2024年宁夏中考数学几何压轴

第二步，第一问的结论就是第二问的钥匙。宁夏的几何压轴题。第一问的结论在第二问中通常可以直接拿来用。当你卡在第二问的时候，回头看看刚刚证明出的那个相等关系，通常会引导你发现一对全等三角形。 第三步，我们一定要去找旋转或中点构造辅助线。近四年来的最后一问，几乎都涉及到旋转全等或中位线。 看到等边等腰，优先考虑旋转。把分散的线段转到同一个三角形里，看到多个中点， 马上想到中位线或者直角三角形斜边中线后，疑问的答案往往是一个定值，比如说三或二倍的根号三。如果你计算出来的非常复杂，大概率是算错了。

宁夏中考第一轮复习几何到底怎么过？今天一条视频带你理清楚。从线到角再到三角形串起来。第一步，线和角两个核心定律必须熟记于心。 垂直平分线，线上的点到线段两边的距离相等角平分线，线上的点到角两边的距离相这两个定律选择填空题念念键第二步，三角形先从性质入手，内角和等于一百八十度， 两边之合大于第三边，这是判断三角形存在的基本盘。然后是特殊三角形， 三种特殊三角形，等腰三角形，三线合一。看到等腰就要想到这个等边三角形是三线合一的 plus 版， 三条边都相等，那三个角都是六十度直角三角形三十度角所对的边是斜边的一半。三边比是一比根号三比二，等腰直角三边比是一比一比根号二。还有顶角为一百二十度的等腰三角形， 底边是腰的根号三倍。这个宁夏考过。第三步，全等和相似全等三角形的五大判定 证明题。第一步就是找对应边角相似三角形的三个判定。两角相等最常用，看见平行就有角相等两边乘比例，且夹角相等三边乘比例。 几何复习就按这个顺序，边角打底三角形性质，然后全等相似，基础打牢了，大体才能拿分。

哈喽，大家好，今天我们继续玩一玩二零二五年宁夏中考数学几何压轴的最后一问闪亮登场了，说，如果 e f 最长， e f 与 a d 交于点 m a e 为三万 e m 长了多少？那么这个 a d 啊，还是绕 a 点进行旋转，但这个旋转角不是六十度了， 随便转。好，我们发现 e 点是一个动点， f 点也是动点，因为 f 是 b d 的 中点，那么 d 是 动点啊， b d 长度也会发生改变，所以第一步 e f 最长，办不了。 为啥办不了啊？因为两个动点没法办。那么怎么办？我们大胆猜想 啊，那么之前我们通过上面这些逻辑啊，我们证明了 cf， 当这个 aed 啊，在一个特殊角啊，旋转为六十度的时候啊，我们发现 cf 是 一个等边三角形，那么我猜想一下，那么是不是不管 aed 转多少度， 随便转？那么 cf 是 不是也属于 等边三角形的话，那么很明显，这个 ef 啊，就可以替换成这个 c， 哎，你发现点 c 是 个定点，点 e 是 个动点，而 e 的 运动轨迹叫定点定长辅助圆啊啊，出现一个圆点， e 在 上面跑， a 是 定点啊，叫定点定长辅助圆， c 呢，也是定点，我们叫一箭穿心啊， 连接 c 点和 a 点并延长，而这个点 e 跑到这个位置时，则 c e 就 会出现最长了，就是非常著名的来叫定点定长 啊，辅助圆。那第二个知识点叫一箭穿心求最值 啊，一箭穿心求最值好，最终 c 点和圆心哎，连起来啊，这个跑这个位置为最大值，跑这个位置是为什么值最小值？ ok， 那 整个题就非常简单了，所以第一步我们如何来证明 c、 e、 f 是 不是等于三角形？ 好了，那前面逻辑，我们发现，如果这个角六十度，这个角六十度，那么叫做角分线垂直构造了什么？等腰三角形。 那么同样模仿这个套路，我们发现，哎，这不是角分线了，怎么办？我们直接啊，把这个 d、 e 啊沿 a、 e 进行一个翻折啊，翻折啊，加字母 d 撇， 使得 d、 e 和 d 撇 e 相等啊，连接 ad 啊，模仿这个套路，那么这时候我们发现这个 d 撇 e 啊和 d、 e 相等，这个是垂直，这个垂直啊，所以 ad 和 ad 撇也相等， 这样出现了中点点 f 是 b， d 中点。第二步，利用什么线？中位线连接 b、 d 撇，所以这个 ef 平行且等于二分之一。 b、 d 撇啊， b、 d 撇好，如果它看成 a， 它就是几 a 二 a 啊，二 a 好， 继续走。 那么下面我们如何证明这个 c、 e 和 e、 f 相等，以证明某一个角角为六十度啊，这个是直观重要。好，那这个考察一个非常经典的一个啊，底层逻辑叫做旋转相似型。 好，我们发现这个 a、 e、 d 撇和 a、 c、 b 撇三角形 a、 e、 d 撇和三角形 a、 c、 b 都是三六九的直角三角形 啊，对吧？都是三六九的直角三角形，那么绕公共点 a、 e、 d 撇和 a、 c、 b、 b 相似。好，继续， 那么下面我们发现这个 a、 d 撇 b 啊，和 a、 e、 c 也相似， a、 d 撇 b 和 a、 e、 c 也相似啊，为什么啊？说一下，首先 a 这个 d 撇 a、 e 这个角来换个颜色， 这个角为六十度，这个角六十度啊，所以同解，这个叉勾角对勾，对勾 为相等关系。好，继续走，由于通过前面这两个大的直角三角相似，所以来跟上节奏，这个 a e 比上 a、 d 撇是一比二关系， a e 比 a d 撇，为什么？直角三角形三六九，一比二。好，继续走，那么这个 a c 比上 ab 也是一比二，所以两边对应成比例且夹角相等的三角形为相似三角形。 那于是乎，我们发现，这个 d 撇 b 与这个 ec 啊，就等于这个 ab 与 ac 比值， ab 与 ac 啊，很明显的是一个啊，二比一关系， 二比一关系好了，继续走，那继续走，所以，于是乎发现啊，这个 d 撇 b， 我 们看成二 a 啊，那么这个 c e 呢？啊，就是为 a 被 a， 那 于是，于是乎啊，这个 e、 f 和 e c 怎么样， e f 和这个 e、 c 怎么样？就相等了啊，所以这个通过旋转相似啊。再说一遍， a e、 d 撇和 a、 c、 b 是 相似， 那么对应边乘比例。来，我们感受，这个啊，这个 a d 撇 a d 撇和这个 a e 是 二比一关系， a b 和 a、 c 也是二比一关系。然后这个角六十度，这个角六十度啊，叉勾角，哎，搞没它啊，都有叉勾角，所以对勾，对勾相等，所以两角相等，两边对应成比例 啊，那很明显啊，这两三相似，那相似比也是二比一啊。于是乎， e、 f 和 e、 c 相等，好，继续走，下一步如何证明啊？这个角 啊，这个角啊，为六十度。好，来感受。由于我们把这个小角来看成 r 法，这个小角为 r 法，它多少度？为九十度 啊，所以这个角为 r 法加九十度。相似，所以这个角也为 r 法加九十度，减去这个三十度，所以这个角就 r 法加多少度啊？六十度，由于他俩是平行关系，所以这个角和这个角是 同位角，和 f、 e、 d 属于同位角，所以这个角也为 r 法加六十度。 好，再说一遍，好，我们把这个小角看成 r 法，这个角为九十度，所以这个大角为 r 法加九十度。相似对应角相等，这个角为 r 法加九十度，减去三十度，所以这个角就为 r 法加六十度。 r 法加六十度。因为它俩是平行关系，所以同一角是相等关系，所以这个角既 f、 e， d 为 r 法加六十度，那么里面这个角为 r 法，所以这个角就为六十度。就搞定了啊，所以这个角 f、 e， c 为六十度。 于是乎，猜想三角形 e， f， c 啊，应该是等边三角形，哎，就搞出来了。这时候我们就实现了这个 e、 f 啊，就转成这个 ce 了。好，下面重新画图 啊，把图画一画，那么首先以 a 为心，以 a， e 为半径啊，画一个圆，定点定长，辅助圆。哎，找到这个 a 啊，这个 e 啊， d 啊，这是 c， 这是 b。 好， 于是乎啊，同样我们连接啊，连起来啊，把图画一画， 嗯，好，同样这个连接这个 b， d 啊， b， d 中点是 f， 连接 e， f 和 f c 啊，我们不用证明了啊，因为不管这个三角形怎么旋转啊，这个三角形啊， f， e， c 永远为等边 三角形，这样我们 ef 啊，就转换成 c， e 啊， c e， 那 很明显啊，刚刚讲了，一箭穿心啊，当这个 e 跑到这个位置时，连接 c， e， b 延长啊，这个位置为最大值。好， ok， 找到了，我们下面啊，说，这个 ef 与 a、 d 交于点 m， a， e 为三啊，让我求这个 e m 白送分了。因为这个是一个等边三角形，它多少度啊？六十度， 这个 a e d 啊，是一个三六九的直角三角形，所以它也为六十度，那么于是乎这个三角形 a e m 其实是一个等边三角形 啊，所以这个 e m 啊，和 a e 是 相等的，等于几三那三，所以这个题我们就瞬间搞定了。 好，这个题核心点就是把 e f 如何导成这个 c e， 那 么我们猜想 cf 是 否为等边三角形，这一步非常关键，在正的过程中，我们利用了什么叫做旋转相似形 啊，通过对应边是二比一关系二， a 它为 a 啊，然后下一步啊，通过这个相似量形对应角桥相等啊，然后平行中界中界中微线平行，哎，同位角相等，导成这个角为六十度， 所以这个三角形就为等边三角形了，对吧？等边三角形，那么实现我们的线段的转换，那么再利用我们的核心考点叫做定点啊，定圆，一箭穿心找最值。哎，最终这个题往下就白送分了，此题学会了吗？

中考数学解答题，很多同学明明做对了，但却被扣了分。比如说有勾股定律，得到的结论却没有写在 r t。 三角形中，就差几个字分数就没了。为什么必须写？ 因为勾股定律只适用于直角三角形，你不写在 r t。 三角形中，阅卷老师没办法去判断你用的对不对，直接扣步骤分。尤其是宁夏中考的元二次函数几何综合题，哪里用到勾股定律，哪里必须先写在 r t。 三角形中？

宁夏中考画图题，画图题年年考，而且都规定了用无刻度直尺做图。二五年考了做平行线垂线段。二零二四年考做中线截等长，没有圆规怎么做图？记住两个绝招，在网格图里画平行 数格子找方向，三角形里找中点，用对角线交点做图，做图痕迹千万不要擦，都是得分点。

宁夏中考二次函数综合题，让我们一起来看一下宁夏的命题特点，近四年都考了，用待定系数法求解析式图像平移或动点问题，还有几何图形的存在性， 面积相等和平形四边形。面对这种二次函数综合题，今天给大家分享一下解析模板。

中考数学第二大高频考点，平行线与拐点。宁夏的出题老师好像特别喜欢几何。初步，二零二五年考同位角，二零二三年考三角板和直角拼接， 这背后考的其实就是平行线的性质。得分方法很简单，找同位角、内错角是最基础的。遇到三角板拼接，记住一个口诀， 三角板角度固定，三十四十五，六十九十。平行线一夹，角度就转移，画出延长线，一眼就能看出相等关系。

如果没有天赋就不断的重复，如果不是天才，那就一步步的来。

继续看九街一日一练打卡练习天津的一道中考真题啊，这个题呢，也是非常棒的一道题目，对吧？那你会发现纵观天津二零二三也有这个题的影子，对吧？考察终点，正方形，这是一个非常重要的题目，所以说，同学，你作为九年级的学生啊，你一定要 专心的把你的很多注意力投入到你所在省份的中考真题当中，一定要学会横向和横向去研究中考真题，对你的一个中考一定有很大的帮助。好，来看这个题，正方形 a、 b， c、 d 边长是三倍，根号二， 对角线交于点 o 就是 中点。同学，对角线很重要，这句话不是废话，它不仅有中点，还会有垂直，并且边长。知道了，一比一，比跟二，这个对角线 a、 c 是 要等 b， d 等于根二倍的一个三倍根，三就是六，同学，明白没有？所以说这个呢，很重要啊，很重要。好，那么 你就知道这就是三，这就是三。同学，跟上没有，又告诉你 o e 等五，那么 o e 等五说明 a e 就 等二了，就这些信息，你有没有去标上呢？答，不一定啊，你如果标上了，对你解析有很大的帮助。来看一下第一位，让你求 a e， 这就太简单了，对不对？就太简单。好，那所以说同学你来怎么办？第二个是重点， 怎么办？ f 是 第一的终点，同学，在这 f 是 第一的终点，说明这个是中，他俩相等，有终点，每年是必考的一个支点，你能想到哪些重要的？关于终点的支点，中位线，斜边中线对不对？背长中线，勾拳等， 平行加中点等，这个什么有八字模型，有中微现金定律等等，明白吧？很多信息包括咱们说的平时变形，矩形、菱形、正方形，他们四个图形的对角线交点都是中点，明白吧？好，他是中点，等一下我们想怎么用啊？怎么用好，那么让你求的是 a f 的 长。同学， a f 的 长，这个题有多种做法，有多种做法啊？来， 你首先有终点，你想到了非常重要的叫中卫线，或者是叫中线啊，斜边中线嘛，对不对啊？所以说，同学，如果我要用这个中卫线来解决，你有没有想法？在这你是不是有一个终点？因为你如果法一啊，如果用中卫线， 你必须是两个终点，现在是一个，你需要去构造，也就是做辅助线，同学，能理解不？所以说，同学，你怎么去做，怎么去做，做中位线怎么做呢？同学，有没有想法， 对吧？有没有想法啊？在这你来看，你来看啊，我 f 是 终点，我要求 af， 那 么我能不能找一个 a 是 谁的终点啊？在这我知道 ae 是 等二，人家提醒你了，我能不能在 a o 上我取一点，比如说 g 吧，我在 a o 上取 一点 g， 我 要使这个 a g 是 要等于谁？同学，等于 a e 吧。等。二，同学，我们是不是就已经找到终点了，是不是找到终点了？好，连接 g d， 同学， 你会了不？ a f 啊，连接 g d， a f 是 不是平行且等于二分之一的一个 g d？ 同学，会了没？哎，这样是不就很容易解出来了？好，所以说你就知道 o g 是 一。同学，这个对角线是三，结果直接根号十，答案就是二分之根号十，你看你想到这个方法没有， 对吧？当然了，中位线这样是一种做法，还有其他的一个做法。同学，中位线除了这样做还有其他的做法，对吧？那我怎么办？同学，刚才我是以这个找 a 去终点吧，现在他是终点的话呢？我去，怎么样？我背长一下这个 a d 就 行了，对吧？啊，这个法二也是中位线，对吧？啊？法二也是中位线， 我可以背长 d a 啊，我至这个啊， d g 等于 a d， 同学，对吧？我在这边同学 啊，在这的话呢？啊，我们这个你得会，对吧？我们相当于就求一个记忆就可以了，求一个记忆就可以求一记忆，然后 a f 的 一半，那怎么做？同学，一样的道理，一样的道理。三倍根号二。你把你已知的信息都给他标一下，因为有一个非常重要的信息在这，他有四十五度， 所以说你过来有这四十五度， a e 是 二，你就能用了。我做一个高线，同学，做一个 e h 垂直于这个 d g。 同学，那么是不是就会有根二，根二对不对？那么你倍长的话，它等于 a d， 应该等的是三倍根号二。 岁数同学，你背长过去以后就比较容易了。这个是根二，可以求出来，就是一， h 是 根二，可以求出来，那么这个一 g 呢？是二倍，根号二八加二解，我根号十一半就是二分之根号十。同学，明白没有？这是我们用中位线来做的。这个题还可以用什么方法去做？还可以用斜边中线去做，我讲一下思路啊，方法三，对吧？ 方法三，那么刚才你知道这是直角，那这是中点，你就想到刘老师经常讲的了，中点加直角，斜边中线对不对？或者是中垂线，好在这你连接以后，同学，你会发现 这个连接以后这个要等于斜边的，这个是三，刚才说的对吧？这是二，这是三，那结果这个第一就是五的平方加三的平方是根号三十四，所以说他就是二分之根号三十四， o f 是 知道的，对不对？你现在要求的是 af， 怎么求？同学，求的是 af， 那 么你就要构造 r t 三角形，把它放在一个 r t 三角形当中，比如说我做一个垂直， 对不对？做一个垂直，那你分别去表示这个 f h 和 a h 就 可以了，怎么表示？同学，怎么表示啊？怎么表示啊？那在这怎么慢呢？同学，这也也是有垂直的吗？对不对？哎， 好，那么我们是不是依旧是可以通过啊这个勾股定律去求这个对应的线段长，然后最后我们找到这个 a f 的 一个值，对吧？那 a h 和这个 f h 怎么求呢？你是不是可以把 o h 求出来？ 是不是可以把 o h 求出来？在这我们要用到九年级的什么指点？同学，因为你发现他俩相等的时候，同学有角， e 是 要等于这个角， 所以说法三我们要用到的一个是相似三角形求出对应边，稍微复杂了一点就是三角形 o a f， 你 看一下 o a f 啊，不， sorry 啊，是三角形 o h 的 啊，不是 f， 看错了。同学啊，是不是 o h 一定要相似于三角形 o a h， 相似于三角形 e d o， 同学，相似你就可以去求出对应的边，这是关键点，我就不帮你算了，思路交给你，明白没有？这样的话，我们就可以把 o h 求出来，那么勾股定律 a h 也知道了 啊，那么 o f 知道是二分之二，三分之四，所以说 f h 也知道了，所以说我们勾股定律 f h 的 平方加 a h 的 平方就等于 a f 的 平方，直接求出来啊，明白没有？这个题值得大家总结一下啊，考察的知识点自己去给它梳理出来思路，确保清晰。

好，呃，我们今天来讲一下二次函数里面的第一个应用，面积最值问题啊。面积最值问题先写在起的这一块， 那首先我给大家来说一下这个方法，那面积最值问题，我们常用的方法，而且是经常用的方法是铅垂钩。 什么叫铅垂高，哎，就是竖直做一条线啊，竖直做一条线，那么这个一般是垂直于 x 的 一条线啊，我们大家先把这个方法先记住啊，待会我们来一起用一下。首先 我们来看题，说平面直角坐标中，哎，这个告诉了你 c， 然后有两个点，有两个点，然后让我们求这个，呃，求这个。第一个啊，解析式很简单嘛，那知道两个点坐标我直接往进带， 知道两点坐标我直接往进带。所以说，呃，我把这个 a 点和 b 点给他带进去之后，我就可以知道列一个二元次方程组吗？将 a 点带进去之后就变成了 a 加 b 加五等于零，将 b 点带进去之后就变成了二十五， a 减减五， b 加五等于零。然后这样的话我就可以把这个 a 和 b 分 别给它解出来， a 应该是等于负一， b 应该是等于负四啊，所以说我最后就可以得到，大家可以暂停一下，这个解出为 y 等于负 x， 平方减四， x 加五 啊，那我们这里面，呃，这是我们的一般式，我也可以把它变成呃焦点式，我也可以把它变成呃顶点式啊，顶点式。那我们为了呃后期的这个做题方便的话，我们一般保持它是一个 一般式啊，它是一般式。我们来可以检验一下啊，可以检验一下。那另外一个的话我们来看第二题啊，第二题就是我现在要给你讲的一个重点的一个方法。那首先来看，呃，这个题目当中告诉我们的信息也是比较少的，它主要是让我们求这个 hbc 的 面积，那我们来看一下这个面积的话，在我们整个初中其实有三种方法呢是直接算。 第二种方法呢是，呃呃，割补法啊，这个在应该是平面直角坐标系里面都学过的割补法 啊，那割补法适用于用的也是比较多，适用于计算不规则图形的面积，用规则图形减去规则图形就是不规则图形。第三个呢就是我们这一块要学习的铅垂高水平宽啊，我主要是讲讲一下这个铅垂高，那铅垂高怎么做呢？我们做的时候呢，做一条经过 h 点且垂直于且垂直于 x 轴的一条直线， 然后交 b c 于这点，交 b c 于这点，那我们来可以看一下啊，那么这个图形的话，可以将这个三角形，可以将这个三角形 h、 b、 c 呢分成两个三角形，一个三角形呢是三角形 b h g， 然后另外一个三角形呢是，呃， h g、 c 两个三角形， 那我这里面我再做两条高啊，做两条高，然后这个假如说是 e 吧，然后这块是 f 吧，那我是不是就可以把它呃这个面积可以用这个 呃公式写出来，它是不是等于二分之一的 h g 乘上个 b h， 那 第二个的话是不是相当于是二分之一的 h g 乘上个 c e？ 很 简单。然后紧接着我往前写一点啊，它是等于二分之一的 h g 乘上个 b f 加上个 c e， 其实 b f 加 c e 的 话，我用这个蓝色的来给大家表示一下， b h 加 c e 啊，它明显是 b 点的横坐标的绝对值吗？它不就等于二分之 b 点的横坐标是二分之五倍的 h g， 所以 说我们要计算这个面积的最大值，我只需要，我只需要算这个 h g 的 最大值就可以， h g 最大，那三角形 h b c 的 面积也是最大的。那紧接着我们来看一下这个 h g 怎么算啊？这个是很关键的啊， 很关键的一点，那 h g 这一块的话，首先我要算 h g 的 话，实际上这一块应该是比较简单啊，比较简单呃，我知道 h 点坐标，我要知道这点坐标这个题不就解决了吗？然后我用 h 点的纵坐标减去 g 点坐标，它这个长度不就知道了吗？ 对吧？所以说这一块啊，嗯，也是一个关键的地方，就是我这一块可以设 t 点的坐标， h 点坐标为 m， 然后负 m 的 平方减四， m 加五， 然后 h 点坐标和这点坐标是横坐标是一样的，所以说横坐标也是 m。 然后这一块我们需要知道这个 bc 的 解析式，那 bc 的 解析式这一块，我们可以因为 c 的 c 的 坐标这一块是零到五嘛，所以说把 b 点和 c 点呃严密方程组就可以把这个呃这个一次函数的 bc， 这个一次函数的解析式求出来。 y 等于 k， x 加 b， 然后把 b 和 c 带进去，把 b 带进去之后就变成了负五， k 加 b 等于零，把 c 点带进去之后，就相当于是 b 等于五嘛，所以说最后我就可以得到这个 k 是 等于 呃一的，然后 b 等于五，所以说这个解析是为 y 等于 x 加五，那所以说我就可以设这点坐标为 m， m 加五。 所以说这一块啊，就可以再接着往下写了。我用这个呃，这块用这个绿色的来写吧，绿色来写，它等于二分之五倍的 h， g 的， 呃，长度，实际实际上是用 h 的 纵坐标减去，用上减下，用 h 的 纵坐标减去这点纵坐标。负 m 的 平方减四 m 加五，然后减去 m 减五嘛， 然后这一块就变成等于二分之五倍的负 m 的 平方减五 m， 哎，然后紧接着我把它写成一个，呃，配方啊，配方，配方这块我再用这个蓝色的来写，因为这个绿色不太好看。二分之五倍的负 m 的 平方加上一次项系数一半的平方，其实我可以把这个负数给他提到前面去啊，稍等一下，把这个负数给他提到前面去， 那等于负的二分之五倍的 m 的 平方加五 m， 实际上就这一块比较简单了。配方嘛，然后加上一次性系数一半的平方，一次性系数是五，一半是二分之五，一半的平方是加上个四分之二十五，那加四分之二十五，就减掉四分之二十五不就一样了？等于负的二分之五倍的 m 加上个二分之五倍的 x 平二分之五的平方，然后再加上个 八分之一百二十五。啊，所以说这块就可以知道了。就这一块啊，再用这个红色来圈出来，就这一块 啊，这一块就是我们三角形 hbc 的 面积，那 hbc 的 面积的话，实际上就是最大值是八分之二十五嘛，这个题就解决了，但是如果说这块要求 h 点坐标的话，呃，首先 h 点的横坐标是它重坐标的话，呃，你只需要把这个，呃，把这个 x 等于负的二分之五啊，这块是因为地面坐标是负的二分之一百二十五嘛，把 x 等于负的二分之五带到呃， 二函数里面就可以确定 h 点坐标， h 点的横坐标也是负的二分之五啊，做坐标的话得算，那这个就是我们呃一二函数里面的面积的专题，用的方法是铅垂钩 啊，整个这个流程所有的都是一样的，你把这个学会，所有的这种题都可以解决，他只他只是在变这个字母。那接下来我们这边有两道这样的题啊，其实老师这边都给你做好准备了，我们来把这两块就是可以起，呃，可以暂停一下啊，可以暂停一下把这两块就这个这个题啊自己可以按照刚才老师讲的做一做。好了，那我们今天这个分享就到这。

继续看九街一月店打卡，练习二四年内蒙的一个中考真题，那么这个题呢，也是比较基础的啊，但很多同学呢，他不能在短的时间内给它做，对啊，所以说咱们要快速啊，来，当做中考一样做一遍这个题 来，菱形 a、 b、 c、 d， 脑子里瞬间有菱形的性质，对吧？特殊性质很重要，四条边相等对角线，互相垂直且平分，每组对角，对吧？好，那么又给你一个六十度。哎，这就来了一个非常特殊的一个菱形，它会有两个等边三角形，对不对？并且连接对角线以后呢？ 边长和其中最长的那个对角线是不是一比一比跟三好，那么 a、 b 等六同学，说明他的边长是六，哎，那么你就知道了，如果我连接 b， d、 b、 d 就是 六倍根号三，不需要计算，好吧，来， a、 c 又是一个对角线，意思上面一点过， e 做 e， f 垂直于 ab 同学， 垂直 ab 同学，那你会发现呀，因为他说六十度的一个角，那这也是六十度啊，对不对？这也是六十度，所以说你在这就会有三十度的一个直角三角形了，一比一比跟三，你要知道，一比 一，一比跟三比二，你得知道对不对？好，那么这个继续来看，若 c， e 的 c， f， 找一下，若 c， e 这个边啊，要等于谁啊？ a， f 对 吧？等于 a、 f 的 同学，好，让你去求 d， e 的 长，让你求 d， e 的 长， d， e 的 长，在这， 对吧？求 d， e 同学，这是六十度的，对吧？那在这我们应该怎么办？把你能够知道的信息全部给他去标一下就可以了，对吧？那么对角线 a、 c 是 不是也就三角形 abc， 他 肯定是为等边的，这个小孩都知道，对吧？等边也就说 a c 呢，他会等于这个 ab 的 长等于六的。 好，那接下来怎么办呢？同学，你好像没办法了，好像又不会做了，那么在这你就想到了啊，万能的方法叫方程的思想 啊，我设未知数就可以了啊，我设未知数可以了，对吧？比如说我设这个什么啊？在这我可以设这个啊，他是 x， 同学，可以吧？啊？ c e 等于，比如说我就设 c e 等于题干上给的，对吧？啊？ c e 等于 af， 是 等于 x 的， 对吧？那这个啊，那你就知道了， a e 同学，是不是就等于二 x？ 同学， 明白没有？ c 等于二 x， 那 c 来的同学，你会发现三 x 呀，他就会等于六，那么我就知道 x 就 等二了，是不是？所以你在这就很容易知道这个边长就很容易求出来，那么求出来以后你会发现你要求的目标是谁？ x 等于二啊，这是二，那这个是四，你要求的是这个 d e 同学，线段长更多的方法就是放在一个 r t 三角形当中去求它，那么我们在这就需要构造 r t 点做一个什么？做这个 d h 垂直于 a c。 同学，那么你去标记一下就 应该比较简单了吧？同学，比较简单了吧，这个是六。同学，这三十度，是不是这六，这三十度啊？你，这个你想求谁，对吧？你就可以去求了啊，你这个 c e 是 不是可以知道了？同学， c h， 这个 c h 是 不是可以知道了？是不是就是三？所以说你这个 e h 是 不是就是这个 e h 啊？我这个是 h 点，对吧？ e h 是 不是就是一了，同学， 是不是？好，那下面同学是不一样的，这是六十度啊，这是三十度啊，还是这么多，对吧？这就是一个三倍根号三了。同学，所以说我们在这个 r t 三角形 看见了吧？我们在二七三角形这个 dhe 当中，同学，跟上没有啊？ dhe 当中我们要求的这个 dhe 就 很简单了，是不是三倍根号三的一个平方加上一的平方， 结果是二十八，二十八的话就是二倍根号七。同学，所以说这个答案就是二倍根号七。总结一下这个题考察什么？考察菱形的基本性质，对吧？考察这个什么勾股定律， 考察你这个首先是构造 r t。 三角形，去利用勾股定律，对不对？那么更重要的就是你要知道要快，能够看出来一比跟三比二这个知识点，包括一比一比跟三，你也得会熟练的运用，好吧，同学加油。

继续看九街一日店打卡的真题，那重庆的二四年的一个中考真题，那么如图呢？给你，正方形的边长是四， 然后呢？ e 呢？是 b， c 上的一个点， f 是 c， d 延长线上一个点，那么这个你看起来有点像我们学过的一个绊脚模型，同学 有没有印象呢？好，连接 a e a， f， 又给你一个关键信息，叫平分线 am 平分 e a f， 说明这个角要等于这个角的， 连这个交 c d 于点 m， 是 吧？在这呢？好，然后又跟你说，这个 b e 要等于 d f 等 e， 它等于一同学，对吧？这个是垂直的啊，这个是垂直的，对吧？这个正方形的性质你得知道 a b 是 要等 a、 d 的， 那显然你读题的时候进行关联了，就很容易想到了三角形 a， d， f 一定是要全等于三角形 a b， e 的。 同学， 没问题吧？全能，这个一定能想到的，并且你会有对应的一个结论，对吧？ a f， 比如说要等于 a、 e 的 同学，有没有问题？没问题，对吧？好，继续确定你的目标，你的目标就是要求 dm 的 一个值。同学， dm 在 哪里？ dm 在 这， 好求，这个值，怎么求？同学，求线段长的方法，脑子里瞬间就出现了很多这个考法，对吧？最常见的就是勾股定律，方程思想对吧？包括中位线，中线，斜边中线啊等等等等，对吧？好，在这我们肯定是要充分利用已知条件去突破我们的目标。好，那么 同学，在这，我们怎么去充分利用已知条件呢？你有这个全等，第一个全等，对吧？有 af 是 要等于 a e 的。 同学，你又角平分线，你还没用呢，它俩相等公共边，同学，能不能继续想到三角形 a e m 一定是全等于三角形的，这个 af m 的 能不能跟上啊？你肯定能，那这样的话，同学，我们是不是就知道了这个什么有这个 e m 这个边是要等于 f m 这个边的？同学，那我们要我们的目标是求这个 dm， 我 们方程思想很容易想到说 dm 就 等于 x 对 吧，那你表示吧，这哥们不就 x 加一了吗？同学，懂不懂？那这 c m 是 不是四减 x 啦， 整个是四啊， b 一 是一，那不就是三？同学，所以说我们就是在二 t 三角形啊，这个 c m e 当中，同学，我们是不是有三的平方是要加上一个什么三的平方，要加一个四减 x 的 平方是要等于 x 加一的平方的， 能不能对上？所以说这个你自己去解一下就可以了啊，解出来 x 应该是等于五分之十二，答案是选四 d 选项啊。这个题呢 考察的比较基础且非常重要，第一个正方形的性质，第二个全等三角形的判定与性质。第三个，勾股定力去求线段长。那么在这呢，肯定涉及到了这个用方程的思想，通过勾股定力去构建等量关系去解这个题。