中考压轴题怎么画

各位，吃亏作图啊，画四十五度角怎么画啊？这个方法和原理必须得学会啊，我们来看一下这道题啊，说在 ab 上找一点 d 啊， ab 上找一点 d， 是 a， d， c 等于四十五度。 a， d， c。 怎么听起来这么熟悉啊？ a， d， c 啊，就说找一点 d 啊，是 a， d， c 这个角度啊，等于四十五度，这个 d 在 哪啊？各位啊， 你不能蒙啊，啊，也不能用两角器啊。尺规作图，只能用尺子和圆规，怎么找四十五度？各位啊，你怎么找？你又不能蒙，又不能用两角器，那怎么办？各位注意了啊，看到四十五度，必须想到 等腰直角三角形，这个道理能不能明白？也就说你只要能做个垂线就好办了，也就说我通过 c 如果能做个垂线， 然后做个等腰直角三角形就就行了。好，那第一步，做他的垂线。做垂线怎么做 啊？做垂线也是有方法的啊，就是做垂直的方法。什么方法？给大家演示一下啊，这个方法必须得学会。第一步啊，你不要在这找垂点吗？垂垂线吗？第一步，把这个 ac 连起来啊，为什么要连接 ac？ 等会你就明白了， 我要找到 ac 的 终点，怎么找？ ac 的 终点，他的终点怎么找？很简单啊，在 a 点上随便画个圆，在 c 点上啊，随便画个圆。各位， 这有两个焦点，看见没有？这有两个焦点，这两个焦点连起来，各位，这个就是终点， 为什么？因为这是垂直平分线，所以这个点 e 啊，它就是 a、 c 的 终点。那找到终点有什么用呢？各位，那就很简单了，找到终点画圆，你看我通过这个终点画圆，你发现一个问题， 我是不是以 a、 c 为直径画了个圆，以 a、 c 为直径画了个圆，圆交于这一点，各位， 这一点连起来，它一定是垂直的，哎，有同学问，为什么？因为过直径的圆周角在圆里边啊，过直径的圆周角，它一定是直角，所以这个点 e、 f 就一定垂直， c， f 一定垂直，他好找到这个垂点了。下一步怎么办？等腰直角呀？构造等腰直角，那怎么办呢？各位，那就很简单了啊，以 f 为圆心啊，以它为半径， 然后你再画个圆，你会发现，哎，这交了一个点，这是不是也也会交一个点？这个交点如果连起来，各位，你有没有发现一个问题， 这个就是等腰直角，因为这个是半径 r， 这个也是半径 r， 所以 他就是四十五度，那这个 d 点不就找到了吗？在这吗？这边还有个焦点啊，这个焦点应该如果 a 足够长的话，这个焦点可能在这。 那 a， d， c， a， d， c 是 不是也是四十五度？你看如果 a 啊，如果啊，人家说在 a、 b 上找啊，可不能出去啊，这个方法必须得学会啊哥。

西安的中考压轴题啊，压根就不是你在考场上做出来的，他非常的具有技巧性。所以啊，这条视频啊，我希望各位家长能耐心的看完，对你行，对你孩子啊，也许有点帮助。 压轴题分为大压轴和小压轴，大家应该比较清楚，小压轴呢，你想想，最主要我给大家说的方法就是这个特殊指法，你像二零二四年这个中考，中考这个小压轴啊，他直接用 特殊指法，可能五秒钟，最多十秒钟解决战斗，如果说你还在死算，或者是慢慢按部就班的算，那你时间上肯定来不及。 再就是大压轴啊，你看啊，大压轴一般分为三问，第一问，第二问，第三问，前两问也许有关联，也许没有关联，但是第一问，第二问，他都在给第三问的思路，辅助线都在提供这个，哎，地画， 所以啊，你尽量的把前两问拿下。我觉得前两问啊，大家只要努力都能拿的到 最后一问啊，你实在搞不定，奥老师给你一个技巧，你就把该画的辅助线画一画，哎，该写的语言你尽量能写写一点。所以啊，你像去年十二分的话，前两位做的做对，你再把辅助线一画，再稍微写点东西， 拿个六分啊，你看去年我的一个孩子，两个孩子大概就考了一百一十四，所以啊，你要记住，这个方法和这个技巧非常重要。 这个话说完以后啊，其实我跟大家说，这种东西啊，也不可控，也许的这个特殊执法，你包括我说的这个方，呃，最后大家也许你都，你也可能第三问，啥都做不了，也有这种可能性。这个视频啊，我也想给出一出二的家长 说一说这个观点，就是如果说你家孩子啊，现在初一初二，我希望你们现在啊好好的努力去备考 这个压轴题，而不说上了初三，那到现在为止纯粹就是临时抱佛脚，就是冲一冲，哎，保个一百一，冲个一百一十五这种这种策略是对的，但是你说他能稳定到一百一十五，我觉得这种事情谁也不敢说。

好，那各位同学，各位家长大家好，欢迎大家来收看本视频啊。今天呢，我们来说一说这个二零二六年虹桥区九年级结构好数学第十八题的相关解析思路。 呃，这个题因为这几个点都不在格点上，所以还是有一定难度水平的啊，来，我们来看看这个题啊。 呃，说是在这个边上一的网格当中，以 ab 为直径的圆与网格线相交于点 c 点 d， 也就是说现在目前我看这个图里面，我其实 这个点 a 在 不在格点上，我就不太确定，他应该不在这个格线上，对吧？然后这个 c 和 d 是 在格格线上，那么我们来看这个第一问啊，说是角 a， c， b 的 大小，这个比较简单，用到九十度， a， b 是 直径是九九的。那第二本 p 在 直径 a b 上，当 p c 加 p d 取得最小值的时候，用如何的知识找出点 p 的 位置。呃，这个我现在已经看到一些答案了，我说一说这个，呃，一个比较不太一样的一个想法啊，那这本我现在需要找这个 c 跟 d 关于 ab 的 一个对称点，对，就是我只要找到这个对称点就可以了。呃，这里面我们用这样一个方式来做啊，因为这个点 c 啊，是在这条割线上，对吧？所以我我这样去找 这个 c 啊，往左一二三四有四四小格线，对吧？我在中间这个位置找一个 ab 关于格线的这个交点，然后用 c 和这个点连一块，然后延长过去， 哎，延长过去，这样的话，我就把这个点作为这条线的一个中中点，对吧？这边两个这两个，这就是中点，对吧？同样，我在我在 c 往左二这个位置， 往左二的位置，我再做一条线，那么它的终点就应该是中间一这个位置，对吧？在 a b 和这个角的交接，就是这个地方，然后连接 c 和 e 这个角，然后再延长过去， 哎，变成过去之后，好了，让我看啊，那这一小段，这一小，中间的这一小段，是不是就可以作为这个 c， 呃，这叫点 m 吧。这个点 n 是 不是可以作为三角形 c m n 的 一个中位线？那它是不是所有的中点就都在这条线上，就中位线了，对吧？所以我连接 m n， 我 连接 m n， 并延长和圆的这个交点 和圆的这个焦点，这就是啥？这就是三角形 c m n 这条线上所有的这种，你甭管怎么连，你甭管怎么连，怎么连，怎么在这终点都在这条线，对吧？所以我的这个和圆的这个焦点就是 c 关于 ab 的 一个对称点，因为这个 b 都是 c c c 撇弧的中点，对吧？所以这个 c 撇就这样就可以找到。所以这个我们真正连的时候，也就是， 呃，找这个点，连接 c m， 然后连接 c n， 然后延长下来和这个交点，然后连接点 d 和这个 c 撇这个点， 哎，他和 ab 的 交点，这个点 p 基本数数就完事了啊，我觉得这个方法还是比较好的啊，当然这道题不止这一个方法，呃，还是和大伙主 p 啊。虽然说这个这个题有些难度，但并没那么困难，对吧？所以我还是觉得，嗯， 别花太多时间在这个题上，如果我们的数学没有稳定在一百一十七分及以上，别在这道题上耽误过多时间 好了，那就是对于十八题的一个思路的分享啊，如果您还有什么问题的话，欢迎在这个视频下方给我留言，或者到我的微信公众号，这里的数学不一样，咱们进行进一步的沟通和交流。那好了，那这个十八题先和大伙说到这了。

几何题的关键从来不是辅助线在哪画，而是为什么在这画。看懂答案只是第一步，看懂思路才能真正拉开差距。可惜，绝大多数孩子卡就卡在这。于是很多人一咬牙，转头就去找补习班了，心想这回总该成了吧？ 但于老师要说一个扎心的事实，绝大部分孩子，哪怕课外一对一狂补，最后压轴题的水平仍然不会有太大变化。不是因为孩子的资质不够，而是传统的教辅和补习，都没有触及到攻克压轴的核心。比如教辅书上的答案解析，通常只是告诉你在这里做一条辅助线，然后解题步骤第一步、第二步怎么做就结束了。 他不会告诉你如何精准的找到题目所需的辅助线，而这才是孩子攻克辅助线难题的关键。那绝大多数老师也是已知了答案，再给你讲一遍，还不如孩子自己在家看答案来得快。所以，孩子做了这么多题， 听了这么多课，可能连攻克压轴题所需要的方法和能力，从来没有得到过有效的训练。但其实不管多难的题，他的辅助线都可以通过一个通用的底层逻辑推导出来，但很多老师自己都没领悟到， 更别说辅导孩子了。一旦掌握了方法，领悟了诀窍，辅助线攻克起来会很快。我是于老师，在一线待了十多年，数学我研发的辅助线攻克法已经帮两千多个普娃考上中高。因为我发现了一个秘密，每条辅助线都是有规律可循的， 一旦找到规律，孩子从原先完全想不出辅助线，到后来遇到完全陌生的题，也能拆解成简单题，精准的判断出辅助线的做法。 而且面对某道难题，他还能想出好几种辅助线的做法。如果老师的底蕴足够深，孩子在听他第一节课的时候，就会有种任督二脉被打通的感觉。几何其实就是个纸老虎，只要捅破这层窗户纸，咱家孩子就瞬间成为高手。

来，树感在线，逻辑不偏。大家好啊，今天我们来看一下滨河的这个二摸的小压轴，这个题呢，其实它是一个非常规的线段最值的考法，但这个题呢，我认为出的非常的有意思啊，挺有这个探求的意义的，来，我们一起读一下。这个题说给了一个四边形 a、 b、 c、 d， b、 a、 d 的 角度是六十度， 然后呢， a、 b、 c 和 a、 d、 c 都是九十。好，看到这两个条件啊，看到这一个条件，我就立马能够反应出来， a、 b、 c、 d 这四点共圆，并且 ac 为直径，对吧？那么此时想都不用想我直接什么，直接就画这个圆呗，把它的外接圆画出来 好， a、 b、 c、 d 四点共圆，对吧？然后呢， a、 c 和 b、 d 相交于点， e 告诉我 d、 e 是 八， b、 e 是 四，所以 b、 d 的 长度等于十二， b、 d 等于十二。嗯，好，然后最后让我们求四边形 a、 b、 c、 d 的 面积。那么到这之后呢，你会发现有一个条件不太好转化，就是 b、 a、 d 等于六十度， 对吧？因为我们知道这个地方是圆心，所以呢，当 d、 a、 b 是 六十度的时候，我就直接连圆心就好了，所以把 ob 和 ob 连接起来，那么此时我能找到角 d、 o、 b 的 度数等于一百二十度， 又因 b、 d 是 十二，所以呢，直接做垂线，找到这个点记作 f， 所以 我们能知道 o、 f 的 这个长度是不是就能通过三十、六十、九十度的直角三角形去找到， 对吧？好， d、 f 是 六，所以呢， o、 f 的 长度呢，就应该是二倍的根号三， ac 为直径，所以 ac 等于八倍的根号三。 好，到这呢，其实这个题就已经解决了百分之九十了，剩下就是一个简单的面积公式的计算了， 那么当然到这一步呢，有同学可能会说了，就是，老师，我知道 a、 c 等于八倍，根号三， b， d 等于个十二，完了呢，这个面积怎么求？我不太会做， 对吧？好，注意了哈，就是到这呢，有一个很重要的一个东西，叫做四边形的面积公式的话呢，那可能需要其他的，比如说旋转转化 来通过割补的形式去求面积，那复杂度就高很多了。所以呢，在这呢，带大家回顾一下四边形的面积公式啊，比如说一个四边形 a， b， c、 d 啊，我直接把面积公式先写出来，它等于二分之一 对角线的乘积啊，对于这个四边形来说，那就是 a、 c 乘以 b， d 再乘以 c、 e 它们的夹角啊， a， e， d 的 正切值角 a， e、 d。 好， 那么这个东西是怎么推导出来的哈，我带大家简单推一下哈，比如说我任意画一个四边形啊， 咳咳，好，这是一个任意四边形，分别是 a， b， c、 d， 然后呢，连接 a， d， 连接 bc， 交点呢？记作点 o， 对 吧？好，我要去求 abcd 的 面积的话呢，我会发现四边形的面积 abcd， 我 可以把它转化成三角形 abd， 再加三角形 acd 的 面积， 对吧？而三角形 abd 的 面积呢，是不是以 abd 为边，然后 abd 边上的高记，这个点为 e 的 话呢，就是二分之一 ab 乘 b， e， 而 b， e 呢，是不是 o， b 乘以 c， e 这个地方是 r 法， c， e， r 法， 对吧？这是 a、 b、 d 的 面积好，再加上一个 a， c， d 呢？ a， c， d 同样是二分之一，以 a、 d 为底，乘上一个 a、 d 边上的高记，这个点为 f 乘上一个 c、 f， 而这个 c、 f 呢，是不是 o、 c 乘以 c、 e、 r 法把这两加起来，结果就是二分之一 a、 d， 因为 ob 加 oc 就是 bc， 对 吧？所以乘 bc， 再乘以 c、 e、 r 法就结束， 好吧，所以呢，这个东西呢，是四边形的面积公式。到这儿呢，这个题其实就已经做完了。好，我们把这面积公式的推导，这个事情我先擦了哈，然后直接写就行了哈。计算嘛，二分之一乘 a， c， a、 c 是 八倍的根号三乘 b， d， b、 d 的 长度是十二 乘以 c， e， a， e， d 啊， a、 e、 d 的 这个正切值对吧？好， a、 e、 d 的 正切值怎么求呢啊？我会发现，因为在三角形， a、 e、 d 的 正切值和 o、 e、 f 的 正切值是一样的，所以我把它放在三角形 o、 e、 f 中来计算， 这个地方呢，是二倍的根号三，它是四倍根三，对吧？然后呢，这个 f、 b 的 长度呢，是 o、 f 等于二倍的根号三， f、 b 的 长度呢，是个， 是个六， b， e 呢是四，所以呢， ef 呢，长度呢，就是二，对吧？ ef 是 二啊， o， e 就 等于四，所以 c 角 a、 e、 d 呢，就等于个 o、 f 比 o， e 嘛，对吧？ o、 f 的 长度二倍根号三，比上 o， e、 o、 e 的 长度是个四，等于二分之根号三， 对吧？好，把二分之根号三带进去，二分之根号三带进去，计算这个结果就可以了，答案等于七十二，结束 好了啊。当然，这个题简单总结一下，核心呢，其实首先考虑什么？四点共圆，连接共圆之后呢，有一个很好的技巧，就是这个地方是六十度，你发现这里的六十度不好，不太好转化的时候，因为知道 b d 的 长度， 所以把这个六十度呢转化到圆心角，圆心角一百二十度去，进而呢这些线段关系我们都能求出来。 最后呢，其实核心就是知道四边形的面积公式，这个题就 ok 了。当然如果说面积公式不知道的话，那我们需要通过旋转，然后转化去求面积，那这个复杂度就会高很多了。好吧，大家可以自己尝试一下。

木易木易，数学容易！各位同学大家好，我是米老师，今天给大家带来二零二五九全一模几何压轴题。二十六模型学习 构造平行八字形全等三角形模型是证明线段相等的一种方法，那么例如图一是 d， 是 三角形 abc 边上一点，然后 e 又是 a c 的 中点，接着他过 c 做了平行，有平行就有角相等， 所以这两角一边 a a s 证明全等。第二个初步运用，如图二，在正方形 a b c d 当中， e 是 a b 上的一点， f 是 b c 延长线上的一点，并且满足 a， e 等于 c f， 我 们看 a e 在 哪？ a e 在 这里， c f 在 这儿。 ok， 那我们如果要模仿那个记模型学习当中的平行八字，那么就应该过其中的一点做平行。那过哪里呢？我们就过 e 做。呃，这个 e m 平行于 fc， 那 么平行之后我们就会有两组角相等，但是缺个边缺边吗？不缺，因为这里告诉你了， a e 是 等于 fc 的， 那么又因为对角线这里会有一个四十五度夹角，所以能很容易得到这个 a e m 是 个等值等腰直角三角形，所以 e m 就 等于 a， e 就 等于 f c， 进而证明全等。我们简单来写一下啊，这个第一问啊，我们就是 过 e 做 e m 平行于 f c， 那么三角形 a m e 是等值， 所以说三角形 e m g 全等于三角形 e m g 的话，应该是 f c g 是吧？括号 a a s 对吧？ 啊，这个是 a s， 呃，这应该是 a s a 要重新写错 a s a ok， 那 他让你挣的这个 e g 等于 f g 是 不是就很容易挣了？是吧？简单就写一下第二个，深入探求，在 e 的 条件下连接 d g 并延长。我们试着连接 d g 并延长。 连接 d g 延长交 f， 交 b c 于哪里？于 h。 现在告诉你， b h 是 五， b e 是 十二。问正方形的边长是多少？一般问边长呢，我们需要设边长，我们就可以第二问，就可以设边长 为 x， 边长为 x， 那 么 dc 就是 x， a d 就是 x， cb 也是 x， b h 又是五，所以这里的 c h 就是 x 减五，然后这里的 a e 呢，就是 x 减五 啊，这应该是 x 减十二，对吧？ x 减十二啊，因为 e b 十二，然后同时第一，我们就证明了 a e， e m 和 f c 都相等啊，所以 f c 也是多少，也是 x 减十二。 然后这里有一个很微妙的事，就是你发现五和十二 h， b 和 e b 这两个刚好是一个经常见到的这样一个勾股数吧，对吧？它俩又刚好在这个直角里面。 所以啊，你你应该有一个敏感度，就是把 e h 如果连起来的话， e h 应该是十三，五是二十三。好了， ok， 现在这个题怎么做？ 把它放大一点。这道题到现在呢，其实我们已经做到差不多了啊，因为你看到我们第一问的前提下，这个前提还没用呢。什么样的前提？前提就是，哎，这里的 e g 和 f g 是 一样的，这个前提下，他俩一样有什么用呢？我们再想一下啊，在正方形里面经常会遇到的一种，呃，这个模型啊，其实就是旋转全等了，我们可以连接这里的，第一 连接这里的 dc 以及 df。 那 是不是刚好发现这个我们的 d a， e 和 d c f 它也是全等的呀， 因为有直角公共角，然后呢，再把呃其中一个直角边再加一个直角，这叫，这叫什么？这叫 边角角，边角就可以证明它全等，是吧？我们可以写 e 正三角形 d， a， e 全等于三角形 d， c、 f。 当然你要把辅助线连一下啊。那接着要看一下它俩相等能怎么样？它俩相等，发现这个三角形就等腰了。三角形 d， e、 f 是 等腰， 其实甚至还是等腰值，对不对啊？因为它旋转角也是九十度，这里也是九十度。接着呢，发现 d g 啊，又是 e、 f 的 中点， 所以其实我们就知道 d g 其实它不但是中点还是什么，还是垂直啊，是等腰三角三项合一啊。 d g 应该是垂直平分 e， f ok， 有 了垂直平分线，你经常做的一件事是干啥呀？其实就是垂直平分线上的点到两 边的距离相等，也就是我们刚画这个绿色三角形当中，垂直平分线上点显然是 h 点到两边距离相等，到 e 点的距离就等于到 f 点的距离都等于多少？等于十三， 也就是这里的 x 啊，也就是这里什么 x 减十二，加上 x 减五，会等于十三 啊也。这里 f， h 等于 e、 h， 那它俩相等之后，把 x 减出来， x 等于几？ x 刚好等于把右左边移到右边去，刚好是三十二， x 乘三十， x 等于十五，这样就做完了。我们看第三问， 第三问，他说拓展迁移在图三中，在矩形 a， b， c， d 里面， ab 等于两倍的 bc， 有 比例呢，我们需要设一下，所以把 bc 设为 a， ab 设为二 a。 接着呢，他说 a、 e 又等于两倍的 cf， c， f 设为 b， 那 a 就是二 b。 哎，好了，刚才前两问之间，我们都是用了一个什么平行构造全等，那么一模一样的，我们也需要平行构造全等，依然是过 e 做 f c 的平行线交于 m， 然后那这个 e m 就和 f c 一样，都叫做 b 了，他们俩都叫做 b， 那么 a m 就是谁？就是根号五 b， 对吧？根号五 b， 那 b c 是 a， a， b 是 二 a， 整个的 a c 就是 根号五 a， 所以 这里的 mc 就是 根号五倍的 a 减 b 到这里都没问题。如果要看他的一半，因为最后这道题他问你，什么 b e 和 c g 之间的关系啊？我们看 b e b e 怎么理解？ b e 其实这里是二 a， 所以 a e 又是二 b 的 话，那个 b e 就 应该是二倍的括号 a 减 b 啊， 然后呢， g c 又怎么搞？哎，我们把这两条线要突出的画一下啊，这是我们的 b e g c 在 哪？ g c 在 这里啊， gc 刚好是 mc 的 一半， mc 刚刚是根号五倍的 a 减 b， 那 么 gc 就是 二分之根号五倍的 a 减 b。 ok， 现在我们把这两条线段拿到一起来看啊，如果我们用 e b 来比上个 gc 的 话， 这三问，那其实呢，这里就是二倍的 a 减 b， 比上个二分之根号五倍的 a 减 b， a 减 b 正好约掉了，所以二除以二分之根号五就等于乘以五分之二，也就是五分之四倍的根号五，对吧？ 所以它俩之间关系你可以用比例来写，也可以呢，把它交叉相乘过来，五倍的 b e 就等于四倍根号五倍的 g c， 是 吧？好，我们来看，检查一下对不对啊？这里二除以二分之二乘以五分之二，根号二。呃，根号五分之二，所以是根号五分之四， 根号五分之四呢？就是五分之四。 ok， 没问题老铁，到此结束，关注我考试再提十分。

来看最后一道题，这道题我们要理解什么叫做勾股伴随函数，它的意思是一中取两点，在 c 中取一点， 构成直角三角形就行。所以我们叫有以下几种情况，第一种，三角形 a、 e、 f。 第二种，三角形 a、 e、 j。 第三种，三角形 b， e、 f。 第四种，三角形 b， e、 j。 第五种，三角形 d， e、 f。 第六种，三角形 b、 e、 j。 既然分了六种情况，肯定有不是直角三角形的，我们来进行画一画三角形 a、 e、 j。 它不是直角三角形，所以排除 三角形 b、 e、 j， 它也不是三角形，它也不是直角三角形，所以排除。 它也不是直角三角形，所以排除。所以只剩下三角形 a、 e、 f， b， e、 f、 d、 f 三种情况我们分别来看，我们过点 d 作 d h 垂直于 s 轴，过点 e 作 d m， e， m 垂直于 x 轴并延长， 使 d， n 垂直于 e n。 我把这几种情况擦了好。第一种情况，当三角形 a、 e、 f 为 r t 三角形 a、 e、 f 时， a e f。 所以 角 a e、 f 等于九十度，所以由勾股定律可得 a e 方等于 b 方，加上 m e 方也等于 a f 方，减去 e， f 方， 所以我们直接把数代入就行。此时 n 点的坐标我们把它设成 m 负八， h 点的坐标可得是负三斗零， e 点的坐标可得 m 斗八，所以直接将数代入即可。 m 加八的平方，加上八的平方等于 m 方，加上十六， m 加一百二十八， a 一 方也等于 m 加十三个平方，减去八十九，等于 m 方加二十六， m 加八十， 所以 m 方加十六， m 加一百二十八，等于 m 方加二十六， m 加八十。此时可以解除 m 等于五分之二十四，所以 o p 就 等于二分之一， m 加三减三等于 m 减三 等于二分之一，乘以五分之二十四减三，最后得十分之九，所以屁点的坐标都零。好，这是第一种情况，明白了吗？

给你这张试卷，希望你能撑过这个中考。踏马的，上辈子造了什么孽，要我天天做这些题！敢问公子是不是在去年冬天救过一只狐狸？你是那只狐狸，我是那道压轴题绞平凡线上你没做出来的那条直线。喵了个咪的，挑战三十分钟做一道中考压轴题，今天抽到 山西折叠中考压轴常客，曾经折碎多少人的梦想？今天我们就来会一会山西这道题。 第一个问蛮简单的，一眼菱形。 第二个问第一小问也蛮简单的，一眼垂直。 第二个问，怎么连个备用图都不给？手搓一个吧，换个方向要顺眼一些。 好，来开搞吧！ 思路有了，兄弟们，我把 b 一 设为 x， 那 么 c 一 可以表示出来， a， d 为十五减 x， 折下来这条边也是十五减 x。 利用角 a 的 正弦表示出 d h， 那 么 a e 撇 h 也可以表示出来。接下来，只需表示出这两条线段，利用这两个三角形相似，就可以轻松求出来了。接下来就夸夸一顿猛算吧！ 正当未做出来得意时，气氛突然微妙了起来，原本纯洁的数字突然变得异常邪恶。 这么大的系数，是认真的吗？十字相乘法试试吧！ 还真被我找到了分解之数，可一看，符号不对啊！ 眼看时间都到了，挑战失败，败在了计算上。不想承认自己的思路有问题，我不甘心。又验算了一下， 真是李普他妈给李普开门，李普到家了。 c g 的 表达是，算出来是一个负值。好了，我承认我失败了。最后看答案才知道， 思路都是要在这俩三角形里用相似去求，可人家做了这条角平分线上的垂线，利用三角函数设相应比例的未知数表示出来的， 这样做计算量要少一些。第二种情况，当 a 一 撇 f 等于 a 一 撇记时，也是一样的方法。完整答案在评论区，如果你有更简单的做法，欢迎评论区交流。

木易木易，数学容易！各位同学大家好，我是木易老师，今天给大家带来二零二五天水一模结合亚洲二十五节在数学活动课上，老师让同学们以举行的折叠为主题开展数学活动。有折叠就意味着会有全等， 也就有了边和角相等。第一问，操作推断如图一点， p 是 正方形边 a d 的 中点，所以 a p 等于 p d。 沿着 b p 折叠，我们把折痕划出来， b p 是 折痕，然后让 a 落在了 m 处，所以 a 点这里的直角，那么就会落到 p m p 这里的直角处。 接着呢，我们把折叠前后的边 ab 和 pm 对 应上。折叠前后， ap 和 pm 对 应上，又因为 ap 和 pd 相等，所以 pd 和 pm 也相等。 目前为止，我们知道这些信息，然后折叠不光与边相等，还有角相等呀，所以 apb 和 mbp 相等。 接着呢，看他把 b m 延长交 c d 于点 f 又连接了 p f， 我 们找到 p f， 问你 b p f 是 多少度角。那么很显然，第一问呢，除了这里的 a p b 和 m p p 全等之外， p d f 和 p m f。 如果我们把直角标上头，发现啊， a p d 等于 pm， p f 又是斜边公共边，所以这里 h l 它俩其实也是全等的。既然全等，那么这个角 d p f 小 点就等于角 m p f 是 吧？ 那这里呢？这就双角平分线。所以啊， p b f 呃， b p f 应该是九十度是吧？这里应该很容易看出来啊，九十度， ok， 我 们看第二问啊，迁移探求在一的条件下继续探求，如图二， 延长 pm。 呃，既然是在一的条件下，那我们不妨哎，就在一的条件下去看，我们直接呃，不看它这个第二图行不行啊？ ok 的， 其实我们在第一个图里面直接把它延长也是可以的啊，我们就延长 pm， pm 在 这我们延长过去， 交到点 e 上。其实我们就是把图二给它重新画一下啊，然后又连接了 be 是 吧？ 又连接了 b e， 哎，这里你其实发现啊，它连接 b e 之后，下面的两个三角形也是全等的，为什么？因为 b m 和 ab 相等，都是正方形的一条边，所以它和 bc 也相等。 又因为这里的 b m e 是 直角，这里角 c 也是直角，再加上什么，再加上中间一条公共边，也就是一条 b e， 所以 我们知道了，这两个三角形的角其实也是相等，是吧？我就没有用第二个图，把第一个图给画一下， 看他问你什么？他问的是 p b e 的 角度， p b e 是 不是刚好又是这个双角平分线模型啊？啊，那么四两个差两个三角是 abc， 这个九十度，所以这里 p b e 就是 九十度一半，那就是四十五度呗。来，写上。 然后小华用大小不同的正方形纸片多折了几次，发现 c f 和呃，这里的 d f 始终有个三倍的关系。现在咱们看右边这个图啊， d f 等于呃， c f 等于三分之一的 f d， 也就是说 d f 如果是 afc 是 三 a， 是 吧？ 有比例，我们一定要想到用相似解决问题，那么谁和谁相似呢？第一问，我们已经证明了这个 b p f 是 不是个直角呀？所以啊，这里就有哎三垂直的相似模型出来了是吧？ a p b 和三角形，呃， d f p 相似是吧？呃，我们既然相似了，就可以写一下它的过程啊。我们写一下第二问的二选项，他让你先判断是否正确，你先判断正确呗，对吧？因为 e 正 三角形 b a p 相似于三角形 pdf， 是 吧？所以它的对应边之比，也就是这里的 ab 比上个 pd 就 等于。呃，这里的 a p 比上个 df， 又因为 ap 和 pd 都是二分之一的 ab， 所以 我们替换一下， ab 比上二分之一的 ab 就 等于 ab 二分之一 ab 比上个 df， 这个比例呢？两边相乘，把 ab 约掉一个，我们就能知道这个 df 是 等于四分之一的 ab， 所以这里的 c f 就 等于四分之三的 a b， 那 是不是我们就刚好能证明 c f 就 等于三倍的 f d 呢？是吧？证明了。 我们看第三问拓展应用。第三问说将两个边长为一的正方形拼成了 a、 b、 c、 d， 也就是 ab 是 一， cd 是 一， ad 是 二， bc 是 二。然后 p 又是上面的一个动点，沿着 b p 折叠， 我们依然把这个折痕划一下，把它前后给它全等同步一下。 ok， 好了，那么 b m 就 一定也是一吧。然后他说射线 b m 交射线 c、 d 与 f。 图上因为 p 是 个动点，它只给你画了 一种情况，为什么？因为他这里明显把 bm 射线和 cd 射线的焦点 f 放到了 d 的 上方，那他有没有可能在 d 的 下方呢？其实是有的，是吧？我们也是先画一个图像给大家先表示一下啊， 这个图我们画的稍微的小一点，因为他会画的比较远啊。 ok， 然后，哎，这里是 a， 这里是 b， 这里是 c， 这里是 d， 那么这里的 bm 射线交过去有没有可能下面呢？其实是非常之有可能的啊，因为这个呢，就是有两种答案，所以我们把它延长出去啊，因为后面告诉你啊， f 是 呃几呢？ f 是 二分之一 dc 是 吧？所以啊，我们把 d f 就 放到这吧， f 其实就在这终点处啊， ok， 这就是他的 f， 然后我们把剩下的折叠的元素给他补齐了。呃，差不多，这里是有个垂直的感觉，是这样一个感觉吧，然后这样一连是吧？ 呃，这里的 m， 这里就是 p， 是 吧？所以其实他有两种情况，但是图纸给你一种情况，这里容易丢分，大家注意一下。 接下来我们看，既然有两种情况，我们怎么来分析啊？就是这来个图四吧，是吧？第三问的图四第一种情况，第一种情况就是他说 d f 等于二分之一 d c， 所以 d f 就是 二分之一，那知道了 d f， 又知道 d c 和 bc， 所以 在整个三角形 b f c 这个直角三角形里面，我先能把 b f 算出来，是吧？我们先算一下吧， b f 就 等于根号下面二方加上个二分之三的方，是吧？ 二方加二分之三方是，呃，是二分之五，对吧？算出来是二分之五， ok， 它是二分之五，然后 pm 又是一，所以啊，呃，其实我们把 m f 想算能算出来啊，那是这里没必要。为什么，因为我们最后求什么？求 ap 呗，求 ap 呢，我们就把 ap 设为 x， 那 么 pm 也是 x， 很 显然这里有直角，而且 注意看这个比例条件啊，矩形当中有非常多的什么相似模型啊，尤其是这里会有到矩形的。呃，一个平行相似，是吧，我们画一下啊，这里 ab 还有 f d， 是 不是它能构成一个八字相似呢？我们把交点当做 h， 是 吧？呃，一只 三角形 f d h 相似于 b， 三角形 b a h， 是 吧？这两个八字相似了。那既然相似了，我们就可以把这个 f h 和 b h 的 比例写成一比二的形式，是吧？又因为 b f 总共是二分之五 啊，其实呢，就相当于把整个 b f 分 了几分，分了三份吧，是不是这里是 a， 这里就是二 a， 所以 相当于分了三份啊？我们直接写吧。那么 b h 的 长度就等于三分之二啊，乘以且相似，比为一比一啊， 比为一比二，相似，比一比二我就不写了。 f h 比上 b h 等于一比二，所以 b h 乘以 就等于三分之二，乘以 b f 就 等于三分之五，是吧？因为 b f 是 二分之五，一乘的话，约掉三分之五， b h 是 三分之五， b m 又知道是一，所以这里的 m h 就 等于 b h 减 b m 就 等于三分之五，减一是三分之二。所以最终呢，我们现在知道了。哎，这个 m h 是 三分之二， 接下来 p m 又是 x， 我 只需要表示出 p h 就 行。 p h 咋表示啊？是不是这里的 d h 和 a h 它也是一比二的关系呢？是吧？一比二，总重长是二，所以 a h 就 等于 写下啊， a h 就 等于三分之二，乘以 a d 就 等于三分之二，乘以二等于三分之四。 好了，所以 p h 就 等于三分之四减 x。 ok， 最终我们落脚到了这个直角三角形里面。 在 r t 三角形 p m h 中，那么 p m 的 方加上 m h 的 方会等于 p h 的 方， p m 的 方就是 x 的 方，加上 m h 的 方，就是这里应该是三分之二的方，九分之四 会等于 p h 的 方是三分之四，减 x 的 方，是吧？两边把 x 方约掉，左边剩个九分之四，等于九分之十六，减去三分之八 x， 是 吧？两边都乘个九，呃，那最后算出来 x 等于几啊？这是十二，这是二十四，所以 x 等于二分之一，对吧？ 啊，这里就是 a p 就 等于二分之一。这几个答案。还有第二种情况，就是我画的蓝色这边的情况，刚才我们是最后用 p m h 这个三角形，直角三角形解决问题的。啊，那右边呢？很显然，这里 b m 还是一， 然后因为 d f 是 二分之一，所以这里 f c 也是二分之一，很容易把这个 b f 算出来。 b f 算出来，我们学一下， b f 就 等于根号，下面四方加上二分之一的方，就等于十六加上四分之一，那就是， 呃，十六加上四分之一也是根号，下面十六加四分之一。四分之。呃，我看这里算一下。 呃，这里有问题啊，这里应该是四加二分之一的平方，是吧？应该是，这里 bc 是 二呗，所以应该是四分之根号十七，是吧？这就是我们 bc 的 长度。 呃，不对，这里开完根号应该是多少？应该是二分之根号十七吧，是吧？二分之根号十七，这里是二， 它是二分之根号十七之后，那么所以 m f 就 等于二分之根号十七，再减一吧，是吧？ m f。 知道了，这里有直角，这里还是我们写设外吧。 设 a p 是 y， 那 么 m p 也是 y， 所以 我们只需要怎么样呢？只需要把这个 p f 也连上，如果把 p f 算出来就好办了，是吧？当然，这道题呢，我们最终其实可以啊，不用算。为什么？因为 d、 f 是 二分之一，整个 a、 d 是 二，所以这里的 p、 d 就是 二减 y， 是 吧？ ok， 在 直角三角形 pdf 和 pdf 当中啊，这个 pdf 都是它们的斜边，所以我们可以借助它列个方程。那么左边是 pm 的 方，加上 m、 f 的 方， 右边是 pd 的 方，加上 df 的 方，对吧？ pm 的 方就是外方，加上 m、 f 的 方是。呃，二分之根号十七减一的方。这个数字有点抽象， 十七减一的方会等于右边，右边 p d 是 谁呢？ p d 是 二减二减 y 的 方，这样 d、 f 的 方就是四分之一。我直接写了，这两边外方肯定也能约掉，所以看这个完全平方展开展开成面应该是四分之，根号十七的平方就是四分之十七， 再减去个二 a、 b 就是 根号十七，再加一会等于右边的四减四，外再加四分之一，是吧？我把外放约掉了，所以四外等于多少呢？这里四加四分之一啊，其实就是四分之十七，对吧？所以这两个约掉了。 负四 y 等于负，根号十七加一，那么四 y 就 等于根号十七减一， y 就 等于四分之，根号十七减一。所以说 a、 p 就 等于四分之，根号十七减一。 最终呢，这道题的两个答案就给我们算出来，一个是二分之一，一个是四分之，根号十七减一。关注我考试再提十分。

各位，压轴题其实就是一张窗户纸啊，给捅破了，很简单的，所以说方法很重要啊，不相信，我们来看下这道题，说一次，矩形， a， b， c， d 啊，矩形不是正方形啊，是矩形啊，注意了啊， b， e 等于一啊， b， e 等于一，它等于一。咱标注一下啊， c， e 等于三， c， e 等于三啊，这个是三，标注一下啊，叫 a， e、 d 等于四十五度， a， e， d 这个角对吧？等于四十五度，咱标注一下啊，求 s， a， b， c， d， 求 a， b， c、 d 的 面积。各位，这个面积不是底层高吗？ 把这个高求出来就行了，比如说这个高是 x， 好 吧，这个高怎么求？各位，那这个边长是四对不对？这个边长是四，这是一至三，这是四十五度。 这个长度不知道呀，因为这个长度不知道，这个长度不知道，这个长度也不知道 啊，这怎么求？各位，这得做辅助线啊。如果说啊，咱们学过绊脚模型的话，其实这道题非常简单，做个什么绊脚模型的辅助线？绊脚模型什么意思？他不是四十五度吗？四十五度不就是九十度的一半吗？ 如果啊，我把四十五度给他拆分一下啊，半角模型常见的辅助线啊，把四十五度给他拆成两两部分，你看啊，我在这给他拆一下，从中间给他拆开这个角，假设是阿尔法，这个角是北塔， 那阿尔法加白塔是不是四十五度？那如果我在这啊，在，在这个地方同时再做一个阿尔法出来，各位，再做个阿尔法出来，让他俩相等在这啊，我再做一个白塔出来， 那这个两个贝塔相等，这样的话，这两条线是不是形成一个直角？为什么是直角？因为阿尔法加贝塔四十五度，两个阿尔法加两个贝塔肯定是九十度，对不对？好，这九十度出来有什么用呢？各位，这个半角模型，这个九十度出来有什么用呢？嗯， 各位，如果从这个点上做垂线，这两个三角形和这个三角形是不全等， 对不对？这个边等于这个边，那从这做个垂线呢？这两个三角形是不是也全等啊？我画的不太标准啊，可能，可能在这啊，这两个三角形是不全等 啊，也就是说这个边是不是等于这个边？还等于这个边？这三个边相等，而且这九十度，那各位，这也是九十度，这也是九十度。如果我咔咔跟他连起来，你会发现这是一个大正方形啊？啊，画的不太标准，这是不是也是九十度？ 这四条边是不是都是等于这个高度？这个高度是 x， 对 不对？刚才不是说了吗，这个高度是 x， 那 也就说这条边就是 x， 这条边也是 x， 这个边也是 x， 这个边也是 x， 对 不对？好，这个边是一， 这个边是三，这不是一三吗？这个是不是也是一啊？那这一小段是不是 x 减一啊？各位，这一小段总长度不是 x 吗？减去这个长度一，那这一小段呢？ 这个边长是不是三？这个是三，这个也是三。我画的不太标准啊，这个是不是也是三？那这一小段是不是 x 减三啊？ 啊？这一小段也就说 x 减一的平方加上 x 减三的平方，是不是等于这个家伙的平方？它的平方多少？这是四呀，重长度。也就是说 x 减一的平方 加上 x 减三的平方是等于多少？四的平方十六的，这不是一元二次方程吗？把 x 求出来，这个高不就有了吗？ 所以说会了方法很简单啊。最后给大家推荐一套书啊， 这套书呢叫初中数学压轴题，里边有几何的，有函数的，还应用题，全部都是中考常见题型啊，难度比较大，不过不用怕，会的方法很简单。所以说平常这些难题啊，一定要多练习啊各位。

各位，辅助线有没有技巧？辅助线肯定有技巧啊，这道题能学到很多技巧，不相信我们来看一下啊。说已知圆半径是五，咱标注一下。半径是五，对吧？这半径是五的话，这直径对吧？直径长度不是十吗？ ac 等于八， ac 等于八，再标注一下啊，这条线是八， 对吧？一个是十，一个是八。角一等于角二，角一等于角二，这两个角相等啊，则 a d 等于多少啊？求这条线多少？各位观察一下啊。 这个长度是十，对吧？这个长度是八。第一个辅助线肯定是这样连吧，为什么？因为直径这圆心啊，直径所对的圆周角是不是一定是直角？这个道理能不能想明白？这基本的辅助线啊，啊，对不对？他肯定是直角， 那个同学说，我把这个也连起来吧，这个也连起来，这个是不是也是直角啊？各位是不是也是直角？直径所对的圆周角都是直角，咱要求的是他 这个长度，知道这个线求出来不就行了吗？这个线不好求啊，但是你看这个条件了，没有说角一等于角二，这两个角相等，那这条线是不是角平分线啊？各位，角平分线，你想到了什么？这还有垂直，那肯定想着给他做一个什么。 角平分线加垂直，是不是啊？是不是等腰三角形啊？这个边和这个边是不是相等了呀？为什么又垂直，而且还是角平分线？角平分线加垂直，肯定是等腰，等腰的话，这条边等于多少？他是十，他是不是也是十呀？老外啊，那他是多少？ 哎，不对，这是十，这是八的话，这个肯定是六吧。勾三股四选五对不对？这个是六，那这个是不是也是六啊？ 啊？这辅助线就这样啊，画着画着就出来了，这个是六，这个六，这十二，这个边上十二。咱要求的是这条线啊，别搞错了，这条线怎么求？那把这条线求出来不就行了吗？把这个高求出来不就行了吗？ 对不对？这高是多少？这个底乘高是不等于这个底乘高啊？这个这个道理能不能明白？就是这个十二啊？这个十二乘上这个八，十二乘上八，是不是等于这个高乘上这条线？ 高乘上这条线不是十吗？对不对？这个可不是终点啊，你别搞，别搞错了，这是垂直 对不对？他的底层高等于这个底，十乘上他的高，那高等于多少高？是不是等于啊？九十六除上十呀？那不九点六吗？这个高是不是九点六？这个高九点六。那么 那这个这个边不就是他的平方减他的平方吗？十的平方对不对？九点九点六乘九点六等于九二点一六，他的平方是九二点一六， 能用一百减去它等于多少？七点八四对不对？七点八四在开方啊，七点八四开方，是不是它七点八四能不能开方？七点八四， 二点八呀？啊？这个长度二点八，回头大家自己再好好算一下方法，学会就行了，各位。

不敢在线，逻辑不偏。大家好，今天我们来看一下铁一中模考的这个填空小压轴，这个题呢，不是一个线段最直的一个考法，他考察到了一个引元加相似这么一个结合的问题，难度上不算特别大，但是关键点在于你能不能定位出来两个相似三角形， 我们一起来做一下哈。四边形 a、 b、 c、 d 中角 a、 b、 c、 d 和角 a、 d、 c 相等，都等于九十度，看到这个条件，直接什么？直接就把引元给它划出来， a、 b、 c、 d 四点共圆。 好，那么接下来的话呢，我们看到了第二个条件是 ab 和 bc 相等，等于十，所以此时 a、 c 的 长度等于十倍的根号。二啊，接下来 a、 c 和 b、 d 相交于点 e， 然后呢 d， e 比 b、 d 给了一个比例关系，看到比例直接去设比例，所以此时我们设 d， e 等于 x， 那 么 b、 e 呢，就是二 x， b、 d 的 长度就等于三 x。 好，到这之后呢，我们是把题读完了，最后呢，让我们来求 b、 d 的 长，也就是说必须得求出来这个 x 等于多少，这个题就结束了，对吧？好，那么接下来我们分析一下这个题目你看到了什么？有引元出现，有引元出现呢，就一定要考虑什么同弧所对圆周角相等， 所以此时角 d 和角 b， 此时角 d 和角 c 以及角 b、 a、 c 这三个角相等， 因为他们所对的弦是 ab 和 bc， ab 等于 bc， 所以 这三个角相等。所以接下来最关键的是能不能定位找到两个相似三角形，也就是三角形 a、 b、 e， 它呢是相似于三角形 d、 b、 a 的 这两三个相似，相似呢是因为角 d 和角 b、 a、 c 这两个角相等，以及呢，角 b 是 个公共角， 那么通过这一组相似呢，去列出来相似比，这个题其实就结束了，好吧，来吧，那么也就是 a b 比上一个， b， d 等于 b， e 比上一个， 然后把该带的数字带进去，这题就结束了哈，来吧， ab 的 长呢是十， b、 d 的 长度呢是三 x， 然后等于 b， e 的 长度呢是二 x， 然后比上一个 十，也就是六 x 方等于一百 x 方等于三分之五十 x 等于 三分之 x， 等于三分之五倍的根号六好。极 b， d 等于五倍根号六好。这题结束。好，我们简单总结一下，这题呢，核心难度不是特别大，但是很多同学看到这样的一组图形之后，他第一反应呢是找到一组八字相似，或者说两组八字相似， 你通过八字相似呢，你发现这个题你转化不了，最后呢，解决不了，所以你要考虑的是找到另外一组相似关系， 这里边关键因素呢是在于 ab 和 bc 相等，并且呢等于十，对吧，然后呢，这样一组边相等，那么边相等呢，就一定会有什么圆周角相等，所以呢，角 d 和角 b、 a、 c 这两个角相等是解决这问题的核心突破点。好吧，大家仔细琢磨琢磨。

我们上个视频讲完了这个拱桥的面积求结问题，是一个比较基础的东西，这次我们这个视频我们要讲平行视频性存在性问题，特别是第三种情况是特别难，欢迎大家关注点赞加评论。那我们现在看一下， 经过平移以后，我们整个这个曲线我已经画出来了，因为什么 a d 它是通过 a d 选射线移了以后四根号二我们已经知道了，它这个是四十五度，所以其实沿射线 a d 它明确的就是右移了四下移四， 这是角度决定的。有了这个以后，那我们把平移后的抛物线要求解出来，正常情况下是把二次函数化成顶点式，通过左加右减，在这里 y 等于 x 减二分之三，再减四，减四分之二十五，再减 这个是四，是这个四，那这个是四，是这个四，这样的计算比较复杂，我告诉大家一个小技巧，其实我们对于任意的一个 原来是 x 平方减三， x 其实就在 x 里可以直接转换了，那我们原来的对，那它就是这个 x， 就 x 减四，减三倍的 x 减四，还是这个减四没问题，抄下来最后这个减四是下一个四，所以画画节一样的， 到最后肯定是一样的。那我们这里边写一下， x 平方减 c， x 加二十。到了这一步以后，我们把所有该写的基础的东西求出来，那 e 点的坐标是因为 e 是 通过 p 挪过来的，对吗？那我们 e 可以 求出来 d， 当然 当然也把它求出来好了。到了这以后，我们因为是以 d 作为一个参照去求它的平行四边形的，所以我们把 d 一 各自的关系要好好掌握， d 一 其实在 x 上方向是叉 二在 y 方向是 x 六，至于哪个在上边，哪个在下边，我们自己心里有数就行了。当然这些东西你可以记在脑子里。有了这个以后，那我们说第一种情况是看这个 g e， 那 这个 g e， 那 他 f e 对 应的跟他要平行 f e， 他 要在这个轴上，那我们刚才已经说了 x x 二，所以这个 f 是 二分 之一的基础上再加二，那二分之 十一应该多少啊？二分之十五了，对吗？好了，到了这个以后，我们二分之十五直接带到新的这个解析式里，画画节直接出来 分四分之二十五，这是第一种，那当然第二种，我们如图这个节，对吗？那是反过来的， g 二在这边，那 f 在 这边，所以这两个因为是它对称的，所以它 g 二的坐标应该是二分之七， y 当然也可以带进去，其实不需要，因为 y 一 跟 g 一 跟 g 二肯定是相等的，因为它们两个是相等的，对吗？这两个相等，所以它是在一条水平线上的，当然也是负四分之二十。这个其实都是建立在我们认为 d 一 是一条边，是一个平行四边形的边，它有没有可能作为一个对角线呢？ 同学们可以暂停一下，有问题可以在评论区，其实它是完全可以作为一个对角线的。那我们看另外一张图， 到了这个对角线的问题，我们说整个比较怎么处理呢？其实作为对角线也是有它的套路的，那我们既然是对角线，肯定这个第一的终点是把它求出来，那第一的终点，它的应该是它的坐标应该是负极，这个终点 m 其实既是第一的终点，也是 g 跟 f 的 终点，所以 f 的 x 坐标已经出来了，是二分之十一，对吗？所以再加上 g 的 坐标，应该等于两倍的，对吧？所以 x 等于二分之五，有了这个以后，同样可以带到原来的式子里，所以我们又可以把它记出来了。 看着我计算比较简单，其实就抓住了平行四边形，它的对角线的终点其实是各自两个对角线各自的终点，那他们的 x， 两个 x 加起来应该都是 发的两倍。所以整个这道题目，如果你掌握了这个方法，那也是比较简单的。希望同学们看到这道题目有所收获，有问题欢迎在评论区一起评论。

家长朋友们大家好，这两天后台问的最多的就是几何类比探究那个亚洲题，二零二六年到底会怎么考？咱们今天把这个事说透。先说结论，类比探究依然是中考几何的天花板，但出题逻辑正在悄悄降。类比升构造 什么意思？我拆开三点来讲，第一，从三步模仿转向一步创新。以前这类题是送分套路，第一问，给个简单证明。第二问画个图，找猫画虎。第三问再变个形。 但现在不一样了，初级人发现孩子太会套了，所以开始压缩前两万的引导性，很可能上来就是一个陌生图形类比关系藏得深，不敢再直接照着写的机会，孩子在真正理解结构，而不是背步骤。第二，从手拉手模型转向多模型融合。往年正宗的类比探求，手拉手一千三等角，角含半角，基本轮着考， 但二零二零年大概率会把两到三个模型揉在一起，比如手拉手里欠中点结构旋转力加最值全等和相似，同时出现单一模型，熟练度不够， 但会拆会组。第三，从政权等转向构辅助线。这也是最直观的变化。以前类比研究核心是政权等找对应边，现在压轴那一步往往不是现成的权等，而是需要主动构造北长中线截长不断旋转构造补全图形，辅助线不会添。最后一问基本拿不到分。 所以给咱们初三孩子三点建议，第一是吃透旋转正中几何，旋转是灵魂，能把旋转中心、旋转角对应点之间他的联系看清， 就抓住了大方向。第二是练无引导的利弊，平时做题别着急看第一问，先把最后一问的图单独拿出来，逼自己找思路，训练从零开始的能力， 最后积累辅助线直觉，终点想被长角平分线想反折等边想旋转，这些条件反射要练到骨子里。几何压轴题是中考数学的分水岭，这道题拿下了高分就稳了。我是杨老师，专注初中数学底层逻辑，点赞、关注、收藏，带你解锁更多数学思维！

马上中考了，初三的这个时间节点，两个大压轴的最后一问解决不掉的人应该是不在少数。这个视频给大家讲一下，怎么在最后的这段时间里边尽力的去挽救一下这两个大压轴。我觉得对于初一初二的同学来说也有一定的警示性作用。 那么如果两个大压轴你现在能解决掉一个，那就不用多说了，你剩下的时间就去尽力的去突破另外一个就可以了。我给大家讲的就是两个，如果两个大压轴你一个都处理不掉的话，你应该怎么办？答案非常简单， 你可以给这个二次函数的投入的时间要稍微多一点，你比如说你可以百分之六十的时间给二次函数的那个大压轴。二次函数的大压轴考察的是孩子的一个现行思维， 就啥意思？你先判断出他是哪一类的这一类二次函数，我们先干嘛，再干嘛，最后干嘛？我，我先想啥，我紧接着我需要做什么？就是整体他是一套流程，在这个流程里我需要注意什么？ 当你判断出他的类目之后，他有一个标准化的一条线的这么一个方法来支撑你做这道题。 而一共可能出现在中考里的二三大压轴，其实也就那么三类，两类他都不会超过五类的，太久远的、太简单的，他都不可能出现在中考里，也就是说你只需要针对性的去训练那几类， 那这几类题我应该去怎么解决啊？掌握基本方法，你在大量的训练之后，基本上可以达到百分百出这个大压轴， 所以在临近中考时间有限的情况下，我建议你投入百分之六十的精力到这个二次函数这个大压轴。这，那么接下来再说一说相似的大压轴为什么投入的精力比较少？因为相似考察的是面性思维。 什么是面性思维？你问问你家孩子在做相似大压轴的某一个点是不是就卡住了？哎呀，他他，他到了那个阶段他就不会做了。他不会做的原因是什么？他不知道接下来要干嘛？他为什么不知道接下来要干嘛？因为接下来有可能是 连取中点，连中线背长取两个中点造中位线，连接之后背长造中位线的底。设餐列购物方中又分为单餐单钩、单餐双钩、双餐单钩、双餐双钩。有可能什么？有可能正特殊四边形，有可能倒角，有可能做平行 就就太多了。你可以理解为什么当他茫然的时候，他的面前有一面线头，具体他要揪哪个线头他不知道，这就叫面性思维。 这个是区分于二次函数的线性思维，就是当他，当他他他基本没有什么茫然的时候，他只要判断了他是哪个线头，他顺着一根线往下捋就行了。他摆摆在他面前的，那不是可能一共也就那么三个两个线头 而相似的这道题，我的妈呀，他当他卡住的时候，他有多种可能这么多个线头，那这个东西他是训练训练不了的，你换句话说，他需要大量的时间。他初一的时候倒脚学的不好，做不出来。 那初二的时候这个全等挣的不好，学不出来。初二下的时候平四边形这块挣的不好，做不出来，初二下的勾股这块学的不好，他也挣不出来。那你在有限的时间里边，你怎么去把前面的每一个小点都给他面面俱到的重新过一遍？ 所以啊，朋友们几何的茫然是真的茫然，他用到的某一个点，就是这接下来解析的关键的那个点， 他寻找不到这个东西，他为什么寻找不到？因为他的点太多了，而之前初一初二的学习基础的时候，他稍微有一个点薄弱一点，都有可能导致他解不出来。这个其实也是给初一初二的家长提个醒， 朋友们，代数怎么都好说，一次函数，二次函数怎么都好说，你就一次函数学不好，二次函数呢？努努力拼，使劲也行，但是几何题，初一初二的底太重要了。关注我，我是您在教育界唯一的人脉。