初二下册华东师大版数学17章基础题

数学八年级下册的重难点第一章二次根式我们需要掌握的是二次根式的概念以及它的运算，还有它的双重非复性以及它的大小比较。那么再往下间接一点难一点的，我们就要需要考虑二次根式它与这个基本不等式之间的关系， 以及二次根式它的最值问题。那么再往下第二章在勾股定律当中，除了要掌握住基本的勾股定律，相关定律以及它的这个公式包括简单的勾股数之外，我们还需要去考虑到 勾股定律当中所涉及到的时实际问题，比如说洞点、桥洞以及它这个台风的问题。那么再往下就到了八年级下册一个相对难学的部分，也就是平行四边形部分， 平行四边形部分呢，它分成了平行四边形，正方形，矩形还有菱形这四个四边形我们需要重点把握住它们各自的概念性质以及判定， 因为在我们再往后做相关的这些证明以及解答题的时候，你的证明过程后面是需要写上这些性质和判定的。 那么再往后呢，就是依次函数，函数是初中阶段的第一次学生们接触这个函数，所以首先第一点你先把函数的概念搞清楚，其次再去理解 整个一次函数它的图像了，增减性了，或者说是对称性了，以及到后面一次函数和这个一元一次方程的结合，或者说是一次函数和这个基本不等式的结合。 以上呢就是八年级下册整个的知识体系，希望能对同学们的学习有所帮助。

都说八年级下册数学是洪水猛兽，其实掌握好全册主次高分不难。第十六章二次根式重点学习二次根式的混合运算和化简求值计算是送分题，这分不能丢。 第十七章勾股定力一定要用心学勾股定力及情意定力应用问题包括最短路径问题。 第十八章平行四边形比较简单，重点是平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质判定及其应用等。第十九章一次函数计算式核心比较难，涉及一次函数与方程不等式。

初二数学下册，很多孩子解分式方程老是丢分，今天我就带大家走一遍。来，我们看一下这道题。 找公分母，左边的分母是 x 减一，右边是 x 加二，两边不一样，所以它们的公分母就是两个相乘。第二步去分母，两边同时乘以公分母。第三步解方程 x 等于七。很多人坐到这里就停了，直接写答案，这是错的。分式方程要检验，因为分母不能为零， x 等于七，带到分母中， 分母都不为零，所以 x 等于七是圆方程的解。我们再来看一下这道题，公分母式两边同时乘以公分母，解方程 把 x 等于一带到分母中来，因为分母为零，这个解不能要，所以原方程无解 解分式方成分。四步走，一找公分母，二去分母，三解方程，四检验。第四步检验不能漏。粉丝群里有单元社区卷，需要的自学，下次讲函数。

嗨，各位同学们，大家晚上好，还有几天时间就要开学了，然后剩这几天时间呢，嗯，一一是我想让自己 调整状态，然后去迎接开学，也希望同学们去调整自己的作息，调整状态，然后进入到开学前的准备当中来。 从今天开始。嗯，给大家录几个课程讲解的视频，然后希望对同学们有所帮助。因为今年我教的是八年级，所以我现在对八年级下册数学第一章的内容分式进行一下讲解。首先我们来学习分式的概念， 形如 b 分 之 a 这样的式子，其实就叫做分式，当然他有一个前提要求，就是 b 当中必须得含有字母。好，这是一个重点。 然后我们七年级的时候是学过整式的，然后我们现在学习的是分式，他们统称为有理式。 而这个整式当中大家还记不记得是包括两种类型，一个叫做单向式，另一类对，就叫做多项式。 好，然后再加上我们现在学习的分式，那么统称为有理式。 现在我们就来区分一下整式和分式。其实我觉得我们直接来找分式就比较好找，然后你就记住一点，分式当中的分母必须得含有字母，记住这一点就可以了。 好，那我们就找分母当中含有字母的呗。首先第一个分母当中含有字母，第三个分母当中含有字母， 而这个二和三呢？他都是数字吗？所以他们是整式。而最后一个呢？最后一个特别容易搞错的是拍 这个拍是圆周率，他约等于三点一四，他是数字，可不是字母哈。这个地方有很多同学容易搞错，所以分式的话就是这两个，而整式的话呢，就是这三个。 现在我们来学习第二块有无意义的条件。我们知道那个分式它的形式是 b 分 之 a 想要有意义，那肯定是分母不能为零的，所以也就是 b 不 能等于零，它是有意义的。那相反， 要是没有意义，那就是分母为零了，分母为零的时候就是没有意义的。好，我们来看一下题大 s 取什么值的时候，分式是有意义的。好，那我们就去对照，让分母不为零就可以了。我们首先看第一个题， 第一个题分母是 x 减二，那我们就让 x 减二不等于零，而解出来 x 就 不等于二，在 x 不 等于二的前提条件下，它才是有意义的。 然后第二个小题也是一样的，我们让分母不等于零，来我们解一下 x 的 值。 好，这个不等于零的话，其实是跟等于零，他的解法是一样的，那就是 s 的 平方是不等于四的，那 x 就 不等于正负二，因为正负二的平方都是四， 所以这个当 s 不 等于正负二的时候，这个整个分式才是有意义的。而最后一个我们来看一下，最后一个其实也是让分母不为零嘛。好，我们看看。 哎，这个形式，大家会发现它其实 s 为任何值的时候，它都不可能等于零，为什么呢？是因为 x 的 平方， s 平方大家都知道是怎么样的呢？对，大于等于零的，因为平方就非负性嘛，就是不管是正数、负数啊，或者是零啊，它平方过之后，它 都是大于零或者等于零的，所以当它加上个一之后，它整个这个整体，它是处于一个大于等于一的这种情况，所以它是不可能等于零的。那这个我们怎么说呢？这个我们就可以说 x 可以 为 任何实数，这个时候为任何实数，这个分式都是有意义的。好，就这个题第三个题比较特殊一点， 那我们再来看一道很无意义的情况，嗯，那没有意义的话，就是让它的分母为零就可以了。那我们看这个题， 当 x 等于什么的时候，分式它是没有意义的，那我们就让这个分母等于零。好， x 乘以 x 减一，让它等于零就可以了。 那这个我们怎么去减呢？是这样的，它是两部分相乘的形式，那大家知道两部分相乘的时候，必须得有一部分为零，那么他们的成绩才可能为零， 所以可能 x 等于零，也可能 x 减一等于零，这两种情况都是可以的， 所以最终我们解出来是 x 等于零或者 x 等于一，这两种情况下它都是没有意义的，所以这个答案我们就写为零或一。 现在我们来看最后一部分，分式的值为零， 想要让分式 b 分 之 a 为零的话，那大家想只能让分子为零啊，对吧？因为，嗯，分母为零的话，它是没有意义的。 所以呢，这种题我们在做的时候，必须保证 a 等于零，且 b 不 等于零，这两个条件必须同时满足，所以大家记住这个词叫同时，必须得是同时满足才可以。 好，我们看一下这个题，当 s 等于什么的时候，它的值为零。哎，那我们这两方面都考虑哈，来，带到这个里面去，看我们怎么做。首先我们要让分子为零， 然后还要让分母不等于零，那我们来解一下它两个条件同时满足的时候是怎样的。首先第一个我们能解出来 x 是 等于零的，而第二个解出来是 x 是 不等于负二，哎，你他等于零了，那他就不等于负二啊，对吧？所以我们直接让 x 不， x 等于零就可以了。 好，第一个比较简单，要看第二个的话，我们来看一下啊。 第二个还是同样的，我们要让分子为零。好，我们来写下来 s 的 绝对值减二是要为零的，分子为零 哦，分母不能为零哈，分母一定不能为零，因为有为零的话，它就没有意义了，对不对？一定要记住这一点是没有意义的啊。好，我们来解一下 s 的 绝对值。好，跟解方程是一样的。同学们，我们把这个减二挪过去一下，用编号嘛， s 的 绝对值等于二，哎，这个我们再继续解，解出来 s 绝对值等于二的时候， s 等于什么？ s 等于正负二。好，那我直接这样写吧， x 就 等于正负二，哎，那么算出来 x 是 有两个值哈。那我们再看下面这个 s 减二不等于零，那就说明 x 不 等于二。哎，这两个条件必须得是同时满足的哈，同时满足的话，你可以等于正负二，而这里我又不允许等于二， 那我只能让 s 等于什么了？对， s 只能等于负二了，这个时候才能保证它的整个值是为零的。

hello， 大家好，从今天开始，我们就来把八年下册和七年下一册的每一章节的知识点进行归纳总结，总结出它的考点。 好，今天我们先来总结八下第一张三角形的证明及其应用，每一节里面它相对的知识点及其考点。好，先来看第一个知识点，就是三角形的内角和定力， 而这个定律大家只需要记住就可以了。三角形三个内角的和等于一百八十度，而这个定律在书本上是进行了推导，而我们在考试一般情况下是不需要大家去进行推导的，所以只需要记住这一句话就行了， 并且我们要知道，只要是一个三角形，它的内角和都是一百八十度，和它具体的什么呀？形状和种类是没有关系的，这是第一个考点，非常简单。那么第二个考点就是全等三角形的判定及其性质，就是如何去判定两个三角形全等。好， 已知两角对应相等，任意寻找一边对应相等，如果这个边是这两个角的夹边，那我们用的就是 a s a， 如果说这个边是其中一个等角的对边，那就是 a a s 啊，这是两个判定定律，如果已知一角及其一邻边对应相等，寻找另一邻边，那这时候就是什么呀？ s a s 或者是任意一角对应相等啊，如果说再给你一个角，那就可能是什么呀？ a a s 或者是 a s a， 已知两边对应相等，寻找假角，两边和假角，那就是什么呀？ s a s 或者第三边，那就是 s s s， 无非这么多，它总结而言就是四个判定定律，分别是 s， s， s， s， a， s a s a 以及 a a s， 那 在这里面大家需要注意， s 指的就是边，如果这个 a 是 在中间， a 指的是角，如果 a 在 中间，就是两边及其夹角相等。如果是 s 在 中间，就指的是两角及其夹边相等啊。 在这里面要需要注意的是， s s a， 它是不能作为判定两个三角形全等的条件。为什么呢？我们来看这个啊，已知 这条边是相等的边。另外我们用圆规做出 a c 等于 a c 片，那三角形 abc 和三角形 abc 片是不是满足两边相等，并且这个假角也相等，并且这个角也相等。 s s a， 但你看，一个是钝角三角形，一个是锐角三角形，它是不是就不全等？ 所以一定要注意啊， s s a 是 不能正全等的啊，他有可能全等，有可能不全等，所以他不能做一个判定的定力。 第二个就是全等，三角形的性质全等，三角形的对应边，什么呀？相等，对应角也相等，就是一旦他告诉你这两个三角形全等，那么他对应的边和角都是相等的，那么他对应的三角形的周长，三角形的面积都是相等的。这是第二个知识点。第三个知识点就是外角。 首先我们要知道啊，三角形内角的一边取另外一边，你看另外一边的什么呀？延长线所组成的角，你看这个是三角形的一边，这是另外一边的延长线所组成的角，叫做什么呀？叫做外角，大家要区分出来啊。 那为什么我们要提外角呢？因为三角形的内角和定力有两个推论，而这两个推论都和外角有关系。第一个推论是什么呢？就是三角形那个外角等于与他不相邻的什么呀？两个内角的和， 这个很好理解啊，为什么呢？你看这个外角与他不相邻等于他不相邻的两个内角和。因为三角形内角和是一百八角 a 加角 b 加上角一是不是等于一百八十度？而这平角角一加上角 a、 c、 d 是 不是也是一百八十度？所以角 a、 c、 d 就 等于角 a 加角 b。 这个我们知道之后就可以直接用来做题啊。那当然第二个推论就是三角形的一个外角大于任何一个与他不相邻的内角， 这个就更好理解，因为刚才我们说了啊，这个外角是等于与它不相邻两个内角的和，就这两个角相加才等于角 a、 c、 d 的 度数，所以角 a、 c、 d 肯定大于角 a 也大于角 b， 那 就出来了吗？三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角啊，这个我们在具体运用的时候也可以直接用啊，就是它让你判断角的大小的时候，大家都可以去用。 好，那第六个知识点就是多边形的内角和与外角和定里，这个内角和定里啊，我们当时也说了啊， 他多边形有三角形、四边形、五边形、六边形，他的内角和就是什么呀？就是一百八十度乘上 n 减二。为什么呢？你看 这个 n 指的是这个多边形的边数，三角形 n 是 不是等于三？是不是三个边三减二是一，一乘一百八，三角形内角和是一百八十度，四边形四边形 n 是 四，四减二是二，二乘一百八是三百六十度 啊，所以说它就是 n 减二，或者就是我们来看啊，三角形就是一个三角形，四边形可以分成两个三角形，五边形可以分成三个三角形啊，过一个顶点， 那这时候一个三角形是一百八十度，那两个三角形三个三角形，那就是两个一百八十度，三个一百二十度，而这个二是四减二，这个三是五减二，那不就是 n 减二吗？所以就是一百八十度乘上 n 减二，就是什么呀？多边形的内角和， 那么如果它是正多边形，每一个内角的度数是不是就等于总共的度数除以它的边数，那就是如果是正多边形，每一个内角的度数就是 n 分 之一百八十度乘 n 减二，这个是关于它的内角和啊，大家需要注意， 那这个外角和定理非常简单，大家只需要记住啊，就是任何一个什么呀，多边形的外角和都是三百六十度啊，就记住这个就行了。那正方边形每一个外角他是 正四边形，那正方形的就是除以四吗？每一个外角度数就是九十度啊，因为他每一个外角，他如果正多边形，每个外角都是相等的，只需要记住他的外角和是三百六十度就可以了。 那么到了第二张的，那到了第一张的第二节，我们学习的等腰三角形，首先你要知道啊，对于等腰三角形，从他的定义上而讲，他就是有一个三角形，他的两条边相等， 那么这两条相等的边叫做他的腰，他是一个等腰三角形，那对于这两个腰所加的这个角叫做什么呀？顶角，顶角和底角是针对于谁而言？ 是不是就针对于等腰三角形才有普通的三角形？咱就不说顶角和底角之分啊，要注意。另外， 如果腰相等，他们对应的角也相等，所以我们就可以说，因为 ab 等于 ac， 所以 角 b 等于角 c， 我 们当时记作这叫什么呀？等边对等角，后期我们会学等角对等边。另外，等腰三角形还有个非常重要的性质，我们起个名字叫做三线合一。 什么叫三线合一啊？三线合一的前提条件是必须是什么？必须是等腰三角形，如果不是等腰三角形，就不存在三线合一好，三线合一哪三线？如果这是一个等腰三角形，那么这条线我们如果过点 a 向底边 bc 做垂线， 那么这个 a、 d 就 叫做什么呀？底边的高线，如果说 e 是 b、 c 的 中点，那么连接 a、 e、 a、 e 就 叫做什么呀？叫做中线。如果说这个 a、 f 平分角 b a、 c， 那 a、 f 是 不是就是顶角的角平分线， 当它是等腰三角形的时候，这三条线会重合，所以我们叫做三线合一。那么三线合一在生活中怎么运用呢？就说如果你已经知道它是等腰三角形了，告诉你它是高线， 那么它一定就是中线，一定就是角平分线。我们的几何圆怎么来说呢？就比如说来看这个啊，我们说在等腰三角形 a、 b、 c 中， 如果告诉你 a、 d 垂直 bc， 那 我们直接就可以得，则 a、 d 是 bc 的 中线，那就是 d 是 bc， 中点也可以写成 b、 d 等于 c、 d 还可以得什么呀？ a、 d 平分角 b、 a、 d 等于角 c、 a、 d 啊，这就是我们的三线合一，前一条线就是已知等腰，再知道这三线中的其中一个线，另外两个就可以直接用啊，就不需要再推倒了，直接就可以用就行了。这是关于等腰三角形大家需要注意的地方。 另外等腰三角形还有几个常用的结论，或者说拓展，我们来看一下啊。首先就是等腰三角形两腰上的高中线分别对应相等。我们举个例子啊，这等腰三角形两腰上的高就是做垂线，做完垂线之后，我们可以去证明 三角形 abd 全等三角形 acd 证完之后， bd 就 等于 c e 了， 那么他就是什么呀，高就相等了，中线同样可以用这个方法啊，至于怎么正的，首先 ab 是 不是等于 ac， 这是一个边了对不对？然后角 a 是 不是一个公共角？另外垂直是不是还有两个角，对吧？所以我们就可以去正啊，用 a a s 就 可以正了。 然后第二个结论，等腰三角形两底角的平分线相等，那和刚才那个一样，就是通过正全等去正。 大家在遇到小题的时候，直接记这个结论就行了，就是等腰三角形两腰上的高线、中线以及两极角的平分线都是什么呀？相等的。还有一个非常重要，用的比较多的，就是等腰三角形底边上的高线上，任意点到两腰的距离相等， 好到两腰距离，是不是就往两腰做垂线， 对吧？那因为我们看啊，因为这个是他的高线，所以他就是角平分线，而角平分线上点到角两边的距离相等，所以说我们做完垂线之后，这两个距离是相等的，后期我们会给大家去正啊，现在需要记住就可以了。 好，那么这一节的第二个知识点就什么呀？反正法。什么是反正法？就是我们要先去假设这个命题的什么呀？条件是不成立的， 然后推导出来他这个结论与事实啊，或者是我们一些定律啊，什么相矛盾，然后从而去证明这个命题的结论。什么呀？一定要先去假设这个命题的什么呀？结论不成立啊，写错了，结论不成立，然后推导出他与这个条件呢，或者是已知的生活中的事实相矛盾， 然后从而去进行证明的方法。我们叫做什么呀？叫做反证法。 那么反正法在考试中啊，其实正规考试中用的也不是特别多，但是大家需要知道这个方法。然后第三个知识点就是等边三角形的性质定律。那等边三角形其实就在等腰的基础上，什么呀？变成了三条边都相等的 三角形，那么他就满足什么呀？等腰三角形的所有性质。比如说，哎，他不一样的就是三条边相等，三个内角都相等，都是六十度，对吧？然后他有这个等腰三角形的特殊性质，他也有什么呀？三线合一，只不过是等腰三角形，只是个三线合一的线， 他是在底边上，而这个等边三角形是每一条边上都有三线合一的线啊，这个大家需要知道就行。另外如果已经知道等腰了，如何去正等边？就是如果等腰三角形，只要在满足其中一个内角是六十度，就可以证明他是什么呀，等边三角形。 那么第四个知识点啊，是我们考试用的最多就是含三十度角的直角三角形的性质定律，他到我们九年级也会用，就说在直角三角形中，如果一个锐角等于三十度，那么他所对的直角边就等于什么呀？就等于斜边的一半， 什么意思呢？就说前提条件，他必须是什么？必须是直角三角形才行啊。就是说你看这是个直角三角形，然后有个锐角是三十度，那么这三十度所对的这条边 a c 就是 斜边 ab 的 一半，就 ac 等于 二分之一 ab。 那 想用这个结论必须摆明第一直角三角形，第二有一个锐角是三十度，才能用这个结论。 好，那到第三节我们又学习了直角三角形。直角三角形有哪些重点呢？我们先来看第一个知识点，就是直角三角形的性质。什么性质？直角三角形说明这个三角形有一个角是直角，根据三角形内角和他有一个角是直角，那另外两个角的和肯定等于一百等于九十度。所以说 直角三角形，两个锐角什么关系啊？互为两个角啊，两个角互为 九十度啊，互余只能是两个角的关系好。另外他的边直角三角形的边满是他的角满足的关系，边满足的关系就是两条直角边的平方和等于什么呀？等于斜边的平方， 这个是我们八上学过的啊，大家需要注意，就是给你提到直角三角形边和角的关系，你要立马反应出来。然后第二个就是直角三角形的一个判定定律，就是如何去判定一个图形，一个三角形是直角三角形呢？就是如果说他有两个角互余， 那么这样的三角形，它就是直角三角形。另外可以根据定义，就是有一个角是九十度，那这个三角形就也是什么呀？也是直角三角形，那这是从角的角度上去判定的，那么如果从边的角度上去判定，那就是 如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形的性质。下边是直角三角形的判定啊，大家可以去 消化理解一下。然后第三个就是互逆命题和互逆定律。好，首先我们要看什么叫互逆命题，就是条件和结论交换。你看，如果说这个条件， 这是条件，然后这是结论，那反过来把结论当成条件，条件当成结论就是原命题的。什么呀？逆命题好，我们举个很简单例子说，如果 a 等于 b， 则 a 的 绝对值就等于 b 的 绝对值，这个是原命题的话，那么它的逆命题就是如果 a 的 绝对值等于 b 的 绝对值，那么 a 等于 b 啊，这个写则写，那么都可以。好，这叫做互逆命题。互逆命题不存在正确与否呢，就首先它必须是正确的啊。来看， 如果 a 等 b， 则 a 的 绝对等于 b 的 角，它是个正确的，对吧？那这时候反过来，如果 a 的 绝对等于 b 的 角，那么 a 等于 b， 它不正确。比如说负二的绝对值等于二的绝对值，但负二不等于二，那么这是一个什么呀？假命题啊。互逆定律就是他们都得是什么呀？都得是真命题， 真命题就是正确的命题，假命题就是什么呀？错误的命题，大家需要注意就行了啊，命题有真假而定理的话，它就一定是什么呀，一定是真命题，每一个命题都有逆命题啊， 你看这个原命题是一个真命题，但他的逆命题就是一个假命题，所以大家不能笼统的说啊，原命题真命题，逆命题就一定是真命题，这个是错误的，大家需要注意一下。好，那么第四个知识点就只归做三角形，怎么做三角形，大家来看一下啊。 做三角形其实就是要做一个什么呀？做一个垂线，因为直角三角形这个是九十度，那我们就是做射线之后做垂线，然后根据题上已知条件去做就行了。这个考试考的也不是很多，大家了解就可以。 那么这一节另外一个考的比较多的就是直角三角形全等的一个判定。在前面我们已经学了四个判定， s s， s， a， s a 以及 as， 那 么在这节课我们又加入了一个叫做 h l h l 这个判定三角形全等方法，它的前条件必须是什么呀？直角四角形，只有三直角三角形才能用 h l， 这个 h l h 指的是什么呀？斜边 l 指的是直角边，也就是说斜边 和直角边分别相等的两个直角三角形是全等的，就是他首先要寻一条线，得是两个直角三角形啊，然后他们的斜边对应相等，另外还有一个直角边 对应相等，那么就可以说他俩什么呀？全等，全等之后他们的周长相等、面积相等，对应角相等，对应边也相等。 那么到了我们这一张的第四节，就是线段的垂直平分线以及第五节角平分线也是我们用的比较多的内容。好，先来看线段的垂直平分线 他有什么样的，首先他的定义大家都知道啊，就是垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做他垂直平分线，他有怎么样的性质定理呢？这个是我们用的比较多的啊，就是 线段垂直平分线上的点到这个线段什么呀？两个端点的距离相等， 就说只要是这个直线 c、 d 上的点，它到线端 ab， 两个端点距离 ca 和 cb 就是 相等的 啊。只要提到垂直平分线，你就要立马想到首先垂直并且平分这个线段。第二个是它上面的点到线段两端点距离相等，那一旦相等，它就是一个什么呀，等腰三角形了啊，这大家需要注意 好是任意一点啊，这个垂直平行任意一点。然后第二个就是线段垂直平行判定定律，那正好和它相反，对吧？就如果说到一条线段两个端点 距离相等的点， 那么就在这条线上垂直平分线上啊，就如果说他说这个 b、 d 等于 bc， 那 说明点 b 就 在 c、 d 的 垂直平分线上， ac 等于 ad， 那 么点 a 就 在 c、 d 的 垂直平分线上。又根据两点确定一条直线，那么 ab 就 垂直平分 cd， 这是我们去判定 它是垂直平分线的一个常用的方法。就如果只知道一个点，我们举个例子，这里面有个易错点啊，就是有同学会出现这样的错误， 他说因为 ab 等于 bc， 所以 b、 d 垂直 ac， 这就错的啊，你只能说点 b 在 ac 的 垂直平分线上，你并不能说 b、 d 垂直平分 ac， 这个需要注意啊，容易弄混淆的。 然后第三个知识点是什么呢？就是说过直线外一点，用尺规做已知直线的垂线，就是怎么去画图的问题啊，那这个老师在带领大家给大家画一下。 那首先第一步我们以点 p 为圆心啊，以适当长为半径去画弧，这个弧呢是一定要与 l 有 交点的，是两个交点，那现在相当于我们是不是就是 做了一个线段 a、 b， 对 吧？然后接下来去做线段 a、 b 的 垂直平分线。垂直平分线大家都会做啊，点 p 的 话，已经确定是在线段 a、 b 的 垂直线上，那直接就是往下去画一个， 那么这两个弧的交点过这个交点和点 p 做一条线，那么这条线就是什么呀？垂直于直线 l， 并且垂直平分 a、 b。 第四个知识点，三角形三边垂直平分线的一个性质定律就是直角就是三角形，三条边的垂直平分线会相交于一个点，并且这个点到三个顶点的距离相等啊，什么意思呢？我们把这个三角形的三边看成三个线段， 那这时候垂直平分线交于点，这个点，他是在线段 a、 b 的 垂直平分线上，所以他到点 a 和点 b 的 距离相等，他在他是线段 a、 c 的 垂直平分线上点，所以他到点 a 和点 c 的 距离也是相等的， 这大家需要注意，并且他还有什么呀？就是锐角三角形的话，三边垂直平分线的交点是交于内部， 然后直角三角形三边垂直线交点是交于什么呀？斜边的中点。而对于钝角三角形三边垂直线交点是位于三角形的外部，这个大家需要注意一下，然后这个是什么呀？是外心，大家需要注意啊， 这个点在这里面我们叫做外心，外心其实就是外接圆的圆形，就是如果我们以这个点为圆心，然后以这个点到这个顶点的距离为半径画圆，那么这个三角形就在圆的里面。 第五节我们学的是角平分线，主要涉及到两个知识点，一个就是角平分线的性质定律，另外一个角平分线的判定定律， 这两个是比较重要的。现在看第一个性质定律，就是如果说他告诉你这是一个角平分线，你能得到什么呢？你就能得到角平分线的所有的点到这个角的两边的什么呀？距离相等，注意距离在这里面就是垂线段的长度，也就是 如果 o c 平分角 a o b， 那 么这个 o c 上的任何一个点往这个角的两边做垂线，这两个垂线段都是相等的啊，一定要强调做的是垂线，不是任意画两条线。比如说我这样画， 我能说 pm 等于 p n 吗？不能啊，必须是距离相等，也就这里面我们要满足 p d 垂直 o a 逗号 p e 垂直 o b， 满足这两个大前提才能得 p d 等于 p e。 那 反过来角平分线的判定定律是什么呢？就是把它反过来就说，如果说在一个角内部到角的两边距离相等的点在什么呀？在这个角的 角平分线上， 也就说如果我们知道啊 p d 垂直 o a， p e 垂直 o b， 且 p d 等于 p e， 那 么点 p 就 在 点 p 还在 o a 上， o c 上，那就说明 o c 平分角 a o b， 你 看 p d 等于 p e， 那 就说明它在它的角平分线上，也就是 o p 平分角 a o b， 那 我们知道角三角形里面有三个角，所以说它就有三条角平分线，那么这三条角平分线呢？也会交于点， 那这个点他是到三边的距离相等，注意是三边，为什么呢？因为他是角平分线的交点，角平分线的点到角两边的距离相等，你看这里面这个角的两边正好是三角形的两条边 啊，所以说他是到三边的距离相等。那么这时候如果以这个点为圆心，以这个点到其中一边的距离为半径画圆，这时候我们会画一个这个三角形的什么呀？内切圆，这个点就是内切圆的圆心，这个点也叫做什么呀？也叫做内心 啊。如果题上跟你说内心，你要想到是较平分线的焦点，如果说是外心，就是垂直平分线的焦点，这个大家一定要弄清楚，区分清楚。

八下数学的难度确实要大很多，那八下的数学到底该怎么学？具体我们可以看一下。课本下册一共是六个章节，第一章是二次根式，这一章的难度并不大，主要是二次根式的加减乘除，但这一章却是我们后面匀算的基础， 所以地基一定要打牢。第二张是勾股定律，是我们整本书的一个重点，有一定的难度，而且它有两个高频考点。第一个就是求最短路径的问题，也就是大家会遇到一个小蚂蚁，它在各种地方爬，是我们求它爬行的最短路径。第二个就是三角形的反折问题， 让我们求各种角度或者是线段长度的问题，这也比较难。第三张是四边形，这一章节是下侧最难的点，那主要是考察平行四边形以及矩形、菱形、正方形的各种证明。 在这张的学习中，会大量的运用到上册的全能三角形的内容，如果你全能三角形学的比较差，那这张需要比别人多下些功夫。第四张和第五张是函数和一次函数，也是我们第一次接触的函数，一次函数还比较简单，所以不要产生畏惧心理。这一张主要是学习函数的图像和性质 考点，还是考实际问题和数形结合的题目，数形结合也是我们总考的一个点。那最后一章也就是数据的分析，这一章比较简单理解平均数、中数、中位数和方差，这就是我们整个八年级下册的学习方法和学习内容，有不清楚的可以咨询王老师。

这节课我们来学习分式的乘除，我们来回顾一下分式的基本性质，分式的分子和分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，我们用字母来表示， 就是 a 分 之 b 等于 a 乘 m 分 之 b 乘 b 等于 a， 除以 m 分 之 b 除以 m， 我 们这里 m 不 等于零。 我们来看第一个问题，一个水瓶放置的长方形，容器的容积为二百五十，底面面积为五十。当容器的水深占容积高的九分之四时，问水面的高度是多少？ 那么容积等于顶面面积乘高，所以高就等于二百五十除以五十， 那么水深占容积高的九分之四，再乘九分之四，就得到水面的高度等于九分之二十。 我们把数字变成字母来看，容积为 v， 底面面积为 s， 当容器内的水深占容积高的 n 分 之 m 时，水面的高度， 那么容积的高就是 v 除以 s， 那 么水面高度就用容积高再乘 n 分 之 m， 那么这个就是分尸的乘法。再看第二个问题，大拖拉机三天耕地十公顷，小拖拉机四天耕地九公顷。问大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍？ 那么大拖拉机的工作效率是用总面积除以天数，也就是三分之十。小拖拉机的效率是耕地总面积除以耕地，天数等于四分之九， 那么问大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率多少倍？就是用大拖拉机的工作效率除以小拖拉机的工作效率就是三分之十。除以九分之四， 那么除以一个数等于乘这个数的倒数就等于三分之十乘九分之四，那么分子、分母分别相乘就等于二十七分之四十。 我们把数字换成字母，大拖拉机 m 田耕地 a 耕顷，小拖拉机 n 田耕地 b 耕顷。问工作效率是多少倍？那么大拖拉机的耕地效率就是 a 除以 m， 小 拖拉机的功率，效率就是 b 除以 n， 那 么同样还是用大拖拉机的效率除以小拖拉机的效率就是 m 分 之 a 除以 n 分 之 b， 那 么这就是分式的除法。 那么我们之前学习过分数的乘除法则，我们来类比，推出分式的乘除法则。 乘法法则是两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。除法法则，两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，再与被除式相乘，那么用字母式子来表示， a 分 之 b 乘 c 分 之 d 等于 a， c 分 之 b， d， a 分 之 b 除以 c 分 之 d 等于 a 分 之 b 乘以 a， d 分 之 b， c。 我 们来看，第一，计算两个式子，第一个四外分之三， a 乘三， a 方分之二外方。 分子、分母分别相乘得到四， y 乘三， a 方分之三， a 乘二外方，那么这里的三可以约掉， a 可以 约掉一个 y 可以 约掉一个二，可以约掉下面剩一个二，那么剩下的就是二， a 分 之 y。 第二，三 x 外方除以 x 分 之六外方，那么除一个数等于乘这个数的倒数就等于三， x 外方。乘六外方分之 x， 那 么就等于三 x 方外方。除以六外方，外方可以约掉三，可以约掉下面乘一个二，那么就得到二分之 x 方 来看，第二， a 减四分之 a 加四，乘 a 方加四， a 分 之一， 那么我们发现这里的分子分母是多项式，所以我们要首先给它进行因式分解。 a 方加四 a， 我 们提取公因式得到 a 乘 a 加四， 那么这个式子就等于 a 减四，乘 a 乘 a 加四分之 a 加四，那么 a 加四可以约掉，剩下的就是 a 乘 a 减四分之一。 第二个式子， a 方减四， a 加四分之 a 减一，除以 a 方减四分之 a 方减一，那么除以一个数，等于乘这个数的倒数，所以就等于 a 方减四， a 加四分之 a 减一，乘 a 方减一分之 a 方减四， 那么分子分母是多项式，我们要先进行分解因式，这是完全平方式，这是平方差，那么它就等于 a 减二的平方，它等于 a 加二，乘 a 减二，它等于 a 加一，乘 a 减一， 所以就等于 a 减二。方乘 a 减一，乘 a 加一分之 a 减一，乘 a 减二，乘 a 加二，那么 a 减一可以约掉， a 减二可以约掉一个，剩下的就是 a 减二，乘 a 加一，分之 a 加二。 那么我们来总结一下计算分式乘除的一般步骤。第一步，我们要因式分解，将分式的分子分母中的多项式因式分解第二化除为乘，将除法转化为乘法，并计算。 第三，约分，将结果的分子分母中相同的音式进行约分，那么在约分之后，将剩下的音式分别相乘。那么这里要注意，如果分式的乘除运算中出现了整式，可以把整式看作分母为一的式子进行计算， 比如 a 分 之 b 乘三 c， 那 么这里的三 c 可以 看成是一分之三 c。 再来看这两个式子，第一，三 y 分 之四 x 乘二 x 的 三次方分之 y， 那么就等于分子分母分别相乘得到六 x 三次方 y 分 之四 x y， 那 么再约分， y 可以 约掉， x 可以 约掉一个，那么四和六可以约掉一个二，那么剩下的就是三 x 方分之二 第二个，二 c 方分之 ab 的 三次方除以四 c、 d 分 之负五 a 方 b 方，那么就等于二 c 方分之 ab 的 三次方乘负五 a 方 b 方分之四 c、 d， 那 么分子分母分别相乘得到负十 a 方 b 方 c 方分之四 ab 的 三次方 cd， 那 么这里 a 可以 约掉一个， b 可以 约掉两个， c 可以 约掉一个，那么四可以约掉一个二，那么剩下的就是负五 a c 分 之二 b、 d。 再来看这两个式子，分子分母都是倒相式。第一个， x 加三，分之 x 减二乘 x 方减四，分之 x 方减九，那么这里我们首先要给它进行逆式分解。 x 方减九，可以写成 x 加三乘 x 减三， x 方减四，就等于 x 加二乘 x 减二，那么就得到这个式子。 分子分母分别相成，就得到 x 加三乘 x 加二，乘 x 减二，分之 x 减二，乘 x 减三，那么 x 减二可以约掉， x 加三可约掉，剩下的就是 x 加二，分之 x 减三。 第二个式子，除法先给它转化成乘法，那么这是一个完全平方式，这是一个平方差。我们先进行因式分解， a 方减六， a 加九，可以写成是 a 减三的平方。 a 方加二， a 提取也归一式 a， 那 么就剩下 a 乘 a 加二， a 方减三， a 提取 a， 得到 a 乘 a 减三， a 方减四，可以写成 a 加二，乘 a 减二， 那么就得到式的 a 减三的平方分之 a 乘 a 加二，乘 a 减二，分之 a 乘 a 减三， 那么分子分母分别相乘， a 加二可以约掉 a 减三可以约掉一个，剩下的就是 a 减三乘 a 减二分之 a 方 来看第三，先化简，再求值。那么这里完全平方式和平方差，我们先给它进行密实分解。 x 方加二， x 加一，可以写成 x 加一的平方， x 方减一可以写成 x 加一乘 x 减一， x 方加 x 可以 写成 x 乘 x 加一，那么原式就等于 x 加一乘 x 减一，分之 x 加一的平方乘 x 乘 x 加一，分之 x 减一， 两个 x 加一，可以和分子的两个 x 加一约掉， x 减一也可以约掉，剩下的就是 x 分 之一。再把 x 等于二点进去，当 x 等于二时，原式等于二分之一， 那么这个式子里面 x 的 取值范围不能为哪些数？我们来看原式这一个分母，这一个分母以及得到的结果，这个分母都不能等于零， 所以 x 方减一不等于零， x 减一不等于零，那么 x 方减一不等于零，我们可以得到 x 不 等于正负一。 x 减一不等于零，可以得到 x 不 等于一， x 不 等于零，就是 x 不 等于零，所以 x 不 能取零一和负一。 我们再来看 a 的 n 次方中的 a 可以 是数，也可以是整式，那我们来看 a 可不可以是一个分式。我们再来看三个式子， b 分 之 a 的 平方， b 分 之 a 的 三次方、 b 分 之 a 的 十次方 分别等于多少？那么 b 分 之 a 的 平方等于 b 分 之 a 乘 b 分 之 a， 那 么分子分母分别相乘，得到 b 方分之 a 方， b 分 之 a 的 三次方等于 b 分 之 a 乘 b 分 之 a 乘 b 分 之 a。 分 子分母分别相乘得到 b 的 三次方。分之 a 的 三次方， b 分 之 a 的 十次方，那么也就是十个 b 分 之 a 相乘，分子分母分别相乘，那么有十个 a 相乘和十个 b 相乘，就得到 b 的 十次方。分之 a 的 十次方。 那么我们发现一个规律， b 分 之 a 的 n 次方等于 b 的 n 次方。分之 a 的 n 次方。那我们来进行推理验证， b 分 之 a 的 n 次方等于 n 个 b 相乘， 分母是 n 个 b 相乘，分子是 n 个 a 相乘，那么最终结果就是 b 的 n 次方。分之 a 的 n 次方。 我们用语言来表述，就是分式乘方，要把分字分母分别乘方，那看第三负 c， d 的 三次方。分之 a 方， b 的 二次方除以 d 的 三次方。分之二， a 乘二 a 分 之 c 的 二次方。 我们这个式子我们要先算乘方，把分子分母分别乘方，就得到 c 方乘 d 的 六次方。分之 a 的 四次方， b 方除以 b 的 三次方。分之二， a 乘四 a 方分之 c 方。那么除法转化成乘法，我们再进行约分， a 可以 约掉三个， d 可以 约掉三个， c 可以 约掉两个， 那么剩下的就是把 d 的 三次方分之 a、 b 方。我们来看这四个式子计算正确的是 a 选项二 a 分 之 b 的 三次方的平方，那么应该等于分子分母分别乘方， 那么等于四 a 方分之 b 的 六次方。所以 a 选项不对， b 选项分子分母分别乘方等于二， a 的 平方分之 负三 b 的 平方应该等于四 a 方分之九 b 方，所以 b 选项不对。 c 选项分子、分母分别三次方就等于负三， x 的 三次方，分之二， y 的 三次方等于负三的三次方是负二十七 x 三次方，分之八 y 的 三次方， 那么 c 选项是正确的。再来看 d 选项， x 减 a 分 之三 x 的 平方，那么 x 减 a 的 平方分之三 x 的 平方， x 减 a 的 平方明显不等于 x 方减 a 方，所以它不对。 我们再来看购买西瓜时，人们总是希望西瓜瓤占整个西瓜的比例越大越好。假如我们把西瓜看成球形，并且西瓜瓤的分布是均匀的，西瓜皮的厚度都是 d， 固定为 d， 已知球的体积公式为 v， 等于三分之四 pi 二的三次方，那么其中二是西瓜的半径。问，西瓜瓤和整个西瓜的体积是多少， 那么西瓜瓤的半径是整个西瓜的半径。减去西瓜皮的厚度， 所以它的体积就是三分之四 pi 乘二减 d 的 三次方，那么整个西瓜的体积就是三分之四 pi 二的三次方。 第二，吸管瓤和整个吸管的体积的比，那么就是三分之四 pi 乘二减 d 的 三次方。除以三分之四 pi 乘二的三次方，那么这里三分之四 pi 可以 约掉，剩下的就是二的三次方。分之二减 d 的 三次方， 那么根据分式的乘方，可以把指数提出来，就得到二分之二减 d 的 三次方，那么可以看成是二分之二减二分之 d 的 三次方，那么就等于一减二分之 d 的 三次方。 第三问，你认为买大西瓜核算还是买小西瓜核算？ 那么先从这个式子来分析，西瓜越大，半径越大，这个 d 是 不变的情况下，整个分式就会越来越小， 那么这里的分式越小，一减去这个分式就会越来越大，所以整体就会越来越大，那么也就是西瓜瓤占整个西瓜的体积越来越大，所以是买大西瓜合算。那么我们来通过两个数来验证一下， 当 d 等于一二，等于十位分之位一等于百分之七十二点九。当 d 等于一二，等于十五位分之位一，约等于百分之八十一点三，所以还是买大西瓜合算。 来看一次老王家正值两块正方形土地，边长分别为 a 米和 b 米。 老李家种植一块长方形土地，长为二一米，宽为 b 米，他们种的都是花生，并且总产量相同。问，老王家种植的花生单位面积产量是老李家种植的单位面积产量的多少倍？ 那么我们设花生的总产量是一。老王家正值的花生单位面积产量就是用总产量除以它的面积，那么也就是一除以面积是 a 方加 b 方， 老李家的单位面积产量是用一除以二 a 乘 b， 那么问老王家的单位产量是老李家的多少倍，就是用老王家的除以老李家的，你就得到 a 方加 b 方分之一除以二二 a、 b 分 之一，那么就等于 a 方加 b 方分之二 a、 b。 第四，一条船往返与水路相距一百千米的 a、 b 两地之间已知水流的速度是每小时两千米，船在净水正的速度是每小时 x 千米， 那么船在往返一次过程中，顺流航行的时间和逆流航行的时间比， 那么时间等于路程除以速度，顺流时的速度等于 x 加二，逆流时的速度等于 x 减二。 所以顺流航行的时间用路程除以它的速度 x 加二。逆流航行的时间就是路程除以速度 x 减二， 所以时间 b 就是 用它除以它，那么就是 x 加二分之一百除以 x 减二分之一百，就等于 x 加二分之一百乘一百分之 x 减二，那么一百可以约掉，剩下的就是 x 加二分之 x 减二。 我们来看练习题第一题计算 a 的 三次方乘 a 分 之一的平方的结果， 那么就等于 a 的 三次方。乘 a 方分之一，等于 a 方分之 a 的 三次方，那么约掉 a 方，剩下的是一个 a。 第二，化简 m 分 之 m 减一，除以 m 方分之 m 减一，那么就等于 m 分 之 m 减一，乘 m 减一分之 m 方， m 减一，可以约掉 m 可以 约掉一个，那么剩下的就是 m。 第三，计算 a 减 b 分 之 a 减一乘一，减 a 分 之 b 方减 a 方，那么 b 方减 a 方。平方差可以写成 b 加 a 乘 b 减 a， 那 么第一个式子 a 减 b， 分 之 a 减一，可以写成 b 减 a 分 之一减 a， 所以 约掉一个一减 a， 约掉一个 b 减 a， 剩下的就是 b 加 a。 第四，已知 x 方减外方分之三 x 除以 m 等于 x 加 y 分 之一，问 m 的 值， 那么 m 就 等于 x 方减 y 方分之三 x 除以 x 加 y 分 之一，就等于乘它的倒数 x 加 y， 那 么 x 方减 y 方，可以写成 x 加 y 乘 x 减 y， 约掉一个 x 加 y， 剩下就是 x 减 y 分 之三 x。 第五，当 m 等于三， n 等于一时，四 m 方 n 除以负 n 分 之二 m 的 平方乘 n 的 三次方分之 m， 那 么先化简，再计算 四 m 方。 n 除以 n 方分之四 m 方，再乘 n 的 三次方分之 m， 那 么除一个数等于乘这个数倒数就等于四 m 方。 n 乘四 m 方分之 n 方 乘 n 的 三次方分之 m， 那 么这里 m 方可以约掉，四可以约掉，这里有三个 n 可以 约掉，那么剩下的就是一个 m。 所以啊，这个式子的值就是 m 等于三。第六，计算第一个三 a， b 方除以 a 分 之六 b 方，那么就等于三 a， b 方乘六， b 方分之 a 就 等于六 b 方分之三 a 方 b 方 b 方可以约掉，三可以约掉，剩下的就是二分之 a 方。第二， x 方减一分之 x 乘 x 方分之 x 方加 x。 我 们先进行因式分解，就是 x 加一乘 x 减一分之 x 乘 x 方分之 x 乘 x 加一， 那么上面有两个 x 可以 约掉， x 加一，可以约掉，剩下的就是 x 减一分之一。第三，负 b 分 之 a 的 平方乘 a 方分之 b 的 平方除以负二 ab 的 平方。 我们先计算乘方，得到 b 方分之 a 方，乘 a 的 四次方，分之 b 方，再除以四 a 方 b 方， 那么就等于 b 方分之 a 方。乘 a 的 四次方，分之 b 方，乘四 a 方 b 方分之一，那么就等于 b 方可以约掉， a 的 二次方可以约掉，剩下的就是四 a 的 四次方 b 方分之一。

八年级下学期数学是初中数学真正拉开差距，难度起分的时候，今天陈老师一分钟给你说清楚八年级下册的重难点和学习方法。 这学期几何就两大章，但全是硬骨头。第一章，三角形的证明，核心就几个东西，等腰三角形的三线合一，直角三角形的 h、 l 定底，还有线段垂直平分线学这章关键不是被结论，是搞懂为什么 证明题的书写格式，从这必须严格规范起来。第六张，平行四边形，这是中考几何综合题的常客， 难点在于要在复杂的图形里认出平行四边形，然后用它的性质去解题。这里会学到三角形中位线 是解决线段长度问题的工具，一定要练熟再说代数，这是硬骨头。第四章，音式分解口诀是一提二套三检查， 先提公音式，再套公式，平方差完全平方，最后检查，这块是后面分式计算的基础，必须滚瓜烂熟。第五章， 分式和分式方程这块最容易丢分，计算时符号和约分特别容易错，更坑的是分式方程的增根， 你解出来的答案带回原方程可能根本不成立，所以检验这一步打死也不能省。从这学期开始，一定要规范证明题的书写每一步，因为所以都要写清楚，依据要写明白，这是中考的得分点，也是丢分点。 然后就是计算题，天天练因式分解和分式运算，每天抽十分钟做几道，保持手感和准确力，这是保底的基本功。

我们来看异分母分式相加减。先来回顾一下分数的加减法，同分母的分数相加减， 分母不变，分子相加减，异分母分数相加减。要把这个式子转化成同分母分数相加减，也就是先同分二分之一加三分之一等于六分之三加六分之二等于六分之五， 那么画件结果取最减分数或整数。我们类比异分母分数相加减， 那么分式该如何相加减？我们来看小明认为只要把异分母的分式化成同分母的分式，异分母分式的相加减问题就变成了同分母分式的加减问题。 那么小亮同意小明这种看法，但他俩的具体做法不同。我们看小明是把 a 分 之三加四 a 分 之一 化成四 a 方分之十二， a 加四 a 方分之 a， 最终的结果等于四 a 方分之十三 a， 再进行约分，得到四 a 分 之十三， 小量直接通过转化成四 a 分 之十二加四 a 分 之一等于四 a 分 之十三， 那么这里面省略了一个约分的步骤，那么是因为他们通分的方式不一样。我们来看，根据分式的基本性质，异分母的分式可以转化为同分母的分式，这过程称为分式的通分。 那么通分的关键是确定最减公分母，也就是最简单的公分母， 那么小明通分的这个四 a 方并不是最减公分母，所以要进行一步阅分。 我们来看例一二 a 方 b 分 之三和 a， b 方 c 分 之 a 减 b， 我 们要找最减公分母，那么首先要看分母的系数，取最小公倍数， 再找到所有字母的最高层面，那么这个式子就是它的最减公分母。 那么要是二 a 方 b 变成二 a 方 b 方 c 需要乘一个 bc， 所以 分子分母都要同乘 bc， 那 么就得到二 a 方 b 方 c 分 之三 bc。 再来看第二个分式， a， b 方 c 要变成二 a 方 b 方 c， 那 么就要乘一个二 a， 所以 分子、分母都乘二 a， 就 得到 a， b 方 c 乘二 a 分 之 a 减 b 乘二 a。 这里去掉括号，就得到二 a 方 b 方 c 分 之二 a 方减二 ab。 那么第二 x 减五分之二 x 和 x 加五分之三 x， 那 么这两个分母都是相等式。第一个可以看成是一乘 x 减五，第二个可以看成是一乘 x 加五，那么这里的系数都是一，所以最小公倍数也是一。 然后再把不同的音式都乘起来，那么这就是它的最减空分母。那要使 x 减五变成这个最减空分母，就要让它乘一个 x 加五， 所以分子也要乘 x 加五，就得到 x 减五乘 x 加五分之二 x 乘 x 加五。 去掉括号，得到 x 方减二十五分之二 x 方加十 x。 第二 x 加五。 要变成这个最减个分母，就要乘一个 x 减五，那么分子也要乘 x 减五，就得到 x 加五乘 x 减五分之三 x 乘 x 减五。虚括号得到 x 方减二十五分之三 x 方减十五 x。 那我们来归纳总结一下，确定几个分式的最简公分母的方法。第一，分母中含有多项式且能够分解的谐音式分解。第二，再来看系数，要找到各分式分母系数的最小公倍数。 第三，再看字母，要取所有字母的最高次密。第四，要看多项式各分母所有多项式应式的最高次密。第五就是取以上所有元素的 g。 我 们来看找到这四组式子的最简空分母。 第一个先看系数，二和三的最小公倍数是六， 所有字母是 a 和 c， 取最高次幂，那么也就是 a 方 c。 第二个式子，二和一的最小公倍数是二，所有的字母是 a、 b、 c， 那 么取最高次幂就是二 a 方 b 方 c。 第三个式子， 那么这里面的音式有 x、 x 减五和 x 加五。我们要取所有的音式，那么就是 x 乘 x 减五乘 x 加五。第四， x 方加二 x， y 加外方，这是一个完全平方式，要先进行音式分解，就变成了 x 加外方。 后面这一个 x 方减 y 方是一个平方，差就可以画成 x 加 y 乘 x 减 y。 那 么这里面有两个不同的音式， x 加 y 和 x 减 y。 取所有音式的最高次幂，也就是 x 加 y 方乘 x 减 y。 我们再来看 e 分 母分式的加减法则， e 分 母的分式相加减，先通分化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法进行计算， 用式子表示为， a 分 之 b 加减 c 分 之 d 等于 a， c 分 之 bc 加减 ac 分 之 ad 等于 ac 分 之 bc 加减 ad 来看第二第一个 a 分 之三加五， a 分 之 a 减十五。先通分最简公分母应该是五 a， 所以 就等于五， a 分 之十五加五， a 分 之 a 减十五就等于五， a 分 之 a 等于五分之一。 第二， x 减三分之一减 x 加三分之一。那么这里面有两个因式啊，最减公分母就是 x 减三乘 x 加三，那么就得到 x 减三乘 x 加三分之 x 加三减 x 减三乘 x 加三分之 x 减三， 我们计算得到 x 减三乘 x 加三分之六。第三， a 方减四分之二， a 减 a 减二分之一， 那么先进行因式分解，那么就得到这个式子，那么再进行通分，最减公分母就是 a 减二乘 a 加二， 那么就得到 a 减二乘一加二分之二， a 减 a 加二，去括号得到 a 减二乘一加二分之 a 减二，能把 a 减二约掉，最后得到 a 加二分之一。 来看第三这样的一个式子，我们先进行一式分解，这是一个完全平方式，我们第一个等于 a 减二， b 方，第二个等于 a 加 b 的 平方， 所以这个式子就等于 a 减二， b 的 平方分之 a 减二， b 减 a 加 b 的 平方分之 a 加 b， 那 么第一个式子可以把 a 减二， b 约掉一个，第二个可以把 a 加 b 约掉一个，剩下的就是 a 减二， b 分 之一，减 a 加 b 分 之一。 再进行通分，得到 a 减二， b 乘 a 加 b 分 之 a 加 b 减 a 减二， b 乘 a 加 b 分 之 a 减二 b， 那 么计算最后得到的是 a 减二， b 乘 a 加 b 分 之三 b。 我们来看这两个十字。第一个六 x 方， y 分 之七减三 x y 方分之二，那么最减公分母应该是六 x 方 y 方， 所以就等于六 x 方 y 方分之七外减六 x 方 y 方分之七，外减四 x 就 等于六 x 方 y 方分之七，外减四 x。 第二个式子 x 减三分之 x 和 x 减二分之 x， 最减公分母应该是 x 减三乘 x 减二， 我们就得到 x 减三乘 x 减二分之 x 减二减 x 减二乘 x 减三，那么计算得到 x 减三乘 x 减二分之 x 来看，第四，小刚家和小丽家到学校的路程都是三千米，其中小丽走的是平路，骑车速度是二位千米每小时，小刚需要走一千米的上坡路和两千米的下坡路， 在上坡路上骑车速度为位千米每小时，在下坡路上骑车速度为三位千米每小时。问，小刚从家到学校需要多长时间？ 那么要计算总路程，需要分段计算，分别把上坡路和下坡路的时间计算出来，那么路程等于时间，乘速度时间就等于路程除以速度，所以上坡的时间就是 路程除以啊速度，下坡的时间就是路程二除以啊速度三位，那么总时间就是这两个相加，位分之一加三位分之二， 那么通分，那么最减公分母是三位通分，得到三位分之三加三位分之二， 结果就是三位分之五小时。第二问，小刚和小丽谁在路上花费时间少，少用多长时间？那么我们已经知道小刚的时间，我们再计算小丽的时间进行相减就能得到， 那么小丽从家到学校需要三除以二位小时，所以我们来计算二位分之三和三位分之五的大小， 我们可以做差，二位分之三减三位分之五等于这里的最减公分母是六位，所以就等于六位分之九。减六位分之十，那么就等于负六位分之一， 所以二微分之三就小于三微分之五，那么也就是说小粒花的时间少，那么少花六微分之一小时。 那么来总结分式加减运算的方法思路。异分母相加减，我们通过同分转化为同分母相加减，分母不变，转化为分子相加减。 第二，分子相加减时，如果分子是一个多项式，要将分子看成是一个整体，先用括号括起来再匀算，可减少出现符号错误，也就是前面有符号的去括号要变号。 第三，分式加减。计算的结果要约分化为最减分式或整式 来看练习题。第一分式 x 减五分之 x 和 x 加五分之 x 的 最减公分母，那么应该是 x 减五乘 x 加五，这是一个平方差，可以得到 x 方减二十五，那么就是 c 选项。 第二，计算 x 方减九分之六，减 x 减三分之一， x 方减九，可以看成是 x 加三乘 x 减三，所以最减公分母就是 x 加三乘 x 减三，那么计算得到 x 加三乘 x 减三分之六，减 x 加三，那么去掉括号，得到 x 加三乘 x 减三分之三减 x， 那么这里的三减 x 等于负的 x 减三，所以可以把 x 减三约掉，剩下的是负 x 加三分之一，也就是 a。 第三题，将三分之 b 负二， c 分 之 ab 通分， 那我们先来找系数的最小公倍数上六，再有所有字母的最高次幂，那么也就是六 a c 三 a 转化成六 a， c 要乘一个二 c， 所以 分母也要乘二 c， 二 c 转化成六 a， c 要乘一个三 a， 所以 a b 也要乘三 a， 那 么就得到六 a， c 分 之二 b， c 和负六 a， c 分 之三， a 方 b。 第四，已知两个分式，其中 x 不 等于正负二。问 a 和 b 的 关系， 那我们现在计算 b， x 加二分之一，加二减 x 分 之一，那么二减 x， 可以 看成是负 x 减二，那么这个式子就可以写成 x 加二分之一，减 x 减二分之一 来进行通分。 x 加二乘 x 减二分之， x 减二，再减 x 加二乘 x 减二分之 x 加二， 就等于 x 加二乘 x 减二分之 x 减二减 x， 要注意要编号， 就等于 x 加二乘 x 加二分之负四，那么就等于 x 方减四分之负四，那么和 a 是 相反数的关系，也就是 a 加 b 等于零。 第五，计算这两个式子。第一， a 减 b 分 之三减 a 方减 a， b 分 之二， a 加 b， 那 么 a 方减 a， b 可以 给它将 a t 取出来，那么剩下的就是 a 减 b， 再进行同分最减公分模式， a 乘 a 减 b， 那 么就得到 a 乘 a 减 b 分 之三， a 减 a 乘 a 减 b 分 之二， a 加 b， 那 么计算等于 a 分 之一。第二， x 方减 y 方，可以看成是 x 加 y 乘 x 减 y， 可以 把 x 加 y 约掉一个，那么剩下的就是 x 减 y 分 之一， 那么就是 x 减 y 分 之一，加 x 减 y 分 之一， y 减 x， 可以 看成是负 x 减 y， 那 么也就是减 x 减 y 分 之二， 所以就等于 x 减 y 分 之一，加一减二，就等于零。

大家好，这节课咱们来学习第二章不等式跟不等式组第一节不等式及其性质的第二个式。 上节课呀，咱们学习过什么叫做不等式以及不等式的解，那么不等式的解跟它的解集又是怎么来区分的？我们一起来回顾一下哈。 不等式的定义，上节课咱们讲过叫做用符号哎，这些表示不等式的符号，不等号来连接的式子就叫做不等式。那不等式的解和解集， 我们一起来回顾一下。对于一个不等式来说，它的解呢，是有无数个的，但是解集呢，却只有一个 解是能使不等式成立的单个具体的数值，它是满足条件的个体，比如说 x 得五， x 得八，有无数个这样的个体。而解集呢，是能使不等式成立的所有数值的这个全体，它是一个范围， 是所有解的一个集合。通常咱们用不等式来表示，或者是竖轴来表示解集啊，解集是个范围。 接下来呢，我们就将类比等式的性质来研究不等式所具有的性质是什么。 所以呢，接下来咱们就开始探讨一下叫做不等式的基本性质，思考一下。根据不等式的特点，我们不难理解以下结论。一、 不等式的对称性什么叫对称性呢？如果一个数大于另一个数，那么另一个数就必然小于这个数，哎，这个就是他的对称性，你比他大，他就比你小。 那么我们用符号语言来表示，就是如果 a 大 于 b 的 话，那么 b 就 小于 a， 这个是很明显的一个常识问题，对不对？ 第二个就是不等式的传递性，什么叫传递性呢？也就是说如果一个数小于 第二个数，那么第二个数就小，第二个数也小于第三个数，那么第一个数就小于第三个数，哎，或者都变成大于也行。那这个我们要是用符号语言来表示的话呢，就是 如果 a 比 b 小， b 比 c 小， 那么 a 就 比 c a 小， 这个就是表明我不等式具有传递性。 这个是我们属于不等式的第一种基本性质，一个是对称性，一个是传递性啊。下面我们再来看一下不等式基本的性质，一 等式两边加或者是减同一个数所得的这个结果仍然是等式。那么这个性质在不等式上是否仍然成立呢？我们一起来看一下。比如说五大于二， 负一小于四，负三小于负五，如果我在这三个不等式的两边同时加上或者是减去同一个数， 哎，同时加或减同一个数，咱们看一下这个不等关系是否会发生改变。比如说我在五和二两边同时加上三，发现八仍然比五大，我在负一和四两边同时减去二，我发现负三仍然比二小。 我在负三和负五的两边同时加上五，我发现二仍然比零大。哎，经过咱们举例之后啊，会发现，在不等号的两边我同时加上或者是减去同一个数的话，那么这个不等式的 关系没有发生改变，仍然是原先大于号，现在还是大于号， 那么变形后的不等式就是刚才咱们所说的，你看八大于五，负三小于二，二大于零，没有发生改变。所以呢，咱们看到你看左边右边是不是都不变呢？ 由此我们就能够总结出来，不等式的两边都加或者是减同一个代数式。这里边咱们就上升到代数式的层面了， 可以说同时加个 a 呀，减个 b 呀也都行，那么不等号的方向 不变。我们把这个性质总结为不等式的基本性质一啊，它就属于我们不等式的第一条基本性质。咱们再来总结一下， 不等式的两边都加或减同一个代数式，不等式，不等号的方向不变啊，这个就是我们的不等式的第一个基本性质。 如何用符号来进行表示呢？如果 a 大 于 b， 那 么在这个两边同时加或减 c， 符号发生改变。第二个， 如果 a 小 于 b， 那 么在不等号两边同时加或者是减 c， 不 等号也不发生改变。 c 位任意数或者是代数式，其实就说任意代数式就行了，数它本身就是特殊的代数式啊。 下面我们对应着看一道练习题，如图啊，变形不等式， 我们对这个不等式进行变形，变完之后让它符合不等号，左边只剩 x， 右边呢？剩一个。 呃，除 x 之外的式子的形式啊。咱们来看一下这个代数式，目前左边它就多了一个，减二分之一， 所以我们就可以考虑我在左边加一个二分之一，那不就没有这个负二分之一了吗？根据不等式的基本性质一，你在左边加，右边也得加啊，所以说在不等式两边同时加二分之一，就可以得到 左边加，右边加。因为同时加或减同一个式子，不等式的符号不发生改变，所以呢，它的最终结果就是 x 大 于四分之五。 下面我们再来继续探求不等式的另外两条基本性质，思考一下，等式两边都乘或者是除同一个不为零的数，所得的结果仍是等式。 那么这个性质在不等式上是否仍然成立呢？我们仍然是举一些例子来试验一下。 取出三个不等式，接下来我在这三个不等式的两侧同时进行变化， 比如说，第一个不等式在两边同时乘四，第二个同时乘二，第三个同时乘三。 我们来看一下，变形后的不等式，分别为十二和四满足大于符号。第二个负一和正二，满足小于符号。第三个负十五跟负二，十一大于。 我们仍然能够发现，在变化前的不等号和变化后的不等号是相等的，也就是说变形后不等号没有发生改变。 在这个过程当中，咱们是同时乘或者是除同一个不为零的什么数啊？ 正数了，哎，在这个过程中，咱们变的是正数。所以呢，我们总结一下，我们发现不等式两边都乘或除同一个正数，哎，这个正数咱们就不需要加不为零了，因为零他不是正数，所以不等号的方向呢 不变。这个呢，咱们把它叫做不等式的性质二。然后呢，咱们再来探究一下，刚才我们所乘或除的都是正数，现在呢，把它们都变成负数，那么这个结论是否仍然成立？咱们再来试一下， 还是用这三个式子。接下来呢，我在他们两边同时乘或除一个复数，第一个式子同时乘负四，第二个式子除负二，第三个式子乘负三。 然后我们经过计算，发现第一个变成了左边负十二，右边负四小于号。第二个左边负一，右边左边正一，右边负二大于号，第三个左边三分之五，左边十五， 右边二十一小于号。哎，经过计算，咱们发现不等式的符号都发生了改变，变形后不等号全和原来相反了。那么这种情况咱们总结一下，叫做等。 咋说等式呢？不等式啊，不等式的两边都成或除同一个负数，那么不等式的符号发生改变啊，一定要发生改变。那咱们把这个呀，叫做不等式的性质三啊，叫不等式的性质三。 好，下面我们再来归纳一下不等式的基本性质，这个位置应该是二逗三。哎，这个 ppt 出现了一些不同程度的问题啊。 不等式的基本性质二是不等式两边都成或出同一个正数。不等号的方向不变， 用符号表示为，比如说 a 大 于 b， 咱们乘的是正数，所以你要规定一下， c 是 大于零的，那么同时乘 c 不 变，同时除 c 也不变。 不等式的基本性质三，不等式的两边同时乘或除同一个负数，那么不等号的方向要发生改变。几何语言表示一下， a 大 于 b 的 情况下， 交代 c 是 个复数，那么他们同时乘 c 除 c， 符号必须发生改变。这就是我们所讲解的不等式的性质一、二、三。下面呢，我们针对不等式的性质二、性质三，做两道练习。 第一个，求解不等式，要想求解不等式，就是表示我最终的结果，左边只剩 x， 右边求出数。所以呢，咱们先观察圆的结构， 原式结构，左边是负四乘 x， 那 我怎么把负四干掉啊，我就得除个负四，所以我第一步同时在两边除负四，除负四，根据性质三要变号，所以最终是 x 小 于负四啊，大家注意， 来，依据性质三进行变形，两边同时除负四，不等号方向发生改变，除完负四，左边是 x， 右边负四，符号发生改变，最终结果 x 小 于负四。 当然，之后我们在真正进行计算的时候，中间这些过程都不需要分析，直接写红色部分就可以了啊。第二个，第三个求不等式， 左边呢，它是出现了一个 x 除以三，我得把三干掉，所以再乘个正三就行了。你根据性质二乘正数不变号。所以呢，咱们来变一下性，根据性质二进行一下变形，两边同时乘三，得到 左边乘三，右边乘三，不等式的符号不发生改变，进而计算得到 x 小 于等于六，完事。 下面呢，我们针对于这节课我们讲的这三个不等式的基本性质来对应着， 看一下例题啊，看一下例题，根据下，根据不等式的基本性质来解下列不等式，并将解集表示在数轴上。哎，大家注意这里边两个要求啊，来，第一个不等式， x 减五大于负一，观察一下，左边是减五，那咱们只需添加五满足。第一个不等式的基本性质，符号不变， 根据不等式的基本性质，一两边同时加五，得到 x 大 于负一加五，所以 x 大 于四。 再结合我们上节课所学的在竖轴表示不等式的解集，先画一条竖轴， 要写这句话啊，在不等式，在呃，把这个不等式的解集在竖轴上，表示在竖轴上找到正四的位置，因为是大于号，所以是空心，在等号就是实心了，对不对？大于四向右侧划射线， 所以就表示出来了，这是我们第一个。再来看第二个，负二， x 大 于等于三，先观察左边结构，负二乘 x， 要想只剩 x， 就 要除负二，所以我们根据不等式的基本性质，三两边同时除负二， 符号方向发生改变，解得 x 小 于等于负的二分之三。 然后呢，我们再把这个不等式的解集在竖轴上，表示如下。这句话要写啊，别直接画个竖轴，就在这表示了。先画竖轴，在竖轴上找到负二分之三实心点，因为有等号，小于等于往左画射线 就可以了。好，下面呢，我们再来对比一下等式和不等式的区别和联系。咱们学过不等式之后，发现它跟等式非常像，是不是 等式两边都成或出同一个不为零的数，所得结果仍然是等式？那么这个性质 在不等式上是否仍然成立呢？我们来对比一下它们的区别和联系。首先来说，联系就是 一加减，运算上面，两者行为一致，也就是同时加或者是减，这个不等式的方向不变，等式也仍然成立。二、传递性逻辑相似，但不等式传递时是有方向的哎， 等号谁？比如说 a 得 b， b 得 c， 那 么 a 得 c， 但是不等式呢？它也满足传递性，但它有方向，你大于大于，要不就小于小的意思啊。 第三个，在正数范围内乘除正数的性质与等式类似啊，乘除正数，也就是我的不等式的基本性质。二仍然成立啊， 区别上面来说，一乘或除以负数的时候，不等号反向了，而等式的话是不影响的，仍然是等式。不等式呢，他们的关系发生了相反，原先你比他大，这回你比他小，就这个意思。 第二，不等式没有两边同时消去的简单保号性。 什么意思呢？等式的时候，两边可以同时消去负二，同时消去负五，但是负不等式就不行了，你不能说两边同时消去负二，消去负五，符号要发生变化，也就是等式具有保号性，不等式就不行了。 好了，这是呢，咱们为了更清楚的认识，学习一下不等式，进行了一个简单的对比学习。下面呢，我们看一下，这就是我们这节课所学习的不等式的基本性质， 其中我们讲了三条基本性质，哎，第一条基本性质呢，是在两面同时加或者是减同一个代数式，不等式的符号不变， 用几何语言来表示啊。第二个基本性质呢，是在不等式的两边同时乘或除同一个正数，它的方向要发生改变。不等式的基本性质三呢，是在两边同时乘或除同一个负数，方向 要发生改变啊。大家主要是记住，不懂事的基本性质三，刚开始做的时候比较容易错，需要大家多进行一些练习。好了，这就是咱们这节课所学的内容，剩下几道练习题，大家对应着尝试着做一下啊。 好了，这节课呢，我们就上到这里，感谢大家。

八年级下册数学是初中数学的关键转折器，八下是正式进入了计算、逻辑证明、抽象函数的三重境界。今天我们详细拆解一下八下数学课本。 第一阶段，也就是代数工具的进阶，由数到式对应到第十六章二次根式，它是对七下实数章节的延伸，核心任务是掌握二次根式的性质，乘除于加减运算。 只有熟练掌握了这种带根号的运算，你才能在后面处理勾股定力的计算和函数的坐标运算，它是全书的基础算理工具。 第二阶段，几何逻辑的飞跃，从直角到多边形，对应勾股定力和第十八张平行四边形。核心任务是它建立了边与角的数值观念， 研究平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定性质，这是初中几何逻辑证明的重灾区。第三阶段是抽象思维的建立，也就是函数对应第十九章依次函数，这是全测最难的跨越，它结合前面坐标系和等式，开始研究变量之间的动态关系。 第四阶段，现实数据的处理，对应第二十张数据的分析，这是全数的结尾，回归到现实应用学习。数据的集中趋势，包括平均数、中位数、种数和不同程度，也就是方差。总的来说，和第十九张相比，其他都是小趴才。

不容易做出来的， 我们看到这里这道好题，在三角形 a、 b、 c 中， a、 d 是 角 b、 a、 c 的 平行线， a、 d 是 角 b， a、 c 的 平行线啊，角 b、 a、 d 等于角 c、 a、 d 第一个，已知 b 在 b、 c 上看图， a、 d 等于 ab， abd 等于 ab， 等腰三角形 a、 d 等于 ab， 角 b 等于角 abd 过 c 做 a、 b 的 平行线， c、 e 平行于 a、 b 啊，这里平行加 a 的 延长线如一点 e 做 c， f 垂直于 a， e 如 f。 请您用等式表明 a、 f、 a、 b、 a、 c 之间的数量关系，并证明。 嗯，这道题啊，其实我们等一会讲完了，我们就觉得也没见得那么难，但是对于这道题来说，我们这个也是我们班上的一个非常优秀的学生啊，这个做的空白的啊，问我的问题， 那么我呢，你看到这里，我画了一个图，后来我自己在做的时候啊，我又重新画了一个图，可是画了这个图之后，我也觉得很难做， 为什么呢？因为我这个图啊，画的不太好，我这里这个图画的就好一点，你看什么呢？你看呐，这里刚才这个 a、 d 是 角平行线，表明这两个角相等，对不对？ 这里告诉了说， c 跟 a、 b 平行，那么两边内错角相等 对不对？这个角就等于这个角，哎，这样我们就可以得到等角对等边， c、 a 等于 c、 e 对 不对？可是这个图你又没画标的，你看我这个图， c、 a 等于 c、 e， 哪觉得像呢？你看角一等于角一等于角 e， 那么然后角 r 等于角 e， 然后 c、 a 等于 c、 e， 你 看这个图就有点连不起来了，所以你把图形画标准呢，就容易理解多了。好，已知这里是垂直的，刚才题目上说这里 c l 垂直 a e， 那 么这样我们就把这垂直之后 等幺三零底边的中线，底边的高线互相重合，你看呢？当我们刚才说 c a 等于 c e 的 时候，那就成了等腰正底边的高线 g 底边的中线，那就是说 a f 等于 ef 等于二分之 a e。 所以你看这个图就看的很别扭啊，就是图没画好，所以希望大家以后画图的时候尽可能画的标准有量角器，你把量角器量一下，这样就更好，你要是凭手感那么随便的话，有的题目就非常难 啊。好，我们看 a， f 等于 a， e 一 半，而 a f 等于 a， e 一 半 a e 我 们看到是什么呢？ a， e 这里就是 a， 什么呢？ a， d 加 d， a， d 的 ab。 已知条件里面不是说了吗，这个 a， d 的 ab， 而这个 e， f 等于 e c 也是有的，你看它角 b 等于这个角 a， d， b 等于这个角 c， d， e 等于这个角，叫做 e c、 d。 你 有没有搞清楚这两直线平行，刚才说内错角线呢？角 b 等于角 e， c、 d。 你看这里对零角相等，这里等边的就是这个角，等于这个角，角 b 等于角 a， d， b。 然后呢，又等于角 e， d， c。 然后又等于角 e， c， d。 哎，于是这个两个角 e， d， c 等于角 e， c， d 等角对等 b， e， d 就 等于 e c。 你 看啊， e， d 等于 e c。 刚才 e c 等于 ac， 所以 这个 d e 就 等于 ac， 所以这个 a e 啊，就是 a d 加 d， e 就是 ab 加 ac， 那 么刚才这 af 的 a， e 的 一半，所以这个 af 就 等于 a d 加 d 的 半， ab 加 bc 的 一半， 当然你也可以写成 ab 加 ac 的 二倍的 af。 哎，刚才我们说这道题呢， 他怎么说完了？如果您把这图形认真地画的话，这图真的不难，你再看一遍，这个角等于这个角，等于这角等于这角平行嘛，这个角等于这个角等于这角，所以这个 c a 等于 c e， 对吧？然后呢，这个角等于这角，所以 e d 等于 e， c 就是 d， e 等于 c， e 等于 c a， 对 吧？然后这个 c a 等于 c e 的 时候，这里垂直，那么 a f 等于 a e 的 一半 啊。所以这 a f 的 a， e 的 a， e 的 a， d 加 d 就是 ab 加 ac， 所以 这个 a f 的 ab 加 ac 的 一半。希望未来养成把图形正确画好的习惯。那么这样呢，考试就觉得容易多了，记得点赞关注哦！