苏教版六年级下册数学基础训练73

苏教版六年级下册活页起算目录与苏教版六年级下册数学书目录同步，别出心裁的采用了活页纸设计，写一张，撕一张，掌握一张，页数越来越少，计算越来越好。命题题型包含口算、 比算、辨识算以及情景算，难度由浅入深，题型丰富多样，助力学生练好数学基本功。同时可手机扫码一键判断答题是否正确。

这节课我们来一起学习关于正反比例的判断题型。首先我们来看一下判断正反比例的方法必须满足是两种相关联的量， 说白了就是如果用除法，他的比值或商一定，那好，那他就成的是正比例。 如果这两种相关联的量用到的是乘法，积是一定的，我们就可以说它乘的是反比例关系，所以非常简单。所以首先看第一道题，电脑的单价一定购置电脑的数量和总价。我们来看 看这两种相关联的量，数量和总价。数量和总价的话，我们想它用什么法呢？总价除以数量是不等于单价呢？用的是除法， 而且它们的商一定，所以老师就可以说它乘的是正比例。 第二题，构成电脑的数量一定电脑的单价和总价，我们来再想用乘法，还用除法，单价数量， 单价和总价总价除以单价等于数量，数量是一定的，用的是什么法？除法？对了，所以乘正比例就这么简单 来看。第三题，工作总量一定工作效率和工作时间来看这两组相关联的量。工作效率和工作时间有什么法呢？工作效率乘工作时间是不是就等于工作总量？ 积一定乘法，所以乘的是反比例 来看第四题，圆柱的高一定它的底面积和体积。嗯，这不是我们二单元的东西吗？ 求圆柱的体积。已知底面积和高，用到的公式是 v， 圆柱等于 s h， 对 吧？但是现在的我的两个数量关系式是底面积和体积， 所以我用体积除以底面积是不就等于高呀？ v 除以 s 等于 h， 而我的高还是一定的呢？用的是除法，高一定，所以它成的是正比例关系，正比例 就这么简单。第五题，六年级三班的小组数和每组人数，我们来看两组相关联的量。小组数和每组的人数，我用每组的人数乘小组的数量， 是不就等于我六年级三班的总人数呢？而六年级三班总人数肯定是一定的，对吧？用的是乘法，所以它乘的是 反比例。第六题，小红从家到学校已走的路程和剩下的路程，嗯，这两种是相关联的量吗？ 已走的路程加上剩下的路程是不才能等于小红家到学校的总路程的呀？ 用的是加法，而我们判断正反比例的时候，用的是乘法或者是除法，对不对？所以它用的是加法，所以不成比例。 七题，比的后项一定，前项和比值，嗯，我们前项比后项 等于比值，怎样求比值呢？是用前项除以后项等于比值。现在我们的两种相关联是前项和比值，那我用前项 除以比值是不就等于后项呀？而后项是一定的，用的是除法，所以乘正比例 就这么简单，咱们就看他用的是乘法还是除法。八题，圆的周长一定圆的直径和圆周率。我们来想直径和圆周率，我用直径乘圆周率，圆周率是不就派呀？派乘直径 等于周长，因为已知周长。已知直径求周长，是不是 c 等于派 d 啊？而我的周长还是一定的，所以用到的是乘法，周长一定，乘法积一定用的是反比例。 九题，一百二十名同学参加团体操表演，每排的人数和排数，我们用每排的人数乘 排数是不是就等于我一百二十名同学的总人数呢？总人数一定乘法，所以乘的是反比例关系。 最后一道实体，一个商场每天的营业时间一定每天接待顾客的数量与营业额，我想 这两种是相关联的量吗？每天接待顾客的数量和营业额，每天接待的数量是一定的吗？与营业额是一定的吗？ 所以说他们这两种不是相关联的量，所以我们不成比例， 所以我们再进行判断是否成正反比例。首先第一种必须是两种相关联的量才可以呢， 如果他是两种相关联的量的话，我们才考虑用乘呢还是用除呢？用除法的话，比值互上一定就正比例，用乘法记一定就是反比例，同学们学会了吗？

六年级下册二单元，圆柱和圆锥今天这节课我们来一起认识一下圆柱和圆锥。首先第一去认识圆柱体上面哪些物体的形状是圆柱体的呢？我们来观察一下， 通过观察我们可以发现，除了我们的铜线锤、沙堆，还有美龙、月亮船，除了这三个以外，其他的物体的形状是不都是圆柱体的呢？ 那老师就问了，生活中含有哪些物体的形状也是圆柱体呢？同学们可以想一下我们平时用的水杯或者是易拉罐的瓶子，是不是这些物体的形状都是圆柱体呢？那圆柱体简称圆柱， 我们从这些圆柱形的物体中抽象出了圆柱体的立体图形。 通过这个立体图形，我们来说一下圆柱体有哪些特征。我们首先来先观察一下这个立体图形，我们可以发现圆柱体从上到下是一样粗的， 而且圆柱上下这两个面是完全相同的圆，而且圆柱有一个弯曲的面，我们把这个弯曲的曲面叫做圆柱的侧面， 所以圆柱是由两个底面和一个侧面围成的，那圆柱的上下两个面，我们把它叫做是圆柱的底面， 围成圆柱的曲面，我们把它叫做是侧面，那因为圆柱两个底面之间的距离我们把它叫做是圆柱的高， 就因为刚才老师说了，圆柱上下是一样粗的，两个底面之间的距离是圆柱的高，所以想一下圆柱有几条高呀？那是不是有无数条高呢？而且每条高的 长度都是相等的。总结，圆柱底面是两个圆，大小相等， 圆柱有一个曲面叫做侧面，那圆柱两个底面之间的距离叫做圆柱的高高有无数条，并且每条高都相等。 下面我们来认识一下圆锥体下面这些物体的形状都是圆锥体，简称圆锥。那老师问了，生活中还有哪些物体的形状也是圆锥体呢？同学们可以想一下，我们玩过的跳棋 还有漏斗，他们的形状是不是也是圆锥的？那我们从这些圆锥形的物体中可以抽象出同样的立体图形。 仔细观察圆锥的立体图形，我们来一起说一下圆锥有哪些特征？我们来看圆锥有一个 顶点，是不是圆锥有一个顶点，而圆锥的底面它是一个圆。 那观察圆锥有几个底面呀？哎，是不是也有一个底面呢？而我们圆锥的侧面是一个曲面，我们圆锥的侧面展开图形可以得到一个扇形， 那从圆锥的顶点到底面圆形的距离是我们圆锥的高。 那老师就问了，圆锥有几条高呢？同学们可以观察一下，因为圆锥的顶点和底面圆心都是唯一的点，是不是所以我们圆锥它只有一条高。所以 圆锥的底面是一个圆，侧面是一个曲面，从圆锥的顶点到底面圆形的距离是圆锥的高，圆锥只有一条高。 总结，圆锥有一个顶点，而且它的底面是一个圆，圆锥的侧面是一个扇形，圆锥只有一条高。

这节课呢，我们来一起学习比例尺的应用。四单元例七，如下图，明华小学到少年宫的图上距离是五厘米，实际距离是多少米？我们来看 它的比例尺是一比八千。根据我们的已知条件，我们可以知道，我们明华小学到少年宫的图上距离是已知的五厘米， 比利尺是一比八千，求实际距离是多少米，我们可以有很多种方法进行计算。方法一，我们来看比利尺，一比八千指的是图上距离一厘米表示实际距离八千厘米， 那我们现在图上距离五厘米呢？一厘米表示八千厘米，那五厘米是表示的是五个八千呢，也就是五乘八千等于四万厘米。 紧接着我们知道一米等于一百厘米，小单位变大单位要除以净率，所以四万去除以一百等于四百米，所以我的实际距离是四百米。 方法二，我们还是去看比例尺，我们的比例尺是一比八千。我们在方法一的时候可以理解为图上距离一厘米表示实际距离八千厘米， 那我的实际距离是八千厘米，我们还可以把八千厘米转换成实际距离的米，所以八千厘米就可以等于八十米，因为一米等于一百厘米，反过来，小单位变大单位要除以净率 八千除以一百等于八十米，那我们就知道了。哦，原来图上距离一厘米表示实际距离八十米， 那我几厘米呢？图上距离对我有五厘米，五厘米是五个八十，所以五乘八十等于四百米，所以我们的实际距离是四百米。 方法三，我们还可以根据图上距离比实际距离等于比利尺列比例的方法进行解答。 因为我们少年宫、明华小学到少年宫的实际距离是未知的，所以我们解设明华小学到少年宫的实际距离是 x 厘米， 图上距离是五厘米，实际距离我设为 x。 在这里我们进行解设的时候啊，要把我们的实际距离设为 x 厘米，跟我们图上距离的单位要统一，这里强调 这是一个重点。统一单位之后，我们来进行求比例尺，图上距离是五厘米，实际距离是 x 厘米等于比例尺，一比八千， 所以列比例为五比 x 等于一比八千。紧接着解比例，内向乘内向，外向乘外向。这个时候我是不是就写成了一 x 等于五乘八千了呢？ 因为一 x， 我 们的一 x 解写要写成 x， 最后是 x 等于五乘八千， x 算下来是四万，我们解方程也好还是解比例也好，我们后面是不能带单位名称的， 那这是四万厘米，还得把四万厘米转换成四百米。 或者是啊，我们来看数学书，这个他列成了我们的分数形式，实际距离分之图上距离等于比例尺，所以实际距离分之图上距离等于比例尺。紧接着交叉法进行相乘， x 等于五乘八万，最后 x 等于四万。还是同理，我们这个四万单位是厘米，还得把厘米转化为米。答，明华小学到少年宫的实际距离是四百米。 方法四，同学们，我们来看，根据图上距离比实际距离等于比利尺。我们知道我们可以把比号是不可以看成除号呀，也就是说图上距离除以实际距离等于比利尺。我们想 除法，那就是被除数，除以除数等于商除数。不知道的情况下，我用的是被除数，除以商是不等于除数呢？ 所以我们利用转化把图上距离除以实际距离等于比利时等于实际距离。 我们来根据这个公式往前带。图上距离是五，比例尺是一比八千，那就是八千分之一， 五除以八千分之一等于五乘八千。最后算下来是四万厘米。这里老师要强调啊，是个重点，我们单位为什么是厘米啊？因为图上一厘米表示实际距离八千厘米， 所以我们的单位求出来是厘米，再把厘米转换成实际距离单位米，四万厘米等于四百米，所以答明华小学到少年宫的实际距离是四百米，同学们学会了吗？

今天这节课我们来学习用多种策略解决同一个问题。三、单元列二，全班四十二人去公园划船猪十只船正好坐满，每只大船坐五人，每只小船坐三人。 猪的大船小船各有多少人？我们可以通过画图法去解决实际问题。首先我们先画十只大船， 假设这十只全是大船，那每只大船坐五人，那十只大船就是五十人，但是我们全班才有四十二人， 那比我们全班同学多了八人。所以我们再从一只大船上面去划掉两人，把大船变成小船，那照这样换的话，是不可以换四次呀？所以我得到了 六只大船和四只小船，所以六只大船和四只小船正好坐满四十二人。 我们还可以通过列距法去解决问题。从大船有九只，小船有一只开始有序列距，那大船的只数每次减少一只，小船的只数每次增加一只， 保证大船和小船的支数的和必须是十只。那这样的话，我们大船是九只，小船是一只， 那我们每只大船坐五人，每只小船坐三人，所以九乘五加三等于四十八人，和我们的四十二进行比较的话，多了六人不可以。 那大大船是八只，小船是两只，八乘五加二乘三等于四十六人， 和我们的四十二比较多了四人也不可以。大船是七只，小船是三只，七乘五加三乘三等于四十四人，和我们四十二比较多了两人还是不可以。 那大船是六只，小船是四只的情况下的话，六乘五加四乘三等于四十二，和我们四十二只四十二人比较的话，正好相等，所以我们通过列据得出猪的大船有六只，小船有四只。 最后我们来采用上学期所学习到的假设法去解决实际问题。假设大船和小船同样多，即 捉五只大船和五只小船，那乘坐的总人数就是五乘五加五乘三等于四十人， 比我们四十二人少了两人。那我们想一只小船比一只大船 少坐了五减三，是不等于两人呀？那我现在我们把一只小船给他换成大船， 把一只小船换成大船，这个时候大船有六只，小船有四只，六乘五加四乘三等于四十二，正好相等。 所以我们还是一样的同理，租了大船是六只，小船是四只。 假设我们坐的都是大船，假设都是大船的话，我们就能坐五乘十等于五十人， 比我们实际的四十二人多了五十减四十二等于八人，是不是就多出了这八人呢？我们把这八人叫做总差， 把一只大小船看成一只大船，那就多了 五减三等于二人，我们把它叫做是每差。我们用最多的这八人想，里面有几个二，就租了几只小船，所以总差除以每差 八除以二等于四只，所以我小船租了四只，再用我租的船的总只数减去租的小的小船的只数十减四等于六只，就可以算出大船有六只。 那如果我们假设住的都是小船，假设全都住的是小船的话，就只能坐三乘十等于三十人， 那比我们的这四十二人就少了四十二减三十等于十二人，我们把这十二人也叫做总差。 紧接着那我把一只大船给他看成了小船了，那这时候就少了五减三等于二人，我们把它叫做是每差 总差除以每差也就是十二人中有几个，两人就租了几只大船， 所以我用十二除以二等于六只，大船有六只租了六只。将我租船的总只数减去租的大船只数，十减六等于四只，就是可以算出小船租了四只。 所以我们最后结果都是大船是租了六只，小船租了四只。 这节课我们学习了用多种策略解决同一个问题，你有什么体会呢？总结，再画图，列举些假设再调整，都是解决问题的有效策略。分析和解决同一个问题，可以用不同的策略， 要学会根据具体问题灵活选择策略。二、在假设用假设法解析时，可以先进行适当的分析，从接近实际结果的数据开始假设， 再根据数量上的不一致进行调整，直到结果与题目条件一致，从而解决问题。

六、年级下册六、单元正比例和反比例立一的试一试购买一种铅笔的数量和总价如下表，我们表格当中所给出的是总价和数量。问题一天写上表，说说总价是随着哪个量的变化而变化的。 观察表格，我们可以发现，我们购买一支铅笔的时候，总价是零点四元，购买两支铅笔的时候总价是零点八元，购买三支铅笔的时候，总价是一点二元，以此类推。我们可以发现 购买数，我们购买铅笔的数量越多，总价就越多，购买数量越少，总价就越少，所以我们总价是随着数量的变化而变化的。 问题二，写出几种相对应的总价和数量的比，并比较比值的大小来看总价和数量的比，所以零点四比一等于零点四，零点八比二等于零点四，一点二比三等于零点四， 一点六比四也等于零点四，以此类推，它们的比值都是零点四，所以它们的比值的大小是相等的。 问题三，这个比值表示的实际意义是什么？你能用式子表示它与总价数量之间的关系吗？ 因为我们知道总价除以数量是不等于单价，而我们问题二当中的比值我们求出来它的比值是相等的，所以总价除以数量等于单价，单价是一定的。 所以我笔直表示的实际意义是购买铅笔的单价，也就是铅笔的单价，总价除以数量等于单价，单价是一定的，或者我们也可以写成数量分之总价等于单价，单价是一定的。 问题四，铅笔的总价和数量成正比例吗？为什么？在这里老师就强调了我们判断这两种相关联的量是否成正比例，我们说白了，它其实就用的是除法， 他们的比值或者是商一定的时候，我们就可以说他乘的是正比例关系。所以我们来看，总价除以数量等于单价，我们单价求出来的比值是一定的，所以他乘的是正比例关系。 所以铅笔的总价和数量成正比例关系，因为总价除以数量等于单价，单价是一定的 问题，生活中还有哪些成正比例的量，你能举例说明吗？我们来看，老师举出了两种，第一种，长方形的长一定长方形的面积和宽成正比例。我们来看， 面积除以宽是不就等于长方形的长呢？而长方形的长是一定的，我们用的是除法，它的比值或商是一定的，所以我们乘的是正比例关系。 速度一定，路程和时间呢？我们来看，因为路程除以时间等于速度，速度是一定的，速度是不就指的是比值或商呀，用的是除法，所以我的路程和时间成正比例关系 来看列一列。第一题，张师傅生产零件的情况如下表，我们表格当中给的是生产零件的时间和生产零件的数量。问题一写出几组相对应的生产零件数量和时间的比比，比较笔直的大小， 我们来看，通过表格我们可以知道生产零件的数量和时间的比值。我们用的是除法，所以用二十五除以一等于二十五，五十除以二等于二十五， 一百除以四等于二十五，一百五十除以六也等于二十五，二百除以八还等于二十五，以此类推，我们的比值的大小是相等的。刚才老师生产零件数量和时间用的是什么法？求出比值的用的是除法，是不是求出的比值？ 第二问，生产零件的数量和时间成正比例吗？为什么？因为我们知道生产零件的数量除以时间是不，它们的比值是相等的呢？ 所以我们生产零件的数量和时间成的是正比例关系，而我们的这个比值其实就是我们的工作效率。生产零件的数量是我们的工作总量，工作总量除以工作时间等于工作效率，而我的工作效率是一定的。 第二题，做同一种服装，做的套数和用布的米数如下表，表格当中给的是用布的数量和服装的数量，做的套数和用布的米数成正比例吗？为什么？ 第二题，做同一种服装，做的套数和用布的米数如下表，我们表格当中所给出的是用布的数量和服装的数量。问，做的套数和用布的米数成正比例吗？为什么 我们来看我们用布的数量去除以服装的数量，二点二除以一等于二点二，四点四除以二等于二点二，六点六除以三等于二点二，以此类推，他们的比值是不都是二点二呢？而且我们用布的数量 是随着我们服装的数量而变化的，他们两是两种相关联的量。做的套数越多，我们用布的米数是不是会越多呀？ 做的套数在变化，用布的米数也随着变化，而且用布的米数和我做的套数的 笔直是一定的，用的是除法，他们的笔直一定，所以我们就可以说做的套数和用部的米数成正比例。

这节课我们来一起学习一道关于圆锥体体积的必考题型。一个直角三角形如下图，若以三厘米的直角边为轴，旋转一周，旋转后形成的立体图形的体积是多少立方厘米？ 根据提议我们来看是一个直角三角形，它的高是三厘米，底是四厘米。现在以三厘米的直角边为轴旋转一周，同学们想可以得到一个什么样的图形呢？ 我们一起来看老师的示意图。我们以直角三角形三厘米的直角边为轴，旋转一周 可以得到一个圆锥体，圆锥体的高是我们直角三角形的高，圆锥体的半径是我们直角三角形的底，所以我们得到圆锥体的高是三厘米，半径是四厘米。 这个时候我们来去求旋转后形成的立体图形，也就是圆锥体的体积。根据条件已知的是圆锥体的半径和高，所以所用到用到的公式是 v 圆锥 等于三分之一 pi r 的 平方 h。 我 们来代一下， 三分之一乘三点一，四乘 r， r 的 平方 r 是 不就是我们直角三角形的底呢？四厘米，所以乘四的平方乘 高等于三分之一乘三点一，四乘四，四十六乘三分之一， 最后三和三分之一可以约三点一四乘十六，算下来是五十点二四立方厘米，就可以求出我们旋转后圆锥体的体积是五十点二四立方厘米。 紧接着我们来继续看这道题。现在老师以直角三角形四厘米的直角边为轴，旋转一周， 是不是也可以得到一个圆锥体呢？那得到圆锥体的高就是四厘米，他的半径是三厘米， 从而可以得到以哪条边旋转，哪条边就是他的高，另一条边是他的半径。我们来看，以三厘米的直角边旋转，那三厘米的直角边是不就是圆锥的高， 另一条边是它的半径呢？所以老师再重复一遍，咦，哪条边旋转，哪条边就是它的高，另一条边是它的半径。 现在我们一起来算一下，以四厘米的直角边旋转的话，的旋转后的体积是多少立方厘米？以四厘米旋转，以哪条边旋转，哪条边就是高，另一条边是它的半径，最高是四厘米，半径是三厘米。 函数已知的是半径，所用到的公式是 v 圆锥等于三分之一 pi r 的 平方 h。 我 们来带一下， 三分之一乘三点一，四乘，现在能是四的平方吗？不是了啊，半径是三厘米了，所以是三的平方。乘四等于 三分之一乘三的三点一，四乘三，三得九乘四。最后在这里老师算下来是三十七点六八立方厘米，同学们学会了吗？

今天很开心和大家一起来学习，我是李老师，喜欢这节课，我们一起好好的，愉快的，快乐的，一起来收获知识， 相信我们班同学都是最棒的。首先，老师给大家带来一个有趣的小故事，请看大屏幕。自从双减和五项管理落实以来，小明同学对体育运动的热情高涨。 这不，在一个周末的下午，小明吵闹着让爸爸陪他去打篮球， 此时他爸爸正在看球赛，不甚其烦就随手将桌上的一张世界地图撕的粉碎，对小明说，你什么时候把这世界地图拼好，爸爸就立刻陪你去。 爸爸以为每个大半天肯定是拼不好的，这下可以好好的看球赛了。没想到过了不到五分钟，小明又拖着他爸爸的手说，爸爸，我拼好了。 爸爸很生气的说，小孩子要玩是可以理解的，但如果说谎话就不好了，你怎么可能这么快就将世界地图拼好了？小明非常委屈的说，可是我真的拼好了呀！ 爸爸一看，果然拼好了，家里莫非出了神童？他非常惊讶的问 儿子，你是怎么做到的？小明说，世界地图的背面就是我小时候的照片，我把它翻过来拼，一下子就拼好了。故事听完了啊，听着没？我们在故事里面 你们想到了什么？小明聪明吗？聪明，小明非常聪明，他聪明在哪里呢？他爸爸给徒弟们的任务，摆一场世界地图， 拼起来复杂吗？复杂，它包括了周几、大洋、七，我们同学的世界地图非常熟悉对不对？密密麻麻的七大洲，四大洋，两百多个国家，如果要把它拼起来， 没有大半天肯定拼不好，对不对？对，小明既然搞懂几分钟就把它拼好了， 为什么他能做到？小林，他把他把复杂的世界地图变成了简简单单的宝藏，他简直是个魔术师，对不对？ 对，他这个变的过程，其实在数学上面给他取了一个很好听的名字，叫做转化。转化， 相信大家对这个词语不过生，我们在以前经常见到，比如说学习乘法的时候有听到对不对？那么这一刻我们就继续来探索转化 的魅力之处。好，首先我们一起来学习一下以前的知识，我们把这句话提走一遍，预备起， 这是一个分数关系的问题，男生人数是女生人数的五分三分之二，从这句话里面我们还能得到什么样的数量关系？同学们举手非常积极啊！ 听你来说，把这个班总共分成了五份，男生占这个班的五分之二，女生占这个班的五分之三。好，请做。这位同学的思路 非常清晰，各位好，这句话里面发谁看到答案的？一、女生，女生人数是答案的一分，是 他几份？两份，男生人数占几分？两份，所以总人数一共是几份？五份，对不对？所以我们总知道男生是总人数的， 那么还能不知道男生与女生之间的比是几比几？从完整的这一句话里面，我们可得到这么多的数量关系，是吧？好，接下来我们一起来看一提。一 好，请你们把这句话我们一起这道题一起齐读一遍。双减落实以来，预备起。好，题目读完了，我们看看这是一道什么样的应用题， 分数这条件里面有很多分数关系对不对？这些呢？分数的应用题，简洁又易的方法有很多，还有还有， 耶耶耶耶耶，学过对不对？太多的方法了，那么我们就用一些我们学过的策略，学过的方法，尝试来解决今天的新问题。下面我们以小组为单位， 老师给大家五分钟，我们开始去讨论，时间到了，我们同学讨论的非常激烈，大家非常的有想法，接下来就是我们的分享时刻，每个小主我们按照随机点名的形式，抽出我们的小组代表出来分享，大家期待吗？期待期 待。好，我们恭喜这位，我用的是画线段图来解决这个问题的，把总人数看作单位一， 把他们分成五份，男生就占两份，女生占的是三份，可以先算出一份是多少人， 那么再算出两份是多少人得到的，算式就是二十一除以三乘以二等于十四人。好，请坐好。这位小选手代表他的分享是他们采用现到图的方法。首先我们来看，在这个图里面 标出了题目中的一啊，可以清楚了，看到皱纹里面把谁看错了，单位一错了，单位一，平均分成了几份？五份，男生占了几个了几份？两份，抢 一样对不对？那么我们给这位小主来点掌声好吗？这位小组成员特别有智慧对不对？ 下面哪个手代表跟你们分享不一样的答案呢？好好的听，我是通过比例的方法，我根据分数五分之二的意义，男生人数和总人数的比是二比五，那么女生人数和总人数比就是三比五， 从这里面我们可以看出男生人数和女生人数的比是二比三，严格的比例就变成了女生一共有二十一人，男生和女生人数的比是二比三， 男生有多少人在根据比例的分配知道男生是女生的三分之二，所以得到的算是二十一乘以三分之二，等于十四人。好，请坐！这位女生的答案也非常的特别，比比 这三个比例关系，哪一个比例关系对，我们解决一个问题的，所以一个说是另一个算几，我们通常用什么法来计算算，通过比例分配 我们也可以求出答案出来。当然在这个题当中我们也特别注意比例，比例分配的时候千万不要搞混了，对不对？对，你也可以搞混了，也非常不错。还有没有钱？ 有，有吗？有，一定有，对不对？一定有，接下来我们继续等哪位请大家来解答的。先受全班人为全班人数为 x， 则男生人数由五分之二 x 为 男生，全班人数减男生人数等于女生人数，所以得到方程， x 减五分之二， x 等于二十一，减得为三十五。蓝色人数为三十五乘以五分之二，等于一十四人。这个方法也非常的不一样，他用了什么方法解决的？ 首先我们今天说的位置数都非常聪明，都用了这三种方法，都能够把复杂的分数问题解决了， 方法不一样，但是这三种方法又有什么样的特点呢？首先看挂挂这个图的方法，它有什么样特点，每种方法对每种方法不一样的特点，但是他们又有一个共同的规律，共同的 用东西吃呢？已经通过逆袭已经体会到了转化它的价值啊，那么现在我们一起来，小事不当，首先老师给大家三十秒钟快速的去。

这节课呢，我们来一起学习六单元正比例和反比例。第一主要学习的是正比例的意义。一辆汽车在公路上行驶，行驶时间和路程如下表， 表格当中给出的是路程和时间问题，观察表中的数据，你有什么发现？ 我们来看我们行驶的路程是随着时间的变化而变化， 行驶的时间越长，行驶的路程就越多，行驶的时间越短，行驶的路程就越少。所以老师就可以说，我们当时间在变化的时候，路程也随着变化， 这两种量我们就可以称它为是两种相关联的量。一、总量也随着在变化。 我们来看这两种相关量的量，计算相对应的路程和时间的比的比值是否相等。我们因为路程除以时间等于数度，所以我的比值其实是数度。 八十除以一等于八十，一百六十除以二等于八十，二百四十除以三等于八十，三百二十除以四还等于八十。依次进行计算的话，我们发现我们行驶的速度是不发生变化的。 你能写出几组相对应的路程和时间的比，并求出比值吗？我们来看路程和时间的比是八十比一，老师在这里写成了一分之八十，他的比值是八十。 二分之一百六十，比值是八十，三分之二百四十的比值还是八十五分之四百的比值还是八十，依次进行计算，它们的比值都是八十，而我的比值表示的是路程 除以时间等于速度，速度是一定的，所以我的比值表示的是行驶的速度。 根据路程和时间的关系，我们来理理解正比例的意义，路程和时间是两种相关联的量，这第一个重点，时间变化，路程也随着变化。 当路程和相对应的时间的比的比值总是一定，也就商是一定时，是第二个重点，行驶的路程和时间就成正比例关系。行驶的路程和时间是成正比例的量， 所以判断两种量是否成正比例关系，我们就看符合不符合两种条件。第一种条件，他们是不是两种相关联的量。 第二种条件，我们再看这两种相关联的量的比值或者是商是不是是一定的。如果这两种条件都符合，这两种量就成正比例的量，反之，不成正比例。 总结，一、两种相关联的量，一、总量变化，另一总量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数的比的比值也就是商一定，这两种量就是成正比例的量，他们的关系就叫做正比例关系， 比值也就是商。所以我们肯定考虑的是用的是除法进行计算。二、如果用字母 x 和 y 表示两种相关联的量，用 k 表示它们的比值一定 正比例关系可以表示为 x 分 之 y 等于 k， k 是 一定的。在这里老师写 x 分 之 y 是 不？其实就是 y 除以 x 呢？把分数的形式写成了除法的形式， x 除以 y 除以 x 等于 k， k 是 一定的。三、判断两种量是否成正比例的方法首先第一步，我们先判断这两种量是否成相关量的量。 二、再看这两种量中相对的这两个数的比的比值是否是一定，说白了就是他们是不是用的是除法，如果用的是除法，他们的比值或商是一定的，这两种量就成正比例，反之不成正比例。

今天这节课我们来一起学习图形的放大和缩小四单元比例。第一，王小光拖动电脑鼠标把一张长方形照片放大，我们来看原来长方形照片的长是八厘米，宽是五厘米， 放大后长方形照片的长是十六厘米，宽是十厘米。问放大前后照片的长有什么关系宽呢？我们来一起探讨长方形放大前后的关系。首先我们用长方形放大 后的长和宽分别去除以放大前照片的长和宽，那我们放大后长方形的长是十六厘米，我们原来长方形的长是八厘米，所以我们用十六除以八 等于二。我们紧接着再用放大后长方形的宽十厘米去除以放大前长方形的宽，那就是十除以五等于二。 那通过观察我们可以发现，我们放大后照片的长是原来的两倍， 宽也是原来的两倍，所以我们放大后照片的长是原来的两倍，宽也是原来的两倍。 那我们在上学期所学习了比，那我们长方形放大后照片与原来长方形的长的比是几比几啊？那是不就是十六 比八呢？那我们化解成最减整数比是不就是二比一？ 那我们放用我们放大后长方形的宽和我们放大前长方形的宽去进行比较的话，是不是十比五也等于二比一呢？ 所以我们放大后照片与原来照片长的比是二比一，宽也是二比一。 这样的话，我们把长方形的每条边放大到原来的两倍，放大后的长方形与原来长方形对应边上的比就是二比一， 就是把原来的长方形按二比一的比放大。这里面老师要提醒大家，不管是放大或者是缩小，都是把图形的每条边放大或缩小，它们的大小发生了变化，而图形的形状不变。 第二问，如果要把原来的照片按一比二的比缩小，长和宽应是原来的几分之几，各是多少厘米？ 在这里老师要强调的是，要把原来的照片按一比二的比缩小，就是把图形的每条边缩小到原来的两倍或者是二分之一。 所以我们按一比二的比缩小我们长，缩小后长方形的长和宽都是原来的二分之一或者是两倍都可以。那在这里老师写成分数的形式的， 那缩小后我们长方形的长应该是多少厘米呢？我们原来长方形的长是八，那缩小后长方形的长就是八乘二分之一等于四厘米。 我们原来长方形的宽是五厘米，缩小原来的二分之一，那就是五乘二分之一等于二点五厘米。所以缩小后的长方形的长是四厘米，宽是二点五厘米。 如果我们按照比的形式的话，把缩小后长方形的长和原来长方形的长进行比较的话，它是不就是四比八等于一比二呢？化解成最减整数比， 我们用缩小后长方形的宽和原来长方形的宽进行比较的话，就是二点五比五也等于一比二，化解成最简整数比也是一比二。 这样的话，我们把长方形的每条边如果缩小到原来的两倍，或者缩小到原来的二分之一，缩小后的长方形与原来长方形对应边长的比就变成了一比二， 就是把原来的长方形按照一比二的比缩小。在这里同学们可以观察到 我们的前向和后向发生了什么变化呢？我们在进行放大的时候，我们是二 比一，前向发生了变化。我们如果说小的时候是后向，是不发生变化了，变成了一比二了呢？ 所以老师在这里总结，如果把图形按照 n 比一的比放大，就是把图形的每条边都放大到原来的 n 倍。 如果把图形按照一比 n 的 比缩小，就是把图形的每条边都缩小到原来的 n 分 之一， n 大 于一。 第一个总结，把一个图形放大或缩小后，得到的图形和圆图形相比的话，形状相同，大小不同。

人们春天到了，大家一定很想去春游，想不想想？但是现在因为疫情的原因，我们不能去到人口密集的场所，今天我就想请大家跟着刘老师的镜头一起去春游吧。 我们班三十二名同学，加上李老师和肖老师一共三十四人，我们三十四人去轮流划船，每只大船做一轮，需要租多少只大船呀？谁能回答这个问题？来，姐姐你来回答一下， 需要租七只大船，同学们同意吗？好耶，真棒！请算算，那如果说背四人去爬船，每只小船坐三人需要租多少只小船呢？好，来我们给大家表演一下，十 二只，十二只，同意吗？孩子们，同意，那我问一下，你们想一想，如果你是十一只行不行？不行，十一只只能做三十三人，还有一人是不是没有？这个商场对他的思考非常的精准，哎呀， 在公园里啊，没有这么多的大船或者小船，而且会吹气坐不满的情况对不对？对，那如果老师发现你我们全班三十四人 坐八条船，正好能够坐满，每只大船坐五人，每只小船坐三人，坐的大船和小船各有各的位置呢？想不想解决这样的问题？ 今天我们就一起来学习解决问题的侧面。那首先我想请大家回顾一下，我们已经学习了哪些解决问题的方法？来，志伟也来说一说 图，你对之前的知识掌握的很好，还有呢？好，嘉熙也来说一说，请坐，还有没有来，你好，我想请你来说一说， 去听孩子们他们说的，同意吗？同意，还有画图，有猎取，还有假设， 那今天能不能也使用这三种方法来解决坐船的问题，能不能你觉得同意？那现在我就想请同学们自己试一试，小组合作选择 你喜欢的方法，是不是每个小组选择一种方法好不好？好的，请同学们停下来。刚刚的小组很多组都用到了自己喜欢的方法解决了这个问题， 那我想请三组来汇报一下你们这一组的，你是怎样想的？思路是怎样的？好，首先先来说一说好，来，静远，你用的方法是什么？ 我用的方法是假设。好，你用的方法是假设。那我们就首先来看一看你的方法，这个是刚刚老师拍了你的。好，请你到讲台上面来说一说，其他同学仔细的听。首先我们先假设大船与小船的之数是同样多的， 然后再算出总乘坐的总人数，与三十四人比较的话，就是少了两人。然后大船增加一条，就是增加了五人，五人减去两人等于三人，小船坐坐的人数刚好也是三人，小船减去一条，算出的总人数就与三十四人是一样的。 同学们听明白没有？听明白，但是我还有一个问题，刘老师有个问题，这里少了两个人，你怎么想到是把大船要增加？你怎么想到的？为什么你想的是把大船增加，不是把小船增加？我是先把大船增加，之后要是双数的结果不是一样再增加小船， 一个一个的，是因为他在干什么？大船每只大船是坐坐五人，连小船坐的是三人，那么也就是说一条船相差了两人，同意吗？孩子们，同意，每一条小船相差两人，刚好这里少了两人，那么这一条大船是不是刚好能堵上这两个人的位置？ 呃，同意吗？同意，非常棒，请大家用他的想法鼓掌一下，谢谢！你好，接下来我还学习的是哪一组的方法？好的，宛如你们这一组的方法是画图。好，请你到讲台上来，来说一说我们这一组是怎么想的？ 其他同学仔细听，我们这一组先画了八条船，印象出大船画画了八条大船，大船一共可以坐四十人，而我们班有三十四人，多了六人，我们从其中抽取了三条船， 每条船减去两人，刚好可以坐三十四人。同学们听明白没有？听明白了，但是唯独有一个问题，蹲了六人，为什么我要把这一条船这五人蹲了划去，再蹲了划去第二条船的第一人，为什么我要这么做呢？ 因为你看，如果把这一条船全部划去，那就 没有小船，只有大船，而且大船的大船如果只划掉这一人，就没有小船，但是上面说的是大船小船 都有，而且是多少条？八条。哎，对，如果我们把这一艘船的人全挂掉，那这一艘船还存在吗？不存在了，那也就说只有几只船了，七只，所以就是不符合，听不懂情况吗？对，好的，请同学们为他们这一组的思维鼓掌，想说讲话啊，谢谢！你好， 还有哪一组同学用到的是另一组的想法？好，是你来说一说我们这一组的想法。 再开始，同学仔细的听。我们这一组先从大船有七只，小船有一只开始列举。七只大船就是七乘五，三十五个人，一个小船就是三个人， 二三十五加三等于三十八人，也就多了四人，就增加大船的数量， 就等于三十六。三十六，又多了两人。继续增加大船的数量，大船等一下。我有一个问题，你刚刚说的是继续增加大船的数量。 你再想一下，你现在是在增加大船的数量吗？大船的数量七六五四，你是在进行一下吗？减少大船的数量，增加小船的数量。 等到大船之数有五五只，小船之数有三只的时候，就可以做三十四个人就正好了。你为了使你的结果怎么样？ 为了使结果更加的准确，我们又把大船的数量减少，把小船的数量增加，算出三十二人，但是这就少了两人。好的， 他们这种想法是非常不错。但我也有一个问题，就是工作，你不弄四人时，你怎么想到要大船减少？对，你怎么想到你现在不弄四个人，说明什么？多了四人， 说明这船上有四个什么？说明这个船上怎么样？现在能坐三十八个人，但实际上我们只有多少个人？只有三十四个人，那所以是不是多了四个库位？对，我就要想到这四个库位我需不需要？ 不需要，那我就应该要怎么样？就应该通过减少大船的支数，增加小船的支数，来减少多的人。 同学们，同学们，哎呀，他们就懂，同样发现了，当大船的知识是七，小船是一的时候，会饿死人，会饿死四个座位，这四个座位都不需要。所以我们就想着要把大船的知识要怎么样 减少，因为没减少一只大船，就会少几个船。六这两个字怎么来着？因为每个大船是五轮，小船是三，那每个大船和小船是不是相差了两轮？ 非常棒！好的，通过刚刚同学们的展示，我们用到了画图、配局和假设。 请同学们跟着老师的课间回顾一次如何检验我做的对不对？那求出的结果与船必须要符合哪些条件？必须要符合哪些条件？ 好？来，佳欢也来说一说。船的知识不能减少，船的知识必须是几八条。同意的同学们，好。对，船的知识必须是八条。那我们刚刚下出来是大船几只，小船几只？

这节课我们一起来学习圆柱表面积的计算方法。第三，把右边圆柱的侧面沿高展开，得到长方形的长和宽各是多少厘米？圆柱的底面半径是多少厘米？ 你能在下面的方格纸上画出这个圆柱的展开图吗？我们来根据提议，把右边圆柱的侧面沿高展开，会得到一个长方形，就是我们上节课所讲到的圆柱的侧面积。 把圆柱侧面积展开，它会得到一个长方形，长方形的长是圆柱的底面周长。 那又因为我们圆柱的底面它是一个圆，求圆柱的底面周长，也就求的是圆的周长。 那我们五年级下册所学习到的求圆周长 c 等于派 d 以至直径，所以用三点一四乘二等于六点二八厘米求出了我们圆柱的底面周长，也就是求出了我们长方形的长。 那我们长方形的宽相当于我们圆柱的高。我们可以观察到圆柱的高是两厘米，所以长方形的宽也就是两厘米。那在我们的这个方格纸上可以画一个长是六点二八厘米，宽是两厘米的长方形。 紧接着圆柱的底面半径是多少厘米？因为圆柱的上下底面是两个完全相同的圆， 那知已知圆的直径，求圆的半径，我们用到二除以二等于一厘米，所以我们在方格纸上画出两个半径是一厘米的圆， 那图中所展示的就是圆柱的展开图。所以圆柱的侧面积与两个底面积的和，叫做圆柱的表面积 及圆柱的表面积等于圆柱的侧面积。加圆柱的两个底面积 用字母表示，因为都是面积，用字母 s 来表示表面积， s 表等于 s 侧 加两个底面积，一个底面积，我用 s 底表示两个是二 s 底，所以圆柱的表面积字母公式 s 表等于 s 侧加二 s 底，那根据已知直径，我们来再推一下，详细的推导出它的公式。 我们上节课求 s 侧已知直径，用到的公式是派 d h， 那二 s 底也就是两个底面积，那因为元素的底面积是圆圆的面积。在五年级下册所学习到的一致直径用到的公式是 pi 括号 d 除以二反括号的平方。那两个底面积是不就是二 pi 括号 d 除以二反括号的平方呢？所以已知直径完整的公式 s 表等于 pi dh 加二 pi 括号 d 除以二反括号的平方。 那已知半径呢？我们来看上节课我们求 s 测的时候，已知半径用到的公式是二 pi r h。 那函数我们圆柱的底面是一个圆，已知半径求圆的面积用到的公式是 pi r 的 平方，那两个圆的面积，那就是二 pi r 的 平方。所以完整的已知半径 s 表等于二 pi r h 加二 pi r 的 平方。现在呢，我们已经推导出圆柱的表面积的计算公式了，那根据我们的计算公式来解决一下我们的实际问题，我们现在怎样计算这个圆柱的表面积呢？ 那因为我们这道题已知的是我们原作的直径和高，直径是二厘米，高也是二厘米。已知直径用到的公式是 s 表等于派 d h 加二派框 d 除以二反框的平方。那根据公式往进带 p d h 测面积三点一，四乘二乘二，这是我们两个底面积，所以是二乘三点一四乘二二，除以二方块的平方， 那测面积算下来是十二点五六，两个底面积算下来是六点二八，所以把他们两个相加起来的和，就是我圆柱的表面积等于十八点八四平方厘米。 答，这个圆柱的表面积是十八点八四平方厘米，这就是我们今天所学习到的圆柱的表面积。

这节课呢，我们来一起学习反比例的意义。六年级下册六单元例三，用六十元购买笔记本购买笔记本的单价和数量如下表，表格当中所给出来的是单价和数量 问题，表中的两个量是怎样变化的？这种变化有什么规律？我们观察表格可以发现，我们笔记本的单价 越低，购买的数量是不是越多呀？笔记本的单价如果越高的话，我购买的数量越少，所以我们单价和数量是两种相关联的量。购买笔记本的数量 是随着我们单价的变化而变化的。在这里我们一起来算一下我们笔记本对应的单价和数量的基，也就是单价乘数量等于总价， 一乘六十等于六十，二乘三十等于六十，三乘二十等于六十，四乘十五等于六十，五乘十二，六乘十是不都等于六十呀？以此类推，他们的总价都是六十，也就是他们的基是六十， 总价是一定的，所以我们这里可以用式子来表示它们之间的关系。单价乘数量等于总价是一定的，也就是它们的基是一定的。 那这样的话，我们就可以说单价和数量是两种相关联的量，单价变化数量也随着变化。当单价和数量的 基总是一定，也就是总价一定时，笔记本的单价和购买的数量成反比例关系。笔记本的单价和购买的数量是成反比例关系。什么意思呢？就是基也就用的是乘法进行计算， 他们的基必须是一定的情况下，我就可以说他是反比例关系。我们来看总结，这是我们立一所讲到的正比例关系，在这里老师给他们区别开了啊，我们来看一下他们有什么区别呢？ 一两种相关联的量，一总量变化，另一总量也随着变化，所以这是他们的相同之处。 如果这两种量中相对应的两个数的比的比值，也就是商一定的时候，这两种量是不是就成的是正比例的关系呢？也就老师说了，用的是除法，他们的比值或商一定。那我反比例看见了没？在这里，区别就在这 两种相关量的积一定，这两种量就成的是反比例的量，他们的关系叫做反比例关系。 所以区别正比例是比值或商一定的时候，用的是除法，就是正比例关系。我们的反比例就是积一定的时候，用的是乘法，就成的是反比例关系。 第二个，如果用字母 x 和 y 表示两组相关联的量，看到没？跟我们的正比例关系是不一样的。前面 用 k 表示他们的比值一定的时候，正比例关系是 x 分 之外等于 k， k 一定。老师这里是用的是是除法， y 除以 x 等于 k， k 是 一定的。区别在这。 我们正比例关系是比值一定。我们的反比例关系是 g 一定，用的是乘法，那它乘的就是反比例关系。我们可以表示为 x 乘 y 等于 k， k 是 一定的。

请看屏幕，这两个图形对于我们来说是再熟悉不过了，今天就让他们来开启我们的学习之旅。请你先猜一猜，这两个长方形可能会存在着怎样的联系呢？这位同学， 我觉得他们大长方形与小长方形，长与长之间，宽与宽之间，还有中长与中长之间可能存在存在于什么倍数关系？这是你的想法。 这位同学，我认为大长方形可能是小长方形按照一定比例扩大后得到的。哦，那究竟是不是这两位同学所说的呢？ 怎么办？你来说，我们可以验证，我们可以量一量，算一算。好的，那下面请同学们来量一量算一算。好，有结果了吗？好，这位同学，我量出的小长方形的宽是一厘米，宽是三厘米，你来， 我发现大长方形是小长方形按三比一的比放大后得来的。是的，同学们通过测量和计算，发现了大长方形的确就是将小长方形按照一定比例放大后得到，并且 大长方形与小长方形对应边的比是一起说三比一。那么像有这样关系的两个长方形，它们之间还会有怎样的关系呢？你还想知道什么呢？ 你来说，放大后与放大前周长的比是不是三比一？还有问题？你说放大后与放大前面积的比是多少？同学们很善于提出问题，放大后与放大前周长的比还会是三比一吗？放大后与放大前面积的比还会是三比一吗？怎么办？你来， 我们需要算一算，以此来验证。好。同学们，对于这两个问题，答案自己能找到，能不能来试一试？我是先求出小长方形的周长，就是用一加三的和乘以二就等于八厘米，再求出大长方形的周长，就是用三加 的和乘以二就等于二十四厘米。我是用大长方形的周长比上小长方形的周长就等于二十四比八，就等于三比一。所以说放大后与放大前周长的比是三比一，是这样吗？ 好的，请坐。那么放大后与放大前面积的比又是多少呢？好，你来，我们可以先求出小长方形的面积，就是用一乘三等于二十七平方厘米，然后再用三，二十七比三等于 二，二十七比三等于九比一，所以它放大后与放大前面积的比是九比一。好的，对于这两个问题，答案我们不难找出来，现在我们来对比一下三组数据。放大后对应边的比三比一，放大后与 放大前面积的比是九比一，你看出了什么吗？ 你说放大后与放大前周长的比与对应边的比是一样的，你来说，我发现放大后与放大前面积的比与对应边的比是不一样的。是的，放大后与放大前周长的比和对应边的比没有发生变化， 但是放大后与放大前面积的比却发生了变化。哎，看到这你有什么想问的吗？ 你说放大后与放大前面积的比和对应面的比是怎样变化的？究竟它们是怎样变化的呢？还有 你说放大后与放大前面积的比为什么会变化？为什么会发生这样的变化呢？其实这两个问题也就我们今天这节课要研究的问题。同学们，我们来看一看这两个数据，你能不能隐约的看出来，或者是猜测一下 放大后与放大前面积的变化，究竟与对应边的比是怎么变化的？好， 你说我猜测放大后与放大前面积的比是它们对应边比的平方，因为对应边的比的前像是三，放大后与放大前面积的比，是的，前像是九三的平方等于九，然后他们的后向都是一，所以我是这样猜测的，那我们从这一个例子当中， 刚才只是我们的猜测，能不能充分的说明我们的猜测不能，那怎么办？你说我们可以通过举例子的方法去验证能不能具体说一说怎么去举例。你来说， 我们可以把小长方形按起不同的笔放大，看看得到的大长方形的面积是否是小长方形，而对应边比的平方，意思就是再找出不同的例子，看看和它是不是相符， 明白了吗？好，下面请同学们打小长方形，按任意的笔进行放大，然后把你的数据填在表格里面，等一会我们一起来交流，好吧？开始好了吗？咱们同事之间先互相交流一下，好吧？ 好的，下面我们来收集一些数据，看一看究竟我们刚才的猜测是否正确。好，哪位同学，好，你来。 我们是把长小长方形按四比一的比放大，放大前的长是三厘米，放大后的长是十二厘米，放大后与放大前的比是四比一，放大前的宽是四厘米，放大后与放大前的比是四比一。放大前的面 积是四十八平方厘米，放大后与放大前的面积是十六比一，它的数据是对应边的比是四比一， 最后得到放大后与放大前面积的比是十六比一。好在前面。同学，你来。我是把小长方形按照十比一的比放大，放大长方形的长是三厘米，放大后长方形的长是三十厘米， 放大后与放大前长的比是十比一，放大后长方形的宽是十厘米，放大后与放大前 宽的比是十比一。放大，放大前的面积是三平方厘米，放大后的面积是三百平方厘米， 放大后与放大前面积的比是一百比一。好的，再选一组数据，你来。我是把小长方形按照六比一的比放大的，放大前小长方形的长是三厘米，放大后小长方形的长，长方形的长就是十八厘米， 放大后与放大前长的比就是六比一。放大前小长方形的宽是一厘米，放大后长方形的宽是六厘米，放大后与放大前宽的比就是六比一。放大前小长方形的面积是三平方厘米，放大后长方形的面积是一百零八 平方厘米，放大后与放大前面积的比就是三十六比一。好的，大概还有很多数据我们就不再一一介绍了， 我们通过这几个例子来看一看，是不是验证了我们的猜想。我们刚才是什么猜想呢？你说我们的猜想是，放大后与放大前面积的比是否和对应边的比乘平方倍的关系？是这样的吗？是，我们来注意看数据。对应边的比是四比一， 而面积的比是十六比一，四的平方是十六，对应边的比是十比一。面积的比是一百比一，十的平方是一百，对应边的比是六比一。 面积的比是三十六比一，六的平方是三十六，有没有同学你的数据和这个是不相符的？ 有没有？没有都一样。好，那如果我把这个长方形按照七比一的比放大，想一想放大后与放大前面积的比应该是多少呢？一起说。 如果我把这个小长方形按照九比一的比放大，那么放大后与放大前面积的比就是八十一比一。 像这样说的完吗？说的还不多，怎么办？你说，我觉得我们可以用带字母的式子来表示。好，那怎么用含有字母的式子来表示？你说 我们可以把对应边的比式成 n 比一，如果按 n 比一去放大，那放大后与放大前面积的比就是 n 的 平方比。同学们能够有意识的想到用字母式来把我们的规律表达出来。 的确是这样，这个小小的字母是把我们刚才发现的规律表达的清清楚楚，明明白白。好，同学们，刚才我们研究了长方形按照一定的比放大，得到放大后与放大前面积的比的变化规律。由此， 你还会想到什么问题呢？你说我，切，我会想到是否其他图形你也常有这样的规律呢？是的，我们不仅认识了长方形，我们还认识正方形、三角形、圆形、 平行四边形或者梯形。如果把它们也按照不同的比放大，那么放大后与放大前面积的比的变化规律还是这样吗？怎么办？你说，我还是需要举个例子或者算一下来研究，也就说我们还要再继续去研究这些图形 放大后面积的变化规律是否也是这样。那究竟是怎么去研究？你能不能通过一个具体的例子来说一说？来，同学们先小声点。

有一盒粉笔数量是二十只，我想从中拿出十八只，你们可以帮帮我吗？请你来帮老师拿一下，可以，两只的。那你需要拿多少次？我需要拿九次。 很好，还有谁愿意来帮帮老师？你来，我可以三只，三只的拿六次。记不住。你来，我可以一只一只的拿， 你吃一次。那你拿多少次？十八次，十八次。请回座位，你来吧。那你会拿几次？三次，三次。还有更快的方法吗？ 请你来，我会从这个粉底里面拿出两只，剩下的就是我需要的粉底数。他拿了几次？一次，你是怎么想的？ 我是想从粉笔盒里面拿出十八只，转化为从粉笔盒里面拿出两只，剩下的就是我需要的十八只粉笔。数他的想法好不好？好！掌声送给想办法的孩子。那像刚刚这几位同学拿谁的速度最快呀？ 张玉婷，他拿了一次就解决了这个问题，他把要拿十八只巧妙的转化成了从二十只里面去掉两只， 他用到了转化的策略，这也是我们今天要重点学习的内容。解决问题的策略。转化。 请看这两个图形，哪一个图形的面积大一些呢？请孩子们拿出操作单，用你喜欢的方法去比一比。现在开始很多孩子已经完成了， 请把你的想法和小伙伴说一说。来，请你来。我的想法是数格子，我发现第一幅图中完整的格子有三十八个，不完整的格子有二十个。 我把不完整的格子算作半格，二十除以二等于十十，加三十八等于四十八。所以第一幅图中有四十八个完整的格子。第二幅图中完整的格子有三十六个，不完整的格子有二十四个， 二十四除以二等于十二十二加三十六等于四十八，所以第二幅图中完整的格子也有四十八个。 第一幅图和第二幅图中，他们的完整的格子都是四十八个，所以他们两个的面积一样大。说的很好，请把你的作品留下来，有座位，还有谁愿意来分享？ 来，你来。我打算用折一折的方法来比较两个图形的大小，因为我发现第一个图形中凹出的半圆刚好可以补上凹陷的半圆。我将它剪了下来，发现它剪剪后的图形是一个长方形，长八格，宽六格， 一共是四十八个格子。第二个图形中它有两个独处的半圆，我把它们剪下来，发现也是一个长方形，长八折，宽六折，也是四十八个格子，所以我发现它们面积相同。 这个方法也很不错。来，作品请留下。还有想要分享的孩子，你来。我的想法是，把上面的半圆部分往下平移八格合成一个长方形，长八格，宽六格，面积是四十八平方厘米。 第二幅图，把这两边的两个半圆同时旋转一百八十度，合成一个长方形，长八宽六，面积是四十八平方厘米。所以我认为这两个图形的面积一样大。说的也很好，机会错位。 现在来看三位孩子的方法，你们更喜欢谁的方法呢？请你说一说。我觉得李志豪同学跟跟丑月同学的方法更好，因为他们把复杂的图形变得简单了。说的很好，你来说说。 我也更喜欢李志豪同学和丑月同学他们的方法，他们都把突出的部分填入凹陷的部分，将不规则的图形转化为规则的图形， 这样就能更加快捷的比出他们的大小。所以我更喜欢李志豪同学和小叶同学的做法，而且数格子的方方法耗时多，而且数的也不准确，评价的非常到位。把掌声送给他们，我们来看电脑 显示，我们把左图中上面的半圆切割，然后向下平移八格， 这样我们就得到了一个新的长方形。右图，我们将左右两个半圆切割，左半圆绕这个点顺时针旋转一百八十度， 右半圆沿这个点逆时针旋转一百八十度，这样我们也得到了一个新的长方形。两个长方形比较长，都是八，宽都是六。 通过比较长和宽，我们能知道它们的面积是一样大的。那除了比长和宽， 还有办法比较吗？你来说说。还可以用重叠的方法把一个图形放在另一个图形上面，大小就一目了然了， 是不是这样的？这个方法也很好，我们一起回顾一下刚刚解决这个问题的过程，我们用到了什么样的策略？转化， 我们通过平移、旋转、切割，把不规则的图形转化成了规则的图形。那你觉得转化的方法好不好？ 好，谁能跟我具体说一说？请你说一说。转化可以让不规则的图形转化成规则的图形，还有吗？来，你来说。 复杂的问题可以利用转化变得简单哦，这是我们转化的好处，复杂的问题经过转化可以变得更简单，不规则的图形经过转化可以变成 规则图形。那我们两个图形在转化的过程中，什么变了？什么没变？一起说，大家都有一双发现的眼睛，那在以往的学习中，我们有没有用到过 转化的策略呢？思考一下，然后把你的想法和小伙伴分享分享，和全班同学说一说。来你来， 你在学习平行四边形面积时，从而探求出了平行四边形的面积公式。平行四边形面积的时候，有没有用到转化的想法？策略，用平行四边形转化为了长方形哦！平行四边形转化成了长方形， 推导出了平行四边形的面积公式，很好来，你来说，我们在推导梯形的面积公式时，可以把两个完全一样的梯形拼成一个平行四边形，求梯形面积的时候，用到了转化的策略。请坐！还有， 测量一张纸厚度时，我会先测量出一百同样一百张纸的厚度，再用测量出来的厚度除以一百，就得出了一张纸的厚度。你是在解决生活中的实际问题的时候非常好 哦！还有你来说，我们在学习圆的面积的时候，我把圆平均分成若干份，拼成一个近似长方形的图形，从而探求出圆的面积公式。 圆的面积公式时，也用到了转化的策略。请坐！还有这么多想分享的孩子，来你来说，我们在学习小数乘法时， 把小数乘法转化成整数乘法，这样就得到了小数乘法的计算法则哦。我们在 计算的时候用到了转化的策略，很好。还有来你来说，我们在学习树叶的周长时，可以用一个棉线沿树叶的边缘绕一周，把棉线拉直 直尺，量出棉线的长度就是树叶的周长，这也用到了转化的策略。求不规则图形的周长时也用到了转化的策略。 很好。嘿，来，你来说。我们检验运算时，利用运算力把算式进行和变形，从而使计算变得更加简易。 你能具体的说一说是哪个运算力用到了转化的思想吗？乘法分配律是不是的？你想的真到位，还有想要分享的孩子，那你来。 我们在探求三角形的面积公式时，用三角形转化成平行四边形，从而推导出三角形的面积公式。三角形的面积的时候。

今天我们来讲一下六年级下册期中测试的一些重点题目啊。首先我们看一下第一题，第一小题圆柱要讲的就是圆柱，那我们圆柱方面的那些公式啊，嗯，概念一定要记得非常的清楚，那我们现在来看题啊， 一个圆柱的侧面积是六百二十八，好高，是这么多，圆柱的表面积和体积。首先第一步公式写出来，表面积， 表面积等于什么？表面积等于侧面 加两个底面，这是正常的啊，好像水桶，无盖水桶啊，通风管啊，那样的话就要注意这个底面要不要加上。对，仔细思考一下，侧面就等于 c h 加上底面积两个拍二平方。好，再延展一下 c c 的 话， 你就可以变成二拍二 h， 因为都是圆吗？加上二拍二平方。好，那么我们延展到这就看一下表面积啊，侧面积，侧面积已出六百二十八，加上 底面积，底面积，我们得知道一个重点的内容是什么，就是我们的一个什么呀，一个半径 r 对 不对？ r 从哪来？只能从这个侧面记里面来。侧面记刚才已经讲了什么呀？ r 拍 r h h 等于六百二十八， h 移出二十拍三点一四，那么我们现在就剩一个 r， 能不能算出来？好，只有一个未知数，当然是可以算出来的，把 r 算出来之后带入。 好，那么我们这个只要你计算不出错，那都是对的啊。体积，体积公式写出来， v 柱等于 s h， s 等于 pi， r 平方 h 刚才已经算出来了啊，半径已经算出来了， h 也知道。 好，那么我们这个只要计算不是五就是对的啊，好，自己看，重点内容就是我们的这个公式一定要熟记于心，公式之间的变化呀。啊，推广啊，好，我们来看一下第二题， 如果 x y 等于十八分之五，那么 x y 乘什么比例？ x 等于十八分之五 y， 那 么 x y 乘什么比例？这个比例涉及到我们的比例公式，我们一起来看一下比例的概念。 好啊，有比例，有正比例与反比例，这边是正比例，正比例是什么呀？ y 比 x 等于 k， 这个 k 是 一定的。啊，好， 正比例公式，这是正比例 的一个图像。好，随着 x， x 增大， x 增加， y 也增加。好，那么现在看一下这个反比例， 反比例是 x 乘以 y 等于 k， 一定，这两个公式一定是要记住的，我们现在再来看一下我们刚才的题。好，刚才这一题正好 x， y 等于一定值是八分之五，是固定的，它不会变，那么我们这乘以什么比例？反比例。 好，这边的话，好，我们可以变化一下， x 除以 y 等于四十八分之九，就是刚才我们已经讲过的， x 比 y 除以 y 好， 等于十八分九。相处，相处啊，他们俩相处，这个这个值是一定的，所以我们这是一个乘，什么比例？这是乘正比例，正好适合刚才我们的这个什么呀， 这个公式字母公式是一模一样的。啊，好， 这个都是非常简单的题目，把公式概念啊，记住，那么这样的题就是送分题。那我们看一下这边第三题，一幅图的数值比例尺是这么多，也就是它的比例是这么多，图上距离是十距几，距离的多少？那我们来看一下啊， 比利时，比利时是什么？比利时就是图上比上实际， 对不对？是吧？好，那么我们这里也是我们要求的，这个我们都可以看，把它看成当成一个未知数，要求这个未知数好，我们就要用什么图上除以实际吧？正好图上除以实际 就是我们的比例尺，对不对？就实际距离的多少呀？好，一二三四五六。

老师您好！同学们好，请坐！老师，这有六个数，如果选两个数，并添上运算符号， 要是计算更简单，你准备怎么选？说说你的理由。你来，我会用一百二十五乘八，因为一百二十五乘八可以得到一个整千数，真不错。 你来，我会用十三分之十一加上十三分之二，因为这样可以凑成一，也就是一个整数。嗯， 你来，我会用七点三六减二点三六，因为他们可以得出一个整数。请坐！刚才同学们在选数的过程中都用到了凑整的方法， 而简变运算的核心就是凑整。这节课我们一起复习简变运算。 课前大家已经复习梳理了知识，现在请同学们说一说我们学过的运算定律和运算性质，并用字母表示出来。试着举例说明。 你来加法。加法交换律用字母表示是 a 加 b 等于 b 加 a， 举例是四十一加五十九等于五十九加四十一。请坐！接下来 你来加法结合律用字母表示 a 加 b 的 和，加 c 等于 a 加 b 加 c 的 和。举例是四加七的和加十三等于四加七加十三的和。 我们发现运用加法结合率七和十三可以凑成正数，正十数。好，十来。接下来一个 卢俊奇乘法交换律用字母表示是 a 乘 b 等于 b 乘 a， 举例是二十五乘十等于十乘二十五。请走！接下来毛家悦 乘法结合律用字母表示是 a 乘 b 乘 c 等于 a 乘 b 乘 c 的 积积，举例可以为九乘二十五乘四等于九乘二十五乘四的积， 我们也发现它们相乘可以凑成乘法数。 接下来乘法分配律徐雨涵 乘法分配律用字母表示 a 加 b 的 和乘 c 等于 a， 乘 c 加 b 乘 c。 举例为三分之一加七分之一的和乘二十一等于三分之一乘二十一加七分之一乘二十一。 我们发现通过乘法分配率，它们可以进行约分，变成整数，使计算更加简易。减法的性质 图锐减法的性质用字母表示是 a 减 b 减 c 等于 a 减 b 与 c 的 差。嗯， a 减 b 与 c 的 和，口误啊。接下来举例是三十六减二十七减三等于三十六减二十七加三的和 二十七和三可以凑成整数数。好，你来。 减法的性质还有用字母表示 a 减 b 减 c 等于 a 减 c 减 b。 举例是二十七减十三减七等于二十七减七减十三。 除法的性质一起除法的性质用字母表示是 a 除以 b 除以 c 等于 a 除以 b 乘 c 的 鸡，用举例子是二百除以二十五除以四等于二百除以二十五乘四的鸡。这里二十五乘四等于一百，可以凑成整百数用。二百除以一百等于二，这会使运算更简易。哎，我觉得你说的非常完整。 接下来除法的性质还有瞪眼除法的性质还有 a 除以 b 除以 c 等于 a 除以 c 除以 b。 举例是六十除以十三除以三十等于六十除以三十除以十三。 刚才同学们的例子呀，都说的很不错，这些并算定律和性质其实在整数、小数、分数的范围内都能适用。其实我们在平时做练习的过程中，我们会发现 乘法分配律，减法性质和除法性质，我们常常会碰到他们的逆运算，也就是说右边的形式转化成左边的形式。我们具体来看看。 当两个积相加时，有相同因素，我们把相同因素提出来。零点七加九十九点三可以凑成乘法数，能使计算更加简易。 当我们一个数减去两个数的和时，在这个题目中，我们发现 我们将它变成连减的形式，能够使计算更加减减。 在除法中呀，一个数除以两个数的积，我们也可以把它变成一个数连续除以这两个数，因为我们很明显的看出来，一千除以一百二十五等于八。 看看下面这些题，你可以怎么减算，说说你的依据， 你来。我觉得可以五加五加十五的和，加七加三的和，因为这样可以做成一个整十数，使计算更加简易。嗯，能不能请你继续说完，你运用啊， 我运用了加法结合率的方法。加法结合率，谁还能补充一下？你说我认为他运用了加法结合率和加法交换率。说的很完整，因为在这一题，我们还将加数的位置进行了交换。 接下来练习四百七十除以二点五除以四十等等于四百七十除以二点五乘四十的积，二点五乘四十，这里可以凑成一个整数用，这样会使 计算更加简易。这里我运用了除法的性质。说的很好。接下来 旁数连五分之四乘十二分之七加五分之一乘十二分之七 等于五分之四加五分之一等和乘十二分之七，这里五分之四加五分之一凑成了一个整数，这样算起来会使计算更加减变。我运用了乘法分配率。你说的很完整，很详细。 最后一个全会，二点二七减零点七八减零点二七，等于二点二七减零点二七减零点七八。这一道题我是运用减法的性质， 我们可以将二点二七减零点二七就得出来整数二，整数二，再减数就更加方便。说的真不错，好， 刚才同学们举的这些例子和这些题目，我们都可以直接运用预算定律和预算性质。 请你看看这两道题 能直接运用运算定律和性质吗？不能。那利用什么方法转化会更简变呢？先观察他们的数据特点， 你发现了什么？先独立思考，然后小组内交流，你想到了，就和你的小组内的成员一起说一说， 六七 八。 我们有十六年十六分钟， 加油加油。 好，谁来说一说你的发现？ 叶欣怡，第一个算是，我发现整数五十五与五十六分之五十五的分母，它们相差一，所以我们这里可以用五十六减一等于五十五，这里没有改变五十五的大小。然后我们再用 乘法分配率，可以使运算更加简易。请做第二道题呢，这一道算式中间有一个零点八，还有一个八。首先看到这道题，它有加号和乘号，加号和乘号。 看到乘和加，首先你想到了什么？乘法分配率，但是乘法分配率要求有相同的因素，而这里没有。虽然这里没有相同的因素， 但是我们可以把它转化出相同的因素。现在请你们动笔做一做， hi， say this again， too。 我们先来看一看第一位同事做的，请你说一说你是怎样做的？因为 整数五十五与分数的五十六分之五十五的五十六相差一，所以我们可以先把先把五十五变成五十六减一，他并没有改变这个数字的大小。 然后我们再运用乘法分配率，用五十六乘五十六分之五十五，然后 约分就会等于五十五，减去五十六分之五十五，最后会等于五十四， 五十六分之一五。最后这个读数我们是五十四又五十六分之一，做的还是挺不错的啊。那么像刚才 他在计算的过程中，将五十五拆成了五十六减一，使计算更加简易。像这样的方法呢，我们把它叫做拆分法， 你们和他一样吗？一样。再来听听第二个同学说的，十四乘零点八加零点六乘零点八，这里我们看到加号和乘号， 这里我们看到加号和乘号，首先想到的是乘法分配率，但是没有相同的数，我们看到了相同的数字，利用基不变的性质，可以变成一点四加乘，一点四乘八加零点六乘八， 找到相同的数字零，找相同的数字八就等于一点四加零点六的和乘八等于十六。你们做对了吗？做对了还有不同的做法吗？ 你说我们还可以把零点六乘八转换成六乘零点八，哎，不错， 在刚才的计算过程中，我们把零点六乘八转化成六乘零点八，或者把 十四乘零点八转化成一点四乘八，在这一过程中，我们运用了 g 的 变化规律， 也就是你们刚刚所说的 g 不 变。 那么我们还学过哪些变化规律能使计算更加简易呢？下面我们通过一小段视频一起回忆一下， 你们记得我们还学过哪些变化规律能使计算更加简易吗？ 我们通过几个例子一起看看吧。七点六加九点九，我们将九点九看成十加数，多加了零点一，所以和要减去零点一， 这是利用了和的变化规律， 二百六十七减九十八。像这样把九十八看作一百减数，多减了二，所以叉要加上二， 这是运用了叉的变化规律。 四百五十除以十八，对除数和除数同时除以九， 这是利用了商的变化规律。 聪明的小朋友们肯定想到了四百五十除以十八。我们也可以利用拆分法，我们拆分除数，先观察被除数的特点，找到与它相处好算的数， 然后再从除数中拆出刚才找到的好算的数， 再利用除法性质计算。 看来呀，在计算时巧用和差 生成的变化规律，能使我们的计算更加简变。通过上面的学习，现在请你用自己喜欢的方法减算八点八乘十二点五，开始吧！ let's do it 都做完了吗？做完了？好，我们来听听他的想法。八点八乘十二点五，我们可以把八点八拆成八乘十八乘一点一乘十二点五。然然后我们再运用乘法交换律，将八乘十二点五 再乘一点一，就等于一百乘一点一，最后等于一百一十。他做对了吗？做对了，他刚才在计算的过程中运用了拆分法。 你来说一说你的这一题。我们看到了八点八，八点八乘十二点五，我们就可以想到八乘一百二十五，而这里八点八又可以变成八加零点八，八加零点八的 再乘一百十二点五，这里我们就可以运用乘法分配率就等于八乘十二点五加零点八乘十二点五等于一百加十，等于一百一十。说的真不错，而且老师刚刚发现他有一句话说的特别棒， 看到与一百二十五有关的十二点五，所以我们首先想到了谁，八八，所以它运用拆分法，把八点八拆成了八加零点八。 好，请你们回座位，你们都做对了吗？做对了，看来都掌握的不错啊。这一题呢，其实除了拆分法呀，我们还可以运用 g 的 变化规律， 将两个因素，一个除以八，另一个乘八也能减算。 其实呢，不管运用哪种方法，我们都是为了凑整，使得计算更加简易。那再看看下面这道题，你能用学过的方法减算吗？ 能啊，那动笔做一做吧。 老师，看到大部分同学都很快的做完了啊，谁来说一说？ 你来，我先用九点零六加上三十点九四，这样可以凑成一个整数，减去十七点十七分之四， 减十七分之十三，因为十七分之四加十七分之十三也是一个整数。好，再接下来你就运用减法减法的去， 最终等于四十减一等于三十九，他做对了吗？做对了，请做。那么刚刚在做题的过程中呢，他说我们交换加三十点九四和减十七分之四， 从而进行减算。那么像这样交换三十点九四，带上符号加号和减十七分之四的位置，我们把它叫做带符号交换位置。 那么这一种方法你有什么温馨小提示没有？ 你来，在符号不同的情况下，我们交换数的位置必须要带符号，要不然就会使得算式的结果发生改变。真不错，你说我的温馨小提示是，带符号交换位置时，一定要带前面的那个符号。 我们还有一个温馨小提示呢，就是代符号交换位置呀，它必须是在同级运算中，如果是不同级的，它就不行了。 我们做了这么多简易计算，回忆一下，做题做简易计算有哪些步骤呢？首先， 哪道题目自己审题？审题，审什么数？审数，还有呢？符号，哎，也就是说，看数据和运算符号的特点，我们可以概括为看， 看完之后，接下来大声地说出来，想什么？想！想！想！运算定律，听一个同学说一说， 你说想运用哪一个运算定律，请做！也就是说，我是直接运用哪一个运算定律，或者转化运用哪个运算定律呢？ 我们也可以简单地说成，选用合适的运算定律或性质概过程。一个字就是选，选项都是一样的， 选完之后接下来就要干什么了？做做做！对，也就是算。 钟老师平时也强调过，送完之后必须要点凉燕茶，燕燕茶都可以。 好，请你们把步骤记对一次，步骤看选算长。咱们今天学习了这么多内容，数学小博士呢，他也想分享一些小知识给我们，咱们一起去看看吧。 你知道吗？乘法分配律对于我们的主法有时也同样适用。 比如十五点五除以五加十四点五除以五，我们可以先把除以五转化成乘五分之一， 再运用乘法分配律进行计算。 又比如，四分之一减六分之一的差除以二十四分之一，同样可以先将除法转化成乘法， 再运用乘法分配律进行计算。 再看一道十二除以四分之一加六分之一的和。 我们也可以将除法变成乘法，那么就要求除以四分之一加六分之。 由上可知，当除数是一个数或同一个数时，我们可以转换运用乘法分配率。 而当除数是一个算式时，我们不能转换运用乘法分配率了。也就是形如 a 加 b 的 和除以 c 加 b 除以 c， a 除以 c 加 b 除以 c 等于 a 加 b 的 和除以 c。 我 们可以转换运用乘法分配率。 而形如 a 除以 b 加 c 的 和，不等于 a 除以 b 加 a 除以 c 不能转化运用乘法分配律。有兴趣的同学课后也可以去查阅一些关于简易预算的资料。学了这么多，回忆一下这节课我们学习了哪些知识呢？ 口语，嗯，这节课我们学习了用运算定律来进行简易计算。 还有呢，通微，这节课我们学习了利用利用拆分法和和差积商的变化规律，带符号、交换位置，以及 转化运用运算定律或运算性质计算四步骤。我认为是看、选、算、查， 请做我们把归类整理，一起齐读一遍。简变运算的方法写简变运算的方法一、直接运用运算定律或运算性质。二、 交换位置等方法转化运用运算定律或运算性质计算四步骤，看、选、算、查。 接下来老师就想考考大家了，请你们完成任务单翻过来啊，完成知识检测。 哎呀， 好，坐好， 你来说一说第一道，第一道，三十二乘一百二十五，我们一想到一百二十五就想到八，然后我们可以运用拆分法，三十二等于四乘八，所以就是四乘八乘一百二十五， 然后我们再用乘法结合率，就是四乘八乘一百二十五的积，算出来结果是四千。 说的很详细，而且很正确啊。接下来你来说一说。我们可以先用转换的方法， 转换的方法把一点五除以零点四，哦，转化成十五除以四，我们也就是运用了商的变化规律。然后我们可以把乘法分配率运用在除法里，可以可以 把除以四化成乘四分之一，然后再用乘法分配率，最后得出来的结果等于七。你们赞成他的做法吗？赞成，看来你们都学的不错啊。好，接下来第二个，谁来说一说。 你来第二个学校买来钢笔和圆珠笔各二十五支钢笔，每支零点八元。 这一句话中包含我们解析所需要的三个数据。因为我们要求学校一共用去多少元，所以就要求珠笔的价钱加上钢笔的价钱。我们知道他们各买来二十五只，所以就是用二十五乘三点二，加上二十五乘零点八。看到三点二和零点八， 他们两个相加，可以凑出一个整数，所以我们可以利用乘法分配率，二十四乘三点二加零点八的积，加零点八的和，所以等于二十五乘四，最后算出来是一百元。刚刚有个小口误啊，也就是二十五乘 三点二加零点八的，你们都做对了吗？都做对了，那课上到这了，看来同学们也收。

同学们，我是南京市南师附中数人学校附属小学的许建老师，今天我们要学习的课题是圆锥的体积。 今天这节课，我们将结合具体情境，探索并掌握圆锥体积的计算方法，学会运用公式计算圆锥的体积，并解决相关的实际问题， 感受转化思想，积累数学的活动经验，进一步发展空间观念。圆柱的体积是怎样推导计算的？ 我们把圆柱沿着底面直径平均分成若干份，再沿着高切开，拼成一个近似的长方形，由此我们推导出圆柱的体积公式， 圆柱体积等于底，面积乘高用字母式来表示就是 v 等于 s h。 通过之前的学习，我们知道圆锥有一个顶点，圆锥的底面是一个圆，圆锥的侧面是一个曲面， 从圆锥的顶点到底面，圆心的距离就是圆锥的高。 今天这节课，我们就来研究圆锥的体积。 在研究圆锥的体积之前，我们先来看看这两个长方形和直角三角形的直板，看看它们之间有什么关系。注意看哦， 这两个图形等底等高三角形的面积正好是这个长方形面积的二分之一。 现在我们把这两个图形分别旋转成圆柱和圆锥，它们之间又有什么关系呢？ 原来等底等高的三角形的面积正好是长方形面积的二分之一。通过观察，这个圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等， 那这个圆锥的体积会不会也是这个圆柱体积的二分之一呢？我们可以用等底等高的圆柱形容器和圆锥形容器来验证一下。下面我们来看一段视频吧， 老师，这里有两个容器，一个是圆锥体容器，一个是圆柱体容器。我们首先来比一比，看一看它们的底面积是相等的，也就是等底的。 再来看高度，我们看它们俩的高度也是相等的，也就是等高的，那我们就可以称这两个容器是等底等高的。 下面我们就用圆锥体容器把水装满，再倒入圆柱体容器里面，看看倒几次能把这个圆柱体容器倒满呢？好，第一次， 我们先把圆锥体容器盛满水，倒入圆柱体容器里面。 好，同学们可以观察一下，此时水的高度差不多是圆柱体容器的三分之一。 好，第二次，我们继续，我们再把圆锥体容器装满，水倒入圆柱体的容器里面。 好，已经倒了两次了。第三次，我们继续。 好，我们来看一看，正正好倒了三次，就把这个圆柱形容器倒满了。通过观察刚才的实验操作，你有什么发现呢？ 你能试着把下面这段话补充完整吗？好，让我们一起来填一填吧。 有等底等高的圆柱形和圆锥形容器各一个，把圆锥形容器装满水，一共倒了三次，刚好把圆柱形容器倒满。 因此，圆锥的体积是与它等底等高圆柱体积的三分之一， 圆柱体积是与它等底等高圆锥体积的三倍。看来我们开始所猜测两个物体体积之间的二分之一的关系是错误的。 通过刚才的实验，我们不妨想一想，可以怎样求圆锥的体积呢？是的，等底等高的圆锥和圆柱， 圆锥的体积是圆柱体积的三分之一，也就是用圆柱体积乘三分之一。 我们知道要求圆柱的体积应该是用底面积乘高。 圆锥与圆柱底面积相等，高也相等，因此圆锥的体积就可以用底面积乘高，再乘三分之一来计算。 如果我们用 v 表示圆锥的体积， s 表示圆锥的底面积， h 表示圆锥的高。圆锥体积的计算公式可以表示成 v 等于 s 乘 h 乘三分之一， 在这里我们可以省略乘号。圆锥的体积公式用字母式表示，就是 v 等于三分之一 s h。 求圆柱体积时，我们一般要知道圆柱的底面积和高，看来在求圆锥的体积时，我们也应该要知道它的底面积和高。 回想一下，公式中底面积乘高表示谁的体积呢？对的，它表示的是与所求圆锥等底等高的圆柱的体积。 为什么要乘三分之一呢？因为圆锥的体积等于与他等底等高的圆柱体积的三分之一，因此，在计算圆锥体积的时候，这里的三分之一可千万不要忘记写哦。 回顾圆锥体积公式的探索过程，你有什么体会呢？ 通过刚才的操作，我们探求出圆锥体积的计算方法，联系了我们已经学过的圆柱体积公式进行计算。 从圆柱体积公式想起，通过比较等底等高的圆锥和圆柱的体积想到可以用观察猜想来探索圆锥的体积公式。 通过实验验证，发现了等底等高的圆柱和圆锥的体积关系，得到了圆锥体积的计算公式。由此可以看出，学习数学可以联系之前已经学过的相关内容进行思考， 并且实验也是解决数学问题的一种重要的方法， 学会了圆锥体积的计算方法，接下来我们就一起来练一练吧！ 这里有一个圆柱和一个圆锥底面积相等，高也相等，圆柱的体积是九点四二立方厘米，圆锥的体积是多少立方厘米呢？ 这里圆柱和圆锥的底面积相等，高也相等，也就是等底等高。那么他们两个的体积之间存在什么样的关系呢？ 通过之前的学习，我们知道圆锥的体积是与他等底等高圆柱体积的三分之一， 圆柱的体积是与它等底等高圆锥体积的三倍。因此要求圆锥的体积 可以用这个等底等高的圆柱的体积乘三分之一，或者直接除以三。因此我们列式九点四二除以三等于三点一四立方厘米。 那如果圆锥的体积是九点四二立方厘米，圆柱的体积是多少呢？ 还是等底等高？我们可以用这个圆锥的体积乘三来求与它等底等高圆柱的体积列式是九点四二乘三，等于二十八点二六立方厘米。 通过刚才的练习，我们进一步认识了等底等高的圆锥与圆柱的体积之间始终存在一个三分之一的关系。 那如果直接告诉你圆锥的底面积和高，相信一定也难不倒你哦。 有一个圆锥形的零件，底面积是一百七十平方厘米，高是十二厘米，这个零件的体积是多少立方厘米呢？通过读题我们可以知道圆锥的底面积和高。 根据我们刚刚学习的圆锥体积的计算公式，我们可以这样列示， 一百七十乘十二乘三分之一。计算时，我们可以利用乘法结合，率先算十二乘三分之一等于四，再去和一百七十相乘，因此它的体积是六百八十立方厘米。 值得我们注意的是，在求圆锥体积时，可千万别忘记乘三分之一哦。答，这个零件的体积是六百八十立方厘米。 接下来这里还有两个圆锥，看看题目中已经告诉了我们哪些条件呢？ 第一个圆锥告诉了我们，他的底面半径是两厘米，高是六厘米。根据圆锥的体积公式，我们可以列综合算式， pi 乘二的平方乘六，再乘三分之一，结果等于八 pi 立方厘米。 第二个圆锥，从图中我们可以看出它的底面直径和高都是三厘米，那我们依然要先求出它的底面积，再来计算体积。 列式为派乘三，除以二商的平方再乘三，再乘三分之一，结果等于二点二五派立方厘米。看来这样的题目一点也难不倒你们，真好！ 放假了，有同学跟着父母到郊外游玩，他们搭了一个近似于圆锥形的野营帐篷，里面半径是三米，高是二点四米。 帐篷的占地面积是多少呢？帐篷里的空间有多大？ 从题目中可以知道这个圆锥形帐篷的地面半径和它的高。 这里要求帐篷的占地面积，实际上就是求这个圆锥形帐篷的底面积的大小，也是 pi 乘三个平方等于九 pi 平方米。 再来求帐篷里的空间有多大，实际上就是求这个圆锥的容积是多少。 利用刚才求出的底面积，九派来乘高二点四米，再乘三分之一，求出它的容积是七点二派平方米。 答，帐篷的占地面积是九派平方米，帐篷里的空间是七点二派平方米。 有两个玻璃容器，在圆锥形容器里注满水，倒入空的圆柱形容器。圆柱形容器里的水深多少厘米呢？ 要求倒入圆柱形容器里的水深多少厘米？我们首先想到了用水的体积除以圆柱容器的底面积， 而水的体积就等于原来圆锥的体积。因此，我们可以通过求圆锥形容器的容积，把水的体积先求出来。 也综合算式， pi 乘十除以二商的平方，再乘十二乘三分之一等于一百 pi 立方厘米， 再来算圆柱的底面积， pi 乘十除以二商的平方等于二十五 pi 平方厘米。 最后用水的体积除以圆柱的底面积，也是为一百 pi 除以二十五 pi。 根据商不变的规律，一百派和二十五派同时都除以派，就等于一百除以二十五等于四厘米。当然，我们还可以用另外一种思路来进行思考， 因为圆锥与圆柱是等底等高的。回想我们一开始做过的倒水的实验， 想一想相信你一定也想到了，圆锥里注满了水，倒入等底等高的圆柱形容器以后， 水面的高度也就是水深应该是圆柱形容器高度十二厘米的三分之一，所以我们还可以这样列式， 用十二除以三等于四厘米。这样做是不是非常的简单呢？ 是的，我们抓住了等底等高圆锥与圆柱之间的关系， 就能很好的解决这样的一道问题。最后别忘记答哦！答，圆柱形容器里水深四厘米。 同学们，这节课我们通过操作观察实验经历，圆锥体积计算公式的猜想， 体会用实验研究问题获得结论的方法，并且应用了公式计算圆锥的体积，解决了圆锥体积相关的简单的实际问题。 今天这节课就上到这里，谢谢观看，同学们再见！ 同学们好，我是南京市民生实验小学陶维奇老师。今天我们要学习的课题是圆锥的体积练习二， 相信通过前两节课的学习，同学们已经对圆锥体积的计算方法有了较深刻的理解。 今天这节课让我们继续走进生活，在解决实际问题的过程中，探求圆柱和圆锥体积之间的内部联系，感受数学图形之间的内在奥秘。 首先让我们一起来看一看数学书上第二十三页练习四的第七题。张师傅要把一根圆柱形木料加工成圆锥形。 第一小问，圆锥的体积最大是多少立方分米？ 如何理解这里最大的含义呢？同学们可以在脑海中想象一下，将圆柱削成最大的圆锥会是什么样？ 是的，这是与这根圆柱形木料等底等高的圆锥。 从图中我们可以找到圆柱形底面直径和高，也就是把它加工成最大圆锥形的底面直径和高。 那么圆锥的体积可以列示为 pi 乘二除以二的商的平方乘三乘三分之一。 通过约分我们可以得到等于派立方分米。我们再来看第二小问，你还能提出什么样的问题？ 我们可以提出消去木料的体积是多少立方分米？ 我们知道消去的木料就是用圆柱体积减去。刚才第一问求出的圆锥的体积 列式为 pi 乘二除以二，商的平方乘三减， pi 乘二除以二，商的平方乘三乘三分之一， 这是圆柱型木料的体积减号。后面就是刚才第一问求出的圆锥的体积，两者相减， 三派减派得到消去的木料体积是二派立方分米。 我想一定会有同学想到，还有更简易的方法，就是利用消去木料的体积与原来圆柱之间体积的关系来解决。 我们知道加工成圆锥体积是原来圆柱体积的三分之一， 由此我们可以列式， pi 乘二除以二的商的平方乘三乘一减三分之一的差。 这里的一减三分之一就是消去的木料占原来圆柱体积的一减三分之一的差，也就是三分之二。 同样我们可以求出消去木料的体积是二派立方分米，这样我们的算式看上去就简洁多了。 到这里我们来小节一下，在圆柱内削一个最大的圆锥，就是与圆柱等底等高的圆锥，占圆柱体积的三分之一，那么削去部分的体积就占圆柱体积的三分之二。 接下来我们来看数学书上第二十三页的第九题，有一块直角三角形硬纸板，分别绕他的两条直角边旋转一周，能够形成两个大小不同的圆锥，你能计算这两个圆锥的体积吗？ 要想解决这个问题，我们首先要搞清楚这个直角三角形硬直板绕着某一条直角边旋转会得到怎样的图形。我们来分别研究一下这两种情况。 第一种，以四厘米的直角边为轴，旋转一周，会得到一个怎样的圆锥呢？我们可以闭上眼睛想象一下， 看看是否和老师的一样呢？会得到一个底面半径为三厘米，高为四厘米的圆锥。 第二种，以三厘米的直角边为轴，旋转一周会得到一个怎样的圆锥呢？对，此时是一个底面半径为四厘米，高为三厘米的圆锥， 和你脑中的图像一样吗？现在我们可以分别计算一下两个圆锥的体积。 第一种情况，圆锥的体积是 pi 乘三平方乘四乘三分之一，算出的结果是十二 pi 立方厘米。 第二种情况，圆锥的体积是 pi 乘四平方，乘三乘三分之一等于十六 pi 立方厘米。 通过比较不难发现，第二种情况，也就是以三厘米为轴旋转一周得到的圆锥体积较大。 下面我们来看一看第十一题，右图的蒙古包由一个近似的圆柱形和一个近似的圆锥形组成， 这个蒙古包里的空间大约是多少平方米？要求这个蒙古包里的空间大约是多少平方米，其实就是要求下面这个近似的圆柱形和上面这个近似的圆锥形的体积之合。 观察直观图，我们发现这个圆柱和圆锥的底面直径是相等的，也就是底面积相等，我们可以求出这部分的底面积， 这样可以避免重复计算。 pi 乘六除以二的商的平方等于九 pi 平方米， 那么圆柱部分的体积就可以用九派乘二等于十八派立方。圆锥部分的体积用九派乘一乘三分之一等于三派立方， 再将它们相加，十八派加三派等于二十一派立方。 这道题目我们还可以尝试用另一种方法来解决，下面老师来向大家介绍一下。 首先我们将这个蒙古包的直观图改成一个轮廓图，由于圆柱和圆锥底面积相等，圆柱的高是圆锥的两倍， 我们可以将下面的圆柱从水平方向一分为二，那么分成的每一个圆柱就和上面的圆锥是等底等高的。 如果我们将上面的圆锥体积看成一份，那么下面两个被分开的小圆柱体积都是三份。 因此圆锥和整个大圆柱的体积比就是一比三加三的和等于一比六，也就是圆锥的体积是下面圆柱部分体积的六分之一。 我们的算式可以写成派乘六除以二的商的平方乘二乘一加六分之一的和。 前面这部分我们求出的是圆柱的体积，把它当成单位一。圆锥的体积占了圆柱体积的六分之一， 那么整个蒙古包的体积就占了圆柱部分体积的一加六分之一的和等于六分之七。 经过计算，我们可以得到圆柱和圆锥的体积之和是二十一派立方米。 利用圆锥和圆柱之间的体积比，也可以求出蒙古包的空间大约是二十一派平方米。 我们通过比较这两种方法可以发现它们其实本质是相同的，都是抓住了底面积相等这个重要的条件。 最后我们来看一看书上的这道思考题。一个圆锥和一个圆柱底面积相等，体积比是一比六。如果圆锥的高是四点二厘米， 圆柱的高是多少厘米？如果圆柱的高是四点二厘米，圆锥的高是多少厘米？ 同学们，我们想要解决这个题目，首先要将已知条件中圆柱和圆锥底面积以及高的关系整理清楚， 可以借助表格帮助我们。题目中告诉我们，圆柱和圆锥的底面积相等，也就是它们的底面积的比是一比一，我们可以 将它们的底面积都假设为一。由于圆锥和圆柱它们的体积比是一比六，如果把圆锥的体积看成一， 那么圆柱的体积就是六。现在我们可以把它带入公式里算一算，看看圆锥和圆柱高的关系。 由于圆锥的体积是底，面积乘高再乘三分之一之后得到的，现在已经知道的是体积一，就要反过来先用一乘三得到底面积乘高的积， 再除以底面积得到圆锥的高。算式是一乘三除以一等于三，得到圆锥的高是三。 如果有同学思考起来有些困难，我们也可以列个方程解设，圆锥的高是 x， 圆锥的底面积是一，高是 x， 体积是一。我们可以列方程，一乘 x 乘三分之一等于一， 解出 x 等于三，同样得到圆锥的高是三。 我们再来求圆柱的高是底，面积乘高。 已知底面积和体积求高，可以直接用六除以一等于六， 算出圆柱的高是六。算到这，我们发现圆锥和圆柱的高比就是三。比六等于一比二， 说明圆锥的高是圆柱的二分之一，反过来也就是圆柱的高是圆锥的两倍。 知道了圆锥和圆柱高的比，再根据题目条件中给出的已知数据再来解决问题就简单了。 第一问，已知圆锥的高是四点二厘米，求圆柱的高用四点二乘二等于八点四厘米。第二问，已知圆柱的高，求圆锥的高用四点二除以二等于二点一厘米。 当然，这道题目我们还可以这样思考，当圆柱和圆锥等底等高的时候，圆锥的体积是圆柱的三分之一， 圆锥和圆柱的体积比是一比三，而现在它们的体积比是一比六。 想一想，圆柱的体积在三倍的基础上又扩大了两倍，而他们的底面积是相等的，说明是高发生了变化。想一想，圆柱的高应该是圆锥高的几倍呢？ 对了，两倍，可以想象成在圆柱上又落了一个和它完全一样的圆柱，这样圆锥与圆柱体积的比就是一比六。 我们同样可以得到圆锥和圆圆柱高的比是一比二，从而求出答案。 同学们，这道题我们通过不同的方法找到了圆锥和圆柱高之间的关系， 进而解决了问题。真棒！大家还可以思考这样一个问题，仔细对比一下这道思考题和上面蒙古包的题目有没有什么相同之处呢？老师，相信细心的你一定能发现一些有意思的联系， 通过这节课的练习，你有哪些收获呢？圆锥的体积在我们的生活中还有哪些具体的应用呢？ 在解决实际问题的过程中，我们需要有意识的寻找条件当中圆柱和圆锥之间的内在联系，注重题目中方法之间的关联， 在观察和对比中及时总结数学学习的经验和方法，相信同学们会有更多的收获。 今天的数学课就上到这里，谢谢观看，同学们再见！ 同学们好，我是南京市民生实验小学陶维奇老师，今天我们要学习的课题是圆锥的体积练习。一、 上节课我们学习了有关圆柱、圆锥的体积计算，今天我们结合所学知识来进行一些练习，通过练习将进一步巩固圆锥体积的计算方法， 并能灵活运用体积计算公式解决一些实际问题。首先我们来回顾一下上节课的学习内容， 通过操作实验，我们发现圆锥的体积是与它等底等高圆柱体积的三分之一。 那么根据圆柱体积公式，我们推导出圆锥体积公式，等于底面积乘高乘三分之一，用字母表示 v 等于三分之一 s h。 根据圆锥与它等底等高圆柱体积之间的关系，我们来解决这样的两道题。 打开数学书第二十二页，我们先来看第五题的第一小题，一个圆柱的体积是一点八立方分米和它等底等高的圆锥的体积是多少立方分米？ 题目中已知圆柱和圆锥等底等高，又告诉我们圆柱的体积，那么圆锥的体积就是圆柱体积的三分之一， 可以用一点八除以三等于零点六立方分米。第二小题，一个圆锥的体积是一点八立方分米，和它等底等高的圆柱体积是多少立方分米？ 这道题目中圆锥和圆柱还是等底等高，那么圆柱体积就是圆锥体积的三倍。用一点八乘三等于五点四立方分米， 得到圆柱的体积是五点四立方分米。我们来比较一下这两小题有什么相同点和不同点。 相同点在于这两题里的圆柱和圆锥都是等底等高的，不同点在于，第一小题是已知圆柱体积，求圆锥体积要除以三。 第二小题是已知圆锥体积，求圆柱体积要乘三。 所以圆锥体积是与它等底等高圆柱体积的三分之一，反过来，圆柱体积是与它等底等高圆锥体积的三倍。 带着这样的学习经验，我们再来看看第六题下面的圆锥与哪些圆柱的体积相等。 请同学们仔细观察题中的一个圆锥和四个圆柱的直观图，比较它们底和高的数据。 我们可以先估一估圆锥与哪个圆柱的体积相等呢？借助直观感受，我们首先可以排除一号和四号。 一号圆柱与圆锥等底等高，它的体积应该是圆锥的三倍，可以排除 四号圆柱也比较容易判断，它相对于圆锥来说太小了。 那么我们重点来看一看二号和三号。首先我们可以通过计算的方法进行比较， 先算圆锥的体积，用派乘九除以二的商的平方乘十二乘三分之一等于二十点二五，派乘四等于八十一派立方厘米。 我们再来算二号圆柱，它的体积用 pi 乘三除以二的商的平方乘十二等于二点二五， pi 乘十二等于二十七 pi 立方厘米。 三号圆柱的体积用派乘九除以二，商的平方乘四等于二十点二五，派乘四也是八十一派立方厘米。 通过计算或者比较它们的算式，我们能将答案锁定在三号圆柱，它的体积与圆锥相等。 当然，有同学可能想到了更简易的方法，二号圆柱猛的一看有点像，但请同学们要注意了， 这里的九和三是它们的底面直径，也就是圆锥的底面直径是二号底面直径的三倍。 那么底面积呢？就是二号圆柱的九倍，它们的高相等。 由于圆锥的体积要乘三分之一，所以圆锥的体积是二号圆柱体积的三倍。 再来看三号圆柱，它们的底面直径都是九，也就是底面积相等。 圆锥的高是圆柱的三倍，因此它们的体积相等。我们通过推理分析同样可以得到正确答案是三号圆柱。 同学们让我们结合第五题和第六题，再来整理一下圆柱和圆锥体积的关系。当圆柱和圆锥等底等高时， 圆锥的体积是圆柱的三分之一，反过来，圆柱的体积是圆锥的三倍。 当圆柱和圆锥体积相等，底面积也相等时，我们用等积等底来表示它们之间的关系。 由于圆锥的体积是底，面积乘高再乘三分之一后，与圆柱的体积相等，它们的底面积又相等，因此圆锥的高就是圆柱的三倍。 当圆柱和圆锥体积和高都相等时，它们的关系我们可以称作等积等高。 同学们想一想，此时圆柱和圆锥的底面积又会是什么关系呢？ 爱动脑筋的你一定会发现，此时圆锥的底面积是圆柱的三倍。 这里老师要提醒你，底面直径或底面半径之间的关系可不等于底面积之间的关系哦！ 下面我们来进行一组对比小练习，看看我们的同学掌握的怎么样。第一小题， 圆柱和圆锥底面积相等，高也相等，已知它们的底面积是十二立方分米，则圆锥的体积是多少立方分米？ 这道题目中，圆柱和圆锥等底等高，那么可以将圆锥的体积看成一份，与 它等底等高的圆柱的体积可以看成三份体积，和就是四份， 对应的是十二立方分米，所以圆锥的体积可以用十二除以三加一的和等于三立方分米。 这里的三加一的和就表示圆柱和圆锥体积和的总分数 消除后，得到每一份，也就是圆锥的体积是三立方分米。 第二小题，一个圆柱和一个圆锥的体积相等，高也相等。已知圆柱的底面积是九平方厘米，则圆锥的底面积是多少平方厘米呢？ 这道题目中，圆柱和圆锥是等积等高，那么圆锥的底面积应该是圆柱底面积的三倍，用九乘三等于二十七平方厘米。 第三小题， 一个盛满水的圆锥形容器，水深三十厘米，将水全部倒入和它等底等高的圆柱形容器里， 水深多少厘米？同学们，你知道这道题目中圆柱和圆锥是什么关系吗？ 将圆锥形容器里的水全部倒入与它等底等高的圆柱形容器中，说明水的体积不变，底面积也不变。 而倒入圆柱形容器中，水位会发生变化，也就是高变了，所以它们是等积等底。 此时圆锥的高是圆柱高的三倍，因此我们用三十除以三等于十厘米得到圆柱形容器，水深十厘米。 完成了这组练习。我们将目光聚焦到生活中的圆锥， 在农田、建筑工地等等这些地方，人们常常会把麦子、碎石或是泥沙堆成圆锥形。我们一起来看看数学书第二十三页练习题的第八题， 右图是一个圆锥形的小麦堆，根据题中的数据， 你能算出小麦堆体积是多少立方吗？从图中我们能知道， 圆锥的底面直径是八米，高是一点八米。由此我们可以列式， pi 乘八除以二商的平方乘一点八乘三分之一等于 十六派乘一点八乘三分之一 等于十六派乘零点六等于九点六派立方米，算出圆锥形小麦堆的体积是九点六派立方米。这题的结果我们可以保留派。 这里老师要提醒你，求圆锥的体积一定要记得乘三分之一。 接着我们来看第十题，一个近似于圆锥形的碎石堆，底面周长是十二点五六米，高是零点六米， 如果每平方米碎石大约重两吨，这堆碎石大约重多少吨？题目中告诉我们，圆锥形碎石堆想一想计算时要注意什么呢？ 并且每平方米重两吨要求最后碎石堆的重量。我们首先要求出圆锥形碎石堆的体积， 而题目中给出的条件是底面周长，所以我们可以先利用底面周长求出底面半径， 用十二点五六除以三点一四除以二等于两米，得到底面半径是两米， 进而求出圆锥的体积。用派乘二的平方乘零点六乘三分之一等于四派乘零点二等于零点八派立方米。 为了方便求后面碎石堆的重量，我们在这里可以进一步求出圆锥的体积是二点五一二平方米， 再用二点五一二乘二等于五点零二四吨，这就是这堆碎石堆的重量，请同学们要注意， 当最后的结果求的是重量、价钱等时，结果不能用派表示，要求出最终的结果。 同学们，这节课我们利用所学的知识解决了一些生活中的实际问题。 在练习中，我们学会了利用题目中不同的条件求出圆锥的体积，并且在思考中善于观察、比较、推理，对于圆柱和圆锥的关系理解也有了进一步的加深。 课后同学们也可以对自己的这些知识进行归纳和整理，今天的数学课就上到这，谢谢观看，同学们再见！ 同学们好，我是南京市民生实验小学陶伟习老师。今天我们要学习的课题是圆柱和圆锥的练习与应用。一、 圆柱与圆锥的知识在生活中有着广泛的应用。这节课我们将继续走进生活，在解决实际问题的过程中，探求圆柱和圆锥体积之间的内部联系，感受数学图形之间的内在奥秘。 我们先来看整理与练习的第四题，有一个近似于圆锥形的稻谷堆， 底面直径是四米，高是一点五米。如果每平方米稻谷大约重零点五五吨，这堆稻谷大约重多少吨？得数保留整数。 首先我们来看计算圆锥形的体积，用四除以二的商的平方 pi 乘一点五乘三分之一 等于四派，乘零点五等于二派平方米。再求这堆稻谷的重量，二派乘零点五五等于一点，一派等于三点四五四吨。 由于得数要保留整数，所以三点四五四吨约等于三吨。同学们要牢记，在计算圆锥体积的时候不要忘记乘三分之一。 接着我们来看第五题，一块圆柱形的橡皮泥底面积是十五平方厘米，高是六厘米。 第一小题，把它捏成底面积是十五平方厘米的圆锥形，高是多少厘米？将圆柱形的橡皮泥捏成圆锥形，想一想什么变了，什么没变？ 对，橡皮泥的形状变了，体积不变，也就是圆锥的体积等于圆柱的体积。 那我们可以根据这个等量关系来列方程解答。解，设列成的圆锥形的高是 x 厘米，十五乘 x 乘三分之一，等于十五乘六， 算出 x 等于十八。也有同学可能会列式用十五乘六先算出圆柱橡皮泥的体积，也就是圆锥的体积。 由于圆锥的体积等于底，面积乘高除以三。现在知道了体积和底面积反过来求高，我们需要把体积再乘三，得到底面积乘高的积， 再除以底面积得到高。由于题目中圆柱和圆锥的底面积都是十五平方厘米，可以在算式中把两个十五直接约去，等于六乘三，等于十八厘米。 第二小题，把它捏成高是六厘米的圆锥形，底面积是多少平方厘米？这里捏成的圆锥体积仍然不变， 利用等量关系可以列方程解。设捏成的圆锥底面积是 y 平方厘米，六乘 y 乘三分之一，等于十五乘六，解得 y 等于四十五。也可以列式 十五乘六，算出圆锥的体积，再乘三，得到圆锥底面积乘高的积，再除以六，因为高都是六厘米，直接约去， 等于四十五平方厘米。现在我们来比较一下这两题有什么相同点和不同点。相同点都是把圆柱形捏成了圆锥形，体积是不变的， 不同点在于，当捏成的圆柱与圆锥底面积相等时，也就是它们等积等底，圆锥的高是圆柱的三倍，所以我们要用圆柱的高乘三。 当圆柱和圆锥高相等时，也就是圆柱与圆锥等积等高，圆锥的底面积是圆柱的三倍。要将圆柱的底面积乘三。 运用这样的结论，我们来看看这样的几小题。第一题，一个圆柱和一个圆锥的底面积相等，圆柱的高是圆锥高的两倍，圆柱与圆锥体积的比是几比几？ 这道题已知圆柱与圆锥底面积和高的比，让我们求它们体积的比是一个顺向思维，相对比较简单。我们根据条件，圆柱和圆锥底面积相等， 可以假设圆柱和圆锥的底面积都是一， 圆柱的高是圆锥的两倍，可以假设圆柱的高是二，圆锥的高是一， 那么圆柱的体积就是一乘二等于二，圆锥的体积是一乘一乘三分之一等于三分之一。二比三分之一。化简得到六比一。 第二题，体积和高都相等的圆柱和圆锥，它们的底面积之比是几比几？如果圆锥的底面积是十二平方厘米，那么圆柱的底面积是多少平方厘米呢？ 圆柱与圆锥体积相等，高也相等，说明它们等积等高。 圆锥要想和圆柱体积和高都相等，那么圆锥的底面积就要是圆柱底面积的三倍，所以圆柱与圆锥底面积的比是一比三。 当然，这道题目我们也可以和上一题一样，运用假设的方法，假设圆柱和圆锥体积都是一，高也都是一， 圆柱的底面积用一除以一等于一。 助理，这里在计算圆锥的底面积时，要先用一乘三得到底面积，乘高的积，再除以高一等于一比三。 第二问，这里已知了圆锥的底面积要求，圆柱的底面积应该怎么算呢？ 圆锥的底面积是圆柱的三倍，所以要用十二除以三等于四平方厘米。 接着我们来看第六题，一个圆柱和一个圆锥底面直径都是六厘米，高都是十二厘米，他们的体积一共是多少立方厘米？你能用不同的方法计算吗？ 第一种方法，我们可以根据题目中已知的条件，分别求出圆柱和圆锥的体积，再将它们相加， 得到体积的和是一百四十四派立方厘米。细心的同学一定观察到， 题目中告诉我们，圆柱和圆锥底面直径和高都相等，观察算式也能看得出圆柱和圆锥等底等高， 那么圆锥的体积就是与它等底等高圆柱的三分之一。 那么我们可以先算出圆柱的体积，再乘一加三分之一的和，这里的一指的是圆柱的体积。 把圆柱的体积看成单位，一，圆柱和圆锥的体积就相当于圆柱体积的三分之四，同样可以算出它们体积的和是一百四十四派立方厘米。 反过来，如果我们将圆锥的体积看成一份，圆柱的体积就是这样的三份 合在一起就是四分，也就是体积和是圆锥体积的四倍。这里可以先算出圆锥的体积，再乘四，通过计算也可以得到体积和是一百四十四立方厘米。 回顾一下这些方法，无论是先分别算出圆柱和圆锥的体积，还是将圆柱的体积看成单位一，又或是将圆锥的体积看成一份，其实它们的本质都是一样的， 同学们在做题时，根据已知条件灵活选择合适的方法，请同学们在思考这样的一个问题，等底等高的圆柱和圆锥，它们的体积相差十八立方厘米，则圆锥的体积是多少立方厘米？ 题目中告诉我们等底等高的圆柱和圆锥体积之差。如果把圆锥的体积看成一份，与它等底等高圆柱的体积就是三份，它们体积之差就是两份， 也就是问题要求的圆锥体积的两倍。用十八除以二等于九得到圆锥的体积九立方厘米。 熟练掌握圆柱和圆锥体积变化之间的关系，可以让我们准确快速的解决相关问题。 第八题有两个不同形状的装饰瓶，里面放满了五彩石。从里面量，圆柱形的装饰瓶底面直径是十厘米，高是十厘米，长方形装饰瓶的长和宽都是十一厘米，高是九厘米。 哪个装饰品里的五彩石多一些呢？通过读题我们了解到两个装饰品，一个是圆柱体，一个是长方体。 要求哪个装饰品里的五彩石多一些，就要分别求出圆柱体和长方体的容积再进行比较。由于题目中告诉我们装饰品都是从里面量的， 所以我们可以按照计算体积的方法来计算它们的容积，来算一算圆柱的容积，用 pi 乘十除以二的商的平方乘十等于两百五十， pi 等于七百八十五立方厘米。长方体用长乘宽乘高 等于一千零八十九立方厘米，七百八十五小于一千零八十九。通过比较发现长方体装饰屏五彩石多一些。 我们一起来看第九题。一根自来水管的内直径是二十毫米，如果水流的速度是零点八米每秒，这根水管一分钟可以流出多少深水？ 读完题目后，我们发现题目中的单位名称很繁杂，有毫米米每秒深。 问题中的单位名称是深，所以我们可以将单位统一成分米，二十毫米等于零点二分米，零点八米每秒等于八分米每秒。还有时间单位， 因为前面已经将水流速度换算成八分米每秒，所以这里将一分钟换算成六十秒。 问题中要求水管一分钟可以流出多少深水，其实是在求什么呢？同学们可以想象一下，是不是可以将水管中流出的水看成一个圆柱形的水柱， 那么求水管内流出水的体积，也就是在求一个圆柱的体积。 通过已知条件中底面直径可以求出圆柱的底面积。 pi 乘零点二除以二的商的平方等于零点零一 pi 平方分米。 那么圆柱的高呢？就是一分钟，也就是六十秒。水管内流出多长的水柱， 可以用水流速度乘时间，也就是单位时间内水柱的长度，也就是圆柱的高。 圆柱的体积用零点零一派乘四百八十等于四点八派立方分米。 也有同学可能会想到，先求出水管每秒钟内流出水的体积，用底面积零点零一派平方分米乘水流速度八分米每秒， 算出一秒钟流出的水的体积，把它看成一个小圆柱， 再乘六十，得到六十个这样的小圆柱，算出一分钟水管内流出水的体积是四点八派立方分米。最后不要忘记将立方分米转化成生。 老师要提醒大家，这样的图题目务必要流行，单位名称的正确改写，以及所求问题的实际含义，根据条件准确地找出相关数据进行计算。 同学们，这节课我们练习有关于圆柱和圆锥相关知识，你的理解又加深一步了吗？ 做题时要注意找到方法之间的联系和区别，发现其本质之间的共通之处，找到题目之间的勾连，才能做到举一反三。 今天的数学课就上到这里，谢谢观看，同学们再见！ 同学们好，我是南京市民生实验小学陶维奇老师。 今天我们要学习的课题是圆柱和圆锥的练习与应用。二、通过前面两节课的回顾整理与练习，相信有关圆柱和圆锥的知识同学们已经掌握的很牢固了。 今天我们来运用这些知识继续解决一些实际问题，在动手操作的过程当中探索并发现新的数学结论。 首先我们来看练习第十题，一个圆锥形沙堆 底面积是二十四平方米，高是一点二米，用这堆沙子去填一个长七点五米、宽四米的长方体沙坑，沙坑里的沙子的厚度是多少厘米？ 有提议可知，将圆锥形沙堆变成了一个长方体的沙坑，形状发生了改变，但体积不变， 也就是圆锥形沙堆的体积等于长方体沙子的体积 问题，求的是沙子的厚度，也就是长方体的高。所以我们可以先求出圆锥形沙堆的体积，用二十四乘一点二乘三分之一， 等于九点六立方，再用圆锥形沙堆的体积除以长方体的底面积， 或者分别除以长方体的长和宽，得到长方体的高，也就是沙子的厚度用九点六除以七点五除以四等于零点三二米，问题的单位是厘米， 所以不要忘记单位名称的换算等于三十二厘米。 当然，这里也可以根据变化前后沙堆体积不变这样的等量关系列方程来解答。解设沙坑里的沙子厚度是 x 米， 七点五乘四乘 x 等于二十四乘一点二乘三分之一， 解得 x 等于零点三二。再将零点三二米进行单位换算，等于三十二厘米。 我们用了算数和方程两种方法解决了这个问题，但其实本质都是一样的，要抓住题目中的不变量，再根据等量关系灵活地选择适合自己的方法。 第十一题也是我们生活中常见的问题，让我们一起看看吧。 一种圆柱型饮料罐，底面直径是七厘米，高是十二厘米。 将二十四罐这种饮料放入一个长方体的纸箱，如图，纸箱的长宽高吗？ 观察实物图，我们发现纸箱的长宽高一方面与圆柱形饮料罐的直径和高有关，另一方面饮料罐在纸箱内的排列方式也起到了极决定性的作用。 细心的你一定看得出长方体的长在这是几个饮料罐直径的和呢？我们一起来数一数 一二三四五六，求出长方体的长是四十二厘米，长方体的宽在这是用四个饮料罐相加的直径和， 那么我们可以求出宽是二十八厘米，因为纸箱内的饮料罐只摆了一层，所以长方体的高就是饮料罐的高，等于十二厘米。 这样我们就可以求出长方体纸箱的长宽高。 第二题，纸箱的容积至少是多少立方厘米？我们可以直接利用长方体的体积公式求出纸箱的容积，用四十二乘二十八乘十二 等于一万四千一百一十二立方厘米。第三小题， 做一个这样的纸箱，至少要用多少硬纸板？题目中告诉我们，箱盖和箱底的重叠部分按两千平方厘米来计算， 想一想要用多少硬纸板，其实就是在求什么呢？对，就是长方形纸箱的表面积，再加上重叠部分的两千平方厘米。 用四十二乘二十八加四十二乘十二加二十八乘十二的和乘二，不要忘记加两千。最后算出等于六千零三十二平方厘米。 在解决圆柱和圆锥的实际问题时，常常和长方体、正方体密切相关， 这要求同学们认真审题，看清问题的本质在求什么，找出相关条件，进行相应的方法，正确求解。 通过这部分的练习，相信同学们对于圆柱、圆锥的学习体会又加深了。接下来让我们进入数学书探索与实践部分。 我们先来看十二题，有两个圆柱形容器，它们的高相等底面半径的比是一比二，它们的体积比是几比几？ 想要解决这个问题，我们首先要知道它们的底面积和高的关系。题目中告诉我们，它们高相等底面半径的比是一比二。 那么底面半径的比和底面积的比有什么关系呢？解决这样的题目，我们可以利用假设的策略。首先根据底面半径的比一比二这个条件，我们可以假设两个圆柱的半径分别是一厘米和两厘米， 那么小圆的面积就等于派乘一的平方，等于派平方厘米，大圆的面积就等于派乘二的平方，等于四派平方厘米。 化简后得到小圆与大圆的面积比是一比四。 同学们也可以假设其他的数据只要符合一比二这个倍数关系就可以了。为了验证这个答案，我们也可以将他们的半径关系用字母式代入试试。 用 r 表示小圆的半径，因为它们的底面半径比是一比二。大圆的半径可以用二 r 来表示。小圆的面积就是 pi r 的 平方，大圆的面积就用 pi 乘二 r 括号的平方。 这里可以将分子分母先同时缩小派倍，此时面积比就是 r 平方比四 r 平方， 再同时缩小 r 的 平方倍，得到最后的底面积比是一比四，与 r 的 大小无关。 经过这样的推导过程，我们发现，当底面半径的比是一比二时，它们底面积的比就是一比四。有兴趣的同学可以尝试。当底面半径的比是其他数据时，底面积又会是怎样的情况呢？ 有了底面积的比，现在我们可以看看它们体积的比。 根据高相等这个条件，我们可以假设两个圆柱的高都是一 底面积，可以分别假设为一和四，再算出两个圆柱的体积。小圆柱的体积是一乘一等于一，大圆柱的体积用一乘四等于四， 那么两个圆柱的体积比就是一比四。让我们来回顾一下解决这个问题的过程。当题目中没有明确告诉我们数据时，可以利用条件中给出的数量关系进行假设， 但无论你怎样假设，都要符合题目条件中给出的已知数，然后选择正确的计算公式进行求解。 第十三题，选择一种圆柱形的饮料罐，测量有关数据，计算出它的容积，在与商标纸上的标出容积比一比，你能发现什么？ 老师选择了这种金属材质的易拉罐，这样的饮料罐形状规则，且材质很薄，可以直接从外面进行测量，计算它的容积。 我测出它的底面直径大约是六点五厘米，高大约是十一点五厘米。 如果你选择的饮料罐底面弧度较大，不方便测量底面直径，也可以测量罐身的底面周长和高。 我测量出饮料罐的容积，通过计算得到大约是三百八十一立方厘米，等于三百八十一毫升。 从图中可以看到，饮料罐的净含量是三百三十毫升，这显然小于三百八十一毫升，也就是商标纸上标出的容积小于计算得到的容积。 这是因为用容器盛装液体时，为了安全和方便，一般都会留出一定的空间。 而商标纸上标出的容积或净含量表示容器内液体的体积，一般都会比它的实际容积要小，也比饮料罐的体积小。 接下来我们来看第十四题，你能按照题目中的要求，将长方形卷成两个大小不同的圆柱吗？比较一下你卷的方法和图中的方法一样吗？ 先估一估哪种方法卷成的圆柱体积会比较大呢？再动手试一试，验证你的想法。 如果要分别计算出两个圆柱的体积，需要测量出长方形的长和宽， 分别就是圆柱底面周长和高。以老师的这张长方形纸为例，测出长方形的长是六点二八分米，宽是三点一四分米。我们来分别算一算这两个圆柱的体积。 如果沿长卷，那么长方形的长就是卷成圆柱的周长， 长方形的宽就是卷成圆柱的高。我们可以通过底面周长先算出底面半径，六点二八除以三点一四除以二等于一分米。 圆柱一的体积用 pi 乘一的平方乘三点一四等于三点一四 pi 立方分米。如果沿宽角 长方形的宽卷成了圆柱的周长，长就是圆柱的高。用长方形的宽算出圆柱二的底面半径，用三点一四除以三点一四除以二等于零点五分米 体积就用零点五平方派，再乘六点二八等于一点五七派立方分米。 比较它们的体积，我们发现第一种圆柱，也就是沿着长方形的长卷，把长作为圆柱形的底面周长，宽作为圆柱的高，卷出的圆柱体积较大。你的结论和我一样吗？ 最后我们一起来阅读。你知道吗？ 我国古代劳动人民早在两千多年前就会计算不同形状物体的体积。九章算术中记载的圆柱体积计算方法是，周字相乘，以高乘之十二而一， 也就是底面周长的平方乘高，再除以十二。这种计算方法与现在的算法是一致的，只不过取圆周率的径四值为三。书中记载的圆锥体积计算方法也与现在的算法一致。 阅读这段文字，让我们来思考。周字相乘以高乘之十二而一是我国古代劳动人民在计算圆柱体积的方法。 周是指底面周长，周字相乘是指底面周长乘底面周长，也就是底面周长的平方以高乘之，再用它乘高 十二而一，可以理解为十二分之一，也就是除以十二。 得到这样的算式后，我们可以将它 c 替换成二派 r， 那 么 c 平方就写成二派 r， 括号的平方乘高，再除以十二， 进一步展开，可以得到四派平方 r 平方乘 h 除以十二。这里将四和十二进行约分， 因为圆周率的径四值取的是三，所以可以将 pi 平方中的一个 pi 和分母当中的三相约分，整理算式以后，得到 pi、 r 平方 h 与我们现在计算圆柱体积的方法是一致的。你能用同样的方法推算古代劳动人民计算圆锥的方法吗？ 这个问题留给同学们课后自己去研究学习。到这里我们不得不感叹中华民族劳动人民的智慧结晶，以及我国灿烂悠久的文文明历史。 我们要循着古人的足迹，在研究数学的道路上继续孜孜不倦。有关圆柱和圆锥单元的学习，到这节课就高一段落了， 你对自己的表现还满意吗？做一个客观的评价吧。在这个单元的学习当中，我们不断的通过观察、操作、比较、推理，成功的解决了许多的问题。 同学们一直在尝试对自己解决问题的过程和结论做出合理的解释，努力寻找他们本质上的联系，这就是反思的过程，希望大家能这样继续保持下去。 今天的数学课就上到这里，谢谢观看，同学们再见！ 同学们好，我是南京市民生实验小学陶维习老师，今天我们要学习的课题是圆柱和圆锥的回顾与整理。 通过本单元的学习，我们已经认识了圆柱和圆锥。这节课我们将对本单元的知识进行系统的回顾与整理， 通过整理进一步加深对圆柱、圆锥特征的认识，解决常见的有关圆柱表面积的问题。 首先我们来回忆一下圆柱和圆锥有哪些特征？怎样来计算圆柱的表面积？ 解决有关表面积的实际问题时要注意什么？你是怎样发现圆柱和圆锥体积公式的？圆柱和圆锥的体积公式之间有什么样的联系？ 有关于特征，我们来看一看。圆柱有上下两个底面，是两个完全相同的圆形， 还有一个侧面是一个曲面，展开后是一个长方形或正方形，两个底面之间的距离是圆柱的高。圆柱有无数条高 圆锥，有一个底面是圆形，侧面也是一个曲面，展开后是一个扇形。圆锥的顶点到底面圆心之间的距离是圆锥的高， 圆锥只有一条高。我们还学习了圆柱的侧面积和表面积。我们先来看看侧面积，把圆柱的侧面沿高展开，得到一个长方形 或正方形，这个长方形的一条边等于圆柱的底面周长，它的棱边等于圆柱的高， 因此圆柱的侧面积等于底面周长乘高用字母表示是 s 侧等于 c h。 有时候题目中没有直接告诉我们圆柱的底面周长，也可以通过派 d h 或者是二派 r h 来求圆柱的侧面积。 圆柱的侧面积与两个底面积的和叫做圆柱的表面积， 所以圆柱的表面积等于侧面积加底面积乘二。 在解决有关圆柱表面积的实际问题时，要正确判断问题中求的是哪几个面的面积，在灵活运用面积公式相应解答。圆锥表面积相对较为复杂，在小学阶段我们暂不研究。 还记得我们是怎样推导出圆柱体积公式的吗？先来回忆一下。圆柱体积是通过把圆柱进行切割拼合， 随着平均分的分数越来越多，拼成的物体就越来越接近一个长方体。拼成的长方体的体积与圆柱的体积相等，长方体的底面积等于圆柱的底面积 高，等于圆柱的高。因为长方体的体积等于底面积乘高，所以圆柱的体积也等于底面积乘高，用字母表示是 v 等于 s h。 转化后的长方体和圆柱相比，体积不变，形状变了，表面积也变了。 你知道表面积是怎样变化的吗？和原来的圆柱相比，长方体的表面积多了左右两个面，每个面的长相当于圆柱的高， 宽相当于圆柱的半径，所以增加的每个面的面积就等于半径乘高。 长方体比圆柱表面积增加的部分就是两倍的 r h。 根据这样的推导过程，我们来看这样的一道题。如图，把一个圆柱的底面分成许多相等的扇形，然后把圆柱切开，拼成一个近似的长方体， 表面积比原来增加了二十平方分米。圆柱的体积是多少立方分米？题目中告诉我们表面积增加了二十平方分米， 这表面积增加的二十平方分米就是刚才说到的两个半径成高长方形，也就是二 r h。 我们可以先用二十除以二，得到增加的每个小长方形的面积是十平方分米。 题目中告诉我们，圆柱的高是五分米，那么半径就用十除以五等于两分米。 有了底面半径和高，就可以求出圆柱的体积了。用二平方派乘五等于二十派立方分米，圆柱的体积是二十派立方分米。 接下来我们来回忆圆锥体积公式又是如何推导的呢？ 实验时，我们准备了等底等高的圆柱形和圆锥形容器各一个，在圆锥形容器里装满沙子，再倒入空的圆柱形容器里，正好三次可以倒满， 说明圆锥的体积正好是与它等底等高圆柱体积的三分之一。由此，圆锥的体积等于底面积乘高乘三分之一，用字母表示是 v 等于三分之一。 s h 以上的这些有关圆柱圆锥的基本概念你都理清了吗？下面我们来看一些练习，请同学们看第一题。填表前，请同学们要仔细观察表格中的已知条件以及单位， 告诉我们底面半径是两厘米，圆柱的底面直径就是四厘米，求表面积。我们用二平方派乘二加四派乘五 算出两个底面积和侧面积的和等于二十八派平方厘米，再求体积用二平方派乘五等于二十派立方厘米。 第二个圆柱已经知道了底面直径是十米，底面半径是五米，高八米，求表面积，用五平方派乘二加十派乘八等于一百三十派平方米， 体积用五平方派乘八等于两百派立方米。 下面我们来求圆锥，已知底面直径是五厘米，底面半径是二点五厘米，高一点二厘米，体积二点五的平方块乘一点二乘三分之一。 这里在计算时，可以先用一点二和三分之一约分得到零点四，零点四先乘一个二点五等于一，再用一乘二点五派等于二点五派立方厘米。 第二个圆锥底面半径是零点六米，底面直径是一点二米，高一点八米，求体积用零点六的平方派乘一点八乘三分之一， 通过约分得到体积是零点二一六派立方米。 到这老师要提醒同学们在计算时要注意技巧，进行减算，能约分的要先约分，能凑整的可以先凑整。 接下来我们来看第二题。一种压路机的前轮是圆柱形的，轮宽一点六米，直径零点八米。前轮滚动一周压路的面积是多少平方米？ 前轮滚动一周压路的面积是多少平方米？你是怎样理解的呢？ 轮宽相当于圆柱的高，底面直径是零点八米。 压路机前轮滚动一周，就相当于把它的侧面积展开后平铺在路上。所以前轮滚动一周压路的面积就等于圆柱的侧面积， 侧面积等于底面周长，乘高列式为零点八派乘一点六等于一点二八派平方米。 解决完这道题目，同学们可以回忆一下，在本单元的学习中，我们还碰到过哪些求圆柱侧面积的实际问题呢？ 是的，例如求圆柱形烟囱需要多少铁皮，求通风管的面积，还有给圆柱形的柱子四周刷上油漆或涂上油漆的面积。 第三题也是一道与圆柱表面积相关的题目，一个圆柱形水桶高六分米，水桶外围的一圈铁箍大约长十五点七分米。 第一问，求做这个水桶至少要用木板多少平方分米？ 观察直观图，我们发现求这个水桶至少需要多少木板，就是求水桶的侧面积加一个底面积的。和 题目中告诉我们水桶外围的一圈铁箍长大约是十五点七分米， 这就是圆柱底面周长。可以通过底面周长先求出底面半径，用十五点七除以三点一四除以二，得到底面半径是二点五分米， 底面积是二点五平方，乘派等于六点二五派平方分米，侧面积用十五点七乘六，这里可以看作五派乘六等于三十派平方分米， 再将两者相加，等于三十六点二五派平方分米。 注意，这里加的是一个底面积。想一想生活中还有哪些情况像这样求圆柱的侧面积加一个底面积的情况呢？ 例如，求一个圆柱形鱼缸玻璃的面积。再比如，给一个圆柱形的水杯做布套，求布套的面积，这些求的都是圆柱的侧面积和一个底面积之合的情况。 第二问，求这个水桶能乘一百二十升的水吗？ 看能不能乘一百二十升的水，就要把水桶的容积和一百二十升作比较。 求水桶的容积，我们可以用上一题求出的水桶底面积，六点二五派乘高六，得到三十七点五派等于一百一十七点七五立方分米。 一百一十七点七五立方分米等于一百一十七点七五升，小于一百二十升。 由于题目中没有告诉我们木板的厚度，我们可以将水桶的体积等同于它的容积， 并且木板有厚度，水桶的容积一定小于它的体积，而体积已经小于一百二十升了，那么它的容积也一定比一百二十升小，所以这个水桶盛不下一百二十升的水。 关于圆柱表面积计算的几种情况，我们可以归纳一下。第一种，有底有盖。这种情况计算时要用一个侧面积加上两个底面积， 三个面一个也不能少，例如，求有盖有桶的表面积。第二种，有底无盖。这种情况计算时用一个侧面积加一个底面积，两个面相加。 例如，做一个无盖水桶需要多少铁皮？第三种，无底无盖。 这种情况两头空中间通，只求一个侧面积，例如，求通风管需要多少铁皮？ 现在我们来看看这样的一道题。一个用塑料薄膜覆盖的蔬菜大棚，大棚的占地面积为八十平方米，横截面是一个半径为两米的半圆， 求搭建这个大棚大约要用多少平方米的塑料薄膜。 大棚的占地面积是指所占地面的面积是一个长方形，这个长方形的长相当于半圆柱的高，宽相当于底面直径。 题目中告诉我们半径是两米，那么直径也就是长方形的宽是四米。我们可以先用大棚的占地面积除以底面直径，得到这个半圆柱的高， 列式为八十，除以二乘二的积等于二十米，这是高。下面我们要思考问题中搭建这个大棚需要的塑料薄膜分为哪几个面， 那就是侧面积的一半和两个半圆。我们先来求侧面积的一半，可以想成底面周长的一半 乘高，直接用半径乘派乘高列示为二派乘二十等于四十派平方米。接下来可以将两个半圆拼成一个完整的圆， 两个半圆的面积就可以看成一个底面积。用二平方乘派等于四派平方米，再将两者相加等于四十四派平方米。 第二问，大棚内的空间大约有多大？大棚内的空间也就是求半圆柱的体积， 已经知道了半圆柱的高和半径，用二的平方派乘二十除以二等于四十派平方米。 由于圆柱体积的一半，所以我们算出圆柱的体积，不要忘记除以二。 这节课我们回顾了本单元学习的有关圆柱与圆锥的一些基本概念，以及圆柱、圆锥之间的联系。 通过练习，我们具体分析了有关圆柱表面积的几种情况。同学们在课后可以自己进行相关整理， 从整体上把握所学知识的实质，体会他们相互之间的关联，有利于我们在脑海中形成完整的知识结构。网状图 今天的数学课就上到这里，谢谢观看，同学们再见！ 同学们，大家好，我是南京师范大学附属小学的张来老师。今天我们要一起来学习苏教版小学数学六年级下册第三单元 选择策略解决实际问题的第一课时。 通过这节课的学习，我们要学会选择和运用合适的策略解决实际问题，进一步体会策略在解决问题过程中发挥的作用。 首先我们来回顾一下我们以前学过了哪些解决问题的策略呢？ 同学们一定能想到很多，三年级时我们学习了从条件出发，从问题想起的策略。四年级我们学习了列表画图的策略， 五年级学习了猎取转化的策略，到了六年级，我们还学习了假设的策略。那请你想一想，什么时候我们要用到策略呢？ 对遇到陌生的、稍复杂的解决问题，我们就要用这些策略来帮忙。今天我们就要继续学习选择和灵活运用策略解决实际问题。 一起来看这道例题。星河小学美术组男生人数占总人数的五分之二，已知女生有二十一人，男生有多少人？ 读完题是不是觉得有些复杂？想一想这道题复杂在哪呢？ 你一定发现了男生人数占总人数的五分之二这句话中，单位一是总人数。 根据我们对分数意义的理解，可以知道总人数乘五分之二等于男生人数，或者男生人数除以五分之二等于总人数。 可是题目中只告诉我们女生有二十一人， 男生人数和总人数这两个条件都不知道是多少。也就是说，男生人数占总人数的五分之二和女生有二十一人，这两个条件之间没有直接的联系。 看来我们需要运用学过的策略来分析数量关系，想想能否化难为易，找到解答问题的思路。 首先我们可以来画图，根据男生人数占总人数的五分之二， 我们可以先画一条线段，表示美术组的总人数，然后把它平均分成五份，其中的两份就是男生的人数， 剩下的就是女生的人数。这里我们就可以把女生有二十一人在线段图中加以表示， 最后在线段图上标注出男生有多少人这个问题。 从图中我们可以看出，男生占总人数的五分之二，那么女生就占总人数的五分之三， 这样女生二十一人和女生占总人数的五分之三相对应， 题目就变简单了，我们可以用二十一除以一减五分之二的差，算出总人数有三十五人。 接着用总人数乘五分之二，算出男生有十四人。 当然在这里我们也可以用总人数三十五减去女生有二十一人，算出男生有十四人。 还有的同学会从线段图中发现，男生占了五份中的两份，女生占了五份中的三份， 三份有二十一人，就可以算出每一份是七人，接着用七乘二算出男生有十四人。 通过画图就使我们的数量关系更加的清楚和直观。 当然受前面的启发，也有同学会想到其他数量关系，例如男生占女生人数的三分之二，或者女生占男生人数的二分之三。 虽然还是分数关系，但因为男生和女生他们之间建立了直接的联系，题目就变得容易多了。 还有的同学会用转化的策略，根据男生占总人数的五分之二，我们可以知道总数有五份， 男生占其中的两份，那么女生就是剩下的三份，这样我们就可以转化成男生和女生的人数，比是二比三， 分数转化成了比，题目就变成了六年级上学期学过的按比例分配的实际问题了，相信大家肯定很熟悉。 当然算法和前面的基本一样，先算出一份是多少，再算两份是多少人。 还有的同学会用到假设的策略来列方程。 根据提议，我们可以找到数量关系，总人数减男生人数等于女生人数。 再根据题目中的条件，男生人数占总人数的五分之二，我们可以知道总人数是单位一， 这样我们就可以设总人数为 x 人，男生人数就是五分之二 x 人。 根据前面的数量关系，我们就能列出这样的方程，并通过计算得出总人数是三十五。 要提醒大家注意的是，现在算出的三十五人是妹数组的总人数，我们还要用三十五乘五分之二来算男生的人数。 刚刚我们用画图转化假设的方法都求出了男生有十四人，那该怎样检验答案是否正确呢？ 可以用男生的十四人加上女生的二十一人，算出总人数是三十五人，再看看男生人数是不是总人数的五分之二， 通过计算发现结果正确，这时我们就可以写上答句。答，美术组男生有十四人。 现在让你解决这个问题，你准备采用什么策略呢？ 有同学会用画图的策略，这样能使数量关系更直观更清楚。 有同学会选择转化的策略，把分数转化成比或者分数，更容易理解数量之间的关系。 还有的同学会选择用假设的策略来列方程，可以表示出题目中的等量关系。 虽然这些策略不同，但都是把较为复杂的问题变成了我们已经学过的简单的问题加以解决，起到了化难为易的作用。 下面就让我们一起来做几道练习题吧。第一题， 一杯果汁喝了几分之几，还剩几分之几，你喝的和剩下的果汁比是几比几 会甜吗？仔细看图，从图中我们可以知道，一杯果汁平均分成了五份，喝了其中的两份，还有三份没有喝。 看懂了提议再来填空就容易了。一杯果汁喝了五分之二，还剩五分之三，已喝的和剩下的果汁比是二比三。 第二题，花彩带与红彩带长度的比是五比七， 花彩带比红彩带短七分之二，那红彩带比花彩带长几分之几呢？ 这里要提醒大家，这个填空和前面一个填空的单位一是不一样的，我们需要仔细看图，认真填写。 答案是，红彩带比花彩带长五分之二， 看出来了吗？这道题是考察我们分数与比之间的转化，大家不仅要能填出这些答案，还要能举一反三，想一想其他的信息呢。 那么第一题，根据图，其实我们还可以写出，已喝的与整杯果汁的比是二比五，剩下的与整杯果汁的比是三比五。 第二题，花彩带有五份，红彩带有七份，一共就是十二份。 这样我们还能想到花彩带占总长度的十二分之五，红彩带占总长度的十二分之七。 如果这些你也都能想到，说明分数和比的转化已经非常熟练了。 再来看这样一道练习题，赵大娘家养的公鸡与母鸡之数的比是四比七， 公鸡比母鸡少三十只，赵大娘家养的公鸡有多少只？ 先想一想你准备用什么策略进行解答，记得还要检验呀！ 是的，题目中告诉我们公鸡与母鸡之数的比是四比七，我们就可以用画图的策略来进行表达， 公鸡画同样多的四份，母鸡就画这样的七份。 在线段图上我们能清楚的看出公鸡比母鸡少三十只，在对应的就是三份的位置。在这里我们就要把公鸡比母鸡少三十只加以标注， 并且标出问题。接下来我们就可以列这样的算式进行解答，算出公鸡有四十只， 该怎样检验呢？先用四十加三十算出母鸡有七十只，再算一算公鸡与母鸡之数的比是四比七， 答案与题目中条件一致，说明我们的解答是正确的。答，赵大娘家养的公鸡有四十只。 通过今天的学习，我们首先回顾了小学阶段学过的解决问题的许多策略， 接着通过例题的学习，明白了如果能合理选择策略，就能起到化难为易，化繁为简的作用。最后再根据练习对策略进行了熟练的运用。 好了，今天的学习就到这里，谢谢观看同学们再见！ 同学们，大家好，我是南京师范大学附属小学的张来老师， 今天我们要一起来学习苏教版小学数学六年级下册第三单元选择策略解决实际问题的第二课时。 希望同学们通过这节课的学习，知道同一个问题可以用不同的策略进行解决，并且根据问题的特点灵活选择策略，分析数量关系，寻求解析思路，提高解决问题的效率。 首先我们来看例题，全班四十二人去公园划船， 租十只船正好坐满，每只大船坐五人，每只小船坐三人。租的大船小船各有多少只？ 题目中告诉我们总人数和船的总支数， 还知道每只大船和每只小船分别坐几人，要我们求大船小船分别有多少只？ 同学们，你们觉得解决这两个问题有困难吗？ 题中要求两个未知量，而这两个未知量都不能根据已有的条件直接求出，看来数量关系还是比较复杂的。 我们不妨先来猜一猜，大船有几只，小船有几只呢？ 可能有同学会猜，大船有九只，小船有一只。也有同学会猜，大船有五只，小船有五只。 发现了吗？大家虽然猜的数量各不相同，但大船和小船之数之合都是时之总数，是没有变的。 那哪一个答案是正确的呢？看来光猜是不够的，我们还是要运用学过的策略来尝试着解决这个问题。 首先可以用画图的策略来解决这个问题， 先画出十只大船，每只大船坐五人，十只大船一共就能坐五十人， 与全班实际人数比就多出了八人，为什么会多这八人呢？对的， 因为我们把十只船全看成了大船，所以人数会多。接下来该怎么办呢？ 我们需要把一部分大船改成小船，去掉多出的八人，让总人数正好是四十二人， 一只大船坐五人，一只小船坐三人。如果我们把大船改成小船，每只船就要去掉两人， 一共多出八人。在这里我们就要去掉四个二，所以应该有六只大船，四只小船。 如果我们全画的是小船呢？ 可以先画出十条小船都坐满的话，一共能坐三十人，比四十二人少了十二人，我们就要把一部分小船改成大船。 我们知道一只小船改成一只大船，每只船要增加两人，一共需要增加十二人，我们一起来增加一下吧！ 二、四、六，八，十，十二， 看出来了吗？六只小船改成了六只大船，这样总人数就和已知条件一致，我们同样可以得到大船有六只，小船有四只。 刚才我们通过画图把十只船全部看成大船，或者把十只船全部看成小船后，得到的人数会和实际人数有一定的差别。 这时我们就需要通过调整确定了大船和小船的支数，用画图的策略表示，思考的结果直观而又清楚。 其实我们还可以把大船小船合起来，是十只的情况都列举出来，从大船九只，小船一只开始响起。 大船九只，小船一只，一共可以坐四十八人，比四十二多了六人。 这时我们就需要减少大船的支数，增加小船的支数。 大船八只，小船两只，一共可以坐四十六人，比四十二人多了四人，需要继续减少大船之数。 大船七只，小船三只，一共可以坐四十四人，比四十二人多两人。还要调整 大船六只，小船四只，刚好能坐四十二人。 大船五只，小船五只，一共可以坐四十人，比四十二人少了两人。 从表中我们可以看出，大船之数减少一只，小船之数增加一只后，总人数就会减少两人。 那么同学们想一想，还需要继续往下猎举吗？ 是的，不需要了。当大船五只，小船也是五只时，能坐的人数已经比四十二少了， 说明大船的数量不能再减少，所以不需要继续猎举。 刚才，同学们通过一一列举，找到了大船和小船的支数， 通过有序列举，算出了每一种情况下称作的总人数，再与四十二人进行比较，最后确定了大船有六只，小船有四只。 除了画图一一列举的策略外，我们也可以用假设的策略， 假设大船和小船同样多，各有五只，这时一共能坐四十人，比四十二人少两人，说明大船少了，要增加， 增加一只大船，就要减少一只小船，这时总人数刚好是四十二人。 根据总人数调整，我们也能得到大船有六只，小船有四只。 同学们，如果是列式计算，你会怎样解答呢？ 可以按画图的思路来解答。假设十只都是大船，那么十只大船一共能坐五十人， 但是实际只有四十二人，多出了八人，看来需要把大船调成小船，一只大船调成小船，就少坐了两人。 八里面有四个二，那么小船就有四只，大船就有六只， 这样的方法你听懂了吗？那如果假设十只都是小船呢？ 十只小船一共能坐三十人，但实际是四十二人，少了十二人，我们就需要把小船调成大船， 一条小船调成大船，就要多坐两人。十二里面有六个二，说明有六条大船，剩下的都是小船。 做完了，我们当然也应该进行检验，先算一算六加四是不是十只船， 再用大船和小船算出每种船的人数，进行相加，算出总人数是多少， 我们发现答案符合题目中的条件，说明解答是正确的，所以答案还是租的。大船有六只，小船有四只。 其实我们在列式的时候也是用到了假设的策略，把十只船都看成大船或者小船，再进行调整。 如果有同学根据题目中的等量关系列方程计算也是可以的。 下面我们来回应一下刚刚的解析过程。我们分别用到了画图、 列举假设的策略，这些都是解决问题的有效策略。 分析和解决同一个问题可以用不同的策略，当然也要学会根据具体问题灵活选择策略。那么方法不同，这里有什么相同的地方呢？ 是的，都是先假设大船有几只，小船有几只，再按照大船和小船相差两人进行思考。 如果总人数比四十二人多，就要把大船调成小船。如果总人数比四十二少，我们就要把小船调成大船， 通过合理的调整求出正确的结果。 下面我们一起来看练习舞的第四题，你准备采用什么策略解决这个问题呢？ 首先我们先来读一读题目，六年级同学制作了七十八件蝴蝶标本贴在九块展板上展出， 每块小展板贴六件，每块大展板贴十件，两种展板各有多少块？ 通过读题我们会发现标本的总数是七十八件，这个数量是比较多的。如果我们用画图的策略来解答，会显得不是那么方便。 所以我们可以先假设两种板的快数，再通过调整找到答案。 先假设大展板有五块，小展板有四块，通过计算可以算出标本的总件数是七十四件，比七十八件少了， 该怎么调整呢？ 总数少了四件，说明大展板少了，所以我们要把小展板换成大展板， 变成大展板有六块，小展板有三块，这时一共可以展出的标本刚好就是七十八件。 在调整的过程中，抓住少了四块来进行准确分析，这非常重要，只有分析对了，我们才知道该怎样调整。 最后我们可以知道答案是，大展板有六块，小展板有三块。 今天这节课，同学们运用了画图、列举、假设等有效策略来解决问题。 可见，解决同一个问题，我们可以采用不同的策略，我们在这里需要根据问题合理选择，自主辨析，寻找恰当的策略。 好了，今天的学习就到这里，谢谢观看同学们，再见！