张宇1000题不会写怎么办

一千题呢，是一本质量非常高的 c d 级，那么接下来呢，我结合数学一百四十分的经验来告诉大家怎么吃透一千题这本书，那么本期视频呢，会给你带来这些内容， 大家可以看一下。先给大家说件事情啊，因为一千题呢，它是像这样题目排列的，所以它没有给你留够做题的空间， 所以呢，我给大家做了做题本一面的一题是纯手工输入的，不是截图的那种不清晰的版本啊，所以你无论是在平板上还是说你打印下来做，都非常的方便。那么获取方式呢，我放在评论区了，大家可以自己去领， 因为是纯手工输入的啊，所以工作量很大，希望大家呢可以投个币支持一下。另外呢，我还做了一千八的桌地本，之后呢，还会考虑给大家做六百六以及八百八的桌地本，另外也会告诉大家这些题型你该怎么去用，所以没有关注我的同学记得先点个关注。那么想要做好这本题型呢，主要就要从以下的 这四点出发，那么接下来我来详细的给大家进行讲解。首先我们来说现实，这里的现实呢主要指两个方面，第一个现实呢是你要限制自己做完固定数量的题目以后再来 对答案，有些同学他是做完一题就马上就要对题的答案，这样是万万不可取的，因为做数学题，你一定要保证自己有一个连续的做题状态，这个是非常重要的， 你要让自己找到这种不断思考的这种感觉，而如果你是做一题就对答案的话，你就强行终止了自己的这种思考状态，这对于学好数学来说是万万不可取的， 因为一千题呢，他每一张的题量都不大，他和一千八不一样啊，你看第一张函数极限连续呢，他就只有二十个题，数列极限呢是十三个题， 你到了函数微分学概念的时候呢，就是九个题目。所以我建议大家呢，你就直接做完这一张的题目之后，你再来对答案， 除非你遇到有一些章节，比如说不定积分，他可能一个大题里面套了很多的小题，那这种时候你就可以固定一下，比如说你做完二十个题目以后，对吧？你再来对这个答案，那我觉得这样是比较好的。那么第二个现实呢，指的是你单个题目要现实，比如说 选择或者填空题，你在初期的时候，你要限制自己在七分钟之内就要做出来，如果你七分钟之内你还没有思路的话，这道题就一定要马上跳过。如果是大题的话，或者说解答题的话，那么你要限制自己在 十分钟之内，就必须能找到能够做出来的思路，并且能做出来。如果这段时间没有做出来的话，就一定要停下来，因为即使你花了半个小时，一个小时你把这道题琢磨出来了，但是从整体的复习效果上来看，这样做的意义是不大的，效率也是很低的。 第二件事呢，是大家一定要写清楚详细的步骤，那么这一小步呢，主要是要分成两步来做。 第一步，大家要准备一个做题本，当然你可以使用我刚刚说的我做的那个做题本，或者说你可以自己专门准备一个空的本子，上面什么都没有，那这个时候你可以怎么做呢？你可以给这个本子做一个分区，比如说这就是你的那个本子啊， 他说是这样，那么你怎么做呢？首先你要分一下你在右边的四分之一这个区域呢，你可以画一条线，这个地方空着，你先不要写在左边的这个区域，你来写你的解析步骤，比如说你先写一下啊，假如说这是 第一章，然后呢你就写第一题是吧结，你要把详细的每一步都写出来，比如说你就求一个啊，一个极限什么的，然后把每一步每一步都写清楚， 包括最后的答案，你都要写出来是什么，这样做的好处是什么？第一，你这样写的过程当中，你是捋清楚了自己的思考的步骤，能够让自己整个做题的这个逻辑呢是通顺的。第二，当你在对答案的时候， 你能很快的准确的定位到自己究竟是哪一步出了问题。第三个，如果这道题你错了，就像我说的，你找到自己错误点了，你肯定要把它记录下来，对不对？那右边的我刚刚说的你空出来的这个区域，你就是用来记录自己错题错误的原因，并且呢 写上你自己的思考啊。所以这个所谓做题本，大家在写的时候一定要写的非常清楚，你不能把它当做草稿本，东写一块，西写一块，这样是不好的。另外这个做题本，你无论是选择题、填空题、解答题，每一题你都要把详细的步骤写出来好吗？ 第三点，大家错题一定要做好标记，就像我说的，比如说你做完了固定的二十个题目以后，那这个时候，比如说你发现你第一道题目错了， 那这个时候你就可以在书上的对应的那道题的旁边做上标记，或者说呢，你直接在这个做题本上做标记都是可以的。那么这个符号呢，我给大家提供参考，比如说三角形啊，它就是你计算错误，但是思路对。 第二个呢，圆圈就是你思路不对，五角星呢，就是这道题呢，你是蒙对了，你完全没思路，对吧？你可以做这样的标记，这样你一看到你就知道这道题啊，我当初是为什么错了，而且这样做标记的原因，哎，我刚其实也说了，就是为了方便你后期进行什么 进行二刷。另外啊，我们今年呢也做了一千题呢，官方授权的逐级讲解，目前已经在开始更新了，链接呢，我放到了视频的简介区里面，大家可以自己去看。最后一个也是最重要的就是错题，大家一定要及时的复习，我想给大家讲两个方面，第一个是间隔天数的复习法， 这个方法适用什么阶段呢？是适用你在每个阶段里面做题的时候，比如说这个阶段你分别做这个第一章啊，第二章这个过程中，那这个方法就适用，具体的是怎么操作呢？打个比方啊，今天是第一天，然后呢你做了这个第一章的题， 然后你会发现你会有若干个错题，那么这个错题你在看答案，或者说你通过别的方式弄懂以后，那么到了这个第二天的时候，注意第二天不要做，为什么？这里我写了， 你要避免短期记忆的影响，因为第一天你发现题目错了，你看答案所谓弄懂了，那么到了第二天你再重新做的时候，如果你做对了 他有可能是因为你真的弄懂了这道题，但是也有可能是你对这道题其实并没有特别理解，你仅仅是凭借着昨天对于这道题目答案的记忆，你把它做出来了。所以为了排除这种短期记忆的影响，大家要在 隔一天，也就是在第三天的时候，再来把这个第一张里面你做错的题进行一个二刷，那二刷就会有两种结果，第一种是你会做，那会做怎么办呢？同理， 你在第五天的时候，你再把这些你在第三天会做的题目再进行一个三刷，这个时候无非就是会或者不会，对吗？我们先不管，我们先回到这个地方，刚刚我说的是会， 那么当你不会的时候怎么办呢？很简单，重新跳回到第一天，重新进行这个循环，直到 你做会，那做会也就对应着第五天的会和不会，对吧？那同理，这个地方如果你不会的话，你就回到这个第三天，就是这样不断的循环。大家注意，这样做工作量很大，尤其是在你初期错题很多的时候，你这样做会很累， 但是这样做一定一定一定非常的有效果，因为即使是同一道题，你在不同的时间段来做，随着你对知识的理解不断的深入， 你对这道题的理解也是不断的加深，等你通过这种方法把技术阶段过完，到了强化的时候，你就会发现你的基础打的特别的好，然后到了强化阶段，你同样使用这种方法，把一千题的这个强化篇的内容给它做掉，你就会发现你整个的数学就会学的特别的好， 因为你在每一次不断的这样重复的去做错题过程当中，也就意味着你把错题背后对应的这个具体的知识点，你在不断的弄懂， 然后通过你整个把这本书给他学完以后，你整个数学的知识网络的搭建啊，对于题型方法的这种凝练总结就很到位，那你还怕自己拿不到高分吗？对吧？ 那么这地方还有个第二个呢，就是整体的回顾，这个整体回顾指的是什么意思呢？比如说你基础阶段全部结束以后， 对吧？那你这个时候呢，你就可以找一段时间，比如说就拿出一个周的时间，这一个周呢，你就专门来把自己在基础阶段一千题里面的这些错题啊，你再次回头进行一个大的梳理，重新做一做。 当然呢，这个阶段也就是我在这地方写的这个阶段，你可以不用专门的腾出时间来，你可以怎么着呢？你可以在这个时间段的时候，你同步复 习新一代数，对吧？因为你复习新一代数的时候，如果你在这个时间里面你不碰高速的话呢，你有可能有些知识点你就忘了，所以你在复习现在的时候，你就可以同步的去做一做之前的高速的基础阶段的错题，我想这样也是很好的。好，那么以上呢，我想 我把这本书该怎么去用给大家，已经说的非常清楚了，如果你觉得聪哥说的很有道理，对你很有帮助的话呢，可以给聪哥点个赞，投个币支持一下聪哥， 视频数据越好，我才有动力给大家分享更多干货的内容。另外呢，如果你有任何的问题，都可以在评论区里面留言，只要是关注了我的粉丝，我都会回答你， 包括说你对学习整个都有什么规划，数学准备怎么学，英语准备怎么学，政治准备怎么学，都可以发在评论区，只要我能帮到你呢，我就一定会回你，前提你是我的粉丝。 ok， 那 这期视频我们就说到这里，下期视频我们再见。

非常得不偿失的非常低效率的办法，你翅膀还没长硬呢，你飞不起来！那么基础习题精讲和一千题的 a 主题，我认为这个东西叫非独立做题，这两个东西依然可以当做例题来看。 你不一定非得说独立做题，那么你可以在答案的提示下也可以抄答案。各位啊，你在这个六月底之前没有必要独立做题。对于大部分同学来说，独立做题其实是一个非常得不偿失的，非常低效率的办法。这个办法并不好，因为违反客观规律。 对于绝大部分考研数学学习的同学来讲，刚开始起步就非常困难，你知识还没学完，还没学懂，还没学透，还没记得住。你学完基础内容精讲，你是很难自己独立做一千题的 a 主题的， 我告诉你，为什么你还没有学怎么解析，你不知道它这个包装是怎么包装的，你看到的答案往往一眼就能看出来，可是你看到题目是不会做的， 就是他这个翻译的方式，他包装题目的方式你还没有学透，这个时候强行要求自己做题的正确率很高，这实际上是一个不科学的。我用一个最通俗的语言来表达，就这么一句话，你翅膀还没长硬呢， 你飞不起来。你这个时候这个四个内容全都是在哺育你的数学知识，数学水平，这个时候没有必要独立做题。

但是你一做题目呢，你就发现这个正确率啊太低了。很多同学把刚开始做对题看的太重要了，这个违背了客观规律。学一个月你想会做题，这个太困难了。我们的教材里的题 跟我们习题集里的题是不一样的。学教材的时候的那些例题，只是一个角度去认识这个知识点，并不是说可以囊括所有的命题角度。 好，那怎么办呢？我们通过习题集再给大家布置了一些新的角度，或者说课上没有讲到的东西，给大家提供了新的题目。我建议大家在复习的初期，教材里的题目我学会以后，我并不指望在习题集里能够完全体现出我的价值，但是通过习题集里，我可以学到更丰富的，更多的角度去解决问题，掌握其中的方法。很多同学把刚开始做对题 太重要了，你刚开始多学一点，整个上半场可能有四个月这个时间都是在学知识，都是在学题目。然后下半场你就从九月份开始，九十、十一、十二这四个月完全独立的做题，学一百道题，我做十个题，而不是学十个题去做一百道题。

说实话，跟张宇三十讲学完却做不出题，这个问题比你想象的普遍的多。跟着张宇三十讲，感觉知识点都懂了，结果一做一千题，十题只能对四题，很多人怀疑基础太差。但我想告诉你，这不是你的问题，是三十讲本身的维度太高了。 我去年备考时踩的就是这个坑，那种炫技般的拓展内容，繁杂永长的公式，花样百出的图形，一脑塞给你的二级结论，做题时脑子一片空白。 好消息是，今年有一个现成的降维方案，二十七版三十讲相比二十六版做了大幅精简，让人头秃的拓展内容要么删了，要么一道选学。如果说去年三十讲吃透难度是九分，今年以直线降为五至六分，学习时长也缩短了不少，核心知识点一个没少，但学习门槛实实在在降下来了。 有人问我，那我是跟二十七版，还是用去年二十六版的讲义？我的建议是，除非你数学基础特别扎实，时间特别充裕，否则二十七版对大多数人是更优解。 与其在版本纠结中内耗，不如直接在智能型里通过实战查漏补缺。加上后面我会重点说说智能型是如何帮助我复习的，与其在高维度的内容里挣扎，不如先把降维后的核心吃透。但这里还有个更关键的问题，不管用哪个版本，怎么学才能真正做出题，而不是看完了但不会用。 删的主要是难题和超纲内容，核心考点都还在。我对比了新旧版本，去年非考研重点的边角知识点，该删减的都删减了，这些内容宣传在专题里出现的频率本来就不高，删掉反而减少了记忆负担。新版框架精炼内容集中，对考研重点的针对性比去年强了几个档。 为什么今年新版要删减？因为去年很多人说三十讲啃不动，暑假复习不完了。大多数人并不是拔高不行，而是基础不行。 去年版本信息量太大，很多人过了一遍，但没有巩固，知识点没留下来。如果你问我选哪个版本，我的建议是基础一班的同学直接用新版，内容精简，重点突出，不会让你陷入看不完的焦虑。如果你是二战，手里有去年的版本，也完全能用。但是请一定要对照今年删减过的专题，把那些钻研性价比极低的内容去掉后再去自学。 去掉之后，相当于今年版本的加强版，例题更多，深度更高。但不管用哪个版本，有一个坑，你一定要避开。我当时就是过于纠结版本选择，结果在这上面浪费了好几天。后来发现真正的问题不是版本，而是我学完之后根本做不出题。 记得当时刚看完三十讲的极限部分，感觉七大未定时、等价无穷小，这些都懂了。但当我开始在智能型上刷对应专题时，系统推了一道需要用泰勒展开处理菱菱形的题目，我直接卡住了。我当时还挺纳闷，心想这不就是个常规题吗？肯定是计算出错。 结果系统紧接着又推了几道类似的变式题，有的是复合函数展开，有的是需要判断展开到几阶。我连着做错了三道，那一刻我才意识到，我对于什么时候用泰勒展开到第几阶？这个判断标准完全是模糊的，书上的例题我都看懂了，但那是因为宇哥已经帮我选好了方法，我只是在跟着走。 那种感觉就像是被精准的戳中了软肋，系统根本不管我看没看完书，只看我能不能做对题。后来我跟着他的引导，把这细分的知识点死磕了三天。他推的题是循序渐进的，先是最简单的直接展开，然后是带参数的，最后是复合函数嵌套的。等我把这个专题刷通，再回去翻书上的例题，才明白宇哥讲课时跳过的那些步骤，原来是这个意思。 如果你也在纠结版本选择，不妨先测一测自己的实际水平，可能问题根本不在版本上，这是一个很普遍的陷阱。看老师解析轻松，自己做题就没思路，听完课正确率还在百分之五十以下。我当时三十讲，跟着宇哥过了一遍，课后题也做了，感觉知识点都理解了， 结果一刷一千题，基础篇正确率只有百分之四十左右。当时我还安慰自己，十题能对四题就已经很不错了。但后来我想明白一件事，强化阶段最重要的事是提高解析能力。 三是讲，确实覆盖了基础加强化的所有知识点。但问题是，强化阶段的真正目标不是听完课，而是会做题。为什么听完课还是不会做题？我觉得核心原因有两个，第一，知识点没有真正内化，看视频的时候觉得都懂，但过段时间就忘了做题，想不起来。 这是因为光输入没有输出知识点，只是在脑子里过了一遍，没有形成肌肉记忆。第二，缺乏针对性训练。习题测是按章节编排的，但你不知道自己哪个知识点薄弱， 可能你花了很多时间做已经会的题，但真正不会的点一直没被发现。我后来的做法是，先搞清楚自己到底哪里不会，再针对性的练。我以前以为自己导数学的还行，毕竟求导公式、练式法则这些都很熟。但有一次在做综测时遇到引函数求二解导，我算了半天，答案就是不对。 当时我以为这道题比较特殊，就跳过了，结果第二天系统又推了一道类似的题，还是引函数求导，但换了个形式，我又做错了。紧接着第三道、第四道，全是引函数相关的变式，我这才慌了，原来我对这个点根本就没掌握，只是之前做的题恰好没考到。 那几天系统一直在推引函数的题给我，从最基础的一阶导到二阶导，再到代参数，大概到第三天，突然就开窍了。之前总是搞混的地方，比如什么时候用乘法法则，什么时候把 dy dx 当成整体，一下子就理顺了。那种感觉就是综测给一道新题，忽然能把会的知识点用上了，能自己做出来了。还有一个困扰我很久的问题，学后面望前面。 以前做习题测，今天做极限，明天做导数，等到做积分时，前面的解题技巧就忘得差不多了，反反复复的，忘了捡起来，忘了捡起来，那种拉扯感特别消耗人。但我在智能型上刷题时发现一个规律，今天做对的题，过几天它会再推一遍，而且刚好是我快要忘的时候。一开始我还觉得烦，后来才明白，这是在帮我巩固， 这样反复几次之后，那些题就真的刻进脑子里了，不会出现隔两周全忘了的情况。所以有没有效果，关键要看留下来多少，一轮一轮过，没留下来的都造成了时间上的浪费。基础阶段的目标要清晰，不是看完课，而是打牢基础。 我的标准是一千题，基础篇一刷，正确率能到百分之八十以上，达不到这个标准，说明基础还有漏洞，后面强化会很吃力。关于看课，我的建议是，跟课的一定要做好提前预习，趁听课前一晚翻讲义，效率比你全程被动接受知识输出高的多。 关于做题，这里有个很重要的点，不要光学学到的，要巩固下来。刷题可以巩固知识点，自己做出来的题巩固效果最好。但问题是，市面上的习题测题量都很大，一千题八八零、六六零，每本都有上千道题，全做根本做不完。而且更让人头疼的是，你不知道哪些题该做，哪些题可以跳过。 后来我发现智能型上 ai 猜你会不会功能，可以预测习题册上的题，我按这个来筛选，预测能做对的题我就扫一眼，有思路就跳过预测，可能做错的我就认真做一遍，这样对照着来写习题册省了大概百分之八十的时间。以前做八八零可能要一个月，这样筛选之后两周就写完了，而且错题更集中，更容易发现问题。 等级刷到三之后，我试着做一千题强化片，正确率稳定在百分之八十五左右，那时候我才感觉技术真的大牢了。去年真题考了一些冷门知识点，比如二十四数一的复历页，数二的区域员，二十五数一的博松定律。很多人说这些是老师没重点讲的，觉得考试不会出，但其实这些点我在智能型上都练过。 刷概率时系统推了博松定律的题，我老老实实做了一千八八零，覆盖约百分之八十五的知识点，但真题可能考到任何点， 所以那些冷门内容该练还是得练。最后总结，版本选择没那么重要，最重要的是抓牢你的伯乐点，用什么教材跟哪个老师都是形式。真正决定分数的是你学到的东西有没有留下来， 知识点学得透，一步到位，没有反反复复忘了捡起来的拉扯感，感觉就是综测给一道新题，忽然能把会的知识点用上了，能自己做出来了，然后越用就越熟练了。加油，你一定可以的！

看个答案做题题，这个都是完全可以的，宇哥，现在是这样，我是考数学二的，学材料的，然后在今年就是年初的时候，已经简单过了一遍二六的基础，但是感觉就做起这个你的以前题来说就比较困难，然后你就是对于学一遍或者两遍之后就是对这个知识点可能还是不是特别明白，然后做题比较困难，这种现象有什么好的建议吗？刚开始啊，多听多 看，我给大家的建议啊，就是关于题目也是这样，无论是你做什么习题集，在最开始的时候我们应该有个词呢，这个词叫做 input， 就是 你要多吸收一些知识，你包括做题也好，那你要看一看这个 人家是怎么做这个题的，不是说刚开始有了知识就一定能做题，题目呢，他本身命题上他有一些手段，但是呢，你多去看一看别人怎么去做题，这个时候对积累做题经验也是有帮助的。真正要想说到这个如何做题，这个一般是这个阶段， 就是我们是要在这个 b 啊和这个 c 的 这个阶段，然后我们再去谈到这个 output 如何去产出。最开始呢？大家如果是去听课也好，听老师讲例题 或者是做这个习题的时候呢，看着答案做习题，这个都是完全可以的，你要多吸收。

张玉老师你好。呃，我想问一下，就是现在我现在做题就非常慢，然后遇到许多难题都没有思路，我想问一下你有没有什么提高做题效率的方法？我一直跟大家说啊，这个考试的这个数学啊，他实际上一定要有把握住客观的这个方法。学一个月，你想会做题，这个太困难了，我们的药材里的题 跟我们习题集里的题是不一样的。你学习的时候，学教材的时候的那些例题，是帮助大家从一个角度去认识这个知识点的，并不是说我教材里面的例题可以囊括所有的命题角度。好，那怎么办呢？有习题集，有题源、一千题等， 我们通过习提集，再给大家布置了一些新的角度，或者说课上没有讲到的东西，给大家提供了新的题目。我建议大家在复习的初期，甚至说整个上半场复习数学的时候，要做到非独立做题。教材里的题目我学会以后，我并不指望在习提集里能够完全体现出我的价值感，但是 我通过习题几笔，我可以学到更丰富的更多的角度去解决问题，掌握其中的方法。然后整个上半场，我觉得这个时间都是在学知识，都是在学题目，然后下半场四个月，你就从九月份开始，九十、十一、十二这四个月 完全独立的做题。很多同学把刚开始这个事情啊搞混了，主要原因就是你把这个题目啊，能不能做对独立做对题看的太重要了，这个违背了客观规律啊。我学一百道题，我做十个题， 不是学十个题去做一百道题，你如果能分出这样一个科学的做题的这个方法，我相信你效率又高，你最后考的成绩又好。

你学完基础内容精讲，你是很难自己独立做一千题的 a 主题的，那么我现在这个内容里头，一千题的 a 主题跟基础习题精讲，你完全可以把它全都当例题去做。你不一定非得说独立做题，那么你可以在答案的提示下，也可以抄答案。你在这个六月底之前 没有必要独立做题。对于绝大部分考研数学学习的同学来讲，刚开始起步就非常困难。你知识还没学完，还没学懂，还没学透，还没记得住， 你就要自己每天去独立做题。要想去检验自己的这个水平，强行要求自己做题，这正确率很高，其实是一个非常得不偿失的非常低效率的办法，因为违反客观规律，这实际上是一个不科学的。我告诉你，为什么你还没有学怎么解题， 你不知道他这个包装是怎么包装的，你看到的答案往往一眼就能看出来，可是你看到题目是不会做的，就是他这个翻译的方式，他包装题目的方式你还没有学透。如果我这样说，你还没听懂的话，那么我用一个最通俗的语言来表达，就 这么一句话，你翅膀还没长硬呢，你飞不起来，你飞不起来。这个时候没有必要独立做题。

如果你高速基础跟章宇强化到底该怎么学？一条视频给你讲的超级清楚。如果你之前按照我的麦格计划是上中两条路线，即按照高速基础学现代，然后在高速强化的路径呢？基础阶段习测命中率在百分之五十以上，学现代的时候也在刷高速题，能做的动六六零或者一千币，这条路线是非常高效率的。 首先我们要说明的是，二六或者二七的章宇基础内容很多，而且这几年章宇强化完全可以自己独立安排专题课加刷题或者不弱的章节看章宇强化， 甚至可以不用拿出专门的时间进行高数强化。在学其他部分的时候呢，高数也可以看课加刷题，将高数强化渗透在日常学习中，效率极高。如果用一段时间专门进行高数强化的话呢，就按照这两条线来。一条是高数强化线， 通过不断复习三十讲或者自学强化讲义代替强化高数习题册以完成八八零和一千高数为目标，先完成一千币可以看系统的专题课，比如说王博专题课或者五十七堂课，其他小专题直接某站就行。 这名题专题推荐给大家，推荐伊布松德塔大学生白凯哥种植地理、业余种植地理以及唐家凤种植地理，这些时长最少的都在二十个小时以上。如果你目标比较高，并且其他部分都搞定了，就可以搞搞这部分，一个专题看一个老师就行，不用看太多的。然后也要记得现代的复习二刷现在强化讲义加完成八八零，现在未完成部分或者二刷八八零现在错题， 如果你的条件跟上面一样，但是你想系统学一学做题强化，想继续跟着章鱼老师学做题的话呢，直接可以看二六章鱼强化或者二七章鱼强化也行。二六章鱼强化大约一个半月就能过完，这个也是分为高数强化和现在复习。 高数强化就是全程章鱼强化，我推荐你用二六或者二七版的，两者定位应该差不多，具体二七的话可以等我测评，然后你跟着课做一千题。二刷现在强化讲义， 如果你用的是蓝开麦杆下的路线，即按照高速基础立马开高速强化这个学习路径的话呢，那你可能得变换一下策略了，因为张宇强化这几年主要教错题，基础知识点默认你都会。如果你强化继续跟一个非常详细的老师的话呢，非常拖节奏，而且费时间。 这些看系统课的时间完全可以用来刷题，但如果你真的做不明白，并且四处漏风，只能选择耗时较长，节奏较慢的打法，我建议你可以跟二四张宇强化或者五中强强化， 前者以搞定一千级为目标。二四张宇强化的数二时长在七十二小时，数一数三，八十六小时。五中央强化的时长数一在六十四小时，数二四十九，数三五十四小时。我本人更推荐五中强，如果你跟五做题，就以八八零为目标就行，具体的可以等红开强化的视频，那么本期视频就到这里，下一期视频咱们讲一下红开强化怎么学。关注亚瑟，跟上亚瑟的节奏。

这个题基本上就没戏了，你再做多长时间你也做不出来。做题一定要把你做题的这个时间啊放在这个分析问题上，你现在看懂了每道题目他的来源，他都是要讲道理的，不是说上来一个题目直接就写个解， 写个证明，这个不可以的。不讲道理的答案我不接受，但我指的是难题啊，就是你不会做的题，不是说你会做的题还要这样思考，那没必要，你会做的题你不要去想，你就直接做出来就行了。 凡是你不会做的题，那么你想想看，是不是都要一个分析和思考，你就算看了答案了，非独立做题了，但是你看到他的第一步，你也要问自己，那么如果是我，我自己能不能想到这样的步骤？为什么他第一步要这样写？这句话非常重要啊，为什么第一步要这样写？ 其实数学你们其实清楚的，数学最关键的是第一步，第一步如果走对了，后面就基本上畅通无阻。如果你第一步第一步骤你写不出来，或者写错方向了，那这个题基本上就没戏了，你再做多少时间你也做不出来。

很多同学说，老师我听课听懂了啊，我看题也看懂了，可是我不会做题，问题在哪里呢？你把学懂和会做划等号了，学懂不等于 会做，学习的时候就好好学，应该要学深刻，应该要把它学的透彻全面，包括题源。一前提的 a 主题是能够很好的啊，帮助我们去把知识理解的更深刻，把知识和知识之间内在的联系啊，把它找到学懂之后，我们再来学怎么做题。这个是很快的，你就很快会明白哦，他们怎么出的这个题，我怎么去解决的？ 这个实际上是个技巧问题，你就跟着我的技术三十讲好好学，不要把自己对数学的这个陌生感啊放大。我数学技术不好，你这个心理暗示你说。首先我就怕了他了。那你怎么跟他拼啊？你怎么战胜他？

这是二期考研章宇一千题做题本，一面一题，方便各位喜欢在平板上做题的同学使用。一面一题做题空间大，题目完全是手工录入的，不是那种不清晰的书籍扫描版截图出来的做题本有几点说明呢？我要说一下。 首先呢，我们每年都会做官方授权的主题讲解，每年都是好评无数，播放量很多。今年的主题讲解已经在 b 站开始免费更新了，大家点进我的主页就能够看到我们的讲解呢，不是对着题目去读， 而是认认真真的带你一步一步分析题干，带你一步一步顺着思路把这道题目做出来，重要的内容还会跟你做专题的总结，全部都是免费的。 所以如果你有题目不会做，欢迎来看一看我们的讲解，相信会对你有所帮助。第二，因为我们的题目呢，是纯手打出来的，我们已经努力的经过较对了，但是难免可能会存在少许的错误， 所以大家如果发现了错误呢？呃，欢迎大家在看物文档里面把你们发现的错误呢给填进去，这样也能够方便后面的同学更好的去使用它，大家彼此相互成就。此外呢，数一、数二，数三公共部分的题目基本都是一样的， 如果有一些特殊的部分，比如说数学三，他涉及到经济应用，比如说数一，他可能在某些章节里面，他有他单独的某一个知识点，这些内容呢，我会做单独的去标注，那么如果你不是考这个部分的同学呢，你就可以略去不做好吗？第三呢，我们这个做题本呢，是提供给在平板上做题的同学使用的， 有些同学呢，他可能习惯是在纸质上面做题，是吧？所以我不知道你们需不需要这种，比如说一张 a 四纸上面有三题啊，或者是两题这种打印出来的这种版本啊，如果你们需要的话呢，可以在评论区里面留言，如果需要的同学很多的话，呃，我就把它做出来，然后分享给你们，你们自己去打印可以吗？ 好，最后呢，我们这个是纯免费分享，所以如果你们发现有人盗用我的资料，还去收费的话，你们记得去点点举报， 因为我们说了免费，那就是免费好吗？如果你还没有购买纸质资料的话，可以在我的评论区里面点击我的专属链接去购买，是我的粉丝会优先发货，并且加固打包好，那么我的主页呢，还有更多关于考研规划，不管是考研数学、考研英语、考研政治、考研专业课该如何具体复习的， 各种各样的经验，一定会有某一点能够帮助到你。当然，如果你在复习过程当中有任何的问题，都可以在评论区里面留言，只要是我的粉丝，我都一定会认认真真的回答你们的问题好吗？好，那么这期视频呢，我们就说到这里。

如何做题目？这里呢，我想有两句话吧，一个是何时非独立做题怎么做？何时非独立做题就是在基础三十讲的， 在这个框架下，那么大家要把基础习题精练和一千题的 a 组题非独立做题怎么做？看着答案提示自己来完成，或者抄答案当例题学。 你的水平还没到，再多学一些，明白意思吧？就是你的训练还不够，再多训练一些，再开阔一下眼界， 再熟悉一下知识，不着急，明白吗？现在不要检查你的像这个收获满满，只是平添自己的这个烦躁焦虑的心情。

好，我们看这个题啊，这是求在一个点处的一个权微分，我们知道权微分呢，是等于偏微分的核， 所以本质上就是去求两个偏导，是吧，好，求，哎，一个点处偏导的值，你看一个点处偏导的值吗？这是我们的哎，目标是不是？好，那通常有两个想法， 那推荐啊，是先带后求，你对 x 求偏倒这个 y 啊，你就可以先带进去，跟 y 没关系嘛，是吧，把 y 看成常数啊，带进去好，这个 哎，是先求后代，先求后代的话啊，你就是要一直带上，你对 x 边呢，一直带上这个弯，有时候眼花缭乱，会容易出错，所以对于啊，一个点处求偏导值的话，建议先带后求，对于一些题目也是比较简单的啊。好，当然了，我们也都讲一下，你自己体会一下。 好，先代后求后求，我们先看对 x 求偏的，是吧，我们先把这个 y 带到啊，这个函数里面是吧？ arg tangent 就是 y 是 pi 嘛，所以就是 pi， x 加上 cosine， x 加上一个 pi。 好， 这里边都有 x 了，看着很顺眼呀，是吧，因为我们一元函数学得好呀。 好，这就是求导了，一般函数求导都会吧，对 x 求导，这先是外层求导，再是内层求导，恋式法则是吧，好， ar 弹性求导的话，我们知道是一加上好这一块，这个平方分之一是吧，好，拍 x 加上 cosine， x 加拍 好它的平方分之一。好，接下来是它，它求导也很简单吧，直接就是拍写一个括号吧，加上 cos 求导的话是负的吧。 c x 加拍，这里面再求一下啊，再对 x 求导，那就是个一也不写了啊，好， 这就，哎，求完了，我们再把这个 x 等于零一带就行了啊，你看 x 等于零一带。 好，我们直接草稿上写了啊，一加上，这是，这里边是零加上，我们知道靠信拍的话，是不是负一啊？负一啊， 这是一个负一，这整个这里边就是一个负一平方。一下不就是一吗？一加一就是二，二分之一是吧，二分之一乘以看到后面啊，拍减去，这是零，那就是信拍，信拍是零啊，所以它结果就是二分之拍啊。 好，那我们接下来是求一下啊，这个 z 对 y 的 偏导在这个点处的值。也是啊，我们先带就是带谁呀？把 x 等于零带到函数里面是吧， x 等于零的时候，这个是 y 等于拍的时候，这是 x 等于 零，这就是零了吧。这 x 等于零，这个里边就剩的啊，是一个 cosy 了，是不是 cosine y 还是过一下啊，看得更清晰。好，我们是对 y 求偏导，那也是啊，负函数求导嘛，一加上 cosine y 的 一个平方，再。哎，这个是分之一是吧，再对它求导是负的。 c 沿 y 好把点，这个时候带一下。哎，我们现在是带 y 是 吧，等于拍一带，哎，我们知道 c， 你 拍零了呀，是吧，直接就是零了啊，所以这个结果我们就求出来了吧，这块是二分之拍，这块是个零，所以就是二分之拍 d， x 完事了是不是？好，接下来我们哎也做一下先求后带，先把两个偏导求出来，再去带，这个点 好，我们先对 x 求偏的好吧，好，那就是把 y 看成长数呗。好，一加上这个里边是吧？ x， y 加上 cosine， x 加 y 好， 平方。 对于这个题啊，它没有这两个方法，基本上这个没有省多少力气啊。第一个方法没省多少力气，但对于其他的很多题目啊，先代后求，它会省很多力气的， 好，在这里面是吧，对 x 求偏导嘛，那就是把 y 看成长数啊，这不就是一个 y 吗，减去了啊， cosine 求导是负的 c 对 这里面的对 x 求导就是个一，不写了吧。好，咱们再哎对 y 求下偏导，一加上是吧，先外层求导，这个分母的都是一样的了啊， cosine 外层都是 arc tangent 的 嘛。 内存这里面啊，对 y 求变到 x 看成长数好好，同样啊， cosine 求导是负 c， 里面对 y 求导是个一了，是吧，这个时候我们就是把点带进来零拍啊，是吧，因为这里面有 x 有 y， 所以 你带的是一个点了啊， 我们这上面呢，只是带一个这个 x， 或者是带一个 y 的 一个值，是吧？零拍，我们求一下啊， x 等于零的时候， y 等于拍，拍减去这个是 c， 这是零，加上拍 c 拍就是零，所以上面就是一个拍， 是吧，底下好， x 等于零了，这里边跟刚刚我们算一样是吧，负一的平方一，一加一等于二，好，就是它了嘛。再看这里， x 等于零了，这个 y 等于拍，是吧， c 拍等于零，所以这是零了，一样的，对不对？还是啊二分之拍 d x 好，还是建议啊，先带后求，在这个题你可能体会不到啊，因为它计算量基本一致啊，体会不到它的一个好处哎，其他题目我们会体会到的好不好。好，那这个题就讲到这了， 好，我们看这个题啊， f u 是 可导的哎，我们把这块就可以看成 u 是 吧，给它看成一个中间变量嘛，变量代换一下 好，是可导的。那么求啊，他加他，你看一下关键点。哎，是求 z 对 x， z 对 y 偏导是吧，好，这是抽象的负函数求偏导的问题。这应该是没什么。没有什么问题。我觉得啊，好， z 对 x 求偏导啊，我们这个怎么写都行啊，它是一个意思是吧，好， 先是 y 形求导，就是 f 求导，对不对？好，我们就不加这个尾巴了。好吧， f 求导在里面，里面呢，对 x 求偏导，那就把 y 看成常数，对 x 求导就盯住这里嘛。好， cosine 求导是负 sin 还有一个符号，所以就是 sin 了， 是吧，这就结束了。好，再看一下 z 呢，对 y 求偏导。哎，这是我们要的目标啊， 这样写也行，好，写仍然啊，这是不是漏了？漏了啊，这个还有再加上这个 y 嘛，对 x 求偏的 y 看成常数啊，好，继续。 对 y 求偏的还是啊，先是外层的 f 求完的之后再看里里层是吧，内层对 y 求偏的好，那就是负的 c y 是 吧，负的 c y 还有一部分啊，对 y 求偏的 x 看成常数，这两个求完了啊，这个乘一下加一下不就行了。好，我们看一下 e 比上 c x 乘以 c 对 x 求偏的，我们看啊， e 除以 c x， 把上面求的啊拿过来呗。 哎，拿过来，这就没有什么技术含量，你别算错啊，认真一点， c c 是 不是消掉了，还剩一个 f 了，撇啊，再加上 y 比上一个 c x 好， 再把它算一下啊， e 比上 c， y 好， 乘以 z 对 y 求偏的， 求的刚刚是负的啊，别忘了再加一个 x， 它跟它。哎，乘一下 sin， sin 消掉了，负的啊， f 一 撇，再加上 x 比上 sin y 是 不是接下来是把它们两个加到一起啊，走， 那我们要求的我记记为 i 了啊，加到一起它俩就消掉了，不就剩它俩了吗？好， y 比上 c x 加上 x 比上 c y， 这就是结果， 最后抄可别抄错了啊，求偏导嘛，是吧，这个都会的啊。好，这个题就讲到这了， 好，我们看这个题啊，跟上题一样的啊，是抽象的负函数求偏导的问题啊。好，这里我们看到了秘制函数型号， 那么建议啊，给他指数化。秘制函数指数化，因为变成指数函数的话，你求导，哎，不容易出错是吧，或者啊，要么你把这公式记熟练， a x 方求导是 a x 方乘以 a。 那 有同学他 总是记不住的话，那你就给它改成，哎，密值函数。好，它求导，你会啊，先把它抄下来，再对指数部分求导。捞以 a 是 吧，再把它回带回来，好，这不容易出错啊，看你的记忆力了好吧。 嗯，还是建议给它改成指数函数的一个型号，可以吧。好，那这个时候我们看 z 的 话，是 f f 啊，这个 y f， 它的话就变成了 y f 改成指数函数啊， 一切都是为了啊，减少出错的可能嘛，减少出错率啊，好，求偏导。先看对 x 的 一个偏导，那就把 y 看成长数是吧， y 看成长数，往这一放，看它了，先外层求导，再，哎，内层求导是吧，一层一层的啊，对，它求导的话，指数函数超过来， 哎，负函数求导呀，好，在内层是吧，哎，从外到内，对于它来说的话，对 x 求导，那 y 方就是长数了，哎，老远 x 求导就是 x 分 之一是吧，我们可以化简一下啊，那就是 y 的 三次方， 比上一个 x， 还有 f 一 撇，还有它，它现在你可以还原回来，是吧。 x y 的 平方 好就行了啊，看有没有什么问题。没有，在 z 呢，对 y 的 一个偏导。看好这有 y 啊，是吧， y 现在是变量啊，那就用乘法求导公式，左导右不导，加上左不导，右导，左导右不导，左导是个一啊，右不导 哎，右不倒写个 f， 一 会再写括号的啊，加上左不倒右右倒，先是外层，再是内层，内层的话先把指数超过来，再是头上的对 y 求导，那么龙眼 x 就是 常数 y 方，求导。二二 y 啊，二 y 是 吧，这个求完了，我们可以哎，整理一下吧，这个二 y 跟 y 的 话，就是二 y 的 平方，待会再写也行啊，我们直接 去算这个结果了啊。二 x 乘以它乘以它，我们的 x 是 不是可以消掉啊，还剩一个二好 y 的 三次方直接化简了啊，这时候啊，我们就把这里边的东西给带上了啊，因为要出结果了，你不要这样写啊，这样写就是不太完整。 好 x， y 的 平方，这是第一部分吧，再加上好 y 乘以 z， 对 y 求偏导啊， y 跟它相乘， y 跟它相乘，好吧，都乘进去啊。好， y 乘以 f， f 把这里边东西带上啊，好， 再加上 y 跟它乘，那就是 y 平方。还有这个 y y 的 一个三次方了是吧，还有个二带上还有一个 f 一 撇啊，他的话我们再给他回带一下啊，这个再写一遍吧啊，就是二 y 的 平方是吧。 f 一 撇， lonely x 给它回带回去 x y 的 平方了啊， x， y 的 平方是吧？还有一个 lonely x， 看写完了没有啊？写完了好，是不是可以化解一下呢？它跟它看一下， 二 y 三方，有 f 一 撇， f 一 撇，还是给它都带上啊，带上这个里边的东西， lonely x 是不是它都有这一部分啊，对不对？它这里啊，除了 lonely x， 这它俩是长的一样吧，所以可以再化简一下，把它提出来吧。二 y 的 一个三次方， f 一 撇 x， y 的 一个平方提出来，那你就是前面就是一个一了，加上后面，这就是多了一个 lonely x 嘛。哎，能整理就整理一下啊，还有这一部分超过来 f y f 啊， 好，这就行了啊，这就是答案呢，你也不能够再简化了是吧？哎，包括啊，你这里，你不想进行指出话的话也行，你看，你不想指出话的话， z 对 x 求偏的，我们看一下啊， 那 y 同样是一个常数是吧？是个常数好，看，它先外层求导在内层，内层，我们说了， y 现在是个常数，你可以给它理解为一个五吧。 x 五次方，怎么求导呀？是不是五下来，然后 x 的 y 的 一个平方减一啊，哎，对不对？五减一四次方吗？这个意思 看一下，跟这里一样吧。说，这是 x 负一次方吗？这是 y 的 平方， y 三次方，好，一样的啊，再看一下， z 对 y 求偏倒，对 y 求偏倒。好，也是两部分啊，看两部分，用乘法求导公式，左倒右不倒， 加上左不倒右倒，先是外层是吧，再是内层，内层的话， x y 的 一个平方， y 是 变量， x 就是 常数了，你给它看成这里的 a， 是 不是就用这个公式了？好，它就等于 a x 四方，那就是 x 的 y 的 一个平方，再乘以零 a a 的 题里面就是 x 嘛， 你注意负函数求导还要对它求导呢，来一个二 y 是 吧，就是这个时候你就容易出错了，我们看一下跟这里是不是一样的 f 加上二 y 的 一个平方是吧。 f 一 撇 lo x 它一样的啊，哎，你看你的习惯了好吧，哎，建议指给它指数化，不容易出错的啊。 好，这个题就讲到这了。好，我们看这个题啊，二元函数是由方程确定的，这是引函数的问题了吧。引函数啊求导的问题。好，我们知道啊，关于这一块，希望同学们啊掌握两个方法就够了啊。好，要么用公式法，要么是等式两边同时求导，他们啊，各有 优优点啊，公式法的话就是变量之间什么关系就忽略他们的关系，就不存在函数关系。 好，那等式两边同时求导要注意函数关系。哎，就这一点啊，但是我们要是求二阶导，你函数求二阶导的话，建议的就是等式两边同时求导就行了，你想想嘛，你 用公式法的话，一阶导就是分式结构了，你二阶导分式结构求导很烦人的呀，是不是这样的题，其实更建议的就是等式两边同时求导就行了。那当然了啊。嗯，对于啊，这个 求一阶导的话也可以采用啊第三个方法啊，等上边同时求微分。那有些题目求微分啊，很多同学他比较困难，所以我们就哎采用两个通用的方法就足以应对考研了啊。有些题目求微分比较简单，有些题目他是有点难，你求不好就求错了，你就别求了呗，是吧。 好，那我们看一下啊，建，首先建议的啊，就是等式两边同时求导，你注意 c 是 关于 x， c 是 关于 y 的 函数就行了。好吧，好，那我们也都练习一下平式啊，把公式法当然也会练习一下。好，这是等式两边 同时同时对 x 求导，求偏导。 注意啊，函数关系，先看它这边有 x， z 里边也有 x 啊，是吧， z 是 关于 x， y 的 函数啊，所以看这两部分啊，用乘法求导公式了，左边求导是个一，右边不求导，加上左边不求导，右边求导。 好， z 对 x 求偏导，你用这样个表示形式，或者这个表示形式是一样的啊。好，再加上左边。哎，这个已经求完了是吧，哎，该这个了啊，加上二倍的 好， y， 那 这个时候就看成长数了是不是？哎， y 跟 x 没什么关系啊。好，这里 lone， z 先是外层求导， lone 求导，然后内层 z 对 x 求偏导，是吧，再减去看这里 arc tangent。 先外层求导啊， e 加上这块的平方啊， 分之一在内层。好，这里边对谁对 x 求导是个零了。好， 我们要求的就是 z 对 x 啊，偏倒在这一点的值，在这一点的值，我们是不是得把 z 也得确定出来呀，好，哎，看到这样的题，你先把这个 z 给确定出来也可以的啊，我们看 x 等于零， y 等于二的时候啊， 这等于零，这是一，是吧，所以就剩一个 z， 再加上好， y 是 等于二，是不是？这就是四倍的平方， z， h 等于零，二个贪心，零是零了啊，等于一。像这样的啊，等式确定这个变量的话是很好确定的，直接就是瞄眼瞄一眼啊，基本上零呀，一呀二呀就能瞄出来了啊，不用去过于担心 alone 的， 我们肯定先想到一是吧。 alone 一 是等于零的，哎，刚好一加零是等于一的， 不用去管有没有别的 z 呢。好，我们考研考的都是单值函数啊， 哎，对于一元函数的话，好一个 x， 哎，对应一个 y， 引函数这边啊，这个 二元函数的话，那就一个 x， 一个 y 对 应一个 z， 所以 你找到一个 z 就 到此为止，就够做题的了啊，你不要再去想啊， z 有 没有可能取别的值，没有可能，就你找到这个值就是唯一的，哎，就这样就行了啊， 好，我们把这点是吧。 x 等于零， y 等于二，还有什么？ z 等于一，带入上面的式子就行了。带入一式，这就一式， 我们可以得啊， z 对 x 偏导在这一点的一个值，是吧，得求一下啊，我们在这写了啊， z 是 个一，加上零加一， z 对 x 求偏导，加上 y 等于二，二得四，一除以一， z 对 x 求偏导，减去 y 是 一个二，一加上零，好，就这是一个二， 对吧。盯住这个一式啊，四加一五倍的，这是负，二加一是负一，一这边就是个一，所以就求出来了，是吧，就是五分之一啊， 所以等式两边同时求导。你就注意啊，有这个函数关系啊， z 关于 x y 的 函数就行了，好用，公式法呢，它也有好处，但它也有坏处，就是感觉有点啰嗦繁琐些。这个过程啊，你可以尝试着看一看。好吧，我平时练一下公式法。 你公式法是不是你得把这个大 f f， x 就 大 f。 行啊，令 大 f 呢，是等于啊，这个它减去个一，你注意不要把这个一漏了啊。 x 加一， z 加上二， y 零， z 减去 ark 它的 x， y 减去一，是吧，好，这公式法，哎，这都记住它啊，好，这是 z 对 求偏导也好啊，求这个全导也好，嗯，都是这样的公式是吧？负的大 f 对 x 求偏导，大 f 对 z 求偏导，我们看这大 f 吗？对 x 求偏导，那其他的啊， y 啊， z 啊，全部看成长数，它们三者之间没有任何关系啊，这样去理解 好，你看，我们对 x 求偏导的话，这 z 就是 常数嘛，是吧？哎，其实就剩这块就是 x 乘以 z 嘛，对 x 求偏呢，就是一个 z， 对 吧，这是 z 常数。不管了啊，再看这里， 这，这都没有 x 是 吧？这块是有 x 的 啊，那就是减去 x， 这里求求导的话，是一加 x 方， y 方分之一，这里面对 x 求导，那就是一个 y， 是 吧？哎， 好， f 对 z 求导，对 z 求导，就找带 z 的， 那就这块和这块有是吧，哎，这对 z 求导啊，这都是常数了啊，超过来 好结束了这一部分，这里呢，对 z 求导，这个二 y 呢？哎，就是常数了，好，龙引。 z 求导，不就是 z 分 之一吗，是吧。这个时候把 我们的 x 等于零， y 等于二， z 等于一，是吧，带到这个式子里面就行了啊。我们求一下，负的 c 是 个一吧，减去 y 是 一个二，一加上零，零加一加上二乘一个二啊，这是个一了，我们看负的一减去二吧，一加上二得四，是吧，好，上面就是一个负一，前面有个符号，符号消掉了五分之一， 对不对？显得有点啰嗦，但还好，是吧，他就不用去管啊，这个函数关系什么的啊，对不对？ x 求导，你就找 x 就 行了，其他的啊，全部看成常数对 z 求导。哎，其他的看成常数找 z 就 行了。好，都希望啊，哎， 知道这两块的一个解题方法都要掌握啊。好，这个题就讲到这了。好，我们看这个题啊， 这是求二阶偏导了，那就求呗，是吧，把一阶偏导求完，再去求二阶偏导就行了。好，这就牵涉到什么呀，变现积分函数求导了，是不是积分变量是 t？ 你 先整理一下它啊，把这个跟 t 无关的啊，给它移出来啊， 是吧，该移的移出来整，把格式整清楚了，形式写清楚了再去求导是吧？ x 减 y， 这就是第一部分是吧？乘以 e 的 t 次方递梯第二部分减去好，零 x 减 y， t e 的 t 次方递梯。 把格式整理清楚，整理明白了，我们就可以去求导了。先看 e 阶偏导对 x， e 阶偏导看两部分吧。哎，乘法求导公式，左边求导，左边对 x 求导是个一，右边不求导， 加上左边不求档，右边求档，求档好，把 t 换成上限，乘以上限的档，上限。对啊，求档是个一。好，再看一下后面啊，把 t 换成 x 减 y， 这个比较简单，是吧？ 上线的档是个一，不用写了啊，这是不是可以整理一下，你看他跟他长得一模一样，一加一减没有了啊， x 减 y， e 的 t 字旁 d t， 我们要的是二阶偏导呀，再来一次，在他的基础上对 x 求偏导也非常简单，是吧，不就他吗？好，这个求完了啊，我们继续啊，看一下对 y 的 一阶偏导，盯住这里了吧。 对 y 的 话，同样看成两部分，第一部分对 y 求导，第二部分不求，加上第一部分不动，第二部分对 y 求导。好，这里要注意啊，上线对 y 求导，是一个负一，好，减，去后边把 t 换成上限， 就注意它前面啊，有个符号是吧？对，整个对 y 求导会有一个负一啊，就注意这一点，整理一下吧， 这前面倒不能消啊，零，哎， x 减去 y， e 的 t， 脂肪 d， t 看下后边可不可以啊。 这有个符号，符号乘过来就是 y 减去 x， 是 吧？ e 的 x 减 y， 这有一个符号 是吧，这有一个负号，那就是正号，正号啊， x 减 y， e 的 x 减 y。 好， 它跟它刚好是互为相反数的，是不是？我们把 e 的 x 减 y 提出来，那它跟它相加，不就是等于零吗？所以这块也消掉了啊，这块消掉了，就就这样了。 好， f 对 y 求二阶偏导。求一下呗，也简单吧，负的 e 的 x 减 y， 再乘一个负一。 好，负，负得正了是吧，这是他，这个是他，那他俩是不是长得一样啊，你看一下，一样的，那加到一起不就是两倍的 e 的 x 减 y 吗？ 是不是，哎，还是变函数求导这一块啊，你得先把这这个这块给整理清楚了。一定要整理清楚啊。 好，或者你可以把 x 减 y， 哎，当成一个 u 当成一个 u， 好， 我们先是哎对 u 求导，再 u 对 x 求导也行，但其实也没必要是吧，我们直接这样求就行的啊。好，这个题就讲到这了， 好，我们看这个题啊，给了偏导是吧，哎，让我们求对 y 偏导，当 y 等于 c， x 的 值好，偏导出现，他考察的是偏积分呀。 哎，我们先对 x 偏积分，把 f， x， y 求出来是吧，再对 y 求偏导。好，是这样的一个过程啊，这里就相当于给了一个出式条件了，是吧？ y 等于 c x， 好， 先看这里。好，对 x 偏积分，是吧？ 对 x 偏积分好，这就是 f x y 好， 一对 x 积分，那就是 x， 是 吧？也就说谁求导是一，谁求导是他。好，那就是二倍的 c x 再加上一个，这里就是关键啊。 哎，这应该是加一个 f y 对 x 偏积分，后面要加一个 y 的 一个函数，对 y 偏积分，要加一个 x 函数，这个，哎，注意就行了啊。好， 我们是不是要把这个 f y 给定出来呀？好，这就是给了出式条件呀，是吧？这就是给的出式条件，用上呀， 把 y 等于 cx， 是 吧？带到这个表达式里面我们就知道了。好，也就这个 y 等于 cx 的 时候，这是 cx， 是 吧？ 这是二，哎，这是 x 加上二倍的 cx， 哎，加上好，这个 y， 我 们用 cx 代替。 现在我们的 f x， y 是 不是长这个样啊？而 y 等于 c x 的 时候，本身它应该是等于 x 加 c x 的， 那你们都是 f x c x， 所以 你们肯定要相等呀。 好，我们这个时候可以哎，你就对照着把这个 five c x 可以 解出来，是吧？它跟它相等的话，也就是 five c x 就 等于等于谁呢？这一块减去这一块呗，是吧？ c x 啊，减去二倍的就是负的 c x， x 跟 x 消掉了，是吧？ 其实我们就得到的是什么呀？分 y， 我 们是令 y 的 c x 对 不对？分 y 其实就等于负 y， 这个能看出来吧？哎，我们就能求出来这个时候啊， f x y 的 表达式了。二元函数表达式啊， x 加二 c x 分 y 就是 一个负 y， 是 吧？哎，好，我们 对 y 求偏导吧，对 y 求偏导啊，对 y 求偏导，你这跟 y 没关系是吧？快看 y 就 行了啊，把 x 看成常数，就是个负一， 对不对？好，我二元函数对 y 求偏导，得的是负一，我无论把 y 等于谁带进去，它都是一个常数，是吧？是一个定值，所以就是负一，你带谁都无所谓的啊，都是确定的啊，所以就是个负一，考到了偏积分，哎，注意这一点 好处，条件一带，把这个 f y 解出来，好，再去求偏导。那这个题就讲到这了， 好，我们看这个题啊， f x y 具有二阶连续偏导，这句话出来的时候，我们立刻就能能得出来啊，它跟它相等，也就是说我们求二阶混合偏导，跟这个顺序是无关的。好，它有什么样的一个好处呢？ 对于一些题目，比如说啊，他给出来这个型号的话，好，他先对 x 求偏导，再对 y 求偏导，那他就可以写成 先对 y 求偏的，再对 x 求偏的，因为是相等的嘛，是吧，就等于一。有些题目啊，好，我们一般来说出现偏导了，那他可能考察就是求偏积分嘛，是不是？好，如果你直接，哎，对于他来说，去求偏积分，是不是先对 y 求偏积分呀？ 好，那你会发现啊，他没有先对 x 求偏积分好，求计算更简变。那所以这个地方就是先给大家提个醒，后续啊，会做的类似的一个题目。 对于这个题目的话啊，你先对 y 偏几分，先对 x 偏几分，计算量没有等，没有大的一个区别，基本上是一样的。但很多题目啊，很多题目我们后续会见到，你先对它和对它就是不一样啊，就是不一样，计算量。好，得知道这一点啊。 好，当你对他积分，哎，感觉费事的时候，你就想到啊，先给他积分，这个题没什么影响啊。好，这是偏导啊，两个先对他，对他偏导，等于一两个出题条件求，哎，在这个点的函数值，你是不得把这个函数求出来呀，再把点带进去，好，那就是考偏积分的是吧？考偏积分的啊， 你知道考点是什么，那我们就哎按照题目给的啊，哎，这个先对 y 求偏积分，再对 x 求偏积分。好吧，你待会我们也可以试一下，先对它，后对它有什么？有没有什么计算量的影响啊？我们先对 先对谁？哎， y 偏积分是吧，对 y 偏积分得的是不是对 x 的 一个偏导呀？对 y 偏积分，那就是 y 再加上 x 的 函数是吧？ x 的 函数啊，好， 不要忘了不要忘了啊，这个时候，哎，没有关于一阶偏导的输入条件是吧？没有，没有的话，那我们就继续偏积分，继续偏积分就会出现函数了吗？表达式了吗？才可以啊，带出条件是不是好，再对 x 偏积分，那记两次啊，偏两次积分，好，哎， 再对 x 偏移积分，那不就是得 f x y 了吗，是吧，好，对， x 偏移积分， y 看成常数，那就是 x y 是 吧，再加上，好，这是一个关于 x 的 函数呀，你对 x 偏移积分的话，你是不是得这样写了，哎，就是不定积分写成不定积分的形式喽， 好，再加上，哎，对 s 边积分加上一个 f y 啊，对不对？好，我们要去带啊，这出条件了，所以同学们要把这一块哎给它写成一个函数的形式，总之我积分完之后肯定是关于 x 的 函数，是吧，你写成啊，比如说 g， 你可以写成 h 吧，是吧？ h x， 总之是关于 x 的 函数嘛。好，这写成这个型号是为了干嘛？为了去带出的条件好去书写对吧？好，去书写以及去。呃， 根据两个出条件啊，去把这一部分表达式啊，给他求一求。如果你写成这个型号的话，不太好表示出来啊，你带这些点的时候不太好写这个形式不容易啊，出结果知道这一点就行了啊。好，我们就把这两个哎带一下啊。 好，零 y 是 吧， x 等于零一代嘛？ x 等于零一代都没有了是吧，这就变成了 h 零，你看这写着多舒服。好，就是否 y， 如果你不写成 h x 的 话，你看你写成啥了啊，你写的是零，加上好 g， 你看你这就不好书写。你说我把 x 等于零带过来，这表达式我也不知道，对吧？这记出来表达式我不知道，我这个 x 等于零怎么带呢？你没法书写了啊，记住这点好，那 f 还有一个出式条件是吧？这个写完了没有啊？出式条件写完了啊。 好，这是等于多少呀？题目说的啊，是等于 c y 的 啊。嗯，这个出条件呢，是把 y 等于零一代，那这就是零了。好， y 等于零一代，是不是？这是 f 零了，那么这是等于多少？等于 c x， 我 们的目标是把 f x y 的 表达式求出来，是不是要把这个 h x 和 f y 求出来呀？那你肯定就是用这两个出式条件 看能不能搞出来嘛。好，这一块儿的话，是不是否 y 可以？ 哎，出来啊，我们想要否 y 啊，否 y 就 等于这个 sin sin y 减去一个 h 零吧。对啊，好，再看，我们想要 h x 就等于 c x 减去三零，是吧？好，这两个表达式有了啊，所以 f x y 是 不是可以基本上写出来它的一个表达式了？ h x 在 这呢，好，超过来三 y 呢，在这呢， 好，有同学说，嗯，还没解出来，对，没解出来，你看你表达式里面有否零，有 h 零，请问它们是等于谁呢？好，这个时候是不是我们还想要一个出式条件呀？哎，怎么怎么 怎么找出式条件呢？好，你这个 y， 这个 x 是 不是你完全可以负为零呀？哎， f 零零是非常特殊的一个出式条件，你得能够找出来啊。出式条件啊，这里其实还隐藏一个， 就是 f 零零，把 y 等于零一带不就零吗？把 x 等于零一带是不是零零啊？这隐藏一个你得能揪出来啊，哎，这个可以，你可以记一记隐藏的除条件，揪出来它是有用的啊，你现在 f x y 不 等它吗？它又过零零点，对吧？ 又，因为 f 零零等于零，所以我们看一下能得到什么信息。零一代，零一代是不是只剩的是负的，负的，负的 h 零的，这些都是等于零的呀？好，结果等于多少呀？等于 零啊，是吧，等于零，好，也就说这一块跟这一块是不是已经求出来了，哎，就是零，所以这个时候我们，哎，真正就真正的把 f x y 的 表达式求出来了，是吧？就是 x y 加 c x 加 c y， 因为你们两个啊，是等于零了，根据 f 零零得出来的啊。好，我们把，哎，二分之二，二分之一带就行了，是吧？我们算一下啊，所以 f 二分之二，二分之二等于多少呢？ 嗯，二分之拍的就是四分之拍的一个平方， c 二分之拍就是一个一， c 二分之拍是个一，再加上一个二，对吧？这就是我们的一个结果了啊，这是二加上 四分之八的平方。同样啊，我们也简单的去写一下。哎，就是一开始提到的啊，提到的有些题目，他就是先对 x 篇积分，再对 y 篇积分，计算量就会小很多。这个题没有体现，但我们也可以做一做。好吧，我们可以在这里写 先对 x 偏积分，你会发现啊，步骤是一样的了，对 x 偏积分是不是？是，得的是对 y 的 一个偏导呀，对 x 偏积分，那这就是 x， 再加上一个 a 反 y， 可以 吧，再对 你肯定要继续偏几分呀。好，对， y 偏几分？好，这就得 f x y 了，对 y 偏几分是吧？哎，你看，这步骤基本是一致的啊，再加上一个 x 的 一个函数， 是吧？同理啊，这一块给它写成一个函数的形式，不然不好去带啊，出示条件书写上你很难搞出来啊。好，这就是关于 y 的 一个函数，那我们就写成 h y， 对 吧。 这这边的话，就还是 g x 嘛，初数条件一代吗？一样了啊， f 零 y 零一代是吧，就是 h y g 零 i 等于零一代吗？它是等于 c y 的 好， 这个 x 零 y 等于零一代，那就是 h 零。哎， g x 就 等于 c x 同样。好，我们把这个 h y 是 吧， g x 表示出来，再根据 f 零零等于零。好，也是啊，把这块求出来，就是这个啊，负两个，两个负的是不是等于零？这就不写了啊，后面就是一样的操作了啊，这个题没有没有体现出来啊，他的一个优点，后续我们在其他题目再去说，好吧， 哎，两次偏积分好，这个题就讲到这了。好，我们看这个题啊，这是让求 f 对 x 的 偏导，我们是不是得把 f x y 求出来呀？表达是求出来，你再去求偏导呀。 好，这里会发现啊，这是 x 加 y， 哎，这个位置是吧，这个位置呢，是 y 分 之 x 这样的题目啊，你记住它做题流程流程就行了。哎，就是先变量带换， 变量代换就一个位置，你另乘 u 一个位置，另乘 v 好， v 好， 就是 x 比 y， 那 么就解出来 x 等于多少 u 多少 v 的 一个形式啊， y 也是一样的， x， y 都解成啊，关于 u v 的 一个函数表达式的情况。 好，接下来呢，我们就可以啊，把 f u v 求出来了。 f u v 其实就是 f x y， 我 们把这个 u 换成 x， v 换成 y 好， 这表达式就求出来了，那么再去求偏导。就这样的一个做题的流程啊， 我们去解一下啊，你看这个 u 等于 x 加 y 分 之 x， 那 x 是 不是就是等于 y 乘以 v 呀，你这个得慢慢解啊。好，这个 x 的 话，我们现在就是等于 y 乘一个 v， 对 不对？这个带过来了啊，他俩是连立吗？ x 等于 y， y 乘以 v 再加上一个 y， y 是 不是可以提出来呀，就是 v 加一呀，所以我们可以看一下啊，这个东西， 它现在就是等于 u 的， 我们现在 y 是 不是可以解出来了？ y 就 等于 u 除以 v 加一，这个慢慢解啊，不要着急。哎， y 啊， u 除以一个 v 加一， x 和 y 都表示成关于 u v 的 函数哦，注意它的一个做题流程啊。 好，那 x 等于多少？ x， 它不就等于 y 乘以 v 吗？这不就是 y 吗？再乘一个 v 啊，再乘一个 v 啊，是吧，这就表示完了啊，表示完之后我们把 f、 u v 去求一下。怎么去求呢？好，你看啊， 我们是令的，它是等于 u， 是 吧？这块啊，等于 v， 也就是 f u v 呢，它就等于 这里边的 x 和 y， 现在我们就可以用关于，哎，关于 u 和 v 表达式，是吧？带过来了呀，这个能看出来吧。 x 现在不是等于它吗？好，就是 u v 比上一个 v 加一 的平方呀，减去 x 跟 y 一 乘，它俩一乘嘛，那就是 u 的 一个平方， v 是 吧， v 加一的平方，再加上 y 的 平方。好， u 的 一个平方除以 v 加一的平方。好，这里的一个平方我也可以这样写，两个 分别写开啊，因为它都是分开的嘛，这便于我们去化减，对不对？好， v 加一的一个平方，我们看分子啊， u 方 v 方减去 u 方 v， 是 吧，再加上 u 方， 这个有没有漏掉啥呢？没有，对吧，那就这样了，这个 u 方可以提出来，对呗，然后 v 方减 v 加上一个一，是这样的吧。 u 方，然后 v 方减 v 加上一个一， 这还能化解什么了吗？好像不能，不能了啊，那 f u v 就 求出来了， f u v 求出来，不就是 f x y 求出来了吗？对不对？你得能够理清楚啊， 现在我们的把 u 和 v 换成 f， 这里边 x 和 y 的 形式就跟上面就没有关系了，不要再去盯上面。你不是说 x 跟 u v 是 这样的关系吗？不是了啊，现在就是，哎，表达是已经出来了，我们只是把字母换一下，跟上面没关系的啊。搞清楚，那就是 x 平方。 好， y 一个平方减去一个 y 加一，是吧？除以这个 y 加一括号一个平方，再去对 x 求偏的就行了， 好，嗯，求了啊，对 x 求偏的，把 y 看成长数是吧？把 y 看成长数，这就是长数了。我就。哎，往这一放，行吧，你就是长数了啊，这分之一也是长数，只只需要看分子对 x 求导就行了，这也是长数啊， 对吧，这都是长数。那其实这儿吗， x 方对 x 求导不就是二 x 吗？这就完事了，这就是我们的最终的一个结果。 好，填上去就行了，我就不写了啊，注意它的做题的一个流程。会了吧，把它拎成 u， 把你拎成 v， 好， 把 x y 解为关于 u v 的 一个函数。好，这就往里面带，往里面带。哎， f u v 求出来了，那我们就是只是把字母换一下是吧？就 像我们一元函数里面，把 f t 求出来之后，我把 t 换成 x， 这个 x 跟前面的这个 x 就 没什么关系，不要去往前面的这个 x 就 行了，是吧？好，这个题目就讲到这了。 好，我们看这个题啊， f x y 等于它，这有绝对值，牵涉到去绝对值的问题了啊。好，求的是 f 对 x 的 一个偏导， 那如果题目给你的是它，哎，你会求 f x 对 x 偏导吗？会，我觉得都会， 是吧。好，当 x 大 于零去绝对值的问题，是吧？ x 大 于零的时候，直接去那表达式就是它， x 等于零的时候就等于零， x 小 于零的时候，绝对值去掉，添个符号，那就是它。 好，对， f x 就是 分段函数是吧？分段函数求导的话，它就是它不能求偏导了，就是求导，是吧？ 求导的话，那就是非分段点处，哎，我们直接用这个公式法去求，是吧？分段点处用导数的定义，这咱们一元函数，哎，分段函数求导这里都 做过很多题了，那二元函数也是一样的，根据他这个型号加绝对值了，那么他就可以写成分段函数的形式，那么在分段点处用导数的定义，非分段点处，哎，用导数求导公式，是吧？用求导公式求导就行了。好，我们知道啊，他的 方向就行了呗。哎，我们的目标你得清楚，是对 x 求偏的。那其实 y 我 不不是很关注你，对吧？哎，我不是很关注你啊，所以我们把 x 大 于零， x 等于零， x 小 于零， 哎，以 x 大 于零，小于零等于零啊，去进行分段就行了。对 x 求偏的，你注意我们的啊，关键的点在哪里？好 看一下那表达式是不是？哎，写成分段的呀，就是 x 大 于零的时候， y 我 根本就不管你。 x 大 于零的话，先啊，先这样，你先再写一步，写成 好这个 x 绝对值，根号下 y 的 一个绝对值，可以吧？这样去想，因为我们并不关注 y， 你 爱大于零和 x 小 于零， x 等于零的问题。 好， l 大 于零，这里其实我们已经知道，它就是根号 x 嘛，是吧？根号 x 好， 后面就是根号 这个 y 的 一个绝对值，对不对？你也可以给它挪到一起，就 x， y 的 一个绝对值， y 的 话，就是说你 从负无穷到正无穷都是可以取的呀，是不是根据啊？首先根据这个题目的话， x 跟 y 本身 x 就是 可以取负无穷到正无穷的， 对不对？ y 呢，也是负无穷的，正无穷都是可以取的，对吧？因为它在绝对值里面嘛，所以全平面上的点它们都是可以取的。 因为我们的关注点是 x， 所以 就分 x 大 于零， x 等于零， x 小 于零。注意关键点啊，不需要再去把 y 大 于零，小于零等于零再去写一遍了。不需要啊，好， x 等于零的时候，同样 y 还是这个样子就行了。 x 等于零，那很显然整个 f x y 就 等于零了是吧？ x 小 于零的话， y 你 就哎，把你的定义域写过来就行了。 好，这里，这就是根号下，就是我们这里说的是负的 x， 是 吧，根号下 y 的 一个绝对值， 这时候我们就类比一元的分段函数求导的一个公式去求一下。哎， 分段点处呢？用导数的定义是吧，我们先看啊， x 大 于零， x 小 于零的时候是吧，这就是非分段点的意思，只是这里啊，二元函数，它其实就是区域的问题了啊。好，直接用导数的求导公式是吧，求导公式就行了。 f 对 x 求偏导。嗯， 那 y 看成长数不就完事了是吧。好，根号 x 对 x 求偏导。哎，不就是你吗？这也可以稍微整理一下吧。对呗，都有根号，合到一起呗， 这是 y 的 绝对值，那 x 也可以给他合进去是吧，为了这个形式看着更舒服一些，你不想合也行。好吧，这个 x 完全可以进去啊，给他写到一起。好，这个就是这种情况了啊，当 x 小 于零的时候也是啊，用求导公式就行了， 看它呀。嗯，根号下这个 y 的 绝对值也是看着长数往这一放。好，这里呢，对 x 求导，先是它这里，再对 x 求导，是一个负一吧，也可以整理一下这个形式。二分之一是吧？ 符号啊，写前面根号下它都有根号，我们也可以挪到一起，是吧，也可以这样去写啊， 对呗，哎，这样去写的话，上面就是 y 的 绝对值，下面是 x 绝对值， x 绝对值开出来就是负 x 嘛，以 x 小 于零也可以这样写啊。好，当然你怎么写都行啊， 对吧，你怎么写这里？不不不，给他绝对值啊，给他俩放在一起也行啊。好，接下来就是 x 等于零。好，这个时候需要给大家强调一下啊，他跟一元函数分段点处，要用导数的定义了，对不对 导数的定义，这样情况呢？这两种情况就是用求导公式，哎，这要分成两种了啊，两种情况， x 等于零，还有一个 y 到底等不等于零的问题，依然函数不涉及，是吧？那这里就是 y 不 等于零， 因为你 y 等于零和 y 不 等于零，有时候啊，它的结果啊，这这两种结果的。所以你就记住这样的一个流程，就是分 x 等于零，有又分出来 y 等于零和 y 不 等于零。好，用倒数的定义就行了。 我们看这个情况， f 对 x 求偏导，在 x 等于零的时候，是吧，这个导数的一个值嘛，你就类比一元函数，在零对点求导数定义的话，是不是我们一元函数是 f， x 减去 f， 零除以 x 减零。求极限呀？ 好，现在的话，哎，只是 y 等于零了，你把 y 拿过来而已，是吧？只是拿过来而已。好，你这跟一元函数啊，几乎没什么区别，把 y 看成长数就行了啊，看一下这个极限啊， 这是 x x y 等于零， y 等于零的话，很显然表达式就是等于零了，是吧？这就是确切的一个零啊，减去 f 零，零，那也是等于零啊，底下是区域零，咱们在一元函数那边就说过了，上面是确切的零是吧？就它真真切切的啊，是个零呀， 货真价实的零，这是去零，你不是货真价实的零，你是去零啊，一个确定的零除以去零是吧？去零零零零零一啊之类的，反正你不是零，那零除以一个啊，不是不是零的，一个数乘一个不是零的数，它都是零呀，对不对？这个啊，记住啊，等于零，我还是用紫色的笔啊， 提醒一下大家。好，这种情况就完了，那我们再看这种情况，哎，一样的是吧，用导数定力啊，好， 只是说这个位置给它换成 y 了， y 不 等于零是吧，直接用这个范范的一个字母来表示就行了。好， 就是一个 y 嘛，写成 y 了啊，怨函数学清楚了，这块也是很简单吧， f x y， 因为 x 是 去零的， y 不 等于零，直接就 f x y 表达式往这一挪就行了。表达式我们说了，就是它 乘一个它，你就现在看这个红色的就行了，是吧？减去 f 零 y， 当 x 等于零的时候， f x y 是 等于零的啊，这就等于零除以一个 x。 电脑卡了一下啊，我们继续， 对于这个极限的话，它是不存在的，我们看啊，这个 x 去零，你把 y 这个啊挪到前面就行了。 x 去零，根号下 x 的 绝对值比上一个 x 好，上面你会发现啊，这是相当于 x， 你 不用管绝对值的问题的话，这是二分之一次方，这是 x 一 次方。 好， x 区域零的时候，它属于高阶了呀，对不对？下面区域零的速度更快吧。你这一次方呀，肯定大于二分之一次方呀， 你去零的速度更快，所以这个极限就无穷大了，对不对？我们不用去看 s 区零正零负的问题，其实你要想看的话，我们就是 s 区零正，你看看一下，它就是无穷了啊，对不对？ s 区零正的时候，这是不是就是绝对值？去掉就是一个 x， 就是 根号， x 就是 x 的 二分之一次方， 对呗，然后这是 x 一 次方，所以这就是一个无穷大了。那 x 趋零负你就不用去看了是吧？去一次这个极限都不存在了，更更说更别说趋于啊两侧了。好，而且这个时候你看 y 是 不等于零的嘛。对呗，你也是不等于零的，所以这个极限肯定就是无穷就不存在的。 极简不存在。好，那也就是我们这里说的啊， x 等于零的时候，你要分两种情况，你看这种情况就存在，这种情况不存在。我们最后啊，来总结一下啊，是个大题啊。好， f 对 x 求偏导 分段函数是吧？当 x 哎，大于零 y 的 话，就是在它定义内就行了，是不是二分之一根号下好， y 比上一个 x， 那 当 x 小 于零的时候，这样 这个 y 的 话得用个别的笔了，不然看不清晰了。是不是红色的吧。 y 负无穷正无穷好，再改回来， 这多少呀？二分负，二分之一根号下 y b x 绝对值。当 x 等于零， y 也等于零的时候，是不是等于零呀？ 好，这种情况其实你写不写都行，毕竟它都不存在，是吧，你写个不存在，写不写都可以啊，想写的就写一下。 x 是 等于零， y 是 不等于零吗？也直接不存在。 好像这样的题的一个关键点就是你模仿一元函数，那你能看出来，带绝对值的可以写成分段函数，对 x 求偏的 y， 不 用去关注是吧？把 x 大 于零，小于零等于零，哎，关注到位，分成三段。 好在是，哎，大于零小于零的时候求到公式去求，等于零的时候用倒数的定义，这个时候再分出来一种情况，哎，就这么简单，是吧，记住做题流程就行了。好，这个题目就讲到这了。好，我们看这个题，设 q x y 等于它好， y 大 于零， x 没有要求，是吧？那就 x 是 属于 r 的 呗。 好， p d x 加 q， d y 是 某二元函数的权微分，这个 p 啊，可以取。哎，哪一个选项呢？好，我们知道啊，一个二元函数， 它的权微分是怎么写的呀？是不是对 f 就 二元函数对 x 偏导 d， x 加上 f 对 y 的 偏导 d y 啊？我们设这个二元函数，就是 f x， y 的 话，它是这个二元函数的权微分。那你看对应一下呗。 好， d x 加上 q， d， y。 首先这个题啊，在这个 q， x， y 呢，好，它是 有要求的， x 呢？属于 r， y 呢？大于零，对不对？那么这个 p 啊，也得是这样的一个要求，为什么呢？你看一下啊，这个 p 和 q 是 怎么来的呀？ 是不是就是 f， 哎，对 x 的 偏导， f 对 y 的 个偏导呀？是不是你这两个位置就是 f 对 x 求偏导， f 对 y 求偏导呀？那你这个位置啊，虽然它它们两个也都是二元函数，你这个 x 和 y， 那 那取值肯定是跟这里的 x y 是 一样的嘛，是不是你是从根上过来的嘛？ 好，那我们现在知道，哎，你的一个啊， x 和 y 的 一个取值是它了，那其实就是对应的，你的 x， y 的 一个取值就是这个，那 p 也是一样的，对不对？你们啊，这个 取值范围都得是一样的，是吧？那既然一样的话，你看一下啊，选项啊，选项，这个 p， 这个 d 就 可以排除了。 d 的 话， 一定要求 x 不 等于零啊， x 如果等于零的话，那就没有意义了，是不是？你写成这个样子，要求的就是 x 不 等于零，这是潜台词吗？而我们说了这 x 必须属于 r， 是 吧，这三个选项啊，可以作为备选吗？你这个 d 首先就排除了。好，接下来我们去看一下 abc， 怎么去选呢？ 怎么去选？你像啊，这个偏导出现，哎，权威分出现，你要想到这个什么呀，偏基分啊，它的一个考点啊， 我们现在知道的是 q 嘛， q 是 谁呀？ q 是 f 对 y 的 偏导呀，是吧，就等于这个 q 啊，等于 x 比上 y 的 平方，那我们是对 y 求偏导，那我们对 y 呢，就偏积分呗， 常见的套路是吧，偏积分的话，我们就可以得到 f x， y 等于多少呀？它好对 y 进行积分， 我们说对 y 积分，这个 x 看成一个常数嘛，是吧？等于 x， 谁求导等于它呀，那不就是负的 y 分 之一嘛，所以是负的 y 分 之 x。 注意啊，对 y 偏积分后面要加一个 x 的 函数，是吧？ 好，接下来怎么样啊？怎么样，那不就是 f 对 x 求偏导了吗？因为我们知道 f 对 x 求偏导，就是这里的一个 p 吗？好，这里求一下啊，求一下导，对 x 求导， y 看成长数哦，那就是它加上它对 x 求偏导啊，好，就是我们说的 p 吗？是不是 你看 p x y 里面得含有一个负 y 分 之一哦，那只有它有，你看 abc 里面只有它有，是吧？这两个就错了嘛，选 b 就 可以了，是吧。哎，这个定义域啊，你得是保持一致的嘛，对不对？你这个位置和这个位置都是由 f 求来的嘛，求倒过来的， 所以 p q f 啊，你这个 x 和 y 这个取值都是一样的啊，那这是数一数二数三啊，这个通用的一个解法。对于这个题的话，数一的同学啊，我们也可以从 平面曲线积分与路径无关哎，这一块啊，去做题。好， p q 呢，在单联通区域里面具有一阶连续偏导的话，好，曲线。我们知道啊，曲线积分呢，与路径是无关的 好，冲要条件就是在这个单联通区域内处处有它俩相等。而我们知道啊，曲线积分与路径无关的话，你也可以说成 好，在单联通区域内存在二元函数 u x y， 使得这个式子成立。其实就是这个题的一个意思嘛，对不对？好， p d x 加 q， d y 是 某二元函数的全微分，表示的就是啊，曲线积分与路径无关。好，它的一个冲要条件就是在单联通区域内啊，好，它俩是相等的， 它俩相等的。我们去看一下啊， p 对 y 求偏的就得等于 q， 对 x 求偏的 q 呢？对 x 求偏的 y 看成常数嘛，那就等于 y 的 平方分之一。这块是不是 好，我们现在就知道了啊， p 对 y 求偏导得等于它，那 p 得等于谁啊？两边对 y 偏积分嘛，对不对？对 y 积分，那就是负 y 分 之一嘛。对 y 积分要加一个 x 函数，所以我们可以看出来 p 得是这个样子的，对不对？得含有一个负 y 分 之一嘛？这个没有，这个也没有，那就是看它两个了， 它两个的一个区别是什么呀？还是我们刚刚说到这个定域问题？那从从这一个曲线基本与路径无关的话，怎么去理解这个定域呢？就是单连通这三个字，你得理解啊， 这是 x 轴， y 轴的话，你看啊，这个 q 的 话，要求 y 大 于零就行了。 y 大 于零，那就 x 是 任取的吗？是吧？ x 任取， 你看这个区域是不是这一块啊？那你这一个 p 的 话啊，你看，如果你选 d 选项的话，我们得去 去掉这个 y 轴上的一个点，对不对？你 y 轴上的点就去掉，必须得去掉才满足这个 d 选项的啊，这些就没有了，你看就不满足单联通区域了。 单联通区域是什么呢？我们韧化一个封闭的一个小圈的话，得是这个样子的，你不能够啊，刨除，刨除某些点的啊，不能有洞，对，不能有洞啊？ 你看你如果选 d 选项的话，你就有洞了，你随便圈一个圈，你看你不能够包含这个红色的点吗？是不是你就这种情况了？你有洞了啊，就不是单连同区域了，对不对？你 b 选项就没有这个要求， x 随便取吧，所以这就是单连同区域了，是吧？把这个啊 这个啊再补上吧，你看不要刨除这一块啊，这些，哎，就是单连同区，你怎么画圈都是这种情况嘛，是吧？这就是单连同区域啊。好， 这是数一啊，数一的这个同学学到这块知识点。那对于数二数三的同学啊，你用我们的这个通法就够了啊。好，那这个题就讲到这了。

你在这个六月底之前没有必要独立做题。对于大部分同学来说，独立做题其实是一个非常得不偿失的，非常低效率的办法，这个办法并不好。那么基础题型精讲和一千题的 a 主题， 我认为这个东西叫非独立做题。非独立做题就是在基础三十讲的这个框架下，那么大家要把基础题型精练 一千题的 a 组题非独立做题怎么做？看着答案提示自己来完成，或者找答案当立体学。你的水平还没到，再多学一些，就算你的训练还不够，再多训练一些，再开阔一下眼界，再熟悉一下知识。着急， 现在不要检查你的，想想这个收获满满，你做不到的。那么为什么要逼着自己去做呢？

好，我们接下来看数三差分方程这一块的题型啊，数三数三好，这块也不难啊，他就类比咱们学的微分方程的通解的结构，是不是你把这个型号记住了啊？通解非奇通就等于奇通加非奇特 好，奇通就等于 c， r 的 替次方， r 就是 特征根。你把差分方程对应的特征方程写出来， r 加 a 等于零就是特征方程， r 等于负 a， 好 的，特征根啊，就是 c r 的 一个替次方， 奇通有了啊，接下来就是非奇特，非奇特的话就看一下这个 b 是 不是特征根，是特征根的话，这个 k 就 取一，不是特征根，取零很好解是吧？记住这个模板就行了，也不难啊， 解都不用写是吧？填空题啊，你得把这个给的差分方程写成我们标准的一个形式，对不对？把这个系数化为一啊，二分之一 y 的 t 次方， 二分之三二分之一的梯次方，他对应的其次差分方程就是这边是零吗？我们把特征方程写一下啊， r 减去二分之一等于零好，特征根就知道了，是不是好，其次的一个通解就知道了啊， c 倍的 r 的 梯次方， 奇通有了，非奇特好，求一下啊，格式应该用哪一种呢？你看一下 b 是 不是特征根， b 是 它呀， 二分之一确实就是特征根，对不对？这个负 a 就是 特征根吗？对不对？这块就是 a 吗？负 a 就是 二分之一啊，是不是特征根？是的啊， 是的话这里就取一个 e 了啊， t 的 一个 e 次方，好， b 的 t 次方，这是表示什么意思呢？看一下这边啊，除了他之外，你看还有一个常数，是不是就把常数的一般形式写过来就行了？常数的一般形式我们可以写个 a 就 行了，是不是？所以可以令 a y 星就是它？好，你带到我们的啊，叉分方程里面，把这个 a 解出来就完事了啊。好，看一下， y t 加一，那就是把这里的 t 全部换成 t 加一嘛， t 加一减去二分之一 y t， 这就是 y t 嘛，是吧？ a t 二分之一 t， 二分之三，二分之一 t， 你 看，我们可以把二分之一 t 消掉啊，是不是？消掉，消掉，消掉，这里还剩一个二分之一啊，好， 二分之一是不是乘以这个 a t 啊？这里还有一个二分之一一个 a 啊，好，减去二分之一 a t 就 等于二分之三，这两个消掉了二分之一 a 等于二分之三，所以 a 就 等于三，不就解出来了吗？所以这里就出来了。那我们的通解就写出来了啊， 奇，通加非，奇特非奇特啊。三 t 二分之一 t 四方是不是 c 呢？为任意常数，我就减省一点吧，这很简单，是不是？记住这个模板，解析模板吗？好，这个题就讲到这了。 好，我们看这个题啊，差分方程的通解还是这些东西吗？第一步啊，先把系数化为一哦，都除一个二， 这样行不行呢？哎，不行啊，你要给他表示成咱们一阶向量非其次的长方方程的一个结构对不对？你把这挪到右边不就行了吗？二分之五 t 是吧，这不就是考了他吗？通解其通加非，奇特啊。其次的差分方程就是这边是个零，对应的特征方程就是 r 加五等于零，是吧？特征根就是负五。对，所以啊， 通解其次，通解哦，是 c 乘以 r 的 梯次方，非奇特另出来啊， 非奇特练出来我们看一下啊，这一块的话，他的这个没有 b 的 替次方，就相当于 b 是 一个一嘛，一的替次方不就是等于一嘛， b 相当于是个一啊， 一，不是草根根对吧？不是草根根啊。所以这个 k 就是 取零的啊，那这块就只剩它了，它是表示什么意思呢？就去看这里， 它是一个依次的多项式，我们写出来依次多项式的一般形式，是不是这个 a， t 加 b 的 一个形式就行了？对， a， t 加上一个 b 的 一个形式。好，把它带到啊方程里面解一下这个 a 和 b 嘛。好，在这里面啊， t 呢？现在是换成 t 加一啊， y t 后面二分之五 t 待定系数就行了，是吧？你看 t 前面的系数是 a 五 a， 那 就是六 a 嘛。好，再去看一下长数项啊，这有个大 a， 再加一个大 b， 这边有个五 b， 那 就是六 b 呗。 待定系数， t 前面是个二分之五，也就是六 a 就是 二分之五嘛。所以 a 就 等于十二分之五，你带过来啊，带到这里面，这是常数项，不就是零吗？对，常数项是零啊， a 加上六 b 就等于零的啊，这个 a 已经求出来了啊，十二分之五。所以这个 b 可以 求一下啊，六 b 就 等于负的十二分之五，再除一个六啊， 那就是负的七十二分之五。好，非奇特有了啊，所以通解啊，写到这吧，等于奇通加非奇特。大 a， t 加上 b， 是 吧？ c 为任意常数啊，好，还是这点东西记住它啊。好，这个题就讲到这了。 好，我们看这个题啊，差分方程，满足这个出条件的特解。好，那我们说这一块知识点咱们都已经记住了啊，那 这几个题跟前面两个题的区别是什么呢？他有两部分，对，两部分，你要想到什么呀？利用，哎，跟微分方程一样，那一块知识点特解的一个叠加原理，是不是整个一阶的啊？这个非其次差分方程，它的通解的话，等于其通加非奇特， 这看成一个啊，一阶的，哎，非奇次 x y 方程，把特解解出来，这个再去解一下两个特解，非奇通加两个啊，非奇特，那么整个的 x y 方程的一个非奇通就求出来了，出入条件一旦，哎，特解就出来了，是不是特解的叠加原理啊，跟微分方程那块是一样的。 好，我们先去把其次通解解出来吧。其次的，查分方程是不是长成这样的特征方程，三 r 减三等于零，特征根就是三。好，其次通解就是 c 乘以三的梯次方嘛。好，接下来呢，就是解两个 非其次查分方程的，把特解解出来，是吧？一个是二 t， 一个是 负一嘛，这都会解，是吧？好，我们令它的特解啊，特解等于谁呢？你看一下 这个 b 是 不是椭正根啊？这是一个二是吧？二不是椭正根啊，那所以 t 就 取一，是不是 t 就 取一啊？好，它乘以 b 的 梯次方， 这个他是谁呢？你看，这里就相当于有一个一嘛，一就相当于一个常数啊，他就是一个常数，常数的一般形式，一般形式就是，哎，写个大 a 就 行了是吧？好，那我们把它带到啊，差分方程里面， a 二 t 加一三 a 是 吧？二 t 二的 t 四方可以消掉啊。消掉，这里还剩一个二啊。 二， a 减去一个三， a 就 等于一嘛。所以负 a 等于一， a 就 等于负一，所以第一个特减减出来了啊，负的二梯子棒。好，这块的话特减 看一下啊，这里都没有什么的 t 四方，那就是 b 相当于是个一嘛，对不对？一，它不是特人根，所以啊，这个地方是一个零，是吧。 t 的 零四方一啊，这也是一，就剩它了，它的话怎么去写？看一下它呗，这是一个常数，常数的一般形式，我们念个 b 吧。前面用过 a 了啊， 好把它带到啊。差分方程里面， b 减三， b 等于负一，负二， b 等于负一，所以 b 就 等于二分之一，对吧。 那就是第二个特解， b 就是 二分之一解出来了。整个的这个差分方程，它的一个通解是等于 奇通加非奇特。好，两个啊，特解都写过来，奇通有了啊，我们现在满足这个条件的一个特解啊，这输入条件。 t 等于零的时候， y 等于一啊， c 解一下啊， t 等于零的时候， t 等于零，三的零次方是一个一是吧？ c 呢，减去二，零次方是个一，加上二分之一， y 这个时候是一， c 等于多少？ c 减去一个二分之一等于一， c 就 等于二分之三呀， 就解出来了，是吧。特解 y 就 等于二分之三，三的 t 次方减二的 t 次方加上一个二分之一，你这个三呢，也可以跟这一块合并一下，是吧？ t 的 七加一次方吗？能，能化解就化解一下呗。你，你实在，你再不化解也是可以的啊，好， 也没什么难的，对不对。还是啊，考了一阶限行的非其次差分方程这些知识点记住就行了。好，这个题就讲到这了。好，我们看这个题啊，以函数好它为通解的差分方程是哪一个？ 那我们去看一下选项啊， a 和 b 的 话，你观察一下这个角标啊，这是 t 加二，这是一个 t， 这个你不用管，管这两个就行了。他俩的差 t 加二减去个 t 是 不是二呀？差值等于二的话，就是说这是二节的差分方程啊，这块呢，最大跟最小的啊，减一下 t， 减去一个 t， 减二也是二节的差分方程啊，我们在学微分方程的时候， 学过一节的，也学过二节的，是吧？长系数其次和非其次的啊，这个微分方程都学过。 好。对于二节的微分方程这一块的话，我们说你解出来的啊，这个通解的话，是不是，哎，是有两个的两个任意常数啊？对，有两个任意常数， 一阶的无限方程的话，我们解出来的啊，这个通解里面是不是有一个任意常数，就是一个 c， 是 不是二阶的就是两个 c 啊？两个任意常数，这是一个规律，你得记住啊。好，那你看一下 题里面给的啊，这个通解的一个结构只有一个任意常数，对，这二阶差根方程，你得有两个任意常数啊，所以 a 和 b 就 直接就排除了，我都不需要把你带进去，把你带进去直接就错， c 和 d 呢，哎，我们把这个通解是吧，你可以带到里面去验证，也可以啊，取特殊的一个解特取一个特解带更简单吗？你 a 不是 任意常数吗？ a 不 就令它等于零，那么 你看就是八八带到式子里面带是满足的吗？是不是这是方程的一个特解啊？可以带到这里面去验证。八减去十六等于负八。哎，这个，对，是不是你再看一下它呢？ 八减去二八一十六，哎，这是负八，你怎么等于八呢？哎，这就错了。那直接选 c 就 行了。是不是排除法很快啊？好，那这个题就讲到这了。

独立做题怎么做？下面我们说一下独立做题的时间。独立做题我个人的建议呢，在这个是非独立， 这个 a 组题非独立的，那么一千题的 b 组题，我认为它也可以非独立。 看你了啊，这个看你了啊，一部分也可以，一部分非独立，一部分独立什么意思呢？你可以只给自己画一个比例，比如说第一讲有十个题，我前五个题啊，我看答案来，后五题我自己做，你也可以给自己一个比例。综合篇一定是独立做题，这是独立做题了，然后接下来所有的内容。独立做题 啊，你考研复习，假如说你有八个月，我告诉你，你有四个月的时间在学题目，有四个月的时间在独立做题。 再说一遍啊，有四个月的时间是非独立做题，就是学历题是吧？看到答案有提示了，好，盖上提示，自己写，你这个是属于别人帮助下会做题的，不是你自己会做题，这个做四个月，然后四个月独立做题，这时候不准有任何提示啊，不需要任何提示。