用带，我会在这个视频给大家去讲讲一下啊，讲清楚以后你就不用去带这个绝对值了啊，我们先不带，待会再给大家讲啊。好，这样的话后面 是不是 e 的， 我们说不带啊。看到这张带的，看到 lonely x 绝对值，不用去带啊，不用带绝对值， 这个负号我们是不是可以挪到这 e 的 零，那不就是 x 分 之一吗？好，这是三 x 比上 x， 这就是 x， dx 加上一个 c， 对 不对？我先把这个结果算出来啊，这个消掉了，三 x 的 积分负扣三 x 加上一个 c， 出式条件一代嘛。 x 等于拍的时候 y 是 等于零的，所以 c 等于多少呢？ x 等于拍扣三，你拍负一添个符号就是一一加上谁是得等于零的负一嘛， 所以求出来了啊，这个特减 y 等于 x 分 之一，好，负一负扣三 x， 对 不对？好，现在啊，给大家去说明一下，为什么啊？咱们这一张出现 long x 绝对值，绝对值可以不用带呢。好，从这里看一下啊， 如果你带的话，那就是这样子的，你这个符号可以放到这上面，对不对？这是什么呀？这是不是 x 绝对值分之一啊？ 好，后面 sin x 比上一个 x， e 的 lone x 绝对值，你正常做，是不是要你想，你想加这个绝对值啊，你先加啊， e 的 lone， 我 们说是 x 绝对值， 好，加上一个 c， 你 看啊，这一块和这一块是严格互为倒数的关系，你可以看出来啊， x 大 于零的时候，好，它一乘就是我们说的这种情况，我就不写了。好吧， x 小 于零还是啊，写成这个样子，你看看，因为他们两个啊，是 互为这个倒数的关系。小于零的去绝对值是不是负的 x 分 之一啊，对不对？给它乘乘进来这一块的话，去绝对值也有一个符号，你看负负是不是就得整了，对不对？好，我写一下啊， 这个负 x dx 我 给它乘进去啊， c 比上 x 绝对值，这个时候是负 x， 好， 你看这一块，为什么跟这一块也是一样的呢？这个我们说了啊，这个负负得正，这这里这一部分是一样的。那后面有同学说这是 c 乘以 x 分 之一，你这一块啊，这第二部分是 这个负 c 是 不是乘以 x 分 之一？你注意啊，我们的 c 是 任意常数啊，对不对？你负 c 也是任意常数，你负 c 这个时候也可以记为 c 一 嘛， c 一 是任意常数，你当然也可以写成一个 c， 对 不对？所以它本质是一样的吧，第一部分，第二部分啊，其实就是一样的，所以啊，你根本就没有必要 就是看到 x 分 之一再写个 long x 绝对值，是不是这个公式啊，推导的时候就已经考虑到去绝对值的一个问题了啊，就是一样的，对不对？无论你 x 大 零小一点，最终都是这样的，所以你直接啊，不要不要再带绝对值了，是不是到咱们遇到这一章的时候啊，去求这个通解的时候， 直接去绝对值做啊，非常顺滑。好，这给大家解释清楚了啊，我们再看一下这个法二啊， 搁这边写了啊，我们说前面这一部分可以写成底 x y 嘛，底 x y 后面啊，后面我们也给它写成底多少啊，底负 q 三 x 嘛，对不对？两边积分啊，那就是 x y 两边积分， 好加上一个任意常数，是吧？你把出式条件一带， x 等于拍的时候， y 等于零，这是一一加上负一，对不对？一加上负一，这不是等于零吗？所以 y 等于多少呀，把这个 x 数过来， 是不是一样的，哎，一样的。这个题呢，给大家再去强调一个小的细节，就是微分方程，如果给你了一个出式条件的话，好，你去看到啊，这个出式条件 x 啊，大于零的，这个题呢， x 大 于零的， 对不对？给的这个输入条件啊， p 是 大于零的，那么我们就默认啊，求得的啊，这个 y 等于多少多少？ x 这个表达式求完之后就默认了，我们的 x 就是 大于零的。 哎，有同学说，你一个给了，只给了一个点的一个，对吧？函数值的一个情况，你怎么就知道这个表达是好，默认的就是这个 x 的 一个取值范围就是大于零的呢， 你想想嘛，好，我们说了啊，你这个 x 一个取值要么大于零，要么小于零，对不对？好，为什么我们取大于零的？因为他给的就是 x 等于拍的时候你得带到，带到这个设置里面，你得是等于零的嘛？是不是他并没有给你的是 x 等于负拍的时候 y 等于零。所以啊，我们的一个， 比如说这个 y 他的一个图像啊，比如说，是，是这样的啊，比如说是这样的，我们取的就是这个 x 大 于零的这一段的一个图像， 是不是？你看 x， 你 拍的时候 y 得等于零吗？是不是？所以你取的是这一段，你就不用啊，这个去考虑 x 小 于零的时候怎么样了，他给的这个出式条件。你看这个 x 如果大于零，我们默认的啊，这个表达式里面，这个 x 的 取值就是大于零的。 好，如果这给的是一个负派 y 负派等于零，那么我们求得的表达式就是小于零的，我们取的是这一段的一个表达式。 哎，这个后面有一些题啊，会出现这一块，同学们啊，提前知道一下给的数值条件大于零，我们默认求得的啊，这个 x 定域就是大于零 小，给的出条件啊，这个 x 值是负的，我们默认 x 取的就是小于零的部分啊，这块这个图像，懂没？ 好记住啊，这些小细节。好，那这个题就讲到这了。好，我们看这个题啊，已知曲线上任一点，任一点，你可以记为 x， y 的 一点呗，在 y 轴上的结局与法线在 x 轴上的结局之比是三比一好，该曲线方程为多少？这也没有必要去画图是吧？我们直接啊， 把曲线的一个方程和法线的方程斜出来，写出来，而结局求出来就行了，是不是？好， 我们先去看一下啊，在这一点处的切线会不会写呢？切线啊，我们可以利用点斜式嘛， y 减去 y 小 y 是 不是等于 k 倍的 k 的 话，不就是 我们的曲线在这一点的一个导数吗？是不是就是 y 一 撇啊？ y 对 x 一 节导 k 倍的大 x 减去小 x， 好， 这个大 y 等于多少？多少？大 x 就是。 这就是我们的一个切线方程吗？是不是在这一点的切线方程啊，那在 y 轴上的截距就是令 x 等于零嘛？大 x 等于零啊，可以得在 y 轴上的一个截距啊，看等于多少。大 x 等于零的话，这是负的小 x。 什么？这个负 y 挪过来，那不就是小 y 减 x y 一 撇吗？我们再去求一下在这一点的法线方程。法线方程与切线方程的区别就是这个 k 斜率不一样，它们的斜率的关系是互为负倒数，对不对？ 好，我们把法线方程写一下，也用这个大 x 大 y 啊。 y 减去 y 点斜式嘛，这个小 y 啊，等于 k 倍的大 x 减小 x。 好， 这个 k 跟它的关系得是恢复倒数是吧？那就是负 y 一 撇，分子一嘛。 好，在 x 轴上的结局，那就是令 y 大 y 等于零啊，可以得，结局大 y 等于零，这就是负 y 等于好 符号。消掉吧，消掉的话，两边都乘一个 y 一 撇，大 x 等于多少呀？把这一个小 x 挪到左边就行了，大 x 就 有了呗。小 x 加上 y 一 撇，乘以 y 减去 x， y 一 撇， x 加上 y 一 撇， y 等于三比一，是吧？那直接写个三就行了。 好，我们可以整理一下，这是一阶的微分方程是吧？整理出来啊， y 一 撇等于多少？也很好整理吧。 y 减去 x， y 一 撇等于三，跟这个分母乘一下啊，好， 带 y 一 撇的，这里有这里有，我们可以把这个挪到这边。那 y y 一 撇的话提出来啊，那这剩一个三， y 左边的 y 一 撇挪到右边了啊，挪到右边的话就是加上一个 x， 这边可以挪到左边啊，也是 y 减三 x， 你 看， y 一 撇就出来了啊，就是 y 减去三， x 比上三， y 加上 x 嘛。好，这是一阶的微旋方程，我们观察一下它的一个型号， 你看就是其次的，对不对？也就是我们给它凑出来 y 比 x 嘛，你看，有啊，有 y 有 y， 有 x， 有 x 得想到啊，它是属于其次的这一块的一个位子方程啊。好，我们都给它除一个 x， 出现 y 比 x 啊，除以 x 除一个 x 的 一对没？好，这类的微型方程的解法就是令 y 比 x 等于个 u 嘛。 y 就 等于 x 乘以 u， y 对 x 求导，左导右不导，加上左不导右求导， 是吧？所以 y 一 撇，这就 y 一 撇啊，就写成了 x 啊。 u 加上 x 抵 u 抵 x 等于 u 减三比上三 u 加一， 是吧？我们可以分离变量啊，变量分离， u 跟 u 放到一起， x 跟 x 放到一起。整理一下， x 抵 u 抵 x， 把这个 u 挪到右边，我们在这整理一下， 减去个 u， 那 是不是就是减 u 三 u 加一通分了啊，就是减 u 吗？好，看一下分子 u 减 u 减三减去三， u 方减去个 u 减 u 加 u 没有了啊，负三可以提出来吧。负三提出来一加 u 方 是不是好继续整理啊？变量分离嘛， u 跟 u 放到一起啊，那我们左右两侧都乘以它的倒数乘以它的倒数啊， 那左边就是三 u 加上一个一乘以它的倒数，然后底 u 乘以它倒数，这一块就没有了，对不对？好，把 x dx 挪到右边啊，挪到右边那就是 x 分 之一 dx 是 不是 u 跟 u 放到一起， x 跟 x 放到一起，然后两边积分不就行了。两边积分啊， 好，因为积分这一块积分是不是可以给它拆成两部分呀？第一部分，三 u 除以一加 u 的 一个平方底 u 第二部分，哎，这个很好，看出来吧，就是 ark 摊 u 啊， 好，等于负三零 x 就 这一指是吧，加上一个 c 啊。好，这边的话去积分一下，可以凑微分嘛， 测一下啊，一加 u 的 一个平方底，一加 u 的 一个平方，注意要补系数了啊，这一块求微分，是二 u 底 u 对 不对？你，你这个二，你得补一个二分之一，本来还有一个三啊。好，加上 ark， 看你 u 我 再直接化解了啊，这一块的话你给它看成 t 嘛， t 分 之一的原函数就是 long t 的 绝对值， 绝对值可以去吧里面是正的嘛。好，再加上 ark 等于 u， 好， 等于负三零 x 绝对值加上一个 c， 最后我们再把 u 换回来呀，对不对？你最后你要写个 u 在 这里面是不行的，你再换回来啊， u 是 等于多少？ y 比 x 嘛，好，换到这了啊，二分之三 lone 一 加上 u 的 平方， 也就是 y 的 平方，比上 x 的 平方嘛，加上 ark， 它呢， u 等于负三零 x 就 对折加 c， c 呢？哎，为任意常数，哎，这就行了啊，像这种长串的啊，能再化简，也可以再去化简一下啊， 就是说你写成这个不会给你扣分的，但是像这种，比如说出现四分之六了你，你把它出现在结果里面，那这肯定扣你分了。非常明显的能化简的这个 地方出现的时候，你得给它化简啊，那这个它也不是很明显，是吧？所以你写成这样的形式是可以的，但是我们也可以去平时啊，养成化简的一个习惯，好，可以写一下啊， long 来画一下 x 方， x 方加上一个 y 方，对不对？你这个除以二，你可以挪到这上面，就相当于是开方，对不对？三倍的啊，这里是开方 好，加上 ark， 它 y 比上 x 好， 负三零， x 绝对是加上一个 c 好， 这一块的话，你还可以化解三倍的 lone。 根号下 x 方加上一个 y 方 好，你看这个，这个啊，这不是根号除一个根号吗？哎，这个根号 x 方我们说是可以写成绝对值的，对不对？ x 方开方是 x 绝对值啊。 lo in， 这个对数相除，可以写成 lo in 相减啊，这个真数相除可以写成对数相减啊，对数相减 lo in， x 的 绝对值就三，可以乘进去啊。好，你三乘进去，发现啊，这又负三，哎，这是不是可以消掉了？这两部分 好， ark 弹 y 比上一个 x 负三 o x， 这个又是加 c 好， 这，这块啊，消掉了，所以最终我们可以写三 long 根号 x 方加上一个 y 方加 ark 弹 y， b， x 等于 c 是 吧？ c 为任意常数，我就减省一点了啊，能化解尽量化解啊。 好，其次啊，我用方程他的解的一个套路流程就是这样的，是吧？好，那这个题就讲到这了，好，我们看这个题啊，这个题是不是就送分题啊，二六考研也考到了 啊，给大家整理的知识点汇总的文件啊，可以向我们的小助理去获取啊，你看，如果这个题 好相应的一个结论，你记住的话，那就秒做啊。是不是 lamb 的 加 lamb 等于一，这里呢？ lamb 的 减 lamb 呢？是等于零的，一下就解出来选 a 了。 对于微分方程这一块啊，解的结构，它跟咱们后面学的限性代数方程组解的结构是一致的啊。 好，我平时讲课的这些知识点汇总有这个文件啊，同学们可以向小助理啊，千余八七二八，或者这里改成千余八七二七。哎， 可以啊，去向小助理要这些资料啊，同学们没事的时候多看一看，记一记啊。好，我把这两块啊，再给大家去证明一下，证完之后，同学们把这两个啊，哎，结论记下来。 好，我们设 f 一 f 二 f 三点点点，是这什么呀？对于高速这一块的话，微型方程这一块的话，就是非其次， 对不对？一阶限行非其次，微型方程的一组解，对于现代的话，用限行代数那一张的话啊，方程组那一张 用 a l 等于 b 来表示，就是非奇次向量方组嘛，对不对？好，你们是非奇次向量方组的一组解的话，你们的向量组合，你看这是不是向量组合，你们的向量组合还想。是啊，这个非奇次向量方组的解的话，冲要条件就是你们这些系数加到一起等于一， 好继续啊，你们呢？是非其次线方程组的一组解，你们的线性组合，线性组合呦，还想是什么呢？是其次，注意是零了啊，是其次，线型方程组的解的话，重要条件就是这些系数加到一起等于零。好， 我们去给大家证明一下，证明完之后记住啊，好，我们就取两个特写吧，是吧，你三个也是一样的，我们就简化一下啊，把这个证明过程给大家展示一下。取两个 好， f 一 f 二是非其次方程的啊，一组结，那你带到啊，这个式子里面得满足嘛，对不对？ y 现在啊，就是 f 一 f 二嘛，求倒 p 好， y 现在是 f 一， 好 q， 还有 f 二带到这个式子里啊， f 二求倒 f 二带到 y 的 位置啊，对 q， 我 们现在呢，还去证一下他俩的信性组合，你还想是非其次方程的结，那你们的信性组合是带到这里面带满足的吗？对不对？信性组合的话， k 一 f 一 加上 k 二 f 二啊，好，带到它里面，这是成立的，那就求导，这就相当于 y 了嘛，好， 这是 y 乘一个 p， 乘一个 p 啊，我直接乘进来了啊，乘一个 p， 乘一个 p 好， 等于个 q， 好， 这里求求导啊， k 一 f 一 一撇，对不对？ k 二 f 二一撇，你注意啊，它就相当于是这里的 y y 二嘛。对 x 求倒了啊，这块的话， p k 一 f 一 p k 二 f 二等于 q， 我 们可以把 k 一 提出来，这是 f 一 一撇， k 一 在这里啊， p f 一 把 k 二提出来， f 二一撇， k 二后面啊， p f 二等于 q， 你 看这是谁， 是不是 q， 你 看这是谁？是不是 q？ 好， 这是 q， 这是 q， 你 把 q 提出来嘛，那就是 k 一 加上一个 k 二， q 等于 q， 所以 k 一 加 k 二，满足等于一。就是啊，他俩的星星组合，哎，满足啊，这个非起子线方的组吗？ 接下来我们再去证一下这里吧。好，也是取两个特解啊，还是要满足这个式子和这个式子，是不是这两个是非其次的啊？特解 好，他们的限性组合，现在呢？想成为其次的结，你想成为其次的结，你带到其次里面，它也是满足的吗？对不对？也就是 k 一 f 一 加上一个 k 二 f 二带到这里面啊。好， p k 一 f 一 k 二 f 二。好的，等于零。 k 一 f 一 一撇， k 二 f 二一撇加上 p k 一 p f 一 k 二 p f 二， 我们把 k 一 提出来， f 一 一撇加上 p f 一， 是吧？ k 二提出来， f 二一撇加上 p f 二， 这两个小括号是等于谁的呀？等于 q 啊，是吧？等于 q 啊，那 q 可以 提出来吗？ k 一 加上一个 k 二，这个 q 等于零， 所以我们需要满足 k 一 加上一个 k 二等于零，是吧？ k 加 k 二等于零啊，就正出来了啊。好，你知道这两个结论的话，你看他俩这两个特解的线型组合，还想是非其次的解，就要满足的是两个系数加到一起得是等于一的，是吧？ 好，两个特解的形形组合，想是想是什么啊？其次方的解，那就是系数系数加到一起等于零一解啊，他俩一加 lamb 的 等于二分之一，哎， lamb 的 等于二分之一。就是啊，几秒钟的事，对不对？好，那这个题就讲到这了， 好，我们看这个题啊，求微分方程的通解。我们说了，按照流程先判定类型，再选择方法，看到了它，那就是一阶的微分方程，是限性的呢，还是非限性的三次方了，所以它是一阶的非限性的微分方程。在我们所学的啊， 这些微方程类型里面，没有学到 e 阶的非限性微方程如何解的问题，那就不会做，是吧？那题出超纲了吗？没有啊，我们要转化一下思想，转换一下啊，思想 把它转化为我们熟悉的微方程的类型。那么我们平时呢，是哎，把 y 写成 x 的 函数，是吧？好，那现在啊，就是转化为 x 关于 y 的 函数就行了，好，哎， 其实就是本身啊，我们会把这一类型的一个题转化为一阶的限性的啊，非奇次元方程有对应的一个通解就可以解了，而平时我们是这样的，是吧？ y 关于 x 函数， y 的 x， 求导啊，这就是一阶的限行非奇次元方程，现在转化为 x 关于 y 的 函数了，好，就转化成这个型号了，那你 对吧，这对应的就有通解公式，那就好解了呀，所以这样的题目啊，哎，知道是这样去做，哎，好， 做几个题啊，就记住了啊，那我们是不是得把这个 x 一 撇求出来呀？这有 y 一 撇， y 一 撇，你求出来也行，再调个个不就是 x， 哎，一撇了吗？对不对？好，我们可以把这个 y 一 撇求一下。 y 一 撇其实就等于 y 对 x 求到吗？ 是吧，那就把它移到右侧，那就是负的 y 的 一个三次方除以左侧的这一块。好，二， x 减三， x y 方减 y 的 一个三次方，是吧？这个符号的话我可以 除到下面，是吧？那就是 y 的 一个三次方加三 x， y 的 一个平方减去一个二 x。 好， 那我现在啊，其实想要 x 一 撇嘛，是吧？ x 对 y， 求导。你们调个个儿就行了。调个儿，那就是 y 的 三次方加三 x， y 的 平方减二 x 比上 y 的 三次方。 第二个的一个好处是什么呢？这我们称为头重脚轻呀，是吧？重，就是说他的他的部分很多嘛，是吧？很重啊，头，那就可以拆成几部分，便于解决问题，而头轻脚重的话，你是拆不成几部分的是吧？就问题就很难搞出来嘛。好， 那我们去看，就可以拆成几部分啊。第一部分是个一吧，还剩这一部分，这一部分的话， y 的 一个三次方，三 y 的 一个平方减二。把 x 可以 提到这个右侧是不是？好，我们就给它写成这个型号啊，一阶的限行的非奇的无限方程呀，所以就是 x 一 撇，哎， 减去把它移过来呀，对不对？写成标准形式啊。三 y 方减去个二，除以 y 的 三次方， x 就 等于一，这不就代通解公式就行了，对不对？好记， 这个 x 就 等于 e 的 负的好。 p y p y 谁呀？是不是？哎，这一块呀，好， 嗯，直接给它符号作用过来了。好吧，就是二减去一个三 y 方除以一个 y 的 一个三，四方抵 y。 好， 后面 q y 就是 一个一啊，对吧？一就不写了吧。好，然后 e 的 p y 它也是这一块写过来啊。二减去一个三 y 有 个符号已经作用作用进来了啊。好， d y d y 加上一个 c。 好， 我们去解一下啊， 这就是考积分了呀，对不对？看这一部分啊，看这一部分写到这里了啊，符号作用进去三 y 的 一个平方，减去一个二，除以一个 y 的 一个三次方 y， 那 这个时候我们是，嗯，你像这种题应该怎么去写步骤呢？其实我们要不就可以这样啊， 其中是吧，你这步骤省都在草稿上写的话，那他说你抄的别人的呢，是不是？所以你还是啊，这种稍微复杂一点的一个稍微复杂一点点的吧，可以写写下过程，其中他等于谁，他等于谁，然后所以这个一是是吧，哎，就可以写出来了啊，还是写一点步骤啊 好。二，减去三 y 方，比上一个 y 的 一个三四方 d y， 那 我们可以给他写两部分是吧？第一部分是三 y 的 一个平方，比上 y 的 一个三四方 d y 就是 这一部分嘛，前面还有个符号啊，再减去一个二倍的一，除一个 y 的 一个三四方 d y， 是 吧？写两部分积分啊， 那这一部分很显然可以凑到后边，对不对？ d y 的 一个三四方呀，那不就是三 y 方 d y 吗？ 对，好，后面的话， y 的 一个负三次方，那原函数 y 的 负二次方好补一个负二分之一是吧？ 直接写了啊，负二分之一 y 的 一个负二次方，那继续它啊， y 的 三次方是不是可以看成一个 t 啊，也就是 t 分 之一底 t， 那 么我们知道它记出来的话是谁啊？是零 t 的 一个绝对值，对吧？ 好，龙眼， t t 就是 这个 y 的 三次方吗？我们说了，对于微分方程这一块啊，绝对值你就放心的去掉就行了。哎，没有任何问题的啊，没有问题，去就行了。好，龙眼。 y 的 一个三次方是吧，就这样就行了啊，绝对值，不用带不用带啊。 好，接下来呢，是加上二根二消掉了啊，是 y 的 一个负二次方，对吧？ 这个负二次方也可以写成平方分之一嘛。好，那我们这一块其实就对吧，就这块已经解决了嘛，然后这里，哎，再给他取一个指数，我们得把 x 给求一下，对吧？ x 等于多少多少？ 所以啊，这个一是 x 就 等于 e 的 这个指数部分我们已经算完了啊，就是零 y 的 一个三次方加上 y 的 平方分之一。 好，咱待会再写一遍啊，而他跟他的关系其实只是差一个符号的问题。那我们就可以写成负的 y 的 一个三次方，是吧，减去一个 y 的 平方分之一。好， d， y 加上一个 c。 小 括号也够用了吧。我们看第一部分啊， 这个别搞错啊， e 的 a 加 b 次方，不就等于 e 的 a 次方乘以 e 的 b 次方吗？这高中的东西啊，别搞错啊，好，我们看 e 的 a 次方，是不是就 y 的 三次方呀，对不对？乘以 e 的 b 次方， 哎，平方啊，好，这里面这个符号是不是可以写到这里面？好，同样啊， e 的 a 次方 e 的 a 次方分之一， e 的 乘以 e 的 b 次方 d， y 加上一个 c， 好， 看一眼，这就我们这个时候是可以把它乘进去的吧，是吧，把它都乘进去啊，乘以它，乘以它好，先是 c 跟它乘吧，乘一下啊， y 的 平方，再加上好 y 的 三次方，它跟第一部分乘啊，这块的话 是不是可以凑为分啊？同样啊，还是凑为分，凑为分。搁这里写了啊，都草稿了啊。嗯， e 的 负 y 的 平方分之一都，很显然它可以凑成这种形式嘛，是吧？也凑成啊， y 的 平方分之一 写成这样对不对呢？肯定是不对的，我们需要补系数，是吧，你在你求求个导就行了。 y 的 负二四方，我们知道求导的话是负二， y 的 负三四方是不这样的呀，会多一个负二，所以前面要补一个负二分之一， 对呗，补一个负二分之一啊，好，甚至你可以把这个符号提到这里面。对，提到这里面之后，这是整个看成一个 t， 你 看它俩长一样吧， e 的 t 次方抵 t， 是 不是就等于 e 的 t 次方呀？原函数于 e 的 t 次方呀，这个 t 就是 我们说的它 对呗。好，还有一个二分之一，那这块就求完了嘛，好，写过来啊。这个你可以直接要么你再写一步，要么就是 出结果啊。也行啊，毕竟你过程也那么多了啊，可以写一下二分之一拿过来了，然后 e 的 负的 y 的 平方分之一，对吧。你只看看它乘的一个结果啊， 我们这还可以化解一下它俩一乘等于一了呀，是吧。 c y 的 一个三次方， e 的 y 的 平方分之一加上二分之一 y 的 三次方，这求完了， x 就是 等于它的，是吧。所以啊，可以再总结一下啊， 因为有时候啊，我们这个判卷人啊，他不想看你这个过程，他他先瞄的是这个，当瞄到这个是对的时候，他才看过程。如果你给他一个这样啊，让他看着不太舒服，太多了。好， c 为任意常数。 好，这样的题目同学们已经知道了是吧。 e 阶非线型微分方程往这个上面啊，进行 call 就 行了。好，这个题讲到这了。好，我们看这个题啊，过原点的曲线。首先我们知道了 y 零等于零啊，满足这个微分方程啊，我们看一下，这是 y 一 撇， 后面呢，这有一个平方， x 加 y 二，它是捆绑在一起的，纠缠在一起是不是？它是 e 阶的，但并不是线性的呀。 那这样的题怎么做呢？你像啊，这这种啊， x 跟 y 绑在一起的，那你就直接令这块等一个 u 变量代换。这样的题，哎，我们后面都会见到啊，你见到 x 加 y 的， 后面可能见到 x 乘以 y 的。 好，这个 x 跟 y 没办法啊，剥离出去。那你就变量代换。好， 我们可以令 x 加 y 等一个 u， 是 吧，两边对 x 求导， 是不是得到了这个式子？好， y 对 x 的 一个导函数，就表示乘 u 对 x 求导，减去一个 e， 是 不是可以带到？哎，这里啊，好，我直接写了吧，它就等于等于 u 的 一个平方嘛。 你看这个问题就简单了啊，比 u 比 x 就 等于 u 的 一个平方，加上一个 e， 我 们可以变量分离，把它挪到左边， 那就是分之一点， x 呢，挪到右边，接着就是两边积分嘛，左边不就是 ark 看 u 右面，右边啊， x 加上 c 嘛。好，我把出式条件带一下。 x 等于零的时候， y 是 等于零，那就是 u 也是等于零的嘛。 好， ar 它逆零是等于零啊， a 等于零。好， c 所以 也是等于零啊，所以就求出来了 ar 等 u 再换回来。哦， x 加 y 等于 x， 这就可以了。但是这个题并不是让我们去求通解的，求这样的一个极限，我们要把 y 给表示出来，是不是两边呢？你取 tanne 吗？ tanne 二个 tanne 他 们就抵消了吗？违反函数吗？两边取 tanne， tanne 二个 tanne， 那 就是 x 加 y， 取 tanne 的 好， y 不 就解出来啊。就是 tanne x 减去一个 x， 所以 这个极限现在可以去求了啊 啊， tan 的 x 减去 x x 方，求极限判定类型啊， x 去零，它去零，它去零，那也一向减去零的零次方，是零的零次方。那我们的处理手法，哎，是不是秘制函数指数化呀？ 好，指数化都会吧。写成 e 的 x 零 tan x 减去一个 x， 好，你看外层的啊，是一个指数函数，指数函数是连续的，所以我们求极限，这极限符号可以挪进去啊， e 的 limit x 去零，正好 x 乘以零， tan x 减 x， 我 们先去求一下这块极限，求完之后就求出来了，是吧？这个极限怎么求呢？ 零正 x 零点 x 减去一个 x， 这个极限的话，我们看到啊， x 去零的时候，我们知道它念 x 减 x， 是 不是等价于三分之一 x 三次方，这常见的一个等价无穷小的替换啊。有同学说，这个带个零，这里面能不能等价呢？这个，这个啊，出现零的时候，这里面啊是可以等价的，如果你不放心，我们可以做一个啊，这个倒代换，令令 x 等于七分之一 好不好？我们先去啊，等价一下，先去算一下，然后再用倒代换，你去看一眼啊，好， lonely 等价有三分之一 x 三次方，那这块的话是不是可以改写下形式啊？那就是 x 三次方除以三，可以写成 lonely x 三次方减去 lonely 三，是吧？ x 好 lonely x 三次方，三可以挪到这儿吗？减去一个 lonely 三， 好，他跟他相乘，哎，这个是我们常见的极限对不对？极限等于零啊，而 x 去零跟后面一乘，那极限也是零，所以零啊，零减零是零啊，好，头上这一块的极限是零，一的零，次方 就是一嘛，所以就求出来了。这一块如果你不敢去用等加无穷小替换的话，那我们说可以做一个倒代换，令， x 以 t 分 之一，或者我们直接把这个 x 给它挪到分母上，可以吧。写到这里啊， x 去零，正好上面是 long， 它念 x 减去一个 x， 我们把 x 挪到分母上，就是 x 分 之一嘛。好， x 去零，零分之一去无穷，这块去零归零也是去无穷。无穷比无穷是可以用洛比达的是吧，求导就行了啊，你看分母对 x 求导负的 它吧，上面对 x 求导，先是外层 long， 求导它分之一，里面再去求导啊，里面求导贪心，求导 sin 的 平方啊，减去一个一，我们知道 sin 的 x 平方减一就是贪心的嘛，是不是 x 去领证啊，上面就是贪心的 x 的 平方啊。这个等式没有忘吧，底下的话是不是可以用下等价啊？这可以用等价了啊，三分之一 x 三次方，还是刚刚说的啊， 底下符号我挪到左边，好，这个掉到整个分子上的话，就是这里去乘一个 x 的 一个平方，对，乘一个 x 平方，看现在变成什么了啊， x 去领证，对，这个符号啊，这是一个三了啊，挪到前面 好，这是不是等价于 x 平方？这 x 平方 x 四次方除以 x 三次方，那就剩一个 x 了啊，就剩一个 x 了， x 去零，那么就是去零了。极限零啊，对呗，极限零一的零次方等于一。好，你看到这个位啊，这里面是可以用等价的啊， 这个题考的是这种啊，哎，纠缠在一起的，直接变量代换。好，这个题就讲到这了。好，我们看这个题啊，看到 y 一 撇，那就是一阶的微型方程，这有 tan 的 y， c 的 y， 它并不是限性的是不是？那怎么去做呢？ 我们可以啊，把 second y， ten and y 化成我们熟悉的一个形式，就是 sign 啊， cosine 是 不是？好，你先画一画，看一看啊，这样的题也不能着急啊，着急好， sin 的 y 是 cosine y 分 之一，对不对？ tan 的 y 的 话是 cosine y， 比上 cosine y， 哎，你随便写一写，你会发现它俩是可以合到一起的呀。 cosine y 分 之什么呀？ x 加一减去一个 cosine y， 好，我们整理一下啊，整理一下，你比如说他跟他撑到一起说等于这个分子呀。 x 加一减去三 y， 就 等于 y 一 撇扣三 y， 那 接下来怎么办呢？ 你观察一下啊，三 y 扣三 y， 想到什么呀？求导，对，他们的关系，不是求导的一个关系吗？你一求导的话，注意负号是求导，还有一个 y 一 撇。对，这样的题啊， 你可能刚开始做是看不出来的，这一款，这款就是等于，哎，前面的某一个函数的一个导，是不是三 y 的 一个导函数啊？好，那现在就可以写成 三 y 的 导函数。你这有三 y， 这有三 y， 那 当然想到，哎，变量代换是吧。我令 u 等于三 y。 好，所以现在就是 x 加一减去一个 u 等于 u 一 撇，你再整理一下，那就是 u 一 撇加上一个 u 等于 x 加一，这不就是一阶向量非其次微分方程吗？我们是有通解公式的， u 就 等于 e 的 负的 p x d x q x 乘以 e 的 e， d x d x 加 c， c， 是 吧，很简单吧， e 的 负 x 啊， x 加一 e 的 x 吧。好，加 c 看一下啊，这个积分很简单吧，我们经常见到它，直接就知道它的结果就是 x 乘以 e x， 对 不对？ 你要是没有记住的，这个我们常见的啊，记住了没记住的话，那你就可以凑一分分母积分，或者用表格法都可以，不用再写了吧。好， e 的 负 x， 这里面就是 x， e x 加上一个 c， 好，乘进去吧。 x 加上 c 乘 e 的 负 x， 对 不对？ c 呢，是任意常数。好，我们求完之后一定要把 u 再换回来啊，因为这里面并没有 u， 你 不能写 u 等于多少啊， u 呢，就是三 y 嘛。好，就等于 x 加上 c 乘 e 的 负 x， 方 c 为任意常数。哎，就可以了啊，我省一点省一点点啊，同学们给他写完它，好，这样的题第一次做还想不想不到是正常的啊，你做一两个你就知道了，怎么去找他们之间的一个关系，通常就是求导，求导啊，求导就发现了啊，负函数求导是不是。 好，那这个题就讲到这了。好，我们看这个题啊， y x 是 微分方程，满足这个出式条件的解爱求 y x 表达是解微分方程。第二问呢， 求斜渐近线啊，真题考过了啊，先让你解个微分方程。哎，再解个渐近线，就是两部分的这个知识点啊，综合到一起了都不难的啊。好，这个微分方程判判别一下啊，一阶的限性非其次，微分方程我们是有通解公式的。 好，直接， y 就 等于 e 的 负的 x 平方分之一 dx， 好， 二， e 的 x 分 之一， e 的 x 平方分之一 dx dx 加上 c 被熟练它啊， 这上面的话，那不就是 x 分 之一吗？好，那里面二 e x 分 之一， e 负 x 分 之一了吧。好， 最小括号就行了，对，无伤大雅啊。 e 的 x 分 之一，这里面的话，他俩一乘不就是这上面相加吗，那不就零了吗？ e 的 零次方就是个一啊，二积分，那就是一个二 x 吗？加上一个 c， 又因为 有一个出式条件，所以把 c 定出来啊。二分之一大带进来就是个一，加上一个 c 乘一个啊，这是大于零的啊，二分之一它再等于零，所以 c 是 等于负一的嘛。好， 所以 y 等于 y x， 那 就是直接写过来啊。二 x 减一就行了。第二问， 求斜渐近线，会吧是吧。哎，通法就是法一，一定要会啊，有一些题目呢，可以用它的展开往定义靠拢， 你这个题出现了指数函数，哎，这个就可以用这个它的展开啊，当然通法，你掌握了这个方法，有一些题目可以用到啊，有些题目也也没法啊，没法往定义靠拢啊，这个可可掌握，可不掌握。这个法一是必须要掌握的，咱们都讲一下啊。 好，通法啊，通法的话我们先去把这个 k 解出来， k 的 话， x 区域，我们说无穷分为正无穷，负无穷，这里要不要写呢？你先不写，你看求的过程中你就知道要不要啊，分左右了啊。好， x 去无穷， y 呢，已经求得了啊， 除一个 x 是 吧，你会发现你这个 x 无论是正无穷还是负无穷分之一都是去零了。 e 的 零次方，那不就是去一吗？这就是一个非零因子。 好，这一块的话，无论 x 去正无穷还是负无穷，它都是无穷，就可以抓大，是吧？这个减一都不用去看，所以这一笔不就是一个二吗？所以二乘以一就是一个二，不需要分左右。对，不需要分左右啊，就是一个二。好，接下来把这个 b 求一下， x 具有无穷 y 减 k x 啊， y 减去 k x。 好， 我们看一下这个极限的类型啊，对于无穷这块是个非零因子一嘛，无穷减无穷， 无穷减无穷，我们说了常用的两个方法，提取无穷大因子，这边这都有二 x， 你 可以提出来嘛？也可以啊，分式结构的去通分，这个不是分式结构，所以我们可以提取无穷大因子啊。好， x 去无穷，那就是把二 x 提出来，那就是 e 的 x 分 之一，后面有个二 x， 那 就减去一个一，是吧？还有一部分啊， 还有一部分，你会发现啊，通常这一部分的一个极限就是存在的，对不对？这一部分极限你算一下这部分，你算一下两部分极限都存在啊。啊，一减就行了啊。好， x 去无穷，你这个啊， x 去无穷分之一不就是去零吗？这是不是可以用一下等价呀？等价有 x 分 之一啊，你看，这不就是求出来了吗？ 后面你拆两部分求极限，你拆的话，要保证两部分极限都存在的啊，如果有部分极限不存在，你就别拆了，想想别的办法了。好，这个很显然是存在的吗？ x 区无穷分之一， x 区无穷分之一去零一的零次方去一吗？好，前面的话二 减一等于一，所以 y 就 等于 k， x 加一，求出来了啊，这一条斜进一线通法一定要会啊，接下来这个题它是可以用这个，它要展开往定义上去，靠，我们把 y 写成一个限性函数加无穷小量，这个限性函数啊，就是有 y x 的 一个斜进一线啊。 好，我们可以写到这里。嗯，我们 x 不是 趋于无穷吗？无穷分之一，无穷分之一就是趋于零的，所以可以用它的展开，对不对？你展开到哪一项呢？一般来说到这一项啊，就够用了，你可以先写一写啊，这一 x 分 之一啊，一加上 x 分 之一加上， 你就先写到这一项啊，基本上就是够用的，你做题做多了你就知道了，是吧？把 x 全部换成 x 分 之一。哦，好，后面的话就是 x 分 之一的平方的一个高阶无穷向量，对不对？我们现在呢，好， y 就 可以啊， 写一下了， e 的 x 次分之一次方，现在把它拿过来啊，一加上你。 你好，还有一个吴晨小亮，得写个中括号吧，乘以二 x 减一乘以乘啊，一跟后面的二 x 一 乘，对不对？一跟后面的一一乘，加上他跟后面的二 x 一 乘，那就是一个二，他呢？跟后面的负一一乘啊， 好，再加上这一部分跟它一乘，二根二消掉了 x， x 消掉了，还剩一个 x 分 之一啊，好，它跟后面的负一一乘啊，负的 后面是吧，我统一写成它就行了啊，你看是不是啊，这一块消掉了吧，你看这里是不是有个先行函数啊，那不就是二 x 加一吗？好，你看这一块统一可以给它写成一个阿尔法，就是一个无穷向量， x 往无穷去的时候，这是不是区域零啊？这是区域零啊，所以说 y 就 写成了限行函数加一个无穷小量，那这个限行函数就是写给零一线啊。好，就是二 x 加一是吧，那其实大题的话还是建议用这个步骤来看着更规范一点，是不是小题的话啊，你随便了啊。好，那这个题就讲到这了。 好，我们看这个题啊，这题放在这个地方的话是有一点超纲啊，他是相关变化率，这个应该是没有问题的。又结合了啊，后续的微分方程啊， 那我们有同学没学的微型方程的话，你可以先在你的上岸笔记本上记上这个题号，学完之后再回来看一下，可以把前面相关变化率的题这这一半内容可以听一下好不好，哎，不要去纠结啊，回来再做也是一样的啊。 好，我们看啊，以 y o z 面 y o z 面的平面曲线段，哎， y 等于 f z， 它也有可能是这一段啊，所以你注意这个题它是有两个结果的。 好，它只是 z 大 于等于零吗？是不是？好，假设是它的话，那么绕着 z 轴旋转，哎，旋，旋转一周，好，这不就形成了一个旋转的曲面了是吧，哎，那个 漏斗似的啊，好，与 x o y 平面，哎，围成了一个无上盖的容器。没有盖子啊，没有盖子的容器， 现在呢，以三立方米每秒的速率相关变化率的题啊。来了，把水注到哎， 容器里边注水的啊，你看这是谁？你这个他给一个条件，你可以在这边写一写嘛，是吧，先可以草稿上写一下，也就是说 v 是 立方米，不就是体积的意思吗？ v 对 时间的导是不是就等于三呀？哎，肯定，我们待会啊，要去研究一下体积的问题， 再看一下水面的面积，哎，以拍立方米每秒的一个导，是吧，等于一个拍 好，这个可以当做草稿先放在这容器，已知容器啊，底面的一个面积等于十六拍立方体，求一下啊。 f c 的 一个方程， 这句话就是微分方程里面给的出式条件的意思。好，你看底面的一个面积啊，是不是 z 等于零的时候？好，这个 y 的 一个取值是这个底面的一个圆的一个半径呀，是吧？ z 等于零的时候啊，这个我们记为 y。 好， 那就是拍 y 的 一个平方，不就是底面的面积吗？就等于十六拍，这个你也可以先写一下，我们可以得出来的是， y 就 等于 十六拍，除以拍十六， y 等于正负四，是吧？ y 可能是哎，正的，也可能是负的嘛，所以正负四 好，其实它对应的就是哎， z 等于零的一个值，是吧？ z 等于零嘛？ z 等于零， y 等于多少？ y 等于正负四，这个也能看出来啊，这就是后续我们要用的一个处事条件的一个问题。好， 那我们根据啊给的这些条件你分析一下嘛，有体积的事情，有面积的事情，是吧，所以啊，我们肯定要去把体积求一下，面积求一下，哎，这个 怎么去求体积？这个体积是指的谁的体积，整个的一个体积吗？不是的啊，我们是不是往这个这个容器里面去注水啊？它肯定就跟高度有关，是不是？哎，我们就设出来一个高度啊，当这个高度为 h 的 时候，我们同样啊，是取 这个啊，他一直在往里面注水，是吧？当水的一个深度高度为 h 的 时候，好，这个啊，这个是 h 的 话，这是 h， 再高一点点，那就 h 加上一个 d z， 好 吧，我们取的啊，就是这样的一层 薄薄的一个水面的话，好，这个时候我们呢把哎这个体积微圆去求一下，把对应的爱面积去求一下，再去求。倒是吧，你得知道咱们的一个 这个做题的一个流程啊，他不是把整个的啊，整个的这个哎容器的一个体积求出来，也不是把整个的啊这个容器的一个面积给求出来，而是我们往里面去注水，跟这个深度有关系， 当你的一个高度到达多多少的时候，是吧？哎，我们水的一个肃立啊，一个是吧，这个面积啊，肃立怎么增大的呀？这些问题啊，所以他跟深度有关系。好， 那我们就看啊，对，咱们就取啊这一层薄薄的水面，但他的一，他取完之后，其实他对应的一个呃形状，是吧？这就是一，就是我们前面说的啊一样的问题啊，就是一个， 哎，类似一个圆柱体，是不是这一个圆柱体吗？一个圆柱体啊，好，对，圆柱体的话，体积怎么去算的呢？体积你就你就这样想减，我们设，哎，这个水面高度， 你看跟高度都是有关系的，跟咱们前面有个题也是很类似的，是吧？想法啊，高度为 a h 的 时候，好，我们把这个时候啊体积的一个微圆去算一下， 好，底面积乘以高，底面积就是拍 r 的 一个平方底面积乘以高嘛？高，我们取的是 d z 这个 r 方，哎，是不是就是这个长度啊，这长度啊，记 y 就 行了呀，好，拍 y 的 一个平方哎，我们因为最后要求 f z y 就是 等于 f z 的 嘛，我们就给它转化为 f z 啊， 好， d z， 哎，我们把啊高度为 h 的 时候啊，体积微圆求出来了，那我们其实呢，想去把哎高度为 h 的 时候体积给求出来，是不是体积求出来我们再去求导啊，把自己该带的带一带啊，好， 是不是有积分了呀，那不就是零到 h 哎， d v 吗？好，还是这些东西啊？ d v 那 就是 pi f z 的 一个平方， d z 是吧，那我们这个时候也是没有必要啊，积出来的不需要积，咱们已经说过多次了，前面是不是也是这样的一个思想呀？好，接下来哎，我们就可以这个 两边哎对梯经求导了是吧，哎，就搞到他了呀，你看两边对梯求导， v， 这是不是跟我们前面一模一样？ v 是 关于高度的一个函数，高度是关于时间的一个函数啊， 好， v 对 h 求导， h 对 t 求导，这不连到一起了吗？好像对 h 求导就是变线圈函数求导就行了。 f h 的 一个平方是吧，好， d h b， d t 待会这都是对吧？可以这个啊， d v b， d t 是 三吗？待会就可以带了啊， d h b 上一个 d t 这个就是三，其实就可以写到这了啊。好，在接下来我们去看面积的一个问题啊，面积的一个问题的话， 当高度为 h 的 时候，我们这一个啊，这其实不是，呃，是球啊，这个水面的一个面积就是一个底面积的一个问题了，是吧？因为他是面积，他跟体积没有关系，你的一层一层啊，薄薄的水，他的一个面积的话，这就是说的这个啊，圆柱体的一个底面积， 直接就是拍 r 的 一个平方就行了，是吧？拍 r 的 一个平方， r 就是 这个，哎，这个长度吗？ y 的 一个平方吗？是吧？哎，这个啊 y 吗？好， y 的 话，我们现在就改成 f c 吗？而现在我们说的是高度为 h 的 时候，那高度为 h 的 时候， 就是把这个哎，这个 z 换成 h 了，对吧？哎，当高度为 h 的 时候，这个 z 取 h 的 时候，我们的一个 y 现在不就是就等于 f h 吗？是吧？就是拍 y 的 一个平方，就是面积了。好，同样，哎，面积，接下来对时间求导 是吧？好，面积呢？是关于 h 的 一个函数， h 呢？是关于时间的一个函数，还是来来回回的这些东西，对吧？ 好，这个我们知道，是等于拍的啊， s 对 h 求导，那就求呗。好，那就是二拍 f， 先外层求导吧，再去啊，内层就是先是平方求导，再是 f h 求导，对 h 求导，那不就这个样子吗？好，后边还有一个 h 对 t 求导。 好，这个我们就去连力方程啊，连力可得， 哎，求一下，求一下，我们是不是可以把这个 d h 比 d t 给消掉啊？好，上面的话是拍 f a 这个啊，平方乘一个它是等于二的，那这一块的话，是不是就等于等于三啊？三除以 这个不就等于他吗？好，就带到这个第二个方程可以吧？带到第二个方程啊，那前面再乘一个这一块二拍 f h， f 撇 h， 是 吧？就等于左边是一个拍吗？我们消一消啊， f h， f h 消一个，这还有一个 f h， 是吧？这是这，这个底下是一个是一个拍啊，不是减号。好，这个拍跟这个拍是可以消掉的吧，这就是一个六六可以移到这边吧。好，你看现在是啥了啊？ 的，现在都是 f p h 比上一个 f h 是 等于六分拍的好，这个时候就可以给它转化为 e 阶的向量的，其次微分方程带它的一个通解公式就行了，选微分方程才可以啊。好，这就可以转化为 f p h 减去六分之 拍， f h 等于零，是不是就这个型号的呀？这是最简单的一类微分方程啊。好，我们代入通解公式啊，所以直接出结果，你看它的公式就是 c 乘以 e 的 负的好，这个是 p x， p x 就 这里的啊，负的 六分之拍，我们是 d h 啊。好， c 乘以 e 的， 这不就是六分之拍 h 吗？是不是。好，出示条件带一下呀，你看这个时候有出示条件，我们说的又因为 f 零是等于正负四的，这个就可以写到这个题人的啊， 答题卡上啊，这块我就不再超过来了啊，这个是可以写过来的，都写过来啊，这些已知条件好，正负四，所以把 c 给求出来嘛，我们看啊， c 多少啊。 嗯，当 h 等于零的时候嘛， e 的 零次方等于一了吧，这不等于，这右边又是一个 c， c 就 等于这个 f h， 这就是等于正负四嘛， c 就 等于正负四， 则我们 f h 就 求出来了，是吧。正负四 e 的 六分之拍 h 嘛。好，那 f z 一 样的对吧。你把 h 换成 z 就 行了呗，是不是 g f z 就 等于正负四 e 的 六分之八 z 求完了啊，我们说了可能是这边的，可能是这边的啊，好，那接下来我再讲一个方法啊，希望同学们记下来，记下来就是你看到这个型号的话， 你可以转化为方程，你也可以想到我们，哎，以前说过的， x 分 之一，积分是零， x 绝对值求导，那当然就是 x 分 之一了， 我们这个真题里面也见过啊，两点 x 绝对值求导，你不要再分 x 大 于零， x 小 于零了，你会自己去验证一下，发现，哎，不管 x 大 点， x 小 于零，这整个啊，它它求导都是 x 分 之一，所以我们直接写， 哎，两点 x 绝对值求导就是 x 分 之一。好，那这个题呢，它跟它非常类似，你看 f 撇 z 除以 f z 对 不对？它是谁的导呢？它就是 lone x 绝对值的导。好，它是谁的导呀？是 lone f z 加绝对值的导，是吧？你看一下啊，我这里给大家写的有个过程，你可以再去简单的看一下 f z， 你 这个绝对值里面吗？ f z 可能大于零，可能小于零吗？我不管 x， f z 大 于零，小于零，你看最终求到的这个导函数都是它， 所以说谁求到是它，那就是加个绝对值，这个 low 就 求到就是它了，这个直接记下来。好吧，这个你可以简单的看一下，总之直接，我希望记下来，后续我们一些题目也会见到了， 因为这也很好想吧。那 lone 去求导的话，首先外层求导是这个 f z 分 之一，在内层求导 f z 一 撇，是吧？哎，小 a 零也是一样的啊。好，那既然你已经知道了 这个啊， f z 一 撇，除以一个 f z， 你 这个时候完全可以把 h 换成 z 嘛，是吧？用哪个变量表示都行啊，等于六分之 pi。 好， 它是 lone。 这个这样啊， f c 取绝对值的一个导函数。好，那我就看他俩就行了，是不是两边去积分呀？好，对， z 进积分是吧？他去积分不就等于零 f c 取绝对值吗？ 对不对？这边按积分的话，六十分之拍 z， 再加一个 c， 哦，不定积分啊，好，把 c 确定出来。同样啊，我们是把数值取数值的话，对，右边就是 e 的 六分之 pi， c 加上一个 c， 是 吧？你看啊，这个加个 c 的 话，我是不是可以挪到底下呀？可以写成 e 的 c 四方，是不是？好，那这样的话，我们现在需要把这块给确定出来。又因为 f c 好， f 零啊，出出条件嘛， f 零是等于正负四的， 那所以你看 f 零的绝对值呢？是不是就等于四呀？ f 零是等于正负四的，去绝对值就等于四了呀。好，我们就带到啊，这个里面就把 e 的 c 次方求出来了。你看， 我们把 z 等于零一代嘛， z 等于零一代就是 f 零的绝对值，这这边就是四了，是吧？这就是四，这就是 e 的 零一代。 e 的 零次方就是就是一个一啊，一乘以后边的 e 的 c 次方，所以就 e 的 c 次方就求出来了，就是一个四，是吧？我们本身就是想把 e 的 c 次方求出来的。好，则 我们就把 f z 的 一个绝对值求出来了，它就等于 e 的 六分之 拍 z， 再乘以 e 的 c 四方，就是一个四嘛，是不是？好，这个时候把绝对值一去嘛，绝对值一去，这边就加个正负号不就完事了嘛。所以啊， f z 表达式就等于正负四乘以 e 的 六分之拍 z， 你 看是不是一样的啊。一样的， 哎，这个我觉得是可以记一记的。就是类比它嘛，类比它记当然为人帮助这一块是必须要求记的啊，都掌握一下呗，是吧， 好，梳理一下啊，还是这些问题吧。哎，对相关变化率的问题。关于注水呀，抽水呀，是吧。这个体积对时间的导呀，面积对时间的导啊，这个都跟这个高度有关系对不对？把体积表示成高度的函数，面积表示成高度的函数，然后再去两边对时间求导。 好，这就再去约一约分就行了啊。好，这个题就讲到这了。好，我们看啊，这是数三同学需要看的一个题目， 某商品的需求函数，供给函数，分别是 q 一、 q 二 p 式价格两个出式条件求当共需平衡时的价格函数。共需平衡，那不就是 q 一 q 二相等吗？是不是？好，一看，这就是一个微分方程的题目啊。好， q 一 等于 q 二也记， 整理一下呗。三十九，三 p 六 p 一 撇撇，好，九十九， 这没什么难的啊，整理一下啊， p 撇撇，这个挪到左边吧。八 p 一 撇。 好，你也挪到左边啊，这里加上一个十五 p， 那 就是加上十二 p 常数挪到右边。九十九减三十九六十， 这不是二节长细数非其次无限方程吗？那通解就等于其通加非奇特是吧，通解写完之后出条件一带就行了嘛。 啊，非奇的特点就求出来了。好，我们知道啊，非奇通等于奇通加非奇特，其次通解我们先写出来吧。那我们先把这个其次方程对应的特征方程好，特征根看一下吧， r 方减去一个，我这就省一下吧，你写一下啊。其次方程对应的特征方程 八， r 加十二等于零，特征根算一下啊，可以分解音式吧，二六一十二对，它俩相乘是十二嘛，正好负八啊，所以是 r 等于二和 r 等于六， 两个特征根是不相等的，所以其次通解是这个结构的，对不对？所以啊，其次通解 好，嗯，它是 p， 是 吧，我们写成 p x 啊。好，那就等于看一下啊， c 一 倍的 e 的 二 x 次方， c 二倍的 e 的 六 x 次方，对不对？你看变量啊，你用 x 这个字母表示就行了。 然后非奇特，我们另一个 p 星吧，是它的一个侧解，我们看它的一个型号啊，这是一个常数，所以这里直接 a 另一个常数的一般形式 a 就 行了。对呗，好，代入代入一式啊， 我们可以得常数求导是零，求二阶导也是零啊，零零零零啊，那就是十二乘一个这个 a 等于六十，这个大 a 就 等于五，所以非奇特有了啊，整个一式的一个通解 就有了，很简单，是不是通解等于其通 加非奇特就是一个五嘛。初数条件用一下啊，我们先求个导，要用到导函数嘛。好，那就是二 c e 的 二 x 方是不是得六 c e 的 六 x 方，这求导就把这个这个系数拿下来啊。好，初数条件用一下， p 零等于八， p 一 撇零等于十四， c 一 c 二定出来啊，我直接求出来得了好不好。看一下零一代的话，那就是 c 一 加上一个 c 二加上一个五是等于八的啊。 再看一下零一代，二倍的 c 一， 六倍的 c 二是等于十四的，好，求一下啊，我写这把这个也当成它的一个步骤啊，所以，好， c 一 c 二，我们可以都乘一个二吧。第一个式子乘一个二， 这样的话，第一个式子可以减去第二个式子，对不对？这块就减掉了啊。二 c 二， 二， c 二减去一个六， c 二，那就是负四 c 二啊，十十六减去十四，那就是一个二，所以四倍的 c 二你挪到右边吗？那就十减二等于八。 c 二就等于一个二吗？ 好，来看一下 c 一 呗， c 一 等于多少呢？六乘一个二就是十二是吧？十二加上一个二等于十四，所以 c 一 是等于一的，这就求出来了啊，好， p x 就 等于一乘以一的二 x 次方，二乘以一的六 x 次方，加上一个五，是吧。 好简单的一个二阶长细数非其次微分方程啊，好，那这个题就讲到这了， f x 有 连续的导数， x 属于零到正，无穷满足这样的等式求 f x。 好， 我们看到了变现积分函数，肯定想不到他考察什么求导呀，是不是求导的话，那我们得想到啊，这个被积函数要不要预处理 的问题。那就看一下被积函数里面有没有 x 的 问题是吧，有，有的话就处理一下，你看看。 嗯，那直接其实直接提出来就行了，对不对？哎，对于他的话啊，我们给他写成两部分，哎，写两部分， x 乘以 f t， 哎，一乘以 f t， 那 第一部分的话， x 就 可以提出来，有一些呢，他藏的比较深是吧？哎， 藏的太深了，那就得变量代换了。这不太深啊，比较浅显的藏了一下是吧，他藏起来我们就给他，哎，剥出来啊，预处理一下。 好，这个后面，哎，这个很规矩是吧？这里边没有啊，没有 x 不 用去处理了。好，所以我们就知道啊，去解这个 f x 解微方程，那就是两边对 x 进行求导，刚好考察到变现极盘求导这一块的一个知识点，是吧，我们建立一个微方程去解一下啊。好， 为什么可以求导呢？你看 f x 就 连续导数， f x 连续对不对？连续的话变现函数求求导。变变现函数就可导的呀，当然可以求导了。好，这个我们还是写一下是吧，这个大体你就可以说圆方程， 我们给它划为好。第一块写两部分吧，是吧？ x 乘一个 f t d t， 第二部分，好，那就是一个 f t d t 啊，第三部分 是不是，哎，没问题啊，两边对 x 求倒了， 我们已经预处理好了呀。对呗，你看处理的很好，里面没有 x 啊。那乘法求导公式，左倒右不倒加左不倒右倒是吧？左倒移了，右不倒，加上左不倒右求倒，那不就是 f x 吗？ 减去它，求到那简单， f x 再减去，这也很简单啊， x f x 是 吧，等于一啊，对不对？我们发现啊，它跟它长得一样，那就没有了，整理一下啊， f t， d t 是 吧，再减去一个 f x 啊，剩的是它呀， 再有个一，那现在还没有建立出来微分方程是吧？建立微分方程得出现它吧，对不对？出现一些导函数啊。那我们继续两边对 x 求导呀。我们说了啊，它连续的吗？导数都连续，那更说，哎，更别说 f x 连续了。 这背景函数是连续的，变函数就是可导的是吧，这些性质别忘了啊，两边继续对 x 啊，求导。 好，那就是 f x 了是吧，减去 f 撇 x 等于零了啊，等于零，我们可以看出来了啊，它是一阶的向量的，其次维恩方程啊，可以整理一下， 那就是 f x 减去一个 f x 等于零，不就是 y 一 撇减去 y 等于零吗？会解吧，咱们记得有它的公式吧，那我就我没有写过来啊，这个太简单了是不是，所以啊， 直接我们就可以啊，求他把公式拿过来啊。 c 乘以 e 的 负的 p x 点 x p x 是 不是就这里的负一啊，哎，太简单了啊，好，负一，那就是 c e 的， 这比如一了吗？一原函数就是一个 x 呀， 我们是不是得把 c 确定出来呀， c 的 话啊，同学们做过这样的题了啊，前面啊，得知道找一个出条件就把 c 可以 哎，解出来，它通常就会隐藏在前面的啊，我们求的式子里面。好，我们去看一下啊，这里， 哎，你就可以往哎这里去看一下哎，往这里面去看一下啊，一般就可以找到了啊，这个出条件我们就看一下啊，他你你看他的话，你会发现你得不到任何的信息。 好，我们一般来说找出条件就是看到变现积分函数让上下线一样，哎，记住这样的一个做题的小小技巧是吧，上下线一样，那变现积分就等于零了呀，是不是。所以你看负的 f 零就等于一，那 f 零就是等于负一， 对吧，你就又或者是你由一是吧，由一的隐藏啊，出示条件，你看，如果你用原本的那个啊题里面的 柿子，你得不到什么信息啊，得不到出质条件 x 等于零是吧？见到边线积分函数啊，我们念它等于零，你上下等于零，那这块积分肯定就等于零了，是吧？这也是等于零。零，你得到什么信息了吗？没有得到，你就往下去看。哎，我就看到了它隐藏了出质条件，被我找到了，所以我就可以把 c 定出来是吧？ x 等于零的时候， e 的 零次方等于一，这就是 c 是 吧？左侧的话就是一个负一， c 就 等于负一。 好，那就求完了呀，走 f x 就 等于负的 e 的 x 方，是吧。这样的题啊，还是跟前面的啊， 变现积分函数求导是吧。这块预处理求导公式啊，哎，的一个综合题。 文言方程它是考察最简单的啊，一阶其次，一阶限性，其次文言方程，这不是它的一个通解公式吗？处事条件隐藏起来了，给他找到处事条件怎么找？哎，零设限线相等吗？ f 等于零，找到啊，好，这个好，我们看这个题啊，设反 x 为连续函数， 绝对值 f x 啊，是小一点，以 k k 为常数，求微分方程满足出式条件的特解，这是一个一阶的限性的非其次微分方程来解决出值问题的。那我们是有它的一个通解公式的是吧。好，并且证明一下啊。 y x 把这个特解求出来之后啊，取一下绝对值小于等于它整一下啊，我们写一下啊， 又要穷又要正，怎么写呢？就写个解吧。好吧。哎，写个解吧。好，把这个通解公式拿过来。好吧，这个我们这样写呗， 因为这个题啊，它比较简单，就写可以把 p x， q x， 哎，给它写，说明一下是吧？题比较难的，多的，步骤多的，你可以省略啊，直接就来这个通解公式啊。 p x 这个题就是一个一，是吧？ q x 这个题就是一个反 x。 好， 我们就说代入通解公式， 哎，通解公式大家都背了，所以你直接啊就出嗯，这个公式就行了。好，这是 p x， 我们也可以只乘进去啊，或者先补乘进去也行啊。 q x 就是 一个反 x。 好， e 的 p x dx 再 dx 加上一个 c， 是 不是？我们看一下啊，往往后边写吧， 这是负一，那就是一个负 x 啦，是不是负 x e 的 这就是 x dx 加上一个 c， 对 不对？ 那我们啊，可以给它拆成两部分啊， e 的 负 x 方，为什么要拆两部分？这样便于大家看的更清晰一些。反 x e 的 x 方 d x。 好， 这里有一点注意事项啊，我们知道这是 非奇微分方程的一个通解，是吧？非奇通的话，非奇通，它的一个解的结构是什么呀？是等于奇通加非奇特，对不对？奇通加非奇特， 那我们写的两部分就是为了为了让大家看的看成看这个解的结构，看解的结构更清晰啊，这是不是就是其次通解带个 c 啊，这就是奇通，这就是非奇特，非其次文言方程的一个特解，对不对？ 好，你看啊，他是给了一个数条件啊，求的也是一个特解，是不是？也就是说我们这里只需要找一个元函数就行了？好，我们知道不定积分的一个结果，他是有很多的，是不是？哎，元函数有很多，我们只需要找一个元函数，找一个元函数即可， 对吧？因为找的是一个特减，找一个元函数即可，而通常这里可以记一下，是吧？我们这个元函数啊，就找的是谁呢？找的这个元函数，通常找的就是变上限积分函数， 就用它就够了啊，变上限积分函数，因为你现在写的就是积分的一个形式吗？是吧，我们就用变上限积分函数作为， 哎，这个不定积分的元函数就行了啊，好，后续我们见到啊，这样的题是很多的真题，也是考过的，所以同学们啊，记住，我们找一个元函数，找的就是变上限积分函数，那就是零到 x， 好， 那你都有 x 了，所以我这里边啊，就得用 t 了，对不对？我们把变量改一下， 哎，就是区分变量了，是吧？你上线变量是 x， 那 这这背记函数你就写成 t 就 行了。再说一遍啊，就是说你看啊，求微分方程满足处条件的一个特点，而我们现在写的这个形式啊，就说如果不写成这边还是啊，还是这个型号的话 啊，我们说的是这里啊，就这个地方还这个型号的话，那前面呢，就是奇通加非奇特，这后边是非奇特。 好，这表示的是非奇次微分方程的通解，是不是？这不是非奇通的一个公式吗？现在是求的是非奇 非奇次微分方程的一个特解。特解呢，那就是要把这个 c 给定出来，后边一个非奇次的一个特解，哎，一个非奇次微分方程的特解，听好了吗？哎，把这个 c 定出来，后边定出来一个非奇次微分方程的特解。好， c 也定出来了，那这这个就是 这全部都定出来了呀，是不是？所以我们就称为啊，嗯，非奇素元方程的一个特解，那就是 y x， 对 不对？通解的话，那，那通解啥意思啊？就是 c 有 很多个取值嘛，对吧？所以它是一个通式，是一个通式，所以叫通通解。现在都定出来了，是吧？这里定出来一个具体的 c， 我 们待会根据处理条件可以把这个 c 定出来，这是具体的了， c 负值了，负值了，就是 特解了啊，其次的通解，现在变成其次的一个特解了，是不是变成特解？好，这里本身啊，它是写成这个样子的，对不对？非其次特解，那我们知道不定积分的结果是很多个呀， 我们现在只需要找一个就行了，是不是？我们我们解的就是一个特解，特解的话就是你得是具体的，你得是具体的，而我们找一个非其次特解的话，通常就是找这个啊，这里是一个不定积分，是不是找元函数吗？我们这个元函数呢，就找变上限积分函数。 变上限积分函数好，再跟前面这个一程就作为非其次微分乘的一个特解了，是吧？这是一个不定积分，它有很多个元函数，我们只需要找一个元函数即可。 好，大家可以把这个记下来。后续啊，做这样的题也是很多的，因为我们用变上限积分函数的好处是什么呢？他会啊，有一些题目他要求导，你求导就非常方便，是不是？求导用变上限积分函数的求导公式就行了，你看一下啊。嗯，我们如果啊，这里 本身是这个样子的，后边是吧，我再解释一下啊， e 的 x dx 的 话，它的一个原函数，我们如果记为大 f x 的 话，是不是后面加一个 c 啊？是不是？这才是啊，这个不定积分的一个结果，而我们现在取取这个不定积分的 结果的一个具体的一个值，对吧？具体的一个一个情况啊，我们就称为找了一个原函数，对不对？这 c 是 很多个呀， c 可以 任取，对不对？所以原函数就有很多个，我们找一个，你看找的就是这个啊，他，他接的那个结果，你看一下啊，是不是？我们是不是找了一个，你看能看出来不？ 它是不是就等于大 f？ 我 们说它的原函数是大 f x 嘛，那现在就是大 f t 啊，对不对？原函数即为大 f t， 对 于它来说好，零到 x 一 带，所以就是大 f x 减去一个大 f 零，是不是我们就找了啊，这样的一个零积分的一个原函数，你看 取的这个 c 呢？是不是取的就是一个负的 f 大 零啊？好，就是取了啊，负零积分的啊，找了一个圆函数出来，这，这圆函数有很多个，我们找一个出来，是不是找了一个呀？这个 c 就 取的是大 f 零，好，就作为一个非奇数函数的特点就行了。 好，我这里解释的比较多，后续可能就不说那么多了，同学们，直接记下来得了，是吧？直接记下来得了。好，那我们接下来呢，再把这一个，嗯，处事条件用一下，把这个 c 求出来呀，是不是这样才能求的是非奇？是特解啊， 对不对？不然你就通解了啊，所以又因为啊，又所以什么呀？因为 y 零是等于零的，所以 c 等于谁呢？ y 零等于零， x 等于零的时候， e 的 零次方等于一，这就是 c， 是 吧？当 x 等于零的时候，好，这上下线都一样了，所以这是一个零，左侧呢。哎， y 等于零的 c 就 等于零了呀， c 就 等于零了，好，那我们现在就能够看出来， y x， 这里写个 y x 吧，因为这里是吧。 y x 好 写，严谨一点，把后面抄过来就行了。负 x， 哎， c 已经定出来了，零了，是吧，还写上去干嘛呀？ e 的 负 x 方零到 x five t 好， e 的 t 次方 d t 好，这就是第一问啊，这还有个第二问，对吧？我们可以这样再来一个证明，好， x 大 于等于零的时候，这是前提条件啊。 x 大 于等于零，什么意思呢？也就是对于，哎，这一个积分来说的话，上限是大于下限的，对，他也是很关键的。上限大于下限啊， 那让我们去放松，是吧？好， y x 的 一个绝对值嘛。好，那我就取绝对值啊，对吧？零到 x， 这也是取个绝对。我整体先取个绝对值吧。 一的提次方递梯，整体取个绝对值，而指数函数是大于零的，对吧？我就可以把你提出来。好，剩下的是这个，那我们很显然看到了啊，积分的一个绝对值，那就想到前面的知识点了，是吧？放松呀，积分的绝对值小于等于绝对值的一个积分，对吧？把绝对值放到这里面， 好，递梯，而我们知道它是一个大于零的，所以把它可以拿出来呀。 e 的 t 字旁拿出来，那就是发音好，绝对是 d t。 这个题里面给的有信息啊，是吧？哎，往大了放，缩，小一等于 k， 好， 那我们就小一等于啊，把它放作为 k， 对 k 好， d t， 你 看，这就可以积出来了呀， k 提出来，行吧？行啊， k 提出来， 这个后面的话啊，是 e 的 t 次方抵 t， 那 不就是 e 的 t 次方是原函数吗？零到 x， 对 吧？ k e 的 负 x， 这里是 e 的 x 次方减去 e 的 零次方。你看，把 e 的 负 x 次方提乘进去， 那就是 e 减去 e 的 负 x 次方，是不是它？ k 乘以一减 e 的 负 x 次方，那就是正 完了。正 b 或命题的正都可以啊。这个我觉得证明到没有什么难的吧。没有任何难度啊，就是这一块，同学们以后遇到啊，他是让你求一个微分方程的一个特解的话，那就 c 是 要固定出来的，这里也是找一个，是吧？找一个具体的一个 c 好， 找一个 这个非奇特，用边上线含积分函数啊，作为他的一个原函数，作为他的原函数，解决问题就 ok 了。好，这个题。

好，我们看这个题啊，哎，刚开始看一眼，发现是个定积分，你再仔细看一眼，你会发现 x 取三的时候三得九就减九等于零了呀，父母等于零，零分之一是去无穷了，所以这是一个无界函数的反常积分，三是它的一个瑕点，对不对？ 哎，但是对于这个题目根本就不影响，你就直接把它当成定积分就行了，它是一个瑕疵分，我们没有必要再去判定它的连散性了。我们说反常积分，你 遇到这样的题目的话，哎，要判定一下他到底收敛还是发散，是不是对于一个填空题，他就是收敛的啊？遇到反常积分就是收敛的， 没有做过啊，他出一个填空题，哎。关于暇积分或者是无界函数上的反常积分，他搞一个发散的，没有见过那样的题，所以就默认他就是收敛的一个反常积分，所以你就当成定积分就行了，哎，你就当成定积分啊。 好，那既然当成定积分的话，我们去看一下，这里有一个绝对值，就牵涉到去绝对值的问题了，对不对？去绝对值的问题， x 平方减九，如果它小于零，如果它大于零，那去绝对值情况是不一样的，是吧？这种时候这种情况 x 是 小于三大于负三，是吧？哎， x 在 这个区间的时候，那么整个这块是小于三等于负三，是吧？哎， x 在 这个区间的值的话，那就是直接九减 x 平方了， 去绝对值要加一个负号吗？如果啊，这个绝对值里面是大于零，也就是 x 大 于三或者 x 小 于负三，那这里边大于零的吗？去绝对值直接去就行了， 是吧？这，这去绝对值的结果。我们现在 x 啊，它是根号五到五吗？牵涉不到这个负三的关键点。不就是负三和三吗，对不对？没有负三的事啊，所以就是跟三有关系，那我们就用三把这个区间哎，分成两部分了，是吧？ 好，我们记为 a 的 话啊，那就是根五到三一除以根号下，你可以啊，先把绝对值带上，先把哎对积分分成两段，三到五去。绝对值的问题，咱们已经见过好几个这样的题了，应该会去了啊，是吧，都是给它写成哎，两部分 好，在这个区间根 x 是 不是大于根五小于三的呀？小于三的，哎，在这个区间，那相当于它在这个区间内嘛。所以确定值之后就是九减 x 的 平方呀。对， 一比上根号下九减 x 的 平方 d x 加上三到五。好，那这种这个这个时候 x 大 于三，哎，大于三直接去绝对值就行了，根号下 x 平方减去九 d x， 对吧？先是区间的区间的可加性，然后把这个位置再去掉，这时候是不是就考察了两个积分的一个公式啊，同学们，这个得熟练应用吧，是吧？这 a 方减 x 方开方分之一，这个 a 就是 这题里边的三啊 三的平方，这里也是三的一个平方，是吧？先是这个公式啊，再这个公式，好，我们看这个是 r c， 注意它没有 a 分 之一啊，区别区别那个它的啊，好， a 就是 一个三 x， 对 吧？好，根号五三，再加上 对于它的话，是不是就是这个公式？这个公式啊，考的是非常频繁的，记下来啊，零 x 加加个绝对值啊，好， x 平方减去三个平方就是九啊，好，三五 这个二克三三除以三十个一，减去一个二克，最后再化解啊。三三分之根号五嘛，再加上零五，加上五五，二十五减九十六开方四，好，减去零三，加上三得九九减九零，对不对？再化解一下。 c 多少等于一啊。二分之 pi 呀， 减去那这个没办法知道了是吧。那角度是谁不知道呀是吧。好，加上零九 九。 long 九写的不太好哎，有的人说我就写 long 九，写 long 九啊，你以后你就别写了啊，九的话是三的一个平方是吧。把这个二挪前面，尽可能化解啊，你不要再去问考研的时候 long 九给不给你分了啊， 他给你判分判错也是有道理的，因为这个是非常能够看，非常容易看出来的，如果你犯这样低等的错误，不能原谅的啊。你这个如果没有写成二倍光阴三，你赶紧记下来了啊。减去光阴三加零，哎，就是一个三嘛， 对吧。二倍光阴三减光阴三，这不就是可以再化简一下吗。二分之 pi 减去一个阿克三，三分之根加上光阴三 是吧。尽可能化简啊，有一些题目啊，不是这种很明显能化简的，然后你没有化到啊，特别的一个简化的话还就微分方程那一张啊，还是可以原谅的，但像这种啊，比较简单，大家大家都能一眼看出来，你没有看出来的，可能会给你判错的啊。好，这就是它最终的一个答案了，我就不写了，太长了。 那我们也提一下啊，这个题他就考到了啊，是一个暇积分对不对？是属于啊无极函数这一类的啊，反常积分，你看他的一个这个暇点是不是就是三呀？对不对？暇点是一个三， 你看这块的话，它的一个 q 是 多少呢？咱们说了它一定是收敛的，为什么收敛呢？它的 q 是 不是二分之一啊？对不对？二分之一小一是收敛的呀？这块其实你可以这样嘛，你比如说我们看它的话啊，是不是可以写成这底下的话啊？你看这根号下，你这个 可以写成 x 加三， x 减三呀，对不对？你瑕疵分的话是三，这块跟跟瑕疵是没有关系的，这一块是不是我们说啊， 有极限存在的一部分， x 去三的时候，极限存在一部分就把它甩掉就行了。那看这一块是吧？那他的一个他的头上，头上是不是二分之一就是根号呀？二分之一小圆一就熟练的吗？你没有必要去判定啊，没有必要去判定啊，他就是熟练的。好，这个题就讲到这了。 好，我们看这个题啊，这也是一个反常积分，上一个题呢，是啥积分？这个题呢？是无穷区间上的反常积分，他，他们总之都是反常积分作为填空题。我们说了，你无需去判定这个反常积分是收敛还是发散，他一定就是收敛的，记下来就行了。 好，我们已经确定了他是一个收敛的反常积分，那么就可以用。哎，这个负无穷到正无穷可以给他看成对称区间了。 注意我们的前提啊，是反常积分收敛的情况下。好，我们可以把负无穷和正无穷当成对称区间，这样这个时候就可以用对称区间上定积分。哎，这块这个性质去做题了啊， 那前面我们在第八章的时候也说过啊，那有些题目他是选择题，比如说某个题目让你判定下列反常积分哪些是收敛的，让你去选择了啊，他出现这个，哎，这个负无穷到正无穷的时候，你就不能够啊，利用 对称区间啊，他是对称区间，负无穷的正无穷，然后，哎，定积分的这个性质去做题了啊，不能用这一块的啊，因为 你现在不知道啊，选择题是让你判定的，你根本就不知道他收敛还是不收敛，是不能够用这一块来制定的。咱们当时说过啊，现在再说一遍啊，只有确定了收敛，才可以把负无穷和正无穷当成对称区间。那么既然 可以当成它，那我就是判定一下，哎，这块是奇函数还是偶函数了，是不是？哎，这个绝对值 x 肯定是偶函数啊，这也是偶函数，是不是？这也是偶函数，所以这整个就是一个偶函数，偶函数在对称区间上，哎，给它看成定积分就行了，是吧？就用哎这个性质就行了， 它就等于二倍的零到正无穷，是吧。 x 绝对值 e 的 负 x 平方 d x， 那么既然是零到正无穷了，那 x 就是 正的呀，是绝对值，直接去掉就行了。零正无穷 x e 的 负 x 平方 d x 这个积分比较简单了吧。二、 x d x 一、 凑凑为分嘛，也凑成 x 平方嘛，是吧？凑成 x 平方呀，好，或者你再添个括号，添个括号也行，就把整个的负 x 看成一个整体的话，就是 e 的 t 嘛，看成一个整体，这样 好负的，哎，就这样了啊，你知你知道我的意思对不对？好，把它看成一个整体，它的一个圆函数的话，是不是就是 e？ 我 们知道 e 的 t 四方，圆函数不就是 e 的 t 四方吗？是吧？这就是 e 的 t 四方， 把这个整个看成一个整体了啊。好，这就是零到正无穷。你这里如果不凑的话，不凑一个负号的话，那就写这是它的圆函数，那因为这里还有个符号，所以再添个符号，一样的道理吧。 好，这个时候就比较简单了呀，我们符号的话是可以作用于上下线的，平时也可以养成这样的习惯，不容易出错。符号直接作用于上下线啊，作，作用错了重来 是吧？好，上线一带一的零次方是个一下线一带一的负无穷次方，那取极限零，所以等于一，一往这一写就行了，是吧？这款记一记，哦，别搞错了。好，这个题就讲到这了。 好，我们看这个题啊，小 f x 是 用极限定义的，并且这里面我们看到了 x 的 二 n 次方，哎，我们是不是已经做过类似的题目了，看一下啊，基础三是讲一点五啊，咱们说 x n 次方， n 无穷的极限，跟大家都说过了，那 x 的 二次方 n g 无穷的时候，哎，这极限的几种情况也都说过了，是吧？哎，这个关键点就是说 x 它的绝对值是小于一，还是说 x 绝对值大于一，以及 x 等于一和等于负一，这个这几个情况不一样，这个再复习一下，应该还有印象吧，是吧？你 x 就是绝对值小于一的话，你平方之后是不是也是小于一的？那你既然小于一的话，好， n 次方，那极限肯定就是零的，对吧？二分之一，比如说 n 次方，那极限等于零啊，是吧？绝对值大于一的话， x 绝对值大于一，不就是 x 大 于或者 x 小 于负一吗？绝对值大于一，那么平方之后也是大一的，大一的 n 次方，比如说三八， n 趋无穷，这不就是趋到趋无穷了吗？是吧？ x 等于一和去和负一的话，这块都是一了一的，多少次方它都是一嘛，是吧？ x 绝对值小于一， x 绝对值大于一就是等于一的时候。好，这一块啊，得知道做过的题目，能够立刻想到这样的一个讨论的一个关键点，是吧？关键点， 好，这给出来了，小 f x 在 零到二上面定积分是等于 a， 求这个 a， 那 是不是得把小 f x 求出来呀？小 f x 就是 用这个极限啊，我们去讨论 x 的 一个取之情况，那把这个小 f x 表达式哎给表示出来，再去看这个定积分的事啊，好，那小 f x 看一下啊，这是不是就是把这个这几种情况来写一下就行了？当 x 绝对值小于一的时候， 这样啊，这个这个，我们是 n 去无穷，是吧？跟这个 x 没关系，这个 x 就 挪前面就行了。绝对值小于一，我们说了这块这个极限的话，就是零，极限就是零，所以就是一除以一，对不对就是个一，一乘以 x 就是 一个 x， 这个时候表达的是就是一个 x， 我们再看 x 绝对值大于一的时候大于一，我们知道啊，这个这块这个极限就是无穷，既然是无穷了，好，那我们求极限，要想到抓大头的一个思想，是吧？ 你去无穷，你也是去无穷，这个一都不用去看了吧？好，你俩长得是一样的，那么比较你们两个前面的系数就行了。上面是负一，下面是一，是吧？一比就是一个负一吗？所以这块这个极限就是一个负一。注意了，还有一个 x， 别忘了是不是负一乘以 x 啊，可别忘了， 还有就是 x 绝对值等于一的时候，有 x 等于正负一的时候。我们知道啊，它的极限就是不是不管极限还是说它本身，它本身就是一个一，那一的极限肯定也是一啊，是吧？ x 等于一 一的平方啊，这就是一，一的多少层他都是一啊，本身他就是个一，一个数的一个极限肯定还是他自己嘛。所以说这就是一减去一个一，这上面是一个确定的零呀，对不对？下面是一加一是一个二，零除一个二吗？肯定就是一个零呀，这个啊，好表达是有了，那看一下，他是零到二上积分， 零到二这个区间上的话，积分我们是不是得给他分成零到一？一到二为什么要分？因为关键的点在这里，我们可以看出来负一和一吗？这个题跟负一没有关系，那跟一有关系？一这个点它左侧和右侧表达式是不一样的呀，是不是你一定要去分啊？分零到一啊？ f x， d x 再是一到二，你不分的话，请问你这里应该写哪个表达式？表达式 对吧？你零到二上的话，它牵涉到零到一，哎，牵涉到啊，一到二，是吧？表达式不一样，你必须要分成啊，两部分好在零到一这个区间上，你说 x 小 于一这块啊，是不是它属于这种情况啊？把 x 往这一带， 一到二，那 f x 它属于，它是属于这个区间上的，是吧？它就是负 x 表达式 dx。 这题很简单呀，这一瞄，瞄眼啊，二分之一这边的话，原函数是负的二分之一， x 平方一到二，是吧？哎，再写一步，二得四，四减一是个三，二分之一减去二分之三，所以是负二分之二就是负一 选 d 是 吧？就是前面章节的，就相当于第一章的内容又搞过来了，跟这一张是吧？定期分这一块，哎，又结合连小小的一个综合题吧。好，区间啊，给它分成两部分。好，这个题就讲到这了。 好，我们看这个题啊，负一到一这个区间上对它的导函数进行积分。哎，这简单啊，那我这个既然是这里边是它的一个求导，那我积分出来它原函数的话，是不是就是它本身呀？啊，一除以一加上二的 x 分 之一次方负一到一， 好，一除以上下线一带，是吧？这是一吧，再减去一个一除以一加上二的，这是负一次方。 不写了啊，错了，你想一想，这题怎么可能这么快就让你做出来呢，是吧？而且他还给你写好一个导函数，然后你再顺理成章的，是吧，把他的一个原函数求出来，不用求，就是他上下页一带太简单了啊，他肯定是藏有坑的。 坑在哪呢？好，看到我们的一个区间是负一到一，好，它是不是包含零这个点了呀？你看啊，零带到分母上，你从左侧区域零和从右侧区域零的话，把它看成一个整体的话，那么它区域的 数是不一样的，也就是零这个点是这个函数的一个间断点，你看是不是啊？ x 区域零正的时候，零正 分之一，是不是正无穷呀？二的正无穷就正无穷，加个一还是正无穷，分之一的话，就是趋于零的，对不对？这个我们记为大 f x 的 话啊，就是它是个大 f x， 它就是趋于零的，是吧？当 x 趋于零，负呢？ 零负分之一就是一个负无穷，二的负无穷，次方求极限嘛，就是趋于什么呀？趋零啊，二的负无穷嘛，趋零啊。所以说趋零的话，再加一个一，那就是一，一分之一就是一个一，对吧？ 也就说我们 x 从右侧，从左侧去零的时候，那么大 f x 的 极限不相等呀，这不就是说 x 等于零是大 f x 的 间断点吗？什么间断点呢？这几点都存在，但不相等是吧？它其实是一个跳跃间断点，你如果仔细说的话，也不用判定的那么准确啊，相当于复习一下了。 好，为什么是间断点的时候就不能够用牛顿莱维尼斯公式了呢？咱们现在是不是把它的原函数求出来，好，再把上弦线一带，这不就用了牛顿莱维尼斯公式求定积分的吗？而我们说呢，牛顿莱维尼斯公式，好，这是有要求的，必须要求的是小 f x 在 a 到 b 上是连续的， 那要求小 f x 在 a 到 b 上连续，那大 f x 自然就是连续的，是不是？这个我们在前面已经说过了，原函数存在定理是吧？大 f x 它是小 f x 的 一个原函数嘛，它求完倒就是小 f x， 对 吧？大 f x 既然可以倒，可可以求倒，并且是小 f x， 大 f 肯定是连续的，是不是？所以我们看到这样的题目，你求出来这个原函数必须是连续的， 或者你看去看它，它也得是连续的，对不对？你看它或者是看这是小 f x， 这是大 f x， 你 看哪个都行，都得要求的是连续的， 必须是连续的，在这个区间上都得连续的。现在间断了呀，在这个点处间断了，你就不能够用 new 的 例子公式了，是不是？那关键的点就是这个零嘛？那我就把零，哎，插到这个区间里面，把区间分成两段看。我们做过九点一零，技术三十讲上面也说过很详细的，是吧？ 这个时候这个题它是，呃，出现了贪心的 x 啊，出现了贪心的 x， 它积分区间，你看积分区间包含到积分区间，零到四分拍包含了二分之拍这个点，二分拍这个点就是它的一个在这个区间上。好，这个啊，这个函数的一个 间断点，你说大 f x 或者小 f x 都行，总之二分拍就是间断点，它或者它的间断点啊，总之不能够用，哎，这个牛顿莱姆尼斯特公式是吧？那怎么办呢？就把区间分成两段呀，咱们已经见过它尼的 x 包含二分之拍 这个点的题目了，这个时候又见到了一个啊，负一到一好包含零这个点的，哎，零这个间断点的题目了，所以你一开始没有注意到的，那我们做一个题，你就积累一个题的一个经验，这就是做题的目的达到了就行了。好吧，不要觉得第一次做错很苦恼，不要苦恼啊。 好，那我们现在就知道了，这个上面是错节，是吧？那就正节，正节。 哎，上面是错的啊，错解开始，那这就简单了，你理好思路之后就很简单了，是吧？我相当于利用区间的一个可加性嘛，我把它再抄过来吧， 我整个啊积分分成负一到零这个区间，零到一这个区间。好， 这简单了，这这这也跟上面是一样的了，只是说啊，分成两段积分而已，这圆函数不就它吗？负一到零啊，好，这里呢是一加二的 x 分 之一，好，哎，对吧？对的， 零到一，对，行了，好，上限一代，零一代的话，我们知道啊，这个时候你看它是从左侧 x 从左侧去零的，是吧？ x 小 于负一 大于负小于零吗？从左侧去零啊，零带进来他肯定是不行的吗？所以说我们用牛顿来布尼兹公式的话，就是求极限就行了。零一带是从左侧去零，咱们已经说了，从左侧去零的话，他是去一的，对不对？整个这块咱们已经说过了啊，去零 趋于零，负的话，这是一个负无穷嘛，负无穷一二的负无穷啊，二的负无穷就是趋于零的啊，所以说一除以一就是一个一上限带入的结果就是一下限带入一加上二的负一次方，是吧？二分之一啊， 在这一块再加上后面一加上二，这上线再减去下线一带，这个时候是 x 大 于零小于一吗？所以他是从右侧去零，去求这块的一个极限就行了。那这里我们已经说过了，他是去零的，是吧？ 为什么去零啊？从右侧去零的话，零正分之一是负，是正无穷吗？正无穷分之一是个零啊，极限好，一减去，我们看这是一加二分之一是二分之三，倒数是三分之二， 加上三分之一是吧？一减三分之二，三分之一加三分之一，三分之二呀， 平时踩一些坑呢，是无关紧要的啊，放宽心，我们每做一个题，有所收获，这就是做题的意义了啊，加油啊。好，这个题就讲到这了， 好，我们看这个题，这是一个积分，这看到了对称区间，哎，可能有些同学想到对称区间上应用啊，这个背记函数的就行，这块做题有这个想法是对的，那我们再去观察一下，发现这里有一个啊， arc sin 加 arc cosine x 啊，这里是有一个横等式的呀，它是加到一起是等于二分之一拍的，这就不给大家正啊，私下里可以去正一下啊，记住它就行了，你可以两边求导。哎，很好正的啊。好， 那我们就来了第一个方法，直接你知道它是二分之一拍，带进来呀，是吧，带进来先看一下啥情况， 代的话我们记为 i 吧，这就是负二分之一到二分之一 x 绝对值，这不就是二分之拍了吗？那一个数我提前面不行吗？行呀，好，一减去 x 平方开方 d x 是 吧？ 好，那这个时候是不是看到了啊，这个背积函数是个偶函数啊，那瞄一眼就瞄出来了，偶函数这个时候就可以用啊，对称区间上啊，这个 定积分的一个性质啊，可以写成两倍的零的二分之一，这个时候 x 大 于零了吗？所以绝对值可以直接去掉，一减去 x 平方开方 d x， 这积分就很简单了，你看到了根号，你可以三角画圆也看，或者是看到这 x 方，这有个 x， 那 自然可以去凑微分是吧，凑微分是不是更快一点呢？我们看啊，这前面二，前面我们留一个二啊，有二分子拍 这个二， x 和 d x 就 凑成了 d x 平方呀，零二分之一先凑一份看一下。 好， d， 我 想要的是 x 平方，并且还想要一个一减去，是吧？那这个时候你是多一个符号呀，所以前面一定要添个符号啊，别忘了，那我们看负的二分之一。好，这看成一个整体啊，对不对？这是 t， 这是根号下 t 分 之一。得立刻想到 这个，它的，它的它的一个原函数嘛，相当于，对吧，它求导，它求导是它现在啊，它的一个积分，结果肯定就是二倍的根号下 x 呀。对呗，二倍的根号下 x， 这个题就是一减 x 方嘛， 这个得很快啊，能看出来他是谁。我们把上下线一带好，零的二分之一是不是可以写成二分之一到零啊？你一旦上下线换了，就把这个符号改成正好，是吧，我们把这个符号作用于上下线啊，不容易出错的啊。 好，二根二消掉了，前面是一个拍啊，这上线一带的话，一减去零，开方还是个一了啊。减去一减去四分之一开方二分之根三呀， 是不是这个结果就行了啊？一减去二分之根三，前面有个拍，拍写到哪都行，或者这个地方我们可以跟式代换，也行，是吧？复习一下啊，可以复习一下，或者啊，就是这个地方 跟式代换，我们就另 x 等于 c t 就 行了，是吧？好，这个 i 的 话看一眼，当 x 取零的时候，前面有一个拍吧，先拍拿过来啊， x 取零。 嗯， t 也是取零的啊， x 取二分之一， t 取 t 取六分之拍， c 三十度等于二分之一嘛。好，继续 x， 这是 c t 一 减 x 方就是 cosin t 方开方啊，这是在零到六分拍正的是吧。直接 cosin t d x 就是 cosin ds， 有 cosine t d t 吗？这样的话，好，这里面就剩 c n t 了吗？ c n t 的 原函数不就是负的 cosine t 吗？是吧。零六分之一带，或者我们把上下线一换，把符号作用于上下线来， 它也提前面 cosine 零就是一个一 cosine 三十度就二分之根三，你根式代换也很快。这样都可以啊，都是 ok 的。 好， 那假设啊，感觉他们没有看到或者是没有借助这个恒等式的话，还怎么去想呢？怎么去想就一开始我们看到了对称区间能不能用极有性是吧？就这个定积分这一块的一个性质吗？啊，被计算器还是我函数的问题，那我们就给它拆成两部分呀。对，拆成两部分看一下啊， 可不可以用一下啊？对称区间这一块的一个性质啊？积分的性质，负二分之一到二分之一。第一部分是 x 绝对值，其实第一部分你瞄一眼你就知道了啊，是一个奇函数，这第一部分说这是奇函数，偶函数，偶函数，那就是奇函数来， 奇函数在对称区间，积分确实是等于零，你可以提前瞄一瞄，这就是零了，是吧。所以就剩的是后边一部分了啊。 x 绝对值 ark cosin x 比上 e 减 x 平方好。 d x 开放啊，前面是零了啊，前面零加上这个，后面的话 怎么办呢？这里还要同学们注意一点啊。 arc c， 我 们说了，刚刚是说到它是奇函数对不对？得记下来啊，它是奇函数，图像这都得记下来是吧？这个啊，好， y 等于 arc cosine x， 它是非奇非偶的哟，你看它的图像啊，它的区间对不对？它是非奇非偶啊， 图像要记下来的啊，你看负一到一，然后这个值域是零到拍嘛？对，它这是负一到一定域负一到一啊，值域是负二拍到二拍的。这是 g 函数吗？不是收函数吗？不是啊，所以这个时候你就不能够用啊， 对称区间上啊，定积分的一个形值了是不是？那怎么办？那怎么办的话，这是一个 x 绝对值，你想去绝对值啊，这个不行了，那我就去绝对值的问题了，去绝对值 x 大 于零， x 小 于零的，是吧。这个时候你会发现啊， x 对 积分区间包含的有负的部分，有正的部分，所以我们以零 是吧。以零这个点关很关键的。这个点啊，把区间分成两部分啊。对，分成两部分， 当一个小 a 领的时候，绝对值去掉，加个符号，加个大 a 领的时候，直接去绝对值。现在就是去绝对值的问题了啊，负二分之一到二分之一，哎， sorry， 到零，这就是负 x r k cosine x 是 吧。比上 e 减去 x 旁开放 dx， 再加上好，这应该是零到二分之一了，是吧。去绝对值，直接去一下 arc cosine x。 好， 那我们看啊，这个时候跟上面的处理手法可以类似类比， 这里我们看到 x 方这有一个 x， 哎，可以去凑微分看一看。是不是可以凑微分看一看。那也看到了，根号也可以进行三角换元。两个方法我们也都做一做，复习一下积分这一块啊，平时，哎，多练习一下。我们先这样吧，这里又分出来的，是吧，小小的一个方法，法意就是凑微分啊， 我写小一点了，怕写不下了，凑一分就分不积分了。好，这一块还是啊，哎，就等于负二分之一到零。好， x 要凑到后边了啊。那是 ar 克 cosine x 比上根号下 e 减 x 平方那个 x 搞过来， 是不是要补一个负的二分之一啊？对，补个负二分之一啊，这也能看出来了啊，到这个阶段我觉得可以了 好，再加上后面的零的二分之一阿克 cosin x 比上一减 x 方 d 还是要把一减 x 方写过来，那这个时候是负的。哦，这里不对啊，搞错了， 是我搞错了啊，这里没有符号，因为这里有一个符号呢，是吧，这里去求微分的话，是负二 x d x 嘛，对吧。这有一个负 x， 有 个 d x， 只需要补一个 二分之一就行了啊，这里是需要补一个啊，这里是正的啊，这个，这里应该是补的，是负的二分之一是，这里求微分。是负的二 x dx， 而前面只有一个 x dx。 好， 认真一点啊，这个时候怎么办，哎，我们凑他的一个目的不就是跟他对形式保持一致吗？就相当于再凑一次，对吧。这个根号下分之一跟这一个一减 x 方，是吧，又凑一次， 这一块进行凑一分嘛。对，就这里我们说的啊，根号 x 分 之一 d x， 你 得敏感一点，可以凑出来二倍的 d 根号 x。 好， 这样写一下，往左边写吧， 二分之一负二分之一零， ark cosine 就 放在这了，这个时候就是 d， 我 们说了是二倍的根号下 x 二就写到这了，根号下 x， 就 这个题里的 e 减 x 方向对应。好啊， 后面减去二分之一倍的同样有一个二，零到二分之一。 ark cosine x， 好 的，这个根号下是吧，一减 x 的 一个平方，凑完微分，那你立刻就要分布积分了呀，这里系数都是一了啊，好，分布积分。 ark cosine x， 根号下一减 x 方，这是第一部分， 减去一个负二分之一到零，根号下一减 x 方，对它求微分。同学们比较熟悉的是 r c x， 求导。呃， r c x 啊，它的一个导函数咱们比较熟悉吧， 而 arc cosine 的 话就是加个符号啊，我们熟悉的这个公式前面加个符号就行了，这遇到的比较少，但也得知道啊，是吧，得记住啊，加个符号就行了。好， 对啊，求微分。就是负的，负的的话前面有个符号，所以这就是正的了，正的关键的点我就写成正，写成别的颜色啊。好，然后一减 x 方分之一，符号已经写到前面了，对不对，再减去。 好，你注意啊，这是前面一个整个减去这块要分布积分吗？好，第一部分啊，就直接啊对，分布积分啊，根号下一减 x 方 第一部分，注意，这里符号应该是加号了吧，是不是？哎，加号了啊，我们积分加上零到二分之一，根号下一减 x 方，同样对它进行求微分，还会来一个符号，符号 对，符号就写到这了，好， e b 上根号下一减 x 方 d x 第一部分，好，零一带这个一减零是一了啊，阿克 cosine 零， cosine 就是 cosine， 多少等于零呢？ cosine 二分之拍啊，是吧，或者你看图也行， cosine 多少等于零就二分之拍嘛，好，减去下线一带的话，阿克。 cosine 负二分之一。 cosine 多少等于负二分之一啊，三分之二拍对不对？这个诱导公式累积这个一些角度对应的函数值这。 嗯，三角函数值，来记一下啊。好，再看一下，一减去四分之一嘛，四分三开方 二分的根三，加上我们再看这里啊，这里跟这里一消就是个一了，那积分的结果就上限减，下限零减负二分之一就是个二分之一减去后面的啊， 好，上限一代。 cosine 多少等于二分之一呢？我们知道 sin 三十度等于二分之一，那就是 cosine 六十度是吧？六十度就是三分之 pi 呀。 cosine 六十度， sin 三十度啊，好，就是二分之一， 一减二分之一，一减四分之一开方四分之三。哎，二分之三减去零，一代的话一减零是一个一。 cosine 多少等于 cosine 多少等于零啊，二分之拍啊，还是这个减去后面这是一个一了，上线减去下线就是一个二分之一。把这结果看一下啊， 好，二分之拍，这有一个二分之拍，这里是负的，负的正的二分之拍，那加到一起就是一个拍了， 弄完了，咱们搞完了就打个叉了。前面的话是负的二三的六分之二倍的根三拍 后面啊，加个二分之一，减去二分之一就没有了，这还有一个减去六分之根三拍，这块是不是可以合并啊？减去六分之三倍的根三拍，那是六分之三倍就是二分之一吗？是不是他呀，你看跟我们上面结果是不是一样的呀。拍题出来，一减去二分之根三， 这个凑微分啊，这个过程就稍微慢一点了，但你没没有记住他的话，那确实得做一下，是吧，把题做做出来呀，我们再换一页啊，把三角画圆，再讲一下， 继续写到这里了啊，第二个方法的法好，就是这个地方，这个地方是吧，我们进行三角还原啊， 还原。那这个时候，哎，有同学说，我们就习惯性用令 x 等于 c n t 了，就不太行啊。想一下，你令 x 等于 c n t 的 话， 你看这里啊， ark cosine， 这 x 是 不是换成 c n t 啊，不好解决问题啊，所以我们，哎，换个思想， ark， 哎，令 x 等于 cosine t 就 行了。对，为什么呀？因为 ark cosine 的 cosine t 就是 等于 t 了呀，对吧，这个没有忘，忘掉吧，他们这个映涉关系你搞不清楚的时候，你就写一下呗。这是映涉是关系，是 cosine 的 时候啊，是 ark cosine， 那 么我们输入一个 t 输出的，哎，就是 cosine t， 那 么你输出输入的是 cosine t， 那 输出的就是个 t， 对 吧？自变量阴变量对调了呀，好，这个时候 d x 就是 负的 c n t d t 对， 我们看啊，这个既为 i 一 吧，可以吧，我们这里写一下吧，这个既为 i 一， 这个即为 i 二，好， i 一。 要不感觉这个斜的有点太挤了，我还是画一个分割线啊，看着舒服一点。这样分割一下好， i 一 换元，要三换，是吧？当 x 取负二分之一的时候， cos 多少等于负二分之一啊，三分之二拍，对吧？ t 就 取三分之二拍，当 x 取零的时候， t 取多少呢？ cosin 二分拍对吧，好，等于零啊。这第一款啊，第二款就是负非极函数啊， cosin t 吧， cosin x 我 们已经说了就是一个 t 了啊，除以底下一减去 cosin 方， cosin 方开方是 sin t 的 绝对值，在这个区间，绝对值可以直接去掉是吧。 d x 就是 负的 c t d t 看一下啊，三分之二排，二分之排负，负得正，负负得正了， c c 消掉了，就剩的就是 t。 cos 踢 d t 是 吧。密函数，三角函数，可以采用表格法，表格法 t 去求导，或者你错过一分，太慢了啊。 t 求导再求导。 cos 积分，积分是 c 啊， 现在积分负， cosine 交叉相乘是吧，正负相间对它的圆函数写过来， t 乘以 cosine t 负负得正了，这里啊，加上 cosine t， 三分之二拍，二分之拍上线，再一下 二百分之拍 c 二分之拍是等于一啊， cos 二拍等于零了的上线的结果啊。减去下线一带，三分之二拍乘以 sin 三分二拍， sin 三分之一拍吗？相当于 sin 六十度， cosine 三十度是它吗？ 哦，这个还有一部分啊， cosine 三分之二拍的话是负二分之一对角度的值。记住了，二分之拍减去一个六分之二倍的根，三拍加上一个二分之一。 好，再看一下 a 二一样的道理吧，是还是这样的，一个三角还原， x 取零的时候， t 取二分之拍呀， x 取二分之一的时候， cosine 多少等于二分之一啊，三分之 pi 呀，好， x 现在是它，这里是个 t 是 吧，盯住这里了啊，底下就是 sin t， 后面就是负的 sin t d t 好符号提前面啊， c n， c n 消掉了，还剩的就是 t cosin t 这个直接抄前面的是吧。原函数抄过来填个符号就行了。 t 乘以 c n t 加上 cosin t。 对，因为我们要带上下限，我们这个符号是不是可以作用于上下线，直接作用于上下线啊？好，就变成了三分之派到二分之派作用上下线，我们说过了，不容易出错啊。 嗯，二分之派 c 二派是等于一 cos 二派等于零，减去啊，三分之派 c 六十度 cos 三十度 加上 cosin cosin 三分拍是二分之一嘛？对，所以这里是二分之拍减去六分之根，三拍减去二分之一。所以我们这个 i 可以 算一下了啊， i 加上一个 i， 二 i 一 是 二分之拍，减去六分之二倍的根，三拍加二分之一，这没必要写那么多了，是吧？那写就写吧。对，结果已经出来了呀， 减去二分之一，二分之一跟二分之一啊，消掉了二分之拍，二分之拍就是一个拍，减去六分之二倍的，减去六分之一倍的。减去六分之三倍的就减去二分之一倍的，是吧？六分之三分之二分之一嘛，拍一题 一减去一个二分之根三，是不是这个就稍微慢一点？但还好啊，平时训练一下计算能力以及计算的一个速度啊，讲的时候比较慢，同学们写的时候一定要提高我们的计算能力，计算的一个速度啊。好，这个题梳理一下啊，就讲到这了。 好，我们看这个题啊，这个二十五题啊，非常相似啊。对，非常相似啊，我们看一下这个根号下，我们并不想看到这个形式的，能不能给它整理出来，哎，我们可以进行三角换元的那个形式，就是平方加减。平方的形式呢，一般都是可以的啊， 负 x 方加上二 x 嘛，是吧？提一个负号嘛，这个经常考到的啊，你做一遍你可能都记住了啊，负 x 方，这是你减去二 x 加二 x 嘛，是吧。这里面的话就 x 减去一括号的平方，你多加个一是不？要多减一个，再减一个一啊。 好，这不就变成了一减去一个 x 减一括号平方吗？这个分母现在就化成平方减平方的形式了，所以你可以想到三角换元，那么也可以去凑微分。哎，分布积分我们写一下就跟上一个题啊，是一样的了， 咱们先凑为分吧，你先用哪个方法都行的啊？凑为分，这个有些同学没看出来是吧，我们先学一下，底下的话是根号下，我们已经知道是一减去 x 减一的一个平方了。 好，我们凑的话，肯定是想把这个 x 减一这边凑到后面，就是把 x 减一看成一个整体的意思啊。把 x 减一看成一个整体，这线这上面是一减 x， 那 我们知道 r c n 是 一个奇函数，我们把这个啊， 这里可以给它提出来一个符号，是吧？提出来一个符号，然后是 r c n 的 x 减一啊，奇函数吗？这个符号呢，就可以作用于它了，是吧？那变成这里就变成 x 减一了。好，这里得能反应过来啊，就变成 r c n 的 一减 x， 也就说啊， sorry 啊， x 减一 我都往这个 x 减一啊去靠拢嘛。嗯，都出现一致的啊。底底，我也是底 x 减一。 哎，凑的话就是说这是出现了一个 x 减一看这个整体 t 的 平方嘛，这不就是 t 吗？ t 抵 t 就 可以凑出来这个 t 的 平方的形式了是吧？上个题就这样的呀，应该是能看出来是吧？好，这是 r c n 的 啊， x 减一底下啊，先放在这里， 一减去 x 减一括号，这个平方底底的话，是不是想要的就是，哎，这个 x 减一，我们目前想要的是它啊， x 减一括号，这个平方，再来一个一，把这一个整体都搞过来啊， 这样吧，这样去写，你看他求归分的话，会多一个负二呀，对不对？多一个负二，所以前面要补一个负的二分之一。 这一块跟这一块啊，去凑微分了啊，这是第一次凑微分，要两次的啊，再来一次，再来一次，就是这个根号是分之一，哎，对，根号分之一， 这里啊，根号分之一啊，凑不出来，凑一个微分就是二倍的底根号 x 吗？二倍的，这个二就提到前面就写到前面了啊，二倍的阿克 c 的 x 减一， 这个是底根号下的，我们说的 x 这里的。对于这个题， x 就是 一减去 x 减一的一个平方，是不是 这得很敏感啊？之前说过了，这块是经常考的，测微分之后，那立刻就是分布积分了，这前面就是一个负号了吧。负号啊，好，分布积分 r 三， x 减一根号下一减去 x 减一括号平方一二分之三， 对，加上了，这是加上了啊，整体前面有个符号吗？好，一到二分之三，根号下一减 x 减一括号的平方，对它求微分，哎，求倒线一减去，这都很熟练吧。一减去它的平方，对 整个开方分之一，这求导是个一吗？否还是求导啊，然后微分 d x， 这这一消是不是就是个一了？这边积分就就是二分三减一就是二分之一了，看前面的啊，这个符号的话，我们说一般你给他放到上下线啊，不容易出错，那就二分之三到一 是吧，好，看一下，上线一带的话一减一等于零了，减去下线二分三，二分三，一带的话 减一，二分之二，二二二二就是一嘛， c 多少等于 c 多少等于一啊，二分之拍呀，这里二分之三减一，二分之二就是啊， sorry， sorry， 二分之三减一是二分之一，平方的话是四分之一，一减四分之一是四分之三开方二分之根三， 这是下线的结果，再加上后面我们说了啊，这是上线减下线就行了，这是一个二分之一，前面是一个四倍的跟三拍是吧，这里有没有问题我看一下啊， 二分之三，这是有点问题的，二分之三减一是总搞错了是吧？二分之一啊， c 多少等于二分之一啊，六分之拍啊，是吧？ c 三十度是二分之一，搞错了啊，这里就是三二六一十二十二分之跟三拍，这对的， 就这个结果啊。好，接下来就是看到了根号下平方加减这种形式，想到三角还原是吧，哎，这两个上个题跟这个题啊，这个手法都是一样的，多次练习一下。好，这个时候我们这里已经看到了，是，我们先把这里写过来吧。 好，一，总之我们第一步的话还是它，是吧，还是它啊？ r c 先给它写成一致的这种 x 减一的形式啊。好，根号下一减去 x 减一和二的平方， d x 减一， 三角还原，我们令的是谁呢？看一下，我们把，你看，这不是让 a 方减去 x 方的形式吗？只不过这里是 x 减一了。你把 x 一 x 减一看成我们以前说的这个 x 整体是吧，可能看成一个整体就行了啊。好，我们就令 x 减一就等于 c t 就 行了，对不对？ 哎，这个型号了嘛，你就套用那个咱们这个三角画圆的这玩意儿就行了对吧。这个型号的怎么去画圆啊？那左边求微分。那就是 cosine t d t， 你 看是令成 cosine t 呢？那肯定是令成 sin t， 因为这里是 arc sin， 对 吧。上一个题是 arc cosine， 你 这里令的是 cosine 啊。 好，再看一下啊。这个上下线换一下，当 x 取一的时候，这一点一等于零了。 c 多少等于零啊？零啊， 这当 x 取二分之三的时候，减一就是二分之一了。 c 多少等于二分之一啊？这个搞，别搞错了，上面就搞错了是吧。六分之拍呀。好， x 减一就是一个。呃， c n t 啊， r c n 的 c n t 是 不是就是 t 啊？这个不用再说了吧。好，一减去，哎，一减去 c n t 的 平方， cosine t 的 平方开方 cosine t 绝对值可以直接去掉嘛，在这个区间上是吧，是正的呀。好，对，微分的话就是 cosine t d t。 这也这也比较简单啊， cosine cosine 消掉了，还剩的就是 t c n t。 这直接表格法还比较快是吧，求导求导，求积分，积分是负的了啊，积分，这没问题吧，好，交叉着相乘，正负相肩。 好的，它的原函数啊，它的原函数负 t cosine t 是 吧，负负的正正的啊。 cine t 好， 上下线一带啊， 六分之拍 cosine 三十度二分之三加上 cine 三十度二分之一，零一带的话，下线是零啊，带是零嘞，这就是二分之一减去十二分之根三 拍，是吧？哎，这三角花园也很快啊，该掌握的方法，咱们平时都训练一下啊，提高一下计算能力。好，这个题就讲到这了。 好，我们看这个题啊，先瞄一眼是吧？瞄一眼发现这是一个定积分，定积分是一个具体的值啊，可以算出来的，是不是？好，这是一类题，咱们再说极限啊，这一块的时候就已经提到了，这是一类题，极限的 结果是可以算出来的，是吧？好，我们领为 a， 那 定积分也是可以算出来的，就是一个值嘛，对，一个数二重积分，同样的啊，对于数一的同学，还有现面积分出现啊，一个等式里边出现了，哎，就是一个等式里面有啊，这个积分啊，极限啊， 这些你得知道啊，咱们的一个做题的一个手法，一个技技巧，就是令它为 a。 好， 令它为 a。 之后呢，我们再次的啊，左右两边要么是求极限，要么是求极限，题目是极限，求极限。 好，这次定积分，那就左右两侧定积分，再次出现一个 a， 我 们给他啊，找出来一个关系式，把这个 a 解出来了呀，是吧，这样一类题的解法啊，是，都是互通的，我们用令 这个题就是这样的一个套路，好，令它等于一个 a， 所以 我们的 f x 现在就等于一除一个 a 加 x 方，加上 a 乘以 x 三次方，让 让，左边再次出现 a， 也就是我们啊，左边和右边都在零到一区间上啊，哎，进行积分，这看成一个函数吗？是吧？好，零到一区间上，一加 x 方， 好， a 是 个数吗？提出来了呀，零到一 x 三方 d x 左侧就是我们说的再次出现了 a， 是 吧，跟这里一样，求极限再次出现了这个 a， 这积分呢？嗯，这会呀， ark 参与的 x 吧， 零到一是吧？这，这很简单呀，四分之一啊，啊，你再写一下吧，这里是二个贪念，一，二个贪念一是四分之拍啊，对不对？再加上四分之 a， 这零呢，就是下限是个零了啊， 我们移向一下 a， 减去四分之 a， 四分之三倍的 a， 对 吧？是等于四分之拍，所以三 a 就 等于拍 a 呢，就等于三分之拍， 你不要直接写个三分之拍是不行的，你注意啊，让求的是 f x 啊，把这个表达式写过来，是不是认真一点啊？好，加上这是多少来着？三分之拍 x 三次方就行了，是吧。好，这个题就讲到这了。 好，我们看这个题啊，就积分看到了对称区间，你自然就得给我想到，哎，对称区间上啊，这个定积分的一个性质，是不是好考虑记被积函数的基有性啊。第一部分，这很显然，积函数乘一个偶函数就是一个积函数。 好，我们给他拆成两部分积分的话，这第一部分积分就是等于零了，是吧？等于零了呀。第二部分，第二部分的话，好，同学们，如果啊，平时把知识点啊都给他整理清楚的话，看到他就应该很敏感啊，他就是一个奇函数， 他就是一个极函数，你课下的时候可以写一写，然后直接记住。极函数的话，在对称曲线的积分也是零呀，所以就是个零，很快啊，十秒钟用不了。对于这样的一个函数，要记住他经常考的啊，这个知识点， 首先是极函数，这个题考到了吧，哎，极函数他，他要满足 f 等于零吗？对，于极限，哎，第一章的时候我们会遇到等价，它等价于 x， 咱推倒就不推倒了啊，记下来就行了。 好，以及它求导的话，哎，求导就是一加 x 方开方分之一，那它积分，哎，就是一个 long x， 对， 就是这个这个东西吧，它求导是它，哎，这个东西积分又是它了，不管求导还是积分，都搞搞清楚啊，搞清楚它， 好，那这个题就讲到这儿了，好，我们看这个题， f x 是 一个啊，定积分， 怎么去求呢？观察一下啊，这是 f x， 这有 f x， 那 自然想到凑为分呀，他往后面一凑，不就是 d f x 了吗？好，这就是我们常考的一个积分公式，是不是我们记为这个 i 的 话啊，它就等于零到二分之拍 一加 f x 的 一个平方，我们说 f x， d x 凑到一起就是 f x 的 一个平方，那啊，不是啊，是 d f x。 好， 现在是不是可以把 f x 看成一个整体啊，对不对？一加 x 平方分之一，它的一个 计算公式咱们知道吧，是 ark 贪婪的 x， 这个题就是 f x 呢，是不？这个我可以给它括一下啊。 好，那把上压线一带不就行了，看一下 ark 贪念的，这就是 f 二分之拍是不， 再减去 ark 贪念的 f 零，我们现在关键点要把它们俩求一下，求，往这写吧。 f 二分之拍，是吧，那这不是有吗？那就是等于零到二分之拍 好卡住了啊，这个喉咙，一加三 t 的 平方 t t， 这很显然也是求一个定积分嘛，对错为分啊，是吧，瞄一眼就看出来了，这个积分也不难啊，一加三 t 的 一个平方分之一就是 d c d c n t 没问题吧，这 c n t 又看成一个整体是吧，这就相当于啊， s 平方加一还是啊，用的这个积分公式吧。 ark tangent c n t 了吧。 好，零到二分之拍，我们看一下啊， c n 二分之拍是一个一啊，就是 ark tangent 等于零。 ark tangent 等于多少啊？四分之拍啊。 对，贪念多少等于贪念，四分拍等于一。所以这里啊，我们就知道了。第一部分啊，个贪念的，这是多少来着？四分之拍是不是四分拍就这样写就行了，减去 f 零。 哎， f 零很好看出来啊，就是一个零嘛，最后面就是 ark 贪念的零，那这个就是零啊，所以只剩前面这一块了是吧，那答案有了呀，不就选 d 吗， 选 d 就 行了是吧，你注意这一点啊，有同学看看差眼了。 ark 贪婪一是等于四分之拍。 ark 贪婪四分拍等于多少？不知道了，是不是你说他对应的角度是谁不知道，那就把它一选就行了。 对，你别搞的 ark 贪婪四分拍等于四分之拍了呀。那不是的啊， ark 贪婪的一才等于四分之拍。好，就是一个测微分嘛，对吧，一个积分公式的考察。好，这个题就讲到这了。 好，我们看这个题，哎，这是一个反常积分，他说收敛了，哎，收敛的话，哎，这不就是跟前面定积分的题一样吗？出现了个定积分，出现了个反常积分，也说收敛了，那就收敛于 a 呗。 好，那同样啊，它是一类题对吧，我们令它等于 a 之后，左右两侧再是移到正无穷求积分，左边又再次出现 a， 建立等式啊，我们就把这个 a 可以 求出来了，是不是一样的思路啊？ 好，我们同样，这里直接就另乘 a 了，我就不写了， f x 就 等于 x 三次方， e 的 负 x 平方加上 再乘一个 a， 对， 没 a， 就 写到这儿吧，左右两侧在一到把函数在一到正无穷上啊，进行积分，一到正无穷上积分。 这左边其实是个 a 吗？好，一到正无穷上面啊， x 三次方， e 的 负 x 平方， d x 加上 a， 一 到正无穷 e 除以一个 x， 一 加 x， d x。 好， 左边是一个 a 啊，右侧啊， 这个时候怎么积分呢？这里有一个平方，这是三次方，我们要给他拆成一个和两个的形式。咱们之前在前面也说过啊，进了三次方呢，你尽量啊，拆成一个和两个，去看一看能不能凑为分的问题，是吧， 好，这个时候啊，就是可以去凑为分了。 x 跟 d x 一 凑出来平方了，都是平方了吗？是吧？好，一到中无穷， x 平方挪在这里啊，有一个，这里别动啊，他不动 x， d x 就 变成了 d x 平方，要补一个系数啊。好，再加上 a 倍的这个后面这块，这很显然就列项了，是吧，中学学的 列项，那就是 x 分 之一减去一个，一加 x 分 之一，你看这对不对？对，一加 x 减去一个 x 就是 一对的啊，对吧？没问题啊，直接写了。好，左边还是一个 a， 右边 这都有一个 x 方，那我把 x 方看成一个整体，就是看成一个 t， 是 吧，换个圆嘛，这样看的更清晰一些啊。好，那我们看，当 x 取一的时候， t 取的也是一正无穷， t 也是正无穷啊，那就是一个 t e 的 负 t 是 吧？ d t 对呗，加上 a a 的 对它的语言函数很好写啊，是 lo in 的 x 呀。对呗，减去一个 lo in e 加 x 的 比较简单哟，好，这个我估计这样写啊，因为有些同学在这里会有出错啊。好，继续。 这直接可以用一下我们的表格呀，设表格， e 的 负 t 次方，积分积分 交叉相乘，正负相减。记住了，是不是交叉相乘是负的 t， e 的 负梯次方减去 e 的 负梯次方，这是这块的语言来说啊，一到正无穷。 对，这个符号先放在这吧，加上 a 位的，你看这里啊，如果我们给它写成这个形式的话，那就是 long 无穷，减去 long 无穷，这样你会发现它极限我不会整了。这个时候就是改写一下形式啊，看到 long 减 long 的 话，给它写成这个型号呢， 来对数相减就是真数相除啊，写成这个型号，这个时候极限就能够算出来了。看一下， 这是 a 杯的啊，你不要写成这个型号的啊，写成这个型号的好。嗯，正无穷一带的话，哎，上边正无穷，下面抓大美是正无穷。所以这一笔这块极限是个一吗？零一零一就是零吗？对吧？极限啊，好，一一带的话， 一属于一加一是一个二，对吧。好，继续了啊，左边是一个 a， 这个负一的负值方，加上 e 的 辅题词啊，我再来一步啊，后面的话，零减去它。你注意， long 二分之一不就是负的 long 二吗？负负得正了就是一个 long 二了啊，加上 long 二乘一个 a， 写到这里吧，所以 a 等于负二分之一， 正无穷一代爱求极限是吧？一的负无穷是零啊，极限是零一的负无穷极限是零，上限带的极限就是零一呢。一一代的话，注意啊，这是上限的结果，减去下限的结果。一乘以一的负一次方，一的一的负一次方。 好，再加上 a 乘以一个零二，这是负二倍的负，二倍的 e 的 负一次方。前面还有个符号，抵消了二根二分之一抵消了，所以就是 e 的 负一次方。这里啊，嗯， a 的 话挪过来吧。行吧， a 乘以零二挪过来，那就是一减去一个零二， a 的 a 就 等于 e 的 负一次方，那就是 e 分 之一 g， a 就 求出来了，是吧？ a 就 等于它除一个嘛。那除一个，这个 e 减去一个零二嘛，看一下有没有这个结果呢？有吧，就是它了。 对的啊，对的，还是这一类的题，这个做题的一个套路，同学们应该掌握了。这块哎，小小的一个，一个注意的一个点， 其他的也没啥了吧。加到三次方，拆一拆，拆成两个，凑一分就行了，仔细算，不要错啊。这个题就讲到这了。

好，我们看数三部分啊，关于一元函数积分学的经济应用这块题很简单，是不是这个不允许出错的啊，把该掌握的这个概念啊搞清楚，你看还是这些题对不对？ 好，这给的是编辑成本，固定成本，产销平衡的话，每单位产品的一个售价是一百万元。好，求，成本函数产量为多少的时候总利润最大，求一下最大利润。好，成本函数 给的是编辑成本，我们知道成本函数求导就是编辑成本，现在编辑成本有了，我们对它求积分呀，是不是？哎，去求一下积分。 好，你先求不定积分，再去确定一个常数不就完事了，可以吧。好，这个是咱们是 q 啊，啊，积分变量是 q， 写过来啊， q 方减去五 q 加上五十 d q， 这积分都很简单吧， q 的 平方积分三分之一， q 的 三次方减去，这是 q 的 一个平方除以个二，添个五，再加上五十 q 再加一个 c， 啊，你是不定积分是吧？我们把这个 c， 哎，确定出来， c 确定一下。好，这个就可以啊，把 c 确定出来了。哎，也就是说，我们知道啊，这个 q 呢，取零的时候， q 取零是什么意思啊？也就说我们没有进行生产，哎，一件商品都没有，生产的时候也是有固定的一个成本的，是不是有固定的成本啊，我不管你生没生产，我们都有这样的固定成本。好，那 c， 哎，这个把 q 等于零一带，这固定成本嘛，不就是一百五十万元嘛，是吧，所以啊，我们把 q 等于零带到这里面。好，这不就剩一个 c 嘛， c 就 等于好，这个 c， q 就是 一百五，是吧，哎，这就求出来了啊， c q 三分之一 q 的 三次方超过来啊，加上一个一百五行了， 好， q 为多少的时候总利润最大？我们把利润函数写过来，它是等于收益函数减去成本函数，是吧？好， 我们的收益函数怎么算呀？你看，这里写了啊，产销平衡，就是说你生产多少都卖出去的意思，每单位也就是说产量为一的时候，是吧。哎，我们把这一个 产品卖出去就能卖一百万元，我们有，哎，我们生产了啊，这个产量为 q 的 这么多个是吧？这么多个啊，商品卖多少钱呢？那就是一百 q 啊，是吧，这是单价，这是数量吗？好，这是我们的一个收益函数，减去成本函数，减去这一 串是吧？这一串减去它加上一个它，你这里可以写个 u 一 是吧，因为我们要把第一问的拿过来了吗？减去 五十， q 减去一百五，好求啊，什么时候它达到最大，那就研究导函数啊，是吧？一元函数求对值的问题了，这都不陌生了吧， 求导。负的三下来了是吧？ q 的 一个平方加上二下来了，好， q 减去一个五十，那些做题的流程都记住了是吧？我们令导函数等于零的注点，一般来说就唯一的一个注点，对吧？好， 嗯，是唯一的不啊，这个题 q 的 一个平方减去五五， q 加上一个五十等于零，是吧？分解一下，音式呢， 五乘以十对五十，这是一个负五，那就这样的，是吧。 q 加上一个五， q 减去一个十， q 等于五，或者 q， q 等于负五是吧？ 或者 q 等于十， q 等于负，肯定要舍去啊，是吧，我们产量怎么可能是负的呢？所以这个 唯一的一个注点吧。哎，一般唯一的注点，那解决实际问题，你就是最，你就是极大之点，也是最大之点，是不是？好，我们可以用第二充分条件判定。这个注点是极大之点，也是最大之点，或者呢，我们用第判定极值的第一充分条件， 低通条件的话，你还得哎，说一下是吧，大于十的时候导函数怎么样？这写的字太多了，所以我们一般来说用第二乘的条件求二节导比较快嘛，是吧，好，求一下啊，负的二 q 是吧，再加一个五，对呗。好，那我们把这个 q 等于十带到二阶导函数里面，这就是负二乘以十加上一个五，负二十加五负十，五小于零。所以啊，这个 q 等于十呢， 二阶的函数啊，小于零嘛， q 等于十就是极大值点，是吧？为 l q 这个函数的啊，唯一的一个极大值点，那也是最大值点。这些套化写一下嘛，也是最大值点。 你下个结论嘛，他说 q 为多少的时候，你就说 q 为，或者他说产量，你也写成中文吧，即产量为，这是十，是总利润最大 是吧？好，最大利润，最大利润，我们得求一下了啊，最大利润 也就是 l 十，我们算一下呗。哎，这么多是吧，计算一下啊，好，直接出结果啊，是三分之八百，同学们认真算一下啊，我这边已经算过了，好万元。 哎，这个没什么说的，是吧，跟我们前面已经做过啊，类似的题很多个了，我这边就牵涉到一个积分而已，也没什么难的。好，这个题就讲到这了。 好，我们看这个题啊，某产品的编辑收益啊，给它表达式啊，当销售量 q 由八个单位减少到五个单位时，好，收益 r 的 一个变化量， 那收益 r 的 一个变化量的话，嗯，这个我们可以先把收益求出来，是吧？哎，收益求出来之后，我们看一下 q 等于 q 等于八的时候一个收益， q 等于五的时候一个收益，然后它的差值不就是它变化吗？ 对吧？好， r q 怎么算呢？那不就是 r 一 撇 q， d q 是 吧，积分一下不就行了？好，这是三十六，减去一个四 q， 这个写个括号吧。三十六 q 减去二 q 的 平方，是吧？好，也要加一个 c 啊，因为你是不定积分，我们把 c 确定出来，这是一个大题，还是写一个解啊， 尊重一下这个题目。好， c 怎么确定呢？根据常识啊，根据常识。好，我们当销售量为零的时候，你销售量为零，你收益当然是零了，是不是？所以 c 就 定出来了啊？ q 等于零的时候，好，整个 r q 就 等于零， c 就 等于零呀， 那我们就求出来了 r q 表达式，是吧？三十六 q 减去二 q 的 一个平方，那我们看一下这个 q 等于八的时候，是吧？ q 等于五的时候等于多少就行了呗。这是八，减去一个二。 哎，直接直接算了啊，减去二乘以一个八的平方，这个五 减去个二乘以五的一个平方，我们算一下啊，六八四十八，三八二十四，二十八啊，这里减去八八六十四乘以二是一百二十八，减一下零六一六零， 对吧？好，三十六乘以五五六，三十一百八，这是五十，减去一下一百三，从八到五，销售量啊，减少的时候收益的一个变化，很显然 变化三十嘛，是吧？所以啊，这个稍微的一个变化就等于一百六，减去一百三嘛， 单位给他带上啊，他们题里面，题里面给了单位，我们也带上。好， 其实也不用写那么多，是吧？我们其实可以这样，你这个得它 r 是 不是就直接我们这个 r 一 撇 q 积分，把上下线带上不就行了，对呗， 从八到五吗？是不是这就行了呀？好， r 一 撇，这就是 r 一 撇 q 嘛，三十六减去个四 q 啊，你对积分不就行了，因为我们知道 r 一 撇几乎积分出来不就是 r 吗，是吧？然后把炸线一带，不就是他们那个叉吗，是吧？好，三十六 q 嘛，减去一个 二 q 的 一个平方，是吧？哎，五，哎，八和五 这个，这一算的话，这应该是负的一个三十，是吧？负的一个三十上面已经算过了，那你不算了。好吧，好，我们下一个结论啊，收益的一个变化量，也就是收益啊， 减少了，减少了呀，三十万元，对吧？你这是负的，也就是 q， 你 从八到五嘛，所以啊，这个变化量它是负三十，就相当于减少了三十万元的意思。 好，哎，你这样带上上下线，或者你不带，这样就写多一点也可以啊。好，这个题就讲到这了。 好，我们看这个题啊，某商品以这样的速度进行销售， t 等于零的时候呢？商品的库存是 q， t 等于大 a 的 时候，商品受限了。好，卖完了，在零到 a 上的平均库存量为多少， 这里就考察到前面。哎，我们让被的一公式平均值的一个概念，这个应该都没有问题的，是吧？好，我们现在，哎，平均库存量是不是就等于好，公式一，被 a 减去零分之零到 a 上面，好，对库存量进行积分，是吧？我们现在的一个 关键就把这个 f t 求一下，那我们就可以假设好，就是在 t 时刻，我们就一直在进行销售这个商品嘛，是吧？ t 等于零，好，我们开始卖商品了啊，卖到 t 时刻。好，这个时候我们的一个库存量为多少库存量？ 好，现在就把啊 t 时刻的库存量求一下带过来就行了嘛，是不是？好，我们没有卖的时候，库存量是 q 嘛？减去，哎，你经过了啊，这么长的一时间，你售出了多少？原本的减去，你售出的不就是你现在的库存量了吗？是吧？ 好，那我们的一个这个销售的一个速度是 r t 进行积分不就是你卖的吗？是吧？我们进行了啊，这这么长的一个时间，那就零到 t 上面进行积分，好，你就为了区分变量，你可以把这一个 t 改成 x， 是 吧？区分一下上限的变量呀？ 对，现有库存量，我们求一下啊， q 减去这里积分， r 提出来 x 积分二分之一 x 平方嘛， x 平方，把上限一带的话带一下吧， 就是 q 减去二分之 r 乘以 t 的 一个平方，是吧？如果你现在直接把它带过来的话，你求得的结果就会有一个 r， 你 看他问的是库存量，哎，库存量我们就用 q 来表示，是吧，跟 q 相关的多几分之 q 啊，哎，这个多少多少 q 的 意思， 那我们想把这个 r 给消掉，这些数值条件你用一下呀，是吧？数值条件我们知道啊， t 等于零的时候。好， 那我们的一个库存量是 q 吗？是吧？我们还知道是 t 等于 a， a 的 时候，这个授信了，我们的库存量就等于零了吗？这两个数条件你用一下。好吧，我们看 q 等于零的时候零， q 等于零的时候 减去。哎， q 等于零就 t 等于零嘛，是吧？ t 等于零啊， t 等于零不是 q 等于零， t 等于零， t 等于零的时候，这 q 减零确实等于 q， 是 吧？这个就没有什么用。对，对于我们这个题没什么用啊。好，你，但是你可以写一下嘛，是吧？ 好，那就可能它有用了嘛，它有用的话是吧？ q 减去二分之二， t 等于 a 啊， a 的 一个平方，这个时候我们 ft 是 等于零的， 是吧？这个时候我们就可以啊，把这个 r 啊给表示一下是吧？好，所以我们可以得啊， 其实我们想要二分之 r 吧，我们把二分之 r 表示一下啊。好，你看 q 就 等于二分之 r， a 的 一个平方，那我把 a 方移过来 可以吧？好，就等于 q 除以 a 的 一个平方。好，这边的 r 是 不是就被表示成 a 方五分之 q 了，就不要 r 了啊， 也就是 f t， 我 们就表示成 q， 减去一个二分之 r 就 已经有了啊， a 方分之 q 再乘以这后面有个 t 的 平方。好，现在我们就可以。哎，把公式求一下了啊， a 分 之零到 a， f t 现在写过来了呀， f t 不是 求完了吗？ q 除以 a 的 一个平方， t 的 一个平方，这积分呢，是吧？积分就没什么说了啊。认真算一下第一部分积分， q 积分，积分变成是 t， q 就 看成长数了吗？上线减下线好， a 乘一个 q 减去 好， q 除一个 a 方，这也看成整数 t 方积分。 t 的 三次方除一个三是吧？ 除以三的话，那就是三分之一嘛， t 的 平方呢？其实上线一带 a 的 三次方是吧？不是平方三次方啊，下线零就不管了吧。好，化简一下啊， 直接我们乘进乘出来了啊， a 跟 a 消掉了，就是一个 q 了，减去第二部分。好，这里面的话，你看 q 除以 a 的 平方跟 a 的 三次方消掉了，还剩一个 a， 还剩一个三。前面有个 a 分 之一消掉了三分之 q， 是 吧， 所以就等于三分之二倍的一个 q 嘛，就结束了。好，那库，平均库库存量我们应该要用 q 的 一个形式表示出来，对吧？ 好，你得知道这个题的关键是什么？哎，用到了一个公式，还有库存量怎么去算？那就是等于原始的库存量减去你售出了多少还剩的这个库存量，是吧？哎，进行积分就行了啊。 好，那这个题就讲到这了。看这个题啊，公司呢，投资两千万元建成一条生产线，投产后，在时间 t 的 编辑成本和编辑收益，编辑出来的时候他就是。哎，这两个求倒是吧，得来的一个结果啊， 好确定该生产线在何时停产可以获得最大利润呢？最大利润是多少？那我们把利润函数写出来就行了。利润函数你可以看出来关于 t 吗？是关于 t 的 函数啊，是等于收益 减去一个成本。注意啊，我们还有一个固定成本。对，这还固定成本也得减去啊，减去两千万行不行？不行啊，你注意细节啊，百万元是我们的单位啊，百万两千万等于多少？百万啊，不有二十百万吗？所以啊，减去这个固定成本，减二十啊。 好，我们把他们求一下啊，收益，收益函数。 什么求啊，这编辑收益有了吗？编辑收益就是收益求倒之后的结果。那我们积分不就行了吗？对没，这是翻译题啊，翻译题 d t 好 five t 是 十七，减去它是吧，记一下呗。十七 t 减去 t， 这是加个一三分之五，再补一个五分之三呗。好，注意，不定积分要加长数啊， 当 t 等于零的时候，你这个收益肯定也是等于零嘛。 t 等于零，一带 c 也得就得等于零嘛，真的 r 得等于零，所以 c 一 是等于零的是不是？这怎么写呢？又因为这个 t 等于零的时候啊，它也是等于零，所以 c 一 是等于零的啊，那我们就求出来了， r 七是等于十七， t 减去一个 n 三，那就它啊，接下来是成本函数， 那我们用 c t 嘛表示啊。也是啊，编辑成本函数积分就行了啊。 g t d t 五加 你这边也比较容易啊，五 t 加上三分之五啊，五分之三，二三得六啊，加上一个 c 二，这个 c 二怎么确定呢？ t 等于零的时候， 就你还没开始投入生产的时候啊，那我们的一个成本不就是这个固定成本二十吗，对不对？所以啊，这个 c 二也等于二十啊。所以 ct 一 写过来啊， 那我们的利润函数啊，就等于 rt， rt 减去 ct 都已经求过了呀。 哦，这个这个 ct 这里不应该再减去一个成本了啊，懂这意思不？就我们这个成本的话啊，就包含 生产过程中的一个成本以及固定成本了啊，这成本的一个核都都已经在这了，对吧？这整个的一个投入成本核都在这呢，所以这里就不要再去减，减，再减就减重复了，是这意思吧。整理一下啊，这不是十二 t 减去五分之九 减去一个二十吗？好，我们要求的是什么时候啊？这个 l 最大吗？那就求导，令导函数等于零吗？求导。发现啊， r 求导， r 求导，不就是你吗？是不是 c 求导不就是你吗？是吧？好， 那就是 f e t 减去一个 g e t， 当然了，你直接看这里，一样的一个效果，对吧？好， y t 就是 十七减去一个零， 好，减去一个 g t 减去五减去二 t 的 一个三分之二，十二减三 t 三分之二，或你直接在看这里看，哎，求导，那就是你看十二，是吧？减去这里下来五跟五消掉了三倍的，对吧？也是他嘛，你直接这里看，或者，哎，我们从这里 看也写也行啊，一个意思，我们令导函数等于零，可以得，哎， v 一 的一个注点，像这样的题一般都是 v 一 的一个注点，是吧？那一定就是啊，极大值点。最大值点嘛。好， 三 t 的 三分之二次方等于零，哎，不是等于零等于十二啊，除以三四 t 的 t 等于多少？四的三次方是六十四开方，那就是八吗？你看，唯一的注点是等于八啊，你再说明一下，它就是这个极大值点，也是最大值点就行了，你可以去说 it， 嗯，就是当 t 大 于八的时候函数单减， t 小 于八的时候单增，或者我们用二阶导函数，是吧？ 用一阶导二阶导去说明他是极大之点都可以的啊，二阶导，这写的步骤少一点呢。好，那一阶导不是在这呢吗？对，你再去求导啊，你就是负三乘以三分之二 t 的 负三分之一吗？负的， 这个三个三消掉了是吧？负二， t 的 负三分之一次方。好，你就说明一下， a t 带到这个二阶导里面就是 t 等于八带到这个二阶导里面吗？这正的添个符号就是负的吗？你直接说小于零是吧？所以 t 等于八 为为一的极大值点，也是最大值点。是谁的最大值点？他的啊？ 最大值点，所以 t 等于八十停产就行了。 听着好，最大利润多少呢？算一下就行了啊，最大利润 l 八吗？在这呢吗？ 十二乘以八减去五分之九八的三分之五次方减去二十，在这算一下吧。十二乘以八九十六啊，减去五分之九乘以 八的五次方。五个八吗？开三次方八，开三次方根不就是二吗？是不是二得四，二四得八，二，八十六，三十二啊？三十二， 减去一个二十，这块三十二乘一个九，二九，一十八，三九，二十七，二十八，二八八，除以个五，五五，二十五是吧？三十八，五七，三十五，三十。哎，五十七点六啊，这是五十七点六， 再减一个二十就减去七十七点六吗？算出来了吧？十八点四是吧？十八点四，百万 元，好，也是很容易的题目吗？是不是利润等于收益减去成本一元函数九对式的问题啊？好，这个题就讲到这了。

好，我们看这个题啊，这是求在一个点处的一个权微分，我们知道权微分呢，是等于偏微分的核， 所以本质上就是去求两个偏导，是吧，好，求，哎，一个点处偏导的值，你看一个点处偏导的值吗？这是我们的哎，目标是不是？好，那通常有两个想法， 那推荐啊，是先带后求，你对 x 求偏倒这个 y 啊，你就可以先带进去，跟 y 没关系嘛，是吧，把 y 看成常数啊，带进去好，这个 哎，是先求后代，先求后代的话啊，你就是要一直带上，你对 x 边呢，一直带上这个弯，有时候眼花缭乱，会容易出错，所以对于啊，一个点处求偏导值的话，建议先带后求，对于一些题目也是比较简单的啊。好，当然了，我们也都讲一下，你自己体会一下。 好，先代后求后求，我们先看对 x 求偏的，是吧，我们先把这个 y 带到啊，这个函数里面是吧？ arg tangent 就是 y 是 pi 嘛，所以就是 pi， x 加上 cosine， x 加上一个 pi。 好， 这里边都有 x 了，看着很顺眼呀，是吧，因为我们一元函数学得好呀。 好，这就是求导了，一般函数求导都会吧，对 x 求导，这先是外层求导，再是内层求导，恋式法则是吧，好， ar 弹性求导的话，我们知道是一加上好这一块，这个平方分之一是吧，好，拍 x 加上 cosine， x 加拍 好它的平方分之一。好，接下来是它，它求导也很简单吧，直接就是拍写一个括号吧，加上 cos 求导的话是负的吧。 c x 加拍，这里面再求一下啊，再对 x 求导，那就是个一也不写了啊，好， 这就，哎，求完了，我们再把这个 x 等于零一带就行了啊，你看 x 等于零一带。 好，我们直接草稿上写了啊，一加上，这是，这里边是零加上，我们知道靠信拍的话，是不是负一啊？负一啊， 这是一个负一，这整个这里边就是一个负一平方。一下不就是一吗？一加一就是二，二分之一是吧，二分之一乘以看到后面啊，拍减去，这是零，那就是信拍，信拍是零啊，所以它结果就是二分之拍啊。 好，那我们接下来是求一下啊，这个 z 对 y 的 偏导在这个点处的值。也是啊，我们先带就是带谁呀？把 x 等于零带到函数里面是吧， x 等于零的时候，这个是 y 等于拍的时候，这是 x 等于 零，这就是零了吧。这 x 等于零，这个里边就剩的啊，是一个 cosy 了，是不是 cosine y 还是过一下啊，看得更清晰。好，我们是对 y 求偏导，那也是啊，负函数求导嘛，一加上 cosine y 的 一个平方，再。哎，这个是分之一是吧，再对它求导是负的。 c 沿 y 好把点，这个时候带一下。哎，我们现在是带 y 是 吧，等于拍一带，哎，我们知道 c， 你 拍零了呀，是吧，直接就是零了啊，所以这个结果我们就求出来了吧，这块是二分之拍，这块是个零，所以就是二分之拍 d， x 完事了是不是？好，接下来我们哎也做一下先求后带，先把两个偏导求出来，再去带，这个点 好，我们先对 x 求偏的好吧，好，那就是把 y 看成长数呗。好，一加上这个里边是吧？ x， y 加上 cosine， x 加 y 好， 平方。 对于这个题啊，它没有这两个方法，基本上这个没有省多少力气啊。第一个方法没省多少力气，但对于其他的很多题目啊，先代后求，它会省很多力气的， 好，在这里面是吧，对 x 求偏导嘛，那就是把 y 看成长数啊，这不就是一个 y 吗，减去了啊， cosine 求导是负的 c 对 这里面的对 x 求导就是个一，不写了吧。好，咱们再哎对 y 求下偏导，一加上是吧，先外层求导，这个分母的都是一样的了啊， cosine 外层都是 arc tangent 的 嘛。 内存这里面啊，对 y 求变到 x 看成长数好好，同样啊， cosine 求导是负 c， 里面对 y 求导是个一了，是吧，这个时候我们就是把点带进来零拍啊，是吧，因为这里面有 x 有 y， 所以 你带的是一个点了啊， 我们这上面呢，只是带一个这个 x， 或者是带一个 y 的 一个值，是吧？零拍，我们求一下啊， x 等于零的时候， y 等于拍，拍减去这个是 c， 这是零，加上拍 c 拍就是零，所以上面就是一个拍， 是吧，底下好， x 等于零了，这里边跟刚刚我们算一样是吧，负一的平方一，一加一等于二，好，就是它了嘛。再看这里， x 等于零了，这个 y 等于拍，是吧， c 拍等于零，所以这是零了，一样的，对不对？还是啊二分之拍 d x 好，还是建议啊，先带后求，在这个题你可能体会不到啊，因为它计算量基本一致啊，体会不到它的一个好处哎，其他题目我们会体会到的好不好。好，那这个题就讲到这了， 好，我们看这个题啊， f u 是 可导的哎，我们把这块就可以看成 u 是 吧，给它看成一个中间变量嘛，变量代换一下 好，是可导的。那么求啊，他加他，你看一下关键点。哎，是求 z 对 x， z 对 y 偏导是吧，好，这是抽象的负函数求偏导的问题。这应该是没什么。没有什么问题。我觉得啊，好， z 对 x 求偏导啊，我们这个怎么写都行啊，它是一个意思是吧，好， 先是 y 形求导，就是 f 求导，对不对？好，我们就不加这个尾巴了。好吧， f 求导在里面，里面呢，对 x 求偏导，那就把 y 看成常数，对 x 求导就盯住这里嘛。好， cosine 求导是负 sin 还有一个符号，所以就是 sin 了， 是吧，这就结束了。好，再看一下 z 呢，对 y 求偏导。哎，这是我们要的目标啊， 这样写也行，好，写仍然啊，这是不是漏了？漏了啊，这个还有再加上这个 y 嘛，对 x 求偏的 y 看成常数啊，好，继续。 对 y 求偏的还是啊，先是外层的 f 求完的之后再看里里层是吧，内层对 y 求偏的好，那就是负的 c y 是 吧，负的 c y 还有一部分啊，对 y 求偏的 x 看成常数，这两个求完了啊，这个乘一下加一下不就行了。好，我们看一下 e 比上 c x 乘以 c 对 x 求偏的，我们看啊， e 除以 c x， 把上面求的啊拿过来呗。 哎，拿过来，这就没有什么技术含量，你别算错啊，认真一点， c c 是 不是消掉了，还剩一个 f 了，撇啊，再加上 y 比上一个 c x 好， 再把它算一下啊， e 比上 c， y 好， 乘以 z 对 y 求偏的， 求的刚刚是负的啊，别忘了再加一个 x， 它跟它。哎，乘一下 sin， sin 消掉了，负的啊， f 一 撇，再加上 x 比上 sin y 是 不是接下来是把它们两个加到一起啊，走， 那我们要求的我记记为 i 了啊，加到一起它俩就消掉了，不就剩它俩了吗？好， y 比上 c x 加上 x 比上 c y， 这就是结果， 最后抄可别抄错了啊，求偏导嘛，是吧，这个都会的啊。好，这个题就讲到这了， 好，我们看这个题啊，跟上题一样的啊，是抽象的负函数求偏导的问题啊。好，这里我们看到了秘制函数型号， 那么建议啊，给他指数化。秘制函数指数化，因为变成指数函数的话，你求导，哎，不容易出错是吧，或者啊，要么你把这公式记熟练， a x 方求导是 a x 方乘以 a。 那 有同学他 总是记不住的话，那你就给它改成，哎，密值函数。好，它求导，你会啊，先把它抄下来，再对指数部分求导。捞以 a 是 吧，再把它回带回来，好，这不容易出错啊，看你的记忆力了好吧。 嗯，还是建议给它改成指数函数的一个型号，可以吧。好，那这个时候我们看 z 的 话，是 f f 啊，这个 y f， 它的话就变成了 y f 改成指数函数啊， 一切都是为了啊，减少出错的可能嘛，减少出错率啊，好，求偏导。先看对 x 的 一个偏导，那就把 y 看成长数是吧， y 看成长数，往这一放，看它了，先外层求导，再，哎，内层求导是吧，一层一层的啊，对，它求导的话，指数函数超过来， 哎，负函数求导呀，好，在内层是吧，哎，从外到内，对于它来说的话，对 x 求导，那 y 方就是长数了，哎，老远 x 求导就是 x 分 之一是吧，我们可以化简一下啊，那就是 y 的 三次方， 比上一个 x， 还有 f 一 撇，还有它，它现在你可以还原回来，是吧。 x y 的 平方 好就行了啊，看有没有什么问题。没有，在 z 呢，对 y 的 一个偏导。看好这有 y 啊，是吧， y 现在是变量啊，那就用乘法求导公式，左导右不导，加上左不导，右导，左导右不导，左导是个一啊，右不导 哎，右不倒写个 f， 一 会再写括号的啊，加上左不倒右右倒，先是外层，再是内层，内层的话先把指数超过来，再是头上的对 y 求导，那么龙眼 x 就是 常数 y 方，求导。二二 y 啊，二 y 是 吧，这个求完了，我们可以哎，整理一下吧，这个二 y 跟 y 的 话，就是二 y 的 平方，待会再写也行啊，我们直接 去算这个结果了啊。二 x 乘以它乘以它，我们的 x 是 不是可以消掉啊，还剩一个二好 y 的 三次方直接化简了啊，这时候啊，我们就把这里边的东西给带上了啊，因为要出结果了，你不要这样写啊，这样写就是不太完整。 好 x， y 的 平方，这是第一部分吧，再加上好 y 乘以 z， 对 y 求偏导啊， y 跟它相乘， y 跟它相乘，好吧，都乘进去啊。好， y 乘以 f， f 把这里边东西带上啊，好， 再加上 y 跟它乘，那就是 y 平方。还有这个 y y 的 一个三次方了是吧，还有个二带上还有一个 f 一 撇啊，他的话我们再给他回带一下啊，这个再写一遍吧啊，就是二 y 的 平方是吧。 f 一 撇， lonely x 给它回带回去 x y 的 平方了啊， x， y 的 平方是吧？还有一个 lonely x， 看写完了没有啊？写完了好，是不是可以化解一下呢？它跟它看一下， 二 y 三方，有 f 一 撇， f 一 撇，还是给它都带上啊，带上这个里边的东西， lonely x 是不是它都有这一部分啊，对不对？它这里啊，除了 lonely x， 这它俩是长的一样吧，所以可以再化简一下，把它提出来吧。二 y 的 一个三次方， f 一 撇 x， y 的 一个平方提出来，那你就是前面就是一个一了，加上后面，这就是多了一个 lonely x 嘛。哎，能整理就整理一下啊，还有这一部分超过来 f y f 啊， 好，这就行了啊，这就是答案呢，你也不能够再简化了是吧？哎，包括啊，你这里，你不想进行指出话的话也行，你看，你不想指出话的话， z 对 x 求偏的，我们看一下啊， 那 y 同样是一个常数是吧？是个常数好，看，它先外层求导在内层，内层，我们说了， y 现在是个常数，你可以给它理解为一个五吧。 x 五次方，怎么求导呀？是不是五下来，然后 x 的 y 的 一个平方减一啊，哎，对不对？五减一四次方吗？这个意思 看一下，跟这里一样吧。说，这是 x 负一次方吗？这是 y 的 平方， y 三次方，好，一样的啊，再看一下， z 对 y 求偏倒，对 y 求偏倒。好，也是两部分啊，看两部分，用乘法求导公式，左倒右不倒， 加上左不倒右倒，先是外层是吧，再是内层，内层的话， x y 的 一个平方， y 是 变量， x 就是 常数了，你给它看成这里的 a， 是 不是就用这个公式了？好，它就等于 a x 四方，那就是 x 的 y 的 一个平方，再乘以零 a a 的 题里面就是 x 嘛， 你注意负函数求导还要对它求导呢，来一个二 y 是 吧，就是这个时候你就容易出错了，我们看一下跟这里是不是一样的 f 加上二 y 的 一个平方是吧。 f 一 撇 lo x 它一样的啊，哎，你看你的习惯了好吧，哎，建议指给它指数化，不容易出错的啊。 好，这个题就讲到这了。好，我们看这个题啊，二元函数是由方程确定的，这是引函数的问题了吧。引函数啊求导的问题。好，我们知道啊，关于这一块，希望同学们啊掌握两个方法就够了啊。好，要么用公式法，要么是等式两边同时求导，他们啊，各有 优优点啊，公式法的话就是变量之间什么关系就忽略他们的关系，就不存在函数关系。 好，那等式两边同时求导要注意函数关系。哎，就这一点啊，但是我们要是求二阶导，你函数求二阶导的话，建议的就是等式两边同时求导就行了，你想想嘛，你 用公式法的话，一阶导就是分式结构了，你二阶导分式结构求导很烦人的呀，是不是这样的题，其实更建议的就是等式两边同时求导就行了。那当然了啊。嗯，对于啊，这个 求一阶导的话也可以采用啊第三个方法啊，等上边同时求微分。那有些题目求微分啊，很多同学他比较困难，所以我们就哎采用两个通用的方法就足以应对考研了啊。有些题目求微分比较简单，有些题目他是有点难，你求不好就求错了，你就别求了呗，是吧。 好，那我们看一下啊，建，首先建议的啊，就是等式两边同时求导，你注意 c 是 关于 x， c 是 关于 y 的 函数就行了。好吧，好，那我们也都练习一下平式啊，把公式法当然也会练习一下。好，这是等式两边 同时同时对 x 求导，求偏导。 注意啊，函数关系，先看它这边有 x， z 里边也有 x 啊，是吧， z 是 关于 x， y 的 函数啊，所以看这两部分啊，用乘法求导公式了，左边求导是个一，右边不求导，加上左边不求导，右边求导。 好， z 对 x 求偏导，你用这样个表示形式，或者这个表示形式是一样的啊。好，再加上左边。哎，这个已经求完了是吧，哎，该这个了啊，加上二倍的 好， y， 那 这个时候就看成长数了是不是？哎， y 跟 x 没什么关系啊。好，这里 lone， z 先是外层求导， lone 求导，然后内层 z 对 x 求偏导，是吧，再减去看这里 arc tangent。 先外层求导啊， e 加上这块的平方啊， 分之一在内层。好，这里边对谁对 x 求导是个零了。好， 我们要求的就是 z 对 x 啊，偏倒在这一点的值，在这一点的值，我们是不是得把 z 也得确定出来呀，好，哎，看到这样的题，你先把这个 z 给确定出来也可以的啊，我们看 x 等于零， y 等于二的时候啊， 这等于零，这是一，是吧，所以就剩一个 z， 再加上好， y 是 等于二，是不是？这就是四倍的平方， z， h 等于零，二个贪心，零是零了啊，等于一。像这样的啊，等式确定这个变量的话是很好确定的，直接就是瞄眼瞄一眼啊，基本上零呀，一呀二呀就能瞄出来了啊，不用去过于担心 alone 的， 我们肯定先想到一是吧。 alone 一 是等于零的，哎，刚好一加零是等于一的， 不用去管有没有别的 z 呢。好，我们考研考的都是单值函数啊， 哎，对于一元函数的话，好一个 x， 哎，对应一个 y， 引函数这边啊，这个 二元函数的话，那就一个 x， 一个 y 对 应一个 z， 所以 你找到一个 z 就 到此为止，就够做题的了啊，你不要再去想啊， z 有 没有可能取别的值，没有可能，就你找到这个值就是唯一的，哎，就这样就行了啊， 好，我们把这点是吧。 x 等于零， y 等于二，还有什么？ z 等于一，带入上面的式子就行了。带入一式，这就一式， 我们可以得啊， z 对 x 偏导在这一点的一个值，是吧，得求一下啊，我们在这写了啊， z 是 个一，加上零加一， z 对 x 求偏导，加上 y 等于二，二得四，一除以一， z 对 x 求偏导，减去 y 是 一个二，一加上零，好，就这是一个二， 对吧。盯住这个一式啊，四加一五倍的，这是负，二加一是负一，一这边就是个一，所以就求出来了，是吧，就是五分之一啊， 所以等式两边同时求导。你就注意啊，有这个函数关系啊， z 关于 x y 的 函数就行了，好用，公式法呢，它也有好处，但它也有坏处，就是感觉有点啰嗦繁琐些。这个过程啊，你可以尝试着看一看。好吧，我平时练一下公式法。 你公式法是不是你得把这个大 f f， x 就 大 f。 行啊，令 大 f 呢，是等于啊，这个它减去个一，你注意不要把这个一漏了啊。 x 加一， z 加上二， y 零， z 减去 ark 它的 x， y 减去一，是吧，好，这公式法，哎，这都记住它啊，好，这是 z 对 求偏导也好啊，求这个全导也好，嗯，都是这样的公式是吧？负的大 f 对 x 求偏导，大 f 对 z 求偏导，我们看这大 f 吗？对 x 求偏导，那其他的啊， y 啊， z 啊，全部看成长数，它们三者之间没有任何关系啊，这样去理解 好，你看，我们对 x 求偏导的话，这 z 就是 常数嘛，是吧？哎，其实就剩这块就是 x 乘以 z 嘛，对 x 求偏呢，就是一个 z， 对 吧，这是 z 常数。不管了啊，再看这里， 这，这都没有 x 是 吧？这块是有 x 的 啊，那就是减去 x， 这里求求导的话，是一加 x 方， y 方分之一，这里面对 x 求导，那就是一个 y， 是 吧？哎， 好， f 对 z 求导，对 z 求导，就找带 z 的， 那就这块和这块有是吧，哎，这对 z 求导啊，这都是常数了啊，超过来 好结束了这一部分，这里呢，对 z 求导，这个二 y 呢？哎，就是常数了，好，龙引。 z 求导，不就是 z 分 之一吗，是吧。这个时候把 我们的 x 等于零， y 等于二， z 等于一，是吧，带到这个式子里面就行了啊。我们求一下，负的 c 是 个一吧，减去 y 是 一个二，一加上零，零加一加上二乘一个二啊，这是个一了，我们看负的一减去二吧，一加上二得四，是吧，好，上面就是一个负一，前面有个符号，符号消掉了五分之一， 对不对？显得有点啰嗦，但还好，是吧，他就不用去管啊，这个函数关系什么的啊，对不对？ x 求导，你就找 x 就 行了，其他的啊，全部看成常数对 z 求导。哎，其他的看成常数找 z 就 行了。好，都希望啊，哎， 知道这两块的一个解题方法都要掌握啊。好，这个题就讲到这了。好，我们看这个题啊， 这是求二阶偏导了，那就求呗，是吧，把一阶偏导求完，再去求二阶偏导就行了。好，这就牵涉到什么呀，变现积分函数求导了，是不是积分变量是 t？ 你 先整理一下它啊，把这个跟 t 无关的啊，给它移出来啊， 是吧，该移的移出来整，把格式整清楚了，形式写清楚了再去求导是吧？ x 减 y， 这就是第一部分是吧？乘以 e 的 t 次方递梯第二部分减去好，零 x 减 y， t e 的 t 次方递梯。 把格式整理清楚，整理明白了，我们就可以去求导了。先看 e 阶偏导对 x， e 阶偏导看两部分吧。哎，乘法求导公式，左边求导，左边对 x 求导是个一，右边不求导， 加上左边不求档，右边求档，求档好，把 t 换成上限，乘以上限的档，上限。对啊，求档是个一。好，再看一下后面啊，把 t 换成 x 减 y， 这个比较简单，是吧？ 上线的档是个一，不用写了啊，这是不是可以整理一下，你看他跟他长得一模一样，一加一减没有了啊， x 减 y， e 的 t 字旁 d t， 我们要的是二阶偏导呀，再来一次，在他的基础上对 x 求偏导也非常简单，是吧，不就他吗？好，这个求完了啊，我们继续啊，看一下对 y 的 一阶偏导，盯住这里了吧。 对 y 的 话，同样看成两部分，第一部分对 y 求导，第二部分不求，加上第一部分不动，第二部分对 y 求导。好，这里要注意啊，上线对 y 求导，是一个负一，好，减，去后边把 t 换成上限， 就注意它前面啊，有个符号是吧？对，整个对 y 求导会有一个负一啊，就注意这一点，整理一下吧， 这前面倒不能消啊，零，哎， x 减去 y， e 的 t， 脂肪 d， t 看下后边可不可以啊。 这有个符号，符号乘过来就是 y 减去 x， 是 吧？ e 的 x 减 y， 这有一个符号 是吧，这有一个负号，那就是正号，正号啊， x 减 y， e 的 x 减 y。 好， 它跟它刚好是互为相反数的，是不是？我们把 e 的 x 减 y 提出来，那它跟它相加，不就是等于零吗？所以这块也消掉了啊，这块消掉了，就就这样了。 好， f 对 y 求二阶偏导。求一下呗，也简单吧，负的 e 的 x 减 y， 再乘一个负一。 好，负，负得正了是吧，这是他，这个是他，那他俩是不是长得一样啊，你看一下，一样的，那加到一起不就是两倍的 e 的 x 减 y 吗？ 是不是，哎，还是变函数求导这一块啊，你得先把这这个这块给整理清楚了。一定要整理清楚啊。 好，或者你可以把 x 减 y， 哎，当成一个 u 当成一个 u， 好， 我们先是哎对 u 求导，再 u 对 x 求导也行，但其实也没必要是吧，我们直接这样求就行的啊。好，这个题就讲到这了， 好，我们看这个题啊，给了偏导是吧，哎，让我们求对 y 偏导，当 y 等于 c， x 的 值好，偏导出现，他考察的是偏积分呀。 哎，我们先对 x 偏积分，把 f， x， y 求出来是吧，再对 y 求偏导。好，是这样的一个过程啊，这里就相当于给了一个出式条件了，是吧？ y 等于 c x， 好， 先看这里。好，对 x 偏积分，是吧？ 对 x 偏积分好，这就是 f x y 好， 一对 x 积分，那就是 x， 是 吧？也就说谁求导是一，谁求导是他。好，那就是二倍的 c x 再加上一个，这里就是关键啊。 哎，这应该是加一个 f y 对 x 偏积分，后面要加一个 y 的 一个函数，对 y 偏积分，要加一个 x 函数，这个，哎，注意就行了啊。好， 我们是不是要把这个 f y 给定出来呀？好，这就是给了出式条件呀，是吧？这就是给的出式条件，用上呀， 把 y 等于 cx， 是 吧？带到这个表达式里面我们就知道了。好，也就这个 y 等于 cx 的 时候，这是 cx， 是 吧？ 这是二，哎，这是 x 加上二倍的 cx， 哎，加上好，这个 y， 我 们用 cx 代替。 现在我们的 f x， y 是 不是长这个样啊？而 y 等于 c x 的 时候，本身它应该是等于 x 加 c x 的， 那你们都是 f x c x， 所以 你们肯定要相等呀。 好，我们这个时候可以哎，你就对照着把这个 five c x 可以 解出来，是吧？它跟它相等的话，也就是 five c x 就 等于等于谁呢？这一块减去这一块呗，是吧？ c x 啊，减去二倍的就是负的 c x， x 跟 x 消掉了，是吧？ 其实我们就得到的是什么呀？分 y， 我 们是令 y 的 c x 对 不对？分 y 其实就等于负 y， 这个能看出来吧？哎，我们就能求出来这个时候啊， f x y 的 表达式了。二元函数表达式啊， x 加二 c x 分 y 就是 一个负 y， 是 吧？哎，好，我们 对 y 求偏导吧，对 y 求偏导啊，对 y 求偏导，你这跟 y 没关系是吧？快看 y 就 行了啊，把 x 看成常数，就是个负一， 对不对？好，我二元函数对 y 求偏导，得的是负一，我无论把 y 等于谁带进去，它都是一个常数，是吧？是一个定值，所以就是负一，你带谁都无所谓的啊，都是确定的啊，所以就是个负一，考到了偏积分，哎，注意这一点 好处，条件一带，把这个 f y 解出来，好，再去求偏导。那这个题就讲到这了， 好，我们看这个题啊， f x y 具有二阶连续偏导，这句话出来的时候，我们立刻就能能得出来啊，它跟它相等，也就是说我们求二阶混合偏导，跟这个顺序是无关的。好，它有什么样的一个好处呢？ 对于一些题目，比如说啊，他给出来这个型号的话，好，他先对 x 求偏导，再对 y 求偏导，那他就可以写成 先对 y 求偏的，再对 x 求偏的，因为是相等的嘛，是吧，就等于一。有些题目啊，好，我们一般来说出现偏导了，那他可能考察就是求偏积分嘛，是不是？好，如果你直接，哎，对于他来说，去求偏积分，是不是先对 y 求偏积分呀？ 好，那你会发现啊，他没有先对 x 求偏积分好，求计算更简变。那所以这个地方就是先给大家提个醒，后续啊，会做的类似的一个题目。 对于这个题目的话啊，你先对 y 偏几分，先对 x 偏几分，计算量没有等，没有大的一个区别，基本上是一样的。但很多题目啊，很多题目我们后续会见到，你先对它和对它就是不一样啊，就是不一样，计算量。好，得知道这一点啊。 好，当你对他积分，哎，感觉费事的时候，你就想到啊，先给他积分，这个题没什么影响啊。好，这是偏导啊，两个先对他，对他偏导，等于一两个出题条件求，哎，在这个点的函数值，你是不得把这个函数求出来呀，再把点带进去，好，那就是考偏积分的是吧？考偏积分的啊， 你知道考点是什么，那我们就哎按照题目给的啊，哎，这个先对 y 求偏积分，再对 x 求偏积分。好吧，你待会我们也可以试一下，先对它，后对它有什么？有没有什么计算量的影响啊？我们先对 先对谁？哎， y 偏积分是吧，对 y 偏积分得的是不是对 x 的 一个偏导呀？对 y 偏积分，那就是 y 再加上 x 的 函数是吧？ x 的 函数啊，好， 不要忘了不要忘了啊，这个时候，哎，没有关于一阶偏导的输入条件是吧？没有，没有的话，那我们就继续偏积分，继续偏积分就会出现函数了吗？表达式了吗？才可以啊，带出条件是不是好，再对 x 偏积分，那记两次啊，偏两次积分，好，哎， 再对 x 偏移积分，那不就是得 f x y 了吗，是吧，好，对， x 偏移积分， y 看成常数，那就是 x y 是 吧，再加上，好，这是一个关于 x 的 函数呀，你对 x 偏移积分的话，你是不是得这样写了，哎，就是不定积分写成不定积分的形式喽， 好，再加上，哎，对 s 边积分加上一个 f y 啊，对不对？好，我们要去带啊，这出条件了，所以同学们要把这一块哎给它写成一个函数的形式，总之我积分完之后肯定是关于 x 的 函数，是吧，你写成啊，比如说 g， 你可以写成 h 吧，是吧？ h x， 总之是关于 x 的 函数嘛。好，这写成这个型号是为了干嘛？为了去带出的条件好去书写对吧？好，去书写以及去。呃， 根据两个出条件啊，去把这一部分表达式啊，给他求一求。如果你写成这个型号的话，不太好表示出来啊，你带这些点的时候不太好写这个形式不容易啊，出结果知道这一点就行了啊。好，我们就把这两个哎带一下啊。 好，零 y 是 吧， x 等于零一代嘛？ x 等于零一代都没有了是吧，这就变成了 h 零，你看这写着多舒服。好，就是否 y， 如果你不写成 h x 的 话，你看你写成啥了啊，你写的是零，加上好 g， 你看你这就不好书写。你说我把 x 等于零带过来，这表达式我也不知道，对吧？这记出来表达式我不知道，我这个 x 等于零怎么带呢？你没法书写了啊，记住这点好，那 f 还有一个出式条件是吧？这个写完了没有啊？出式条件写完了啊。 好，这是等于多少呀？题目说的啊，是等于 c y 的 啊。嗯，这个出条件呢，是把 y 等于零一代，那这就是零了。好， y 等于零一代，是不是？这是 f 零了，那么这是等于多少？等于 c x， 我 们的目标是把 f x y 的 表达式求出来，是不是要把这个 h x 和 f y 求出来呀？那你肯定就是用这两个出式条件 看能不能搞出来嘛。好，这一块儿的话，是不是否 y 可以？ 哎，出来啊，我们想要否 y 啊，否 y 就 等于这个 sin sin y 减去一个 h 零吧。对啊，好，再看，我们想要 h x 就等于 c x 减去三零，是吧？好，这两个表达式有了啊，所以 f x y 是 不是可以基本上写出来它的一个表达式了？ h x 在 这呢，好，超过来三 y 呢，在这呢， 好，有同学说，嗯，还没解出来，对，没解出来，你看你表达式里面有否零，有 h 零，请问它们是等于谁呢？好，这个时候是不是我们还想要一个出式条件呀？哎，怎么怎么 怎么找出式条件呢？好，你这个 y， 这个 x 是 不是你完全可以负为零呀？哎， f 零零是非常特殊的一个出式条件，你得能够找出来啊。出式条件啊，这里其实还隐藏一个， 就是 f 零零，把 y 等于零一带不就零吗？把 x 等于零一带是不是零零啊？这隐藏一个你得能揪出来啊，哎，这个可以，你可以记一记隐藏的除条件，揪出来它是有用的啊，你现在 f x y 不 等它吗？它又过零零点，对吧？ 又，因为 f 零零等于零，所以我们看一下能得到什么信息。零一代，零一代是不是只剩的是负的，负的，负的 h 零的，这些都是等于零的呀？好，结果等于多少呀？等于 零啊，是吧，等于零，好，也就说这一块跟这一块是不是已经求出来了，哎，就是零，所以这个时候我们，哎，真正就真正的把 f x y 的 表达式求出来了，是吧？就是 x y 加 c x 加 c y， 因为你们两个啊，是等于零了，根据 f 零零得出来的啊。好，我们把，哎，二分之二，二分之一带就行了，是吧？我们算一下啊，所以 f 二分之二，二分之二等于多少呢？ 嗯，二分之拍的就是四分之拍的一个平方， c 二分之拍就是一个一， c 二分之拍是个一，再加上一个二，对吧？这就是我们的一个结果了啊，这是二加上 四分之八的平方。同样啊，我们也简单的去写一下。哎，就是一开始提到的啊，提到的有些题目，他就是先对 x 篇积分，再对 y 篇积分，计算量就会小很多。这个题没有体现，但我们也可以做一做。好吧，我们可以在这里写 先对 x 偏积分，你会发现啊，步骤是一样的了，对 x 偏积分是不是？是，得的是对 y 的 一个偏导呀，对 x 偏积分，那这就是 x， 再加上一个 a 反 y， 可以 吧，再对 你肯定要继续偏几分呀。好，对， y 偏几分？好，这就得 f x y 了，对 y 偏几分是吧？哎，你看，这步骤基本是一致的啊，再加上一个 x 的 一个函数， 是吧？同理啊，这一块给它写成一个函数的形式，不然不好去带啊，出示条件书写上你很难搞出来啊。好，这就是关于 y 的 一个函数，那我们就写成 h y， 对 吧。 这这边的话，就还是 g x 嘛，初数条件一代吗？一样了啊， f 零 y 零一代是吧，就是 h y g 零 i 等于零一代吗？它是等于 c y 的 好， 这个 x 零 y 等于零一代，那就是 h 零。哎， g x 就 等于 c x 同样。好，我们把这个 h y 是 吧， g x 表示出来，再根据 f 零零等于零。好，也是啊，把这块求出来，就是这个啊，负两个，两个负的是不是等于零？这就不写了啊，后面就是一样的操作了啊，这个题没有没有体现出来啊，他的一个优点，后续我们在其他题目再去说，好吧， 哎，两次偏积分好，这个题就讲到这了。好，我们看这个题啊，这是让求 f 对 x 的 偏导，我们是不是得把 f x y 求出来呀？表达是求出来，你再去求偏导呀。 好，这里会发现啊，这是 x 加 y， 哎，这个位置是吧，这个位置呢，是 y 分 之 x 这样的题目啊，你记住它做题流程流程就行了。哎，就是先变量带换， 变量代换就一个位置，你另乘 u 一个位置，另乘 v 好， v 好， 就是 x 比 y， 那 么就解出来 x 等于多少 u 多少 v 的 一个形式啊， y 也是一样的， x， y 都解成啊，关于 u v 的 一个函数表达式的情况。 好，接下来呢，我们就可以啊，把 f u v 求出来了。 f u v 其实就是 f x y， 我 们把这个 u 换成 x， v 换成 y 好， 这表达式就求出来了，那么再去求偏导。就这样的一个做题的流程啊， 我们去解一下啊，你看这个 u 等于 x 加 y 分 之 x， 那 x 是 不是就是等于 y 乘以 v 呀，你这个得慢慢解啊。好，这个 x 的 话，我们现在就是等于 y 乘一个 v， 对 不对？这个带过来了啊，他俩是连立吗？ x 等于 y， y 乘以 v 再加上一个 y， y 是 不是可以提出来呀，就是 v 加一呀，所以我们可以看一下啊，这个东西， 它现在就是等于 u 的， 我们现在 y 是 不是可以解出来了？ y 就 等于 u 除以 v 加一，这个慢慢解啊，不要着急。哎， y 啊， u 除以一个 v 加一， x 和 y 都表示成关于 u v 的 函数哦，注意它的一个做题流程啊。 好，那 x 等于多少？ x， 它不就等于 y 乘以 v 吗？这不就是 y 吗？再乘一个 v 啊，再乘一个 v 啊，是吧，这就表示完了啊，表示完之后我们把 f、 u v 去求一下。怎么去求呢？好，你看啊， 我们是令的，它是等于 u， 是 吧？这块啊，等于 v， 也就是 f u v 呢，它就等于 这里边的 x 和 y， 现在我们就可以用关于，哎，关于 u 和 v 表达式，是吧？带过来了呀，这个能看出来吧。 x 现在不是等于它吗？好，就是 u v 比上一个 v 加一 的平方呀，减去 x 跟 y 一 乘，它俩一乘嘛，那就是 u 的 一个平方， v 是 吧， v 加一的平方，再加上 y 的 平方。好， u 的 一个平方除以 v 加一的平方。好，这里的一个平方我也可以这样写，两个 分别写开啊，因为它都是分开的嘛，这便于我们去化减，对不对？好， v 加一的一个平方，我们看分子啊， u 方 v 方减去 u 方 v， 是 吧，再加上 u 方， 这个有没有漏掉啥呢？没有，对吧，那就这样了，这个 u 方可以提出来，对呗，然后 v 方减 v 加上一个一，是这样的吧。 u 方，然后 v 方减 v 加上一个一， 这还能化解什么了吗？好像不能，不能了啊，那 f u v 就 求出来了， f u v 求出来，不就是 f x y 求出来了吗？对不对？你得能够理清楚啊， 现在我们的把 u 和 v 换成 f， 这里边 x 和 y 的 形式就跟上面就没有关系了，不要再去盯上面。你不是说 x 跟 u v 是 这样的关系吗？不是了啊，现在就是，哎，表达是已经出来了，我们只是把字母换一下，跟上面没关系的啊。搞清楚，那就是 x 平方。 好， y 一个平方减去一个 y 加一，是吧？除以这个 y 加一括号一个平方，再去对 x 求偏的就行了， 好，嗯，求了啊，对 x 求偏的，把 y 看成长数是吧？把 y 看成长数，这就是长数了。我就。哎，往这一放，行吧，你就是长数了啊，这分之一也是长数，只只需要看分子对 x 求导就行了，这也是长数啊， 对吧，这都是长数。那其实这儿吗， x 方对 x 求导不就是二 x 吗？这就完事了，这就是我们的最终的一个结果。 好，填上去就行了，我就不写了啊，注意它的做题的一个流程。会了吧，把它拎成 u， 把你拎成 v， 好， 把 x y 解为关于 u v 的 一个函数。好，这就往里面带，往里面带。哎， f u v 求出来了，那我们就是只是把字母换一下是吧？就 像我们一元函数里面，把 f t 求出来之后，我把 t 换成 x， 这个 x 跟前面的这个 x 就 没什么关系，不要去往前面的这个 x 就 行了，是吧？好，这个题目就讲到这了。 好，我们看这个题啊， f x y 等于它，这有绝对值，牵涉到去绝对值的问题了啊。好，求的是 f 对 x 的 一个偏导， 那如果题目给你的是它，哎，你会求 f x 对 x 偏导吗？会，我觉得都会， 是吧。好，当 x 大 于零去绝对值的问题，是吧？ x 大 于零的时候，直接去那表达式就是它， x 等于零的时候就等于零， x 小 于零的时候，绝对值去掉，添个符号，那就是它。 好，对， f x 就是 分段函数是吧？分段函数求导的话，它就是它不能求偏导了，就是求导，是吧？ 求导的话，那就是非分段点处，哎，我们直接用这个公式法去求，是吧？分段点处用导数的定义，这咱们一元函数，哎，分段函数求导这里都 做过很多题了，那二元函数也是一样的，根据他这个型号加绝对值了，那么他就可以写成分段函数的形式，那么在分段点处用导数的定义，非分段点处，哎，用导数求导公式，是吧？用求导公式求导就行了。好，我们知道啊，他的 方向就行了呗。哎，我们的目标你得清楚，是对 x 求偏的。那其实 y 我 不不是很关注你，对吧？哎，我不是很关注你啊，所以我们把 x 大 于零， x 等于零， x 小 于零， 哎，以 x 大 于零，小于零等于零啊，去进行分段就行了。对 x 求偏的，你注意我们的啊，关键的点在哪里？好 看一下那表达式是不是？哎，写成分段的呀，就是 x 大 于零的时候， y 我 根本就不管你。 x 大 于零的话，先啊，先这样，你先再写一步，写成 好这个 x 绝对值，根号下 y 的 一个绝对值，可以吧？这样去想，因为我们并不关注 y， 你 爱大于零和 x 小 于零， x 等于零的问题。 好， l 大 于零，这里其实我们已经知道，它就是根号 x 嘛，是吧？根号 x 好， 后面就是根号 这个 y 的 一个绝对值，对不对？你也可以给它挪到一起，就 x， y 的 一个绝对值， y 的 话，就是说你 从负无穷到正无穷都是可以取的呀，是不是根据啊？首先根据这个题目的话， x 跟 y 本身 x 就是 可以取负无穷到正无穷的， 对不对？ y 呢，也是负无穷的，正无穷都是可以取的，对吧？因为它在绝对值里面嘛，所以全平面上的点它们都是可以取的。 因为我们的关注点是 x， 所以 就分 x 大 于零， x 等于零， x 小 于零。注意关键点啊，不需要再去把 y 大 于零，小于零等于零再去写一遍了。不需要啊，好， x 等于零的时候，同样 y 还是这个样子就行了。 x 等于零，那很显然整个 f x y 就 等于零了是吧？ x 小 于零的话， y 你 就哎，把你的定义域写过来就行了。 好，这里，这就是根号下，就是我们这里说的是负的 x， 是 吧，根号下 y 的 一个绝对值， 这时候我们就类比一元的分段函数求导的一个公式去求一下。哎， 分段点处呢？用导数的定义是吧，我们先看啊， x 大 于零， x 小 于零的时候是吧，这就是非分段点的意思，只是这里啊，二元函数，它其实就是区域的问题了啊。好，直接用导数的求导公式是吧，求导公式就行了。 f 对 x 求偏导。嗯， 那 y 看成长数不就完事了是吧。好，根号 x 对 x 求偏导。哎，不就是你吗？这也可以稍微整理一下吧。对呗，都有根号，合到一起呗， 这是 y 的 绝对值，那 x 也可以给他合进去是吧，为了这个形式看着更舒服一些，你不想合也行。好吧，这个 x 完全可以进去啊，给他写到一起。好，这个就是这种情况了啊，当 x 小 于零的时候也是啊，用求导公式就行了， 看它呀。嗯，根号下这个 y 的 绝对值也是看着长数往这一放。好，这里呢，对 x 求导，先是它这里，再对 x 求导，是一个负一吧，也可以整理一下这个形式。二分之一是吧？ 符号啊，写前面根号下它都有根号，我们也可以挪到一起，是吧，也可以这样去写啊， 对呗，哎，这样去写的话，上面就是 y 的 绝对值，下面是 x 绝对值， x 绝对值开出来就是负 x 嘛，以 x 小 于零也可以这样写啊。好，当然你怎么写都行啊， 对吧，你怎么写这里？不不不，给他绝对值啊，给他俩放在一起也行啊。好，接下来就是 x 等于零。好，这个时候需要给大家强调一下啊，他跟一元函数分段点处，要用导数的定义了，对不对 导数的定义，这样情况呢？这两种情况就是用求导公式，哎，这要分成两种了啊，两种情况， x 等于零，还有一个 y 到底等不等于零的问题，依然函数不涉及，是吧？那这里就是 y 不 等于零， 因为你 y 等于零和 y 不 等于零，有时候啊，它的结果啊，这这两种结果的。所以你就记住这样的一个流程，就是分 x 等于零，有又分出来 y 等于零和 y 不 等于零。好，用倒数的定义就行了。 我们看这个情况， f 对 x 求偏导，在 x 等于零的时候，是吧，这个导数的一个值嘛，你就类比一元函数，在零对点求导数定义的话，是不是我们一元函数是 f， x 减去 f， 零除以 x 减零。求极限呀？ 好，现在的话，哎，只是 y 等于零了，你把 y 拿过来而已，是吧？只是拿过来而已。好，你这跟一元函数啊，几乎没什么区别，把 y 看成长数就行了啊，看一下这个极限啊， 这是 x x y 等于零， y 等于零的话，很显然表达式就是等于零了，是吧？这就是确切的一个零啊，减去 f 零，零，那也是等于零啊，底下是区域零，咱们在一元函数那边就说过了，上面是确切的零是吧？就它真真切切的啊，是个零呀， 货真价实的零，这是去零，你不是货真价实的零，你是去零啊，一个确定的零除以去零是吧？去零零零零零一啊之类的，反正你不是零，那零除以一个啊，不是不是零的，一个数乘一个不是零的数，它都是零呀，对不对？这个啊，记住啊，等于零，我还是用紫色的笔啊， 提醒一下大家。好，这种情况就完了，那我们再看这种情况，哎，一样的是吧，用导数定力啊，好， 只是说这个位置给它换成 y 了， y 不 等于零是吧，直接用这个范范的一个字母来表示就行了。好， 就是一个 y 嘛，写成 y 了啊，怨函数学清楚了，这块也是很简单吧， f x y， 因为 x 是 去零的， y 不 等于零，直接就 f x y 表达式往这一挪就行了。表达式我们说了，就是它 乘一个它，你就现在看这个红色的就行了，是吧？减去 f 零 y， 当 x 等于零的时候， f x y 是 等于零的啊，这就等于零除以一个 x。 电脑卡了一下啊，我们继续， 对于这个极限的话，它是不存在的，我们看啊，这个 x 去零，你把 y 这个啊挪到前面就行了。 x 去零，根号下 x 的 绝对值比上一个 x 好，上面你会发现啊，这是相当于 x， 你 不用管绝对值的问题的话，这是二分之一次方，这是 x 一 次方。 好， x 区域零的时候，它属于高阶了呀，对不对？下面区域零的速度更快吧。你这一次方呀，肯定大于二分之一次方呀， 你去零的速度更快，所以这个极限就无穷大了，对不对？我们不用去看 s 区零正零负的问题，其实你要想看的话，我们就是 s 区零正，你看看一下，它就是无穷了啊，对不对？ s 区零正的时候，这是不是就是绝对值？去掉就是一个 x， 就是 根号， x 就是 x 的 二分之一次方， 对呗，然后这是 x 一 次方，所以这就是一个无穷大了。那 x 趋零负你就不用去看了是吧？去一次这个极限都不存在了，更更说更别说趋于啊两侧了。好，而且这个时候你看 y 是 不等于零的嘛。对呗，你也是不等于零的，所以这个极限肯定就是无穷就不存在的。 极简不存在。好，那也就是我们这里说的啊， x 等于零的时候，你要分两种情况，你看这种情况就存在，这种情况不存在。我们最后啊，来总结一下啊，是个大题啊。好， f 对 x 求偏导 分段函数是吧？当 x 哎，大于零 y 的 话，就是在它定义内就行了，是不是二分之一根号下好， y 比上一个 x， 那 当 x 小 于零的时候，这样 这个 y 的 话得用个别的笔了，不然看不清晰了。是不是红色的吧。 y 负无穷正无穷好，再改回来， 这多少呀？二分负，二分之一根号下 y b x 绝对值。当 x 等于零， y 也等于零的时候，是不是等于零呀？ 好，这种情况其实你写不写都行，毕竟它都不存在，是吧，你写个不存在，写不写都可以啊，想写的就写一下。 x 是 等于零， y 是 不等于零吗？也直接不存在。 好像这样的题的一个关键点就是你模仿一元函数，那你能看出来，带绝对值的可以写成分段函数，对 x 求偏的 y， 不 用去关注是吧？把 x 大 于零，小于零等于零，哎，关注到位，分成三段。 好在是，哎，大于零小于零的时候求到公式去求，等于零的时候用倒数的定义，这个时候再分出来一种情况，哎，就这么简单，是吧，记住做题流程就行了。好，这个题目就讲到这了。好，我们看这个题，设 q x y 等于它好， y 大 于零， x 没有要求，是吧？那就 x 是 属于 r 的 呗。 好， p d x 加 q， d y 是 某二元函数的权微分，这个 p 啊，可以取。哎，哪一个选项呢？好，我们知道啊，一个二元函数， 它的权微分是怎么写的呀？是不是对 f 就 二元函数对 x 偏导 d， x 加上 f 对 y 的 偏导 d y 啊？我们设这个二元函数，就是 f x， y 的 话，它是这个二元函数的权微分。那你看对应一下呗。 好， d x 加上 q， d， y。 首先这个题啊，在这个 q， x， y 呢，好，它是 有要求的， x 呢？属于 r， y 呢？大于零，对不对？那么这个 p 啊，也得是这样的一个要求，为什么呢？你看一下啊，这个 p 和 q 是 怎么来的呀？ 是不是就是 f， 哎，对 x 的 偏导， f 对 y 的 个偏导呀？是不是你这两个位置就是 f 对 x 求偏导， f 对 y 求偏导呀？那你这个位置啊，虽然它它们两个也都是二元函数，你这个 x 和 y， 那 那取值肯定是跟这里的 x y 是 一样的嘛，是不是你是从根上过来的嘛？ 好，那我们现在知道，哎，你的一个啊， x 和 y 的 一个取值是它了，那其实就是对应的，你的 x， y 的 一个取值就是这个，那 p 也是一样的，对不对？你们啊，这个 取值范围都得是一样的，是吧？那既然一样的话，你看一下啊，选项啊，选项，这个 p， 这个 d 就 可以排除了。 d 的 话， 一定要求 x 不 等于零啊， x 如果等于零的话，那就没有意义了，是不是？你写成这个样子，要求的就是 x 不 等于零，这是潜台词吗？而我们说了这 x 必须属于 r， 是 吧，这三个选项啊，可以作为备选吗？你这个 d 首先就排除了。好，接下来我们去看一下 abc， 怎么去选呢？ 怎么去选？你像啊，这个偏导出现，哎，权威分出现，你要想到这个什么呀，偏基分啊，它的一个考点啊， 我们现在知道的是 q 嘛， q 是 谁呀？ q 是 f 对 y 的 偏导呀，是吧，就等于这个 q 啊，等于 x 比上 y 的 平方，那我们是对 y 求偏导，那我们对 y 呢，就偏积分呗， 常见的套路是吧，偏积分的话，我们就可以得到 f x， y 等于多少呀？它好对 y 进行积分， 我们说对 y 积分，这个 x 看成一个常数嘛，是吧？等于 x， 谁求导等于它呀，那不就是负的 y 分 之一嘛，所以是负的 y 分 之 x。 注意啊，对 y 偏积分后面要加一个 x 的 函数，是吧？ 好，接下来怎么样啊？怎么样，那不就是 f 对 x 求偏导了吗？因为我们知道 f 对 x 求偏导，就是这里的一个 p 吗？好，这里求一下啊，求一下导，对 x 求导， y 看成长数哦，那就是它加上它对 x 求偏导啊，好，就是我们说的 p 吗？是不是 你看 p x y 里面得含有一个负 y 分 之一哦，那只有它有，你看 abc 里面只有它有，是吧？这两个就错了嘛，选 b 就 可以了，是吧。哎，这个定义域啊，你得是保持一致的嘛，对不对？你这个位置和这个位置都是由 f 求来的嘛，求倒过来的， 所以 p q f 啊，你这个 x 和 y 这个取值都是一样的啊，那这是数一数二数三啊，这个通用的一个解法。对于这个题的话，数一的同学啊，我们也可以从 平面曲线积分与路径无关哎，这一块啊，去做题。好， p q 呢，在单联通区域里面具有一阶连续偏导的话，好，曲线。我们知道啊，曲线积分呢，与路径是无关的 好，冲要条件就是在这个单联通区域内处处有它俩相等。而我们知道啊，曲线积分与路径无关的话，你也可以说成 好，在单联通区域内存在二元函数 u x y， 使得这个式子成立。其实就是这个题的一个意思嘛，对不对？好， p d x 加 q， d y 是 某二元函数的全微分，表示的就是啊，曲线积分与路径无关。好，它的一个冲要条件就是在单联通区域内啊，好，它俩是相等的， 它俩相等的。我们去看一下啊， p 对 y 求偏的就得等于 q， 对 x 求偏的 q 呢？对 x 求偏的 y 看成常数嘛，那就等于 y 的 平方分之一。这块是不是 好，我们现在就知道了啊， p 对 y 求偏导得等于它，那 p 得等于谁啊？两边对 y 偏积分嘛，对不对？对 y 积分，那就是负 y 分 之一嘛。对 y 积分要加一个 x 函数，所以我们可以看出来 p 得是这个样子的，对不对？得含有一个负 y 分 之一嘛？这个没有，这个也没有，那就是看它两个了， 它两个的一个区别是什么呀？还是我们刚刚说到这个定域问题？那从从这一个曲线基本与路径无关的话，怎么去理解这个定域呢？就是单连通这三个字，你得理解啊， 这是 x 轴， y 轴的话，你看啊，这个 q 的 话，要求 y 大 于零就行了。 y 大 于零，那就 x 是 任取的吗？是吧？ x 任取， 你看这个区域是不是这一块啊？那你这一个 p 的 话啊，你看，如果你选 d 选项的话，我们得去 去掉这个 y 轴上的一个点，对不对？你 y 轴上的点就去掉，必须得去掉才满足这个 d 选项的啊，这些就没有了，你看就不满足单联通区域了。 单联通区域是什么呢？我们韧化一个封闭的一个小圈的话，得是这个样子的，你不能够啊，刨除，刨除某些点的啊，不能有洞，对，不能有洞啊？ 你看你如果选 d 选项的话，你就有洞了，你随便圈一个圈，你看你不能够包含这个红色的点吗？是不是你就这种情况了？你有洞了啊，就不是单连同区域了，对不对？你 b 选项就没有这个要求， x 随便取吧，所以这就是单连同区域了，是吧？把这个啊 这个啊再补上吧，你看不要刨除这一块啊，这些，哎，就是单连同区，你怎么画圈都是这种情况嘛，是吧？这就是单连同区域啊。好， 这是数一啊，数一的这个同学学到这块知识点。那对于数二数三的同学啊，你用我们的这个通法就够了啊。好，那这个题就讲到这了。

同学你好，我们来看一下一千题第五章的第二题。若函数 f x， 它的极值点是小于零的，让我们求 a 的 极值范围，那首先呢，我们要判断它极值点的位置，接着再去跟零作比较。 首先是对 f x 进行求导，也就是 f 撇 x， 它是等于负 a， e 的 负 a x 次方减去 e 的， 令其为零。 我们之前在总结视频中知道基点的位置是在哪里呢？一个是以导为零的点，另外一个是不可导点，那 f x 是 它是一个连续函数，并且还是一个可导函数，所以是不存在不可导点的。 所以呢，节点是不是就只能是在一阶导为零的点？我们看节点跟注点之间的关系，注点呢，它是导数为零的点，是后选的节点之一，而节点呢，可能是注点，也可能是导数不存在的点，所以我们刚刚是排除了这里是没有导数不存在的点，那节点是不是就只能等于注点了 它？这里我们如果按照常规的解析思路的话，直接求解 是不是就是求出它这个 x？ 然后呢，根据这个 x 零，也就是记点小于零这个条件去反退 a 的 去质范围对不对？但是直接求减呢？这里有一个问题，如果我们直接求减，那是不是 是要利用对数运算的？因为在这个 f x 中，我们令其等于 e 的 话，这里有 a， 也就是说指数形式上有 a， 乘积函数中也含有 a， 那 是不是需要两边求对数？如果是两边求对数的话，这个计算过程就非常的复杂，不是不能做，是非常的复杂。所以呢，我们就要联想到间接求解的方法，也就是 a 令 a 等于 e， 负的 e 的 e 加 x 零次方，这个 x 零呢，是我们假设的注点， 总结下来就是，如果方程无法显示的解出变量，但是却要求让我们求参数范围的话，就优先尝试反解参数，利用不等式和函数的单调性求解。 这个解析思路已经总结过了，我们来看一下它怎么做呢？ f 撇 x 等零，刚才我们说了用间接的方法求解，那就是 这部分它是等 e 的， 那 a 是 不是就能够得出一个用 x 零表示的一个式子？我们刚才说的注点，设注点 为 x 等于 x 零，那现在的话是不是就是负 a 乘以 e 的 负 a， x 零次方减去 e 啊？直接等于 e， 那 这样的话， a 是 就等于负的 e 加上 a 的 x 零次方。 如果我们令 u 等于一加上 a 乘以 x 零的话， 那 a 是 不是就等于负的 e 的 u 次方啊？那我们看看看一下这个负 e 的 u 次方，它这个函数图形是怎么画的？这样画，这里是 x 轴，这里是 y 轴，这里是 e， 这里是 啊。函数图像应该是这样子画的，这是 y 等于负的 e 的 u 次方写成，那这里就写成了 u。 说它这个函数是一个单减的图像，那这样 a 起码是不是能判断出来它是一定小于零的对不对？ 因为它 a 是 等于这个整体的函数，而这个函数是不是函数值都是在零以下的，所以呢， a 是 一定小于零的。 得出 a 小 于零，我们再来利用这第一步，接着再来利用极点 x 零小于零这个范围，进一步再缩小 a 的 范围，利用极点 x 零小于零去推导范围，已知 x 零是小于零的，且刚才我们知道 a 是 小于零的，因为 a 它是这个函数，等于是这个函数的函数，而这个函数值的符号呢，是不是都是在零以下？这是它的图像， 因此呢， a 乘以 x 零，负负得正，它是大于零的吧，那这样是不就能够得到一加上 a 乘以 x 零，它是大于一的，一加上一个正数，它肯定是要大于它原来的本身的。所以呢，我们 令 g u 是 等于负的 e 的 u 次方，它是一个严格 单减函数吧，根据图像我们就能够看得出来。所以呢，当 u 大 于一的时候，也就是它这个自变量是大于一的时候，我们是根据图像是不是能够得出 g u 它是小于 g 一 的吧？ 假设这个点是一，那在大于一的时候，是不是很能够很清楚的看到它的函数值是小于这个点的吧？所以呢， g u 它是要小于 g 一 这个位置的函数值的。那 g 一 是等于什么呢？一代数是不是就能够得到它是负 e？ 那这样，我们将 u 等于一加 a 乘以 x 零，代入 a 等于负的 e， 一 加 a x 零次方中，那就能够得到 a 是 等于 g 一 加 a x 零小于负一的，对不对？再验证验证，并且确定它的取数范围，结合 a 小 于零和 a 小 于负一，是不是就能够最终得到 这个 a， 它是属于负无穷到负 e 的？ 再看一下，如果它给出的是极值点大于零这个情况呢？这个情况我们只是书本上没有要求，我们只是联想一下，若极值点 大于零的情况， 刚才已经知道 a 是 小于零的， x 零它是大于零的，那 a 乘以 x 零是不是小于零？也就是说一加上一个小于零的数，肯定是小于一的吧。 g u 是 等于负的， e u 次方它是单调递减的， 我们再来看一下它这个函数图像，这里是 u， 这里是 y， 函数是这个样子的。假设这里是一这个点， 那一加 a 的 x 零次方，它是小于一的，也就是说它是在一的左边的那一的左边，根据图像的话，它是不是就左边的函数值是肯定要大于一这个函数值的？所以呢，是不是就能够得到 g 一 加 a x 零等于 a 是 不是大于负一的呀？那再结合 a 小 于零这个条件，是不是就能够得到 a 是 属于负一到零的？这是我们根据 刚才的解题思路，联想一下几点大于零的情况，那如果按照直接求解的方法呢？它是怎么做呢？从注点方程出发，是不是就得到负 a e 的 负 a x 零减 e 是 等于零的，那整理出来是不是就得到负 a x 零，它等于什么呢？它是等于负 a 分 之 e 的， 而这个 e 的 负 a x 零次方，它是大于零的吧？因为函数图像它是这个样子的，所以呢，它的函数值是一定大于零的，所以是不就能够得到右边这个等式？它也是大于零的？ 它是大于零的，那是不就能够得出 a 是 小于零的？ a 小 于零的话，我们再来看，如果两边取自然对数，是不就能够得到这个等式啊？ 这就是我们刚才说，如果涉及到对数运算的话，它计算过程是非常复杂的，这样去解这个 x 零的话，它其实等于负 a 分 之一，一加上 line 负 a 分 之一 这样子的，然后接着是根据 x 零小于零的这个条件，是不是能够得到右边的这个等式，它是小于零的，再结合 a 小 于零的话，负 a 分 之一大于零，那不等式的话，它整体是等于什么呢？是不是一加上 line 负 a 分 之一是小于零的， 最终呢，是 l 负 a 分 之一是小于负一的，也就是负 a 分 之一是小于 e 的， 负一次方是等于 e 分 之一的，两边我们现在是同乘以 a 的 话， 注意这里 a 是 小于零的，那不等号方向是不要改变，所以呢，负一是大于 e 分 之 a 的， 这样也能得出 a 是 小于负 e 的， 并且呢，在结合 a 小 于零这个条件，那是不是最终能够得到 a 是 属于负无穷到负一的？总结下来的话就知道，如果是直接求解的话，涉及到对数计算，再加上它的计算步骤还比较多，所以呢，我们是优先考虑间接 间接求解的。而间接求解呢，刚才我们说了，如果涉及到它没有显示的给出 x 它的范围的话，那就并且还要要求我们去求参数的范围，那就优先考虑利用函数的单调性 去求解。像这种题呢，常常求参数范围的，在第五章的时候，后面也会遇到很多具体的题，那这一视频讲解到这里，感谢您的使用。

好，我们看这个题啊，曲线与 x 轴在零到正无穷上所围成图形的面积，这考察啊，定积分的几何意义。我们可以简单的啊，画一下这个图，好，这个 y 的 话， 这个分母一元二次函数，我们可以看出来得寸小于零，也就是说分母是大于零的，对不对？整个的 y 就是 大于零的， 整个 y 都是大于零的，当 x 取零的时候， y 取五分之一，随着 x 的 一个增大的话，它趋向无穷的话，无穷分之一是趋向零的，所以以 x 轴为渐近线是吧，总之它大于零嘛，那么零到正无穷上 好，这个图形的面积与 x 轴围成曲线与 x 轴围成的面积，是不是就是直接零到正无穷？对，这个函数 y 积分就行了，不就考察定积分的几何意义吗？对不对？好，这个 i 就 等于零到正无穷。对， y 表达式啊，写过来， x 平方加四 x 加个五 d x 积分就行了呀。这个积分的话我们已经说了，都是小于零，你要想着去配方了是吧，对吧？ x 加二的平方 再再加个一吧。对 d， 我 们是不是给凑一个 x 加二啊，这不就是 a 方， a 方加 x 方分之一，这个乘法的考察啊，它不就是 arc 摊进的 a 分 之 x a 这个题就是一 x， 就 这里的是 x 加二，这公式都没有忘吧？好，没有忘啊， 正无穷带过来就是取极限啊， arc tangent 正无穷是不是二分之 pi 啊？这个 arc tangent 的 图像得非常熟悉。好，零一代的话， arc tangent 二，这个咱们就不知道这个结果是多少是吧？就是它的角度多少不知道，那算了，直接就写这个就行啊，把它写过来。 arc tangent 的 二 r 乘以 x 的 图像，不用再复习了吧。好，有这样说，再复习一下可以啊，对，应该都会了。是不是这样的一个图案， 这是二分之拍，这个是负二分之拍，对不对？ ar 乘以 x 啊，两个间径线 x 去正无穷，它是以二分之拍为间径线的。 x 等于以 y 啊，以 y 等于负二分之拍为间径线。两根间径线啊， 是吧。好，那这个题呢，就讲到这儿了，好，我们看这个题，这跟第一题没什么区别是不是？哎，曲线 在这个区间上啊，与 x 轴为成的面积，那不也是考察定积分的几何意义吗？我们可以看出来，这个 y 呢，在这个区间上也是跟第一题一样是大于零的呀。 这边一到这肯定是大于零的，这个 long 一 到 long e 的 一个平方，它确实也是大于零的，是不是所以整个 y 就是 大于零的啊？ y 大 于零，这图你心里就已经清楚了啊，我根本就不需要关注啊，你到底是 单增啊，单减呀，怎么型号的无所谓，是不是，我只知道的，哎，我进行一到一的平方上，对 y 求定积分，就求出来这个面积就行了，是吧，你增减性，其实我不用去关注，反正你是大于零的吗？对，大于零就之间一到一上积分就行了。好， 一到一的平方啊，龙眼 x 比上一个根号下 x dx 对 不对？这个我们说了啊，看到根号下 x 分 之一 dx， 立刻要想到，哎，凑微分是吧，凑成二倍的 d 根号 x， 这个多多次了，你得敏感一点啊。龙眼 x 凑完微分立刻就分布积分是吧？龙眼 x 根号 x 减去一个二倍的一到一的平方，根号 x， 龙眼 x 求到 x 分 之一啊。 d x， 这又没什么说的吧，很简单了啊，上线带一下龙眼 e 的 平方不就是一个二吗？ e 的 平方开方就是一个 e， 一代的话，到一是零了啊，减零写一下吧，还减去两倍的好，一到一的平方，这是 x， 根号 x， 这不就变成根号 x 分 之一吗，是吧？ 点 x 它原函数我们也说了，对，立刻想立刻看到是吧？是二倍的根号 x 吗？它是四 e 减去二乘以两倍的一个平方， 四 e 减去四好看，这块就行了。 e 的 平方开方吗？ e 开方还是它四？ e 减去四 e 再加个四，对不对？所以就是一个四了 好，这没什么难的，对不对？还是考察啊，定积分的几何意义啊，表示的是这块的面积。好，我们看这个题啊，啊，抛物线就它呗， 哎，把 y 等于哎，就是这一根线，抛物线把这根线呢，与 x 轴所围成的 b 区域分成了两个部分，哎，正好分成这部分和这一部分嘛。 好，就是比较这两部分的面积的大小，还是考察定积分的几何意义。我们把 s a 算一下，把 s b 算一下，是吧？ s a 怎么算呢？这根线好看一下，减去这根线， 对吧？你看这个焦点啊，我们可以给它算出来。这焦点算出来之后，我们就是在零到这个，是吧，这个位置啊，这个数之间进行定积分就行了，因为上面这根线啊， 哎，积分出来的面积是它下面这根线积出来的面积是它，两根线一剪，这不就是 s a 的 面积吗，对不对？ 把它算完之后呢，再把 s b 的 面积算一下 s b 的 话，你这个方式就有两种了啊，要么是算一算它来，再去把这块算一下，两部分加到一起，或者呢，我们看你会发现啊，它整个， 哎，这个抛物线在零到 b 上积分是比较好积的是吧？ s a 你 算出来之后，哎，用整个的面积减去你刚刚算的 s b 的 面积，算出来也行。对，整体的思想啊，同学们也是要有的，有时候用整体的思想， 我会简化一些计算量的啊，那我们先把 s a 算了吧， s a 算的话，肯定要把这个焦点对应的这个横坐标求出来的啊，这是抛物线， 还有这根线不是两个曲线啊，交点就连立方程呗，解一下啊。好，这个，擦，搁这写吧，就是根二减一， x 平方就得等于 x， b 减 x。 解一下啊，这是根二减一， x 方减去这个等号吧，先 x b 减去 x 平方，是吧，这 x 平方跟这边可以合一下，根二减一，这个合过来就是加一了嘛，所以它只剩的是根二， x 平方等于 x 乘以 b， x 要么等于零，对吧？等于零，很显然满足啊，或者你给它移过来也行啊，减去它等于零， x 提出来根二， x 减去 b 等于零， x 等于零，或者 x 等于这里嘛， b 除以根二啊， 是吧？两个交点啊，这个是零这个点，还有就是这个点是 b 除以个根二。好，这就是我们想要的这个点的横坐标。 我们现在把 s a 求一下，是不是就是零到根二分之 b 这个区间上，这个红色的线减去这个黑色的线积分就行了啊。红色的线就是 x， b 减 x 减去黑色的线， 根二减一 x 平方，好，积分一下，这就认真算，没什么技术含量了。 把背记函数我们整理一下， b x 减去， x 方减去后面是根二 x 方加上 x 方，是吧？这 x 方前面的系数，这负一正一没有了，负根二 x 方，这是 b x 啊，就它 写一下负根二 x 方加上 b x d x 原函数是什么呀？很简单呀，三次方除一个三，负根二写一下，这个可以一个一个的算，或者你把原函数求完，整个带上下线都行了。 x 平方除一个二， b 是 零到根二 分之 b， 是 吧，你们算一下啊。嗯，这个有个符号，我的符号的话，一般来说我们作用于上下限啊，根二分之 b 到零 不容易出错嘛。根据个人习惯啊，上限一代是个零，减去下限一代，他的一个三次方，那就是 b 的 三次方，那是二倍的一个根二了，根二根二消掉了，就是负的六分之 b 的 三次方， 再加上后面啊二分之 b 乘以上限的上限一代啊，平方的话就是二，下限一代是零了，所以这就是四分之 b 的 三次方。 通过分呀，得负十二分之二 b 的 三次方加上十二分之三 b 的 三次方，十二分之一 b 的 三次方，是吧？好，就这样了啊，接下来我们去求一下 s b s b 的 话，我们可以有两个方法，是吧？用还是先推荐啊？就是用整体的一个思想，用整体思想好，求完之后我们再用啊， 这个 s a 加上 s b， 再减去一个 s a， 这个很显然啊，这个整体一起算啊，直接就是红色的线抛物线在零到 b 上积分，这不需要分成两半。那你就 就快一点嘛，速度更快一点。 x b 减 x dx 就 行了呀，是吧？这里面就是 x dx 啊，减去 x 平方， dx， 这是 x 的 一个平方除以二，这是一个 b 减去三分之一 x 的 一个三次方。你分开算或者是整个一起算啊，都行的。 b 一 代的话是二分之 b 的 三次方，减去三分之 b 的 三次方，零一代是零呀，六分之 b 的 三次方是吧？好，这是六分之 b 的 三次方，减去 s a 已经知道了，十二分之一 b 的 三次方， 十二分之二减去十二分之一，十二分之一 b 的 三次方。 s a 跟 s b 看一下一模一样是吧？选 b 就 行了。 对，用眼睛看好像看着是不一样的，是吧？所以你不能用眼睛看图吗？你就仅供参考。你用眼睛看感觉 b 好 像大一点，是吧？那不行了，没有，没有依据，或者 你整体这个思想你没有掌握是吧？那你还要把题做一做吗？平时我们可以也做一做啊。 s b 怎么做两部分呀是不是？那你 经过这个题的一个训练，后期再减到类似的，你就知道。哎，不要在 s b 分 成两部分了啊，你没有这样快。对，做题的目的就是啊，学习一些方法。好，我们分成两部分，第一部分，那是这个黑色的线是 是零的啊，根二 b 黑色的线进积分，黑色的线就是根二减一。好， x 平方，对吧？再加上啊，这块红色的线了啊，是根二分之 b 到 b 红色的线 积分是吧。算一下啊，根二减一是个常数，提出来 x 平方，元函数三次方除以三零，根二分之 b 加上根二。哎呀 sorry 啊，这是还是按 b x 减去 x 平方吗？ 直接写过来了，对， b x 减 x 方，对圆来说就在这呢。直接抄过来了啊，二分之 b x 的 一个平方减三分之 x 的 三次方，这个时候上压线跟刚刚那列就不一样了啊。 第一部分的话，我们把系数提出来吧，三分之根二减一 x 三次方就是 b 的 三次方除以根二的三次方。二倍的根二呀，加上这边上限带入二分之 b 的 三次方， 三分之 b 的 三次方减去下限带入 x 平方，这就是，这是三次方是吧，合并一下，二二得四， 减去三分之一倍的 x 的 三次方，它也要三次方呀。二倍的根二就是六倍的根二， 你看这就慢多了啊，算一下啊，都是都是 b 的 三次方。我们直接整理系数就行了啊。前面是六倍的根二分之根二减一，加上第二部分六分之一系数啊，系数就行了， 减去四分之一，加上六倍的根二分之一。对光看系数啊，通分吧。十二倍的根二分之分母乘一个二分子乘一个二。 这里分母乘以二倍的根二分子乘以二倍的根二分母乘以三倍的根二分子乘以三倍的根二分子乘一个二分子乘一个二。 等会二倍的根二，四倍的根二减去三倍的根二，还有一倍的根二减二加二没有了，所以分子就是一个根二，分母也有一个根二，这根二根二消掉了十二分之一，还有个 b 的 三次方，是吧，跟这算的也是一样的啊， 太慢了啊，是吧，太慢就比别人啊，浪费一些时间 好不好，学一学啊，整体的思想好还是定积分的几何意义的考察。这个题就讲到这了， 好，我们看这个题啊，过点 p， 这就这个 p 的 点了，我们这个曲线是 y 等于 c x， 所以 p 这个点的坐标就是 p c n p 啊， 好，做过这个点，做曲线的一个切线啊，这就是啊，这个点出的这个曲线的一个切线啊，设该曲线呢，与切线以及 y 轴，哎，曲线 和切线与 y 轴为成的图形的面角 s 一， 这个红色的就是 s 一 啊，曲线呢，与 x 等于 p 以及 x 轴所围成的面积是 s 二，哎，就这一块是 s 二是吧？蓝色的。 那么让我们求的是 s 二是吧？都，都是啊， s 二比上 s 一 加 s 二，当 p 区领证的时候的极限，我们先把 这两块面积求一下就行了。还是考察定积分的几何意义是吧。先把 s 二求一下吧， s 二的话，那很显然就是零到 p 这个区间上。对，这个 c x 是 不是 c x 积分就行了。 s 一 加 s 二呢？ s 一 加 s 二，你可以有两个渠道，你要么把 s 一 算一下， s 二也算完了，加到一起，要么还是根据啊定积分的几何意义。 s 一 加 s 二，不就是整个这个 绿色的面积吗？它其实是一个曲，是梯形啊，对吧？它是规则的图形，规则的图形，我们就可以用出等数学的方法，出等数学方法求面积，求梯形的面积，用公式非常快呀， 对不对？哎，比如说三角形，三角形的面积公式，梯形，梯形的面积公式，它就会比我们把 s 一 s 二算完再加到一起速度快。好吧，还是一个整体的思想啊， 我们两个方法也都写一下啊，就是再复习一下定积分这一块儿啊，几和一，先把 s 二算了吧。对， s 二一定是避免不了的啊， s 二就是零到 p 区间上，对 sin 是 吧， sin x sin x 积分就行了，原函数就是负的。 cosine 零到 p 是 吧，我就不喜欢啊，这个负号在前面，所以我给它改成 p 到零， 看你喜不喜欢。 cosin 零的话是一吧。好， cosin p 结束了啊，我们呢算这个 s 一 加 s 二，直接用啊，梯形的一个面积就行了。面积公式啊， 是不是上底这个这上底加上下底乘以高再除以二呀，而这个上底怎么算这下底？很显然我们知道啊，这个上底 下底呢，就这个这个高度啊， c p 啊，乘以高，高的话就是这个长度， p 除以一个二是吧，先去把上底去算一下，上底想算的话，是不得把这个切线方程求出来，切线方程求出来，在 y 轴上的个拮据，哎，就是我们想要的这个上底了呀， 可以吧把切线方程算一下啊，我们看过 p 点的切线方程， 点斜式算呀，是吧，咱们都会啊，点斜式这一点的啊，切线斜率是等于多少呢？这一点的切线斜率就等于 y 对 x 进行求导，把 x 等于 p 带入，是吧， y 对 x 求导，那就 cosine 呀， cosine x 把 p 一 带，就是这一曲线在这一点切线的一个斜率了。好，根据点斜式就把线方程斜过来了，那就是 y 减去一个点，我们就取了这个点啊， y 减去 c 一 p 等于 k 位的 x 减去 p， 是 吧？点斜式啊，其实你写成这个样就行了，我们现在主要就是把切线在 y 轴上的拮据求一下。我们直接就另。这就不需要怎么整理啊，我们另 x 等于零，可以得。哎，他在 拐角是拮据啊。对， x 等于零的话，零减 p， 负 p 了啊。负 p cosine p， 这个 cp 移过来是吧。所以就等于 cp 减去一个 p 乘以 cosine p， 这就是上底啊，上底就出来了。写过来， cp 减去一个 p， cosine p 好，加上一个，下底乘一个高除以二。这里可以合并一下吧。 c n p， c n p 不 就是二倍的 c n p 吗？ 减去一个 p 乘以 cosin p 是 吧。整个乘一个 p， 乘一个二 p 也没有必要再乘进去啊，就这样就行了。我们去求一下奇限啊。 p 去领证的时候 s 二 s 二是一，减 cosin p 是吧？除以除一个，他不就是乘以他的倒数吗？把二拿过来啊，把二拿过来。好，这个是二就分分母啊，现在放放到分子上了，分子就放到分母上啊。减去个 p 乘以 cos cosine p， 再乘一个 p， 这里写个 i 吧，二就放在这儿， p 去领证。一减二分 p 求极限。这块肯定可以用一下等价五乘小的替换呀，是吧。底下有一个 p， 二 c p 减 p 乘以 cosp， p 跟 p 消掉一个啊，二分之一跟二也消掉了，分子还剩一个 p 啊。 分母的话是二倍的 c p 减去 p 乘以 cosin p 消了啊。 p 零比零吧。零比零你落笔答就行了啊。是不是 p 去零个整，这落一下是个一了，底下落一下 cosin p 减去 p 求倒 cosin 不 求倒 p， 不 求倒 cosin， 求倒。是负的 c 啊，负的 c 好，这个可以去掉吧。括号去掉啊，减它加上它这个二倍的，减一倍的不还剩一倍的吗？ 写一下啊， p 去零正一还剩一倍呢。就是 cosin p 啊，加上 p 乘以 c n p， p 去零的时候极限已经可以求了是吧。这是一个连续函数 p 去零正的时候啊。连续函数对极限就等于啊对点的函数值了。把 p 等于零一带就行了啊。 cosine cosine 零是个一是吧。等于零啊，这就等于一对吧。没问题啊，选 d 就 行了。那我们也看一下啊，不用梯形的面积求的话， 把 s 一 我们算一下。好吧，这是不太建议用这个方法了，只是平时我们可以再练习一下啊。训练一下定积分吧，是吧。定积分这一块啊，计算能力 s 一 的话， s 一 要想算的话，你看好这里。擦掉了 是这根线是吧。减去这根线好，再零到 p 去减上积分。 零到 p 啊，上面这根线就是我们的这个奇异方程呀，对不对。奇异方程我们得写下 y 等于多少啊。 y 等于它加上一个 c n p 对 不对？也就是 c n p 加上。靠，我就不写那么多了啊，那边就不写了。 cosin p 乘一个 x 减去一个 p 乘以 cosin p 减去下面这个方程就是 c x 嘛。好， d x 这都是数吧，是不是这个数的话积分比较好记啊。这一分跟这一分可以合到一起。 c n p 减去一个 p 乘以 cos n p 一个数，这积分的话就上限减下限就行了。乘一个 p 嘛，再看一下这里和这里原函数一求啊。 cosine p 是 一个系数啊。 x 的 原函数是 x 平方除以个二，上下限一带，后边 c x， 原函数是 cosine x。 听个符号负负得正了啊。好，把上下限一带， p 乘以 c 以 p 减去 p 的 平方 cosine p， 加上二分之一 乘以 cosine p， 这个上限一代是 p 的 平方，下限一代是零，再加上 cosine p 减去 cosine 零是一， 这可以整理一下是吧？都是 p 的 平方乘以 cosine p 吗？这是负一，这是二分之一，所以是负二分之一啊。 负二分之一 p 的 平方 cosin p， 再加上前面有个 p 乘以 c n p， 后面加 cosin p 减一。好，这个时候我们把 s 一 s 二加到一起啊， s 二的话就是一减， cosin p 跟这里就消掉了，是吧，所以加到一起就只剩这里了， 加上 p 乘以 c p， 看跟上面算的结果一不一样呀。好，我们把第一块二给二消掉之后，是不是 p 乘以 c p， 第二部分就是负二分之一 p 的 平方 cos p， 对 吧？是对的啊，你看这就满多了啊，直接就用梯形的面积算啊，快一点。好，这个题就讲到这了。好，我们看这个题啊，求的是平面无界区域 d 的 面积。我们去啊，看一下这个区域 d 啊，长什么样子。 这 y 的 绝对值。哎，你可以分大于等于零，小于零吧。大于零大于等于零的时候，绝对是直接去掉啊。一加 x 方乘一个 y 小 于等于一，也就是 y 小 于等于一，除以一加 x 方， 我们先把 y 等于一加 x 方的一个图像画出来呗。好，这是一个偶函数吧， 对不对？当 x 增大的时候啊，这个 y 的 话啊，是在减小的，但它始终始终啊是大于零的，对不对？在 x 轴上方啊，当 x 往无穷去的时候，无穷分之一的极限是取零的嘛，以 x 轴作为间隙线，所以这个图是很好画的吧。 好，先画右侧吧。当 x 取零的时候， y 是 取一的啊，始终在 x 轴上方。好，减函数是吧？ x 增大哎， y 是 变变小的啊，减函数大致画一下，以 x 轴作为渐近线嘛。好，偶，函数左边对称过来就行了啊，这个不是很对称的啊，大概吧。啊， 好吧，对称一下。好，我们看一下。是 y 要小于等于它，那就是这根线的一个下方嘛，是不是下方 就是啊，去第一还有第二，有 y 小 于零，其实就是在对称过来嘛，对不对？你要看不清楚的话，你再去写一遍， y 小 于零的话，去绝对值就是负的一个 y 小 于等于一，对不对？ 你这个负号的话啊，我们可以这样写，大一等于负一，对不对？那 y 的 话，大一等于负一。除一个一加 x 方，你看这个图像跟这个图像不就是差一个符号吗？差一个符号不就这个图像给它翻过来吗，对不对？给它再画一下吧。啊，这个 对不对？你这个画的不太对称啊。 好吧，这边是 这边。哎，这块啊，这块的面积跟这块面积是一样的，因为图像长得是一模一样的，只是一个在 x 轴下方，一个在 x 轴上方而已，所以我们求一个面积再乘一个二不就行了嘛，求这一块的一个面积乘以二就行了。 好，所以 s 就 等于二倍的这面积。怎么求呢？积分嘛，对不对？负无穷到正无穷。对哎，它积分嘛，这个函数图像不是一加 x 方分之一吗？ d x 这会积吧，好，二，这是 arc tangent。 x 好， 负无穷，正无穷 反常积分。那就是求极限就行了呀，阿克泰尼正无穷极限二分之拍都会吧。阿克泰尼负无穷极限负二分之拍减去负二分之拍啊， 好，这不就是拍吗？你是二拍或者这个地方啊。看到了负无穷到正无穷，我们确定这个反常积分他就是收敛的，因为填空题我们说反常积分一定是收敛的啊，收敛的话这个就可以看成对称区间啊，可以用写成 啊，两倍的零到正无穷，是不是？奇，函数的话，在对称区间上积分等于零，偶函数在对称区间上积分的话，写成两倍的吗？ 哎，这样都很好做啊，四倍的 ark 乘以 x 好， 零到正无穷好，四乘以二分之一拍也是二拍，对不对？注意啊， 反常积分出现这个负乘到正无穷的时候，你想要用这个对剩区间上啊，这个积分那个性质的话，必须要求这个反常积分是收敛的，这就可以看成对剩区间，如果你都不知道这个反常积分是否收敛， 那你就不能够把啊这一块啊看成对称曲线哦，好，这一点注意啊，好，那这个题就讲到这了， 好，我们看这个题啊，考察的是选举体体积的计算，对于选举体积这一块啊的考察的话，我们呢是让大家记住啊，二重积分法去求选举体积这一块，在这点视频给大家讲的很详细啊，其实你只需要记这一块就够用了啊，考研就够用了， 就是无脑的去按照这三个流程，对吧，三个步骤去做就行了。那对于一些简单的题，哎，这个直接套公式，这两个公式其实用二乘七分法也是可以哎，给他推出来的是不是？但这两个公式其实很好记嘛，所以对于简单的题，你说对，就像这个题啊， 图形就这么简单，你绕 s 轴直接对公式是吧，你绕 y 轴直接就这个公式。有一些比较复杂的啊，图形比较复杂的，就直接二乘七分法，无脑去做就行了。 好，有的人说还没学到二重积分，那十四张会学到是吧，你可以放一放啊，到十四张，学完二重积分你再回来去。哎，看看啊，这把这一张啊，选举体积，比如二重积分法去做一做好不好？你做好标志啊，在你的本子上记下来，哪些题需要去哎，再做一次是吧，再做一做啊。 好，我们看这个题，它就属于这种简单的题啊，图形非常简单啊，看一下， y 等于 c 乘 x 嘛，零到一是吧，取零的时候就是零，取一的时候，它也是零取二分之一的时候啊， c 二分之一了是吧，这样的图啊。好，这个就是 y， 它 与 x 轴围成的区域，不是 d 吗？这就属于比较简单的题，直接套公式就行了。好， 二拍 a 到 b 就 零到一嘛。好， x 乘以 y， y 是 谁呢？是 c 拍 x 对 吧？ d x， 如果这两个你都不想记，那其实你记这一个就够用了，通过啊，这三三个步骤也会得出来这两个公式的啊。好，那二拍， 这个时候我们会发现是密函数和三角函数相乘，你可以采用分布积分，那我们说了采用表格法是吧，更快一些啊，还是希望同学们学一学啊。密函数求导。 对， c， 这个是三角函数，求积分，积分的话，那就是负的派 分之一 cosine pax， 你 看你求到是不是你，对吧？好，继续，这里还是积分，积分的话是负的，拍的一个平方 sin pax， 你 看求到是不是它？是的啊，交叉相乘，正负相减，这就是圆函数。找到了啊，是不是就是负的 拍分之一 x， cosine 拍 x 好， 你可以啊，两部分就是分成两部分算，也可以写到一起，再去带上二线夫妇，得正了，正的 拍的平方分之 c 拍 x 是 吧。哎，好，零到一， 我们看二拍上线一带的话，是一往这边一带负的拍分之一一靠近拍的话，是不是负一啊，这个符号就消掉了啊。好，加上 这是拍的平方 c 啊，这是一的话信拍，信拍是零了，不写了啊。上线带入就是拍分之一减去下线带入零，一带零啊，零一带零，是不是？所以这结果很好，求吧，直接用二拍除以拍就是一个二就结束了。 好，哎，简单的题就直接套公式啊，那如果你这两个公式都不想记，那其实只需要记这这一个方法就够用了是不是？那我们再复习一下啊，这个二乘积分的方法，求旋转体体积，它就解决了啊，所有问题了， 无脑作是吧。按照三步，第一步找到旋转区域啊，我们的旋转区域 d 不 就是这个阴影部分吗？好，内取一点 x， y， 我 取一点啊， 好，磁点到旋转轴的一个距离。旋转轴不是 y 轴吗？这距离是不是又 x 呀？这个 r 就是 x， 这里就是 x 了。好，计算这样的一个二乘积分就行了啊。 v 就 等于二拍 好，这是 x， 对 吧。哎，计算二乘积分哦，这应该是 d c 个嘛。好，这二乘积分的话啊，我们这个方法就比较多了，是吧？算这一个，我们的积分区域是 d 啊， 然后去计算二乘积分，别记函数 x， 你 这时候可以用 x 型的积分方法，也可以用 y 型的积分方法，很显然把去化成 x 形域比较简单，是吧？哎，这样上下线很好定 化成 y 区， y 区的话啊，还要写反三样函数，那不要给自己找麻烦，是吧？好，化成 x 形域啊， x 的 变化是不是零到一啊？好， d x y 的 个变化好，线内画条线，先积后积，先积写下线， y 等于零，后积写上限， y 等于 sin 拍 x， 算，这就是个一了，因为背记函数就是个 x。 嗯，我们看啊，这个时候就是二拍，这个可以先算一下吧，算一下不就是因为它的背记函数是一嘛，一算这个上限减下限， sin 拍 x， 对 不对？零到一 x， sin x d x， 你 看，现在又到达了我们这个公式了，对，直接带公式的这个结果。 直接带的这个公式是不是就是就是这个型号的？所以说后面就一样了呀，你不想记这两个的话，就直接记这一个就行了，但还是记一下吧，是吧，简单的直接就记下来了啊，这两个非常好记的。对。好，这个题就讲到这了。 好，我们看这个题啊， f x 的 表达式里面，你会发现有一个变现积分函数啊， 好，小， f x 在 零到一曲线上的平均值，平均值的话，我们把公式一背记住了，记住之后看要求的是啥了。不就是一个积分吗，是吧。 ab 减 a 分 之一，一减零分之一就是一个一，这系数不写了吧。好，那剩下的就是零到一啊， f x d x 其实不就是，是吧，考察一个定积分吗？只不过我们的背机函数啊，他里边还有积分。想到我们上一张给大家说的，哎，看到积分里面还有一个积分，还有变现积分，是吧，考虑两种方法呀。所以说啊，这个题的话，咱们已经见过他的一个做题的模型了吧， 只是又综合了第十张的一个平均值的一个啊，考点，哎，就这些嘛，来来回回的考，你得能够啊，总结出来一些题的套路了好不好。那我们先看发音 分布积分吧，哎，写过来 f x 就是 x 一 到 x 一 的题方出一个 t d t 是 吧，好， d x 嘛，这块啊，这不是 f x 表达式吗？你可以啊，扩一下 或者不扩扩一下吧，因为这里边还有个积分吗？是吧。好，我们说分不积分，你先凑一分呀，能凑的先去凑，如果这个地方啊，你不把这个表达式写过来的话，你会 很麻烦的，可能求不出来了。就是我们还按照这样的一个做题流程的话啊，不把 x 表达式写过来的话，你看一下啊，我们在这写一下零到一 x， 哎， f x 就是直接分布积分是吧？直接分布积分的话啊，我们看这是 x f x 嘛，零到一减去个零到一 d f x， 对 对， x f x 求微分嘛，是吧？求导，你看，对于这边的话，求导就直接求了，而对于这个 f x 求导的话，它有它是两部分是吧，可以用乘法求导公式嘛。你这里边啊，你就会又出现这个积分了呀， x 左边求导，右边不求导是吧，你又出现了一个积分，很费事的，你把问题复杂化了，加上 x 不 求导，后边求导是吧？后边这个求导的话就简单了。 这个，这块求导吗？是吧？好，你这变复杂了，你就别这样了，我们这个时候你得稍微灵活一点嘛。我们直接就把 f x 的是吧，转化为它，塞完之后你发现这，对吧，这背接函数里边有一个 x， 我 们先去凑微分， 再去分布积分，不要直接分布积分啊，哎，不同的题目你就稍微灵活一些好，这个是里边啊，零到一一 t 的 一个平方除以 t d t 这个先扩一下 x， d x 就 凑成 d x 平方，要补一个二分之一。 现在我们分布积分啊，二分之一 x 方好，一到 x e t 的 平方除以 t， d t 好， 上弦一带是吧？减去一些两部分就把二分之一都要带上了，要么你就把二分之一提到最前面，不要忘了啊。 好，二分之零到一 x 的 一个平方，对它求微分。哎，这个时候就像求导就很简单了是吧。 e x 方出一个 x 好， d x 也就相当于这个形式了吗？是吧，求导比较简单啊，没有那个烦人的 x 了。好，算一下啊， 上线一一代的话，你看这一块啊，肯定就是零了嘛，上下线一样的零啊，下线一代也是零，所以这整个啊，积分就是个零了。不管了，减去二分之一倍的好，零到一 x 方，削一个 x， 还剩一个 x 是 吧？ e x 方 d x 这个时候再去凑一下微分呀，你就还多一个二分之一，就四分之一了啊。 dx 方把 x 方看成一个整体啊，看这个 t 是 吧， e 的 t 四方的原函数就是 e 的 t 四方， e 的 x 平方嘛，零到一一代我不喜欢零到一，我就写一到零，是吧？四分之一 e 的 零四方， e 的 一次方不就是这个结果吗？四分之一倍的一减去个一就行了啊。好，再看一下二乘积分法，没学到的啊，先标一下，过几天回来再做啊。二乘积分法 好用，二重积分法的话要注意，我们说两点，它要考察到交换积分次序，直接积，直接先去积它，后积它是积不出来的。要要交换交换积分次序的时候之在积分之前我们要把 区域给它还原出来，是吧？积分区域还原出来要注意一点，要把这个积分的下限啊，全部改成小的，上限改成大的，从小到大积分，不然区域画不出来，无法积分呀，是吧？二等积分本来就要求啊，等下限要小于上限的。 好，我们先把这块写一下，零到一 f x， 那 就是 x， 零到一，一的 t 的 一平方除以 t d t 再。嗯， d x d x 写，这个时候我们二重积分了吗？就这样写就行了是吧？好，我们为了啊，看着更方便一点。那就把 t 呢，都改成这个。我怎么总写成零到一呢，是吧？应该是一到 x 呀， 一到 x 呀，是吧？好，我把 t 换成 y 呀，这个啊看着舒服一点。我们画区域不就是 x y 吗？用哪个字母无所谓吧，只是看着更舒服啊，你画不画都行。 好，我们要把这个啊上下线啊，改成从小到大，这个是没有问题的。好，这里呢， 它的下限是个一，而上限我们已经说了， x 是 零到一之间呀，是不是你这个啊，零到一之间你怎么跑到上面了呢？你没有一大呀，对不对？所以你应该在下限啊，下限要是变成小的啊，咱们积分区才能画出来，这个记下来就行了， 零到一 x dx， 所以 你添个符号，把上下线调一下。好，这一步改完之后，我们就可以啊，去画这个积分的区域了，然后交换积分次序去积分就行了。 x y， 我 们看 x 的 一个变化，零到一 是吧？ y 呢，是小于大于 x 的， y 等于 x， 可以 先画一下，这就是 y 等于 x， 这是 y 等于一。 y 要小于一，还要大于 x， 是 不是这个就是我们的积分区域啊，对吧？我们这个时候要交换积分次序了，你看先对 y 能记出来吗？这是记不出来的是吧？你说它圆函数是谁不知道。所以我们先对 x， 后对 y， 就 把积分区域画成 y 形于的 y 的 一个变化的话，好，这个符号别忘了啊，是不是零到一啊？ y 的 变化， x 的 变化呢？ x 变化，这有个 x 就 平行于 x 轴。画一根线好定向上下线的方法啊， 先积写下线， x 等于零吧，看 x 等于多少吗？这根呢，是 x 等于 y， 是 不是 就是 x 等于 y 与这根线的一个交点啊？这个是 x 等于零与这根线的一个交点。是不是 x 等于多少吗？看一下 x 等于多少， x 等于多少。顶，上下线好，把 y 的 写到一起， x 的 写到一起，对吧？这积分 很简单了啊， x 这里一积的话，二分之一 x 平方，不是原函数吗？零到 y 不是 二分之一 y 的 平方吗？是吧？二分之一 y 的 平方，积完就往这一写啊， 我就直接往这一写了，因为它比较简单了啊，擦掉好负的二分之一 y 方，除以 y， 还剩一个 y 吧。 y 啊，还有个 e， y 的 一个平方， d y 是 不是再去凑一个微分呀？很显然的了啊， 一 y 的 一个平方底 y 的 一个平方，你错位分，要补一个二分之一，这就变成四分之一了。好的，圆函数也很简单呀，直接就是一的 y 的 平方，零到一，我写成一到零，把符号去掉。好，四分之一倍的一的零次方，一的一次方， 是吧？一样的啊，哎，对，训练一下各种方法。好，这个题就讲到这了。好，我们看这个题啊， 这是相关变化率的问题啊，数一数二同学需要掌握的。数三的同学呢，可看可不看啊，他这个题也归到数三的练习题里面了，可看可不看。数一数二同学重点听一下啊，也很简单嘛，这样的题好， 曲线 l 呢，是 y 等于 e 的 负 x 方，要求 x 大 于等于零。本来他这样的 x 大 于等于零，那就这样了，是吧。画一下图啊，这样的题可以画下图，这就是曲线 l， p 呢，是 l 上的动点啊， p 在 l 上进行动。 v 是 什么什么什么啊？感觉读着不通顺的时候，你掐头去尾看一下。好吧， v 呢，是体积啊，是旋转体体积，接下来再去读中间的定语。好，这样分析题目啊， 我们就知道了啊，它是一个体积，是旋转体，体积是 l 上面从点 a 到 p 点的一段弧，绕的 x 轴旋转一周一周所得的旋转体体积。 a 呢，是零一这个点，就这个点。对，零一这个点好，到 p 点的一段弧，这段弧嘛， 绕 x 轴旋转一周， a 绕 x 轴旋转一周。好， 哎，这个图你你不想画，其实这个旋转体的形形式就是旋转体啊，它长什么样，你不想画也没事是吧，哎，就像一个喇叭一样啊。 好，我们只要你会算旋转体体积就行了，对不对？这个时候比较简单的图很简单吧，是吧？绕 s 轴直接这个旋转体体积的话，比较属于这一类型的啊，比较简单是不是？哎，有一些难的，你就二重积分法就行了啊。 好，这个 v 的 话，我们现在就可以先算一下是不是好， a 到 b， 我 们是啊，你看 a 是 这个，你看 x 的 一个变化啊， a 点的一个横坐标是零， 这个 p 点的横坐标呢，我们 p 点就记为 x y 啊，所以啊，这个 p 点的横坐标是 x， 所以 是我们是零到 x， 是 吧。哎，这个区间上啊，积分拍 y， 这个平方 d x， 你 注意啊，这已经有个 x 了，所以我们这个时候这个变量可以选择 t， 哎，区分一下变量啊，好， y 这个平方就是它这个平方，我们区分变量啊，负负 x， 本来是负 x 啊，平方是负的二 x 方，现在给他写成负二 t， 区分一下变量。 好吧，这个时候你可以把它记出来，也可以不用记。这有时候啊，我们做你，你比如这个题啊，他做这个变化率的题，因为接下来要求导，你心里清楚，要求导，那这个时候他这个变现基本函数，其实求导是很快的，你干嘛还要把它记出来啊？对，这样的题你可以留个心眼，不用记， 不用记出来啊，放在这就行了。好，你记出来之后还得求导图啥呢，我们继续读啊。 p 运动导这个点的时候， 沿着轴正向的一个速度为一，哎，沿着轴正向速度，我们知道啊，速度的话，不就是哎为一对时间的导数吗？是吧？这是一个啊，定值，记下来，行了，写下来。好，接下来让我们求的是微对时间的变化率，此时啊，微对时间的变化率 不就是 v 对 时间求导吗？而我们通过这里可以看出来啊， v 是 关于 x 的 一个函数，对吧？它记出来肯定是关于 x 函数， 而 x 是 关于 t 的 函数，是吧？ v 是 关于 x 的 函数， x 关于 t 的 函数，所以 v 是 关于 t 的 一个函数， v 就 可以对 t 求导，是吧？这里有一个中间变量啊， 对，我们 v 对 t 求导，不就是 v 先对 x 求导， x 对 t 求导，是这回事吧，就相当于符合函数嘛。对，符合函数求导嘛，先外层厚内层嘛。 好， v 对 x 求导，你看，这不就变极限函数求导不就行了嘛。啊，拍 e 的 负二， x 完事了， x 的 t 求导不就是一个一嘛，是吧？这个时候我们啊看一下， x 是 等于一的，是吧？往这里面一带就行了。 拍乘以 e 的 负二次方，这就行了。拍往可以往往后边写一下，或者 e 的 负二次方，你可以写成 e 的 平方分之一拍，也可以往上面写，这个形式你怎么写都行的啊，就就是它嘛，现在的结果就是它，是吧，好，哎，注意这一点啊，可以省点力气。好吧，好，这个题就讲到这了。

好，我们看这个题，求 f x 的 一个原函数，这是二三年哎，真题的一个改编题，其中这一块啊，连改都没改。就是，只是啊，这 x 大 于的时候啊，稍微改了一下。好，这样题也非常简单啊， 求小 f x 的 一个原函数，原函数我们记为大 f x 的 话，好，求导，是不是就是等于小 f x 呀，也就是大 f x， 那 一定是连续的是吧？是连续函数， 我们根据这一点啊。好，可以先去排除一些选项，你看啊，这，这个整体的话，哎，我们可以排除一些选项， a b 就 排除完了啊，根据连续。 好，你看，咱们看分段点出它得连续吗？分段点出得连续啊，那你看一下 x 去零负的时候，哎，也就是零一代是吧， 一加零就是一嘛，一减零好，一 long 一 是零，也就是说左极限零嘛，右极限呢？ x 从右侧去零，这个零减一是一个负一是吧， e 的 零次方是个一嘛，所以这是负一，右极限是负一，左右极限不相等呀，所以啊，在这一点是不连续的。 好，连续函数在零对点，它也得连续啊。再看一下这一块呢， x 啊，去零负的时候，极限啊，零一带吗？这是一减零，零一是零吗？一是吧，零加一是个一啊。 好，这个右极限呢，零一带就行了啊，零减一是一个负一， e 的 零次方式是个一，所以这是负一。好，你看也排除了。好，那我们再看一下啊，这个负一带是不是一样的啊？零一是一个，零加一是一啊， 好，再看一下右极限，零一带，哎，这是零吧，你看左右极限啊，存在不相等啊，这点是不连续的啊。 好，那你看，这个题出的稍微简单一些吧，我们用排除法就直接选出来 d 选项了，这个整体的话，哎呀，稍微好一些啊，这个 ab 排除了，那还有 c d， 还得去判定是不是好。假如说啊，我们没有用排除法的话，你去求小 f x 的 原函数，应该怎么去求呢？好， 那我们去看一下啊，大 f x 求导，等于小 f x， 你 怎么把大 f x 求出来呀，不就是积分吗，对不对？这里面牵涉到一个问题，就是统一常数的问题，根据 a 连续性啊，在这一个分段点处连续。好，我们可以把这个常数统一出来。好，是什么东西啊？我们看一下， 当 x 小 于零的时候，你等号带上也行啊，反正是连续的嘛，带到这吧。好，我们小 f x 积分不就得大 f x 吗？是不是积分嘛，一加 x 的 一个平方， d x， 我 再往后面写一下， 这个积分是要求同学们记下来的啊，这个是经常考的啊，它等于多少零的它啊，零 x 加上根号下一加 x 的 平方，必须记住啊，出现的啊，拼次非常高啊，这是 c 一 啊， x 大 于零的时候，好， x 加一 e 的 x 次方抵 x。 好， 积分嘛，两类函数出现，哎，我们考虑错位分分布是吧。好， e x 次方。 当然了啊，有同学呢，他是记住了啊，他的一个积分的一个结果，直接记下来了，就是什么呀？ x 乘以 x 方，待会再说啊。好，分母积分的话， 它减去一个 e x 方，对，它求到就是 d x 嘛，一乘以 d x 是 吧，这一块的话，看一下，这是 e x 方，这是 e x 方，减掉了啊，这就是只剩 x e x 方了，对不对？好，这是 x 大 于的时候， 哎，有同学啊，直接就记下来，它的一个结果就是 x 乘以 e x 方，这个是经常遇到的啊，同学们也可以有意识的记一下。它求导的话，那就是左导右不导，加上左不导右求导 e x 方，提出来 x 加一乘 e x 方，这个经常见啊。 好，并且我们可以啊，再延伸一点，就是 x 乘 e x 方，求 n 阶导， 它就等于 x 加上这个 n 乘以 e x 四方。好，你求几次？你去看一下啊，比如说我们去求二阶导的话，你看啊， 他去求二阶导的话，这已经是一阶导了，一阶导了基础上再去求一阶导吗？左导左导是个一右不导加上左不导，哎，右边求导，你看 e x 四方提出来是不是 x 加二啊，以此以此类推啊， 它俩相乘的 n 阶导的一个啊，通，这个通式就是 x 加 n， 你 看，乘一个 e x 方啊，可以有意识的记一下，你不记当然也行啊，这个也是比较容易的是不是？好，咱们是不定积分，你得加一个 c 二，加一个常数啊， 我们根据，哎， f x 大 f x 是 连续的，在零这点它也得连续吗？连续的话我们就可以啊。嗯，令左右极限相等，好，把 c 一 c 二关系定出来，也就是统一常数这个过程啊。好，左极限，我们就这样写这个意思啊，左极限就这个意思吧。 x 去零负吗？ 好，写它写它都是一样的意思啊。好，零一带是不是零一是零了吗？那就 c 一 吗？好，得等于右极限啊。右极限 右极限的话，零一带，哎，这是零等于 c 二，你看 c 一 c 二是相等的，那我们直接就令 c 一 c 二就等于 c 不 就行了吗？是不是？所以我们就知道 这个 c 一 c 二的一个关系了，这个 c 一 我们先令成 c， c 二跟 c 一 相等也是一个 c， 是 吧？好，如果按直接是让你求小 f x 一个圆函数，你就啊这样的一个步骤写出来就是满分了啊， 你这选这选项的话，他是把这个常数给你拎成一个具体的了，你看这个这个选项啊，哎，他拎成一个一，是不是？你这加一，你这里也是加一吗？你看刚好是对折的啊，他写的二的话，这个得是二 都行的啊。啊，这个题总之是很简单的对不对？或者你直接看到这里的话，好，他去积分，他去积分的话，是这样的一个结果让大家记下来的嘛，那 a b 都是错的是不是？那你 c d 再去看一下，好，哎，这样的一个考点啊，就是根据大 f x 啊，它是连续函数，再零这一点连续先去排除是最好的啊。 好，那常见的求导公式啊，积分公式记下来，好，这个题就讲到这了，好，我们看这个题啊， 求积分的，观察一下被积函数啊，好，有这个不同类别的函数出现了，那不同类别的函数出现的时候啊，我们积分的话通常采用的手法是什么呀？哎，凑微分分布积分是吧？好， 我们观察。哎，凑谁呢？这个 x 三也没法凑了是不是？这个看到了，哎，根号下的一减 x 方，那想到什么呀？哎，想到它是可以凑到后面的第二个三 x， 好，这有一个 x 三了，这后面又有一个 d x 三，它是不是跟后面的 d x 三又可以凑一下呀？好，再凑的话，它就会出现 x 三这个平方，前面有个系数，二分之一，前面是一个 x， 对 不对？好，你看啊， x 三呀，本身三角函数就很难处理的啊，在积分里面，你，你又搞一个平方，你可以去试着算一下啊， 很难算出来啊，我们也可以简单写一下吧，零的二分之一 x， 好， r 三 x， 我 们这个 r 已经凑到后面是第二个三 x 了，好，他再去跟他凑一下是不是？那就有一个二分之一啊， 好，这是 x 抵什么呀？ r 三 x 的 平方吧，对不对？你求导的话是不是就是就是它呀？好，你这个时候，哎，分布积分是吧？二分之一 x r 三 x 的 平方， 这前面啊，是可以算的啊，你看后面啊，减去二分之一零到二分之一 r 三 x 的 一个平方 d x， 你看啊，这是很难很难搞。那有同学说，我这个时候也是分布积分，你分布积分之后，你会发现得到一个横等式啊，就这块直接分布积分 u v， 减去一个 v 抵 u， 就是 抵它，哎，你会发现就是一个横等式啊，所以 不行啊，那，那我们的大方向啊，是凑一分分不积分，那凑他不行了，那还凑谁呢？你看啊，分母出现根号的时候，我们通常啊，要想到这样的一个凑一分啊，分母出现根号的时候，想到把它，哎，就是整个这一块啊，是凑到后面也就是抵，抵谁呢？抵他这一块，记住，咱们先不说啊， 就是，哎，这一块凑到后面的话就会出现的。是，哎，这后面是一个根号 x， 也就是把这一块啊，哎，你给他放到这个底后面，那你这这多了一个 x， 你 会发现，哎，刚好这块，你看他去求导的时候，这是平方嘛，就会多出来 x 系数，你再补一补就行了， 是不是？哎，看到这个根号在分母的时候想到啊，这样的一个啊，凑一份也就是把它放到底后面就行了。我们看一下啊，他去求导的话呢，我们说是二倍的根号是二 a 分 之一，这里面在求导呀，这求导是负的二 x 这个，哎，去掉，你看啊，这有一个 x， 哎，有一个，它都多一个负号而已，我们补一个负一不就行了，懂这意思吧，那 a 就是 零的二分之一， r 三 x， 我 们就抵抵这个根号嘛， 一减 x 方，因为他去求导的话是得这一块多一个负号啊，所以前面补个负号，那不就是跟他一样了吗，是吧，好，这个时候，嗯，凑完微分了，分布积分吧， r 三 x 根号下一减 x 方， 零的二分之一减去我这个后面啊，这个分割一下啊，别看不清了，减去负的那就是正的了啊，正的好，零到二分之一根号下 e 减 x 方，对它求微分，也就求倒嘛，求倒的话咱们会啊， e 减 x 放开放啊， d x 你 看这刚好消掉了啊， 好，看一下这个负号的话，也可以作用上下限，是不是作用上下限就是二分之一到零啊，零一代的话，一减零就是一个一二可 啊啊，零零在这，这啊，这是相乘啊，这相乘，这就是零了啊，所以减去二分之一一带啊。二三二分之一是不是六分之拍啊，三三十度是二分之一吗？一减去四分之一，四分之三开方二分之根三后面啊，对消是个一吗？那不就是一个二分之一吗？ 好，结果就是二分之一减去十二分之根三拍好，结束了，对不对啊，不同类别的函数出现相乘的时候啊，想到，凑微分，分布积分，好，看到这个不行了，想到，哎，这个场考的一个凑微分啊，好，他求导的时候刚好，哎，就会有这个啊 x 了啊， 好，那这个题就讲到这了，好，我们看这个题啊，两类函数哎，相乘。好，我们说积分的话，什么呀？凑微分，分布积分呀， 这个应该都没有问题了啊，好，凑谁呢？咱们有一句话啊，同学们可以记一下，反对密指三， 这是反三角函数，对数函数，逆函数，指数函数，三角函数。好，那你看这个题的话出现的有逆函数和反三角函数，是不是逆函数和反三角函数那么往后面的啊，就是你俩比较顺序的话，你在前面，你在后面。好，就是你去凑一份， 你想想反分子量还是你凑一分，这个你会凑吗？是不是谁谁求完导是 x 三，你不知道啊，好，但是谁求完导之后是 x， 你 知道的，也就是谁比较容易积分的，你就放到后面，对不对？它不容易积分嘛。好，反对，密值是三 越往后的啊，哎，你去凑它的一个微分就行了。这个意思啊，好，我们看这个 a 的 话啊，零到一， r 三，你就在这里带着了啊。好，你去凑到后面啊，那就是底 x 平方哎，要补一个系数哟， 好，看一下，测完微分就分布积分了吗？ r 三一减 x， 零到一减去二分之一。零到一应该很熟悉吧。对，你求导吧。求导啊，也就是先是外层 r 三，求导啊，是一减去， 你这个看成个 t 嘛，一减去 t 的 平方分之一，然后对 t 求的是一个负一负一，放到这了啊，就是一个正好好加号啊。先算一下前面的啊，一一代二三零是零啊，零一代，哎，零，所以前面零减零，不管了啊，后面的话， 后面的话我们观察一下，这个一减 x 就是 x， 你 看这一减 x 很 恼火不，很烦人是不是？那你就给它换个圆啊，换个圆换圆之后好处理嘛，那就是令一减 x 等于个 t， x 就 等于一减 t， d， x 呢，就是负的 d t 是吧？好，二分之一换元要三换啊，上下线换啊， x 取零的时候 t 呢？取一 x 取一的时候 t 取零， x 是 一减去一个 t 啊，方 好。最后下面啊，一减去 t 方， d x 是 负的 d t 啊，符号可以作用于上下线，就变成零到一了，是这样的吧。好， 继续啊。这个积分怎么去算呢？你可以把这拆开看一下呗，一减去一个二七，加上 t 的 一个平方。好，底下一减去 t 的 一个平方，好的，分式结构，这上面啊，加加减减的，你看能不能拆一拆去计算呗。你拆一拆，你看第一部分的话， 哎，一减 t 方抵 t， 这个会算呀，是吧。第二部分二跟二，这个消掉了，这里二除以二嘛，零到一还有个 t， 注意根号下一减 t 方，这第二部分这个好，算吧，凑个微分不就完事了。后面还有一部分啊，二分之一零到一 t 方 除以根号下一减去一个 t 方，这个怎么处理呢？这是一减 t 方好，一减 t 方的时候，这是出现一个 t 方。那你可以 t 方减一啊， t 方减一加一，你不要看到一减 t 方，我上面必须要凑成一减 t 方，你也可以凑成 t 方减一吗？他们的区别不就是差一个符号吗？你待会的话， 你这一块提个符号出来，不就变成一减提方了吗？是不是一减提方除以根号一减提方，那就是根号一减提方了。好，这个啊，注意小细节。好，你看第一部分的话啊，啊，第一部分是二三呀， 二三一提好，零到一，第二部分凑为分好零到一， 一除以根号下一减 t 方底底 t 的 方，我们直接把它凑出来不行了吗？一减去一个 t 方，你要注意系数啊，这一块去求导的话是负二 t 底 t， 是 不是你前面还有个符号啊，那就是正的二 t 底 t， 而人家的话是负 t 底 t。 哦， 是不是人家是负 t 底 t， 你 现在是他，所以你要补一个负二分之一，那就是正的二分之一了，搞清楚啊，好， 加上，你看这一块啊，哎，这一块的话，跟他我们给他拿下来啊。零到一，我是不是可以提个符号出来啊？提个符号，这就是变成 减的啊，就变成一减去一个提方了。好，除一个根号下一减提方 d t， 这，这一步啊，还有还有一部分啊，好，加上二分之一零到一，一比上根号下一减提方 d t 好，往这写了啊，你看这一个跟这个是不是长得一样的，这个结果算完之后，这个自然就出来了啊，好，二三一的话不就是二分之拍吗？二三零是零，所以这是一个二分之拍加上二分之一。好，这个知道吧？哎，这个咱们经常考啊， 根号 u 分 之一抵 u， 那 就是二倍的根号 u， 是 不是前面刚做过一个题啊，根号 u 好，零到一，继续啊。嗯，减去二分之一，他除以他就是根号了吗？零到一根号啊，一减 t 方好， d t 加上加上这个结果不是四分之拍吗？已经算过了啊。 好，这是四分之拍，后面一个四分之拍，那就是四分之二拍二分之拍了啊。加上这一块， 这一块的话，一一代是一个零，因为这个就是一了吗？一一代是一个零，零一代的话是个一，所以是一个负一啊， 负一。后面看到他的话，有同学看到 a a 方减 t 方开方，我想到三角画圆，当然可以啊，但是这是。嗯，比较常考的一个，可以用定积分的几何意义去算它的积分，结果更快啊， 它是表示圆的面积的四分之一，对不对？好，它就等于四分之一拍 r 方， r 又是一个一，待会再给大家解解释一下啊， 这是多少了？八分之拍，这个是八分四拍，减去八分之拍，八分之三拍好，减个一，我们再去把这块啊给大家解释一下。记住啊，考的频率也是很高的。我们另一块为 y 的 话， a 方减 x 方，你看两边平方啊，那是 x 方加 y 方，等于一个 a 方吧。好，你看表示的 是不是圆心在圆点半径为 a 的 圆呀，我们零到一区间上啊，零到 a 区间上，零到 a 区间上进行积分的话，是不是就是表示的圆的面积？哎的四分之一啊，是不是圆的面积拍 r 方啊？你这是二的话也得会啊，像我们常考的是这个一， 这用几何意义？更快啊，你三角画圆也行啊，但是这个型号出现的时候，你别三角画圆了，你太慢了，你太慢了。好，这个题的结果啊，我把它擦掉啊。 八分之三派减一。那有同学说，哎，我这里看到一减 x 的 时候不就不顺眼了啊，我去把它进行换元。一开始就换元也可以啊，或者你在这的时候看到一减 x 不 顺眼，你去换元都可以啊，什么时候换元都行。那我们也可以啊，写一下。有同学一开始就换元的话，那结果肯定也是一样的啊。 一开始就换元，一减 x 乘以一个 t 的 话， x 等于负的 d t 好， 这个 i x 取零的时候好，去 t 取一 x 取一的时候 t 取零好， x 现在变成了一个一减 t 好 r 三一 t d x 是 负的底 t 符号作用于上下键， 好看一下啊，这就化为了两个了啊。阿克三以 t 抵 t， 减去一个零到一 t， 阿克三以 t 抵 t。 哎，这一块直接分布积分这块的话凑合为分。分布积分。是不是这个擦掉了啊。往这边写 pi 分 布积分 t 二可三 t 零到一减去 t 二可三 t 求求到二一减 t 方嘛，第一好，减去后面的。 好，这个错，我又分过。嗯，这是错吧。二可三 t 底 t 方要补一个二分之一吧。 这一块的话好，一一代二三一，其实这都是求过的。是不是二三一就是一个二分之派啊。零一代也是一个零啊。减去你这一块的话，是不是就这里啊，减去一个他，哎，就是他好，来到这边的话就是一个他嘛。 因为就是一个，就是一个他呀。好，就是多少呀。负一啊，做过了我就不做了。减去二分之一倍的 t 方 r 三以 t 加上了吧， 分不积分啊，好，替方二个三一踢求倒啊，可以踢好看一下。 二分之拍减一减去二分之一一一袋的话是二分之拍吗？零一袋是零啊，所以就他了。加上二分之一倍的，你看这块啊，是不是也求过了？你看二分之一倍的替方除以他吗？咱们已经求过了，咱就不再求了啊， 这个结果在哪里？结果就是这一块吗？是不是减去它加上一个它这个等于多少啊？减去一个，减去一个八分之拍，是不是又加上后面的一个四分之拍啊？ 对，减去一个八分拍又加上一个四分之拍，你看这结果啊，结果的话这个是一个减去四分之拍再加四分拍。没有了啊，这是八分之四拍，减去八分拍，八分之三拍 再减一个一一样的嘛，对不对？这很多步骤前面都已经写过了，就不再去写了啊。好 啊，两类函数啊，相乘测，微分分布积分。好，这个题就讲到这了。好，我们看这个题啊， y x 满足这个微分方程哎，注视条件，求这个积分。有天看到微分方程啊，就想去解，像选填题的话啊， 出现微元方程的题目的话，他一般不是去考你啊，怎么把这个微元方程啊，这个 y x 给我解出来，不是考你这个的啊。 好，他想去考这个啊，这微元方程这个解法的话啊，一步一步的把 y x 给我解出来的话，出的是大题啊，解答题啊，那个步骤是是吧，很多的啊，考大题的时候才会考的啊。好，那你填空题出来的时候好怎么去考虑呢？ 你看啊，前面出现了，哎，这个导，这又是一个积分，对于一个积分，你采用什么方法的时候会出现一个导呢？分布积分呀，是不是？哎，往这上面去想啊，分布积分 好，这个想到的话，这题就比较容易了啊，我们写一下，我们记为 i 的 话啊，直接分布积分呀， x y x 零到一减去零到一 好， x d y d y 就是 y 一 撇 d x 你 看这一块有了吧，是不是？好，你一一代的话，那就是 y 一 减去个零好后面啊，零到一，这是 根号下一减 x 方 d x 嘛。这个积分很容易吧，不就是咱们上面给大家讲过的上面的题好用定积分的积分一非常快， 单位圆面积的四分之一是吧？ y 一 是等于零的啊，所以就解出来了，负的四分之一拍， r 方负的四分之拍，哎，就这么简单。 有同学说，我就要去解微分方程，你去解一解试一试。有同学还没有学到微分方程啊。没关系，后面都会学的，你非要解的话，你试一试嘛。好， y 一 撇是等于 等于它是不是？哎，想着把 y 等于多少多少 x 解出来，解出来之后带进来再去积分。好，你看这一般来说啊，有一些题目它是可以把这个，嗯， y x， 哎，等于多少多少解出来，有一些还不太容易解呢。你比如说这个题啊，你解的话就是两边积分嘛，是不是 两边积分有点费事吧，你看这个积分怎么去积呢？看到了根号下 a 方减 x 方，想到根式代换对不对？三角换圆嘛，应该很复杂的啊，三角换完之后，好，你这个里面都有 t 的 啊，有 t 的， 你这个 y 等于多少多少 t t 你 还得换回来，换成多少多少 x， 对 不对？好，你换到这里面， y， x 终于解出来了，你还要再去积分， 可能啊，费很大的劲还解不出来，容易错啊。所以像这样的题，选填题啊，考到微分方程，不要去解微分方程，就算你能解出来，你也会花费很多的一个时间啊。哎，想到，哎，这个外一撇出现分布积分啊，积分，分布积分的时候就会出现一个倒是不是。好，那这个题就讲到这了， 好，我们看这个题啊，求积分。看到这有一个无穷啊，他其实是一个反常积分出现在啊，填空题里面，反常积分一定收敛， 你不用再去判定这个反常积分收不收敛了，就一定收敛啊，按照定积分的一个求法去求就行了，你观察一下啊，哎，他俩相乘是不是可以分解一下呀，对不对？可以分解啊， x 分 之一，这个乘以 x 加二，可以分解一下。 对对，小学都学过吧，是不是列项吧，列列项啊，他减他的话，对不对呢？你可以通分看一下，这是 x 加二减 x， 那 就是多一个二，就是是二倍的吗？他的二倍，所以前面补一个二分之一就行了。哎，他积分这都比较容易积了。 或者呢，我们观察到啊，这个 x 如果乘到这个里面的话，就出现 x 平方分母的一个次方是远远的大于 分子的啊，这个次方分子的是个常数吗？就是 x 零次，这是 x 二次啊，远远的大于，啥意思？就是这个次方减去，这个次方减去啊， 哎，大于等于二，我们就认为远远的大于了啊。好，这种情况的话，我们是可以采用一个方法的啊，就是倒代换的一个方法。倒代换的一个方法，我们两个方法都写一下啊，好，现在是法一啊。 啊一好，这个 i 的 话，一到正无穷，我给它列项 列项就很容易了嘛。 d x 好， 积分的时候还要注意一点啊， 如果你分成两部分积分的话，你记不出来呀，第一部分积分是他，是不是你这个捞正无穷是正无穷了，像这样的，像这样的啊，这无穷区间上的反常积分的话，我们是先把整个的啊，这个被 这个被积函数的一个原函数给求一下啊，这是 x 分 之一，求积分啊，减去一个 lone， x 加二，哎，这一块可以合并一下啊， lone 减 lone 是 不是 lone x 比上一个 x 加二写成这个样子啊，你就会积了是吧，你就能积出来了啊，一定要注意这一点啊，注意这一点 好，正无穷好，相当于是求无穷，就相当于求 x 区正无穷的时候。这个这一块的极限咱们都清楚吧，求极限的话， 往正无穷去，往正无穷去。这个二不用看了吧，抓大是吧？抓大头， x 比 x 就是 一个一 lo 一 lo 一 就是一个零嘛，所以上线一带啊，就是零，极限等于零，下线一带的话，一除以一加二是一个三嘛，这是 负的 lo 三前面有个符号，那正的 lo 三，所以就是二分之 lo 三。好，解出来了。 好，如果我们用倒代换呢？这是一个啊，方法倒代换 好，令令什么？ x 等于 t 分 之一嘛，看一下这个积分变成什么了。 x 取一的时候 t 取一， x 取正无穷的时候正无穷， 正 x 去正无穷啊， t 取零正，对不对？那就是零啊，好，一比上 x 是 t 分 之一好， t 分 之一加上一个二 d x 呢？ d x 是 负的 t 方分之一，这都会吧，是不是 d x 嘛？好， 这个符号可以作用于上下线呀，就变成零到一了啊。分母的话，你看这是一个 t 方， t 方除一个 t 吧。好，就剩一个 t 了， t 呢？乘进来啊， t 乘进来，那就是一个一加上一个二 t d t 也很容易吧。 哎，这个这个积分很容易啊。这个 t 的 话，我们可以错位分嘛。二 t 加上一个一，多一个二，前面补一个二分之一就完事了，是吧。这不是零一加上一个二 t 嘛，绝对值，直接写成小括号就行了，里面是正的嘛。零到一 好，上线一带啊。 lo 以三嘛，下线一带 lo 以一是零了，所以就是 lo 以三，你看一样的啊。好，那这个题就讲到这了。 好，我们看这个题， f 一 撇等于三 x， 求 f x 表达式。你注意这个小括号里面它并不是一个 x， 如果是一个 x 的 话， f 一 撇有了，两边积分不就出来了吗？是不是你现在不是啊，看着 很很闹，闹心啊。那你就把它换成另一个变量，看着舒服的，哎，看着舒服的，那就换成一个 t 呗。是不是这样的话，哎，就是我们熟悉的一个形式了啊，好，这不容易出错啊。令 t 就 等于 e 的 x 方，两边取对数好，取对数就是一个 x， 左边取对数 好，现在的话，你看就是 f 一 撇 t， 哎，这舒服多了吧。等于 sin x x 现在变成 long t 了， 两边去积分不就完事了，是不是好两边积分啊。那就是 f t 等于好积分之后你注意结果是多少？含有 t 的 一个表达式是吧？比如说是这个样子啊，含有 t 的 表达式，你看 你这个求完之后，你是不是把 t 换成 x 就 行了，对不对？你这个函数的表达式跟用哪个字母没有关系的啊，你 f t 等于多少 t？ t 的 一个形式，现在去完之后换成 s 就 行了啊，都不要搞乱了啊。好，我们去两边积分啊。好，两边积分的话， f t 就 等于好 sign long t， d t 是 不是？这积分怎么算呢？ 这有一个对数很烦人是不是，你换圆嘛，哎，同样啊，也是换个圆，我们另一个 u 啊，等一个 long t 两边取指数的话，取指数，那就是一个 t e u d u 就 等于 d t 是 吧？好， sign 现在变成 u 了啊， d t 呢？ d t 等于它呀， 等于 e 的 u 次方抵 u。 好， 三角函数和指数函数啊，出现相乘求积分的话，你可以凑为一分分母积分吗？也可以，记住。哎，我们给大家整理的这个公式啊，这个公式很好用的啊，你看你把格式写对的啊，指数写前面 e 的 u 次方，三以 u。 好， 它是属于这这这个结构的，是不是你靠，三以三也一样啊，都是这样的公式。 a 和 b 是 不是取的是一个一啊？取的是一啊，一方加一方是一个二吗？二分之一。 好，这个是 e 的 优次方，求导就是 e 的 优次方，这是三 e， 求导就是扣三扣三 e 嘛，是不是这是 e 的 优次方，这是抄下来就行了。三 e 二阶的一个行列式，有同学没学到？没学到你先记下来啊，就是它俩相乘，减去它俩相成就行了。它俩相乘，减它俩相乘，把 e 的 优次方可以提出来吧。 那就是三 u 减去一个 q， 三 u 是 不是？这就记完了吧。啊，再加一个 c 啊，好，你注意，我们求的是带 t 的 啊，你要换回来啊？得回，带回来二分之一一的 u 次方。就是一个 t 嘛， 三 u 的 话是 long t 啊， long t 这个写个括号也行啊。好，减去 q， 三 u 是 long t 啊， long t 好，加一个 c， 你 f t 哎，等于含有 t 的 一个表达式，你现在把 t 换成 x 就 行了，对不对？换一下就行了嘛。好， signlon t 减去 cosinelon t 好，加一个 c 就 行了。注意，我们现在这一步到这一步是根据的啊，函数表达是跟用哪个字母表示没有关系，就是这个变量用哪个字母表示没有关系，而不是啊，这个这里的啊， x 跟 t 的 关系，现在啊，这一步到这一步跟这里 t 跟 s 是 没有关系了。搞清楚啊，搞清楚， 就是看到这里啊，不顺眼你就变量换代换一下。那有的人说我看着顺眼，你看着顺眼的话，你一开始就别变量代换了，你后面还是要变成代换一下的，因为你要求的是 f x 表达式，你不能写成 f e x 是 吧，等于多少多少啊。好，我们可以这样啊，你看另一开始你不换元的话啊，另，这个 y 是 等于它的哎，你求完之后你再去领，再领。哎， e x 四方等于七吧。好，你看它啊，它求导，也就是 y 对 x 求导嘛， y 对 x 求导，哎，这是不是负还是求导呀，先是外层求导，然后内层再去求导。 就是，而它的话不是给了吗？是三 x 呀，这不是 e x 四方乘以三 x 吗？ e x 方乘以三 x 两边积分啊，两边积分就是 y y， 你 注意现在是 e 的 x 方啊，是它啊，是不是 好，两边积分， e x sin x d x， 你 看这不就是这个吗？是不是结果我们直接抄前面的啊， e 的 x 啊， sin 减去一个 cosine 吧。好， 我们啊，要求 f x 表达式吗？是不是你这个得是一个变量啊，你不能写成一个啊，这个一个函数的形式，是不是我们这个时候再令啊？ e x 方等于个 t， 好 的，令 e x 方等于 t， 那 就是好，这个就变成了 f t 了，是吧？ y 就 变成 f t 了，这个时候啊， f t 就 等于二分之一 好。 e x 方等于 t 吗？等一个 t 好。 三 x 方等于 t 吗？这不再说了吧。 cosine 三零 t 好啊，我们这个不定积分要加一个 c 的 啊，要加一个 c 还是 f 七等于多少多少 t 好。 然后你这个时候因为函数的一个表达式，跟这个这个自变量用哪个字母表示没有关系，你再去换成，哎， x 是 不是再换成 x， 这个流程是一样的嘛，对不对？再换成 x， 你 看结果是一样的啊。 好哎，这个积分的一个公式啊，记一记，该画圆的，画圆看着更舒服一点。好，这个题就讲到这了。

我们看这道题，提供两种做法，他说证明对任意的正整数 n 均有二的 n 次幂加二大于 n 方， 那么对于这种竖列不等式，我们的第一种思想就是能不能给它转换成函数不等式二的 x 幂加二大于 x 方，肯定是在 x 大 于某个点的时候成立， 那然后你看这是指数函数，这是密函数。根据我们无穷大笔接的这个思想，在无穷远点，这个指数函数啊，一定会远大于密函数，就他比他大的多， 那也就是 x 一 千呢，一百万呢，估计这个不等式他是肯定非常成立的。那我们可以画图来比量一下他这个函数的这个趋势，那么如果 x 方哎是这么样一个抛物线的话， 我们这个二的 x 密加二呢，很可能一开始他到这个蓝线的距离会缩短，越往后面呢，他会越陡峭，那么越陡峭，他和蓝线的距离呢，就是拉的会越来越大，大概这个意思。 那么所以啊，根据我们对这两个函数图像的了解，也就是这个地方存在一个关键的点啊，这个点开始，我们这个距离会拉大， 如果这个距离拉大的话，不就是他们俩做差是单调递增的吗？那么因此我们考虑 f x 等于二的 x 米加二减 x 方，应该 x 会大于某一个点。开始我们这个小 f x 是 单调递增的，它大于零，肯定是大于零的啊，因为这个结论一定是对的嘛， 所以在大于零之外呢，他还是单调递增的大于零。那么怎么证明单调性呢？我就是求导呗，就等于二 x 浪二二求导就是零减去二 x， 你 看这是二的 x 密，这是二 x， 那 我带什么点呢？我尽量带那种，他都是跟二有关的，好提供一式，比如说算算 f 撇二啊， f 撇四啊，那往里面带啊，那么二的平方就是四倍的浪二减四，哎呦，这个不行，这个失败了，你看 是浪二减一，浪二是小一的，这个导数是小于零的，是不是？所以二这一点还不行，那么 i 撇四往里面带呢？二得四十六倍的浪二减去八，然后把这个八提出来，就是二倍的浪二减一，这是可以的， 二倍到二呢，把二放上这来，就是八倍的浪四减一，那么浪 e 是 等于一的吗？所以浪四就大于一，那么这个就大于零，所以从 d x 等于四开始，他这个地方就一定会递增了。 那然后就是 x 等于一二三的时候，这些整数的时候，你就单独往里边去代验证这个不等式就行了吗？于是我们下面来写一下这个步骤啊， 也就是啊，取咱们刚才这个函数，就是二的 x 米加二减 x 方，那么 f 求导呢，就等于二 x 浪二减二 x， 咱们刚才已经验证了啊， f 撇四呢，是等于多少来着啊？提供一式的话，是八倍的浪四减一啊， 八倍的浪四减一呢，就是大于零的。那然后我怎么说明 x 比四大的时候，这个导数也是大于零的呀？ 我不妨再求求二极岛吧，因为这个函数都很熟啊，他的求岛呢，也都是比较简单的，就等于二 x 浪二再乘以长的浪二，就浪二的平方再减二，那么 f 撇撇四呢，就等于二的四乘以十六倍的浪二的平方减二，把二提出去，这是八，是吧？八变成二倍的四， 四就变成二倍的浪，二的平方再减一，你看啊，这个提出就相等的吧，所以它也就等于二倍的二倍的浪，四的平方再减一，这是大一的数，这是大一的数，所以这就是大于零。那你看，从四开始， 这个数是大于零了，再往后也都大于零，因为我们知道指数还是单调增的，这就不用解释了，对不对？所以我们就能推出来， x 大 于四的时候， f 撇撇 x 肯定是大于零的， 所以 f 撇 x 单调递增。那你不是 f 撇四大于零吗？哎，所以我们就知道，哎，我们这个 f 啊，就是在 x 大 于四的时候， f 撇 x 也一定是大于零的。 那么既然 f 撇大于零，我又能推出来 f x 单调增，然后你再验证一下， f 四它肯定是大于零的， 所以 x 大 于四时， f x 就 都大于零。 f x 大 于零的话，那当然就是 f n 也大于零，这个是 n 大 于等于四的时候是成立的。 那么咱们刚才这个 f 四大于零，我没算啊，他一定是成立的，因为让你证这个结论肯定是对的嘛。所以 f 四大于零，这个你带一下是吧？给他，给他表面上验证一下。那么 f 四大于零就推出来 f n 大 于零， n 大 于等于四成立。 那么然后呢，就是 f 一 大于零也成立， f 二大于零也成立， f 三大于零也成立，这三项也验证一下，那于是这个方法就做完了， 那么这种方法就属于对初等函数比较熟啊，暴力破解了。然后第二种方法呢，就是归类法，这归类法呀，这道题是一种标准的归类法的题， 咱们数学规划法在大学里边有第一规划法和第二规划法啊，这个第一规划法我相信你高中会经常用的，就是先验证某一项开始成立，然后 n 等于 k 成立，推 n 等于 k 加一成立，这就证明了 n 大 于等于，这个首项呢，就都成立。 还有第二个规划法，第二个规划法适用于他一开始的递推关系啊，就是 a n 加二等于多少倍的 a n 加一是不是加上多少倍的 a n 减一， 它是多项的地推，如果它是多项的地推，比如说咱们大学数学里边那个信息代数的行列式，是不是就出现 a n 加二的行列式和 a n 加一的行列式？ a n 行列， a n 减一的行列式，它有地推关系，这时候尤其三对角行列式，很多就都要用这个第二个算法才行。也就是我先验证一开始有一个式子是成立的， 然后小于等于 m 都成立。也就是说，哎，你从 n 得一的时候，就是 a 三推 a 二推 a 一 推 a 零，就是 a 三 a 二 a 一 a 零，它这个时候等式成立的。然后呢，小于等于某个值都成立，再推 a 等于 m 加一成立， 他就这样，相当于是，哎，三项三项往前推，三项三项往下面推，这样也能推到最后的结果。那么大家对规划法不熟的话，也是可以看看我们高中基础知识衔接这个地方啊，就是对大学这个衔接课程把这个方法我们也是举了好多例子。 那我们来用规划法写一下这种题的步骤。规划法呀，特别适合糊弄这种数列题的步骤分咱们大学这个极限，这个章节不是有数列的这个证明题吗？所以数列证明题很多时候都要用到这种拨拨规划法的啊。那么 n 等于一十，那么二的一次米加二呢？大于一的平方成立啊。 然后呢，我们这地方先空着啊，假设 n 等于 k 时，有二的 k 次幂加二大于 k 的 平方后面空了啥呢？我一会再来解释啊。然后我推 n 等于 k 加一的时候，能不能证明出来，就是这个地方带入 k 加一也是对的， 也就是二的 k 加一，次幂加二能不能大于 k 加一的平方？那么这要怎么挣呢？当然是利用 n 等于 k 这个不等式，往 n 等于 k 加一这里面去带，也就是把它提个二出来就是二的 k， k 次幂再加个二，那这个就是四了，再减二才和原来相等。 那我们看你凑出来这个部分，就正好把它往里边带，把它往里边带的话，这个地方就出现大于二 k 方减二。那最终的目标我们是要大于 k 加一的平方啊。那 k 的 平方怎么能变成 k 加一的平方呢？ 那我们当然就是直接应凑就行，这就是完全平方的这个应凑嘛，给它写成一个 k 加一的平方，再加多少才会变成原来这个二 k 方减二啊，这个 k 加一的平方里边有 k 方有二， k 有 一呀， 那么所以原来是二 k 方这个地方要再加一个 k 方，原来这地方是没有二 k 的 啊，所以要减个二 k， 原来这个地方是这个一，那应该要减个三才要和原来相等。那么好了，大家可以合并一下啊，这是和原来相等的， 把这个地方再化简，就是 k 加一的平方，加上这个一二方程在初衷很熟，是不是正好可以因式分解呀？那么于是就是 k 减三乘以 k 加一， 那么关键的步骤来了，你要大于 k 加一的平方，是不是要让他大于零啊？这就是抛物线，这个抛物线要大于零，是不是要 k 大 于三的时候才成立啊？ 那么你看这不巧了吗？这个 k 大 于三和咱们前面那个方法，我们也是大于等于三，或者大于等于四成立，是不是也是前三项的硬带，因此你前三项是硬带的， n 大 于等于四啊，或者说从第三项第四项开始，他这个不等式才比较好。正前面几项，他这个两个不等式之间这个距离啊，是比较复杂的， 因此你刚才这个地方属于少写了，也就是为了让这个规划法它下面比较容易写啊，前面要多带几个，就是 n 等于二十，它也成立， 然后 n 等于三十，他也成立，这个我就不验证了，他肯定成立，这个答案是对的嘛。那么所以 n 等于 k 时，这个地方备注一下，我们这个 k 呢，就是大于等于三的时候有二 k 自密加二大于 k， 方设 n 等于 k， k 大 于等于三十成立，那么 n 等于 k 加一时。哎，那么既然 k 都大于等于三了，这个数它就是一个大于零的数， 或者说直接 k 大 于三吧， k 大 于三呢，就大于零的数就不要等号了啊。那么 k 减三是大于零的数，那么这个就完美的实现了，我们这个式子是大于 k 加一的平方的，因为这个数它大于零嘛。 那么好了，你看开头看结尾，你证明了二的 k 加一次密加二呢，大于 k 加一的平方，所以就是 n 等于 k 加一的时候，它也是成立的。那么由我们的数学归答法就证明了 n 的 n 次密加二呢，都大于 n 方就没问题了。 那好了，大家再熟悉一下归类法的步骤啊，他在大学数学里面非常有用，咱们很多数列的极限呢，都要依赖数学归类法，还有这个大学的现代数很多都要依赖于这个第二归类法的。那好了，大家关于数学有任何问题多和小老师交流，我们下个视频再见。

想提高计算能力，或者说啊大家真正说达到考研的强大的这个计算能力啊，我觉得首先第一个问题，你必须要亲自动手去做计算过程比较复杂的题， 那么可能会遇到各种各种困难了，是吧？这里的困难呢，我想主要分为如下几点了。第一个叫做公式用错， 我所说的公式啊，不光是极限计算的公式，导数公式、积分公式，还包括我们在讲课当中给大家说的啊，涉及到中学知识里面的常用公式，比如说我们常用的三角公式 对不对？大家诱导公式就是计算规则错了，极限计算的规则有的时候不能够随心所欲的，有时候这个极限上边算出来了，底下不算， 那极限一元函数极限计算自变量趋向具有同一性啊，它是同时趋向，你的计算规则可能会用错。

好，我们看这个题啊，这是整体的一个改编题，我们看二零一八年数学三的啊， 后续我会给大家整理出来数一数二数三整体互通的一些题目，什么意思呢？就是你数一的同学，你也可以去做一做数三数二的相关的一些题目来整理出来，希望同学们学有余力的话，可以做一做啊， 你看这一八年的数 a 三，完全也可以作为数一数二的一个真题啊，是不是？好，你看长得一样不，你瞅瞅 这一模一样的啊，这是一个改编题。好，它计算的这个二重积分被积函数是 x 方加 y 方，这里是 x 方，是吧，就这点区别吗？那我们，哎简单的看一下这里啊，我会再统一讲的啊， 我们画完图之后，好，画完图之后你会发现啊，它是一个椭圆的一部分，是吧？哎，是椭圆的一部分，而我们说了见到椭圆域的话和偏心圆域的话，一定要想到二重积分的换元法，你看我们在二重积分的换元法啊，它是比较 推荐的一个方法，就是见到啊椭圆域圆域的时候不容易出错啊，按照我们这个流程，画圆之后，哎，采用记坐标了，是不是这样的一个流程，也称为广义的记坐标，画圆，哎，没有必要去记那个啊，直接就是先画圆再记坐标就行了。 好，就比较推荐的方法，那这个题我们讲三个方法啊，除了最推荐的是二重积分换元法，把直角坐标记下啊，咱们都去讲一下，好吧， 时间有点长，希望同学们耐心的听完好不好，咱们方法比较多，都体会一下啊，这个计算量的一个区别，后续你再做这样的题就知道该选什么方法了。好，正好也训练一下咱们的积分的能力啊。先把区域 d 换一下 x， y， y 是 根号下，那 y 就是 大于零的，你得知道是吧？两边平方啊，就是三减三倍的 x 方，那不就是三 x 方加 y 方等于三吗？是吧，都除一个三，两边都除一个三啊， 给他写为椭圆的标准形式是吧？这个三可以写成根三的平方呀，对不对？这是一的平方。好，这里是一个一，对吧，这里是一个根三啊，长半轴，短半轴的一个长，好椭圆哦，椭圆 好， y 大 于零，对吧？ y 大 于零嘛，所以这下边就不用去画了啊。好，那 y 等于根三 x， 这是 y 等于根三 x， 这就是一个六十度三分之拍吗？是吧？ y 轴好，区域已经。哎呦，区域是不是就画出来了？紫色的区域啊， y 轴吗？还有这个，它还有我们的啊，这个曲线椭圆线。好，接下来呢，我们 先去讲推荐的方法是吧。哎，二重积分的换元法，优先级啊，考试的时候也是这样的一个优先级，这个没做出来就接下来。哎，用别的第二个方法了啊，法一 就是二乘积分的换元法，记，记住这个流程就行了呀。这个得知道怎么去令，哎，谁是 u 谁是 v， 我 们就看椭圆的标准方程，因为我们想把椭圆换成圆，圆的话，那肯定就是这个形，这个型号的是不是？哎，这个型号的，所以我们应该是令 x 就直接等于 u， 是 不是？然后根三分之一等于 v， 对 不对？这个能能看出来啊，根三分之一 y 啊，等于 v， 好， 这样的话，你看我们 把它就可以写成 u 的 一个平方，加上根三分之一就是根三分之一， y 就是 v 吗？ v 的 一个平方等于一，是不是就化为单位元于来，是不是再给它写个小 a 等于号啊？先把这个十字写过来，好，解一下， x 等于 u， y 呢？ y 就 等于根三 v 啊，是不是解一个亚克比行列式， x 对 u 求偏导， x 对 v 求偏导， y 对 u 求偏导，对 v 求偏导，是不是一个根三呀？好，你注意我们背一些函数啊，这里是 这个雅克比行列值，这个绝对值，所以你养成习惯啊，绝对值它还是跟三好，我们开始啊，开始去做了啊，这个这个题目，那我们这个 duv 区域是吧？换也要三，换吗？ duv 已经知道了吧，是一个单位源域了，但其实是不太对的，因为 我们 u v 其实还有一些限制。好，它不是单位圆域啊，它是一个八分之一圆，八分之一的单位圆，我们看啊，首先肯定是满足这一条的，是不是根据它的话小一点一先满足啊，是一个单位圆域， 接下来我们再给他啊，缩小他的一个范围，这个范围怎么去缩小，怎么去画的更精确一些呢？就是去看原来的啊，原来的这一个啊，这个函数的一个表达式，我们去看一下啊。 嗯，这个题里面可以看出来 y 这里是等于根三 x， 那 么我们的区域是不是 y 是 大于，你得能看出来啊，区域怎么画的呀？是不是 y 大 于等于根三 x 对不对？这根线的一个上方呀？所以我们，哎， y 等于多少呀？哎， y 就 等于它了，现在也得大于等于根三 x， 是 吧？就是利用它，哎，把这个 u v 的 一个关系解出来，再进一步把它的一个范围给它确定住啊。 好， y 的 话，现在就是根三 v， 对 不对？是不是根三 v y 得大于等于啊？大于等于根三 x x 是 不是就是 u 了呀？ u 了呀？所以这样写，因为，所以，这个可以在草稿上进行的啊， 根三根三消掉了， v 就 得大于等于 u， 是 不是？哎，原本的啊，是 y 大 于等于根三 x， 现在就是 v 大 于等于 u 了，这是一个易错点哦，好， v， 哎， v 大 于等于 u， 我 得标一下啊，有些同学画圆这里就有问题了，哎，你看这边的话，这个角度是不是，哎，三分之拍啊，你看到 v 等于等于 u 的 话，就是四十五度了，是吧？现在就是四十五度了，它可不是啊，六十度了， 这是 v 等于 u 是 吧？好，我们 v 要大于 u， 并且，嗯，可以看出来它在第一象限，是吧？ x， 我 们怎么去确定 u v 啊？这个区域，这个他们的这个 u 跟 v 的 一个关系 u v 区域应该怎么画？就是看原本的这个区域的一些限制吗？首先有这样的一个限制，还有什么呀？还有 x y 都是大于零的，对吧？ x 大 于零， y 也是大于零的，那 x 现在就是一个 u 吗？对不对？ u 也得大于等于零， y 也得大于零，也就是 v 大 于等于零吗？是吧，所以我们这个时候才真真切切的啊，根据原本的这个区域画出来我们新的一个 d u v 了这个区域了，是不是？所以啊，你看 v 大 于等于 u， 这根线的一个上方 u v 还得大于零，他还得单位圆域内是不是？所以就是， 哎，我们先画一个单位圆吧。啊，这是单位圆的话，好，那就是这一块区域是吧，现在我们的区域就是变成绿色的了， 没问题吧，这可是四十五度了，别搞，别搞错了啊，这是不是一个易错点啊，对不对？这里啊，是一个易错点，这里啊， 这个三分之拍现在就变成四分之拍了啊，易错点给大家指出来，别忘了去换这个角度啊，是不是， 哎，这怎么去确定，咱们再说一遍吧，根据原本的区域的一些限制好，就把 u v 是 吧解出来了啊，它的一些范围， 好，第一换就换完了，区域换完了，我们开始去算呗。对呗，区域换成底 u v 了，好， 嗯，这里还是先写过来， x 方加 y 方，那就把它换成 u v 了啊， x 方八加上 y 方，那不就是三 v 的 一个平方是吧，乘一个亚克比行列式的绝对值就是根三，然后底 u d v 一换二换三换，换完了，我们现在，哎，区域是这个样子的，跟原相关的是吧，哎，去算这样的一个积分，简单了吧，我觉得现在在算是非常简单了啊， 好， d v 我 们去算了啊，根三就提出来了，直接急坐标呀，是不是我们化为他这个目的就是要用急坐标了呀？嗯，角度的一个变化，不是四分之拍到二分之拍了吗？一定要注意的，是一错点是吧，我再给画一下啊，好， d c 塔对不对？ d c 塔半径呢？那半径就是零到一了呀，我们现在就是，是吧，是一个单位圆域了啊，不是单位圆域啊，反正它的一个它单位域的一 八分之一是不是啊？八分之一，总之半径是个一嘛。好，这里面 u 方我们是令的。是 u 就 等于 r 乘以 cos 嘛。哎，现在就是正常的极坐标画圆就行了，极坐标做就行了。 好，那就是 r 的 平方。 cosine 的 平方加三倍的 r 的 一个平方是吧？ sin theta 的 一个平方它都有。平方其实也是很好算的。把 r 方提出来呀，对不对？跟前面一个题很类似啊， 后面还有一个 r 抵 r 不 就完事了，对不对？根三看一下，这是 r 平方，我们先把 c 它的写过来再去算 r 的 啊。 cosine c 它方我感觉跟前面有一个题非常像啊， r r 三次方，那就是 r 的 一个四次方除以四零杠一。好，这一积不就是个四分之一吗，对不对？四分之一底 c 它这个后面就没什么说的了啊，认真算四分之根三了吧。对，再一个一个的啊，靠近 c 它的一个平方。 哎，这还不不需要一个一个的，我们给他修改一下。靠近都往 same 去靠拢，可以吧？那就是一减去 same 方，再加上三 same 方都往一个上面靠拢，就合并一下。简单一点点啊，简单一点是一点啊。好， 嗯，这里边再写一步啊，就是一加上二倍的 c and c 它的一个平方，接下来用二倍角就行了。是不是用二倍角就行了啊？我在这里再写一下 四分之根三。好，第一部分积分呢，就是上线减去下线可以吧？上线减去下线就是四分之二拍。四分之拍嘛，我都分成两部分写了啊，这是第一部分。第二部分还是 就是它乘进去，它也乘进去啊？四分之三再乘一个二，对吧？后面就是四分之拍，二分之拍 c and c 它的一个平方， d c 它再用一个二倍角就行了。 十六分之根三拍，因为拆开就不容易看错吗？是吧？好，这是二分之根三，这里啊，接下来 c and c 的 方用一个二倍角 是一减去 cosine 二， c， 它除一个二，是吧？那就这里除一个四了啊，那就再乘一个二分之一，就这样的啊，好， d c 它， 嗯，十六分之根三拍，再加上四分之根三，我们算啊，第一部分，一积分上限减下限四分之一，这是原函数，是吧？四分之派，二分之派。 好，再写一步啊。嗯，这个里面我直接出结果得了啊，这是四分之根三，或者我乘进去吧。啊，四，四十六根根三开减去，我都乘进去啊，二四得八根三，就这个系数乘进去啊， 好， sin 二， sin， 我 们直接算这边了啊， sin 的 二乘以二分之 pi， 那 就是 sin pi， 那 就是上限是个，带进去是零了啊，减去 sin 二分之 pi 是 不是一呀？零减一是一个负一，所以后面就是乘一个负一，那我们就写个加号就行了，对不对？ 好，那这个时候我们可以合并一下了，对吧？出一个结果啊， 等于他两个是不是长得一样呀，那就是二倍的一乘他，那就是八分之根三拍，是吧？对，还有个八分之根三，那我八分之根三提出来得了，拍加一，这不就行了吗？对不对？你看，这没有什么计算量的，其实 要求同学们必须掌握啊，必须掌握的。好，这里补充一点，就是有同学呢采用的啊，广义的集坐标换元。好，那么换元之后积分写出来了会发现啊，怎么集就集不对，那么问题就是出在这里啊， 你看你，你有没有写错啊？好，我去解释一下啊，我们刚刚的跟大家说了，儿童积分的换元法的一个步骤采用两步，第一步呢，你把 x y 表示成 u v 的 表达式，然后解出来 x y 等于多少多少 u v， 然后这个雅克比行列式解出来，是不是第一步啊？是这样的，然后第二步 区域已经化成了一个圆域相关的了，是不是，哎，跟圆相关的了啊，然后采用极坐标，就是我们 这里啊写的普通的记作表还原，好，适用那个场景就是圆域嘛，好，这一块呢，他推广推广出来一个广义的记作表还原好适用的一个场景呢，就是区域跟椭圆相关，就是椭圆域相关的啊，题目可以采用广义的记作表还原，这里我根本就不推荐这个啊， 你就记住二重积分的换元法第一步，他第二步好，普通的记坐标就行了，普通的记坐标咱们都会，是不是元句出现的时候，令 x 等于它， y 等于它，都知道吧，是不是都知道的啊？好，为什么不推荐他不推荐记这个啊，这个我根本就不不给大家去推导了，因为根本不推荐这里就是为了给大家减负啊， 负担减负，不去记这些啊，这个容易让你造成一些困扰的这个公式，你因为你遇到一些题的话，你用这个用这个式子容易出错啊，咱们这个流程的话就不会出错啊，好看，错在哪里啊？这个角度三分之拍错的啊，应该是多少呀？四分之拍， 是不是我们刚刚已经讲到了这个四分拍，但是这里的话，你怎么去说明出来他是四分之拍到二分拍的？还是一样道理啊，咱们这一块怎么去定出来的呀，是不是根据啊，原本的啊，这个题目的 这个 x y 之间的一个限制条件，然后推出来 u v 的 一个啊，它的一个范围是不是？好，那同样啊，这个角度的一个变化，也是通过根据题目啊我们能够知道的一些信息推过来的啊，题目的话，你看这里 y 要满足的是大于等于根三， x x 大 于零，当然你带上等号也行，是吧， y 大 于等于零，对不对？关键的几个点啊，还有啊，这个 椭圆，这个椭圆那个表达式我们也知道吧，是不是 x 方除以一的一个平方加上一个 y 方除以根三的一个平方啊，好，等于一，那我们那个区域是不是在椭圆里面啊？里面的话啊，要表示的话应该是，哎，小于等于是不是，你看又一个啊，有条件 我就写到最前面了啊， x 方除以一方加上 y 方除以根三的一个平方，小于等于一， 好，你看这个啊，广义的极坐标还原的话，这个数字如果你记的话就是 a x 令 x， a 乘以 r 乘以 q， 三 c， 它 a 就是 这里的这个啊，哎，我们说的是长半轴短半轴的意思是吧， a 和 b 啊， a 就是 个一， b 呢，就这个啊，啊，跟三对，跟三好。令 x 等于 r 乘以 q， 三以 c， 它 y 呢，就是根三， r 乘以三以 c， 它是吧，好，看，这几个线的条件啊，你能够定出来这个 c 它的范围不啊， 这块的话就可以看出来。哎， r 方得小一等于一，对不对？你这个 r 的 话啊，那不得大一等于负一，小一等于一吗？半径吗？是不是一定大一点的？二的话，哎，零到一啊。好，再看这个 y 呢，你看是它呀，根三 r 乘以 sine theta 大 于等于根三 x 在 这呢啊， r 乘以 cosine theta， 你 看这两个消掉了。 sine theta 大 于等于 cosine theta， 也就是 tangent theta 大 于等于一嘛，是不是？你画画图啊， tangent theta 是不是这样的？再画一个矩形啊，是不是这样的？这是一个二分之拍啊，这是四分之拍的话，好，它，你 c 再想大于等于一，哎，如果在这个这个这个周期上去看的话，是不是 c 得是怎么样的呀？ 大于四分之拍，小于二分之拍，对不对？ c， 它得是大于四分之拍，小于等于二分之拍，你看出来了没有？嗯，不是这个啊，不是三分之拍。这边角度变了啊。好，再看它呢， r x x， 我 们说了是 r 乘以 cosine c， 它你得大于等于零，半径也得大于零嘛，所以就是 cosine c， 它也得大于零。 cosine c， 它大于零的话， 你也可以画一画 cosine 的 一个啊，图像好，它的周期函数啊，你画到这儿吧，这是一个二分之拍。对，好，这是二分之三拍， 这是一个二拍了啊。 cosine theta 想大于等于零的话，可以是这个区间，是吧？零到二分之拍也可以是往后面的一个区间都可以啊，你综合一下啊， theta 可以 是零到二分之拍， 也可以。是啊，后面这个区间，二分之拍到二拍，你得综合嘛，你得满足它，也得满足它，对不对？你综合下来你看一下啊，我们再继续啊，这个就是 y 的 话，就是 r 跟三 r 乘以三 a c t 大 于等于零，对不对？ 这肯定大于零了嘛，那它也得大于零啊，三 a c t 也得大于等于零。好，三 a c t 大 于等于零， 你看零的拍。对，你先看你这一个周期的啊，当然它还有别的周期啊，你这这些你综合到一起你就能够发现了啊，你去综合一下啊，要满足它，满足它，满足它，是不是？好？先看这块的话和我们说，这个 c 它可以取啊，四分之拍到二分之拍， 对不对？好，你，你往后的话啊，往后的话，这个是拍，对不对？这是一个二分之三拍吧， 这里啊，这里还有可以取这个区间，对不对？但是你看 cosine c， 它也得大于等于零吗？大于等于零的话，往后面再来，再来一个，就就是往后面再去。去的话啊，我们说可以是二分三拍到二分拍， 你看啊，这是一个二分三拍，对不对？你摊进 c， 它的话啊，你大于二分三拍的话，不太行，不行啊，对，你再来一个周期嘛， 你看大于二分之三拍的话，它就变成负的了啊，是不是？所以说啊，你，你综合下来的话，你不能够对于扣三 c 的 大于等于零的话，你就取这个区间，你不要往再往后取了， 他们两个啊，相交出来的就是四分之拍到二分之拍吗？那他俩的相交呢？他俩相交还是四分之拍到二分之拍，是不是？所以啊，就是四分之拍到二分之拍，这里啊，就四分之拍到二分之拍才对的。 那我们会发现啊，你用广义的极坐标画圆的话，你对于定这个角度的一个变化，你看就就是有点繁琐，你搞不好是吧？这图你不太熟悉的话，有时候就容易弄错， 所以根本就不建议啊，这个我连给大家推导都不去推导了啊，你就不要去记这个了，你知道我们的普通的极坐标画圆就行了。这个大家都知道的，是不是原域出来的时候就直接采用极坐标画圆好，不要采用这个啊，广义的极坐标画圆你都不要去记，我希望你都不要去记这些东西啊，那这容易错吗？在求的过程中， 所以只要你想到，哎，这个想用二重积分的还原法的话，一般用场景，应用场景就是椭圆域和偏心圆域啊，好想到用它，用它的话就两步，你要迂回的。迂迂怎么写呢？ 迂回的啊，用这个记作表还原是吧，迂回到最后就是普通的记作表还原啊。第一步是不是哎，然后第二步，因为你第一步完事之后啊，我们的趣就已经化成跟原域相关的了，然后普通的记作表还原，大家都非常哎， 非常熟悉的，对不对？迂回迂回一点啊，到我们的记作表还原，而不是直接啊，你采用那个广义的记作表还原就容易出错，不要去记这个了好不好，听话啊，那我们继续啊，再用一下直角坐标系去做好不好？ 为什么把直角坐标系放到前面，极坐标系，嗯，计算放到后面呢？因为我们是按照啊记，按照推荐的一个啊顺序优先推荐的是刚刚法，一再推荐的就是直角坐标系下的运算，我们对比一下就知道了啊，就慢慢的去积累。什么样的题应该先选择什么样方法后选择什么样的方法啊。 直角坐标系下去算啊。好，那直接就给它化为 x 型域的去，可以吧。 x 型域的就行了啊。好，这个。哎，直接算了呀， 这个，这个什么？这个点的横坐标得算一下是吧？我们可以看一下， y 等于根三， x 与这个 y 等于这个根三一减 x 方，这个椭圆去连立一下方程是吧？ y 的 左边是根三 x， 右边是根三，根三一减 x 方，根三消掉了，那两边平方一下。 好，那二 x 方等于一 x 就 等于二分之根二，是吧。 哎，这个其实在草稿上写也行，是不是？或者你写一下也行啊。 y 其实没必要啊，写下也行啊，二分之二再乘以根三是吧？二分之根六，就这个点，你可以标出来这个 a， 这个点是吧？二分之根二，二分之根六。 好，画成 x 型，你画成 y 型的话，你得算两两部分是吧？得去得画两部分，那不不想给自己找麻烦了啊，好，这个看不清了啊，写成这样的 零的，这个是二分之根二，对不对？ d x y 的 一个变化线内画条线啊， 先交后交。好，先交的这，这是。哎， d y 了啊，这个就放一边了啊， 下面是 y 等于根三 x 上面。是是是他 y 等于 y 等于 y 等于他呀，是不是就是我把根三写过来得了啊。根三根套一减 x 方吗？好， x 方加上一个 y 方，对吧？往左边写一写了啊， dx， dx 写到最后边吧。 x 我 写到这，我先把它算，先算对 y 有 积分吗？那 y 变量是？ y 是 个积分变量，那 x 看成常数是吧？ x 平方看成一个常数了，那积分的结果对于它这一部分积分的结果就是上线减去下线，对不对？上线啊，减去下线是不是可以写成 哎，这个样子呀，根三提出来了吗？所以就是根三根号下一减 x 方减去一个 x， 对 不对？这部分积分啊，我们分两部分，再加上这一块积分，那原函数就是 y 的 三次方比一个三吗？是吧？ 三分之一倍的 y 的 一个三次方。好，根三 x 再写一步啊，跳太多了也看不清楚了啊， 这可以吧，我们把这一块整理一下，还有这一块看能不能哎，和该合的能合到一起呢，这个就先放在这了。 哎，我直接拆两部分行吧，拆两部分先看看吧。啊，减去根三 x 三次方吗？两部分了啊，看后面这一块三分之一我们也写两部分啊， y 的 三次方先是它的一个三次方啊，三次方呢，就是三 乘一个根三，对吧？ e 减去 x 平方的二分之三次方，就是它。好， 按三根三消掉了，那就是根三倍的 e 减去 x 平方的二分之三次方，是吧？减去啊，下限三分之一 y 的 三次方。根三 x 的 一个三次方， 三倍的根三 x 的 三次方。三个三，笑掉了，是不是就它了呀？根三 x 三次方，你拆成几个部分啊？看一看嘛，先看一看啊。好，我们去观察呗，用我们的卡姿兰小眼睛观察一下。 都有根三，首先都有根三，你也可以先提出来再去观察一下呢。这边这里都是，这是一减 x 平方，这里有一减 x 平方。那我们知道啊，在一减 x 平方开方的或者是不开方的，你可以想到根式代换，是不是？那这个跟这个倒是 密函数比较好算呀，是不是？这是减去两倍的了啊？这不是减，他减，减两倍的，也就说他跟他是合到一起，可以先计算一下，那么他两个合到一起再去计算，对不对？好，我们先把这个比较好算的先算一下，好吧。零到二分之根二，负的对不对？两倍的 根三 x 三次方点 x 写两部分了啊，还加上好他跟他嘛，合到一起啊。零到二分之根二， 嗯，合到一起根三是不是可以提出来呀？可以提出来啊，根三提出来，那就是 x 方根号下一减 x 方，对，再加上一减 x 方的二分之三次方乘括号了。 搞清楚啊，分成两部分了，这一部分跟这一部分合到一起，根三提出来，他剩下的两根合到一起。 d x 好， 这算应该不难了。负二倍的一个根三 x 三次方，有四次方除以四是吧？我除一个四好， 再写一步我觉得也行，对不对？零二分之根二好，再加上这边，这边的话好，因为我们看到一点 x 方是吧？那肯定要想到根式来换了，就是三角还原的意思啊，我们可以另这个地方，你就可以画长一点啊。 另 x 就 等于 ct， 它这这种型号的三角还原是吧？好， 那我们看一下，当 x 取零的时候， t 取零换元三换啊。当 x 取二分之二的时候，那不就是四分之拍吗？ c 四分之拍等于二分之二呀。 x 的 一个平方，那就是 c n t 的 一个平方，一减 c n 方 cosine 方，开方是 cosine 的 绝对值，因为在零到四分拍上，绝对值可以去掉啊。 cosine t 加上这是 cosin 平方，再三次方是六次方，六次方再开方是三次方的绝对值，同样是绝对值，是可以打开的，你别忘了这个思考过程啊。 好，还有 dx， dx 就是 cosin t d t 是 吧，还是这一套嘛？好，前面呢，我们直接出结果就行了啊。负的二分之根三 好，二分之根二是不是根二分之一啊？他的一个四次方，这样看更快一点吗？这不就是二得四吗？四分之一是吧，所以是负的八分之根三呀。这一部分， 第二部分，我们看这个 cosine 给它乘进去，对不对？就是 cosine 方了啊，哎，这 cosine 方， cosine 方， cosine 方是不是可以用下二倍角呀？它跟它乘进去的话， cosine 的 一个四次方，对不对？ cosine 的 四次方也可以用一下二倍角， 对吧？你因为它不是零到二分之一拍，你可以用华莱士公式。这用不了呀，直接就二倍角就行了， 不过再仔细观察的话，其实也没有那么费事。我们看到啊，这有个 cosine， 这里面也有 cosine， 我 们提一个 cosine 的 话，你会神奇的发现，这是信方，这是 cosine 方呀，是不是就变成一了？所以就不用啊，搞成两部分了，直接提。 这看出来了不？我再写一下啊，提一个 c， 哎，提一个 cos 出来与后边的 cos 方放到跟 cos 放到一起就 cos 方了吗？里边提个 cos 之后，是不是左边还剩 cos 方， 后边还剩一个 cos 方呀？这是一个一啊，是不是？这这舒服了啊，这更快一点啊。好， 这个我就往下给他挪到一起啊。这个，这个就当草稿了啊。好等于往下面写一下等于负的八分之根三加上根三 好这用一下二倍角用一次二倍角就行了是吧。他就等于零到四分之拍一加上 cosine 二 t 比个二哎别忘了有个二分之一二倍角公式我就不再说了没记住的你问一下你自己啊 为什么没记住啊。好二分之根三对一积分的话直接记出来上线减下线对于靠近积分好那就是这个样子的是吧。 这也没什么计算量啊主要是认真一点吧。我直接都乘进去啊因为代括号有时候不太好搞不太好写好容易看岔眼。 八你看这是搞啥呢。八分之根三拍啊再加上四分之根三对不对。你重进去啊好看这一块了 sin 二分之 pi sin 零对不对。就这样的呀你看我们这里 这里整理一下怎么等于零了呢。哦不是等于零啊 sorry 我 看我看差了这个跟这个可以整理一下是吧。这是八分之二倍的根三吗。减去八分之根三啊是八分之根三 再加上它我看错了给他看成负的八分之根三拍了给它消掉了不好意思啊再把它搞过来。 嗯八分之根三提出来拍加一是这个结果是吧好用直角坐标系发现也 ok 是 吧计算量没有那么大往这边写写。那我们在极坐标系下去计算一下 把三可能有些同学啊看到 x 方 y 方是吧咱们说了可可能要优先你去考察嗯考虑到这个极坐标了你会发现啊这中间 很恼火很恼火你就想到哎这个椭圆域是吧赶紧用换圆了那极坐标困难的时候你赶紧用直角坐标来啊，你要灵活一点啊，并不是说看到他就非得用极坐标啊，要灵活一点，根据结合他的一个椭圆域啊，还原就行了。 好，咱们也做一下啊，看他复杂的。复杂在哪里啊。极坐标写下去计算好 这个，哎，是吧，你看角度的一个变化，三分之拍到二分之拍呀，也很好写。是很好写的啊，这个写出来的话，你看你看，我的手又不听话呢。三分之拍到二分之拍啊，得塞上半径的话，对吧， 这个零到。零到谁呀？这这个我得我得写一下是吧， 看一下这个椭圆方程嘛，两边平方嘛，是吧。三三减三 x 方，这代方呢，可以挪到一起呗。三 x 方加上 y 方是等于三的 啊，我们直接记坐标嘛，那就是 r 方 cosine cot 方，对不对？ r 方 cosine cot 方。 r 方提一下呗，三 cos 方，别着急啊，这 c 方好，等于三，这可以看出来了是吧。 r 就 等于开个方了， r 方等于三，除以它， r 就 等于三，除以它，再开个方 是吧。其实你写到这的时候你就应该灵活一点，就不想用这个方法了，对吧，你这个上限，你看你长成这样不喜欢呀，不喜欢是吧，长得太难看了啊。三除以三 cos 它方加上 cos 它方， 好硬着头皮写下去啊。嗯呐，这这道好好好好写是吧。 r 方再乘一个 r d r。 好， 我这里还是分割一下，因为这个方法中中间还得讲一些别的东西啊， 对，他积分也是比较好积的，就是上限凡人嘛，对 r 的 三次方，那就是 r 的 四次方。除一个四是吧。好，除一个四我就除到前面了，还剩 r 的 四次方啊，这是三分之拍，二分之拍 r 的 四次方，我就直接 直接写过来了。好吧，三，这是 cos， 这就在草稿上进行了。 cos， 好， 这是二分之一次方，在四次方的话就是一个平方了，对不对？平方的话 三三得九。好，底下的一个平方，九的话我就提前面了，这我就不啰嗦那么多了啊。啊，就是一个一比上三 cosine sine 方加上一个 sine sine 方， 是吧，哎，这样的一个平方好， dc 它，嗯，这个时候怎么办？ 想一想，我们说过啊，这个，看到这个三角函数积分的时候，想到分子分母同除以 cosine 方，是不是这个时候应该是同除以 cosine 四次方了，因为这底下有一个平方，对不对？分子分母啊，除以 cosine 的 四次方，能看出来吧。 好，标一下啊，同除以 cosine 的 四次方，对吧，平时的话，我们是 cosine 的 平方吗？它该有该掌握的一些啊，思想技巧咱们前面都说过了，看到三角函数得往这上面去想吗？是吧，出现平方的啊，一定要想到啊，同除的一个问题。好，四分之九， 三分之拍，二分之拍，上面一除以 cosine c 的 四次方，那就是三分之 c 的 一个四次方呀，底下的话就除到平方里面就是除以 cosine 平方了嘛，哎，里边啊，就是一个三加上一个 tanne c 的 一个平方，外面还有一个平方，对不对？ 对的呀，好，接下来你这就都有 tanne c 的是吧，那我肯定是凑为分，这里写一个平方，再来一个平方， 有一个有一个平方呢，凑到后面出现贪婪的是吧？都出现贪婪的，而这个三根的平方跟贪婪的也是有联系的。有个公式啊，好， 四分之九倍的三分之 pi， 二分之 pi， 这个三根的平方的话，是不是可以写成一加上贪婪的 c， 它的平方呀？ 就分子啊，分子还是剩一个它啊。好，后边就是，这就是底贪心的 c， 它是吧？底下的话就是三加贪心的 c， 它的一个平方全部都转化为贪心的相关了。那你这个时候 可以变量代换一下啊，因为你一直都看 tangent 呢， tangent 呢？这，这有平方的话，你没有给它拎成一个 t， 看着舒服，更能够抓住问题的本质，看清问题的本质。所以同学们一定啊，要习惯性啊，就是再去变量代换一下，看得更清晰。 好，我们就可以拎 t， 就 等于 tangent 的 一个 theta， 可以 吧？好，四分之九我们就可以拎 t， 就 等于 tangent。 取三分之拍， 三分之拍六十度吗？胎径六十度跟三呀，对呗，二分之拍呢，他是从左侧去二分之拍的，胎径二分之拍从左侧去的话是正无穷，对不对？好，那就是一加上 t 的 一个平方，三加上 t 的 一个平方再平方，对吧？好，第一题， 好，这个时候你观察一下啊，应该怎么怎么去计算啊？我们看到了啊，这个 平方相加是吧？就相当于 x 方加上 a 方这个形式出现了。我们说你看到根号下平方相加减的时候想的根式代换三角花园，那不出现的时候也要想的，对不对？不出现的时候也可以进三角花园呀，对吧？所以这个跟这个三的话，我们是可以给它写成根三的一个 平方，或者我先再写一步啊，就是就是三啊，给写了个三的平方，就是 a 方加 t 方的形式，用三角画圆，这有一个思路，三角画圆还有没有别的思路呢？ 有理函数，有理函数啊，咱们前面练过很多有理函数，积分定积分的一个问题，采用部分分式法，那么就是可以用待定系数，或者我们给他定，是吧，给他拆成几部分嘛，对不对？嗯，猜的话怎么猜呢？你看啊，他是不是类似我们前面说过的这个型号的呀？就是 比如说前面咱们做过的啊，一加 x 吧，就类似啊，这样的平方分之一的话，我们应该给他拆成什么样子呀？ 是一加 x 分 之 a， 是 不是？你注意啊，再加一个一加 x 的 平方分之 b， 而不是啊， b f 加 c。 为什么呀？ 这个就整个平方的话，就看里边的，看里边的次数，里边次数就是一次，这个分子要比分母的这里边的一次低一次，那就是零次，对不对？而现在这个题的话，你注意了，它是咱们现在啊，采用 这个啊，部分分式啊，有理函数积分的一个方法，给他拆成几部分嘛，对不对？好，他拆的话就应该是三加 t 的 一个平方。首先啊，因为它是平方吗？是不是一定要对应好啊，看里边的里边是二次呀，所以上面应该是 a t 加上一个 b， 就是 依次哎，依次等式再来一个 三加 t 方，哎，一直从这个一次到二次到这个次数为止吗？如果三次的话，还得再来一次。好，上面仍然是 a t 加 b， 这个地方一定要注意啊，咱们前面已经说过了，你把 嗯什么型号的啊，该去怎么去，给它写成几部分，这个分子应该如何写一定要记清楚了。这里可不是啊，写成这个平方的一个就是 三角画圆，对不对？一个就是由里函数积分这块咱们讲的啊，给他拆成几部分，待定系数或者特殊值法，把 ab， 把 ab 求出来，这就不应该啊， a t 加 b， 应该是 c t 加 d 了，对吧？好，咱们都做一下， ok 吧。 我们，哎，从这个地方啊，分出来的小的方法，咱用圈一了啊，上面的大的是大写的啊，现在是小写的。好，现在是三角画圆，可以吧，那跟式代换啊，就是我们说的三角画圆。 好，我们把这里写成根三的一个平方啊，分母加上 t 的 一个平方。好，整个的一个平方背及函数啊，这当草稿了啊，看的更清晰一些。好，这就是我们说的 a 方，是吧，原本的这个啊， x 方的形式吗？我们应该这个型号的话，是令 t 等于 tan 的 u， 对 吗？不对，好，加一个 a， 是 不是加一根三啊？搞清楚了啊，好，我们就是令 t 等于根三，它的 u， 那 么底 t 就 等于根三，三根的 u 的 一个平方底 u 是 吧？好，这个直接搞过来了啊，我们看 t 取根三的时候， t 取根三， 那这就是贪婪的 u 得是等于个一，贪婪的多少等于一啊，四分之拍啊，是不是？好，当 t 取正无穷的时候， t 要取正无穷，它就是二分之拍，对不对？好，接下来一加上 t 的 一个平方，它的一个平方呀， 三，贪婪的 u 的 一个平方除以底下啊，根三的一个平方， t 的 平方就是 三，这个直接写三得了啊，三，三贪心的 u 的 一个平方，这是这一块是吧？我们可以把三提出来，那就是一加贪心的 u 的 一个平方，这是整个这一块吗？我们再平方一下， 这里面一加贪心的 u 方不就是三根的 u 方吗？三根的 u 方呀，好，平方，那就是九倍的三根的 u 的 四次方，对吧？好，搞清楚， 九倍的三根的 u 的 一个四次方，好，底梯了啊，到这了，底梯就是根三倍的三根的 u 的 一个平方底 u。 我 擦一擦，草稿啊，我们继续啊，四分之九都看一看，能不能消一部分啊， 九跟这个九就消掉了是吧，这就是四分之多少了根三是吧？ second， 这里也消一部分了啊， 平方，这还剩一个平方，对吧？还剩一个平方啊，底下 这是四分之 pi 到二分之 pi， 三根的 u 的 一个平方，上面的话啊，一加三倍的，它逆 u 方，我们可以写成三根的 u 方减一啊，对不对？所以就是三倍的三根 u 方减去一个三， 这不就可以给它写成三倍的三根的 u 方减去个二吗，对不对？所以啊，再去抵 u。 好，其实啊，其实这个，嗯，我们从这往往下三角画圆的时候也不用太着急，其实这个上面可以去往这个分母上去凑一下 梯方加一，我们先凑一个二是吧，加一个二就变成加三了吗？再减去个二，给它拆成两部分也行。能听懂我说的吧，待会我们做一下也行啊，先看的，先这样看，这样看的话，看底下啊，这个是不是写不清楚了，我红的了啊， 四分之跟三，嗯，这写成两部分吗？这不是还剩一个三了吗？对不对？还剩一个三。第一部分啊，第一部分积分就是三乘以上线减下线四分之拍吗？对吧？再减去好二倍的 四分之拍，二分之拍三个的平方，三个的 u 的 平方分之一不就是 cosine u 的 平方分之 cosine u 方吗？是吧。这积分用一下二倍角就行了呀，可以吧。嗯，都乘进去了啊。四四十六 三倍的根三拍都乘乘乘进去啊，这是一个二分之二的根三。好，这后面的话啊， 就看他了，他的话我们给他写成四分之拍，到二分之拍一，加上 cosin 二 u 二倍角一用，再出一个二，这就变成一个四了，对不对？好底 u 往上面写了啊，往上面写，我们还再回来了，还是用绿的。十六分之三倍的根三拍减去四分之根三。 第一部分积分上线减下线四分之拍，第二部分积分三以二 u 比除以二好。四分之拍二分之拍，看一下啊，十六分之三倍的根三 拍减去都乘进去十六倍的根三拍减去八分之根三。好，看它就行了。 c 拍是个零， c， 二分之拍是个一，所以是个负一，那就是加一下。所以它俩是不是可以整理成十六倍的二倍的根三拍，那就是 八分之根三拍加上一个八分之根三，所以八分之根三提出来拍加一，这还是这个结果吗？是不是？或者啊，就这个地方啊， 这个地方我们可以加一项减一项也可以看一下啊，四分之九就是根三 正无穷，但我们加上减数还是要三三角画圆的啊。看一下就是分子往分母上去凑啊，凑成分母的梯方加三嘛， 而原本呢，他是 t 方加一的，你莫名其妙加个二，所以你要减个二，对呗。哎，给他写成两部分啊，三加 t 方一个平方 d t 好， 这样的话你看第一部分哎，第二部分是吧？第一部分的话，约一个 t 的 平方加三。那还剩一个 t 的 平方加三吗？ 写一下啊，还剩一个 t 的 平方加三，这就是第一部分。第二部分好，二一乘就变成二分之九了，根三到正无穷是吧，这就是 一除一个三加 t 方好，再平方 d t， 这个时候对吧。前面的可以用我们的 arctan 的 公式嘛，但后面你这又出现 t 方是吧，加加 a 方的形式嘛。根三的平方的形式还是要用到啊，三角还原。总之这个大前提就是要用到一个三角还原。 我们也可以写一下看一下啊。这就是第一部分。是阿克他念的阿克他念的， 这是一个根三的是吧？这是根三的一个平方啊，还不能阿克他念的应该是根三分之一，阿克他念的根三分之 t 对 吧。根三的整无穷减去二分之九。好，后面这个你就可以单独处理一下啊。我们可以单独处理一下这个 a 一， 这个 i 一 呢，就等于等于什么呀？还是三角换元是吧。其实我就不想再换了，写一下吧，令 t 等于哎，根三贪念的 u 是 吧，在底 t 就 等于根三，然后直接抄前面了啊， 如果你用这个方法的话，这些过程还不能省啊。这个 i 一 的话啊，二分之九不用管了啊。 嗯，跟三，这就是我们前面的四分之拍是吧，二分之拍好，一除以，这里面 三三三得九九出来了，是吧？九就是这个吗？还有这个三根的 u 的 一个四次方啊，该前面了。三根 u 的 四次方九九出来了。 second u 的 一个四次方，对不对？底 t 的 话是底 t 就是 根三 second u 的 一个平方，这应该没问题啊，前面已经啰嗦过了啊，所以就是九分之一倍的四分之 pi， 二分之 pi， 这还剩一个 cosin u 方是吧？ cosin u 方 d u 这里啊，是不是？哎，稍等啊， 讲的时间久了啊，这个 pd 就 容易卡，我们继续。好，我们说这个地方就跟这个地方啊是一样的了，是吧？那这个地方其实我们求的结果是不是这一部分啊，要注意啊，是这一部分再除一个二，因为我们把这里边有一个二倍角的二分之一提到前面了，是吧，所以这个结果 就是他的一个结果，嗯，的二倍了啊，去完之后再出一个二就是他的结果，就是他的一个结果啊，别搞错了，我们直接看这个结果了。好吧，就四分之拍加上二分之一倍的。嗯，上线不是零吗？结果啊，减去下线一代，下线一代的话 一负一，那就是一个一嘛，那就是一个一啊，对呗，零减一，这就是一个负一了，这是一个符号，我们注意，一定再除一个二啊，再除一个二这里啊，九分之根三一定再除一个二。把上面那个结果拿过来 是吧，直接乘进去得了啊，乘进去吧。嗯，二九二九一十，这就写成二九一十八是吧？十八十八，七十二分之根三排 减去。我一般给它乘进去啊，你不要怕，因为有时候括号太多了，很烦人的，再减去的都乘进去二得四四九三十六嘛。根三啊，好，就是它。 那我们再把整个的啊，这个 i 算一下，是不是到这啊，到这给搞过来啊。四分之九跟三分之一上线阿克托尼正无穷极限二分之拍呀， 下线阿克托尼一四分之拍呀，减去二分之九乘以这一团是吧？这一块啊，把它乘过来， 我们出个结果，看一下是不是这个结果啊。就在上面写了啊。四分之九跟三分之一，这是四分之拍吧。我们先看这里啊， 跟三一般写到上面，那底下就是一个三，三的话跟那个九还剩一个三，对吧？底下四四十六。好，所以拍往这边挪挪啊。第一部分是它 这部分把二分九乘进去啊，减去一个二分之九乘一个七十二分之根三拍，二分九乘进去，加上二分之九乘以三十六分之根三好，九除以九八等于二八一十六是不是？十六分之根三拍 好，九除一下，除一个九是个四二四得八是吧？好，八八我可以写成十六分之二倍的，你看能不能合并一下啊。这个啊，这个就写成了八分之三就行了。他跟他可以合并呀，十六分之二倍的跟三派，那不就是八分之三 根三分的牌吗？再加上，对吧？八分之根三一提是牌加一是吧？结果是没问题的，就这里看你怎么处理了，要么就直接直接就三角还原，要么就是你再拆一拆，是吧？ 拆成两部分还得三角还原，那还不如直接直接搞了，我觉得还挺快的，是不是？所以这就是八分之根三好牌加一。 好，我们再说一下啊，就是用有理函数这一块去处理的话，我们给他写成哎，两部分相加的一个形式，把 a、 b、 c、 d 待定出来，好，再去求，其实在求的时候中间还是涉及到三角还原的问题，就这个题就是拉不掉啊，这核心的一个操作步骤是拉不定了啊。 好，我们直接把上一个，嗯，极坐标细下的啊，咱们流程到这之后，我们说的把它去处理一下，是吧？好，这接下来这个就应该是小的啊，一个法二了，它底下的一个法二嘛， 好，就处理这一块啊，看怎么处理，我们就在这里写写草稿了啊，咱们说过了啊，三加替方，应该给它写三加替方的 平方分之一加 t 方，应该写成三加 t 方的，一次方的等于 a a t， a t 加 b， 是 不是看这里边的啊， 次数比它比里边的二次多小一次啊？好，再是三加 t 方，再来一个平方，还是一次的啊， c t 加 d 了，把 a、 b、 c、 d 给它定出来，好吧， 好，做到最后你会发现啊，其实就是我们说的这里这里这里的一个方法了，因因为这个我们是可以通过啊，做题的一个经验的话，我直接就往分母上去凑，是吧？给它凑成部分分式法， 对吧？写成两个式子啊，是不是我们其实这里啊给它写的由于函数这个型号的话，是因为有一些同学他看不出来的，是不是看不出来的时候，你就要采用啊，就这个方法，然后给他代定出来，代定出来之后你会发现啊， a、 b、 c、 d 啊，这刚好对应好这些这些系数，最后还是这个样子还是这个样子，我们也可以操作一下，好吧。 嗯，可以通分，是不是这一部分吗？可以给它通个分呀。它就等于吗？ 上面啊， a t 加上一个 b 乘以个三加 t 的 平方吗？后面就直接是 c t 加上一个 d， 对 吧？ 好，我们直接代定系数，或者是，哎，就是采用特殊指法，是吧？代定系数看一下吧。 这上面的话，那你给它乘进去啊，你看 a t 跟三一乘，加上 a， t 跟 t 方一乘， 是吧？三 b 加上一个 b， t 的 一个平方加上 c， t 加上一个 d， 整理一下，三次方前面的系数是个 a 就 得等于零，因为它得等于它吗？是不是平方向前面的系数是一个 b， b 的 话就得等于一，对不对？ 好，一次向前面的系数就得等于零吗？三 a 加上一个 c， 是 吧？得等于零，那么还剩一个 d， 这里还有一个三 b 加 d 啊。三 b 加 d 应该等于一嘛？ d 是 等于一的啊，是吧？ 那 d 的 话就是等于负二，你看其跟我们刚刚说的一样啊，你看这又给它化为四分之九根，三到正无穷。嗯， a 的 话是零了嘛，对不对？ a 是 零， 那就是一个 b 是 一个一，除以一个三加提方看它了啊，再加上一个 c 的 话是个零， d 是 一个负二吗？是不是三加提方好，平方是不是跟刚刚一样呀？三加提方减去一个 加上一个负二啊？三加提方平方 d t 看一下是不是？我们刚刚说的其实比较容易看，简单的一个题目的话，我们直接啊凑一加一下，减一下往分母上去靠，你看是不是一。 哎，那减去两倍的吗？减去两倍的是不是？所以这往后咱们就不讲了，他还是离不开咱们刚刚说的啊，三角画圆。那这里我想说另一个另一个事情啊，就是会有一点小技巧啊，就是我再来一个方法，这个是不太好想的啊， 就是通通过这里啊，我再来一个方法。法三是有一定技巧，有一定技巧啊，技巧性的，你可以听一听，学一学。那你 我感觉啊，很多同学是想不到的。那你就当扩宽一下视野了好吧。哎呀，第一次我觉得想不到，第二次可能也想不到，你可以多写一写，记记一记也行，你不想记，其实前面方法也够你做的了。好吧 好，我们开始操作啊，睁大眼睛看一看。好，这是根三到正无穷。其实我还是想往这个分母上去凑，然后给他写成部分分式的方法。就写成两个或三个式子是吧？应该是两个式子写两个式子的一个形形式， 但不像啊，不像我们刚刚说的啊。这是梯方加三吗？我直接梯方是吧？这是加个一，我再加个二，再减个二就梯方加三跟他去消掉了，他是这样操作的。我直接啊是分子 乘一个三，你看啊，乘一个三的话是不是三 t 方加一个三呀，对不对？你分子乘一个三，是不是你得除一个三呀，这样的话才保证是相等的啊，等价的。你看他， 你看他，这个这个这个操作啊，我给大家一个操作，这个我们先约一下。分啊，这四分之三倍的看好。这里怎么去操作啊？好，三 t 放这里。哎， 玩一玩啊。三 t 方我给他写成 t 方加上三也是往这个分母去凑的啊。分母是 t 方加三吗？我待会好约分啊。好，你 t 方加三的话，是不是还有一个二 t 方呀？它是这样啊，哎，我是这样给大家操作一下， 对不对？这是，哎，这不应该是二 t 了，应该是二 t 方，对呗。好，三 t 方给他拆成 t 方，加上二 t 方，不是三 t 方吗？再加个三，这也是凑出来分五 t 方加三的形式了。不太好想啊，你可以学一学啊，可以学一学 好三加 t 方的平方好， d t 好， 仍然是能搞成两个部分好吧，搞成两个部分啊， 四分之三倍的第一部分，当然削一个梯方加三，还剩分母一个是吧？梯方加三，这也是比较好求的了啊，这个它是有公式的吗？咱们前面也说过了，阿克他念的那个公式。好，第二部分， 那把二先乘过来吧，那就是二倍的二分之三嘛，哈，根三到正无穷。还有一个 t 的 一个平方是吧，这是三加上一个 t 的 平方的平方好， d t 前面我们说了是很好搞出来的是吧，我这里还得给大家给大家圈一下啊，咱们操作的一个关键的一个点啊， 前面直接搞，后面的话啊，需要一定的又是一定的小技巧了啊。好， a 分 之一是吧， ark 摊减的 a 分 之 t 好 根散到整无穷。这个啊，分割一下啊， 后面怎么操作呢？好，我们说啊，你看到平方分之一抵 t， 要往这个上面想，就像我们说的，看到啊，根号 x 分 之一抵 x， 你 要想到它等于二倍的根号 x， 而看到啊，这个 x 平方分之一点 x， 你 得想到是负的 x 分 之一，也就是去凑为分的意思，去凑为分，哎，你看这个时候你想凑为分，我觉得是不太好想到的，是吧，好，看到平方分之一，你就往这个啊凑为分上去。想。好，我给他凑一个凑凑为分，是不是紧接着就是分布积分了呀， 好想到这里啊，凑微分立刻就是分布积分，你看他刚好啊，就可以解出来了，哎，也是技巧性比较强的题目啊。好，凑一个微分， 这个是二倍，根三先放在这啊，根三到正无穷梯方还放在这，好，我们是把它给凑到后边，是吧？你看平方分之一凑到后面是不是一个负的啊？ 负的这个整体对不对？这个整体你看啊，我们先写着，你就发现了负的这个整体三加 t 的 一个平方，对不对？你会发现是不对的，你对它进行求导，去看一下它求导的话，那就是三加 t 的 一个平方分之 好一，是吧，这符号已经已经过来了，这里 t 方还有求导呢，对不对？ t 方还有求导，那就会有一个二 t， 所以 前面应该有一个 t 保留一个 t 是 凑到后面了，是不是？哎，其实这个啊，这个 t 方的话，我们这里应该写一个 t 乘一个 t 其中的一个 t， 跟它一起 凑到后面了，这样，好吧，哎，这样就凑到后面再看一眼啊，对它进行求导的话，是不是这符号啊？负负得正了，那么就是它的一个平方，对不对？哎， 这个内层再去求求一下导，是有一个二 t 的 嘛，对不对？这个符号我就挪到最前面了啊， 负号就挪到最前面了，可以吧。这个不用再重复了吧，你自己求一下它的微分，好吧，你求一下它的一个微分啊，刚好是负的。好，三加 t 的 一个平方分，平，三加 t 的 平方的平方分之一再乘一个二 t， 所以我们应该再补一个二分之一，对不对？这样搞还不太对呢，再去补一个二分之一，你要是觉得乱的话，我们去把这一块去求一下，看看跟上面是不是一致的。好吧，我得认真的给大家求一下啊，三加 t 的 平方分之一求导， 是不是三加 t 的 平方分之平方分子求导是个零了，减去分子不求导，分母求导，是不是他呀？好，就是我们这一块的微分啊， 对于他来说，这块的微分就是他了。好，前面我们是不是补了一个负号呀？好，把这一块再去 这块跟这块再乘过来啊，负的二分之三又乘一个二分之一又乘一个 t， 负的就负的没有了。好，这个二跟这个二消掉了， t 跟 t 就 变成 t 的 平方了。好，还剩一个二分之三，看看 是不是跟前面一模一样了。所以这个时候才对的啊，这个马虎一点都不行啊。所以这个技巧性太强。所以了解啊，了解了解，你想学就学，不想学我觉得也无所谓的啊。那错完微分就分布积分就行了。第一部分先算一下啊， 三除以根三就是个根三了，那就是四分之根三阿克托尼正无穷，二分之拍阿克托尼一啊，四分之拍减去四分之三倍的分布积分啊。好， t t 除以三加 t 方是吧，根三到正无穷减去一个， 嗯，根三到正无穷，一比上一个三加 t 方，然后 d t 是 吧。 哎，这就是这这个题的一个技巧所在了啊，我们测完微分之后，是吧？分布积分之后，这一块的一个微分就是底题啊，这就可以记出来了。记出来了，是不是？哎，体会一下啊，体会一下啊，这里平方的一个魅力，体会一下。 好，四分之根三乘一个四分之拍，那我直接出结果，好吧，十六分之根三拍， 减去四分之三倍的，这里面求一下正无穷一代的话，那很显然下方区域无穷的速度更快，极限是零，减去根三一代的话， 三加上三六迈，对呗，减去啊，后面这一部分，这大家都会了，是吧？根三分之一，阿克吗？看见的根三分之 t， 这个已经前面已经做过了，再再啰嗦一遍啊， 小括号就够了吧，我们也是直接出的最终结果啊，看一下，前面是十六分之根三拍，后面减去四分之三倍的，这里面负的六倍的根三，再减去根三分之一，好，这就是二分之拍，减去个四分之拍，这就是四分之拍，对吧？ 四分之拍，我们看一下啊，十六分之根三拍，加上把四分之三乘进去啊，四分之三乘以六分之根三，加上四分之三乘以根三分之一四分之拍，看一下，这个三消一下，这就是个二，就是八分之根三， 对吧？好，这个三除以这里的根三就是根三，这还是一个十六，底下是个十六吗？拍，往这里挪一挪，十六分之根三拍，十六分之根三拍，那就是八分之根三拍，再加上一个八分之根三，对不对？所以就是八分之根三拍加一， 哎，你可以去体会一下这里的测微分分布积分的技巧性，对吧？刚好分布积分这里啊，我们说了这个题留在这里刚好啊，第题呢，是不是 u v 减去一个 v d u 挺爽的啊，体会一下这个， 根据你的情况。好吧，想学学一学，不想学就不行了。好，这个题其实最关键的就已经其实前面已经说过了，换元法必定必须要掌握的， 对不对？好，直角坐标系。直角坐标系，是不是这题讲的有点长啊，好好吸收一下，希望对大家有帮助。好，这个题讲到这了。