八年级上册数学勾股定理怎么画图

这道八年级的常考题看起来有难度，实际上只要我们识别出勾股定律相关的几何模型的话，三十秒钟就能轻松搞定。其中给了我们一个直角三角形 abc 角， abc 是 直角， 以它的三边 abbc 和 ac 为斜边，分别向外面呢做了三个等腰直角三角形，于是我们就有 a 等于 e、 b、 b、 f 等于 f、 c， 而 a、 d 呢等于 c、 d， 而这三个等腰直角三角形的面积之合呢，又等于一百。让我们求边 a、 c 的 长度， 要求这条边的长度，其中只告诉我们一百这一个数据。很显然，我们要充分用好这个数据，就要把这三个等腰直角三角形的面积呢给表示出来。 如果我们分别设它们的直角边长度为 a、 b、 c 的 话，我们可以计算出这三个等腰直角三角的面积，而面积之和等于一百呢，我们就可以得到一个三元方程。 根据这个方程呢，我们要求这三个等腰直角三角形呢任意一条边呢，都非常困难，很多同学分析到这个地方呢，就觉得没有思路了。实际上我们要注意到，这三个等腰直角三角形都是以这个直角三角形的三边向外作的，而直角三角形当中三边长度呢，必然满足勾股定律。 以勾股定律作为一座，再向外面做新的三角形的话，这里面呢就有一个勾股数模型。我们就以等腰直角三角形为例，给大家讲一讲这个勾股数模型。 我们不妨设里面这个直角三角形的三边长度，分别为 abc， 以它们为斜边，做了三个等腰直角三角形 c 三，实际上都可以运用 abc 给计算出来，比如说我们计算一下直角三角形 ab 的 面积， 我们可以以 ab 为底，过一点做 ab 边上的高。根据等腰直角三角形的三线合一，斜边的高必然就是斜边的中线，而斜边的中线呢， 等于斜边的一半，所以这条高呢，实际上就是二分之 b， 那 么 s 一 我们就可以轻松计算出来，也就是 b 乘上一个二分之 b 再除以二，也就是四分之一 b 方。同样道理， s 二 等于四分之一个 a 方，而 s 三呢，等于四分之一个 c 方，而 abc 正好满足勾股定律，也就是 a 方加上一个 b 方 等于 c 方，那么四分之一个 a 方加上四分之一个 b 方呢，必然就等于四分之一个 c 方，也就是说我们可以轻松得到 s 一 加上 s 二就等于 s 三。这个结论呢，虽然是根据等腰直角三角形得出的，实际上我们如果向外面做等边三角形或者 正方形或者半圆，只要以相同的方法向外面做相应的图形的话，都满足这个面积关系。大家以后遇到类似的图形的话，只需要抓住面积关系， s 一 加上 s 二，两个角小的面积之合就等于角大的面积，抓住这个关系呢，就能轻松解题。 在我们这道题目当中，三角形 a、 b 的 面积加上三角形 b、 f、 c 的 面积，这两个角小的三角形的面积之和呢，必然就等于角大的这个三角形的面积，也就是 s 三角形 c d、 a 把这两个角小的面积之和转化为角大的面积之和呢，等于一百，那么一个面积的话，实际上就可以轻松算出来，也就是这个大的等腰直角三角形的面积就等于一百 除以二，也就是五十。求出了它的面积等于五十之后，再求 a c 的 长度就比较容易了。我们同样的，只要做出斜边的高，根据三线合一和斜边的中线等于斜边的一半，那么这条高的长度必然就等于二分之一个 a c， 这个时候呢，它的面积就可以算出来底， a c 乘上一个高，二分之一个 a c， 再乘以二分之一，就等于它的面积也就是五十。整理一下， a c 乘上一个 a c， 就是 a c 的 平方，这边呢是四分之一，乘到右边去，也就是四乘以五十等于两百，那么很显然， a c 就 等于十根号二。

在初二，同学们，你只要看到有关于这种圆的问题，那其实大概率考察的都是勾股定律，因为我们在初二，各位还没有系统性的学习一些什么垂径定律啊，包括圆的一些非常重要的定律。所以说我们先来看一下这道题啊， 题目中告诉你，哎，一个大圆，一个小圆，那一个半径是三，一个半径是一什么关系呢？与水平面相切，并且呢他们是一个互切的关系，那根据这个已知条件，我很容易能看出这个角九十度， 这个角九十度，那现在我们要求的是这个黄色阴影部分它的面积是多少？那么很显然这一块的面积我们是不能直接算的，所以说你很容易想到连接谁呢？好，我们连接两个圆的圆心 去构造一个什么，各位去构造一个梯形，那么接下来我只需要利用这个梯形，哎，是个直角梯形，对吧？减去这个扇形和这个扇形就可以了。那现在的问题就是，各位，这个梯形它的上底是多少？ 这个梯形他的上底是一，他的下底是三，但是各位，他的高是多少？能直接看吗？看不出来，有人说，老师他的高是不是四啊？他的高当然不是四啊，哪里是四？各位看好，这一段的长度才是四，对不对？两个半径相加，这一段的长度是四。那各位，那这个梯形的高怎么算呢？看好啊，利用勾股定律，我们需要做一条辅助线， 小圆的圆心，哎，我们去做一条垂线，那很显然，各位，我这样子做完垂线之后，下面这个它就是一个什么，它就是个矩形，那矩形的对边一定是一样的，那这一段是一，那就说明看好啊，这一段的长度也得是一，那上面呢，就是三减一，这一段的长度就十二， 对吧？那在这个三角形中，各位根据勾股定律， a 方加 b 方等于 c 方，你很容易算出来另一条直角边，它的长度就是二倍 根号三，那这呢？各位，也得是二倍根号三，所以说各位，这个梯形它的高就是二倍根号三，上底加下底乘以高， 再除以二，就是整个梯形的面积。那现在我还需要知道什么？还需要知道这个扇形的圆心角和这个扇形的圆心角，我们怎么去算，对不对？那我们在学特殊三角形那一章，学过一个结论，三十度所对的直角边等于斜边的一半，那么在这个直角三角形中，各位看，它的斜边是四， 哎，这条边刚好是二，刚好是四的一半，所以说很容易我能看出这个角，它就是三十度，那这个角呢？ 就是六十度，好，那这呢是九十，对不对？那上面这个扇形，它的圆形角就是六十度，下面这个扇形，它的圆形角是九十度，加上三十度。各位，所以有了半径，有了圆形角，这两个空白的面积 我一定是可以算的，对不对？那接下来各位我只需要稍作计算，用整个梯形减去两个扇形，各位阴影部分的面积不就自然而然出来了？这个题各位，我们就轻松的搞定，关注小白，轻松学奥数！

同学们大家好，今天呢，我们来分享一道利用勾股定律解决图形面积之间的关系的问题。我们来看一下题目，如图，直线 l 上有三个正方形 abc， 若 a、 c 的 面积分别为五和十一，则 b 的 面积是多少？那么来看一下这个三个正方形 abc， 好，那这个时候，哎，他给了他的面积，面积是不是就相当于是 ab 的 平方， a 的 面积是五，那就相当于是 ab 的 平方等于五，因为正方形面积公式是边长的平方，那然后 c 的 面积是十一，所以说 d， e 的 平方 就等于十一，那我们再来看看什么呢？三角形 a， b， c 和三角形 d， c、 e 这两个三角形， 首先因为这个 b 它也是正方形，所以说 a， c 和 d， c 是 相等的，然后还有什么呢？还有直角对不对？直角再加上什么呢？我们来看一下这个角加上这个角是不是等于九十度的呀？ 那然后这个角加上这个角是不是也等于九十度？所以我们就可以得到角一和角三相等，那这里呢，我们就能够证出来三角形 abc 全等于三角形 c、 e、 d， 那既然能够证出来全等，那所以我们就可以得到什么结论呢？我们是不是就可以得到 d， e 啊？我们是不是就可以得到 d， e 和谁呢？和 bc 是 相等的，那前面 d， e 的 平方等于十一，那所以 bc 的 平方是不是也等于十一呀？ 那么来看一下，我们要求这个 b 的 面积是不是就相当于求的是什么呢？相当于求的是 a、 c 的 平方， a、 c 的 平方等于什么呢？我们根据勾股定律可以得到 a、 c 平方等于 ab 的 平方，加上 bc 的 平方， 那现在 ab 的 平方我们知道是五， bc 的 平方也知道它就等于 d， e 的 平方是十一，所以这里 ac 的 平方就等于十六， ac 的 平方等于十六，也就相当于 b 的 面积啊， b 的 面积就是十六，所以这道题呢，我们就选择 c 选项， 大家注意去观察啊，我们勾股图中的面积关系，大家注意去观察，我们也可以去看一下这种啊，除了我们这这种正方形之外，还有什么呢？我们的三角形呀，半圆呀， 大家可以好好的看一下这个图片上的结论啊。好了，那今天的分享呢，就到这里。

八年级上学期，有经验的数学老师会提前讲一张叫做平行四边形，但是大家注意了，咱们这学期考试的重点，平四只能作为出题背景，那真正考的是什么呢？是勾股定离。哎，那今天毕老师就给大家讲一道这样的期末考试题， 说一个平行四边形， a b 这个边长等于三，嗯， b c 这个边长等于四。哦， b d 这条对角线还等于六。根据平行四边形这个出题背景，也就是平四的性质，我们是不是知道对角线是什么关系啊？ 互相平分，那你整个得六，也就意味着 o 是 它的终点呢，是它终点，这就得三，这就得三，当然同时它也是 a、 c 的 终点。最后人家就问我们 a c 等于几对吗？哦，那 a c 到底怎么求呢？说，你这是三，你这是三，我就是一个什么三角， a o b， 哎，它是一个等腰三角形吗？等腰三角形中有一条重要的辅助线，叫什么？是不是就叫做三线合一啊？所以我过 b 点往这做一个垂线，垂足是 h， 根据三线合一，那 a h 跟 o h 是 什么关系？哦，你是垂足，你也是角平分线，你也是什么 也是中线，也就说你这个点也是中点，那我就设这一小段是 x 呗。哎，根据中点，咱俩相等，那这就是 x 呗。那么 a o 就是 几个 x， 两个 x 吧。所以我整个 o c 就是 几个 x， 也是两个 x 吧，你是两个 x， c h 呢？ c h 就是 三个 x 啊。哦，那这我们就知道了。那接下来这道题的勾股定律怎么用呢？各位毕老师教过大家，勾股定律从我们开始学，一直到中考，我们至少要做三百道题，但三百道题总结下来，一共只有 四种题型，那么第四种题型专门解决什么叫多个直角三角形，我们怎么办？哎，我们就列公共边的平方向等，比如说这道题，大家帮毕老师观察一下，你能找到几个直角三角形啊？啊，我这个小黄是不是一个直角三角？哎， 那我这个大红是不是也是一个直角三角？哎，这两个直角三角公共边是谁呀？哦，公共边当然就是 b h 这条线喽。 那么 b h 的 平方来，根据小直角三角形，它就等于三的平方减去 x 的 平方吧。哦，在大的直角三角形中呢，它又等于这个斜边减去斜边的平方减去这个直角边的平方吧，也就是四的平方减去三 x 括弧的平方，对吗？好，那接下来别着急算啊，有同学直接把平方展开了，不用着急，把这个移过来，那不就是三 x 括弧的平方减去 x 方等于四的平方减去三的平方吗？这道题最快的方法来了，什么？ 平方差公式，两项加和四 x， 两项作差二 x 对 吗？两项加和四加三等于七，两项作差就是一，所以八倍的 x 方就等于七，那 x 方就等于谁？ 哎，是不是就是八分之七啊？口算多少算 x 等于谁啊？哦，是不是就是根号下八分之七化简一下，那也就是，哦，四分之根号十四，一个 x 是 四分之根号十四，那我要的 a c 是 几个 x？ 是不是一共有四个 x 啊？啊？四个 x， 自然答案也就是根号十四。毕老师，说清楚了没？最后毕老师帮大家总结一下，马上就要期末考试了，所以无论是本学期你应知、应会的勾股、定力四大题型你是否掌握了？还是说下学期 我们有些学校老师抢先学的四面型你是否掌握了？毕老师在期末复习，毕老师能帮你！

翻到书本二十八页，我们来看一下勾股定律如何表示。五理数八年级上册的时候，咱们不是学过一个全等的证明叫做 h l 吗？就是它的一条斜边 加上一条直角边相等，就可以证明这两个直角三角形全等了啊，这个方法叫做 h l。 我们学习了勾股定律之后，哎，你能证明这个结论吗？你来看下面这个怎么证明呢？你看他这里说两个直角三角形， a、 b、 c、 d 和 a 撇 b 撇 c 撇，其中角 c 等于角， c 撇都等于九十度，然后 ab 和 a 撇 b 撇相等， ac 和 a 撇 c 相等，叫我们求证这两个三角形全等。那么我们既然知道了它是直角三角形， 又知道它的两条边对不对？我们就可以根据勾股定律把它的第三条边 bc 表示出来，对吧？好，你看一下，这个 bc 会等于 ab 的 平方减去 ac 的 平方开方，这个 b 撇 c 撇会等于 a 撇 b 撇的平方减去 a 撇 c 撇的平方再开方。然后由于它这里 ab 等于 a 撇 b 撇， 然后 ac 等于 a、 a 撇 c 撇，那么它这个式子里面的计算都是一样的，所以它这里的结果 肯定也是相等的。那么你已经得到了 bc 和 b 撇 c 撇相等。在这个三角形当中，是不是就有三条边相等？那既然三条边相等了，那么它就可以转换成什么 边边边全等了，所以它最后的结果是三角形 a、 b、 c 全等于三角形 a 撇、 b 撇 c 撇，并且 它的全等条件是边边、边。所以为什么可以用 h l 转换成全等呢？是因为 h l 可以 通过勾股定律算出第三条边的长度，并且它们第三条边的长度是一样的，就可以得到三条边相等，从而得到边边边全等。 我们知道任何一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，你能在数轴上画出表示根号十三的点吗？哎，这里我们就可以用勾股定律了， 因为这个根号十三是一个无理数，我们就可以把这个直角三角形的两条边想象成一个整数，通过两个整数的平方加起来，能不能得到十三？哎，你可以想到吗？ 其实十三你可以把它拆成根号九加四，然后根号九加四，那么九是三的平方，四是二的平方，那么你就可以构建一个直角三角形， 你让它的两条边，一条边等于二，一条边等于三，那么它的斜边就会等于根号十三，就用勾股定律就可以算出来了，对不对？那么现在你已经找到了什么 等于根号十三的一条线段，然后你再以这个根号十三怎么样为半径画一个圆，那因为圆呢，它有一个性质，它的半径都是相等的，那么你以这个根号十三为半径画圆， 那么这里从圆心到圆上的任何一个点，哎，他都等于根号十三，我们就利用这样的性质就可以在数轴上找到根号十三， 这样的话呢，不管这个竖轴在哪里，你哪怕这个竖轴是画的，是斜的，你以这个点为圆点零，然后这一段是根号十三就可以了啊，这个点就是根号十三。好，你看他在竖轴上也是这么画的，他取这个 o a 的 长度等于三，然后呢， 给从这个上面往下做一条垂线，垂直到 a 点，使得 a b 的 长度等于二，看到没有， 使 ab 的 长度等于二， o a 的 长度等于三，这里是二，这里是三，那么这个 o b 就是 二的平方，加上三的平方开，根号就等于根号十三，那么这个 o b 的 长度就等于根号十三。那现在在以这个 o b， 为什么呢？以 o b 为圆心，你画一个圆出来， 你画一个圆出来，它的半径是相等的，它的半径是处处相等的，你以它，为什么你以这个 o b 为半径， 那以 o b 为半径，半径等于根号十三。那么你看这个圆心到圆上的任意一个点到 a、 c 也是半径，这一段也是半径，它既然是半径，它就会等于根号十三，所以这个点 c 就表示为根号十三了啊，他就是这样的一个原理，知道吧？所以我们看到五里数可以构建一个什么呢？可以构建一个勾股定律，把这个五里数当做斜边，但是前提条件是你会对这里面的数进行拆分 啊，进行拆分。然后呢，我们也可以利用勾股定律画出根号二，根号三，根号五这样的线段，那你看这里 有一个蜗牛壳一样的图形，对不对？他这个根号二怎么来的？边长都是一，哎，他的斜边就是根号二，再以根号二和一做直角边，那么他的斜边就是根号三，然后再以这个为这个根号三为直角边， 一为直角边，这里是直角，它的斜边就是根号四，对不对？好，你不断的往下叠加就可以了啊。一的平方加上一的平方开方等于根号二，那这是算这条根号二，再拿这个根号二和一 根号二的平方加上一再开方就会等于根号三，那描述的就是这个。然后再拿根号三 的平方加一的平方开方，就等于根号四，那根号四就是这一段，对吧？不断的一直往下叠代。你这里，你这里可以构建很多个直角三角形，那么理论上啊， 无论是根号下多少，只要是整数，你都能用这种方式把它表示出来，那么这里的根号一，根号二，根号三，根号四，根号五，可以一直往下叠加，用刚才的这种方法就可以了啊，你只要找到这个直角三角形的斜边 是根号二，你就可以以根号二为半径画一个圆，那么从这个点到这里也是半径，所以它就会等于根号二，那你再以根号二 为直角边，这里还是一，你就可以算出它的斜边等于根号三，再以根号三为什么为半径画一个圆，那么从这点到这个点也是半径，所以这个点就表示根号三就 ok 啦。 再来看到练习在数轴上画出表示根号十七的点，那么我们这里要用勾股定力构造斜边为根号十七，那你就要先对十七进行拆分，对吧？好，这个根号十七可以等于哪两个平方数相加呢？它可以等于 十六加一，十六是四的平方，一是一的平方，所以它可以等于四的平方加上一的平方，那么我们构建 根号十七为斜边的时候，这个直角三角形的两条直角边分别就是一和四，对吧？我们再来画竖轴啊，零、一、二三、四， 好，那么现在我们以四为直角三角形的一条边， 然后再做一条垂线下来，这条垂线我们让它等于一，对不对？好，我们这里写一下，这个是 o 点，这个是 a 点，这个是 b 点，对吧？好，这构造嘛，再连接 o b。 好， 我们这里写一下， o a 等于四， ab 等于一， 然后呢， a b 垂直 o a 就 可以得到直角三角形 a o b 了，对吧？那么我们就可以用勾股定律，这个 o b 的 平方就会等于 a、 b 的 平方，加上 o a 的 平方， 那么它就会等于一的平方，加上四的平方就会等于十七，所以这个 o b 就 等于根号十七，这个就等于根号十七了啊， 然后再以什么呢？再以 o 以点， o 为圆心，点 o 为圆心， o b 为半径，画圆。 好，我们画一下，那 o b 为半径，画一个圆。好，我这边只能画个大概啊，只能画个大概，不是特别的准确。 好，那么在这里这个焦点就是根号时期，这个圆和 x 轴和这个竖轴的焦点就是根号时期，而这个点就是负根号时期。 好，我们把这个 a 点往左边移一点点，这个表示 a 点。好，我再标一下，这个点为点滴啊，所以最后再说上一句， 点滴为表示根号十七的点 就可以了。如图，等边三角形 a、 b、 c 的 边长为六，叫我们求它的高，那边长是六，这里是六，这里也是六，下面也是六，那么它的高，因为它是一个等边三角形，所以 他的高线三线合一也一定是中线，那既然是中线，那么就会把下面的六平分成三和三，那么这个 a d 就 可以用勾股定律去算了，对吧？这个就是思路。好，我们先写一下，因为 ab 等于 ac， ad 垂直 bc， 所以 ad 为三角形 abc 的 三线合一。 哪三线呢？中线、高线以及角平分线啊，三线合一，那我们用到中线的性质就可以了。三线合一， 所以 a、 d 为三角形 abc 中线，所以 d 为 bc 中点。 因为 b、 c 等于六，所以 b、 d 会等于 d， c 等于三好，那么这个三就有了，对不对？好在 r、 t 三角形 a、 b、 d 当中 啊，先说明它是直角三角形，我们再用勾股定律啊，这个 a、 d 的 平方会等于 a、 b 的 平方减去 b、 d 的 平方，所以 a、 d 的 平方减去三的平方，六的平方减去三的平方，就是三十六减九等于 二十七，所以 a、 d 的 平方等于二十七，所以这个 a、 d 就 会等于根号二十七。根号二十七等于三倍根号三 好，所以这个高等于三倍根号三。第二问就简单了，第二问叫我们求什么？求这个等边三角形 a、 b、 c 的 面积，那么它的面积等于什么？等于底层高，除以二对不对？三角形 a、 b、 c 的 面积等于二分之一的 b、 c 乘上高，也就是 a、 d， 所以 这个三角形 a、 b、 c 的 面积等于二分之一，乘上六，乘上三倍根号三， 那么它的面积就等于这个约掉还剩三三三得九，等于九倍根号三。由于题目里面并没有告诉我们这个边长的单位，所以这个面积也不用写单位了， 直接写出来三角形 abc 的 面积等于九倍根号三就可以了。如图， a、 d 是 三角形 abc 边上的高，那 abc 在 这里， a、 d 是 bc 边上的高。分别以线段 a、 b、 a、 c、 b、 d、 c 往外做正方形， 这个正方形的面积分别为 s 一、 s 二、 s 三、 s 四、 s 一、 s 二、 s 三、 s 四。那么关于这个 s 一、 s 二、 s 三、 s 四，它们之间有一个什么样的等式关系呢？好，其实你这里应该可以看得出来，我们如果以 a、 d 作为公共边，并且是直角三角形的公共边来看的话，这个 a、 d 的 平方， 它是等于 a、 b 的 平方减去 b、 d 的 平方的，因为这里是高嘛，左右两边都是直角，对不对？然后同时这个 a、 d 的 平方在右边三角形里面，在这个 a、 d、 c 里面，它也可以等于 a、 c 的 平方减去 d、 c 的 平方， 那么这两个式子就可以相等了。同时 ab 的 平方可以表示 s 一 的面积，这个 b、 d 的 平方可以表示 s 三的面积，对吧？然后 s 这个 ac 的 平方， ac 的 平方等于 s 二的面积， dc 的 平方可以表示 s 四的面积。所以我们把这两个等式列在一起。 那这是因为 a、 d 和 a、 d 是 相等的，所以我们可以得到 a、 b 的 平方减去 b、 d 的 平方会等于 a、 c 的 平方减去 d、 c 的 平方，而这个 a、 b 的 平方呢，是 s 一 的面积，所以可以把它换成 s 一， 这个可以换成 s 三， a、 c 的 平方可以换成 s 四。 好了，所以我们就可以得到的等式是， s 一 减去 s 三等于 s 二减去 s 四。当然，如果啊，你说老师我把它交换一下啊，把减号移过来，我把它变成这样， 就是 s 一 加上 s 四等于 s 二加上 s 三，行不行呢？哎，这样也是可以的啊，这样也是可以的。不过呢，我们还是以这个为主要的答案。

翻到书本二十三页，我们来看一下勾股定律，勾股定律是怎么来的呢？ 有一个叫三高的人，他构造了一个勾股弦分别为三、四、五的直角三角形，并且指出了两矩共长二十有五。什么意思呢？就是说分别以勾和股为边的正方形，它们的面积之合恰好等于以弦为边的正方形的面积。 哎，你看他举了个例子，这里有一个红色的直角三角形，他的三边分别为三、四、五，然后以这三条边分别往外做一个正方形，哎，得到一个正方形， 那么这个小的正方形加上这个中等的正方形的面积，他加起来正好会等于这个大正方形的面积。 哎！从边的角度来看，这个直角三角形的三边，他是满足两条直角边长的平方和等于斜边的平方，也就是说这里会得到这个三的平方， 加上四的平方，会等于这个五的平方啊。所以他就在想，那其他的直角三角形的三边是否也蛮也能满足这样的数量关系呢？哎，来看到探讨，他说 每个小方格它的面积均为一，图中这个正方形 a、 e、 b、 e、 c， e， 它们的面积关系有什么样的？它们的面积关系是什么？好，你来看到这个 a、 e、 b、 e、 c、 e， 你来看一下这个 a 一 很好算，它的边长都是一和一，对不对？它的边长都是一和一，所以它的面积就是一乘一得一，而这个 b 一 的面积，它的边长是二和二，所以它的面积就等于四。你再来看这个 c 一 的面积，怎么算呢？我们可以用割补法来算。那你把它看作一个什么？ 你把它看作一个大的长方形啊，大的这个正方形减去旁边四个小的三角形就可以了，而这个小的三角形的边长分别是二 和一啊，这个直角边的边长分别是二和一，所以这里是三，这里是三。 c 一 的面积，它就会等于三乘三。减去什么呢？减去四个小三角形的面积，减去四个小三角形面积。二乘一除以二， 它就等于多少呢？这里二二二和二约掉就等于四，所以是九减四等于五。发现了没有？你看这个 c 一 的面积求出来等于五，它们的关系也满足。 a 一 的面积加上 b 一 的面积会等于 a 一 的面积，会等于 c 一 的面积，那这个就是它的关系。什么关系啊？ a 一 的面积加上 b 一 的面积会等于 c 一 的面积。 好，他又问，那么 a 二、 b 二、 c 二呢？也能满足这样的关系吗？我们再来算，你看这个 a 二的面积等于二乘二等于四，这个 b 二的面积，它的边长是三，所以是三乘三等于九。然后这个 c 二的面积跟刚才一样，你把它画成一个大的 正方形，用割不放，你用大的正方形减去四个。哎，这里画少了， 应该往里面画一点，这个大的正方形减去四个小的三角形就可以了。所以这里的 c 二，它会等于这个长是五，这个长也是五，对吧？就等于五乘五， 减去四个小的三角形，它的长，它的边长是二和三，所以是四个二乘以二，那么约掉二三四十二， 然后这里是五五二十五，二十五减十二等于十三。哎，你会发现，四加上九等于十三，所以它们的关系也是 a r 的 面积加上 b r 的 面积会等于 c r 的 面积，那这个就是 a 二、 b 二、 c 二的关系。然后再看 a 三、 b 三、 c 三一样的，你同样去算这个 a 三的面积，它等于三乘三，等于九，这个 b 三的面积， 它这里是五，这里是五，那就是五乘五等于二十五，而这个 c 三的面积把它围成一个大的 正方形，再拿这个大正方形的面积减去四个小三角形的面积，这个小三角形，它的两条直角边分别是三和一、二、三四、五和五，对吧？那么这个 c 三， 它的面积就会等于，这里是八八乘八， 减去三乘五除以二，这是一个三角形的面积，再乘上一个四，好算一下，这里约掉还剩二三五十五，十五乘二等于三十六，十八、八六十四，六十四减三十等于三十四。 好，你看这个九加二十五是不是正好等于三十四？所以他们的关系也是 a 三的面积加上 b 三的面积等于 c 三的面积， 那就满足这样的关系。看到了吗？以格点为顶点，你看中间夹着的这个三角形，是不是全都是直角三角形？发现了没有？ 哎？发现了没有，全都是直角三角形，那么以格点为顶点，在正方形纸片上任意画一个直角三角形， 类似的做出三个正方形，那么这三个正方形的面积有什么关系？由此你可以得出直角三角形三边关系的猜想吗？那这个三个正方形的三，这个面积有什么关系？两个中等的 啊，一个小的加中等的三角形的面积等于大正方形的面积，就是这个意思，知道吗？啊？小正方形面积加上中等正方形面积会等于大正方形的面积，只要满足是直角三角形的三边往外做的正方形就可以了 啊，那么因此我们就可以推出他的结论了，可以发现，以直角三角形两边 两条直角边为边的正方形的面积之合，就等于斜边为边的正方形的面积。由此我们可以猜想，如果直角三角形的两条边长分别为 a 和 b， 斜边为 c， 那 么就可以得到 a 的 平方加 b 的 平方等于 c 的 平方， 对吧？那你看这里，这里是三的平方，这里是五的平方，这里是多少这里的斜边啊？我们不知道，但是我们知道它这个面积是等于三十四，对吧？好，那么这个是三十四的话，它的边长就是根号三十四了，对不对？好，是一样的，所以这个就是勾股定律。 知道了什么是勾股定律，那这个东西应该怎么证明呢？哎，我国古代数学家赵爽，他就是用这个图来证明的，这个图也叫赵爽弦图。哎，他是怎么证的呢？你看，他是拿两个 正方形，这个正方形的边长分别为 a 和 b 啊，所以这两个正方形的面积就是 a 方和 b 方，那我把它框出来啊， 它就是边长为 a 的 一个正方形，而右边 就是边长为 b 的 一个正方形，他把这两个正方形合在了一起，那么至少你知道 这个小正方形的面积等于 a 平方，这个大正方形的面积等于 b 平方。现在他把这个两个正方形拼在一起之后，找到一个点，使得这条边和这个 a 是 相等的啊，然后呢，通过构造一线三等角啊， 他可以分出几个呢？分出四个，一二、三四，这四个一模一样的全等三角形，然后把下面这个三角形 往上折，把这个三角形往上翻，哎，他就得到了一个。那你把这个图放到这里来，你把这个三角形放到这里来，他就拼成了一个斜着的一个正方形，看到了没有？他把这个斜着的正方形边长当做 c， 哎，这个 c 看，我也把它框出来。 这个正方形的边长是 c， 而这个正方形它是由什么得到的呢？它是由这两个正方形 拆分之后重新拼起来的，所以这个正方形的边长是 c 的 话，它的面积就是 c 平方， 所以这个大正方形的面积由这个两个小正方形的面积拼起来的，所以就可以得到 a 方加 b 方等于 c 方，所以 a 方加 b 方等于 c 方啊， 这个是他的思路，那么他后面呢？哎，在探讨里面，他又说，你能通过计算来计算这个面积，推导出勾股定律吗？那我们就直接拿这个图来推导一下，好吧，用面积法去证。那他上面讲的这个，哎，其实就是我刚刚讲的这两个图的转换思路。 那现在我们如何去证明勾股定律呢？你看他说了这个小镇小的 三角形，它的边长这一段是 a， 这一段是 b， 所以 这个也是这一段是 a， 这一段是 b， 那 这一段是 a， 所以 这一段是 b， 那 么这个黄色的小正方形的边长 这一段就会等于 b 减 a。 你 看现在我们可以看得出来，这个大的正方形，它的边长是 c， 他这个大正方形的面积等于四个小三角形的面积，再加上中间这个小正方形的面积，这个中间是一个小正方形，他的每一条边都是 b 减 a， 你 看这段是 b， 这段是 b 减 a， 他的每一条边都是 b 减 a， 知道吧？好，这里写的完整一点是大正方形和小正方形，而这个大正方形的边长是什么呢？是 c 的 平方啊， 是 c， 它的面积就是 c 的 平方，所以大正方形的面积就是 c 的 平方。而四个小三角形的面积是 a 乘 b 除以二， 是 a 乘 b 除以二，再加上中间这个小正方形的面积，就是 b 减 a 的 平方，那么 c 的 平方就会等于这两个就约掉了，等于约掉之后还剩个二，二乘 ab 就是 二 ab 加上 这个括号的平方。用完全平方公式把它打开，会得到 b 的 平方减二 ab 加上 a 的 平方，你会发现 二 ab 和减二 ab 就 抵消掉了，所以就会得到 c 的 平方等于 b 的 平方，加上 a 的 平方，再反过来写，你就得到了 a 的 平方加上 b 的 平方等于 c 的 平方。这个是用面积法去证的。 哎，就是我们这里探求的要求，那他叫我们通过计算弦图的面积去推导勾股定律，那这样就推导出来了，这个就是用面积推导赵爽弦图当中的规律。 来看到例题一，怎么用勾股定律呢？你只要是在直角三角形里面，就可以用勾股定律去计算，根据所给的条件，分别求出两个直角三角形当中未知的边长。 在这个三角形当中， b， c 知道 a， c 知道 ab， 不知道对不对？好，这里有个直角写了，那么第一个我们就怎么写呢？首先你要知道是在直角用 r、 t 来表示 r、 t 三角形 abc 当中，这是直角三角形，我们可以根据勾股定律， 根据勾股定律， 咱们可以得到这个 a、 b 的 平方啊，不对，这个 a、 b 的 平方会等于 a、 c 的 平方， a、 b 的 平方会等于 a、 c 的 平方加上 b、 c 的 平方，所以这个 a、 b 就 会等于 a、 c 的 平方加上 b、 c 的 平方再开放，那么它就会等于八的平方，加上六的平方再开放，等于根号下六十四，加上三十六 等于多少，等于根号一百，根号一百等于十，所以 ab 这条边就等于十，对吧？好，那这个怎么样呢？那一样的，它这里有直角，然后斜边和一条直角边告诉我们了，我们用勾股定律去算，对不对？在 r、 t 三角形 d、 e、 f 当中啊，根据勾股定律， 我们可以得到这个 d、 e 的 平方加上 e、 f 的 平方会等于 d、 f 的 平方，所以这个 d、 e 的 平方会等于 d、 f 的 平方。减去 e、 f 的 平方， 那么 d、 e 的 平方就会等于十七的平方。减去十五的平方，七的平方是等于二百八十九的，十五的平方是二百二十五，所以这里一减等于六十四， 那么 d、 e 的 平方是等于六十四的，所以这个 d、 e 就 会等于八，就可以了。那这样写就 ok 了。 设直角三角形的两条直角边长分别为 a 和 b， 它的斜边长为 c。 第一个已知 a 等于六， c 等于十，叫我们求 b， 因为 c 是 最长的，对不对？好，我们就直接 由勾股定律，因为它这里直接说了是直角，对吧？好，所以我们就可以直接用勾股定律，直接由勾股定律 咱们可以得到，这个 b 是 等于 c 的 平方减去 a 的 平方再开方的啊，那么这里带进去就会等于十的平方减去六的平方， 十的平方减去六的平方，它就等于根号多少啊？哎，根号六十四，根号六十四的话，它就等于八，所以第一个答案就是八，对吧？那第二个也是一样的啊，它告诉我们 ab 叫我们求斜边 c， 那 么就可以由勾股定律得， 这个 c 的 平方是等于 a 的 平方加 b 的 平方的，当然我们这里可以一次性把它写好，就直接写 c 会等于 a 的 平方加上 b 的 平方开方，那么它就会等于五的平方加上十二的平方再开放五的平方等于二十五， 十二的平方等于一百四十四，加起来就等于一百六十九，对于一百六十九开方， 那就等于十三，然后第三个已知 b 等于十五， c 等于二十五，叫我们求 a， 我 们这里一样的由勾股定律去得 啊，这个 a 是 直角边，所以呢，我们要用斜边去减去 b， 对 吧？所以 a 就 会等于 c 的 平方减去 b 的 平方再开方，就等于二十五的平方减去十五的平方再开方，它算出来的话，它就等于这个四百 拆方，他就等于二十，因为这个是等于六百二十五的，这个是等于二百二十五的，他们一减就等于四百，所以根号四百等于二十。 如图，图中所有的三角形都是直角，三角形、四边形都是正方形，已知正方形 a、 b、 c、 d， 它们的边长分别是十二、十六、九、十二，叫我们求最大正方形 e 的 面积是多少？好，我们这里标一下啊， 这个是边长是十二，这个是十六，然后 c 的 边长是九， e 的 边长是十二。好，他教我们求最大的这个正方形 e 的 面积是多少？由于它这里都是直角三角形，所以它是可以满足勾股定律的，对不对？好，因为 所有三角形 都是直角三角形， 所以可以用勾股定律。 我们把中间这两个没有标注出来的正方形，我们设为 m 和 n， 它的两个边长我们分别设为 m、 m、 n、 n。 好， 那么这个 e 呢？它的边长我们把它设为 e、 e、 e。 好 了，那么现在来看一下。首先在这个直角三角形当中，你就会知道， 这个 a 的 面积加上 b 的 面积是等于 m 的 面积的，也就是用勾股定律你会发现是十二的平方， 十二的平方加上十六的平方会等于 m 的 平方，而这个 m 的 平方就等于什么？就等于这个 m 正方形的面积，对不对啊？所以就可以得到这个 a 的 面积加上 b 的 面积会等于 m 的 面积。 然后再看这个，这里是九，十二的平方，加起来会等于 n 的 平方。这个勾股定律，九的平方加上十二的平方会等于 n 的 平方。我们就可以推出 c 的 面积加上 d 的 面积会等于 n 的 面积。 而最后一个三角形，我们就可以得到 m 的 平方加上 n 的 平方是等于 e 的 平方的，那这里就可以推出这个 m 的 平方是 m 的 面积， n 的 平方是 n 的 面积，它就会等于这个 e 的 面积。把这两个式子还原回它们两个，所以这个 e 的 面积， 把这两个式子还原回它们两个。所以这个 e 的 面积加上 s n， 那么这个 s m 它等于 s a 加 s b， 所以 就是 s a 加上 s b， 再加上 sc 和 sd。 好， 那么这个 x e 的 面积到这里就可以算了。 s a 等于十二的平方，第二个就是十六的平方加上九的平方，加上十二的平方啊，然后把它全部算出来，加起来就可以了。 十二的平方呢，等于一百四十四，十六的平方等于二百五十六，九的平方等于八十一，十二平方等于一百七十四，一百四十四，把它全部加起来等于六百二十五，所以这个 e 的 面积就等于六百二十五，就 ok 了。 如图，在平面直角坐标系当中有两个点，一个是 a 点五零，一个是 b 点零四，叫我们求这两个点之间的距离，叫我们求两点之间的距离的话，最好是构建一个直角三角形，用勾股定力计算。 但是你会发现，这个图里面本身就有 x 轴和 y 轴是相互垂直的，所以这个九十度就是白给的，对吧？好，所以呢，我们就可以用勾股定力直接算 ab 就 可以了。 那我们也要解释一下，因为点 a 的 坐标是五零，所以 o a 等于五啊，因为 o b b 点的坐标是零四，所以 o b 的 长度就等于四，对吧？又因为这个 o b 是 垂直 o a 的， 所以在 r t 三角形 a o b 当中可以用勾股定律啊，我们就可以构建这里，接着往后写， a 的 平方加上 a， b 的 平方会等于 a b 的 平方，那反过来，你要求 a b 的 话，就会等于 a b 的 平方加上 a b 的 平方再开方。好，直接代入 a b 就 会等于 五的平方加上四的平方再开方，那么 ab 就 会等于二十五加上十六再开方，二十五加六等于四十一，所以 ab 就 会等于根号四十一。好了，它的结果就是根号四十一。猜不出来的啊。

各位诸位同学们，今天学长给大家继续分享一个构造直角三角形求最值的一个方法，那么我们看一下下面的这道例题，他给的条件呢，是一个 a 加 b 等于十二，让你求这个两个根式相加的最小值是多少啊？那今天学长给用另一个什么一个几和 e 的 方法啊， 这个角度来看这道题，那么你来看一下啊，根号的四加 a 方在一个几和 e 的 表示呢？表示什么意思呢？哎，那如果你对勾股定律的话，你就能看出这个四加 a 方的根号呢，就是一个二跟 a 的 构成一个直角边啊，他的斜边是一个四加 a 方，我说的没错吧，对不对？哎，那如果说九加 b 方呢，是一个道理，我们同样子换一个 直角上行，对吧？哎，那这是三，这是 b 啊，这就肯定斜边肯定是一个九加 b 方，是吧？哎，那现在呢，他要求这两个斜边的， 你看他要求这两个斜边的值和最小值，那你想要怎么能求最小值呢？哎，那聪明的你呢，你肯定能发现，其实你只要把它，谁把这两小，你看看选怎么放啊？你看 我们把它放成一个这样的图形，你就能发现，其实他们求的这边呢，这个边跟这个边的最小值，是不是把它三点共线的时候就能出现最小了，对不对？那这样子我们把它二 a， 这是三，这是 b 边，这是三啊，这直角边，这都是直角边，那就算这个斜边的是和吗？对不对？那这样子我们重新看成一个什么呢？一个新的三角形吗？你看 看成一个新的直角三角形，对不对？就绿色这条，哎，在绿色这个呢，你会发现它的一个直角边呢，是不是 a 加 b， 就是 题目给的这个十二，对不对？哎，那这个直角边呢， 是我们的三加二十五，是吧？那此时你来算一下这个斜边它的最小值，那是不出来了，这最小值多少呢？那么就是一个五十二，那根号下的十二的平方加上五的平方，那是不是我们的 十三啊？对，那它的斜边是十三喽，所以它最小值也肯定是十三的，对不对？哎，就利用这个几何意义呢？来求这个坠子。问题是变得比较简单了呀，那这个呢？学生呢，把这个方法呢分享到这里。

今天我们来讲一下勾股定律。勾股定律是一个基本的几何定律，指在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。 为什么把这个定律叫做勾股定律呢？在中国古代，称直角三角形为勾，并且直角边中较小者为勾，另以长直角边为股，斜边为弦，所以称这个定律为勾股定律。 公元前十一世纪周朝时期的身高提出了勾三股四弦五的勾股定律的特例，但是他没有把它证明出来。直到公元前六世纪，希腊数学家毕达格拉斯证明了勾股定律，然而西方人都习惯的称这个定律为毕达格拉斯定律。 相传他发现勾股定律后高兴异常，并令他的学生宰了一百头牛来庆祝这个伟大的发现，因此勾股定律又称为摆牛定律。 当然，我国的数学家也并不示弱。公元三世纪三国时代的赵爽对周壁算经中的勾股定律做出了详细注述，记录于九张算术中，勾股各自成并而开方除之及弦。赵爽创作了一幅勾股圆方图， 用行数结合得到方法，给出了勾股定律的详细证明。接下来我们来看一下赵爽勾股定律的证明方法。这张图是周壁算经中的一页， 这个图形太过复杂，我们把隔线去掉来看下。在这幅勾股圆方图中，以弦为边长得到正方形 a、 b、 d、 e。 是 由四个相等的直角三角形再加上中间的小正方形组成的。 每个直角三角形的面积为二分之 a， 其面积为 b 减 a 的 平方。于是便可得如下的式子，四乘二分之 a， b 加上 b 减 a 的 平方等于 c 方。 化简后便可得 a 方加 b 方等于 c 方。当然，远在美国的加菲尔德同样也证出了这个定律，由于在他证明出此结论的五年后，成为美国的第二十任总统，所以人们又称其为总统证法。那么他是怎么证的呢？ 在直角梯形 a、 b、 d、 e。 中，角 a、 e、 c。 等于角 c、 d、 b。 等于九十度，且三角形 a、 e、 c。 全等于三角形 c、 d、 b、 a、 e 等于 c， d 等于 b， c、 e 等于 b， d 等于 a， a、 c 等于 b， c 等于 c s 三角形 a、 e、 c 等于 s 三角形 c、 d、 b。 等于二分之 a、 b、 s。 三角形 a、 c、 b。 等于二分之 c 加 b 乘 a 加 b， 因为 s 三角形 a、 e、 c 加上 s 三角形 c、 d、 b 加上 s 三角形 a、 c、 b。 等于 s， a、 e、 d、 b。 所以二分之 a、 b 加上二分之 a， b 加二分之 c 方等于二分之 a 加 b 的 平方，所以 a、 b 加上二分之 c 方等于 a， b 加上二分之 a 方加 b 方，所以 c 方等于 a 方加 b 方。以上就是勾股定律的两个证明方法了，你学到了吗？

翻到书本三十页，我们来看一下勾股定律的复习巩固这直角。三角形的两条直角边分别为 a 和 b， 它的斜边长为 c， 这里给了三个小问，已知 a 等于十二， b 等于五，叫我们求 c。 我 们先把这个三角形画一下， 这里是 a， 这里是 b， 这里是 c， 这个是一个直角，因为 a、 b 为直角边，我们复制三个出来， 这是第一问，这是第二问，这是第三问。好，第一问告诉我们， a 等于十二， b 等于五，叫我们求 c。 那 么根据勾股定律，这个 c 就 会等于 a 的 平方加上 b 的 平方开方，所以 c 就 会等于五的平方，加上十二的平方 开方， c 就 等于二十五，加上一百四十四再开方，那么 c 就 会等于根号一百六十九， c 就 会等于十三。那这是第一问。再看第二问，第二问，已知 c 等于 三， c 等于四，叫我们求 b。 哎，因为 b 是 直角边，所以在这里的话呢，这个 b 会等于 c 的 平方减去 a 的 平方开方，所以 b 就 会等于四的平方减去三的平方开方。 等于根号十六减九等于根号七，这是第二问。第三问。他这里 c 等于十， b 等于九，叫我们求 a， 那 么这个 a 就 会等于 c 的 平方减去 b 的 平方开方， a 就 会等于十的平方减去九的平方开方，所以 a 就 会等于一百，减去八十一开方， a 就 会等于根号十九，就可以了。 如图，一根直立于地面的木杆在离地面三米的地方折断了，因为它是直立于地面的，所以这里是一个直角，离地面三米的地方折断了，所以从折断的地方到地面的距离，这里是三米， 然后木杆顶端，木杆的这个顶端落在木杆底端，在木杆的底端离它四米处，那相距四米，所以这里就是四米处， 那我们求木杆折断之前有多高，那么就是这一段加上这一段，对吧？你可以先用勾股定律三四五，把斜边算出来等于五，对不对？然后三加五， 就说明原来的木杆是八米啊，这是一种思路，那另外一种呢？啊，我们可以设木杆折断之前，木杆折断之前 有 x 米，那么折断倒在地上的地方，那么这一段就是 x 减三米，就整一段是 x 米，下面这一段是三米，那么上面这段就是 x 减三米，所以它的斜边就是 x 减三米， 就是说木杆折断的地方啊，到木杆的这个顶端就是 x 减三米。好，接下来就由勾股定律，由勾股定律 我们就可以得到三的平方加上四的平方等于 x 减三的平方，对吧？好，这里算一下，就会得到，九 加上十六等于 x 减三的平方，那么二十五就会等于 x 减三的平方，那么 x 减三就会等于正负五。所以 x 减三要么等于五， x 一 等于八，那么 x 减三如果等于负五， x 二等于负五加三， 负五加三就等于负二，那么这个负二肯定是要舍去的，对不对？所以木杆折断之前是八米， 如图，一个圆锥的高 o a 等于二点四啊，它没有告诉我们单位，直接就写二点四， 里面半径 o b 等于零点七，那这个就是零点七，叫我们求 a b 的 长是多少，这是一个直角三角形吧，对不对？我们就可以直接用勾股定律，对不对？在 r、 t 三角形 a、 o、 b 当中，由勾股定律 都可以得到 a、 b 的 平方等于 a、 o 的 平方加上 b、 o 的 平方，那么这个 a、 b 的 平 a、 b 就 会等于什么呢？ a、 o 的 平方加上 o、 b 的 平方再开方，所以 a、 b 就 会等于二点四的平方，加上零点七的平方再开方， 二点四的平方等于五点七六，零点七的平方等于零点四九，然后我们把它加起来，它就会等于根号下六点二五，所以这个 ab 呢？它就会等于二点五啊，注意负数舍去， 负值舍去就可以了，所以最后 a 等于 ab 等于二点五。 一个含两个小圆孔的长方形零件，它的尺寸如图所示，叫我们求两孔中心的距离，也就是叫我们求这两个圆的圆心距离，就是这个 ab 的 长度， 结果保留小数点后一位就可以了。那么这里给我们构建了一个直角三角形，那我们就可以用勾股定力了，对不对？先把 ac 求出来，这个 ac 怎么算呢？他可以用这里的四十减去这个二十一，所以 ac 等于四十减去二十一等于十九毫米，因为它这里的单位都是毫米。再求 bc， 这个 bc 呢，会等于六十减二十一， bc 等于六十减二十一等于三十九毫米。 我们再来求这个 a、 b， 这个 a、 b。 我 们直接说在直角三角形 a、 b、 c 当中，由勾股定律 咱们就可以得到 a、 b， 它会等于 a、 c 的 平方加上 b、 c 的 平方再开方，这个 a、 b 就 会等于 十九的平方，加上三十九的平方再开放， ab 就 会等于三百六十一，加上一千五百二十一 再开放 ab 就 会等于根号下一千八百八十二，然后我们再把它转换成小数 a、 b， 它是等于四十三点三八二零二，无限不循环的，它是一个无限不循环小数。然后我们再用 估算啊，取它的小数点后一位，那么就要对它的第二位进行四舍五入，这个八满了五往前进一，所以它就约等于四十三点四毫米就可以了。这开方的时候，记得我们把它的负值舍去， 如图，要从电线杆离地面五米处，离地面五米处，那就是从 b 点到这个地方是五米，从这里拉一条长七米的钢缆。好，所以这一段就是七米， 求地面在钢缆的固定点 a 到电线杆底部点 b 的 距离，就是叫我们求 ab 的 长度，结果保留小数点后移位。那直接由勾股定律就可以了，对吧？我们假设这个点是 c 点啊， 在 r、 t 三角形 a、 b、 c 当中，由勾股定律 就可以得到， a、 b 的 平方会等于 a、 c 的 平方减去 b、 c 的 平方，那么这个 a、 b 就 会等于 a、 c 的 平方减去 b、 c 的 平方再开放，那么 ab 就 会等于七的平方减去五的平方再开放。 四十九减二十五开方等于根号二十四，根号二十四可以把里面的四提出来，根号二十四等于四乘六，把四提出来 a、 b 等于两倍根号六。 然后我们还要算一下根号六啊，它等于多少，你直接拿二乘根号六，它是等于四点八九八九七九四八，无限不循环的。注意，在这里开方的时候，我们把这个负数舍去。 好，那么叫我们取结果，保留小数点后移位，后移位，那我们就要对第三位进行四舍五入，所以呢， a、 b 就 约等于四点九，单位是米就可以了。 在数轴上画出表示根号二十的点，那我们就要把根号二十作为直角三角形的斜边，那么它的另外两边是多少呢？你就要进行二十的拆分，把二十拆成两个平方数相加， 那么这个还是比较固定的。根号二十可以写成根号十六。下加四，那就等于根号下四平方加上二的平方。所以我们就可以设根号二十，是 以四二为直角边的直角，三角形的斜边为直角边的直角，三角形的斜边。 我们就可以在竖轴上画一下了，那这个点当做零一、二、三、四，然后再在四上面做一条垂线下来，这条垂线咱们把它 写成单位二的长度。好，这里是直角，你连接圆点和上面这个点，这条边就是根号二十。然后你再以根号二十为圆画一个， 以根号二十为半径画一个圆。啊，说错了，根号二十为半径画一个圆。 我这里只是画个大概啊，画个大概与 x 轴的交点，这里就是根号二十，这里就是负根号二十就可以了。然后我们再描述一下， 以根号二十为半径， o 为圆心作圆，那么做出来的圆与竖轴的交点就是根号二十或负根号二十。 我们这里就把这个点当做 d 点，所以点 d 表示正好二十。

今天带大家学习一道应用公不定理及其逆定理的题目。如图，在直角三角形 abc 中，已知角 a 等于九十度， d 是 斜边 bc 的 中点 d， e 垂直 bc 交 ab 与点 e 连接 c、 e。 我们来分析一下这个图形。首先他说 e、 d 垂直 bc， 又因为 d 是 bc 的 中点，所以 e、 d 应该是线段 bc 的 垂直平分线。那么第一问，他让我们求证 b、 e 的 平方减去 a、 e 的 平方等于 a、 c 的 平方。 那我们可以通过 e、 d 式线段 bc 的 垂直平分线推出 b、 e 等于 ec。 那 么在直角三角形 a、 e、 c 中， 有 a、 e 的 平方加上 a、 c 的 平方等于 ec 的 平方。 我们可以将 ec 转换成 b， e， 也就是 a、 e 的 平方加上 a、 c 的 平方等于 b、 e 的 平方， 也就是 b、 e 的 平方减去 a、 e 的 平方等于 a、 c 的 平方。所以第一问，通过利用垂直平分线求证 b、 e 等于 c、 e， 再利用勾股定律 可以解出，证明出我们题目中所要求的。那么第二问告诉我们 a、 c 等于六， b、 d 等于五，让我们求 a、 e 的 长度。 首先因为 b、 d 等于五， d 是 线段 bc 的 中点，那么我们可以知道 c、 d 也是等于五的，所以 bc 就 等于十。 那么在直角三角形 a、 b、 c 中，我们可以利用勾股定律 a、 b 的 平方等于 b、 c 的 平方，减去 a、 c 的 平方， 也就是 ab 等于根号下十的平方，减去六的平方等于根号下六十四等于八， 所以 ab 等于 b， e 加上 a， e 等于 x， 所以 b、 e 等于 c， e 等于八，减 x。 在 直角三角形 a、 c、 e 中，通过勾股定律我们可以知道 c、 e 的 平方等于 a， c 的 平方加上 a e 的 平方， 我们将前面解出来的代入，也就是八减 x 的 平方等于 a， c 等于六。题目中给出的信息等于六的平方，加上 x 的 平方， 我们可以解得。这个式子解出 x 是 等于四分之七，也就是 a e 等于四分之七，所以 a e 的 长为四分之七。

前有一位特殊的客人想跟大家聊聊天，他就是西周的数学家商高。诸位学子，吾乃商高 观尔等现所持三角之物，想来是在研究举之衍生图形吧。张高先生手中的工具叫做举，他是古代的直角尺，而我们现在所用的三角尺就是由古代的直角尺演化而来的。 请同学们观察，在这个直角三角尺中，三十度角所对的直角边等于斜的一半啊。那这一条直角边长度如何得知呢？ 它的三条边之间是否具有特殊的等量关系？这就是我们今天要探讨的课题，勾股定律 啊。商高先生，他在使用局尺的时候，他发现直角三角形的三条边似乎有着某种规律。 吾曾与周公论说，言，勾广三股，修四静于五如等，可观察此图。若直角之边短者为勾，长为股，斜边为三 股，为四十弦。为何刚刚他所提到的勾股弦指的是什么呢？勾指的是什么？ 较短的直角边？股指的是较长的直角边，弦就是弦。那勾为三股，为四十斜边的长度弦为多少呢？ 下面我们把它放在方格纸中来探求一下。在方格图中画一个顶点都在格点上的直角三角形 abc， 使其两直角边分别为三和四。同学们， 斜边 ab 的 长度如何得知呢？哪位同学来说一下？ 好，请你来。我认为可以用圆规的两角量取 a、 b， 然后再放在方格纸上进行测 量。哦，就是用圆规来截取 a、 b 的 长度，然后把这个长度放在什么方格纸上？隔点？方格纸上隔点，那如何保证它是准确的呢？需要怎么样 固定？那也就是说我可以绕着 a 点怎么样旋转到水平位置，那发现长度为多少啊？非常棒，请坐 啊！这就是我们历史上著名的勾三股四弦五，那请同学们再观察三四五这组数据之间是否有着特殊的等量关系呢？ 现在老师以直角三角形的三条边分别做了三个正方形，你有什么发现？ 哪位同学来说一下？来已知要边做的正方形的面积的和等于以斜边做的正方形的面积哦，这个面积为多少？等于九，三个平方等于九，这边 这边二十五的平方等于二十五，而九加等于二十五。所以你的结论是，三个平方加四个平方等于五个平方。好，非常棒，请坐！那对此我们 通过边长的平方想到了正方形的什么面积啊？那现在请同学们思考，这只是其中的一种特殊情况，如果我在一个一般的直角三角形中， 其三边可能会有怎样的数量关系呢？绕边的平方和等于斜边的平方，那么我们也可以用代数式来表示这一猜想， 也就是 a 的 平方加 b 的 平方等于 c 的 平方。大家有了这样的猜想，下面我们就要对这个猜想进行怎么样 验证，那个时候我们就可以借助正方形来验证我们的猜想。 老师画一个边长为 a 加 b 的 正方形，将其分割成四个小直角三角形和一个四边形。小直角三角形三条边都是 abc， 请同学们思考，四边形的面积等于多少呢？ 每位同学来说一下。好听，你的 a 加 b 的 平方减二 a b， a 加 b 的 平方减二 a b， 那 你的理由是什么？外面是一个什么图形？正方形啊？ s 大 正方形面积减去什么？四个直角三角形，四个直角三角形 就等于什么的面积？ s 四边形大正方形的面积为， 减去四乘以 a 加 a 乘以 b 乘二分之二啊，二分之一 ab。 好， 它可以展开为 a 的 平方加 a b， 然后再减去这里是所以它的面积。四边形的面积就是 a 的 平方加 b 的 平方啊。这位同学语言表述非常清楚，谢谢你的回答。请坐，那除了它这个方法以外，还有没有别的方式可以表示四边形的面积呢？ 大家看一下，你觉得这个四边形像正方形，像正方形，那么它是正方形吗？ 哦，有同学觉得是，但是我们不能光猜。那需要怎么样证明啊？我怎么证明里面是个正方形呢？ 你们看到了什么图形？全等了什么三角形？好，那么我们怎么样利用这些信息来帮我们推出它是正方形呢？ 在这里 a， b， e 和 b c f 是 否全等呢？全等？全等？为什么？ 呃，我们可以看到 c f 和 b e 都等于 a， b， f 和 a e 都。

已知 a 方加 b 方加 c 方加五十等于六， a 加八， b 加十 c， 求 a b、 c 的 值。我们可以先把所有的式子向移到左边， 移完过后右边就只剩了零，然后给每个式子进行配方。 a 方减六 a 可以 写成 a 减三 x 的 平方减九， 加上 b 方减八， b， 可以 配成 b 减四 x 的 平方减十六， c 方减减十 c， 可以 写成 c 减五 x 的 平方减二十五，最后再加上五十等于零。 这个地方我们可以观察到，负九、负十六，负二十五，刚好可以组成负五十，那么和五十就可以相抵消。 最后就只是加了 a 减三 x 的 平方加一减四 x 的 平方，再加 c 减五 x 的 平方等于零，那么平方数它都是非负数，就可以当他们是每一个平方数等于零，这个地方就可以写为 a 减三等于零， b 减四等于零， c 减五等于零。 最后就可以得出， a 等于三， b 等于四， c 等于五。

哈喽宝宝们，今天咱们来讲一下八年级的勾股定律问题，来看这道题。在直角三角形 abc 中，角 c 等于九十度， ac 等于九， bc 等于十二，则点 c 到 ab 的 距离为多少？ 我们先来画一个直角三角形出来啊。 a， c 是 九， bc 是 十二，那这个点 c 到 ab 的 距离，也就是 cd 的 距离，这是一个直角三角形。由勾股定律我们知道， ab 等于根号线， a， c 方加 b， c 方等于根号下九的平方加上十二的平方等于十五。 然后这个 cd 怎么求呢？我们可以用等面积法，三角形 abc 的 面积等于二分之一， a， c 乘以 bc， 还可以写成等于二分之一， ab 乘以十二等于二分之一乘以十五乘以 cd， 二分之一和二分之一约掉，那 c， d 就 等于九，乘以十二，再除以十五等于五分之三十六， 这也就是点 c 到 ab 的 距离。选 a 好， 有其他问题可以给老师留言，拜拜宝子们。

测第一章第一节探索勾股定律接下来，我将从以下六个方面对本节课的教学设计进行说明。 首先是教学内容及其解析。宏观历史长河，勾股定律文化内涵丰富，学习勾股定律可以引发学生对数学文化的思考。 纵览教材体系，勾股定律不仅搭建起了几何图形与数量关系之间的桥梁，还具有承上启下的作用。为此，我确定了本节课的教学重点是探索并验证勾股定律。 二、学情分析八年级的学生已经具备了一定的观察、归纳、探索和推理能力，从基础知识来看， 他们已经学习了完全平方公式、全等三角形、直角、三角形、两锐角、互余等知识。 从思想基础来看，学生虽然接触过各不法求面积，但还缺少与代数推理的有机结合，欠缺思想方法的融汇贯通。为此，我确定了本节课的教学难点。 根据八年级学生的认知水平，依据新课程标准，我制定了如下教学目标以及目标解析。 为了让学生更好地经历知识的发现、发展和应用的探索过程，本节课主要选用了引导探索式的教学方法和小组合作的学习方式。 通过以上分析，在整个教学过程当中，我设计了如下五个教学环节。 环节一、温故知新，创设情境首先从三角形的知识体系入手，构建研究路径，明确研究对象。 然后引入毕达格拉斯的故事，使学生学会用数学的眼光观察现实世界。最后通过追问，将特殊情形一般化， 教学生怎样学、怎样研究问题，助力从特殊到一般的研究思路的形成，从而自主提出问题，请看教学片段展示。 所以你发现了等腰直角三角形三边之间的数量关系是什么？就是，呃，斜边的平方等于两直角边的平方。和。好。非常好，来，请回， 通过刚才这位同学上台展示，我们可以发现等腰直角三角形三边之间的数量关系是什么？ 斜边的平方等于斜边的，斜边的平方。好，也就是说，等腰直角三角形的三边关系是两直角边的平方和等于斜边的平方。 好，刚才这位同学也说了，中间这个黄色的直角三角形是什么？直角三角形， 等腰直角三角形是特特殊的直角三角形。那如果你是毕达格拉斯，你发现了特殊的直角三角形三边之间有这样的数量关系之后，你还会研究什么问题呢？ 这种现象是不是普遍性？好？是不是普遍性的？那也就是说，我们由好对，是由特殊去思考到一般的直角三角形三边之间是否还存在这种数量关系。 环节。二、类比，所以你发出猜想，类比等腰直角三角形，所以你发格子， 学生做一做，发现直角三角形三边之间的数量关系在学生心中根直转化的思想，教会学生如何用数学的思维去思考。那么 现在你能快速地告诉我正方形 a 的 面积呢？十六，那 c 的 面积是多少？ 如何计算 c 的 面积呢？现在我们开始小组活动，讨论如何计算正方形 c 的 面积，可以将你的计算过程书写到悬案的左侧。 好，那一组的同学可以上台展示你们的成果呢？ 好，来，这位女同学，嗯，我们组的想法呢是把这个把它给补成一个正方形。 那老师想问一下，为什么要把它补成一个正方形呢？因为这样子的话，我们可以就是很直观的看到这个大的这个正方形的这个边长，正方形 c 转化成了，可以就是 轻松的求得这个面积的一个大正方形。好，这个轻松体现在哪？嗯，因为咱们从咱们可以看出来，就这个三角形，它的这个 两边长，一个是三，一个是四，咱们可以得到这个三角形的面积是六，然后呢这一二三，这三个四方形三角形的面积呢？跟这个一样都是六。然后呢？为什么这四个直角三角形的面积是一样的？嗯， 因为他们的斜边的长是一样的。好，斜边的长是一样的，那他们的面积就相同了吗？嗯，斜边的长是一样的。嗯，并且这个 大正方形它这个边长呢等于这个两个小正方形边长的这个和好，等于两个小正方形边长的和这个直角三角形的边长是 这个转角形变成是三，这个是这边是四。好，那这个边长是这个，这边也是四根三，好，四根三，而且还有一个直角，那说明这两个三角形全等好，因为这。

大家好，我是八年级九班的陈景轩。今天我用刘辉清初初入图证明勾股定律。勾股定律是直角三角形中 a 方加 b 方等于 c 方。 首先我画了一个直角三角形，直角边是 a 和 b， 斜边是 c。 我 用红色画以 a 为边的正方形叫珠方， 用蓝色画以 b 为边的正方形叫轻方。再画一个以斜边 c 为边长的大正方形。 接下来是最巧妙的一步，叫轻朱出入相补。 大家看，现在以斜边为边的大正方形外面还多出了几块图形，我们把这些多出来，露在外面的部分割下来，再把它们平移，拼到大正方形里面的空缺处。 你会发现割下来的部分不多不少，刚好能把所有空位都填满。 经过这样切割、移动、拼补之后，原来的两个小正方形面积没有增加，也没有减少，只是形状变了， 最后刚好拼成了以斜边 c 为边长的大正方形。这就是刘辉出入相补的思想。图形移动 切割拼合面积始终保持不变，所以我们就能得出，直角边上两个正方形的面积加起来正好等于斜边上正方形的面积，也就是 a 方加 b 方等于 c 方。 这样勾股定律就用最直观的方式证明出来了。 这种方法不用复杂计算，只靠图形变换，非常巧妙，也体现了中国古代数学的智慧。我的证明到此结束，谢谢大家。