八下数学第十一题步骤44页课本

苏科八下学霸提重题第四十四页第一题，期中测试基础题八年级赶快看过来，千万别被你同桌发现！ 小玲的爸爸在定制平行四边形框架时，采用了一种方法，将两根木条 a， c， b、 d 的 中点重叠。比如这有一个线段 a， c， 这有一个线段 b， d， ok， 中点重叠了，那说明他既平分 b， d， 又平分 ac， 那 这很明显是用了什么原理啊？ 是不是对角线互相平分的四边形是平行四边形，明白了吧？所以说跟对角线有关。那这道题呢？果断选 a， 轻松解决。

同学们在我国最古老的数学典籍周密算经里，记载了三千多年前一段非常有名的对话， 切文乎大腹善数也。请问谷者包兮立周，天立度，夫天不可接而生，地不可得尺寸而度。请问数安从出 竖直法出于圆，方，圆出于方，方出于举，举出于九九八十一，故折举以为勾广三，故修四净于五。 所以我们看一个直角三角形，如果短的直角边是三，长的直角边是四，那斜边一定就是五。 直角三角形是一种特殊的三角形，具有广泛的应用价值，人们对它的研究也由来已久。 在我国古代，人们将直角三角形中，短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦。 根据我国数学典籍周密算经记载，在约公元前十一世纪，人们就知道如果勾为三，股为四，那么弦为五。 后来人们进一步发现并证明了直角三角形三边之间的数量关系，两条直角边长的平方和等于斜边长的平方，这就是勾股定律。 到了三国时期，数学家赵爽在给周壁算经做注解时，用一张图把这个道理彻底讲透了。这个图就是赵爽前图， 他是中国古代数学的巅峰之作，他只用简单的图形割补，就把几何和代数完美结合，方法巧妙，证明严谨，是世界数学史上极具价值的经典证明。 二零零二年在北京召开的国际数学家大会的会标就是以此图为圆形设计的，让全世界看到了中国古代数学的智慧。 庄周有言，天地有大美而不言，四十有民法而不易。万物有成理而不说， 大自然藏着最朴素的规律，图形里藏着最深刻的道理。三国数学家赵爽用一张闲图，以行政术以术试行，揭开了勾股定律的千古奥秘。现在就让我们走进这节课的学习。 如图，边长为 a 和 b 的 两个正方形拼接在一起，它的面积为两个正方形，面积之合， 将两个正方形剪切成四个全等三角形和一个小正方形。三角形的两条直角边分别为 a、 b， 斜边为 c。 将底下两个三角形旋转到上面去， 可得到一个大正方形，边长为 c。 大 正方形的面积为边长的平方，前后面积相等，所以可得 a 平方加 b 平方，等于 c 平方，即直角三角形。两直角边的平方和等于斜边的平方。

大家好，我是讲数学的小何老师，今天我来讲解新版八年级下册数学第四十四页复习题，二十的十一十二题， 这个十一十二题啊，他呢？嗯，一个是最短路径问题，一个是证明题啊，这个最短路径的问题呢？他用的方法叫做拆面法啊， 那你看这题，他说公园中一长方体石凳啊，就这么个石凳，看到没？若一只蚂蚁啊，以三厘米每秒的速度从 m 爬到 n， 那 么最快需要多长时间？然后结果保留一个小数， 那你说这蚂蚁要爬的话，他，嗯，我们知道，嗯，从 m 点到 n 点，这是两个点，我们知道有一个最短路径叫做两点之间线段最短，对吧？ 所以呢，我们要想让这 m 能直接到这个 n， 所以呢，你要把这个含有 m 和含有 n 的 这两个点这个面给他拆开啊，给他拆开，那他一共有几种拆法呢？他一共有三种拆法。第一种拆法啊， 我们可以拆这个前面和上面，你看 m 是 不是在前面这个左下角， n 是 不是在上面的右下，右上角，所以来十一题啊，拆面法，我们呢 不光要知道怎么拆，而且呢，你要能画出拆完的这个面啊，这个图形，然后把数据对上啊，这个呢是它，这个是 m 在 这，那 n 呢，就应该在这里，那这个位置是 三十，他的底面都是一个正方形的啊，那这是三十，那这应该是高四十，那这呢应该是上面的这个啊，宽啊，应该是三十，然后两点之间线段最短，那就应该是这么样的，这叫前面和上面 啊，那我们可以先算一下，用勾股定力求 m n 呗，那 m n 等于根号下三十加四十括号的平方，然后等于， 嗯，九百加上四千九，等于五千八百，等于十倍的根号五十八。 然后第二种拆法啊，这是第一种拆法。第二种拆法，你观察我这个 m 可以 是前面， n 呢？可以是右面的右上角啊，右侧面的右上角，所以我可以拆前面和右边啊，这是右面 前和右，这是前面吧，这是右面吧。那我们对一下数据啊，这是 m， 这是 n， 那 它呢？这个边呢？应该是 长三十，那我的这边呢？应该是宽，他还是三十，这个应该是高四十，那么两点之间线段最短，那我的 m n 就 应该等于根号下三十加三十括号的平方，再加四十的平方就应该等于六。 呃，五千二百，五千二百呢，是二十倍，根号十三啊。嗯，五十二呢，是四乘十三，然后后面俩零开出来是一百，呃，四十，所以应该是二十倍，根号十三。然后第三种呢？ 第三种可以拆啊，左面。你看 m 是 不是左侧面，左侧面和上侧面，上面啊？左侧面和上面。那你想左侧面啊，他这个高是 四十，你的这个长应该是三十，那这也是三十，所以说你的左上跟你的前上他应该是一样的 啊，为啥一样？我再说一遍啊，因为他这个底面，因为他这个底面是一个正方形的，也就是说你的前上、右上，后上、左上，他们拆开的图形是一样的，所以我的第三种拆法，左上的时候他跟前上是一样的。那么也就说这题一共就两种 啊，第三种跟他，呃，前面的一种是重合的，所以呢，我们就只要比较这两种情况就行了啊。那你说十倍根号五十八和你的二十倍根号十三，那这两个位置呢？这两个数你不好比，但是你看前面这个位置，他是根号五十五千八，他是根号五千二，所以根号五千八大， 这不他大，那他大，说明他不是最短，是不是？这意思他不是最短，那最短的是不应该是二十倍根号十三啊？那要想最快，那就走最短路径呗。所以呢，你就用二十倍根号十三去除，以你的速度三等于。 那这怎么算呀？我们得把根号十三呢进行这个计算，我们来算一下根号十三啊。 嗯，根，哎呀，根号十三等于三点六零六，保留三位应该是三十点六啊，三点六零六，那再乘以二十来 三点六零六，二十乘以三点六零六，再除以三，就等于乘以二十 除以三等于二十四点四，那么结果保留一位小数，那我们就约等于二十二十四点零二十四点零秒，所以答最快 需二十四点零秒啊。这就是第十一题。那么第十二题 他说三角形在这呢啊，一会我要写在右边，他说三角形 abc 三边长分别为 abc， 面积为 s， 利用勾股定律来证明秦九少公式，嗯， 秦九少公式 s 等于这个公式啊。然后提示设这个三角形 a、 b、 c 的 边， a、 c 上的高为 b、 d， 然后利用勾股定律来先将 c、 d 用三边长来表示，再将 b、 d 用三边长来表示。那你说这三边长为 abc 啊，那 abc， 那 我是不得画个三角形，然后把这个 abc 对 应到这个三角形里， 是吧？那我们来画一个啊，它没有说三角形 a、 b、 c 是 直角三角形，是不是？所以呢，我们随便画一个啊， 然后这里边这个 a、 b、 c 的 确定啊？呃，我之前啊，我在录视频之前呢，我尝试了一下啊，你看我这个过程， 你看，如果我设这个 ab 的 边为 abc 的 边为 b， 你 的这个 ac 的 边为 c 的 话，你看，我推理出来这个公式啊，你看这个地方呢，会得一个 a 方减 b 方加 c 方，它等于二 c x。 可是我这个题里这个公式，你看上面这块是 a 方加 b 方减 c 方，你看这明显是对不上， 所以呢，我只能把这个 a、 b、 c 再换一下地方，你看，我设 a、 b 变为 c， 然后 b、 c 变为 a， 然后我的 a、 c 变为 b， 这时候呢，你看我推导出来的这个算式，哎，它就出现了啊， a 方加 b 方减 c 方的格式， 看到了吗？所以说我这道题，我设这个边长的时候，它也是有讲究的啊，所以呢，它呢，对于不会的它肯定是难。那么现在呢，我来 把这个过程写一下啊，现在 a、 b、 c， 他 不说设 a、 c 边上的高为 b、 d 吗？那这为 b、 d 啊，那我们就可以啊，设一下这个三边啊，我们得写一下过程啊，我们可以说设三角形 a、 b、 c， 设三角形 a、 b、 c， 嗯的边 b、 c 等于 a， 这为 a， 然后 a、 b 等于 c， 这为 c， 你 的 a、 c 等于 b 啊，整个的这为 b， 然后人家提示了，说了这个设 a、 b、 c 的 边 a、 c 边上高 b、 d。 这第这第一点我是不是做完啦， 是吧，我画高了 a、 c 边的高哈，然后利用勾股定律呢，先将 c、 d 的 c、 d 用三边长来表示，那你说他要求我们用那个三边 a、 b、 c 来表示 c、 d， 那 我可以设这个 c、 d 啊，等于 x， 那 如果这为 x 的 话，那我的 ad 就 应该等于 b 减 x， 这看懂了吗？啊？这呢，设好之后啊，我们说了得用勾股定律来表示这个三边长是不是？那么你观察我这个三角形 a、 b、 c， 它本是不是一个直角三角形，但是我有高有高，是不是就左右两个三角形是直角三角形， 并且左右两个直角三角形呢？共用了一个边 b、 d 看见了吗？那我们可以说在 r、 t 三角形 a、 b、 d 中啊， 然后你的 b、 d 方，它是等于 ab 方，减去谁？ a、 d 方的，那在 r、 t 三角形 b、 c、 d 中，你的 b、 d 方，它是等于 bc 方，减去谁呀？ c、 d 方的， 那因为你的 b、 d 跟 b、 d 是 相等的，所以右边这两个算式是不应该相等的，那我把这两个算式的一个值啊带进去，然后在这啊写，所以你的 ab 方减 ab 方，就会等于 bc 方减 c 方， 然后 ab 呢是 c 方，减去 ab 呢是 b 减 x 的 平方等于 bc 是 a 方， 减去 c， d 是 x 方，然后拆开整理一下来，减去 b 方加二 b， x 减 x 方，等于 a 方减 x 方， 然后这两个消掉啊，把这两个都移到等号右边去，这左边剩二 b， x 等于 a 方加 b 方减 c 方。你看，然后 x 等于二 b 分 之 a 方加 b 方减 c 方，那你说 x 求出来，那说明 c、 d 就 应该等于二 b 分 之 a 方加 b 方减 c 方， 是不是啊？这不是第一个要求，按照它提示的方法，我是不是把 c、 d 用三边长来表示出来了？那我是不是还得将 b、 d 用三边长来表示啊。那么 b、 d 咋表示啊？因为 b、 d 方它是等于啥？ b、 d 方是等于 a 方减去 x 方啊，也就是这个 b、 c 方减去 c、 d 方啊。我这应该写， 嗯， b、 c 方减去 c、 d 方，然后再代数等于根号下 a 方减 x 方，那 x 呢？是等于这个的， c、 d 是 不等于这个的，然后等于根号下 a 方减去 二 b 分 之， a 方加 b 方减 c 方括号外面的平方，是不是要走这个 啊？不不不，我这写方干什么？求 b、 d 要如果带方的话就不带这个根号了啊，我把这方去掉，这是不是就带着根号了？因为你最后的算式，你看面积是不带的根号了。那好了，那我 b、 d 表示出来了，我高表示出来了，那面积 s 是不是应该等于 a、 c 乘以 b， d 乘以二分之一，而 a、 c 呢？是 b， 然后乘以二分之一，再乘以 b、 d， 是 不是就根号了？ a 方减去这个是， 嗯，二 b 分 之 a 方加 b 方减 c 方括号外面的平方，剩下的这个啊，然后等于来 等于。你看这个要求的这个公式啊，根号外面是没有数的，所以我得把我这个根号外面的二分之一 b 给他，给我还原到根号底下去。外面没有数啊，因为你这数怎么怎么整啊，处理不了了是不是？那也说把你的二分之一 b 给他平方之后，拿回根号下 二分之一 b 括号的平方，然后乘以个 a 方减这个应该是，嗯 嗯，二 b 分 之 a 方加 b 方减 c 方括号外面的平方。你看人家的公式啊，人家这个方数也没拆， 对不对？然后这四分之一在外面，那你就说把这个，呃二分之一 b 方算成四分之一 b 方，之后你的四分之一别往里分，你把这 b 方给我分到括号里去啊，就是这个意思，然后等于根号下 四分之一留在外面 b 方分配到里边去，就应该等于 a 方， b 方减去 b 方倍的二 b 分 之 a 方加 b 方减 c 方扩回的平方。 那我现在再处理一下这个位置是不就可以了？然后等于根号下四分之一中括号 a 方 b 方减去，这个呢？ 分子分母分别平方的话，我这个 b 是 不是也可以平方？那也说分母应该是四 b 方啊？四 b 方，然后我这有个 b 方，我可以把 b 方约掉 啊，然后你这个二别分别别给算了。所以呢，你这个把这底下的 b 算了，平方跟外面的 b 方约掉，所以呢，就等于 减 c 方括号外面的平方，然后再重括号扩回啊，这个位置的 b 方是这么处理的，我再慢点写一遍啊，让这拿这个写 怎么处理呢？就是你的这个 b 方是不是外面的就这一堆？然后你的这个根号里这个二 b 方，把你的这个 b 给它平方了，也说，嗯，二 a 方加 b 方减 c 方括号，嗯，乘以个 b 分 之一中括号的平方 啊。把它俩拆开，把这个 b 跟这个 a 方加 b 方减 c 方，这个拆开，拆开之后这一项，这一项是 平方，然后呢，它就等于 b 方分之一，然后它俩约调不就剩这一项了吗？所以这个位置应该是这样算的啊。

苏科八下学霸提重题第四十四页第四题中考题八年级赶快看过来，千万别被你同桌发现。如图，在这个四边形 a、 b、 c、 d 中，人家没告诉你平四边形啊，人家说了，对角线 a、 c、 b、 d 相交于点 e 角， c、 b、 d 等于九十度。好，那我们在这标记一个九十度 bc 呢，是等于四的， b， e 等于 e， d 等于三， b， e 等于 e， d 等于三。那我们可以知道的是这个点 e 啊，是这个线段 b、 d 的 一个中点。 那在这个直角三角形中，根据勾股定律，我也能够知道三、四、五，是吧？ e、 c 等于五，他说呢， a、 c 等于十，那 a、 e 也等于五，则平四边形 a、 b、 c 的 面积为多少？那首先我们知道它是一个什么呀？它是一个平行四边形，为什么呀？对角线分别互相平分，那么它是个平行四边形，我目前能知道是什么？它一半的面积， 对吧？他的平行四边形的面积，他是等于二倍的三角形 cbd 的 面积。二倍的 cbd 的 面积多少等于二分之一乘以底，比如乘以四，高是几啊？高就是 bd 等于六吗？ 好，那他最后的结果呢？就是等于四六，二十四啊，最后结果是二十四啊！注意看看题干中没有单位啊！好，题干中没有单位，那我们就直接写二十四就可以了，轻松的解决。

苏科八下学霸提重题第四十七页第二题，转化思想八年级赶快看过来，千万别被你同桌发现。如图，在这个平行四边形 a、 b、 c、 d 中的对角线 b、 d 上，哎，过一点 p 做这个平行，哎，他平，他们三个平行，然后呢？他们三个也平行， c、 g 呢？是等于二倍的 b、 g， 我 们知道这个小三角形的面积为一啊，求这个平行四边形的一个面积。那这道题其实我读到一半的时候有种想法，其实这个这个这个这个这四个四边形，其实它们都是平行四边形， 都是对边分别平行的，对吧？那么这还有一条对角线，那这个 b、 d 呢？它不光是大的平行四边形的对角线，它还是这两个小的平行四边形的对角线，那么目前已知的就是他们两个的线段比， 那其实他们两个的线段，因为这是平行的，所以说高相等，平行线间高相等，对吧？所以说这两个平行四边形的面积就是二倍的关系， 那我们一起来看，我问出发点啊，出，出发点就是他这个三角形的面积为一，那如果他为一的话呢？那 b、 e、 p 的 面积也为一，因为他也是对角线嘛，对吧？平分这个面积，那这个整体的面积就是几，一加一等于二嘛，那他的面积就是几，哎，他的面积呢？就是等于四， 对吧？因为底是他的二倍高相等，那面积就呢就是他的二倍，那最后我们要求他的面积，那这个时候怎么办呢？你别忘了啊， b、 d， 他 可是平分这个大的平行四边形的，那他也是平分这个 h、 p、 f、 d 这个平行四边形，比如说这个面积，比如是叉，那这个面积也是叉， 那你看 b、 d 平分大的平行四边形，那 a、 b、 d 的 面积是不是等于 b、 c、 d 的 面积？那是不是他们这三个的和，等于这边这三个和呀？你这是一，这是一，这是叉，这是叉，那所以说他俩的面积是，哎，相等的， 对吧？他们两个的面积是相等的，这就是最底层的一个逻辑了啊。所以说，那这道题那不就是口算题吗？正确答案呢？选择 c 选项。 这道题呢？本身不重要啊，本身难度也不大，那最主要的就是第一看见线段比例关系怎么办？怎么去处理？哎，转移到面积比， 然后呢？根据一个小小的面积一，我们能够把知道的推导出来的都给他写出来，当你写出来之后呢，你会发现还算不出来，那你看看，哎，对，平，这个对角线它就是平分面积，对吧？对角线它就是平分面积，我们就这样去处理的，哎，这就是一道小题。

苏科八下学霸提重题第四十五页第九题，平行四边形的判定，八年级赶快看过来，千万别被你同桌发现！如图，在三乘三的正方形的网格中呢，以线段 a、 b 为对角线作平行四边形， 使另外两个顶点呢？在格点上则这样的四边形，平，四边形啊，最多能画出几个？注意，他们两个是对角线，他们两个呢，不能作为邻边。 好，那他们两个既然是对角线的话，那另外两个边在哪啊？比如说，那这道题怎么去分析啊？旭哥教你这样去分析，比如说，因为他们两个对角线，那我他的邻边，因为我们知道平行四边形，对边平行且相等啊，那我把它向右画一个，把它向左画一个。 哎，那这样呢？是不就出现了平行四边形 a、 c、 b、 d 啊，对吧？他们两个是邻边。有时候，旭哥，那你为什么不同时向右画呢？如果把他们两个同时向右画，虽然也是平行四边形，但是他们两个是邻边了。 人家题干说了，他们两个是对角线，好，那向右对一个？行，那向右往右来两个，是不是也可以？比如说，这个是 a、 c， 哎，这个是 b、 d， 那 平行四边形 a、 c、 b、 d， 因为它对边平行相等啊，它就是平行四边形，它并且还是个矩形。 好，那向右三，左三，右三，左三出去了，不行，对吧？这肯定也是个平行四边形好，不行？ 好，那接下来左右完事了，我们再来看上下，对吧？这左右只能画出来俩，那上下，比如说，我将 a 只能向下一个，我将 b 向上一个，你看，平行四边形 a、 c、 b、 d 是 不是也是一个平行四边形，对边平行且相等吗？好，向下一个，向下两个， a、 a、 c、 b、 d、 d， 怎么着也向上两个，其实这跟我们前面讲过的一道题比较类似啊，就画两个线段的那个啊，研究一边，明白吧？好，那接下来呢？哎，说旭哥呢，我向下向这个，这是向下两个，是吧？好，那向下三个呢？ 哎，向下三个，你向下三个，你会发现这两个是重复的，对吧？这两个是重复的，那难道这道题就没有其他的画法了吗？哎，那这就是这道题我认为比较难的一个地方，我认为这道题难在哪？你可能能画出四个， 哎，向右划，向左划，是吧？向上划，向下划，但是我认为最难的就是，难道他只能左右划吗？我们是不是只要给他适当的平移就可以啊？他们两个是对角线，因为我刚才为什么上下，因为对边平行相等嘛？那在左边我们研究一下，比如说这样划呢？ 可不可以呢？你这样划的话相当于向左移一个，向右移一个，其实你刚才研究的就是这个点，这个点，这个点，这个点，对吧？咱们刚刚把这四个点给研究了。 刘伟凡，你看这个点，这个点，哎，这个点，这个点，其实你有发现刚才研究的就是这四个点，但是你别忘了在这左半边啊，在这左半部分，他还有一个点，哪个点？这个点， 那你把它这样平移，那右边有没有对应平行相等的点？哎，有这个点，所以说呢，此时此刻这个 a、 c、 b、 d 是 不是也 ok， 对 吧？所以说一共是五种话，我认为最后一种啊，是最难找的。那么这道题我说了两种方法，第一种方法，哎，把其中的因为它俩是对角线，所以说把这对角线向右平移，向下平移，向左平移，向上平移， 对吧？左右上下。然后呢？其实你还有第二种思路，就是以它为，因为它俩是，它俩是连接的，是平行对角线， 他一定是把平行四边形分成了两部分，哎，两个相等的部分，那其实比如他对于左部分来说，隔点上有一二三、四五，我们可以研究这五个点就可以了。我只要把这五个点给其中的一个连上，哎，其中的一个连上，其中的一个连上，连上，连上在右边，看他能不能平行出去就可以，你也可以这样去理解，所以说两种理解方式都是可以的。

苏科八下学霸提重题第四十五页第十题，平行四边形中考题，八年级赶快看过来，千万别被你同桌发现！ 如图一，在平行四边形 a、 b、 c、 d 中的点 o 是 对角线的 a、 c 的 一个终点啊，那说明连接 b、 d， 它也是 b、 d 的 一个终点，是吧？然后呢，连了很多线，那好，证明一下，四边形这个 e、 g、 f、 h 也是一个平行四边形，那好，那证明它是平行形的。其实这个图啊，我们之前讲过很多次了，它这个图呢，只要是平行四边形，对边上这么一过，中点这么一连，那么这两个边一定是相等的，同理， g、 o 呢，也一定是等于 g、 h 的， 那怎么去证明呢？其实我们证明就是用全等去证明，因为什么呀？因为 o 为 ac 中点，那么所以我们可以知道的事情是， o， a 等于 oc， 这是一组对应边等， 我们还知道呢，这是一组对应角的，那还有什么呢？因为四边形 a、 b、 c、 d， 它是什么？它是平行四边形，那所以我们可以知道的是 a、 d 平行于这个 b、 c， 那 我在这里标记个角一，我在这里标记个角二，那所以角一等于角二， 然后呢，在这个标记个角三，在这标记个角四，又因为角三等于角四，那所以我们就可以知道三角形 a、 o、 e， 它是全等于三角形 c、 o、 f 的。 什么原理啊？ a、 s， a， 对 吧？角、边角，那当它们两个全等之后呢？所以我们可以知道 o、 e 呢，就是等于 o、 f， 那 么同理可证。你看 g 在 a、 b 上 h、 o 的 中点，那说明 g、 o 也是等于 o、 h、 o 的， 那为什么它们两个相等？同理也是因为全等，你把它俩放到这个里面啊，放到 a、 o、 g 里面，放到这个 c、 o、 h 里面，你会发现对顶角相等，然后呢？ o a 等于 o c， 然后呢，又是因为平行产生一组内错角相等，又是因为角边角，它们两个全等，那它们两个全等之后呢？我们同理可证啊，同理， 同理可证，这个 o、 g 是 等于 o h 的， 所以我们可以说这个四边形是平行四边形。因为这道题很简单啊，所以说你自己哎，证明一下就可以了，就是三角形的知识。 然后呢，第二个他说如图二啊，若 e、 f 呢？平行于这个 a、 b， 哎， e、 f 在 这里，在这里平行于 a、 b， 说明他们三个平行呗， g、 h 呢？平行于 bc 号，他们三个也平行，那说明这四个 都是什么图？都是什么图形啊？都是平行四边形，并且还是一样的平行四边形，为什么呀？你看他们两个平行，他们两个平行，对吧？同理，哎，这四个都是平行四边形， 然后呢，他说请你在图二中与四边形 a， g、 h、 d 面积相等的所有的平行四边形，好不包含这个本身的这个图形啊，那它是由什么来组成的呢？我们来看，其实你如果你观察四边形的话呢，我怕你会有点不太懂，你会发现你把它拆解成三角形，你会方便看很多，要不要给他拆解， 你会明显的发现 a、 g， 四 h 呢？它是由这个 a、 g、 h、 d 啊，它由四个三角形构成的，比如说 a， g， e， o， g， e， o， e， h， d， d， e， h， 那 么你发现它，它是一个平行四边形，对吧？这件事情是我们知道的，它是个平行四边形，那所以说对角线的平分面积，那也就是说这个面积，比如说叫做 s 啊，比如说叫做 s， 那下面这个面积呢？也叫 s， 那 同理这个也是一个平行四边形，那这两个平行四边形的面积相等吧？它俩是一样的平行四边形吗？是一样的，为什么呀？因为他们的对边是相等的，你看 ag 是 等于 e、 o 的， 等于 d、 h 的 对边平行相等吗？所以说这两个四边形是一模一样的平行四边形，因为它对边都相等，对吧？那是个 a、 e， a、 e 跟这个 e、 d 相等吗？ a， e 跟 e、 d 也相等，你看 a、 e 等于 g、 o 等于 b、 f， 对吧？ o 呢？是这个 g、 h 的 一个终点，因为我们前面证明了它是平行四边形，所以说呢， g、 o 等于 o、 h。 好， 那 o、 h 呢？是等于 f、 c 的 等于 e、 d 的， 所以说这六条边也都是相等， 所以说你看 a、 g、 a、 e、 o， 它们三个相等，哎，你看它们也相等，所以说你发现这两个平行四边形是一模一样的平行四边形，那对角线平分面积，所以说呢，它也都是 s， 所以 说这原本的这个平行四边形，它是由四个 s 组成， 那你就看哪个平行四边形是由四个 s 组成的就可以了，是吧？那首先我们知道这个对于这个平行四边形来说，对角线，哎，它是个平行四边形，对角线平分的面积，四个三角形的面积是相等的，我们说这个也是一个平行四边形，这是对角线，所以说这个也是 s， 那 同理这个也是一个平行四边形，这是对角线，这里也是一个 s， 所以 说这么多个三角形的面积是由四 s 组成的，比如说最眼最最好看的 g、 b、 c、 h， 就 在下面这个 还有哪个平行四边形， a、 b、 f、 e， 平行四边形， e、 f、 c、 d， 对 吧？这四个，这四个还有哪个？还有中间这四个，对吧？你千万别忘了中间这个平行四边形， g、 f、 h、 e， 你 就把它这样拆解来看，哎，你会发现这道题很好找，如果你光盯着平行四边形来找，就发现这道题难死了，对吧？这样看起来呢，就好理解多了。

苏科八下学霸提重题第四十七页第一题，整体思想八年级赶快看过来，千万别被你同桌发现！如图，平行四边形 a， b， c 的 周长呢？为四十厘米，对角线 a， c， b， d 呢？相交于点 o， o， e 垂直于 a， c 交 a， d 与点 e， 则这个三角形 d， c， e 的 周长为多少？那么现在我们来分析一下啊，求三角形 d、 c、 e 的 周长，我目前唯一的一个线段长，已知条件就是这个周长，周长是四十，是吧？那么就只能从这个题目入手了， 那我们来看看，目前题干还给了另外一个信息，就是垂直，哎，对吧？还有一个垂直，也就是说呢，这里是一个九十度，那我们就想他垂到哪了？ 他垂到的是对角线的一个焦点，那对角线的焦点我们知道他平分，这个对角线啊，那也就是说这是垂直，这还平分，那这就是什么线段？垂直平分线，你根据等腰三角形的支二推二，我们也可以知道 e、 a 是 等于 ec 的， 你根据全等，你也可以知道这是公共边，这是九十度，这是九十度，这是对应边边角边，他们两个全等，所以我们可以知道 a、 e 是 等于 c、 e 的， 那么现在他让求这个三角形的一个面积，那这个周长啊，那我是不是可以把 e、 c 就 转移到 e、 a 了呀？所以说求这个三角形三边的长，那就可以转化成求 e， a 加 e， d 加 d， c 的 长，哎，也就是这两个线段和， 那这两个线段是不是整个平行四边形周长的一半呢？那整个平行四边形周长是四十厘米，那一半呢？就是二十厘米，轻松的解决。

接下来我们看一下第四页啊，我说三角形的外角第一个需要绘画，然后第二个呢？我需要了解一下外角有什么特点啊？我说三角形的外角指的是什么？我说 这是一角啊，那我说角的一边延长，然后和另一边的什么加角，那这个就是三角形的一个外角啊， 那我说外角有什么特点？好，标记出来，这个我们记成角二，这是角一，然后角三，这个什么角四。我说三角形内角和是多少？一百八十度，所以我说角一加角二加角三等于多少？是不是一百八十度？ 那好，我说角二和角四属于什么角？是不是零补角啊？所以我说角二加角四等于多少？一百八十度。好，我相等的画出来一百八和一百八怎么样相等，然后角二和角二相等，所以角四是等于什么？角一和角三之合啊，所以我说角四等于什么？角一加角三。 那好，我得到这个结论，问，我在看图中是什么样子？我说这角四，这是角一和角三，也就是这两个角之合等于它。 我这句话怎么说？就是三角形的一个外角等于与之怎么样？不相邻啊，注意是不相邻，这个是属于什么相邻，不相邻是这两个角之合啊。好，我们一句话写到这一个三角形的外角等于与之不相邻的与之不相邻， 两个内角之合啊。我解析了，然后接下来我再看下面的题就可以了，我们来看一下第一题，那我说是外角的，是，首先我说这是一个角，对吧？角的一边延长和另一边的什么夹角，那我说一不是啊， 那我来看一下 b 选项，我一样，这是一个角，我说一边延长和另一边的什么加角，这个才是外角啊，所以我说 b 也不对啊，然后 c 更不用说了啊，我说这是这个角，我需要延长一边和另一边角的另一边的加角啊，所以我说 c 不是， 而 d 呢？我说延长 然后一边的加角，所以没问题啊，那这个题选就是 d 啊，这里面需要掌握两个点啊，第一个点就是我说 需要会画外角，那其次呢，我说外角定义一定要会啊，就是我们刚才的这一句话啊。接下来我们看一下第二题，我们说象形外角是什么？ d， a， c， 一 百度。好，我找一下 d， a， c， 这是多少？一百度，然后角 b 是 多少？六十度。我们说外角等于与之不相邻的两个内角之和 d， a， c， 好， 我写到这 等于什么？是不是等于角 b 加角 c 啊？好，那接下来我就带进去就可以了，所以一百度等于多少？是不是等于六十度，然后加上一个角 c， 所以 我说角 c 等于多少度？四十度啊，那这个题选 d 就 可以了。 接下来我们看一下第三题啊，如图，我说 c， o， d， c， o， d， 我是 七十度，找一下有没有对顶角，对顶角就是这两个角，就是两条直线交起来之后，这两个角除以对顶角， 其次这两个角也属于什么对顶角啊，这个是七十，所以上面这个角也是多少？七十。然后我说 a、 b、 e， 好， 我找一下 a、 b、 e， 是 不是可以理解为这个象形的什么外角是多少？一百三十度啊， 等于什么？不相邻的两个内角合，所以等于这两个角合是多少？一百三十度，这个角是七十度减七十度，等于多少？六十度啊？好，我直接写这个角是什么？就是角 o a、 b 啊。那问的是什么？是不是问的是 b a o 就是 吗？ o a b 啊，所以是多少六十度啊？那这个题选就是 b 啊。 接下来我们看一下第四题啊。我说平行可以得到同位角，怎么样？相等？内错角也是什么相等啊？所以我出现两组角相等，然后正什么？我说 e j h e j h 在 这个位置，我说了平行是不是这个角画到这了，所以需要正是什么？我说 e、 j、 h， 然后大于什么？角 b？ 我 说可不可以得到？可以啊，我刚才说了，我说 x 型的外角等于与之不相邻的两个内角之和，所以我说这个角一定大于它，也大于它啊。所以我说它成立吗？成立。所以它成立吗？成立啊。 然后接下来我们写一下这个证明过程，看一下啊。我说平行同位角相等 a、 d， e 和它同位角是什么？是不是角 b？ 所以 我说这个信号代表是什么？角 b？ 然后又因为我说 e、 j、 h 大 于什么 a 大 于它不相邻的任意一个内角，也就是说我说这个角大于它，同样这个角也大于它啊。 所以我写到是不是大于什么角 b 啊？我是不是得到大于角 b 啊？角 b 就 什么 a， d， e， 所以 我说它大于角 a、 d、 e 没有问题啊。那我们看一下判断正确的是 a 选项，我们说心和三角内容相同吗？相同，所以 a 选项错了， 角 b 选项，我说它代表的是什么？来看一下刚才说过了是什么角 b 啊，所以不是 a、 c、 b 啊，错了。然后 c 呢？我说圈代表是内错角，你看啊，这两个角属于什么角？我刚才说了，这两个角属于什么同位角啊， 所以我说圈他不对啊，是同微角相等啊，那 c 也错了，我来看一下 d， 我 说这个代表是什么？我说三角形的外角大于任意一个与它不相邻的内角，没有问题啊，刚才解释过了，那这个题选就是 d 啊。 接下来我们看一下第五题，角 a 四十度。好，我直接标记啊，然后平行，我去找一下有没有相等的角啊？ d、 f 平行什么 ab， 所以 我说这两个角什么关系相等啊？ 角 d 是 多少七十，所以这个角也是多少？七十。那我们发现这个角有什么特点？是不是三角形 a、 c 的 什么外角，那等于什么？与之不相邻的两个内角合，所以它等于这两个角合， 那这个角七十，这个角是四十，所以这个角可以算吗？可以啊，是多少三十度啊。这个题问是什么 a、 c、 d， 那 我就结束了啊， 好，我们简单列一下思路啊，平行就是 ab， 平行于什么 d， f 是 不是可以得到？我说角 c、 b 等于什么角 d 等于多少？是不是七十度？我说他是什么外角，所以我说角 c、 b 是 不是等于什么角？ a、 c、 d， 然后加上一个角什么 a、 c、 d， 然后这个是七十，然后这个角是四十，所以我说这个角是多少三十啊？嗯，这个题就讲解完了，我说用的是什么外角，然后加什么平行的性质啊， 一定要会啊，相对来说难度系数不高，掌握啊，就属于基础题。接下来我们看一下第六题，我说平分，所以我说这两个角什么关系相等啊？角 b 是 多少？三十二度，然后角 e 是 多少？三十六度？ a 可以 算哪个角？我说 x 是 外角，对吧？ 你看这个造型中这两内角是不是知道，所以这个也是外角？可以啊，然后角 e、 c、 d， 然后等于什么角 b 加上一个什么角 e 啊，所以等于多少？是不是等于这两个角之和是多少？六十八度啊？好，我写到这，这是六十八，所以这个角也是多少六十八，所以我就会得到这个大角。我写出来啊，就是我说角 a、 c、 d 是 不是等于一百三十六度啊？我们说 a、 c、 d 这个大角呢？是不是三角形 a、 b、 c 的 外角？是啊，所以我说它还等于什么？是不是等于角 b 加上一个角什么 b、 a、 c 啊， 那所以我说角 b 是 多少？三十二度？我说 b、 a、 c， 可以 说吧？可以啊，所以我说角 b、 a、 c 等于一百三十六度，然后减去三十二度等于多少？一百零四度啊， 那我说这个题到问什么，我说 b、 a、 c、 a 是 不是就结束了？这是我说的第一问啊，接下来我写一下过程啊，减，好，我先写第一问啊，需要这个六十八度先出现啊。好，我用是什么外角，我直接写，因为角 b 等于什么三十二度， 然后角 e 等于多少？三十六度啊，所以我得到角 e、 c、 d， 然后等于什么？角 b 加角 e 啊，所以等于多少？是不是等于六十八度啊？接下来是不是我需要选这个大角了，对吧？用角平分线，先用一下，我说先得到这个角是六十八度啊，所以用一下角平分线啊，因为什么 c、 e 平分角什么 a、 c、 d， 这是不是跟我说原话术不一样？那为了我说保持一致，我可以把这句话写下来。没有问题啊，就是替换这个部分，那这个部分我就不再写了啊，平分。所以我是不是得到角 a、 c、 e， 然后等于什么角 e、 c、 d 啊？等于多少？是不是等于六十八度？所以我是不是可以得到我说这个大角 a、 c、 d 啊，所以我说 a、 c、 d 等于什么角 a、 c、 e， 然后加上一个角什么 e、 c、 d 啊，所以等于多少？一百三十六度啊，也就这个角出现了， 然后接下来是不要用外角了，就是我说三角形，哪个角形？这个角要用三角形 abc 的 外角啊， 又因为我说角 a、 c、 d， 然后等于什么角 b， 然后加上一个角 b、 a、 c 啊，那我说角 b， 度数知道吧？知道三十二度，好换个颜色，角 b 三十二。然后我说 a、 c、 d， 知道吧？知道，所以我说 b、 a、 c 可以 算吧？可以啊，所以我说角 b、 a、 c 等于角 a、 c、 d， 然后减去一个角 b 啊，接下来就带角度就可以了，这个一百三十二度，所以等于多少？一百零四度啊， 那我第一问就讲解到这，接下来我们看一下第二问啊，我说 b、 a、 c， 角 b 和角 e。 首先我需要明确 b、 a、 c 等于什么，是不是用三角形的外角 b、 a、 c 是 不是等于？我说这个大角减去它啊？ 是不是等于角 a、 c、 d， 然后减去一个什么角 b 啊？那我说 a、 c、 d 怎么表示？这个角是不是等于这两个角之和？因为角平分线嘛，所以等于二倍的它没有问题吧？等于什么？ a、 c、 d 是 不是等于二倍的角 e、 c、 d 啊？ 然后这个部分没有动啊，所以我直接写下来就可以了。然后接下来我说 ecd 是 什么？好，我再看啊，我说 ecd 是 这个三角形的什么外角，所以我说 ecd 等于这两个角之合啊， 我说角 ecd 等于什么？是不是角 b 加角 e 啊？那我可以怎么样带进去啊？好，我带进去可以得到什么？是不是得到二倍的角 b 加角 e 这个部分就和他怎么样一样？那这个部分不变，给他移下来，然后整理一下展开啊。所以二倍的角 b， 然后加二倍的角 e， 然后减去一个角 b 啊，那我再整理一下，那这个部分合起来是角 b， 加上一个什么二倍的角一啊，这个就是什么结论啊？我就结束了，接下来我写一下证明过程啊，我说先写什么？我是不是需要这个大角？是这两个角之合也等于他的二倍啊？所以我需要把这一步先写出来。先用什么角平分线啊？因为 c、 e 是 三角形 a、 b、 c 外角的什么角平分线？我先写了，所以我是不是得到 a、 c、 e 等于什么角 e、 c、 d 啊？所以我是不是可以得到角 a、 c、 d 这个大角等于这两个角？之后我先写出来 a、 c、 e， 然后加上一个角 e、 c、 d 等于什么？是不是这个角的二倍啊？所以等于二倍的角 e、 c、 d 啊？那我说这一步就结束了，然后接下来我是不是这个角等于什么？是不是也是这个角形的外角啊？好，我直接写，因为角 e、 c、 d 是 三角形 b、 c、 e 的 什么外角？所以我说角 e、 c、 d 是 不是等于角 b 加角 e 啊？ 那我是不是可以把它怎么样带进去啊？所以我是不是得到角 a、 c、 d 等于什么？二倍的角 e、 c、 d 就 等于二倍的角 b 加角 e 啊，那我就放着就可以了。那我说 a、 c、 d 表示出来了吗？表示出来了，那我说 a、 c、 d 还是什么？是不是三角形 abc 的 外角啊？好，我再写一下， 因为角 a、 c、 d 是 三角形 abc 的 外角，所以我是不是可以得到角 a、 c、 d 等于什么？是不是等于角 b， 然后加上一个角什么 b、 a、 c 啊？ 所以我是不是可以得到角 b、 a、 c 啊？ b、 a、 c 等于什么？是不是等于角 a、 c、 d， 然后减去一个什么角 b？ 我 说 a、 c、 d 是 不是有它，所以我是不是可以带进去啊？等于什么？ 是不是等于二倍的什么角 b， 然后加角 e 减去一个什么角 b 啊？那我再整理一下，所以是什么二倍的角 b， 然后加二倍的角 e 减角 b 啊，所以整理我是不是角 b 加上什么二倍的角 e 啊？那这个题我就讲解到这， 接下来我们看一下第七题啊，我们说角一、角二、角三是什么外角？我们为什么角一加角二的度数。好，我来看一下这个图中可以知道什么， 你注意啊，我说这个角可以看出来吗？可以啊，这是十二、十、三、十、四十，所以这个角是多少？ 这个对应是什么？四十五，所以我说角三是等于多少？四十五啊，我们把它记成什么？角四，然后角五，所以我说角三是四十五度，它是什么外角？所以我是不是得到角四加角五等于多少？是不是等于 四十五度？二？那为什么我说角一加角二？那好，我说角二，则表示我说角二等于什么？一百八十度，然后减去一个角四，又什么零补角二？ 那角一呢？是不是等于一百八十度？减去一个什么角五？那角一加角二。好，我加起来等于什么？全部加起来，这两个一加是多少？三百六十度，然后减去一个角四减角五。好，我减号是不是可以提出来等于多少？三百六十度，然后减去括号里面什么角四加角五啊？ 那角四加角五是多少？四十五度？好，我们直接带进去啊。所以等于三百六十度。减去四十五度，所以等于多少？三百一十五度啊。那这个题我们选 d 就 结束了啊。

八、下数学最难的二次根式高频考点全部吃透，考试稳上九十五加新。八下数学二次根式高频考点题型一，二次根式的概念题型。二，求二次根式的值题型。三，求二次根式中的参数题型。四、二次根 式的性质化解题型。六，二次根式的概念题型。七、最减二次根式题型。八，二次根式大小比较题型。九、二次根式的化解求值题型。十一、二次根式的应用完整版取件码三、二二。

免费带着你一起预习课本，不跟着我一起看真可惜了。八年级数学下册的课本第四十二页 啊，这道题啊，课本上这个例题啊，好长好长啊！呃，其实我们大家可以简单地去理解一下，那么对于这样的题目，咱们怎么做呢？咱们一定要先把已知看清楚，跟着我一起看。 a、 c 等于 b， c 加 c 等于九十度。 好，角 c， 九数的标一下， a， c 等于 b， c， 好， 那就是等腰直角三角形，所以这个角就是四十五度，但是这个角也是 角平分线， a、 d 是 三角形的角平分线，所以这个角 c、 a、 d 等于角。 b、 a、 d 都是二十二点五度， 当然要不要用就不知道，等会再看，我们先知道它是二十二点五度，好，已知 d、 e 呢，是垂直于 ab 的， 哎， 这里的垂直什么意思呢？代表着角平分线上的点大小的两边距离相等啊。这角平分线上的点大，也就是 c、 d 的 d， 而这里的 c、 d 等于 d、 e 呢？因为这个四十五度，这里，哎，这里又有垂直，这里又有垂直，所以，那么这个角也是四十五度， 对吧？也就是 e、 d， b 是 等于 g 角三，所以 e、 d 就 等于 e、 b， 哎，那就得到了 c， d 等于 d， e 等于 b， e， 对吧？那么这个第一个问， c、 d 等于四，那么 c、 d 等于四，那就是 d 也等于四，那就是 b 也等于四。你看这个等于四，这个等于四，这个等于四，然后这个等腰直角在这边等于四根，哈， 那么 b、 c 就是 四加四根号，而 a、 c 等于 b， c 是 题目的已知条件，所以这个 a、 c 也就等于四，加上 a、 c 等于四，加上四根号二， 对吧？哎，就比较容易了。好，第二个要求着 a b 等于 a， c 加 ad， 你 看 a， b 等于什么呢？ a b 是 等于 a e， a， b 是 等于 a e 加 e b 的， 那么 a， e 呢？是等于 a c 的。 刚才我们可以证明 a、 c、 d 与 a、 e、 d 两个三角形，你看这个是直角，这是直角，对吧？这个角平行角 c， a d 等于角 e a d， 然后 a、 d 是 公共边，对吧？根据 a a， a a s 两相切等，那么所以 a c 等于 a e， 然后呢？这个刚才我们说了 c d 等于 d， e 呢等于 b e， 所以 这个 c、 d 的 b e 呢，又等于 c d， 对 吧？所以这个 a、 b 的 ac 加 cd 就 等于呃，等于 a， e 加 e， b 就 等于 ac 加 cd 啊，这个由时间呢，这个书上有过程，所以我就只是嘴巴上跟大家解释一遍，要写呀，又要好长时间啊。我们下面看到这个 角平分线 b m 如 c n， 它的平分线加一点 p， 求证，这个角 a 的 平分线呢，也是经过这点 p 的， 那么这里呢，我们就要反复运用 角平分线的性质定义与逆定义。好，我们先做 p， 什么东西呢？我们做 p d 垂直于 ab， 做 p e 垂直于 bc， 那 么由于点 p e 在 角 abc 的 平行线上，所以 p d 等于 p e。 好， 我们再来做这个 p p 什么呢？比如说 p f， 我 们再来做 p f， 测出 a c， 由于这个点 p 在 角 a c、 b 的 平分线上，所以 pe 等于 p f。 好 等量到半，所以 p d 等于 p f。 那 么到角的两边呃距离相等的点呢？在角的平分线上 啊，由 p d 的 平分线上既角 a 的 平分线经过点 p 啊，这里的说明上这个过程呢，这里有有时间呢，我就这么说一下，三零的三条角平分线呢，是加入一点的，并且这一点到三边的距离相等，呃，这个点呢，以后我们把它叫做内心啊，以后我们再说，我们看到下面的例题， 角 a， c， b 等于九十度，角 b 等于六十度。 a d， c， e 是 角平分线 a d c e a d c 角平分，所以角一等于这个二分之一角 b a c。 角二等于二分之一角 b c a， 那 么这个角 b 等于六十度，所以角 b a c 加角 b c 啊，等于这个一百八十几，六十，一百二十，所以角一加角二呢，就应该等于一百二十，一般也等于六十度，所以这个角 叫做角 a， f c 也就是等于什么东西呢？这是一条直线 啊，这是，所以就等于角 e， f， d 等于一百二十度。由于这地方又有垂直的啊， f m f n f m 垂直 ab f m， 所以 那么这个是六十度，这里直角，这直角， 当四边形 b m， f n 一 组对角互补的时候，另一组对角也互补，所以那么这样呢，我们就可以等于角 m， f m 都等于一百二十度， 就是说角 e， f d 等于角 m， f m 等于一百二十度，所以我们这里得到一个关键呢，就是角 e， f m 等于角 d， f m 就是 这两个小的角， 这两个小的角，而我们说什么呢？我们说这个 a， 因为刚才我们在这里证明了对角平分线，这个 f 呢，在角 b， s， e 的 平分线上，所以 f m 等于。 好，我们做一个等于 f 什么呢？比如说我们等于 f p， 对 吧？然后 f p 要等于 f m， 所以 f m 等于 f m。 好，那么这里我们说有一个直角三角形 m f e 就 全等于三角形， 嗯，叫做 d f m。 理由什么呢？你看这两个角刚才说相等，这个 f m 等于这个 f d， 那 a s a 两个三角全等的时候，所以它的斜边 f e 等于 f d f e 等于 f d 啊。 呃，有时间呢，可能就过程没办法都写出来了啊。跟你提示你怎么做，自己在认真去练一练，把过程写清楚，记得点赞关注哦。

在很久很久以前，没有量角器，也没有直角尺，古人却能精准地画出直角柱，起笔直的城墙，铺出平整的道路， 他们靠的竟是一根打了结的长绳。这位老工匠把长绳等距打上十三个结，像这样分别取三段、四段、五段的长度，用木桩固定成一个三角形。这个三角形里竟稳稳地出现了一个直角。 三、四、五这三个简单的数字藏着怎样的秘密？今天，我们就从这根古老的绳子出发，一起探索勾股定律的另一面，它的逆定律，看看平方和相等的三角形是否真的都是直角三角形。 由勾股定律可以知道，直角三角形的两条直角边长的平方和等于斜边长的平方。 反过来，如果三角形的三条边满足两条边长的平方和等于第三条边长的平方，那么这个三角形是不是直角三角形呢？

我们先一起来回顾两个旧知识，第一，勾股定律的内容是什么？谁能举手说一说？第二，我们之前学过哪些三角形全等的判定方法？ 在八年级上册中，我们曾经通过探究得出结论，斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。 当时我们是通过画图叠合，直观感受得到的，并没有进行严格的数学证明。今天这节课我们就带着刚学到的勾股定律来完成这个证明。 同时我们还要解决一个新问题，我们知道任何实数都能用数轴上的点来表示，那像根号十三、根号十七这样的五理数又该怎么在数轴上精准画出来呢？ 今天就让我们一起走进勾股定律的应用世界，用代数的工具解决几何的问题，用图形的直观感受数的奥秘。

八下数学最难的重点公式加考点全部吃透，考试稳上九十五加二零二六新。八下数学重点公式加考点一、二次公式二，三大必备公式三，最简二次公式四，同类二次公式五、二次公式计算规则二、勾股定律一、核心公式二、常用变性公式三，必备重要结论四、高频考点 三、四边形一、平行四边形二、面积三、矩形。特殊的平行四边形、菱形平，特殊的平行四边形四、正方形五、直角梯形等腰梯形六、四边形之间的关系完整版取件码四五五。

同学们晚上好。好，今天我们接着看第一张三角形的证明习题，一点一的第二题啊，我们在第一节中学了 一个定理啊，老师，原方不动搬过来啊，简称角角 a， 两个角相等，一个边相等，两个三角形全等。好， 继续推拓展为全等三角形对应边相等，对应角相等，这个都是推导出来要记住的啊，我们就不 详细讲了，我们主要是给大家讲课后题怎么做，检查一下你作业做的对不对。好，我们下面开始读题，如图，三角形 abc 啊，这个三角形和三角形 cda 啊，这个上面这三角形中，其中 ab 平行于 ab 平行于 cd， 我 们边读题边在图上给它标出来， ab 平行于 cd 啊，这两条边相平行，角 b 等于角， d a b 等于三， ab 等于三。让你求什么？求 cd 的 长， cd 的 长啊，就是这个长，怎么做？大家思考一下， 我们从这个图上是不是肉眼可见它其实是 cd 是 等于 ab 的，是不？就你观察出来它应该是等于 ab 的，是不就你要怎么算出来呢？大家想一下。 好，下面我们一起看一下这道题啊，怎么做？不管会不会，我们先把题给它写上， 咱平行。我们说了，课后的练习题，就是用来检测你这节学对了没啊，学会了没啊，你这个定力怎么去用它？所以说老师把这个定力都搬到上面了，你就照着去用它怎么用呢？ 嗯，两个三角形啊，怎么用呢？现在已知条件是两个边平行，两个角相等，要给了一个三角形一个边的长度，让你求另一个三角形一个边长度。 那我们通过定力我们肯定要什么要正，两个三角形怎么样？全等通过什么呀？这不是放这了吗？人家就是要检验你这节课学的这个定理，会不会用角？角边，那我们找吗？角是吧？角 b， 角 d 已经给了一个角 啊，边，哪条边相等呀？中间这条边他们不是重合了吗？公用，所以相等。好 a、 c， 那我们再找一个角相等了，就构成了什么角？角边怎么说？给了个平行，我们这个条件要用起来呀。给了个平行，那我们怎么用？ ab 和 dc 平行是吧？平行两条平行线，什么内错角， 内错角相等是不？那就说因为啊，我们从这给的条件一个一个去给他算，因为 ab 平行于 cd， 得到什么？平行线的 内错角相等就是角 b， a、 c 等于角 a、 c、 d 是 吧？这个条件就相当于间接的给你这两个角相等，又因为又因为什么角 b 啊，你这条件角 b 等于角 d， 且 a、 c 等于 a、 c 啊，老师，板数有点粗糙，能看懂就行。构成了什么？是不是构成了角？角边，所以三角形？ 三角形什么？ a、 b， c、 d 是不全等，所以全等三角形是吗？对应边相等，对应角相等， 所以 c、 d 对 应边， c， d 对 应啥？对应 ab， ab 是 不已知了给多少 ab 等于三， 就这么简单，你做对了吗？好，今天的课就讲到这里，咱们下节课讲第三题啊，检查一下，看你做的对不对，有问题在评论区啊，评论区留言，老师会，如果还有学生不太会，老师会加强去讲的。好，下课 记得点赞关注哦！

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