2022数学三角函数大题中考天津

今天我们来讲解三角函数专题，双棱形。我们先来看一下这个图像，我们能够看到点 d 这个位置，它出现了四十五度角，并且还有虚线，所以我们可以知道这道题的辅助线是从点 d 向 ab 做垂线啊，是 df。 接下来我们来看一下这道题目的已知条件，他说 d， e 等于六， d， e、 c 等于三十度。当 d， e 等于六， d， e、 c 等于三十度时，我们可以用三角函数的知识知道， c、 d 等于三， c， e 等于三倍根二三。 后面他又说到阳角五十八啊，阳角五十八度，那肯定是在咱们三角形 a， b， e 这个三角形中啊进行去计算的。那么我们来看一下第一问，斜坡高度， c， d 等于三， 这咱是已经算完的，过程也比较简单，老师就不写了。然后我们再来看一下计算古建筑 ab 的 高度，我们要去求 ab， 目前我们能够知道的就是四十五度，所以咱可以先写上贪听。四十五度 等于 af 比上 df 等于一，所以 af 等于 df， 这是已知的， df 等于三，这是因为 dcbf 是 一个矩形啊， dcbf 是 一个矩形，咱自己做了一个垂直，也就是这里自己做了一个垂直， dc 和 ab 都是垂直于 bc 的， 那咱们可以写有已知得啊，或者可以直接使用也是没问题的，但是矩形是一定要正的好，那么也就是说我要求 ab 的 高度，只需解决 af 的 长度即可。那我们再来看一下这道题目， df 等于 af， 那 么 df 是 不是也等于 bc 呢？ 所以我们可以在 b c 上去算一下功夫， b， c 等于谁呢？ b c 等于 c e 加 b e， 也就是 c e 等于三倍根号三，我们只需知道 b e 的 长度即可。好，那么这道题 ab 我 们就转化为 去求 b e 了，那 b e 肯定是逃不过咱们 r t 三角形 a b e， 那 所以在 r t 三角形 a b e 中 弹琴五十八度等于 a b 比上 b e， a b 比上 b e， 在 这里 a b 我 们可以替换成 af 加三啊，可以替换 af 加三，底下还是 b e， 那 么 af 可以 替换成 bc， 也就是三倍根号三加上 b e 啊。那么这时我们就可以导出我们的结果啊，导出我们结果了，可以把 b e 求出来，然后再反推啊！是这样的一个过程，但有的同学会想，我这样写，我中途算错怎么办？我不想中途算错，我就只是 想把我的 af 直接求出来，最后得到 af 加三，即刻有没有这样的方法？也有，那我们来看这一个方法的写法。 第二种写法，我们依然遵循刚刚前半部分讲过的 d f 等于 af 等于 bc 的 一个情况，只是后面写法不同，后面我们可以看，可以设 af 等于 x， 也就是说 af 为 x， 那所以 b e 我 们能够得到 x 减去三倍根号三， x 减三倍根号三是等于 b e 的， 那这时我们知道 ab 就 等于 x 加三啊，后面都有一个单位是米啊，那么 我们直接还是在 r t 三角形 a b e 中， a b e 中直接就等于贪听五十八度等于 a b 比上 b e， 此时我们可以把 a b 写上 s 加三， b e 写上 s 减去三倍杠二三， 我们可以直接约等于，那么本题中贪心五十八度是取一点六的，所以我们可以直接约等于一点六。一定记住，初次使用他给的约等于值时，我们要用约等于号，那么我们直接出解得 解得 x， x 是 一个值，那么咱们能够得到 x 是 五加上 八倍根号三的，那么这就是 x 值，那我距离求 ab 的 值还差一点，还要加三，所以 ab 等于 x 加三。最后直接约等于二十二节课啊，约等于二十二节课，因为根号三取的是一点七。那有同学说，哎呀，老师我这样写会不会啊？扣分，如果同学们害怕扣分，在这里可以再带一步， 五加八倍根号三加三等于 五加八，乘一点七加三，直接出约等于二十二 即可。最后的答话一定要写啊！最后答话咱们一定要写，那么本题中，呃，还是需要再添一步，因为在 x 减三倍根三的时候，它是一个分式，所以我们中途这边在解得这里，老师用一个其他颜色的比插入， 一定要给他写得一个经检验， 经检验 x 等于五加八倍根三是圆方程的解，在这里一定要加入一下，因为这是一个分式方程。那最后别忘记写大花， 别忘记写答话就可以，答话中是约为约为好。那么本题我们就讲解结束了。

这是一道速成题，你看有同学都不会，咱们今天把这个讲讲，争取讲这一个，这种题你这辈子就都会了。是二二年还是二一年？二二二二二年的，咱们从头看看这个题都考的什么。说 a b 的 顶部有一座通讯塔， bc 这个通讯塔，最后就求 bc 呗，求 a b 那 个 abc 同一直线上，从 p 处测得到 c 的 阳角是四十二度，人家给你标着了，然后呢，测得到 b 的 阳角是三十五度，三十五度，现在 bc 的 高是三十二， bc 的 高是三十二，让求 ab 的 长，这意思吧。那这个题你首先呢？ 这题考了三角函数，你得明白三角函数干啥吃的。咱们学这个三角函数，一定都是建立在直角直角三角形的情况下， 以前你在八年级的时候跟那个勾股定力是干啥用的？三边的三条边的关系，你知道两边学第三边，你知道一条边的长得十，你还知道他俩相差二， 比如说你知道两边的长，可以求第三边，你知道两边的关系及一条边，你是不是也可以求另外两边？就当年学的股股定律是三条边的关系， 你再往前退，发现上期学三角形的内角和，我们就知道了直角三角形的两个内角互余，这是三角形角的关系。 到了九年级，这个知识它得上升一个高度。就是当我知道一个角是阿尔法，一条边是十的时候，也可以求其他的角和其他的 边，所以所谓三角函数是来权势直角三角形的边角关系。当然这里所谓的边角关系，这个角指的是这两锐角， 所以你那本书上那一张叫锐角三角函数，那怎么个边角关系呢？所谓三角函数不就这三种吗？我们举个例子的塞尔阿尔法是这个角的正弦，正弦，正弦就是正对着的边比正比比弦 是吧？也就是说，我通过这个 sine f 解决的是哪两条边的关系？ b c 是 b c 和 ab 的 关系。 sine f 它本来就等于对比斜，是不是？所以在我知道斜边的情况下，如果我还知道 sine f 的 值， 这不就把 b c 求出来了吗？因为这个式子一变形就变成了 b c 等于十乘以三，而不是这个道理。那么与之同理， 在直角三角形中，你知道任意的一个锐角和任意的一条边的长都可以求其他边，其他角设计过程就叫解直角三角形。当年咱们都这么学的吗？ 我就提问一下，我不知道那是十了，我现在同样是这个值，只要多少钱？我知道这个点是 r， 然后现在知道，比如 a c 得八， 我想求 bc， 你 怎么列这个式呢？听我的一个同学坐吧，晚点说好。因为贪进他 r 是 对比零，也就是 bc 去比 a c， 是 不是这个意思？所以说呢，我又把它一变形， bc 就 等于八乘以它的 r， 所以 我在我知道 r 情况下，我用正切 是不去求 bc， 所以 你得去看到时候你那两条边是这个角的什么函数。因为我们学了三种，再 r 是 标个一二三啊，再 r 是 不是一和三的关系，正切是不是一和二的关系？ 然后还有一个 cosine 是 谁和谁的关系？嗯，二比三是二比三是二和三的关系。所以有了这三个三角函数，这三条边两两关系就都通透了，你想表示谁都行，你说关键你八乘 tan 二，我哪知道 tan 二得几啊？给你 人家就算不给你，他有一个三角函数表，你二会得一度、两度、三度、四度、五度，你得多少度？人家都只能直接能查着他是多少。所以说这个你不不是你操心的事情， 这是我们先说最简单的事情，当年三角函数的这个基本知识你得了解哦，他是权势的三边之间的关系。 那么到了中考的时候，这个题又该怎么跑呢？这么多年的中考，其实都是两个小模型的变式，这道题都没变式， 现在他肯定得稍微变一下，哪两个小模型呢？这个此时这个图我们一般称之为，这一般叫母子形，除了这母子形，哎，还有一个长这样的 两个直角三角形背靠背，这是两个角三角形，有一个在另一个里边形象的，称之为母子形背靠背。 当然呢，这个东西也能进行辨识，咱们先不辨识，咱们就说在这个情况下，中考可能会怎么跑？由于有两个直角三角形，所以中考在考的时候，永远他得给你啥， 他得给你两个角。像咱们就说这道题为什么要给个四十二度？因为四十二度是 p a、 c 这个直角三角形的一个锐角，那么你有了这个四十二度 p a、 c 这三条边的关系，你都可以用三角都可以找到。 然后还有第二个直角三角形，他也告诉你了，这个角是三十五度，永远是这样的。当然也可能 咱们中考那一天，他给的两个角是角 c 和角 abp， 反正两个这样算行，他得给你两个角，所以你不用担心锐角的度数，你不知道 这个你肯定是不用担心的。为什么他总考这两个小模型？因为这两个小模型比较简单，你看这两个图都简单在哪里？他叫 a p b c， 咱这也叫 编了个 ab c p， 哎，这两个图形有没有什么共同点？看看 c p， 什么 p c 一 样有一个公共边非常好，你看这线轴很到位。考的这个题啊，都是有公共的直角边， 这两个直角三角形。公共直角边是谁啊？ a n a e 这两个直角三角形，公共直角边是 c p， 所以 当我知道公共的直角边的时候，我就什么都知道了。 我把 cp 放在左边三角形里，是不可以求他俩，右边是不可以求他俩，所以这个公共的直角边很优秀，就这个道理。所以首先 先认识这个比较简单的题，一会咱们再说，如果变式，他怎么变？现在我们拿这道题来举个例子，那你在解决问题的时候也得注意两点，是吧？一开始你看考的哪个后靠背后母子形，它这个图形都是由他俩演变而来， 那么你在方法上也有两种，哪两种呢？我们读完这个题，我第一时间就得二选一。 选什么？这个题是列方程设 x 呀？还是不需要设 x？ 我 们来看这道题，它告诉了谁的长？ bc， 它告诉了 bc 的 长，所以我们就得设 x。 咱们都说过为啥设 x？ bc 一 不在任何地方只有三个条件。 当时咱们说过，只要你知道有两个直角三角形吗？只要你知道任意的直角三角形的一条边的长，你就不用算 x 了。在这幅图里，比如说我的 cp， 我 知道 cp， 我 是不是就能求 pa 了？那我算 x 干啥？我都能求出来 是吧？所以如果考这种母子型，我哪条边的长，我就得设 x， a 只有 b c。 哦，在这幅图里，只有这一条线段不在，这不是只有它那条边， 其他哪条线上都行。我考的是背靠背这本出卷的人得告诉我谁的长，我才需要设 x。 我 感觉你 a b 这幅图里只有 a b， a b 不 在计算，不是只要算一条边，他告我 a b， 我 直接求不了呀。 所以他告我 a b 的 时候，我也得设 x。 这是第一个，是我们要从两个方向上先做出选择，别人就不该设 x， 你 设 x 给自己累累半天。而且这里有一个小细节，如果今年中考要设 x， 那个数其实不是那么难算，你弄好考的，不用你设 x， 那 个数好难算，比如说他一定得有取舍，设 x 肯定稍微难一点点。那么第二个事情我们要注意的。我知道了，对于二二年这道题来说，他告诉我 b c 得三十二，所以我得设 x。 那 么在设 x 的 时候，一般情况下我们设谁是 x？ 对， 一般一般情况下，我们都设公共的直角边是 x， 我们都设公共的直角边是 x。 因为有了公共的直角边，我就可以用三角函数去表示，任意其他线段直接表示，你说是不是这个道理？那同样的道理，如果人家考的是这种题型的变式，我们一般设谁是 x 呀？ c p， 我 当然设 c p 是 x 了，是不是这个道理？设完 x 以后， 我得先在一个直角三角形里去用 x 的 式子表示 ab， 再用含有 x 的 式子表示 b c c， 然后它俩的差等于三十二，方程是不是就列出来了？所以如果是这样的题的话，我知道 c p 是 x， 那 我现在这个小三角形里，他肯定会告诉你怎么了。表示 b p， 在 这边表示 a p， 把式子加起来是不是就得 a b 了？也是也是，能把方程列出来，让咱们规范一下过程。这题其实你计算能力即使很差，比如说我不会算，你到时候都很可能得八九分。正常来说，你只要按格式写， 他这个第一步都得先写。什么？有第一步，一步先由题一得，因为这是第一分啊，你像模拟考试，你不写这第一句话，他肯定扣你一分，不如咱们都得先由题一得。 你看人家可没说哪个角是四十二啊，别说羊角，万一你不认得羊角呢？其实出题人很善良，你不认得也没事，他给你标着呢。但是你写上，比如题一得角 cpa 等于四十二度，角 bpa 等于三十五度，题还得嘛？角 ab 等于九十度，还有吗？ 有，题还在查了，你看他这个 b c 等于三十二。比如说我们把两个直角三角形的直角，以他告诉的角度，还有他告诉的线段长，在第一步都呈现出来，你不用进行详细的证明，有的那个题还 增加个底或者变难一点了。有有，有些题目，但是你不用进行详细的证明，你就说一下就可以了。当然如果有的题需要你做辅助线，比如说有可能你中考的时候，人那个图就给就给成这样， 中间的公共指导边数没给，你是不是自己做辅助线？你要做了辅助线，你第一步就行，你的辅助线做不了，知道吧？如果不需要做辅助线，所以第一步就由题得我们要求， 要求的是 ab 的 长是吧？咱说了，我们一般可以设公共的直角边是 x， 所以 我可以假设 a p 长为 x， a p 长为 x， 那 是 米。然后我现在想先表示谁啊？说 a k 可以， 比如说我先表示 ac， 那 么我就得说清楚，在 a p 三角形 a p c， 那 么我就得说清楚，在 a p 三角形 a p c 中， pa 和 ac 的 关系应该是这个四十二度的角，是不是对比邻呢？所以说我们用的是三进的角 cpa， cpa 等于 ac a 以上 a p。 先把这写上，下一步再代数变形就是这个东西是一分，你写出这个三角函数，这个标点形的边角关系，这是一分，你变形得的是第二分。变形的时候你再代数怎么样都可以了。我们要表示的是 a c， 所以 我得把这个式子变成 a c 等于 什么？ a c 等于 a p 乘以啊，这时候你把数带不带进去都可以。 我说我现在带你摊进角 cpa， cpa 不是 四十二度吗？然后应该是约等于。 题里告诉了摊进的四十二度是不是约等于零点九。所以我们严谨意义上讲，这块是不是得写约等于号，如果你代数， 所以它约等于零点九？ x 问题吧。我表示完了 a c 以后，接下来我们该运用第二个小直角三角形了。刚才不用的大直角三角形吗？那我用小直角三角形是想表示谁？嗯，表示 a b， 再表示的 ab， 所以 说这写了在 二 t 二 t 三角形 a b a p b 中，这回过程我找了一个人说速算三角形 a p、 b 中摊进去角， a p b 等于 a b 比它 pa 正好，然后请坐，然后我们再变形就可以了，把它变成 a b 等于 a p 乘以它近它三十五度，然后我把它近三十五度的值，它是约等于零点七，所以我带你来，它约等于零点七 x 是不是现在已经得了很多分了？你光写个 u t 得都得一分这两分，这是两分，你已经得到五分了。然后下一步我们是不是就可以列方程了？哎，这两个都表示完了呀， b c 不 得三十二吗？ 所以接下来就可以列方程了，零点九 x， 零点九 x 减去零点七七， x 等于三十二，所以我们求出来 x 应该等于 一百六，是吧，就得一百六了，但是现在还没完，因为人家让求的是 ab 的 长， ab 不 得拿，它还得乘以七最后一步，所以 ab 应该等于 零点七乘零点七，零点七乘以一百六等于零点二。一百一十二。放几个答话，答话的时候也有一个小细节，你得说 ab 的 高度约约为 一百一十二米，那你就得满分了。说一下，这个题比较善良，很多时候你在中考的时候，有可能你算完了，等于一百一十二点一，一百一十二点二， 有可能啊，可千万别忘了一个小细节，给我取整数，因为这道题你算它正好的幺幺二，即使你没看见这个，你也得幺幺二。所以说你千万得看好了，捡一个细节，比如说啊，你瞎编一个，比如说有的题 你可能求完了，你到这 a、 c、 m 不 得表示吗？有可能啊，你表示完了，不是这道题你讲完了，我是跟你说一个细节， 有可能你的 a c 表示完了，等于 x 比上零点一二，很多时候都有这种效果，这时候你就先别折腾它了，因为 你写这个式子一分变形带路是第二分，万一你把这个一整理，你错了，这一分他没法给你，明白吗？你给我举个例子，我瞎编的，不是要求，比如我 a c 表示完得这个， 那个，这个表示完了，得 x 除以零点三四，够恶心了，我就把它摆在这就行了，我已经带入了我，然后我列方程的时候拿这个减这个是不得三十二， 我现在方程也列对了，我已经得到第八分了，即使我 x 求错了，我就扣一分，但是你在这边要变错了，你还得弄往下一步，还弄错了，人家必须得扣你一分，明白这第一个细节吗？明白是吧？ 这是到这说这道题现在啊，即使模拟考试，他都有可能比这个题他都可能难一些啊，比如在这给你加个底 是吧？这题让你求的是 ab 是 吧？人家可能底下还还有一层了，人让你求 b m 就 吓着了，你不再加个这个就完了吗？是吧，你只要认清哪个是这道行都行，对不对？还可能再难一点， 我这个 c 不 在上面，也是两个直角点，就当然啊，这个背靠背可以这样变式，它这个母子型也可以这么变式。我现在这俩直角点还有空边吗？有啊，哪有啊，我没了。还有有，这是 c， 这是 d， 这没有空边了。你放心， 虽然没有公共的直角边，他一定会告诉你两条直角边的数量关系，比如说可能告诉你 c c d 得三十，你要设 d p 是 x 不 也一个意思吗？这现在这个是 x， 你 们是不是可以表示这俩去吗？这个是不是 x 加三十再表示这个 你能理解吗？也就说这个题不见得非得有公共的直角边，也可能它有关系的两条直角边。

还在面对三角函数的题目发愁吗？其实呀，咱们初中数学的三角函数呢，一共就这六种考法，那么今天量呢，将从这六大核心板块出发，每个板块我们搭配一道经典的例题，带你一次性理清所有重点题型。那么看完这个视频呢，你会发现全都是纸老虎， 嘿嘿嘿，那么第一个板块跟第二个板块呢，整体来说难度不大啊，我们通过课本甚至都可以搞定。那么第三个，求三角函数，他有可能在选择填空题，有可能在大题里面考察，那么平均水平呢，还是比较适中的啊。 那么从第四个开始，和我们的元呐相似呀，对吧，融合在一起啊，就是我们一些常规的应用啊，整体难度也不大。但是到第五个呢，三角函数 他有可能跟我们的旋转翻折动点相似，我们的圆啊，各种融合在一起，那么整体难度就会变得比较大了，属于几何综合了。那最后一个呢，就是我们中考啊，特别喜欢考的三角函数的应用题了，那整体难度也比较适中，但很多同学呢，可能比较怕他，仅此而已。 首先第一个就是三角函数的定义，比方说像这种他表示的是哪两边之比，你得知道， 比方说给出一个直角三角形啊，角 c 等于九十度，好， tan 币呢，等于五分之十二，好，那我画一个就差不多大概长这个样子了，草图，嗯，好，角 c 九十度就是 c， 好， tan 币，它的对边比邻边啊，对边更大，邻边更小，对吧？所以我们 b 在 这里啊，我的对边比邻边五分之十二嘛。 好，那我们知道 a 点就在这，通过勾股定律，我们可以求出来，这个边呢是十三的，让我们求什么呢？求三，以 a 就是 a 的 正弦值，也就是它的对边比上斜边五比上十三，所以选什么呢？选我们的 b， 选项搞定。 那么第二个呢，就是我们特殊角的三角函数，比方给出三十度呀，四十五度呀，六十度呀，他们的正弦与弦正切分别是什么呢？你一定要非常快速的把它反映出来，那比方说给出一个三角形，告诉你角 a 的 正弦和角 b 的 余弦，巴拉巴拉，满足这么一个等式，对吧？ 请问这个三角形是一个什么形？创，说白了，我只要把角 a 角 b 求出来就可以了。好，那其实你会发现，那这里面是一个平方，这里面是一个绝对值，相加等于零，那不用多说了 啊，你这个框里面为零，对吧？也就是我们知道根号三倍的贪婪的 a， 哎，减三 等于零，所以我们知道，也就是你这个贪婪等于多少贪婪，它是等于根号三的，是不是？你想想 一个角的正切值等于根号三，你想想这个角等于多少度呢？啊？很明显，我们知道角 a 呢等于六十度，嗯， 好，另外呢，我们知道那绝对值里面也等于零，也就是二倍的 cosine b 呢，减一等于零，一样的道理，那这个我们求出来 cosine b 呢，也就是二分之一，一个角的余弦值等于二分之一。如果你说来了这个东西，咋判断呢？其实我告诉你啊， 特殊角他只会出现在两种三角形，一个，还有三十度，六十度直角三角形，一个等腰直角三角形嘛，你想想一个什么样的角，对吧？余弦值是，呃，一比二的二分之一，就是我的邻边比斜边是一比二，那你这个角 b 不 就是这个角吗？对吧？ 所以我们知道这个角肯定是三十度了，你这个角不就六十度吗？对不对？因此我们可以求出来。你说角 a 咋来的呀？一样的道理嘛，你画一个， 对吧？也就是啊，我们这个角 a 呢，它的对边比邻边是根号三的，那就根号三比一，好吧，你求出来这个边是二吗？你角 a 是 不是在这里对边比邻边，所以你有犯一二根号三，很明显这个角也是六十度吗？不就求出来了吗？就如果你能 记住，当然更好，对吧？哎，非常这个，呃，清晰的把所有的这个角度的三角函数值把它记下来。如果你说亮亮我老是忘，或者我不想记，你就索性用三十度直角三角形，或者用四十五度直角三角形的三边比例关系，呃，去怎么样呢？辅助性的记忆它就可以了。 你这个角六十度，这个角六十度，那剩下一个角呢？那当然也是六十度，对吧？所以我们知道角 c 六十度，那因此它是个等边三角形，所以我们选 b 搞定。 第三个，求三角函数。其实这个考点亮亮个人觉得它其实有一点说法的，因为首先求三角函数，它呈现的形式不一样，比方说它可以在三角形中，可以在四边形中，可以在我们这种网格中，对吧？就它求解的这种，呃，题型不一样。另外呢， 求三角函数它的方法也不一样，那不管你是在三角形四边形圆，对吧？哎，甚至在我们这种平行线里面，或者说在我们这种网格里面求三角函数，总共只有三种方法，那我索性在这里跟大家说一下啊。 第一个方法就是什么呢？首先你要看这个角是不是一个特殊角，比方说这个角如果它是个三十度，四十五度、六十度，你想想 你还需要把它放在一个呃，直角三角形中吗？就完全不需要了，对吧？哎，我们可以直接求解我们刚才才提到的特殊角的三角函数吗？好，第二个呢，就是如果你发现他根本就不是特殊角，那不是三十，不是四十五，不是六十度，干嘛？那么此时你就需要做垂线，对吧？干嘛？ 你肯定要把它放在一个，哎，哎，直角三角形中，对吧？用边长比例关系来求我们的，呃，这种三角函数值，那么除此之外呢，我告诉你有个极其重要的方法叫做 怎么样呢？等角转换，就是你让我求这个角的三角函数，对吧？我不，你这个角呢？犄角旮旯的，你这一看就不好处理，这谁求呀？对吧？我把你等角转换一下，我把它转换成我相等的角，我就求那个角的三角函数就可以了。比方说网格里面 它就可以经常用到等角转换的思维，嗯，比方说那在边长为一个单位的正方形网格里面，哎，说白了连接 a、 b， 连接 c、 d， 会产生一个夹角，对吧？好，让我们求角 a、 o d， 哪个角？ a、 o、 d， 就 求求这个角的三角函数，很明显，那它也不在一个三角形中 啊，那它是一个特殊角吗？三十度，四十五度，六十度，其实扭转它也不是的，所以我们要求它，你可以做垂线，对吧？啊？特殊角肯定不行了嘛。你，不是的， 所以你要不做垂线，把它放在一个直角三角形中，你要不等角转换？两个方法，其实我告诉你都可以啊，那在这里面能等角转换的，我们优先考虑等角转换，比方说呢？嗯， 那 c d， 哎，我把它给挪到这里来，可不可以比方这样在这放个屁啊？哎，放个红色的屁，臭死那些听半天不关注我的各位同学们。嗯， 那你想想，我们这是正方形的对角线，这也是正方形对角线，你告诉我这两条线平不平行？一定平行吧？也就是这一条红边， 他一定平行于这条红边，而这两条红边呢？两条边平行，他被我们这第三条边所截了，对吧？因此我们知道同位角相等，是不是也就是你这个角他一定等于我们这个角，我把它标出来，也就是等于这个角， 所以我只要求这个角他的正切值是不就可以了？好，那问题来了，他也说亮亮，那有啥区别？你放在这个三角形跟放这个三角形有区别吗？只不过这个小一点，这个胖一点，大一点，好处理，对吧？嗯，没有什么区别。我告诉你啊， 我们刚才说在网格中求三角函数，除了做垂线，除了等角转换之外，还有一个就是网格中我们经常会利用正方形的对角线， 你用对角线来进行等角转换，你还可以用对角线来构造我们的直角三角形，比方说你是一个等腰直角三角形，咱们知道这个角一定四十五度，对吧？好，我再连一下，你会发现我把 a p 连接起来，那不用说了，百分百会经过地点的啊，其实经不经过都不重要， 你会发现我也是一个大的正方形嘛，二乘以二的正方形对不对？哎，所以你会发现 a p 是 整个二乘以二正方形的对角线，正方形的对角线与边的夹角。那我们知道这个角百分百也是四十五度，那你会发现 两个四数都放一起，这是一个大大的直角哦，你让我求它，我不，我去求它的正值，是吗？而它我们就把它放在 a p b 这样的一个大的直角三角形中了。你的边上不是一个单位吗？你是一，你是一，所以这个边是根号，对吧？哎，你这个边是二， 哎，你这个边是二，所以你会发现咱们用勾股定底或者等腰直角三边比例关系。嗯，所以整个边呢？二倍根号， 所以我这个角的正切值等于这个边二倍根号比上这个边根号，那其实你们都可以口算了，等于几？ 很明显，也就是等于二，对不对选 d。 其实另外我跟大家说一下啊，我们这面刚好可以等角转换，刚好可以利用网格中的对角线来巧妙的构造直角三角形，但如果有的题目你无法等角转换，你无法令对角线，怎么办呢？ 你只能做垂线，该怎么处理好？我告诉你啊，有机会跟大家说下。网格中我不管你怎么样，有一个万能方法叫做等面积法， 有机会跟大家聊，好不好？不管什么样的犄角旮旯的，对吧？一个角度，不管考的有多么玄乎，有多么为难，我们用这个方法百分百可以求出所有网格中三角函数值。 悄悄告诉你，其实这三种方法就是在我们内部系统班所讲到了，所以其实你会发现亮亮在我们内部系统班好像有讲不完的方法，对吧？像这种东西我可以给你拓展很多很多的一些怎么样的小技巧 好，来到我们三角函数几何应用啊，你会发现它是一个非常具有代表性的，对吧？在我们三角形四边形中和我们这种三角函数啊结合求边呐，求角度，求面积啊等等的啊啊，整体难度比较适中，好，给出一个四边形 a b c d， a b c d 好，干嘛呢？ ab 垂直 b， d， 就是 咱们这个角是一个大大的直角。好，然后呢？ bc 平行 a， d 啊，就是 bc 平行 a， d。 我 告诉你啊，就在我们整个几何图形里面，平行线，它往往就是告诉你怎么样呢？等角 啊，百分之九十九点九九九九九九，就这一个问题是吧？哎，就是两直线平行，什么同位角、内缩角，同胞内角会满足一定数量关系啊。 好，现在连接 a、 c、 b， d 啊，连接 a、 c， 连接 b、 d， 会产生一个焦点异，整个图形来说，嗯，不是很复杂。我告诉你，角 b， a、 c 等于角 a d， b， a c 是 哪个角？ b， a， c 啊，就是你这个角，对吧？我换一个颜色啊，比方说这个角呢，我用一个蓝角， b， a、 c 等于谁呢？等于 a d b a d b 就是 等于这个蓝角。 好，先不要走，我们刚才是不是说了，平行往往意味着等角我们还没有用，对吧？你想想，两直线平行 被我们第三条边所截，所以你会发现我们这个角跟这个角是不内错角的关系，你是蓝角，所以咱们知道这个角也是个蓝角，哎，我们把能求出来的角把它给标出来，嗯，两个蓝角相等，好吧，其实我们这个角 还等于这个角，但这两个角呢，它好像跟蓝角也没有关系，对吧？好，那我们就先过了。好，现在我告诉你。 tan， 一 a d b 等于二分之一， a d b 是 哪个角？ a d b， 哎，那首先我就令这个角是 ar 法，所以你这个条件就相对告诉我， tan， 一 ar 法等于二分之一啊，大家一定注意，我们刚才讲到了等角转换，对吧？你这个角的正切值二分之一，那我们这个角，对吧？我所在的这个直角三角形，这个边比这个边也是二分之一， 包括如果你待会把这个 a r 法锐角，你要是把它放在一个直角三角形中，我的正题是也等于二分之一，好，继续往后， a e 呢，等于二分之三倍的根号五，就是哪条线段，哎，告诉我们，这个斜边， 就咱们这个边呢，是二分之三倍的根号五。好，其实在这里面我跟大家说一个口算的小技巧，像这种题目我一般都是直接口算的，我待会告诉你怎么做到的啊？ 比方说第一个题目求 b d 的 长度，求哪个边？求这个边，对吧？就在正常情况下，很多同学说，亮亮，你看看这个 a r 反正截值二分之一，所以我这个 a r 反正截值的也等于二分之一，对吧？啊，所以这个边比这个边，哎，是不是一比二呀？那我令你是 x， 可不可以 这个边 x， 那 你这个边是二 x， 可不可以？可以吧，所以你犯在整个直角三角形中你的平方，嗯， 加上你的平方，嗯，他一定等于什么呢？一定等于他的平方对吧？你可不可以把 x 求出来我告诉你一定可以，但是 我个人觉得这个方法特别的慢慢很标准啊，你考试得这么写，但是太慢了，有没有稍微简单一点，快一点的方法呢？比方说啊，尤其是在我们选择填空题的时候该怎么处理大家一定要注意啊。 一比二的直角三角形，它也是一个特殊的直角三角形，就是在这里面讲到你会发现它不只是这个题目啊，它在很多题目里面都会用到。比方说呢你这个边是 x 这个边是二 x 好 不好， 大家不要觉得这是三十度啊，你要是这么讲的话那量就崩溃了啊。你这个边是二 x 对 吧？哎，这个我们是一比二关系，你才是三十度啊，我们直角边一比二他不是任何的特殊角好不好？好，那问题来了那这个边等于多少呢？ 这边你们估不定的求他是根号五倍的 x 也就是如果一个直角三角形，两直角边是一比二的斜边一定是根号五，说白了就是我的斜边一定是较短直角边的根号五倍这个东西有什么用呢？我觉得特别重要啊， 他在我们很多的相似呀。呃，三角函数，直角三角形，他经常会出现，这个边是四这个边是八，我是不是你的二倍，所以斜边一定是他的根号五倍，所以四倍的根号五。 明白了没有？好，那反过来如果有听我说同学们呐嘿嘿嘿说起来怪不好意思的啊，这个斜边等于四倍根号五，现在我告诉你，这两条直角边呢，是一比二的关系，那你告诉我，请问这个边等于几？ 一比二嘛？所以从这个边到这个边，我们是乘以根号五，对吧？那反过来呢？从这边到这个边呢，你得除以根号五，是不是四，是不是很快？我们是一比二的关系吗？我不就是八吗？对吧？所以我们这一定是一比二，比根号五， 对吧？也就我一定是你的根号五倍，你直接用它除以根号五，那 x 是 不是出来了？所以你看整个 b 长度等于多少呢？就是你除以根号五是二分之三，所以我们可以求，也就是这条边的长度呢，是二分之三，那这条边的长度呢？ 你会发现，我们可以非常快速求出来，也就是三，对吧？那剩下的，那这个角所在的直角三角形挠一边， 一比二，所以你会发现这个边呢，它是不是等于六呀？ b、 d 的 长度是你的二倍吗？搞定了，所以其实你会发现，我们用这个结论来处理我们的第二问，他也会比较快。现在我告诉你什么呢？ b、 c 等于根号五，也就是哪个边这个边是根号五的，对吧？让我们求谁？求 c d 的 长， c 里求这个边，这太简单了，好过 c 点直接往上。因为为什么呢？ ar 是 个锐角，我知道它的三角函数，你说你如何把一个角的三角函数用上呢？当然把它放在直角三角形中了，最常见就是做垂线，对吧？比方说放个红色的屁，那你会发现 ar 它的对边比上长的直角边，这是一比二了，所以呢，你这个边是不是一啊， 以及你整个边的长度是不是二呀？有没有问题？你这个 x 我 给你擦掉了。这个边是不是二，有没有问题？这个边是二，所以你会发现，那我们刚才说呐，世界上没有无缘无故的爱恨，也没有不明不白。第一小问，整个 b d 等于六，所以我们知道这个边呢，是不是四哦， 在这个直角 p c， d， 它是个直角三角形嘛，四一勾股定律，根号时期。所以其实你会发现我们需要打草稿吗？完全不需要，对吧？嗯，非常简单，搞定。 好，那么接下来来到我们的几何综合，我们刚才说经常跟我们的翻折呀，旋转呀，什么三角形，四边形，对吧？动点问题啊，相似呀， 圆呐啊，各种来进行结合啊。我觉得这个题就是一道比较具有代表性的题目。首先给出一个矩形， a， b， c， d 啊，大大的长方形了。好， e 是 ab 的 中点，也就是告诉你这条边等于这个边，对吧？ 哎，你是个中点。嗯，两条线段相等好， f、 h 呢，分别是两边上的点， f 在 这里， h 在 这里，好像没有什么特殊性，但我告诉你， ab 等于 b， f a b 也就这个边呢，等于这个边啊，就是我们两个边相等的。好，我们先放下这个条件，我暂时没有用上， 我把它框起来啊。好， d h 等于三倍的四 h， 你 没完没了了，就这条线呢，等于它的三倍。行，我忍不了了，我令你是 x， 好 吧，我就是令你，这个线段呢，是 x。 喏，所以我们知道这个边一定是三 x， 没问题吧？整条线呢，是个四 x， 所以你是不是也是四 x， 对 吧？哎，包括我是不是也是四 x， 为什么呢？ a b 等于 b f 嘛？你是四 x， 所以 咱们也是四 x， 你 是个终点，两条线段相的，所以你是二 x， 以及你呢，也是二 x。 好， 其实你会发现，在这面我们可以得到一个什么，它肯定是个直角三角形，对吧？也就是我们可以得到一个一比二的直角三角形。你看，跟我们上一题讲的是不一样的， 所以你发现这种直角边是一比二。直角三角形在我们整个几何题目里面出现的概率极其大。好，现在把这个三角形沿着 e f 啊，就是把这个三角形翻一下，翻到这里，使得这个 b 点呢告落在了 g 点位置。好，现在让我们求什么呢？ 你发现这个题目我们都不知道可以求什么，对吧？他突然蹦出来，那么 h g 比上 a g， h g 是 这条线段，比上这条线段，该怎么处理呢？这个题看起来好像让人感觉蒙蒙的，对不对？好，其实很简单， 如果我们令这个小小的角等于 a r f， 那 你会发现我在一个二比四啊的直角三角形中，也就是我们的正切值等于二分之一的。 好，我们知道，那你把这个三角形翻过去，所以我们知道这个角呢，一定也等于 a r 法，对吧？好，接下来 你让我求两边之比嘛，我只要把这条线段以及这条线段用 x 的 式子把它表示出来就可以。那怎么表示呢？我们当然用到这个 a r 法所在直角三角形的边长比的关系。好，那注意啊，在正面，我索性带你们快速的推角，比方说，各位同学来告诉我。亮丽， 我们知道这个角是 ar 法，这个角是 ar 法，请告诉我，那这个角度我们可不可以把它给求出来？有了这个咋求呢？好，那我们索性背一点啊，用最憨的方式。你这也是直角为什么翻过来的嘛？ 你这个角是 ar 法，所以我们知道这个角是不一定是九十度减去 ar 法。同样的，你这个角是 ar 法，所以这个角是不是也是九十度减去 ar 法没问题吧？ 所以，因此你会发现，喏，整个大角是一百八十度，我减去你，我减去你。所以剩下你会发现，我们这个角多少度？一定是二倍的。 ar 法 还没完，我们还可以求出哪些角呢？注意，我们是把这个三角形翻过来的，你这个边是二 x， 所以 我们知道 e g 这个边呢，它的长度一定也是二 x， 对 吧？也就是，喏，这条线呢？二 x 这条线呢，也是二 x， 所以 它是不是一个等腰三角形？喏，请问一下， 一个等腰三角形的顶角是二倍的 alpha， 请告诉亮亮，那我这个等腰三角形的每一个底角等于多少度？也就是我们这个角可以求出来吗？很明显，对吧？ 哎，你用一百八十度，我们减去顶角二倍的 alpha， 我 们再除以二了，所以你会发现， 那这是不是很笨的方法，所以我们求出来等于多少？等于九十度减去 arf， 对 吧？哦，就是你这个角呢，等于九十度减去 arf。 好， 接下来我请问，那各位同学，请告诉亮亮，我们这个角可以表示出来吗？ 一个大的九十度角里面拿走它，所以剩下这个角一定也是 arf， 对 吧？哦，跟我们下面这个蓝角是完全相等的。好，接下来我把其中的干扰条件把它给清掉， 那么整个图形就大概长这个样子。好，那问题来了，我们这个线段 h g 和我们线段 a g 该怎么表示呢？好，我们一个一个来，比方说先拿矮的嗯 做作为突破口，先求 a g。 啊，这个 a g 怎么办？你会发现这是一个等腰三角形，我的两腰是二 x， 顶角呢，是你这个 a r 的 二倍，我可不可以通过边长以及这个角把整个底边求出来？ 好，求，为什么呢？你只要过顶点往下做垂线就可以了，这么做垂线有什么好处呢？首先等腰三角就有三线合一的性质，你把整个二倍的 ar 平分，也就是我们这个角呢，其实就是我们熟悉的 ar 角， 而我们知道 ar 所在的直角三角形，它的较短直角边比上较长直角边，一定是一比二的关系。那现在我们知道斜边是二 x， 如何求较短的直角边呢？大家记不记得 从较短边到斜边，你乘以根号五，所以从斜边到较短直角边，你只要除以根号五就可以了，也就是我们这一条线段等于多少？ 这条线段一定是等于挠，也就二 x 除以根号五的，对吧？也就是等于怎么样？五分之二倍的根号，五 倍的 x。 而我们知道等幺三角三线合一吗？你过顶点往下做垂线，除了平分顶角之外，还平分整个底边，对吧？ 所以这条线段等于这条线段，因此整个 a g 呢，等于它的二倍，也就是我们的 a g 等于多少？等于你的二倍，也就是五分之四倍的根号五 x。 好，那我们剩下的 g、 h 怎么求呢？很简单，这个角大家不要忘了，它是不是在我们 a、 d、 h 这个大的直角三角形中， a、 r、 f 所在直角三角形，它的两边之比，对吧？较短直角边，比上较长直角边一定是一比二的，你是三 x， 所以 我们知道这个边一定是六 x。 好，一样的道理，一比二的直角三角形，斜边呢，一定是较短直角边的根号五倍，也就是我们整条线段 a、 h 的 长度等于多少？你的根号五倍，也就是三倍的根号五 倍的 x。 好， 现在我们已经拿走一段了，这段等于多少呢？等于五分之四倍的根号五。所以剩下我们这个 g h 的 长度等于多少呢？ g h， 我 们只要用整个长度三倍根号五倍的 x 减去你这个，对吧？五分之四倍的根号五 x， 所以 我们求出来等于五分之十一倍的根号五倍的 x 就 可以了。 所以最后你会发现 h g 呢，等于这么多， a g 呢？等于这么多，我用它比上它，也就是用五分之十一倍的根号五倍的 x， 比上那这个五分之四倍的根号五倍的 x。 那 最终你会发现，那这里面很多东西呢，我们都给约掉 x x 干掉了 分母分母根号五根号，所以最终你只要用十一比上四就可以了啊，所以我们的答案呢，等于四分之十一选 b 搞定。当然了，这个题的标准答案呢，也给大家展示一下，你们可以对比一下啊，就是量的方法和这个标准答案的方法，你们更喜欢哪一个 好？第六个，三角函数的应用题，这个可以说是我们全国绝大多数地区那必考的一种类型的题目了。你像我们以前还喜欢考什么仰角、俯角呀，方位角呀，什么坡度的问题，对吧？但现在慢慢转化成什么呢？跟我们的实际生活结合起来了。比方说水龙头， 哎，这个行李箱对吧？还有纽曼各种什么自行车，对吧？呃，包括我们之前讲过的高锰酸钾制氧气那个玩意都出来了，包括纽曼。这个是什么？这是我们教学楼平面一个视域图啊，让我们求这个高度，哎，那么整个题目呢，我们把它简化一下，它大概长这个样子，好， 那么如图一呢，是我们学校平面视域图的一个展板啊，就是在这里，对吧？哎，比方这是我们的教学楼呀，食堂呀，图书馆呀，呃，还有网呸，实验室呀， 好，我们简化一下，比方说呢，它是一个学校平面的视域图展板啊，就大概长这个样子，对吧？我们这个学习小组呢，想要测量此展板最高点到地面的高度，他们绘制了图二的一个侧面的， 呃，展示图，他这个洁面图就把这个板子呢侧过来啊，他大概长这个样子，说白了就是想测这个点到我们这个底下的高度，对吧？你拉个尺子一量，其实就很简单了，但是呢，他不，嗯， 我们学了三角函数，我们得把它用起来，对吧？嗯，为难为难。大家好，现在我测了 a、 b 等一百二，就哪一个？就这条线段是一百二十厘米。 好， b、 d 呢？等于八十。哪个呢？啊？就是这条线段，我把它标出来吧，就是这个红色的边，它等于多少呢？等于八十，我就不带单位了好不好？甚至我们知道这个蓝色的线段等于多少呢？这条蓝色的边它等于多少？它是等于一百二的啊，我刚才没有写好把它标出来。 好，现在问题来了，我要开始告诉你了，嗯，这个角 a、 b、 d 等于九十度，你确定吗？这个题其实你有办法特别偷懒啊，这个角很明显是个大的钝角，对吧？大家，不，我告诉你九十度， 那他就是九十度。好，现在我告诉你， b、 d、 q 等于六十度， b、 d、 q 就是 哪个角呢？就咱们这个角对吧？啊？就这个角，它是六十度角，这个角我们还能接受，是不是？好，六十度角 啊？大概在这里能看到不？好。底座四边形啊，为矩形， e、 f 等于五，就是底下呢，是一个长方形矩形，对吧？然后呢， e、 f 等于，就是这个高度，五啊，就是这条边是五的，我把它写在这里啊。 好，那么让我们计算结果精确到一厘米，参考书里根号等于根号，哎，包括这个根号三，好，第一个，咱们把点 b 到地面 p、 f 的 距离， 就是 b 点到我们整个地面的距离，那其实很简单了，是吧？你这个已经是五了吗？所以接下来我们需要做的是干嘛呢？就是我们只要知道你这个 b 点到我们这个 q、 e 是 不是到你这个 小长棒上面的距离就可以了。好，它大概长这个样子，对不喽？大概长这个样子，对不喽？这是个直角，对吧？而我们知道呢，你还有六十度，这个就不用说了，那肯定就是含有三十度直角三角形，我们知道 三十度数对直角边等于斜边的一半，所以你可以首先把这个边求出来，等于多少？这个边一定是四十，对吧？你的一半吧。嗯，所以这个边等于四十。那剩下这条边呢？ 你不管用勾股定力，还是用特殊直角三角形三边比例关系来求，这个边都是四十倍的根号三，没有问题吧？ 所以我们这个 b 点到整个地面的距离呢，就是你这一段，再加上这一段五，也就是怎么样呢？四十倍的根号三， 再加上五，对吧？好，最终呢？呃，你要精确到一厘米，所以我们必须得把它算出来，根号三是一点七三，好，我们再乘以四十六八，六十九点二，加上五，七十四点二啊，七十四点二，那最终呢？约等于多少？精确到整数，对吧？嗯，七十四厘米， 好，单位，我们就直接把它放在后面了。第一步，搞定好接下来这个题目，你会发现，哎呀，好吧，算他有良心啊，他本来是九十度，对吧？好，现在干嘛呢？其实也没有良心，你会发现 他从九十度增大到一百零五度中哪个角？ a、 b、 d 嘛？你好，他给个九十度角呀，你这个也不是九十度，好吧？好，问这个最高点 a 到地面的高度增加了多少？其实我想问一下，增加的高度是哪一部分？ 我问一下你这个，你这个蓝色的线绕着 b 点转来转去，转来转去的，你这个角度变来变去， b 点到整个底下高度，你这段高度变不变，永远不变，对吧？ 所以你只要求一下，你原来九十度，你的高度多少？你的一百零五度高度多少吗？好，我们首先求什么呢？比方说，如果你是个直角九十度好不好？那么你 a 点，我们就要求这个 a、 b 之间的高度差就可以了。好吧，哎，把它给求出来，你想想，嗯，咱们这个角是不是三十度，大家记不记得？嗨，我们就这么说吧。呐， 因为这条线跟这条线平行的，你是六十度，所以我们知道这个角呢，一定也是六十度。我写的比较小啊，在这里大家能看到吗？ 这个角百分百是六十度，对吧？好，如果你 a、 b、 d， 它是一个九十度角，你拿走六十度，所以我们知道第一种情况呢，也就是你这个角它一定是三十度角，对吧？三十度角，而我们知道三十度数对的直角边呢，一定是斜边的一半，所以此时这个高度呢，是六十， 没有问题吧？哎，如果你是一个直角，你别管啊。嗯，这个 a、 b 应该长这个样子，对吧？我们就利用不太标准的求出标准的，我是你一半，此时 a 点到 b 点，这个数值的高度差是六十。 好，那现在我增加了多少呢？我就是看看在这个六十呃，厘米的基础上，我的高度是多少，减去六十就可以了。好，现在我想问一下，如果我增大到一百零五度，你这个角是一百零五度，对吧？你拿走六十度，所以请问此时这个角一百零五减去六十，你这个角会变成四十五度吗？ 好，那你就不再是六十了。是什么？你这个等腰直角三角形了。等腰直角三角形斜边是一百二啊，所以你不管用勾股定律，还是用特殊直角三角形三边比的关系高度呢？六十倍根号， 那你本来是六十，对吧？本来是六十厘米，现在变成了高了六十倍根号，所以我们的高度增加了多少呢？你只要用我们后来的高度六十倍的根号，我减去六十就可以了，对吧？好，在这里面等于多少呢？ 根号是一点四一四吗？就是六十乘以，提个六十出来，根号减一，对不对啊，根号二约等于一点四一四，把一点四一四带进去，所以也就是怎么样呢？等于六十乘以一点四一四，减它呢？就是零点。呃，零零点怎么样呢？ 四一的，对吧？所以再乘以它等于多少？等于二十四点六，所以我们怎么样最终取整？精确到，精确到一厘米，大家不要忘了，所以它约等于二十五厘米，最终作答我们就不再说了啊。搞定 好，相信通过这六大核心板块的梳理呢，你已经对初中三角函数有了系统的掌握，那么今后在考场上，无论题型如何变化，你都能够一眼看透考点，精准作答，一分不丢啦。当然啦，对于我们今天这个配套的资料，亮亮也给大家整理好了，然后来提升自己，跟着亮亮无脑学习。

呃，音乐先给关掉，这样子，呃， ok 了，好， 然后，呃第十七题先讲第十七题。好，先看第十七题。 如图，一人长为九厘米，密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度 b m 等于七厘米。 将此这方题放在坡角为凹角斜坡上，此时水面 m a 恰好与点 a 齐平，其主式图如图所示，则 tan 角的 a 等于多少度？现在我们先看啊， tan 角的 a 就是 角的，这是吧？ 那么这个上面哪些与 tan 的 a 角是相同的呢？对吧？因为这边和这边是平行的，有他这个和这个平行的，这说明什么？ 这个说明，哎，这个角和这个角是相等的，那么 tangent a 不 就等于 tangent a， tangent 的 alpha， 它不就它，它不就是等于说 tangent 的 角这是多少 dna 嘛，对吧？那既然都这样子了，那么我们先看题目有哪些条件可以求出 a n 和 d n 和 d n 的 哦？应该是求 d n 和 d a 啊，求 d n 和 d a。 好，我们先看条件，他给的条件是能长为九厘米，能长为九厘米，由其中 bm 等于七厘米就是 bm， 这等于七嘛？七由这个为九九。 那其实看他这个图，其实是体积是不用算的，你知道吧，他这个只要算很洁面的面积就行。那好，我们先看，因为我们都知道他这个无论他怎样摆他这个两个面积，他这两个四边形很洁面的面积其实是相同的，比如说 s s 四， 我们记记的写 s 四啊， b m， d c， 对 吧？它就等于 s a， b c n， 知道吧？那既然都讲这么细了，你们可以看到 它这个面积公式是什么？是怎么求的呢？比如说你看这边是它这个四边形的，就是七乘九， 对吧？有他中的就是底乘高，就是对对，上底加下底乘高除二，上底加下底乘高除二，这个是标准的求梯形的面积公式，这不是垂直的，比如说我们可以，那么也就说 ab 加 n、 c， 我 再乘一个高，高是多少？ bc， 我 再乘个乘个二的负一次方， 对吧？我 b、 c 等于九啊，九二分之一，呃，因为它面积都相同嘛，对吧？所以这个七九六十三，六十三，六十三，打个淘宝六十三看着 六十三等于啊。 ab 加 nc， ab 加 nc， 对 吧？乘 bc 乘你二的负一次方， ab 加 nc 是 多少先不知道，这个是不知道的。 ab 是 等于九对九，九加 nc， 九加 nc， 九加 nc， 我这边用橡皮给它去掉，橡皮在那，橡皮在那，橡皮在这， 这边先给去掉。我不好讲， 我看着九加 n、 c， 对 吧？有这 b， c 多少？ b， c 是 九啊，再乘九，然后乘二分之一， 然后也就说九乘二分之一是四点五，九加 n， c， n， c 四点五等于六十三， n， c 就 就是九加 n， c 等于六十三，除以四点五是多少？六十三除 以四点五等于十四到等于十四，一加 n， c 等于十四， n， c 不 就等于五吗？ n， c 等于五， a、 d 它就等于五。有 tangent 的 诶，它这个讲的是它是个正方体容器啊，所以这边不就等于四吗？这边不就等于九吗，对吧？ a， d 等于九， a， d 等于九吗？然后 d、 n 等于四。因为我们上面已经说过了，那个它这个天正的 l 法，它是等于天正的 d， a、 n 的， 而胎而胎监的 d， a、 n 是 多少？胎监的 d a n 它不就是，它不就是 d n 比 ad 吗？那 d n 我 们求出来的 d n 是 等于四， 所以就等于四比九。所以胎监的 alpha 它就等于四比九，四分九分之四，等于九分之四。 多简单，九分之四。

同学们好，咱们现在接着讲解中考数学模拟题的题型。呃，那么今天讲解的是三角函数的实际应用，三角函数题是咱们中考必考的一个知识点。呃，这道题咱们之前在天空选择题里边也讲过。首先做三角函数题，咱们要会数形结合， 首先就是读题，就是读懂题意。读题之后他有一些的线段的长度或者是角度，咱可以给标注出来， 然后构建 rt 三角形，用三角函数就可以解题了。大家在做题过程中会有一些细节问题出现，咱们边做边讲，然后大家看这个细节体现在哪里。首先在读明白题之后，大家看 o 距地面 a c 高度是六十米，那么也就证明， 比如这显示 m 吧，我延长啊，我简单写一下步骤，延长 c， 嗯， c e 交 o f 于点 m， 那比如说这个是 m 的 话，现在咱就知道 c m 是 等于呃，六十米的。有同学说这是哪来的呢？因为他说点 o 到地面 a c 的 高度是六十米，也就是 o 到地面的高度，比如说这是 n 吧， 就是 o， n 是 六十米。那做题的时候可以直接这么写吗？当然不行啊，咱们做题的时候，辅助线做完之后，比如说过点 o 做 o n 垂直于 a c 于点 n， 咱们接下来说由做法可知， 由做法可知，或者是由做法可证。四边形 o n， c m 是 矩形，大家不要忽略这个细节啊，这个细节像我用黑笔给它圈起来， 这是第一个细节，就是说你如果不证明它是矩形，你后边，嗯，这个证明这个四边形 o n， c m 是 矩形啊，如果你这个这个不正出来的话，你直接去用这块这个知识点，他会有一些步骤上的欠缺啊。所以说这是第一个细节问题，要注意下一个。咱们把题读懂之后要会标注，既然这个角度非常明显了，咱可以由题可知，这个角 e f m 等于六十度，然后角呢？ f o e 等于三十度，咱根据外角和内角的关系就可以推出来。角 f e o 也等于三十度， 它等于角 f o e， 那 么等角对等边的，我就可以推出来， f o 和 f e 的 长度是相等的，题中已经说了是二十四米，因为题的已知说了啊， 然后再根据这个角 e f m 等于六十度，咱就可以推出来这个。嗯， em 的 长度 就可以求出 em 的 长度啊。当然，他让你求的是 ab 和 c 的 之间的距离， ab 和 c 的 之间距离不就是 ac 的 长度吗？呃，这个 em 可求可不求啊，但是咱可以求 fm 的 长度，因为 ef 是 二十四米， fm 是 十二米， 咱可以用三十度角所对直角边的斜边一半去求，也可以用三角函数把 fm 等于十二米求出来，因为上边咱们已经证明出它是矩形了，所以说我就可以得到。呃，这个 fm 是 十二米，那么 o m 呢？等于三十六米， 那么因为是矩形呢？所以说 o m 就 等于 n， c 等于三十六米，大家看，也就是说这个第一个点我写到左侧了啊， n c 等于三十六米，咱们解决了。现在你要想求这个 a c 的 长度，咱还学第二步，缺 a n 的 长度。 那 a n 的 长度呢？刚才题中已经知道， o n 是 六十， o n 是 六十，然后这是七十度，咱们可以用六十去比上它的七十， 当然了这个步骤我没想细写啊，就是在 r t r t 三角形 a n 中来解决这个问题。 所以说这样一个简单的三角函数题，它蕴涵了一些知识点的细节，比如说咱们那个读题啊，标角度啊，在 r t 三角形中啊，而且还有那个在做题书写步骤的时候，大家一定要注意，这个辅助线的做法要写出来， 第一个是辅助线交代明确，第二个就证明矩形的过程要说出来，因为你只有证明出是矩形了，咱才可以直接得到 o m 等于 n c， 而且也能直接用 o n 等于 c m， 这是做题的特点。当然第三个知识点要导特殊角度，然后在 r t 三角形里用三角函数去表示一些边的长度，这是咱们基本的知识点。 而且第四一个注意点，第四个注意点还要注意啊，就是他最终要求精确到一米，精确到一米的话，那就要保留到整数，咱们到最后一遍一步再去保留整数，这样会减少误差，也就是不要带着根号，因为他体重已经给了根号三就等于一点七三了。 所以说这些值得注意的这几小点啊，就是咱们讲每一道题的目的，也是不是一定要知道这个题的结果是几，而是要知道我遇到这样题，我如何去分析，我从几个角度去看， 怎么样才能把这个题逐步逐步一步给导出来，这是做题的关键啊。好，这个题就讲解到这里，大家有什么问题可以随时联系我。

一节课教你从什么都不会直接搞定三角函数，视频比较长，请大家耐心看完。好，我们来看这道题。我们先说正弦三角函数一定是放在直角三角形当中， 有了它之后呢，我们比如说 sine 二法，找到这个角度二法，然后找到它的相对的这个直角边，它对着的直角边比上斜着的这个斜边啊，所以 sine 二法等于 a 比上 c， 那么余弦呢？我们还是找到这个角，然后余弦等于这个角度相邻的这个直角边比上斜边，也就是 b 比上 c 正。切， 我们还是找到这个角，然后呢，知道是这个角的相对的直角边，比上相邻的直角边，我们必须要记清楚谁比谁，当你记住了谁比谁之后， 我们就可以记住这些个特殊角度的一个三角函数。比方说咱们的 sin 三十度， 我们不用特别的去背啊，只要画出一个直角三角形，我们记住它的编织笔呢，是一比二比上根号三。 四十五度的直角三角形呢，它的编织笔呢是一比一比根号二。好，我们来直接就可以写出来看。在三十度先找到这个三十度 正弦，是指的是三十度的对边比上斜边，所以一比上二就是二分之一。 sine 四十五度，我们找到任意一个四十五度找哪个都行，比如说我们找它，那么 sine 四十五度等于四十五度的相对着的直角边是比上我们上下都乘上根号二之后， 是不是就得到了二分之根号二在六十度，我们需要找到的是六十度 正弦呢？是六十度的对的的直角边，比上我们的斜边是不是等于根号三比二，我们也把它记下来了。 ok， 那 接下来余弦 cosine cosine 三十度，找到三十度，与弦一定是这个角度的相邻直角边比上斜边，所以是根号三比二。 cosine 四十五度，我们还用这个四十五度，是四十五度的相邻直角边比上斜边，是不是一比根号二有理化之后呢，就是二分之根号二。 cosine 六十度，我们找到六十度， 我们知道与弦是这个角度的相邻直角边比上斜边，所以是一比上二。好，接下来正切我们还是看见它三十度，我们找到三十度， 正切指的是三十度的相对直角边比上三十度相邻的直角边，所以是一比根号三，有理化之后呢，就是三分之根号三。 tan angle 四十五度，找到四十五度，那我们用四十五度相对的直角边比上相邻的直角边，就是一比一，结果就是一。那么 tan angle 六十度，我们找到这个六十度， 应该是他的相对的直角边比上相邻的直角边，就是根号三比一，结果呢就是根号三，所以我们完全不需要去一个一个背，我们只需要把这两个头记住就可以了。 而且呢，我们还要明白，这个角度不一定是三十、四十五，六十，也有可能是任意的角度，那比方说这个角度是阿尔法，放在直角三角形当中，那么我们就可以知道塞阿尔法，我们找到阿尔法 正弦值应该是阿尔法的相对直角边比上斜边，那也就是 三比五。同样的， cosine alpha 应该等于 alpha 的 相邻直角边比上斜边就是四比五， 那么 tangent alpha 呢？是不是应该等于 alpha 的 相对直角边，比上相邻直角边就是三比四，那好记这个东西有什么用？我们来看这个 题目中说 r t 三角形中角 c 等于九十度，然后呢角 a 是 三十度， 角 a c 呢是根号六，它就直接让我求出 a b。 放在以前，我们如果想求一条边的话，需要用的勾股定律，那我们必须知道两条边的长度才行，但是这么一个角度， 他就直接给到了我们边之间的关系，那我们来看三十度，给你相邻的直角边，让你去求斜边，那我们肯定用的是鱼弦 cosine， 那 cosine 三十度 我们知道应该是二分之根号三，那它等于的是这道题的 a c 去比上我们的 ab， 而这道题的 a c 给我们的是根号六， 所以我们的 ab 呢，是不是就应该等于交叉相乘，再除以根号三，那就是二倍的。 这行三角函数到底是干什么的？他就是给我们提供了一个角度，再结合一条边，我们就可以把另外的边和角度都求出来，他的用处就是这个。好，我们继续。 但是如果给我的是一个角度，其他的边并没有告诉我，那这个时候我们要注意它其他的边一定是要有关系的。我们来看这个 rt 三角形 abc 中角 c 等于九十度，角 a 是 三十， ab 呢比 bc 要长。好，我们可以设 bc 是 x， ab 是 x 加四，我们把它标到这里面。 好，现在他直接让我求 ab 的 一个长度，那我们看有一个角度，另外两个边虽然都有未知量，但是他之间是不是有关系， 那我们这个时候也可以用三角函数求解，那我们肯定要正弦值，因为给我们的是相对的角边和斜边， 那么 sine 三十度是不是应该等于 x 比上 x 加四，而我们知道 sine 三十度等于二分之一， 解一下二， x 等于 x 加四， x 就 等于四，所以这个边是四，这个边是八，是直接就解出来了。 好了，我们知道了三角函数的用途，我们来看一看怎么样去处理这个三角函数的一个大体 题目中说啊，这个我们读题的时候啊，不用读那么多，我们只需要把关键信息读好了就行了，看 bc 等于二二幺，我们把它标出来， 然后呢角 a、 c、 b 是 四十五度，角 abc 呢是五十八度，都标出来了，他最后让我求 ab 的 长度， ab 的 长度， 那咱们一定要想到四维是什么？这两个角一定要让他在不同的直角三角形当中，这是我们第一个思维，所以我们的辅助线方式一定是 从 a 往下做垂线，垂足为 d， 是 不是切成了两个直角三角形？那第二个思维呢，我们就是去想一想他们之间边之间有什么样的关系，你会发现 a、 d 是不是既在这个直角三角形里，又在这个直角三角形里，他们是公共的边，而且呢在这条线上，你会发现这两条线相加是不是等于二二幺，所以这个就是两个直角三角形之间的关系。那么我们最后想求 ab， 我们脑海中有这么一个数，那我们去列出两个直角三角形中的三角函数就行了，这是第三个思维，你看都是直角边， 都是直角边，那我们肯定用到的是正切函数。我们最简单的思维，我们可以设这个边是 x， 你 会发现通过 tan 的 四十五度， 它是不是等于 a、 d 比上 c、 d 看见四十五度得一， 所以我们可以得到 a、 d 是 不是等于 c、 d 都等于 x， 那 么既然它都等于 x 的 话，咱们的 b、 d 是 不是就等于二百二十一减 x？ 你 会发现在这个三角形当中， 虽然我不知道 x 是 多少，但是这还有一个角度，那我们只需要列出 find 五十八度是不是等于 x， 比上二二幺减 x 即可。 find 五十八度呢？题目中给我的是一点六， 那我们用这个式子是不就可以把 x 给解出来？那有了 x， 有 了这个数，你想求 a、 b 有了直角边，五十八度相对的直角边，想要去求出斜边，我们是不是用 sin 五十八度就行了？那么 sin 五十八度是不是应该等于 a、 a、 d 这个 x 比上我们的 a、 b？ 你要注意，这个已经算出来了， sin 五十八度是不是题目中也有，那我们非常简单的就可以求出我们的 a、 b？ 好， 接下来我们继续深入 再看这个还是我们三个思维啊。第一个，要让这个三十五度，你看这道题里有三十五度和四十二度在不同 三角形中啊，不同的直角三角形中。第二个呢，我们要找到这个直角三角形之间的关系， 看看他们哪些边是重合的，哪些边是有关系的。第三个呢，就是根据题目中给的关系，列出我们的相应的 三角函数，我们来看还是啊，我们直接看题目中给的有效信息就行了，四十二度，三十五度，看，这个是四十二度，这个是三十五度。 塔高 bc 啊， bc 是 三十二啊，这个小的长的是三十二，而求这座山 ab 的 高度啊，他想求出这个高度，好， 我们来把它放大一下啊，这个是三十二，我们把它记住，我们看底下是一个直角三角形， 这个又是一个直角三角形，你会发现这两个直角三角形之间 a、 p 是 不是它们的公共的边，这就叫关系。 那么 ab 和 ac 之间和 bc 之间啊，这个小的直角边和这个长的直角边之间是不是有一个加减的关系？因为 ac 减掉了 ab 是 不是就是三十二，那么这个也叫关系 好。第三步，列式，既然给我的都是直角边啊，都是直角边，那我肯定列出的要是正切函数 tangent， 那 我们现在比方说我们设 ab 是 x， 那 我们通过这个三十五度，我们就可以设出。你看 tangent 三十五度是不是等于 x 比上 ap， 那么它减四十二度呢？ 是不是就等于 a c a c， 你 会发现是不是等于三十二加 x 比上 ap？ 而我们看一下这道题里面 x 未知量， ap 未知量这边可都是 数字那么两个方程两个未知量这边可都是数字那么两个方程组了。 我们最简单的方式呢，就是把它做一个除法啊，你会发现它的三十五比上它的四十二，是不是等于零点七比上零点九，也就是七比九， 那么这边一消除呢，是不是把它乘上倒数 ap 就 消掉了？等于 x 比上三十二加上 x， 是 不是就已经搞定了解除 x， 所以 思维啊，一定要做好。 好，接下来我们再看，再看，还是一样的读出有效的信息。他说 d、 e 是 三十六，我们 d e 呢，这条线是三十六， 然后 e、 c 垂直什么的，这里面都有标出垂直，然后呢，注意角度啊，注意角度， c、 d、 b 是 四十五度， c， d， b 这个角度是四十五，然后呢，后边 c、 d， a 是 六度， c， d， a， 哦，底下这个小角是六度， c、 e、 b 这边这个角度是三十一度。好，角度都给我们了，最后让我求 cd 的 一个长度啊， cd 的 一个长度以及 ab 的 高度就是它 cd 和这边的 ab。 好， 那我们把它稍微放大一点啊，稍微放大一点，我们注意这里面的一些角度就行了。好，注意看啊，这里面是二十六度，这是四十五。唯一给我的一个长度啊，唯一给我的一个长度是上面这个 啊， d， e 是 三十六啊， d e 是 三十六。 我们看这里边有几个直角三角形，你看啊，是不是有一个， 两个，三个， 所以呢，我们就围绕着这三个直角三角形去列式子就可以了。那他给的信息你要注意，给了三十二，这个四十五度， 那我们要知道这两条边呢，是不是肯定是相等的，这个 bc 和 cd， 因为这是一个等腰直角三角形，我们完全就可以设这两个边是 x。 未知量的思维对于我们做题来讲很重要。好了，那你会发现有了这个六度，我们的三角函数是干什么用的？ 给你一个边，是不是就可以把另外的边给表示出来，这是我们的用途，而且你会发现，结合这边的三十一度，我们有个角度， 这个边是三十二加 x， 这个边是 x， 是 不是就可以利用三十一度去解掉 x 了？好，那事情就变得简单了，我们只需要列出，你看这是两个直角边， 这是三十二啊，这是三十二啊，三十六啊，三十六， 我们这两边是 x 啊，注意，那 tangent 三十一度是不是等于 x 比上 x 加三十六，而 tangent 三十一度是给我的是零点六， 那我们是不是就可以解出 x 了呢？而有了 x 之后，我们如果想，题目中不是让我求那个 a、 b 吗？求那个 a， d， a、 b 吗？ ab 上面有 x， 下面还差一点，是不是需要用到这个六度了？ tangent 六度等于 ac 比上 x， 那 么 x 已经解出来了， tangent 六度又是已知的，是不是就可以搞定我们的 a c？ 好，最后一个也是稍微有一些难度的一个题目， 还是读有效信息啊， c， d 是 六，我们看这个边是六，然后呢 d， c， e 是 三十，这边给你标出来了，给了一些四十五度，还有二十七度啊，然后最后呢，让我求谁呢？先求 d e 的 长啊，先求这个 d、 e 的 长， 然后呢再求出 a b 射塔 ab 的 高度为 h， 然后用含有 h 的 式子表示 e a 啊，表示这个 e a， 那 咱们到这呢，可以边读边去写了，其实这个事呢，是比较简单的，我们来看啊，这里面 c、 d、 c、 d 是 六，我们根据三十度，我们知道三十度所对的边等于斜边的一半，那所以这个边是三，根据比例，一比二比根号三，一份是三，那么咱们的根号三份呢，就是三倍的根号三， 如果这个比例不会的话，可以看看我上一个视频啊，看一下上一个视频，好，第一问，求 d e， 我 们已经求出来了，应该是三。第二问，它 ab 的 高度设为 h 啊，用 h 式子表示 e， a 啊，表示 e a， 你 会发现这边是个四十五度，你可以用三角函数看见四十五度是不是等于 ab 比上 ac， 它念四十五度等于一嘛？所以这两个边是不是应该是一样的，都是 h， 那 么你会发现 a e 的 长度呢？ 是不是就是三倍根号三加上 h， 非常简单的一个事。最后一问，求塔 ab 的 高度，我们来看求 ab 的 高度，那也就是说去解决 h， 我 们到目前为止用的直角三角形是不是用了一个？用了两个， 第三个你还没有用第三个角度，是不是也得让它在直角三角形当中？所以呢，肯定是把它延长出去，人家已经给你做出来了，比如说到 k 点， 那当你做完了之后，你就会发现了。第二问，为什么让你用含有 h 的 式子表示 a e 呢？就是因为 k d， 是 不是它和 a e 是 一样长的，等于三倍根号三加上 h， 而在这个直角三角形当中， 这个直角边是三倍根号三加 h， 那 么这个直角边呢？你会发现是不是等于 h 减掉了三， 那你看这个直角三角形当中，虽然这两个边都不知道是多少，但是我们仅仅只用一个未知量表示出来了， 再结合这个二十七度，那么就可以解除 h， 这就是我们三角函数的应用。所以我们只需要列出贪婪的二十七度是不是等于 h 减三，比上三倍根号三加 h， 而贪婪的二十七度题目中给我的是已知的，所以一定要明白三角函数的作用， 是不是可以织一个边，结合一个角度求出另外的所有边和角？ 那如果一个边长都没有给我的话，而给了我一个角度，那么如果想求另外的边，那一定是把另外的边的关系而给我。什么关系？你比方说就像这道题， 这个边是 h 减三，这个边是三倍根号三，加 h 是 不是都与 h 有 关？那么这个时候再结合特殊的角度，就可以求出我们想要的一个边。感谢大家的观看。

好，我们来看第二题连接， b e e f 射角 e e f 的 r 角，这叫 r 角 角 e b f， 这叫贝塔角，求证，探测的 r 发等于 k b 的 探测的贝塔。 好，在这里面我们如何入手呢？嗯，我是怎么想的呢？首先我们看我的目标，他这的耳法和他这的贝塔，他在图中到底是哪些边 相比？好，我们来一个个的看，因为我们已经知道这是九十度，这个也是九十度啊，在第一节当中知道这是九十度，所以在 l t 三角形 e f 中， 我们知道它借的 r 方等于 e f 比上一个 e f。 比上一个 e。 而在 r t。 三角形 b e f 中，它借它为它应该等于 e f， 比上一个 e f 比上一个 b f。 好， 现在目标要让我证明 k 倍的 它的 r 法等于 r 法，那我现在求分析啊，来分享 k 倍的它的倍，它到底等于多少？因为 k， 我 们知道是 b g 比上一个 bc， 知道了乘上一个 e f 比上 b f。 好， 我们在这里，在这里面看啊，上面的分词比的上这 b e b g e f 哦， b g e f 在 这，哦，在这里面，这三 b g 和 e f 在 这个三角形里面啊，也就是说，那么在这个 r t 三角形 b f g 当中剩下的分母 b c b f b c b f， 它们不是一个直角三角形，那我们在想如何要联系上去呢？ 我们再看啊，因为我们发现了一个角三角形啊，角三角形，直角三角形 b f g。 直角三角形 b f g。 它和哪些三角形是相似的呢？好，我们看 在三角形 l t 三角形 b f g， 它是相似于三角形 l t。 三角形 a e a b f 啊， a b f。 好， 这为什么呢啊？因为角 a， b g 是 九十度啊，可以得到这两个三角形相似。又根据第一道题 l t 三角形 a b f 和 l t 三角形 a， d， e 是 全等的，那我们就可以知道 l t 三角形 b f、 g 是 相似，也相似于 l t 三角形 a、 e， d 当中。 那么这两个三角形相似，我们就可以得到什么呢？ b f 比上一个 b e 等于。 等于什么呢？好吗？等于 b g 比上一个 a g， 那 么我们又知道 a g 是 等于 bc 的， 那么就可以把它它化解成 b f 比上 d， e 等于 b g 比上一个 b c， 是 吧，那么我们就可以得到，我们就可以得到 b f 比上一个 d， e 也是 k， 那 我们就可以证明我们的目标。 好，下面我们来书写过程。 首先，我们很容易正的啊，这一步啊， e 正啊！第二题， e 正三角形 b f、 g 相似于三角形 a， e， d 啊，这个我就不正了啊，这很好证明的。好在 在 l t 三角形 e f 中，我们已经知道 tan 角的 r 法等于 e f 比上一个 d， e 又在 l t 三角形中啊，所以啊，所以 e f 等于 d e 比上一个 time 特 r 放在 l t 三角形 b e f 中，贪婪的贝塔等于 e f 比上一个 b f， 所以 e f 等于 b f 乘上一个贪婪的 r 法好，根据这两个，我们就可以得到什么呢？ e e 乘上贪婪而法等于 b f。 乘上一个贪婪的而法，那么贪婪的而法等于 b f。 比上一个 e 乘上一个贪婪的而法 好，因为我们之前已经证的 b f g 啊，相似于三角形 a e d， 所以 b f 比上 d e 就 等于 b g 比上 a d， 因为 a d 等于 bc， 所以 b f 比上 d e 就 等于 b g 比上 bc 等于 k 好， 那么这一步有 k 代入这当中啊，所以它的 r 等于 k 倍的它的倍，它 啊，在这个证明当中啊，主要利用了什么？一个关键的点，就是相似三角形的笔直问题啊，因为这个图形比较复杂，所以在做的时候一定要注意一下。

我们接下来讲解天津市中考二十二题的高频考点。我们 boss 模型 在这里面的话呢，有两个三角形重叠摆放，它重叠摆放后的样子就是我们 boss 模型，给大家展示一下是这个三角形哎，重叠摆放共这二边 a， c 这就是我们 boss 模型 图形特征，他有公共，他有公共的直角 c。 往后的话，他的一一条直角边是共线的 b， c， d。 共线 a， c 为他的公共直角边都有 a， c。 直边。嗯，往后在这面做题之间的话，先写 b， d 等于是 c， d 减去 bc， 为了引导你自己转换哪个边。 bc 等于 k 一 倍的 a， c。 那 么这道题是贪念的角 c a b dc 等于 k 二倍的 a a c 那 么这 k 二就贪念角 c a d b， d 等于是 k 一 减去 k 二倍的 a， c。 这道题做题的口诀就是共线，先写差比例，带 a、 c 一 步出结果。

三分钟带你通透正弦函数定律，正弦函数，我们来看一下左边这个图啊， a、 b、 c a b c 一， a b 二 c 二， a b 三、 c 三，对吧？那么斜边永远是这个， a 到 b， a 到 b 一， b 二、 b 三，这条弦叫斜边，对吧？这一边呢？ b c、 b、 c 一， b 二， c 二，还有 b 三、 c 三角斜边。当我知道角 a， 比如说等于三十度的时候，我们之前学过什么？在这个直角三角形里，比如说 a、 b、 c， 对 吧？对边比斜边是 一半，对吧？一比二的关系。好，那我们写一下，比如说角 a 是 等于三十度，那么对边是 b c 比上 ab 等于一比二，它还等于谁？那么在 a、 b、 c 一 这个三角形对边是哪个？ b c 一 比上 ab， 对 吧？这个是对比斜，同理，那么 b 二 c 二， b 二， c 二比上斜边是 ab 二，对吧？这是对比斜，那么还有什么？ b 三 c 三， b 三 c 三比上 ab 三，对吧？这个也是对比斜边，那么它们的共同点是什么？ 共同点都是对的。这个定角角 a 等于三十度的时候，这个没问题吧？他无论这个对比斜，他是哪个边，对吧？他前提都是这个定角，这个角 a 的 度数是一定的， 对边比斜边都是一比二，对吧？这个也是，那么在 a、 b、 c 里面也是一比二啊。 好，我们下面来引到这个正弦函数当中，那么在左侧这 a、 b、 c 三角形，角 c 是 直角，对吧？在 r、 t 三角形当中，那么当定角是角 f 的 时候，刚才我们研究的是它是三十度，对吧？是一比二的关系，那么对边比斜边是一个定值的时候，我们叫做角 f 的 正弦是 sine f 等于 对边比斜边啊，可以写成塞 a 等于角， a 的 对边比上角， a 的 斜边等于 bc， 比上 ab， 对 边，对吧？比上斜边也就是角阿凡无论对吧 是怎样，他在这， bc 是 在这这个位置或者在哪个位置，只要是这个角阿凡他是一个定角的时候， 他这个角度是确定的，那么对边比斜边，这个比值也是一个定值啊，它的本质就是在 首先啊，前提这个一定要写啊，在哪个哪个，在哪个直角三角形当中，对吧？定角 sine f 等于对边比斜边，然后这个直是定的，角是定的，那么它的这个正弦， 包括我们后面学的这个余弦以及正弦，它的值也是定的啊，正弦它是对边比斜边啊，然后表示的方法有 sin a， sin r， 或者是 sin 三十度，或者是 sin 角 e， 或者是 sin 角 abc 啊，这些的表示方法我们可以看一下，可以注意一下啊。 接着我们来到最后啊，特殊角的时候，这个度数我们可以单独记啊，方便我们后面进行使用和运算啊。比如说当他等于三十度的时候，我们前面说是多少三三十度是等于二分之一， 他是怎么来的？直角三角形对边是一半一二，那他是多少？根号三，所以三三十度等于二分之一，那么三六十度的时候，对边是哪个根号三？斜边是二， 根号三比二，所以 sine 六十度是二分之，根号三啊，这个是六十度。接下来看右边这个是等腰直角三角形四十五度的时候，对吧？写一下，这个是四十五度，两个边相等，一比一比根号二，斜边就是根号二，所以 sine 四十五度是二分之根号二 是怎么来的？对边是一比根号二，然后我们化简成分母是二分之根号二啊，这个是我们需要特殊记的，也就是给你三十三十度，我可以知道二分之一，三十六十度，二分之根号三，对吧？ 三四十五度是二分之根号二，那么反我反推的时候，比如说他的正弦值，我告诉你他的对边比斜边是根号三比二，你要知道他的这个角是六十度。关注我用白话给你讲透数学。

咱们看这道题啊，这道题呢，难度不大哎，快点。第一个说， d a 等于 d c， d a 等于 d c， 说明这两个底角有啥关系了，相等了，对吧？然后他说以 ab 为直径的圆，经过了点 d、 f 点呢？是直径 ab 上的一点，对 d 让证明啥？证明是角 c 等于角 d 一 b 角 c 等于谁？等于 d 一 b， 会测吗？会测啊，为啥？看见这个弧了吗？ b、 d 弧等于谁啊？等于 b、 d 弧， 那说明他们所对的圆周角有啥关系？相等对，也说明角 b、 a、 d 是 等于角 b、 e、 d 的， 对吧？哎，他俩相等了。而第一 b 题目说了，和角是啥关系？是相等的，那说明这俩啥关系？相等， ok， 哎， d 就 完事了。 然后第二说，如果角 c 等于多少度？三十度，那他三十，那他也多少度？三十，这个呢？都三十，让求谁？求的是 d、 f、 b 的 度数，这个角的， 他这但凡这么问你了啊，这些角肯定什么角？肯定是特殊角，对吧？你不然没法算。 那么这个角你看一下等于啥？一个外角是不等于不，他与他不相邻的内角之合呀，是不是？那你是不是就能想到了哦，他等于水，等于了这两角相加， 对，对，这两角相加，那么这两个角，咱们知道这个是三十度，是不是？那么这多少度呀？四十五度呀？对，为啥看这 a 一 弧等于谁？等于 b 一 弧，是不是两弧相等，说明两个圆周角呢？ 是不是相等多少度了？四十五度，对啊，然后你看这个圆周角数对的弧谁了？是 a 一 弧， 看见没？ a 一 弧，而 a 一 弧数的圆周角有两个，一个是它，一个呢，就这个，那说明这角多少度？对了，四十五度，是不是？所以一个外角等于它不，两不相邻的内角是和三十度加上个四十五度，答案是七十五度， 然后第二个，然后看一下这个，他说如果 d f 等于个二倍根号二，求谁？求 ad？ 是 不是求的是 ad 给的，谁给的是 d f？ 你 看这两个边，你要建立关系的话，它该如何建立呢？ 有人会想说，我连个 b d 连个 b d 的 话，你发现吗？就是 abd 啊，它是三十六十九，是特殊三角形，这没问题是吧？但是问题在于哪？在于说 abd 边长以及 abd 边长和 abd 边上三条边都不知道 是不是只给了谁，只给了 df， 你 一定要跟 df 解决关系，所以咋办？对过 f 点做他的什么垂线垂出为谁了？ m 为啥这样做呢？因为这个三角形上是个什么？对等腰直角三角形。 既然 df 为几，二倍根号二，是不是？那说明 df 和 m f 为几了？一定为二。那么听着啊，这两个长度为二啊，你咋做的？咋做的？ 你不能突然跑来二是不是？虽然你知道答案是二，是不是因为一比一比二吗？那么咱们怎么出现两个方法？第一个， 勾股定律，你可以设 dm 为 x f m x， 那 就是 x 平方加上 x 平方等于谁？二倍根号二的平方来做的，是吧？那么第二种方法呢？那就用到啥了？三角函数了吗？是不是找什么？找这个 角的什么邻边和斜边的关系？那么邻边和斜边关系啥关系啊？不就是个 cosine 吗？是不是？哎，所以用到啥了？ cosine？ cosine 角 fdm 是 等于邻边 dm 比上谁比上个 df？ 哎，总要总要，可以求神，求 dm 还有 m f。 那 这样求完以后呢？啊，咱们知道了，这为几二，这个呢？二是不是关键求神其实是 ad 吧。那你是不是还差个 am 呀？是不是？哎，那方法几个？两个？ 第一方法，三十度所对直角边等于谁斜边的一半，那说明 af 几了。四，再来勾股定律，求谁？求 am 是 吧？这用的啥？用的是勾股定律，以及三十度所对的直角边等于斜边的一半。那么换个方式， 知道了角了，又知道了对边了，求谁？求邻边用啥？那不就三角函数吗，而且是对边和邻边，应该是正切了吧。哎，你的会写过程啊，在二 t 三角形 amf 中， 摊你的角， m a f 等于了 m f 比上个 a m 对， 就等于了 它以它三十度等于个 m f 多少是二吧。 am 等于个它仅三度为三分之根号三， ok， 那 么 am 呢？求了吧？可以求了，应该是二倍根号三。 好嘞， am 是 二倍根号三， dm 是 二，那说明最终的 a d 长 是不就是二倍根号三，加几了，加二了， ok， 哎，这就是这道题啊。

好，今天开始讲解背靠背模行为法二，请大家点赞加关注 出嗯，问法二的出题特征是非互求。什么是互求？给 a c 问 b d 啊，或者给 b d 问 a c。 非互求呢？就是给 ab 问 b d， 或者是给 b d 问 a n a d， 这都是什么？都就是非互求 解析技巧，你要看他问的是一条边还是两条边，问一条边还是先写出和差关系，这里面的和差关系是谁呢？就是 b、 d 等于是 b、 c 加上 c、 d 的 和差关系， 再用所问表示已知。比如说我用 a、 d 去表示什么， b、 d 这个长，如果是问两条边呢？先求中间的公共高 a、 c， 然后的话再分别转化就可以了。

好，从今天开始更新三点函数，三点函数分为三个大模型啊，往后背靠背，用两种口法，往后是母豹子，往后是拥抱模型，这拥抱模型也要重叠模型。 从今天开始，每天更新一个考点加例题，请各位点赞加关注。

教大家一个小技巧，让你的预算时间直接缩短一半。我们看在一个三十度的直角三角形当中，它的边之比呢，是一比二比根号三， 那如果我这个边比如说同比例的放大，我们知道相似吗？就是放大缩小边的比例是一样的，如果这个边比如说变成了根号六，能不能快速的求出这个边是多少？那我们可以有一个份数的思维， 比方说啊，我们先想这个两份如果对应的是六，那么一份是多少呢？ 一份对应的是不是就是六除以二，那就是三， 那既然一份是三，那这个边呢，其实就是三，根号三份呢，是不是大约是一点七吗？就是一点七份是多少呢？一份是三，一点七份是不是就是三 乘上这个根号三啊？那这样看都是比较简单的，关键在于如果这个根号三这个边变成了根号六，能不能迅速的求出其他边，我们可以这么想，把它当成根号三，四， 根号三份是根号六，那么一份呢，是不是就是根号六除以根号三分蛋糕，那等于根号二每份，所以一份 他就是根号二，那两分的呢，就是二倍的根号二，是不是非常快速的在脑海当中就可以求出来啊，这个分数的思想。好了，接下来呢，我们有了这个思维之后，我们练一个这个， 看他还是一个相似的关系啊，咱们来看这个三四五，这个边是八，能不能迅速的求出另外的两个边，我们只需要这么想就行了，对应的是他和他吗？你会发现五份 是不是变成八了？那一份呢？是不是就是分蛋糕五分之八，一份就是五分之八，那么三份呢就是 五分之八乘三，四份呢就是五分之八乘四，是不是非常快速的就求出来了？