适合睡觉听的六下数学知识第三单元

六年级今天我们来学圆柱的体积拓展六，下面是一根钢管，求它所用钢材的体积单位厘米。首先这是一根圆柱形的钢管， 大家知道这个圆柱形的钢管，它跟我们普通的圆柱不一样，因为普通的圆柱底面是一个圆， 而它的底面呢，是一个圆环，它的体积我们就应该用底面积，就是圆环的面积乘对应的高。现在我们看这个圆环， 大圆的直径是十厘米，那大圆的半径我们就可以用十除以二，求出来是五厘米，小圆的 直径是八厘米，那小圆的半径我们就可以用八除以二，等于四厘米。现在 大圆小圆的半径知道，那这个圆环的面积，我们就可以用三点一，四乘大半径的平方，减去小半径的平方， 求出来是圆环的面积，那再乘对应的高，其实也就是钢管的长八十。我们来计算，三点四乘 五的平方二十五，四的平方十六，二十五减十六等于九，那再乘八十，三点四乘九，再乘八十，最终等于二千二百六十点八立方厘米。 所以这根钢管他所用钢材的体积是二千二百六十点八立方厘米。

六年级今天我们来学圆锥的体积拓展。一如图，一个用钢铸造成的圆锥形铅锤， 底面直径是四厘米，高是六厘米，每立方厘米钢大约重七点九克。这个铅锤大约重多少克？得数保留整数， 那从题目当中我们知道这个圆锥形铅锤，它是用钢铸成的， 那还知道每立方厘米钢大约重七点九克。所以要求铅锤的质量是多少，必须得先求出这个圆锥形铅锤，它的体积是多少， 那知道底面直径是四厘米，那底面积就可以求，我们用三点一四乘半径的平方半径，那就用直径除以二求出来，这里求出来等于十二点五六平方厘米。好，底面积求出来高知道， 那么圆锥的体积，我们就可以求用三分之一乘底面积， 再乘高九出来，等于二十五点一二立方厘米，每立方厘米 大约重七点九克。二十五点一二立方厘米，那大约就是二十五点一二个七点九克。我们用二十五点一二乘七点九克九出来，等于一百九十八点四四八 克。那因为得数是要保留整数，那就约等于一百九十八克，所以这个铅锤大约重一百九十八克。

六年级今天我们来学圆柱的体积拓展期。如图是一个衰奶瓶，它的瓶身呈圆柱形，不包括瓶颈，底面直径是六厘米。当瓶子正放时，瓶子内衰奶高为十厘米， 瓶子倒放时，空余部分高为两厘米。酸奶瓶的容积是多少毫升？酸奶瓶的厚度忽略不计。首先我们看这是一个酸奶瓶， 它的瓶身是圆柱形，那就说明这一部分它是圆柱，那所以酸奶的体积，我们可以直接求 那些要求酸奶瓶的容积。酸奶瓶的容积包含两部分，一部分是有酸奶的部分，一部分是没有酸奶的部分。那你看空余部分呢？它是不规则图形，所以没法直接计算。 当瓶子倒放时，那酸奶的体积它是没有发生变化的啊，也就是这两部分体积是一样的， 那矿余部分的体积呢？它其实也是一样的倒置过来，所以我们要求酸奶瓶的容积，我们就可以用酸奶的 体积加上矿余部分高为两厘米的圆柱的体积， 那把这两个圆柱的体积合起来，那就是摔奶瓶的容积。好，现在我们知道的是底面直径六厘米，那半径我们就可以求六除以二等于三厘米，半径是三厘米，那圆柱的 底面积我们就可以计算。用三点一四，从半径的平方圆柱的底面积求出来，那圆柱的体积，我们就可以用底面积乘高，那高是十厘米， 再加上这个圆柱，它的底面积和这个底面积是一样的，那也是三点一四乘三的平方，它的高是二，那就再乘二。 三点一四乘三的平方表示的是圆柱的底面积，那底面积相同，我们可以把底面积提出， 再乘十加二的和会等于三点四，乘三的平方等于二十八点二六乘十二，求出来会等于三百三十九点一二立方厘米。 这里求出来是体积单位，那题目要求的是容积单位，那我们知道 一立方厘米等于一毫升，那三百三十九点一二立方厘米就等于三百三十九点一二毫升。答，酸奶瓶的容积是三百三十九点一二毫升。

六年级今天我们来学习圆柱的体积拓展木。一个高为二十厘米的圆柱， 如果它的高增加三厘米，则它的表面积增加七十五点三六平方厘米。原来圆柱的表面积和体积是多少？ 这是一个高为二十厘米的圆柱，如果把它的高增加三厘米，得到一个新的圆柱，那这个高增加三厘米的话， 表面积就增加七十五点三六平方厘米。其实圆柱的高增加，增加的表面积 就是三厘米高。这个小圆柱的侧面积跟底面积没有关， 所以三厘米高，这个圆柱的侧面积就是七十五点三六除以高，求出底面 周长二十五点一二厘米。底面周长可以先求出底面直径， 用二十五点一二除以三点一四求出底面直径，那再除以二，就是底面半径等于四厘米。 知道底面半径，那就能求底面积，用三点一四乘半径的平方。现在我们要求原来圆柱的表面积和体积，那原来这个圆柱 它的表面积是由两个底面积加一个侧面积，那一个底面积是三点一四乘四的平方，两个，那就再乘二加上侧面积。我们知道圆柱的底面周长是二十五点一二， 那他的测面积我们就用二十五点一二乘他的高二十最短。三点一四乘四的平方。乘二等于一百点四八 加二十五点一二乘二十等于五百零二点四。一百点四八加五百零二点四等于六百零二点八八， 单位是平方厘米，这个求出来的是原来圆柱的表面积， 那原来这个圆柱它的体积怎么求呢？我们就用三点一四从半径的平方求出底面积，再从对应的高二十求出来的，就是体积等于一千零四点八立方厘米。 所以原来圆柱的表面积是六百零二点八八平方厘米，体积是一千零四点八立方厘米。

圆锥的体积 秋冬时节最高兴的是什么？收谷子、收玉米、收棉花，各种农作物在眼前堆成了小山坡，真是戏不胜收。不过，到底收获了多少呢？冲一下不就完了？ 用秤谁不会啊？我们要用脑！以这堆谷子为例，平均每平方米的谷子重六百五十千克，只要知道他有多少平方米，就知道收获多少谷子啦！也就是说，求出这个圆锥的体积就行。 圆圆锥的体积说到圆锥的体积，你可能有点蒙，但是说到圆柱，你铁定不陌生，这两者之间难道有什么关系？ 做个小实验你就明白了。拿出一个圆锥形容器和与他等底等高圆柱形容器，将圆锥形容器灌满水， 然后将水倒入与它等底等高空的圆柱形容器里。一次， 两次，三次！ bingo！ 终于把圆柱形容器灌满了！发现圆锥和与他等底等高的圆柱之间的小秘密了吗？没有！那就换个方式再来一次！把圆柱形容器里灌满水， 然后小心翼翼的倒入与他等底等高的空的圆锥形容器里。一杯 两杯，三杯刚刚好！现在你知道圆锥和与它等底等高的圆柱体积之间的关系了吧？ 没错，圆柱的体积是与它等底等高圆锥体积的三倍， 也就是说，圆锥的体积等于与它等底等高圆柱体积的三分之一。圆柱的体积等于底面积乘高，因此圆锥的体积也就等于三分之一的底面积乘高了。 用字母表示就是 v 等于三分之一 s h， 或者 v 等于三分之一 pi r 平方 h。 那 现在你该知道这个高是两米，底面直径是三米的谷堆的体积了吧？ 这个骨堆是个圆锥形，圆锥的体积等于三分之一的底面积乘高，底面积 s 等于 pi r 的 平方，直径 d 等于三米。也就是说，半径 r 等于二分之三米。 代入 s 等于 pi， r 的 平方等于 pi 乘二分之三的平方等于四分之九。 pi 平方米， 底面积 s 等于四分之九派平方米，高 h 等于两米。因此，圆锥的体积等于三分之一乘四分之九派，乘二等于二分之三派等于四点七一立方米。 平均每平方米的谷子重六百五十千克。一共有四点七一平方米的谷子，那就收获了六百五十乘以四点七一三千零六十一点五千克。哇，大丰收呀！ 这节课咱们学习了圆锥体积公式的推导。借助圆锥和与他等底等高圆柱之间的关系，可以发现， 圆锥的体积等于三分之一的底面积乘高用字母表示就是 v 等于三分之一 s h 或者 v 等于三分之一 pi r 的 平方 h。

孩子们好，今天我们来学习六年级下册第三单元第二个章节圆锥的第一课是圆锥的认识，来看一下老师给大家带来的这幅图，认识吗？认真观察上面这些物体的形状，它们有什么共同点呢？ 都有一个圆圆的底面，还有一个尖尖的顶点，像这些物体的形状都是圆锥体， 简称圆锥。那生活中你还见过哪些圆锥形的物体呢？请打在评论区。 今天呢，王老师也给大家带来了一些生活中的圆锥，来看孩子们是不是经常见到这些圆锥，它有什么特点？今天我们对圆锥进一步的认识 好了，孩子们拿出你课前准备的圆锥形物体看一看，摸一摸，它有哪些特征呢？首先它有一个尖尖的点，这个尖尖的点呢叫顶点，它还有一个底面，并且这个底面是个圆形， 所以圆锥的底面是一个圆圆锥的，它的侧面是一个曲面。如果我们沿着圆锥的顶点和底边上的任意点沿直线剪开，我们发现它的侧边展开以后是一个扇形， 所以它的侧面是一个曲面，展开以后是个扇形，就会发现圆锥是由两部分组成，一个底面是圆形，一个侧面是曲面，两部分围成的立体图形。大家继续回忆一下圆柱体，它有高， 并且它有无数条圆锥，它有高吗？什么叫圆锥的高呢？来一起看。 从圆锥的顶点到底面圆心的距离就是圆锥的高，用 h 表示，那圆锥只有一个顶点，所以你们猜圆锥它有多少条高呢？对，圆锥只有一条高，那圆锥的高 摸不着，看不见，又该怎么测量它的高呢？孩子们，你有方法吗？书中告诉我们了， 测量时，圆锥的底面要放水平，需要一幅三角尺。首先要放 如图所示，各放一把三角尺，并使右方的三角尺的零刻度与平板的上边缘对齐。 第二量，圆锥顶点紧挨着直角边，与平板之间的距离就是圆锥的高， 从零刻度到七点五之间，那么所以这个圆锥的高就是七点五厘米。这里需要注意的是，三角尺的零刻度一定要和平板的上边缘对齐，并且这两个三角尺要紧紧地挨在一起。 在学习圆柱的时候，我们知道把木棒粘在长方形的一条边上，然后快速旋转，我们得到一个圆柱。那么圆锥能不能通过平面图形旋转能得到呢？来，请你动手做一做，如下图所示，把一张直角三角形的硬纸 贴在木棒上，快速转动木棒，看看转出来是什么形状。王老师也做了一个这样的三角形木棒，粘在了比较长的这个直角边上 快速旋转，我们会发现形成的是一个圆锥。一起来看，我们发现转起来像一个圆锥。如果我把木棒粘在比较长的这条直角边上， 那形成的这个圆锥都是高高的，那么这条直角边就是圆锥的底面半径，所以就得到一个高高的瘦瘦的圆锥。 如果王老师把木棒粘在直角三角形这条短的直角边上，快速旋转，仍然得到一个圆锥，那也就是以长直角边为轴，它就是圆锥的高。短的直角边就是圆锥的底面半径。 如果以短边为轴，那么它就是形成圆锥的高长的直角边就是形成圆锥的底面半径。孩子们，你也动手做一下实验吧！我们不仅认识了圆锥的表面特征，还要对它进一步的认识来。孩子们， 如图所示，将下面的圆锥切成两部分，切开后的结面分别是什么形状？连一连，请你先想一想，然后动手操作验证一下。王老师给大家带来一根胡萝卜， 如果我从下面切开，它的结面是一个圆形，越往上，我们发现它的结面的圆会越来越小，所以第一幅图 它的结面是一个小圆，如果往下结，它的横结面得到的是一个大圆，所以第一幅图它的结面连小圆，第三幅图它的结面连大圆。那第二幅图是沿着圆锥的顶点切下去，平均分成两份。 我们发现它的横截面是一个等腰三角形，并且它的表面积增加了两个这样的等腰三角形，所以第二幅图的横截面是等腰三角形。孩子们，下课以后，你也像这样动手操作验证一下。 我们认识了圆柱，认识了圆锥，来比较一下圆柱和圆锥它们有什么相同点和不同点。首先来看它们的相同点，圆柱和圆锥的底面都是圆形，侧面都是曲面。它们的不同点呢？圆柱有两个底面，圆锥有一个底面， 圆锥的侧面展开是一个扇形。圆柱有无数条高，圆锥只有一条高。 这些概念的理解可以帮你进一步认识圆柱和圆锥。好了，孩子们来回忆一下今天这节课的学习，你有了什么收获呢？ 我们认识了圆锥的特征，并且知道了圆柱和圆锥的相同点和不同点，还知道了面动成体。如果这节课你觉得自己有收获，给自己点个赞吧！

圆柱的体积？听说可乐罐做成圆柱体是因为好握牛奶瓶做成长方形是因为省地， 难道圆柱体就不省地了？省不省地，算算就知道了。算算，那就是要求圆柱体的体积啊！不会， 莫慌，最初咱们也不会求圆的面积，但是切一切，将圆平均分成若干份，再拼一拼，变成长方形就好办多了。 圆柱也能如此吗？答案是肯定的，圆柱的底面是个圆，将圆平均分成若干份，然后切到底，再拼一拼。哎，有些怪异啊，再多切几道接着拼， 很眼熟了，继续切，继续拼！皇天不负有心人，长方体 小样，别看形状虽然发生了变化，但是体积可没有变，也就是说，长方体的体积等于圆柱体的体积。说起来，长方体的体积地球人都知道，等于底面积乘高呗！ 重头戏来了，这个长方体的高恰恰等于圆柱的高。那长方体的底面积跟圆柱的底面积有什么关系呢？ 难道长方体的底面积等于圆柱的底面积？聪明，看这里，底面虽然由原来的包子脸变成了现在的大方脸，但是面还是那个面。 因此，长方体的底面积等于圆柱的底面积。看的再仔细一点，长方形的宽还等于圆柱的底面半径，长方形的长还等于圆柱底面周长的一半呐， 小意思，学员那会我就知道了，优秀！既然长方体的体积等于圆柱的体积，那圆柱的体积也就随之新鲜出炉啦！等于它的底面积乘高用公式表示，就是 v 等于 s h s 表示底面。圆的面积还可以用 pi r 的 平方来表示，因此圆柱的体积还可以变身为 v 等于 pi r 的 平方 h。 牛刀小试一下，听说李家庄挖了一口圆柱形水井，井深十米，直径长达一米，你知道挖出的土有多少平方米吗？ 挖出去的土是一个直径一米，高十米的圆柱，问有多少立方，也就是求圆柱的体积。圆柱的体积等于底面积乘高，底面积 s 等于 pi r 的 平方， 直径 d 等于一米。也就是说，半径 r 等于二分之一米，代入 s 等于 pi r 的 平方。 pi 乘二分之一的平方等于四分之一， pi 平方米， 底面积 s 等于四分之一派平方米高 h 等于十米。因此，圆柱的体积等于四分之一派乘十等于二分之五，派等于七点八五立方米。哎，那圆柱到底省不省地啊？ 自己去生活中观察观察，或者跟小伙伴们讨论讨论，你就会有答案啦！这节课咱们学习了圆柱体积公式的推导，可以将圆柱转化成长方形来求解。 圆柱体的底面积等于长方体的底面积， 圆柱的高等于长方体的高。圆柱的体积等于底面积乘高用字母表示就是 v 等于 s h 或者 v 等于 pi r 的 平方 h。

六年级今天我们来学圆锥的认识一填空题第一题如图，是一个圆锥，它的高是几厘米？底面半径是几厘米，底面周长是几厘米？底面积是多少平方厘米？ 圆锥的高我们知道是从圆锥的顶点到底面圆心的距离就是圆锥的高。从图中我们发现这一段长度是十三厘米，所以它的高就是十三厘米， 底面半径是几厘米。圆锥，它的底面是一个圆，圆锥的底面直径是六厘米，那底面半径我们就可以用直径除以二求出来，是三厘米，底面半径就是三厘米， 底面周长是几厘米。圆锥的底面周长也就是圆的周长。 圆锥的底面是一个圆，那么它的周长我们就用三点四从直径求出来，等于十八点八四，那底面周长就是十八点八四。 底面积我们用三点四从半径的平方，那就三个平方求出来，等于二十八点二六， 那底面积就是二十八点二六。第二题，在直角三角形 abc 中， ab 等于四厘米， bc 等于三厘米。如果以一条直角边所在直线为轴，旋转一周可以得到一个什么形， 那我们知道绕一个直角三角形的一条直角边旋转，那么就可以得到一个圆锥，那所以可以得到一个圆锥， 它的底面周长可能是几厘米，也可能是几厘米。 这里呢，我们要注意，例如说我们以 a、 b 这条直角边所在直线为轴，那么 a、 b 这条直角边就是圆锥的高，而另一条直角边 就是圆锥的底面半径，所以圆锥的底面半径可能是三厘米，那这里他的底面周长，我们就用二拍二来求，那就是二乘三点一四乘半径三，求出来是十八点八四， 所以它的底面周长可能是十八点八四厘米，那也可能是几厘米呢？当我们以 b、 c 这条直角边为轴旋转的时候，那么 b、 c 这条直角边就是圆锥的高，而另一条直角边 ab 就是 圆锥的底面半径也可能是四厘米。当底面半径是四厘米的时候， 他的底面周长我们就用二乘三点一、四乘四进行计算，求出来是二十五点一二，所以也可能是二十五点一二厘米。

圆锥的认识，城堡、灯光、魔法帽，你以为这是格林童话吗？不，这只是圆锥体的个人秀。 啥是圆锥体？这这这这些物体的形状都是圆锥体，简称圆锥。 圆锥在生活中很常见，沙堆、铅锤、小甜筒、帐篷、钻头、小挂坠，圆锥充斥着人们生活的各个角落。 圆锥虽然神奇，但并不神秘，它由侧面和底面两部分围成，光滑的侧面是个曲面，底面是个圆。从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高，那你能找到这个圆锥的高吗？ 高是从圆锥的顶点到底面圆心的距离，所以这个才是圆锥的高。 因为圆锥只有一个顶点和一个圆心，因此圆锥此生只有一条高。不过圆锥的高在内部看不见摸不着的，咱们该如何测量它的高呢？有道理，该如何测量呢？ 首先将圆锥的底面放平，其次拿一块平板，小心翼翼的水平的放在圆锥的顶点上。最后拿出一把尺子，竖直的测量出平板和底面之间的距离，这就是圆锥的高了。 看起来圆锥挺好玩，再试试别的。拿出一把小刀，沿着高的方向垂直于底面往下切，你猜洁面是什么形状？ 这样一展开就很明显了，这两边相等，自然是等腰三角形了。 如果刀柄一转，换个方向平行于底面切一刀结面就是圆形了。 一竖一横两种截然不同的世界。既然圆锥这么有意思，你知道怎么样才可以得到圆锥吗？ 很简单，舞台的闪光灯一打，俏皮的直角三角形一转，从指尖不断滑落的细沙，无数个半径不断变小的圆片依次叠加，圆锥就会现行了。 这节课咱们学习了圆锥，知道圆锥由侧面和底面两部分为称，侧面是个曲面，底面是个圆。从圆锥的顶点到底面，圆心的距离是圆锥的高，还明确了测量高的方法。

六年级今天我们来学圆柱的表面积思维题。如图，将两个底面直径是四厘米，高是六厘米的圆柱， 分别沿底面直径和平行于底面两个方向切割成相同的两部分，他们的表面积分别增加了多少平方厘米？那解决这类切割问题，我们关键就要明确， 切割后呢，他的切面其实就是变化的面，像这样切一次就增加两个切面。 第一幅图，他是沿着底面直径切割的，那也就是沿着底面直径这样切割出来， 切割成相同的两个半圆柱。那这样切割下来，那么他的切面呢，就是两个长方形， 那所以表面积增加的部分就是这两个长方形的面积。 这个长方形，它的长就是圆柱的高六厘米，它的宽就是底面直径四厘米，那它的面积就用长乘宽计算。 两个切面，那就再乘啊，九出来等于四十八平方厘米。那现在第二种按照这样的方法来切，也就是平行于底面 这个方向呢？切割成啊，就按照这样的方向切，那切割出来的是相同的两个小圆柱。 那你看这样切割出来的话，他的切面呢，就是两个圆，所以表面积增加的部分就是这两个圆的面积。圆，他的底面直径就是四厘米， 知道底面直径可以求半径四除以二等于二厘米，那半径知道可以求圆的面积。我们用三点四从半径的平方求出来，是一个圆的面积，它增加的部分是两个圆，那就再乘二， 这里求出来等于二十五点一二平方厘米。所以沿着底面直径切割时，表面积增加了四十八平方厘米， 平行于底面，切割时表面积增加了二十五点一二平方厘米。

圆柱体水中进物的问题。在一个装有水的圆柱形的水桶中，竖直放入一段底面半径是五厘米的圆柱形的钢块， 如果把它全部没入水中，水没有溢出，那么水面就上升了九厘米。如果使水中的圆柱形钢块漏出来八厘米长，那么水面下降四厘米， 这块钢块的体积是多少？我们来分析一下这里面的关系。圆柱形的钢块完全浸没到水中，那么上升的水的体积就等于这个圆柱形钢块的体积。因为水是装在圆柱形水桶里面的，所以上升的这九厘米的水的体积 就等于圆柱形水桶的底面积乘这个水上升的高度，所以呢，就等于 s 桶乘九， 这就是圆柱形钢块的体积。如果是水中的圆柱形钢块漏出来八厘米长，那么水面就下降了四厘米。钢块漏出来八厘米长， 那么漏出来的这一部分钢块的体积就正好等于下降的这四厘米的水的体积。下降四厘米，那这一部分水的体积就等于圆柱型水桶的底面积乘四， 等于露出的钢块的体积。露出的钢块的体积我们是可以表示出来的，露出的长度是八厘米，那已经知道圆柱形钢块的底面半径，所以露出的这一部分圆柱形钢块的体积啊，就等于三点一四乘五的平方，再乘露出的高度乘八， 这一部分的体积正好等于圆柱形水桶的底面积乘这个高度乘四，所以圆柱形水桶的底面积我们就可以表示出来了，就等于三点一四乘五的平方乘八，再去除以四水桶的底面积求出来了，我们带入这个式子就可以求出钢块的体积， 我们只需要用这个水桶的底面积再去乘九，可以求出这块钢块的体积是一千一百四十三立方厘米。

圆锥的认识，城堡、灯光、魔法帽，你以为这是格林童话吗？不，这只是圆锥体的个人秀。 啥是圆锥体？这这这这些物体的形状都是圆锥体，简称圆锥。 圆锥在生活中很常见，沙堆、铅锤、小甜筒、帐篷、钻头、小挂坠，圆锥充斥着人们生活的各个角落。 圆锥虽然神奇，但并不神秘，它由侧面和底面两部分围成，光滑的侧面是个曲面，底面是个圆。从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高，那你能找到这个圆锥的高吗？ 高是从圆锥的顶点到底面圆心的距离，所以这个才是圆锥的高。 因为圆锥只有一个顶点和一个圆心，因此圆锥此生只有一条高。不过圆锥的高在内部看不见摸不着的，咱们该如何测量它的高呢？有道理，该如何测量呢？ 首先将圆锥的底面放平，其次拿一块平板，小心翼翼的水平的放在圆锥的顶点上。最后拿出一把尺子，竖直的测量出平板和底面之间的距离，这就是圆锥的高了。 看起来圆锥挺好玩，再试试别的。拿出一把小刀，沿着高的方向垂直于底面往下切，你猜洁面是什么形状？ 这样一展开就很明显了，这两边相等，自然是等腰三角形了。 如果刀柄一转，换个方向平行于底面切一刀结面就是圆形了。 一竖一横两种截然不同的世界。既然圆锥这么有意思，你知道怎么样才可以得到圆锥吗？ 很简单，舞台的闪光灯一打，俏皮的直角三角形一转，从指尖不断滑落的细沙，无数个半径不断变小的圆片依次叠加，圆锥就会现行了。 这节课咱们学习了圆锥，知道圆锥由侧面和底面两部分为称，侧面是个曲面，底面是个圆。从圆锥的顶点到底面，圆心的距离是圆锥的高，还明确了测量高的方法。

六年级今天我们来学圆柱的认识拓展哦，妈妈买一个大蛋糕，蛋糕盒是圆柱形，现在用丝带将它捆扎起来，如图，需要多长的丝带？ 蝴蝶结用去十五分密。首先我们看这个是圆柱形的蛋糕盒，那么 将丝带将它捆扎起来，我们要求丝带的长度， 那就要考虑丝带它组成的部分是哪一些，有曲线部分，就是蝴蝶结部分，还有呢，在圆柱的上里面、下里面以及侧面的部分，那这些是直线部分。 从图当中我们能看到这个圆柱形，它的底面直径是八分米，高是四分米。那么我们先看上底面，这里是一条直径， 两条直径，那上底面是两条直径的长度， 那说明下底面呢？也有对应的两条，所以就是四条直径的长度，一条直径八分米，那四条我们用八乘四，再加上侧面部分， 这里有一条高，两条高，前面是两条高，那对应的后面呢？也有两条高，那总共就是四条高，一条高四分米，四条高那就四个四分米。我们用四乘四计算， 再加上蝴蝶结的这个部分。蝴蝶结部分是用去了十五分米，再加十五分米， 八乘四，四八三十二，四乘四等于十六加十五，三十二加十六，再加十五，最终等于六十三，单位是分米，需要六十三分米长的丝带。

今天我们通过竖形结合的方法来培养孩子的空间想象能力。来我们一起看题，一个正方题，密封盒的棱长是六厘米，它的表面积是多少平方厘米？在盒子内放入一个最大的圆柱，有一个关键词于最大 圆柱的侧面积是多少平方厘米？如果放入一个最大的圆锥还是关键词，那么圆锥的体积是多少立方厘米？我们根据题意观察图形，这个正方体棱长是六厘米， 那么让我们求的是这个正方体的表面积。我们知道正方体的表面积 s 正，它就等于棱长乘以棱长乘以六，我们用 a 表示正方体的棱长，那么正方体的表面积公式就是六倍的 a 的 平方， 那现在正方体的棱长是六厘米，他就等于六乘以六，算出一个面的面积，因为是六个面，我们再乘以六，所以他就等于二百一十六平方厘米， 这是第一位，那么我们看第二位，在核内放入一个最大的圆柱，哎，一个关键词最大，那么我们观察图形，要想在正方体内放入一个最大的圆柱，那么首先这个圆柱的高 h， 他 就得和正方体的棱长一样高，所以他的高应该等于六厘米，那么还要 这一个圆柱的底面积还要最大，那这时候正方体的上下表面，哎呀，正方体的上下底面是一个正方形，要想在正方形内作一个最大的圆，他就是我们上学期的外方内圆。 在正方形里做一个最大的圆，我们知道外方内圆中这个圆的直径就等于这个正方形的边长，那么在正方正方体中，那么这个圆的直径就等于这个正方的棱长，所以 当这个圆的直径 b 等于正方体的棱长六厘米的时候，那么这两个圆柱，这两个圆的面积最大，所以这时候这个圆柱是最大的， 那就是圆柱的底面直径 d 和圆柱的高 h 都等于正方体的棱长，这时候它就是一个最大的圆柱。 所以我们通过观察图形，通过理解题义，我们得出这个圆柱的高 h 六厘米，底面直径 d 是 六厘米，所以它求的是圆柱的侧面积 s 侧， 它就等于 pi d h， 它就等于 pi 乘以六，再乘以高六就等于三十六 pi。 最后就是一百一十三点零四平方厘米， 这是第二个空，那就是一百一十三点零四平方厘米，那么第一个空就是二百一十六平方厘米，这是第二小题，那么第三小题还是在这个正方体中放入一个最大的圆珠圆锥。关键词，最大的圆锥。我们观察图形，我们发现， 要想这个圆锥最大，那么这个圆锥的高，哎，这个圆锥的高一定要等于 这个正方体的棱长，那么圆锥的底面直径一定是正方体的棱长， 所以我们观察图形，这个最大的圆锥，这时候他的高 h 一定等于正方的棱长六厘米，那么他这个底面的圆也是外方内圆中最大的圆，这时候底面直径 d 也一定等于这个正方体的棱长六厘米。 所以当在正方体内放入一个最大的圆锥，那么这个圆锥的底面直径和高也都要等于这个正方的棱长，所以我们得出它的高是六厘米，它的底面直径是六厘米，所以这个圆锥的体积 v， 它就等于三分之一 派二的平方 h， 它就等于三分之一派乘以六除以二括住的平方再乘以高六，它最后就等于三分之一派乘以九乘以六，最后就等于五十六点五二立方厘米。 所以这个空我们填的就是五十六点五二立方厘米，这是一个重点的题型，他就是利用数形结合的方法来发展孩子们的空间观念，所以把这个题收藏起来，让孩子们试一试。

我们都知道六下第三单元有关圆柱和圆锥里面的公式非常非常多，那今天王老师这期视频啊，就来讲一讲这些公式都有哪些公式。 首先我们来看圆柱体，我们知道圆柱是由上下两个相同的底面加中间一个弯曲的侧面， 那么它的侧面积沿高展开以后是一个长方形，有的时候还可能是一个正方形，所以它的侧面积其实是由底面圆的中长乘圆柱体的高，所以 s 侧 就等于 c h， 这个 c 呢，我们还可以换成圆周率乘直径，也就是派 d h， 那 还可以换成二排二，所以侧面积啊还等于二排二 h， 这是有关圆柱体的侧面积的三个公式。 那么圆柱体的表面积表面积我们分为，当这个圆柱体有上下两个底面加中间一个侧面的时候，它的表面积公式有两个 s 表等于二派二 乘括号里的 h 加二分之 d。 那有的时候给的我们是只有一个底面和一个侧面，这个圆柱体它没有盖，所以这个时候我们叫底侧公式， 只有一个底面加一个侧面，所以底侧表面积是二派二乘括号里的 h 加二分之二对应的推导公式王老师以前的视频中你能找到，那么接下来就是圆柱体的体积公式。 我们知道圆柱体的体积是把它利用转化的思想把它转化成原来我们学过的长方体，利用长方体的体积公式，进而推导出圆柱体的体积公式。所以圆柱体的体积啊，也等于其底面积层高，所以 v 柱 等于 s h， 我 可以把这个底面积换成圆的面积，也就是 pi 二的平方 h。 如果给的是 d 和 h， 我 还可以把这个 r 呢换成二分之 d 扩起来的平方 h。 如果给的是底面圆的周长和高，我们还可以把 这个 r 呢换成 c 除以 pi 除以二，扩起来平方乘 h。 那 么圆锥体， 我们知道圆锥啊，它是只有一个底面圆和上面展开以后是一个扇形，一般在小学阶段不研究它的表面积，但是我们重点是放在它的体积上，那圆锥体的体积为锥， 我们知道等底等高的圆锥的体积是圆柱体体积的三分之一，所以为锥啊，就等于三分之一的 v 柱，那 v 柱呢，又等于来它的体积等于 s h pi r pi h 所以 那么圆锥体的体积也就是三分之一的 s h。 底面积乘高等于三分之一的派，二的平方 h 等于三分之一的派，括号里的二分之 d 括起了平方 h 啊，等于三分之一的派，括号里的 c 除以派除以二，括起了平方 h。 那 对王老师所讲的这些公式，你记住了吗？关注王老师，让数学变得 so easy！

六年级下学期要用到的学具提前准备翻开课本第三单元圆柱与圆锥是六年级学习的重难点，借助这套教具，帮助孩子直观理解通过实验探究两者之间存在什么关系。将装满圆锥容器的水倒入圆柱容器，一二 三三次的水量刚好装满。由此可以得出，圆锥的体积是圆柱的三分之一。把圆柱体切开，分成许多相等的扇形，再这样拼起来，可以得到一个近似的长方体。由此可以推算出圆柱的体积公式是底面积乘以高，里面还有展开图，在学习表面积时，孩子更加直观易懂。 通过这套教具的演示，帮助孩子轻松掌握体积和表面积的计算原理。直观学习圆柱圆锥，拓展孩子思维家里有六年级的孩子，赶紧准备一套吧！

今天我分享一道常考易错的有关圆柱测面积的问题，我们一起看题。如图，一根高是底面直径三倍的圆木，截去一分米后，测面积减少了六点二八平方分米，这根圆木现在的测面积是多少？ 那么我们通过读题，我们观察这个图形，这一根原木原来的高度，这是原来的高度，那么这是截去的一分米，那么这是现在的高度。 截取一分米后，我们知道截取一分米后，它的上下底面没有发生改变，因为原来这个圆柱是由两个底面一个侧面构成，截取一分米后，现在它还是两个底面，但是它减少的面积就是这一个。截取着一分米这个圆柱的侧面积， 那么这个突破口就是减少的六点二八平方分米。我们知道圆柱的侧面积就是底面周长乘以高，它就等于六点二八， 那么现在高是以分米，那么我们能求出截取这个以分米，这个圆柱的底面周长 c， 它就等于侧面积。除以它的高就等于六点二八。除以一，它就等于六点二八分米。 这个圆柱的底面周长是六点二八分米，那么再看其中的第一个条件，高是底面直径的三倍，那么要想求高，我们首先要求出这个圆柱底面圆的直径，那现在有底面周长，我们知道底面周长 c， 它就等于派 d， 那么我们现在求 d， 它就等于 c， 除以 pi， 那 么就等于六点二八。除以三点一四。我们求出这个直径 d， 它就等于二分米， 那么直径是二分米，那么高是底面直径的三倍，我们竟然能求出原来的高， 原来的 h， 它就等于二乘以三等于六分米，原来的高是六分米。截去了一分米后，我们进而能求出现在的高， 那就是六减一就等于五分米。现在的高有，它求的是现在的测面积是多少。那么现在的测面积 s 测就等于底面周长，六点二八 就等于 c， h 就 等于六点二八乘以现在的高度五，它就等于三十一点四平方分米。 这个题的突破口就在于，我们先有减少的侧面积，找着底面周长，有底面周长，我们进而求出底面圆的直径。 有底面圆的直径，我们进而又求出这个圆柱原来的高，用原来的高进而求出现在的高。然后就突破了这个题的难点，把这个题收藏起来，让孩子们试一试。

圆柱和圆锥是小升初考试的重难点，今天我们把这些单元常考易错的判断题进行归纳整理看第一题，圆柱的体积是圆锥体积的三倍，这句话正确吗？ 很显然，这句话是不正确的，因为等底等高的圆柱的体积才是圆锥体积的三倍，所以第一个题他少了一个等底等高， 如果没有等低等高这个条件，那么圆柱的体积和圆锥的体积毫无关系，所以这个题是不正确的。 我们接着看第二小题，如果把一个圆柱的侧面沿高展开，得到一个正方形，那么它的底面周长和高一定相等。我们知道把圆柱的侧面沿高 展开，得到的是一个长方形，这个长方形的长就是圆柱底面周长，这个长方形的高就是圆柱的高。如果他的侧面展开图是一个正方形，说明这个 长和宽是相等的，也就是底面周长等于高。很显然，这一句话是正确的。 那么第三句话，如果把一个圆柱截成两段，它的表面积和体积都会增加。我们知道把一个圆柱截成两段的时候， 哎，这是一个圆柱，我们从中间切了一刀，把这个圆柱啊截成两段，这时候切了一刀的时候，增加了两个切面， 所以它的表面积是会增加的。那么体积把圆柱截成两段，形状发生了改变，那么它的体积是没有发生改变。所以这个题截成两段的时候，表面积是增加， 哎，表面积增加，那么体积是没有改变，体积是没有变化，所以这个题是不正确的。 那么第四小题，两个圆柱的体积相等，他们的底面积和高也分别相等。我们知道圆柱的体积是底面积乘以高， 如果他们的体积相等，只能说明是他们的底面积和高的乘积相等，那么他们的底面积和高不一定相等。例如，如果他们的体积是二十，那么这二十可能是二乘以十得到， 含，可以是一乘以二十得到，含，可能是可能是四乘以五得到。只能说是两个数的积相等，不能说这两个数分别相等。很显然这个题是不正确的。那么第五小题，圆柱的高扩大到原来的四倍，底面积缩小到原来的二分之一，它的体积不变。 我们知道圆柱的体积公式是，底面积乘以高，底面积乘以高等于它的体积。这时候我们可以把圆柱的体积看作一个积， 那么底面积和高可以看作其中的两个因素，那么其中每一个因素扩大和缩小的时候，这个积都会跟着相应的扩大和缩小。那么高扩大到原来的四倍是 h 乘以四，那么其中的一个因素乘以四，那么它的体积也跟着 乘以四。那么第二个因素，底面积缩小到原来的二分之一，那就是乘以二分之一。 乘以二分之一，其中的一个因素乘以二分之一，那么鸡跟着乘以二分之一。这时候我们观察这个体积的变化，乘以四乘以二分之一，很显然它最后等于二，说明这个体积扩大到原来的二倍， 所以这个题是不正确的。我们再看最后一题，等底等高的圆柱和圆锥，哎，有一个重要条件，等底等高，圆圆锥的体积比圆柱的体积少了三分之二。我们知道，当等底等高的圆柱和圆锥的时候，我们可以把圆锥的 哎等底等高的圆柱和圆锥，圆柱的体积是圆锥的三倍，所以我们可以把圆柱的体积看作三份的量，那么圆锥的体积看作就是一份的量， 这时候圆锥的体积比圆柱的体积少了几分之几。我们先找着圆锥的体积比圆柱的体积少的份数，那就是三减一， 少了两分，然后和谁比？ a 和单位一，圆柱的体积三份比，所以我再除以三，最后等于三分之二，所以这个题圆锥的体积比圆柱的体积少了三分之二，这句话是正确的。把这几道题收藏起来，让孩子们试一试。关注我，每天分享小升初考试的重！

今天我们分享一道求圆柱表面积的重点题，看题。某路口有一个三层圆柱形的交警指挥台，如图，每层的高度都是二十厘米，直径分别是一百二十厘米、一百厘米和八十厘米。 为了创建卫生城市，需要对该指挥台进行粉刷，粉刷的面积就是指粉刷上面和侧面，那么粉刷的面积有多大？ 那我们看这个图，它是有三个圆柱构成。如果我们粉刷的面积是上面和侧面的时候，我们发现上面这个小圆柱，那么它的上底面要粉刷，那么中间这个圆柱它要粉刷的底面就是这个圆环， 那么下面这个大圆柱，它要粉刷的底面也是，也是上面这个圆环，那么下底面我们通通不粉刷， 这时候上面是一个小圆，中间是一个圆环，下面还是一个圆环，这时候我们把这三个面进行整合，我们就能整合成一个大圆的面积，这时候小圆的面积加上 二，第二个这个圆柱上底面这个圆环，再加上第三个圆柱上底面这个圆环，他们三个整合在一起就是最大这个圆柱上底面的整个圆的面积。 所以我们求这三个底面的面积，就是求这个大圆柱的一个底面的面积，那么这个底面的面积 s 底， 它就等于 pi 二的平方，它就等于 pi 乘以它的直径是一百二十，我们除以二得到半径， 它就等于六六十的平方，是三千六百 pi 平方厘米， 这是三千六百派平方厘米，那么我们给他算出最终的结果是一万一千三百零四平方厘米，这是粉刷的底面的面积，然后还要粉刷侧面积，那么第一个圆柱的侧面积 s 小 侧， 它就等于底面周长乘以高，它就等于派，乘以直径八十乘以高二十，它就等于一千六百派 平方厘米。那么中间这个圆柱的侧面积 s 中侧，它还是等于派乘以底面直径一百乘以高二十，它就等于两千派 平方厘米。那么最大这个圆柱，它的侧面积 s 大 侧，它就等于派乘以它的直径一百二十，它的高二十就等于两千四百派立方厘米。那么总共要粉刷的面积，我们就是把底面积和这三个侧面积加起来， 总共的面积它就等于一千六百泰加两千泰加两千四百泰， 再加上底面积一万一千三百零四，最后它就等于一万八千八百四十加一万一千三百零四，最后等于三万零一百四十四平方米。 把这个题收藏起来，让孩子们试一试。关注我，每天分享小升初考试的重难点！