八年级下册数学书65页第三题怎么写

大家好，我是讲数学的小何老师，今天我来讲解新版八年级下册数学第三页练习。 第一题要画一个面积为十八平方厘米的长方形，使它的长与宽之比为三比二，它的长和宽各应取多少？那么这里面呢，你观察它给了我们长方形的面积，还给了我们长和宽的比。所以这道题呢，我们可以设 啊，我们可以设根据它的比啊，我们来设长为三 x 厘米，那么宽 为二 x 厘米，那因为长方形的面积呢，是等于长乘宽的，所以是长乘宽等于面积十八。 那我们就可以计算了啊，二三得六， x 方等于十八，然后化系数为一，两边同时除以六等于三， 那么 x 方等于三，那你想谁的平方能得三呢？在我们啊，由利数范围内是没有的，而到这呢，就需要考虑到一个二次根式，就是开平方运算。 在我们七年级学这个平方根的时候，不学过一个开平方运算吗？是不是？所以呢， x 可以 等于啊，可以等于开平方，是求三的平方根，三的平方根，所以有正负两个值。然后呢，你在想谁的平方等于三？ 有理数范围内没有吧，没有的话，我们把三直接放到根号下，这求的就是三的平方根啊，也就是说正负根号三的平方应该得三。那又因为啊，你的这个长和宽 不能，为什么负啊，不为负，所以呢，你的 x 只能等于正的根号三，所以你的长就是三乘根号三等于三倍根号三，你的宽 就是二乘根号三等于二倍根号三。所以答，长取三倍根号三厘米，宽呢， 就是二倍根号三厘米啊，这是第一小题。那么第二小题，当 a 满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义。 那么这个三道小题呢？他都属于二次根式啊。什么叫二次根式啊？你看这边 说，我们把形如根号 a 的 式子就叫二次根式啊，二次根式是一个代数式，那他得有什么条件呢？我们在七年级学了你的这个呃， 根号 a 啊，它实际上求的就是 a 的 算数平方根啊。 a 的 一个算数平方根，那它具有什么性呢？具有非负性 啊，那是有什么样的非负性呢？第一，你的这个被开放数 a， 它得是大于等于零的。第二呢，你的根号 a， 因为它求的是 a 的 算数平方根，所以算数平方根也是大于等于零的 啊。那我们在求这个呃 a 满足什么条件，他在实数范围内有意义的。这种题型呢，实际上考虑的就是根号下面的 b 开放数要大于等于零啊，要大于等于零。那我们看一下第二小题， 那哪个是 b 开放数啊？ a 减一吧，所以呢，就是 a 减一，得大于等于零， 那所以 a 得大于等于几？一意思就是 a 满足大于等于一的条件时，你的这个代数式，它在实数范围内才能有意义。 那第二小题呢，你的被开方数是五减 a， 所以 五减 a 得大于等于零啊，那么也就是 a 啊，五减 a 怎么算呢？五减 a 大 于等于零，限一项负 a 大 于负五，然后化系数为一，不等号，要改变方向啊，所以是小于等于五 啊。也是 a 满足小于等于五的条件时，他在实数范围内是有意义的。那么第三个，你观察 倍开方数是二， a 方加一，那它得大于等于零，对不对？那你看你的这里的 a 方， a 方呢，它是具有非负型的，因为它是偶次幂，那 a 方它是大于等于零的，你再乘以二， 它还是大于等于零，最小为零吧，你再加一呢？是不就是不可能为零了，对不对？所以呢，这道题它是 a， 满足 全体实数，任意实数，谁都行啊，正的负的零啊，都可以啊。满足全体实数时啊，这个代数式 在实数范围内 有意义 啊，它是全体实数或者是任意实数啊。那么第三小题是，当 a 等于五时，问你这个式子的值为多少？那不就是把 a 带进去吗？对不对？那你写将 a 等于五带入，得 二分之五减一等于根号下几啊？这是四除以二等于二，对吗？所以最后等于根号几？根号二？

大家好，我是讲数学的小红老师，今天我来讲解新版八年级下册数学第五十九页练习。 第一题，如图，四边形 a、 b、 c、 d 是 平行四边形，角 a、 d、 c 等于七十度， a， b、 c、 d 是 平行四边形，角 a、 b、 c 等于七十度， b、 e 平分， a、 b、 c 也说这跟这是相等的，与 a、 d 呢，交于点 e， 说 d， f 平行于 e、 b， 这两条边是平行的，交 b、 c 于点 f， 让我们求角 e。 那么这道题呢？嗯，因为他这一课时呢，刚学的是这个平行四边形的性质啊，所以呢，这里面用到的就是平行四边形的性质。那平行四边形都有什么性质啊？ 那边的性质对边平行且相等啊，角的性质是对角相等，邻角互补，然后呢，对角线呢？是互相平分，那么这里边用到的是什么呢？你看啊， 他要求的是角，肯定往角上琢磨，对吧？那么给你了， a、 b、 c 等于七十，然后，那这 是不是也应该得七十对角相等，对吗？然后呢，平行四边形，对边平行且相等，那我们用平行来，这叫角平分，线与平行线 必有等腰出现，也说这个小叉跟下面小叉相等，那么等量代换啊，不用等量代换，也说这个叉在这，然后因为你的 b、 e 平行于 df， 所以 这个叉和这个叉相等， 那这的七十减去叉是不是就角一啊？所以用到的就是角的性质啊，还有，嗯，对边平行，所以来咱们来写一下过程啊。第一题，嗯，角， 因为四边形 abcd 是 平行四边形， 那么根据平行四边形的性质，咱们用哪两个性质来着？第一，对边平行， a、 d 平行于 b、 c， 第二，对角相等 到底多少度？七十度吧，是不是？然后我们再用角平分线，把你这个一半的角求出来，用的是哪个？用的是下面这个角，叉到这来，对不对？那我们写，因为 b、 e 平分角 a、 b、 c， 所以 角 e、 b、 c 等于二分之一，角 a、 b、 c 等于二分之一，乘以七十度，等于多少度？ 三十五度。然后你再写，因为 a、 d 平行于谁？ bc， 所以呢？ 嗯，你的内错角会相等，角 a、 e、 b， 它等于角 e、 b、 c 等于多少度？三十五度。然后又因为另一个平行 df 平行于 b、 e， 所以呢，这叫两直线平行，同一角相等，也就是角 a、 d、 f 会等于角 a、 e、 b 等于三十五度。 嗯，所以角一呢，就等于角 a、 d、 c 减去角 a、 d、 f 等于七十度，减三十五度等于三十五度啊，这是第一题， 那我们来看一下第二题，他说如图，平行四边形 a、 b、 c、 d 的 周长是十六。那么你读到这啊，你你，你想一想，平行四边形啊，这个周长肯定是跟边有关，对吧？那么平行四边形的边呢？是对边平行且相等，也就是 a、 d 等于 b、 c， a、 b 等于 cd， 那 也就是说我的周长是这四条边的和，而对边是相等的啊，所以我能求出一组邻边的和 啊， a、 d 加 c、 d， 或者是 ab 加 bc， 是 不都能求出来？这你脑袋里要有思路啊，有想法。然后说对角线 a、 c 和 b、 d 交一点 o， 那 你看平行四面有对角线了，那对角线的性质是什么？ 对角线互相平分，对吧？也就是 a、 o 等于 o， c、 o， b 等于 o、 d， 那 用哪个呢？咱不知道啊，一会咱们看题，说点 e 啊，在 a d 上，在这说 o e 垂直于 a c。 来，这句话就有讲究了啊， 你看啊，这有垂直，然后垂足这个点 o 呢，恰好又是 a c 的 什么点 中点，所以这不叫垂直加平分吗？所以 o e 应该是 a c 的 垂直平分线，那你想垂直平分线有什么性质呀？垂直平分线的性质是垂直平分线上的点到线段两个端点的距离怎么的 相等啊？ a e 等于 e c， 然后让我们求的是 c d e 的 周长，那你看 c d e， 那 你说 c d e 这三条边，一个 c d 一个 e d 一个 c e， 而 c e 又跟 a e 相等，那你看，这不就是平行四边形周长的一半吗？ 是吧，那我们来，嗯，边读边分析，是不已经分析明白了，来，那我们来写一下啊。嗯，首先呢，我们说，因为四边形 a、 b、 c、 d 是 什么形， 都是由它的性质起的啊，平行四边形，要不然你看，我写垂直平分线，你没有终点，他也写不了垂直平分线，是吧？所以呢，你的 a、 d 会等于 b c， 你 的 ab 会等于 cd， 这是两组对边分别相等，这一会啊，要倒一组邻边啊，的和要用着啊。还有一个就是 a o 等于谁？ o c， 那 你 a o 等于 o c 之后对角线互相平分，然后你加上垂直 e o 垂直于 a c 啊，所以你的 e o 是 是 a c 的 垂直平分线， 所以呢，你的 a e 会等于 e c， 看懂吗？然后因为你的这个平行四边形 a b c、 d 的 周长 为谁呀？ ab 加 bc 加 cd 加 ad 等于多少？等于十六，所以我会求出一组邻边啊。这上面这个 换进来是不是应该是二倍的 a、 d 加上二倍的 c、 d 就 会等于十六，所以 a、 d 加 c， d 就 等于几等于八吧，对不对？那么你写，因为三角形 c、 d、 e 的 周长 为谁加谁啊？ c、 d 加 d， e 加谁 e， c， 然后它就等于 c， d 加 e， d 加谁呀？加 a， e 就等于 cd 加 ad 等于几啊？等于八，那这地方就写所以就行了啊。这是第二小题，那么第三小题 写到这吧，他说如图，在梯形 a、 b， c、 d 中， a， b， c、 d 中啊，看图，然后呢？说 ad 啊，能平行于 bc， 那梯形是不是有只有一组对边平行，所以上下两个平行的啊？然后角 c 呢？是九十度，说明是等腰直的，叫直角梯形啊。说 a、 d 等于三， ab 等于四，然后 b、 c 这它等于五， 然后 e 在 bc 上说 ab 又平行于 d、 e， 哎，你看这不就叫两组对边分别平行， 那我们平行四边形的定义不就说了吗？两组对边分别平行的四边形是什么啊？不对，两组对边分别平行的四边形是什么形？ 是平行四边形，那你看，不就正出它是平行四边形了，那这个四就上这来了，那这个三就上这来了，那这就是二，对不对？然后让我们求的是 a、 d 和 b、 c 之间的距离，那 a、 d 之间的距离不就是垂线段的长吗？那也就是求 cd 的 长 是吧？那你看这勾股定律不就求了吗？啊，来，第三题写到这里啊，解， 首先由这个两组对边分别平行啊，来求平行四边形 a、 d 平行于 b、 c， 然后 a、 b 平行于谁？ d、 e， 所以呢，四边形 a、 b、 e、 d 是 平行四边形， 然后我们就会得到 a 呃， b， e 等于 a， d 等于三， d， e 等于 ab 等于四啊，这叫对边 相等，对吧？对边相等。然后呢？你写，所以 e， c 就 会等于 b， c 减 b， e 就 等于五，减三等于几等于二。然后在 r t 三角形 e， d， c 中 角 c 等于九十度。所以 d， c 等于根号下四方减二方等于 二倍，根号三啊。这就是第三题。

将三角形 a、 b、 c 绕点 a 逆时针旋转一定角度，得到三角形 a、 d、 e。 角 c a、 e 等于六十五度， 角 e 是 七十。由旋转啊，三角形是全等的，角 e 和角 c 应该相等，那角 c 这里也是七十， 而 a、 d 垂直 bc 直角。大家去观察一下我们这个小三角形， 这个小三角形它内角和是一百八十度嘛？去掉一个九十，去掉一个七十，那么剩下的上面这个小角应该是二十一百八减九十到九十，九十再减七十到二十， 所以 d、 a、 c 就是 二度。想让我们求出角 b、 a、 c。 先把这个角 d、 a、 e 求出来，角 d、 a、 e 它是二十加六十五 和是八十五度，有旋转吗？ b、 a、 c 和 d、 a、 e 的 角度是一样的，所以角 b、 a、 c 的 度数是八十五度。

决定成绩好不好的是你的态度。我们看八年级数学下册课本的六是一只啊。这里先来练习第一题。已知 x 是 大于 y 的， 那么下面不等式一定成立嘛？为什么 x 大 于 y， 那 么两面都减去六，应该还是大日号， 所以这第一个是不成立的啊。那么 x 大 于 y， 两面都乘以三，根不等式，积分乘以二，那么还应该是大日号，所以这个不成立的。 x 大 于 y， 两面都乘以负二，应该改变符号。哎，小日号有，这个是对的。 x 大 于 y， 两边都先乘以二，结果二 x 大 于二， y 好， 然后两边再加上一，那还是成立的 啊。这个根据不等式的性质，把它弄清楚。第二个解下的不等式，并把解集在数值上表示出来，那么 x 两边都加上一，那么这个加一就三。 x 大 于三，那么 x 大 于三，我们看到零一二三竖轴上圆点正方向到我们三，空心的往右指， 对吧？好。第二个， x 负 x 小 数，两边乘以这个把系数变成正的，那么这里两边的乘以负的就负六分之五。 呃，小数号我们变成大数号，所以零，这个写多少呢？负六分之五，那负六分之五是多少呢？你觉得这个是一，对吧？这是负一，负六分之五就是负，大概在这呢， 对吧？呃，比它大，那这里我们写个负六分子放在这里啊。空心的，然后在底下把这个负六分子写出来，不然的话你不写出来。当然这个准确的表示，我们只是表示这种意思啊。 呃，这里两面同时乘以二，那就是 x 小 于六，对吧？ x 小 于六，要不要画那么多格子呢？你比如说这个零二四六，你画这么多也可以啊。小于六，空心的往左边去，对吧？ 啊，这个这表示清楚，首先竖折表示清楚圆点正方向，单位长度，然后这个空心呢？还是实心的，哎，这里都是空心的，是吧？好，我们看到下面的练习，用适当的符号来表示， x 的 三倍， x 的 三倍三， x 与八的和加上八比 x 的 五倍， x 的 五倍大，这个比这个大。哦，这边大 x 的 平方是非负数，那就说正数或者是零非负数，对吧？好，地球上海洋的面积大于陆地的面积，有时间我就写的比较少，比如说海洋的面积，我们用这个 s 一 来表示海洋的面积，用 s 一 来表示陆地面积， s 二来表示则 s 一 大于 s 二。 当然呢，我们也可以写个 s 哈，大如 s 路，对吧？也可以啊，这个有时间呢，我就没写这么多字。老师的年龄，比如说用 x c 来表示学生的年。你的年龄，比如说用 y c 来表示， 那么老师的年龄你的年龄的两倍还要大。老师的年龄比你的年龄两倍还要大，那么比如说 x 大 于二 y， 因为题目上没有字母。比如说尖球的质量，我们用 m 七或者 m 一 来表示篮球的质量，用 m 二来表示的话，尖球的质量 m 一 大于 m 二， 当然你也可以写 m 七大入 m 蓝，知道这个意思就可以了啊。好，下面的时候，中国人民解放军海军舰的福建舰呢？满载排水量比山东舰的排水量要大。好，呃，这个福建舰的排水量，我们用这个 v 一， 这个立方米来表示。 v 一 立方米来表示，那么这个山东舰呢，用 v 二立方米来表示，则 v 一 大如 v 二，用字母来表示，就在前面我们加些文字。 好，下面呢说，在这里是 x 加四等于零的解，那么这个负四啊，这个以前我们学过了的，对吧？用不着说。那么这个要是 x 加四大于等于零，那就是说把四，如果说我们两边都减去四，就 x 大 于等于负四，这是它的解集，而这里呢？呃，属于它的解有多少个呢？在 本来是无数多个啊，但是在这里一些数当中，我们就找一找，大于等于负四，有零，有负四至几，有三，有负三，有五分之一，嗯，还有什么？还有四比它大的都是可以的啊。 嗯，现在我们看到说是 x 加四小于零，那我们两边的减去 x 小， 这边是负四了，哎，这里比负四小的，那就叫什么呢？负五负十了，对吧？ 第三题，将下列不等式的解集分别表示在这个数轴上，哎呦，这个够耽误时间呢，没提前画啊，这里是零，这里是一小于等于零实心的点， 对吧？哎，就行了。那么这个 x 大 于二点五，那就是空心的点，哎呀，这来不及，够画，它，耽误时间，哎，比如说这个零，哎呀，这个，这个，这个什么东西呢？没有时间给它慢慢画的。 比如说这个 x 大 于负二，负三，负二点五。好，这里呢是空心的， 写个负二点五就行了啊，比如说，这是这一题了啊，这个箭头别忘记了啊，因为时间的关系，没办法，这个 x 大 小是三分之二，这个一二三分之二，大家在这里小于 换一个，这是第二个，因为时间关系没办法画，所以我就说这么 x 大 于等于等于四三四，实心的点就是自己重新去画一个啊，像我这样在一个上面是不行的啊。这个是不等式组的解的，因为今天没有时间跟大家慢慢说的。 a a 小 于 b 的 话，那么两面都减去三还是小于号，对吧？呃，两面都乘以六，也是还是小于号。呃，两面都乘以负一，那就变成大日号了。呃， a a， 因为 a a 小 于 b 对 吧？这个两面的减去 b a a 减 b 就 小于零 b 加 b。 记得点赞关注哦！

翻到课本三十六页，我们来看一下勾股定律的逆定律如何解决一些实际问题。 a t r 如图所示，港口 p 位于东西方向的海岸线上，远航号和海天号它们的这个轮船同时离开港口， p 各自沿着一个固定的方向航行，也就是说它们的这个方位角是不变的。远航号每小时航行十二海里， 它们离开港口一点五小时之后，分别位于点 q 和点 r 处，并且相距三十海里，这个之间相距三十海里， 然后这个海天号每小时航行十二海里，它是十二海里，那么航行了一点五小时，我们先可以把 pr 求出来， pr 就是 一点五，乘上十二海里，它就会等于十八海里，所以 这就是十八。然后 p q 的 话，这个远航号每小时航行十六海里，也是一点五小时，那我们就写这个 p q 等于一点五，乘上十六，它等于二十四海里， 这里是二十四，他问的是什么呢？他说如果这个远航号沿着东北方向，那么东北方向是正东北方向，也就是东北方向的角平分线，也就是可以通过这个条件可以得到角一等于四十五度， 这个角是四十五度，那么海天号沿着什么方向航行呢？ 那这个沿着什么方向？那我们就可以尝试着用这三边关系看看能不能构成勾股定律的逆定律，判断它是九十度，如果它是九十度的话，用九十度减去这个四十五度，就可以得到角二，也是四十五度了，对不对？好，我们来写一下 这个 p r 的 平方加上 p q 的 平方，它会等于十八的平方加上二十四的平方，十八的平方等于三百二十四， 二十四的平方等于五百七十六，加起来是等于九百的，而这个 p q 的 平方，它是等于三十的平方，也等于九百， 所以 p r 的 平方加上 p q 的 平方等。哎，写错了啊，不对， r q 前面写错了，这里是 r q 等于 r q 的 平方， 所以我们可以得到角 r p q 等于九十度，所以这里是一个九十度，它既然是九十度的话，我们这个角二， 所以角二等于九十度。减去角一也就等于九十度。减去四十五度，它就等于四十五度，所以角二等于四十五度。上北下南，左西右东，这里是北，这里是南， 左西右东。好，那么它是北偏西四十五，北偏西四十五度，那么也就是西北方向，所以海天号沿着什么方向航行，所以我们这里最后再说一下，海天号沿着 西北方向航行 就可以了。大家看到例题三，如图所示，在四边形 a、 b、 c、 d 当中， ab 等于五， bc 等于三， ad 等于三分之五， c、 d 等于三分之十三。如果 a、 c 垂直， b、 c 判断 a、 c 与 a、 d 是 否也垂直，并且说明理由。好，我们这里有一个直角三角形，因为这里是一个九十度，所以我们可以直接用勾股定律把 a、 c 算出来，再通过勾股定律的逆定律判断 这个角是不是九十度就可以了，对不对？这个就是思路，好吧，好，因为这个 a、 c 是 垂直， 是垂直 bc 的， 所以这个角 a、 c、 b 是 等于九十度的，那么在直角三角形 a、 b、 c 当中，我们就可以用勾股定律了，对吧？这个 a、 c 的 平方 就会等于 ab 的 平方，减去 bc 的 平方就等于五的平方，减三的平方 等于十六，所以 a、 c 就 等于四。好， a、 c 等于四，我们求出来了，再用勾股定律判断一下啊，用勾股定律的逆定律，好吧，好，我们来算一下。 因为 a、 c 的 平方加上 ad 的 平方等于四的平方，加上三分之五的平方，它就等于十六，加上九分之二十五，合并起来就等于九分之一百六十九。 那么再看一下 c、 d 的 平方， c、 d 的 平方等于三分之十三的平方，也等于九分之一百六十九啊，所以 a、 c 的 平方加上 a、 d 的 平方等于 c、 d 的 平方。 所以我们就说三角形 a、 c、 d 为 r、 t 三角形， 则这个角 d、 a、 c 就 等于九十度。好，这个角等于九十度了，所以这个 a、 c 就 垂直 a、 d。 好， 这样写就可以了。 再来看到练习 abc 三、 d， 它两两的距离如图所示， a、 d 在 b、 d 的 正东方向， a、 d 在 b、 d 的 正东方向，也就是说它实际上呢，是把这个 b 点当做中心了啊。咱们来画个轴， 这个是东西方向，那这里画下来的话，其实就是南北方向啊， 因为这道题里面已经没有其他角度的提示了，所以我们唯一能判断的就是要判断出这个角 b， 它等于九十度，那这样的话，这个 c、 d 就 在 b、 d、 b、 d 的 正北方向啊，因为上北下南， 左西右东。好，你分析完之后，那接下来就是证明这个角是九十度了，怎么证明呢？ 它这里围成了一个三角形，它的三边都告诉我们了，所以我们要判断呢，就是通过勾股定律的逆定律去判断它是一个直角三角形就可以了，对不对？好，直接写在三角形 abc 当中。先算两条短边的 bc 的 平方 加上 ab 的 平方加上十二的平方，那么它就会等于二十五，加上一百四十四等于一百六十九。 然后再看 a、 c 的 平方， a、 c 的 平方等于十三的平方就等于一百六十九，所以 b、 c 的 平方加上 a、 b 的 平方等于 a、 c 的 平方，满足勾股定律对不对？我们就直接说，所以三角形 abc 为直角三角形， 它是一个直角三角形，所以角这个 a、 b、 c 就 等于九十度。再说，所以这个 c、 d 在 b、 d 的 正北方向 就可以了。第二题，高师傅有五根长度分别为六、八、十、二、十四和二十六的钢条，这些钢条的单位都是分米， 准备选三根焊接成一个直角三角形的钢架。请你帮高师傅找到所有可能的钢条组合，这里把，要把所有的组合全部找出来，那我们就要先把他们的平方全部算一下， a 的 平方等于六的平方等于三十六。我们这里最关键的就要找到什么呢？就要找到 a 的 平方加上 b 的 平方等于 c 的 平方，但由于这道题里面有 abc， 所以 我们这样写的话容易有歧义，知道吧？好，我们先写 a 的 平方等于六的平方等于三十六， b 的 平方等于八的平方就等于六十四， c 的 平方等于十的平方等于一百 d 的 平方等于二十四的平方，它就等于五百七十六， e 的 平方等于二十六的平方，它就等于六百七十六。我们看一下哪两个相加会等于另外一个，这两个相加会等于正好等于一百，你看 a 的 平方加 b 的 平方等于一百，哎，你看是不是和 c 的 平方相等啊？ 所以 a 的 平方加上 b 的 平方等于 c 的 平方，所以其中有一个组合，第一个组合就是 a 等于六， b 等于八， c 等于十，这三个可以 组成直角三角形。 好，那么第二组再找一下，有哪两个相加行不行？哎，这两个相加行不行 啊？这两个相加行不行？你看这两个相加正好是可以的，对不对啊？因为 c 的 平方加上 d 的 平方等于一百，加上五百七十六，正好等于六百七十六， 而这个 e 的 平方也等于六百七十六，所以 c 的 平方加上 d 的 平方，所以第二个组合就是 c 等于十， d 等于二十四， e 等于二十六，这个一组也可以组成直角三角形。 好，还有其他的吗？没有了啊，再找的话就找不到了，只有这两个组合。 第三题，如图，在四边形 a、 b、 c、 d 当中， ab 等于三， bc 等于四， cd 等于十二， ad 等于十三。我们一个一个标上去， ab 等于三， bc 等于四， cd 等于十二， a、 d 等于十三角， b 等于九十度，那给我们标上，求四边形 a、 b、 c、 d 的 面积，求它的面积，它不是特殊的四边形， 比如说长方形，你可以用长乘宽，如果是平行四边形，你可以用底层高，对不对？但是它都不是，那怎么办呢？那我们就把它分割成两个三角形来算，对吧？先把 a、 b、 c 算出来，再算 a、 c、 d， a、 b、 c， 它是直角三角形，好算，底和高直接可以看得出来，但是 a、 c、 d 这个三角形能不能直接看出来呢？其实你也大概能看出来，只是你不确定这里一定是九十度，所以我们要用勾股定律的逆定律去证明一下它，这个是九十度就可以了。怎么证明呢？先把 a、 c 算出来， 在 r、 t 三角形 a、 b、 c 当中啊，这个 a、 c 会等于 a、 b 的 平方加上 b、 c 的 平方再开方啊。负数要舍去， 所以它就会等于三个平方加上四个平方，开方就会等于九。加十六开方就会等于根号二十五，就会等于五，所以 a、 c 等于五， a、 c 等于五。之后你再看这个三角形， 在三角形 a、 b、 c 当中啊， a、 c 的 平方加上 c、 d 的 平方等于五的平方，加上十二的平方等于二十五，加上一百四十四，等于一百六十九，而这个 a、 d 的 平方 等于十三的平方，也就等于一百六十九，所以 a、 c 的 平方加上 c、 d 的 平方会等于 a、 d 的 平方，所以这个三角形 a、 c、 d 为直角三角形， 所以角 a、 c、 d 等于九十度，那么这个四边形 a、 b、 c、 d 的 面积，它就会等于三角形 a、 b、 c 的 面积加上三角形 a、 c、 d 的 面积，这个九十度我们已经求出来了，标一下， 那么它们的面积呢？这个三角形就等于底层，高除以二就三乘四除以二，就会等于二分之一，乘上五，再乘十二，三四十二除以二等于六， 这里一乘等于六十六，十除以等于三十，所以加起来就等于三十六。看一下题目里面给有没有给单位，没有给单位，它的四边形面积就是三十六就可以了。

多做好题，出成绩。八年级数学下册小册子的第六页纸，我们看到第八题，以至于图在四边形 a d b c 中， b c 等于二倍的 b d， 这句话什么意思呢？ b c 等于这个两个乘 b a 平分角 d b c 啊，这两个角相等， ab 等于 c， 哎，这里有个等幺三角形， ab 等于 c 等幺三角形，那我们就有底边上的高，底边的中线， 嗯，那么这里要证明的是，这里是直角，哎，我们说我们能不能得到这里直角，这个或者说都什么东西呢？我们看到如果说我们做 a h 垂直于 b d 啊， a h 垂直于 b c 于 h， 呃，因为 a b 等于 a c， 对 吧？所以这个 b h 等于 c h， 那 就等于二分之一 b c 了。 当然了，你要是做中线，做中线可以得到垂直，做垂直可以得到中线， 当然您做这个角平分线其实也是可以的，为什么呢？因为等腰三角形，底边的中线，底边的高线，顶角的平分线呢？是同一条线段是互相重合的啊。当然你就看您这做哪个你证明比较好。写好， bh 等于 c h， 那么刚在这里我们来看到这个因为什么？因为这个 bc 等于两倍的 bd， 那 么它也等于两倍的 bh， 两倍的 bd 为 h， 所以 这个 bd 就 应该等于 bh， 对吧？就说 bc， 以这条结论说 bc 的 bd 的 两倍，我们刚才 bh 的 c h 的 二分的 bc 就是 bc 的 两倍的 bh 的 意思好要因为 b a 平分角，呃，叫什么角 dbc， 所以 角 dba 等于角 hba， 那我们看到在三角形 dba 与三角形 hba 中， 那我们就有这个 bd 等于 bh， 刚才正了角 dba 等于角 hba 刚才与这里面角平行，然后这个 b、 a 是 公共 b a， b， a 等于 b a， 所以三角形 b， d， a 全等于三角形 b， h， a 好， 这里理由叫走 s a， s 边角边好，那么所以有了角 b， d， a 就 等于角 b， h， a 就 等于九十度， 好，九十度就是垂直的意思，所以 a、 d 垂直于 b、 d 好， 这样我们就正完了。那么在这地方呢，我们要证明这两个三角形呢？这个地方跟这地方角都是直角，就意味着垂直好，合理利用三线合一的内容。 好，下面我们看到第九题，在这如图，在三个 a、 b， c 中，角 a， b， c 等于四十五度，好，这个角是四十五度，然后呢？ cd 垂直。呦，垂直到这角不也是四十五度了吗？ 嗯，这角不也是四十五度啊。那么我们再来看到 d 等于 ad， d 在 哪里？ d 在 这里等于 ad b 的 这，哎，这是直角，我们看到 a、 d， c 和 b， d， e 好， 这个过程我都不写了。在三角形 b、 d、 e 和三角形 c， d， a 中， b， d 等于 c， d 哪来的 b， d 等于 c， d 呢？因为这个 c、 d 垂直 ab 啊，并且这个角 abc 是 等腰直角三角形，所以 b、 d 等于 c、 d， 对吧？这里直角那是车的油，那么这个 d， e 等于 d， a， 所以 三角形 b、 d、 e 且等于三角形 c， d， a。 这里的理由是 s a， s 啊，这个比较简单，我都不写那么多了，没有数的时间写了啊。 好，第二个呢，若 ab 等于 bc， 如果 ab 等于 bc 的 话，那么这个 abac 就 成了等幺三角形，对吧？就成了等幺三角，等幺三角形。那我们看到这里 等幺三角形之后呢？那我们能够得到什么呢？你看题目求证的是什么？求证 b 等于两倍的 c、 f 啊。求证 b 等于两倍的 c、 f、 b、 e 等于两倍的 c、 f。 在 那里，刚才我们证明这个三角形 b、 d、 e 与三角 c、 d、 a 两个三圈等的时候啊，那就有了一个叫做 b、 e、 d、 c、 a 了 啊，有个 b e、 d、 c、 a 好 b、 e、 d、 c、 a。 要求成 b、 e、 d。 两倍的 c、 f 就 求成 c， a 等于两倍的 c、 f 要求成 c， a 等于两倍的 c、 f。 哎，那 f 如果是中点就好了啊， f 至终点呢？我们刚才是 b、 a 的，是 b、 c 的 时候，如果我们要能够得到，得到什么呢？得到这个， 哎，得到这个 b、 f 是 角平分线，等幺三角形顶角的平分线，也是底边的高线，也是底边的中线就可以了， 那我们哪里能得到角平分线呢？我们再来看啊， b、 d、 c。 刚才这说明是等腰直角三角形， 那么等腰直角三角形之后，我们刚才证明的 b、 d、 e。 等于 c、 d、 a。 这个角四十五度，那我们就可以得到角 a。 等于角 b、 c、 a 等于多少呢？一百八十减四十五除以二，六十七点五度， 对吧？角 a 等于这角六十七点五，六十七点五度，那我们就可以得到这个四十五的这个角叫做角 a、 c、 d、 e 呢？是等于刚才这个角 d、 b、 e 的 等于角 d、 b、 e 的， 那就应该等于六十七点五减四十五，二十二点五度，那么这个角二十二点五度，这个角也是二十二点五度，所以这个角 c、 b、 e。 对，就等于角 a、 b、 e 也是等于二十二点五度，所以我们就可得到的 b、 f 平分角 abc 好， 由于时间的关系啊，这过程没有写清楚啊。 b f 平分角 abc 好， 等腰三角形 ba 等于 bc， 顶角的平分线也是底边的中线，所以 c a 等于 c f 的 两倍。由于第一个证明 b e 等于 c a， 所以 b e 等于 c f 的 两倍。好，自己把这过程把它理。记得点赞关注哦。

你会做吗？八年级数学 下册的小册第三页纸，我们看到第一题，下列说法正确的是第一个，多边形的边数每增加一，它的内角和则增加一百八十度，这个是正确的啊。三角形内角和一百八十度，四边形的内角和呢，是三百六十度，五边形的内角五百四十度，对吧？所以这个 现在 a， 我 们看到多边形的边数每增加一内角和增加三百六十度，这个是错误的啊，它是正确的。我们，呃，每个角都相等的多边形是正多边形，每个角都相等的，我们来看到它的反例就是矩形， 哎，也就是小七所说长方形，你看长方形的四个角都是九十度，他不是正多边形，因为他们的边不一定相等，那么每条边都相等的多边形是正多边形的，这个也是错误的啊，那么他的反例就是什么呢？菱形， 菱形的每条边都相等，但是呢，它的每个角都不一定相等，所以 b、 c、 d 啊，都是错误的。我们看到第二题，这个角是直角，所以这两个加起来都是九十度， 那么这个角一加加二呢？这是一个平角一百八，这个平角一百八，对吧？三百六十度减九十度等于二百七十度啊，角一加加二等于二百七十度。当然呢，你也可以有其他的计算方法。 好，我们来第三题，六平行 a、 b、 c、 d、 e、 f 是 正六平行，正六平行就说明这个角是一百二十度，正六平行的每个内角是一百二十度。直线 a， 直线 b 啊，如图所示，记到 a 平行于 b， 如果角一等于五十四度， 那么角一等于五十四度，那么这个角呢，那就应该这两个角的和等于这个角。我们在以前学过啊，那么这个角就等于六十六度，那么这样角二呢，那就等于一百一十四度 啊，当然呢，你也可以，你也可以这样来做啊，哎，怎么做呢？我们过点，第一做平行线， 对吧？这个角以五十四度，所以这个角就是五十四度，然后这个角就得一百二十度减五十四度等于六十六度，然后这个角就得一百八十度减去六十六度。两只起名同名的就互补啊，但是每个人的做法是不一样的，只要结果正确就可以了。我们看到第四题， 在五边形 a， b， c， d， e 中， a p 平分，角 e， a， b， a p 平行于 d， e， 呃，现在角 c 呢，是等于一百度，角 d 等于七十五度，角 e 等于一百三十五度， 这里有个平分啊，那我们看到这里两直线平行的时候呢，那这个角也是七十五度， 对吧？那现在我们这里，哎，我们这里刚才两这边这个地方呢，那就是四十五度了，有两这一名这个同班的角互补，但这两个角下呢，这也是四十五度。好，于是我们就看这个角 b， 那就等于这个四面形内角和三百六十度。三百六十度减去这个一百度， 再减去这七十五度，减去这四十五度。三百六十度减一百度就两百六十度，两百六十度，这个七十一是一百二十度，两百六十度减去一百二十度，就等于一百四十度啊，所以角 b 等于一百四十度。 好，我们看到第五题，小东我把一个多边内角和啊求出了，是一百一十度，小兰说多边内角和不可能是一百一十度啊，你一定是不是多加了一个锐角呢？ 好，那我们说这个八边形的内角和是一千零八十度啊，八边形的内角和。 呃，七边形的那角和是九百度，对吧？六边形的那角七、八二十度，这些最好都要背下来啊。那么这样的一千零八十度，那肯定是多加了个二十度的角啊，你多加六角的度数是二十度，而你所求的本应该是八边形的那角和啊， 如果这个多边形是正多边，正八边形的话，正八边形的每个外角呢，是四十五度，所以它的每个内角是一百三十五度。当然了，你也可以把它的嗯内角和给它求出来啊。对，内角和 n 减二乘一百八十度。 呃，这个有时间我们就不多说了啊，这个很简单啊。啊，这个每个内角八边形的正八边，每个内角是一百三十五度啊，他的每个外角是四十五度，你可以从外角往内角来找，当然你也可以直接去找内角。 小灯。将一个正六平行，如果正八平行，而如图所示，放置 a、 b、 c、 d 在 同一条直线上，那么我们说正六平行，这个是一百二十度的角，那么这个角是六十度，那么正八平行，这个是一百三十五度。对，我刚才说要背下来，这是四十五度 啊，六十度加四十五度是一百零五度，因此这个角呢，这就是七十五度，这个角叫做 b、 f、 c 就是 七十五度，当然这个角也是一百二十度，这个角呢，也是一百三十五度啊，比较小。 嗯，大家没看清楚，所以角 e、 f、 g、 e 就 应该等于整个三百六十度，减去一百二十度 啊，减去一百三十五度，再减去这个七十五度，三百二十减一百二十九，两百四十。 嗯，这个一百三十五加七是二百一十，两百四十减两百一十，就是三十度。所以角 e、 f、 d 呢？是等三十度。记得点赞关注哦！

大家好，我是讲数学的小胡老师，今天我来讲解新版八年级下册数学第五十三页啊， 习题，二十一点一的六七八九题，第六题，他说如图，在 n 边形内， n 边形内啊，取一点 o， 说连接点 o 与 n 边形的各个顶点，也说 o a o a 一 a 二 a 三 a 四 a n 一 a n 啊，他们这些顶点都连线，说 n 边形被分成了多少个三角形，那你看啊，这个 o 跟你的这个两个端点连线的话，那就会围成一个三角形，然后这个三角形的这条边恰好是多边形的一条边。 那也说他这些三角形啊，都用了一个多边形的边，那有多少个三角形就用了多少条边啊，有多少条边就能有多少个三角形。所以呢， n 边形被分为了 n 个三角形。那请你利用这种方法来推导 n 边形的内角和公式。 那么首先我来答啊，首先答，嗯， n 边形被分为了多少个三角形？第六题来， n 边形被分为 n 个三角形，那他让我们推到内角和公式，那你想，嗯， n 边形分成了 n 个三角形，一个三角形的度数是一百八，一个三角形的内角和等于一百八，那我 n 个三角形 是不是应该是 n 乘一百八，对吧？ n 乘一百八，那 n 乘一百八之后啊， n 乘一百八之后，然后呢？你想我的，嗯，三角形的小盒包括了这个角，这个角是不还有个字， 那这个角呢？他不是多边形的那角，所以我得把这一圈的这一个啊，以 o 为顶点的这一圈的角，他都得减去，那这一圈呢，正好是多少度？三百六十度，所以减去三百六啊，他就等于 他是不是让我们推到公式，那我们记得公式应该是 n 减二乘一百八，对不对？那我这个三百六就可以给他变成 一百八乘二，那我们用乘法分配律逆算，那么 n 减二乘多少就行了。乘一百八，那这个公式这不就推导出来了吗？这是啊，第六题，那么第七题啊，他说如图，五边形 a、 b、 c、 d 的 内角都相等 啊，他们的这些内角都相等，然后且角一等于角二，然后角三等于角四，然后让我们求这 x， 那 你想他的五个内角都相等，那就说明你的这个五边形应该是一个正五边形了 啊，那咱不说他正还是不正，咱就说他，既然五个内角都相等，那我可不可以求出这五个啊？五个内角分别多少度啊？啊？那我们可以求一下来，第七题，五个内角分别为多少度呢？嗯，我们可以说，因为 五边形内角和为 五减二乘以一百八等多少？等于五百四十度啊？所以呢，一，每个内角，因为他们每一个内角不都相等的吗？所以每个内角 为五百四除以五等于多少？一百零八度。所以呢，你的角 e， 这个一会咱要用，然后角 c， 一 会再用，这个大角也要用，因为 x 个字，是不是这两个角 它用处不大啊？所以我们可以写角 e 等于角 e、 d、 c 等于角 c 等于多少度？一百零八度啊，把这三个大角写出来，然后我们可以说，因为你的角一等于角二 啊，然后角三又等于角四，所以呢，你看啊，这个大角相等，然后他俩相等，他俩相等，那你说我的这个角一、角二、角三、角四，是不应该都相等， 对吧？角一等于角二等于角三等于角四，那他怎么求啊？等于用一百八十度减一百零八除以几呦？ 除以二啊，等于七十二，除以二等于多少？三十六度 是不就能求出来你的角一、角三等于三十六了，对吧？所以你的 x 就 应该等于一百零八度，减去 角一，减角三，那就等于一百零八减三十六，再减三十六等于多少？减七十二是不还得三十六？ 所以 x 应该等于三十六度啊，这是第七题。那我们再看第八题，他说在四边形 a、 b、 c、 d 中，这个四边形 a、 b、 c、 d 中啊，你观察四条边数不相等，它不是正的啊。然后 a、 c 和 b、 d 啊，是两条对角线，这两个红色的线，粉色的线啊，是对角线， 他让我们比较 a、 c 加 b、 d， 也就是这两条对角线与四边形周长的大小。 那你说四边形的周长是不应该是 ab 加 bc 加 cd 加 ad 啊？对不对？那你你要比较这四条边的和和中间这两条边的和，咱们咱咱可以说一目了然，我就能看出来谁长 是不？四边形的那个周长应该长，那如何来证明呢？那我如何来比较大小呢？这里你要考虑到一个三角形它的三边关系 啊，你要求和那只，你要 ab 加 bc， 他 跟 a、 c、 b， 是 不是在这个三角形里 ab 加 bc 那 个要大于 a、 c 是 吧？啊？然后你 ab 加 cd 是 不是大于 a、 c， 这两个都是大于 a、 c 的， 那你上下这两个三角形那两边之合是不是应该大于这个 b、 d？ 那你这里边你就要怎么样呢？把这啊，四个三角形 a、 b、 c， b、 c， d， a、 d， c， 还有 a、 b、 d 这四个三角形，它的三边关系都要给它写出来 啊，都要写出来，写完了之后呢，我们再通过算式，然后，然后进一步推理它。所以说来咱们来写一下啊。第八题，减 啊，我们可以利用三角形的角和啊，那就，呃，不是三角形的角去了三边关系啊，在三角形 a、 b、 c 中， 你的 ab 加 a 加 bc 是 不应该大于 a、 c 啊？它俩的和是不大于 a、 c？ 那 么在三角形 bc、 d 中，你的 bc 加 cd 是 不应该大于 b、 d？ 然后在三角形 a、 d、 c 中，然后 a、 d 加 c、 d 是 不应该大于 a、 c？ 然后在三角形 abd 中， 你的 ab 加 ad 是 不应该大于 b、 d？ 那 你看，这四个三边关系都整理出来之后，你观察左边的都是 四边形的中那个边长，然后右边的正好都是这两条对角线。所以把这四个算式怎么样相加啊？一二三四啊，一加二加三加四得， 也就是二倍的 ab 加上，嗯， bc 加 cd 加 ad， 然后应该大于二倍的 a、 c 加谁呀？加 b、 d， 那 同时约调啊。二，是不是 ab 加 bc 加 cd 加 ad 应该大于 ac 加 b、 d， 那 么它的结论就是 ac 加 b、 d 与四边形周长的大小，那我们就可以写了。所以 ac 加 b、 d 应该怎么的小于四边形的 周长啊？这就是第八题。那么看一下第九说如图啊，要使四边形木架用四根木条定成的走四。呃，四根木条定成不变形，那至少再定上几根木条。那五边形木架和六边形木架呢？ 那你说我们那个具有稳定性的应该是什么呀？应该是三角形，对吧？所以呢，你要考虑到在这个四边形里啊，加一条对角线 啊，加对角线，然后让把你的，让你这个四边形变成什么三角形，那不就稳定了吗？对不对？所以第一个啊，至少定上几根啊？ 第一个定上一根，那这一根怎么定？记得啊，对角线，这条对角线也行，或者这条对角线也行，都可以，但是他只需要几根一根。那我们看第二个五边形，一二三四五。 那你说五边形要想给他隔出三角形来，那你想我也可以啊，过一个点来做对角线啊，一条，两条。哎呀， 那你看我现在隔出来的这个图形是不都三角形，那三角形不就有稳定性了吗？所以我至少得加几根，两根。当然你可以过这个点，这画，这画也可以，或这画这画都可以啊，只要是对角线都行。那我六边形呢？ 一二三，这三角形，这三角形，这三角形，这三角形，所以至少几根，至少得三根啊，这就是第九题，它是最简单的题。

大家好，我是讲数学的小胡老师，今天我来讲解新版八年级下册数学第三十六页练习 啊，这页的练习呢，主要就是，呃，练习勾股定律的逆定律啊，那勾股定律逆定律是什么呢？来我们看一下，他说如果三角形的三边长为 a、 b、 c 方，那么这个三角形是直角三角形， 那么这个是勾股定律的逆定律。那么如果要想判断这个三角形是不是直角三角形，我只要来看这三条边满不满足这个 关系是不就可以了？那我们看利益，看它的这个格式啊，说判断线段 a、 b、 c 组成三角形，是不是直角三角形啊？他说 a 等于八， b 等于十五， c 等于十七， 然后呢，你看他这个解说，因为八方加十五方等于六十四，加二百二十五等于二百八十七，二百八十九，然后十七方也等于二百八十九，所以呢，这 呃两个数的平方和等于第三个数的平方，那我们说这个三条边，三条线段围成的三角形是直角三角形 啊。那么在做这样的题的时候呢，你首先你要听好一句话啊，第一呢，咱先将这三个数进行排列大小， 你得分出哪个是最长的边，哪个是最短的边。咱们说了勾股定律是不应该是两条直角边的平方和等于斜边的平方，那斜边不是最长的吗？所以呢，我们拿过这一题的时候，我们可以先比较大小 啊，那现在呢，我们看一下这个练习啊，练习题呢，咱们就用刚才我说的方法，咱先比较大小啊啊，第一题扣二一 啊， a 等于四， b 等于五， c 等于六，是吧？然后你写，因为这个 a 等于四， b 等于五， c 等于六啊，且 a 小 于 b 小 于 c 啊，或者是写四小于五小于六啊。所以呢，你的 a 方加 b 方， 那六不是最长的吗？对不对？ a 方加 b 方就等于四的平方，加五的平方等于四十一，十六，二十五，四十一，对吗？ 嗯，十六加二十五，四十一哈，然后你再算算， c 方， c 方等于六的平方等于三十六啊。然后呢，因为四十一是不等于三十六的，所以，所以线段 abc 啊，组成的三角形 啊，不是直角三角形， 这是括号一。那我们来看括号二，同样呢，我们也是先给它比较一下大小啊，因为你的 a 等于二点五， b 等于零点七， c 等于二点四，并且呢，你的 a 大 于 c 大 于谁？大于 b， 说明你的 a 是 最大的啊。所以呢，你的 b 方加 c 方就应该等于零点七的平方，加上二点四的平方等于。 咱们来比算一下，零点七是零点四九，二点四是二点五，六十六九八， 嗯，等于五百七十六。那完了，前面有一道题写错了，前面那道题我口算的是， 口算的是，哎呀，这块应该是多少五百七十六，写个七，二百五十六啊，他应该得二十四，这个位置写错了啊， 然后这个呢，他就应该等于再加上零点四七，零点四九五，这个是二，这是六，六点二五。 然后你的 a 方呢，等于二点五的平方也等于多少六点二五啊？因为六点二五等于六点二五，所以线段 你这个位置也可以这么写，你可以写这个地方，或者这么写啊，说， b 方加 c 方等于谁了？等于 a 方了啊，然后线段 abc 组成 得三角形啊，是直角三角形。 然后第三个小题啊，因为你的 a 等于五分之一， b 呢，等于四分之一， c 等于三分之一啊，并且呢，你的 a 是小于 b 小 于 c 的 啊，分子相同，分母越小，分数越大，是不是？然后，所以呢， c 是 最大的，那就是 a 方加 b 方，它等于五分之一的平方， 加上四分之一的平方等于五五二十五分之一，四四一十六分之一，这应该是四百分之乘以十六，再加四百分之二十五， 所以等于四百分之四十一，四百分之四十一。然后呢，你的 c 方呢，是等于三分之一，括号的平方等于九分之一， 这明显他俩怎么的不相等吧啊，然后你写，因为 a 方加 b 方不等于谁， c 方，对，你可以这样写啊，所以线段 abc 组成的三角形 不，不是直角三角形 啊，这是括号三来呢，括号四，因为 a 等于一， b 等于根号二， c 等于根号三， 然后，并且呢，是 a 小 于 b 小 于 c， 是 不？ c 是 最大的。然后呢，写，所以 a 方加 b 方就等于一的平方，加根号二的平方就等于 三，然后呢，你的 c 方是等于根号三的平方，也等于几三，所以 a 方加 b 方等于谁？ c 方？那么线段 abc 组成的三角形是直角三角形 啊，这是第一题的四个，那么第二小题说如图啊，啊，以三角形 a、 b、 c 的 三边为直径，这是直径啊，这三个都是直径，分别画出了三个半圆，然后这三个半圆的面积是 s 一， s 二， s 三， 如果那个 s 一 加 s 二等于 s 三的话，那么判断三角形 a、 b、 c 是 不是直角三角形，并说明理由。那么首先我们答它，是啊，第二题，嗯，三角形 a、 b、 c 是 直角三角形， 那理由如下， 写在哪呢？就在这小空里挤啊。 嗯，我们先来求一下。 s 一 就是把你的 s 一 表示出来， s 二表示出来， s 三表示出来，然后带入这个已知的这个算式里，然后化简一下啊。那么第一个 s 一， 它的面积应该是以 ab 为半径是吧？ ab 为直径是吧，它除以二乘的平方派乘以二分之一等于八分之一派谁啊？ ab 方。 那么 s 二呢？应该等于啊，以 bc 为直径除以二的平方派乘以个二分之一，这就是以 bc 为 s 二的面积等于八分之一派 bc 方。 然后 s 三呢，是以 a、 c 为直径除以二的平方派乘以二分之一等于八分之一派谁啊？ a c 方 啊。然后呢，我们就套入已知的这个公式里， s 一 加 s 二是等于 s 三，所以呢， s 一 等于八分之一派谁？ ab 方 加上 s 二是八分之一派 bc 方， s 三是八分之一派 ac 方。那三面同时除以八分之一派 啊，我们就会得到 ab 方加 bc 方等于谁？ ac 方。所以三角形 abc 是 直角三角形 啊，它是直角三角形。

成绩好的同学都在听，我们看八年级数学下册课本的五十七页纸，在上一讲当中我们提到了六加 x 大 于十这个不等式， 那么现在我们看到，呃，这里问 x 等于三四五五点五能使不等式？六加 x 大 于十成立的， 这个等式存在的，那么我们看到三三六加三是九，九是不大于十的啊，对不起，四六加四等于十等于十，这是大于十，那五是可以的，六加五一十一，所以五五点五，那么这两个呢，是可以使六加 x 大 于十成立的。 那题目问我们能找多少个使六加 x 大 于十成立的呢？我们说这里可以找无数个， 那我们刚才看的您看的这个六加 x， x 是 五、六七、八、九十、十一、十二，对吧？你说能找多少个？无数多个。所以对于不等式来讲呢？我们下面来介绍几个概念。 这第一个叫做不等式的解，像刚才这个五就是不等式的一个解啊，注意，那么对于这个不等式来讲，他应该是有无数个解。再一个还有未知数的不等式当中能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。所以刚才这个不等式我们叫的有无数个解 啊，他跟方程不一样的，我们方程有的是一个结，有的有两个结，当然也有无结的啊，不成立的。那么但是不等式到底他多少个结呢？一般来说他无数个结，当然有的时候也可能啊，不存在有结的，或者说，嗯，其他的情况我们后面再说。 刚才说不等式的解呢，那么在这个不等式当中无限多个解，所以我们把这无数多个解，所有的解，我们现在称为解集，就是解的集合的意思啊，因为还有位置说的不等式的，所有的解叫做不等式的解集，那么这无数多个我们写不清楚， 对吧？我们没办法写的清楚，所以我们用一种数学符号来写，咱们怎么写呢？咱们大家看到这里啊，那么六加四是等于十的 a， 只要比四大就可以了啊，哪怕四点一，对吧？六加十点一都可以，所以这里呢，我们这个解呢，我们就称为叫做 x 大 于四 啊，我们把 x 大 于四呢，就成为他的一个解集，就成为他的解集，对吧？那么这个时候呢，我们可以根据接下来我们要讲不等式的性质，以及一项的这个文字。 呃，这里我们就不念了啊，比如说不等式 x 平方大于零的解集，是所有非零的实数，只要 x 不 等零就可以了。比如像这里啊，其他的，你看这个 x 减一小于等于二， x 小 于等于三， 那么我们求不等式的解集的过程叫做解不等式啊。啊，首先我们不等式的解是满足不等式的这个成立的那个数啊，它可能会有很多 呃，不等式的解析，因为这么许多解呢，我们没办法一一的去写清楚啊，我们用一种符号来写，你比如像这一个，我们可以写 x 不 等零，这个 x 不 等零就代表其他都可以等啊，那么这个我们称为解集。那么求这个不等式的解的这个过程呢？我们叫解不等式， 那么通常我们可以利用竖折来理解你，比如，呃，这个六加 x 大 于十啊， 那么六加 x 的 大于十。姐姐，我们刚才那个通过观察分析得到 x 大 于四，那我们就竖轴上四 的右边的点来表示注意，这里是空心的啊，这里是空心的，就这四这个数不能算数。当然如果是六加 x 大 于等于十的话，那么 x 就 大于等于四，这个要是大于等于四的这种情况下，那我们就用啊，就把这个涂黑啊。我们看到这边的 叫做 x 减一小于等于二，那么它的解集，我们说这个三三减一等于二，嗯，那比如说二二减一等于一也可以，嗯，四就不行了，对吧？这个三以及比三小的数都是可以的。那么这个时候我们用这个实心的圆点， 然后往左边指，这个是比它大，这比它小，往左边指啊，通过竖折把它看清楚，我们看到第五十八位置， 第一个它呢？哎，不等于 x 大 于三分之二的减，有无数多个，我们说这是对的， 对吧？ x 大 于三分之二的减的，那，那三分之二比三分之二多的数，那不知道有多少个，我们看 x 等于四是不等于 x 加五大于十，有四加五不是大于十的，那就不对耶， 这是错误的，对吧？啊，这是错误的，好，我们下面这个把不定式的剪辑分别在数字上表示出来啊，这样去画的剪辑呢，有点浪费时间啊，耽误时间。那么这里呢，我可能就画的不是十分好啊，因为一边说的一边画要浪费手的时间，好，那我们看到这里的这个 零一二三四，对吧？这个 x 大 于四，空心的比它大，比这第一个， 呃，第二个呢？比如说 x 小 儿负一，那么我们就从这里，哎呀，这个小儿负一，这里负一，我们就这个，我们应该另外画一个啊。但是这里没有时间慢慢去跟大家画的 啊，没有细节慢慢画的，所以我就在这个同一个图形上来画。那么如果说这个 x 大 于等于负二的话，那我们就这个实心的点往这边来，对吧？当然我们另外一个重新画一个啊，不能在同一个数字上画，对吧？嗯，比如说这个 x 小 于等于六， 对吧？呃，有时间关系，零二四六负二。哎，您看，先画个竖轴，确定了圆点正方形当弧长度小于六。呃，一大等号，实心的点往左边了啊，应该我们另外重新呃去画。记得点赞关注哦。

你会做吗？八年级数学下册练习册的第二页纸，我们看到 e， 如图点 c 是 角 a、 o、 b 的 o， a 这条边上， 如果 c、 d 垂直于 o， b 垂直于 d， d 平行 o、 a。 如果角 e、 d、 b 等于四十度，角 e、 d、 b 在 哪里？这个角角 e、 d、 b 等于四十度， 嗯，那么刚才说 d 平行 o、 e， 所以 这个角 o， 也就是四十度，两直线平行，同位角相等，所以这个角 a、 c、 d， 这个角等于多少呢？就等于这两个不相邻的，那角的和等于九十加四十等于一百三十度。所以第一题我们选择 c、 e， 第二题他说这个斗空竹，嗯，这里的 e 为斗空竹的，这个第二个是它的形象的图形，关键有一个 a、 b 平行 c、 d 两直线平行，那我们有什么同位角，同旁 内角之类的？所以我们把这个 a、 b 跟 c、 d 啊，这里的啊延长 d、 c 加这里有一点，比如说我们说 f 吧， 那么这个角 e、 a、 b 等于七十度，这个角等于七十度，那就是说这个角 e、 f、 c、 e， 这角也是七十度，对吧？角 e、 c、 d 在 哪里呢？ e、 c、 d 在 这里，这个角是等于一百一十度， 一百一度则和它不相邻的两个内角的弧，这七十加四十啊，所以角 e 就 应该等于四十度 啊。当然你把这个角 e、 c、 f 的 这个七十度求出来也可以，对吧？然后一百八十减七十，再减这个七十，这样当然也行。好，我们看到第三题， 第三的角 b、 c 等于角 b、 c。 这个角等于三倍的角 a、 b、 c 等于三倍的角 a、 c、 b。 好， 咱们设角 a、 b、 c 等于 x 度，那么 这个角是 x 度，这个角也等于 x 度，这个角那就等于多少度？三 x 度，所以三 x 度加 x 度加 x 度，五 x 度等于一百八十度， 对吧？那么 x 就 等于三十六， x 等于三十六，这个是三十六度，这个三十六度，那么这个角就等于七十二度，所以这个角 a、 c、 d， 嗯，那就等于一十八度， 因为这里是直角，题目上说这里高啊，这里说了高，那么就是角 a、 d、 c 的 九十度。 好，这个奇差都是三题，外角等于和它不相邻的两个内角的和啊，然后这个角就是直角，三角的两个锐角互如。好，第四题就比较难了 啊，这个相反人题，其视域图如图所示啊。这些由时间关系文字我们就不多说，我们要来看它主要的，这里有一个叫始终平行， a、 b、 g、 h、 m、 n 始终平行，这是一个关键的词。 好，哎，刚才这里是如图一，是图二啊，图二，图一是个相反问题，图二呢，是它的几何变化图形，所以现在我们就来看到这个图案。 现在题目说角 e、 f、 h 等于五十六度， e、 f、 h 在 哪里呢？这个角啊，这是五十六度， b、 c， b、 c 在 这里跟 e、 f 是 平行的。哎呀，然后求角 a、 b、 c 求这个角，你看这两个平行呢，咱们要求这两个角布在一起呀，所以咱们想办法把它作辅的线弄在一起来，对吧？ 咱们可以做这个，把这个平行线呢，与第三条直线 好，比如说我们这个 a、 b、 c、 d， e、 f、 g、 h、 m、 n。 好， 这里比如说我们加一个 p， 延长 c、 b 与 h f 交入一点 p， 由于 e、 f 平行于 b、 c， 就是 e、 f 平行于 c、 p 两直角明同位角下呢？这五十六度，所以这个角就是五十六度。 哎，已知，刚才说 a、 b g h m n a b g h g h 就是 这个 p h， 对 吧？好，这两直角梯内侧角相等，所以这个角 a、 b、 p， 也就是这个角多少度呢？五十六度， 所以角 a、 b、 c 是 多少度呢？因此第一个这个角 a、 b、 c 就 等于一百八十度，对吧？减去五十六度等于一百二十四度， 对吧？这是五六，这就一百二十四度。一百五十六，加啊，一百二十四加五十六等于一百八十度。这里我们要想办法做这个辅助线。好，我们看到第二小题， 为了参加另一项高空救援的工作进行调整。嗯，现在有一个垂直，什么垂直 bc 跟 e f 所在的直线垂直啊，然后角 e、 f、 h 等于七十度，还是求角 abc 啊？现在图形在这里，现在有个什么呢？叫 bc， 如 e f， bc 在 哪里？ bc 在 这儿 跟 e f， e f 在 哪里？ e f 在 这儿，所在的直线是垂直。 哎，这，这里是直角，但图上没有画出来啊。但是题目又有一个，刚才这里所说的这个平行 a、 b， g h m n 是 平行的，所以我们来看了这个 a b， 你 看 a b， 好， 我们把这里一直做到这来。嗯，比如说这个是 p， 这个是 q， 也就是 a b 平行，介值就是 a q 平行 f h， 对 吧？好，刚才这个角，这题目上说，这里是多少度呢？这里是七十度啊，七十度，好，这个七十度，那这个角也就是七十度， 好，这个角就是二十度，为什么呢？因为这是直角啊，所以角 abc 就 应该等于一百六十度， 对吧？ abc， 呃，就一百八十减二十等于一百六十度，好，那么这个关键呢？是我们要把这个角之间的关系，把这个辅助线，把它给它做出来，记得点赞关注哦。

勾股定律的五种正法在书本的三十二页，先来看到勾股定律的第一种正法， 这个是弦图的另外一种正法，它用的是以斜边为边的正方形的面积加上四个三角形的面积。这里是以斜边 c 为正方形的一个面积，加上外面四个三角形的面积，会等于整个大正方形的面积，是这个意思。 那么这里里面，这里有这个正方形的面积，它就会等于 c 的 平方啊。以斜边为边的正方形的面积，对应的是 c 的 平方加上四个三角形的面积，这四个三角形的面积是外面四个三角形的面积。这一段是 a， 那么这一段就是 a， 这一段是 b， 所以 这一段也是 b 啊。同样的，这段是 a， 这段是 b， 这段是 a， 这段是 b， a、 b 就 这个意思，所以这四个三角形的面积，它就会等于二分之一 a、 b， 然后再乘上一个四啊，就这个意思，等于外面正方形的面积。外面的这个正方形，它的边长是 a 加 b， 所以 是 a 加 b 的 平方。然后再打开 c 的 平方，加上二 a， b 等于 a 的 平方，加二 a， b 后面是完全平方。公式打开， 那加二 a， b， 加二 a， b 抵消掉了，就剩下 c 的 平方，等于 a 的 平方，加上 b 的 平方，你看这个是不是就是个五厘米，对不对？这个是第一种正方。 第二种正法是传说中必达格拉斯的正法。这里提示把图一当中拼成的正方形与图二当中拼成的正方形面积相等就可以了。你看图一，这里是一个正方形，边长是 b， 所以 它的面积是 b 的 平方，这个是 a 的 平方， 然后这四个三角形呢？它的两条直角边分别都是 a 和 b， 所以 它的每一个三角形面积都会等于二分之一 a、 b， 对 吧？好，这里有四个，所以第一个图就是 a 的 平方加上 b 的 平方加上 四乘上二分之一 a、 b， 这是第一个图，第二个图拼成的正方形面积是，这里是 a， 加上 a 加上 b， 是 这个整体的面积啊。但是我们要的不是这个整体的面积，我们要的是把它拆分出来的面积，这里是四个二分之一 a， b， 这里有四个，所以也有四个二分之一 a、 b， 然后中间这个正方形的面积，它是 c 的 平方，它的边长是 c， 所以 我们就可以把它写成四乘二分之一 ab 加上 c 的 平方， 然后四分之一乘二分之一 ab 和这边是可以抵消掉的，就只剩下 a 的 平方加 b 的 平方等于 c 的 平方了，你看勾股定律就出来了，对吧？ 再来看到第三种方法，折矩积矩法，那么它是什么意思呢？它是把三四五这个直角三四为边，往外画了一个正方形，那就是这里， 这里是直角，这里是三，这里是四，这里是五，你可以看得出来，这个正方形就是四的平方， 这个正方形面积就是三的平方，而这个蓝色的正方形，它的面积就是五的平方，它就通过这种方式割补法， 把这个两个正方形的面积割补成一个大的蓝色的正方形的面积，就把这两个三角形的，就把这个两个正方形的面积填充到里面去了。啊，就这个意思。然后后面就是它的割补过程，看一下， 先画成这个样子，然后呢他在这里连条线，原本呢这段是四的，原本这里他是四的，啊，这里割一下，这里就变成了三了啊，他这里结了一个三下来， 所以这一段是三，那这一段也是三，然后接着他又在这里，这一段他是四，是不变的，这一段是四，他是不变的，然后在这个上面又结了一个一下来，所以这一段 是一，这一段是三，所以呢，因为这里是一，这里是三， 这里是一，这里是三，所以这一段或者是反过来画，这一段就是四，所以这条边他也是四，看到了吗？啊，所以刚才的这里的三，四， 这里的三，四，这个三角形它就可以旋转过来填充到这里来了，这里是三，这里是四，对吧？好，然后把这个哎补过来，因为它这里是一，这里是三，正好这里也是一，这里也是三， 那就把这个小长方形补过来了，补过来了之后，那这一段它就是四，原本这里是三，这里是一的，那补过来之后，这里就变成了四，这里变成三了啊，那同样的道理，这里也是三，这里也是四， 所以他就把这个三角形的面积填充到这里来了，这个三角上面这个三角形的面积填充到这里来了，最后整个 大三大正方形的面积就是五的平方，这就是五的平方， 那就把三的平方和四的平方填充到五的平方里面去了，就可以得到三的平方，加上四的平方等于五的平方，它是以这种形式割补法去凑出勾股定律的， 这个是勾股定律的第四种证法。在一本书里面有记载，这本书叫做原本，它也是用面积法去证的， 让直角三角形的三条边往外做三个正方形，如果把这个直角三角形的三条边边长分别叫做 a、 b、 c， 那 么这个三个正方形的面积就是 a 平方、 b 平方、 c 平方。我们的目的就是为了证明出 a 平方加 b 平方等于 c 平方就可以了。 他把下面这个大的正方形分割成两个长方形，让小长方形的面积等于小正方形的面积，大长方形的面积 等于中等正方形的面积，就可以得到这个式子了。好，他这里有提示，正方形的面积等于这个三角形面积的两倍， 然后小长方形的面积等于这个三角形面积的两倍，然后让这两个小三角形全等， 全等之后面积就相等，就可以说明这个小正方形的面积等于小长方形的面积了。好，我们写一下这个过程啊，你连接一下 ig， 再连接一下这个 a、 j， 我 们先证明这里的三角形面积和这个三角形面积相等， 这个三角形面积和这个 a、 d、 j 三角形面积相等啊，怎么来的？都是等底同高。你看， 因为 id 等于 id 同一个三角形，它们的底是相等的，底是同一条，那肯定是相等。然后又因为 这个 h、 c 平行 id， 所以 平行线之间它们的距离处处相等，这个距离指的是垂直距离， 在平行线之间作高，看到没有？高是相等的，所以三角形 i、 d、 g 与三角形 i、 d、 c 它们的这个面积相等，是因为同底等高， 所以我们可以得到三角形 i、 d、 g 的 面积会等于三角形 i、 d、 c。 的 面积，那么由于这个正方形的面积会等于 i、 d、 g。 面积的两倍， 因为 a 的 平方会等于两倍的三角形 i、 d、 g。 的 面积，所以这个 a 的 平方也会等于 两倍三角形 i、 d、 c。 的 面积。好了，这样的话，我们就把第一句话证明出来了，再看第二句话，这个小长方形的面积等于这个 a、 d、 g。 面积的两倍。怎么来的呢？同样的方法， 因为 a、 d 等于 a、 d， 这两个三角形它的底是同一条，那然后这个 a、 d 和 g、 k 是 平行的， 又因为 a、 d 平行 j、 k， 所以 三角形 a、 d、 j 与三角形 a、 d、 g 也是同，也是同底等高， 它们是同底等高的，那高都在这里， 高在这，对吧？然后 g 往下做垂线，高在这，这两条高会相等，所以三角形面积会相等，所以三角形 a、 d、 g。 的 面积会等于三角形 a、 d、 j 的 面积。 面积是相等的。好，那么不难看出，这个矩形面积的一半就等于 a、 d、 j， 因为这个 a、 d、 j 应该是这个 a、 k、 j、 d。 这个矩形的面积 会等于这个小三角形面积的两倍，等于两倍的三角形 a、 d、 j。 的 面积，所以这个 a、 k、 j、 d。 的 面积就会等于两倍的三角形 a、 d、 g。 的 面积。 那么剩下的就是你要证明这两个三角形全等了，那么这个小矩形的面积就等于这个小正方形的面积了， 怎么证明全等呢？你看这两个三角形 i、 d 等于 j、 d、 a、 d 等于 c、 d， 再加上它们中间的夹角是相等的，就是这个角和这个角是相等的，都等于九十度，加上同一个角，对不对？好， 因为算了，我写个全等五好吗？ 在三角形 i、 d、 c 与三角形 g、 d、 a 当中， i、 d 等于 g、 d 角 i、 d、 c 等于角 g、 d、 a， 它都等于九十度，加上这个角 g、 d、 c， 然后最后一个就是 cd 等于 a、 d， 所以 我们可以得到三角形 i、 d、 c 全等于三角形 g、 d、 a。 全等。条件是边角边 全等之后，所以我们就可以得到这两个三角形的面积也是相等的。 好，它们的面积现在是相等，就这两个面积相等了，所以 这个 a、 k、 j、 d 的 面积 a、 k、 j、 d 这个面积就会等于 小正方形的面积 a 的 平方。好，这里我们就证明了。左边的那还有一边呢？这个时候你要连什么呢？哎，你就要需要连这里和这里了，我们连一下。 思路是一样的，那你同时也要连 b、 j 和这个 e、 g。 证明过程我就不写了，思路我写一下。另外一层，就是让这个中等正方形的面积等于这个三角形的面积的两倍，从而也会等于这个三角形的面积的两倍。 这个我写一下。 b 的 平方会等于三角形 g、 c、 e 的 面积的两倍啊，写一下，两倍， 而这个 g、 c、 e 的 面积和这个 d、 c、 e 的 面积也是同底等高的，这两条线平行，对吧？这个是正方形，上下肯定平行的，高相等啊，同底等高，棱底等高，对吧？好，等于两倍的三角形 d、 c、 g 的 面积。好，得到了这个，然后再拿这个长方形的面积，它会等于这个 b、 c、 j 面积的两倍，而这个 b、 c、 j 的 面积会等于 b、 c、 g、 c、 j， 它会等于两倍的三角形 b、 c、 j 的 面积就会等于两倍的 三角形 b、 c、 g 的 面积就等于两倍这个 b、 c、 g 的 面积，而这两个三角形是全等的，你看这里也是九十度， 中间夹了一个角，然后这两条边相等，就是 e、 c 等于 g、 c， 然后这个 b、 c 会等于 dc， 对吧？好，再加上中间的夹角，所以这两个三角形全等，知道吧？啊？又因为三角形 bce 会等于等，它的面积会等于三角形 bcg 的 面积，原因是全等， 因为我在这边已经正过一遍了，我这里就写不下了，就不写了，所以我们就可以得到这个 a、 b、 c、 j 的 面积会等于 b 的 平方的面积，看到了吗？好，现在你再把这两个面积加起来 就会等于 c 的 平方了，知道吧？啊？这是一式，这是二式，你把一式和二式加起来，一式加二式， 你就会得到这个 a、 a、 k、 j、 d 的 面积，加上 a、 b、 c、 j 的 面积就会等于 a 的 平方加 b 的 平方， 这是让左边加左边，右边加右边，而这两个长方形面积加起来就会等于 c 的 平方，所以我们就可以得到 c 的 平方，会等于 a 的 平方加上 b 的 平方，这样的话，我们就可以得到勾股定律的结论了。 欧古定律第五种正法是没文顶的正法，它这里提示是正方形 a、 g、 e、 f 的 面积加上正方形 h、 j、 d， g 的 面积会等于正方形 a、 b、 c、 d 的 面积就可以了。那么它具体是怎么操作的呢？ 也是一样的， a、 g、 d， 这个是一个直角三角形 r、 t， 三角形 a、 g、 d， 然后分别以它们的三条边往外做一个 正方形，不过这条边是往里做了一个正方形，那它这条边是 a， 那 这个就是 a 平方，这条边是 b， 它整个面积就是 b 平方，然后斜边是 c， 那 么这个就是一个 c 平方啊，就是大概是这个意思， 然后进行分割。怎么分割的呢？你看它这里画完之后， 把这个正方形你挪到这里来啊，这边也是 a 啊，因为你看这里是 a， 这里是 b， 你 做了正方形之后，这条边就是 b， 然后这个是一个矩形，对称过来，这条边就是 a， 那这条边就是 b 减 a 啊。接下来你要用全等去证一下，这条边是 c， 这里做垂直，这个是垂直，这个也是垂直，对吧？你可以证明这两个三角形全等， 全等之后，这条边就是 a 了啊。具体的就是九十度，九十度啊，这里是角一、角二、角三角一加角二等于九十度，角二加角三等于九十度，所以角一等于角三，所以这两个三角形是全等的，你全等之后，这里是 a 对 称过来，这条边也是 a 啊，这条边也是 a， 然后呢，因为这条边它是 b 啊，这里垂直了，对不对？这条边就是 b 减 a， 这条边是 b， 这条边也是 b 减 a， 这个是一个直角，所以中间就是个正方形，中间就是个正方形。全等之后，这条边是 b 嘛，这条边也是 b 嘛，对不对？然后这条边是 b 减 a， 这条边是 b， 这条边是 b 减 a， 所以 这条边就是 a。 好 了，这就是一个正方形，对吧？直角不用考虑，它画的都是垂直， 所以它这个正方形，那么这个正方形小的空白的正方形，就和上面的这个正方形的面积是一样的啊，边长都是 a 的 正方形，然后接下来把这个移下来之后，哎，它把现在它的这个面积就变成了这样的了， 好进行分割，把上面这部分的面积平移下来啊，平移下来覆盖这里，然后把这部分的面积移到右边去，你看用割补法就补出了这个正方形，正方形 c 的 平方就可以了。 如果要写这里的证明过程就太多了啊，我把这个思路大概写一下啊，首先你先证明这个 a、 d、 m 和这个 a、 b、 i 全等三角形 a、 d、 m 全等于三角形 a、 d、 i， 这里有个 i 哦，我遮住了 全等全等条件，角角边全等之后的话，你就可以得到 a、 i 等于 a 啊，然后等于 b、 l 等于 b、 l， 然后再证明这里是一个正方形，就是 四边形 k、 j、 m、 i 为正方形， 你就可以得到这个 b、 k 也等于 a， 那 么这个正方形啊，这个矩形两边都是 a， 所以 它就是正方形，所以我们就可以得到四边形为 四边形 l、 b、 k、 h 为边长 等于 a 的 正方形。好了，那么接下来把这个面积移过来再进行分割就可以了，把它进行拆分， 这里拆分一下这个 c 的 平方会等于什么呢？会等于 这里拆分出来的四个小面积，中间正方形加四个三角形。我们这里写一下三， a、 b、 c、 d 的 面积，这 a、 b、 c、 d 的 面积会等于三角形 a、 b、 i 的 面积，加上三角形 a、 d、 m 的 面积，加上三角形 a、 g、 c 的 面积，加上三角形 a、 b、 c 的 面积。最后再加上中间这个正方形的面积， 那么现在这个 a 的 平方加 b 的 平方会等于什么呢？ a 的 平方加上 b 的 平方会等于这个 a、 f、 g、 h 的 面积。 a、 f、 g， a， 不 对，是 a、 g、 e、 f， 再加上这个 g、 h、 j、 k， 呃， j、 d 的 面积， 而这个面积咱们又可以把它转化成 这个正方形的面积， 是 l、 b、 k、 h， 加上刚才的这个 g、 h、 j、 d 的 面积。好，现在我们就变成了这两部分的面积， 而这两部的面积它又可以拆分成什么呢？它又可以拆分成这个，加上这个，加上这个，再加上这两个。看到了吗？好，我们把它写出来，就是三角形 a、 b、 l 的 面积，加上三角形 a、 b、 i 的 面积，再加上三角形 a、 d、 m 的 面积，加上上面这个三角形 a、 g、 d 的 面积，最后再加上一个最中间的一个正方形，就最中间这一个正方形就是上面这个 整体，往这边挪一点。 好，接下来就一一对应了。那接下来就一一对应了。首先这个面积这三个面积是不变的，这三个面积是不变的。 a、 b， i， 找到 a、 b， i 这个面积不变， 以及 a、 d、 m、 a， d、 m 不 变，还有个正方形的面积不变，那么接下来把这个面积和这个面积分别平移到这里和下面这个位置。啊，注意，这个面积移下来之后，这个空白的地方是补起来了的啊。 好，对应一下。 a、 l、 b， a， b， l 对 应哪一个？对应这个？ d、 j、 c， d， j、 c， 在 这里它们两个可以互换， 然后最后一个就是 a、 g、 d 和 k， b、 c 进行互换， 那 e 对 应相等的，所以你会发现 a 平方加 b 平方得到的五个面积和 c 的 平方得到的五个面积是相等的，所以我们最后就可以说，所以 c 的 平方等于 a 的 平方，加上 b 的 平方就可以了。

大家好，我是讲数学的小红老师，今天我来讲解新版八年级下册数学第五十七页练习。嗯，这五十七页练习呢，主要是考察的是平行四边形的定义和性质啊，那它的定义呢是？ 嗯，两组对边分别平行的四边形是平行四边形啊，也是 a、 d 平行于 b， c， a b 平行于 cd， 那只要交代他是平行四边形了，那这个对边平行就一定成立，那反之呢，就是这个定义当中说，如果已知两组对边分别形形了，那我就可以知道这个四边形是平行四边形了。啊，那么平行四边形有什么性质呢？啊？这 啊，这个是边的性质啊，平行四边形的对边相等，然后这是角的性质。对角相等，然后这是对角线的性质，叫对角线互相平分在这，那么这个里头，角啊，这个边呢， 咱们说对边相等啊，还有对角相等他呢？嗯，实际上就是性质来说，他写的不是特别完整啊。我们可以说平行四边形的对边啊，平行且相等 定义当中不说了吗？对边是平行的，对吧？然后呢，通过这个证明，我们又知道了他的对边是相等的，通过这个证全等的方法证明啊。然后第二呢，就是对角是相等的，什么叫对角？角 b 和角 d 是 对角， 那角 b a， d 和角 b c、 d 他 俩是对角。那我们因为知道平行啊，那除了对角相等之外，平行之后是不是同旁内角互补？那同旁内不叫菱角吗？所以呢，你要知道，平行四边形除了对角相等之外，你的菱角还能怎么的？ 菱角还能互补啊，只要知道它是平行四边形，那么你的这个菱角就一定互补，那对角线是互相平分的，意思就是你的 o， a 等于 o、 c， o， d 等于 o、 b， 这个是那个 平对角线的性质啊，那现在呢，我们看一下题型，第一个呢，他说平行四边形 a、 b、 c、 d， 这是平行四边形的符号啊，也说见到他就已经知道了四边形 a、 b、 c、 d 是 平行四边形了，那已知呢？ ab 等于五， bc 等于三。来，咱们画一个平行四边形啊，配个图来， a、 b、 c、 d， 他 说 ab 等于五， bc 等于三，然后让我们求另外两条边的长啊，另外两条边的长啊，那另外两条边呢？我们就可以依据这个平行四边形的性质，对边怎么样？ 平行且相等，那这里用到的应该是相等，对不对？那我就可以说了，因为你的 a、 b、 c、 d 四边形啊，写完整吧， ab 型平行四边，四边 a、 b、 c、 d 啊，是什么型？平行四边形， 所以呢，我会得到 ab 等于 dc 啊，然后你的 ad 会等于谁？ bc， 然后因为 ab 等于五， bc 等于三，所以你的 cd 等于五，你的 ad 应该等于三。那你看另外两条边的长，不就求出来了吗？是吧？那么第二个小题啊，这是第一， 那第二个小题，他说角 a 等于三十八，来，咱配一个图，角 a 等于三十八的图啊， 这是 a、 b、 c、 d， 那 如果这是三十八，让我们求其余各角的度数，那你说第一呢？最快的依据性质就是对角相等，说明角 c 等于多少度， 角 c 等于三十八度，对吧？那么还有呢，就是平行四边形啊，这个对边平行，我们知道邻角应该是互补的，所以呢，角 a 加角 b 应该得一百八十度，那我们能求出角 b， 而角 b 和角 d 又是什么角， 又是相对的两个角，所以我们就可以把另外三个角都把它怎么样，都把它求出来，是不是？那我就可以说，因为四边形 abcd 是 什么形？是平行四边形， 所以呢，依据性质是不对角相等，角 a 等于角 c 等于多少度？三十八度。然后呢，角 b 等于角 d， 这个咱还没求，对吧？那还有一个就是邻角互补，角 a 加角 b 等于多少度？ 一百八十度。所以啊，我们可以先求出这个角 b 啊，角 b 呢，就应该等于一百八减三十八度，等于一百四十二度啊，所以角 d 等于角 b 也等于多少？一百四十二度。那你看另外三个角是不是都求出来了 啊？另外三个角就都求出来了。这是第一小题，那我们看第二小题， 他说在如图啊，平行四边形 a、 b、 c、 d 的 对角线， a、 c 和 b、 d 交于点 o。 那 首先你要关注这 它本身就是平行四边形。第二呢，涉及到对角线交于点 o， 你 要想到这个 o、 b 等于 o、 d 也是对角线互相平分 o、 d 的 o、 b， o a 等于 o c， 这个有没有用啊？咱不知道，但是呢，读道题你脑袋里反应啊，跟对角线有关的那个性质 啊，然后告诉我们， bc 等于十啊，标上数据，这得十， a、 c 这条对角线得八，然后 b、 d 这条对角线得十四，那你说这得七，这得七，这得四，这得四， 是不是？然后问你，三角形 a、 o、 d 的 周长啊，你看，这不就好求了吗？这四这七，他俩还是相对的两个边，所以这是十， 对吧？那么我这个三角形的周长是不是能求了？那么第二个问呢？是三角形 a、 b、 c 这个三角形啊，和 b、 c、 d 这个三角形，它的周长哪个长？那你算一下周长呗，你的 a、 b、 c 的 周长呢？应该是 ab 加 bc 加 ac， 然后你的 b、 c、 d 的 周长呢？是 bc 加 cd 加谁啊？加 b、 d 是 不这么意思啊，那么他们两个呢，都有一个 bc 这条边， 然后你的 ab 和 cd 又是相等的，也说这个三角形当中啊， ab 加十加这个八，那这边这三角形当中呢？是，这也是 ab， 对 吧？ ab 加十加谁呀？ 加十四对不对？那你看它俩相等，这是公共的，那你的这两个三角形的周长不就是差在 a、 c 和 b、 d 的 长上了吗？ 那你 b、 d 比 a、 c 长多少？那么这个 b、 c、 d 的 周长就比 abc 的 周长要大多少啊？这个数量，这个分析呢，应该是这样的啊，那我们来写一下过程啊，看看你能不能把这个过程写清楚啊。 嗯，过程呢，比较多一点，咱们在这下面写啊。第二题，减， 首先依据平行四边形的呃，性质啊，我们要求这个 a、 o、 d 是 不得用这个对角线的一半，是不是？我们得依据对角线的性质啊？我们可以说，因为四边形 a、 b、 c、 d 是 什么形？平行四边形，然后呢？对角线互相平分，对不对啊？ 然后我们可以说，你的 a、 o， 我 们说要用 a、 o 啊，它等于二分之一， ac 就 等于多少度，不是等于多少了，等于四啊， ac 等于八，是不是？然后你的 o、 d 等于二分之一的谁？ b、 d 等于 七，对吧？然后你还有那什么呢？你的 ad 和 bc 是 不是必须得相等？ ad 等于 bc 等于几？等于十？ 你把这些数据都准备好之后，啊，啊，都准备好，然后你你还得写一个啥呢？就是这个 a、 d、 a、 b 和 c、 d 得相当，因为你第二个问要用，要不你还得从头再写，它是平行四边形。来，咱把这个结论也写了，然后 ab 等于谁啊？ cd 这一会儿第二问要用啊。然后我的第一问当中的三角形 a、 b、 a、 o、 d 的 周长为 周长，应该是 o， a 加 o， d 加上谁 ad 就 应该等于四加七加十等于多少？二十一，这就是第一问。 那么第二问呢？让我们求这个三角形 a、 b、 c 的 周长啊，和 d、 b、 c 周长哪个长？那我们先来求一下三角形 a、 b、 c 的 周长 abc 的 周长为 ab 加 bc 加 ac， 就 应该等于 ab 加上十，加上八，等于 ab 加十八，对吧？然后你三角形 bc 的 周长 为呃， c、 d 加 b， c 加 b， d 应该等于 c、 d 是 不可以换 a、 b， 然后加上十，再加十四，然后等于二十四加 a、 b。 那通过这个二十四加 ab 和 ab 加十八是不可以比较一下？也就是说，呃，因为二十四加 ab， 它大于 ab 加十八，所以呢，你的三角形 dbc 的 周长 要比三角形 abc 的 周长长。 那还有一个问，叫长多少对不对？所以呢，长的就是用长的减去，短的就应该等于六啊，所以呢， 就别写，答，写所以来。所以三角形 d、 b、 c 的 周长 比三角形 a、 b、 c 的 周长长六，没有单位名称是不是？所以这是第二小题啊。那么第三小题他说如图，将 两张对边平行的纸条啊，对边平行的纸条交叉叠放在一起，重合的部分构成了一个四边形，转动其中一张纸条，线段 a、 d 和 b、 c 的 长度有什么关系？ 这个呢？长度应该是什么关系呢？他应该是相等的，他怎么转他都不变啊。首先我们写减二，你的 a、 d 是 等于 b、 c 的， 然后理由如下， 为啥它永远都是 a、 d 等于 b、 c 呢？第一，人家说了对边平行，也说这条边和这条边平行，也是 c、 d 平行于 ab， 然后你的 a、 d 是 平行于 b、 c 的， 所以我们得到这个四边形应该是一个什么四边形？ 是一个平行四边形，那平行四边形对边不就相等了吗？对不对？你怎么转这个纸条，你怎么那个调整它的这个转动，这纸条它的对边永远都是平行的啊。所以来我们可以说，因为 你的 ab 平行于 cd， 你 的 abcd， 所以 四边形 abcd 是 平行四边形，那它都是平行四边形了，所以我的对边 a、 d 就 会等于 b、 c 啊，它就会等于 b、 c 啊及线段 a、 d 和 b、 c 的 长度怎么样相等 能理解哈？

你能做到基础题不扣分吗？ 我们看到八年级数学下册的第一课本第十页纸 c 题一点一的。我们看到第一题，已知角 a、 角 b、 角 c 的 度数的比是四比三比二。在三角形中，三角形三个内角的和等于一百八十度，所以那么这样呢？我们来看到这个角 a， 我们整个三角形的内角和是一百八十度，所以等于一百八十度，乘以多少呢？四分三分两分就是七九分九分之四，对吧？二十，所以等于八十度。 角 a 等于八十度，那么当然角 b 那 就可以等于一百八十度，乘以九分之三，就三分之一等于六十度，对吧？角 c， 那 就等于一百八十度，乘以九分之二，又分二，得四十度 啊。那么这样的题目都是很简单的，我们看到第二题，如图，在三角 a、 b、 c 与 c、 d、 a 中， a、 b 平于 c d， a、 b 平于 c、 d 两直线平行，内错角相等。 角 b、 a、 c、 d 等于角 a、 c、 d 对 吧？ a、 b、 c、 d 看清楚，角 b 等于角 d， 角 b 等于角 d 啊，然后呢？ ab 等于三。 问 cd 等于几呢？我们看到哈，这个角 b 等于角 d， 由于 a、 b 平行 cd， 我 们得这个内错角相等， 然后还有呢，这是公共边，所以角 b 等于角 d。 角 b， a、 c 等于角 d、 c、 a、 c 等于 c、 a， 所以 三角形 我们就三角形 b、 a、 c 前等于三 b、 a、 c、 d、 c、 a 留 a、 a、 s 两个三角形等，所以这个 a、 b 就 等于 c、 d， 对 吧？ a、 b 等于三，所以 c、 d 等于三， 对吧？这个过程有时间我就不多说了啊，我们要把这个 a、 s 写清楚。我们看到第三题， 角 a、 c、 d 是 三角形 a、 b、 c 的 角 a、 c、 d。 在， 这是三角形 a、 b、 c、 d。 一个外角过点 d 的 直线。好，我们看哪一个不正确？第一个，角 b。 大 于角 a、 c、 d。 应该是角 a、 c、 d。 大 于角 b 啊，应该是角 a、 c、 d。 大 于角 b。 为什么呢？因为这个角 a、 c、 d。 是 三 a、 b、 c、 d。 外角三角形内角就是角 a、 c、 d。 大 于角 b。 角 a、 c、 d。 大 于角 e。 所以 第一个是错误的。好，我们来第二个，角 b。 加角 b。 角 a、 c、 d。 大 于角 e。 所以 第一个是错误的。 好，我们来第二个，角 b。 加角 a、 c、 d。 等于一，第二个是错误的。好，我们来第二个角 b。 加角 a、 c、 b。 加，这是对的， 对吧？也就是角 b。 加角 a、 c、 b。 加角 a 是 一百八十度嘛，所以这两个角它是一百八的，减它，这这里。第三个角 b。 加角 a、 c、 b。 角 b 在 哪里？角 a、 c、 b。 就 这两个角的弧 小于一百八十度，因为这两个角要加上一个角 a、 a。 才等于一百八，所以这两个角的弧小于一百八就对了。好，我们看到角 f、 e、 c、 e 在 哪里？ f、 e、 c。 这 角 f、 e、 c。 啊，是大于角 e、 c、 d 的， 因为这个角是这个三角形的外角，而这个角 e、 c、 d。 是 大于角 b 的， 所以角 f、 e、 c。 是 大于角 b 的。 好，这个也是对的。因此第三题呢？第一个是错误的，我们看了第四个， 如图，点 d 是 三点 a、 b、 c。 边 bc 上的一点，如果角 d、 a、 c 在 哪里 d、 a、 c。 在 这，这个角等于角 b， 则角 a、 d、 c。 等于角 bc。 我 们看到这个角 a、 d、 c。 角 a、 d、 c。 应该是等于角 b。 加上角 b、 a、 d。 对吧？三题的外角等于这两个和它不相邻的这两个内角的和，而这个角等于它，所以我们等量的话，所以等于角 c a d 加角 b a d。 好， 这个角加它，那不就是等于角 b、 a、 c 吗？所以我们课本上的题目都是很简单的题目啊，有的时候没有什么很多要讲的必要性，那么这样的题目考试是确保拿满分。我们看的第五题， 过多边形，呃，一个顶点的所有对角线，过一个顶点的对角线是 n 减三条啊，这个上课讲的是，你要记住， 那么将这个多边形分成的是五个三角形，哎，刚才说对角线呢，是 n 减三条啊，但是这 n 减三的对角线分成的三角形是多少个呢？是 n 减二个， 现在的 n 加二个是五个，所以 n 等于七，也就是说这是个七边形， 而这个七边形的内角和是多少呢？好，我们根据公式， n 加二乘以八十度，那七减二乘以一百八十度，那就是七加五五乘以八等于九百度，所以它的内角和，那就是九百度。 我们的第六题，一个多边的内角和是一千零八十度，它是几边形？好，我们看到设它为 n 边形， n 减二乘以一百八十度，等于一千零八十度， 我们看到 n 减二就等于一零八零除以一百八十，呃，一百八十分去了一个零一十八分之一百零八，呃，用九来除，这里就是二九，呃，就是一十八，就 等多少呢？ 一百零八除以一十八，对吧？用二二九，一十八，二五十四，一六啊，等于六啊，这个等于六。 n 减二等于六， n 九等于八，那么 n 等于八呢？这就是八边形 啊，我们前面大家记住啊，呃，三角形的内角和是三百六十度，五边形的内角和是五百四十度，六边形的内角七百二十度，八边 啊，七边形的内角和是九百度，八边形的内角和是一千零八十度，每多一边形，他的内角和就多啊，一百八十度啊，当然我们在做的时候我们要根据公式来做啊，其实这里有的同学一下就可以口算的，知道啊，这个不算他的这是八边形，记得点赞关注哦。

你家没有中学生你就划走啊。我们看八年级数学下册课本的第二章不等式。我们首先来认识一下不等式，用两根长度都是 l 厘米的绳子，分别为一个正方形和一个圆， 那么如果要是正方形的面积不大于二十五平方厘米，那这是 l 厘米。呃，这个也就是周长是 l 的 意思，那么周长是 l， 那 边长就是四分之 l， 对 吧？这个周长呢？这圆的周长，我们说 c 等于 r 帕 r 就是 l 等于 r 帕 r， 那 么这个 r 就 等于 r 帕分之 l 啊，这是正方形的边长啊。正方形的边长 a 等于四分之二，要是它的面积不大，那面积就应该是四分之 a 的 平方不大于二十五。小于等于二十五，对吧？也就是十六分之 a 的 平方小于等于二十五， 嗯，第二个呢，要是圆的面积不小于这么多圆的面积，那我们就应该是 pi， r 的 平方 r 多少呢？ r， 刚才我们说是二 pi 分 之 l pi， r 的 平方不小于就是大于等于一百， 不小于等于等于一百，嗯，那这个 pi 跟 pi 约分，所以那个就是多少呢？就是四。 pi 分 之 a 的 平方大于等于一百。 好，当 l 点八的时候，正方形和那个 l 点八的时候，当 l 点八十，对吧？ s 正正方形的面积，那应该等于这个，那就是四分之八，四分之八就是二二的平方等于四，对吧？哎，那么 s 圆呢？ 哎，那就是这个八八八六十四，六十四除以四，约分就是八分之一十六。 那么当 l 等于一十二的时候，那么 s 正正方形的面积，呃，一十二的时候，这个一十二除以四就三三的平方等于九，那么圆的面积呢？内角应该多少呢？那 sl 等于一十六，一十二的话， 哎呀，一十二是多少呢？就是一十二的平方，这里是四 pi， 呃，这就是一百四十四，一百四十四除以二就是七十二，再除以二，三十六，好 pi 分 之三十六，好，单位没得写了，现在为您比较一下改变 u 的 值，猜想一下。猜想，我们看到 不管这个 l 是 多少圆的面积，那就应该是多少等于四倍分之 l 的 平方，而正方形面积是等于一十六分之 l 的 平方， 当 l 的 平方相等的时候，那么 pi 等于三点多，对吧？四 pi 比一舍的小分子相同的分母大的反而小，分母小的反而大。哎，这个分母小啊，这三点多乘以四，分母小的反而大，那就是说我们得到的猜想是什么呢？嗯，同周长的这个圆的面积是大于正方形的面积。 好，把这个把它搞清楚，我们再来看看下面的铁路部门，对于这个行李啊，有这样的一个规定，长宽高的和不得超过一百六十，长 a 宽 b， 哎，高 c， 那 么这样列了个关系，那就是 a 加 b 加 c， 不 得超过一百六十，那就是小于等于一百六十，对吧？ 我们看到这个，这个数零呢，我们来看到数为开始加的时候是六，每年增加一厘米， x 年增加 x 厘米，那就是这个，对吧？所以六加上 x x 厘米超过了十大于十啊，那就是六加 x 大 于十 啊，这里不大于就是小于等于，这个小于等于，不小于就是大于或等于。把这个符号呢，我们要认清楚。好，现在我们看到第五十六页上的， 那么刚才我们所列的这些式子啊，他都是含有不等号的，小于号、小于等于号，大于号、大于号等于号，用这句话连接而成的式子叫做不等式，其实有的时候我们用这个不等号连接起来了，也应该叫做不等式啊， 啊，用适当的发来表示下列关系， a 是 非负数，那非负数就大于等于零的，对吧？直角三角形的斜边比它两，这就比较长，所以 c 大 于 a， c 大 于 b， x 于十七的和 x 加十七比 x 的 五倍， x 的 五倍比五倍什么小哦，这个边要小， 那么看到两数的平方和我们说这两个数是 a 和 b。 好， a 的 平方加 b 的 平方和不小大于等于等这两个数乘积的两倍二 a b， 这个呢，我们可以跟大家证明一下啊，因为 a 减 b 的 平方是大于等于零的， 对吧？所以 a 的 平方减二 a， b 加 b 的 平方是大于等于二 a b 的 啊，这个呢，我们后面还有 好下面这个呢，我们说这个最大的深度，如果说深度为 x 米啊，如果深度为 x 米，则 x 大 于。呃，最最大深度下潜达到这个，所以它的深度啊，是小于一零九零八米 啊，最大的深度达到了这么多，对吧？觉得最大就等于这么多，它的深度有可能就是下潜的，如果说它下潜的深度是 x 比，它可能也有没有达到这里的， 那么它的连续作起的时间超过了八米，如果这个时间我们说是 y 小 时，那么 y 呢？是大于八，超过了八小时，那么它的行驶的路程，如果我们说这个距离为 z 千米，那么超过了 z 就 大于一十四，超过了一十四，是吧？记得点赞关注哦！

大家好，我是讲数学的小何老师，今天我来讲解新版八年级下册数学第四十四页复习题，二十的十一十二题， 这个十一十二题啊，他呢？嗯，一个是最短路径问题，一个是证明题啊，这个最短路径的问题呢？他用的方法叫做拆面法啊， 那你看这题，他说公园中一长方体石凳啊，就这么个石凳，看到没？若一只蚂蚁啊，以三厘米每秒的速度从 m 爬到 n， 那 么最快需要多长时间？然后结果保留一个小数， 那你说这蚂蚁要爬的话，他，嗯，我们知道，嗯，从 m 点到 n 点，这是两个点，我们知道有一个最短路径叫做两点之间线段最短，对吧？ 所以呢，我们要想让这 m 能直接到这个 n， 所以呢，你要把这个含有 m 和含有 n 的 这两个点这个面给他拆开啊，给他拆开，那他一共有几种拆法呢？他一共有三种拆法。第一种拆法啊， 我们可以拆这个前面和上面，你看 m 是 不是在前面这个左下角， n 是 不是在上面的右下，右上角，所以来十一题啊，拆面法，我们呢 不光要知道怎么拆，而且呢，你要能画出拆完的这个面啊，这个图形，然后把数据对上啊，这个呢是它，这个是 m 在 这，那 n 呢，就应该在这里，那这个位置是 三十，他的底面都是一个正方形的啊，那这是三十，那这应该是高四十，那这呢应该是上面的这个啊，宽啊，应该是三十，然后两点之间线段最短，那就应该是这么样的，这叫前面和上面 啊，那我们可以先算一下，用勾股定力求 m n 呗，那 m n 等于根号下三十加四十括号的平方，然后等于， 嗯，九百加上四千九，等于五千八百，等于十倍的根号五十八。 然后第二种拆法啊，这是第一种拆法。第二种拆法，你观察我这个 m 可以 是前面， n 呢？可以是右面的右上角啊，右侧面的右上角，所以我可以拆前面和右边啊，这是右面 前和右，这是前面吧，这是右面吧。那我们对一下数据啊，这是 m， 这是 n， 那 它呢？这个边呢？应该是 长三十，那我的这边呢？应该是宽，他还是三十，这个应该是高四十，那么两点之间线段最短，那我的 m n 就 应该等于根号下三十加三十括号的平方，再加四十的平方就应该等于六。 呃，五千二百，五千二百呢，是二十倍，根号十三啊。嗯，五十二呢，是四乘十三，然后后面俩零开出来是一百，呃，四十，所以应该是二十倍，根号十三。然后第三种呢？ 第三种可以拆啊，左面。你看 m 是 不是左侧面，左侧面和上侧面，上面啊？左侧面和上面。那你想左侧面啊，他这个高是 四十，你的这个长应该是三十，那这也是三十，所以说你的左上跟你的前上他应该是一样的 啊，为啥一样？我再说一遍啊，因为他这个底面，因为他这个底面是一个正方形的，也就是说你的前上、右上，后上、左上，他们拆开的图形是一样的，所以我的第三种拆法，左上的时候他跟前上是一样的。那么也就说这题一共就两种 啊，第三种跟他，呃，前面的一种是重合的，所以呢，我们就只要比较这两种情况就行了啊。那你说十倍根号五十八和你的二十倍根号十三，那这两个位置呢？这两个数你不好比，但是你看前面这个位置，他是根号五十五千八，他是根号五千二，所以根号五千八大， 这不他大，那他大，说明他不是最短，是不是？这意思他不是最短，那最短的是不应该是二十倍根号十三啊？那要想最快，那就走最短路径呗。所以呢，你就用二十倍根号十三去除，以你的速度三等于。 那这怎么算呀？我们得把根号十三呢进行这个计算，我们来算一下根号十三啊。 嗯，根，哎呀，根号十三等于三点六零六，保留三位应该是三十点六啊，三点六零六，那再乘以二十来 三点六零六，二十乘以三点六零六，再除以三，就等于乘以二十 除以三等于二十四点四，那么结果保留一位小数，那我们就约等于二十二十四点零二十四点零秒，所以答最快 需二十四点零秒啊。这就是第十一题。那么第十二题 他说三角形在这呢啊，一会我要写在右边，他说三角形 abc 三边长分别为 abc， 面积为 s， 利用勾股定律来证明秦九少公式，嗯， 秦九少公式 s 等于这个公式啊。然后提示设这个三角形 a、 b、 c 的 边， a、 c 上的高为 b、 d， 然后利用勾股定律来先将 c、 d 用三边长来表示，再将 b、 d 用三边长来表示。那你说这三边长为 abc 啊，那 abc， 那 我是不得画个三角形，然后把这个 abc 对 应到这个三角形里， 是吧？那我们来画一个啊，它没有说三角形 a、 b、 c 是 直角三角形，是不是？所以呢，我们随便画一个啊， 然后这里边这个 a、 b、 c 的 确定啊？呃，我之前啊，我在录视频之前呢，我尝试了一下啊，你看我这个过程， 你看，如果我设这个 ab 的 边为 abc 的 边为 b， 你 的这个 ac 的 边为 c 的 话，你看，我推理出来这个公式啊，你看这个地方呢，会得一个 a 方减 b 方加 c 方，它等于二 c x。 可是我这个题里这个公式，你看上面这块是 a 方加 b 方减 c 方，你看这明显是对不上， 所以呢，我只能把这个 a、 b、 c 再换一下地方，你看，我设 a、 b 变为 c， 然后 b、 c 变为 a， 然后我的 a、 c 变为 b， 这时候呢，你看我推导出来的这个算式，哎，它就出现了啊， a 方加 b 方减 c 方的格式， 看到了吗？所以说我这道题，我设这个边长的时候，它也是有讲究的啊，所以呢，它呢，对于不会的它肯定是难。那么现在呢，我来 把这个过程写一下啊，现在 a、 b、 c， 他 不说设 a、 c 边上的高为 b、 d 吗？那这为 b、 d 啊，那我们就可以啊，设一下这个三边啊，我们得写一下过程啊，我们可以说设三角形 a、 b、 c， 设三角形 a、 b、 c， 嗯的边 b、 c 等于 a， 这为 a， 然后 a、 b 等于 c， 这为 c， 你 的 a、 c 等于 b 啊，整个的这为 b， 然后人家提示了，说了这个设 a、 b、 c 的 边 a、 c 边上高 b、 d。 这第这第一点我是不是做完啦， 是吧，我画高了 a、 c 边的高哈，然后利用勾股定律呢，先将 c、 d 的 c、 d 用三边长来表示，那你说他要求我们用那个三边 a、 b、 c 来表示 c、 d， 那 我可以设这个 c、 d 啊，等于 x， 那 如果这为 x 的 话，那我的 ad 就 应该等于 b 减 x， 这看懂了吗？啊？这呢，设好之后啊，我们说了得用勾股定律来表示这个三边长是不是？那么你观察我这个三角形 a、 b、 c， 它本是不是一个直角三角形，但是我有高有高，是不是就左右两个三角形是直角三角形， 并且左右两个直角三角形呢？共用了一个边 b、 d 看见了吗？那我们可以说在 r、 t 三角形 a、 b、 d 中啊， 然后你的 b、 d 方，它是等于 ab 方，减去谁？ a、 d 方的，那在 r、 t 三角形 b、 c、 d 中，你的 b、 d 方，它是等于 bc 方，减去谁呀？ c、 d 方的， 那因为你的 b、 d 跟 b、 d 是 相等的，所以右边这两个算式是不应该相等的，那我把这两个算式的一个值啊带进去，然后在这啊写，所以你的 ab 方减 ab 方，就会等于 bc 方减 c 方， 然后 ab 呢是 c 方，减去 ab 呢是 b 减 x 的 平方等于 bc 是 a 方， 减去 c， d 是 x 方，然后拆开整理一下来，减去 b 方加二 b， x 减 x 方，等于 a 方减 x 方， 然后这两个消掉啊，把这两个都移到等号右边去，这左边剩二 b， x 等于 a 方加 b 方减 c 方。你看，然后 x 等于二 b 分 之 a 方加 b 方减 c 方，那你说 x 求出来，那说明 c、 d 就 应该等于二 b 分 之 a 方加 b 方减 c 方， 是不是啊？这不是第一个要求，按照它提示的方法，我是不是把 c、 d 用三边长来表示出来了？那我是不是还得将 b、 d 用三边长来表示啊。那么 b、 d 咋表示啊？因为 b、 d 方它是等于啥？ b、 d 方是等于 a 方减去 x 方啊，也就是这个 b、 c 方减去 c、 d 方啊。我这应该写， 嗯， b、 c 方减去 c、 d 方，然后再代数等于根号下 a 方减 x 方，那 x 呢？是等于这个的， c、 d 是 不等于这个的，然后等于根号下 a 方减去 二 b 分 之， a 方加 b 方减 c 方括号外面的平方，是不是要走这个 啊？不不不，我这写方干什么？求 b、 d 要如果带方的话就不带这个根号了啊，我把这方去掉，这是不是就带着根号了？因为你最后的算式，你看面积是不带的根号了。那好了，那我 b、 d 表示出来了，我高表示出来了，那面积 s 是不是应该等于 a、 c 乘以 b， d 乘以二分之一，而 a、 c 呢？是 b， 然后乘以二分之一，再乘以 b、 d， 是 不是就根号了？ a 方减去这个是， 嗯，二 b 分 之 a 方加 b 方减 c 方括号外面的平方，剩下的这个啊，然后等于来 等于。你看这个要求的这个公式啊，根号外面是没有数的，所以我得把我这个根号外面的二分之一 b 给他，给我还原到根号底下去。外面没有数啊，因为你这数怎么怎么整啊，处理不了了是不是？那也说把你的二分之一 b 给他平方之后，拿回根号下 二分之一 b 括号的平方，然后乘以个 a 方减这个应该是，嗯 嗯，二 b 分 之 a 方加 b 方减 c 方括号外面的平方。你看人家的公式啊，人家这个方数也没拆， 对不对？然后这四分之一在外面，那你就说把这个，呃二分之一 b 方算成四分之一 b 方，之后你的四分之一别往里分，你把这 b 方给我分到括号里去啊，就是这个意思，然后等于根号下 四分之一留在外面 b 方分配到里边去，就应该等于 a 方， b 方减去 b 方倍的二 b 分 之 a 方加 b 方减 c 方扩回的平方。 那我现在再处理一下这个位置是不就可以了？然后等于根号下四分之一中括号 a 方 b 方减去，这个呢？ 分子分母分别平方的话，我这个 b 是 不是也可以平方？那也说分母应该是四 b 方啊？四 b 方，然后我这有个 b 方，我可以把 b 方约掉 啊，然后你这个二别分别别给算了。所以呢，你这个把这底下的 b 算了，平方跟外面的 b 方约掉，所以呢，就等于 减 c 方括号外面的平方，然后再重括号扩回啊，这个位置的 b 方是这么处理的，我再慢点写一遍啊，让这拿这个写 怎么处理呢？就是你的这个 b 方是不是外面的就这一堆？然后你的这个根号里这个二 b 方，把你的这个 b 给它平方了，也说，嗯，二 a 方加 b 方减 c 方括号，嗯，乘以个 b 分 之一中括号的平方 啊。把它俩拆开，把这个 b 跟这个 a 方加 b 方减 c 方，这个拆开，拆开之后这一项，这一项是 平方，然后呢，它就等于 b 方分之一，然后它俩约调不就剩这一项了吗？所以这个位置应该是这样算的啊。

今天和大家分享新授课版八年级数学下册六点五节平数分目标和平数分母值方程小测 第一，确定主句，主句的主要考虑的因素有数据的范围，数据的分母，数据的数量以及主句和主数关系等等。 第二啊，最高的同学，最矮的同学一减啊，一八四， 一八四减一五二三十二啊。若身高数据分为七组，三十二除以七 四七二十八，属于约定为五五厘米。 一个样本含有二十个数据，那么在六十四点五啊，六十四点五到六十六点五啊， 一二三四五六七八二十分之八零点四。 第四题，依次趣味知识竞赛后，老师会制了全班同学成绩的平数和负值方，均为整数啊。嗯，下列说法啊， 不正确的是，第一，这是二，这是八，这是十二，这是六，这是四。第三，组的平数是十二，这是对的，全班十， 全班不是三十六、十二十二，三十二是三十二人，所以错了，组句是十。本次分数不低于六十分的，不低于六十分的啊，十十八，三十，可能 啊， 可能超过三十人，对的是吧。 第五，以下是王陵最近四十四手机通话时长数据， 列出频速分目表，费出频速分目指方向谱。好，我们先弄到最大值最小值最大值三十，最小值一组差极差是二十九，组距为五啊，则为六组 啊，列评述分目表啊，录下进行唱票啊，然后把评述分目置放中， 然后写出信息啊，通话在十一到十六分钟，最多他通话的平均值在这个范围内啊。 第六，如图反映了本次体检时全班五十名学生心理情况啊，五十啊，把这加十二十四，三十四，十四十二，还剩八人，所以给他 条形统计图的八人，取上八人 半，是吧？呃，若将平数分布值方图的每三组记为一大组，这是第一大组， 这是第二大组，这是第三大组，分别记为 a、 b、 c 啊，用扇形统计图表示 该班学生的心理情况啊，那五十分之 a 的 五十分之减十二十四 啊， b 的 五十分之十六， c 的 五十分之十啊，乘以 这个三百六十度啊， 给它度数算一算啊，大家动手一起算。 三百六十，乘以二十四，除以五十啊，一百七十二点， 一百七十二点八度，是吧？ 这一百乘以三百六，一百一十五点二度 七十二度，是吧。然后这个百分比百分之四十八， 百分之三十二，百分之二十，好，然后画一个圆 圆心一百七十二点将近一百八，好，这是 a 组，占百分之四十八。 b 组一百一十多，超过九十 啊，这是 b 组，占百分之三十二，这是 c 组，占百分之二十。好，这样就画出分布情况啊。 六点五，平素分布表和平素分布指望图的大侧。 把平速分布矢方图一般步骤，第一，决定阻距啊，用 g 叉除以阻速得到阻距。二、决定每组范围， 保证每个数据只数一组。第三，列平数分母表，统计每组中数据出现的平数。四、画图用横轴表示分组数据，用纵轴表示平数。把平数分母直放图，其中占方极高度表示组 距，宽度表示组距，高度表示平数。一个容量为一百的样板，最大值一百四十二，最小值 一六十。那一四二减六十，还剩八二八二除以十，可以分为九组。 八二采用进一法啊，根据一个样本容量为八十的样本分置 平数分母值函数，四个小组对应的各个高之比为好。这就五分，九分，一共十分，十分，每分是八。第三组四八三十二。 第四题啊，这个条形统计图不足六次，不足六次是三十， 总共五十零点六。 第五，全班同学六十秒跳绳时间次数，并练出平数混合表，全班有多少同学就把这所有加起来就行。 组距是多少？八十减二十是二十，组数是六。 求跳绳次数 x 在 一百二到一百六之间，一百二到一百六之间的求胜数。那十三加八二十一， 若跳绳次数不低于一百四十为优秀，不低于一百一十，全班优秀率就是五十二分之十三， 百分之二十五。第六，小明将全班同学假期用于读书时间制作平数分母直方。图中从左到右各个小长方形的高分别为，二比三、比四、比一， 那占几份？五份，九份，十份。第二，小组平数是十五十五，一份是五啊。问，全班总数五十， 学校准备为学生定制校服，经测量，七年级学生身高最大值一百七十六，最小值一百八十三。一百七十六 啊，一百三十八一节是吧？还有三十八啊，三十八除以六 六六三，所以也分为七组。 好！六月份一至十日每天最高气温折线图中，由图可知，该景点十天中最高气温为二十六摄氏度，二十六摄氏度，一共三天十分之三 零点三是吧。杨老师将本次竞赛成绩整理后汇成条形统计图哦，下列说法正确的是。 第一，六十到七十人最多，这肯定错了，是七十到八十人最多，人事最好的分数段为四，第四，第四段 人数最少的分数段的平数为四。呃，错了，这是二，最少是二。大于等于六十，有十二人大于等于六十，我们看一看， 这是十二，这是十四，这是六，这何止十二人？这肯定错了，组距为十，所以 d 是 正确的。 第十题啊，一百二十名学生的睡眠时间与每日使用电子产品时间会是如图一。 此外，兴趣小组还将每天超过三十分钟和不超过三十分钟分两组，分别画出睡眠时间平速折线图图啊。 第一，睡眠时间不足七小时占比 不足七小时，就是小于七小时，把这里面全部加起来一百二十分之啊，把前面全部加起来百分之六十五。第二，六点五到七小时， 学生使用电子产品超过三十分钟六点五。 小明认为，根据上图可知，睡眠时间在六点五到七点五的学生使用电子时间超过三十分钟，比使用电子产品时间不超过三十分钟的学生数多，你认为他的六点五到七点五 啊，这个不正确原因，因为他这这知识频率啊， 和小于三十分钟学生数组后面入场不知道，所以无法。然后根据上图说明，每天使用电子产品小于三十分钟睡眠，睡眠时间更长啊！小于三十分钟啊， 你看，不超过小于三十分钟睡眠时间 啊。这个题呢，就是说啊，不超过三十分钟，学生睡眠时间超过七小时占比更大啊！超过三十分钟的睡眠时间低于七小时占比更大啊，这就是我们今天学习内容。

为什么很多中学生数学拉后腿？八年级数学下册的小册的二十页纸，我们看到第七题， 呃，前面健身什么活动，什么四边形，呃，什么方教什么之类的就废话不多说了。我们看到在四边形 a、 b、 c、 d 中好，看到这个图加 b 是 九十度 角， b 就是 ab 等于二十四，我们把它抄一下，米， bc 等于七米， cd 等于多少呢？一十五米， ad 等于多少呢？二十米？第一个，要我们求 ac 的 长度好，由于这里是直角，七，二十四，二十五， 对吧？这个，呃，因为角 b 的 直角，所以这个 ac 的 平方等于 ab 的 平方加 bc 的 平方， 对吧？ ac 平方等于二十四的平方，加七的平方就是五百七十六，加四十九等于六百二十五。所以这个 ac 啊，等于根号等于二十五米啊。因为这个首先这个直角要写出来，对吧？然后才有这个啊，由于时间我们就没有写那么多了啊。第二个，单位米要写清楚， ac 的 二十五 米啊。第二个，如果说这个运动型的这个胶地胶啊，每平方米是两百元，如果这里铺上这个需要多少钱呢？ 那么刚才这个是直角三角形，它的面积我们可以求出来，那么这个三角形呢？哎，我们还要根据在三角形 a、 c、 d 中连短边的平方和 c、 d 的 平方加 a、 d 的 平方等于一十五的平方，加二十的平方二百二十五，加四百等于六百二十五。 然后这个我们前面说了， a、 c 的 平方等于六百二十五，所以 c、 d 的 平方加 a、 d 的 平方等于 a、 c 的 平方。有人老不会写 啊，跟着我一起写，所以角 d 等于九十度。好了，我们必须先判断角 d 等于九十度，当角 d 等于九十度时，所以这个需要的多少钱呢？那么就需要两百乘以面积，好面积，这两个面积加起来，这个面积呢，是二分之一乘以七乘以二十四，呃，这个面积呢，是二分之一乘以一十五乘以二十， 对吧？啊，那就等于两百乘以这个二，这个一十二，这就是八十四，加上这个就一百五十，就是二百三十四乘以这个，呃，两百就是四百六十八，补两个零。好，最后答， 要这么多钱啊，有时间有的文字我们写完啊，总共需要这么多钱。我们看到第八题， 第八题在等边三 a、 b、 c 中，呃，现在关键的是 a、 e 等于 b、 d， 对 吧？ 第一个题目说，如果 e 是 中点的话，那么 a、 e 等于 b， e 就 等于 b、 d， 对 吧？这个等边三角，这个是六十度，这个就三十度、三十度， 对吧？三十度，三十度，这个角等于三十度的话，这个角等于六十度的话，由于是中点等边三角的三角和 e， 这就是角平行也是三十度，所以这个 e、 d 就 等于 e、 c 啊，把这两个角三十度求出来就容易了。 哎，刚才因为是 e， 是 ab 的 中点啊。但如果说这个题目说 e 不是 ab 的 中点时，那么这个 e、 d 是 否等于 e、 c、 e 呢？哎，我们说 e、 d 啊，还是等于 e、 c、 e 的， 为什么 e、 d 等于 e、 c、 e 呢？我们看到这个图形，哎，题目给我们做了一个提示，做 e、 f 平行于 b、 c、 e 的 时候，那我们来看到这里，哎，这个原来的三个 a、 b、 c、 e 三个角都是六十度，那么现在 a、 e、 f 三个角也都是六十度， 也就是六十度，所以三， a， e、 f 是 个小的等边三角形，小的等边三角形，你看这个角就是一百二十度角 e， f， c， 对 吧？啊， a， b 边啦，等于 a， c， 现在 a， e 等于 a f， 所以 这个 b， e 就 应该等于 c f， 而这里的已知条件里的是 a， e 等于 b d， a， e 呢？等于 e f， a， e 等于 b d， 说明 e， f 等于 b， d， 你 看边，哎，这六十度，这一百二十度，所以三角形 d， b， e 叫做 f e， c， e， 哎，根据 a s a 两个三就行。写错了，是 s a s s a s 好 s a s 两三圈呢，所以这样呢， e、 d 就 等于 e c 啊，我们通过证明这样的两个三角形圈呢？这就比较容易了。我们看到第九题， 三角 a， b、 c 与三角 a， d， c， a， b， c 跟 a， d， c 都是九十度， bc 等于 cd 耶，斜边共面，这两个三就相等喽，对吧？而且这里说 c， a 等于 c， e， c， a 还等于 c， e， 这两个角也相等喽，刚才切了这两个角也相等喽，这不就都是三十度了， 对吧？这个，这个，这个都像三十度了。所以第一个要确定角 a， c b。 角 a， c， b 等于角 a， c， d 哎呀，这个，哎，刚才我们说这是直角，因为这个 b， c 等于 c， d， 对 吧？这个 a、 c 是 共边三。刚才这个三角形 a， b， c 全等于三角形 a， d， c， 对 吧？这个是根据什么东西呢？根据这个叫做什么呢？斜边直角边，对吧？ h l。 那 h l 我 们就要把 r t， e 正好写出来啊， 啊，两三圈呢，这两个角就相等，呃，第二个呢？角 b， e， a 在 哪里？ b， e， a 刚才我都说了，它是三十度呢。角 b a 等于三十度啊，这个太简单了啊。 哎，我们看到下面还有什么问题？如果过 e 做 e m 平行 ab 啊，做 e m 平行 ab 做这里做 e m 平行 ab。 哎，加 a c 的 延长线与 m。 好， 我们看到 a c 的 延长线在哪里？ a c 的 延长线。呦， m 跑哪去了呢？ 哎呀， m 跑这来了是吧？ m， 然后做 m p 垂直于 d c 加 d c 的 延长线，加 d c 的 延长线啊，那大概就在这加 d c 的 延长线呢？锐点 p 好 这里。哎，他说的是什么？垂直 m p 垂直啊，这里是直角， 嗯，还有什么呢？角 c p e 等于 c， p e 等于三十度啊。 c p e 在 这儿。好，这个角它是三十度。你看，我们抄出来， 当 o 是 直线 a e 上的动点的时候，当什么 m o 加 p o 最小 m o o 什么 o 是 a e o o 在 哪里呢？ o 是 a e 上动点 m o 加 p o， 那 我们看呢， p o 就 应该等于什么 p 一 撇 o 啊？ p o 等于 p 一 撇 o， 所以 我们可以做这个，比如说 o 要是在这里，你看呢， p o 等于 p 一 撇 o， 对吧？呃，但是呢，刚才这里说 p o 如 p 一 撇 o， m o 如 p o， m o 如 p o， 它要是最短的时候，那我们都要是三点共线的时候啊。啊， p 一 撇 o， 那 么三点共线的时候，它那个是最短的。哎，它要求证这个时候的这点 o 啊，刚好是点 e， 刚好这点 e， 哎，那我们看到啊，刚才这个角是三十度，那说离，所以这个 e p d 是 三十度，那么 e p 撇 d 这个角也是三十度， 已知刚才这个角也是三十度，这个角是三十度，这个角是九十度。嗯，那么这个呢？那就 c、 d 是 它的中垂线，那就是六十度。六十度，我们现在看什么呢？这里的直角，这里也是直角， 对吧？呃，那这六十度，这六十度，这个角也是三十度。嗯，这也是三十度的话。哎，我们找什么东西呢？ 我们这里是直角，这是三十度，这里是六十度。呦，这个是六十度啊。 呃，因为这个角是等于三十度的。呃，这里直角，所以这个 a e、 m 是 一百二十度的。大家上课呢，用心我们再分析，因为这里没有时间跟大家分析那么多，记得点赞关注哦。

你记住啊，八年级是成绩变化的关键时期，今天我们开始讲八年级数学，这个数学，这个配套的这个数学作业本啊，我们俗称为叫小册 啊。八年级下学期的我们看到第一节第一章的第一节三庭的证明，就应用第一个三庭内角和地理的第一课时的。 好，我们看到如图，一角一等于一百度，角一等于一百度，那么这个我们说这是个零倍角，这个角就等于八十度。角二等于一百四十五度， 那么这个角呢，那就等于三十五度，对吧？一百四十五加三十五呢，等于一百八十，那么这样呢？八十度加三十五度，一百一十五度，所以这个角三等于多少度呢？所以这个角三就等于一百八十度，减去八十度，再减去三十五度， 一百度减三十五度，等于六十五度。好，第一题，我们选择 b 六十五度。 好，这里的图形看清楚。第二题，在三角形 a、 b、 c 中， a、 d 平分，角 b、 a、 c、 a、 d 平分，这两个角相等，我们做个记号， 角 b、 c 于 d， 如果 d、 e 平行， a、 b 加 a、 c 于点 e， 如果角 b 等于四十六度，好，咱们写个抄出来。角 c 等于五十四度， 那么四十六加五十四就是九，十，就是一百度，那么一百度，那么根据三角形内角所得一百八十，所以角 b、 a、 c， 那 就应该等于八十度。 角 b、 c 等于八十度， a、 d 平分，所以这两个角每个角都是等于四十度。好了，角 a、 d、 e、 a、 d、 e 在 哪里？ a、 d、 e 在 这， a、 d、 e 应该等于角 b、 a、 d。 因为刚才这两直线平行，在这里，两直线平行内错角相等，所以角 a、 d、 e 等于角 b， a、 d、 e 等于四十度，好，那我们就选择 a， 好。 第二题选择 a， 我 们看到第三题， 好，第三题没有图形。角四一比角 a 小 二十度，那就是角 a， 比角四一大二十度，角 a 减角四一等于二十度，对吧？由于角 b 等于八十度，三年的内角和等于一百八十度，呃，所以那么角 a 加角四一就是一百八十减八十等于一百度。 好，我们现在求的是角 c， 我 们用下面减上面角 a 减角 a 等于零一百八，一百减二十等于八十，角 c 减去负角 c 就 二角 c 等于八十，角 c 等于四十度。 好，角 c 等于四十度。当然呢，角 a 等于六十度啊，题目没有问角 a， 角 a 等于六十度。好，我们看到第四题， 角 a 等于这个六十五度，我们再做个记号，角 a 六十五度，角 b， 七十五度。 七十五度加六十五度，就是切了一百三，一百四十度。三角形 a、 b、 c 的 内角和一百八十度，所以这个角等于四十度。一百八十减一百四十。好，那么由于这里是折叠啊，关键的词是 c 落在这个 c 一 撇的位置，所以这个角 c 一 撇也就等于四十度。 已知这里有个这个地方是角二，这地方角二，那么我们看到这个四十度加上这个角二就是五十五度啊，五十五度，那么题目问的是角一， 那么五十五度是多少呢？那我们可以得到这个角啊，就应该等于五十五度 呀，这涉及到我们后面的角三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和啊，这个角加这角是一百八十度，这两个角合起来加这角一百八十度。好，所以这个角就应该等于五十五度，加四十度等于九十五度 啊，这个小圆圈度下写清楚。 第五题， 在三点， a、 b、 c 的 a、 d 是 高 b、 e 是 角平分线啊，一个是高，一个是角平分线，它们相交于 f。 角 b、 a、 c 等于五十八度。角 c 等于七十二度。求角 d、 a、 c。 如角 a、 f、 b 的 度数好，有如图形的在另外一边。 好，我们现在看到这里的啊，这里它刚才是垂直的。 a、 d 是 角平分线，这两角相等，刚才说角 b、 a、 c 啊，他说是五十八度 啊，角 c 呢，等于七十二度，角 c 等于七十二度，所以这个角就等于一十八度， 这里是直的啊，那么角 d、 a、 c 等于，呃，一十八度。角 b、 a、 c 等于这个五十八度。角 b、 c 五十八度，所以这个角就是五十八度，减一十八度等于四十度。 角 b、 a、 d 等于五十八减四十度。那么由于这里是直角三角形 a、 d、 b。 那 么如是角 a、 b、 d 等于一百八十度，减四十度，减九十度。实际上可以理解，直角三角两个锐角互余，那就是角 a、 b、 d 等于五十度，因此这每个角都等于二十五度，所以角 d、 a、 c。 刚才听不懂。角 d、 a、 c 等于一十八度。嗯，这个角 a、 f、 b。 刚才我们说这是二十五度，这也是二十五度，所以这个 a、 f、 b 啊，等于九十度加二十五度，对吧？呃，那就是一百一十五度了啊，一百一十五度。 好，由于时间，这个过程呢，我就没有细细的写，我们看到第六题， a、 c 等于 df， 角 a 等于角 d 由于 ab 平行于 d e， 所以 内错角相等，那么于是跟你角角 b， 对 吧？这个角角 b， 那 么这样呢？我们就可以得到两个三角形，切等三角形 b e f 现在 b f 等于四， f c 等于三，那么刚才两个三千呢？是 bc 就 等于 e f 啊， bc 等于七， e f 等于七，七加四就等于一十一，所以 b e 等于一十一啊，这个就比较简单了，过程大家自己去写，记得点赞关注哦！