六下数学立体几何旋转图形

面动成体是六下以及小升初数学里面出题老师最喜欢的题型之一，因为它能充分考察孩子的空间想象力以及拆解能力。接下来我们看一下今天的这道题目。在三角形 a、 b c 中， a b 是 等于五的，如果以 a b 为底，它的高就是三。 现在以 a b 所在的这条直线为轴，旋转一周后能得到一个立体图形。题目问的就是这个立体图形的体积是多少？首先我们要想象到并且画出这个旋转后的立体图形，好给三秒钟的时间给大家思考一下。 没错，这个立体图形它就长这个样子了，但是该立体图形如何求它的体积呢？接下来吴老师画出一条透视的弧线，大家应该就知道了，我在这里把这个 c 点和这个 c 撇点这里画一条这个弧线出来。 好了，现在大家是不能发现这个立体图形，它是由上下两个圆锥组成的， 并且这两个圆锥有一个共同点，他们的底面是相同的，因为他们的底面是共面。好，提起圆锥，我们回顾一下圆锥的体积公式，体积 v， 它是等于三分之一的底面积乘以高。好，现在我们把上面的这个圆锥 这条高，我们称作为 h 一，下面的这个圆锥的这条高，我们把它称作为 h。 二。那现在整个立体图形的体积，它是不是等于上面的这个圆锥的体积三分之一 s h 一， 加上下面的这个圆锥的体积也就是三分之一 s h 二。好，我们看一下，由于底面积相同，这个三分之一都是一样的。那我们提取一下公因子，它是不是三分之一底面积乘以什么 h 一 加 h 二啊？ 好，公式就出来了，那接下来我们只要把所有的数据还原回去就可以了。好，首先一个圆锥的底面积是不是拍 r 的 平方？好，所以它是三分之一乘以三点一四， 再乘以 r。 好， 这里的 r 是 多少？你看一下，我连一条虚线，大家就会发现，这里的 r 就是 原来这个三角形以 a b 为底的时候它的高，所以它就是三了。这里 那也就是说它是乘以三的平方。好，现在看一下 h 一 h 二分别是多少我们并不知道，但是 h 一 加 h 二加起来是多少？加起来是不是五啊？所以最后再乘五， 那最终我们就能算出来它是等于四十七点一的，这就是本道题目的答案了。最后总结一下这种面动成体的题型，第一步我们要想象得到 旋转后是一个怎么样的立体图形，那第二步就是我们要学会把这种不规则的立体图形拆分成两个或以上的规则立体图形，最后就能通过体积公式实现轻松的解析。

阵法失控了，凝沙城的核心石环卡住，护城灵气正在流失。玄英姐姐，石环上的三个镇眼机关全错位了，如果不赶紧把它们掰回原位，这座古城就要被流沙彻底吞没了。万物运转皆有定数， 只要找准机关，死死定住的中心，顺着轨迹转动，就能让他们归位。各位聪明的朋友，这三个阵眼的复原之法就在眼前，你们能不能帮我们看破这转动的玄机，救救这座古城？ 不行啊姐姐，这根杆子的一头被这颗圆石头死死锁住了，拔也拔不出来，另一头歪在这，根本进不去那个发光卡槽。既然这一头被定死了，那我们就以这颗原石为桩， 到底该往哪个方向推？推多大的幅度，才能让这根长杆精准落入前方的卡槽中？ 找准了长端还不算完哦，要想把整个图案补全，一定要找到！ 哎呀，这个机关更奇怪，这块三角玉砖的一个尖尖明明已经对准死角了，但是整个身子却歪到了外边，怎么按都嵌不进去。玉砖的形状和大小一点没变，只是姿态不对。 既然这个尖端已经死死对准，如果我们只盯着这条金边，该怎么让这块三角玉砖绕着这个尖端严丝合缝的转进凹槽里？ 不要被斜线吓倒，死死盯住和中心点相连的那两条直直的边，一条一条转，整个三角形就乖乖听话了。 最后一步了。可是，这里怎么只有一片花瓣？正图上说，这里应该是一朵完美盛开的八瓣宝象花呀，其他的花瓣去哪了？花瓣并未丢失， 只要我们知道这一片花瓣绕着花心，每次需要跨越多大的跨度，就能召唤出下一片。究竟跨越多少次，才能让这朵宝象花完全绽放 成功了？阵眼归位，流沙退散，天道有常，周而复始。 一次精妙的运转，便能唤醒这千年的大漠繁华。只要找准了中心和方向，再难的机关也能被我们轻松玩转。 找准中心，认清方向，再复杂的乱局都能被理顺。少侠们，经历了这场大漠奇遇这节课，你最大的收获是什么呢？

在图形王国中，立体图形是这个王国的贵族，他们个个彬彬有礼，善待他人，整个王国呈现欣欣向荣的景象。 但随着时间的推移，立体图形变得傲慢起来，他们越来越看不起作为平民的点线面。 身为国王的援助，意识到如果这样发展下去，图形王国将会分崩离析，于是他召集所有贵族，决心改变这种局面。身为王国的贵族，你对咱们王国的子民都有哪些了解啊？ 对于那些身份卑微的点线面有什么好了解的？住嘴， 身为王国的贵族，如果连王国的子民都不了解，你的贵族也就当到头了。陛下息怒，我听说在咱们王国中一直流传着一句话，点动成线，线动成面。但我们一直不是很懂， 你为我们解一下惑吧。点是咱们王国的基本元素，点动呈现就是说当点运动起来，他的运动轨迹就形成了线，这条线可能是直线，也可能是曲线。 这就好比一只沾满墨水的蚂蚁在白纸上爬行，蚂蚁就是那个点爬行轨迹就是点移动所形成的线。 原来点和线还有这么密切的联系，这是我从来没有意识到的。理解了点动成线，那线动成灭就不难理解了吧。线是咱们王国的主力军，当线运动起来，它的运动轨迹会形成灭。 比如我们让一支粉笔在黑板上平移，这支粉笔就相当于线，粉笔移动所形成的印记就是面。原来如此，我明白了。 点线灭不仅相互之间关系密切，而且与我们的关系也异常紧密，你们的身上都离不开他们的身影。正方题，你不要觉得自己身为贵族就高高在上，你的身上不就有八个顶点、 十二条棱和六个面吗？陛下，我知错了，你们刚才所说的那句古话并不完整，完整的话是点动成线，线动成面，面动成体。 也就是说，从运动的视角来看，身为贵族和王室的我们也都是由面的运动形成的。陛下，您身为国王，怎么可能也是由面运动形成的呢？让长方形、三角形和圆进来， 长方形，你来给大家跳一段你最擅长的旋转舞蹈吧，这样他们就明白我所说的话了。 大家看看，长方形的长就相当于圆柱的高，长方形宽就相当于圆柱的底面半径。实际上，不仅长方形旋转会形成我们圆柱，圆通过平移也会形成圆柱。 所以我们圆柱的上下底面都是两个完全相同的圆形。如果将我们圆柱解开，所形成的面会是圆形、 长方形或是椭圆形等等。我们圆锥也是如此，可以将我们视为由一个直角三角形旋转而成。 三角形的高就相当于圆锥的高，三角形的底就相当于圆锥的底面半径。如果将我们圆锥切开，结面可能会是圆形、 三角形或是椭圆形等等。 原来我们立体图形与点线面存在着这么密切的联系呢，我以前真不应该看不起他们，我错了，我们错了，大家能认识到这一点真是太好了，不妨我把大家召集起来， 图形王国的贵族们从此改变了对平民的看法与态度，图形王国又恢复了以往和谐美好的氛围。

面的旋转在图形王国中，立体图形是这个王国的贵族，他们个个彬彬有礼，善待他人，整个王国呈现欣欣向荣的景象。 但随着时间的推移，立体图形变得傲慢起来，他们越来越看不起作为平民的点线面。 身为国王的援助，意识到如果这样发展下去，图形王国将会分崩离析，于是他召集所有贵族，决心改变这种局面。身为王国的贵族，你对咱们王国的子民都有哪些了解啊？ 对于那些身份卑微的点线面有什么好了解的？住嘴， 这位王国的贵族如果连王国的子民都不了解，你的贵族也就当到头了。陛下息怒，我听说在咱们王国中一直流传着一句话， 点动成线，线动成面。但我们一直不是很懂，你为我们解一下惑吧。点是咱们王国的基本元素，点动成线，就是说当点运动起来，他的运动轨迹就形成了线， 这条线可能是直线，也可能是曲线。这就好比一只沾满墨水的蚂蚁在白纸上爬行，蚂蚁就是那个点爬行轨迹就是点移动所形成的线。 原来点和线还有这么密切的联系，这是我从来没有意识到的。理解了点动成线，那线动成灭就不难理解了吧。线是咱们王国的主力军，当线运动起来，他的运动轨迹会形成灭。 比如我们让一支粉笔在黑板上平移，这支粉笔就相当于线，粉笔移动所形成的印记就是面。原来如此，我明白了。 点线灭不仅相互之间关系密切，而且与我们的关系也异常紧密，你们的身上都离不开他们的身影。正方题，你不要觉得自己身为贵族就高高在上，你的身上不就有八个顶点、 十二条棱和六个面吗？陛下，我知错了，你们刚才所说的那句古话并不完整，完整的话是点动成线，线动成面，面动成体。 也就是说，从运动的视角来看，身为贵族和王室的我们也都是由面的运动形成的。陛下，您身为国王，怎么可能也是由面运动形成的呢？让长方形、三角形和圆进来， 长方形，你来给大家跳一段你最擅长的旋转舞蹈吧，这样他们就明白我所说的话了。 大家看看，长方形的长就相当于圆柱的高， 长方形宽就相当于圆柱的底面半径。实际上，不仅长方形旋转会形成我们圆柱，圆通过平移也会形成圆柱。所以我们圆柱的上下底面都是两个完全相同的圆形。 如果将我们圆柱解开，所形成的面会是圆形、 长方形或是椭圆形等等。我们圆锥也是如此，可以将我们视为由一个直角三角形旋转而成。 三角形的高就相当于圆锥的高，三角形的底就相当于圆锥的底面半径。如果将我们圆锥切开，结面可能会是圆形、 三角形或是椭圆形等等。 原来我们立体图形与点线面存在着这么密切的联系呢，我以前真不应该看不起他们，我错了，我们错了，大家能认识到这一点真是太好了，不枉我把大家召集起来， 图形王国的贵族们从此改变了对平民的看法与态度，图形王国又恢复了以往和谐美好的氛围。

长方形绕边旋转三百六十度组成圆柱体。直角梯形绕直腰旋转三百六十度组成圆台。直角三角形绕直角边旋转三百六十度组成圆锥。动画演示简单明了。

从六下圆锥的相关知识点衍生出来关于面动成体，求组合图形体积的题目。再小声说，数学的 m、 k 或者 f、 b、 c 里是出题老师最喜欢的题型，因为它既能看出孩子有没有这个空间想象力，又能考察孩子是否充分掌握，并且能灵活使用 所学过的所有的知识点。那今天我们就来看一下这样子一道题目究竟能包含多少个知识点。好，我们来看题目如图，这个直角梯形， a、 b、 c、 d 中 a、 d 是 等于二的， b、 c 是 等于四的角， a、 b、 c 是 等于四十五度。现在以 c、 d 所在这条直线为轴，旋转一周后能得到一个立体图形，现在是求它的一个体积。好，第一个关键点来了， 首先如果我们无法想象并且画出这个立体图形它是怎么样的，那这道题目我们只能直接放弃了。好，现在给三秒钟的时间，大家想象一下 三、二、一，它旋转一周后能得到黑板上的这个圆台。但是回顾一下我们所学过的一个体积公式， 好像并没有圆台的一个体积公式，那这个时候我们下一步的方向只能从组合图形上面去思考了。我们回到旋转前的这个直角梯形， 我们已经知道这个直角梯形它能旋转出一个圆台出来。那有没有什么办法，我们对这个直角梯形进行一定的改造，使它旋转后能得到一个标准的立体图形， 我们能通过体积公式能直接求出来的呢？那这个时候我们可以考虑一下延长 b、 a， 使它交这个旋转轴于一点， 并且连接 d、 e， 那 现在 e、 b、 c 是 不是一个直角三角形？如果我以这个 c e 所在的直线为轴，旋转一周后能得到的是不是一个非常标准的圆锥体啊？那我们先把这个圆锥体把它补全一下，好，相信来到这一步， 大部分的孩子已经恍然大悟了，我求圆台的体积，我是不是可以通过这一个大圆锥的体积 减去什么？减去上面这个小圆锥的体积是吧？那有了这个思路以后，那接下来就到了把所有的数据套进去的一个计算过程了。在此之前，我们先来回顾一下圆锥的体积公式是什么？它是等于三分之一的底面积乘高的， 而它的底面它是一个圆来的，所以它的底面积也可以写成就是拍 r 的 平方，所以它的体积公式就是三分之一拍 r 平方乘以它的高 h。 那 接下来我们先来计算大圆锥的体积，好，我们套公式三分之一拍， 等到题目里面拍，他说了取三，所以三分之一乘三，然后乘以 r 的 平方。 r 是 什么？ r 是 这一段 bc， 而 bc 的 话题目告诉了我们，它是四的，所以它是乘四的平方，然后乘以它的高 h， 它的高是这一段 c e， 好， 我们看一下 c 一 题目并没有告诉我们是多少啊，这里就牵扯到了一些三角形的知识点了，我们来观察一下这个 e、 b c 这个直角三角形，还有一个条件我们是没用上的，就是这个角 b 等于四十五度，你看这个是直角，这个是四十五度，那这个角 e 是 多少度啊？ 个角 e 它是不是也是四十五度啊？那也就是说 e b， c， 它是一个等腰直角三角形的，那也就是说 b、 c， 它是等于 c， e 的， 所以 c， e 它也是等于多少，所以 c， e， 它也是等于四的好。 c， 一 是这个大圆锥的高，所以这里我们再乘四，最后我们能算出来它是等于六十四的，那接下来我们算一下小圆锥它的体积，同样套公是三分之一，乘以 pi， 再乘以 r 的 平方。好，小圆锥的 r 是 不是这个 a， d 啊？ a， d 题目告诉我们了，它是二，所以它是乘以二的平方，然后再乘以小圆锥的高，它的高是这个 d， e 好， d， e 这一段的长度目前还不知道好，我们怎么能求出 d， e 来呢？这个时候我们观察一下 e， a， d， 它是一个什么样的三角形，你看这里是直角，那这个是不是也是直角啊？我们再看一下，这个是四十五度，那这个角 e， a， d， 它是不是也是四十五度啊？ 所以这个小的三角形 e， a， d， 它同样也是一个等腰直角三角形来的。那换言之， a、 d 等于二的话，这个 d， e 等于多少？这个 d， e 是 不是也等于二啊？ d， e 就是 小圆锥的高，所以最后我们这里乘二，那就能得出小圆锥它的体积是等于八的。 最后我们圆台的体积是不能通过大圆锥的体积六十四减去小圆锥的体积八，最后能求出来它是等于五十六的。所以经过今天这样子一道题目，大家有没有发现， 它里面所涉及的所有的知识点都是我们小学阶段学过的基础知识点，但是它组合起来便能变成一道非常复杂的题目了。

的旋转在图形王国中，立体图形是这个王国的贵族，他们个个彬彬有礼，善待他人，整个王国呈现欣欣向荣的景象。 但随着时间的推移，立体图形变得傲慢起来，他们越来越看不起作为平民的点线面。 身为国王的援助，意识到如果这样发展下去，图形王国将会分崩离析，于是他召集所有贵族，决心改变这种局面。 身为王国的贵族，你对咱们王国的子民都有哪些了解啊？对于那些身份卑微的点线面有什么好了解的？住嘴， 身为王国的贵族，如果连王国的子民都不了解，你的贵族也就当到头了。 陛下息怒，我听说在咱们王国中一直流传着一句话，点动成线，线动成面。但我们一直不是很懂， 你为我们解一下惑吧。点是咱们王国的基本元素，点动呈现就是说当点运动起来，他的运动轨迹就形成了线，这条线可能是直线，也可能是曲线。 这就好比一只沾满墨水的蚂蚁在白纸上爬行，蚂蚁就是那个点爬行轨迹就是点移动所形成的线。 原来点和线还有这么密切的联系，这是我从来没有意识到的。理解了点动成线，那线动成灭就不难理解了吧。线是咱们王国的主力军，当线运动起来，它的运动轨迹会形成灭。 比如我们让一支粉笔在黑板上平移，这支粉笔就相当于线，粉笔移动所形成的印记就是面。原来如此，我明白了。 点线灭不仅相互之间关系密切，而且与我们的关系也异常紧密，你们的身上都离不开他们的身影。正方题，你不要觉得自己身为贵族就高高在上，你的身上不就有八个顶点、 十二条棱和六个面吗？陛下，我知错了，你们刚才所说的那句古话并不完整，完整的话是点动成线，线动成面，面动成体。 也就是说，从运动的视角来看，身为贵族和王室的我们也都是由面的运动形成的。陛下，您身为国王，怎么可能也是由面运动形成的呢？让长方形、三角形和圆进来， 长方形，你来给大家跳一段你最擅长的旋转舞蹈吧，这样他们就明白我所说的话了。 大家看看，长方形的长就相当于圆柱的高，长方形宽就相当于圆柱的底面半径。实际上，不仅长方形旋转会形成我们圆柱，圆通过平移也会形成圆柱。 所以我们圆柱的上下底面都是两个完全相同的圆形。如果将我们圆柱解开，所形成的面会是圆形、 长方形或是椭圆形等等。我们圆锥也是如此，可以将我们视为由一个直角三角形旋转而成。 三角形的高就相当于圆锥的高，三角形的底就相当于圆锥的底面半径。如果将我们圆锥切开，结面可能会是圆形、 三角形或是椭圆形等等。 原来我们立体图形与点线面存在着这么密切的联系呢，我以前真不应该看不起他们，我错了，我们错了，大家能认识到这一点真是太好了，不枉我把大家召集起来， 图形王国的贵族们从此改变了对平民的看法与态度，图形王国又恢复了以往和谐美好的氛围。

今天我们来讲这样一道题，这是一个旋转问题，旋转后会出现两个立体图形，比较它们之间的体积，我们来看一下题，分别以直角梯形的上底和下底所在的直线为轴，将直角梯形旋转一周，得到两个立体图形，甲和乙。 关于这两个立体图形，下列说法正确的是。这四个选项都是在问我们甲的体积和乙的体积之间的关系。我们来看一下图， 甲是以梯形的上底为轴旋转一周，它旋转后的图形实际上是这个样子，上面这个圆锥是空心的。再来看乙， 它是以梯形的下底为轴，旋转一周形成的立体图形，下面一个圆柱，上面一个圆锥，那它们的体积有什么关系呢？我们先来看乙，乙的体积等于上面圆锥的体积加下面圆柱的体积。 那这里的圆锥跟圆柱之间有什么联系吗？它们的底面积是相同的，那高呢？圆柱的高是这一段，长度是三厘米，那圆锥的高呢？ 总高都是六厘米，用六减三，剩下的就是圆锥的高也是三厘米，说明这里的圆锥和圆柱是等底等高的，圆锥体积是圆柱体积的三分之一。 如果我们把圆锥体积看成一份，那么圆柱体积就是三份，这样乙的体积就是四份。再来看甲，下面是一个圆柱，高是三厘米，上面是一个空心的圆锥，不用算它，我们只用算剩余这一部分的体积就可以了。 上面这一部分的高度也是三厘米，这里的空心圆锥和乙上面这部分圆锥是一样的，那我们把它的体积也写成一份。 下面的圆柱和圆锥是等底等高的，那么下面圆柱的体积就是三份，要算假的体积，我们还需要知道上面剩余这一部分的体积 他占几份呢？上面圆柱的体积是三份，减去圆锥的一份，剩下的两份是这一部分的体积， 所以假的体积是三份加两份，一共是五份，这样他们体积之间的关系就出来了。假的体积是乙体积的四分之五。答案，选 c。 b 选项，甲的体积比乙的体积多几分之几呢？甲的体积是五份， 乙的体积是四分，我们用他们两个的叉除以单位一五减四的叉除以四 多四分之一。 d 选项，甲乙的体积比应该是五比四。这道题实际上就是考察等底等高的情况下，他们体积之间的关系。那今天的内容就讲完了，你学会了吗？

大家快来帮帮忙，今晚就是元宵灯会了，可是咱们天宫阁最核心的九层灯塔机关卡住了，没法点亮全程的灯笼。 灯塔的核心阵法已经停滞。我检查过了，是内部的三道控制机关偏离了原本的位置，必须立刻把它们复原，否则今晚的灯会就要泡汤了。 这三道机关分别控制着枢纽、水陆和光影，每一道都需要极其精准的拨动手势才能解开，一旦出错，灯塔就会彻底锁死。 机智的朋友们，现在正是考验咱们眼力和手法的时候，这三道关于拨动的难题，你们愿意和我一起破解吗？时间紧迫，我们开工 嗨啊！ 真奇怪，这星盘简直像生根了一样，到底该怎么弄才能让它转起来啊？万物运转都有根基，我们要想让这边缘的云纹动起来，得先确定它绕着哪里动，又要朝着哪边波动，波动多大的幅度才能刚刚好？ 看明白了吗？万物旋转都有规矩，要想准确控制机关，必须牢记旋转三要素，照着哪里转、朝哪个方向转，转了多大角度，缺一不可。 哎呀，这组水闸杆把水流全挡住了，水利机关没法运转，这横杆又粗又重，推也推不走，这可怎么办？硬拔是不行的，你们仔细看看， 这闸杆有一头是被定死的，我们应该往哪个方向推，推到什么位置，他才能正好竖起来让水流通过呢？ 这道引路的金光照偏了， 他应该准确连接到旁边那个刻着莲花的凹槽里才对。可是光线是笔直的，怎么才能让他拐个弯落进凹槽里呢？这光束不能断开，如果我们把光柱的源头按住不动，这根笔直的光线要怎么拨动才能分毫不差的落入那个莲花凹槽里？接通最后的机关， 拨动光线就和我们在图纸上画线段旋转一样，只要记住四字口诀，找定数，连跟着我一步过来，绝对不会画偏！ 太棒了！三道机关全部精准复位，只要找准了核心，看清了方向，掌握了分寸，再复杂的难题也能迎刃而解。 机关通了，千灯齐明，元宵节的灯会终于准时开启了。 这精妙的机关术原来就藏在我们一次次的观察和探索，今天多亏了大家的帮忙，让这座城市的夜晚如此美丽，未来的天宫阁还有更多的奇迹等着我们去创造。 灯火璀璨的背后，是你们严谨的数学推算，那么各位小工匠经历了这次天宫阁的奇妙之旅，这节课你有什么收获？

现在三角形开始绕斜边旋转，请注意看三角形扫过的区域形成了一个曲面，这个过程就是面动成体， 旋转结束，我们得到了一个双圆锥体，它的底面半径就是圆三角形斜边上的高，长度为二点四厘米。

请注意看，现在三角形开始绕斜边旋转，三角形扫过的区域形成了一个曲面，这个过程就是面动成体， 旋转结束，我们得到了一个双圆锥体，它的底面半径就是三角形斜边上的高，长度为二点四厘米，圆锥体积就等于三十点一四四立方厘米。

面的旋转在图形王国中，立体图形是这个王国的贵族，他们个个彬彬有礼，善待他人，整个王国呈现欣欣向荣的景象。 但随着时间的推移，立体图形变得傲慢起来，他们越来越看不起作为平民的点线面。 身为国王的援助，意识到如果这样发展下去，图形王国将会分崩离析，于是他召集所有贵族，决心改变这种局面。身为王国的贵族，你对咱们王国的子民都有哪些了解啊？ 对于那些身份卑微的点线面有什么好了解的？住嘴， 这位王国的贵族如果连王国的子民都不了解，你的贵族也就当到头了。陛下息怒，我听说在咱们王国中一直流传着一句话， 点动成线，线动成面。但我们一直不是很懂，你为我们解一下惑吧。点是咱们王国的基本元素，点动成线，就是说当点运动起来，他的运动轨迹就形成了线， 这条线可能是直线，也可能是曲线。这就好比一只沾满墨水的蚂蚁在白纸上爬行，蚂蚁就是那个点爬行轨迹就是点移动所形成的线。 原来点和线还有这么密切的联系，这是我从来没有意识到的。理解了点动成线，那线动成灭就不难理解了吧。线是咱们王国的主力军，当线运动起来，他的运动轨迹会形成灭。 比如我们让一支粉笔在黑板上平移，这支粉笔就相当于线，粉笔移动所形成的印记就是面。原来如此，我明白了。 点线灭不仅相互之间关系密切，而且与我们的关系也异常紧密，你们的身上都离不开他们的身影。正方题，你不要觉得自己身为贵族就高高在上，你的身上不就有八个顶点、 十二条棱和六个面吗？陛下，我知错了，你们刚才所说的那句古话并不完整，完整的话是点动成线，线动成面，面动成体。 也就是说，从运动的视角来看，身为贵族和王室的我们也都是由面的运动形成的。陛下，您身为国王，怎么可能也是由面运动形成的呢？让长方形、三角形和圆进来， 长方形，你来给大家跳一段你最擅长的旋转舞蹈吧，这样他们就明白我所说的话了。 大家看看，长方形的长就相当于圆柱的高， 长方形宽就相当于圆柱的底面半径。实际上，不仅长方形旋转会形成我们圆柱，圆通过平移也会形成圆柱。所以我们圆柱的上下底面都是两个完全相同的圆形。 如果将我们圆柱解开，所形成的面会是圆形、 长方形或是椭圆形等等。我们圆锥也是如此，可以将我们视为由一个直角三角形旋转而成。 三角形的高就相当于圆锥的高，三角形的底就相当于圆锥的底面半径。如果将我们圆锥切开，结面可能会是圆形、 三角形或是椭圆形等等。 原来我们立体图形与点线面存在着这么密切的联系呢，我以前真不应该看不起他们，我错了，我们错了，大家能认识到这一点真是太好了，不枉我把大家召集起来， 图形王国的贵族们从此改变了对平民的看法与态度，图形王国又恢复了以往和谐美好的氛围。

同学们在学习新课之前，我们先来看几幅优美的图案，欣赏一下美丽的图案。大家看一下这几幅图案美丽吗？美丽，你想一想这美丽的图案它是怎样形成的啊？经过我们以前学过的偏移啊， 旋转主要是经过了旋转。老师告诉大家，旋转在我们的日常生活中有着非常广泛的应用， 设计师呢就是利用图形的旋转设计出了许多美丽的图案。那么今天我们就来学习图形的旋转，这一刻啊，大家想想，在我们日常生活中你见过哪些旋转现象？ 现在说的时候，开旋式的方向盘旋转，开旋式方向盘旋转谁还啊？风车的转动好，请坐谁还啊？粘水龙头是水龙头的转动 车轮转啊，开车时车轮子的转动。每生在这年生色变的一些生活中转动旋转，大家欣赏一下，这是水珠 魔术师，他爱我们什么？电风扇像一片的转动，这行魔术师上面的是谁？来告诉我什么是旋转？那不操，那你们来请大家就由我们我们俩给大家说说什么是途径旋转。我认为途径的旋转是一个图形，让他的一个点进入转动这个角度旋转， 而我认为途径的旋转是沿着我一个方向旋转，也可能是这样旋转。大家非常和我们的意见不一样， 接下来我想有请龙水二班的小弟子王浩来给大家说一声，我认为同学们，学长是绕一个点，这样学长，或者是这样学长，这里是学长。在王浩技术上我还想补充，不仅是要绕一个方向，还要绕一定的动作，这个动作有大有小，所有的同学们 都有不同意见，大家还要补充吗？来，小玉， 我认为旋转以后它的大小没有变，旋转以后大小没有变，通过刚才的观察，是不是啊？我认为旋转后的形状没有变，旋转后形状也没有改变， 我认为旋转后的位置变了，旋转以后，这个同学的位置发生了变。完了，看来同学们刚才观测的都非常的仔细，好掌声送给他们。 同学们刚才总结了一下，老师在这把同学们的话也总结出来了，我们说在一个平面内加一个图形，绕着一个定格， 沿着某个方向转动一个角度，这样的图形运动称之为旋转。看一下老师，这个首先要有一个定点，绕着某个方向，按转动了一定的角度，这样就形成 了旋转。高三同学还扶住了他们，通过旋转以后发现旋转还有哪些 特真，是不是啊，是啊，看来同学们刚才讨论的非常的认真啊，那么能不能把我们学到的旋转知识运用到生活当中去，解决一些相关的实践问题呢？ 能把我们的导览拿出来啊，用你学到的知识来完成导览上的相关内容来展示一下子，来给大家聚焦一下我们小组， 我们组是天使组，我们组给大家展示的是自学指导一的内容。我现在给大家讲一下顺时针旋转和逆时针旋转，请大家先看我的手， 这样转就是顺时针旋转，这样转就是逆时针的旋转，请大家再伸出手来帮我做一遍，先做顺时针顺时针，再做逆时针逆时针， 大家明白了吗？明白，请大家看这幅图上的这个时钟上的旋转方向就是顺时针，明白了吗？明白了，那么和它相反的方向就是逆时针。 请大家聚焦于这个桌面，这个桌面上不管是它分针的旋转还是时针的旋转，它都是围绕中心中间这个点来旋转的，所以我们就把这个点叫做旋转中心， 大家记住了吗？记住了，看一下这个桌面刚才在旋转的时候，这个点动了没有？没有竖针这样旋转的时候， 那时针这样旋转的时候，是不是啊？是围绕了一个定点，记得明白刚才咱们概念里面的定点是什么？明白，请大家一一。 我发现一些内容。风筝旋转一时是旋转了一圈，是是三百六十度，但是旋转桌面一个桌面有三百六十度，所以是三百六十度。因为桌面是什么形的？圆形？对，我们知道圆有三 百六十度。时针旋转一时是旋转了一大格，是三十度，因为一个桌面一共有三百六十度，而而一个桌面又分为十二个大格，所以是三十度。无论是时针还是分针，它都是按照竖时针方向转动的。大家对我讲解满意吗？满意， 我来给大家讲一讲足球场旋转总共有几点？足球场旋转一共有三点，第一点是足球场旋转中心，也就是桌面上这个点。第二点是旋转方向 和时针这样旋转是逆时针。第三点是旋转角度，桌面上一大格为三十度，两大格为六十度。我来给大家说明足球场旋转有什么？有关有底方向、角度。大家对我的讲解满意吗？满意 啊，你这个刚才同学刚才讲就是通过桌面上观测，我们进一步发现旋转与三个 有关系，是不是？是来第一次点上，这点指的是什么？旋转图形？方向指的是生活的意识啊，当你不知道方向时，想想桌面上时针咋样？运动 时针我们都是顺时针，和它相反的方向就是一逆时针，还和什么有关系啊？角度怎样理解啊？我们有三十度，有六十度，九十度等等，是不是？是请大家聚焦于我观察项目中的横杆分别是怎样旋转的？ 我，我先给大家来展示一下可在拉起时的旋转。在刚才的旋转中，我们应该先找出它的中心点，然后再看它是按什么方向旋转的， 我认为它是按逆时针旋转的。九十度，大家对我的讲解满意吗？满意，我发现有一个同学迟疑了， 刚才我们看的时候发现横杆先是放下了，是不是？是这样慢慢下去，是不是啊？从这个方向肯定是逆时针，而且在起的过程中，这边对了，这边怎样 没有，先要找准这个地点，旋转中心，找方向画箭头。逆时针，从这到这大家看是多少度？九十度，正好形成一个直角， 这个在我们生活中大家见过没有见过，在哪里见过？收费，收费站还有小区门上，是不是啊？我想问问大家 横杆现在是怎么样的？没有啊，仔细观察，现在呢？放下他是怎么样运作的？收执员， 三十度，大家说的都很对啊，这个旁观的运动，或者大家观察仔细，没有，通过这个动态的观察，我相信同学们，在这个旋转我们各行各业是不是啊？是第二部分内容，现在的学生是给大家聚焦于我们组，我们， 我们是阳光组，我们组来给大家展示一下自学与指导二线段的旋转，请大家举手于我八中线段 a， b 绕点 b， 顺时针旋转九十度后的线段，大家请先看这幅图，绕点 b 说明 b 就是 它的旋转中心， 然后顺时针旋转九十度，顺时针也就是这样旋转，然后九十度，它应该旋转到这。再看第二个八中线段 a， b 绕点 a， b 旋转九十度后的线， 绕点 a， a 就是 旋转中心，逆时针就是这样旋转，有时候他也应该旋转到这，大家和我画的一样吗？一样好，这样子，所所学把我们 扫描上自学词的二个内容展示的非常清楚，那么同步演练的知识是一些小组的想来展示，我们是快乐组，我们组来给大家展示一下同步演练的内容，我们讲第一个，第一个是 绕，画出线段 a， b 绕 a 点，顺时针旋转九十度，我绕旋转 a， b 是 你要先找 a， b， 现在是这个旋转中心则是 a， 顺时针中心转出来方向是顺时针，顺时针是这样， 九十九十度则变成了竖的，这里是一二三格，所以画出来也要是三格，大家对我讲解满意吗？满意， 画出旋转 ab 绕 b 点，逆时针旋转九十度的图形，绕 b 点，说明谁看的？同学们加减 绕 b 点，说明这个 b 是 旋转中心，逆时针旋转九十度，这样是逆时针旋转它这里是三格，画出来这里也是三格，画出之后它的大小不变，是位置变了。 大哥认为画血脉旋转的时候要注意什么？笔锋，我发现血脉旋转处，它的形状大小没有发生变化， 但是位置发生了变化，位置发生了，你说很好，我跟你拍呢？下面我来讲解这道题。下面两个桌面上，时针分别从几十走到了几十， 请大家看第一个轴面，时针原来指向了几十，二十，旋转后指向指向了几十、四十，那么他时针走了几个小时？两小时走了几大格？两大格。 我们知道一大格是三十度，那么两大格是多少度？六十度。嗯，我们的小老师讲的非常 清楚啊。请大家看第二个桌面，时针原来指向几十，三十，旋转后指向几十、六十，走了几小时，旋转了几大格？三大格。 因为我们知道一大格是三十度，所以我们走了三大格，就是九十度。通过这两个桌面，我发现了第二个。第二个旋转的角度大跟左一样，左一 同学看不懂。虚线的那个就是原来的时针，直线的就是旋转后的时针七线，明白了吗？明白，七线扎心。从九十到十二时，时针到中心点，顺时针方向旋转多少度？请大家看这个钟面， 可以看你的，也可以看老师设计的，他现在只下的是九十，他九十到十时旋转了一大格，到十一时旋转了两大格，到十二时旋转了三大格，一个大格是三十度，他旋转了三大格，所以是旋转九十度。对对，请大家稍作记。 从十二十到十六、十六十就是我们平常所说的四十，那么十二十到四十，他一共旋转了一大格、两大格，三大格、四大格。而我们已经知道了，一大格是三十度，那么四大格的话就是一二十度，请问你们是怎么算的？ 三十四等于一百二十度。看来大家和我想的一样，对，把，刚才刘章讲的知识已经运用到这了，是不是啊？是这中间大家看懂吗？看懂，你看这个黑色瓷砖是原来的旋转后变成了黄色的，你就说他一下子 是不是啊？那么通过刚才这些同学的讲解，老师想问一下同学们这节课你学到哪些知识来试一下。通过这节课我学到了什么？是学长，学长就是在平面内围绕一个定点，学长学长的发 旋转方向的旋转，离地的方向转，这就离地的方向转，这就行啊，知道什么？是啊，旋转啊，老师希望同学们把 我们今天学到的知识运用到我们生活当中去，解决更多有关旋转的问题，好不好？好，这节课我们就上到这下课。

跟我旋转九五度，那像刚才 在平面内将 一 样的风压、速度 让牌，按照三要素来有守护它的旋转的。 在小区里面，呃，都有这么一个被我爱车的蓝莓， 蓝莓分别是 谁能用？刚才我们说的蓝莓是一处 天然植物的蓝莓呢？是按照顺时针旋转 的顺序旋转的。 观察一眼观察栏杆的走向，发现我们的呼吸在旋转状态 中。

全国中小学生 亲爱的同学们，大家好，我是江老师，今天很高兴和大家同上一堂课。 今天我们将要学习第三单元图形的运动， 在这个单元中，我们将重点学习旋转这种运动方式。其实关于旋转，在三年级下学期我们就已经接触过了。 再次看到旋转这个课题，你能提出哪些想要进一步探讨的问题呢？ 图形的旋转定义、性质要素是什么？图形在旋转时要注意一下什么呢？旋转和第一单元学的平面图形旋转成立体图形有什么联系？ 立体图形能旋转吗？学习旋转有什么意义吗？ 真是善于思考的同学们！本单元我们只研究平面图形在同一平面内绕着某一个点的旋转现象， 还会探求什么是旋转？旋转的要素有哪些，以及旋转的注意事项， 所以和我们第一单元学习的旋转是不同的。当然，对于更复杂的立体图形的旋转同样也不涉及。 所以对于问题三和问题四，以后我们将会继续学习。 学贵有疑，问题能促使我们进行更加深入的思考和探讨，但是学习也不能一蹴而就，需要我们一步一个脚印地逐步向前， 这是我们本单元的学习内容。在图形的旋转一，我们将要学习线段的旋转，紧接着我们会过渡到稍微复杂一些的平面图形的旋转。 旋完旋转后，我们就可以运用平移、旋转、轴对称这三种运动方式来看图形的运动了。 最后我们会通过欣赏一些美丽的图案，以及在方格纸上设计出一些简单的图案来感受图形世界的神奇，现在就让我们开启图形运动的学习之旅吧！ 图形的旋转一， 请你做好以下的学具准备，除了常规准备以外，你还要准备一个特殊的学具。方格指 钟表，相信大家一定都不陌生，它是我们生活中非常常见的计时工具。同学们，那钟表的时针是在做什么运动啊？ 你说对了，时针是在做旋转运动，现在就请你认真观察钟表的时针、分针、秒针是怎样旋转的。 我发现时针、分针、秒针都在绕着中心点旋转，时针旋绕时所围绕的那个中心点，我们可以称为是旋转中心。 我还发现，虽然时针旋转的速度有快有慢，但它们都是朝同一个方向旋转的。同学们，现在请伸出你的手指和老师一起来比划一下吧！ 时针旋转的方向我们称为是顺时针方向，与时针旋转方向相反，我们则称为是逆时针方向。 分针和时针的转速不一样，秒针旋转一周，分针旋转一周，时针旋转一大格。 咦，同学们，刚才这位同学的回答，他所谓的时针旋转一大格是什么意思呀？ 哦，就是时针旋转了三十度，那分针旋转一圈是什么意思呢？ 你说对了，就是分针旋转了三百六十度。那其实这位同学想告诉我们的就是，时针、分针、秒针在相同的时间内，它们的旋转角度不一样。 其实啊，旋转中心、旋转方向、旋转角度正是我们要研究旋转的三要素，在描述图形运动时，这三要素可缺一不可啊。 其实呢，旋转现象在我们生活中非常的常见，比如停车场横杆的抬起和放下就是旋转的过程。 现在让我们一起看一看横杆的抬起和放下是怎样旋转的。你能用旋转三要素描述横杆的旋转过程吗？ 横杆抬起来的过程可以描述成，横杆绕中心点，逆时针旋转了九十度。 横杆抬起，小汽车通过了横杆放下。横杆放下来的过程可以描述成横杆绕中心点，顺时针旋转了九十度。 亲爱的同学们，你学会了吗？现在，请你拿起你手中的一支笔， 以笔尖为旋转中心来模拟横杆的旋转过程，并用旋转三要素来向你的家人说一说横杆是怎样旋转的？ 横杆抬起来，横杆绕着中心点逆时针旋转九十度。小汽车通过了 横杆放下来，横杆绕着中心点顺时针旋转九十度。你描述对了吗？ 同学们，刚才在我们描述的过程中，请你再认真观察横杆绕着中心点旋转，什么变了？什么没有发生变化呀？ 横杆在旋转的过程中没有发生变化，变的是横杆的位置。 的确，横杆在旋转的过程中，横杆的位置发生了变化，但是旋转中心点的位置不变，横杆本身也没有发生变化。 现在咱们既然已经学习了这么多和旋转相关的知识，下面让咱们画一画旋转后的线段吧。 不过同学们别着急，画画之前，请你先在头脑中想一想，线段旋转后的位置会是在哪里呢？ 想不出来也没关系，请你再次拿起你手中的笔，模拟线段的旋转，让你的笔转一转，看一看线段旋转后会在哪里。 这时你在方格纸上再画出旋转后的线段，同时再与你的家人说一说线段是如何旋转的， 我们一起看一看同学们是怎样画的吧！ 咦，老师有个疑问，看到这四位同学的作品，他们明明画的都是线段 a、 b 旋转九十度后的图形呀，可是他们为什么画的不一样呢？咱们先来看看大家都是分别是怎么画的吧。 我画的是线段 a、 b 绕点 a， 逆时针旋转九十度。 我是这样画的，以点 a 为旋转中心，笔尖与 a 重合，点 a 不 动用笔的位置代替。线段逆时针旋转九十度。 应该旋转到了这里，旋转后，线段长度没有发生变化，所以线段的长度还是三个格子 再画出来就可以了。 这位同学用笔代替了线段，帮助我们进行旋转，我很欣赏你的做法，还有不同的做法吗？咱们接着看。 我画的是线段 a、 b 绕点 a， 顺时针旋转九十度。 我是利用圆规画出来的线段 a、 b 绕着 a 点，顺时针旋转九十度，中心点为 a 点。我让圆规尖放在 a 点上，按顺时针方向旋转，转到这里就可以了， 将它标记一下， 连线就完成了。 哦，原来圆规还能帮助我们画出旋转后的线段呢，你真是一个善于思考的同学，为你竖起赞美的大拇指，还有不同的想法吗？ 我画的线段 a、 b 绕点 b， 逆时针旋转九十度。我就直接利用旋转三要素来画的图。先找到旋转中心点 b， 再看旋转方向和旋转角度为逆时针旋转九十度， 那线段 a、 b 旋转后的位置就应该在这里，长度为三个格子。我画的是线段 a、 b 绕点 b， 顺时针旋转九十度。我和刚才那两位同学的想法都不一样， 画之前先在头脑中想一下线段 a、 b 绕着点 b， 顺时针旋转九十度后的位置，想好了，这时再画出来就没问题了。 嗯，真是善于思考的同学们，想出了这么多种不同的方法来画出线段 a、 b 旋转后的图形。现在再请你观察这四幅图，它们有什么相同点和不同点吗？ 对比第一幅图和第二幅图，我发现他们的旋转中心相同，都十 a 点，旋转角度都是九十度。但是由于旋转的方向不同，第一幅图是逆时针旋转九十度，第二幅图是顺时针旋转九十度， 所以导致了旋转之后的线段 a、 b 位置不同。哦，原来中心点相同，角度相同，但是旋转的方向不一样，线段旋转后的位置也是不相同的。 我的想法和他们不一样，我是对比着第二幅图和第四幅图来看，他们的旋转方向相同，都是顺时针方向，旋转角度都是九十度，但是旋转的中心点不同， 第二幅图的中心点是 a 点，第四幅图的中心点是 b 点，所以他们旋转之后的线段位置不同。 哦，原来通过这位同学的回答，我们还能知道，旋转的角度相同，方向也相同，但是旋转的中心点不同，线段旋转后的位置还是不一样。 看来这旋转三要素可真重要呀！有一点，发生了变化，都会导致我们画出旋转后的线段的位置是不一样的。 同学们，那现在再请你大胆地想象一下，如果我的旋转中心点位置到这里了，你还能想象出现段 a、 b 旋转九十度后的样子吗？ 如果中心点到这里呢？中心点再变到这里，你还能在脑海中想象一下线段 a、 b 旋转后会到哪里吗？ 感兴趣的同学们，您可以课下去探究一下。当我们的旋转中心点不断变化，我们能够画出无数条线段 a、 b 旋转九十度后的位置。 同学们，通过今天这节课的学习，你有哪些收获呢？你能尝试着总结一下如何画线段的旋转吗？ 我们知道了旋转的三要素，旋转中心、旋转方向、旋转角度。 我还知道图形旋转后形状大小都不会改变，旋转中心点位置也不变，只是线段的位置发生了变化。画图时看准题目要求绕哪个点，什么方向旋转九十度， 还要注意画完的线段长度不变。最后一定要对着题目检查一下。 嗯，真是一个善于总结的同学们。以后同学们在学习每课知识，也都可以做一个思维导图，来帮助我们梳理本节课的知识内容。

今天我们来攻克中考数学力的硬骨头图形旋转， 那我要告诉你，只要你抓住了它的命门。这道题其实比切西瓜还简单，要想搞定旋转， 也就是说旋转前后的两个图形是全等的，这点就是我们解析的万能钥匙。 题目给出了一个矩形 a、 o、 b、 c。 点 o 是 圆点零零点 a 在 x 轴上五零点 b 在 y 轴上零。三。 第一问，当点 d 落在 b、 c 边上时，求点 d 的 坐标 c、 d 的 长度就是根号下 i、 d 的 平方，减去 a、 c 的 平方，算出来 c、 d 等于四， 所以点 d 的 坐标就是一三。第二问，稍微复杂一点，当点 d 落在线段 b 一 上时， a、 d 与 b、 c 交于点 h 矩形的角吗？ 设 a、 h 等于 b， h 等于米，那么 h、 c 等于五 m 在 直角三角形 a、 h、 c 中，根据勾股定律， m 的 平方等于三的平方，加上五 m 的 平方，解这个方程 m 等于五分之十七，所以点 h 的 y 坐标是三， x 坐标是 b， h 的 长度五分之十七，点 h 的 坐标就是五分之十七。三。 我们来分析一下 d、 e 的 长度是定值三，因为 d、 e 等于 o， b 等于三， 所以 d、 k 等于五，减去二分之，根号三十四，面积最小值 s 等于二分之一，乘以三乘以五，减去二分之根号三十四， 面积最大值 s 等于二分之一，乘以三，乘以五，加上二分之根号三十四除以四。所以 s 的 取值范围是 三十减三倍，根号三十四除四。三十到三倍，根号三十四除四。小于等于 s， 小 于等于三十加三倍，根号三十四除四。

那这是数学课，给你个任务，一边观看节目，一边思考节目中隐藏了什么数学形象，都发现 了是什么意思？旋转，学过旋转吗？学过。能不能告诉老师生活中哪些现象是旋转？ 说，这这自行车的行驶的时候，两个轮子是在旋转的，你来拧瓶盖的时候是旋转的，你来。还有地球的自转， 地球在自转，也在旋转，对，来，你说桌面上时针和分针的运动也是在旋转，你说的真完整，非常多，是吧？老师也带来了自己的生活中的旋转现象， 是不是和咱们同学想到一处一块去了？我们这节课就在原来的基础上继续来研究图形的，这个课备起图形的旋转一。这课题怎么了？ 将面放旋转，旋转、旋转转，把它正过来，再走一次，预备起图形的旋转。一。刚才咱们在汇报的时候，有同学提到了钟面上的时针和分针，对，你仔细观察，时针和分针在旋转的时候有什么相同的地方， 又有什么不同的地方？我这还没有想到，小贤他们都在旋转，都在旋转，我们都不知道这事还有什么。再深入一点，老邓说相同的是他们都是顺时针的旋转，他提到的三个字 后面的是什么？顺时针？顺时针。那你说什么是顺时针呢？你怎么理解的？ 往里背，我认为顺时针就是往右一直旋转的方向，比划一下，和时针旋转的方向一样，就是顺时针，胳膊伸出 挤，再旋转一次，顺时针方向旋转都不对，好像有顺就应该有逆，自己在下面想一下逆时针应该是什么旋转方向。刘旭，用胳膊比划一下逆时针，这就是逆时针， 那你再举手，你再比划一下，这样子对吗？对，我们在竖形上，一般啊，我们用这样的符号来表示逆时针，用这样的符号来表示顺时针， 和顺相反的就是逆，你想身针怎么算？什么就是顺。明白，明白，明白去。好。刚才同学知道他有方向感，还有还有什么共同点来说。老师可以说共同点， 他们的共同点是分秒分，分针的分，秒秒都是 时针行走的。答案是分两针行驶的快，分针行驶的慢。那老师跟你说一下，这个一个是针，一个是分针好不好？快慢，我们都知道，有快有慢导致的结果是什么？再深入一点想一想。小同学，转个弯，分针行， 分针，顺时针旋转了三百六十度，时针顺时针旋转了三十度，你能明白的？想问问他的举手都明白，三十步从哪来的？ 这会自己解释一下，把时针转到三就是九十度，九十度除以三就是三十度，所以时针旋转，时针旋转到二，旋转到一的时候就是顺时针旋转的三十度。同音的说法一、爱情要想 流星雨，时针转一圈是三百六十度，一共有十二个，三十六除以十二，三百六十度除以十二度是三十度，行不行？行。 周恩惠，刚才的意思是说时针转了三十度，分针转了三三个，什么不同度数，角度不同，对不对？对，刚才咱们说还有共同点还没找到， 给一个小提示，还没想到呀，真聪明，一点就通王以飞他们这两个，这两个时针都交叉在一个点上，而且你在这两个分针和 时针都加上，都说他在一个点，而且还是顺时针旋转，都绕着这一点，顺时针是不是对，那这一点呢？我们通常把它叫做中 心，一般情况下用字母 o 来表示，这里的 o 点动不动，不动哟，不变的。通过观察中面啊，我发现了，时针是绕着中顺时针 旋转了三十度，时针多少度旋转？ 就跟像老师一样，准确的描述一下时针的旋转过程。流星雨先来，时针围着中心点哦，顺顺时针，顺时针旋转三十度。请做，听到没，从十二十到二十。怎样描述中心时针绕中心点，顺时针旋转六十度放到竖 六到九呢？双黄心时针绕着中心点 o 绕到从顺 时针旋转，顺时针旋转从六绕到了九，是九十度，因为那个是明显的直角，三角直角，所以是九十度 绕中心点，顺时针旋转九十度就可以了。对对对，绕十二，一起说绕，绕到十一开始就明白了。 刚才我们说在维护这个中线的过程当中，明确了在描述旋转的时候有三个要点，哪三个说 有中心点 o， 有 竖方向，还有角度。同意，那这三个我们一起来看一下收费栏杆是如何旋转的，看明白了吗？看明白了没？看明白，老师再演示一次。好，按着想法写在二号上。好了，你的想法是什么？ 来？雷佳宇，我是按照中心点逆时针旋转到九十度。是这个答案，去找啊，手放上几招啊，他这名题的答案也是这个答案，咱们一起来观察一下，和你们一样吗？我再教自己读一下。在是按照逆时针 旋转九十度。再大声的说一遍，在是按照逆时针旋转九十度，你听出什么问题了？王俊宇， 他没有受到中心点，没有受到中心点会出现什么后果呢？是不是逆时针旋转九十度？是， 是蒋其舟，你的问题出在哪了？你绕着中心点 o， 没有强调中心点 o， 我 们把这一点定做 o 顶。再完整的说一次，我们的栏杆是竖直点 o， 逆时针旋转九十度，慢，如果将你犯了错误，你想提醒 大家注意什么？吴佳怡，呃，描，描述旋转的时候也一定要说准确，回到哪一点？呃，怎样旋转的几度？说的非常准确，也就是说三要素一个都不重要。明白了，再次击中，我们按一下，这个时候的栏杆又是如何旋转的？这题啊，快说一下 啊，栏杆栏杆绕中心点 o， 顺时针旋转九十度，都对吧？对，看来咱们长得不错，这还有一棵最浮起的小树。 张生，你的问题出哪了？我把顺时针写成了逆时针，咱们怎么区别顺时针和逆时针呢？学的棒棒糖，往右转是顺时针，往左转是逆时针。张生老师教你一下，你看小车是从这转到这，对不对？对， 想想这个方向是从九点转到几点的位置？十二点，十二点，那你正常的旋转是不是从九转到十二是时间的方向？明不明白？明白了，明白了，刚才啊，我们是用准确的语言描述了图形的旋转过程，那么反过来，根据描述，你能画出相应图 形的旋转情况吗？能，是啊，韦新宇，来，拿上单来说，你是怎么想的？ 画出线段 a， b 绕点 b， 顺时针旋转九十度后的线段，我想 a 和 b 的 线段要绕 b 点， b 就是 中心点， o， a 旋转顺时针旋转九十度，就是画出线段 a， b 点绕 b 顺时针旋转九十度后的线段，先距离顺时针是向上一下，向上向上旋转九十度，因为这是一个直角，所以画到这个点对吗？对。嗯。 佳同学在墙画上有没有要补充的？没有。那我要问了，你怎么画到这啊？画到这干什么？画到变短了，变短了。我们在旋转的时候只是改变了方向，改不改变，大小不改变，所以原先三格，现在还要三格。 关于这个旋转的方向，老师提示一下，我们在旋转的时候可以像老师一样，因为是顺时针的，你确定一下，应该是朝着这个方向来旋转， 做上一个标记更确切。而且呢，旋转完了以后，这块啊，正好标记是 a， 撇二不再是 a 了。同一幅图当中不能出现两个点 a， 把你的答案完善一下， 再再练习讲一下你是怎样讲的。那关于怎样画瘦的点 b， 顺时针旋转就足够的。现在老师这还有两种方法，我们一起来看一下。我们可以借助中面想象一下，既然是 b 是 中心点，那么 b 就 在钟表的最中间，这个时候我们线段 a b 竖在几点钟的方向，十二十二度，九也是几点，那要顺时针就要从九转到几啊？十二。所以这个时候我们可以这样来想，借助钟面来辅助思考 是不是也可以是，那么还可以怎样做？你用一个食物来代替 a， b 原先在这个位置上，然后记 b 点固定的动，实际的转一下也可以解决问题。好了，来中秒的时针从十二 到后指后指向什么？指向口？答，想好了就举手。这一行指向三。同意，举手。 想象一下从十二对吧？对，放下去老对，读做分钟，从十一绕中心点，逆时针旋转九十度。 o 指向什么啊？ 王晨宇像，而时针八指向八。八，我刚才有人说指向二，这是八还是二八？八，必须是，要是二是什么指？ 来吧，大心无极，下面松动中不属于旋转的是 a。 停车场横杆的抬起和落下。 b。 时针 滴滴答答的走 c 直升升电梯从一楼到二楼。 d， 风扇叶片留下。想好了，想好了，要去准备， 同一句说放，剩下都是旋转，他是什么？你说平行于对吧？对，最后一题，从六点十五到九点十五，时针旋转多少度？平行于 c 多少度？九十度，怎样想？这道题，你说六点十五到九点十五， 把后面的点十五去掉。因为这道题是问时针从六点到九点是明显是个直角，所以是九十度，六点到九点是一样，那么六点是不是到九点也是？ 第三题，画一画，第一道题是画出现端 m n 绕 m 点逆时针旋转九十度的 九十度厚的线段。我看的是 m 点绕 m 点逆时针旋转，往左往左边旋转，原图在哪呢？原图是竖着的吧？对，应该是这个方向旋转，对吗？对，图做的对不对？对。第二步， 我们画出线段， m n 绕 n 点逆顺时针旋转九次过后的线段是向右面旋转，对打一个符号就更好。跟他一样。在这我们老个人有问题了，告诉老师，谁老个人有问题啊？王雨欣，他的问题出哪了？问题是出在他画的线 是朝左边的，又顺利不分了是吧？还有这个问题，他的问题，他的问题，他是把他出在第二小区开往所了，又是顺利不分呗。好了，关于政治和地理的方向，同学啊，自己能够多来分享一下。好了，坐好。运动方面，经济学课后我们来研究， 开课的时候我们说这个题目是不是有问题啊？对，结合本科学习，你该改改 旋字，你说旋字应该顺时针旋，你这几个就学这个了？不是你说。呃， 旋，旋转的，旋要应该要中心点 o， 你 要顺时针方向旋转九十度，你那个 o 在 哪呢？在方 方字撇。那右下角，右下角是这个角呗？顺时针，再说一遍，按照顺时针旋转九十， 再告诉你，再再拼一个以内就更完美。你刚才忘什么了？这几个就学了这点知识对不对？那转子会不会了？会，其实呢，转子你自己可会？其实在旋姿的时候呢，我们拿手这个，这个重心也简单，你知道吗？是不是这个位置？对，好，一定要活学左右走。

把抽象的数学几何变成好玩的小机关，孩子一下就能开窍！正方体是由六个面组成，每一面都是正方形。圆柱体是由两个圆形和一个长方形组成，三棱锥是由四个等边三角形组成。孩子很难凭空想象的立体几何，动手玩一玩就能记住了。 当知识不再抽象难懂，变得简单又直观，孩子不用再去死记硬背了，家长一定要给孩子安排一套。 把抽象的数学这样学，孩子竟然一下子就开窍了！五棱柱展开是两个五边形和五个长方形，正方体展开竟然是六个正方形，孩子无法凭空想象的立体图形。展开图，动手玩一玩也就记住了。什么是梯形柱， 什么是六棱锥，从平面到立体。这本超有趣的数学几何启蒙书，把小学要学的知识都变成了有趣的小机关，让孩子能更直观的理解。这样边玩边学数学，想不开窍都难！抽象的数学几何这样学，亲自动手操作，玩乐中学习，孩子一下就开窍了。 圆柱体原来是由一个长方形和两个圆形组成的，孩子没凭空想象的立体展开图，动手玩一玩就理解了。推荐这套有趣的立体几何机关书，把小学还要学的几何知识做成了小机关，非常适合小朋友。

昨天我们通过说和画一起回顾了图形运动中的平移，我们找了哪两个小帮手说平移，要我们得知道距离还有它的方向，是这样吗？是方向和距离， 这两个小帮手又是怎么来画平移的呢？画平移的时候，我们要先找到三角形的那几个 三角形的点，再把点通过已知的信息平移到相应的位置，找到了点我们就可以连连成线哦，他说先找点，然后再连线。孩子们， 我们平移的是图形呀，为什么你们要先去找点呢？图形在平移，点也在平移，所以我们要先找点。分析的有道理， 看来图形的平移也就是图形上面点的平移，先找点有道理。 关于平移，我们还有一个发现是什么？一起告诉我啊！图形形状没有发现，是的，我们通过说和话进一步的去观察理解了平移，这是我们学习平移的方法。 今天我们将继续学习图形的运动旋转，齐读课题，图形的运动旋转，我们先来看几个旋转吧，借助说平移的经验 想一想说旋转我们又需要找哪些小帮手呢？不着急，同桌间说说你的想法。我觉得说旋转首先就需要需要知道他的角度， 因为如果你不知道他的角度的话，你可以旋转六十度，可以旋转七十度，可以旋转三百六十度。比如说像这个角，他就是旋转九十度，他是一个直角，这个角也是旋转九十度，我觉得除了角度之外，我觉得还需要知道他的方向， 如果说旋转里头没有方向的话，他可以顺时针，也可以逆时针，这就是我的分享，谢谢大家！孩子，你精彩的发言赢得了大家的掌声，刚才他说的谁听明白了哦，你们的意思是，如果不说清楚旋转了多少度，有多少种可能？ 无数种可能，你们同意吗？同意哦，你们都觉得方向和角度很重要，是吧？对，老师，那就把它记录下来。刚才我听到孩子们说什么顺时针，逆时针， 谁能给大家解释一下什么是顺时针方向呀？来，大家可以看到这个钟表，如果说是顺时针方向的话，那我们就可以从这个十二点开始，一直慢慢的到一点、 两点、三点，慢慢的像这样子转，最后转回十二点，这样子应该是个顺时针的方向。如果是逆时针的话，那就应该从十二点、十一点、十点这个时间慢慢的转回一点，最后再转回十二点，从左边转的这个角度呢，就是逆时针方向， 我问大家听明白没有？请问大家听明白了吗？听明白了，孩子，你了解的可真多。掌声送给这位会表达的孩子。正如刚才那位同学所说， 我们把中面向时针运动的方向称为顺时针方向。来，伸出你们的右手，跟苏老师一起比划一下顺时针，与顺时针相反的方向就是逆时针。来，伸出你们的右手，比划一下逆时针方向。逆时针， 这是你们找到的方向和角度。这两个小帮手还有需要其他的小帮手旋转，需要找到围绕一个点来旋转，如果你不能确定是哪一个点来旋转的话，你可以围绕着 a 点来旋转，你也可以围绕着 b 点来旋转，所以我认为还需要围绕着点，这这一个小帮手， 是这样吗？是哦，你们需要点，孩子们，这条线段上面有多少个点呀？ 如果不说清楚绕哪个点，可能有多少种情况呀？无数，那你们觉得说清楚绕哪个点重不重要？重要绕哪个点，也就是旋转的中心点。哎呀妈， 你们认为说清楚旋转需要这三个小帮手是吧？对，来，以这一幅图为例，同桌说说线段 a、 b 是 怎么旋转的？开始中心点，中心点是哪一个点？ a 点绕点 a 方向是顺时针旋转了多少度？九十度，你们怎么知道？旋转了九十度，后面标了一个直角符号，直角就是九十度，你有一双火眼金睛，孩子，是的，九十度， 谁还能够像刚才这位男孩？再来说说线段 a、 b 绕 a 点，顺时针旋转九十度，描述的怎么样？很正确，真不错，利用我们已有的经验说清楚了旋转，看 从十二到九时针是怎样旋转的，从十二点到九点针是时针，是围围绕着 o 点逆时针旋转了九十度，可以吗？ 可以，还有其他不同的想法吗？这个钟表还可以顺时针旋转，来准确的说一说时针怎么旋转的？时针围绕着 o 点顺时针旋转了二百七十度， 上面没有标二百七啊，你怎么知道的？因为是三百六十度，而那个十二和九的那个角是九十度，那么三百六十度减去那个九十度，就等于二百七十度。 真会用以前的知识解决现在的问题。掌声送给这位女孩，我们一起来看一看。第一种时针可以绕点哦， 一起说说二百七十度还可以怎么旋转？绕逆时针旋转九十度，孩子们为什么会有两种不同的情况呀？因为他当时没有说他的方向是顺时针还是逆时针的。 你们也有这样的感受吗？有，是的，当我们只知道起点和终点，看不到旋转过程时，时针既可能是，也可能是逆时针旋转。 好了，现在我们已经说清楚了旋转了，接下来我们该干什么了？画，一猜就准。那我们有画的经验吗？ 那这个经验能帮我们画旋转吗？看一看，孩子们，在画之前，你们可以用你们手上的笔代替线段 a、 b 在 方格纸上转一转。这位女生根据这三个信息，先确定了哪一个点旋转后的位置 点。孩子们，我们旋转的是这条线段，你们为什么要先去找点呢？他说现在旋转，现在旋转的时候点也在旋转， 是这样吗？我们一起来看一看，仔细看点 b 在 怎么旋转点 b 在 顺时绕着 a 点顺时针旋转，旋转了多少？九十度，同意吗？同意。那线段上其他的点是否也像你们说的那样呢？ 仔细看这些点在怎么旋转？这些点是这条线段 a、 b 上任意的点，而他们都跟这个 b 点一样，都是在顺时针绕着 a 点旋转了九十度，同意吗？同意。是所有的点都在这么旋转吗？就是这个 a a 这个中心点没有跟着旋转， 你们发现了吗？发现了哦，你们的意思是中心点的位置是没有发生改变，是吧？是这样看来， 线段的旋转，也就是线段上点的旋转，哪一个要哪一个点要除外点，所以我们找到了点 b 旋转后的位置，就可以画出旋转后的线段。 那现在请孩子们再次对比旋转前的线段和旋转后的线段，你还有哪些发现？长度不变，什么发生了改变位置位置变了， 那还有其他的发现吗？那孩子们线段上这些点旋转后到中心点的距离有变化吗？ 没有。来看看点 c 旋转过去是几格？一格点 d， 旋转过去是两格，点 e 旋转过去是三格。正如你们刚才所看到的那样， 每个点旋转后到中心点的距离是不变的，线段的长度不变，位置发生了改变。好了，现在请孩子们再次检查检查自己的作品，有问题的请及时修改。想一想 画平移和画旋转在方法上他们有什么相同之处吗？我发现他们都是要先点 再去连线，是这样吗？是真会观察和比较，看来旧的经验也可以帮助我们解决新的问题。新问题总结的不错，现在你们会画旋转了吗？会。看 中心点在线段的中间，你们会画吗？会。拿出题单完成第二题，开始。

这个图形，我们来看看正方形，这个图形，正方形，你看这样一选，刚才他的旋转方向是顺时针，就可以得到刚才那个图形，是吗？是。但是老师有一个提问， 他以非一个点为中心旋转的吗？为中心，中心点旋转什么呀？这有这个正方形的什么？这中心点中心点旋转的，这也同样，我们仍然围绕他的中心点，然后是逆时针的。如果这两个正方形，不论是 顺着逆时针还是顺时针，一直都围着这个中心点旋转下去，他最后和起初的那个轴会怎么样？相辅相辅，相辅了顺。那么你们想想我们刚才那个照片，他能不能随便任意一个点去旋转， 他一定是围绕那个中心点长方形的。什么啊？中心点是因为呢？我们学过的很多图形，特别是 等边三角形、圆形，还有一些正多边形这样的特殊的图形，它围绕它的中心点旋转，它就会和原来那个图形重合，这个呢叫做图形的旋转对称啊。同学们，随着你们学习的思路就会得到我们再来验证这小三角形，这小三角形你看多重看， 他也是围绕这个中心点，一个三角形，这个演示是在这小三角形里，以这个中心做什么？顺时针旋转可以。刚才在我们的学习过程中， 我们发现了一个非常重要的内容，就是中心是不是是叫做旋转的中心旋转中心啊？ 同学们看我们刚才提到的顺时针和逆时针旋转，其实最早就是以中面来作为参考依据的， 就是因为中面上的时针，它的旋转方向跟这个时针旋转方向一致的，我们就叫它顺时针，跟这个时针旋转方向一致的，而且中面上所有的时针分针是 是围绕着一个中心点，记住了，把它叫做旋转中心。我们所学的圆的知识，原有一个圆心，是吧？是圆心，我们用字母，通常用字母 o 来表示，我们也可以说这些指针都是以 o 为中心。金星旋 算。老师有一个问一问啊，我们注意听，我现在呢把时针想从十二十走到三十。 同学们想一想，我要提一个问题，我的时针旋转了多少度？我的时针旋转了多少度？你来试试。老师，你的时针旋转了九十度，怎么判断呢？因为又呃，从二十度到三，呃，二十，十二点到三十点，三点，三点，三点 九十二，呃，形成了一个直角，哦，形成了一个直角，直角是九十度，这是你的方法，还有没有别的判定方法，你来试试。还有圆一圆是三百六十度的啊，是一共有十二个，我们就可以用三百六十除以十二 得到一个，一个大的就是三十度。三十度，那么从十二十到三十旋转了几个？三个，三个，九十，很好，非常好。在这个桌面上有几个这样的九十度，有几个这样的九十度？四个，几个？四个。 我们看看。刚才我们涉及到了时针从十二到三十呢，它旋转了九十度，这个度数呢，我们就把它叫做旋转九。