四川遂宁市最近几年中考数学试卷

昨天我讲睡醒觉的第二小问的时候，呃，脑袋不太清楚，吃了大亏。今天这个第三小问呢，我就告诉自己脑袋一定要清醒，哎，结果发现脑袋清醒了，果然好做啊。我们来看一下第三题，它是一个什么样的题？他说在 x 轴上方的抛物线上找一点 q， 使做了一个射线 a q， 然后呢，满足这样一个二倍关系，最后呢，就是让你求 b m 加 m n 的 最小值，当然这个二倍关系就很重要了。昨天第二问，我们知道 a c o 这一个角，它的摊点的值是三分之一，那么现在我们可以在脑袋里面先想象一下，就有一个过 a 点，有一条线，就是让它形成这个角呢，刚好就等于这个角 a c o， 然后呢，它又有一个二倍角， 好，那么这就是我们的点 q， 换言之啊，就是这一条线，它成了这个角 q a b 的 呃，角平分线。那么如果我把这个角平分线与这呢，我令为点 e， 把这呢，我令为点 f， 那么我们的 e f 的 长度能不能求出来呢？我在旁边把这一个图画大一点点好，这就是点 a， 这就是点 o， 这是点 e， 这是点 f， 那 么我们知道 o a 的 长度是一，那么根据它的这一个角 a c o 的 摊点的值是三分之一的情况下呢？那我知道了啊， o e 的 长度就是三分之一， 那么我怎么去求这一个 e f 的 长度呢？我可以先把它设为 x， 由于这是角平分线呢，所以我过点 e 往这里做的这一个垂线， 它的长度就也是三分之一，换言之就是三角形 a e f 在 a f 边上的高，哎，也是三分之一，然后我就用等面积法去建立方程，就是三角形 a e f 边上的高呢，就乘以三分之一，那么就是说 它就可以等于二分之一， e f 乘以 e f， 边上的高呢，就是我们的呃，高就是一嘛。 那这样我二分之二分之一约掉，那我就可以通过这个三分之一 a f 等于 e f 建立方程，而 a f 是 谁啊？当我设了 e f 的 时候，那么 a f 的 长度就是三分之一倍，根号下一加三分之一，再加 x 的 平方，哎，这一个就该等于 e f， 也就是等于 x， 你 把这一个方程两边同时平方，然后去转换成一个一元二次方程，求解。呃，然后呢，我们就可以求出这个 x， 求出 x 是 等于十二分之五的， 当你知道了 x 等于十二分之五，也就是 e f 等于十二分之五，那么所以我们的 o f， 它就等于十二分之五，再加三分之一 啊， o f 等于四分之三，那么再根据勾股定律，你去带一下这个 af 的 长度，它就等于一的平方，加上四分之三的平方，那么 af 的 那个它的长度就等于我们的四分之五了 啊，它的长度就等于四分子了。那所以这一个直角三角形，也就是我们的这一个大角，就是我们的角 q a b， 它的任何三角函数值都能够求出来了。好，那么这个时候我们求出来了这个 a q 过后，对我们求这个 b 点， 就是 b m 加 m n 有 什么样的帮助呢？我们先来看 m 是 在线段 a q 上运动，然后呢说 过点 m 是 做的这里的垂线啊，做了这里的垂线，得到了点 n， 让你求这个 b m 加 b n 的 最小值，那你当然这样求的话，我一定要把这个 b 点和 n 点放到这一条线的意测去。所以呢，我需要去过点 b 做这个直线 a q 的 对称点， 我把它设为 b 一 撇，然后再过 b 一 撇，往这一个 x 轴去做垂线， 这儿的焦点就是我们要找的这个 m 点，这儿的焦点就是我们要找的这个 n 点，此时这一个 b m 加 m n 的 最小值其实就是 b 撇 n， 那 你要求出这一个 b 撇 n， 你 只需要求出 b b 撇就行了呀。 b b 一 撇儿怎么求呢？这就是我们在这一个三角形当中去求这一串东西的意义所在啊，这一串东西的意义所在。那我们来观察一下 三角形这个 a o、 f 和这一个三角形 a、 b、 m 这两个三角形是 相似的吧。而且三角形 a、 o m 当中的 o a 边儿 o f 边，还有我们的这一个，包括 a f 边，我们都是可以求出来的。而三角形 a b m 当中的这一个斜边 a b 的 长度是可以求出来的啊。那我写一下， 我把这里，我把这里点 b 做 a q 的 对称轴的这一点啊。这儿呢，我另一个另一个 t， 也就是说三角形 三角形 a o、 f 和三角形 a、 t b 该是相似的啊。我们现在就是想求这个 b t 边啊，那我们就来 o a 的 对应边，就是这一个 a t o f 的 对应边就是 b t， 然后这个 a f， 它的对应边就是 ab a f 的 长度，我们前面求了是四分之五 ab 的 长度， a b 的 长度是四，也就是它就等于十六分之五，那么这样的话，我们根据这一组对应关系，根据这一组对应关系，我们就可以求出 bt， bt 它是等于这一个五分之十六，乘以这一个 o f o f 的 长度是四分之五的，所以说我们的 bt 的 长度呢，我们可以求出来是五分之十二， 当你求出这个 b t 的 长度是五分之十二的时候，那么 b b 一 撇的长度就是五分之二十四。好，我们求出了 b b 一 撇的长度是五分之二十四的时候，那么现在我们要求 b 撇儿 n， 也就是说我们要求的这一个 b m 加 m n 的 最小值，它其实就是我们的 b 撇儿 n， 那 么 b 撇儿 n 来，我知道 b b 撇儿要求 b 撇儿 n， 那 我需要用这一个角的三引值，而这一个角的三引值， 你会发现这一个角和我们的角这个 a、 f、 o 是 相等的，那所以我需要知道角 a、 f、 o 的 三角值，那我们在这求一笔角，三角 a f o a f o 就 等于这一个 o a 比上 af， 我 们的 o a 的 长度是一， af 的 长度在这是四分之五，那么所以它就等于五分之四啊。好，我们求好了，它等于五分之，那在这 这一个角 b 撇 b n， 它的三角值就应该等于 b 撇 n 比上我们的 b b 一 撇，那 b b 一 撇是多少呢？ b b 一 撇来啊， b 撇 n， b b 一 撇是等于这个五分之二十四的， 它们的三赢值是等于五分之四，那么所以这样一来，我就可以得出，哎， b 撇 n 等于五分之四，乘以五分之二十四，也就是二十五分之九十六，就求出了我们的 b m 加 m n 的 最小值， 这个呢，这是一道二次函数和我们的几何线段最值类的一道综合体题。以后提到最值类的问题，大家不要太去神话它，不管它是胡不归还是我们的阿，是圆，还是我们的逆等线，还是一些其他什么东西，反正一句话说完， 要么跟点圆位置关系有关系，要么跟三角形的三边关系有关系，大家往这上面靠就行了啊，记得点赞关注哦！

这个二五年遂宁中考的这一道题啊，我今天下午在做的时候，我自己就感到，呃，回想这个过程觉得有点好笑。首先这个第二门我拿着他的时候呢，其实我一眼都看出来他要用这个一二三四五模型，但是呢，我 通过一二三四五模型呢，我很快的就得出了这个点 p 的 坐标，当我把这个点 p 设备拿到和那个就是我买的这个资料书的答案做对照的时候，他发现，哎，答案和那个资料书的不一样，我今天下午本来脑袋也是昏昏沉沉的啊，然后就一直在检查我自己究竟是哪个部位做了最后 过了很久我才发现是答案错了。当我确定答案错了过后呢，然后呢，我就自己要来讲这个题了呗。呃，现在不是说提倡什么去模型化吗？我也不想用什么一二三四五模型来讲这个，呃，所以呢，我就开始呃来做它，就当当我在求第二一个点 p 的 坐标的时候，会发现死活求不出来 啊，我待会讲到那时候有同学帮我看一下哈，究竟我那个点位就是犯错的点位究竟是在哪里啊？我们一起来看一下这道题。他说在平面直角坐标加 b， x 加 c 的 图像 与 x 轴的交点是负一斗零，呃，对称轴是直线 x 减一。那当然这个呢，我们带进去我们就很容易能够得出抛物线的解析式，呃，抛物线的解析式是 y 等于 x 平方减二， x 减三。呃，那么其中的话呢，这个时候 a 点的坐标就是负一斗零， b 点的坐标就是三斗零， c 点的坐标就是零斗负三。嗯，他说如果我们把这个 a、 c、 b、 c 连接起来了过后问你啥事？这个角 c b p 加角 a c o a c o 在 这 p 点是个动点，说要让它能够得出呃，它们之合能够得到四十五度。那好，我们的这个 p 点有可能在直线 bc 的 上方，也有可能在直线 bc 的 下方。由于下方的 p 点究竟存在还是不存在我不清楚，但是上方的 p 点我们却是一定会存在，所以我就先算了上方 好，如果 p 连在这，那么他说这一个角加这一个角等于四十五度，而我们又知道这个 c 点和 b 点的坐标，那我就能够得到这个三角形 cop 其实是一个等腰直角三角形，也就是说角 c b p 加角 p b a， 他 也是四十五度。 当我知道他是四十五度的时候，那我就能够知道角 a、 c、 o 和角这个 abp， 他的度数是相等的。 那么这两个的度数相等了过后呢，我就能够通过这一个八字模型啊，在这里看我的笔尖这里的这样一个八字模型，我就可以得到角 c p b 等于角 b、 o， c 都等于九十度。换言之啊，也就是我们的这个 b p 和 a c 是 互相垂直的，那这个时候 a 点和 c 点的坐标我都知道，那所以直线 a c 的 解析式我是可以求出来的。哎，等于负三 x 减三，这是直线 a c 的 解析式， 那直线 b p 的 解析式，由于这一个 a c 和 b p 是 互相垂直的，所以呢，他们的呃 k 一 乘以 k 二就应该等于负一，那么所以我可以令直线 b p 的 解析式是 y 等于三分之一 x 加 b， 我 再把这一个 b 点的坐标带进去，哎，我就可以得到直线 b p 的 解析式是 y 等于三分之一 x， 呃，减一减一，那么这时候我再连立这一个 y 等于三分之一 x 减一和我们的二次函数解析式，我就可以得到 x 是 等于负的三分之二的，那当然 x 等于负三分之二 p 点，它的横坐标就是负三分之二，重坐标是负的九分之十一。啊， 好，这是我们直线 bc 上方的一个点屁，那么在直线上方有一个点屁，直线下方他也会有一个点屁，就是他存不存在，我们待会通过计算去验证就行了啊。我现在就假设这个点屁现在依然是存在的，那我先把这样子这个点屁先画出来， 那很容易就弄明白了。如果说这一个角 c b p e， 它如果是和这个相加也是四五度的话，意思就是说 这一个角和这一个角，也就是我们的角 p b c 和角 p e b c， 它也是这两个角相等，那我先把那个屏幕抹掉过后再来啊， 意思就是说角 c b p 一 和角 c b p 二，这两个角它应该是相等的， 那么意思就是说角 a c o 加 c b p 二，它也是呃等于四十五度，那所以这个时候我们需要观察到就是三角形 c o b， 它是一个等腰直角三角形。如果我过这个点 b 去做一个 x 轴的垂线， 然后再过点 c 去做一个这个 y 轴的垂线，我假设这里的交点是 m， 这一个他的呃，就是这个 cm 与他的交点呢？我假设就是减点 e， 那 通过这样做的话，我们就会发现啊， 它加它和它都是等于四十五度的，那么换言之就是角 a c o 和角 m b e 是 相等的， 这两个角是相等的，那么我们知道这个 a 点的坐标是负一斗零， c 点的坐标是零斗负三，所以我们这一个角 a、 c o 的 摊减值， 他们就都该等于三分之一。那我们来看一下这一个角，它的探点的值就应该是等于这一个 m e 比上 m b， 而 m b 的 长度刚好就是我们 o c 的 长度就等于三， 换言之就是 m e 的 长度就该等于一，那意思就是说 e 点的坐标， 他就是相当于是把这个 b 点的坐标是三斗零。哎，你通过 b 点的坐标是三斗零，我就能够得到 e 点的横坐标就是二，重坐标就是三啊。 那么你通过检验，你就会发现，这一个 e 点其实就是我们 要找的这个点 p， 为什么呢？因为它符合我们抛物线解析式， y 等于 x 平方减二， x 减三啊， 你把它带进去验证一下，你就会发现 e 点其实就是我们的 p 二点，它的坐标是二斗三。好，那么所以中上呢？ p 点会有两个点，一个点是负三分之二斗，负的九分之十一，另外一个就是二斗三，这就是我们遂宁中考的这个第二题，记得点赞关注哦！

这个二五年遂宁中考的这一道题啊，我今天下午在做的时候，我自己就感到，呃，回想这个过程觉得有点好笑。首先这个第二门我拿了它的时候呢，其实我一眼都看出来他要用这个一二三四五模型，但是呢，我 通过一二三四五模型呢，我很快的就得出了这个点 p 的 坐标，当我把这个点 p 设备拿到和那个就是我买的这个资料书的答案做对照的时候，他发现，哎，答案和那个资料书的不一样，我今天下午本来脑袋也是昏昏沉沉的啊，然后就一直在检查我自己究竟是哪个部位做了最后 过了很久我才发现是答案错了，当我确定答案错了过后呢，然后我就自己要来讲这个题了呗。呃，现在不是说提倡什么去模型化吗？我也不想用什么一二三四五模型来讲这个，呃，所以呢，我就开始呃来做它，就当当我在求第二一个点屁的坐标的时候，会发现死活求不出来 啊，我待会讲到那时候有同学帮我看一下哈，究竟我那个点位就是犯错的，这个点位究竟是在哪里啊？我们一起来看一下这道题。 他说在平面直角坐标系当中，二参数 y 等于 x 平方加 b， x 加 c 的 图像与 x 轴的交点是负一斗零，呃，对称轴是直线 x 减一。那当然这个呢，我们带进去我们就很容易能够得出抛物线的解析式，呃，抛物线的解析式是 y 等于 x 平方减二， x 减三。呃，那么其中的话呢，这个时候 a 点的坐标就是负一斗零， b 点的坐标就是三斗零， c 点的坐标就是零斗负三。嗯，他说如果我们把这个 a、 c、 b、 c 连接起来了过后，问你啥事？这个角 c b p 加角 a c o a c o 在 这 屁点是个动点，说要让它能够得出呃，它们之合能够得到四十五度，那好，我们的这个屁点有可能在直线 bc 的 上方，也有可能在直线 bc 的 下方。由于下方的屁点究竟存在还是不存在我不清楚，但是上方的屁点我们却是一定会存在的，所以我就先算了上方。 好，如果 p 连在这，那么他说这一个角加这一个角等于四十五度，而我们又知道这个 c 点和 b 点的坐标，那我就能够得到这个三角形 cop 其实是一个等腰直角三角形，也就是说角 c b p 加角 p b a， 它也是四十五 度。当我知道它是四十五度的时候，那我就能够知道角 a c o 和角这个 a、 b p， 它的度数是相等的。 那么这两个的度数相等了过后呢，我就能够通过这一个八字模型啊，在这里看我的笔尖，这里的这样一个八字模型，我就可以得到角 c p b 等于角 b、 o、 c 都等于九十度。换言之啊，也就是我们的这个 b p 和 a c 是 互相垂直的， 那这个时候 a 点和 c 点的坐标我都知道，那所以直线 a c 的 解析式我是可以求出来的。哎，等于负三 x 减三，这是直线 a c 的 解析式，那直线 b p 的 解析式，由于 这一个 a c 和 b p 是 互相垂直的，所以呢，他们的呃， k 一 乘以 k 二，就应该等于负一，那么所以我可以令直线 b p 的 解析式是 y 等于三分之一 x 加 b， 我再把这一个 b 点的坐标带进去，哎，我就可以得到直线 b p 的 解析式是， y 等于三分之一 x， 呃，减一减一，那么这时候我再连立这一个 y 等于三分之一 x 减一和我们的二次函数解析式，我就可以得到 x 是 等于负三分之二的，当然 x 等于负三分之二，重坐标是负的九分之十一。啊， 好，这是我们直线 bc 上方的一个点屁，那么在直线上方有一个点屁，直线下方他也会有一个点屁，就是他存不存在，我们待会通过计算去验证就行了啊。我现在就假设这个点屁现在依然是存在的，那我先把这样子这个点屁先画出来， 那很容易就弄明白了。如果说这一个角 c b p e， 它如果是和这个相加也是四五度的话，意思就是说这一个角和这一个角，也就是我们的角 p b c 和角 p e b c， 它也是这两个角是相等的啊。我先把那个屏幕抹掉过后再来啊， 意思就是说角 c b p 一 和角 c b p 二这两个角它应该是相等的，那么意思就是说角 a c o 加 c b p 二，它也是呃等于四十五度。那所以这个时候我们需要观察到就是三角形 c o b， 它是一个等腰直角三角形。 如果我过这个点 b 去做一个 x 轴的垂线，然后再过点 c 去做一个这个 y 轴的垂线，我假设这里的焦点是 m， 这一个他的呃，就是这个 cm 与他的焦点呢？我假设就是减点 e， 那 通过这样做的话，我们就会发现啊， 它加它和它都是等于四十五度的，那么换言之就是角 a、 c o 和角 m b e 是 相等的， 这两个角是相等的，那么我们知道这个 a 点的坐标是负一斗零， c 点的坐标是零斗负三，所以我们这一个角 a、 c、 o 的 摊减值， 它们就都该等于三分之一。那我们来看一下这一个角，它的探点的值就应该是等于这一个 m e 比上 m b， 而 m b 的 长度刚好就是我们 o c 的 长度就等于三， 换言之就是 m e 的 长度就该等于一，那意思就是说 e 点的坐标，它就是相当于是把这个 b 点的坐标是三斗零。 哎，你通过 b 点的坐标是三斗零，我就能够得到 e 点的横坐标就是二，重坐标就是三啊。那么你通过检验，你就会发现这一个 e 点其实就是我们 要找的这个点 p， 为什么呢？因为它符合我们抛物线解析式， y 等于 x 平方减二， x 减三啊，你把它带进去验证一下，你就会发现 e 点其实就是我们的 p 二点，它的坐标是 二斗三。好，那么所以中上呢？ p 点会有两个点，一个点是负三分之二斗负的九分之十一，另外一个就是二斗三，这就是我们遂宁中考的这个第二题，记得点赞关注哦！

上个视频呢，我们讲了二零二五年南充市中考数学的最后一道压轴题，那个题目非常的难，实际上他用到了我们高中解圆锥曲线那个章节经常会用到的一些方法， 但是他竟然下放到了初中，所以呢，很多中考的学生觉得非常的难。那么今天呢，我们继续来讲二零二五年中考数学的两道题目。我们先来看第一道题， 他说已知抛物线 y 等于 a， x 平方加 b， x 加上 c 啊，它的对称轴是直线 x 等于一。那这样子的话，我们是不是可以先搞清楚 a 和 b 的 关系，那就是负二 a 分 之， b 等于一，那么 b 等于负二 a 是 吧？口算就可以了啊。 然后呢，他又说，抛线和 x 轴的一个焦点是四零，那就把四零带进去呗，那就是十六 a， 呃， 十六十六 a 再减去八 a 是 吧？减八 a 加上 c 等于零，为什么减八 a？ 因为 b 等于负二 a 嘛，是吧？所以 c 呢，就等于负八 a 啊，对吧？然后他又说，和外角的焦点坐标是零 m， 那 么零带去的话，那就是 c 等于 m， 但是 c 又等于负八 a， 所以 就是负八 a 等于 m， 是 吧？ 然后他说 m 大 于二小于三，那就是负八倍的 a 大 于二小于三。我先放这啊。第一个，他说 abc 小 于零， 那么嗯， b 和 c 的 乘积肯定是大于零的，因为它等于十六 a 平方， a 不 等于零，所以十六 a 平方一定是大于零的，那么再乘以个 a 呢？那肯定是小于零的，所以第一个是对的啊。第二个九 a 减三， b 加 c 大 于零。 呃，这个题目原意它是让我们怎么做啊？它是实际上是想让你取 x 等于多少？等于负三，你看你 x 取负三的话，这个 y 是 不等于九 a 减三 b 加上 c 了，那也就是说判断负三这一点 啊，负三这一点，它的一个正负性，那你看啊，对称轴是一，对不对？那么这个坐标轴、 坐标轴、 x 轴和这个抛线已经交了四零这一点，那么另外一点能不能算出来？能怎么算？就是对称轴乘以二减四，也就说 一乘以二减四，二减四等于负二，说明那个点是负二，就左边啊，就是 x 轴和抛物线交到左边那个点是负二零。那因为你是取了负三嘛，对吧？负三在负二的左边，所以呢，它肯定是小于零的啊，肯定小于零的 啊，所以什么意思啊？我这样画一下啊，大概是这样啊，这个是负四，对吧？这个是一，这个是二，对吧？负三呢？大概是在这，是不是？所以他肯定是小于零的啊，所以这个肯定是小于零，所以他是错的， 你还可以怎么做呢？就说你如果不知道，你还可以怎么做呢？你还可以给他算出来，对吧？九 a 减三 b， 三 b 就是， 呃，负六 a， 九 a 加上六 a 十五 a 十五 a， 这是 啊，加上 c， c 就是 负八 a 就 十五 a 减八 a 等于七 a， a 肯定是小于零的，对吧？因为抛物线开口向下， a 小 于零，那么七 a 呢？肯定是小于零的，对吧？口算也能算出来啊，所以吃错了。第三个 y 的 最大值 啊，大于四分之九，小于八分之二七，那么最大值的话，有人说我四 a 分 之四 a， c 减 b 平方啊，不对。哦哦，对，四 a 分 之四 a， c 减 b 平方，那不是傻吗？对吧？对，正轴是一吗？题目中已经告诉你了，对，正轴是一的话，那你就带进去呗。 那，那最大值等于多少？最大值就等于一，那就是 a 加上 b 和 a 的 关系， c 和 a 的 关系我们都知道了， 那么就是 a 减二 b 啊， a 减二 a 就是 负 a， c 呢，是负八 a， 那 就是负九 a， 所以 说最大值这一点应该是负九 a， 是 吧？那就是说我们判断负九 a， 它的取值范围，我们已知了负八 a 的 取值范围， 是不是？那是不是就是同时乘以一个八分之九就可以了？因为负八乘以一个负，呃，负八乘以八分之九就是负九嘛。所以负九 a， 它相当于相当于它乘以一个 八分之九，那么就是四分之九，对吧？那它乘以一个八分之九，那就是八分之二十七， 所以呢，三是对的啊，你看是不是很简单？第四个，关于 x 的 一元二次方程，必有两个不相等的实根，那么最简单的方式就是算这个判别式， 判别式的话就是德塔，对吧？德塔呢，就等于 b 减一，它的平方，哎，减去四 a， c 减二， 是不是好？你看， b 呢，等于负二 a 带进去啊，负二 a 减一，它的平方呢？其实它就等于二 a 加上一的平方，那就是四 a 的 平方，加上四 a 加上一。 这左边的啊，右边的 c 呢？是负八 a， 那 么负八 a， 我 把符号提出来，那就是四 a 乘以一个啊，八 a 就是 加上三十二倍的 a 方，然后加上八 a， 是不是好给它化简一下，那这个就是三十六倍的 a 方，再加上一个十二倍的 a 加上一，这个很明显它就是什么六 a 加上一的平方。呃， 他的判断是什么？两个不相等的十根啊。首，首先他有十根肯定是对的，但是能不能相等呢？如果你要相等的话，那我六 a 等于多少？六 a 就 等于负一了， 但六 a 能不能等于负一呢？那我就判断六 a 的 取值范围。我现在知道了八负八 a 的 取值范围，那我左右两边同时乘以个负八 a 的 取值范围，那我左右两边同时乘以个负的四分之三，是不是就出现一个六 a 了， 对吧？那么就是六 a， 哎，我它乘以负四分之三，因为你乘以负号嘛，符号改变，那个方向改变，是不是？那就是三，乘以个负四分之三，就是负的四分之九， 负四分之三，是吧？那么二呢？乘以负四分之三呢，就是负二分之三， 负四分之三，负二分之三，对的啊，那能不能取到负一呢？不能，对吧？因为这个范围取不到负一，所以呢，它肯定是大于零的，那么它大于零的话，说明它确实是有两个不相等的事啊，说明这个是对的。 好，关键看第四问。这道题最精彩的最难的也是在第四问， 但第四呢，有个快捷的解决方式来看一下啊。嗯，他说现在呢，告诉我们了，这个抛物线呢，有三点， x 一， x 二， x 三，那后面是 y 一 y 二 y 三。 然后呢，告诉我们， x 的 范围是 n 到 n 加一， x 二的范围呢，是 n 加一到 n 加二。 x 三的范围是 n 加二到 n 加三。那你看啊， x 一 小于 x 二小于 x 三，这肯定的，对不对？就是不管你 n 取多少值，都有 x 一 小于 x 二小于 x 三，这肯定的，对吧？但是呢，你会发现它题目中告诉我们了，当它成立的时候，那么它成立的话，说明什么？ 说明 y 二和 y 三，呃，就是它不满，就是当 x 二大于 x 三的时候， y 二却小于 y 三，说明什么？说明 y 一定是在对称轴的右侧，呃，如果 y 在 左侧， 哦， y y 三的所说，说明 y 三一定是在 x 三，说明 x 三一定是在对称轴的右侧，如果 x 三在对称轴的左侧的话， 那么那么 x 一 x 二 x 三因为是越来越大嘛，所以它外值应该也是越来越大，所以 y 三应该是最大的，就不可能会出现 y 三还比 y 二要小的。说明什么？说明 x 三一定是在对称轴的右侧 啊，而且 x 一 在对称轴左侧，那么同样道理是不是有，如果 x 一 在对称轴右侧的话，那说明一定是 y 三小于 y 二小于 y 一， 对不对？但是呢，它现在说是 y 一 小于 y 三小于 y 二， 说明什么？说明 x 一 在对称轴左侧， x 三在对称轴右侧，而且要注意的是它们的跨度，跨度就是它们是连续的，并且它们的跨度只有一啊。那怎么办呢？为了方便你们理解我，我来画个图， 比如说，比如说这个长度是 x 一 啊，这个长度是 x 一， 这个跨度是 x 一， 对吧？也就说我 x 一 如果是这样子的话， x 一 是可以在这个地方， x 一 是在这个地方取值的，对不对？我这举个例子啊，举个例子。好，接下来呢，我们换个颜色，我画一个 x 二， 那这样子的话，在这我为什么要把它挨在一起啊？因为它们是连续的，看到没有？它是连续的啊， n n 减一， n 加 n， n 加一， n 加二， n 加三，它是连续的，所以你要把它画在一块啊，你要把它画在一块， 然后呢？是红的，再画一个这样，那它就是这样。 好，那你看啊，现在 x 一 x 二、 x 三，我们都以这个，因为它的范围就是一嘛，就宽度是一嘛，所以我这样画是没有问题的。那你看啊，我们刚刚判断出来了， 呃， x 二一定是横跨这个对正轴的啊，并且呢， x 三在对正轴的右侧， x 一 在对正轴的左侧，那这点没有问题，是吧？好，接下来我们看， 他说 y 三小于 y 二，并且 y 三还大于 y 一， 呃，你，你要搞清楚一点啊，就是， 首先你看啊，我这里面，我不论我 n 取什么范围，比如说我这里面，他给我条件是 n 大 于负二分之三到零，对吧？我 n 取二分之一，我举个例子， n 取二分之一，如果 n 取二分之一的话，那就 x 的 范围就是二分之一到二分之三，对吧？那我们给他写一下呗，对吧？二分之一到二分之三，就这样呗。 好，二分之一到二分之三，那么 x 二呢？ x 二是二分之三到二分之五，对吧？这样对吗？这肯定不对吧，这种情况下，你 x 这种情况下， y 三是不可能比 y 一 小的， 这种情况你 y 三不可能比 y 一 小的，是不是？你 y 三在这个范围，你最大值是这个，你，你 y y 一 的最小值是这个，是不是你不可能比它小的？ 不可能比它小的，因为你是对称的嘛，你正好在在二分之一到二分之三之间嘛，对吧？所以，所以这两个值应该是相等的 啊，这两个值应该是相等的，那么这两个值呢？肯定不可能是相等的嘛，所以就不可能存在这个东西，所以他是错的， 错的一眼就看出来了。但是我现在讲的是另外一个东西啊，就是这个题目呢，也算比较难，但是你按照我这种方式就能够很快的做出来。但是呢，我讲讲另外一个东西， 就是，呃，我不管我现在我怎么画，比如说我，我不管你这个取的是什么值，我不管你取的什么值，你比如说 m 小 于 p 小 于 q， 我 这样写 m 小 于 p 小 于 q， 那 问题来了，那它就是，嗯，那我这样子呗，那我把它移一下呗，我往左边移，哎，不对， 你看看啊，我现在这种情况，在这种情况的话，你看啊， x 二这两点是不是最大的？ 那就是 x 二对应的 y 二一定是最最大的，就是你 y 三和 x 三一定是在下面，但是你会发现 y 三和 x 三它可以相等，它可以相等就是你 x。 呃，你 y 一 没有办法保证一定小于 y 三， 我为什么要一定要说横等于呢？这个题目，嗯，可以说他出的很好，也可以说他出的不好，原因就是因为其实这个题目有一个横等于的概念在里面，你要使这个东西成立，使他成立意思是什么？意思是横成立， 因为你这是个连续的，明白吧？你是个连续的，你要保证它成立的话，你要保证某一个段，你比如说 y 一 要小于 y 三，那么你要保证 y 三的最小值， 那么它的 y 三最小值应该是这要大于 y 一 的最大值， y 一 最大值在这， 但是可能吗？不可能，不可能。你要这种情况成立的话，你必须得保证你的情况在这。哎，这样子你才是有可能的， 或者说在这，在这，你在这种情况下，就是，呃，那这个情况就是什么？就是这个 n 加二， n 加二，当它等于一的时候， 哎，你可以保证。为什么呢？那么这个时候呢，你的最小值是在这，对吧？那么他的 x 一 的最小值呢？是在零点区，他在这，在二点区， 在二点区，所以呢，你能保证 y 一 一定小于 y 三，但是啊，但是你要还要保证 y 三一定要小于 y 二啊，你这个题目就保证不了啊， 所以你不论你 n 取什么值，我都能找到返利。所以这个题目呢，严格来说，我觉得出的不太好，不太好， 明白吧，所以它是错的。就很明显，我们代入 n 等于负二，等于二分之一，等于二分之一的时候，呃，也不对，也不对，明白我意思吧？等于二分之一的时候，也不对， 我只能说等于二分之一的时候有，它有这个东西存在，但并不能保证它一定很存在， 是不是？明白我意思吧。好，那这是选择题就很难了，是不是啊？很难了，我们再来看一填空题。填空题这道题目也很难啊，我们再来看一下啊。他说，如图，在边长为一的正方形 a、 b、 c、 d 的 对角线 b、 d 上取一点 e， 那么因为你只要在 b、 d 上取一点，那这时候三角形 a、 b、 e 和呃 c、 b、 e 一定是全等的，相当于它沿着 b、 d 给它翻折过去，对不对？那证明也很简单，角 a、 b， e 等于角 c， b， e 等于四十五度， b e 等于 b e， a b 等于 c b 啊，所以呢，它一定是全等的，那么这时候呢？ a e 等于 ec， 对 吧？它第一个就让我们证明这个，所以你看是比较简单，对不对？第二个， b e 加上 a e 等于 ef， 我们知道 a e 等于 ec 了，是不是？那相当于我们看看能不能把这个 be 啊，也翻折到一那个 cf 上，因为你 c e 和 ef 都是在 cf 上，对不对？那我能不能把 be 也放到 cf 上？那这样子的话，一条线段上加减乘除 不是更简单吗？对不对？那能不能这么做呢？ 你看啊，你没有想法，是不是？没有想法的话，我们就看一下角度，角度关系，当你没有想法的时候就对边，没有想法的时候看下角度关系， 这个时候你会发现它是十五度，对不对？它是十五度，然后又告诉我们了， bc 等于 b f， 那 么它又是十五度， 那你看啊，我们把已知的一些角给它标出来啊，那么这个角呢？等于多少度？等于六十度角 h e b 就 等于六十度，没有问题吧？因为你这个角是四十五度嘛，啊？四十五度 啊，哎，它是六十度，那么六十度的话，就有很多文章可以做了，是不是？ 你看啊，我现在想把 b e 弄到 cf 上，那就很明显有一个做法，是什么呢？我可以在 cf 上面找一个点 g 点，使得什么呢？使得 eg 等于 e b， 也就是说，嗯， 也就是说这是个等边三角形啊，这个点啊，这个点，注意，这个点是 g 点， 也就是说 e g 等于 e b 的 话，一旦它成立，因为找这个点是比较简单的，是不是？一旦它成立就说明什么？说明三角形 h、 b、 e 为等边三角形， 是吧？它会等边三角形，那你看啊，角 b、 e、 c 现在等于多少度？一百二十度，一百八十度减六十度嘛。那么这样子的话，角 b、 g、 f 等于多少度？你看三角形 h、 b、 e 等于。 呃，他是个等边三角形，那么内角都等于六十度，那么角 b、 g、 f 等于一百八十度减六十度。呃，一百八十度减去六十度等于一百二十度，是不是？好，你看啊，你要证明什么呢？证明 e f 等于 b e 加上 a e， 对 吧？那么 a e 呢？就等于 e c 了，相当于你就要证明 e f 等于 b e 加 e c。 好， 那么 b e 呢？我给它转化成 g e 了， 是不是他又等于记 e？ 那 我只要证明 e、 f 减去记 e 等于 e c 就 可以了，是不是？那么 e、 f 减记 e 呢？他是不是等于记 f？ 那我只要证明 g、 f 等于 e、 c 就 可以了，是不是 g、 f 等于 e、 c 就 可以了，是不是？好，那我们看一下啊，如果 g、 f 等于 e、 c 的 话，这个角是十五度啊， 这个角是十五度，这角也是十五度。 b、 f 又等于 bc， 说明两个三角形全等。说明三角形。呃， f、 h、 b 全全等于三角形 c 不是 h b 啊，是 c f g b f g b， 对 吧？全等三角形 c、 e、 b 它俩全等，那么它俩全等的话， 我只要证明出来，那不就往回倒就可以了吗？对吧？他俩能不能全的呢？呃，我现在知道一个角一个边，那我还得再找一个角，就不能找边了，对不对？你看啊，这个现成的吗？我刚不是已经证明出来了吗？ 那就说什么呢？角 b e c 等于角 b g f 这第一个，第二个角， 呃， b c e 等于角 b f g， 是 不是再加上 b c 等于 b f？ 好， 我通过什么呢？等我 a a、 s 两个三角形就是全等的， 是不是？你看这两个参选全等的，我就能够证明，往回倒，我就能够证明。呃， g f 等于 c 了，对吧？那就能证明 ef 减 g e 等于 c 了。好，那就 g e 等于 b e 了。看， 就往回倒就能够倒出来了啊，说明它是对的。好，我们再来看啊，第三个，第三个。哎呀，这是个拓展题啊， ah 比上 h b， 因为你 ab 是 一嘛，那意思就说我知道 h b， 我 就知道 a h 了。 那关键你求 h b 或者 a h 啊，那求 h b 吧，你看啊，这个角等于十五度，对不对？实际上你看啊，那么 tanning 的 十五度，它是不是等于 h b 比上 bc 啊？ b t 长是一，对吧，所以它就等于 h b， 也就说贪恋十五度的值就等于 h b 的 长度。好，那么问题来了，贪恋十五度该怎么求呢？ 就这个东西呢？它是个拓展题啊，是个拓展题。嗯，呃，你应该记住啊，它等于二减根号三。那有人说怎么做呢？ 他是根据三十度来算的，我们只知道我们在初中阶段啊，我们只知道三十度、六十度、九十度、四十五度，这几个角的特殊值，对不对？好，那么你看啊，我们把三十度的画一下， 这个是三十度，这个呢是一，这个是根号三，这个是二，对吧？这个是垂直的 一比高，三比二。那你怎么构造出一个十五度呢？那怎么办呢？比如说这是 a b c， 那 你就把 b a 延长，延长多少呢？延长二 就 b a 延长二，然后怎么办呢？比如说延长到 d 点，然后把这两个连起来， 嗯，这个 r 在 这，我给它写这啊，怕你们误会啊。好，这样子的话，你会发现啊，这个角等于多少度？十五度， 因为 b、 a、 d 等于 ac 了嘛？ a、 d 等于 ac， 那 说明角 a、 d， c 等于角 a、 c、 d 啊，它俩的和又等于三十度，说明它俩各自等于十五度，你看这时候摊进的十五度是不是能够算出来了？ 贪心十五度是不是等于一除以二加上根号三，对吧？那我进行分母求理化，同时乘以一个二减根号三，那就是二减根号三，因为分母没有了嘛，分母就是一嘛，所以贪心十五度等于二减根号三， 所以这个角度呢，应该要记住啊，应该要记住，那你看，如果要记住的话，如果你知道这个结果，那你看啊， h b 的 长是不是就是二减根号三了？ h b 的 二减根号三，那么 a h 呢？ a h 是 不等于一减去 h b 的 长度减二加上根号三，等于根号三减一。 好，那我们再算一下，那么 a h 比上 h b 就 等于根号三减一，比上 h b， h b 就是 二减根号三， 进行分补，由理化，同时乘以个二加根号三，那下面就变成一了，那就是根号三减一，乘以二加上根号三， 那这样子的话，就是二倍根号三减去根号三，就是根号三，再加上三减二加上一，所以答案是一加根号三，所以这个是错的， 错的，所以这个结果你要记住，就是探店十五度，你要记住，你记不住，那这个题目你就做不出来了啊，就完全做不出来。 好，我们再来看一下。第四个就难了啊，第四个就难了啊，他说点 m 是 b c 上的一个动点，然后连接 h m， 好， 我们连一下， 然后他说呢，将三角形 b h m 沿着 h m 翻折，那我给它翻一下呗，翻一下，那就是在这， 大概在这是吧？好，然后呢，翻折的话点一下。 好，他说 b 点落在 p 点处呢，就大概这个地方就是 p 点，然后呢，连接 b p， 连接 b p， 我这个画的呢，嗯，有一点点误差啊。然后呢，交 h m 于 q 点 q 点连接 d q。 哎呀，这么多连啊，连来连去的是吧？ 连接 d q。 好， 他说让我们求 d q 的 最小值啊，很多人一看到这个数字就蒙了，我的天呐，这是个什么数字？不要急，我们来分析一波啊。那么 d 点是什么点？是个定点， q 点是个动点，对吧？因为你 m 一 动， p 点就动了， p 点动了， q 点就动了，对吧？所以 q 点它是个动点， d 点是个定点。 那这个题目呢，很明显，我们首先要搞清楚 q 的 运动轨迹，你搞不清楚它的轨迹，这个题目你就做不了，完全做不了。 那轨迹是什么呢？其实如果你们前两天看了我讲的那个南充市有一道几何题，我们看一下啊，这个题目你可以往回翻，哎，这个题目， 你如果还记得这个题目的话，你就应该对这个题目有印象，什么意思呢？你看他也是翻折，前面的题目也是翻折，你看这个 p 点，他是不是 b 点的一个对应点，而 h b 是 不是一定 等于 hp 的 长，就是 hp 的 长度是不是一定等于 hp 长， hp 的 长度它等于二减根号三， 刚算的吗？是不是？也就是说什么呢？也就说 p 点，它的运动轨迹是什么呢？是 p h 这个定值，它就是绕着这个 p h 在 转，看，绕着 p h 在 转， 然后呢，转的半径呢？是二减根号三。所以它的运动轨迹是什么？运动轨迹是一个圆，圆心在 h 处， 它的半径呢？是二减根号三。哎，你看啊，我把这个划一下， 就说大概这个意思啊， 这不够精确啊，大概意思一下，大概意思一下，差不多就这个意思，就是 p 点在这上面运动。嗯，然后呢，接下来我们要找这个 q 点了， p 点的运动轨迹是个圆 q 点，我问你啊， b q 等于多少 bp？ 它一等于二分之一倍的 bp， 对不对？好好，你看啊， q 点运动轨迹是个圆，我，请问 q 那 个 p 点运动轨迹是个圆，请问 q 点的运动轨迹是什么？这里面其实就利用我们之前讲过的一个东西叫刮度。 刮度是什么呢？两个动点，一个定点，比如说这是 p 点啊， 这是 a 点，这是 b 点，这是 alpha 值角。 alpha 值是个定值 啊， p a 比上 p b 等于 k， 它是个也是个定值，就是比例是个定值。假角是个定值，这个假角可以等于零啊。 然后呢，你会发现 a 点啊，这个 b 点啊，随着 a 点的运动而运动，也就说 a 运动如果是个直线， b 运动也是个直线，而且呢，运动的轨迹夹角也是 r 法，而且呢，它们轨迹的长度比值也等于 k， 对吧？这第一个，第二个是，如果 a 点的运动轨迹是个圆，那么 b 的 运动轨迹也是个圆，而且它们圆的半径长度的比值也是个 k， 我 这样讲能够理解吗？好，那你看啊，现在 b 点， b 点是不是个固定点？ p 点是不是动点？ q 点是不是个动点？好，它们的比值等于多少？二分之一， 说明 p 的 运动轨迹如果是个圆的话，那么 q 的 运动轨迹也是个圆，而且圆它的半径，比如说它的半径是是 t 啊， t， 它的半径应该等于啊 o h 啊，你看，等于 h 点为圆形的这个圆的一半，所以我们就等于二分之一倍的 r 圆 h 就等于一减去二分之根号三。那么圆心位置在什么地方呢？圆心位置它也在 b h 这个线上啊，那你看一下啊，那你看一下啊， 大概是在这么一个位置，因为它的两个圆心的夹角也是 r 法度啊， 圆心的夹角啊，你 r 法现在不是零吗？ r 法现在不是零度吗？对吧？所以你的圆心的呃，夹角，圆心到这个 b 点的连线的夹角也是零度，所以呢，这个圆心也是在这个 b h 上，那大概就是这样子的。简单画一下，大概就是这样子。 哎，大概就是这样子。所以呢，这个地方是 t 圆形位置啊，那你看， 那这时候我们在呃，求这个 d q 的 最小值，那相当于我们要把什么，我们要把这个 t 点 和 d 点连起来，对吧？那这个的最小值等于多少呢？最小值应该等于 d t， 再减去半径场，半径场就是这个，是吧？减去一加上二分之根号三。 好，那这个半径场啊，这个 d t 怎么算呢？ d t 场哈， d t 场，它是不是等于呃 d a 的 平方加上 a t 的 平方？再开根号，呃， d a 的 平方加上 a t 的 平方，开根号 d a 长度我们知道，那么 a t 长呢？ a t 的 长度， a t 长度是不是等于一减去 bt 啊？ bt 长是不是就是半径长啊？就是一减去一，加上二分之根号三，所以答案就是二分之根号三，所以 a t 长就是二分之根号三，所以它的结果呢，就是 d a 长是加上 二分之高三平方就是四分之三，也就是四分之七，就是二分之根号七，对吧？所以最小值应该是二分之根号七，再加上根号三减二， 所以这个四是对的，你看这个数字是不是很奇怪，对吧？我觉得如果是简答题的话，很有可能很多人做到这一步都不敢承认，就觉得自己可能是算错了，那这题目是不是有点难度啊？ 有点难度，他其实完全可以做一个大体啊，作为大体。嗯，那么今天这个视频呢，我觉得讲的这两道题都非常的好，非常好，值得大家反复去看，尤其是这个第二道题， 值得你们反复去看，反复去琢磨。好，那么今天我们这个视频就讲到这，如果你觉得这个视频还不错的话，可以啊，把它分享给你的朋友，或者是你的孩子 啊，那我们下个视频呢，还会继续讲遂宁市的一个中考题啊，那么我们下个视频再见。今天这个视频就讲到这了啊，拜拜。

上个视频呢，我们讲了二零二五年遂宁市中考数学的两道题目，都非常的难，尤其是第二道题，对吧？这个题目非常的难，而且非常精彩，你们可以去看一下我那个视频。那么今天呢，我们继续来讲遂宁市今年的中考题，今天讲一道相似题，我们来看一下啊， 他说如图， ab 是 圆 o 的 直径， c 呢是圆 o 上的一点，然后呢，我们连接 a、 c， b， c 延长 ab 至 d 点，连接 cd， 使得角 b， c、 d 等于角 a， b， c、 d 等于角 a。 那 这是非常常规的一个考法了，是不是让我们求证 cd 啊，是圆 o 的 一个切线，那么这个就比较简单了，是不是我们就应该连接 o、 c 嘛？是吧， 这个很常规啊，很常规的一个做法，连接 o、 c。 但是关于切线的证明呢，我反复讲过很多次，两种证明，一种是你明确的知道 这个直线或者是这个线段跟这个圆有一个交点，有一个公共点，这时候呢，我只要连接这个圆心和公共点，证明垂直就可以了。 第二个是我不知道这个线和这个圆有没有交点，这时候呢，我就过圆心做这个线的垂线啊，这时候呢，我只要证明这个垂线断，垂线断等于半径就 ok 了。那么这个题目呢，很明显， c 既在 c d 上，也在 o c 上，所以呢，我们只需要证明啊， o c 垂直 c、 d 就 可以了，是不是啊，也比较简单了是不是？你看 啊，你要证明的什么呢？证明角 o、 c、 b 加上角 b、 c、 d 等于九十度，对吧？那你把它化解一下呗，角 b、 c、 d， 对 吧？我证明这个东西，那相当于你要证明什么？证明角 o c b 加上角 a 等于九十度， 能不能证明呢？你看角 a， 我 是不是又可以给它化解一下？角 a 它就等于这个角吗？对吧？ 这个角它是不是等于啊？因为 o a 等于 o c 的 吗？是不是它又等于 角 o c o c b 加上角 a 是 不是等等于角 a c o 啊？ a c o 等于九十度，说明你要证明这个， 对吧？那么这个东西它是不是就说明角 a c b 等于九十度，对吧？ a c b 等于九度。因为 ab 是 直径，所以 ab 等于九度是天然已知的，所以我能够证明它，对吧？它又证明它，对吧？它又出来它，所以就是反推嘛， 反推就可以了。说明第一个是对的，那就是个砍瓜切菜是吧？证明题比较简单啊。第二个， 他说 e 是 a c 弧的终点， e 是 a c 弧的终点，那我百分之百我要连接 e o， 为什么？因为弧一般最后都会对应到角度关系，一般都是这样啊。 呃， e 是 a c 弧的终点好，他说连接 b e 交 a c 于 f 点过 e 点呢？做 e h 垂直 ab 啊，垂直 a b， 那 这样子的话，我们可以知道 b e 等于 b h， 对 吧？因为它垂直 a b 交源于 h 点嘛，所以 b e 等于 b h， 但你要证明，你该怎么证啊？啊？你，我们虽然知道，但你，你要证明一下，对吧？我连接 o h 啊，我连接 o h o e， o c 是 我们上一个连的啊。那连接 o h o o e 的 话，你看 o g 啊，等于 o g， 对 不对？ 然后呢？啊？ o e 就 等于 o h， 然后根据什么？根据直角三角形里面的 h l 就 能够证明 r t 三角形 e g o 等于全等于 r t 三角形 h g o 两个全等好，两个全等的话，那你就发现 eg 啊， eg 就 等于 h g 了， 是不是好？这两个相等，你通过勾股定律也好，全等也好，都能够证明出来。什么呢？啊？ e b 等于 h b 是 不是好？他又说什么呢？说，嗯，如果 b d 等于二， c d 呢？等于四，让我们求 b f 乘以 b h， b f 乘 b h， 那 这个乘积的形式，我们只有在一种情况下可以遇到，哪种情况？相似，哎，有人说相似不是除吗？对吧？ 相似是除，但是你把它就是内向乘积，等于外向乘积，一乘不就可以了吗？你比如说这个 b f 乘以啊， b f， 呃，乘以 b h， 对 吧？那大概率我大概率猜测他应该是这样， b f b h， 如果 b f 对 应的边是 x， b f b h 对 应的边是 y， 你 看这是不是推导出来 b f 乘以 b h 等于 x y 啊？所以我们只需要求这样就可以了，因为他让你求他的成绩，说明他成绩不太好求啊，不太好求，可能 x y 要更好求一点。 呃，然后你看啊，你看啊， b f 是 这个，对吧？ b h 呢？是这个。 嗯，那这样子的话，我认为啊，你有可能是要把 bh 换掉，因为我们前面刚刚讲了 bh 等于 be， 对 吧？那你这个 bh 啊，我估计百分之八十吧，你要换成 be， 换成 be， 所以呢，这个应该就变成了一个 be 乘以 bh 啊， be 乘 bf， 因为你 b h b h 等于 b e 嘛，所以这个就是 b e 乘以 b f， 对 吧？你这个把它换掉嘛，这个就是 b e 嘛，所以就 b e 乘 b f 等于等于 x y， 那 就相当于找什么找 b e 和 b f 所在的三角形有没有相似的可能性，对吧？ b e b e 的 三角形， 那就是直角三角形啊，那就不太好弄，是吧？那还有种情况是什么呢？把 e c 连起来， 对吧？如果我把 e c 连起的话，那，那么三角形 b e c 哎，我看能不能三角形 b e c b e c， 它就包括 b e 了嘛，对吧？那这样还有个 b b f， 那 b f 的 话， b f 可以 是 b f c， 也可以是 b f a， 那 很明显应该是 b f a， 是 不是？那 b e c 和 b f a c 是 不是差不多？ b e c b e c 和 b a f b a f e， 嗯，是不是一样的？我看一下，你证明能不能证明这两个相相似啊？能不能证明这两个相似啊？是解析的关键，能不能证明我们看一下啊？嗯， 这个角等于这个角，那比较好整，对吧？第一个角，嗯， b e c b e c 等于角 b a f b a f 这个是因为它是 bc 对 应的那个弧啊，那个那个弧对应那个角，所以它它俩相等应该是比较简单的，得再找个角，再找个角的话，那就找这个角呗。 啊，那你看啊， e 是 不是 a c 的 中点，所以它们对应的圆周角分别，所以说明 a e 对 应的圆周角和 e c 对 应的圆周角也是相等的，说明就是这个角等于这个角，对吧？那就是角 啊。 f 角，这个角 c b e c b e， 你就等于角 c b e f b a 吗？ f b a 对 的， f b a， 对 吧？说明两个三角形确实是相似的，那么确实相似的话，那我们把对应的边给他写一下，那就是，呃，这两个三角形相似是不是 好，就是三角形 b、 e、 c 相似三角形 b、 a、 f， 那 么它俩相似的话，把对应边比例写一下啊，那就是什么？就是 b、 e， b、 e 比上 b a 等于 bc， 比上 b、 f 等于 e， c 比上 af， 是 吧？好，我们要求什么？求 b、 e 乘以 b、 f， 那 就是这两个呗。 是不是这两个啊？那就是我们要求 b、 a， 那 这样子的话，我们可以推导出什么？ b、 e 乘以 b、 f， 它等于 b a 乘以 bc。 好， b a 场 bc 场啊，你看，这时候我们就要看他给的这个条件了啊。 b、 d 场是二， b、 c、 d 场是四，那就简单了嘛，对吧？你看，我设这个 b、 a 场，它就是两倍的半径嘛，那我设半径为二， 我把这个都删了啊。 好，我设半径为 r， 那 么在三角形 r t 三角形， 嗯， o、 c、 d 中，我设半径为 r， 那 么这个长就是 r， 这个长，这个长也是 r， 对 吧？因为你 o、 c 垂直 cd 嘛，所以什么？所以 r 加上 r， 它的平方 等于四的平方，还加上耳的平方，对吧？化简一下，这个耳平方和右边的耳平方就没了，那么四 和，这是十六，一减过来负十二，这是四耳，减十二等于零耳呢？算出来等于三， 说明半径长是三，半径长是三的话，那么 a、 b 长等于多少？ a b 长就等于六啊，说明你看这个 b a 长就算出来了，还差个 bc 啊，那 bc 也简单，对吧？那，那就做垂线呗。减三角形是吧？过 c 点 做，哎，过 c 点做垂线，比如说这个交点为， 这个焦点为接一吧，焦点为接，那我要知道 b、 c 的 长度啊， b、 c 的 长度，那我在三角形里面，我只要知道 b、 j 啊，只要知道 b j 长，只要知道 c j 长， 是不是就可以算出来了？是不是？那 b 接长呢？ b 接长，呃， c 接长，我们首先能算出来，为什么呢？你看啊，在三角形还是三角形 o c d 中，你看啊， c j 我 乘以一个 o d， c j 乘 o d 啊，它是不是面积的两倍，对吧？那它同时也就等于 o c 乘以 o d 呗， 对吧？那么 o d 长呢？ o d 长是五，因为 o c 长是三， c d 长是四，那么勾股数嘛，所以 o d 长是五，所以 c j 长就等于 o c 长就等于三，乘以 o d 长。 c d 场 o c o c 乘以 c d， 对 吧？ c d 场是四， o d 场是五，那就等于五分之十二。所以 c c 阶场我们就知道了， c 阶场知道了，那么 b 阶场我们再算一下 b 阶场，是不是？呃， o 阶场知道了， b 阶就知道了，对吧？所以 b 阶呢，又等于 o b o b 就是 r 了，半径 r 了， 尔减去 o 结长，那么 o 结长， o 结长就比较简单了是不是？你看这三角形的三边关系是什么？三比上，四比上五，对不对？三比四比五，那么 呃， o 结长， o 结就这个长哈，它对应的角应该是这个角，对吧？那么这个角呢？和这个角， 这个角，这个角是九十度吗？那么他加他九十度，所以他和他是相等的，那么他们的对应的角的比例，对应的角那个边，就是应该是比值是相等的，对不对？那说明就是 o j o j 哎， o j 比上 oc 就 等于斜边比，斜边就是 o c 比上 o d， 是 吧？那这样子的话， o j 是 不能算出来了， o j 长度就等于 o c 的 平方， o c 就是 三乘以三啊，三乘以三九 九，再减九再除以 o d， o d 是 五，所以 o j 长是， o， j 长是五分之九啊，那么 b j 长呢啊， b j 长就等于三减去五分之九， 这是十五六，五分之六， 对吧？所以 b 接长是五分之六， o 接长是五分之九，那么这样子的话，呃，这样子的话， b c 长是不是就能算出来了？ b c 呃， o 接长呢？ o 接呃， b 接长是五分之六， c 接长是五分之十二，那就是一比二比刚好五呗。 因为同乘以一个五分之六嘛，把五分之六提出来，就是一比上二比上根号五，那么 bc 长度就应该就是五分之六倍根号五，对吧？就不用不用 不用算啊，就比较简单啊，因为你把五分之六提出来嘛，他就一比上二比根号五，那他就应该五分之六倍根号五，那这样子的话， be 乘以 bf， 你 看啊，最后结果 be 乘以 bf， 是 不是等于 bc 长 五分之六倍根号五，再乘以一个 b a 长， b a 长就是两倍的 r 就是 六，哎，所以答案就是五分之三十六倍的根号五 啊。所以这题目呢，你说难不难呢？还是有一定难度的，还是有一定难度的，所以也是非常值得反复去推敲的一道题目啊。 好，那么这个题目呢，很值得大家反复去看啊。嗯，那么今天这个题目呢，就给大家讲到这，其实还有一道最后的压轴题，我们下个视频再讲，因为一个视频讲不完。 好，如果你觉得还不错的话，可以分享给你的朋友或者是家长，觉得还不错的话，可以分享给你的孩子。那我们下个视频再见。拜拜。